Álgebra linear - espaços vetoriais - 2015 (materia)

ÁLGEBRA

LINEAR

ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS

BASE E DIMENSÃO

José Fernando Santiago Prates 2015

Álgebra Linear Espaços e Subespaços

Prof. José Fernando Santiago Prates 2

Para alguns esse material é apenas uma demonstração de

conhecimento, para outros uma imposição. Na verdade é a

maneira que tenho de exemplificar um esforço em buscar,

lapidar e compartilhar um pouco do que existe sobre o

assunto a ser ministrado. Cabe cada aluno fazer o mesmo,

usar a iniciativa pela busca do conhecimento.

José Fernando Santiago Prates.

Se você quer ser bem sucedido,

precisa ter dedicação total,

buscar seu último limite e dar o melhor de si.

Ayrton Senna

http://frases.globo.com/ayrton-senna



1. ESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................................... 4

1.1. Definição ................................................................................................................................................. 4

1.1.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 5

1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS .................................................................................................................... 10

1.2.1. Definição ............................................................................................................................................... 10

1.2.2. Ilustração geométrica de Subespaços de R2 ................................................................................ 10

1.2.3. Ilustração geométrica de Subespaços de R3 ................................................................................. 11

1.2.4. Exemplos ............................................................................................................................................... 12

1.3. SOMA DE ESPAÇOS VETORIAIS ......................................................................................................... 14

1.3.1. Definição ............................................................................................................................................... 14

1.3.2. Proposição ............................................................................................................................................. 14

1.3.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 14

1.4. INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS ............................................................................................................ 16

1.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 16

1.4.2. Proposição ............................................................................................................................................. 16

1.4.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 16

1.5. COMBINAÇÃO LINEAR .......................................................................................................................... 18

1.5.1. Definição ............................................................................................................................................... 18

1.5.2. Ilustração no R2 ................................................................................................................................... 18

1.5.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 18

1.6. SUBESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS ....................................................................... 21

1.6.1. Definição ............................................................................................................................................... 21

1.6.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 21

2. BASE E DIMENSÃO ....................................................................................................... 23

2.1. Dependência Linear ............................................................................................................................23

2.1.1. Definição (Linearmente Independente) L.I. ......................................................................................... 23

2.1.2. Definição (Linearmente Dependente) L.D. ........................................................................................... 23

2.1.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 23

2.2. BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS ..................................................................................27

2.2.1. Definição (Base).................................................................................................................................... 27

2.2.2. Definição (Dimensão) ........................................................................................................................... 27

2.2.3. Bases Canônicas ................................................................................................................................... 27

2.2.4. Ilustração da base canônica do R2 ................................................................................................... 28

2.2.5. Exemplos de dimensões ..................................................................................................................... 28

2.2.6. Exercícios ............................................................................................................................................. 29

2.3. COORDENADAS ...................................................................................................................................... 31

2.3.1. Definição ............................................................................................................................................... 31

2.3.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 31

2.4. MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ...........................................................33

2.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 33

2.4.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 34

2.4.3. Teoremas .............................................................................................................................................. 38

3. Exercícios ...................................................................................................................................................... 41

3. Bibliografia ...............................................................................................................................................44



1. ESPAÇOS VETORIAIS

1.1. Definição

Dizemos que um conjunto V é um Espaço Vetorial sobre o conjunto dos

números reais R se, e somente se as seguintes propriedades forem satisfeitas.

Exemplos:

Conjunto dos números reais R,

Conjunto dos vetores reais Rn,

Conjunto das matrizes reais Rnm,

Conjunto dos Polinômios Pn(x), Conjunto das soluções de uma EDO linear homogênea.

I – Existir uma operação de Adição (u, v) u + v onde;

u, v, w V.

a) u + v = v + u Comutativa

b) u + (v + w) = (u + v) + w Associativa

c) 0 V tq u V u + 0 = u Elemento Nulo

d) u V, -u V tq u + (-u) = 0 Elemento Oposto

II – Existir uma operação de Multiplicação (k, u) ku onde;

u, v V e k, k1, k2 R

a) k1(k2u) = (k1k2)u

b) u(k1 + k2) = k1u + k2u

c) k(u + v) = ku + kv

d) 1u = u

(k1 + k2)u = k1u + k2u

(u + v)k = ku + kv



1.1.1. Exemplos

1. Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações

Adição : (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 , 2x1 + 2y2 )

Multiplicação : K(x1, x2 ) = (x1, 0 )

Pedese: Verificar as propriedades da adição e mostrando entre elas quais não são

verdadeiras.

Solução:

u = (u1, u2) e v = (v1, v2) R2.

a) u + v ? v + u

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1 , 2u1 + 2v2)

v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, 2v1 + 2u2 )

Portanto, u + v u + v Propriedade falsa.

b) u + (v + w) ? (u + v) + w

u + (v + w) = (u1, u2) + ( (v1, v2) + (w1, w2) ) = (u1, u2) + (v1 + w1, 2v1 + 2w2)

= (u1 + v1 + w1, 2u1 +2(2v1 + 2w2)) = (u1 + v1 + w1, 2u1 + 4v1 + 4w2)

(u + v) + w = ( (u1, u2) + (v1, v2) ) + (w1, w2) = (u1 + v1, 2u1 + 2v2 ) + (w1 + w2)

= (u1 + v1 + w1, 2(u1 + v1) + 2w2)) = (u1 + v1 + w1, 2u1 + 2v1 + 2w2)

Portanto, u + (v + w) (u + v) + w, Propriedade Falsa.

c) ? 0 V tq u V u + 0 = u

Tomando o elemento 0 = (0, 0) R2 temos; 0 + u = (0, 0) + (u1 ,u2) = (0 + u1, 0 + 2u2) u Portanto,

0 V tq u + 0 u Propriedade Falsa

d) u V, ? -u V tq u + (-u) = 0

para u = (u1 ,u2), - u = (-u1 ,-u2) u + (-u) = (u1 ,u2) + (-u1 ,-u2) = (u1 - u1, 2u1 – 2u2) = ( 0, 2u1 – 2u2) (0, 0) Portanto,

u + (-u) 0, Propriedade Falsa. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



2. Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações

Adição : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + 2y2)

Multiplicação : K(x, y) = (Kx , y) com K R

Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.

