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Relatório Técnico Final
Investigação Cinética de Modos Geodésicos de
Baixas Frequências em Plasmas Magnetizados
Autor: Reneé Jordashe Franco Sgalla
Orientador: Artour Grigorievich Elfimov
Co-orientador: Ricardo Magnus Osório Galvão
Dedicatória
Dedico esta tese à minha querida esposa, Mila Silva Costa, que sempre me apoiou em minhas
atividades acadêmicas, à minha filha, Helena Costa Sgalla, a quem espero conseguir deixar uma
herança de conhecimentos para toda a vida e aos meus pais, Remo Sgalla e Maria Alice Franco
Sgalla, a quem devo todas as minhas conquistas pessoais e profissionais.
1
Agradecimentos
A realização deste trabalho não foi fruto somente do meu esforço e da minha dedicação, mas
também da colaboração de pessoas e instituições às quais devo sinceros agradecimentos.
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científicio e Tecnológico (CNPq) pelo
apoio financeiro, por meio da bolsa “Doutorado Pleno (GD)”, que me foi concedido durante
o presente programa de doutoramento. O referido apoio me proporcionou, além de condições
financeiras essenciais, motivação suficiente para poder levar este trabalho adiante e, em conse-
quencia deste, os próximos que provavelmente se seguirão.
Em especial, a minha querida esposa, Mila Silva Costa, devo meu mais sincero reconheci-
mento pelo apoio emocional que, desde o final do meu mestrado, tem sido de inestimável ajuda
para seguir adiante em minha carreira acadêmica. Também reconheço a ajuda prestada por ela
quanto à revisão gramatical e estilística da escrita desta tese.
Agradeço também a minha filha, Helena Costa Sgalla, pela motivação para continuar adi-
ante, principalmente nos momentos mais difíceis, que não foram poucos.
I
Sumário
Lista de Figuras V
Lista de Tabelas V
1 Introdução 1
1.1 Energia para futuras gerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O confinamento do plasma no tokamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 O princípio de confinamento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Degradação do confinamento em tokamaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Motivação e resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Frequência dos modos acústicos geodésicos (GAMs) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Organização desta tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Capítulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Física de tokamaks 12
2.1 Comprimentos e tempos característicos do plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Campo magnético e equilíbrio no tokamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Difusão e transporte em tokamaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Movimento de partículas e velocidade do centro guia . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Teoria cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Análise da equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 A equação girocinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.3 Equação cinética de deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Teoria de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Teoria de dois fluidos e as equações de Braginskii . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Teoria da magneto-hidrodinâmica (MHD) ideal . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Aplicação de GAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II
3 Modelo de fluido para fluxos zonais e modos acústicos geodésicos 37
3.1 Modelo da magnetohidrodinâmica (MHD) ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Equilíbrio com rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Rotação toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Rotação poloidal e toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Sistema de equações perturbadas e relação de dispersão . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Fluxos zonais (ZFs) e modos acústicos geodésicos (GAMs) . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Efeito de rotação nos GAMs e ZFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 Efeito da rotação toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.2 Efeito da rotação poloidal e toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Discussão sobre o índice adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Modelo de dois fluidos com viscosidade paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7.1 Efeito de anisotropia de pressão nos GAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.2 Efeitos diamagnéticos nos GAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Discussão sobre GAMs eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Sumário e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Investigação de modos acústicos geodésicos (GAMs) pelo modelo girocinético 66
4.1 Estudo de GAMs a partir do modelo girocinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1 Limite de fluido com k‖vTi= 0 (q → ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 Limite de fluido com k‖vTifinito (q ≫ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3 Dissipação de Landau em GAMs (ω > k‖vTi) . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Discussão sobre aplicações do modelo girocinético na forma mais geral . . . . . . 76
4.3 Efeitos diamagnéticos e amortecimento de Landau em GAMs . . . . . . . . . . . 77
4.3.1 Soluções no limite de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.2 Efeito cinético (amortecimento de Landau) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Perfís radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Sumário e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Conclusões e direções futuras 85
5.1 Modelo de fluídos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Modelo cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Propostas para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A Cálculo numérico de parâmetros e grandezas características do TCABR 89
A.1 Constantes da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2 Parâmetros do tokamak TCABR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.3 Grandezas características do tokamak TCABR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III
B Identidades e relações vetoriais 91
B.1 Identidades vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.2 Identidades e teoremas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.3 Identidades envolvendo o operador ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.4 Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano em coordenadas cilíndricas . . . . 92
B.5 Gradiente, Divergente e Rotacional em coordenadas quasi-toroidais . . . . . . . . 93
B.6 Derivativos de versores em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
B.7 Derivativos de versores em coordenadas quasi-toroidais . . . . . . . . . . . . . . . 93
C Obtenção das expressões analíticas referentes à análise de equilíbrio com ro-
tação 95
C.1 Relações envolvendo B e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.2 Relações para V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.3 Cálculo de ∇ · q de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D Derivação de fórmulas usadas no capítulo 3 101
D.1 Relações para B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.2 Cálculo da divergência de π, v, J e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
D.2.1 Relações para velocidades (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
D.2.2 Relações para a densidade de corrente (j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
D.3 Equação de evolução de π‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
D.4 Aproximação para tokamaks de superfícies magnéticas concentricas . . . . . . . . 105
D.4.1 Campo magnético de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
D.4.2 Campo magnético perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
D.4.3 Velocidade e densidade de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
E Solução iterativa das equações perturbadas da MHD ideal 107
E.1 Equações iniciais e solução de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
E.2 Cálculo de F‖, R e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.2.1 Termos de convecção e derivadas angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.2.2 Cálculo de F‖ e Fθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
E.2.3 Cálculo de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
E.2.4 Cálculo de ∇ · q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
E.2.5 Cálculo de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
E.3 Solução sem rotação (primeira iteração) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
E.4 Solução com rotação toroidal (segunda iteração) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
E.5 Rotação poloidal e toroidal (terceira iteração) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
E.6 Relação de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IV
F Cálculo de integrais da função distribuição 117
F.1 Relações envolvendo a distribuição maxwelliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
F.2 Cálculo das integrais na aproximação de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
F.3 Função dispersão de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
F.4 Cálculo das integrais com efeitos cinéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
F.5 Obtenção do limite de fluido a partir das integrais com efeitos cinéticos . . . . . . 123
G Participação em eventos científicos 124
G.1 Cursos internacionais: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
G.2 Produção bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
G.3 Conferências e encontros científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Referências Bibliográficas 132
V
Lista de Figuras
1.1 Esquema de obtenção de energia por meio de fusão termonuclear controlada em
um futuro reator a fusão baseado no tokamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Esquema de um tokamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Gráfico do perfil radial da velocidade de rotação poloidal e toroidal como função
da posição radial no TCABR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Dinâmica de modos acústicos geodésicos (GAMs) em tokamaks. . . . . . . . . . . 51
3.3 Singularidades do denomindador de D(P) para MP ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . 54
VI
Lista de Tabelas
3.1 Frequências normalizadas em diferentes regimes de equilíbrio com rotação toroidal 55
4.1 Frequências típicas normalizadas (por vTi/R0) relacionadas a efeitos geodésicos,
acústicos de íons e diamagnéticos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.1 Parâmetros do TCABR no Instituto de Física da Universidade de São Paulo
(IFUSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.2 Frequências e parâmetros característicos para o tokamak TCABR . . . . . . . . . 90
VII
Resumo
Esta é uma versão praticamente competa da tese de doutorado cujo térmio depende apenas
das revisões finais que se seguirão após o términio do capítulo 4, 5 e do resumo. Estimamos
o prazo máximo de duas semanas para a realização destas atividades e o prazo mínimo de
aproximadamente 5 dias.
Nesta tese, depois da introdução, na qual mostramos a motivação para este trabalho, apre-
sentamos de forma geral a física de tokamaks e dos modelos de fluido e girocinético, os quais
constituem a base para os capítulos 3 e 4, onde estes modelos são aplicados. Com o uso destes
modelos, invesgigamos modos de baixas frequências e, em especial, modos acústicos geodésicos
(GAMs), na presença de rotação de equilíbrio poloidal e toroidal e de efeitos diamagnéticos
provenientes dos gradientes de densidade e temperatura do plasma. Estes tópicos possuem um
profundo impacto no controle de transporte turbulento em tokamaks, o qual degrada o confina-
mento e, consequentemente, limita as possibilidades de obtenção de energia por meio de fusão
termonuclear controlada.
Capítulo 1
Introdução
Nesta introdução, inicialmente, discutimos aspectos sobre a questão da produção de energia
para o consumo humano e, ainda neste contexto, apresentamos a proposta da fusão termonuclear
controlada como meio alternativo para superar a maioria dos problemas da área de energia. O
princípio de confinamento do plasma no tokamak e alguns dos principais desafios da física de
tokamaks são elucidados em seguida.
Na terceira seção, na qual as principais referências relacionadas ao tema desta tese foram
inseridas, apresentamos a motivação para este trabalho, que tem como principal objetivo inves-
tigar modos acústicos geodésicos (GAM1). Finalmente, a forma como esta tese está organizada,
os assuntos de que trata cada capítulo e o conteúdo dos apêndices são apresentados de forma
resumida na última seção.
1.1 Energia para futuras gerações
Há algumas décadas atrás, quando o aquecimento global não era considerado um problema
em potencial e, além disso, as reservas naturais de petróleo e carvão eram consideradas garantia
de energia suficiente por um longo período, métodos alternativos de produção de energia, tais
como energia solar, eólica, geotérmica, etc... não tinham tanta força para prevalecer na prática.
Atualmente, entretanto, a ameaça de possíveis mudanças negativas no planeta, provocadas
principalmente pelo aquecimento global, tem sido considerada uma preocupação para cientistas
e ambientalistas no mundo inteiro. Ademais, sinais de escassez de recursos naturais e o aumento
do consumo de energia, principalmente devido ao desenvolvimento tecnológico e ao aumento da
população mundial, mostram-se cada vez mais evidentes, de forma que a busca por formas
alternativas de produzir energia com um mínimo de impacto ambiental vem ganhando força em
diversos países, inclusive na mídia.
Contudo, é possível, considerando algumas estimativas, que as atuais formas de energia
1Geodesic Acoustic Modes
1
limpa e renováveis não possam suprir a demanda causada pelo aumento do consumo de energia
que certamente ocorrerá nas próximas décadas. Por esta razão torna-se imprescindível o desen-
volvimento de novos mecanismos de produção de energia e, em particular, da energia por meio
de fusão termonuclear controlada, que é uma solução em potencial para o problema. Isto se
deve ao fato de que, além de não haver impacto ambiental e, a longo prazo, o custo de obtenção
dos combustíveis a serem utilizados na reação de fusão se tornar baixo, a grande quantidade de
energia que poderá ser produzida e a facilidade de instalação são vantagens decisivas. Quanto às
questões sobre a produção de resíduos radioativos e ao risco de acidentes nucleares, considerados
de suma relevância quando se trata de reatores a fissão nuclear, o tempo de armazenamento
destes resíduos para que não causem danos ao meio ambiente é bem menor no caso da fusão e,
além disso, o impacto de um improvável acidente não se estenderia a proporções maiores do que
o local de instalação do reator, ao contrário do que ocorreu no passado com reatores a fissão.
Com base nestes argumentos, acredita-se que a energia a fusão é a solução mais eficaz no que
se refere à produção de grande quantidade de energia de forma sustentável com um mínimo
de impacto ambiental. Entretanto há muitos desafios tanto na física como na engenharia não
superados ainda que impedem a obtenção de energia por meio de fusão. Com o objetivo de
superar estes desafios, pesquisas em diversos dispositivos de confinamento de plasma vêm sendo
realizadas ao longo do tempo e, atualmente, acredita-se que o tokamak2, inventado por [1], é
o dispositivo mais propenso a ser utilizado na primeira usina de energia a fusão. Tokamaks
localizados em diversas partes do planetas [2] vêm sendo construídos ao longo de décadas, após
a segunda guerra mundial, com a finalidade de promover a pesquisa em física de plasmas com
o objetivo de superar os desafios que impedem a obtenção de energia por meio de fusão.
O processo para obtenção de energia elétrica por meio fusão nuclear, ilustrado na figura 1.1,
consiste em produzir e confinar um plasma constituído por deutério (D) e Trítio (T), isótopos
do hidrogênio, mantendo-o a determinados valores de temperatura e de densidade, mas ainda
assim, de maneira estável, de forma que possa ocorrer com frequência a seguinte reação:
D + T → 4He (3.5 MeV) + n(14.1 MeV). (1.1)
Em uma fase inicial do desenvolvimento de reatores a fusão, por ser uma das reações nu-
cleares mais simples de se realizar, a reação expressa em (1.1) seria utilizada ao invés de outras
mais efetivas. A razão da maior facilidade desta reação reside no valor mínimo da temperatura
para vencer a barreira coulombiana e, por esta razão, uma vez que a elevação da temperatura no
plasma implica em maior dificuldade para estabilizá-lo, o uso da reação entre deutério e trítio é
justificada no início da nova era da tecnologia de fusão.
Nêutrons energéticos provenientes do plasma, ao atingirem a camada de Lítio (Li), que
reveste as paredes internas do tokamak, transfeririam sua energia, na forma de calor, a uma
2O nome tokamak é proveniente de “toroidalnaya kamera magnitnaya katushka”, que em russo significaCâmera toroidal envolvida por bobinas magnéticas.
2
tubulação de água corrente com a produção de vapor a alta pressão como consequência deste
processo. Este vapor seria então utilizado para acionar um gerador de eletricidade que, por sua
vez, abasteceria a rede elétrica das cidades. A função da camada de Li no tokamak, disposta
em uma manta, é fornecer átomos de trítio ao plasma, de acordo com a reação:
6Li + n → 4He + T + 5 MeV. (1.2)
De maneira global, neste processo de várias etapas de transformação de energia, o resultado
líquido seria transformar a energia nuclear contida nos átomos de deutério e de trítio em energia
elétrica e, liberando como resíduo desta transformação gás Hélio, que poderia ser liberado ao
meio ambiente sem o prejuízo de nenhum impacto ambiental, uma vez que este gás é inerte
e estável. Apesar da enorme quantidade de energia que poderia ser conseguida com baixas
quantidades de Deutério e de Lítio, abundantes na natureza, o risco de acidentes nucleares é
baixo e o impacto ambiental praticamente inexiste.
O maior desafio, no entanto, consiste em conseguir manter o plasma confinado nas condições
necessárias para que reações de fusão possam ocorrer. Diversas instabilidades e processos de
dissipação, que ocorrem durante o processo de confinamento do plasma, impedem que este confi-
namento dure tempo suficiente para que o tokamak possa ser usado como um reator nuclear. Em
particular, há o mecanismo de transporte, no qual partículas e energia do plasma são perdidas
rapidamente, degradando, assim, o confinamento. A dificuldade de manter o plasma confinado
por longos períodos, entre outros aspectos, é a principal razão que impede o prosseguimento do
programa de energia à fusão e, por esta razão, uma intensa atividade de pesquisa vem sendo
desenvolvida com o intuito de superar estas dificuldades.
1.2 O confinamento do plasma no tokamak
1.2.1 O princípio de confinamento magnético
O plasma permanece confinado no tokamak quando ocorre o equilíbrio entre a força devida
ao gradiente de pressão cinética e a força magnética3, de acordo com a equação
∇p = J × B, (1.3)
onde p é a pressão cinética do plasma e J = µ−10 ∇ × B é a corrente produzida pelo campo
magnético (B) e pelo gradiente de pressão. A primeira força, devida a pressão do plasma, é
uma consequência natural do comportamento de gás apresentado pelo plasma e ocorre devido
às frequentes colisões a que estão sujeitas as partículas que compõem o plasma. Em oposição
a esta, a força magnética, que age no sentido de confinar o plasma, é produzida pela interação
3É comum também utilizar a formulação em termos da pressão magnética (B2/2µ0)
3
D
T
n
Fusao
Energia
He
Tokamak
Plasma
Rede eletrica
Gerador
Transformador Vapor de agua
Agualıquida
Figura 1.1: Esquema de obtenção de energia por meio de fusão termonuclear controladaem um futuro reator a fusão baseado no tokamak.Obs: Adaptação a partir das figuras originais provenientes das seguintes fontes:http://iter.rma.ac.be/en/sustain/FusionPlant/index.php (Acessado em 14/05/2014)http://www.infoescola.com/quimica/quimica-nuclear/(Acessado em 14/05/2014)
entre o campo magnético e a corrente que percorre o plasma.
No parágrafo que se segue, o mecanismo de confinamento do plasma, a partir da criação
deste, bem como os principais campos magnéticos, correntes e dispositivos mais importantes,
os quais também são mostrados na figura 1.2.1, são descritos.
Em um primeiro momento, o plasma é produzido a partir da ionização do gás neutro (nor-
malmente hidrogênio ou deutério) contido na câmera de vácuo, que ocorre devido à alta tensão
induzida pela transferência da energia contida em um conjunto de capacitores de alta potência
para o enrolamento central. Note que o tokamak age como um transformador, onde a coluna
de plasma, em forma de anel, atua como enrolamento secundário. Após a ionização do gás,
4
Campo magnéticopoloidal (BP )
Bobinatoroidal
Bobinavertical
Campo magnéticotoroidal (BT )
Corrente deplasma (Ip)
aθR0
Colunade
plasma
Figura 1.2: Esquema de um tokamak
ocorre então uma queda brusca na resistividade deste, momento em que o plasma é produzido,
passando a circular, então, uma intensa corrente no plasma, a corrente de plasma (Ip). De-
vido ao efeito Joule o plasma é aquecido a temperaturas estrelares, condição indispensável para
que reações de fusão nuclear, como a mostrada na eq. (1.1), possam ocorrer com frequência.
Nesta etapa do processo, para conter o efeito da forte pressão cinética, que aumenta com a
temperatura, forçando o plasma a se expandir e dificultando, portanto, o confinamento, a força
magnética desempenha um papel essencial. Esta força surge em decorrência da interação entre
as correntes que circulam no plasma e o campo magnético nele presente. Para que haja confi-
namento é necessário que este campo magnético apresente duas componentes: uma na direção
toroidal, BT , produzida externamente pelo enrolamento toroidal, e a outra na direção poloidal,
BP , criada pela própria corrente de plasma. Além da corrente de plasma, na direção toroidal,
o comportamento coletivo do plasma permite o surgimento de uma outra corrente neste, po-
rém, na direção poloidal. Esta corrente surge em consequência da deriva diamagnética devido à
existência de um gradiente (radial) de densidade. Por fim, há ainda um outro efeito indesejável
ao confinamento, o qual justifica a utilidade das bobinas verticais. A coluna de plasma tende
a aumentar seu raio maior em direção à câmera de vácuo, similar ao que ocorre em um anel
de corrente imerso em um campo magnético [3]. Este problema, porém, pode ser facilmente
corrigido por meio de uma corrente controlável que atravessa as bobinas verticais, as quais fo-
5
ram implementadas com o objetivo de criar um campo magnético vertical capaz de controlar a
posição do plasma.
Na literatura há inúmeras referências a respeito da teoria de tokamaks, nas quais detalhes
importantes, do ponto de vista físico, sobre o processo pelo qual o plasma é confinamento
em tokamaks são apresentados. Uma exposição didática, simples e qualitativa, que trata não
somente da física de tokamaks mas também de muitas questões relacionadas à área de energia,
pode ser encontrada em [4]. Para um estudo mais aprofundado, que envolve detalhes algébricos,
algumas das referências mais tradicionais, [2, 3, 5], são recomendadas.
1.2.2 Degradação do confinamento em tokamaks
Após o confinamento do plasma em um primeiro momento, há ainda outros obstáculos, dos
quais mencionamos apenas dois, a serem vencidos para que se possa tornar uma realidade e,
portanto, proporcionar um enorme avanço científico à possibilidade de obtenção de energia por
meio de fusão nuclear.
Primeiramente, há de se considerar a impossibilidade de o tokamak agir como transformador
por muito tempo, o que manteria a corrente de plasma (essencial para o confinamento), pois,
para isso, o valor da tensão aplicada ao enrolamento central teria que crescer constantemente
por um longo período, o que é impossível do ponto de vista prático. Entretanto é essencial a
presença da corrente de plasma para o confinamento, o que requer uma solução alternativa para
o problema. Constitui uma das linhas de pesquisa em plasmas de tokamaks o desenvolvimento
de mecanismos capazes de manter a corrente de plasma e aquecer o plasma. Tais mecanismos
se baseiam na excitação de ondas no plasma e na transferência de partículas neutras a este
por meio de dispositivos auxiliares. Em particular, com a descoberta de ondas de Alfvén [6], a
geração de corrente e o aquecimento do plasma têm sido uma área de pesquisa ativa em muitos
tokamaks e, especialmente, faz parte dos projetos do TCABR4 [7].
Um outro grande obstáculo para a área de plasmas de fusão é o transporte de partículas,
energia e calor que ocorre no plasma, degradando rapidamente o confinamento. Especial ênfase
deve ser dada ao transporte anômalo (ou turbulento), o qual é muito maior do que o transporte
clássico que ocorre em gases neutros. Entretanto, com a descoberta de um novo regime de
confinamento, também conhecido como modo H5 [8], houve uma significativa contribuição para
o desenvolvimento de tokamaks, em especial o ITER6 [9]. No modo H, forma-se um forte
gradiente de pressão em certa região do plasma, também conhecido como barreira de transporte
4O Tokamak Chauffage Alfvén Brasilien (TCABR) fica localizado no Instituto de Física (IF) daUniversidade de São Paulo (USP), no Brasil.
5High (confinement)6O International Thermonuclear Experimental Reactor (ITER) é o primeiro reator a fusão (em cons-
trução ainda) baseado na tecnologia de tokamaks. Localizado em Cadarashe, na França, ele esta sendoprojetado para produzir 500 MW de potência.
6
(TB7), pois o transporte turbulento é significativamente reduzido nesta região. Com relação ao
processo de turbulência no plasma, que contribui significativamente para o transporte anômalo,
descobriu-se a ocorrência de determinados modos no plasma, os modos acústicos geodésicos
(GAM), também conhecidos por fluxos zonais (ZF) de alta frequência, que são capazes de
suprimir um tipo especial de turbulência: turbulência de ondas de deriva (DWT8). A excitação
e identificação experimental de GAM em tokamaks, bem como a compreensão do processo de
auto-organização responsável pela supressão de turbulência, tem sido alvo de intensa pesquisa
teórica e experimental [10, 11].
1.3 Motivação e resultados obtidos
Modos geodésicos de baixas frequências, em especial GAM, têm sido alvo de intensa inves-
tigação, teórica e experimental, não somente devido ao seu papel na supressão de transporte
turbulento em tokamaks [10, 12], mas também devido a sua relação com auto-modos de Alf-
vén induzidos pela pressão (BAE9) [13–17]. A observação da atividade magneto-hidrodinâmica
(MHD10) devido a modos geodésicos pode ter também aplicações diagnósticas, especialmente
no que se refere à espectroscopia em MHD [18]. O estudo de BAE é de fundamental importância
na investigação da turbulência de fundo, na geração de turbulência e, em espectroscopia MHD,
para diagnosticar o fator de segurança, q, [19, 20]. No que se refere à verificação experimental
dos GAM, importantes experimentos em diferentes tokamaks [21–24] não só confirmaram a sua
existência mas também revelaram aspectos crucias com relação a sua localização e intensidade.
A principal motivação desta tese reside no objetivo de contribuir, ainda que indiretamente,
com resultados teóricos, qualitativos e quantitativos, que ajudem a compreender melhor o com-
portamento de GAMs e o mecanismo de supressão de turbulência em tokamaks. A compreensão
deste mecanismo, bem como o estudo de transporte anômalo pertencem a um conjunto de desa-
fios científicos a serem superados para o desenvolvimento do primeiro reator a fusão nuclear e,
por isso, podem desempenhar um papel de importância econômica, social e ecológica em escala
global no futuro.
Neste sentido, por considerarmos um tema muito importante, investigamos diversos efeitos
nos GAM [25], os quais, pelo fato de estarem diretamente ligados à DWT, têm sido alvo de
intensa pesquisa teórica e experimental em tokamaks. Segue abaixo uma breve discussão sobre
estes efeitos e os principais resultados decorrentes que obtivemos:
• Rotação de equilíbrio: Causada pela presença de um campo elétrico radial de equilí-
brio e gradientes de temperatura e densidade, tem sido investigada principalmente devido
7Transport Barrier8Drift wave turbulence9Beta induced Alfvén Eigen-modes
10Magnetohydrodynamics
7
a sua ocorrência durante a formação da barreira de transporte (TB) no regime de confina-
mento melhorado (ou modo H) [8]. Investigamos a influência de rotação poloidal e toroidal
na frequência dos modos GAM (capítulo 3) a partir do modelo da MHD ideal (resisti-
vidade nula) para um fluido. Foram considerados três tipos de equilíbrio: adiabático,
isotérmico e isométrico (ou isocórico), os quais são descritos abaixo:
– Equilíbrio adiabático: Por estar no regime característico da propagação de ondas
de som, não somente em plasma mas também em fluidos neutros, assim como espe-
rado, influencia diretamente a frequência dos GAM, no sentido de aumentar esta,
conforme a eq. (3.121)), não importando o sentido da rotação. Apenas para o caso
específico em que há rotação poloidal – é importante mencionar a inexistência de
equilíbrios com rotação puramente poloidal – há uma segunda solução, mostrada na
eq. (??), que corresponde ao ramo sonoro de íons, e cuja frequência normalizada, da
ordem do inverso do fator de segurança (q−1) em relação à frequência dos GAM, se
encontra no valor intermediário entre o ramo dos GAM e dos ZF. Este último ramo,
de frequência nula normalmente, não tem sua frequência alterada exclusivamente
para este equilíbrio, o que indica que o fluxo de calor (q) desempenha um papel
importante no mecanismo de formação dos ZF.
– Equilíbrio isotérmico: É o mais coerente com a realidade de plasmas em toka-
maks, pois, devido à pequena massa dos elétrons, qualquer variação de temperatura
em superfície magnética é rapidamente anulada por eles. O aparecimento de ZF
estáveis, porém de frequência finita, quando há rotação poloidal, é a principal con-
sequência deste tipo de equilíbrio, no qual fluxo de calor perpendicular, devido ao
gradiente radial de temperatura, deve ser considerado.
– Equilíbrio isométrico (ou isocórico): Permite a presença de fluxos zonais (ZF)
instáveis, mesmo para o caso de rotação exclusivamente toroidal [26], o que, de
certa forma, confirma a relação destes com fluxos imcompressíveis no plasma. Uma
das inovações desta tese foi investigar o efeito do equilíbrio isométrico com rotação
poloidal nos ZF.
Em resumo, ao considerarmos diferentes equilíbrios com rotação encontramos três solu-
ções, com valores de frequências distintos e característicos de fenômenos físicos diferentes
que ocorrem no plasma. Tais fenômenos decorrem de características peculiares do plasma
e do tokamak, as quais estão relacionadas à curvatura geodésica do campo magnético no
tokamak, à propagação de ondas típica de fluidos, ao importante parâmetro do tokamak
conhecido como fator de segurança e à condição de compressibilidade ou incompressibili-
dade que o plasma assume.
8
• Efeitos diamagnético (ou efeitos de derivas11): Efeitos causados por gradientes
de densidade e temperatura de equilíbrio em modos geodésicos de baixas frequências,
foram investigados nesta parte (capítulos 3 e 4). Nossos objetivos são apresentar os
mecanismos físicos envolvidos nas oscilações dos GAM, expor o conteúdo da forma mais
simples e compreensível possível e incluir efeitos cinéticos. Para atingir tais objetivos
utilizados dois modelos, o modelo de fluidos e o modelo giro-cinético, de forma que a
consistência física proporcionada pelo modelo de fluido e a maior generalidade do modelo
cinético contribuam para nossa meta. Ao considerar o efeito da deriva diamagnética
e o efeito de rotação de equilíbrio nos GAM, pudemos observar que estes efeitos estão
relacionados. Aspectos relativos a esses dois modelos e os resultados decorrentes de seu
uso são mostrados a seguir:
– Modelo de dois fluidos: Este modelo é diferente do modelo da MHD ideal, con-
siderado anteriormente, por duas razões: primeiro, os dois fluidos característicos,
de íons e de elétrons, são considerados em regimes distintos e, segundo, devido à
interação entre as partículas do plasma e o campo magnético macroscópico pre-
sente neste, a diferença entre a pressão paralela e a perpendicular (relativamente ao
campo magnético de equilíbrio), deve ser considerada, com a inclusão do tensor de
viscosidade paralela [27], por exemplo, para a obtenção de resultados condizentes
com a teoria cinética. Em favor da simplicidade e do didatismo, na exposição do
capítulo 3 consideramos o limite q → ∞, enfatizando, assim, apenas duas questões:
o efeito dos gradientes de densidade e de temperatura nos modos correspondentes
ao ramo geodésico (GAM) e ao ramo de mais baixa frequência (ZF) e, devido à
anisotropia da pressão perturbada, a correção do coeficiente adiabático efetivo do
fluido de íons(γ(ef)i = 5/3 → 7/4).
– Modelo giro-cinético: Tem como metodologia, assim como qualquer modelo ci-
nético, obter a função distribuição das partículas que compõem o plasma a partir
da resolução da equação de Vlasov (sem o termo de colisões) [28]. Porém, especi-
ficamente para este modelo, a presente equação é desenvolvida previamente a sua
resolução a partir da teoria giro-cinética [29], que é apresentada no capítulo 2 e
aplicada, na forma deste modelo, no capítulo 4. Com a utilização desse modelo
para incluir efeitos diamagnéticos em modos de baixas frequências, obtivemos três
soluções similares às obtidas pela incorporação de rotação de equilíbrio no modelo
da MHD ideal (capítulo 3), de forma que propomos, nesta tese, uma alternativa,
em princípio, para o estudo de efeitos da rotação de equilíbrio em modos de bai-
xas frequências, quando este estudo for complexo em modelos cinéticos. A solução
no ramo sonoro, obtida quando se considera q finito, assim como o amortecimento
11Drift effects
9
de Landau dos modos pertencentes aos três ramos foram obtidos no capítulo 4.
Entre as principais consequências causadas pelo amortecimento de Landau, está a
deformação da função distribuição de íons e a diminuição do potencial eletrostático
perturbado com o tempo, impactando negativamente no confinamento com a extin-
ção dos GAM. Descoberto por L. D. Landau [30], o mecanismo de amortecimento
ou crescimento exponencial de uma onda eletromagnética, mesmo em plasmas não
colisionais, também conhecido como amortecimento de Landau, é uma consequência
da interação onda-partícula que ocorre no plasma devido à presença de partículas
com velocidades próximas às da velocidade de fase da onda.
1.4 Frequência dos modos acústicos geodésicos (GAMs)
A primeira expressão analítica para a frequência dos GAM [25], a qual foi obtida a partir do
modelo da MHD ideal, no qual se considera o plasma como um fluido único de índice adiabático
γ = 5/3, pode ser escrita como:
ω2gam(MHD) =
(
2 +1
q2
)
γT
mi, (1.4)
onde T = Ti + Te é a temperatura do plasma, Ti e Te são, respectivamente, a temperatura de
íons e de elétrons e mi é a massa dos íons (no caso de plasma de hidrogênio).
Posteriormente, em estudos hidrodinâmicos [31], estes modos também foram encontrados
e, após algumas décadas, a partir da teoria cinética [17, 32, 33], considerando efeitos adicionais
(explicado ao longo desta tese), a expressão cinética obtida para a frequência dos GAM foi:
ω2gam(K) = 2
(
γ(ef)i + γe
Te
Ti+O(q−2)
)
Ti
mi, (1.5)
onde γ(ef)i = 7/4 é o índice adiabático efetivo para íons e γe = 1 é o índice adiabático para
elétrons. Uma derivação alternativa, [34], a partir da teoria de dois fluidos, considerando íons
no regime de fluido (γi = 5/3) e elétrons no regime adiabático e isotérmico, com γe = 1,
mostrou ser possível recobrar o resultado cinético (eq. (1.5)) a partir da teoria de dois fluidos.
Em tal resultado a diferença entre os coeficientes adiabáticos efetivos de íons e de elétrons se
deve à enorme diferença entre as massas destas duas espécies, a qual faz com que a resposta
dos elétrons às perturbações seja imediata enquanto os íons, por responderem mais lentamente,
ficam sujeitos ao efeito da inomogeneidade da pressão devido a presença do campo magnético. O
efeito da anisotropia de pressão em questão pode ser descrito por meio do tensor de viscosidade
paralela (π‖) nas equações de fluido [27,34,35], conforme explicado nos capítulos 2 e 3.
10
1.5 Organização desta tese
1.5.1 Capítulos
Esta tese é composta por 5 capítulos e 8 apêndices cujos assuntos são sucintamente descrito
a seguir. No capítulo 2 os principais modelos físicos, provenientes da teoria de fluidos e teoria
cinética aplicadas a plasmas magnetizados, são revisados, frequências e comprimentos caracte-
rísticos fundamentais e parâmetros de plasmas em tokamaks são definidos e, por fim, um breve
resumo sobre a teoria de transporte em tokamaks é apresentado. A generalidade do conteúdo,
que precede a especificidade dos próximos capítulos, é uma característica deste capítulo que tem
por objetivo a revisão de conceitos fundamentais importantes. Em seguida, a partir do modelo
da MHD ideal e do modelo de dois fluidos, no capítulo 3, apresentamos o estudo de modos
acústicos geodésicos (GAM) e fluxos zonais (ZF). Rotação de equilíbrio e efeitos diamagnéticos
são considerados neste capítulo. Já a investigação cinética, principal tema desta tese, de efeitos
diamagnéticos e a influência do amortecimento de Landau nos GAM são o conteúdo do capítulo
4. Por fim, no (último) capítulo 5 apresentamos as conclusões científicas desta tese, propostas
para continuação da presente linha de pesquisa e breves projetos para trabalhos futuros.
1.5.2 Apêndices
Os apêndices A e A.2, destinados à consulta, contêm, respectivamente, algumas constantes
fundamentais da física e medidas das principais grandezas de tokamaks de nosso interesse:
TCABR, JET12 e ITER. Identidades importantes, deduções de expressões úteis e longos cálculos
algébricos, utilizados principalmente no capítulo 3, são apresentados nos apêndices B, D e D.4,
respectivamente. Referentes ao capítulo 4, seguem os apêndices ?? e F, que compreendem a
dedução de longas expressões e o cálculo de integrais relacionadas à função Maxwelliana e à
função dispersão de plasma. Com o intuito de facilitar a leitura, mostramos no apêndice ??
as siglas utilizadas ao longo desta tese, bem como seus significados originais em inglês e a
respectiva tradução para o português. Estas siglas são frequentemente utilizadas na literatura
científica da área e, por esta razão e para encurtar o texto, primamos pelo seu uso. Finalmente,
no apêndice G, eventos (conferências, encontros, escolas, etc...), colaborações e publicações
realizados durante o período de pós-graduação (Mestrado e Doutorado), na área de física de
plasmas, são resumidamente descritos.
