algebra linear ll
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EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEARTRANSCRIPT
ÁLGEBRA LINEAR II
Rio de Janeiro / 2007
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U n3p Universidade Castelo Branco. Álgebra Linear II. –
Rio de Janeiro: UCB, 2007. 36 p.
ISBN
1. Ensino a Distância. I. Título. CDD – 371.39
Universidade Castelo Branco - UCBAvenida Santa Cruz, 1.631Rio de Janeiro - RJ21710-250Tel. (21) 2406-7700 Fax (21) 2401-9696www.castelobranco.br
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Coordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a DistânciaProf.ª Ziléa Baptista Nespoli
Coordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de GraduaçãoSônia Albuquerque - Matemática
ConteudistaConteudistaConteudistaConteudistaConteudistaSônia Albuquerque
Supervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDIJoselmo Botelho
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação,na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciandooportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docenteesperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de umaestrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seuconhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Auto-Estudo
O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos econteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejamatingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividadescomplementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todos osconteúdos das Unidades Programáticas 1, 2, 3 e 4.
A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com oshorários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que vocêadministrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontrospresenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Auto-Estudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIOQuadro-síntese do conteúdo programático ......................................................................................................... 11 11 11 11 11
Contextualização da disciplina ............................................................................................................................... 1212121212
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE I I I I I
ESPAÇOS VETORIAIS
1.1 - Introdução ....................................................................................................................................................... 13 13 13 13 131.2 - Definição ............................................................................................................................................................ 1313131313
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE II II II II II
SUBESPAÇOS VETORIAIS
2.1 - Interseção de dois subespaços vetoriais ..................................................................................................... 19 19 19 19 192.2 - Soma de dois subespaços vetoriais .............................................................................................................. 20 20 20 20 202.3 - Soma direta de dois subespaços vetoriais ................................................................................................... 21 21 21 21 21
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE III III III III III
COMBINAÇÃO LINEAR
3.1 - Subespaços gerados ....................................................................................................................................... 22 22 22 22 22
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE IV IV IV IV IV
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
4.1 - Propriedades da dependência e independência linear ................................................................................ 2626262626
Exercícios de fixação .............................................................................................................................................. 26 26 26 26 26Glossário.....................................................................................................................................................................3030303030Gabarito...................................................................................................................................................................... 3131313131Referências bibliográficas..........................................................................................................................................3535353535
11
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
Quadro-síntese do conteúdoprogramático
1 - ESPAÇOS VETORIAIS1.1 - Introdução1.2 - Definição
• Definir espaço vetorial;• Utilizar as propriedades do espaço vetorial.
2 - SUBESPAÇOS VETORIAIS
2.1 - Interseção de dois subespaços vetoriais2.2 - Soma de dois subespaços vetoriais2.3 - Soma direta de dois subespaços vetoriais
• Realizar operações com subespaços vetoriais.
3 - COMBINAÇÃO LINEAR
3.1 - Subespaços gerados• Identificar uma combinação linear de vetores.
4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
4.1 - Propriedades da dependência e independêncialinear
• Distinguir uma dependência ou independêncialinear de vetores;• Realizar operações com vetores independentes oudependentes.
12Contextualização da Disciplina
Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitasprontas e o formalismo excessivo. Porém, acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico dasunidades, mantendo um certo rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazercom que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Álgebra Linear II e, quando necessário, saibatransferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.
13
1) (u + v) + w = u +v(v + w)Com u, v, w, vetores no Rn, por exemplo.
2) u + v = v + u
3) Existe um elemento 0 (zero) em Rn (vetor zero)tal que u + 0 = u
4) Para todo o elemento u ∈ Rn e existe um -u ∈ Rn
tal que u + (-u) = 0
1) (α β) u = α (β u)
2) (α + β) u = α u + β u
3) α (u + v) = α u + α v
4) 1u = u
ou (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C, matrizes de ordem m x n.
ou A + B = B + A
ou existe um elemento 0 (zero), matriznula tal que A + 0 = A
ou para toda matriz Am x n existe umamatriz -Am x n tal que A + (-A) = 0
ou (α β)A = α (β A)
ou (α + β)A = α A + β A
ou α (A + B) = α A + α B
ou 1A = A
b) Em relação à multiplicação por escalar (ααααα, βββββ, nεεεεε IR):
UNIDADE I
ESPESPESPESPESPAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETORIAISORIAISORIAISORIAISORIAIS
1.11.11.11.11.1 - Introdução
Estudamos vetores no R², no R³, ..., no Rn e matrizes de ordem m x n = M(m, n) e, em particular, matrizesquadradas de ordem 2, 3 etc.
Vamos lembrar algumas operações com vetores e matrizes: soma e multiplicação por escalar.
ExemplosConstata-se a existência de uma série de propriedades comuns:
Estas propriedades parecem externamente abstratas. Mas os matemáticos, trabalhando em vários assuntos,foram percebendo que muitos dos conjuntos com que lidavam gozavam de um certo número de propriedadescomuns, que são 8 axiomas vistos. Veio, então, a idéia de isolar estas propriedades e ver o que podia serprovado, em geral, usando somente elas. Com isto, há uma economia de raciocínio e esforço: uma vez demonstradoum certo número de teoremas usando somente estas propriedades, eles poderão ser aplicados ao caso particularque estiver sendo estudado.