2.1. k(u + v) = ku + kv

2.2. u + v = v + u

2.3. 0 V tq u V u + 0 = u Solução:

u = (u1 ,u2), v = (v1 ,v2) v R2 e k R

a) k(u + v) ? ku + kv

k(u + v) = k( (u1, u2) + (v1, v2) )

= k( u1 + v1, u2 + 2v2)

= (ku1 + kv1, u2 + 2v2)

ku + kv = k(u1, u2) + k(v1, v2)

= (ku1, u2) + (kv1, v2)

= (ku1 + kv1, u2 + 2v2)

Portanto,

k(u + v) = ku + kv, Propriedade Verdadeira!.

b) u + v ? v + u

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + 2v2)

v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + 2u2 ) Portanto,

u + v v + u, Propriedade falsa.

c) ?

0 V tq u V u + 0 = u

para 0 = (0, 0), u = (u1, u2) u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1 + 0, u2 + 2.(0)) = (u1, u2) Portanto,

u + 0 = u, Propriedade verdadeira. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



3. Seja o conjunto V = { (x, y, z) tal que x, y, z R } com as operações

Adição : (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 - 2y2, z1 + 3z2 )

Multiplicação : k(x, y, z) = (x, 0, kz) Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.

a) u + v = v + u

b) k1(u + v) = k1u + k1v Solução:

u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) R3 e k1 R

a) u + v ? v + u

u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 – 2v2, u3 + 3v3) v + u = (v1, v2, v3) + (u1, u2, u3) = (v1 + u1, v2 – 2u2, v3 + 3u3)

Portanto, u + v v + u, Propriedade falsa.

b) k1(u + v) ? k1u + k1v

k1(u + v) = k1( (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ) = k1(u1 + v1, u2 – 2v2, u3 + 3v3) = (u1 + v1, 0, k1u3 + 3 k1v3)

k1u + k1v = k1(u1, u2, u3) + k1(v1, v2, v3) = (u1, 0, k1u3) + (v1, 0, k1v3) = (u1 + v1, 0 – 0 , k1u3 + 3 k1v3) Portanto,

k1(u + v) = k1u + k1v, Propriedade Verdadeira.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



4. Seja o conjunto V =

Rdc,b,a, que tal

dc

ba com as operações

Adição :

11

11

dc

ba +

22

22

dc

ba =

21

21

dd0

0aa

Multiplicação : k

dc

ba =

kd1

1ka


a) u + v = v + u

b) k1(u + v) = k1u + k1v Solução:

u =

43

21

uu

uu, v =

43

21

vv

vv R22

e k1, k2 R

a) u + v ? v + u

u + v =

43

21

uu

uu+

43

21

vv

vv=

44

11

vu0

0vu

v + u =

43

21

vv

vv+

43

21

uu

uu=

44

11

uv0

0uv

Portanto, u + v u + v, Propriedade falsa.

b) k1(u + v) ? k1u + k1v

k1(u + v) =

43

21

43

211 vv

vv

uu

uuk =

44

111 vu0

0vuk

=

4141

1111

vkuk1

1vkuk

k1u + k1v =

43

211 uu

uuk +

43

211 vv

vvk =

41

11

uk1

1uk+

41

11

vk1

1vk

=

4141

1111

vkuk0

0vkuk

Portanto,

k1(u + v) = k1u + k1v, Propriedade Verdadeira.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



5. Seja o conjunto V = Rcb,a, que tal cbxax)x(P 22 com as operações

Adição : )x(B)x(A = )bxbxb()axaxa( 322

1322

1

= )ba(x)ba(x)ba( 33222

11

Multiplicação : k )x(A = 322

1322

1 kaxkaxka)axaxa(k


a) u + v = v + u

b) k1(u + v) = k1u + k1v para u, v V e k1 R

Solução:

322

1 axaxa)x(A e 322

1 bxbxb)x(B V e k1 R

a) A(x) + B(x) ? B(x) + A(x)

A(x) + B(x) = )bxbxb()axaxa( 322

1322

1

= )ba(x)ba(x)ba( 33222

11

B(x) + A(x) = )axaxa()bxbxb( 32

2132

21

= )ab(x)ab(x)ab( 33222

11

Portanto,

A(x) + B(x) = B(x) + A(x) Propriedade verdadeira.

b) k1( A(x) + B(x) ) ? k1A(x) + k1B(x)

k1( A(x) + B(x) ) = k1( )bxbxb()axaxa( 322

1322

1 )

= k1( )ba(x)ba(x)ba( 33222

11 )

= )ba(kx)ba(kx)ba(k 3312212

111

= )bkak(x)bkak(x)bkak( 313121212

1111

k1A(x) + k1B(x) = )bxbxb(k)axaxa(k 32

21132

211

= )bkxbkxbk()akxakxak( 31212

1131212

11

= )bkak(x)bkak(x)bkak( 313121212

1111

Portanto,

k1( A(x) + B(x) ) = k1A(x) + k1B(x) Propriedade verdadeira.



1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS

1.2.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Dizemos que W, um subconjunto de

V, é um subespaço vetorial de V se, e somente se as propriedades abaixo forem satisfeita.

1.2.2. Ilustração geométrica de Subespaços de R2

a) W={(x,y)R2 tq x = y} b) W={(x,y)R2 tq x = -y}

c) W={(x,y)R2 tq y = 2x} d) W={(x,y)R2 tq x = 3y}

I) 0 W

II) u, v W, u + v W

III) u W e k R, ku W

y

x

0 1 2 3 4

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

5

y

x

0 1 2 3 4

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

5

y

x

0 1 2 3 4

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

5

y

x

0 1 2 3 4

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

5



1.2.3. Ilustração geométrica de Subespaços de R3

a) W={(x, y, z) R3 tq z = 0} b) W={(x, y, z) R3 tq x = 0}

c) W={(x, y, z) R3 tq y = 0} d) W={(x, y, z) R3 tq x = y}

e) W={(x, y, z) R3 tq y = 0 e z = 0} f) W={(x, y, z) R3 tq x=-y e z=y}

x

y

z

Plano xOz

z

x

y

x

y

z

y

z

x

z

x

y

z

x

y



1.2.4. Exemplos

1. Verificar se S = {(x, y) R2 tq x = y + 1 } é um subespaço vetorial de R2.

Solução

S = {(x, y) R2 tq x = y + 1 } = {(y + 1, y) tq y R}

a) (0,0) S pois se y = 0 temos x 2(0) +1

b) u = (u2 + 1, u2) e v = (v2 + 1, v2) S , temos

u + v = (u2 + 1, u2) + (v2 + 1, v2)

= (u2 + v2 + 2, u2 + v2) S

c) k R e u = (u2 + 1, u2) temos

ku = k(u2 + 1, u2)

= (ku2 + k, ku2) S

Portanto S não é um subespaço --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

2. Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } é um subespaço vetorial de R3.