12Joint European Torus (JET) é o maior tokamak em operação. Localiza-se em Oxfordshire, no ReinoUnido.
11
Capítulo 2
Física de tokamaks
Este capítulo destina-se a discussão de alguns dos tópicos da física de tokamaks, cujo con-
teúdo será aplicado aos modos específicos de que tratamos nos próximos capítulos. Apresenta-
mos um texto de referência, de caráter mais geral, no sentido em que as teorias aqui tratadas,
já bem estabelecidas na área de física de plasmas, são capazes de descrever inúmeros processos
e mecanismos físicos que ocorrem em plasmas. Uma descrição e as definições de grandezas fun-
damentais do plasma, tais como comprimentos e tempos característicos, como ponto de partida
para este capítulo, antecedem temas de fundamental importância para a compreensão desta
tese, os quais se referem a estrutura do campo magnético e ao mecanismo de transporte de
partículas e de energia em tokamaks. A teoria cinética de partículas carregadas e a formula-
ção macroscópica de fluidos, descrita em termos de modelos utilizados posteriormente a este
capítulo, são apresentados em seguida.
Por questões de simplicidade, consideramos apenas plasmas de hidrogênio, não levando em
conta reações de fusão, de forma que Z = 1 é adotado ao longo de toda a tese. O plasma é
composto por apenas dois (duas) fluidos (espécies de partículas), indexados(as) por α = i, e
(íons, elétrons). Também, como é comum em grande parte da literatura em física de plasmas,
adotamos a prática de suprimir a constante de Boltzmann (k), cujo valor é mostrado no apêndice
A, de forma que a substituição: kT → T foi utilizada ao longo desta tese.
2.1 Comprimentos e tempos característicos do plasma
A seguir, discutimos e definimos alguns dos comprimentos e tempos característicos (ou seus
inversos, as frequências características) presentes em plasmas de tokamak. Uma discussão mais
detalhada dos assuntos tratados aqui é apresentada por F. F. Chen [36].
12
Iniciamos nossa discussão pela frequência ciclotrônica , a qual pode ser definida1 como
ωcα =eB
mα, (2.1)
onde e é a carga elementar, mα é a massa da partícula do tipo α e B é o campo magnético. A
frequência ciclotrônica é uma medida média da rapidez do movimento das partículas em torno
das linhas de força. É importante notar que, como me ≪ mi, ωce = (mi/me)ωci ≫ ωci .
Adotando a concepção de fluidos de íons e de elétrons, caracterizados por temperaturas
próprias, Ti e Te, é conveniente definir a velocidade térmica2:
v2Tα=
2Tα
ms, (2.2)
onde vTe≫ vTi
, pois normalmente Ti ∼ Te e vTe= (Te/Ti)(mi/me)vTi
.
A velocidade térmica e a frequência ciclotrônica se relacionam por meio de uma grandeza
conhecida como raio de giração ou raio de Larmor , que representa o comprimento ca-
racterístico dos raios das orbitas de partículas em torno das linhas de força, o qual é definido
como:
ρα =vTα
ωcα
. (2.3)
Como ρe ∼√
me/miρi ≪ ρi, o efeito de raio de Larmor finito (FLR3) para elétrons não de-
sempenha um papel importante em modos de baixas frequências e, por esta razão, consideramos
ρe ∼ 0 nos capítulos 3 e 4.
Além da velocidade térmica, há duas outras velocidades de particular interesse para o estudo
de modos de baixas frequências em plasmas magnetizados. A primeira delas é a velocidade de
Alfvén ,
cA ŠBõ0nimi
, (2.4)
presente no estudo de ondas de Alfvén (AW4) [6], que possui importantes aplicações em plasmas,
entre elas a determinação da geometria do campo magnético [37]. Estes tipos de onda, que
possuem uma ampla gama de classificação, surgem devido a perturbações do campo magnético,
que também são referidas e classificadas na literatura como tensão (compressão ou torção das
1Alguns autores adotam a definição alternativa: ωcα = eαB/mα, de forma que, para elétrons, ee =−e, a frequência ciclotrônica torna-se negativa. Ao optarmos pela convenção de frequências semprepositivas, ressaltamos, entretanto, a necessidade de maior atenção nos cálculos algébricos.
2Definimos a temperatura em termos da energia cinética média, Kα = mαv2
Tα
/2 = Tα, porém adefinição v2Tα
= Tα/mα também é bastante empregada na literatura.3Finite Larmor Radius4Alfvén Waves
13
linhas de força). A segunda velocidade de interesse, que é bastante utilizada ao longo desta tese,
é a velocidade de som no plasma, que se relaciona à temperatura, densidade (ρ) e pressão (p)
por:
cs ≈√
γiTi + γeTe
mi=
√
γp
ρ∼ vTi
, (2.5)
onde γi e γe são os coeficientes adiabáticos de íons e de elétrons. Devido a naturesa da massa
destas partículas, a atribuição de valor mais razoável para estes coeficientes é γi = 5/3 e γe = 1,
entretantanto valores diferentes destes também podem ser considerados. O uso de γ, o índice
adiabático total, é feito dentro do contexto da teoria de um fluído, a qual é discutida mais
adiante em 2.6.2.
A razão quadrática entre as velocidades de som e de Alfvén possui a mesma ordem de
grandeza de um importante parâmetro para o confinamento de plasmas em tokamaks, o fator
beta , que é definido como a razão entre as pressões cinética (p) e magnética(B2/2µ0), ou seja,
c2sc2A
∼ β
2γ, β =
2µ0p
B2. (2.6)
Em muitos modelos, como os que apresentamos nesta tese, considera-se regimes de baixa
pressão, caracterizado por β = O(ε2), onde ε = r/R0 é a razão entre a posição radial e o raio
maior do tokamak. Em tais regimes, no modelo MHD ideal é justificável desprezar perturba-
ções magnéticas no estudo de modos de baixas frequências [25, 38, 39]. Também é pertinente
considerar, neste tipo de estudo, a condição de quasi-neutralidade, a qual se aplica a fenômenos
de comprimentos característicos muito maiores do que o comprimento de Debye , que pode
ser definido como:
λ2Dα
=ε0Tα
nαe2. (2.7)
Em comprimentos menores do que λDαocorrem oscilações de elétrons/íons em resposta à
presença de campo elétrico e o plasma deixa de ser neutro localmente. A frequência destas
oscilações é conhecida como frequência de plasma e, neste contexto, é definida como:
ω2pα =
nαe2
ε0ms. (2.8)
Note que λDαωpα ∼ vTα
, de forma que para frequências ω ∼ vTi/R0, como R0 ≪ λDα
, ω ≪ ωpα
e, neste caso, aplica-se a condição de quasi-neutralidade.
A seguir, uma breve discussão sobre os principais tempos (frequências) característicos(as)
referentes a processos de colisões é apresentada. Em colisões Coulombianas, conforme os modelos
utilizados em [40–43], provenientes da teoria cinética de gases, espera-se que a frequência de
colisões elétron-íon seja νei ∼ niσvTe, onde σ = πb2, é a seção de choque transversal e b é o
14
parâmetro de impacto. A maior dificuldade na determinação desta frequência reside no cálculo
de b. Como referência, adotamos, para o tempo caracteristico de colisão íon-íon e elétron-
íon, os valores mostrados em [43], que, quando considerada a condição de quasi-neutralidade
(ni ≈ ne = n), são dados respectivamente por:
τii =12π3/2ε20ln Λe4n
m1/2i T
3/2i , τei =
1√2
m1/2e
m1/2i
T3/2e
T3/2i
τii. (2.9)
Nestas expressões, Λ ∼ nλ3D é o número médio de partículas dentro de uma esfera de Debye
e ln Λ é um termo conhecido como logaritmo coulombiano [28, 37, 43], cujo valor numérico se
encontra entre 10 e 30.
Neste contexto, o maior dos tempos característicos é o período de colisão íon-elétron,
τie ∼ τeq, onde
τeq =mi
2meτei, (2.10)
dentro do qual ocorre o equilíbrio térmico entre íons e elétrons [37,43]. Observe que existe uma
hierearquia entre as frequências de colisão, νie ≪ νii ≪ νei.
2.2 Campo magnético e equilíbrio no tokamak
No tokamak, o campo magnético de equilíbrio pode ser representado por [44]
B = F∇φ+∇φ×∇Ψ, (2.11)
onde F e Ψ são funções, desconhecidas em princípio, relacionadas com a componente toroidal
(φ) do campo magnético e com o fluxo magnético poloidal (θ). Note que a condição ∇ · B = 0
é automaticamente satisfeita por (2.11).
Quando não há rotação de equilíbrio (V = 0), F = F (Ψ), p = p(Ψ) e a condição de estabi-
lidade do plasma pode ser escrita como
J × B = ∇p, (2.12)
onde J = µ−10 ∇ × B é a densidade de corrente no plasma. De forma equivalente, (2.12) pode
ser representada pela equação de Grad-Shafranov [45,46],
∆∗Ψ+ µ0R2 dp
dΨ+
1
2
dF
dΨ= 0, ∆∗Ψ = R2
∇ ·(
∇Ψ
R2
)
, (2.13)
na qual ∆∗ é um operador elíptico conhecido como operador de Shafranov [44].
A razão entre o raio maior e o raio menor do tokamak é importante parâmetro conhecido
15
como razão de aspecto,
A =R0
a≤ 1
ε, ε =
r
R0. (2.14)
Em tokamaks de secção circular e alta razão de aspecto (ε ≪ 1), a dependência com a posição
poloidal (θ) de Ψ pode ser determianda analiticamente através de (2.13), mas não a dependencia
radial [39,44]. De forma aproximada, obtém-se que Ψ(r, θ) ≈ Ψ0(r)[1 + (∆s(r)/R0) cos θ], onde
∆s(r), ou deslocamento de Shafranov, é uma medida do quando as superfícies magnéticas
se deslocam em relação ao centro da coluna de plasma.
Na presença de rotação de equilíbrio [39], caso que consideramos no capítulo 3, o termo
ρ(V · ∇)V deve ser adicionado ao lado direito de (2.12), o que resulta na equação de Grad-
Shafranov modificada [47,48],
(
1− µ0κ2
ρ
)
∆∗Ψ+ µ0R2
(
dp
dΨ
)
R
+1
2
(
dF 2
dΨ
)
R
− µ0κ∇Ψ ·∇(
κ
ρ
)
+
µ0ρ
2
d
dΨ
(
κ2
ρ2|∇Ψ|2
)
R
= 0, (2.15)
onde κ = κ(Ψ) é uma função de fluxo proporcional à velocidade de rotação poloidal e o índice R
indica que as derivadas com relação a Ψ devem ser calculadas a R constante. Se não levarmos
em conta injeção ou perda de partículas do plasma, a velocidade de equilíbrio pode ser expressa
como
V =κ
ρB − dΦ
dΨR2
∇φ, (2.16)
onde Φ = Φ(Ψ) é o potencial eletrostático de equilíbrio.
A relação entre a componente poloidal e a toroidal do campo magnético é descrita por
um parâmetro amplamente presente em muitos modos importantes do tokamak, o fator de
segurança , que pode ser definido como [42,44,47]:
q = q(Ψ) =B ·∇φ
B ·∇θ=
∫
dθdφ
dθ. (2.17)
Este parâmetro é uma medida da helicidade das linhas de força no plasma e está diretamente
ligado à estabilidade do plasma, que requer que o limite de Kruskal-Shafranov (KS) [49,50],
q > 1, seja satisfeito pelo menos no centro da coluna de plasma. Em tokamaks, o fator de
segurança costuma ser maior na borda (q ∼ 3 ou até mesmo q ∼ 5) do que no centro (q ∼ 1).
Uma outra grandeza importante à estabilidade, diretamente relacionada a este parâmetro, é o
cisalhamento magnético,
s(r) =r
q
dq
dr, (2.18)
16
que adimensionalmente expressa a variação de q com a posição radial. A medida desta grandeza
tem importância fundamental na área de diagnósticos para a determinação do perfil radial de
q.
No estudo analítico de modos de baixas frequências, assim como em modelos neoclássicos,
é possível em muitos casos utilizar a aproximação:
B =B
1 + ε cos θ
(
ε
q(r)eθ + eφ
)
, (2.19)
onde eθ e eφ são versores na direção poloidal e torodial, respectivamente. Em modelos locais,
como é o caso desta tese, em muitos casos podemos desconsiderar o efeito de cizalhamento
magnético.
Note que o campo magnético mostrado em (2.2) é simétrico com relação a φ, mas antisi-
métrico com relação ao ângulo poloidal (θ), sendo maior na parte interna do tokamak (HFS5)
do que na parte externa (LFS6). Apsesar de pequena, esta diferênça, ∆B/B ∼ ε, desempenha
um impacto significativo nos valores dos coeficientes de transporte. No estudo de transporte, os
coeficientes clássicos de transporte, provenientes da teoria de gases neutros e de plasmas mag-
netizados em sistemas simétricos, devem ser substituidos pelos coeficientes neoclássicos, muito
maiores que, em muitos casos, pode chagar a uma ordem de magnitude. Uma breve discussão
sobre transporte em tokamaks é apresentada na seção seguinte.
2.3 Difusão e transporte em tokamaks
Um dos desafios mais importantes da física de plasma confinados magneticamente é o de
reduzir a perda de partículas e energia em tokamaks. Com esta finalidade foram desenvolvidas
teorias de transporte, que consistem essencialmente em determinar os coeficientes D e κ refe-
rentes aos fluxos de partículas e de calor, respectivamente, os quais dependem de gradientes de
densidade e de temperatura, ou seja,
Γ ≈ −D∇⊥n e q ≈ −κ∇⊥T. (2.20)
Em (2.20), D é o coeficiente de difusão e κ é a condutividade térmica. As leis de convservação
de partículas e energia podem ser enunciadas como
∂n
∂t+∇ · Γ = Spart,
3
2
∂T
∂t+∇ · q = Scal, (2.21)
5High field side6Low Field Side
17
onde Spart e Scal representam fontes externas de partículas e de calor. Os fluxos Γ e q são quan-
tidades macroscópicas do plasma que, experimentalmente, são medidos por meio de diagnósticos
e, teoricamente, podem ser estimados. Para o coeficiente de difusão, por exemplo, através de
análise dimensional, podemos estimar D:
D ∼ ν(∆r)2, (2.22)
onde ν é a frequência de colisões e ∆r é o comprimento característico.
A teoria de transporte clássico, que se à geometrica cilíndrica, é discutida em detalhes por
R. Balescu [51]. Já no tokamak, devido ao efeito da geometria deste no campo magnético de
equilíbrio, não há simetria poloidal, fato este ao qual nos referimos como efeito neoclássico e,
desta forma, a teoria de transporte neoclássico [52, 53] deve ser aplicada neste caso. No caso
cilíndrico o raio de Larmor (ρ) representa o comprimento característico para a quantificação da
difusão perpendicular, ou seja,
D⊥ ∼ νρ2, κ⊥ ∼ nνρ2. (2.23)
Em contrapartida, devido a liberdade de locomoção das partículas ao longo do campo magnético,
limitada apenas por colisões, é possível estimar o coeficiente de condutividade de calor paralelo
como,
κ‖ ∼ nνλ2 ∼ ω2c
ν2κ⊥, (2.24)
onde λ = vTα/ν é o livre caminho médio. Como ωc/ν ≫ 1 para plasmas magnetizados, é
possível concluir que o calor se difunde muito mais facilmente ao longo do campo magnético
e, quando o plasma se torna mais colisional, a condutividade paralela diminui enquanto que a
condutividade perpendicular aumenta, fazendo com que o plasma tenda a perder mais energia.
Os parágrafos anteriores não levam em conta a assimetria poloidal do campo magnético, o
que o torna mais intenso no lado interno da coluna de plasma (HFS7) do que no lado externo
(LFS8). Essa assimetria tem influência no movimento do centro guia das partículas, conforme
descrito qualitativamente em [4] e quantitativamente em [42,53]. Em consequência algumas par-
tículas, cuja velocidade paralela é relativamente baixa, não conseguem vencer a barreira do poço
magnético, ∆B/B ∼ ε e, em consequência retornam, porém, em outra superfície magnética.
O resultado desse processo que se repete por alguns ciclos, é que essas partículas apresentam
órbitas irregulares, conhecidas como órbitas de banana, com um deslocamento efetivo estimado
por ∆r ∼ (q/√ε)ρ ≫ ρ. Para o cálculo dos coeficientes de transporte é necessário levar em
conta não somente o movimento das partículas afetando seu deslocamento característico, mas
7High field side - lado de campo maior8Low Field Side - lado de menor campo
18
também sua frequência efetiva de colisões.
Essencialmente, há três regimes fundamentais a ser considerado:
• Pfirsch-Schlüter: Neste regime, também conhecido como regime colisional ou regime de
fluídos, o tempo necessário para que as partículas possam completar uma órbita é maior
do que o tempo de colisão, de forma que as órbitas das partículas são constantemente
interrompidas por colisões. Desta forma, este regime é descrito pela condição: ν/ωtr ≫ 1,
onde ωtr = vT /qR0 é a frequência de circulação. Este regime descreve bem a borda da
coluna de plasma e o coeficiente de difusão perpendicular pode ser estimado como [42,54]:
D(PS)⊥ ∼ q2νρ2, (2.25)
ou seja, da ordem de q2 maior do que o esperado pela teoria clássica.
• Plateau: Neste regime, ε3/2 ≪ ν/ωtr ≪ 1 e as equações de fluído não se aplicam, sendo
necessário o uso da equação cinética de deriva. Trata-se de uma condição intermediária
entre o regime Pfirsch-Schlüter e o regime de banada que se aplica ao centro centro da
coluna de plasma e tem, como coeficiente de difusão, a expressão:
D(P )⊥ ∼ ωtr
νq2νρ2, (2.26)
ou seja, tal coeficiente é bem maior do que no caso anterior, pois ωtr/ν ≫ 1.
• Banana: É o regime não colisional – as partículas têm tempo suficiente de completar
suas órbitas antes de colidirem com outras. Entretanto, devido ao grande comprimento
característico destas órbitas, a colisão ocorre fora de suas superfícies magnética de origem,
o que acarreta uma grande contribuição para o transporte radial. A frequência de colisão
é descrita por ν/ωtr ≪ ε3/2 e a estimativa para o coeficiente de difusão resulta em
D(B)⊥ =
q2
ε3/2νρ2, (2.27)
e, portanto, o fator multiplicativo q2/ε3/2 em relação ao valor clássico para o coeficiente
de difusão faz com este possa ser de até uma ordem de magnitude maior. O modelo a ser
adotado também se baseia na equação cinética de deriva de forma que o modelo de fluído
também não se aplica neste regime.
Importantes trabalhos publicados sobre transporte neoclássico [53, 55, 56] e, até mesmo,
livros que tratam o assunto com bastante riqueza de detalhes [52,57] têm a finalidade de fornecer
uma boa compreensão sobre efeitos neoclássicos e seus impactos no confinamento de plasma.
Entretanto, em regiões dominadas por processos turbulentos, o coeficiente de difusão é ainda
maior do que os descritos pelos modelos neoclássicos. Neste caso, ocorre o que chamamos de
19
difusão de Bohm [58] e, na área de transporte turbulento (ou transporte anômalo), uma discussão
compreensível sobre este tipo de transporte é feita por R. Balescu [38], como continuação de
seus trabalhos iniciais [51, 52].
Embora não seja o foco desta tese tratar sobre transporte turbulento, uma simples es-
timativa, de acordo com [42], para o coeficiente de difusão anômala é útil a título de com-
paração com os coeficientes neoclássicos. Para elétrons, D⊥e = (∆r)2/τ , podemos estimar
∆r/τ ∼ vE ∼ Φ/∆rB e eΦ/T = k, onde vE é a velocidade de deriva fundamental (E × B).
Segue, portanto, que
D(Bohm)⊥e = k
T
eB∼ ωcρ
2. (2.28)
Note que, como ωc ≫ q2ν/ε3/2, D(Bohm)⊥e ≫ D
(B)⊥e .
Historicamente tal coeficiente foi descrito como D(Bohm)e = T/16eB, onde a razão para o fator
1/16 até hoje permanece obscura [4]. Trata-se de um difícil problema não-linear a determinação
de k, sendo que k < 1 [42]. Para concluir esta seção, observamos que o valor do coeficiente de
difusão anômala para elétrons excede o valor clássico em aproximadamente kωceτei ≫ 1 e, por
isso, impedir a degradação do confinamento devido ao transporte anômalo é considerado um
dos maiores desafios da física de tokamaks.
2.4 Movimento de partículas e velocidade do centro
guia
Partículas carregadas imersas em um campo eletromagnético, como as que compôem o
plasma, ficam submetidas à ação da força de Lorentz, de acordo com a equação:
dv
dt=
e
m
[
E(r, t) + v × B(r, t)
]
, (2.29)
onde, v = dr/dt é a velocidade destas partículas que estão localizadas na posição r. Note
que nesta equação, bem como nas próximas desta seção, omitimos o índice α, o qual deve ser
subentendido.
A velocidade em (2.29) pode ser expressa na forma
v = v‖b + v⊥, v⊥ = v⊥(cos γe1 − sin γe2), (2.30)
onde γ = − tan−1(v · e1/v · e2) é o ângulo de giração e (b, e1, e2) formam, nesta ordem, uma
base ortonormal convencionalmente orientada, na qual b = B/B.
De forma similar, a posição das partículas em um plasma magnetizado pode ser expressa
20
como:
r = rg + ρ, ρ =b × v⊥
ωc, (2.31)
onde ρ é o raio de Larmor vetorial e rg é a posição do centro guia , o ponto central da
órbita aproximadamente circular das partículas. O campo magnético provoca um movimento
circular em íons e elétrons de sentidos opostos, que é composto por outros movimentos tornando
a dinâmcia relativamente complicada de ser descrita. O nosso principal interesse nesta seção
está na obtenção da velocidade do centro guia, a qual é obtida derivando com relação ao tempo
(2.31) e, em seguida, tomando a média em relação ao ângulo de giração a mesma equação. Para
a média de uma grandeza genérica, X, atribuimos a definição:
〈X〉 = 1
2π
∫ 2π
0dγX. (2.32)
Ao observar que 〈v〉 = v‖b e 〈ρ〉 = 0, obtem-se
vg =
⟨
drgdt
⟩
= v‖b −⟨
dρ
dt
⟩
(2.33)
onde o cálculo de 〈dρ/dt〉, que é relativamente longo, pode ser visto em [53,57,59,60].
Antes de apresentarmos a velocidade do centro guia, é conveniente definir o momento
magnético e a energia de uma partícula,
µα =mαv
2⊥
2Be Eα = eαΦ+ µαB +
mαv2‖
2, (2.34)
que, em primeira ordem em ρ/L, onde L representa genéricamente o comprimento característico
do gradiente de qualquer quantidade macroscópica do plasma, são constantes de movimento, da
mesma forma que o momento canônico paralelo [55,61].
Em primeira ordem em δρ = ρi/L, a velocidade do centro guia pode ser expressa como
vgα = v‖αb + vE + vBα + vκα, (2.35)
onde
vE =E × B
B2, (2.36)
é a deriva E × B, que pode ser de ordem δ0ρ (MHD), assim como v‖, ou de ordem δ1ρ (drift),
conforme discutido na próxima seção. Esta deriva possui o mesmo sentido para íons e elétrons,
pois independe da carga da partícula. A deriva magnética,
vBα =µα
eαb ×∇ lnB, (2.37)
21
surge devido à inomogeneidades do campo magnético e, por estar relacionada ao movimento
ciclotrônico, possui sentidos opostos para cargas positiva e negativa e, finalmente,
vκ =eα|eα|
v2‖
ωcα
b × κ, (2.38)
que também tem seu sentido de movimento dependente da carga da partícula, é a deriva resul-
tande da curvatura do campo magnético, κ = (b ·∇)b.
No geral, as velocidades de deriva podem ser expressas na forma
vdα =1
mα
Fα × B
B2, (2.39)
onde Fα representa as diversas forças que agem na partícula, ou seja, elétrica, magnética de
curvatura, etc...
2.5 Teoria cinética
Um dos objetivos da teoria cinética é determinar a função distribuição (fα) para cada espécie
de partícula, pois a partir do cálculo de momentos desta função, isto é, da integral com relação
às coordenadas da velocidade da função distribuição multiplicada por potências da velocidade,
obtém-se grandezas macroscópicas do plasma, as quais podem ser comparadas com valores
experimentais. As equações de fluído, obtidas a partir desta metodologia, conforme discutido
em 2.6.1, descrevem importantes leis físicas no que se refere a conservação de mensuráveis
macroscópicos do plasma.
Em princípio considera-se que a função distribuição é da forma, fα = fα(t, r,v), porém, em
muitos modelos, como o modelo girocinético, utilizado no capítulo 4, a forma f(g)α = f
(g)α (t, rg, µ, E , γ)
é mais conveniente. A última forma é utilizada na derivação da equação girocinética, mostrada
na seção 2.5.2. Entretanto, para estimar ordens de grandeza de termos da equação de Boltza-
mann, utilizamos a primeira forma.
2.5.1 Análise da equação de Boltzmann
De uma forma geral, as equações cinéticas podem ser expressas como
df
dt=
6∑
i=0
dxidt
∂f
∂xi= C(f), (2.40)
onde f = f(x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6) é a função distriuição de partículas no espaço de fase des-
crito pelas variáveis xi, x0 = t e C(f) é o termo de colisões. A equação de Boltzmann , cuja
obtenção a partir de leis mais gerais e sua interpretação física são apresentadas de forma compre-
22
ensível e abrangente em [28], é o caso particular em que x1, x2, x3 são as coordenadas espaciais
da localização instantânea da partícula e x4, x5, x6 são as componentes da velocidade desta.
Esta equação, que normalmente é utilizada na obtenção do tensor dielétrico [33], é expressa
como
∂fα∂t
+ v · ∂fα∂r
+ aα · ∂fα∂v
= Cα(f), (2.41)
onde aα é a aceleração da partícula to tipo α com velocidade v localizada em r que, para plasmas
de laboratório, é bem descrita pela expressão
aα =eαmα
(E + v × B). (2.42)
No contexto da física de tokamaks, o plasma é considerado magnetizado quando ρi/LB ≪ 1,
onde LB é o comprimento característico referente ao gradiente do campo magnético de equilí-
brio no plasma. Além disso, consideramos, nesta tese, fenômenos de baixas frequências quando
comparadas com a frequência de ciclotron e admite-se, na análise desta seção, que o compri-
mento de onda perpendicular (λ⊥) das perturbaçoes possam ser da ordem do raio de Larmor,
característico de violentas instabilidades [57].
As informações do parágrafo anterior podem ser expressas da seguinte forma:
δρ =ρiL
≪ 1, δk = k⊥ρe ≪ 1, δω =ωt
ωci
≪ 1 (2.43)
onde L é o maior dos comprimentos característicos referentes aos gradientes de quantidades
macroscópicas de equilíbrio e ωtr ≤ vTe/L é a frequência de circulação relacionada a variação
temporal da função distribuição. Consideramos, ainda, que a frequência de colisão é pequena
se comparada com a frequência ciclotrônica, ν/ωc ∼ δρ ≪ 1 e, de fato, para simplificar, na
derivação da equação girocinético não levamos o operador de colisão.
Antes de discutir sobre a equação cinética de deriva9 e a equação girocinética10, as
quais são largamente utilizada no estudo de modos de baixas frequências [62–64], é conveniente
estimar a ordem de grandeza dos termos da equação de Boltzamann, conforme o fazemos a
seguir:
∂f
∂t∼ δρωcf,
e
m(v × B) · ∂f
∂v∼ ωcf, C(f) ∼ νf ∼ δρωc, (2.44)
e
mE‖b · ∂f
∂v∼
E‖/B
vTωcf ∼ δρωcf e
e
mE⊥ · ∂f
∂v∼ vE
vTωcf. (2.45)
9drift kinetic equation10gyrokinetic equation
23
Em (2.45), vE = |E × B|/B2 e E‖/B ∼ δρvTipróximo do equilíbrio [57].
Quanto à anlalise do termo convectivo, v · ∇f , considera-se que a função distribuição é
composta por duas partes, f ∼ F + G. Enquanto que a primeira varia suavemente no es-
paço (|∇F | ∼ F/L), a segunda consiste de perturbações de pequenos comprimentos de onda
(|∇G| ∼ G/λ), onde a condição λ ∼ ρi é possível. Normalmente as equações cinéticas são
resolvidas de forma perturbativa, considerando que G ∼ δkF , de forma que
v ·∇f ∼ ωF + ωcG ∼ (δρ + δk)ωcf, (2.46)
e, consequentemente há dois parâmetros independentes a ser analisado, δρ ≪ 1 e δk ≪ 1. Tal
análise inclui três casos de bastante interesse para tokamaks:
• Ordem de deriva: Considera-se δk = 0 e vE ∼ δρvTi, de forma que v ≈ v‖b, e normal-
mente utiliza-se a equação cinética de deriva como ponto de partida para modelos.
Este tipo de ordem é largamente aplicado para descrever processos de transportes e di-
versos tipos de instabilidades.
• Ordem MHD: Neste caso δk = 0 mas vE ∼ vTi, ou seja, v ≈ v‖b + vE . A teoria
de fluidos (veja a seção 2.6), que é bastante compreensível do ponto de vista físico,
pode ser utilizada em fenômenos que envolvam este tipo de ordem, tais como violentas
instabilidades MHD.
• Ordem de giração: É o caso em que, embora vE ∼ δρvTiadmite-se a possibilidade de
perturbações com grandes variações espaciais (δk ∼ δρ). A equação girocinética deve
ser utilizada neste caso.
2.5.2 A equação girocinética
A seguir, baseado na refs. [29, 57], apresentamos os principais passos para a obtenção da
equaçõa girocinética, a qual é utilizada no capítulo 4.
É conveniente considerar a mudança de variáveis (t, r,v) → (t, rg, µ, Eα, γ) em relação às
variáveis da equação de Boltzmann, de forma que a eq. (2.41) possa ser escrito como
∂f
∂t+
drgdt
· ∂f
∂rg+
dµ
dt
∂f
∂µ+
dEαdt
∂f
∂Eα+
dγ
dt
∂f
∂γ= 0. (2.47)
O procedimento para obtenção da equação girocinética consiste em calcular a média de (2.47)
com relação a γ considerando, para este cálculo, que rg = rg(r,v), µ = µ(rg,v), Eα = Eα(rg,v)e γ = γ(rg,v).
Para o densenvolvimento analítico nas próximas etapas, adota-se a aproximação eikonal com
24
relação a coordeada do centro guia,
X(r) = Xg(rg)eik⊥·r, (2.48)
onde X representa de forma genérica qualquer vetor. Ao tomar a média de (2.48) obtemos
〈X(r)〉 = J0(k⊥ρ)Xg(rg)eik⊥·rg , (2.49)
onde Jn(x) é a função de Bessel de ordem n e de argumento x e, em (2.49), foi utilizada a
relação⟨
eik⊥·ρ⟩
= J0(k⊥ρ) [29, 57]. A partir de (2.31), (2.33) e (2.34) obtem-se [57]:
⟨
drgdt
⟩
= vg +
[
J0(k⊥ρ)(Φ− v‖A‖) + 2J1(k⊥ρ)
k⊥ρ
µ
eB‖
]
ik⊥ × b
B,
⟨
dµ
dt
⟩
≈ 0,
⟨
dEdt
⟩
=∂
∂t
[
J0(k⊥ρ)e(Φ− v‖A‖) + 2J1(k⊥ρ)
k⊥ρµB‖
]
,
(2.50)
onde a notação X = X(rg, t) com X = Φ, A‖, B‖ identifica as perturbações.
A função distribuição pode ser decomposta em três partes,
fα = Fα + Gα + G(γ)α , (2.51)
onde Fα é a contribuição de equilíbrio, Gα + G(γ)α = (O(δρ)+O(δk))Fα é a perturbação e G
(γ)α é
a parte dependente de γ. Em primeira ordem em δρ e δk, o cálculo da média de (2.47) resulta
na equação girocinética,
(
∂
∂t+ vgα ·∇
)
gα =
eα
(
∂Fα
∂Eα∂
∂t+
b ×∇Fα
mαωcα
· ik⊥
)[
J0(k⊥ρα)
(
Φ− v‖A‖
)
+ 2J1(k⊥ρα)
k⊥ρα
µα
eαB‖
]
. (2.52)
onde os gradientes são avaliados nas coordenadas do centro guia (rg). Em tokamaks, a aproxi-
mação B‖ ≈ 0 pode ser considerada na maiorida dos modelos [65] e, de fato, é considerada no
capítulo 4.
É importante observar que gα não representa integralmente a parte perturbada da função
distribuição, a qual é obtida pela expansão de fα em torno da energia de equilíbrio, Eα0 =
eαΦ + mαv2/2, onde Φ é o potencial eletrostático de equilíbrio11, Eα = Eα0 + Eα1 é a energia
total e Eα1 = eαΦ é a perturbação da energia. Conforme a equação (2.51), segue que
fα ≈ Fα(Eα0) + Eα1∂FMα
∂Eα|Eα=Eα0
+ G(γ)α , (2.53)
11Conforme mostrado no capítulo 3, este potencial existe se, e somente se, há rotação de equilíbrio.
25
onde G(γ)α é a contribuição dependente de γ e proveniente da equação girocinética, (2.52), ou
seja,
fα = Fα + fα, fα = eαΦ∂FMα
∂Eα+ gαeik⊥·ρα . (2.54)
No capítulo 4, utilizamos a substituição ∇ → i(k⊥ + bk‖) para resolver (2.52), onde
k⊥ ≈ erkr + eθ1
r
∂
∂θ, k‖ =
1
qR0
(
∂
∂θ+ q
∂
∂φ
)
. (2.55)
2.5.3 Equação cinética de deriva
Trata-se de uma equação que aparece principalmente em estudos sobre transporte neoclássico
mas, também, pode ser utilizada na investigação de modos acústicos geodésicos (GAM), como
em [66], por exemplo. Esta equação, que pode ser obtida de forma recursiva [53,57,67] através
do processo de giro-média, pode ser escrita como
∂fα∂t
+ vgα ·∇fα +
(
eαvgα · E + µα∂B
∂t
)
∂fα∂Kα
= 0, (2.56)
onde Kα = Eα − eαΦ é a energia cinética de partículas do tipo α e E ≈ −∇Φ− (∂A‖/∂t)b é o
campo elétrico perturbado. Uma derivação mais didática desta equação, baseada no trabalho
original de R. D. Hazeltine [67], pode ser encontrada em [60].
2.6 Teoria de fluidos
A teoria de fluidos e a metodologia para obtenção de suas equações a partir da equação de
Boltzmann são apresentados nesta seção. Apresentamos a teoria de dois fluidos e a teoria da
magneto-hidrodinâmica (MHD), ambas utilizadas no capítulo 3.
2.6.1 Teoria de dois fluidos e as equações de Braginskii
O cálculo de momentos da equação de Boltzmann, (2.41), isto é, da integral de tal equação
multiplicada por potências de combinações vetoriais da velocidade no espaço de velocidades,
permite a obtenção das equações de fluidos ou equações de Braginskii . As equações de
fluidos descrevem a evolução temporal de importantes quantidades macroscópicas do plasma
que são discutidas a seguir.