Assim, estes dois conjuntos, Rn e M(m x n), munidos destas duas operações apresentam uma ESTRUTURAcomum chamada ESPAÇO VETORIAL.
a) Em relação à adição:
1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 - Definição
Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma e multiplicação por escalar, tais que,para qualquer elemento v ∈ V e qualquer escalar α, as propriedades vistas valem.
OBSERVAÇÃO:1) Se os escalares forem números complexos, teremos um espaço vetorial complexo;
142) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente da natureza; como veremos,
poderão ser polinômios, números, matrizes e vetores (como os estudados).
Exemplo 1O conjunto V = R² = { (x, y) / x, y R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar:
∀(x1,y1) (x1,y1) + (x2,y2) =(x1 + x2 , y1 + y2)
∀ α ∈ R α (x, y) = (α x, α y)
Para verificar os 8 axiomas de espaço vetorial, vamos considerar que: u = (x1,y1), v = (x2,y2), w = (x3,y3).
a1) (u + v) + w = u + (v + w) é o 1º axioma.
(u + v) + w = ((x1,y1) + (x2,y2)) + (x3,y3) =
= (x1 + x2 ), (y1 + y2) + (x3,y3 ) =
= ((x1 + x2) + x3 , (y1 + y2) + y3) =
= (x1 + (x2 + x3) , y1 + (y2 + y3)) =
= (x1,y1) + (x2, +x3 , y2 + y3)
= (x1, y1) + ((x2, y2)) + (x3, y3))
= u + (v + w)
a2) u + v = (x1,y1) + (x2,y2)
.
.
.
a3) ∃0 = (0, 0) ∈ R², ∀ u ∈ R², u + 0 = ((x1,y1) + (0 , 0) =
= (x1, + 0, y1 + 0) =
= (x1,y1)
= u
a4) ∀ u = (x1,y1) ∈ R², ∃ ( - u) = (- x1,- y1) ∈ R²,
u + (-v) = (x1,y1) + (- x1,- y1)
= (x1 - x1, y1- y1)
= (0, 0) = 0
M1) (α β) u = (α β) (x1,y1) = ((α β) x1 , (α β)y1) =
= (α(β x1 ), α(βy1)) = α(β x1), βy1) =
= α(β(x1, y1)) = α(βu)
15UNIDADE II
SUBESPSUBESPSUBESPSUBESPSUBESPAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETAÇOS VETORIAISORIAISORIAISORIAISORIAIS
Podemos identificar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais "menores"- serão chamados subespaços vetoriais de V em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial v, deveríamos testar os 8 axiomas de espaçovetorial. No entanto, como S é parte de V (que é um espaço vetorial), não há necessidade da verificação. Oteorema abaixo nos mostra isto.
Teorema
Um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se:a) Para quaisquer u, v ∈ s tem-se
u + v ∈ s
b) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem -seα u ∈ S
De fato, estas 2 condições são suficientes.
Os axiomas a1, a2, m1, m2, m3, m4 são verificados pelo fato de S ser um subconjunto não vazio de V.
O axioma a3 nos leva a: sendo u ∈ S, pela condição a) α u ∈ S, ∀α ∈ R; sendo α = 0 vem 0.u ∈ S, ou seja, 0 ∈ S.
Axioma a4, nos leva a fazer: α = -1; ( - 1) u = - u ∈ S.
Assim, basta verificar as duas condições acima a) e b) para identificar um subespaço vetorial S de V (que sesabe que é um espaço vetorial).
ATENÇÃO! Qualquer subespaço S de V precisa necessariamente conter o vetor 0 (vetor nulo)!
OBSERVAÇÕES:1) Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0} - subespaço zero ou nulo -, e
o próprio espaço vetorial v - que são chamados subespaços triviais de V.
Os outros subespaços triviais de V = R² são {(0,)} e o próprio R², enquanto os subespaços próprios são asretas que passam pela origem.
Vejamos:
Exemplo 1Sejam V = R² e S ={ (x, y) ∈ R² / y = 2u}.
S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira.
Vemos que S ≠ ∅ pois (0,0) ∈ s (o conjunto S não é vazio)
Verificaremos as duas condições.
i) u = v ∈ S e ii) α u ∈ S
Fazendo u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2 x2), sendo α ∈ R:i) u + v = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2 (x1 + x2)) ∈ s, pois a segunda componente é o dobro da primeira.ii) α u = α (x1, 2x1) = (α x1 + 2 (α x1 )) ∈ s, pois a segunda componente é o dobro da primeira.
16Logo, S é 1 subespaço vetorial R².
Geometricamente, este subespaço representa uma reta que passa pela origem.
A soma de 2 vetores da reta é também um vetornesta reta.
O produto de um escalar por um vetor desta reta éainda um vetor da reta.
Exemplo 2Observamos que, se considerássemos o conjunto S = { (x , 4 - 2x) / x ∈ R } ou S = { (x , y) ∈ R² / y = 4 - 2x },
veríamos, de imediato, que não é um subespaço vetorial de R², pois (0, 0) ∉ S. Ainda escolhendo dois vetoresquaisquer de S: u = (1, 2) e v = (2, 0) de S, temos u + v = (1 +2 , 2 + 0) = (3, 2).