Solução

S = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } = {(y + z, y, z) tq y, z R}

I. (0, 0, 0) S pois se y = 0 e z = 0 temos x = 0 + 0 = 0

II. u = (u2 + u3, u2, u3) e v = (v2 + v3, v2, v3) S , temos

u + v = (u2 + u3, u2, u3) + (v2 + v3, v2, v3)

= (u2 + u3 + v2 + v3, u2 + v2, u3 + v3) S

III. k R e u = (u2 + u3, u2, u3) S temos

ku = k(u2 + u3, u2, u3)

= (ku2 + ku3, ku2, ku3) S

Portanto, S é um subespaço. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

O correto seria

(u2 + v2 + 1, u2 + v2)

O correto seria

(ku2 + 1, ku2)



3. Verificar se S =

Rb,a tq

ba0

ba é um subespaço vetorial de R2x2.

Solução

I.

00

00 S

II. u =

21

21

uu0

uu, v =

21

21

vv0

vv S , temos

u + v =

21

21

uu0

uu +

21

21

vv0

vv

=

2121

2211

vvuu00

vuvu S

III. k R e u =

21

21

uu0

uu S temos

k

21

21

uu0

uu =

21

21

kuku0

kuku S

Portanto, S é um subespaço. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

4. Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R3.

Solução

S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } = {(y2, y, z) tq y, z R}

I. (0, 0, 0) S, pois se y = 0 temos x = 02

II. u = ( (u2) 2

, u2, u3) e v = ((v2) 2, v2, v3) S , temos

u + v = ((u2) 2, u2, u3) + ((v2)

2, v2, v3)

=((u2) 2

+ (v2) 2, u2 + v2, u3 + v3) S

Portanto S não é um subespaço

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

O correto seria

(u2 + v2 )2



1.3. SOMA DE ESPAÇOS VETORIAIS

1.3.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Sejam E1 e E2 subespaços de V. A

soma E1 + E2 é um subconjunto de V, representando a soma dos subespaços E1 e E2, definida por;

E1 + E2 ={ u + v tq u E1 e v E2}

1.3.2. Proposição

Se E1 e E2 são subespaços de um espaço vetorial V, então a soma E1 + E2 é um subespaço de V.

1.3.3. Exemplos

1) Sejam os seguintes subconjuntos de R3

.

E1 = {(x, y, z) R3 tq y = 0 e z = 0 } e E2 = {(x, y, z) R3 tq x = 0}

Determinar E1 + E2 .

Solução: De E1 = {(x, 0, 0) tq x R } temos: u = (x, 0, 0) De E2 = {(0, y, z) tq y, z R } temos: v = (0, y, z)

u + v = (x, 0, 0) + (0, y, z) = (x, y, z) x, y, z R Portanto, E1 + E2 ={(x, y, z) x, y, z R} = {(x, y, z) R3 } R3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

Ilustração 1: E1 = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (-1, 0, 0), (2, 0, 0), (-2, 0, 0), (3, 0, 0), (-3, 0, 0), ..... }

E2 = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1), (0, -1, 1), (0, -1, 0), (0, 0, -1), (0, 3, 0), (0, 1, 0), (0, 3, 2), (0, 2, 0), ..... }

E1 + E2 = {(0, 0, 0)+(0, 0, 0), (0, 0, 0)+(1, 0, 0), (0, 0, 0)+(0, 1, 0),..., (0, 0, 0)+(1, 1, 0), (0, 0, 0)+(1, 2, 0),......

,...., (2, 0, 0)+(0, 3, 2),.....}

Ilustração 2:

y

x

x

z

y

(3, 2, 2) x

E1

y

z

E2




.

E1 = {(x, y, z) R3 tq y = 0} e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}

Determinar E1 + E2 .

Solução:

De E1 = {(x, 0, z) tq x, z R } temos: u = (x, 0, z)

De E2={(x, y, 0) tq x, y R } temos: v = (x, y, 0)

u + v = (x, 0, z) + (x, y, 0) = (x + x, y, z) = (a, b, c)

Como podemos ver, temos um elemento do R

E1 + E2 = { (x, y, z) R3 } --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



1.4. INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS

1.4.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Sejam E1 e E2 subespaços de V. A

interseção E1 e E2 é um subconjunto de V, representado por E1 E2 e definida por;

E1 E2 ={ u tq u E1 e u E2}

1.4.2. Proposição

Se E1 e E2 são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção E1 E2 é um

subespaço de V.

1.4.3. Exemplos 1) Sejam os seguintes subconjuntos de R

3

E1 = {(x, y, z) R3 tq x = 0} e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}

Determinar E1 E2 .

Solução:

De E1 = {(0, y, z) tq y, z R } temos: u = (0, y, z)

De E2 = {(x, y, 0) tq x, y R } temos: v = (x, y, 0)

u v = (0, y, z) (x y, 0) = (0, y, 0)

E1 E2 = { (x, y, z) R3 tq x = 0, z = 0 }

E1 E2 = { (0, y, 0) tq y R }

Ilustração:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

z

x

y

E1

E2

E1 E2




E1 = {(x, y, z) R3 tq x = y } e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}

Determinar E1 E2 .

Solução:

De E1 = {(x, x, z) tq y, z R } temos: u = (x, x, z)

De E2 = {(x, y, 0) tq z R } temos: v = (x, y, 0)

u v = (x, x, z) (x, y, 0) = (x, x, 0)

E1 E2 = { (x, y, z) R3 tq x = y, z = 0 }

E1 E2 = { (x, x, 0) tq x R }

Ilustração

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

3) Sejam os seguintes subconjuntos de R4 .

E1={(x, y, z, w) tq x = z} e E2={(x, y, z, w) tq x = 0, z = 0 }

Determinar E1 E2

Solução:

De E1 = {(z, y, z, w) z, y, w R} temos: u = (z, y, z, w)

De E2 = {(0, y, 0, w) y, w R} temos: v = (0, y, 0, w)

u v = (z, y, z, w) (0, y, 0, w) = (0, y, 0, w)

E1 E2 = {(0, y, 0, w) y, w R} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

x

y

z

E1 E2

E1

E2



1.5. COMBINAÇÃO LINEAR

1.5.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja S = {u1, u2, u3,..., un} um

subconjunto de V. Dizemos que um vetor w é uma combinação linear de S se, e somente se

w = a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun para a1, a2, a3,..., an R.

