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Apêndice A Revisão: Campos Escalares e Vetoriais Neste Apêndice será apresentado um breve resumo sobre campos vetoriais, e que pode ser aplicado a campos escalares ou vetoriais. Um sistema de coordenadas generalizadas será apresentado, a partir do qual poderão ser deduzidas as expressões dos operadores gradiente, divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas diferentes do sistema de coordenadas retangular como, por exemplo, em coordenadas cilíndricas e esféricas. A.1- Álgebra de Vetores Dados dois vetores A e B no espaço, e que formam entre si um ângulo , como descritos na Fig.A.1(a), e, sendo A o vetor oposto ao vetor A , como mostrado na Fig.A.1(b), aplicam-se as seguintes propriedades: A B A+B (a) A -A a ^ (b) Figura A.1 – Vetores no espaço. a) Soma de vetores. b) Vetor oposto. a) Propriedade comutativa A B B A (A.1 a) b) Propriedade associativa C B A C B A ) ( ) ( (A.1 b) c) Diferença entre vetores ) ( B A B A (A.1 c) d) Vetor unitário (versor) A A a ˆ (A.1 d)

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Apêndice A

Revisão: Campos Escalares e Vetoriais Neste Apêndice será apresentado um breve resumo sobre campos vetoriais, e que pode ser aplicado a campos escalares ou vetoriais. Um sistema de coordenadas generalizadas será apresentado, a partir do qual poderão ser deduzidas as expressões dos operadores gradiente, divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas diferentes do sistema de coordenadas retangular como, por exemplo, em coordenadas cilíndricas e esféricas. A.1- Álgebra de Vetores

Dados dois vetores A

e B

no espaço, e que formam entre si um ângulo , como descritos na Fig.A.1(a), e, sendo − A

o vetor oposto ao vetor A

, como mostrado na Fig.A.1(b),

aplicam-se as seguintes propriedades:

A

B

A+B

(a)

A

-Aa

(b) Figura A.1 – Vetores no espaço. a) Soma de vetores. b) Vetor oposto.

a) Propriedade comutativa

ABBA

(A.1 a) b) Propriedade associativa

CBACBA

)()( (A.1 b) c) Diferença entre vetores

)( BABA

(A.1 c) d) Vetor unitário (versor)

AAa

ˆ (A.1 d)

e) Multiplicação por escalar

BmAmBAm

AnAmAnm

AmnAmnAnm

)(

)(

)()()(

(A.1 e)

A.1.1- Produto escalar, interno ou "dot product" A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar entre vetores, designado pelo símbolo " " (dot ou ponto). a) Definição básica (0≤≤ rad)

cos.. BABA

(A.2 a)

b) Projeção escalar de B

na direção de A

A

= BAA

(A.2 b)

c) Projeção de B

na direção de A

A

= AAB

AA

.

(A.2 c)

d) Produto escalar nulo

BAouBouABA

,0,00 (A.2 d) e) Propriedade comutativa

ABBA

(A.2 e) f) Módulo do vetor

2AAA

(A.2 f)

g) Propriedade distributiva

CABACBA

)( (A.2 g) A.1.2- Produto vetorial ou cruzado

A seguir apresentam-se algumas propriedades do produto vetorial entre vetores, designado pelo símbolo " x " (cross product). a) Definição básica

senBABA ..

x (A.3 a)

b) Produto vetorial nulo

BAouBouABA

//,0,00 x (A.3 b) c) Propriedade distributiva

CABACBA

xxx )( (A.3 c) d) Comutação (não obedece à propriedade comutativa)

ABBA

xx (A.3 d)

e) Área do paralelogramo

BA

x área do paralelogramo com lados A

e B

(A.3 e)

A.1.3 – Vetores Unitários ou Versores Versores coordenados (ou bases) são vetores unitários na direção dos eixos do sistema de

coordenadas de referência. No caso do sistema retangular (x,y,z), são designados por kji ˆeˆ,ˆ , sendo paralelos às direções dos eixos x, y e z, respectivamente, e tais que

a) 1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii (A.4 a)

b) 0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji (A.4 b)

c) 0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii xxx (A.4 c)

d) ijkkj ˆˆˆˆˆ xx (A.4 d)

e) kijji ˆˆˆˆˆ xx (A.4 e)

f) jkiik ˆˆˆˆˆ xx (A.4 f)

Assim, kji ˆeˆ,ˆ são vetores linearmente independentes e formam uma base tri-ortogonal e, portanto, qualquer vetor u no espaço pode ser descrito por:

kujuiuu zyxˆˆˆ

(A.5)

onde ux, uy e uz são as coordenadas do vetor u . A.1.4- Propriedades Gerais dos Vetores

Dados dois vetores escritos em coordenadas retangulares como

kajaiaA ˆˆˆ321

(A.6 a)

e

kbjbibB ˆˆˆ321

(A.6 b)

então

a) kbajbaibaBA ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211

(A.7 a)

b) ).().().( 332211 bababaBA

(A.7 b)

c) 23

22

21

2aaaAAA

(A.7 c)

d) 2/12

322

21

2/123

22

21

332211

).()(

...cos

bbbaaabababa

(A.7 d)

e)

321

321

ˆˆˆ

bbbaaakji

BA

x (A.7 e)

f)