Lembremos que basta um contra-exemplo para provar que não é subespaço vetorial:
U + v = (3, 2) ∉ S pois, para x = 3 y deveria ser: y = 4 - 2.3 = -2
Geometricamente, podemos ter usado a segundacondição: α u ∉ S se α ≠ 1.
OBSERVOBSERVOBSERVOBSERVOBSERVAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTAÇÃO IMPORTANTEANTEANTEANTEANTEDissemos que, sempre que 0 ∉ S, o S não é subespaço vetorial de V. No entanto, a recíproca não é verdadeira,
pois podemos ter 0 ∈ S e S não ser um subespaço vetorial de V.
17Exemplo 3V = R²; S = {9x, x²) ∈ R²} (0, 0) ∈ SNo entanto, se u = (1, 1) e v = (2, 4), temos: u + v = (3, 5) ∉ S.
Idem para o Exemplo 4S = { (x, |x| / x ∈ R} ⊂ R² (0, 0) ∈ S.Mas, para u = (3, 3) e v = (-2, 2), temos u + v = (1, 5) ∉ S
Geometricamente,
Exemplo 3 Exemplo 4
Exemplo 5
Dados V = M (2,2) =
S = . Verifique se S é um subespaço vetorial de V.
O elemento nulo:
Dados u = e v =
i) u + v = + =
ii) ∝u = ∝ =
Logo, S é um subespaço vetorial de V.
Exemplo 6Um resultado importante aparece quando estamos resolvendo um sistema linear homogêneo (os termos
independentes são todos nulos).
2x + 4y + z = 0x + y + 2z = 0x + 3y - z = 0
Ao procurarmos as soluções deste sistema, estamos procurando, dentro do espaço vetorial M(3, 1), espaçovetorial das matrizes de ordem 3 x 1, aqueles vetores que satisfazem à igualdade acima.
18Pergunta: o conjunto dos vetores-solução do sistema linear homogêneo acima é um subespaço vetorial M (3, 1)?
Consideremos dois vetores-solução: e
Vamos verificar as duas condições: i) e ii)
i) Verificar se a soma deles é ainda solução do sistema, isto é:
hipótese + =
ii) Verificar se, ao multiplicarmos um vetor-solução por escalar, ele ainda continua solução do sistema, isto é:
hipótese
Geometricamente, se pensarmos nos vetores-coluna, de ordem 3 x 1, com vetores do R³, o subespaço S dosvetores solução é obtido pela intersecção dos três planos do espaço, cada dado por uma equação do sistemalinear homogêneo apresentado.
Exemplo 7Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontecerá com o seu conjunto solução?
2x + 4y + z = 1x + y + 2z = 1x + 3y - z = 0
Exemplo 7.1V= R³S = { (x, y, z) ∈ R³ / ax + by + cz = 0}
Para verificar se S é um subespaço vetorial de V, vamos considerar dois elementos de S: u = (x1, y1, z1,) e v = (x2, y2,z2).
i) u + v = (x1,+ x2 , y1 + y2, z1 + z2) que queremos provar que ∈ S, isto é, é tal que satisfaz a a(x1,+ x2) + b(y1 + y2)+ c(z1 + z2) = 0
Como provar?
Ora, se (x1, y1, z1) ∈ S, então ax1 + by1 + cz1 = 0 e se (x2, y2,z2) ) ∈ S, então ax2 + by2 + cz2 = 0
Somando estas duas últimas equações, temos:
a(x1,+ x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) = 0 c.q.d
ii) α u = α (x1, y1, z1) = (α x1, α y1, α z1) que queremos provar que ∈ S, isto é, que a (α x1,) + b (α y1 ) + c (α z1) = 0.
Prove que a soma de dois vetores-solução nemsempre é um vetor-solução e que, portanto, o conjuntosolução não é um subespaço vetorial de M(3,1).
19Como provar?
Ora, se (x1, y1, z1) ∈ S, então ax1, + by1 + cz1 = 0. Multiplicando esta última equação por α , temosa (α x1,) + b (α y1 ) + c (α z1) = 0 c.q.d
Concluímos, então, que S é um subespaço vetorial de R³. Quem é, geometricamente, este subespaço?
Lembremos que ax + by + cz + d = 0 é a equação geral de um plano e que, quando d=0, este plano passa pelaorigem. Assim, este subespaço representa um plano qualquer passando pela origem, em R³. É um subespaçopróprio de R³.
Exemplo 7.1
V = R³; S = { (x, y, 0) R³ / y = 2x}
Geometricamente, é uma reta passando pela origem.Verifique que é um subespaço de R³.
Lembre-se que os subespaços triviais de R³ são {(0, 0, 0)}e o próprio R³.
Os subespaços próprios de R³ são as retas que passampela origem e os planos que passam pela origem(geometricamente).
2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 - Interseção de Dois Subespaços Vetoriais
Sejam S1 e S2 2 subespaços vetoriais de V. A intersecção S de S1 e S2: S = S1 ∩ S2 é o conjunto de todos osvetores v ∈ V tais que v ∈ S1 e v ∈ S2.
Teorema
A interseção de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
i) se u, v ∈ S1, então u + v ∈ S1. se u, v ∈ S2, então u + v ∈ S2.