1.5.2. Ilustração no R2

1.5.3. Exemplos

1) Verificar se o vetor v=(2, 6) é uma combinação linear dos vetores u1=(8, 0), u2=(3, 3) .

Solução:

Devemos encontrar a1, a2 R tal que v = a1u1+ a2u2, ou seja;

(2, 6) = a1 (8, 0) + a2 (3, 3)

2

21

3a

3a8a

6

2

Que resulta em a1 =

2

1 e a2 = 2

Portanto, v = (2, 6) é uma combinação linear u1 e u2

Ilustração

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

-

y

x

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 6 7 8 -6 -7

1

3

4

5

6

7

8

2

a1u1

u1

u2

a2u2

w=a1u1 + a2u2

(2, 6)



2) Verificar se o vetor v=(5, 2) é uma combinação linear dos vetores u1 =(-1, 2), u2 = (2, -1) .

Solução:

Devemos encontrar a1, a2 R tal que v = a1u1+ a2u2, ou seja;

(5, 2) = a1(-1, 2) + a2(2, -1)

2

2

1

1

a

2a

2a

a-

2

5

Que resulta em a1 = 3 e a2 = 4

Portanto, v = (5, 2) é uma combinação linear u1 e u2

Ilustração

(5, 2) = 3(-1, 2) + 4(2, -1) = (-3+8, 6-4) = (5, 2)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

3) Verificar se v=(1, 3, 5) é combinação linear de u1=(3, 2, 1), u2= (2, 1, 0) e u3= (1, 0, 0).

Solução:

Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja;

(1, 3, 5) = a1 (3, 2, 1) + a2(2, 1, 0 ) + a3(1, 0, 0)

1

21

321

a5

aa23

aa2a31

Que resulta em a1 = 5, a2 = -7 e a3 = 0.

Portanto, v = (1, 3, 5) é uma combinação linear u1, u2 e u3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

y

x

0 1 2 3 4 5

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8

-3

5

6

-4

-6 -7

(5, 2)



4) Verificar se v = (4, 4, 4) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 2, 0)}.

Solução: Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja; (4, 4, 4) = a1 (1, 0, 1) + a2(1, 1, 0 ) + a3(2, 2, 0)

1

32

321

a4

a2a4

a2aa4

4a2a

0a2a

32

32

Que resulta em um sistema impossível. Portanto, v = (4, 4, 4) NÃO é uma combinação linear S.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

5) Verificar se v = (4, 4, 4) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, -1)}.

Solução: Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja; (4, 4, 4) = a1 (1, 0, 1) + a2(1, 1, 1) + a3(1, 0, -1)

321

2

321

aaa4

a4

aaa4

a2 = 4

0aa

0aa

31

31

Que resulta em a1 = 0, a2 = 4 e a3 = 0. Portanto, v = (4, 4, 4) é uma combinação linear S.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

6) Verificar se v =

43

21 é uma combinação linear de S =

00

01,

00

12,

01

23,

12

34.

Solução: Devemos encontrar a1, a2, a3 e a4 R tal que

43

21=

00

01a

00

12a

01

23a

12

34a 4321

4a

3aa2

2aa2a3

1aa2a3a4

1

21

321

4321

Que resulta em a1 = 4, a2 = -5, a3 = 0 e a4 = 0.

Portanto, v =

43

21 é uma combinação linear S.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



1.6. SUBESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS

1.6.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja A = {u1, u2, u3,..., un} um

subconjunto de V. Dizemos que o espaço vetorial V é gerado pelo conjunto S se, e somente

se w V é escrito como uma combinação linear de A, ou seja,

w = a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun

para a1, a2, a3,..., an R.

Notação: V = [A], { V é gerado por A }

1.6.2. Exemplos

1) Verificar se R2 é gerado por A = {(3, 1), (4, 0)}.

Solução:

Devemos obter a1, a2 R tq v = (x, y) R2 tenhamos v = a1u1 + a2u2 onde u1=(3, 1), u2=(4, 0), isto é:

(x, y) = a1(3, 1) + a2(4, 0)

2

1

1 4a

a

3a

y

x

Que resulta em a1 = y e

4

y3xa2

Portanto, R2 = [A]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

2) Obter o conjunto gerador do subespaço vetorial S = {(x, y, z, w) tq x = -y, w = 0 }

Solução:

Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de S, ou seja; S = {(x, y, z, t) R4 tq x = - y, t = 0 } S= {(-y, y, z, 0) tq y, z R} S = {y(-1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) tq y, z R}, Portanto, [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)] = S

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

Obte

r o

conj

unto

gera

dor

V

eri

fica

r se

é g

era

dor



3) Obter o Subespaço vetorial W de R3 gerado por S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

Solução:

Temos que obter W = [S], se e somente se existirem a, b R tq:

a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) = (a + b, a, b)

W = {(a + b, a, b) tal que a, b R }

Portanto, o Subespaço vetorial é dado por:

W = {(x, y, z) R3 tal que x = y + z}

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

4) Verificar se R3 é gerado por S = {(1, 3, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 0)}.

Solução:

Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos v = a1u1 + a2u2

+ a3u3 onde u1=(1, 3, 1), u2=(2, 1, 0), u3=(1, 0, 0), isto é:

(x, y, z) = a1(1, 3, 1) + a2(2, 1, 0) + a3(1, 0, 0).

za

ya3a

xa2aa

1

21

321

Que resulta em a1 = z, a2 = y - 3z e a3 = x + 5z - 2y

Portanto, R3 = [S]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

5) Qual o conjunto gerador do subespaço vetorial W = {(x, y) R2 tq x = y }

Solução:

Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de W, ou seja; W = {(x, y) R2 tq x = y} W = {(y, y) tq y R} W = {y(1, 1) tq y R}, Portanto, W = [(1, 1)]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

6) Qual o conjunto gerador do subespaço vetorial W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z }

Solução:

Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de W, ou seja; W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } W = {(y + z, y, z) tq y, z R} W = {y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1) tq y, z R}, Portanto, W = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

Obte

r o

Sub

esp

aço

Veto

rial



2. BASE E DIMENSÃO

2.1. Dependência Linear

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja L = {u1, u2, u3,..., un} um

subconjunto de V.

