Álgebra Linear

Aula 09

Espaços Vetoriais Euclidianos

Prof. Gabriel Bádue

Teoria

Chama-se produto interno no espaço vetorial 𝑉 uma função de 𝑉 × 𝑉 que

a todo par de vetores (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉 × 𝑉 associa um número real, indicado por

𝑢 ∙ 𝑣 ou 𝑢, 𝑣 , tal que os seguintes axiomas sejam verificados:

P1) 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢

P2) 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤

P3) 𝛼𝑢 ∙ 𝑣 = 𝛼(𝑢 ∙ 𝑣) para todo real 𝛼.

P4) 𝑢 ∙ 𝑢 ≥ 0 e 𝑢 ∙ 𝑢 = 0 se, e somente se, 𝑢 = 0.

Teoria

Propriedades

I) 0 ∙ 𝑢 = 𝑢 ∙ 0 = 0, ∀𝑢 ∈ 𝑉

II) 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 𝑤

III) 𝑢 ∙ 𝛼𝑣 = 𝛼(𝑢 ∙ 𝑣)

IV) 𝑢 ∙ 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑢 ∙ 𝑣1 + 𝑢 ∙ 𝑣2 + ⋯ + 𝑢 ∙ 𝑣𝑛

Exemplo 1

i) Mostrar que a operação definida a seguir é um produto interno no IR2.

𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥1𝑥2 + 5𝑦1𝑦2

ii) Calcular o produto interno de 𝑢 = (1,1) e 𝑣 = (−3,2).

Teoria

Um espaço vetorial euclidiano é um espaço vetorial real no qual o produtointerno está definido.

Sendo 𝑢 e 𝑣, vetores de um espaço euclidiano 𝑉

𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑣

𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 − 𝑣

Módulo de 𝒗

Distância de 𝒖 a 𝒗

Teoria

Propriedades

i) 𝑣 ≥ 0, ∀𝑣 ∈ 𝑉 e 𝑣 = 0, se, e somente se, 𝑣 = 0.

ii) 𝛼𝑣 = 𝛼 𝑣 , ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝛼 ∈ 𝐼𝑅

iii) 𝑢 ∙ 𝑣 ≤ 𝑢 𝑣 , ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉

iv) 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 , ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑢 𝑣, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 Ângulo de dois vetores

Exemplo 2Consideremos o seguinte produto interno em 𝑃2: 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑎2𝑏2 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎0𝑏0,

sendo 𝑝 = 𝑎2 𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 e 𝑞 = 𝑏2 𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0. Dados os vetores 𝑝1 =

𝑥2 − 2𝑥 + 3, 𝑝2 = 3𝑥 − 4 e 𝑝3 = 1 − 𝑥2, calcular:

a) 𝑝1 ∙ 𝑝2

b) 𝑝1 e 𝑝3

c) 𝑝1 + 𝑝2

d)𝑝2

𝑝2

e) Cosseno do ângulo entre 𝑝2 e 𝑝3

Teoria

Dois vetores u e v de um espaço vetorial V são ortogonais, se, e somente se,u . v = 0.

Um conjunto de vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ⊂ 𝑉 é ortogonal se dois vetoresquaisquer, distintos, são ortogonais.

TeoremaUm conjunto ortogonal de vetores não-nulos A = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 élinearmente independente.

TeoriaUma base 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 de 𝑉 é ortogonal se dois vetores quaisquer,distintos, são ortogonais.

Assim, se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a doisortogonais, constitui uma base ortogonal.

Uma base B = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 de 𝑉 é ortonormal se B é ortogonal e todos seusvetores são unitários.

a) 𝐵 = 1,0 , (0,1)

b) 𝐵 =1

3,

1

3,

1

3, −

2

6,

1

6,

1

6, 0, −

1

2,

1

2

Exemplo 3

Consideremos, no IR3 o produto interno usual. Para que valores de m os vetores

u e v são ortogonais?

a) 𝑢 = (3𝑚, 2, −𝑚) e 𝑣 = (−4,1,5)

b) 𝑢 = (0, 𝑚 − 1,4) e 𝑣 = (5, 𝑚 − 1, −1)

TeoriaSe 𝑆1 e 𝑆2 são subconjuntos não vazios de um espaço vetorial euclidiano 𝑉,diz-se que 𝑆1 é ortogonal a 𝑆2, se qualquer vetor 𝑣1 ∈ 𝑆1 é ortogonal aqualquer vetor 𝑣2 ∈ 𝑆2.

Os conjuntos são ortogonais com relação ao produto interno usual do IR3?

𝑆1 = 0,1,2 , (0,2,4) e 𝑆2 = 1, −2,1 , 2, −2,1 , (4,6, −3)

Teorema

Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano e 𝐵 = 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, … , 𝐯𝐩 uma base de um

espaço S de 𝑉, gerado por 𝐵.Se um vetor 𝐮 ∈ 𝑉 é ortogonal a todos os vetores da base 𝐵, então 𝐮 éortogonal a qualquer vetor do subespaço 𝑆 gerado por 𝐵.

Teoria

Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano e 𝑆 um subespaço vetorial de 𝑉. O subconjunto de Sformado pelos vetores que são ortogonais a 𝑆 é chamado complemento ortogonal de 𝑆.

𝑆⊥ = 𝐯 ∈ 𝑉 𝑣 ⊥ 𝑆

𝑃1) 𝑆⊥ é subespaço de 𝑉.

𝑃2) Se 𝑆 é subespaço vetorial de 𝑉, então 𝑉 = 𝑆 ⊕ 𝑆⊥.

Exemplos

a) V = 𝐼𝑅3 com produto interno usual e 𝑆 = (0,0, 𝑐) 𝑐 ∈ 𝐼𝑅

b)V = 𝐼𝑅2 com produto interno usual e 𝑆 = (𝑥, 𝑥) 𝑥 ∈ 𝐼𝑅