Primeiramente, o cálculo do momento de ordem nula da função distribuição resulta na
densidade de partículas,
nα = nα(r, t) =
∫
v
fα(r,v, t)d3v, (2.57)
26
a qual, quando combinada com as cargas dos diferentes tipos de partículas, permite a obtenção
da densidade de carga ,
ρc =∑
α
eαnα. (2.58)
O momento de primeira ordem fornece o fluxo de partículas, nαvα, o qual permite definir a
velocidade do fluido do tipo α,
vα =1
nα
∫
v
vfα(r,v, t)d3v, (2.59)
e, de forma similar à densidade de carga, a densidade de corrente é obtida:
j =∑
α
eαnαvα. (2.60)
Quando calculado no referencial do fluido, o segundo momento, fornece o tensor de pressão,
que pode ser decomposto na pressão escalar cinética (pα) e no tensor de viscosidade (π),
conforme mostrado abaixo:
pα = pαI + πα =
∫
v
mα(v − vα)(v − vα)fα(r,v, t)d3v. (2.61)
O tensor de viscosidade é normalmente dividido em três partes,
πα = π‖α + πgα + π⊥α, (2.62)
denominadas viscosidade paralela , giro-viscosidade e viscosidade perpendicular . Fi-
nalmente, também calculado no referencial do fluido, o próximo e último momento de fα que
consideramos nesta tese fornece o fluxo de calor ,
qα =
∫
v
1
2mα[(v − vα) · (v − vα)](v − vα)fα(r,v, t)d
3v. (2.63)
Momentos da função distribuição de ordens mais alta não tem tanta importância do ponto de
vista físico, apenas algébrico e, por esta razão e devido a sua pouca utilização nos modelos mais
importantes, não os mostramos nesta tese. A seguir, apresentamos as quantidades dissipativas,
que são calculadas a partir de momentos do operador de colisões, Cα(f). As duas quantidades
de maior interesse para tokamaks são a força de fricção e o termo de transferência de
calor , definidos, respectivamente por:
Rα =
∫
v
mαvαCα(f)d3v, (2.64)
27
Qα =
∫
v
1
2mα(v − vα) · (v − vα)Cα(f)d
3v. (2.65)
As equações de Braginskii (ou equações de dois fluidos)
Trata-se das das equações obtidas a partir do cálculo de momentos da equação de Boltza-
mann, (2.41), e descrevem importantes leis física de conservação de massa, momento e ener-
gia [27]. A seguir postulamos tais equações, cuja obtenção é mostrada de forma clara e detalhada
nas Refs. [28, 37].
Inicialmente consideramos as equações que descrevem conservação de massa, momento e
energia, respectivamente,
dαnα
dt+ nα∇ · vα = 0, (2.66)
mαnαdαvα
dt+∇pα +∇ · πα − eαnα(E + vα × B) = Rα, (2.67)
dαpαdt
+ γpα∇ · vα + (γ − 1)(πα : ∇vα +∇ · qα) = (γ − 1)Qα, (2.68)
onde dα/dt = ∂/∂t+ vα ·∇ é a derivada convectiva ou derivada material e γ é o coeficiente
de Poisson ou coeficiente adiabático.
O sistema composto pelas equações (2.66)–(2.68) é incompleto, pois para resolve-lo são
necessárias informações sobre o operador de colisões, responsáveis pelos termos Rα e Qα, além
das equações de evolução temporal para π e q. Apesar de que em muitos modelos seja possível
desconsiderar tais grandezas, como no modelo da magnetohidrodinâmica ideal, há casos em
que é necessário o cálculo dos próximos momento da equação de Boltzamann para obter tais
grandezas. No capítulo 3 consideramos o efeito da anisotropia de pressão, descrito pelo tensor
de viscosidade paralela (π‖). Este tensor é calculado através da equação de evolução de π,
dπα
dt+ (∇ · vα)πα + [πα ·∇vα + (πα ·∇vα)
T − (γ − 1)(πα : ∇vα)I]−
ωcαK(πα) + p[∇vα + (∇vα)T − (γ − 1)(∇ · vα)I] +
(1− 1/γ)[∇qα + (∇qα)T − (γ − 1)(∇ · qα)I] +∇ · τ = Cπα , (2.69)
que foi obtida primeiramente em [68,69] no contexto de gases neutros e, posteriormente, adap-
tada para aplicações em física de plasmas [35,70,71]. Nesta equação, o índice T em sobrescrito
representa a transposta da matriz que se obtém na representação do termo a que este índice se
refere na forma matricial, τ e Cπα são tensores provenientes de momentos de mais alta ordem
da função distribuição e do operador de colisões, os quais não são considerados nesta tese e K
28
é um operador que, de acordo com a definição em [72,73], satisfaz as seguintes propriedades:
K(A) = A× b − b ×A e
K−1
(A) =1
4
[b ×A · (I + 3bb)] + [b ×A · (I + 3bb)]T
, (2.70)
para qualquer tensor simétrico A, de acordo com a definição é qualquer tensor simétrico.
O tensor de viscosidade paralela de íons, o qual consideramos no capítulo 3, é calculado pela
seguinte expressão
π‖i =π‖i
γi − 1
(
bb − 1
3I
)
(2.71)
2.6.2 Teoria da magneto-hidrodinâmica (MHD) ideal
Para justificar o uso das equações da MHD ideal, é necessário considerar alguns comprimen-
tos e tempos característicos importantes, conforme mostrados a seguir:
LMHD ∼ a, τMHD =a
vTi
, ωMHD ∼ 1
τMHD, λα = vTα
ταα (2.72)
Em (2.72), LMHD é o comprimento característico relativo a grandientes de quantidades macros-
cópicas, ωMHD é a frequência associada a modos MHD e λα é o livre caminho médio, o qual
depende da velocidade térmica e do tempo de colisões de partículas de mesmto tipo.
Apesar de que a teoria da MHD, do ponto de vista teórico, se aplique somente nas seguintes
circunstâncias:
(
mi
me
)1/2ωMHD
νii≪ 1 (plasma altamente colisional),
ρia
≪ 1 (raio de Larmor muito pequeno),(
ρia
)2(mi
me
)1/2 νii
ωMHD≪ 1 (plasma de baixa resistividade), (2.73)
que raramente pertencem a realidade de plasmas de tokamak, o seu uso em inumeros modelos
que violam tais circunstâncias reproduz resultados resultados condizentes com experimentos [44]
e, portanto, embora a teoria da MHD e da MHD ideal sejam teorias relativamentes simples, elas
possuem um inúmeras aplicações importantes [37,44].
Normalmente na teoria da MHD considera-se que o plasma é um fluido de densidade de
massa ρ, densidade de carga ρc (que no caso de caso de tokamaks é practicamente nula), pres-
são p, temperatura T e corrente j. Estas grandezas que caracterizam esse fluido, respeitam
determinadas relações com as grandezas pertencentes aos fluidos de íons e de elétrons, as quais
29
são mostradas a seguir:
ρ =∑
α
mαnα ≈ mini, ni = n ≈ ne, me ≪ mi (2.74)
ρc =∑
α
eαnα = e(ni − ne) ≈ 0, (2.75)
v =
∑
αmαnαvα
ρ≈ vi, (2.76)
J =∑
α
eαnαvα ≈ ne(vi − ve), (2.77)
p =∑
α
pα = niTi(1 + τe), τe =Te
Ti. (2.78)
Note que a correspondencia inversa, referente as velocidades de íons e de elétrons, pode ser
escrita na forma:
vi ≈ v e ve ≈ v − J
en. (2.79)
A resistividade do plasma, que é um importânte parâmetro na teoria da MHD, depende
principamente da frequência de colisões elétron-íon e, normalmente, é definida como [37]:
η =meνei
e2n. (2.80)
Combinações lineares das equações das equações (2.66)–(2.68) ponderadas por grandezas
características de íons ou elétrons, cujos detalhes algébricos podem ser encontrados em [28,
37, 44], permitem obter o conjunto de equações da MHD, que são apresentadas e discutidas
separadamente nos parágrafos que se seguem.
Primeiramente, consideramos a equação referente a conservação de massa,
dρ
dt+ ρ∇ · v = 0, (2.81)
cuja equação análoga, mas para conservação de carga elétrica é
∂ρc∂t
+∇ · J = 0. (2.82)
Na maior parte dos processos em MHD a condição de quasi-neutralidade se aplica, de forma
30
que ρc ≈ 0, e consequentemente
∇ · J = 0. (2.83)
A equação de conservação de momento pode ser escrita da seguinte forma:
ρdv
dt+∇p− J × B +∇ · (πi + πe)− ρcE +
me
e2n[∇ · (JJ)− JJ ·∇ lnn] = 0, (2.84)
na qual alguns comentários são pertinentes para justificar simplificações que permitem aplicá-la
efetivamente em modelos MHD. Primeiramente, mesmo sem considerar a razoável aproximação
|vi − ve| = |J/en| ≪ |v|, assumindo que tais termos são de mesma ordem, observa-se que em
(2.84) os dois últimos termos são desprezíveis com relação ao primeiro por um fator me/mi,
visto que |ρdv/dt| ∼ ρv2/a e |me∇ · (JJ)/e2n| ∼ (me/mi)ρv2/a, a menos que ocorra um forte
gradiente de densidade, |∇ lnn| ∼ (mi/me)/a, o que geralmente não ocorre em experimentos.
Com relação ao tensor de viscosidade, cujo termo dominante é a viscosidade paralela (pois
ωcατei ≫ 1 para plasmas magnetizados) de íons, visto que, πe‖ ∼ (me/mi)1/2πi‖, a comparação
|∇ · πi|/|∇p| ∼ ωMHD/νii, em que |πi‖| ∼ piωMHD/νii, justifica desprezar os efeitos de viscosi-
dade em plasmas altamente colisional. Por fim, em se tratando de modos de baixas frequências,
a condição de quasi-neutralidade pode ser considerada. Com base nestes argumentos a eq.
(2.84) pode ser aproximada para a seguinte forma:
ρdv
dt+∇p− J × B = 0. (2.85)
Analogamente, a partir de (2.68) obtém-se a lei de Ohm generalizada ,
E + v × B =1
en(J × B −∇pe −∇ · πe + Re) +
me
e2n
[
∂J
∂t+∇ · (Jv + vJ − JJ/en)
]
. (2.86)
Nesta equação, primeiramente, podemos comparar o termo de Hall, J × B/en com os termos
entre colchetes, dos quais os três primeiros são de mesma ordem e o quarto é muito menor do
que estes, pois J/en ≪ v, uma vez que β−1ρe/LMHD ≪ 1 mesmo em sistemas de baixa pressão
(β ∼ ε2). Desta forma, a próxima comparação a ser feita é |me(∂J/∂t)/e2n|/|J × B/en| ∼
ωMHD/ωce = ρe/a ≪ 1, o que mostra que os termos entre colchetes podem ser desprezados.
Portanto a análise agora se restringe ao termo de Hall (J × B/en), ao termo diamangético
(∇pe/en) e ao termo de fricção (Re/en). Os dois primeiros são de mesma ordem, pois ∇pe ∼J×B no equilíbrio, e podem ser desprezados na ordem MHD (vE ∼ vTi
), pois |∇pe/en|/|v×B| ∼ρi/a ≪ 1. Mesmo na ordem de deriva (vE ∼ δρvTi
), o termo J×B−∇pe pode ser muito pequeno,
de forma que desprezar os termos de Hall e diamagnético simultaneamente pode ser justificável.
Quanto ao termo de viscosidade de elétrons (∇ ·πe), como Ti ∼ Te e, de acordo com argumentos
31
anteriores, tal termo pode ser desconsiderado. Resta, finalmente, em (2.86) o termo de fricção
a ser analisado, o qual pode ser expresso como:
Re
en= η(0, 51j‖ + j⊥)−
1
2
Te
TivTi
Bρi
(
b∇‖ lnTe +3
2
b ×∇ lnTe
ωceτei
)
. (2.87)
Em (2.87), os termos em parenteses podem ser desprezados quando comparados com v × B,
pois eles são de ordem ρi/λe ∼ νei/ωci ≪ 1 e (ρi/a)/ωceτei ≪ 1, respectivamente.
A lei de Ohm com resistividade pode, então ser aproximada para
E + v × B = η(0, 51j‖ + j⊥), (2.88)
porém, para fenômenos que envolvam tempos característicos inferiores ao tempo de difusão do
campo magnético (τB = µ0a2/η) o efeito da resistividade pode ser desprezada. Esta condição é
satisfeita em muitos caso, pois |ηJ|/|v × B| ∼ (νei/ωMHD)(ρ2e/a
2), ou seja, ela só é violada em
fenômenos de frequências muito baixas em plasmas altamente colisionais. Caso isto não ocorra,
a lei de Ohm pode ser aproximada por
E + v × B = 0. (2.89)
Finalmente, resta analisar a última equação,
dp
dt+ γp∇ · v − J · (∇pe − γpe∇ ln ρ)
en+
(γ − 1)
[
(πi + πe) : ∇v +∇ · (qi + qe)− πe : ∇(J/en)− J · Re
en
]
= 0, (2.90)
que corresponde à lei de conservação de energia. Em condições normais, γpe∇ ln ρ ∼ ∇pe, para
tokamaks e, como |J ·∇pe/en|/|dp/dt| ∼ ρi/a ≪ 1, justifica-se desprezar o termo que engloba
os parênteses na primeira linha de (2.90). Ao considerarmos que πe ≪ πi e J/en ≪ v, analoga-
mente à análise de (2.84), a comparação (|πi : ∇v|/|dp/dt| ∼ ωMHD/νii nos leva a concluir que o
termo de viscosidade pode ser desprezado em plasmas altamente colisionais. Com relação à ana-
lise da componente paralela do fluxo de calor, q‖α ≈ −κ‖α∇‖Tα, como κ‖i/κ‖e ∼ (me/mi)1/2 ≪ 1
e |∇ · qe|/|dp/dt| ∼ νei/ωMHD podemos desprezar tal componente em fenômenos de considerá-
vel frequência em regimes não-colisionais. Neste trabalho, consideramos apenas plasmas sem
resistividades de forma que a força de fricção pode ser desprezada em (2.90) e, com relação ao
fluxo de calor, apenas a componente12
q× =p
eB2B ×∇T, (2.91)
12Em inglês, esta componente é conhecida como “Cross heat flux”
32
que é sensível ao gradiente de temperatura é utilizada na equação da energia, a qual se reduz a
dp
dt+ γp∇ · v + (γ − 1)∇ · q× = 0. (2.92)
As eqs. (2.81), (2.83), (2.85), (2.89), (2.92) constituem um sistema de 9 equações escalares
com 16 variáveis representadas pelo conjunto de grandezas escalares (ρ, p, T ) e vetoriais (v, J,
B e E). Desta forma, a determinação deste sistema requer mais 7 equações indepdendentes.
Seis destas equações são as componentes vetoriais das seguintes equações de Maxwell:
∇×E = −∂B
∂t, (2.93)
∇× B = µ0J. (2.94)
Note que a equação de Maxwell que expressa a ausência de monopolo magnético,
∇ · B = 0, (2.95)
não pode ser considerada uma equação independente, assim como ∇ ·E = 0, pois (2.95) pode
ser obtida pelo cálculo do divergente dos dois lados de (2.93) e pelo uso da identidade (B.4).
No entanto, a equação (2.95) possui importância fundamental em física de plasmas para a
determinação do campo magnético de equilíbrio, pois estabelece condições algébricas e vetoriais
para o cálculo de B [44], conforme discutido em 2.2.
A última equação necessário para completar o sistema descrito acima é a relação entre
densidade, pressão e temperatura que, conforme as definições anteriores das quantidades ma-
croscópicas para um fluido, pode ser expressa como
p ≈ ρ
miT. (2.96)
Em muitos casos, assim como no presente trabalho desta tese, é conveniente expressar E e
B em termos de potênciais, ou seja,
E = −∇Φ− ∂A
∂t, B = ∇×A. (2.97)
2.7 Aplicação de GAM
Ao considerar a presença de gradientes de densidade e de temperatura de equilíbrio no
modelo utilizado para a obtenção da frequência dos GAM, observa-se que estes se tornam
instáveis na borda do plasma quando ηi = LTi/LN > 3/4 [74], onde LTi
e LN representam,
respectivamente, o comprimento característico associado aos gradientes de temperatura e de
33
densidade. A influência de tais gradientes no valor da frequência é comumente conhecida como
efeito diamagnético e é um dos temas dos capítulos 3 e 4, nos quais apresentamos, também,
a expressão analítica da instabilidade e das frequências dos GAM modificadas por tais efeitos.
Embora não consideramos termos de O(q−2) no capítulo 3, o qual trata de modelos de fluidos,
os consideramos no modelo giro-cinético ao qual se destina o capítulo 4. O estudo de efeitos
diamagnéticos pode, de certa forma, ser usada como forma alternativa para o estudo do efeito de
rotação de equilíbrio, também considerado no capítulo 3, de forma que há algumas similaridades
entre estes dois efeitos. Primeiro, devido ao fato de que, em ambos os estudos, a dependência
com cos θ (θ é o ângulo poloidal) da densidade perturbada surge tanto devido ao efeito da
rotação quanto devido ao gradiente da densidade de equilíbrio. Segundo, quando estes efeitos
são incluídos, em ambos os casos, há uma solução adicional, conforme mostramos no capítulo 3.
A rotação de equilíbrio (poloidal ou toroidal) pode ser decorrente da injeção de feixes de nêutrons
(NB13) ou do aquecimento por ressonância ciclotrônica iônica (ICRH14) durante a formação da
barreira de transporte (TB15) [75–77]. Conforme mostrado por [78], não é possível haver fluxo de
massa na direção estritamente poloidal, o que não ocorre na direção toroidal – o efeito de rotação
puramente toroidal nos ZF e GAM foi investigado em [26,79] e posteriormente, generalizando o
equilíbrio ao incluir rotação poloidal também, na condição de equilíbrio adiabático, os trabalhos
recentes, [47,80], revelaram um novo ramo de frequência situado entre os ZF e os GAM, o ramo
acústico, que surge devido a rotação poloidal. De forma sintetizada, ao considerar o equilíbrio
com superfícies isotérmicas, ao invés de adiabático, como em [26, 79] a frequência dos ZF se
altera e, ao considerar o equilíbrio adiabático e rotação poloidal, além de toroidal, [47] uma
frequência adicional surge. Porém, quando o fluxo de calor é levado em conta no equilíbrio com
superfícies isotérmicas na presença de rotação predominantemente poloidal (mas evidentemente
com rotação toroidal também) [81] há, além da frequência adicional obtida por [47], uma nova
modificação na frequência dos ZF. Do ponto de vista físico é conveniente enxergar relações,
ainda que indiretas, entre o efeitos de rotação e os diamagnéticos, pois essas relações podem
ajudar a esclarecer futuras questões no regime de confinamento melhorado (os modos H), visto
que a rotação surge durante a formação da barreira de transporte (TB) e nesta barreira há um
ingrime perfil radial de pressão e, logo, favorece efeitos diamagnéticos.
Embora modelos de fluídos sejam mais compreensíveis do ponto de vista físico e permitam
considerar fenômenos não lineares, a investigação do amortecimento de Landau [36] requer o
uso de modelos cinéticos. A razão disso está no fato de que, do ponto de vista matemático,
o efeito está no cálculo da integral pelo teorema de resíduos da função distribuição no espaço
de velocidades. Do ponto de vista físico o amortecimento de Landau ocorre quando há inte-
ração (seguida de transferência de energia) entre determinadas partículas carregadas e ondas
eletromagnéticas no plasma. Mais precisamente, há amortecimento da onda quando esta perde
13Neutral Beams14Ion clyclotron resonance heating15Transport Barrier
34
energia (em média) para partículas com velocidades próximas à sua velocidade de fase. Devido
ao fato de a distribuição ser uma função Maxwelliana, há um número maior de partículas com
velocidades menores do que a velocidade de fase da onda do que com velocidades maiores, caso
contrário, haveria crescimento exponencial (instabilidade) da onda. Essas partículas que inte-
ragem com a onda são conhecidas como partículas ressonantes. Um tratamento cinético que
leve em consideração o efeito do amortecimento de Landau [64, 82] nos modos GAM torna-se
necessário. Com finalidade de discutir este tratamento, uma seção do capítulo 4 foi reservada
ao estudo do amortecimento de Landau nos modos GAM. Para trabalhos futuros há ainda a
possibilidade de incluir num mesmo modelo efeitos diamagnéticos e o amortecimento de Landau
considerando termos de O(q−2) e, portando, estendendo a validade dos resultados para regiões
mais internas da coluna de plasma, onde q assume valores menores.
O efeito da assimetria do campo magnético em partículas, cuja velocidade paralela é relativa-
mente baixa, faz com que estas sejam aprisionadas e, devido a movimentos de deriva magnética,
descrevam movimentos especiais conhecidos como órbitas de banana [42] que, por sua vez, são
indiretamente responsáveis pelo transporte neoclássico [52,53], o qual, ainda que em menos in-
tensidade do que o transporte anômalo, degrada o confinamento do plasma. Por outro lado, há
também partículas com velocidade paralela relativamente alta, as partículas passantes (ou cir-
culantes), que conseguem vencer o poço magnético e, por não descreverem órbitas tão espaçosas
contribuem menos com o transporte. Para modos de baixas frequências, tipicamente menor do
que a frequência de circulação de íons, ωtri =√
2Ti/mi/qR0, onde Ti e mi são a temperatura
e a massa dos íons e R0 é o raio maior do tokamak, a dinâmica de íons e elétrons aprisionados
são relevantes e portanto devem ser levados em consideração no modelo para descrever tais
modos [83–85]. O efeito de partículas aprisionadas no contínuo de ondas de Alfvén cisalhadas
(SAW16) de baixa frequência foi investigado analiticamente em [86] utilizando o modelo giro-
cinético. De acordo com [86], para que seja possível um tratamento analítico, é necessário que
haja a distinção entre partículas totalmente aprisionadas e partículas totalmente circulantes a
serem consideras no modelo. Ao penúltimo capítulo desta desta tese pretendemos reservar o
estudo do efeito de partículas aprisionadas nos modos GAM a partir do modelo giro-cinético.
As principais referências fundamentais das quais partiremos neste estudo são [86–89] sendo que
parte da teoria é discutida de forma mais compreensível em [42, 57]. Espera-se que as funções
de Jacobi [90] apareçam durante o processo de solucionar a equação giro-cinética.
A partir do modelo da MHD ideal, primeiramente obtivemos a frequência dos GAM sem
considerar o efeito de rotação, porém, de uma forma mais didática e propícia para o acompanha-
mento do restante do capítulo 3 em relação ao trabalho pioneiro dos GAM [25]. Posteriormente
consideramos o efeito de rota As frequências obtidas a partir de efeitos diamagnéticos revelam
duas possibilidades, o incremento da frequência e o carater instável Sendo assim,acreditamos
ter contribupído com o esclarecimento de aglumas questões relacionadas com os GAM. [33]
16Shear Alfvén Waves
35
Há ainda, no entanto, inúmeras questões em aberto quanto aos GAM e, em particular, outros
efeitos e a consideração de termos de ordem menor nos GAM podem ajudar a esclarecer algumas
destas questões. A inclusão de termos de O(k4rρ4i ), por exemplo, onde ρi é o raio de giração dos
íons e kr representa número radial de onda relativo ao potencial eletrostático (Φ), permite a
determinação da dependência radial da frequência dos GAM [24], que é de particular interesse
uma vez que define a dispersão desses modos. No modelo de fluídos esses termos de ordem
menor podem ser incluídos se considerados giro-viscosidade, fluxo de calor e termos adicionais
na velocidade inercial, conforme descrito por [35, 91], entretanto a correta determinação dos
termos a serem considerados no processo iterativo [91] no qual esse modelo se baseia é uma
tarefa que exige intuição física e prática e os cálculos a serem feitos são relativamente extensos.
No que se refere a rotação e equilíbrio, até onde sabemos, não há um modelo cinético que
leve em conta o efeito da rotação poloidal de equilíbrio nos modos geodésicos. Tal modelo é
importante porque possibilitaria incluir o efeito do amortecimento de Landau simultaneamente
com o efeito da rotação e, assim, determinar a modificação da frequência dos GAM devida a
esses dois efeitos. Tanto o efeito da rotação paralela de equilíbrio quanto a intersecção dos GAM
com o contínuo de ondas de Alfvén(AWC17) já foram investigados a partir da teoria de cinética
em [33]. Nesta tese não consideramos efeitos eletromagnéticos nos GAM, os quais, no entanto,
foram investigados em [33,62,92] a partir da teoria cinética. Há porém a necessidade de incluir
efeitos diamagnéticos nesta investigação, conforme mencionado em [92], pois assim algumas
questões possam ser esclarecidas. Se estes dois efeitos forem considerados simultaneamente, é
provável que a frequência modificada dos GAM dependerá, não somente de LTi, mas também do
comprimento característico do gradiente de temperatura de elétrons, LTe, o que representa uma
novidade. Há ainda questões não resolvidas em relação a distinção entre o limite eletrostático
e o eletromagnético dos modos GAM [92].
17Alfvén Wave Continnum
36
Capítulo 3
Modelo de fluido para fluxos zonais e
modos acústicos geodésicos
Neste capítulo utilizamos a teoria da magneto-hidrodinâmica (MHD) ideal e um modelo de
dois fluidos que inclui viscosidade paralela de íons para obter a frequência de modos geodésicos
de baixas frequências. A dinâmica destes modos, pioneiramente descobertos por N. Winsor
et. al [25] é descrita na seção 3.4. Ao investigar o equilíbrio com rotação poloidal e toroidal,
tendo como base o trabalho desenvolvido por V. N. Ilgisonis [47], obtivemos relações entre o
gradiente de temperatura e a rotação poloidal. Considerando a contribuição do fluxo de calor
proveniente do gradiente radial de temperatura obtivemos, no regime isotérmico, além das duas
soluções correspondentes a modos acústicos geodésicos (GAMs) e o modo acústico de íon (SWs),
a correção para a frequência dos fluxos zonais (ZFs), a qual é sensível à rotação poloidal, mas
não à rotação toroidal. Tal resultado foi publicado recentemente [81]. Com relação ao modelo
de dois fluidos, primeiramente estudamos o efeito de anisotropia de pressão de íons através
da equação de evolução temporal da viscosidade paralela. Este efeito, quando considerado
na dinâmica dos GAMs, produz uma sensível diferença no valor para a frequência destes [32,
34]. Posteriormente incluímos neste modelo efeitos diamagnéticos, os quais são provenientes de
gradientes de temperatura de íons e de densidade. As condições para instabilidade dos GAMs,
devido a estes gradientes, as quais foram publicadas recentemente em 2013 [74], são descritas na
seção 3.7. Apresentamos, no final, como proposta para trabalhos futuros, uma breve discussão
sobre efeitos eletromagnéticos nos GAMs. Esta discussão é feita dentro do contexto da teoria
de dois fluidos.
3.1 Modelo da magnetohidrodinâmica (MHD) ideal
Como ponto de partida para este capítulo, utilizamos a teoria da MHD ideal considerando o
plasma como sendo composto por um único fluído, que, por sua vez, tem sua dinâmica governada
37
pelas equações (2.81), (2.83), (2.85), (2.89) e (2.92) apresentadas anteriormente na seção 2.6.2.
Abaixo, para facilitar a leitura, repetimos tais equações, porém, acrescentando o índice “Σ”, que
indica a soma das partes de equilíbrio (estacionária) e perturbada (dependente do tempo) das
grandezas macroscópicas do plasma:
EΣ + vΣ × BΣ = 0, (3.1)
ρΣdvΣ
dt+∇pΣ − JΣ × BΣ = 0, (3.2)
dpΣdt
+ γpΣ∇ · vΣ + (γ − 1)∇ · qΣ = 0, (3.3)
dρΣdt
+ ρ∇ · vΣ = 0, (3.4)
∇ · JΣ = 0. (3.5)
O índice Σ é utilizado para simplificar a notação do conteúdo que se segue após a linearização
das equações (3.1)–(3.5) por meio da teoria de perturbações. Nesta teoria, as grandezas macros-
cópicas do plasma, pΣ, ρΣ e as componentes vetoriais de EΣ, BΣ, JΣ, vΣ e qΣ são consideradas
como sendo compostas por uma parte estacionária e por uma pequena perturbação, em módulo,
dependente do tempo, de forma que,
XΣ = XΣ(r, t) = X(r) + X(r)e−iωt,|X||X| ≪ 1, (3.6)
onde XΣ representa qualquer grandeza macroscópica (ou uma de suas componentes vetoriais)
do plasma. Adotamos também o símbolo “ ˜” para indicar as quantidades perturbardas.
Restringimos o estudo desta seção ao caso de plasmas com β = O(ε2) e com velocidade de
equilíbrio subsônica, |V|2 ≪ c2s, de forma que perturbações do campo magnético, B = O(βB),
podem ser desprezadas na análise de primeiros harmônicos, m = ±1, referentes ao número
poloidal. Sendo assim, apenas o potencial eletrostático é considerado em nossa análise de modos
de baixas frequências, ou seja, EΣ = −∇Φ−∇Φ.
38
3.2 Equilíbrio com rotação
Considerando a ordem MHD (vE ∼ vTi), de forma que o efeito Hall e a deriva diamagnética
podem ser desprezados na lei de Ohm, o equilíbrio é descrito pelas equações:
V × B = −∇Φ, (3.7)
V ·∇ρ+ ρ∇ · V = 0, (3.8)
V ·∇p+ γp∇ · V + (γ − 1)∇ · q = 0, (3.9)
ρV ·∇V +∇p− J × B = 0, (3.10)
onde
q =γ
γ − 1
pB ×∇T
eB2, (3.11)
é a parte dominante do fluxo de calor no caso não colisional, a qual deve ser considerada no
estudo de ZF e na investigação de efeitos causado pelo gradiente de temperatura.
Assumimos que o campo magnético é simétrico em relação ao ângulo toroidal (φ), de forma
que
B = F∇φ+∇φ×∇Ψ, ∇Ψ ·∇φ = 0, (3.12)
J =∇× B
µ0=
(R2∆∗Ψ∇φ−∇φ×∇F )
µ0, ∆∗Ψ = ∇ · (∇Ψ/R2), (3.13)
conforme mostrado em C.1.
Das eqs. (3.7) e (3.8) segue que
V =κ(Ψ)
ρB − Ω(Ψ)R2
∇φ, Ω =dΦ
dΨ, (3.14)
onde κ é uma função de fluxo desconhecida, porém que está diretamente relacionada à rotação
poloidal de equilíbrio. Com a substituição de V em (3.9), segue que
κ
ρB ·∇p+ γpB ·∇
(
κ
ρ
)
+ (γ − 1)∇ · q = 0 (3.15)
e, portanto, observa-se que na ausencia de rotação poloidal (κ = 0), o fluxo de calor tem
39
divergência nula, ou seja, em média não há troca de calor entre as superfícies magnétcias.
A relação entre pressão, densidade e temperatura, p = ρT/mi, pode ser convenientemente
expressa, para uso futuro, como:
B ·∇ρ
ρ− B ·∇p
p+
B ·∇T
T= 0. (3.16)
O método algébrico pelo qual os resultados anteriores e os próximos foram obtidos é apre-
sentado no apêndice C, cujo principal objetivo é elucidar a obtenção das expressões algébricas
para as componentes ∇φ, B e ∇Ψ da equação de momento. Tais componentes, identicamente
nulas, são obtidas pelo cálculo do produto escalar de ∇φ, B e ∇Ψ com a eq.(3.10), e podem
ser expressas como:
B ·∇[
F
(
1− µ0κ2
ρ
)
+ µ0κΩR2
]
= 0, (3.17)
B ·∇(
κ2B2
2ρ2− Ω2R2
2
)
+B ·∇p
ρ= 0, (3.18)
(
1− µ0κ2
ρ
)
∆∗Ψ+1
2
∇Ψ ·∇F 2
|∇Ψ|2 +µ0R
2
|∇Ψ|2∇Ψ ·∇p+µ0ρR
2
2×
[
∇Ψ
|∇Ψ|2 ·∇(
κ2
ρ2|∇Ψ|2R2
)
− ∇Ψ
R2·∇
(
κ2
ρ2
)
−(
Ω− κF
ρR2
)2∇Ψ ·∇R2
|∇Ψ|2]
= 0, (3.19)
onde ∆∗Ψ = R2∇ · (∇Ψ/R2) é o operador de Shafranov.
Observando que se B ·∇f = 0, para qualquer função escalar f independente de φ, implica
em f = f(Ψ), conclui-se que somente na ausência de rotação poloidal (κ = 0), de acordo com
(3.17), então F = F (Ψ). Ainda, neste mesmo contexto, se considerarmos o caso de rotação
exclusivamente toroidal, de acordo com (3.18), B · ∇p = ρΩB · ∇R2/2. Entretanto, como
B ·∇R2 6= 0, conclui-se que p não pode ser uma função de fluxo, ao contrário do que ocorre em
plasmas sem rotação, nos quais p = p(Ψ).
O próximo passo é a utilização de teoria de perturbação para resolver as eqs. (3.15)–(3.18).
Nos baseamos no método apresentado na Ref. [47], na qual as grandezas de equilíbrio são
decompostas na forma: Q = Q0(Ψ) +Q1(Ψ, θ), com |Q1/Q0| ≪ 1, onde Q representa p, ρ, T
ou F . Definimos, então, por conveniencia, a grandeza:
∆Q =(B ·∇Q1)/Q0
(B ·∇R2)/R20
. (3.20)
40
A frequência angular de rotação poloidal e toroidal é calculada por:
ΩP = ∇θ · V =κF
ρqR2, ΩT = ∇φ · V = qΩP − Ω, (3.21)
onde q é o fator de segurança, que é definido por
q = q(Ψ) =∇φ · B∇θ · B =
F
JR2, J = ∇θ · (∇φ×∇Ψ). (3.22)
Por conveniencia, nas equações que se seguem, introduzimos as seguintes definições:
MP =qΩP0R0
cs, MT =
ΩT0R0
cs, Mth =
R0
ecs
dT0
dΨ, c2s =
γp0ρ0
, (3.23)
ΩP0 =κF0
ρ0qR20
, ΩT0 = qΩP0 − Ω, B0 =µ0ρ0c
2sR
20
F 20
∼ β. (3.24)
que são relativas aos números de Mach poloidal, toroidal e térmico e ao parâmetro β.