321

321

321

)(

cccbbbaaa

CBA

x (A.7 f)

g) )( CBA

x volume do paralelepípedo com lados A

, B

e C

(A.7 g)

h) CBACBA

)()( xx (A.7 h)

i) )()()( BACACBCBA

xxx (A.7 i)

j) )()()()( ABCCABBCACBA

xxxx (A.7 j)

k) CBABCACBA

)()()( xx (A.7 k)

l) ACBBCACBA

)()()( xx (A.7 l)

m) )()()()()()( CBDADBCADCBA

xx (A.7 m)

n) )}({)}({)()( CBADDBACDCBA

xxxxx (A.7 n)

)}({)}({ CBADDBAC

xx

A.1.5- Derivadas no Tempo

Dados o seguinte vetor variável no tempo

ktujtuitutuu zyxˆ)(ˆ)(ˆ)()(

(A.8)

define-se sua derivada temporal pelo vetor

t

tuttudtud

t

)()(lim

0

(A.9)

e assim,

kt

tuttuj

ttuttu

it

tuttudtud zz

t

yy

t

xx

tˆ)()(

limˆ)()(

limˆ)()(lim

000

(A.10)

ou seja

kdt

duj

dtdu

idt

dudtud zyx ˆˆˆ

(A.11)

ou ainda

kdujduiduud zyxˆˆˆ

(A.12)

Em particular, se kzjyixru ˆˆˆ

é o vetor posição, então,

kdzjdyidxrd ˆˆˆ

(A.13) é o vetor deslocamento infinitesimal. Na Fig.A.2 ilustram-se os vetores r e d r .

0

dr

r+dr

r

Figura A.2 – Vetor deslocamento infinitesimal. A seguir, listam-se algumas propriedades da derivada temporal:

a) dtvd

dtud

dtvud

)(

(A.14 a)

b) dtudu

dtd

dtud

)( (A.14 b)

c) dtvduv

dtud

dtvud

)(

(A.14 c)

d) dtvduv

dtud

dtvud

xxx

)( (A.14 d)

e) )()()()}({

dtwdvuw

dtvduwv

dtud

dtwvud

xxxx (A.14 e)

f) ))))}({

dtwdvuw

dtvduwv

dtud

dtwvud

xx (xx (xx (

xx (A.14 f)

g) dtud

udtudu

(A.14 g)

h) 0dtudu

se u é uma constante (A.14 h)

i) Cdtukdtujdtuidtu zyx ˆˆˆ, onde C é constante (A.14 i)

A.2- Gradiente de um Campo Escalar Um campo escalar é estabelecido a partir de uma função escalar ),,( zyx . Sua diferencial total é

dzz

dyy

dxx

d

(A.15)

Na figura A.3, C é simplesmente uma curva no espaço e, a cada ponto r de C, associa-se um valor )(r . A derivada direcional do campo escalar é a taxa de variação de ),,( zyx por unidade de comprimento em uma certa direção particular, caracterizada pelo elemento de arco

rdds da curva C:

x y

zr dr

C

( )r( )r+dr

Figura A.3- Curva C no espaço e a definição de derivada direcional.

dsdz

zdsdy

ydsdx

xdsd

...

(A.16)

É conveniente expressar d e d/ds em termos do gradiente do campo escalar ),,( zyx , definido como:

kz

jy

ix

grad ˆˆˆ)(

(A.17)

Assim, a partir de (A.13) e (A.17) obtém-se

dsrd

dsd

(A.18 a)

rdd

(A.18 b) Como foi estabelecido rdds

, então, se s for o vetor unitário na direção d r ,

kdsdzj

dsdyi

dsdx

dsrds ˆˆˆˆ

(A.19)

Uma forma alternativa de escrever s utiliza cossenos diretores

kkrjjriirs ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ

(A.20)

onde )ˆ,cos( ir é o cosseno entre os vetores r e i , e assim por diante.

Combinando-se (A.18 a) com (A.19) obtém-se

sdsd

ˆ (A.21)

ou seja, a projeção do gradiente em qualquer direção é igual à derivada direcional de naquela direção. A Fig.A.4(a) auxilia a visualização deste fato.

Como o máximo valor de projeção de um vetor é o módulo do próprio vetor, fica claro que está sobre a direção de maior taxa de variação de (x,y,z). Esta taxa de variação é

justamente o seu comprimento, . Dada uma superfície onde é constante, denominada de superfície equipotencial, tem-

se d/ds=0 nos pontos r sobre a superfície C. Portanto, (A.19) e (A.21) conduzem a

0dsrd

(A.22)

sobre a superfície. Como as extremidades de r e r +d r estão sobre a superfície C, d r está sobre esta superfície. Então, d r , informando que o gradiente em qualquer ponto de uma equipotencial é perpendicular a ela.

sds/d

s

(a)

0

dr

r

.

C

equpotenc=cte

(b)

Figura A.4- O gradiente. a) Projeção na direção s . b) Gradiente normal a equipotencial.