2.1.1. Definição (Linearmente Independente) L.I.

Dizemos que L é um conjunto Linearmente Independente se, e somente se,

a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun = 0

Para a1, a2, a3,..., an R e a1 = a2 = a3 =...= an = 0

2.1.2. Definição (Linearmente Dependente) L.D.

Dizemos que L é um conjunto Linearmente Dependente se, e somente se,

a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun = 0

Para a1, a2, a3,..., an R e Nem todo o ai igual à zero.

2.1.3. Exemplos

1) Verificar se o conjunto L={(6, 3), (2, 4)} é LI ou LD.

Solução: Devemos obter a1, a2 R tq a1 (6, 3) + a2(2, 4) = (0, 0)

04a3a

02a6a

21

21 Que resulta em a1 = 0 e a2 = 0.

L é um conjunto L.I

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

y

x

0 1 2 3 4 5

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8

-3

5

6

-4

-6 -7

Vetor Nulo



2) Verificar se o conjunto L={(3, 2), (6, 4)} é LI ou LD.

Solução: Devemos obter a1, a2 R tq a1 (3, 2) + a2(6, 4) = (0, 0)

04a2a

06a3a

21

21 { a1 + 2a2 = 0

Que resulta em a1 = -2a2 a2 R

L é um conjunto L.D

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

2) Verificar se o conjunto L={(0, 6), (4, 3), (8, 0)} é LI ou LD.

Solução: Devemos obter a1, a2, a3 R tq a1 (1, 5) + a2(6, 4) + a3(8, 2) = (0, 0)

03a6a

08a4a

21

32 2

aa 2

1 e 2

aa 2

3 a3 R


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

y

x

6 7 8 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

8

9

9 10 11

y

x

6 7 8 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

8

9

9 10 11



3) Verificar se o conjunto L={(0, 1, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0)} é LI ou LD.

Solução:

Devemos obter a1, a2, a3 R tq

a1 (0, 1, 1) + a2(1, 2, 0) + a3(2, 1, 0) = (0, 0, 0)

(0, a1, a1) + (a2, 2a2, 0) + (2a3, a3, 0) = (0, 0, 0)

0a

0a2aa

02aa

1

321

32

Que resulta em a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!


Solução:


a1 (2, 0, 0) + a2(0, 3, 0) + a3(0, 0, 4) = (0, 0, 0)

04a

03a

02a

3

2

1



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

z

x

y




Solução:


a1 (3, 0, 0) + a2(0, 0, 4) + a3(4, 0, 5) = (0, 0, 0)

05a4a

00

04a3a

32

31

Que resulta em a1 = e a2 = .


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

6) Determinar o valor de m de modo que o conjunto L={(1, 0, m), (1, 1, m), (1, 1, m2)} seja LI.

Solução:


a1(1, 0, m) + a2(1, 1, m ) + a3(1, 1, m2 ) = (0, 0, 0)

0ammama

0aa

0aaa

32

21

32

321

De a2 + a3 = 0 temos a2 = a3

De a1 + a2 + a3 = 0 temos a1 = a2 a3 = ( a3) a3 = 0

e substituir em ma1 + ma2 + m2a3 = 0 temos;

m(0) + m( a3) + m2a3 = 0

ma3 + m2a3 = 0

a3( m + m2) = 0

Para que o conjunto seja L.I., o sistema acima tem que admitir solução trivial, onde os valores de a1, a2, a3 R são dados a partir de a3(m

2 m) = 0, ou seja,

m2 m 0 m(m 1) 0 m 0 e m 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

y

z

x



2.2. BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja B = {u1, u2, u3,..., un} um

subconjunto de V.

2.2.1. Definição (Base)

O conjunto B = {u1, u2, u3,..., un} é uma das bases do espaço vetorial V se, e somente se:

I) V = [B] (V é gerado pelos elementos de B).

II) B é L.I. (Linearmente Independente)

2.2.2. Definição (Dimensão)

A dimensão de um espaço vetorial é definida como sendo o número de elementos de uma de

suas bases.

Notação: Dim(V).

2.2.3. Bases Canônicas

1) Base canônica do R2 sobre os Reais.

B = {(1, 0), (0, 1)}


B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}


B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}


B =

10

00,

01

00,

00

10,

00

01


B =

100

000,

010

000,

001

000,

000

100,

000

010,

000

001

6) Base canônica das funções quadráticas sobre os Reais.

B = {x2, x, 1}

7) Base canônica dos números complexos C sobre os Reais.

B = {i, 1}



2.2.4. Ilustração da base canônica do R2

2.2.5. Exemplos de dimensões

1) Dim(R) = 1

2) Dim(R2) = 2

3) Dim(R3) = 3

4) Dim(R4) = 4

5) Dim(R22) = 4

6) Dim(R23) = 6

7) Dim(R34) = 12

8) Dim(Pn(x) ) = n + 1

y

x

0 1 2 3 4 5

-1

-2

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8

-3

5

6

-4

-6 -7

(-6, 5)= (-6)(1, 0) + (5) (0, 1)

(-3, 3)= (-3)(1, 0) + (3) (0, 1)

(-2, -4)= (-2)(1, 0) + (-4) (0, 1)

(-6, -2)= (-6)(1, 0) + (-2) (0, 1)

(4, 2)= (4)(1, 0) + (2) (0, 1)

(5, -4)= (5)(1, 0) + (-4) (0, 1)



2.2.6. Exercícios

1) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y) R2 tq x = y }

Solução:

Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja; W = {y(1, 1) tq y R}, Portanto, Base = {(1, 1)} A dimensão é dada por Dim(W) = 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

2) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z }

Solução:

Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja;

W = {y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1) tq y, z R},

Portanto, Base = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}

A dimensão é dada por Dim(W) = 2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

3) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z, t) tq x = y, t = 0 }

Solução:

Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja;

W = {y(-1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) tq y, z R},

Portanto, Base = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

4) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z, t) tq x = y + z + t}

Solução:

Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de

W, ou seja;

W = {y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1) tq y, z, t R},

Portanto, Base = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



5) Verificar se o conjunto L = { (2, 1), (3, 2)} é uma base do R2.

Solução:

Devemos mostrar que:

(a) [L] = R2, ou seja, (x, y) R2 , deverá existir a,b R tal que:

(x, y) = a(2, 1) + b(3, 2) (a, a) + (3b, 2b) = (x, y)

yb2a

xb3a b = x y e a = 2x 3y Portanto [L]=R2

(b) L é L.I., ou seja,

Existe a,b R tal que a(2, 1) + b( 3, 2) = (0, 0) para a = 0 e b = 0

(a, a) + (3b, 2b) = (0, 0)

0b2a

0b3a b = 0 e a = 0 Portanto L é L.I.