Logo, u + v ∈ S1 ∩ S2 = S
ii) se v ∈ S1, então λv ∈ S1, ∀λ ∈ R. se v ∈ S2, então λv ∈ S2.
Logo, λv ∈ S1 ∩ S2 = S
Exemplo 8V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R}S1 = { (a, b, 0) / a, b ∈ R} e S2 = {(0, 0, c) / c ∈ R}A intersecção S1 ∩ S2 = S {(0, 0, 0)} é um subespaço vetorial trivial de V.
202.22.22.22.22.2 - Soma de Dois Subespaços Vetoriais
Sejam S1 e S2 2 subespaços vetoriais de V. A soma S de S1 e S2 : S = S1 + S2 é o conjunto de todos os vetoresu + v de V, tais que u ∈ S1 e v ∈ S2.
Teorema
A soma S de dois subespaços vetorais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
i) Se u1, u2 ∈ S1, então u1 + u2 ∈ S1.Se v1, v2 ∈ S2, então v1 + v2 ∈ S2.Mas u1 + v1 ∈ S e u2 + v2 ∈ S. Assim
(u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) ∈ S1 + S2 = S
∈ S1 ∈ S2
ii) ∀α ∈R, Se u1 ∈ S1, então λu1 ∈ S1
Se v1 ∈ S2, então λv2 ∈ S2
Mas u1 + v1 ∈ S, Logo: λ (u1 + v1) = λu1 + λv1 ∈ S1 + S2 = S
Exemplo 9V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R}S1 = { (a, b, 0) / a, b ∈ R} e S2 = {(0, 0, c) / c ∈ R}
A Soma S1 + S2 é um subespaço vetorial. S = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R}, que é um subespaço vetorial trivial de V(o próprio R³).
Exemplos de Interseção de dois subespaços vetoriais:
A) V = R³, S1 e S2 planos em R³S1 ∩ S2 é a reta de intersecção dos planos.
B) V = M (n. n). Matrizes quadradas de ordem n.S1 = { matrizes triangulares superiores}S2 = { matrizes triangulares inferiores}S1 ∩ S2 = {conj. das matrizes diagonais}. Verifique que é um subespaço vetorial.
C) V = R³; S1 e S2 são retas que passam pela origem. S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0) que é 1 subespaço vet. de R³.
Exemplos de soma de dois subespaços vetoriais:A) V = R³ , S1 e S2 são retas que passam pela origem, S1 + S2 é o plano que contém as duas retas.
B) V = R³ , S1 ⊂ R³ é um plano e S2 ⊂ R³ é uma reta; ambos (plano e reta) passam pela origem.S1 + S2 = S1 (é o próprio plano)
C) V = M (2, 2); S1 = e S2 = com a, b, c, d ∈ R
S1 + S2 = = M (2, 2)
212.3 2.3 2.3 2.3 2.3 - Soma Direta de Dois Subespaços Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S1 e S2 e se representa por: v =S1 ⊕ S2 se V = S1 + S2 e S1 ∩ S2 = {0}.
Exemplo 10O espaço vetorial V = M (2, 2) do último exemplo c) é a soma direta de S1 e S2.
Exemplo 11O espaço vetorial V = R³ = { (a, b, c) / a, b, c ∈ R} do exemplo 9 é a soma direta de S1 e S2.
22UNIDADE III
COMBINAÇÃO LINEARCOMBINAÇÃO LINEARCOMBINAÇÃO LINEARCOMBINAÇÃO LINEARCOMBINAÇÃO LINEAR
Vamos estudar uma das características mais importantes de um espaço vetorial: a obtenção de novos vetoresa partir de vetores dados.
Sejam v1, v2, ..., vn vetores do espaço vetorial V e os números reais a1, a2, ..., an. O vetor v ∈ V, tal quev = a1v1 +a2v2 + ...+ an vn é uma combinação linear de v1 , v2, ..., vn.
Exemplo 1Escrever, se possível, o vetor v = (-3, 10, 9) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 = ( 3, -2, 0).
v = a1v1 + a2v2
(-3, 10, 9) = a1 (1, 2, 3) + a2 ( 3, -2, 0)
-3 = a1 +3a2
10 = 2a1 - 2 a2
9 = 3a1 ∴ a1 = 3
Exemplo 2Verificar que o vetor v = (4, 5, 9) não pode ser escrito com combinação linear (C.L.) dos vetores v1 e v2, do exemplo 1.
-3 = 3 + 3a2∴ 3a2 = -3 -3 a2 =-2
Conferindo: 10 = 2. 3 - 2 (-2)
V = 3 v1 - 2v2
3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 - Subespaços Gerados
Seja V um espaço vetorial. Seja A = { v1, v2, ..., vn } um subconjunto não vazio contido em V, isto é: A ⊂ V.
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de V que são subespaçovetorial de V!