Finalmente, se (v), onde v=v(x,y,z), então, de (A.17) e a regra da cadeia, conclui-se que

vdvd

(A.23)

(recomenda-se ao leitor demonstrar isto !!) A.3- Campos vetoriais O vetor u , escrito em função das coordenadas x,y e z como

kzyxujzyxuizyxuzyxuu zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(

(A.24)

é denominado campo vetorial (atenção: neste apêndice, u é um campo de velocidade). A.3.1- Campo conservativo

Da definição (A.17), observa-se que se for diferenciável, sempre define um campo vetorial:

),,( zyxu (A.25)

Neste caso, o campo vetorial u é denominado campo conservativo, campo gradiente ou campo potencial. Usando-se (A.13) e (A.17), considere-se a avaliação da integral,

N

CCurvaM

N

CCurvaMdz

zdy

ydx

xrdu

,,

(A.26)

entre os pontos M=(x1 ,y1 ,z1) e N=(x2, y2, z2) tomados sobre uma curva C. Se os valores de (x,y,z) em M e N ocorrerem nos instantes t1 e t2 conhecidos, pode-se realizar a integração usando t como variável de integração.

dtdtdz

zdtdy

ydtdx

xrdu

t

t

N

CCurvaM

2

1,

(A.27)

que, por sua vez, conduz a

)()( 12,

2

1

ttdtdtdrdu

t

t

N

CCurvaM

(A.28)

Portanto, se u = , a integral é simplesmente a diferença entre os valores de (x,y,z) nos pontos M e N, e, assim, independe da escolha de um caminho de integração específico. Reciprocamente, se a integral for independente do caminho, então, mantendo-se M fixo e variando-se N, pode-se definir

),,(),,(

),,(zyx

M zyx

zyx

Mdzudyudxurduzyx

(A.29)

Permutando-se x por x+x na expressão acima, calcula-se

),,(

),,(),,(),,(

zyxx

zyx zyx dzudyudxuzyxzyxx (A.30)

ou seja, a integral através de um caminho onde y e z são constantes. Isto equivale a

),,(

),,(),,(),,(

zyxx

zyx x dxudxx

zyxzyxx (A.31)

Aplicando o teorema fundamental do cálculo a (A.31), obtém-se

xux

(A.32)

Analogamente, determina-se

yuy

e zuz

(A.33)

Portanto, (A.17), (A.32) e (A.33) informam que

u (A.34) Mostrou-se assim, que a condição necessária e suficiente para que u = é a independência de caminho de integração em (A.26). Neste caso, u é dito ser um campo vetorial conservativo. A.3.2- Circulação de um campo vetorial Define-se como circulação (ou circuitação) a integral de u

ao longo do caminho fechado

C, como representado na Fig.A.5. Escolhendo-se dois pontos arbitrários M e N sobre C=C1+C2 da figura:

M

N C2

C1

Figura A.5- Caminho C ao longo do qual se realiza a circulação.

N

CM

N

CM

M

CN

N

CMC

rdurdu

rdurdurdu

21

21

,,

,,

(A.35)

Assim, se u

for um campo conservativo, as integrais de M a N independem do caminho utilizado, e assim, as integrais no lado direito de (A.35) são iguais e, consequentemente:

C

rdu 0

(A.36)

isto é, a circulação de u é nula para um caminho fechado se e somente se u for um campo conservativo. A.3.3 – Fluxo de um campo vetorial Considerando-se um elemento dS de uma superfície S, como indicado na Fig.A.6, define-se o fluxo do campo vetorial u através de S como

S

Sdu

(A.37)

com unidades de m3/s. Por exemplo, se u for um campo de velocidade, as partículas do fluido atravessando dS no instante t, ocuparão a face ABCD do paralelepípedo da Fig.A.6 no instante t+dt

S dS

dS

AB

C

Du.dt

Figura A.6 – Fluxo de um fluido através da superfície S.

Todas as partículas que cruzam dS no instante t estarão dentro do paralelepípedo no instante t+dt . Logo, a quantidade (volume) de fluido que atravessa dS no intervalo dt é

dtSdudtudS ).(cos...

[m2]. O fluxo [m3/s] é obtido dividindo-se esta igualdade por dt. A.3.4- Rotacional no Plano A seguir investiga-se a circulação de u no caminho fechado C, mostrado na Fig.6:

C

Sx

y

Figura A.7- Malhas para o cálculo da circulação ao longo de C.

MalhasC

rdurdu

(A.38)

pois, a contribuição de uma fronteira comum entre duas malhas se cancela devido as orientações opostas dos vetores d r . Com isto restarão apenas as contribuições dos segmentos de C. Considerando-se que no limite, para S0, cada malha (a qual se reduz a um ponto) gera:

),(lim0

yxfS

rduS

(A.39)

no qual procura-se, a seguir, determinar o valor de f(x,y). Da equação (A.38) e (A.39) conclui-se que

dSyxfSyxfrduS

SMalhasC

).,().,(

0

(A.40)

Porém,

C

yxC

dyudxurdu

(A.41)

e então, determina-se cada parcela do lado direito de (A.41) separadamente. Isolando-se uma das malhas, conforme a Fig.A.8 (a) e, considerando-se que ux e uy sejam diferenciáveis

.Py M

x

y

x0

.

(a)

x

y

0

A B

CD

(b)

Figura A.8- Malha unitária para o cálculo do rotacional no plano.