Logo L é uma base de R2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

6) Verificar se o conjunto L = {(2, 4, 0), (0, -1, 0), (1, 0, 4)} é uma base do R3.

Solução:

Devemos mostrar que [L] = R2 e L é L.I

(a) [L] = R2, ou seja,

Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos

v = a1u1 + a2u2 + a3u3 onde u1=(-1, 4, 0), u2=(0, -1, 0), u3=(1, 0, 4).

(x, y, z) = a1(-1, 4, 0) + a2(0, -1, 0) + a3(4, 0, -1).

za-

ya-4a

x4aa-

3

21

31

Que resulta em a1 = - x - 4z, a2 = -y - 4x – 16z e a3 = -z.

Portanto [L]=R2

(b) L é L.I., ou seja,

Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos

0 = a1u1 + a2u2 + a3u3 onde u1=(-1, 4, 0), u2=(0, -1, 0), u3=(1, 0, 4).

(0, 0, 0) = a1(-1, 4, 0) + a2(0, -1, 0) + a3(4, 0, -1).

0a-

0a-4a

04aa-

3

21

31

Que resulta em a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0. Portanto L é L.I.

Logo L é uma base de R3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



2.3. COORDENADAS

2.3.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja B = {u1, u2, u3,..., un} uma das

bases de V. Dizemos que todo vetor v desse espaço é escrito como uma combinação linear de

B, ou seja, nn332211 u au au au av para a1, a2, a3,..., an R. Os valores

são chamados de Matriz de Coordenadas do vetor v em relação a base B.

n

3

2

1

B

a

a

a

a

]v[

2.3.2. Exemplos

1) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 4) em relação a base B = { (1, 0), (0, 1) }.

Solução:

a) B={(1, 0), (0, 1)}.

Devemos encontrar a1, a2 R tq

a1 (1, 0) + a2 (0, 1) = (2, 4), ou seja,

4a

2a

2

1 Que resulta em a1 = 2, a2 = 4.

Matriz das coordenadas é

4

2

a

a]v[

2

1B .

y

x

6 7 8 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

8

9

9 10 11



2) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 1, 4) em relação as bases abaixo:

B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }. base canônica

Solução:

a) B={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Devemos encontrar a1, a2, a3 R tq

a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = (2, 1, 4), ou seja,

4

1

2

a

a

a

3

2

1


Matriz das coordenadas é

4

1

2

]v[ B .

b) B={(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 1).

Devemos encontrar a1, a2, a3 R tq

a1 (1, 1, 1) + a2 (1, 0, 1) + a3 (1, 0, 1) = (2, 1, 4), ou seja,

4

1

2

aaa

a

aaa

321

1

321

Que resulta em a1=1 e

3aa

1aa

32

32

a2=2 e a3= 1

Logo a matriz das coordenadas é dada por

1

2

1

]v[ B

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

3) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 3) em relação a base B = { (1, -1), (2, -1)}.

[u]B = (-8, 5)

4) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 3) em relação a base B = { (1, 1), (1, 0)}.

[u]B = (3, -1)



v1

v2 w2

w1

u

2.4. MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

2.4.1. Definição

Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. E sejam B = {v1, v2, v3,..., vn}

e C = {u1, u2, u3,..., un} duas bases de V. Então existe um único conjunto de números

reais para a11, a12, a13,..., ann R tal que;

u1 = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 + a41 v4 +......+ an1 vn

u2 = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + a42 v4 +......+ an2 vn

u3 = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 + a43 v4 +......+ an3 vn

: : : : : : : :

un = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 + a4n v4 +......+ ann vn

n

1iiijj vau para j =1, 2, 3, ... ,n

=

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Que é chamada de matriz de mudança da base B para base C.

Ilustração

Temos o vetor u representado na base A={ v1, v2} e representado na base B ={ w1, w2} do R2

x’ y

y’

x



2.4.2. Exemplos

1) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 2), (3, 1) } para a base canônica.

Solução:

Base canônica C ={ (1, 0), (0, 1) }

Devemos encontrar. =

aa

aa

2221

1211

sendo;

u1 = a11 v1 + a21 v2

u2 = a12 v1 + a22 v2

a11 (1, 2) + a21 (3, 1) = (1, 0) ou seja,

0aa2

1a3a

2111

2111

que admite solução a11 = -1/5 e a21 = 2/5 =

?5/2

?5/1

a12 (1, 2) + a22 (3, 1) = (0, 1) ou seja,

1aa2

0a3a

2212

2212

que admite solução a12 = 3/5 e a22 = 1/5 =

5/15/2

5/35/1

Portanto a matriz de mudança é dada por =

5/15/2

5/35/1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

2) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 1), (1, 0) } para base C = { (1, 2), (-

4, -3) }.

Solução:

Devemos encontrar =

aa

aa

2221

1211

sendo;

u1 = a11 v1 + a21 v2 e u2 = a12 v1 + a22 v2

a11 (1, 1) + a21 (1, 0) = (1,2) ou seja,

2a

1aa

11

2111

que admite solução a11= 2 e a21= -1 =

?1

?2

a12 (1, 1) + a22 (1, 0) = (-4, -3) ou seja,

3a

4aa

12

2212

que admite solução a12= -3 e a22= -1 =

11

32

Portanto a matriz de mudança é dada por =

11

32

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



3) Determine a matriz de mudança da base B ={ (2, 1), (-3, 0) } para base C = { (1, 2),

(3, 1) }.

Solução:

=

aa

aa

2221

1211

= ? sendo; u1 = a11 v1 + a21 v2 e u2 = a12 v1 + a22 v2

a11 (2, 1) + a21 (-3, 0) = (1,2) ou seja,

2a

1a3a2

11

2111

que admite solução a11= 2 e a21= 1 =

?1

?2

a12 (2, 1) + a22 (-3, 0) = (3, 1) ou seja,

1a

3a3a2

12

2212

que admite solução a12= 1 e a22= 1/3 =

3

11

12

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

4) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1, 0), (1, 0 ,0) } para

base C = { (1, 1, 2), (1, 3, 1), (1, 0, 0) }.

Solução:

Devemos encontrar =

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

. sendo,

a11 (1, 2, 1) + a21 (1, -1, 0) + a31 (1, 0, 0) = (1, 1, 2) ou seja,

2a

1a-2a

1aaa

11

1211

131211. a11 = 2, a21 = 3, a31 = -4.

=

??4

??3

??2

a12 (1, 2, 1) + a22 (1, -1, 0) + a32 (1, 0, 0) = (1, 3, 1) ou seja,

1a

3a-2a

1aaa

12

2212

322212. a12 = 1, a22 = -1, a32 = 1.

=

?14

?13

?12

a13 (1, 2, 1) + a23 (1, -1, 0) + a33 (1, 0, 0) = (1, 0, 0) ou seja,

0a

0a-2a

1aaa

13

2313

332313 a13 = 0, a23= 0, a33 = 1.

=

114

013

012

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

u1 = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3

u2 = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3

u3 = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3



5) Determine a matriz de mudança da base para base

Solução:

Devemos encontrar =

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

44434241

34333231

24232221

14131211

tal que.

a11 + a21 + a31 + a41 = ou seja,

1a

1aa2

1aa2a3

1aa2a3a4

11

2111

312111

41312111

=

???0

???0

???1-

???1

a12 + a22 + a32 + a42 = ou seja,

0a

1aa2

1aa2a3

1aa2a3a4

12

2212

322212

42322212

=

??00

??10

??11-

??01

a13 + a23 + a33 + a43 = ou seja,

0a

0aa2

1aa2a3

1aa2a3a4

13

2313

332313

43332313

=

?100

?110

?011-

?001

a14 + a24 + a34 + a44 = ou seja,

0a

0aa2

0aa2a3

1aa2a3a4

14

2414

342414

44342414

. =

1100

0110

0011-

0001

Portanto a matriz de mudança é dada po =

1100

0110

0011-

0001

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



6) Determine a matriz de mudança da base B={-2,x+3,2x2-1} para base C={x+1,x2-2x,

x2+3}.

Solução:

Devemos encontrar =

cba

cba

cba

333

222

111

. sendo,

a1 (-2) + a2 (x+3) + a3 (2x2-1) = (x+1)

-2a1 + a2x + 3a2 + 2a3x2 - a3 = x + 1

1a-3a2a-

1a

02a

321

2

3

. que admite solução a1 = 1, a2 = 1, a3 = 0.

=

??0

??1

??1

b1 (-2) + b2 (x+3) + b3 (2x

2-1) = (x2-2x)

-2b1 + b2x + 3b2 + 2b3x2 - b3 = x2 – 2x

0b-3b2b-

2-b

12b

321

2

3

. que admite solução b1 = 4

13 , b2 = -2, b3 =

2

1 .

=

?2

10

?21

?4

131

c1 (-2) + c2 (x+3) + c3 (2x2-1) = (x2+3)

-2c1 + c2x + 3c2 + 2c3x2 - c3 = x2 + 3

3c-3c2c-

0c

12c

321

2

3

. que admite solução c1 = 4

7 , c2 = 0, c3 =

2

1 .

=

2

1

2

10

0214

7

4

131

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!

7) Considere B1 = { x , x² , x³ } e B2 = { x – 3x³ , 2x² + x³ , x – x² }, bases de um Espaço

Vetorial P. Encontre a matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio em P,

de B2 para B1.

2B

1BM =

013

120

101

u1 = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3

u2 = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3

u3 = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3



2.4.3. Teoremas

Teorema (1)

Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e a

matriz de mudança da base B para C, então:

a) = T.

b) = ( T)-1.

Exemplos

1) Determine a base B sabendo que a matriz de mudança da base B para base C = { (1, 2),

(3, 1) } é =

3

11

12

.

Solução: Pelo teorema, = ( T)-1. ,

13

21

T =

3

11

12

aplicando a inversa (

T)-1 =

5

6

5

35

3

5

1

= ( T)-1. =

5

6

5

35

3

5

1

13

21

=

03

12

13

21

B ={ (2, 1), (-3, 0) }

2) Determine a base C sabendo que a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1,

0), (1, 0 ,0) } para base C é =

114

013

012

.

Solução: Pelo teorema, = T.

001

011

121

=

114

013

012

T =

100

111

432

= T. =

100

111

432

001

011

121 =

001

131

211

C = { (1, 1, 2), (1, 3, 1), (1, 0, 0) }.



Teorema (2)

Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja a matriz de mudança da base

B para C e v V. Então:

a) [v]C = [ ]

-1. [v]B

b) [v]B = [ ]. [v]C

Onde

[v]B são as coordenadas do elemento v escrito na base B.

[v]C são as coordenadas do elemento v escrito na base C.

Exemplos

1) Seja B ={(2,-1), (-1,1)} uma base de R2 e

= 41

31

a matriz de mudança da base

B para uma base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2,3) na base C.

Solução:

[v]C = ?

Pelo teorema [v]C = [ ]

-1. [v]B

[v]B = a1(2,-1) + a2(-1,1) = (2, 3)

3aa

2aa2

21

21 a1 = 5, a2 = 8.

[v]B = 8

5

[ ]

-1 =

11

34

[v]C = [ ]

-1. [v]B =

11

34

8

5

= 3

4

[v]C = 3

4

A={ (1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1) para base B }= { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) }

2) Seja C ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R3 e

=

110

211

111a

matriz de uma mudança da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor v=(3,

1, 2) na base B .

Solução:

[v]B = ?

[v]C = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0)=(3, 1, 2) [v]C =

2

1

2

Pelo teorema [v]B = [ ]. [v]C =

110

211

111

2

1

2

=

2

5

3



6) Sejam B ={(1, 2), (-1, 1)} uma base R2 e P=

=

3

5

3

13

2

3

1

e a matriz de mudança

para base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2, 3) em relação a base C.

Solução: [v]C = ?

Usando o teorema, [v]C = P-1

. [v]B, basta encontrar [v]C e substituir.

[v]B = ?

(2, 3) = a1 v1 + a2 v2 (2, 3) = a1 (1, 2) + a2 (-1, 1)

313

5]v[ B .

Aplicando a inversa em P= =

3

5

3

13

2

3

1

temos:

P-1

= 11

25

temos:

De [v]C = P-1

. [v]B

[v]C = 11

25

313

5=

2

9

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!



3. Exercícios

1). Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações

Adição : (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + 2v2)

Multiplicação : (u1, u2) = (k.u1 , 0)

Pedese: demonstre se as propriedades abaixo são verdadeiras.

a) u + v = v + u

b) u + (v + w) = (u + v) + w

c) (k1 + k2)u = k1u + k2u

d) k1(u + v) = k1u + k1v

Para u, v R2 e k1, k2 R

2). Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações

Adição : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y2 - y2)

Multiplicação : k.(x, y) = (K.x, y) com K R

Pedese: demonstre se as propriedades abaixo são verdadeiras.

a) u + v = v + u

b) u + (v + w) = (u + v) + w

c) (k1 + k2)u = k1u + k2u

d) k1(u + v) = k1u + k1v

Para u, v V e k1, k2 R

3). Verificar se S = {(x, y) R2 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R2.

4). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq y = 2x + 1} é um subespaço vetorial de R3.

5). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x y = 0} é um subespaço vetorial de R3.

6). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R3.

7). Verificar se S =

Rc,b,a tq R

c0

ba 2x2 é um subespaço vetorial de R2x2.

8). Sejam os subconjuntos de R3

E1 = {(x , y, z) R3 tq x = y e z = 0 } e E2 = {(x , y, z) R3 tq x = 0 e y = 0}

Pedese:

a) E1 + E2 .

b) E1 E2 .

9). Sejam os subconjuntos E1 = {(x , y) R2 tq x = 0} e E2 = {(x , y) R2 tq y = 0}

Pedese:

a) E1 + E2 .

b) E1 E2 .



10). Verificar se o vetor v = (2, 6) é uma combinação linear dos vetores u1 =(1, 0), u2 = (2, 3) .

11). Verificar se v=(1, 3, 5) é combinação linear de u1=(3, 2, 1), u2= (2, 1, 0) e u3= (1, 0, 0).

12). Verificar se o vetor v = (1, 2, 1) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (2, 1, 0)}.

13). Verificar se o vetor v = (1, 0, 2) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 0, 1)}.

14). Verificar se R3 é gerado por A = {(2,-1,3)}.

15). Verificar se R3 é gerado por A = {(1,0,2),(0,1,1)}.

16). Verificar se R3 é gerado por A = {(1,-1,2),(0,2,1),(0,0,2}.

17). Verificar se R2x2

é gerado por

12

311v

01

132v ,

14

013v e

10

004v .

18). Obter o conjunto gerador de S ={(x, y, z, t) R4 tq x= y + z e t= y}

19). Obter o conjunto gerador de S = {(x, y, z, t, s) R5

tq x + y = 0 , 3x – t = 0}:

20). Verificar se o conjunto L={(2, 4, 0), (-2, -4, 0), (0, 0, 4)} é LD.

21). Determinar o valor de b de modo que o conjunto L={(3, 5b,1),(2, 0, 4),(1, b , 3)} seja LI.

22). Determinar o valor de m de modo que o conjunto L={(1, 3, 5),(2, m +1, 10)} seja LI.

23). Verificar se o conjunto L={(5, 2, 3), (4, 2, 0), (3, 0, 0)} é LI.

24). Verificar se o conjunto L={(2, 4, 0), (-2, -4, 0), (0, 0, 4)} é LD.

25). Determinar o valor de a de modo que o conjunto L={(1, 0, a),(1, 1, a ),(1, 1, a2

)} seja LI.

26). Verificar se o conjunto L={(1, 2, 3), (4, 5, 0), (6, 0, 0)} é uma base do R3.

27). Determinar uma base e a dimensão do subespaço vetorial L={(x,y,z,t) R4

tq x = y z }:

28). Verificar se o conjunto L={(2,1),(3,2)} é uma base do R2.

29). Verificar se o conjunto L={(1, 2, 3), (4, 5, 0), (6, 0, 0)} é uma base do R3.

30). Verificar se o conjunto L={1, x, x2)} é uma base do P2(x).

31). Verificar se o conjunto L={1, x + 1, x2 + 1} é uma base do P2(x).

32). Verifique se o conjunto L=

52

73,

11

23,

20

11,

01

32 é uma base de

R2x2.

33). Verificar se o conjunto L={(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 1),(1, 0, 0, 3),(0, 0, 0, 5)} é base do R4.

34). Determine as coordenadas do vetor u = (3,1, 2) em relação as bases abaixo:

a). B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. base canônica.

b). B={(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)}.

c). B={(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)}.

35). Determine as coordenadas da matriz 02

11

em relação a base canônica.

36). Determine a matriz de mudança de base da base B={(1,2),(3,1)} para a base canônica.

37). Determine a matriz de mudança de base da base B={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)} para a base

canônica.

38). Considere o seguinte subespaço V=

0ba tq Rd,c,b,a tq

dc

ba

39). Verificar se o subconjunto L=

10

00,

01

00,

00

11 e uma base de V



40). Determine a matriz de mudança de base da base L=

10

00,

01

00,

00

11 para a base

canônica.

41). Determine a base C sabendo que a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1, 0), (1, 1

,0) } para base C é =

0223

2

3

10

3

1

3

21

.

42). Seja C ={(1,1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R2 e

=

110

211

111a matriz de

mudança da base B para uma base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2,3,1) na base C.



3. Bibliografia

1) BOLDRINI, J.L; COSTA, S.I.R, FIGUEIREDO,V.L.; WETZLER, H.G.; Álgebra Linear.

São Paulo –SP , Editora HABRA LTDA, 1980.

2) CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H.; COSTA, R.C.F. ; Álgebra Linear e Aplicações.

São Paulo : Editora ATUAL, 1991.

3) SANTOS, R. J. Geometria Analítica e Álgebra Linear - Parte 1 (UFMG)

4) SANTOS, R. J. Geometria Analítica e Álgebra Linear - Parte 2 (UFMG)

5) BARONE JUNIOR, M.; Álgebra Linear. IME-USP, São Paulo S.P – Notas de Aula 2002

6) LIMA, E.L.; Desigualdades lineares, em Geometria Analítica e Álgebra Linear. IMPA,

Coleção Matemática Universitária, 2001, pp. 63-70

7) STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.; Produtos de vetores, em Geometria Analítica.

McGraw-Hill, 1987, pp. 39-98

8) .STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.; Vetores no IR^2 e no IR^3, em Geometria Analítica.

McGraw-Hill, 1987, pp. 15-38.

9) http://electronware.blogspot.com.br/2011/08/download-livro-algebra-linear-alfredo.html

10) http://www.icmc.usp.br/~sma/suporte/sma304/sma304.pdf

11) http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf

12) www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_Algebra.doc

http://electronware.blogspot.com.br/2011/08/download-livro-algebra-linear-alfredo.html

http://www.icmc.usp.br/~sma/suporte/sma304/sma304.pdf

http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf

Álgebra linear - espaços vetoriais - 2015 (materia)

Documents