S = {v ∈ V / a1v1 + ...+ an vn ; a1 ... an ∈ R}
PROVA! Vamos considerar dois vetores de S:
u = a1v1 + a2v2 + ... + an vn e
V = b1v1 + b2v2 + ...+ bn vn
Para que S seja um subespaço vetorial de V, devemos ter: u + v ∈∈∈∈∈ S e ααααα u ∈∈∈∈∈ S com ααααα ∈∈∈∈∈ R.
u + v = (a1 +b1 ) v1 + (a2 +b2 ) v2 + ...+ ( an + bn ) vn
α u = (α a1 ) v1 + (α a2 ) v2 + ...+ (α an ) vn
Podemos observar que u + v é 1 C. L. de v1, ..., vn e, portanto, ∈ S. Da mesma forma, α u é 1 C.L. de v1, ..., vn etambém ∈ S.
Logo, concluímos que o conjunto S de todos os vetores de V que o v C.L. dos vetores v1, ..., vn é um subespaçovetorial de V.
Podemos escrever que o subespaço S é:
S = { v ∈ V / v = a1v1 + a2v2 +...+ an vn ; a1 , a2 ,... an ∈ R }
23Este subespaço S é gerado pelos vetores v1, ..., vn ou gerado pelo conjunto A = { v1, v2, ..., vn } e pode ser
representado por:
S = [v1, v2, ..., vn]ou S = G (A)
Observações:a) A ⊂ G (A) ou { v1, v2, ..., vn } ⊂ [v1, v2, ..., vn] e [v1, v2, ..., vn] é o menor subespaço de V que contém o conjunto
de vetores { v1, v2, ..., vn}.
b) Todo o conjunto A ⊂ V gera um subespaço vetorial de V. Se G (A) = V, A é chamado conjunto gerador de V.
Exemplo 3V = R³; V ∈ v V ≠ 0
O subespaço gerado por A = {v} é o conjunto de todos os vetores de V que o v combinações lineares dosvetores de A, no caso, um só vetor. Assim:
S = [ v ] = { av / a ∈ R}, ou seja, é a reta que contém o vetor v.
Exemplo 4V = R³; v1, v2 ∈ R³ são tais que v1, ≠α v2, isto é, não tem componentes proporcionais, ou seja, não são
colineares, para todo α ∈ R.
Então, S = [v1, v2] = { a1v1 + a2v2 / a1 , a2 ∈ R } será o plano que passa pelo origem e contém v1 e v2.
v1, v2, ..., vn = geradores
A = Conjunto gerador
Observe que, se v3 ∈ [v1, v2] então [v1, v2, v3] =[v1, v2] isto é, o subespaço gerado por é o mesmo que o gerado por.
Generalizando,Dados n vetores v1 ,…, vn de 1 espaço vetorial V, se w ∈ V é tal que w = a1v1 +...+ an vn então, [v1 ,…vn, w] = [v1 ,…vn],
pois todo vetor que é C. L. de v1, v2…vn, w é também C.L. de v1 ,…, vn.
Vamos supor que v ∈ [v1 , v2…vn, w], então, existem números b1 , b2…bn, b tais que:
V = (b1 + a1b)v1 + (b2 + a2b)v2 + …+ (bn + anb) vn, que é uma combinação linear de v1 , v2…vn.
Assim, se S é um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentarmos vetores do próprio S a esseconjunto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço vetorial S.
Logo, vemos que S pode ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um número mínimo de vetorespara gera-lo.
24Exemplo 5V = R² : v1 = (1,0) e v2 = (0, 1)
S = [v1 , v2] = { a1v1 + a2 v2 / a1, a2 ∈ R} = V = R².
O subespaço gerado por v1 e v2 é o próprio R², pois dado qualquer vetor v = (x, y) ∈ V, temos:
v = (x, y) x = (1, 0 ) + y (0, 1) ou v = xv1 + yv2
ou
v = a1v1 + a2 v2 = (x, y)
a1(1, 0 ) + a2 (0, 1) = (x, y)
(a1 + 0, 0 + a2) = (x, y) ⇒ a1 = x e a2 = y
Exemplo 6V = R³, v1 = ( 1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0) geram o subespaço S = {(x, y, 0) ∈ R³ / x , y ∈ R}, pois (x, y, 0) = x (1, 0, 0) +
y (0, 1, 0).
Já vimos que [v1, v2] = S é um subespaço próprio de R³ e representa geometricamente o plano xy.
Exemplo 7V = R³ v1 = ( 1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1),
[v1, v2, v3,] = S = R³ geram o espaço vetorial V = R³, pois qualquer vetor v = (x, y, z) ∈ R³ é uma combinaçãolinear deles:
(x, y, z) = x ( 1, 0, 0) e +y (0, 1, 0) +z (0, 0, 1)
Exemplo 8
V = M (2,2); v1 = e v2 =
[v1, v2] = a1 + a2 / a1, a2 ∈ R =
= + / a1, a2 ∈ R =
= / a1, a2 ∈ R =
25UNIDADE IV
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARDEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Em Álgebra Linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação Linear (C.L.) de outros. No exemplo4, da unidade anterior, vimos que os vetores v1, v2 geravam o mesmo subespaço vetorial que os vetores v1, v2e v3, isto porque v3 era C.L. de v1 e v2 (podemos dizer que v3 era um vetor que estava "sobrando" no conjuntogerador daquele subespaço). Quem nos leva a identificar isto é a definição de dependência linear.