)()( PP

xP

P

x

Px

Mx yy

yuxx

xuuu

(A.42 a)

)()( PP

yP

P

y

Py

My yy

yu

xxxu

uu

(A.42 b)

aplicando-se a Série de Taylor. Assim, por exemplo,

dxyyyudxxx

xudxudxu P

P

xP

P

x

Pxx )()(

(A.43)

ou então,

dxyydxy

udxxxdxx

udxudxu PP

xP

P

x

Pxx ... (A.44)

Na avaliação da primeira integral do lado direito (A.44), utiliza-se a Fig.A.8(b).

000

BC

AD

B

A

DA

D

BC

B

xx

xx

x

x

xx

x

D

C

xx

x

B

A

dxdx

dxdxdxdxdx

(A.45)

De forma similar, mostra-se que

0. dxx (A.46)

Por outro lado,

Sxy

dxydxy

dxydxydxydxydxy

BC

AD

B

A

DA

D

BC

B

xx

xxD

x

xA

xx

x

D

C D

xx

x

B

A A

.

00

...

(A.47)

Por um procedimento análogo demonstra-se que

0. dydyy (A.48 a)

Sdyx . (A.48 b)

e portanto,

Syu

xu

rduPMalha

xy

(A.49)

Com isso, (A.39) torna-se

yu

xu

Srdu

yxf xy

S

0lim),( (A.50)

onde P passa a ser um ponto arbitrário no interior de S. Finalmente, de (A.40) e (A.50) obtém-se a relação

dSyu

xu

dyudxurduS

xy

Cyx

C

.

(A.51)

a qual constitui o Teorema de Green no plano. Definindo-se o rotacional (no plano) de um campo vetorial como

S

rduyxfucurlurotu

S

0lim),()()(x (A.52)

isto é, a circulação ao longo de um caminho fechado infinitesimal por unidade de área, obtém-se:

y

ux

uu xy

x (A.53)

o qual é escalar na caso bidimensional. Observe-se que se o campo u for irrotacional, isto é, tem rotacional nulo, então (A.51) e (A.53) geram

0.)( dSurduSC

x (A.54)

e portanto, o campo é conservativo.

É possível mostrar também que a recíproca é válida, isto é, se u é conservativo (u = ),

então ele é irrotacional se e somente se possuir derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Como resultado, para verificar se um campo u

é conservativo, basta verificar se seu rotacional é nulo. _____________________________________________________________________________ Exemplo 1: Verificar se o campo de velocidade mostrado na Fig. A.9 não é conservativo (é um campo solenoidal). Solução: Na Fig.A.9, ilustra-se um campo de velocidade de um fluido que gira em torno de um obstáculo.

v

Figura A.9 – Campo de velocidade.

A circulação do vetor v ao longo de qualquer círculo não pode resultar nula, pois o produto rdv

tem

sempre o mesmo sinal. Portanto, o campo v não é campo conservativo.

A.3.5- Divergente no Plano O fluxo também pode ser calculado no plano. Com o auxílio da Fig.A.10 escreve-se que:

S

S dr

nC

y

x0Figura A.10- Caminho C e malha unitária usada para o cálculo do fluxo no plano.

CC

ndudrnu

ˆ [m/s2] (A.55)

onde drnnd .ˆ . Como rd e nd são ortogonais, então, se jdyidxrd ˆ.ˆ.

, pode-se concluir que

jdxidynd ˆ.ˆ. (A.56) e assim,

C

yxC

dxudyundu

(A.57)

Aplicando-se o Teorema de Green (A.51) ao fluxo (A.57), obtém-se

S

S

yx

C

dSu

dxdyyu

xundu

. (A.58)

onde, define-se

yu

xu

udivu yx

)(

(A.59)

o divergente de u no plano. Nota-se ainda que, a partir de (A.39) e (A.40)

SS

ndundu

MalhasC

(A.60)

e assim, de (A.58) e (A.60) pode-se concluir que

S

nduu

S

0lim (A.61)

ou seja, o divergente de u corresponde ao fluxo que sai de uma área infinitesimal, por unidade de área. A.3.5- Teorema de Gauss Considere-se um volume V, dividido em pequenos blocos cúbicos elementares conforme esquematizado na Fig.A.11(a).

VS

V

y

x0

z

(a)

A

B

C

D

A'

B'

C'

P

z

xy

P

xx 2

z

x

uu

P

xx 2

z

x

uu

V

(b)

Figura A.11 – Volume usado no cálculo do divergente no espaço. a) A superfície S envolve o volume V. b) Bloco unitário de volume V.

Calculando-se o fluxo de u através de cada bloco elementar e somando-se o resultado, obtém-se o fluxo através da fronteira S. O fluxo através das faces comuns apresenta-se na soma

com sinais opostos devido à mudança de d S

, na direção da normal exterior.

VV

SduSdu

S Blo

cos

(A.62)

Independentemente do sistema de coordenadas, define-se a divergência de u no espaço por

V

Sduu S

V

0lim (A.63)

Como no caso bidimensional, o divergente espacial representa a quantidade de fluxo que diverge de uma fonte envolvida por um volume V, atravessando a superfície que limita tal volume. Se

u >0 implica que existe uma fonte de campo u num dado ponto P. Por outro lado, se u <0, existe sorvedouro.