A partir de (3.20), (3.23) e (3.24) e do cálculo da divergência do fluxo de calor,
∇ · q = Mth
[
1−∆F +∆p − (1 +Rρ −RF +RR2)∆T
(γ − 1)F0/R0
]
B ·∇R2
R20
ρ0c3s, (3.25)
RF =T0
F0
dF0/dΨ
dT0/dΨ, Rρ =
T0
ρ0
dρ0/dΨ
dT0/dΨ, RR2 =
T0
R20
∇Ψ ·∇R2
∇Ψ ·∇T0, (3.26)
que é efetuado em C.3, podemos reescrever o sistema (3.15) – (3.18) da seguinte forma:
∆ρ −∆p +∆T = 0 (3.27)
(1− B0M2P )∆F + B0M
2P∆ρ = B0MP (MT −MP ), (3.28)
M2P∆F −M2
P∆ρ +∆p
γ=
M2T
2−MPMT +M2
P , (3.29)
Mth∆F +MP∆ρ − (MP /γ +Mth)∆p + (1 +Rρ −RF +RR2)Mth∆T = Mth. (3.30)
Referente a equação de Grad-Shafranov modificada, (3.19), podemos reescreve-la como:
∆∗Ψ+
[B0R2
γR20
(1 +Rρ) +RF
]
F 20
T0
dT0
dΨ+ T (κ,Ω,Ψ), (3.31)
41
onde T = O(B20F0/LT ) é o termo proveniente da rotação de equilíbrio, o qual pode ser aproxi-
mado por
T ≈ −B0M2P∆
∗Ψ+
[
∇Ψ ·∇p1∇Ψ ·∇p0
B0R2
γR20
(1 +Rρ)+
(
∇Ψ ·∇F1
∇Ψ ·∇F0− F1
F0
)
RF +B0
2
( |∇Ψ|2F 20
M2PRΨ2 −M2
T
)]
F 20
T0
dT0
dΨ,
RΨ2 =T0
|∇Ψ|4∇Ψ ·∇(|∇Ψ|2)
dT0/dΨ∼ T0
|∇Ψ|2∂|∇Ψ|2/∂ΨdT0/dΨ
. (3.32)
A menos que ocorra um forte cizalhamento radial do campo magnético poloidal, ou seja, se
∂2Ψ/∂r2 ≫ (∂Ψ/∂r)2, é condizente com a realidade de tokamaks em regimes de baixa pressão
(β ∼ ε2), estimar as grandezas apresentadas em (3.31) da seguinte forma:
B0 ∼ ε2, ∆∗Ψ ∼ B0F 20
T0
dT0
dΨ∼
√B0F0
LT,
1
LT=
1
T0
∂T0
∂r(3.33)
o que implica em RF ∼ B0 e Rρ ≈ η−1 ∼ 1, onde η = Lρ/LT , Lρ = ρ−10 ∂ρ0/∂r. Com relação
ao termo RR2 , definido em (3.26), para a estimativa de sua ordem de grandeza, consideramos
tokamaks de seção circular, como o TCABR, por exemplo, de forma que ∂Ψ/∂θ ≪ r∂Ψ/∂r.
Ainda, neste contexto, quando LT ≤ r, ou seja, quando há um considerável gradiente radial de
temperatura no tokamak, o que é totalmente realístico na prática, segue que
RR2 =T0
R20
∂R2/∂Ψ
dT0/dΨ≈ 2
LT
R0cos θ ∼ ε ≪ 1. (3.34)
Quanto maior for gradiente de temperatura, mais justificável se torna a aproximação (3.34), o
que viabiliza e simplifica o desenvolvimento de um modelo analítico.
3.2.1 Rotação toroidal
Para o caso particular de rotação puramente toroidal, MP = 0, considerando as aproxima-
ções mencionadas acima, o sistema composto pelas equações (3.27) – (3.29) apresenta a seguinte
solução:
∆F = 0, ∆p =γ
2M2
T , ∆ρ = ∆p −∆T (3.35)
Com relação a análise da eq. (3.30), é necessário ter em mente as eqs. (3.15) e (3.25),
que permitem concluir que ∇ · q = 0 quando não há rotação poloidal (κ = 0). Porém,
de acordo com (3.25), isto só ocorre em dois casos, ∆T = (1 + ∆p)/(1 + Rρ) ou Mth =
0. O primeiro caso, implicaria que no limite sem rotação de equilíbrio (MT → 0), tanto a
temperatura quanto a densidade de equilíbrio dependeriam fortemente com a posição poloi-
42
dal, pois ∆ρ = −∆T = −(1 +Rρ)−1 ∼ 1, em desacordo com o equilíbrio sem rotação, no qual
∆p = ∆ρ = ∆T = 0 [25]. O segundo caso, entretatanto, implica que, pelo menos em primeira
ordem, a temperatura é constante em superfícies magnéticas diferentes, de acordo com (3.23),
o que também não ocorre em tokamaks (a temperatura é máxima no centro e nula na borda).
Uma forma de conciliar esta inconsistência é assumir que Mth ∝ MP , ou, de forma equivalente,
que a rotação poloidal de equilíbrio é uma consequência direta da existência de gradientes radiais
de temperatura. Portanto, neste modelo, concluímos que a não existência de rotação poloidal só
é possível localmente e, se isso ocorrer em determinada posição radial, há uma indicação clara
de que nesta posição ocorre um perfil plano no perfil da temperatura.
Os seguintes regimes de particular interesse podem ser considerados neste caso:
• Adiabático: Neste caso, a quantidade S = pρ−γ , que representa a entropia do sistema,
é uma função de fluxo, de forma que a relação ∆p − γ∆(S)ρ = 0 se verifica. A solução
correspondente a este regime é:
∆p =γ
2M2
T , ∆(S)ρ =
1
2M2
T , ∆(S)T = (γ − 1)M2
T . (3.36)
• Isotérmico: Caracterizado por ser o regime mais realístico, ocorre quando ∆(T )T = 0, o
que implica na solução
∆(T )ρ = ∆p. (3.37)
• Isométrico: Este regime, caracterizado por ∆(V )ρ = 0, embora não seja comum em ex-
perimentos, tem certa importância por ser o único regime característico ZFs instáveis,
conforme elucidado mais adiante. A solução correspondente é:
∆(V )T = ∆p. (3.38)
3.2.2 Rotação poloidal e toroidal
Com a resolução do sistema (3.27)–(3.30), considerando B0 ∼ ε2 ≪ 1, Rρ ≈ 1/η e M2P,T ≪ 1,
de forma que ∆F = O(B0M2P,T ) pode ser desprezado, obtemos a seguinte solução:
∆ρ =N∆
D∆
[
1 +
(
1
N∆− γ
η
)
Mth
MP
]
, (3.39)
∆p = γN∆
D∆
[
1 +
(
M2P
N∆− η + 1
η
)
Mth
MP
]
, (3.40)
43
∆T = (γ − 1)N∆
D∆
[
1−(
1− γM2P
(γ − 1)N∆+
γ
γ − 1
)
Mth
MP
]
, (3.41)
onde
N∆ =M2
T
2+MP (MP −MT ), D∆ = 1−M2
P − η + 1
η
Mth
MP+
γ
ηMPMth. (3.42)
Assim como no caso de rotação exclusivamente toroidal, neste caso, também é conveniente
analisar os três regimes principais mencionados anteriormente:
• Adiabático: Considera-se, neste regime, M (S)th = 0, o que resulta em
∆(S)p = γ∆(S)
ρ , ∆(S)T = (γ − 1)∆(S)
ρ , ∆(S)ρ =
N∆
D(S)∆
, D(S)∆ = 1−M2
P . (3.43)
• Isotérmico: As soluções são obtidas pela substituição ∆T = 0 em (3.39), (3.40) e (3.41),
de forma que, para MP ≥ 0,
M(T )th =
(γ − 1)MPN∆
1 + γ(N∆ −M2P )
> 0. (3.44)
• Isométrico: De forma análoga ao regime anterior, a partir da condição ∆ρ = 0, para
MP ≥ 0, obtém-se:
M(V )th =
−MPN∆
1− (γ/η)N∆< 0. (3.45)
Para o tokamak TCABR, de acordo com recente relatório [93], mostramos na figura 3.2.2 o
perfil radial da rotação de equilíbrio obtido experimentalmente. A partir desta gráfico podemos
estimar os valores de MP e MT com o intuito de obter uma estimativa para a frequência dos
GAMs, SWs e ZFs.
É interessante observar o que ocorre no limite MT → 0, ou seja, de acordo com a figura
3.2.2, próximo de r = 0.7a. Neste limite observa-se que
M(V )th = −M3
P , M(S)th = 0, M
(T )th = (γ − 1)M3
P . (3.46)
Considerando finalmente, tokamaks de secção circular de alta razão de aspecto, é possível
encontrar as grandezas de equilíbrio. Para uma grandeza genérica Q, simétrica em relação a φ,
segue da definição de ∆Q, (3.20), que
B ·∇Q = ∆QQ0B ·∇R2
R20
(3.47)
pode ser desenvolvido considerando Ψ ≈ Ψ(r), ou seja, B ≈ F (r)R−1eφ + (Rr)−1(dΨ/dr)eθ.
44
Perfil radial de rotacao do plasma
Vel. toroidalVel. poloidal
r/a
Velocidade(km/s)
Figura 3.1: Gráfico do perfil radial da velocidade de rotação poloidal (tracejado) e toroidal(linha cheia) como função da posição radial normalizada (r/a) no tokamak TCABR.Observação: Este gráfico foi extraído e adaptado de [93].
Resulta então, da substituição de B em (3.47), a seguinte equação integrável,
∂Q
∂θ= −2ε∆QQ0 sin θ +O(ε2Q) (3.48)
cuja solução aproximada determina Q = Q(r, θ):
Q(r, θ) = Q0(r) + 2ε∆Q(r)Q0(r) cos θ. (3.49)
A partir de (3.39), (3.40), (3.41) e (3.49) a dependência poloidal das quantidades de equilíbrio
podem ser determinadas, ou seja,
ρ = ρ0(1 + 2ε∆ρ cos θ), p = p0(1 + 2ε∆p cos θ),
T = T0(1 + 2ε∆T cos θ) =mic
2s
γ[1 + 2ε(∆p −∆ρ) cos θ],
V = VP eθ + VT eφ, VP = ΩP r, VT = ΩTR,
VP ≈ ε
qMP cs, VT = (MT +∆V ε cos θ)cs, ∆V = MT − 2MP (1 + ∆ρ). (3.50)
45
3.3 Sistema de equações perturbadas e relação de dis-
persão
Considerando agora perturbações temporais, os modos de oscilação de baixas frequências
no plasma são obtidos a partir da resolução do seguinte sistema:
ρ0∂v‖
∂t+∇‖p+ F‖ = 0, (3.51)
∂(ρ+ R)
∂t+ ρ0∇ · v = 0 (3.52)
∂(p+ P )
∂t+ γp0∇ · v = 0 (3.53)
onde
v = vE + v‖b, vE =b ×∇Φ
B, (3.54)
é a velocidade perturbada proveniente da deriva E × B e da componente paralela. Os termos
F‖, R e P são as contribuições devida a rotação de equilíbrio, definidos de forma conveniente
por
F‖ = ρ0(bv : ∇V + bV : ∇v) + ρbV : ∇V, (3.55)
∂R
∂t= V ·∇ρ+ v ·∇ρ0 + ρ∇ · V, (3.56)
∂P
∂t= V ·∇p+ v ·∇p0 + γp∇ · V + (γ − 1)∇ · q, (3.57)
e calculadas no apêndice (G.1). Neste cálculo levamos em conta apenas os termos dominantes
com relação ao fator ε = r/R0 ≪ 1, que são devido a contribuição dos primeiros harmonicos.
Para a obtenção da relação de dispersão é necessária a utilização da equação do momento
linearizada:
ρ∂v
∂t+∇p− j × B + F = 0, F = ρ(V ·∇v + v ·∇V) + ρV ·∇V, (3.58)
a qual, quando multiplicada vetorialmente por B resulta na expressão analítica para a densidade
46
de corrente:
j =j‖
BB +
ρB
B2× ∂v
∂t+
B
B2×∇p+
B
B2× F. (3.59)
A relação de dispersão é proveniente da condição de quasi-neutralidade do plasma, que pode
ser expressa pela equação ∇ · j = 0. A metodologia analítica padrão é baseada no cálculo da
média de tal equação sobre uma superfície magnética. Podemos calcular D tomando a média
com relação ao volume,
D =
∫
V dV∇ · j∫
V dV= 0, dV = (R0 + r cos θ)rdrdθdφ, (3.60)
e, através do teorema da divergência de Gauss, obtemos:
D =
∫
S j · dS∫
V dV= 0, dS = (R0 + r cos θ)rdθdφer. (3.61)
3.4 Fluxos zonais (ZFs) e modos acústicos geodésicos
(GAMs)
A seguir descrevemos o modelo mais simples para explorar a dinâmica básica das oscilações
eletrostáticas conhecidas como GAMs. Nesta parte desconsideramos rotação de equilíbrio por
motivos didáticos e com a finalidade de enfatizar o mecânismo físico de formação dos GAMs.
Inicialmente, utilizamos a substituição F‖ = P = R = 0 em (3.51)–(3.53) e, como apenas os
primeiros harmônicos desempenham um papel relevante na dinâmica básica dos GAMs eletros-
táticos [25], consideramos soluções da forma:X = Xs sin θ + Xc cos θ para as perturbações. Ade-
mais, em se tratando de uma análise linear, X ∝ e−iωt, de forma que a substituição ∂/∂t → −iω
em (3.51)–(3.53) pode ser empregada.
O termo ∇·v têm sua expressão desenvolvida no apêndice D e, de acordo com as eqs. (D.38)
e (D.13), pode ser escrito na forma:
∇ · v = −2ωE sin θ + k‖∂v‖
∂θ, ωE =
ikrΦ0
B0R0=
i
2
eΦ0
Tikrρiωi, ωi =
vTi
R0. (3.62)
Tal termo é substituído em (3.53), resultando na relação entre p e v‖:
p = iρ0c2s
(
−2ωE
ωsin θ −
k‖
ω
∂v‖
∂θ
)
, (3.63)
que, por sua vez, é substituída em (3.51). Consequentemente, a seguinte equação diferencial
47
para v‖ em θ é obtida:
(
1 +k2‖c
2s
ω2
∂2
∂θ2
)
v‖ = 2k‖c
2s
ω2ωE cos θ. (3.64)
A solução correspondente a(3.64),
v‖ =2k‖c
2s
ω2 − k2‖c2s
ωE cos θ, (3.65)
quando inserida em (3.62) define completamente o termo ∇ · v, que, após ser substituído em
(3.52) e (3.53), completa o conjunto de soluções com
∇ · v = − 2ω2
ω2 − k2‖c2s
ωE sin θ, (3.66)
ρ = iρ0
(
2ω
ω2 − k2‖c2s
)
ωE sin θ, p = ρc2s. (3.67)
Ao analisarmos as equações (3.65), (3.66) e (3.67), é possível extrair duas conclusões im-
portantes. Primeiramente, a solução ω = 0 não é uma solução trivial, pois, para este caso,
v‖ = −2ωE cos θ/k‖ 6= 0. Conforme explicado mais adiante, esta solução corresponde aos fluxos
zonais. A incompressibilidade do plasma, de acordo com (3.66), bem como a ausência de corren-
tes diamagnéticas, pois p = 0, é uma característica fundamental destes fluxos estacionários. A
segunda característica importante é com relação ao fator de segurança. Note que para q → ∞,
v‖ → 0 no caso de GAMs (ω 6= 0) e v‖ → ∞ para ZFs, pois k‖ = 1/qR0.
É interessante observar também o que ocorre se ωE = 0, ou seja, na ausência do campo
elétrico. De acordo com a equação (3.62), a divergência da velocidade é proporcional à variação
da velocidade paralela com relação ao ângulo poloidal (θ), o que induz uma perturbação na
pressão, de acordo com (3.63). Adotando o mesmo procedimento, obtém-se uma equação similar
à eq. (3.64),
(
1−k2‖c
2s
ω2
)
v‖ = 0 (3.68)
que possui duas soluções. A primeira, trivial, v‖ = ρ = p = 0 e portanto não importante e a
segunda, ω2 = k2‖c2s, que corresponde a ondas acústicas. Note que a segunda solução não permite
a determinação das perturbações (v‖, ρ e p) neste modelo simples.
A corrente perturbada é composta por duas partes fundamentais para estes modos, a con-
tribuição inercial e diamagnética, cujas expressões analíticas para suas componentes radiais
48
são:
jIr =
(
ρB
B2× ∂v
∂t
)
· er ≈ iR0
B0ρ0ωωE , (3.69)
jpr =
(
B
B2×∇p
)
· er ≈−1
εB0R0
∂p
∂θ(1 + ε cos θ), (3.70)
Note que em (3.70) mantivemos o termo ε cos θ, que é proveniente de B ≈ B0(1− ε cos θ),
pois este termo é relevante no cálculo da média em uma superfície magnética.
A partir do desenvolvimento de (E.73), mostrado no apêndice ??, resulta a relação de
dispersão:
D = −i2R0ρ0rB0
(
1 +ips
ρ0ωωER20
)
ωωE = KD(0) = 0, (3.71)
onde K = −2iR0ρ0ωE/rB0 é um termo importante no estudo de auto-modos. No contínuo, a
equação
D(0) = ω
[ω2 − (2c2s/R20 + k2‖c
2s)
ω2 − k2‖c2s
]
= 0, (3.72)
fornece as soluções para asfrequências ZFs e GAMs,
ωZF = 0, ω2GAM =
(
2 +1
q2
)
c2sR2
0
. (3.73)
Na realidade, para ZFs, como não foram considerados termos de ordem superior, em princípio,
a solução é melhor descrita por ωZF ≈ 0.
Note que, em ordem dominante, há também uma componente poloidal da corrente diamag-
nética, cuja expressão é
jpθ =ikrpB0
. (3.74)
Utilizando (D.19) e considerando kr ≫ r−1, obtemos uma relação de dispersão como forma
alternativa à eq. (3.71):
∇ · j ≈ ikr jIr − 2jpθsin θ
R0+ k‖
∂j‖
∂θ= 0, (3.75)
que, quando desenvolvida algebricamente, resulta em
−ρ0R0krωE
B0ω
(
1− 2c2s/R20
ω2 − k2‖c2s
)
− ρ0R0krωE
B0
2ωc2s/R20
ω2 − k2‖c2s
cos(2θ) + k‖∂j‖
∂θ= 0. (3.76)
49
Como para qualquer θ a equação (3.76) deve ser satisfeita, o termo contido no primeiro
parêntes dessa equação deve se anular, resultando, assim, nas soluções mostradas na equação
(3.73). Uma vantagem do uso de (3.76) é a de obtenção da corrente paralela,
j(GAM)‖ =
√
2q2 + 1
4
ρ0R0
B0krωE sin(2θ), j
(ZF)‖ = 0, (3.77)
a qual se mostra dependente de segundos harmônicos, representados pelo termo sin(2θ). Note
que, principalmente no limite q ≫ 1, a contribuição da corrente paralela, j‖ ∝ q, é significativa,
justificando, em princípio considerar efeitos eletromagnéticos, pois j‖ = b ·∇× B. Além disso,
em muitos experimentos GAMs são detectados através da análise de segundas harmônicas,
de forma que a corrente paralela perturbada desempenha um papel importante neste tipo de
oscilação.
A seguir, uma descrição simplificada do mecanismo físico envolvido nas oscilações presentes
nos GAMs é apresentada. Para simplificar as expressões e o raciocínio lógico deste mecanismo,
consideramos o limite q → ∞, ou seja, ωGAM =√2cs/R0. Supomos que, inicialmente, em t = 0,
exista um campo elétrico máximo, que é da forma E = ωEB0R0er, onde ωE = |ωE | cos(ωt),
|ωE | =1
2
e|Φ0|Ti
krρiωi, Φ0 = Φ0(r, t), (3.78)
e consideramos krρi > 0 por simplicidade1. As partículas do plasma, influenciadas por este
campo elétrico, bem como pelo campo magnético toroidal de equilíbrio, B ≈ B0(1 − ε cos θ),
sofrem um movimento de deriva to tipo E × B, o que produz um fluxo poloidal compressível,
que é da forma
vE = |ωE |R0(1 + ε cos θ) cos(ωt)eθ, v‖ ≈ 0, (3.79)
ou seja, de intensidade diferente nos lados de campo forte e de campo fraco, HFS2 e LFS3,
conforme ilustra a figura 3.4 (a). Em decorrência desta diferença de intensidade, o plasma é
comprimido, na razão
∇ · v = −2|ωE | sin θ cos(ωt), (3.80)
o que ocasiona uma perturbação na densidade e, consequentemente, na pressão,
p =√2|ωE |ρ0csR0 sin θ sin(ωt), (3.81)
1Nada impede que krρi < 0, pois a dependência radial de Φ e, consequentemente, de sua derivadaradial, são desconhecidas em princípio.
2High Field Side3Low Field Side
50
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
(HFS)
(LFS)
R0
r
θ
vE = E×BB2
∇ · vE = −2vE · κ ∝ sin θ cos(ωGAM t)
p ∝∫
dt∇ · vE
Er ∝ cos(ωGAM t)
BTBT
κ
κ = b · ∇b
Superfıcies magneticas
a) Instante inicial t = 0
Er > 0 → max.
vE > 0
jr = 0
c) Instante t = π/ωGAM
Er < 0 → min.
vE < 0
jr = 0
BTBT
κ
κ
BTBT
jprjpr
= 0
p max
p min
b) Instante t = π/2ωGAM
Er = 0
∂Er
∂t< 0
vE = 0
|jr| → max.
BTBT
jprjpr= 0
d) Instante t = 3π/2ωGAM
Er = 0
∂Er
∂t> 0
vE = 0
|jr| → max.
p min
p max
Figura 3.2: Dinâmica de modos acústicos geodésicos (GAMs) em tokamaks.
Com o movimento de deriva E × B do plasma, surge uma corrente inercial, que é radial
e aproximadamente constande, que tende a anular o campo elétrico inicial pelo transporte de
carga positiva para fora da superfície magnética de referência. Entretanto, em decorrencia do
gradiente poloidal de pressão, causada pela perturbação desta, surge também, uma corrente
diamagnética, que em determinadas posições supera fortemente a primeira. O tempo em que
é máxima a amplitude da corrente radial total e a expressão analítica das correntes inercial e
51
diamagnética são mostrados, respectivamente, na figura 3.4 (b) e na equação (3.82), abaixo:
jIr =√2ρ0csB0
|ωE | sin(ωt), jpr = −jIr
(
1
2+
1
εcos θ +
1
2cos(2θ)
)
. (3.82)
Em média, neste momento, é máximo o transporte de cargas positivas para fora da superfície
magnética (em laranja na figura 3.4), o que anula o campo elétrico radial e, consequentemente
a velocidade de deriva E × B. Entretanto, devido a inércia de íons e à corrente diamagnetica
ainda presentes, o campo elétrico inverte seu sentido e, em t = π/ωGAM , a velocidade de deriva é
maxima e no sentido anti-poloidal, conforme ilustra a figura 3.4 (c). Em t = 3π/2ωGAM o campo
elétrico é nulo novamente e a corrente é máxima, porém no sentido favorável ao transporte de
carga positiva para a superfície magnética em questão, conforme a figura 3.4 (d). Finalmente,
em t = 2π/ωGAM a dinâmica descrita acima se repete. Uma investigação experimental tanto
do valor da densidade perturbada como de sua posição poloidal de máximo valor absoluto é
apresentada por A. Krämer-Fleken et. al. [94].
No caso dos ZFs a dinâmica é consideravelmente mais simples. Ao se comportar de forma
compressível, devido a um fluxo de retorno na direção paralela a B,
v‖ = −2qωER0 cos θ, ωE = |ωE | (3.83)
o plasma não permite perturbações da densidade (pressão) e, em consequência, apenas um fluxo
estacionário poloidal e outro toroidal, normalmente de amplitude bem maior que o primeiro,
podem coexistir. Normalmente a componente poloidal destes fluxos possuem cisalhamento
radial, invertendo de sentido com a posição radial em um intervalo espacial correspondente ao
comprimento de onda radial. Este cisalhamento permite o controle de turbulência causada por
ondas de deriva [10].
3.5 Efeito de rotação nos GAMs e ZFs
Pelo fato de o sistema (3.51)–(3.53) ser linear, podemos escrever as quantidades perturbadas
como combinações das contribuições fundamentais (0), toroidal (T) e poloidal (P), de acordo
com a forma:
X = X(0) + X(T ) + X(P ), (3.84)
onde X(0) é a solução obtida quando MP = MT = 0, X(T ) é a contribuição toroidal (quando se
considera apenas rotação toroidal) e o X(P ) é a contribuição poloidal. Ressaltamos, no entanto,
que, quando os dois tipos de rotação são considerados, nos termos ∆ρ e ∆p contidos em X(T ) e
X(P ), é necessário considerar MP 6= 0.
52
Na parte restante desta seção, assim como no apêndice ??, consideramos a normalização
Ω =ω
k‖cs, ΩE =
ωE
k‖cs, (3.85)
e, neste apêndice, obtemos a relação de dispersão, a qual é mostrada a seguir:
2ΩE
Ω2 − 1(D(0) +D(T) +D(P)) = 0, (3.86)
onde
D(0) =Ω
2q2(−Ω2 + 2q2 + 1), (3.87)
D(T) =M2
T
Ω
[(
1 +1
2
∆V
MT+
1
γ
∆p
M2T
+1
2∆ρ
)
Ω2 +1
2
(
∆p
γ−∆ρ
)]
, (3.88)
D(P) =N p
+1(P)
D+1(P)
− N p−1
(P)
D−1(P)
+MT
[N v+1
(P)
D+1(P)
− N v−1
(P)
D−1(P)
+MT
2
(N ρ+1
(P)
D+1(P)
− N ρ−1
(P)
D−1(P)
)]
, (3.89)
D±1(P) ≈ (MP ∓ Ω)(Ω + 1∓MP )(Ω− 1∓MP ) + [2γ(Ω∓MP )
2 − 1]Mth. (3.90)
Antes de prosseguir com o desenvolvimento algébrico de (3.87)–(3.89), cujos extensos deta-
lhes são apresentados no apêndice ??, é conveniente calcular as singularidades em D(P) e, para
isso, considera-se que Mth ∼ M3P de forma a tornar possível, por meio de aproximações, resolver
analiticamente D±1(P) = 0. Os valores das singularidades, considerando MP ≥ 0, são mostrados
graficamente na figura 3.5.
Finalmente, apresentamos a seguir a relação final proveniente do desenvolvimento algébrico
de (3.87)–(3.89),
D(0) = Ω
(
− Ω2
2q2+ 1 +
1
2q2
)
, (3.91)
D(T) =M2
T
Ω
[
2(1 +M2P )
(
1− MP
MT+
1
2
M2P
M2T
)
+
(
1
4− MP
MT
)
M2T+
(
1
2− MP
MT+
M2P
M2T
)
Mth
MP
]
Ω2 − 1
2
Mth
MP
(3.92)
53
Ω(0)SW+
Ω(0)SW−
Ω(S)SW+
Ω(T )SW+
Ω(V )SW+
Ω(S)SW+ Ω(T )
SW+
Ω(V )SW+
Ω(S)ZF +
Ω(T )ZF +
Ω(V )ZF +
1
0
Adiabático Isotérmico IsométricoSem rotaçãopoloidal
- --
Figura 3.3: Singularidades do denomindador de D(P) para MP ≥ 0
D(P) =MP
(Ω2 − 1)5
4∑
k=0
K2k+1Ω2k+1,
(3.93)
onde os coeficientes K2k+1 = K2k+1(MP ,MT ,Mth) são mostrados no apêndice ??. A resolução
analítica de (3.86), tendo em vista as expressões acimas, é efetuada feita mediante a seguinte
aproximação assimptótica:
• Ramo acústico geodésico (GAM): Ω ≫ 1.
• Ramo sonoro de íon (SW): Ω ∼ 1.
• Fluxos zonais(ZF): Ω ∼ MP ≪ 1.
No primeiro e no terceiro caso, o polinômio (3.93) têm seu grau reduzido quando o desenvolvemos
em uma série de potência em Ω considerarmos apenas os três termos mais dominantes. O
54
segundo caso pode ser analisado, ao assumirmos soluções da forma Ω2 ≈ 1 +O(M2P ), de modo
que o denominador de (3.93) torna-se pequeno e, portanto, podemos considerar D(P) ≈ 0,
obtendo, assim, a solução no ramo sonoro.
A seguir analisamos separadamente o caso com rotação apenas toroidal e o caso em que a
rotação se desenvolve em ambas as direções.
3.5.1 Efeito da rotação toroidal
Com a susbstituição MP = 0 em (3.86) e (3.93) obtemos apenas duas soluções:
ω2GAM
c2s/R20
= 2 +1
q2+ 4M2
T +
(
2q2∆ρ
M2T
+1
2
)
M4T
2q2 + 1, (3.94)
ω2ZF
c2s/R20
=
(
∆ρ −∆p
γ
)
M2T
2q2 + 1, ∆p = γ
M2T
2, (3.95)
que correspondem, respectivamente a GAM e a ZF. Na tabela 3.1, os valores das frequências
relativas a estes modos são mostradas nos três regimes mais importantes: adiabático, isotérmico
e isométrico.
Tabela 3.1: Comparação entre os quadrados das frequências normalizadas (por cs/R0)dos GAMs e dos ZFs nos regimes isométrico, adiabático e isotérmico.
Regime GAM (R20ω
2GAM/c2s) ZF (R2
0ω2ZF/c
2s)
Isométrico 2 +1
q2+ 4M2
T +M4
T
4q2 + 2− M4
T
4q2 + 2
Adiabático 2 +1
q2+ 4M2
T +M4
T
20
Isotérmico 2 +1
q2+ 4M2
T + (2γq2 + 1)M4
T
4q2 + 2(γ − 1)
M4T
4q2 + 2
3.5.2 Efeito da rotação poloidal e toroidal
A seguir consideramos os regimes adiabático e isotérmico na análise do efeito de rotação
poloidal e toroidal nos GAMs e ZFs. No ramo geodésico e no ramo acústico de íons, as corres-
55
pondentes frequências são comuns nestes dois regimes e, para q ≫ 1, podem ser aproximadas
por:
ω2GAM
c2s/R20
≈ 2 +1
q2+M2
P + (MP − 2MT )2, (3.96)
ω2SW
c2s/R20
≈ 1
q2+
(3MP − 4MT )
q2MP . (3.97)
Em se tratando de ZFs, no regime adiabático a frequência não se altera ao contrário do que
ocorre no regime isotérmico, no qual, devido ao efeito do fluxo de calor (q),
ω2ZF
c2s/R20
≈ M2P
q2. (3.98)
A expressão (3.98) é aproximada e válida apenas no limite q ≫ 1, M2P ≪ 1 e M4
T ≪ M2P .
Historicamente, os resultados mostrados em (3.96) e (3.97) nos GAM devido ao efeito de
rotação poloidal foram obtidas primeiramente por V. I. Ilgisonis et. al. [47] considerando o
regime adiabático. A partir do estudo deste trabalho, considerando o efeito de fluxo de calor,
no regime isotérmico, obtivemos a correção dos fluxos zonais [81]. Há ainda o regime isométrico
a ser analisado, o que pretendemos fazer em um trabalho futuro.
3.6 Discussão sobre o índice adiabático
Antes do início da próxima seção, é conveniente expressar ωGAM em termos da velocidade
térmica de íons. Esta conveniência se deve ao intuito de comparar a teoria de um fluído com a
teoria de dois fluidos, cujos resultados coincidem com a teoria cinética (quando o amortecimento
de Landau não é levado em conta). Desta forma, conforme (3.73), a frequência dos GAMs pode
ser expressa como:
ω2GAM =
(
2 +1
q2
)
γp0ρ0
= γ
(
1 +1
2q2
)(
1 +Te
Ti
)
v2Ti
R20
, (3.99)
onde as relações: p0 ≈ n0(Ti + Te) e ρ0 ≈ n0mi foram utilizadas. A teoria de um fluido não
considera a diferença entre os índices adiabáticos (γ) de íons e de elétron. De fato, conforme a
teoria cinética, a suposição mais realista para plasmas de tokamak é γi = 5/3 ≈ 1, 7 e γe = 1.
Esta discrepância de valores se deve à grande diferença entre a massa de íons e de elétrons,
de forma que, por apresentarem inércia muito menor os elétrons são capazes de rapidamente
entrarem em equilíbrio térmico entre si. Desta forma, para efeitos de comparação entre as duas
56
teorias, é conveniente utilizar a substituição:
γ → γ(correto) =γi + γeTe/Ti
1 + Te/Ti, (3.100)
onde, para Te = Ti, γ(correto) ≈ 1, 3 < 5/3 ≈ 1, 7, representando um erro de aproximadamente
25%.
Na próxima seção, além de derivarmos uma relação mais precisa para a frequência dos
GAMs com relação ao índice adiabático, consideramos também o efeito da anisotropia de pres-
são, ou seja, p⊥ 6= p‖. Este efeito resulta em um aumento do índice adiabático efetivo para íons
(γi = 5/3 → γ(efetivo)i = 7/4). Para simplificar o modelo, nos restringimos ao limite q → ∞. Po-
rém, no próximo capítulo, no qual tratamos a respeito da teoria cinética, consideramos correções
de O(q−2) na frequência dos GAMs.
3.7 Modelo de dois fluidos com viscosidade paralela
Nesta seção partimos do sistema (2.66)–(2.69) para descrever plasmas no qual efeitos de
gradientes de densidade e de temperatura devem ser considerados, porém, não levamos em
conta no equilíbrio rotação e nem fluxo de calor, de acordo com modelo apresentado em [34].
Desta forma, tal sistema é composto pelas seguintes equações:
∂ni
∂t+∇ · (n0vi) = 0, (3.101)
∂pi∂t
+ vi ·∇p0i + γp0i∇ · vi = 0, (3.102)
∂π‖i∂t
+ p0i
[
−2vi ·∇ lnB − (γi − 1)∇ · vi
]
= 0, (3.103)
min0∂vi
∂t+∇pi +∇ · π‖i
− en0(E + vi × B) = 0, (3.104)
men0∂ve
∂t+∇pe + en0(E + ve × B) = 0, (3.105)
∇ · (ji + je) = 0. (3.106)
A seguir focamos nos objetivos didático do presente modelo, de forma que inicialmente não
57
levamos em conta efeitos de gradientes de densidade e de temperatura. Contudo, tais efeitos
são considerados posteriormente, ainda neste capítulo.
3.7.1 Efeito de anisotropia de pressão nos GAMs
Inicialmente, a partir do desenvolvimento algébrico de (3.101) –(3.103) no limite q ≫ 1,
considerando vi ≈ vE ,
∂ni
∂t− 2n0vE ·∇ lnB = 0, (3.107)
∂pi∂t
− 2γip0i vE ·∇ lnB = 0, (3.108)
∂π‖i
∂t− 2(2− γi)p0i vE ·∇ lnB = 0. (3.109)
obtemos as seguintes relações:
ni±1= ± i
2
ωdi
ω
eΦ0
Tin0, pi = γiTini, π‖i = (2− γi)Tini. (3.110)
Para elétrons, a dinâmica é consideravelmente diferente, pois estes, devido a sua pequena
inércia, são considerados no regime adiabático e isotérmico. Desta forma, como me ≪ mi, a
partir de (3.105), obtemos a componente paralela da equação de momento,
∇‖pe + en0E‖ = 0, E‖ = −∇‖Φ, (3.111)
que, quando utilizada em conjunto com equações similares a (3.107) e (3.108), porém para
elétrons, fornece relações similares às obtidas em (3.110):
pe = Tene, ne±1=
en0
TeΦ±1, Te = 0. (3.112)
É importante ter em mente que, ao contrário de v‖i, mesmo no limite q ≫ 1, ve não pode ser
desprezado. Informação sobre a velocidade paralela de íons e elétrons podem ser obtidas das
equações que não mencionamos acima, porém este é um tema para trabalhos futuros. Para a
presente análise, é importante é observar que devido a fato de que γe = 1, conforme (3.112),
elétrons não contribuem para a anisotropia da pressão (π‖e ≈ 0).