Definição
Seja V um espaço vetorial e A = {v1 , v2…vn} ⊂ V. O conjunto v1 , v2…vn é linearmente independente (L.I) ou osvetores v1, v2…vn são linearmente dependente (L.D) se a equação a1v1 + a2v2 +...+ an vn = 0 (1) foi satisfeitaapenas quando a1 = a2 = ...= an = 0, isto é, quando equação (1) admitir apenas a solução trivial.
Se existir algum ai ≠ 0, dize-se que {v1, v2…vn} é linearmente dependente (L.D.) ou que os vetores v1, v2, …, vnsão linearmente dependentes (L.D.).
Teorema
Um conjunto A = { v1 , v2…vn} é L.D. se e só se um desses vetores for combinação linear dos outros.
DemonstraçãoSe A é L.D., então, pelo menos um dos coeficientes da equação (1) é ≠ 0, isto é:
a1v1 +...+ aivi +… + an vn = 0 tem, por exemplo, ai ≠ 0 ⇒ aivi = a1v1 … an vn
vi =
e vi é uma combinação linear de v1 ,…vn. Por outro lado, se vi é uma combinação linear dos outros vetores,vi = b1v1 +… + bn vn ou b1v1 +… + bn vn + (-1) vi = 0 se verifica para coeficiente não todos nulos logo, oconjunto A é L.D.
Podemos enunciar este teorema, assim:
Um conjunto A = { v1 , v2…vn} é L. I. se e só se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros.
Exemplo 1V = R³ v1 , v2 ∈ v
[v1 , v2 ] é L.D. se e só se um vetor múltiplo do outro, ou seja, se tiverem componentes proporcionais, ou ainda,se estiverem na mesma reta que passa pela origem.
264.14.14.14.14.1 - Propriedades da Dependência e Independência
Linear
Seja V um espaço vetorial,
i) Se A = { v } ⊂ V e v ≠≠≠≠≠ 0 então A é L.I.Prova. Se v ≠ 0, então, av = 0 se verificamos com a = 0.Observação: o conjunto vazio ∅ é L.I por definição.
ii) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo então A é L.D.Prova. A = { v, ..., 0, ..., vn}a1v1 +... + an vn = 0 se verifica com a ≠ 0 pois 0v1 +...+ a0 +… + 0 vn = 0
iii) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D. então A também é L.D. verifique.
iv) Se um conjunto A ⊂ V é L.I., qualquer parte de A também é L.I.Observação: se todos os subconjuntos próprios de um conjunto finito são L.I, isto não significa que A seja L.I.
Para verificar, considere três vetores: (1, 0), (0, 1), (2, 3) e os subconjunto próprios de A.
v) Se A = { v1 , …, vn} ⊂ V é L. I e B = { v1 , …, vn, w} ⊂ V é L.D. então w é combinação linear (C.L.).Prova. Como B é L.D., existem escalares, não todos nulos, tais que a1v1 +... + an vn + bw = 0,Se pensarmos em b = 0, ∃ algum a1, ... , an nulo na igualdade a1v1 +... + an vn= 0, o que contradiz a hipótese (A
é L.I.). Portanto, b ≠ 0 e
bw = a1v1 +... + an vn= 0
w = w é C.L. de v1, ...vn .
Exercícios de Fixação
1. Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado, proceda assim:• Escreva três elementos de W;• Reescreva W, apresentando o vetor genérico do item a até o item d;• Verifique se W é subespaço vetorial de V.
a) W = { (x, y) ∈ R2, y = - 2x }, V = R2;
b) W = { (x, y) ∈ R2; y = - 2x + 1 }, V = R2;
c) W = { (x, y, z, t) ∈ R4; x = y e z = 2t }, V = R4;
d) W = { (x, y, z) ∈ R3; x - 2y - 4z = 6 }, V= R3;
e) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem nxn, para n = 2, 3, 4, ...; V = Mnxn;
f) W = { (x, y) ∈ R2; y = 0 }, V = R2;
g) W = , V = M2x2;
h) W = { (a, a, ..., a) ∈ Rn; a ∈ R }, V = Rn;
i) W = { (a, 2a, 3a); a ∈ R }, V = R3;
2. Seja G o conjunto de todas as funções f tais que f (0) = 1 no espaço vetorial F de todas as funções de R emR, ou seja, F = { f : R / R } e G = { f / F; f (0) = 1 }. G é subespaço vetorial de F?
3. Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:a) V = R2; W1 = { (x, y); y = 0 };
W2 = { (x, y); y < 0 };W3 = { (x, y); y = 2 };
27 b) V = R3; W1 = o plano xOy;
W2 = { (x, y, z); x = y = z };W3 = { (x, y, z); x = y };
c) V = R2; W = { (x, y); x2 + y2 = 1};
d) V = Mnn; W1 = { D = Mnn; D é diagonal };W2 = { T ∈ Mnn; T é triangular superior };W3 = { S ∈ Mnn; S é simétrica }.
4. Seja V = M22 e H1 = { A ∈ M22; a11 = 0 } e H2 = .
a) Mostre que H1 e H2 são subespaços de H.b) Descreva o subconjunto H1/H2 e mostre que ele é um subespaço.
Observação:Teorema: sejam H1 e H2 dois subespaços de um espaço vetorial H. Então, H1 ∩ H2 é um subespaço de H.