O fluxo através do retângulo ABCD da Fig.A.11(b) é

zyuP

xABCD (A.64)

Porém,

222

)()()(

zzuy

yux

xuu

zzzuyy

yuxx

xuuu

P

x

P

x

P

x

Px

PP

xP

P

xP

P

x

Pxx

(A.65)

E assim, o fluxo na face A’B’C’D’ será

zyzzuy

yux

xuu

P

x

P

x

P

x

Px

.222

(A.66)

e o fluxo na face oposta

zyzzuy

yux

xuu

P

x

P

x

P

x

Px

.222

(A.67)

Somando-se os dois fluxos, obtém-se o fluxo líquido na direção x

Vx

uzyx

xu

P

x

P

x

(A.68)

Os fluxos nas outras quatro faces são obtidos de forma semelhante, o que conduz a

Vz

uy

ux

uSdu zyx

BlocoBloco

(A.69)

Portanto,

z

uy

ux

uV

Sduu zyx

V

0

lim (A.70)

o qual corresponde ao divergente do vetor u . Percebe-se, portanto, que em coordenadas

retangulares, o operador dado em (A.17), ou seja, zzyjxi /ˆ/ˆ/ˆ , se comporta como um simples vetor na operação de produto escalar dada em (A.70). Ressalta-se que o mesmo não ocorre no caso de outros sistemas coordenados, como nas coordenas esféricas ou cilíndricas.

Além disso, o fluxo é dado por (A.62) e (A.70) como

VBloS

dVuVV

SduSdu

cos

(A.71)

ou seja

VS

zzyyxxS

dVudSudSudSuSdu

(A.72)

o qual constitui o Teorema Gauss ou do Divergente. A.3.6- Teorema de Stokes Considere-se agora uma curva fechada C, fronteira de uma superfície orientada S, conforme ilustrado na Fig.A.12(a).

x y

z

C

dS

S

(a)

x

y

z

k n

j

^ ^

^

S'xy

S

(b)

Figura A.12- Superfície usada na dedução do teorema de Stokes. a) A curva fechada C é fronteira da superfície S. b) Malha unitária sobre S e sua projeção sobre o plano x-y.

Dividindo-se a superfície S em malhas, calcula-se a seguinte circulação

SS

rdurdu

MalhasC

(A.73)

para áreas elementares 0S . Neste caso,

S

dzudyudxuS

S

rdu zyx

SMalhasS

00limlim

(A.74)

Usando-se a expressão de ux em Série de Taylor, calcula-se (por exemplo):

dxzzz

udxyy

yu

dxxxx

udxudxu P

PS

zP

PS

xP

PS

x

PSxx )()()(

(A.75)

Pode-se executar estas integrações no plano xy, sabendo-se que )ˆ,ˆcos(' knSS xy , a

projeção da área S no plano x-y, conforme esquematizado na Fig.A.12(b). Como resultado obtém-se:

0''

SS

dxxdx (A.76 a)

'

'

xyS

Sdxy

(A.76 b)

ou seja

)ˆ,ˆcos( knSdxyS

(A.77)

Projetando-se S no plano x-z, obtém-se )ˆ,ˆcos(' jnSS xz , e assim

'

'

xzS

Sdxz

(A.78)

Então,

Sjnz

uSkn

xu

dxuP

x

P

xx

)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( (A.79)

As outras integrais são calculadas de forma similar. Assim, a integral em (A.74) conduz a

)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( kny

ux

ujn

xu

zu

inz

uy

uSrdu

P

xy

P

zx

P

yz

S

(A.80)

Dado que S é a superfície fechada que limita o volume V, define-se (independentemente do sistema de coordenadas)

S

rdunu C

S

0limˆ)( x (A.81)

onde

kknjjniinn ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ (A.82) obtém-se o rotacional do vetor u

ky

ux

uj

xu

zui

zu

yuu

P

xy

P

zx

P

yz ˆˆˆ

x (A.83)

Simbolicamente, pode-se escrever (A.83) na forma de determinante:

zyx uuuzyx

kjiu ///

ˆˆˆx (A.84)

a qual é válida somente em coordenadas retangulares. _____________________________________________________________________________ Exemplo 2: Discutir a seguinte interpretação: a designação rotacional está relacionada com a presença de rotação associada a um vetor. Solução: Por exemplo, considere-se um ponto P de um corpo rígido que gira em torno de um eixo , como mostra a Fig.A.13. A velocidade angular é um vetor da direção de , que obedece a regra da mão direita.

P

r

0

Figura A.13 – Rotação em torno do eixo .

A velocidade linear do ponto P é rxsenrv

onde

kzjyixr ˆˆˆ

kji zyxˆˆˆ

Então, a velocidade linear tem expressão

kxyjxziyzv yxzxzyˆ)(ˆ)(ˆ)(

e, portanto,

2ˆ2ˆ2ˆ2

)()()(

///

ˆˆˆ

kji

xyxzyzzyx

kjiv

xyx

yxzxzy

x

Desta forma

v

x2

1

A conexão entre o rotacional de v e a ocorrência de rotação é evidente. Se vx for nulo, implica que não existe rotação do corpo rígido em torno do eixo .

Um importante teorema pode ser obtido partindo-se (A.81)

S

zyC

xC

Sdudzudyudxurdu

x (A.85)

o qual constitui o Teorema de Stokes. Com o auxílio da definição de gradiente (A.17), observa-se que

0ˆˆˆ222222

xyyx

kzxxz

jyzzy

i x (A.86)

aplicando-se o Teorema de Schwartz. Portanto, u é irrotacional se e somente se u for conservativo ( u = ). _____________________________________________________________________________ Exemplo 3: Interpretar fisicamente o que expressa o rotacional. Solução: Na Fig.A.14 a) ilustra-se um dispositivo (o medidor de rotacional) que indica que o rotacional é não-nulo a medida em que gira devido a ação de movimento das pás. Na Fig. A.14 b), mostra-se o fluxo de velocidade da água num rio, sendo nulo nas margens e máximo no centro. O medidor de rotacional gira no sentido anti-horário para y>0, evidenciando que

vx >0, e, gira no sentido horário em y<0, onde vx <0.

(a)

y

x

+a

-a

v 0vx

0vx

0vx

MARGEM

MARGEM

RIO

(b) Figura A.14 – Medidor de rotacional. a) Movimento de pás. b) Fluxo de água num rio.

Exemplo 4: O campo de velocidade na Fig. A.14 b) é igual a xyav ˆ)( 22

. Calcular os valores do rotacional em y=-a, o e +a. Solução: As componentes do vetor velocidade são: 22 yavx , 0 zy vv . Então, aplicando (A.84) calcula-se

zavay

ˆ

x

00

y

vx

zavy

ˆ0

x

A.3.7- Laplaciano O Laplaciano escalar é definido como 2 (A.87) e assim, substituindo-se (A.17) e executando-se o produto escalar (isto é válido apenas no sistema de coordenadas retangulares) obtém-se

2

2

2

2

2

22

zyx

(A.88)

Por outro lado, o Laplaciano do vetor u é definido a partir de suas componentes por

zyx ukujuiu 2222 ˆˆˆ

(A.89)

A.3.8- Propriedades Gerais As propriedades abaixo são válidas em quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais: a) )( (A.90 a)

b) )( (A.90 b)

c) 2

)()(

(A.90 c)

d) 1nn n (A.90 d) e) vuvu

)( (A.90 e)

f)

uuu)( (A.90 f) g) uuu xxx )( (A.90 g)

h)

uuu (A.90 h) i) vuuvvu

xxx )( (A.90 i)

j) vuvu xxx )( (A.90 j) k) )()()()()( uvvuvuuvvu

xx (A.90 k)

l) )()()()()( uvvuuvvuvu

xxxx (A.90 l)

m) 0 x (A.90 m)

n) 0 u x (A.90 n)

o) uuuuu

2)()()( xx (A.90 o)

A.4- Coordenadas Curvilíneas Em geral o operador conforme definido em (A.17) atua como vetor somente no sistema de coordenadas retangulares. Neste caso, u funciona como um produto escalar entre e u

,

e, ux funciona como um produto vetorial. Como será observado a seguir, o mesmo não é válido para sistemas de coordenadas esféricas ou cilíndricas.

Normalmente, num sistema de coordenadas genérico um ponto no espaço pode ser representado por três parâmetros , m e n. A análise a seguir será desenvolvida com o auxílio da Fig. A.15.

plano n

planoplano m

curva n

curva

curva m

curva z

curva x curva y

plano xplano y

plano z

m0

0

n0

i j

k

^ ^

^

^

^

^

r

P

O

Figura A.15 – Curvas , m e n no sistema curvilíneo.

Mantendo-se m e n constantes e variando-se obtém-se uma curva que passa por P, chamada curva de "". De forma similar, definem-se as curvas de "m" e "n ". Os vetores unitários

ao longo das tangentes a estas curvas são 000 ˆeˆ,ˆ nm . Os eixos podem ser ortogonais ou

não, e a orientação relativa entre os versores pode não ser constante. Seja o vetor associado a PO que, segundo o sistema x,y,z é representado por r

knmzjnmyinmxr ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(

(A.91) Assim,

kdzjdyidxrd ˆˆˆ

(A.92) onde

dnnxdm

mxdxdx

(A.93 a)

dnnydm

mydydy

(A.93 b)

dnnzdm

mzdzdz

(A.93 c)

Deslocando-se (por exemplo) ao longo da curva de "" (dm = dn = 0), vem:

dkzjyix

kdzjdyidxrdnmnm

.)ˆˆˆ(

)ˆˆˆ(,,

(A.94)

a partir da qual obtém-se

kzjyixrdrd

nm

ˆˆˆ,

(A.95)

um vetor ao longo de 0 , onde

2/12220])/()/()/[(

ˆ/ˆ/ˆ/

/

zyx

kzjyixrr

(A.96)

Chamando-se

2/1222

zyxrh (A.97)

então, o comprimento elementar de arco, dr, obtido quando somente varia é dado por

dhrddsnm

,

(A.98)

e não apenas por d. A partir de (A.96) e (A.97) deduz-se que

0

hr

(A.99)

Analogamente,

mh

kmzjmyimxm

ˆ/ˆ/ˆ/ˆ 0

(A.100 a)

nh

knzjnyinxn

ˆ/ˆ/ˆ/ˆ0

(A.100 b)

onde

2/1222

mz

my

mxhm (A.101 a)

2/1222

nz

ny

nxhn (A.101 b)