Da condição de quasi-neutralidade, e(ni − ne) = 0, obtemos
Φ±1 = ±iτe2
ωdi
ωΦ0, τe =
Te
Ti, (3.113)
58
ou, na forma trigonométrica,
Φs = τe(ωi/ω)krρiΦ0, Φc = 0, ωi =vTi
R0. (3.114)
Note que em (3.114) utilizamos a substituição ωdi = krρiωi, a qual tem por intuito mostrar que
Φs ∼ krρiΦ0, onde, ao longo desta tese, consideramos krρi ≪ 1.
A partir de (3.104) e (3.105), conforme mostrado anteriormente, obtém-se a densidade de
corrente:
j⊥α = jIα + jpα + jπα+ jEα, (3.115)
onde
jIi =min0
Bb × dvE
dt, jpα =
b ×∇pαB
, α = i, e, jπi=
b ×∇ · πi
B, (3.116)
são as contribuições importantes que devem ser calculadas para a obtenção da relação de disper-
são. Note que referente ao movimento de deriva E×B, há um cancelamento, pois jEi+ jEe
= 0,
com relação aos elétrons, a contribuição da corrente inercial é pequena, ou seja, jIe = (me/mi)jIi ,
podendo ser desprezada e, também, jπe≈ 0. Desta forma, apenas as contribuições mencionadas
em (3.116) são importantes para o cálculo da densidade de corrente total,
j⊥ =∑
α=i,e
j⊥α. (3.117)
Ao procedermos de forma similar ao procedimento adotado na seção 3.3, a partir da eq.
(E.73), obtemos a relação de dispersão,
eΦ0
Tikrρiω +
(
pisn0Ti
+pesn0Ti
+1
4
π‖isn0Ti
)
ωi = 0, (3.118)
cujo desenvolvimento é proveniente dos seguintes resultados:
JIr = −krρ2i2
eΦ0
Tien0ω, Jpr + Jπ‖r = −ρi
2
ωi
ε
e
Ti
[
∂
∂θ
(
p−π‖
2
)
+ 3επ‖ sin θ
]
. (3.119)
Finalmente, com a substituição de (3.110), (3.112) e (3.113) em (3.118), obtemos a relação
k2rρ2i
[
ω − ω2i
ω
(
γi + γeτe +2− γi
4
)]
eΦ0
Ti= 0 (3.120)
e, a partir desta, a frequência dos GAMs
ω2GAM
v2Ti/R2
0
= γi + γeτe +2− γi
4= γ
(eff)i + γeτe, (3.121)
59
onde γ(eff)i = 3γi/4 + 1/2 é o índice adiabático efetivo para íons.
Considerando γi = 5/3 (íons no regime de fluido) e γe = 1 (elétrons no regime adiabático e
isotérmico), segue que γ(eff)i = 7/4 e, consequentemente, segue que
ωGAM =
(
7
4+
Te
Ti
)1/2 vTi
R0, (3.122)
conforme observado anteriormente [34]. Observa-se que o efeito da anisotropia da pressão de
íons, presente no termo π‖i, representa, teoricamente, um pequeno aumento na frequência dos
GAM. Este aumento é de aproximadamente de aproximadamente 3, 0% para τe = 1 e, para
τe ≫ 1, o efeito é ainda menor (próximo de 1, 7%, considerando γ = γ(correto), conforme (3.100).
3.7.2 Efeitos diamagnéticos nos GAM
A seguir consideramos efeitos diamagnéticos (ou efeitos de deriva) nos modos GAM. Para
simplificar as expressões, consideramos desde início as substituições γi = 5/3 e γe = 1. Efeitos
de deriva são provenientes de termos tais como vE ·∇n0 e vE ·∇Ti0, ou seja, ocorrem devido a
gradientes radiais de densidade e temperatura de equilíbrio. Se comparadas com as eqs. (3.107)
e (3.108), as equações a serem resolvidas neste caso, agora, apresentam termos adicionais:
∂ni
∂t− 2n0vE ·∇ lnB + vE ·∇n0 = 0, (3.123)
3
2
∂pi∂t
− 5p0i vE ·∇ lnB +3
2vE ·∇p0i = 0, (3.124)
o que não ocorre com a eq. de evolução da viscosidade paralela, que permanece inalterada.
A solução para a densidade e pressão perturbadas de íons, neste caso,
ni±1=
(
± i
2
ωdi
ωΦ0 ∓
ω∗i
ωΦ±1
)
en0
Ti,
pi±1=
(
±5
3
i
2
ωdi
ωΦ0 ∓ (1 + ηi)
ω∗i
ωΦ±1
)
en0 (3.125)
podem ser contrastadas com os resultados apresentados em (3.110), onde observa-se que os
termos adicionais em (3.125) são provenientes de gradientes de densidade e de temperatura de
equilíbrio. Os termos definidos como ω∗i = Ti/erBLN e ω∗e = Te/erBLN , onde L−1N = dn0/dr
são conhecidos como frequências de dervia de íons e de elétrons, respectivamente. Também
é comum encontrar, na literatura da área, a frequência diamagnética, que, no caso de íons, é
definida como ω∗pi = (1 + ηi)ω∗i, onde ηi = LN/LTi
e L−1Ti
= dTi/dr.
A dinâmica de elétrons não se altera pela presença de efeitos diamagnéticos eletrostáticos,
porém, quando consideramos efeitos eletromagnéticos, conforme discutido em 3.8, o gradiente
60
da temperatura de elétrons desempenha um papel fundamental nesta dinâmica.
Novamente, consideramos a condição de quasi-neutralidade, ni = ne, para obter a relação
entre os harmônicos do potêncial eletrostático:
Φ±1 = ± i
2
τeωdi
ω ± ω∗eΦ0, (3.126)
de forma que, na presença de efeitos diamagnéticos, as componentes seno e cosseno (não nula
na presença de efeitos diamagnéticos) do potencial eletrostático são dadas por
Φs =τeωiω
ω2 − ω2∗e
krρiΦ0, Φc = −iτeωiω∗e
ω2 − ω2∗e
krρiΦ0 = −iω∗e
ωΦs. (3.127)
Analogamente ao caso anterior, sem efeito diamagnético, o termo principal para o desenvol-
vimento algébrio é a componente sin θ da quantidade p+ π‖/4, cujo cálculo fornece
(
p+π‖
4
)
s
= −ωdi
ω
(
7
4+
τeω2 + (1 + ηi)ω
2∗e
ω2 − ω2∗e
)
en0Φ0. (3.128)
Conforme o procedimento anterioriormente apresentado, o cálculo da média em uma super-
fície magnética das componente radial da densidade de corrente inercial e diamagnética fornece
a relação de dispersão, que é uma equação quadrática em ω2 com soluções:
ω2GAM± =
1
2
(
ω2GAM + ω2
∗e ±√
(ω2GAM + ω2
∗e)2 + (4ηi − 3)ω2
∗eω2i
)
, (3.129)
onde ω2GAM = (7/4 + τe)ω
2i , da mesma forma como definido anteriormente.
Estas soluções que obtivemos, as quais foram publicadas em [74], podem ter suas expressões
simplificadas se aproximadas no limite ω∗e ≪ ωi:
ω2GAM+ = ω2
GAM +1 + τe + ηi7/4 + τe
ω2∗e e ω2
GAM− =3/4− ηi7/4 + τe
ω2∗e (3.130)
Observa-se que gradientes de densidade e temperatura causam um aumento na frequência
dos GAM, que é proporional à frequência de deriva de elétrons. Para ηi = 0, 75, a segunda
solução (-) possui frequência próxima à dos ZF, o que pode desempenhar um papel importante
na dinâmica que governa a turbulência de ondas de deriva devido à interação não linear entre
estas duas frequências. Quantod ηi > 0, 75, este modelo prevê uma instabilidade. É possível
concluir que há claras indicações de que gradientes de temperatura ionica tendem a desestabilizar
o plasma ao passo que gradientes de densidade contribume para estabilizá-lo, de acordo com a
análise do valor de ηi na solução negativa de (3.130).
61
3.8 Discussão sobre GAMs eletromagnético
Com o intuito de apresentar opções para aprimoramento dos modelos para os GAM, dis-
cutimos a seguir o efeito causado pelo campo magnético perturbado perpendicular ao campo
magnético de equilíbrio. Tais efeitos são descritos pelo potencial vetor paralelo, A‖, de forma
que os campos elétrico e magnético perturbados são dado por
E = −∇Φ−∂A‖
∂t, B = ∇× (A‖b) (3.131)
A densidade de corrente paralela pode ser relacionada com o potencial vetor por meio do
uso da lei de Àmpere,
(∇× B) · b = µ0J‖ =⇒ J‖ =k2rµ0
A‖, (3.132)
onde utilizamos as relações (D.34) e (D.36). Também é útil relacionar esta densidade com a
velocidade, ou seja,
J‖ = J‖i + J‖e, J‖α = eαn0v‖α, (3.133)
de forma que é necessário determinar a componente paralela da velocidade de íons e de elétrons
para relacionar A‖ com Φ.
A pressão e, consequentemente, a densidade de elétrons, são obtidas a partir da componente
paralela da equação de momento, (3.104), porém, é necessário considerar a contribuição de B
neste cálculo. A equação resultante, então, fica,
∇‖pe + ∇‖pe0 + en0E‖ = 0 (3.134)
onde ∇‖ = (B/B) · ∇ é um operador cuja expressão é mostrada em (D.35) no apêndice D.4
e E‖ = −∇‖Φ + iωA‖ é a componente paralela do campo elétrico mostrado em (3.131). Note
que, devido ao segundo termo de (3.134), que só esta presente no caso eletromagnético (conf.
eq. (3.111)), surge ηe = LN/LTee, portanto, é provável que a dinâmica de elétrons desempenhe
um papel importante no caso eletromagnético. Neste caso, devido ao gradiente de temperatura
de elétron.
Com relação a dinâmica de íons, ficam inalteradas as grandezas π‖i e pi com relação a ni
calculadas anteriormente. Entretanto no caso magnético é necessário considerar as velocidades
paralelas de elétrons e de íons nas suas respectivas equações da continuidade, (3.101)
Com o prosseguimento dos cálculos provenientes das equações e condições descritas acima,
surgirá o importante termo K2⊥ = k2‖k
2rλ
2De
c2/ω2 adimensional, onde λDe=
√
ε0Te/n0e2 é o
comprimento de Debye para elétrons. O limite puramente eletrostático é obtido considerando
K⊥ → ∞, porém, por outro lado, quando K⊥ < 1 efeitos eletromagnéticos passam a ser
62
importantes da dinâmica dos GAM. Esta questão é discutida de forma mais geral em [92], onde
o parâmetro K⊥ foi definido. Em [66], partindo da equação cinética de deriva, é mostrado que
o modo poloidal m = 2 é importante no estudo de efeitos eletromagnéticos nos GAM.
3.9 Sumário e discussão
Neste capítulo, a partir da teoria da MHD ideal e do modelo de dois fluidos, no qual con-
sideramos anisotropia da pressão cinética de íons, obtivemos expressões analíticas para três
importantes ramos de baixas frequências: fluxos zonais, acústico de íons e acústico geo-
désico. A distinção da ordem de grandeza das frequências pertencentes a estes ramos pode ter
aplicações importantes se comparadas as expressões analíticas com valores experimentais das
respectivas frequências. Ao passo que algumas aplicações possuem objetivos diagnósticos, tais
como obter o perfil radial do fator de segurança, q(r), e da temperatura, T (r), outras se dire-
cionam para a análise de estabilidade. Identificar as condições em que ocorrem instabilidades
relacionadas a estes modos pode ajudar a evitar a degradação do confinamento causado por
transporte anômalo. Fluxos zonais, no sentido mais amplo (ZFs, SWs e GAMs) são capazes de
reduzir a turbulência causada por ondas de deriva por meio de um processo de auto-organização
que ocorre no plasma, o qual ainda não é muito bem compreendido [4,10] e, portanto identificar
as condições necessárias para a estabilidade destes fluxos é importante.
Inicialmente, partindo das equações da MHD ideal, investigamos o equilíbrio com rotação
poloidal e toroidal. Nesta investigação constatamos que gradientes de temperatura e, conse-
quentemente, o fluxo de calor de equilíbrio, estão relacionados à rotação poloidal. Entretanto,
no regime adiabático é possível a existência de rotação poloidal mesmo sendo o gradiente de
temperatura nulo (perfil plano para a temperatura) localmente. A inversão de sentido do gradi-
ente de temperatura indicaria, se tal situação for possível ao menos localmente, que houve uma
mudança de regime, do adiabático para o isométrico, o que pode causar instabilidade nos ZFs. O
detalhamento deste estudo, que se iniciou pelo trabalho de V. P. Lakhin [26], é uma das propos-
tas que apresentamos para trabalhos futuros. Próximo à região r = 0.7a da coluna de plasma,
observamos que o gradiente radial de temperatura é proporcional ao cubo da velocidade poloidal
(Mth ∝ M3P ). Concluímos que, utilizando o modelo da MHD ideal e a teoria de dois fluidos no
equilíbrio, é possível, pelo menos de forma aproximada, obter o perfil radial da temperatura de
íons, que, experimentalmente, é de difícil obtenção, a partir do perfil radial da velocidade de
rotação. No tokamak TCABR o perfil radial para VP e VT foi obtido experimentalmente [93].
Para a obtenção das frequências decorrentes de perturbações eletrostática, desenvolvemos
um método iterativo para um equilíbrio de regime arbitrário. Este método é desenvolvido em três
etapas consecutivas baseadas nas seguintes condições de equilíbrio: Sem rotação (MP = MT = 0),
com rotação unicamente toroidal (MP = 0, MT 6= 0) e, finalmente, com rotação poloidal e to-
roidal (MP 6= 0, MT 6= 0). A motivação para este método é proveniente do estudo realizado por
63
G. N. Throumoulopoulos [78], a respeito da inexistência de equilíbrio com rotação unicamente
poloidal. Com relação a este tema, há ainda questões em aberto. Primeiramente, a partir da
análise da figura (3.2.2), observa-se que em r ≈ 0.7 ocorre rotação unicamente poloidal de valor
próximo do máximo e, neste região, há inversão do sentido da rotação toroidal. A razão para
esta inversão de sentido ainda não é bem compreendida, mas pode ter um forte impacto na for-
mação da barreira de transporte [8] e, consequentemente, no transporte turbulento. Conforme
nos aproximamos da borda da coluna de plasma, este se torna mais colisional e, portanto, o
estudo desta região requer, em princípio, um modelo de fluido mais abrangente, capaz de incluir
viscosidade, resistividade e contribuições colisionais para o fluxo de calor.
Através do estudo da dinâmica de modos geodésicos de baixas frequências na seção 3.4,
observamos que há três frequências típicas correspondentes a ZFs (ω ∼ 0), SWs (ω ∼ vTi/qR0)
e GAMs (ω ∼ 2vTi/R0). O tipo de modo associado a cada uma destas frequências é importante
porque descreve o processo físico envolvido. O primeiro, ZF, ocorre quando o plasma responde
de maneira incompressível à perturbação eletrostática, em contraste com os outros dois tipos,
caracterizados por compressibilidade do plasma. Ondas de som (SWs) só podem ocorrer em duas
situações, na ausência de perturbações eletrostáticas (Φ0 = const.) e quando há rotação poloidal
de equilíbrio. Ainda não há na literatura uma compreensão detalhada sobre as razões físicas
para o comportamento do plasma em relação às perturbações eletrostáticas ou eletromagnéticas.
Como não ocorre uma transição suave entre os valores das frequências destes três tipos de
modos, a existência de lacunas (“gaps”) no espectro de frequência está presente e a relação entre
modos geodésicos e modos Alfvenicos [33] também é uma importante área de investigação,
principalmente no que se referre a diagnósticos, em especial, à obtenção do perfil radial de q e
da massa efetiva no plasma.
Ao incluir o termo de fluxo de calor causado pelo gradiente de temperatura radial na equação
de conservação de energia, obtivemos a correção na frequência dos ZFs, a qual, na presença de
rotação poloidal assumi valor finito [81], proporcional a MP .
O efeito da anisotropia de pressão de íons foi considerado no contexto da teoria de dois
fluídos neste capítulo. Com a suposição de que a pressão ao longo das linhas de campo e
perpendicular a estas, para íons, são diferentes, obtivemos o índice adiabático efetivo (γ(efetivo) =
7/4) para a velocidade do som no plasma e, consequentemente, a modificação do valor da
frequência dos GAMs. Entretanto esta modificação não é significativa se considerado o efeito
de rápida termalização dos elétrons, ou seja, devido a sua pequena massa, estes se comportam
isotermicamente e adiabaticamente, fazendo com que sua temperatura seja constante em uma
dada superfície magnética. Íons, no entanto, por terem inércia muito maior, são incapazes
entrarem em equilíbrio térmico no tempo característico de modos geodésicos sem que haja
fluxos de calor.
Com relação a efeitos diamagnéticos, ou seja, efeitos causados por gradientes radiais de
densidade e de temperatura de íons, os quais expressamos por meio dos comprimentos caracte-
64
rísticos LN e LTi, respectivamente, obtivemos dois GAMs eletrostáticos. O primeiro apresenta
um aumento de frequência devido a presença de gradiente de densidade. Em contraste, quando
há fortes gradientes de temperatura, especificamente, ηi = LN/LTi> 3/4, o segundo modo
se torna instável e não oscilatório. A taxa de crescimento desta instabilidade é proporciona a
frequência de deriva de elétrons (ω∗e = Te/erBLN ) e, portanto, trata-se de um efeito do raio de
Larmor finito (FLR), porém com relação aos íons. Este resultado, publicado recentemente [74],
é uma das principais contribuições desta tese.
Na seção 3.2 mostramos que gradientes de temperatura e rotação poloidal estão relacionados
e, desta forma, considerar efeitos diamagnéticos (ou efeitos de deriva), ao invés de rotação de
equilíbrio, pode ser uma alternativa conveniente para investigar a estabilidade de GAMs. Esta
conveniência reside na maior facilidade de utilização do modelo cinético, o qual descreve, entre
outros efeitos exclusivos da teoria cinética, o amortecimento de Landau, que é descrito no
próximo capítulo.
Considerar efeitos eletromagnéticos e efeitos diamagnéticos simultaneamente pode esclarecer
questões importantes, entre elas, a discrepância no valor de baixas frequências obtidas expe-
rimentalmente com os valores teóricos das frequências de modos Alfvenicos e GAMs. Além
disso, o efeito do gradiente da temperatura de elétrons nestes modos está ligado a perturba-
ções magnéticas, consideradas quando inclui-se nas equações o potencial vetor paralelo (A‖).
A investigação de GAMs eletromagnéticos [92] mostra que segundos harmônicos (m = ±2) de-
sempenham um papel importante em modos de baixas frequências e contribuem para a corrente
paralela (j‖) [66].
Incluir rotação de equilíbrio, efeitos diamagnéticos e perturbações magnéticas, simultanea-
mente, no estudo de GAMs é uma proposta fora do escopo desta tese, a qual pretendemos levar
adiante em um trabalho futuro que tem como base esta tese. Da mesma forma, ao considerar
fluxo de calor, os quais são importantes em modos de mais baixas frequências, em especial, ZFs,
pretendemos, futuramente, desenvolver mais pesquisas teórica sobre temas relacionados a esta
tese.
65
Capítulo 4
Investigação de modos acústicos
geodésicos (GAMs) pelo modelo
girocinético
Tendo em vista o que foi exposto nos capítulos 2 e 3, nos quais a discussão sobre o modelo
giro-cinético e a aplicação do modelo de fluídos ao estudo de efeitos diamagnéticos nos modos
acústicos geodésicos (GAMs) são apresentados, investigamos, neste capítulo, efeitos diamagné-
ticos e amortecimento de Landau nos GAMs utilizando a teoria giro-cinética.
4.1 Estudo de GAMs a partir do modelo girocinético
Nesta seção, para facilitar a compreensão do modelo girocinétcio aplicado à dinâmica de
GAMs, por simpliscidade, não levamos em conta gradientes de densidade e de temperatura.
Inicialmente, consideramos a função distribuição (fα), que, conforme (2.54), é representada
pela expressão
fα = eαΦ∂FMα
∂Eα+ gαeik⊥·ρα , ρα =
v⊥ × b
ωcα
, (4.1)
onde gα tem sua dinâmica governada pela equação girocinética, (2.52), a qual, quando despre-
zados perturbações do campo magnético (B ≈ 0) e gradientes de densidade e de temperatura
(∇FMα ≈ 0), pode ser escrita como
∂gα∂t
+ (vgα ·∇)gα = −eα∂FMα
∂Eα∂Φ
∂tJ0(k⊥ρα). (4.2)
A velocidade do centro guia, conforme (2.35), (2.37) e (2.38), quando não há rotação de equilíbrio
66
(Φ0 = 0), é obtida pela expressão:
vgα = v‖b +b
ωcα
×(
v2⊥2∇ lnB + v2‖κ
)
, (4.3)
que, em regimes de baixa pressão, ou seja, quando β = O(ε2), e, para tokamaks de alta razão
de aspecto (ε ≪ 1), pode ser aproximada por
vgα ≈ v‖b − 1
ωcαR0
(
v2⊥2
+ v2‖
)
(sin θer + cos θeθ). (4.4)
Para desenvolver algebricamente (4.2) adotamos as seguintes substituições:
∂
∂t→ −iω, ∇ = ik,
∂FMα
∂Eα= −FMα
Tα(4.5)
onde FMαé a função Maxwelliana que, em termos da energia da partícula (Eα), é representada
por (F.7) e k = erkr + bk‖. Os operadores diferenciais (identificados por “ ˆ”), que constituem
as componentes vetoriais de k, são definidos por:
kr = −i∂
∂r, k‖ = b · (eθkθ + eφkφ) = −ik‖
(
∂
∂θ+ q
∂
∂φ
)
,
kθ = −ikθ∂
∂θ, kφ ≈ 1
R0
∂
∂φ, kθ =
1
r, k‖ =
1
qR0. (4.6)
Da mesma forma como no capítulo 3, consideramos a condição kr ≫ kθ, condizente com
a ordem MHD, o que justifica a aproximação k⊥ ≈ kr no argumento da função de Bessel,
J0(k⊥ρα), em (4.2). Segue, então, que a eq. (4.2) pode ser aproximada para
[
ω − k‖v‖ +
(
v2⊥2
+ v2‖
)
sin θ
ωcαR0kr
]
gα = ωeαTα
J0(krv⊥/ωcα)ΦFMα. (4.7)
Com relação as variáveis θ e φ, a função gα pode ser expandida em série de Fourier,
gα =∑
m,n
g(α)mn(r)ei(mθ−nφ), (4.8)
onde m e n são, respectivamente, os modos poloidal e toroidal. Para GAMs, n = 0, de forma
que a eq. (4.7) pode ser escrita como
∞∑
m=−∞
[
iΩdα
2g(α)m−1 + (1−mΩtrα)g
(α)m − i
Ωdα
2g(α)m+1 − FMα
J0αeαTΦm
]
eimθ = 0, (4.9)
67
onde J0α = J0(krρα), g(α)m = g
(α)m0(r),
Ωdα =
(
1
2
v2⊥v2Tα
+v2‖
v2Tα
)
ωdα
ω, ωdi = krρiωi, ωde = −τeωdi, ωi =
vTi
R0, (4.10)
Ωtrα =v‖
vTα
ωtrα
ω, ωtri = k‖vTi
= ωi/q, ωtre =√
τe(mi/me)ωtri ≫ ωtri. (4.11)
Em (4.11), ωtrα é a frequência de circulação, que está associada ao movimento ao longo das
linhas de campo magnético. O comprimento de onda relativo ao movimento paralelo pode ser
representando pela expressão:λ‖ = 2πqR0/|m−nq|, onde observa-se que λ‖ → ∞ nas superfícies
magnéticas racionais em que q = m/n. Superfícies magnéticas racionais são aquelas em que
as linhas de campo se fecham sobre sí mesmas (q racional) e, por serem caracterizadas por
instabilidades devidas a ressonâncias que nelas ocorrem, tem relevada importancia em diversos
fenômenos em física de tokamaks.
Para resolver (4.9), em uma primeira aproximação, podemos considerar gm = 0 para |m| ≥ 2,
ou seja, levando em conta apenas o efeito de primeiros harmônicos. Com o uso desta aproxima-
ção, que é válida para krρi ≪ 1, obtemos a solução:
g(α)0 =
(J0αeα/Tα)FMα
1− Ω2trα − Ω2
dα/2
[
(1− Ω2trα)Φ0 − i
Ωdα
2(Φ1 − Φ−1)− i
ΩdαΩtrα
2(Φ1 + Φ−1)
]
, (4.12)
g(α)±1 =
1
1∓ Ωtrα
(
±iΩdα
2g(α)0 + J0α
eαTΦ±1FMα
)
, (4.13)
na qual o denominador de (4.12) pode ser aproximado por
1
1− Ω2trα − Ω2
dα/2=
1
1− Ω2trα
+1
2
Ω2dα
(1− Ω2trα)
2+O(Ω4
dα). (4.14)
Na forma trigonométrica, as eqs. (4.12) e (4.13), a partir do uso das relações g(α)s = −i(g(α)1 − g
(α)−1 )
e g(α)c = g
(α)1 + g
(α)−1 , podem ser expressas como:
g(α)0 =
J0αeα/Tα
1− Ω2trα
[(
1 +Ω2
dα
2− Ω2
trα
)
Φ0 +Ωdα
2Φs + i
ΩdαΩtrα
2Φc
]
FMα, (4.15)
g(α)s =J0αeα/Tα
1− Ω2trα
(
ΩdαΦ0 + Φs + iΩtrαΦc
)
FMα, (4.16)
g(α)c =J0αeα/Tα
1− Ω2trα
[
−iΩdαΩtrαΦ0 − iΩtrαΦs + Φc
]
FMα. (4.17)
68
Ao longo desta tese, consideramos este modelo para a obtenção de modos de frequências no
intervalo ωtri < ω ≪ ωtre. Não levamos em conta o efeito finito da massa de elétron, ou seja,
me/mi ≈ 0, de forma que ωtre → ∞. A seguir investigamos os efeitos do movimento paralelo
das partículas, os quais estão relacionados com o valor da frequência ωtri. A metodologia
que adotamos para o estudo deste movimento segue uma ordem gradativa de dificuldade com
relação ao desenvolvimento algebrico. Desta forma, primeiramente consideramos q → ∞ ou,
seja, ωtri = 0, entretatanto a condição mi/qme → ∞ deve ser considerada simultaenamente, o
que se traduz para ωtre → ∞. Em um segundo passo, ωtri/ω ≪ 1 é considerado, assumindo que
ω é real, o que nos permite obter correções O(q−2) para a frequência dos GAMs. Mesmo com
esta consideração, ainda não estariamos levando em conta um importante efeito, a dissipação
não colisional conhecida por amortecimento de Landau [30], o qual é incluido no final desta
seção na terceira etapa. Nesta etapa, ω é visto como uma frequência complexa em princípio, e,
em termos da função de dispersão de plasma [95], Z(x), o resultado para ωtri ∼ ω é obtido.
4.1.1 Limite de fluido com k‖vTi= 0 (q → ∞)
Antes de iniciar o cálculo algebrico a partir da aproximação k‖vTi= 0, discutimos a respeito
da densidade de partículas, a qual é utilizada na obtenção da relação de dispersão. A densi-
dade de partículas, por sua vez, é obtida pela integração, no espaço de velocidades, da função
distribuição, ou seja,
nα =⟨
fα
⟩
= n(C)α + n(G)
α , (4.18)
onde, para uma grandeza genérica da forma Xα = Xα(t, r, v⊥, v‖, γ), definimos “〈〉” como
X(macroscópico)α (r, t) = 〈X〉 =
∫
vd3vX(partícula)
α , d3v = dγdv‖dv⊥v⊥. (4.19)
Em (4.18), n(C)α e n
(G)α representam, respectivamente, as contribuições cilíndrica (simétrica em
relação a θ) e geodésica (sensível a curvatura geodésica do campo magnético e não simétrica em
relação a θ) para a densidade de partículas. De acordo com (4.1), segue que
n(C) = eαΦ
⟨
∂FMα
∂Eα
⟩
= −eαΦ
TαFMα
, n(G) =⟨
gαeik⊥·ρα
⟩
. (4.20)
Para elétrons, como ωtre → ∞, Ωtre → ∞ pode ser considerado em (4.15), (4.16) e (4.17),
de forma que
g(e)0 =
−eΦ0
TeFMe
e g(e)s = g(e)c = 0, (4.21)
69
e, consequentemente,
n(C)e =
en0
Te(Φ0 + Φs sin θ + Φc cos θ), n(G)
e ≈ −en0
TeΦ0. (4.22)
Note que 〈FMe〉 = 〈FMi
〉 = n01 e, com relação a contribuição geodésica, utilizamos a relação
〈exp(−ik⊥ · ρe〉 = J0(k⊥ρe) ≈ 1, pois podemos desprezar o efeito de raio de Larmor finito (FLR)
para elétrons.
A contribuição cilíndrica para íons é analoga a de elétrons, ou seja, a densidade tem uma
resposta de Boltzmann,
n(C)i
n(C)e
= −τe, τe =Te
Ti. (4.23)
No entanto, com relação à contribuição geodésica, a resposta é completamente diferente. Con-
sideramos a seguir o caso ωtri/ω = 0 e, consequentemente Ωtri = 0, de acordo com (4.11), de
forma que o resultado para ni(G) pode ser expresso como:
n(G)i =
en0
Ti
[(
I(i)0 +
I(i)2
2
)
Φ0 +I(i)0
2Φs
]
+
[
I(i)1 Φ0 + I
(i)0 Φs
]
sin θ + I(i)0 Φc cos θ
, (4.24)
onde as integrais I(i)n =
⟨
J20i(Ωdi/ω)
n⟩
, n = 0, 1, 2 são calculadas em F.2 e podem ser apro-
ximadas por: I(i)0 = 1 − k2rρ
2i /2, I
(i)1 = krρi/Ω e I
(i)2 = (7/4)k2rρ
2i /Ω
2 em (4.24). Note que,
analogamente ao capítulo anterior, consideramos a frequência normalizada, mas definida de
forma diferente aqui, ou seja,
Ω =ω
ωi=
ωR0
vTi
. (4.25)
Segue, portanto, que o cálculo da densidade perturbada total de íons e de elétrons, em primeira
ordem, resulta em
ni
en0/Ti=
1
2
[
(−Ω2 + 7/4)k2rρ
2i
Ω2Φ0 +
krρiΩ
Φs
]
+krρiΩ
Φ0 sin θ,
ne
en0/Ti= τi(Φs sin θ + Φc cos θ), τi =
Ti
Te. (4.26)
Para obter a frequência dos GAMs, empregamos a condição de quasi-neutralidade,
e(ni − ne) = 0, (4.27)
na qual substitimos os valores das densidades perturbadas de íons e de elétrons mostrados em
1Este resultado é imediato se observarmos que a integral do primeiro momento da função distribuiçãoé a densidade de partículas (n0) e se considerarmos a condição de quasi-neutralidade, ni = ne = n0.
70
(4.26), o que resulta na equação:
1
2
[(
−Ω2 +7
4
)
k2rρ2i Φ0 +ΩkrρiΦs
]
+
(
ΩkrρiΦ0 − τiΩ2Φs
)
sin θ − τiΩ2Φc cos θ = 0, (4.28)
que é válida para Ω 6= 0 e é satisfeita para θ arbitrário se, e somente se,
Φc = 0, Φs = τekrρiΩ
Φ0,
(
−Ω2 +7
4+ τe
)
k2rρ2i Φ0 = 0. (4.29)
Note que (4.28) e (4.29) sugerem a relação Φm = O(kmr ρmi )Φ0, a qual pode ser utilizada em
modelos que mais abrangentes. A última relação em (4.29) resulta na frequência dos GAMs,
ωGAM = Ωg0vTi
R0, Ω2
g0 =7
4+
Te
Ti. (4.30)
a qual concorda com o valor obtido pela teoria de dois fluidos com viscosidade paralela, conforme
(3.122).
A seguir, considerando k‖vTifinito, porém k‖vTi
≪ ω, obtemos correções de O(q−2) para a
frequência mostrada em (4.30).
4.1.2 Limite de fluido com k‖vTifinito (q ≫ 1)
No limite de fluido, utilizamos a seguinte expansão em série,
1
1− Ω2tri
= 1 + Ω2tri +O(Ω4
tri), (4.31)
em (4.15), (4.16) e (4.17) e, ao desprezar termos de O(Ω3tri), a relação de dispersão, escrita na
forma matricial, fica
e2n0
Ti
(
1 sin θ cos θ)
R00 R0s R0c
Rs0 Rss Rsc
Rc0 Rcs Rcc
Φ0
Φs
Φc
= 0, (4.32)
onde os elementos da matriz central são definidos pelas seguintes expressões:
R00 = I(i)00 − 1 +
1
2(I
(i)20 + I
(i)22 ) =
1
2
[
−Ω2 +7
4+
23
8
1
q2Ω2
]
k2rρ2i
Ω2,
R0s =1
2Rs0 =
1
2(I
(i)10 + I
(i)12 ) =
1
2
(
1 +1
q2Ω2
)
krρiΩ
,
Rss = Rcc = I(i)02 − τi =
1
2q2Ω2− τi,
R0c = −1
2Rc0 =
i
2I(i)11 = 0, Rsc = −Rcs = iI
(i)01 = 0, (4.33)
71
onde as integrais da forma I(i)ab =
⟨
J20iΩ
adiΩ
btri
⟩
, com a, b = 0, 1, 2, são computadas em F.2. Para
que não haja a solução trivial, impõem-se que o determinante da matriz central de (4.32) seja
nulo, ou seja,
R2ss
(
R00 − 2R2
0s
Rss
)
= 0. (4.34)
Da condição Rss = 0 obtemos a frequência sigular no ramo acústico de íons:
ωsw0 = Ωs0vTi
R0= k‖cse, Ω2
s0 =τe2q2
, (4.35)
onde cse =√
Te/mi é a velocidade do som no limite de íons frios (Ti ≪ Te), pois c2s =√
(γiTi + γeTe)/mi e γe = 1.
Para Rss 6= 0, segue que
(
−Ω2 +7
4+ τi
23
4
Ω2s0
Ω2+
τe + 4Ω2s0/Ω
2
1− Ω2s0/Ω
2
)
k2rρ2i
Ω2= 0. (4.36)
Note que no limite Ωs0 → 0 (q → ∞), a solução mostrada em (4.30) é obtida. Considerando
krρi 6= 0, as soluções de (4.36) em Ω2 são obtidas a partir da seguinte equação bi-cúbica:
Ω6 − (Ω2g0 +Ω2
s0)Ω4 −
(
23
4τi +
9
4
)
Ω2s0Ω
2 +23
4τiΩ
4s0 = 0, τi =
Ti
Te. (4.37)
Pelo fato de não levarmos em conta gradientes de densidade e de temperatura (fontes de ins-
tabilidades) e efeitos cinéticos nesta seção, as únicas soluções de (4.37) com significado físico
são as positivas. Estas soluções podem ser determinadas analiticamente de forma aproximada,
pois elas possuem ordens de gradezas distintas:Ω1 ∼ 1 e Ω2 ∼ Ωs0, onde Ωs0 ≪ 1. Para a
determinação da primeira, podemos desprezar o último termo do lado esquerdo em (4.37), que é
de O(Ω4s0). Com relação a segunda solução, podemos desprezar Ω6 em (4.37), obtendo também
uma equação bi-quadrática. No primeiro caso, a equação a ser resolvida é dada por:
Ω4 − (Ω2g0 +Ω2
s0)Ω2 −
(
23
4τi +
9
4
)
Ω2s0 = 0. (4.38)
Das soluções de (4.38),
Ω2 =Ω2
g0
2
[
1 +
(
7
4+ τe
)
Ω2s0
Ω2g0
]
[
1±√
1 +(23τi + 9)Ω2
s0/Ω2g0
(1 + Ω2s0/Ω
2g0)
2
]
(4.39)
a única com significado físico, que representa GAMs com correções em q, é a solução positiva,
72
a qual pode ser aproximada quando Ωs0/Ωg0 ≪ 1, ou seja,
ωGAM =
(
Ω2g0 +
Ω2s1
Ω2g0
)1/2 vTi
R0+O(q−4)
vTi
R0, (4.40)
onde
Ωs1 =
(
23
4τi + 4 + τe
)1/2
Ωs0. (4.41)
Admitindo Ω ∼ Ωs0, a eq. (4.37) pode ser aproximada para
Ω4 +
(
23
4τi +
9
4
)
Ω2s0
Ω2g0
Ω2 − 23
4τiΩ2
s0
Ω2g0
Ω2s0 = 0, (4.42)
cuja solução válida, que representa SWs, é dada por
ωSW =
[√
1 +4(7 + 4τe)τe
23(1 + 9τe/23)2− 1
]1/2(
23
8τi +
9
8
)1/2Ωs0
Ωg0
vTi
R0. (4.43)
Note que no limite de íons frios, τe → ∞, ΩSW → 1/q, em acordo com a teoria da MHD ideal
se considerado γe = 1. No entanto, para τi finito, ΩSW < 1/q, de forma que, no espectro de
frequência, esta solução esta abaixo da frequência acústica de ions.
Com a substituição dos valores de Ωg0, Ωs0 e Ωs1 em (4.40), obtemos a forma final da
frequência de GAMs,
ωGAM =
[(
7
4+
Te
Ti
)
+1
q2
(
23
8+ 2
Te
Ti+
1
2
T 2e
T 2i
)(
7
4+
Te
Ti
)−1]1/2 vTi
R0, (4.44)
que está de acordo com o resultado obtido anteriormente em [64,92] (veja, nestas Refs., as eqs.
(6) e (46) respectivamente).
No limite de íons frios (Ti ≪ Te), a solução apresentada em (4.44) converge para o valor
obtido pelo modelo da MHD ideal [25], se considerarmos γe = 1, de acordo com (3.99) e (3.100).
Esta observação foi feita anteriormente por A. I. Smolyakov [92], e, neste caso, a frequência
pode ser aproximada por:
ωGAM ≈(
2 +1
q2
)1/2 cseR0
, cse =
√
Te
mi. (4.45)
A partir de (4.32), (4.33) e (4.44) segue que
Φc = 0, Φs = −2R0s
RssΦ0 =
τeΩ2 + 2Ω2
s0
Ω2 − Ω2s0
krρiΩ
Φ0, (4.46)
73
onde observa-se que Ω = Ωs0, assim como em (4.36), representa uma singularidade.
4.1.3 Dissipação de Landau em GAMs (ω > k‖vTi)
Para valores baixos de q, a expansão em série, em (4.31), não pode ser utilizada, de forma
que ao desenvolver as equações os resultados dependerão da função de dispersão de plasma [95],
que é definida como:
Z(ζ) =1√π
∫ ∞
−∞dx
e−x2
x− ζ, (4.47)
onde x é real e ζ complexo, com sua parte imaginária, Im(ζ), podendo assumir valores positivo,
negativo ou nulo, mediante o método de prolongamento analítico. Para a obtenção de resultados
analíticos, considera-se |Im(ζ)| ≪ |Re(ζ)|, de forma que este modelo se aplica exclusivamente
ao estudo de modos fracamente instáveis ou amortecidos.
O cálculo dos termos da matriz central de (4.32) resulta, em termos da função dispersão,
resulta em:
R00 = L(i)0 − 1 +
1
2L(i)2 − L(i)
02 = −1
2
3
2ζ2α + ζ4α +
(
1
2ζα + ζ3α + ζ5α
)
[Z(ζα)− i√πe−ζ2i ]
k2rρ2i
Ω2,
R0s =1
2Rs0 =
1
2L(i)1 = −1
2
ζ2i +
(
1
2ζi + ζ3i
)
[Z(ζi)− i√πe−ζ2i ]
krρiΩ
,
Rss = Rcc = L(i)0 − 1− τi = −
1 + τi + ζi[Z(ζi)− i√πe−ζ2i ]
,
R0c = −1
2Rc0 =
i
2L(i)11 ∝ e−ζ2i , Rsc = −Rcs = iL(i)
01 ∝ e−ζ2i , (4.48)
onde ζi = qΩ e Ω = ΩR + iΓ. Em (4.48) utilizamos as seguintes definições:
L(α)a =
⟨
J20αΩ
adα
1− Ω2trα
⟩
e L(α)ab =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrα
1− Ω2trα
⟩
, a, b = 0, s, c, (4.49)
cujos cálculos são efetuados em F.3 e F.4.
A relação de dispersão,
R2ss
[(
1 +R2
sc
R2ss
)
R00 − 2(R2
0s −R20c)
Rss− 4
R0sR0cRsc
R2ss
]
= 0, (4.50)
é obtida a partir de (4.32) e (4.48), onde os valores de Rab são calculados considerando-se a
forma aproximada de Z(ζi), conforme (F.24), para ζi ≫ 1. Com este procedimento, a partir da
74
substituição dos termos dominantes em (4.50),
R00 =1
2
[
−Ω2 +
(
7
4+
23
8
1
ζ2i+ i(σ − 1)
√πζ5i e−ζ2i + i(σ − 1)
√πζ3i e−ζ2i
)]
k2rρ2i
Ω2,
R0s =1
2
(
1 +1
ζ2i+ i(σ − 1)
√πζ3i e−ζ2i
)
krρiΩ
, Rss = −(
τi −1
2ζ2i+ i(σ − 1)
√πζie
−ζ2i
)
. (4.51)
em (4.50), não levando em conta termos de ordem e−2ζ2i , resulta a forma final:
−Ω2 +Ω2g0 +
Ω2s1
Ω2+ i(σ − 1)
[
1 + 2(2 + τi)Ω2
s0
Ω2
]√πq5Ω5e−q2Ω2
= 0. (4.52)
Note que para σ = 1 retomamos o limite de fluido, cujos resultados foram apresentados ante-
riormente. Com a escolha correta, σ = 2, que representa o caso em ocorre amortecimento de
Landau, obtemos a relação correta.
A razão física para que estes modos sejam amortecidos está baseada no fato de o integrando
da integral com relação a velocidade paralela é uma função gaussiana e, portanto, o número de
partículas com velocidades inferiores a velocidade de fase da onda (vph), a qual está localizada
na cauda da distribuição, é maior do que o número de partículas com velocidades superiores
a vph. Em consequência, há mais partículas que recebem energia da onda do que partículas
que cedem energia a ela, de forma que, com a perda de energia, a onda é amortecida devido a
interação onda-partícula média, ou efeito de Landau [30].
Nesta seção, pelo fato de estarmos interessados nos valores de frequências e taxas de amor-
tecimento somente em primeira ordem, os quais são apresentados incluindo a próxima ordem
na seção 4.3, considerando Ω = ΩR + iΓ, com Γ < 0 e |Γ| ≪ |ΩR|, a equação a ser resolvida
pode ser aproximada por:
D(Ω) = F(Ω) + iK(Ω) = 0,
F ≈ Ω2 − (7/4 + τe), K ≈ √πq5Ω5e−q2Ω2
. (4.53)
Para resolver (4.53), utilizamos um procedimento iterativo baseado na expansão em série de
Taylor para Ω = ΩR em primeira ordem. Inicialmente consideramos a aproximação em série:
D(Ω) ≈ F(ΩR) + iK(ΩR) + iΓ
(
∂F∂Ω
+ i∂K∂Ω
)∣
∣
∣
∣
Ω=ΩR
= 0. (4.54)
Posteriormente, isolando parte real de imaginária em (4.54), onde ambas devem se anular,
obtemos as relações:
F (ΩR) = 0, (4.55)
75
Γ = − K(ΩR)
F ′(ΩR), F ′ =
∂F∂Ω
, (4.56)
nas quais desprezamos o termo −ΓK′(ΩR) em (4.55) por ser muito pequeno. O último passo,
consiste em resolver (4.55) para obter ΩR e, finalmente, substitui-lo em (4.56), o que permite a
obtenção de Γ.
Em uma primeira aproximação, segue que
ΩR ≈ 7
4+ τe, Γ ≈ −
√π
2q2Ω5
Re−q2Ω2
R . (4.57)
É possível avaliar o modelo por meio do cálculo numérico de Γ/ΩR. Para q = 1 e τe = 3, ou
seja, próximo do centro da coluna de plasma, |Γ|/ΩR ≈ 0.17. Conforme nos aproximamos da
borda, este valor diminui drasticamente. Por exemplo, supondo q = 2, τe = 1, |Γ|/ΩR ∼ 10−4.
Concluímos, portanto, que o amortecimento de GAMs é importante apenas para q baixo, o
que normalmente ocorre no centro da coluna de plasma e, a partir deste modelo, o efeito do
amortecimento de Landau para íons é teoricamente descrito com bastante precisão. O resultado
que obtivemos para Γ concorda com o obtido em [64,82].
4.2 Discussão sobre aplicações do modelo girocinético
na forma mais geral
A seguir apresentamos uma discussão mais detalhada sobre o modelo girocinético, no qual
consideramos o gradiente radial da função Maxwelliana e o potencial vetor paralelo perturbado
(A‖), o qual descreve perturbações magnéticas perpendiculares. Neste contexto, a equação
girocinética a ser desenvolvida é expressa por:
∂gα∂t
+ (vgα ·∇)gα = eα
(
−∂FMα
∂Eα∂
∂t+
b ×∇FMα
mαωcα
· ik⊥
)
J0α(Φ− v‖A‖), (4.58)
ao invés da versão apresentada em (4.2). Entretanto fα, em termos de gα, permanece inalterada
e, de acordo com (4.1), é expressa como:
fα = eαΦ∂FMα
∂Eα+ gαeik⊥·ρα . (4.59)
Com a utilização de (F.8) e (F.10) em (4.58) resulta que para qualquer m e n, deve ser satisfeita
a seguinte equação:
−iΩdα
2g(α)m−1,n + [1− (m− nq)Ωtrα]g
(α)m,n + i
Ωdα
2g(α)m+1,n = (1−mΩ∗)Ψ
(α)m,n, (4.60)
76
onde
Ψ(α)m,n = J0α(Φm,n − v‖A‖m,n)
eαTα
FMα, (4.61)
Ω∗α =eαe
ω∗α
ω
[
1 + ηα
(
v2⊥v2Tα
+v2‖
v2Tα
− 3
2
)]
, ω∗α =Tα
eBrLN∼ ρi/LN
r/R0
vTi
R0. (4.62)
A relação entre A‖ e Φ é obtida pela lei de Ampère, ou seja, considerando kr ≫ r−1, resulta
que
J‖ =∑
α=i,e
eα
⟨
v‖fα
⟩
≈ k2rµ0
A‖, (4.63)
onde fα = fα(Φ, A‖) no caso mais geral.
A equação (4.60), em conjunto com a relação (4.63), é o ponto de partida para a investigação
de inúmeros tipos de modos Alfvênicos e geodésicos e seus correspondentes automodos. Com
estas equações podemos tratar diversos efeitos, tais como efeitos eletromagnéticos (A‖ 6= 0),
efeitos de deriva (ω∗α 6= 0), amortecimento de Landau, etc. No entanto, seguindo o foco
desta tese, consideramos apenas efeitos de deriva e amortecimento de Landau, os quais são
apresentados na próxima seção. Em futuros trabalhos pretendemos desenvolver os outros tópicos
mencionados.
4.3 Efeitos diamagnéticos e amortecimento de Landau
em GAMs
Se considerarmos apenas primeiros harmônicos no regime eletrostático, incluindo gradientes
de temperatura e de densidade provenientes do gradiente da função distribuição de equilíbrio,
as soluções de (4.60) se resumem a
g(α)0 =
J0αeαFMα/Tα
1− Ω2trα − Ω2
dα/2
[
iΩdα
2(1− Ωtrα)(1 + Ω∗α)Φ−1+
(1− Ω2trα)Φ0 − i
Ωdα
2(1 + Ωtrα)(1− Ω∗α)Φ1
]
, (4.64)
g(α)±1 =
1
1∓ Ωtrα
[
±iΩdα
2g(α)0 + J0α
eαTα
FMα(1∓ Ω∗α)Φ±1
]
, (4.65)
77
ou, de forma alternativa, em componentes senoidais e cossenoidais,
gα0 =eαFMα
TαJ0α
[(
1 +1
2
Ω2dα
1− Ω2trα
)
Φ0 −1
2
(
Ωdα
1− Ω2trα
− ΩdαΩtrαΩ∗α
1− Ω2trα
)
Φs −
i
2
(
ΩdαΩtrα
1− Ω2trα
− ΩdαΩ∗α
1− Ω2trα
)
Φc
]
, (4.66)
gαs =eαFMα
TαJ0α
[
− Ωdα
1− Ω2trα
Φ0 +
(
1
1− Ω2trα
− ΩtrαΩ∗α
1− Ω2trα
)
Φs +
i
(
Ωtrα
1− Ω2trα
− Ω∗α
1− Ω2trα
)
Φc
]
(4.67)
gαc =eαFMα
TαJ0α
[
iΩdαΩtrα
1− Ω2trα
Φ0 − i
(
Ωtrα
1− Ω2trα
− Ω∗α
1− Ω2trα
)
Φs +
(
1
1− Ω2trα
− ΩtrαΩ∗α
1− Ω2trα
)
Φc
]
. (4.68)
A partir da integração no espaço de velocidades de (4.66), (4.67) e (4.68), obtemos os elementos
da matriz central, de acordo com a representação matricial em (4.32). Este cálculo, quando
feito em detalhes, resulta nas seguintes expressões:
R00 = L(i)0 +
1
2L(i)2 − 1, Rss = Rcc = L(i)
0 − L(i)011 − 1− τi,
R0s = −1
2L(i)1 +
1
2L(i)111, Rs0 = −L(i)
1 , Rsc = −Rcs = iL(i)01 − iL(i)
001,
R0c = − i
2L(i)11 +
i
2L(i)101, Rc0 = iL(i)
11 , (4.69)
que, com o uso de (F.36), ao separar partes reais (F) de imaginárias (K), podem ser desenvol-
vidas da seguinte forma:
R(F)00 =
1
2
(
−Ω2 +7
4+
23
8q2Ω2+
9
8q4Ω4
)
k2rρ2i
Ω2,
R(K)00 = −i
√π
2
(
1 +1
q2Ω2+
1
2q4Ω4
)
k2rρ2i
Ω2q5Ω5e−q2Ω2
, (4.70)
R(F)0s = −1
2
(
1 +1
q2Ω2+
9
4q4Ω4
)
krρiΩ
+
R(K)0s = i
√π
2
[
1 +1
2q2Ω2−(
ηiq2Ω2 + 1 +
1 + ηi/2
2q2Ω2
)
Ω∗i
]
krρiΩ
q3Ω3e−q2Ω2
(4.71)
78
R(F)0c = −
√π
2
[
1
q2Ω2+
1
q4Ω4−(
ηi +1
q2Ω2+
1 + ηi/2
2q4Ω4
)
Ω∗i
]
krρiΩ
q5Ω5e−q2Ω2
,
R(K)0c =
i
2
(
1 + ηi +1 + 2ηiq2Ω2
+9 + 3ηi/4
4q4Ω4
)
krρiΩ
Ω∗i, (4.72)
R(F)s0 = −
(
1 +1
q2Ω2+
9
4q4Ω4
)
krρiΩ
, R(K)s0 = i
√π
(
1 +1
q2Ω2
)
krρiΩ
q3Ω3e−q2Ω2
(4.73)
R(F)ss = −τi +
1
2q2Ω2+
3
4q4Ω4, R(K)
ss = −i√π
[
− 1
q2Ω2+
(
ηi +1− ηi2q2Ω2
)
Ω∗i
]
q3Ω3e−q2Ω2
, (4.74)
R(F)c0 =
√π
(
1 +1
2q2Ω2
)
krρiΩ
q3Ω3e−q2Ω2
, (4.75)
onde Rab = R(F)ab +R(K)
ab (a, b → 0, s, c).
Em ordem dominante, desconsiderando termos quadráticos da função exponencial, o deter-
minante da matriz central em (4.32), o qual pode ser aproximado por
Rss(RssR00 −R0sRs0 −R0cRc0) = 0, (4.76)
ao ser desenvolvido, resulta na seguinte relação de dispersão:
F(Ω) + iK(Ω) = 0, F(Ω) ≈3
∑
j=0
C(F)2j Ω2j , K(Ω) ≈ √
πΩ54
∑
j=0
C(K)j Ωje−q2Ω2
,
C(F)0 = (Ω2
s2 +Ω2*s)Ω
2s0, C
(F)2 = 2Ω2
g0Ω2s0 +Ωs1 +Ω2
*d, C(F)4 = −(Ω2
g0 + 2Ω2s0 +Ω2
∗e),
C(F)6 = 1, C
(K)0 = (3ηi − 2)ηiΩ∗iΩ∗eΩ
2s0, C
(K)1 = (1 + τe)(3ηi − 2)Ω∗iΩ
2s0,
C(K)2 = 2(1 + τi)Ω
2s0 + (ηi − 1)Ω2
∗e, C(K)3 = −1, C
(K)4 = 1. (4.77)
As frequências utilizadas em (4.77) são definidas na tabela 4.1, a qual também mostra os valores
aproximados destas frequências no centro e na borda da coluna de plasma.
79
Tabela 4.1: Frequências típicas normalizadas (por vTi/R0) relacionadas a efeitos
geodésicos, acústicos de íons e diamagnéticos.
Frequência Expressão analítica τe = 1, q = 3.5 (borda) τe = 3, q = 2 (centro)
Ω2g0
7
4+ τe 2.75 4.75
Ω2s0
τe2q2
2.04× 10−2 1.88× 10−1
Ω2s1
(
23
4τi + 4 + τe
)
Ω2s0 2.19× 10−1 1.68
Ω2*g (1 + τe + ηi)Ω
2∗e (1 + 0.5ηi)
ρ2i /L2N
R20/r
2(2 + 0.5ηi)
ρ2i /L2N
R20/r
2
Ω2*d
(
3
4− ηi
)
Ω2∗e
Ω2s2
(
15
2τi +
9
4
)
Ω4s0
Ω2*s τi
(
η2i +9
2ηi −
17
4
)
Ω2∗e
4.3.1 Soluções no limite de fluido
O limite de fluido é obtido considerando e−q2Ω2 → 0 em (4.77), ou seja, através da resolução
de F(Ω) = 0. Por se tratar de uma equação bi-cúbica e, portanto, difícil de ser solucionada
analiticamente, utilizamos a forma a aproximada desta equação, a qual fornece as soluções
assimptóticas, considerando que as três soluções possuem as seguintes ordens de grandeza:
Ω1 ∼ Ωg0 ∼ 1, Ω2 ∼ Ωs0 ∼ δ ≪ 1 e Ω3 ∼ Ω*e ∼ δ ≪ 1.
• Primeira solução (GAMs): Por se tratar da frequência de valor mais alto, Ω1 ∼ 1,
podemos desprezar C(F)0 = O(δ4). de forma que F = 0 torna-se uma equação quadrática
em Ω2 cuja solução positiva fornece como solução a frequência dos GAMs corrigida pelo
80
fator de segurança (q) e por efeitos diamagnéticos:
Ω2GAM = Ω2
g0 +Ω2
s1
Ω2g0
+Ω2
*g
Ω2g0
(4.78)
• Segunda solução (SWs): Neste caso, como a solução é Ω2 ∼ δ, o termo Ω6 pode ser
desprezado em (4.77). Admitindo a condição Ωs0 ≫ Ω∗e obtemos assimptoticamente a
frequência de SWs corrigida por efeitos diamagnéticos:
Ω2SW =
(
1 +7
4τ2i
)
Ω2s0 −
[
η2i +
(
1
2+ τe
)
ηi −3
4
(
5
3+ τe
)]
Ω2∗i (4.79)
• Terceira solução (efeito diamagnético): Esta solução corresponde ao caso em que
Ω∗e ≫ Ωs0 e, nos regimes em que ηi ≫ 3/4 ou ηi ≪ 3/4 ela pode ser aproximada por:
Ω2dia =
Ω2*d
Ω2g0
+ fdia(ηi, τe)Ω2
s0
Ω2g0
, (4.80)
onde
f(ηi, τe) =
(
ηi −3
4
)−1[
Ω4g0η
2i +
(
Ω4g0 +
Ω2g0
2− 29
16
)
ηi −(
3
4Ω4
g0 +5
4Ω2
g0 −87
64
)]
. (4.81)
Com relação aos limites assimptóticos de fdia, há dois casos a ser considerado:
– Regime de fraco gradiente de temperatura (ηi ≪ 1): A solução é estável e
pode ser aproximada por
Ωdia =3
4
Ω2∗e
Ω2g0
+
(
Ω4g0 +
5
3Ω2
g0 −29
16
)
Ω2s0
Ω2g0
(4.82)
– Regime de forte gradiente de temperatura (ηi ≫ 1): Este caso se caracteriza
por ser instável e não oscilatório se ocorrer fortes gradientes de densidade, ou seja,
se Ω∗e &√2Ωg0/2q. A taxa de crescimento desta instabilidade pode ser aproximada
por
Γdia =√ηi
(
Ω2∗e
Ω2g0
− τiΩ2s0
)1/2
(4.83)
4.3.2 Efeito cinético (amortecimento de Landau)
Consideramos a seguir o amortecimento dos modos cujas soluções foram apresentadas ante-
riormente.
Utilizando as expressões para obtenção do limite de fluído a partir de valores cinéticos,
81
mostradas em (F.37) no apêndice F, observa-se que os elementos de matrizes podem ser escritos
como:
R00 ≈1
2
[
−k2rρ2i +
(
7
4+
23
8
ω2tri
ω2
)
ω2di
ω2
]
,
R0s =1
2Rs0 ≈ −1
2
(
1 +ω2
tri
ω2
)
ωdi
ω,
R0c ≈i
2
[
1 + ηi + (1 + 2ηi)ω2
tri
ω2
]
ω∗iωdi
ω2,
Rss = Rcc ≈ −τ +1
2
ω2tri
ω2,
Rsc = −Rcs = −i
[
1 +(1 + ηi)
2
ω2tri
ω2−(
1 + ηi +(1 + 2ηi)
2
ω2tri
ω2
)
k2rρ2i
]
ω∗i
ω,
Rc0 = 0. (4.84)
A substituição dos termos em (4.84) em (4.76) resulta na equação
[
1− 1 + (1 + ηi)ω2tri/2ω
2
(τ − ω2tri/2ω
2)2ω2∗i
ω2
][
−k2rρ2i +
(
7
4+
23
8
ω2tri
ω2
)
ω2di
ω2
]
+
[
−1 + 2ω2tri/ω
2
τ − ω2tri/2ω
2+
1 + ηi + (5/4 + 4ηi + η2i /2)ω2tri/ω
2
(τ − ω2tri/2ω
2)2ω2∗i
ω2
]
ω2di
ω2= 0, (4.85)
que no limite τ ≫ ω2tri/2ω
2, mediante aproximações, pode ser escrita como:
ω6 −[(
7
4+
1
τ
)
ω2i + ω2
∗e
]
ω4 −[(
23
8+
2
τ+
1
2τ2
)
ω2tri +
(
−3
4+ ηi
)
ω2∗e
]
ω2i +
(
1 +1
τ+ ηi
)
ω2triω
2∗e
ω2 −[
1
2η2i +
(
9
4+
1
τ
)
ηi −(
17
8+
3
4τ
)]
ω2triω
2∗eω
2i = 0, (4.86)
em ordem dominante. Note que (4.86) é uma equação bi-cúbica e, portanto, em princípio
possui três soluções, porém é necessário que as soluções encontradas sejam fisicamente possíveis.
Consideramos os limites ω∗e ≪ ωi e ωtri ≪ ωi para resolver (4.86) de forma aproximada. No
limite ωtri → 0 a eq. (4.86) pode ser simplificada para
ω2
ω4 −[(
7
4+
1
τ
)
+ ω2∗e
]
ω2 −(
ηi −3
4
)
ω2∗eω
2i
= 0 (4.87)
tendo duas soluções (em ω2) fisicamente aceitáveis,
Ω2+ = ω2
GAM +1 + Te/Ti + ηi7/4 + Te/Ti
ω2∗e e Ω2
− =3/4− ηi
7/4 + Te/Tiω2∗e, (4.88)
as quais foram obtidas no capítulo 3 e são mostradas na eq. (3.130). Para solucionar de
82
maneira simples (4.86) nos baseamos nas soluções de (4.88) e de (??), supondo, desta forma,
soluções que as soluções são ω2 = O(ω2i ), ω2 = O(ω2
tri) e ω2 = O(ω2∗e). No primeiro caso,
ω2 ∼ ω2i , ao desprezar termos de O(ω2
triω2∗e), segue que (4.86) pode ser aproximada para a
forma bi-quadrática,
ω2
ω4 −[(
7
4+
1
τ
)
ω2i + ω2
∗e
]
ω2 −[(
23
8+
2
τ+
1
2τ2
)
ω2tri +
(
ηi −3
4
)
ω2∗e
]
ω2i
= 0, (4.89)
tendo a seguinte solução fisicamente possível:
Ω21 =
(
7
4+
1
τ
)
ω2i +
23/8 + 2/τ + 1/2τ2
7/4 + 1/τω2
tri +1 + ηi + 1/τ
7/4 + 1/τω2∗e (4.90)
As outra soluções de (4.89) são ω2 = 0 e ω2 ∼ ω2∗e e, portanto, devem ser descartadas pois, nesta
ordem, a eq. (4.86) deve ser usada. Note que esta solução se reduz à expressão apresentada
em (4.44) no limite ω2∗e → 0 e à (4.88) no limite ωtri → 0. Observa-se também, em (4.90), que
tanto a presença do gradiente de densidade quanto do gradiente de temperatura produzem um
aumento da frequência dos modos geodésicos.
Com relação as soluções ω2 = O(ω2∗e) e ω2 = O(ω2
tri), ainda estamos analisando as equações
(4.85) e (4.86). A solução ω2 = O(ω2tri), por exemplo, devido à aproximação, ωtri/τ ≪ ω feita
em (4.85) para obter (4.86), deve ser obtida diretamente de (4.85) .
4.4 Perfís radiais
n0 = n0(1− xαn)βn (4.91)
4.5 Sumário e discussão
A partir do modelo giro-cinético, o qual foi apresentado no capítulo 2, obtivemos a expres-
são analítica para a frequência de GAMs e de SWs considerando amortecimento de Landau e
feitos diamagnéticos nestes modos. Na primeira parte deste capítulo consideramos os efeitos
separadamentPrimeiramente, partindo de uma forma bem simplificada do modelo, com fina-
lidades didáticas e objetivas, obtivemos a frequência no regime cinético dos GAM em ordem
1/q0, sem efeitos diamagnéticos e amortecimento de Landau. Tendo apresentado o modelo e a
metodologia padrão, na segunda etapa incluímos termos de O(q−2) na expressão analítica para
a frequência. Por fim, o amortecimento de Landau e, posteriormente, efeitos diamagnéticos
foram considerados.
As expressões analíticas para a frequência dos GAM que obtivemos concorda com os valores
83
obtidos em [33, 64, 92]. É importante notar que, apenas no limite de íons frios, Ti ≪ Te, e elé-
trons no regime adiabático (γe = 1), que é um regime razoável de se considerar [96], a expressão
cinética para frequência dos GAM se reduz à expressão obtida no modelo MHD ideal [25, 31].
Neste caso, o índice adiabático efetivo de íons, γ(e)i = 7/4, é ligeiramente reduzido a γi = 5/3,
enquanto que a dinâmica dos elétrons não é influenciada. Com relação a frequência de ondas
de som, ωsw, obtida na seção 4.1.2 observamos que, embora uma analise menos cuidadosa leve
a conclusão de que ela é uma solução, o potencial eletrostático diverge quando esta frequên-
cia é considerada, o que nos leva a concluir que ωsw não pode ser considerado uma solução
válida. Entretanto é importante ter mente a expressão desta frequência, ωsw =√
Te/mi/qR0,
pois espera-se que quando efeitos diamagnéticos sejam considerados, possa existir uma solução
próxima desse valor. Esta expectativa é proveniente do modelo da MHD ideal, considerado no
capítulo 3, quando rotação de equilíbrio, poloidal e toroidal, são incluídas. No limite de íons
frios e elétrons no regime adiabático, ωsw também é um ponto de singularidade, porém, devido
a rotação poloidal de equilíbrio, há uma nova solução de valor próximo a ωsw.
Com relação à efeitos diamagnéticos, ambos os gradientes radiais, de densidade e de tempe-
ratura, provocam um aumento na frequência dos GAM. Entretanto, para a frequência dos ZF, o
gradiente de densidade sozinho faz com que haja uma nova frequência da ordem da frequência de
deriva de elétrons, ω∗e, porém o gradiente de temperatura faz com que esta frequência diminua
e, para ηi > 3/4, este ramo de baixa frequência se torna instável. Desta forma, concluímos que
o gradiente de densidade tem um caráter estabilizador enquanto que o gradiente de temperatura
tende a desestabilizar o plasma. Na continuação desta tese, analisaremos o amortecimento de
Landau nestes novos modos, porém, no modo de baixa frequência, há um particular interesse
devido ao fato de que o amortecimento de Landau e o efeito do gradiente de temperatura podem
competir, definindo, assim, as condições de instabilidades do plasma de forma mais precisa.
Para trabalhos futuros, apresentamos a proposta do estudo de efeitos eletromagnéticos [62,
92] causados por perturbações perpendiculares do campo magnético. Trata-se de um modelo
cujos cálculos são mais extensos principalmente devido a possível necessidade de incluir os
modos toroidais, n 6= 0, além de outros modos poloidais, m = ±2, conforme discutido em [66].
Há um particular interesse em considerar simultaneamente efeitos eletromagnéticos e efeitos
diamagnéticos nos modos GAM e (ou) BAE, conforme discutido em [92].
84
Capítulo 5
Conclusões e direções futuras
A seguir, apresentamos, primeiramente, uma discussão sobre os modelos de fluido e girociné-
tico e conclusões sobre os resultados obtidos quando à abrangencia de validade destes modelos.
Em seguida, opções para o desenvolvimento de modelos mais abrangentes no que se refere a
inclusão de termos não considerados nesta tese, além de propostas para outros modelos, são
apresentadas e colocadas como direções para trabalhos futuros.
5.1 Modelo de fluídos
No modelo de fluídos consideramos as equações que descrevem diretamente a evolução das
grandezas macroscópicas do plasma, p, n e v, as quais são medidas experimentalmente no
tokamak por meio de diagnósticos adequados. Pelo fato de tratar-se de um modelo mais acessível
para a compreensão física dos fenômenos envolvidos e por permitir o tratamento não linear das
equações, o modelo de fluídos é de suma importância no estudo destes modos. A partir do
modelo da MHD ideal consideramos o efeito de rotação de equilíbrio poloidal e toroidal nos
modos GAM. Conforme mencionado no capítulo 3, a rotação de equilíbrio causa um aumento
na frequência dos GAM e do ZF e faz com que exista um novo ramo de frequência da ordem
da frequência acústica. O incremento da frequência, se considerado o quadrado da frequência,
é da ordem do quadrado do número de Mach (poloidal e toroidal) definidos como a razão
entre a velocidade de rotação e a velocidade do som no plasma. Entretanto observa-se que
não há instabilidades devido a rotação de equilíbrio, o que não ocorre no caso em que efeitos
diamagnéticos são considerados. Neste caso, quando o gradiente de temperatura de íons atinge
um certo valor em relação ao gradiente de densidade, ocorre uma instabilidade no ramo de
frequência dos ZF. A taxa de crescimento desta instabilidade é proporcional à frequência de
deriva de elétrons. Com relação as correções do fator de segurança (q) nas duas frequências
obtidas com o modelo de dois fluídos, incluímos estas no modelo giro-cinético, que, apesar de
apresentar a desvantagem de ser mais difícil de tratar efeitos não lineares, é um modelo mais
85
completo que permite incluir o amortecimento de Landau, conforme discutimos na próxima
seção.
Em resumo, as principais conclusões podem ser postuladas como:
• A anisotropia da pressão de íons, descrita por meio do tensor de viscosidade paralela
(π‖), desempenha um papel fundamental no modelo de fluídos aplicado a determinação
da frequência dos GAM.
• O gradiente de temperatura de íons é a fonte de energia responsável pela instabilidade
dos ZF e a condição para esta instabilidade depende também do gradiente de densidade.
Em outras palavras, a instabilidade ocorre quando ηi = (∂ lnTi/∂r)/(∂ lnn0/∂r) > 3/4,
ou seja, o gradiente de densidade contribui para a estabilidade dos ZF.