Demonstração(a) H1 ∩ H2 ≠ ∅ pois 0 ∈ H1 e 0 ∈ H2, portanto 0 ∈ H1 ∩ H2.
(b) Sejam x1 ∈ H1 ∩ H2 e x2 ∈ H1 ∩ H2 e α ∈ R
x1 ∈ H1 e x2 ∈ H1, portanto x1 + x2 ∈ H1
x1 ∈ H2 e x2 ∈ H2, portanto x1 + x2 ∈ H2
α x1 ∈ H1 e α x2 ∈ H2 ∴ α x1 ∈ H1 ∩ H2.
De (a) e (b) temos que H1 ∩ H2 é subespaço de H.
Se H1 e H2 são subespaços de um espaço vetorial H, não necessariamente H1 ∪ H2 é um subespaço.
Por exemplo:H1 = { (x, y) ∈ R2; y = x } é subespaço de H = R2
H2 = { (x, y) ∈ R2; y = 2x } é subespaço de H = R2, mas H1 ∪ H2 não é subespaço de H.
Veja que (2, 2) ∈ H1 e (2, 4) ∈ H2, mas (2, 2) + (2, 4) = (4, 6) ∉ H1 e (4, 6) ∉ H2, de modo que (4, 6) ∈ H1 ∈ H2.
5. Seja H = { (x, y, z); 2x + 3y - z = 0} e K = { (x, y, z); x - 2y + 5z = 0 }.a) Mostre que H e K são subespaços do R3;
b) Mostre que H ∈ K não é subespaço do R3;
c) Descreva o subespaço H ∈ K.
6. Verifique se os subconjuntos W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V onde:V = M22 e
W1 = ;
W2 = ;
W3 = { A ∈ M22; A é triangular }.
∴ x1 + x2 ∈ H1 ∩ H2.
28Exercícios Propostos
1) Seja V = M2x1 (matrizes de ordem 2 x 1) e seja S = , mostre que S é um subespaço vetorial de V.
2) Seja V = R² e seja {(x1, x2) ∈ R² / x2 = 2 x1}, mostre que S é um subespaço vetorial de V.
3) Seja V = M2x2
Seja S = . Mostre que S é um subespaço vetorial de V.
4) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / y = -x}. Verifique se S é um subespaço de R².
5) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / x = 3y}. Verifique se S é um subespaço de R².
6) Seja V = R² e S = {(x, y) ∈ R² / x = 3y +1} Verifique se S é um subespaço de R².
7) Seja V = R³ e S = {(x, y, z ) ∈ R³ / z = x + y} Verifique se S é um subespaço de R³.
8) Seja V = M2x2 e seja S = . Verifique se S é um subespaço de V.
9) Seja V = M2x2 e seja S = , verifique se S é um subespaço de V.
10) Determine o subespaço S gerado pelo conjunto A = {(1, -2), (-2, 4)}. O que representa geometricamenteesse subespaço?
11) Seja A={v1, v2} sendo v1= (-1,3, -1) e v2= (1, -2, 4). Determinar o subespaço G(A).
12) Seja V = R² e A = {(2,1), (1,1)}. Determine o subespaço s= G(A) e o que representa, geometricamente, estesubespaço.
29
Se você:
1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para asavaliações.
Parabéns!
30Glossário
Combinação Linear - um vetor b é chamado de uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... , vn se b pode serexpresso na forma:b = α 1v1 + α 2v2 + ... + α nvn, onde os α i's são escalares.
Espaço Vetorial - as soluções dos sistemas são vetores com n componentes que podem ser representados non-espaço euclidiano, representado por ℜn.
Subespaço Vetorial - um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo vetor em V também pertence a W.
31Gabarito
1. Exemplos: escolha qualquer vetor que satisfaça a condição dada.
Verificação (vetor genérico):
a) W = {(x, - 2x); x ∈ R}
Sejam u = (x1, - 2x1 ) ∈ W, v = (x2, - 2x2 ) ∈ W e α∈R:
i) u + v = (x1 + x2, - 2x1 - 2x2) = (x1 + x2, - 2 (x1 + x2 )) ∈ W
ii) αu = α(x1, - 2x2) = (αx1, - 2αx2) ∈ W∴W é um subespaço vetorial de R2.
b) W = {(x, - 2x + 1); x ∈ R}
Como (0, 0) ∉ W, podemos concluir que o subconjunto W não é subespaço vetorial.
c) W = {(y, y, 2t, t) ; y, t ∈ R}
Sejam u = (y1, y1, 2t1, t1) ∈ W, v = (y2, y2, 2t2, t2) ∈ W e α∈R:
i) u + v = (y1 + y2, y1 + y2, 2(t1 + t2), t1 + t2) ∈ W.
ii) αu = (αy1, αy2, 2αt1, αt1) ∈ W∴W é subespaço vetorial de R4.
d) W = {(6 + 2y + 4z, y, z); y, z ∈ R}.
Tomando y = 0 e z = 0, temos (6, 0, 0). Como (0, 0, 0) ∉ W, W não é subespaço vetorial do R3.
e) W não é subespaço vetorial pois, considerando todas as matrizes identidade (qualquer ordem), não temosa soma definida quando, por exemplo, I 2 + I 4.
f) Contra-exemplo: Sejam u = (2, - 1) ∈ W, α = - 1.
α u = (- 1) (2, - 1) = (- 2, 1) ∉ W pois y = 1 > 0. Logo W não é subespaço vetorial de R2.
g) Sejam ∈W, ∈W e α∈R.
i) ∈W.
ii) ∈W∴W é um subespaço vetorial de M22.
h) Sejam u = (a, a, ..., a) ∈ W, v = (b, b, ..., b) ∈ W e α∈R.
i) u + v = (a + b, a + b, ..., a + b) ∈ W.
ii) αu = (αa, αa, ..., αa)∈W∴W é subespaço vetorial de Rn.
i) Sejam u = (a, 2a, 3a)∈W, v = (b, 2b, 3b)∈W e α∈R.
i) u + v = (a + b, 2(a + b), 3(a + b)) ∈ W.
ii) αu = (αa, 2αa, ..., 3αa) ∈ W∴W é subespaço vetorial de R3.
32
b) W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de R3.
W1 = {(x, y, 0); x, y ∈R}
W2 = {(x, x, x); x ∈R} facilmente mostramos que, se u, v ∈W e α∈R então, u + v ∈ W e αu ∈ W.
W3 = {(x, x, z); x, z ∈ R}
c) Sejam u = (1, 0) ∈ W e v = (0, 1) ∈ W.
u + v = (1, 1) ∉W pois 12 + 12 > 1.
Logo, W não é subespaço vetorial de R2.
d) Tomando n = 2:
W1 = . Sejam u = ∈W1, v = ∈W1 e α∈R.
i) u + v = ∈W1
ii) α u = ∈W1∴W1 é subespaço vetorial de M22.
W2 = . Sejam u = ∈W2, v = ∈W2 e α∈R.
i) u + v = ∈W2
ii) αu = ∈W2∴W2 é subespaço vetorial de M22.
W3 = . Sejam u = ∈W3 e v = ∈W3 e α∈R.
i) u + v = ∈W3
ii) αu = ∈W3∴W3 é subespaço vetorial de M22.
2. Sejam u = f(x)∈G∴f(0) = 1, v = g(x)∈G∴g(0) = 1 e α∈R.
i) u + v = (f + g)(x) tal que (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1 ≠ 1∴u + v ∉G e G não é subespaço vetorial de F.
3.a) nenhum. Observe:
33 4.
a) H1 = . Sejam u = ∈ H1, v = ∈H1 e α∈R.
i) u + v = ∈H1
ii) α u = ∈H1∴ H1 é subespaço vetorial de M22.
H2 = . Sejam u = ∈H2, v = ∈H2 e α∈R.
i) u + v = ∈H2.
ii) αu = ∈H2∴H2 é subespaço vetorial de M22.
b) Poderíamos reescrever H1 e H2 da seguinte maneira:
H1 = {A ∈ M22; a11 = 0} e H2 = {A ∈ M22; a11 = - a22 e a21 = a12}.
Assim, H1 ∩ H2 = {A ∈ M22; a11 = a22 = 0 e a21 = a12} ou H1 ∩ H2 = que é subespaço
vetorial de M22.
5.a) H = {(x, y, 2x + 3y); x, y ∈ R}. Sejam u = (x1, y1, 2x1 + 3y1 ) ∈ H, v = (x2, y2, 2x2 + 3y2 ) ∈ H e α ∈ R.
i) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2)) ∈ H
ii) αu = (α x1, α y1, 2α x1 + 3α y1 ) ∈ H,∴H é subespaço vetorial de R3.
K = {(2y - 5z, y, z); y, z ∈ R}. Sejam u = (2y1 - 5z1, y1, z1) ∈ K, v = (2y2 - 5z2, y2, z2 ) ∈ K e α ∈ R.
i) u + v = (2(y1 + y2) - 5(z1 + z2), y1 + y2, z1 + z2) ∈ K.
ii) αu = (2α y1 - 5α z1, α y1, α z1 ) ∈ K,∴K é subespaço vetorial de R3.
b) H ∪ K = {(x, y, z); 2x + 3y - z = 0 ou x - 2y + 5z = 0}
CE: (1, 1, 5) ∈ H ∪ K e (- 3, 1, 1) ∈ H ∪ K
(1, 1, 5) + (- 3, 1, 1) = (- 2, 2, 6) ∉ H ∪ K, pois 2(- 2) + 3(2) - 6 = - 4 e (- 2) - 2(2) + 5(6) = 24∴H ∪ K não é subespaçovetorial de R3.
c) H ∩ K = {(x, y z); 2x + 3y - z = 0 e x - 2y + 5z = 0}. Como temos duas condições simultâneas, resolvendo o
sistema obtemos o vetor genérico do conjunto H ∩ K. Assim,
H ∩ K = . H ∩ K é uma reta, resultado da intersecção dos planos H e K.
346.
W1 não é subespaço vetorial pois ∉ W1.
W2 é subespaço vetorial conforme item (g) do exercício proposto 8.
W3 não é subespaço vetorial.
CE: é uma matriz triangular (superior).
é uma matriz triangular (inferior).
∉ W3 pois não é uma matriz triangular.
Exercícios Propostos
Gabarito com a professora.
35Referências Bibliográficas
BOLDRINI, José Luis. Álgebra Linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998.STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