Da equação (A.99) para a variável , e similares nas direções m e n, obtém-se que

000 ˆˆˆ ndnhmdmhdh

dnnrdm

mrdrrd

nm

(A.102)

Agora, se os versores 000 ˆeˆ,ˆ nm forem ortogonais, então, de (A.102) deduz-se que

2/1222222 ][ dnhdmhdhrdds nm

(A.103)

Uma forma alternativa de escrever h, hm e hn baseia-se no seguinte fato: se y = f(x), então, sua inversa é dada por x=f -1(y)=g(y), e, y = f [g(y)]. Aplicando-se a regra da cadeia, mostra-se que

dxdy

dydg

dgdf

dxdy

(A.104)

e assim,

)/(

1

dydgdgdf

(A.105)

Como f=y e g=x, então

)/(

1

dydxdxdy

(A.106)

em termos de diferenciais totais. Como se sabe, num sistema de coordenadas retangulares

sdsd

ˆ (A.107)

ou

sdsddds

ˆ1

/

1

(A.108)

Seja =, isto é, uma curva . Então, (A.98) e (A.108) conduzem a

dh

sdds

ˆ (A.109)

no sistema curvilíneo.

Se o sistema curvilíneo for ortogonal, então, 000 ˆeˆ,ˆ nml são perpendiculares entre si.

Numa curva-, os m e n são constantes (dm=dn=0), como representado na Fig.A.16..

0curva

curva n

curva m

(m0,n0)

m0

n0

0= s

^

^

^m0^

n0^

^

Figura A.16 – Desenho da curva .

Como aponta na direção de maior variação de , então, está na direção do próprio , ou seja, // s , em cada ponto. Assim, (A.109) gera

dhdds

(A.110)

e assim,

2/1222

2

2 11

zyx

hl

(A.111)

e, analogamente,

2/1222

2

zm

ym

xmhm (A.112)

2/1222

2

zn

yn

xnhn (A.113)

em termos de derivadas em x, y e z. _____________________________________________________________________________ Exemplo 5: Calcular as métricas h, hm e hn para os sistemas de coordenadas retangular, cilíndrico e esférico. Solução: Na Fig.A.17 ilustra-se os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas relativamente ao sistema de coordenadas retangular

P

z

r

x

y

z

(a)

P

R

x

y

z

(b)

Figura A.17 – Sistemas de coordenadas curvílineas. a) Coordenadas cilíndricas. b) Coordenadas esféricas.

a) Para o sistema retangular, tem-se que (, m, n)=(x, y, z), então, aplicando-se (A.97) a

(A.101a-b) mostra-se que

h = hx =1, hm = hy = 1, hn = hz = 1

b) Para o sistema cilíndrico, (, m, n)=(r, , z), tal que x = r.cos, y = r.sene z=z. Portanto, aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas

h = hr = 1, hm =h = r, hn =hz = 1

c) Para o sistema esférico, (, m, n)=(r, ), tal que x = R.sen cos, y = R.sen sen e z=R.cos. Portanto, aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas

h = hr = 1, hm =h = R, hn =hz = R.sen

A.4.1- O Gradiente no sistema curvilíneo A diferencial total no sistema ortogonal , m, n vale:

dnn

dmm

dll

d

(A.114)

Usando novamente a propriedade (A.18 b), ou seja rdd

, a qual é válida para sistemas ortogonais

dnhnh

dmhmh

dhh

drd nn

mm

111

(A.115)

Usando (A.102) conclui-se que deve possuir a seguinte forma, a fim que (A.115) seja satisfeita:

000 ˆ1

ˆ1ˆ1 n

nhm

mhh nm

(A.116)

A.4.2- O Divergente no sistema curvilíneo Por sua vez, o divergente no sistema curvilíneo é calculado usando-se a definição (A.61). A partir de (A.98), é construída a Fig. A.18.

curva n

curva lcurva m

A

BC

D

hmdm

h dhndn

Figura A.18 – Cálculo do fluxo que atravessa a face ABCD. O fluxo na direção 0 , que atravessa a área ABCD, é dada por dndmhhudnhdmhu nmnmABCD )( (A.117)

Expandindo-se (uhmhn) em Série de Taylor

)()()()( PP

nmP

P

nmP

P

nm

Pnmnm nn

nhhumm

mhhuhhuhhuhhu

(A.118)

pois hm, hn também são funções de , m e n. Seguindo uma análise semelhante a desenvolvida na seção A.3.5, o fluxo será

dndmdhhuP

nm ..)(

(A.119)

Considerando-se as contribuições das outras quatro faces, e dividindo-se pelo volume

dnhdmhdhV nm .. , obtém-se finalmente

)()()(1

nmnmnmnm

hhun

hhum

hhuhhh

u

(A.120)

o divergente no sistema (, m, n).

A.4.3- O Rotacional no sistema curvilíneo O rotacional no sistema curvilíneo é calculado por

Srdu

uS

0

0 limˆ)( x (A.121)

Considerando-se um elemento de malha da Fig.A.19.

curva n

curva m

A

B

C

D u

umun

uhndn

hmdm

0ds

Figura A.19- Figura usada no cálculo da circulação no caminho ABCD.

A

D

D

C

C

B

B

A

rdurdurdurdurdu

(A.122)

O vetor u

no sistema (, m, n) é escrito como:

000 ˆˆˆ numuuu nml

(A.123)

Primeiramente, avalia-se a soma de integrais

dnhuhu

dnhudnhurdurdu

ADnnBCnn

ADnnBCnn

A

D

C

B

].)()[(

)()(

(A.124)

pois dn é o mesmo para os trechos BC e AD. Expandindo-se unhn no caminho BC em Série de Taylor,

)()()( ADAD

nnAD

AD

nnAD

AD

nn

ADnn

BCnn nn

nhu

mmmhuhu

huhu

(A.125) Sobre AD e BC, tem-se -AD=0, n-nAD=0, m-mAD=dm. Então, a partir de (A.125) obtém-se

dmmhu

huhuAD

nn

ADnn

BCnn

(A.126)

e assim, (A.124) conduz a

dndmmhu

rdurdu nnA

D

C

B

.

(A.127)

Analogamente, mostra-se que

dndmnhu

dmhudmhurdurdu

nn

ABmmCDmm

B

A

D

C

.)(

)()(

(A.128)

Portanto, de (A.122), (A.127) e (A.128) obtém-se

dndmnhu

mhu

dnhdmhS

rdunnnn

nm

...

1

(A.129)

De forma similar, calcula-se as demais componentes 0ˆ)( mu

x e 0ˆ)( nu x . A partir

daí, conclui-se que o rotacional total deve ser da forma:

000 ˆ.1

ˆ.1ˆ.

1 nmhu

lhu

hhm

lhu

nhu

hhl

nhu

mhu

hhu llmm

ml

nnll

ln

mmnn

nm

x

(A.130) A.4.4- O Laplaciano escalar no sistema curvilíneo O Laplaciano escalar em coordenadas curvilíneas pode ser obtido por

nh

hhnmh

hhmh

hhhhh n

m

m

nnm

nm

12 (A.131)

_____________________________________________________________________________ Exemplo 6: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de coordenadas cilíndricas (, m, n) = (r, , z). Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas (A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, rotacional e laplacianos:

zzff

rr

rff ˆˆ1

ˆ

zuu

rrur

ru zr

)()(1)(1

zu

rur

rru

zu

rz

uur

ux rzrz ˆ)()(1ˆ)()(

ˆ)()(1

2

2

2

2

22

22 11

zff

rrf

rrff

zuru

ur

urruu

ruu zr

rr ˆˆ]

2[ˆ]

2[ 2

222

2222

(conferir estes resultados!). Exemplo 7: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de coordenadas esféricas (, m, n) = (R, ). Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas (A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, rotacional e laplacianos:

ˆ.

1ˆ1ˆ

f

senRf

RR

Rff

)(

.

1cot

)(12)( usenR

guu

RRu

Ru

u RR

ˆ1ˆ.

1ˆcot.

.

11

Ruu

RRu

Ru

Ruu

senRR

Rguu

senRu

Rux RR

2

2

222

2

2

2 111

f

senRfsen

senRRfR

RRf

ˆ]12cos2

[

ˆ]2cos22

[

ˆ]22

)(2

[

222222

222222

22222

usenr

usenr

usenr

u

usenr

usenr

ur

u

rur

usenr

usensenr

uu

r

r

rr

(conferir estes resultados!).

É importante ressaltar que as propriedades deduzidas com o sistema de coordenadas generalizadas não se aplicam somente aos sistemas esférico e cilíndrico, mas também, a outros sistemas como, por exemplo, ao sistema de coordenadas parabólicas, ao sistema cilíndrico-parabólico, às coordenadas paraboloidais, ao sistema cilíndrico-elíptico, ao sistema esferoidal prolato, esferoidal oblato, às coordenadas bipolares, coordenadas toroidais, coordenadas cônicas, às coordenadas elipsoidais confocais, paraboloidais confocais, dentre outras.

A.5 Algumas Identidades Envolvendo Integrais Antes de se concluir este apêndice, apresenta-se abaixo algumas identidades obtidas do cálculo vetorial, e que podem ser importantes no estudos de eletromagnetismo avançado: a) Teorema do gradiente

V S

dSdV (A.132 a)

Primeira identidade de Green

SV

SddV

)()}()({ 2 (A.132 b)

c) Segunda identidade de Green

SV

SddV

)(}{ 22 (A.132 c)

d) Vários teoremas integrais

uSddVuSV

xx )( (A.132 d)

SV

SduuSdudVuuuxux ]2

1)[(])[(

2

(A.132 e)

SC

Sdrd x (A.132 f)

Os resultados aqui apresentados são particularmente úteis ao estudo de propagação de ondas eletromagnéticas, guiadas ou irradiadas. Estes resultados também podem ser úteis em estudos de propagação de ondas elásticas em meios isotrópicos gasosos, líquidos ou sólidos, à propagação de ondas térmicas por condução, convecção e radiação, etc. Para maiores detalhes, sugere-se ao leitor pesquisar na bibliografia abaixo selecionada. A.6 Bibiografia [1] Wylie, C.R., Barrett, L.C., Advanced Engineering Mathematics, fifth edition, McGraw- Hill, 1982. [2] Butkov, E., Física Matemática, Guanabara Koogan, 1988. [3] Sadiku, M.N.O, Electromagnetics, second edition, Saunders College Publishing, 1994. [4] Johnk, C.T.A., