+

ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS

+INTRODUÇÃO

n  Ao final do século XIX, após o estabelecimento das bases matemáticas da teoria de matrizes, foi observado pelos matemáticos que várias entidades matemáticas que eram tratadas de forma diferentes possuíam propriedades semelhantes, motivando-os a criarem uma teoria que viabilizasse um tratamento uniforme a tais entidades.

n  Como exemplo, vetores pertencentes ao R2 e ao R3, funções polinomiais e funções diferenciáveis apresentam as mesmas propriedades de adição e da multiplicação por escalar, observadas para o caso matricial.

n  Tal constatação deu origem à definição de Espaço Vetorial.

+INTRODUÇÃO

n  Sabe-se que o conjunto:

n  É interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser um ponto, onde x e y são coordenadas, ou pode ser encarado como um vetor, onde x e y são componentes (ou coordenadas).

n  Essa mesma ideia, estende-se para espaço tridimensional R3, e para espaços superiores, R4, R5, …, Rn.

n  Assim quádruplas de números (x1, x2, x3, x4) pode ser vistas como pontos ou vetores no espaço R4 de quarta dimensão.

Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial. Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma.

V é um conjunto no espaço.

3321 }/),,{( RRRRRxxxxV i =××=∈=

Ex.: P(2,4,3)

P(x, y, z)

x

y

z

v

0

Desta forma:

Vetor nulo no espaço R3

Vetor oposto em R3

Operações com vetores no espaço V=R3 Dados: e

Soma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000

0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=−

zyx

v

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

uuu

u

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

vvv

v

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

vuvuvu

vvv

uuu

vu

Produto de um vetor com um escalar:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

312

u

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

510

v⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+

222

vu Exemplo:

ux

y

vz

vu +

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

kukuku

uk Exemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

320

u 2=k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

640

320

2uk

u2

u

x

y

z

Vetores no Rn

1 2 3( , , ,..., ),nv x x x x=

Adição:

Multiplicação por escalar:

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

( , , ,..., ) ( , , ,..., )( , , ,..., )

n n

n n

v u x x x x y y y yx y x y x y x y

+ = +

= + + + +

1 2 3

1 2 3

( , , ,..., )( , , ,..., )

n

n

ku k x x x xkx kx kx kx

=

=

1 2 3( , , ,..., ) nnu y y y y R= ∈ k R∈e

Operações

1 2 3( , , ,..., )nv x x x x=Representação:

INTRODUÇÃO

Definição: Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, , no

qual estão definidas duas operações:

O Conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificados os seguintes axiomas...

Soma:

Multiplicação por escalar: VvuVvu ∈+=>∈,

VkvRkVv ∈=>∈∈ ,

Espaço Vetorial

≠ ∅V

AXIOMAS: A) Em relação a adição:

A3) Elemento Neutro:

( ) ( ), , ,u v w u v w u v w∀ ∈ + + = + +V

, ,u v u v v u∀ ∈ + = +V

0 , 0 0u u u u∃ ∈ ∀ ∈ + = + =V V

( ) ( ) ( ) 0u u u u u u∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =V V

A2) Comutativa:

A1) Associativa:

A4) Elemento Oposto:

Espaço Vetorial

AXIOMAS: M) Em relação a Multiplicação por Escalar:

M3)

M2)

M1)

M4)

( ) ( ), ,v v vα β α β αβ∀ ∈ ∈ ⇒ =R V

( ), ,u u u uα β α β α β∀ ∈ ∈ ⇒ + = +R V

( ), ,u v u v u vα α α α∀ ∈ ∈ ⇒ + = +R V

( )1 1v v v∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ =R V

!u,v"V e !!,! " R

Espaço Vetorial

n Observações:

1.  Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES.

2.  Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES.

3.  Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.

Espaço Vetorial

12

Subespaço Vetorial

Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

Teorema: Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições: I)  Para quaisquer u, v ∈ S, tem-se:

II) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem-se:

u + v ∈ S

αu ∈ S

+Exemplos

n  1) Sejam V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 / y = 2x} ou S = {(x, 2x); x ∈ R}, isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Verifique se S é subespaço vetorial de R2. n  Evidentemente, S ≠ Ø , pois (0, 0) ∈ S

n  Verifiquemos as condições ( I ) e ( II )

+Exemplos

n  Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem

Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da mesma reta, o vetor soma u + v ainda pertence a reta. E se multiplicamos um vetor u da reta por um número “a” , a≠0, o vetor “au” ainda estará na reta.

+Exemplos

n  2) Sejam V = R2 e S = {(x, 4 – 2x); x ∈ R}. Verifique se S é subespaço vetorial de R2.

Solução:

n  Se escolhermos os vetores: u = (1,2) ∈ S e v = (2, 0) ∈ S

n  Tem-se:

n  I ) u + v = (1, 2) + (2, 0) = (3, 2) S

n  II ) αu = α (1, 2) = (α, 2α) S , para α ≠ 1 !

!

Portanto, S não é subespaço vetorial de R2

+Observação

!

Após estes dois exemplos de retas sugerem:

!

!

!

n  Para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, que: sempre que o 0 S, S não é subespaço de V.

n  No entanto, não nos enganemos pensando que, se 0 ∈ S, S é subespaço, pois podemos ter 0 ∈ S sem que S seja subespaço. É o caso do subconjunto: S = {(x , |x|); x ∈ R} R2

n  Observemos que (0, 0) ∈ S e que, se tomarmos os vetores u = (3, 3) e v = (–2, 2) de S, teremos:

n  I ) u + v = (3, 3) + (–2, 2) = (1, 5) S

n  II ) αu S , para α < 0 Portanto, S não é subespaço vetorial de R2

Combinação Linear

e os escalares Vvvv n∈,,, 21 …Definição:

naaa ,,, 21 …

Qualquer vetor v ∈ V da forma:

nnvavavav +++= …2211

é uma combinação linear dos vetores: Vvvv n∈,,, 21 …

Sejam os vetores

Ex:

kjiv 342 ++=v

ij

k

R³

+Exemplos n  1) No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2, o

polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios: v1 = 5x2 – 3x +2 e v2 = –2x2 + 5x – 8

n  Se v é uma combinação linear, então:

n  V = a1v1 + a2v2 , encontrar a1 e a2

n  7x2 + 11x – 26 = a1(5x2 – 3x +2) + a2(–2x2 + 5x – 8) n  5a1 – 2a2 = 7 n  –3a1 + 5a2 = 11 n  2a1 – 8a2 = –26

n  Logo:

n  v = 3v1 + 4v2

a1 = 3 e a2 = 4

+Exemplos n  2) Para os problemas abaixo, consideremos R3, os seguintes

vetores: v1 = (1, –3, 2) e v2 = (2, 4, –1)

n  A ) Escrever o vetor v = (–4, –18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2. n  Resposta: v = 2v1 – 3v2

n  B ) Mostrar que o vetor v = (4, 3, –6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2. n  Resposta: v não é combinação linear de v1 e v2.

+Bibliografias

n  STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;

n  BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.

n  STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;

n  KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.