• Para investigar o papel de gradientes de temperatura de elétrons(∂ lnTe/∂r) é necessário
considerar no modelo a perturbação do campo magnético perpendicular (B⊥), o qual
pode ser descrito por meio da formulação do potencial vetor (B = ∇× A) através de A‖
5.2 Modelo cinético
Utilizamos o modelo giro-cinético discutido no capítulo 2 com três objetivos principais:
investigar efeitos diamagnéticos incluindo correções do fator de segurança (q), determinar a
dissipação de Landau devido a partículas ressonantes e desenvolver os cálculos, partindo da
forma mais geral do modelo, para, em trabalhos futuros, investigar efeitos eletromagnéticos,
simultaneamente, se possível, com os outros efeitos mencionados. Por questões didáticas, da
mesma como no modelo de fluídos, consideramos cada um dos efeitos separadamente antes de
considera-los em conjunto. Primeiramente obtivemos as correções do fator de segurança e a
frequência acústica, que, apesar de não ser uma solução válida na ausência de rotação (e efeitos
diamagnéticos), é um valor importante. Até este ponto, a componente cossenoidal do potencial
eletrostático é nula. Posteriormente considerando a presença de gradientes de densidade e
temperatura de íons, obtivemos uma equação bi-cúbica como relação de dispersão, de forma
que, por meio de aproximações adequadas determinamos a frequência dos GAM afetada por
efeitos diamagnéticos e corrigida, em primeira ordem, pelo fator de segurança. Esperamos obter
mais duas soluções a partir desta equação, a qual analisaremos posteriormente. Observamos
que, assim como ocorre no caso de rotação de equilíbrio, ao considerar efeitos diamagnéticos,
a componente cosseno da densidade perturbada é não nula e, além disso, surge a componente
cosseno do potencial eletrostático, a qual é proporcional a frequência de deriva de elétrons. Na
equação bi-cúbica a que chegamos aparece termo de O(η2i ), o qual pode revelar algum fenômeno
novo não identificado quando ignoramos correções do fator de segurança.
Pretendemos prosseguir o capítulo 4 com as seguintes atividades:
86
• Analisar a equação bi-cúbica da relação de dispersão com o intuito de encontrar mais
duas soluções fisicamente possíveis. É possível que, assim como no caso de rotação de
equilíbrio, exista uma solução cuja frequência está no ramo acústico. Para achar esta
solução é necessário considerar correções de O(q−2).
• Considerar o efeito da dissipação de Landau simultaneamente com efeitos diamagnéticos.
Para isso, é necessário substituir as integrais de Landau na expressão já obtidas para a
relação de quasi-neutralidade, o que deixará os cálculos mais extensos. Ao considerar estes
dois efeitos, podemos compreender as condições em que os GAM (ZF) são amortecidos
ou instáveis.
5.3 Propostas para trabalhos futuros
Para concluir a tese, pretendemos dar prosseguimento à proposta de investigar o efeito de
partículas aprisionadas nos GAM. O penúltimo capítulo da tese, cujo objetivo é apresentar
este estudo e os resultados provenientes dele, será baseado nos seguintes artigos publicados:
[86–89]. Em nosso modelo, partiremos da equação giro-cinética, analogamente a [86], onde o
efeito de partículas aprisionadas em SAW de baixas frequências é investigado. A teoria sobre
como considerar o efeito de partículas aprisionadas na equação giro-cinética é apresentada no
capítulo 4 de [57]. Também consideramos importante incluir o estudo da dinâmica das partículas
aprisionadas na tese, o qual é discutido de forma clara no capítulo 7 de [42].
Em resumo, no período restante do doutorado (1 ano), pretendemos proceder, em ordem
cronológica, com as seguintes atividades:
• Investigar efeitos diamagnéticos nos GAM na presença da dissipação de Landau, finali-
zando, assim, o capítulo 4. Ao realizarmos este estudo, faremos uma revisão bibliográfica
sobre o assunto em questão para definirmos as condições e a possibilidade de publicação.
Apresentaremos este trabalho, caso nosso resumo seja aceito, na Conferência Europeia de
Física deste ano, conforme mencionado no apêndice G.
• Iniciar o estudo do efeito de partículas aprisionadas nos GAM e escrever o penúltimo ca-
pítulo referente a este tema. Dependendo dos resultados encontrados e de sua relevância
na área de fusão, procederemos com as etapas necessárias para publicação deste estudo,
ou seja, revisão bibliográfica e pesquisa sobre o jornal adequado para os resultados. Acre-
ditamos que as atividades descritas no item anterior e neste item são suficientes para
completar a tese e defender. Terminado a tese pretendemos prosseguir com as propostas
de pesquisa descrita no próximo item.
• Ao finalizar a tese, pretendemos, primeiramente, estudar o modelo de efeitos eletromag-
néticos nos GAM, baseado em [62,92] e, a partir da compreensão mais apurada adquirida,
87
pretendemos incluir efeitos diamagnéticos também. Com isso, esperamos determinar a
contribuição proveniente do gradiente de temperatura de elétrons nos GAM. Um ou-
tro tema, a que nos interessa muito, é o estudo de propriedades dispersivas dos GAM.
Para obter resultados e, consequentemente adquirir uma maior compreensão sobre este
tema, pretendemos resolver a equação giro-cinético como fizemos no capítulo 4, porém,
estendendo a solução a termos de O(k4rρ4i ) e, devido a necessidade, considerar segundos
harmônicos, m = ±2, da função distribuição na equação giro-cinética inicial.
88
Apêndice A
Cálculo numérico de parâmetros e
grandezas características do TCABR
A.1 Constantes da Física
Símbolo Grandeza física Valor numérico Unidades (SI)me Massa de repouso do elétron 9, 11× 10−31 kgmp Massa de repouso do próton 1, 67× 10−27 kge Carga elétrica elementar 1, 60× 10−19 Cε0 Permitividade no vácuo 8, 85× 10−12 Fm−1
µ0 Permeabilidade no vácuo 4π × 10−7 Hm−1
h Constante de Planck 6, 63× 10−34 Jsk Constante de Boltzmann 1, 38× 10−23 JK−1
89
A.2 Parâmetros do tokamak TCABR
Tabela A.1: Parâmetros do TCABR no Instituto de Física da Universidade de São Paulo(IFUSP)
Nome do parâmetro Simbolo ValorRaio maior R0 0,61 mRaio do plasma a 0,18 mCampo magnético toroidal BT 1,2 TCorrente de plasma IP 7− 9.104 AFator de segurança no centro q0 1Fator de segurança na borda qa 5Densidade de íons no centro ni0 3.1019m−3
Densidade de íons na borda nia 1.1018m−3
Temperatura de elétrons no centro no centro kBTe0 500 eVTemperatura de elétrons no centro na borda kBTea 15 eV
A.3 Grandezas características do tokamak TCABR
Tabela A.2: Frequências e parâmetros característicos para o tokamak TCABRParametro Expressão algébrica Valor numérico
ωci B 1.2× 108 rad/s
ωce ωci 2.2× 1011 rad/s
vTi
√Ti 5.4× 104 m/s
vTe
√τevTi
2.3× 106 m/s
ρi√Ti 4.5× 10−4 m
ρe√τevTi
1.0× 10−5 m
cs√
(γi + γeτe)Ti 1.0× 10−5 m
90
Apêndice B
Identidades e relações vetoriais
Neste apêndice apresentamos identidades e relações vetoriais de fundamental importância
para os cálculos do apêndice D e do capítulo 3. Tais relações muitas vezes envolve o operador
gradiente, ∇, que na maioria dos casos é conveniente escrito em termos de coordenadas quasi-
toroidais. As relações e identidades aqui apresentadas podem ser encontradas em [39,97,98].
B.1 Identidades vetoriais
(A× B) ·C = (B ×C) ·A = (C ×A) · B (B.1)
A× (B ×C) = (A ·C)B − (A · B)C (B.2)
(A× B) · (C ×D) = (A ·C)(B ·D)− (A ·D)(B ·C) (B.3)
B.2 Identidades e teoremas fundamentais
∇ · (∇×A) = 0, ∇× (∇f) = 0 (B.4)
∫
V∇ ·AdV =
∮
SA · dS,
∫
S(∇×A) · dS =
∮
lA · dl (B.5)
91
B.3 Identidades envolvendo o operador ∇
∇ · (fA) = f∇ ·A+A ·∇f (B.6)
∇× (fA) = f∇×A+∇f ×A (B.7)
∇ · (A× B) = (∇×A) · B − (∇× B) ·A (B.8)
∇× (A× B) = (∇ · B)A− (∇ ·A)B + (B ·∇)A− (A ·∇)B (B.9)
A× (∇× B) + B × (∇×A) = ∇(A · B)− (A ·∇)B − (B ·∇)A (B.10)
∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A (B.11)
∇ · (AB) = (∇ ·A)B + (A ·∇)B (B.12)
B.4 Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano
em coordenadas cilíndricas
∇Ψ =∂Ψ
∂ReR +
1
R
∂Ψ
∂ϕeϕ +
∂Ψ
∂ZeZ (B.13)
∇ · B =1
R
∂(RBR)
∂R+
1
R
∂Bϕ
∂ϕ+
∂BZ
∂Z(B.14)
∇× B =
[
1
R
∂BZ
∂ϕ− ∂Bϕ
∂Z
]
eR +
[
∂BR
∂Z− ∂BZ
∂R
]
eϕ +1
R
[
∂(RBϕ)
∂R− ∂BR
∂ϕ
]
eZ (B.15)
∇2Ψ =1
R
∂
∂R
(
R∂Ψ
∂R
)
+1
R2
∂2Ψ
∂ϕ2+
∂2Ψ
∂Z2(B.16)
92
B.5 Gradiente, Divergente e Rotacional em coordena-
das quasi-toroidais
∇Ψ =∂Ψ
∂rer +
1
r
∂Ψ
∂θeθ +
1
R
∂Ψ
∂φeφ, (B.17)
∇ · B =1
Rr
[
∂
∂r(RrBr) +
∂
∂θ(RBθ) + r
∂Bφ
∂φ
]
e (B.18)
∇× B =
1
R
[
(
1
r
∂(RBφ)
∂θ− ∂Bθ
∂φ
)
er +
(
∂Br
∂φ− ∂(RBφ)
∂r
)
eθ +R
r
(
∂(rBθ)
∂r− ∂Br
∂θ
)
eφ
]
. (B.19)
∇2Ψ =1
Rr
[
∂
∂r
(
Rr∂Ψ
∂r
)
+∂
∂θ
(
R
r
∂Ψ
∂θ
)
+∂
∂φ
(
r
R
∂Ψ
∂φ
)]
(B.20)
B.6 Derivativos de versores em coordenadas cilíndricas
∂eR∂R
=∂eϕ∂R
=∂eR∂R
= 0,∂eZ∂ϕ
= 0,∂eR∂Z
=∂eϕ∂Z
=∂eZ∂Z
= 0, (B.21)
∂eR∂ϕ
= eϕ,∂eϕ∂ϕ
= −eR. (B.22)
B.7 Derivativos de versores em coordenadas quasi-toroidais
∂er∂r
=∂eθ∂r
=∂eφ∂r
= 0,∂eφ∂θ
= 0, (B.23)
∂er∂θ
= eθ,∂eθ∂θ
= −er, (B.24)
93
∂er∂φ
= − cos θeφ,∂eθ∂φ
= − sin θeφ,∂eφ∂φ
= − cos θer + sin θeθ. (B.25)
É conveninete observar a seguinte relação entre os sistemas de coordenadas apresentados acima:
eR = cos θer − sin θeθ, eϕ = −eφ, eZ = sin θer + cos θeθ. (B.26)
94
Apêndice C
Obtenção das expressões analíticas
referentes à análise de equilíbrio com
rotação
O principal intuito deste apêndice mostrar a metodologia para obtenção das equações (3.17)–
(3.19), que descrevem o equilíbriio MHD com rotação poloidal e toroidal.
C.1 Relações envolvendo B e J
Inicialmente, a partir do campo magnético de equilíbrio [47],
B = F∇φ+∇φ×∇Ψ, (C.1)
a densidade de corrente a ele associado pode ser obtida pelo uso das identidades (B.7) e (B.9),
resultando em
J = µ−10 ∇× B = µ−1
0 [−∇φ×∇F + (∇ ·∇Ψ)∇φ+ (∇Ψ ·∇)∇φ− (∇φ ·∇)∇Ψ], (C.2)
Para o desenvolvimento algébrico de (C.2), podemos escrever os dois últimos termos do lado
direito em coordenadas cilíndricas, de acordo com (B.13), considerando para isso φ = −ϕ, ou
seja, de forma explícita segue que
(∇Ψ ·∇)∇φ− (∇φ ·∇)∇Ψ =
∂Ψ
∂R
∂
∂R
(−eϕR
)
+1
R2
∂
∂ϕ
(
∂Ψ
∂ReR
)
=2
R2
∂Ψ
∂Reϕ = R2
[
∇
(
1
R2
)
·∇Ψ
]
∇φ. (C.3)
Com o uso de (C.3) e de (B.6) torna-se conveniente expressar a densidade de corrente em termos
95
do operador de Shafranov, ∆∗Ψ = ∇ · (∇Ψ/R2), de forma que
J = µ−10 (R2∆∗Ψ∇φ−∇φ×∇F ). (C.4)
A partir das expressões analítica para B e J apresentadas acima, obtem-se
∇φ× B = −∇Ψ
R2, (∇φ×∇Ψ)× B =
F
R2∇Ψ,
∇Ψ× B = |∇Ψ|2∇φ− F (∇φ×∇Ψ) = B2R2∇φ− FB, B2 =
F 2 + |∇Ψ|2R2
, (C.5)
∇φ× (∇× B) =∇F
R2, (∇φ×∇Ψ)× (∇× B) = −(∆∗Ψ)∇Ψ− (B ·∇F )∇φ,
∇Ψ× (∇× B) = −R2∆∗Ψ(∇φ×∇Ψ)− (∇Ψ ·∇F )∇φ, (C.6)
onde foram utilizadas as identidades (B.2) e, com relação a simetria azimutal, ∇φ · ∇f = 0
(para qualquer função f) em (C.5) e (C.6).
O termo devido a força magnétcia é calculado abaixo utilizando (C.6),
J × B = − 1
µ0R2
[
(∆∗Ψ)∇Ψ+1
2∇F 2 − (B ·∇F )R2
∇φ
]
, (C.7)
C.2 Relações para V
Propriedades importantes da velocidade de equilíbrio podem ser determinadas a partir da
lei de Ohm e a equação da continuidade,
E + V × B = 0, (C.8)
∇ · (ρV) = 0, (C.9)
onde, na primeira, desconsideramos o efeito diamagnético, condizente com a ordem MHD.
De (C.8), segue que V = V′ + CB, com V′ ⊥ B, é uma solução possível, onde V′ pode ser
determinado a partir do produto de B/B2 com (C.8),
V′ =E × B
B2=
F∇φ×∇Φ− (∇Ψ ·∇Φ)∇φ
B2. (C.10)
Como E · B = −∇Φ · (∇φ ×∇Ψ) = 0 e ∇Φ ·∇Ψ = 0, por simetria azimutal, conclui-se que
E está na direção de ∇Ψ, ou, de forma equivalente,
E = −Ω∇Ψ, Ω = Ω(Ψ) =dΦ
dΨ, (C.11)
96
o que permite desenvolver (C.10), de acordo com
V′ = −ΩR2∇φ+
FΩ
B2B, (C.12)
e, consequentemente, podemos expressar a velocidade V como
V = C ′B − ΩR2∇φ, C ′ = C +
FΩ
B2. (C.13)
Esta, quando substituida em (C.9), com o auxílio de (B.6), ∇ · B = 0 e (B.16) leva a seguinte
equação:
∇ · (ρCB)−∇ · (ρΩR2∇φ) = B ·∇(ρC) = 0, (C.14)
que pode ser traduzida para C = κ(Ψ)/ρ, pois B ·∇f = 0 implica que f = f(Ψ), para qualquer
função f simetrica em φ. Fica, portanto, determinada a velocidade de equilíbrio em função das
grandezas κ(Ψ), Ω(Ψ), F e Ψ:
V =κ
ρB − ΩR2
∇φ, (C.15)
onde κ = κ(Ψ) é uma função arbitrária de fluxo diretamente relacionanda com a velocidade
poloidal.
Da mesma forma como foram obtidos (C.5) e (C.6), é conveniente obter relações envolvendo
o produto vetorial com (C.15):
∇φ× V = − κ
ρR2∇Ψ, B × V = −Ω∇Ψ,
∇Ψ× V =κ|∇Ψ|2
ρ∇φ+
(
ΩR2 − κF
ρ
)
(∇φ×∇Ψ) (C.16)
A próxima etapa é o cálculo da força Centrífuga e de Coriollis devido a rotação do plasma
na equação de momento. Para este cálculo, é conveniente utilizar a seguinte identidade
V ·∇V = ∇
(
V 2
2
)
− V × (∇× V), (C.17)
obtida a partir de (B.10), que é mais geral. Para evitar expressões muito extensas, é conveniente
calcular as componentes de (C.17) na direção de um vetor arbritário U, de acordo com a
identidade
UV : ∇V = U · (V ·∇V) = U ·∇(
V 2
2
)
− (U × V) · (∇× V). (C.18)
proveniente do uso de (B.1). A este vetor arbritário, atribuiremos U = ∇φ, U = B e U = ∇Ψ,
97
para obter as equações (3.17)–(3.19).
Para o desenvolvimento de (C.18) é necessário, primeiramente, efetuar os seguintes cálculos:
V 2
2=
1
2
κ2B2
ρ2+
1
2Ω2R2 − κFΩ
ρ, (C.19)
∇× V =
[
κ
ρ∆∗Ψ+∇Ψ ·∇
(
κ
ρ
)]
∇φ+∇φ×∇
(
ΩR2 − κF
ρ
)
, (C.20)
onde o segundo, de considerável extensão algébria, foi feito a partir da relação (C.4) e das
identidades (B.1) e (B.7).
De (C.16), (C.18) e (C.20) obtemos as componentes da força inercial devido à rotação:
ρ∇φV : ∇V =1
R2B ·∇
(
κ2F
ρ− κΩR2
)
, (C.21)
ρBV : ∇V = ρB ·∇(
κ2B2
2ρ2− Ω2R2
2
)
, (C.22)
ρ∇ΨV : ∇V =|∇Ψ|2R2
[
−κ2
ρ∆∗Ψ− ρ∇Ψ ·∇
(
κ2
2ρ2
)
+ρ
|∇Ψ|2∇Ψ ·∇(
κ2
ρ2|∇Ψ|2
)]
+
(
κFΩ
ρ− ΩR2
2− κ2B2
2ρ2
)
∇Ψ ·∇R2, (C.23)
as quais, para obtenção das eqs. (3.17)–(3.19), devem ser somadas e subtraidas, respectivamente,
às componentes do gradiente de pressão e da força magnética. É conveniente para este cálculo,
portanto, utilizar os seguintes resultados:
∇φ · (J × B) =B ·∇F
µ0R2, (C.24)
∇Ψ · (J × B) = −|∇Ψ|2µ0R2
(
∆∗Ψ+1
2
∇Ψ ·∇F 2
|∇Ψ|2)
, (C.25)
obtidos a partir de (C.7). As referidas equações, após o desenvolvimento algébrico das compo-
nentes da equação de momento,
ρUV : ∇V + U ·∇p− U · (J × B) = 0, U = ∇φ,B,∇Ψ, (C.26)
podem ser expressas na forma:
98
• Componente ∇φ:
B ·∇[
F
(
1− µ0κ2
ρ
)
+ µ0κΩR2
]
= 0. (C.27)
• Componente B:
B ·∇(
κ2B2
2ρ2− Ω2R2
2
)
+B ·∇p
ρ= 0. (C.28)
• Componente ∇Ψ:
(
1− µ0κ2
ρ
)
∆∗Ψ+ µ0R2∇Ψ ·∇p
|∇Ψ|2 +1
2
∇Ψ ·∇F 2
|∇Ψ|2 − µ0ρ
2∇Ψ ·∇
(
κ2
ρ2
)
+
µ0ρ
2|∇Ψ|2∇Ψ ·∇(
κ2
ρ2|∇Ψ|2
)
+µ0R
2
|∇Ψ|2(
κFΩ
ρ− ΩR2
2− κ2B2
2ρ2
)
∇Ψ ·∇R2. (C.29)
C.3 Cálculo de ∇ · q de equilíbrio
Para fechar o sistema, é necessário o cálculo de ∇ · q, presente na eq. (3.15), que pode ser
efetuado a partir da aplicação da identidade (B.6) na equação da definição de fluxo de calor,
(3.11), o que resulta em
∇ · q =γ
γ − 1
[
p
eB2∇ · (B ×∇T ) + (B ×∇T ) ·∇
(
p
eB2
)]
. (C.30)
No que se refere ao primeiro termo entre colchetes, o uso de (B.8) e (C.4) permite obter a
relação aproximada,
∇ · (B ×∇T ) = (∇φ×∇T ) ·∇F ≈ dT0
dΨB ·∇F − dF0
dΨB ·∇T, (C.31)
onde, além da aplicação de (B.1), a teoria de perturbação atemporal foi utilizada na última
passagem, que emprega a aproximação: |T1(Ψ, θ)| ≪ T0(Ψ) e |F1(Ψ, θ)| ≪ |F0(Ψ)|.De forma similar, o segundo termo entre colchetes em (C.30) pode ser desenvolvido de acordo
com a expressão
(B ×∇T ) ·∇(
p
eB2
)
≈ F0
e
[
dT0
dΨB ·∇
(
p
B2
)
− d
dΨ
(
p
B2
)
B ·∇T
]
≈
p0R20
eF0
dT0
dΨ
[
B ·∇p
p0− 2B ·∇F
F0+
B ·∇R2
R20
]
−[
1
p0
dp0dΨ
− 2
F0
dF0
dΨ+
1
R20
dR2
dΨ
]
B ·∇T
, (C.32)
onde foi considerado que |∇Ψ| ≪ |F |, |B ·∇(|∇Ψ|)| ≪ |B ·∇F | e d|∇Ψ|/dΨ ≪ |dF/dΨ|.Com as definições introduzidas pelas eqs. (3.20), (3.23), (3.24) e (3.26), as equações (C.31)
99
e (C.32) podem ser expressas na forma
p
eB2∇ · (B ×∇T ) = Mth(∆F −RF∆T )
p0csF0
B ·∇R2
R0, (B ×∇T ) ·∇
(
p
eB2
)
=
Mth
[
1− 2∆F +∆p −(
1 +Rρ − 2RF +T0
R20
∂R2/∂Ψ
dT0/dΨ
)
∆T
]
p0csF0
B ·∇R2
R0. (C.33)
Em resumo, ao assumir que as grandezas de equilíbrio são da forma: X = X0(Ψ)+ZX1(Ψ, θ)
com |X1| ≪ |X0| e ao desprezarmos o termo |∇Ψ|2/F 20 e suas derivadas e gradientes, pudemos
desenvolver a expressão da divergência do fluxo de calor e obter o seguinte resultado:
∇ · q = Mth
[
1−∆F +∆p −(
1 +Rρ −RF +T0
R20
∂R2/∂Ψ
dT0/dΨ
)
∆T
]
γp0csR0
(γ − 1)F0
B ·∇R2
R20
, (C.34)
o qual é utilizado em 3.2.
100
Apêndice D
Derivação de fórmulas usadas no
capítulo 3
Expressões algébricas para o divergente da velocidade, do tensor de viscosidade paralela
e da densidade de corrente e a equação de evolução do tensor de viscosidade paralela, ambas
bastante utilizadas no capítulo 3, são obtidas neste apêndice. O índice α = i, e das quantidades
macroscópicas do plasma é suprimido nas expressões para simplificar a notação, contudo, eles
devem ficar subentendidos. Os resultados aqui apresentados são válidos, em sua maiorida, para
sistemas de baixa pressão (β ∼ ε2).
D.1 Relações para B
Para a obtenção de futuras relações, é conveniente separar as componentes paralela e per-
pendciular (com relação a b = B/B) do operador ∇, ou seja,
∇‖ = b ·∇ e ∇⊥ = ∇− b∇‖, (D.1)
de forma que, a partir de (B.6) e (B.7) obtém-se
∇ · b = ∇‖ lnB, ∇× b = µ0J
B+ b ×∇ lnB ≈ b ×∇ lnB, (D.2)
se considerarmos J‖ ∼ J⊥, pois ∇p ≈ J × B e, consequentemente,
|µ0J⊥/B||∇× b| ∼ β, b · (∇× b) = µ0
J‖
B∼ β
L. (D.3)
Utilizando (B.2) e (D.2), obtém-se a seguinte aproximação
κ = ∇‖b = −b × (∇× b) ≈ ∇⊥ lnB, (D.4)
101
para o vetor de curvatura do campo magnético (κ).
Para os cálculos da próxima seção é conveniente definir G = fB ×∇g1, cujo cálculo do
divergente, efetuado a partir de (B.6) e (B.8), resulta em
∇ · G ≈ G ·∇ ln f. (D.5)
Em particular, para f = B−1, ∇ · G = (b × κ) ·∇g e, neste caso, obtém-se2:
vD =b ×∇g
B, ∇ · vD = −2vD ·∇ lnB. (D.6)
D.2 Cálculo da divergência de π, v, J e q
Iniciamos esta seção apresentando a definição de viscosidade paralela:
π‖ =3
2π‖
(
bb − 1
3I
)
, (D.7)
cujo cálculo de seu divergente, obtido a partir de (B.12) e (B.6) e das relações apresentadas na
seção anterior, resulta em
∇ · π‖ =3
2
[
(b∇‖ lnB + κ)π‖ + b∇‖π‖
]
− 1
2∇π‖. (D.8)
Note também que
b ·∇ · π‖ =3
2π‖∇‖ lnB +∇‖π‖, (D.9)
b ×∇ · π‖ =3
2π‖(b × κ)− 1
2b ×∇⊥π‖, (D.10)
e, utilizando (B.8),
∇ · (b ×∇ · π‖) = (b × κ) ·∇π‖. (D.11)
D.2.1 Relações para velocidades (v)
Utilizando (D.6) e (B.6), obtemos um primeiro desenvolvimento algébrico para o divergente
das principais velocidades de deriva em fluidos. Neste desenvolvimento consideramos a ordem
MHD (vE ∼ vTi) e não levamos em conta o termo de giroviscosidade (πg) e viscosidade perpen-
1Aqui, G é um vetor arbitrário, mais adiante utilizado para representar v, J, etc.2Note que vD possui a forma de uma velocidade de deriva.
102
dicular (π⊥), os quais são de ordem superior em ρi/L. A seguir apresentamos tais resultados:
vE =b ×∇Φ
B, vp =
b ×∇p
enB, vπ =
b ×∇ · πenB
, vI ≈ b
ωc× dvE
dt, (D.12)
∇ · (nvE) = vE ·∇n− 2nvE ·∇ lnB, (D.13)
∇ · (nvp) = −2nvp ·∇ lnB, (D.14)
∇ · (nvπ) = nvπ ·∇ lnB, (D.15)
∇ · (nvI) = vI ·∇n− nvI ·∇ lnB +1
ωc∇ ·
(
b × dvE
dt
)
(D.16)
∇ · (v‖b) = ∇‖v‖ − v‖∇‖ lnB. (D.17)
D.2.2 Relações para a densidade de corrente (j)
De forma similar à subseção anterior, obtemos as expressões as principais componentes da
densidade de corrente e seus respectivos divergentes:
jp =b ×∇p
B, jπ =
b ×∇ · π‖
B, jI ≈
mn
Bb × dvE
dt, (D.18)
∇ · jp = −2jp ·∇ lnB, (D.19)
∇ · Jπ = Jπ ·∇ lnB, (D.20)
∇ · jI ≈ jI ·∇ ln
(
n
B
)
− mn
B
[
∂
∂t∇ ·
(
∇⊥Φ
B
)
+∇ · (b × vE ·∇vE)
]
. (D.21)
D.3 Equação de evolução de π‖
Primeiramente observamos que o termo Tijk = ei · [(ej ·∇)ek], i, j, k = 0, 1, 2, satisfaz ge-
nericamente as seguintes relações:
Tijk = −Tikj + ei · [(∇× ej)× ek] + ei · [(∇× ek)× ej ], (D.22)
103
T00k = −T0k0 − Tk00, e0 = b. (D.23)
Como b · db/dt = 0, b · ∂b/∂t = 0 e b · κ = 0, seque que
b · dbdt
= b ·(
∂b
∂t+ (v⊥ ·∇)b + v‖κ
)
= bv⊥ : ∇b = 0 (D.24)
e, consequentemente, como v⊥ = v⊥1e1 + v⊥2e2,
v⊥1T010 + v⊥2T020 = 0. (D.25)
Desta forma, de acordo com (D.4), (D.23) e (D.25), ao notar que, na forma matricial, as
componentes de ∇v e o termo bb : ∇v podem ser expressos respectivamente como:
Mij = (ei ·∇)vj +2
∑
m=0
vmTijm,∑
i,j
biMijbj = b0M00b0 = M00 (D.26)
onde v0 = v‖, v1 = v⊥1 e v2 = v⊥2, obtém-se a relação:
bb : (∇v)T = bb : ∇v = ∇‖v‖ − v⊥ ·∇ lnB. (D.27)
Consideramos agora a equação de evolução do tensor viscosidade [35, 71],
dπ
dt+ π∇ · v +
[
π ·∇v + (π ·∇v)T − (γ − 1)I(π : ∇v)
]
+ ωc(b × π − π × b) +
[
p∇v + p(∇v)T − (γ − 1)p∇ · v]
+γ − 1
γ
[
∇q + (∇q)T − (γ − 1)I∇ · q]
+∇ · τ = 0, (D.28)
onde τ é um dos próximos momentos da função distribuição, que é considerado nulo neste
contexto, e consideramos o caso não colisional.
Considerando também apenas o efeito de viscosidade paralela, ou seja, π ≈ π‖ = π‖(bb − I/3),
de acordo com (D.24), obtem-se:
bb :dπ
dt=
dπ‖
dt− db
dt· (b · π)− b ·
(
db
dt· π
)
=dπ‖
dt. (D.29)
Desta forma, no regime linear, para o caso adiabático (q = 0) em que não há rotação de
equilíbrio, a partir de (D.27), (D.28) e (D.29), segue que
dπ‖
dt+ p
[
2∇‖v‖ − 2v⊥ ·∇ lnB − (γ − 1)∇ · v]
= 0. (D.30)
104
D.4 Aproximação para tokamaks de superfícies mag-
néticas concentricas
D.4.1 Campo magnético de equilíbrio
Em tokamaks de superfíces magnéticas aproximadamente concentricas, conforme descrito
no capítulo 2, o campo magnético de equilíbrio pode ser aproximado por
B = Bb, B ≈ B0(1− ε cos θ), b =ε
qeθ + eφ ≈ eφ, ε ≪ 1. (D.31)
e, convenientemente, representado no sistema de coordenadas quasi-toroidais (r, θ, φ). Conse-
quentemente, considerando apenas termos dominantes, o desenvolvimento algébrico dos opera-
dores ∇‖ e ∇⊥ e do vetor de curvatura (κ) resulta em:
∇‖ = k‖
(
∂
∂θ+ q
∂
∂φ
)
, ∇⊥ = er∂
∂r+ eθkθ
∂
∂θ, κ = − eR
R0, (D.32)
onde k‖ = 1/qR0, kθ = 1/r e, de acordo com (B.26), eR = cos θer− sin θeθ. Também observa-se
que, para q ≫ 1,
∇× b ≈ b × κ = − eZR0
, ∇ · b ∼ b · (∇× b) = O(εk‖) ∼ 0, (D.33)
onde eZ = sin θer + cos θeθ.
D.4.2 Campo magnético perturbado
Derivamos a seguir algumas relações para o campo magnético perturbado considerando que
B = B⊥ = ∇× (A‖b), onde A é o potencial vetor. Segue, portanto, que
B = −b ×∇A‖ + A‖(b × κ) ≈ −1
r
∂A‖
∂θer + ikrA‖eθ (D.34)
A partir de (D.34) obtém-se
∇‖ =B
B·∇ ≈ 1
rB
(
ikrA‖∂
∂θ−
∂A‖
∂θ
∂
∂r
)
, (D.35)
∇× B ≈ ikrk‖∂A‖
∂θer + k2rA‖b. (D.36)
105
D.4.3 Velocidade e densidade de corrente.
A partir das relações
v2Ti=
2Ti
mi, ρi =
vTi
ωci
,1
B=
vTiρi2
e
Ti, ρi/r ≪ krρi ≪ 1 (D.37)
considerando o potêncial eletrostático perturbado (Φ), bem como a pressão (p) e a viscosidade
paralela (π‖), utilizamos (D.12) e (D.13) para obter:
vE = ωER0
(
eθ + iρi/r
krρi
∂ln Φ
∂θer
)
, ωE =ikrΦB
=ikrρi2
eΦ
Ti
vTi
R0, (D.38)
jp =i
2
e
TiωdiR0
(
peθ + iρi/r
krρi
∂p
∂θer
)
, ωdi = krρivTi
R0(D.39)
jπ = − i
4
e
TiωdiR0
(
π‖ieθ + iρi/r
krρi
∂π‖i
∂θer
)
, (D.40)
jI = ienωER0ω
ωcer. (D.41)
106
Apêndice E
Solução iterativa das equações
perturbadas da MHD ideal
E.1 Equações iniciais e solução de equilíbrio
Neste apêndice apresentamos um método iterativo para resolver o sistema composto pelas
eqs. (3.51) – (3.53), as quais são repedidas a seguir para facilitar a leitura:
ρ0∂v‖
∂t+∇‖p+ F‖ = 0, (E.1)
∂(ρ+ R)
∂t+ ρ0∇ · v = 0, (E.2)
∂(p+ P )
∂t+ γp0∇ · v = 0, (E.3)
v = vE + v‖b, vE ≈ ωER0(1 + ε cos θ)eθ, (E.4)
F‖ = ρ0(bv : ∇V + bV : ∇v) + ρbV : ∇V, (E.5)
R =
∫
(V ·∇ρ+ v ·∇ρ+ ρ∇ · V)dt, (E.6)
P =
∫
(V ·∇p+ v ·∇p0 + γp∇ · V + (γ − 1)∇ · q)dt. (E.7)
107
Para se obter a relação de dispersão, é necessário calcular a componente poloidal da força
F, ou seja,
Fθ = ρ0(eθv : ∇V + eθV : ∇v) + ρeθV : ∇V. (E.8)
As expressões algébricas para as grandezas definidas por (E.5)–(E.8) são obtidas a partir do
equilíbrio, que é descrito por:
ρ = ρ0(1 + 2ε∆ρ cos θ), (E.9)
p = p0(1 + 2ε∆p cos θ), (E.10)
V = VP eθ + VT eφ,
VP ≈ ε
qMP cs, VT = (MT +∆V ε cos θ)cs, ∆V = MT − 2(1 + ∆ρ)MP . (E.11)
O método iterativo que utilizamos para resolver as eqs. (E.1)–(E.3) nas variáveis v‖, ρ e p
e para a obtenção da relação de dispersão é justificado por se tratar de um modelo linear, no
qual o princípio da superposição se aplica. Tal método consiste em decompor as quantidades
perturbadas na forma:
X = X(0) + X(T) + X(P), (E.12)
onde “0”, “T” e “P” indicam as contribuições para as quantidades perturbadas devido a dinâmica
sem rotação, com rotação exclusivamente toroidal e com rotação poloidal e toroidal, respecti-
vamente. O problema inicial é, então, dividido em três partes: Primeiramente, sem incluir
rotação de equilíbrio, encontra-se a solução mais simples. Posteriormente, a partir desta so-
lução, determina-se a solução proveniente da rotação toroidal e, finalmente, ao incluir rotação
poloidal, encontra-se a solução completa.
E.2 Cálculo de F‖, R e P .
E.2.1 Termos de convecção e derivadas angulares
O cálculo dos termos convectivos, efetuados a partir das eqs. (E.4), (E.11) e (B.17), resulta
nas seguintes relações:
VP ·∇ = MPk‖cs∂
∂θ, vE ·∇ =
ωE
ε
∂
∂θ, (E.13)
108
VT ·∇ = qMTk‖cs∂
∂φ, v‖b ·∇ =
v‖
R0
∂
∂φ. (E.14)
Além dos termos convectivos, também é necessário, para o restante dos cálculos desta seção,
obter as derivadas das velocidades com relação aos ângulos poloidal e toroidal, que, de acordo
com (B.23)–(B.25) são:
∂VP
∂θ= −ε
qMP cser,
∂VT
∂θ= −ε∆V cs sin θeφ, (E.15)
∂VP
∂φ≈ 0,
∂VT
∂φ≈ MT cs(− cos θer + sin θeθ) (E.16)
∂vE
∂θ= −ωER0er,
∂(v‖b)
∂θ=
∂v‖
∂θeφ (E.17)
∂vE
∂φ= −ωER0 sin θeφ,
∂(v‖b)
∂φ= v‖(− cos θer + sin θeθ). (E.18)
E.2.2 Cálculo de F‖ e Fθ
Com a substituição de V = 0, V = VT e de V = VP em (E.5) obtém-se:
F(0)‖ = 0, (E.19)
F(T)‖ = ρ0(bVT : ∇vE + bvE : ∇VT ) = −ρ0ωEcs(MT +∆V ) sin θ, (E.20)
F(P)‖ ≈ ρ0bVP : ∇(v‖b) = MPρ0k‖cs
∂v‖
∂θ, (E.21)
e, de forma similar, com relação a Fθ, segue que
F(0)θ = 0, F
(T)θ = ρ0[eθVT : ∇(v‖b) + v‖eθb : ∇VT ] + (eθVT : ∇VT )ρ =
qMTk‖cs(2ρ0v‖ +MT csρ) sin θ, F(P)θ = 0. (E.22)
E.2.3 Cálculo de R
De acordo com (C.15), podemos desprezar o termo
∇ · V = B ·∇(
κ
ρ
)
≈ MPk‖csρ0∂ρ−1
∂θ≈ −2εMP∆ρk‖cs sin θ = O(εMP∆ρε), (E.23)
109
que não contribui em primeira ordem para o cálculo de R, o qual é de (E.6) e resulta em:
R(0) = 0, (E.24)
R(T) =
∫
dtvE ·∇ρ = −2i∆ρωE
ωρ0 sin θ, (E.25)
R(P) =
∫
dtVP ·∇ρ = iMP
k‖cs
ω
∂ρ
∂θ. (E.26)
E.2.4 Cálculo de ∇ · q
Através da expressão para o fluxo de calor total,
qΣ =γ
γ − 1
pΣeB2
(B ×∇TΣ), pΣ = p+ p, TΣ = T + T , (E.27)
obtém-se o fluxo de calor perturbado em primeira ordem,
q =p
pq +
γ
γ − 1
p
eB2(B ×∇T ), (E.28)
e, consequentemente,
∇ · q = ∇ ·(
p
pq
)
+γ
γ − 1
[
(B ×∇T ) ·∇(
p
eB2
)
+p
eB2(∇× B) ·∇T
]
. (E.29)
Como ∇ · q = O(εMthp0k‖cs) é um termo de segunda ordem, segue que
∇ ·(
p
pq
)
≈ q ·∇(
p
p
)
≈ γ
γ − 1
R20
eF0B ·∇p ≈ γ
γ − 1Mthk‖cs
∂p
∂θ. (E.30)
De forma similar, os outros termos de (E.29) podem ser desenvolvidos, resultando nas relações
(B ×∇T ) ·∇(
p
eB2
)
≈ R20
eF0
dp
dΨB ·∇T = Mthk‖csp0
∂
∂θ
(
T
T0
)
∼ ∇ ·(
p
pq
)
, (E.31)
p
eB2(∇× B) ·∇T ≈ p0R
20
eF 20
dF0
dΨB ·∇T = RFMthk‖cs
∂
∂θ
(
T
T0
)
= O(B0)∇ ·(
p
pq
)
. (E.32)
O uso da relação aproximada entre a pressão, densidade e temperatura perturbadas,
p ≈ p0T
T0+ p0
ρ
ρ0, (E.33)
110
permite combinar as expressões em (E.30) e (E.31) e obter a expressão final para ∇ · q:
∇ · q =Mthk‖cs
γ − 1
(
2γ∂p
∂θ− c2s
∂ρ
∂θ
)
. (E.34)
E.2.5 Cálculo de P
Ao assumirmos que limMP→0Mth = 0, obtém-se, analogamente cálculo de R, que:
P (T) =
∫
dtvE ·∇p = −2i∆p
γ
ωE
ωρ0c
2s sin θ (E.35)
P (P) =
∫
dt[VP ·∇p+ (γ − 1)∇ · q] = ik‖cs
ω
[
(MP + 2γMth)∂p
∂θ−Mthc
2s
∂ρ
∂θ
]
. (E.36)
E.3 Solução sem rotação (primeira iteração)
Com as substituições F‖ = R = P = 0 e v = v(0) = vE + v(0)‖ b em (E.1) – (E.3) e o uso da
normalização
Ω =ω
k‖cs, ΩE =
ωE
k‖cs, (E.37)
conforme explicitado na seção 3.4, obtém-se:
∇ · v(0)
k‖cs= −2ΩE sin θ +
∂
∂θ
v(0)‖
cs, (E.38)
v(0)‖ = v
(0)‖c cos θ, v
(0)‖c =
2ΩE
Ω2 − 1cs, (E.39)
ρ(0)s
ρ0=
p(0)s
ρ0c2s= iΩ
v(0)‖c
cs, ρ(0)c = p(0)c = 0. (E.40)
E.4 Solução com rotação toroidal (segunda iteração)
:
Desconsiderando em (E.1)–(E.3) a solução obtida em na seção anterior, obtemos o sistema:
−iΩv(T)‖
cs+
∂
∂θ
p(T)
ρ0c2s+
F(T)‖
ρ0k‖c2s= 0, (E.41)
111
−iΩ
(
ρ(T)
ρ0+
R(T)
ρ0
)
+∂
∂θ
v(T)‖
cs= 0, (E.42)
−iΩ
(
p(T)
ρ0c2s+
P (T)
ρ0c2s
)
+∂
∂θ
v(T)‖
cs= 0, (E.43)
que apresenta como solução
v(T)‖ =
i
2
Ω
ΩE
(
∂
∂θ
P (T)
ρ0c2s−
F(T)‖
ρ0k‖c2s
)
v(0)‖c = v
(T)‖s sin θ + v
(T)‖c cos θ, (E.44)
ρ(T) = −[
1
2ΩE
(
P (T)
c2s+
∂
∂θ
F(T)‖
k‖c2s
) v(0)‖c
cs+ R(T)
]
= ρ(T)s sin θ + ρ(T)
c cos θ, (E.45)
p(T) =1
2ΩE
(
Ω2P (T) +∂
∂θ
F(T)‖
k‖
) v(0)‖c
cs= p(T)
s sin θ + p(T)c cos θ. (E.46)
Mediante o uso dos resultados anteriores em (E.44) – (E.46), segue, finalmente, que
v(T)‖s = iΩ
(MT +∆V )
2v(0)‖c , v
(T)‖c =
∆p
γv(0)‖c , (E.47)
ρ(T)s =
i
Ω
[
∆p
γ+ (Ω2 − 1)∆ρ
] v(0)‖c
csρ0, ρ(T)
c =(MT +∆V )
2
v(0)‖c
csρ0, (E.48)
p(T)s = iΩ
∆p
γρ0csv
(0)‖c , p(T)
c = ρ(T)c c2s. (E.49)
E.5 Rotação poloidal e toroidal (terceira iteração)
Primeiramente, substitui-se (E.47)–(E.49) em (E.21), (E.26) e (E.36) para obter
F(P)‖
ρ0k‖c2s= MP
∂
∂θ
v(P)‖
cs+MP
[
−(
1 +∆p
γ
)
sin θ +iΩ
2(MT +∆V ) cos θ
] v(0)‖c
cs. (E.50)
R(P)
ρ0=
iMP
Ω
∂
∂θ
ρ(P)
ρ0− MP
Ω2
i
2Ω(MT +∆V ) sin θ +
[
Ω2 +∆p
γ+ (Ω2 − 1)∆ρ
]
cos θ
v(0)‖c
cs,(E.51)
112
P (P)
ρ0c2s= i
MP
Ω
∂
∂θ
[(
1 + 2γMth
MP
)
p(P)
ρ0c2s− Mth
MP
ρ(P)
ρ0
]
+MP
Ω
i
[
1 + (2γ − 1)Mth
MP
]
sin θ+
[
Ω∆p
γ+
(
2γΩ− 1
Ω
)
Mth
MP+ 2Ω∆p
Mth
MP+
(
1
Ω− Ω
)
∆ρMth
MP
]
cos θ
v(0)‖c
cs, (E.52)
que, por sua vez, são inseridos no sistema:
v(P)‖ =
iΩ
Ω2 − 1
(
∂
∂θ
P (P)
ρ0cs−
F(P)‖
ρ0k‖cs
)
, (E.53)
ρ(P) = −R(P) − 1
Ω2 − 1
(
P (P)
c2s+
∂
∂θ
F(P)‖
k‖c2s
)
, (E.54)
p(P) = − 1
Ω2 − 1
(
Ω2P (P) +∂
∂θ
F(P)‖
k‖
)
, (E.55)
cujas equações são similares às eqs. (E.44)–(E.46).
Para resolver este sistema, devido ao acoplamento das equações, é conveniente utilizar a
formulação exponencial ao invés da trigonométrica, de acordo com as relações:
X = Xs sin θ + Xc cos θ = X+1eiθ + X−1e
−iθ,
Xs = i(X+1 − X−1), Xc = X+1 + X−1, X±1 =1
2(Xc ∓ iXs). (E.56)
A forma exponencial é adotada por duas razões: Primeiramente, devido à praticidade no cálculo
da derivada, ou seja, ∂/∂θ → im, m = ±1. A segunda é devido a possibilidade de análise
individual dos harmônicos m = 1,−1 que a forma exponencial proporciona.
Nesta condições, de acordo com (E.21), (E.26) e (E.36), utilizando (E.56), segue que
F(P)‖±1
ρ0k‖cs= ±iMP
v(P)‖±1
cs+
i
2MP
[
±(MT +∆V )
2Ω + 1− ∆p
γ
] v(0)‖c
cs, (E.57)
R(P)±1
ρ0= ∓MP
Ω
ρ(P)±
ρ0− MP
2
[
1 + ∆ρ ±1
2
(MT +∆V )
Ω+
(∆p/γ −∆ρ)
Ω2
] v(0)‖c
cs, (E.58)
113
P(P)±1
ρ0c2s= ∓MP
Ω
[(
1 + 2γMth
MP
)
p(P)±1
ρ0c2s− Mth
MP
ρ(P)±1
ρ0
]
−
MP
2
1 +∆p
γ+ (2γ − 1)
Mth
MP± 1
2
[
1 + (2γ − 1)Mth
MP
]
(MT +∆V )
Ω
v(0)‖c
cs, (E.59)
e, com a substituição de (E.57), (E.58) e (E.59) em (E.53), (E.54) e (E.55), obtemos um sistema
6× 6, que pode ser representado na forma matricial:
C(±)11 C12 C13
C21 C(±)22 C(±)
23
C31 C(±)32 C(±)
33
v(P)‖±1/cs
ρ(P)±1 /ρ0
p(P)±1 /ρ0c
2s
=1
2
MP v(0)‖c
Ω2 − 1
K(±)v
K(±)ρ
K(±)p
, (E.60)
onde
C(±)11 = 1± C31Ω
Ω2 − 1, C12 =
Mth
Ω2 − 1, C13 = C21 + 2γC12,
C21 =−C31Ω2 − 1
, C(±)22 = 1±
(C12 + C31Ω
)
, C(±)23 = ∓C13
Ω,
C31 = −MP , C(±)32 = ±C12Ω, C(±)
33 = 1∓ C13Ω, (E.61)
K(±)v = ±(MT +∆V )
2Ω2 +
[
1− ∆p
γ±(
1 +∆p
γ+ (2γ − 1)
Mth
MP
)]
Ω+
(MT +∆V )
2
(
1 + (2γ − 1)Mth
MP
)
, (E.62)
K(±)ρ = (1 +∆ρ)Ω
2 + (1± 1)(MT +∆V )
2Ω±
(
1− ∆p
γ
)
+ 2
(
∆p
γ−∆ρ
)
+
(2γ − 1)Mth
MP± (2γ − 1)
(MT +∆V )
2
Mth
MP
1
Ω+
(
∆ρ −∆p
γ
)
1
Ω2, (E.63)
K(±)p =
(
1 +∆p
γ+ (2γ − 1)
Mth
MP
)
Ω2 +(MT +∆V )
2
(
1± 1± (2γ − 1)Mth
MP
)
Ω
±(
1− ∆p
γ
)
. (E.64)
114
A solução deste sistema pode ser representada pelas seguintes relações:
v(P)‖±1
cs=
N v±1
(P)
D±1(P)
,ρ(P)±1
ρ0=
N ρ±1
(P)
D±1(P)
,p(P)±1
ρ0c2s=
N p±1
(P)
D±1(P)
, (E.65)
onde
D±1(P) ≈ (MP ∓ Ω)(Ω + 1∓MP )(Ω− 1∓MP ) + [2γ(Ω∓MP )
2 − 1]Mth, (E.66)
N v±1
(P) = MP
3∑
k=0
C(v)k,±1Ω
k, C(v)0,±1 =
MP
2
(
−MP +MT
2+
MP∆V
2
)
,
C(v)1,±1 = ∓1
2
(1 +M2P )
(MT +∆V )
2− 3MP
(
1 +∆p
γ
)
+
[
(2γ − 1)(MT +∆V )
2MP− 4γ
]
Mth
,
C(v)2,±1 = −
(
1 +∆p
γ
)
+(MT +∆V )
2MP −
(
γ − 1
2
)
Mth
MP, C(v)
3,±1 = ∓(MT +∆V )
4,(E.67)
N ρ±1
(P)=
MP
Ω
4∑
k=0
C(ρ)k,±1Ω
k, C(ρ)0,±1 = ∓1
2
(
∆ρ −∆p
γ
)
,
C(ρ)1,±1 =
MP
2
[
1− 2∆ρ + 3∆p
γ−MP
(MT +∆V )
2
]
+
[
1− (2γ − 1)(MT +∆V )
4MP
]
Mth,
C(ρ)2,±1 = ∓1
2
[
1− 2∆ρ + 3∆p
γ− 3
2MP (MT +∆V ) +M2
P + (2γ − 1)Mth
MP
]
,
C(ρ)3,±1 = −MT +∆V
2+ (1 + ∆ρ)MP + γMth, C(ρ)
4,±1 = ∓1
2(1 + ∆ρ), (E.68)
N p±1
(P)= MP
3∑
k=0
C(ρ)k,±1Ω
k, C(p)0,±1 =
MP
2
[
1 +∆p
γ− (MT +∆V )
2MP
]
+Mth
2,
C(p)1,±1 = ∓1
2
(
1 +∆p
γ− 3
2(MT +∆V )MP +M2
P
)
,
C(p)2,±1 =
(
1 +∆p
γ
)
MP − (MT +∆V )
2+
[
2γ − 1
2− (2γ − 1)
(MT +∆V )
4MP
]
Mth,
C(p)3,±1 = ∓1
2
(
1 +∆p
γ+ (2γ − 1)
Mth
MP
)
. (E.69)
E.6 Relação de dispersão
Para a obtenção da relação de dispersão é necessário invocar a equação do momento,
ρ∂v
∂t+∇p− J × B + F = 0, F = ρ(V ·∇v + v ·∇V) + ρV ·∇V, (E.70)
115
a qual, quando multiplicada vetorialmente por B permite a obtenção da expressão analítica
para a densidade de corrente,
J =j‖
BB +
ρB
B2× ∂v
∂t+
B
B2×∇p+
B
B2× F. (E.71)
A relação de dispersão é proveniente da condição de quasi-neutralidade do plasma, que pode ser
expressa pela equação ∇ · J = 0. A metodologia analítica padrão é baseada no cálculo da média
de tal equação sobre uma superfície magnética. De forma similar, podemos tomar a média da
equação mencionada com relação a um volume arbitrario de plasma, ou seja,
D =
∫
V dV∇ · J∫
V dV= 0, dV = (R0 + r cos θ)rdrdθdφ, (E.72)
O cálculo do numerador de D, em (E.72), e efetuado a partir do uso do teorema da divergência
de Gauss, (B.5), de forma que
D =
∮
S J · dS∫
V dV= 0, dS = (R0 + r cos θ)rdθdφer. (E.73)
D(0) ≈ K(r)
2iπ
[
−iΩE
q2Ω
∫ 2π
0dθ + 2
∫ 2π
0dθ
∂
∂θ
(
p(0)
ρ0c2s
)
cos θ
]
, (E.74)
D(T) ≈ K(r)
2iπ
[
2
∫ 2π
0dθ
∂
∂θ
(
p(T)
ρ0c2s
)
cos θ +1
q
∫ 2π
0dθ
F(T)θ
ρ0k‖c2s
]
, (E.75)
D(P) ≈ K(r)
2iπ
[
2
∫ 2π
0dθ
∂
∂θ
(
p(P)
ρ0c2s
)
cos θ +1
q
∫ 2π
0dθ
F(P)θ
ρ0k‖c2s
]
, (E.76)
onde K(r) ≈ 2iγp0(r)/rF0(r). Com a substituição dos resultados anteriores obtidos nesta seção
nas expressões (E.74) – (E.76), obtemos os resultados mostrados em (3.87) – (3.89).
116
Apêndice F
Cálculo de integrais da função
distribuição
F.1 Relações envolvendo a distribuição maxwelliana
Em problemas envolvendo a função distribuição Maxwelliana, a qual é definida por
FMα=
n0
π3/2v3Tα
exp
(
−v2⊥ + v2‖
v2Tα
)
, (F.1)
é comum aparecer integrais do tipo:
I(a, b) =
∫ 2π
0dγ
∫ ∞
−∞dv‖
∫ ∞
0dv⊥v⊥
(
v⊥vTα
)a( v‖
vTα
)b
FMα, a, b ≥ 0 (F.2)
que podem ser simplificadas a partir das mudanças de variável: x = v⊥/vTαe y = v‖/vTα
,
I(a, b) =2n0√πI⊥(a)I‖(b). (F.3)
As soluções para I⊥(a) e I‖(b), de forma genérical, são dadas por:
I⊥(n) =
∫ ∞
0xn+1e−x2
dx =
2−1(n/2)! para n par
2−(n+1)/2n!!√π para n impar
, (F.4)
I‖(n) =
∫ ∞
−∞xne−αx2
dx =
√π para n = 0
0 para n impar
2−n/2(n− 1)!!√π para n ≥ 2 e n par
, (F.5)
117
A partir da energia e da velocidade térmica de partículas do tipo α,
Eα = eαΦ+1
2mαv
2, v2Tα=
2Tα
mα(F.6)
onde v2 = v2⊥ + v2‖, podemos expressar a função Maxwelliana como:
FMα=
n0m3/2α
(2πTα)3/2exp
(
−Eα − eαΦ
Tα
)
. (F.7)
Segue, portanto, que
∂FMs
∂Eα= −FMs
Tα, (F.8)
∇FMα=
[
∇ lnn0 +
(Eα − eΦ
Tα− 3
2
)
∇ lnTα +e∇Φ
Tα
]
FMα, (F.9)
Para o caso particular em que Φ = 0, n0 ≈ n0(r) e Tα ≈ Tα(r), o qual consideramos nesta tese,
a eq. (F.9) pode ser simplificada, resultando em:
∇FMα≈ er
n0
LN
[
1 + ηα
(
v2⊥v2Tα
+v2‖
v2Tα
− 3
2
)]
FMα, (F.10)
onde
L−1N =
∂lnn0
∂r, L−1
Tα=
∂lnTα
∂re ηα =
LN
LT. (F.11)
F.2 Cálculo das integrais na aproximação de fluido
A partir da integral no espaço de velocidades da grandeza arbitrária, Xα = Xα(r, v⊥, v‖, γ),
a qual é denotada por
〈Xα〉 =1
n0
∫
vd3vFMα
Xα =1
π
∫ 2π
0dγ
∫ ∞
0dv⊥v⊥
e−v2⊥/v2Tα
v2Tα
1√π
∫ ∞
−∞dv‖
e−v2‖/v2
Tα
vTα
Xα, (F.12)
nesta seção mostramos os resultados das seguintes quantidades:
I(α)a =⟨
J20αΩ
adα
⟩
, I(α)ab =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrα
⟩
, I(α)abc =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrαΩ
c∗α
⟩
, (F.13)
onde
J0α = J0(krv⊥/ωcα) ≈ 1− 1
2
v2⊥v2Tα
k2rρ2α +
3
32
v4⊥v4Tα
k4rρ4α +O(k6rρ
6α), (F.14)
118
Ωdα =ωdα
ω
(
1
2
v2⊥v2Tα
+v2‖
v2Tα
)
, Ωtrα =ωtrα
ω
v‖
vTα
, Ω∗α =ω∗α
ω
[
1 + ηα
(
1
2
v2⊥v2Tα
+v2‖
v2Tα
)]
. (F.15)
Para o cálculo das integrais em (F.13), observando que Ωdα, Ωtrα e Ω∗α são independentes
de γ, é conveniente, primeiramente integrar nesta variável, posteriormente em v⊥ e, por fim,
em v‖. A partir de (F.4), (F.5) e das mudanças de variáveis indtroduzidas anteriormente,
v⊥/vTα= x e v‖/vTα
= y, para krρi ≪ 1, em termos das frequências normalizadas, Ω = ωR0/vTi
e Ω∗α = ω∗αR0/vTi, são obtidos os seguintes resultados:
I(α)0 =
⟨
J20α
⟩
= 1− 1
2k2rρ
2α +
3
16k4rρ
4α,
I(α)1 =
⟨
J20αΩdα
⟩
≈(
1− 3
4k2rρ
2α
)
krραΩ
,
I(α)2 =
⟨
J20αΩ
2dα
⟩
≈(
7
4− 13
8k2rρ
2α
)
k2rρ2α
Ω2, (F.16)
I(α)02 =
⟨
J20αΩ
2trα
⟩
=
(
1
2− 1
4k2rρ
2α
)
1
q2Ω2,
I(α)12 =
⟨
J20αΩdαΩ
2trα
⟩
=
(
1− 5
8k2rρ
2α
)
krραq2Ω3
,
I(α)22 =
⟨
J20αΩ
2dαΩ
2trα
⟩
=
(
23
8− 23
16k2rρ
2α
)
k2rρ2α
q2Ω4, (F.17)
I(α)001 =
⟨
J20αΩ∗α
⟩
=
[
1− (1 + ηα)
2k2rρ
2α
]
Ω∗α
Ω,
I(α)101 =
⟨
J20αΩdαΩ∗α
⟩
=
[
1 + ηα − 3
4(1 + 2ηα)k
2rρ
2α
]
Ω∗αkrραΩ2
,
I(α)121 =
⟨
J20αΩdαΩ
2trαΩ∗α
⟩
=
[
1 + 2ηα − 5
8(1 + 3ηα)k
2rρ
2α
]
Ω∗αkrραq2Ω4
,
I(α)021 =
⟨
J20α
Ω2trαΩ∗α
ω3
⟩
=
[
1
2(1 + ηα)−
1
4(1 + 2ηα)k
2rρ
2α
]
Ω∗α
q2Ω3, (F.18)
I(α)abc =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrαΩ
c∗α
⟩
= 0, se b for impar. (F.19)
F.3 Função dispersão de plasma
Para a função dispersão de plasma,
Z(ζ) =1√π
∫ ∞
−∞dx
e−x2
x− ζ, Im(ζ) > 0, (F.20)
119
são satisfeitas as seguintes propriedades:
Z(−ζ) = 2i√πe−ζ2 − Z(ζ), (F.21)
dZ
dζ= −2[1 + ζZ(ζ)]. (F.22)
Se |Im(ζ)| ≪ 1, mediante o prolongamento analítico para incluir o caso Im < 0, as seguintes
aproximações assimptótica podem ser feitas:
Z(ζ) ≈ i√πe−ζ2 − 2ζ +
4
3ζ3 +O(ζ5), (F.23)
para |ζ| ≪ 1 e
Z(ζ) ≈ iσ√πe−ζ2 −
[
1
ζ+
1
2ζ3+
3
4ζ5+
15
8ζ7+O(ζ−9)
]
, σ =
σ = 0 para Im(ζ) > 0
σ = 1 para Im(ζ) = 0
σ = 2 para Im(ζ) < 0
, (F.24)
para |ζ| ≫ 1.
Para simplificar a notação, definimos Z(k) = dkZ/dζk. Para os cálculos que se seguem, é
conveniente, a partir de (F.22), calcular as seguintes derivadas:
Z(1) = −2− 2ζZ,
Z(2) = 4ζ + (−2 + 4ζ2)Z,
Z(3) = 8− 8ζ2 + (12ζ − 8ζ3)Z,
Z(4) = −40ζ + 16ζ3 + (12− 48ζ2 + 16ζ4)Z,
Z(5) = −64 + 144ζ2 − 32ζ4 + (−120ζ + 160ζ3 − 32ζ5)Z, (F.25)
Com relação a seguinte função relacionada a Z(ζ),
Zn(ζ) =1√π
∫ ∞
−∞dζ
xne−x2
x− ζ, n ≥ 0, (F.26)
120
utilizando (F.25), obtemos os seguintes resultados:
Z0(ζ) = Z(ζ),
Z1(ζ) = −1
2Z(1) = 1 + ζZ(ζ),
Z2(ζ) =1
4[2Z + Z(2)] = ζ + ζ2Z(ζ),
Z3(ζ) = −1
8[6Z(1) + Z(3)] =
1
2+ ζ2 + ζ3Z(ζ),
Z4(ζ) =1
16[12Z + 12Z(2) + Z(4)] =
1
2ζ + ζ3 + ζ4Z(ζ),
Z5(ζ) = − 1
32[60Z(1)(ζ) + 20Z(3)(ζ) + Z(5)(ζ)] =
3
4+
1
2ζ2 + ζ4 + ζ5Z(ζ), (F.27)
Finalmente, é conveniente definir a seguinte função diferença:
Dn(ζα) = Zn(−ζα)− Zn(ζα), ζα =ω
ωtrα, (F.28)
a qual, pela utilização de F.21 a F.27, resulta nos seguintes valores:
D0(ζα) = 2[i√πe−ζ2α − Z(ζα)],
D1(ζα) = −2ζαi√πe−ζ2α ,
D2(ζα) = −2ζα + ζ2αD0(ζα),
D3(ζα) = −2ζ3αi√πe−ζ2α ,
D4(ζα) = −ζα − 2ζ3α + ζ4αD0(ζα),
D5(ζα) = −2ζ5αi√πe−ζ2α . (F.29)
F.4 Cálculo das integrais com efeitos cinéticos
Inicialmente apresentamos as integrais cinéticas:
L(α)a =
⟨
J20αΩ
adα
1− Ω2trα
⟩
, L(α)ab =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrα
1− Ω2trα
⟩
, L(α)abc =
⟨
J20αΩ
adαΩ
btrαΩ
c∗α
1− Ω2trα
⟩
, (F.30)
onde, para seu cálculo, é conveniente observar que
1
1− Ω2trα/ω
2=
ζα2
(
1
v‖/vTα+ ζα
− 1
v‖/vTα− ζα
)
, ζα =ω
ωtrα, (F.31)
pois esta observação nos permite obter a seguinte relação:
1√π
∫ ∞
−∞
dv‖
vTα
(v‖/vTα)ne−v2
‖/v2
Tα
1− Ω2trα
=ζα2Dn(ζα). (F.32)
121
Segue, portanto, que
L(α)0 =
ζα2D0(ζα)
(
1− 1
2k2rρ
2α
)
, L(α)1 =
ωdα
ω
ζα2
[
1
2D0(ζα) +D2(ζα)
]
,
L(α)2 =
ω2dα
ω2
ζα2
[
1
2D0(ζα) +D2(ζα) +D4(ζα)
]
, (F.33)
L(α)01 =
1
2D1(ζα), L(α)
02 =1
2ζαD2(ζα), L(α)
11 =ωdα
ω
1
2
[
1
2D1(ζα) +D3(ζα)
]
, (F.34)
L(α)001 =
ω∗α
ω
ζα2
[(
1− ηα2
)
D0(ζα) + ηαD2(ζα)
]
,
L(α)101 =
ωdαω∗α
ω2
ζα2
[(
1
2+
ηα4
)
D0(ζα) +D2(ζα) + ηαD4(ζα)
]
,
L(α)011 =
ω∗α
ω
1
2
[(
1− ηα2
)
D1(ζα) + ηαD3(ζα)
]
,
L(α)111 =
ωdαω∗α
ω2
1
2
[(
1
2+
ηα4
)
D1(ζα) +D3(ζα) + ηαD5(ζα)
]
, (F.35)
e, finalmente, com a substituição dos valores mostrados em F.29, resulta:
L(α)0 = −ζα[Z(ζα)− i
√πe−ζ2α ]
(
1− k2rρ2α
2
)
,
L(α)1 = −
ζ2α +
(
1
2ζα + ζ3α
)
[
Z(ζα)− i√πe−ζ2α
]
krραΩ
,
L(α)2 = −
3
2ζ2α + ζ4α +
(
1
2ζα + ζ3α + ζ5α
)
[
Z(ζα)− i√πe−ζ2α
]
k2rρ2α
Ω2, L(α)
01 = −ζαi√πe−ζ2α ,
L(α)02 = −[1 + ζαZ(ζα)]
(
1− k2rρ2α
2
)
, L(α)11 = −
(
1
2ζα + ζ3α
)
krραΩ
√πe−ζ2α ,
L(α)001 = −
ηαζ2α +
[(
1− 1
2ηα
)
ζα + ηαζ3α
]
[
Z(ζα)− i√πe−ζ2α
]
Ω∗α
Ω,
L(α)101 = −
(
1 +1
2ηα
)
ζ2α + ηαζ4α +
[(
1
2+
1
4ηα
)
ζα + ζ3α + ηαζ5α
]
[
Z(ζα)− i√πe−ζ2α
]
Ω∗αkrραΩ2
,
L(α)011 = −
[(
1
2− 1
2ηα
)
ζα + ηαζ3α
]
Ω∗α
Ωi√πe−ζ2α ,
L(α)111 = −
[(
1
2+
1
4ηα
)
ζα + ζ3α + ηαζ5α
]
Ω∗αkrραΩ2
i√πe−ζ2α . (F.36)
122
F.5 Obtenção do limite de fluido a partir das integrais
com efeitos cinéticos
No limite |ζi| → ∞, o termo e−ζ2i pode ser desprezado e, ao utilizar o limite assimptótico de
Z(ζi), mostrado em F.24, obtemos a partir de (F.36) o limite de fluido:
L(i)0 ≈ I
(i)0 + I
(i)02 ≈
(
1− 1
2k2rρ
2i
)(
1 +1
2q2Ω2
)
, L(i)1 = I
(i)1 + I
(i)12 =
(
1 +1
q2Ω2
)
krρiΩ
,
L(i)2 = I
(i)2 + I
(i)22 =
(
7
4+
23
8
1
q2Ω2
)
k2rρ2i
Ω2, L(i)
11 = I(i)11 = 0,
L(i)101 = I
(i)101 + I
(i)121 =
[
1 + ηi +1 + 2ηiq2Ω2
]
Ω∗ikrρiΩ2
, L(i)111 = I
(i)111 = 0, L(i)
011 = I(i)011 = 0,
L(i)001 = I
(i)001 + I
(i)021 =
[
1 +1 + ηi2q2Ω2
− 1
2
(
1 + ηi +1 + 2ηi2q2Ω2
)
k2rρ2i
]
Ω∗i
Ω,
(F.37)
123
Apêndice G
Participação em eventos científicos
G.1 Cursos internacionais:
• 8th Carolus Magnus Summer School on Plasma Physics and Fusion Science
[99]: Este curso de curta duração, que ocorreu de 3 a 14 de setembro de 2007 em Bad Hon-
nef na Alemanha, consistiu de inúmeros seminários sobre os principais tópicos a respeito de
Física de Plasma e Fusão Nuclear (Magnetohidrodinâmica, Teoria cinética, Aquecimento,
Transporte, etc...) com ênfase em aplicações para o ITER. Os seminários, que foram
ministrados por pesquisadores e professores especialistas em cada área, foram publicados
no formato de artigo breve em [100].
G.2 Produção bibliográfica
• Drif effects on geodesic acoust modes: Foi aceito em 2012 e publicado na versão
final em 2013 [74]. Este trabalho foi, em grande parte, resultado da colaboração com
Prof. Dr. A. I. Smolyakov pertencente a Universidade de Saskatchewan e é a base para
propostas de trabalhos futuros que pretendemos realizar.
• Rotation effect on geodesic and zonal flow modes in tokamak plasmas with
isothermal magnetic surfaces: O tema deste trabalho foi o alvo da pesquisa do mes-
trado precedente ao presente doutorado [39] e do início deste doutorado. Na forma final,
considerando fluxo de calor e equilíbrio com superfícies magnéticas isotérmicas, este tra-
balho foi publicado em 2011 [81].
124
G.3 Conferências e encontros científicos
• 40th European Physical Society Conference on Plasma Physics [101]: Trata-
se de uma conferência em física de plasmas que ocorreu de 1 a 5 de julho de 2013 na
Finlândia. Apresentamos nesta conferência um poster entitulado como “Diamagnetic
effects and Landau Damping on geodesic acoustic modes” e um artigo no tamanho máximo
permitido (4 páginas) [102]. Este trabalho é a base para o captítulo 4 desta tese e, a partir
dele, pretendemos, no futuro, submeter um artigo com maior detalhamento algébrico em
alguma revista internacional adequada ao tipo de trabálho.
• 12Encontro Brasileiro de Física de Plasmas [103]: Foi um evento científico na-
cional que correu de 1 a 5 de Dezembro de 2013 na Universidade de Brasília (UnB) em
Brasília (DF). Neste evento apresentamos, na forma de poster, a metodologia parra um
estudo sobre automodos acústicos geodésicos, cuja aplicação de maior impácto imediato
está na determinação do perfil radial da temperatura de íons em tokamaks por meio de
um novo tipo de diagnóstico em desenvolvimento: Espectroscopia com GAM. Trata-se
de um tema que pretendemos desenvolver melhor em um trabalho futuro, no entanto, os
conceitos iniciais e a metodologia para o desenvolvimento deste trabalho foram apresen-
tados no poster e no resumo entitulados “Geodesic acoustic eigenmodes in the presence
of diamagnetic effects” (P023) [104].
125
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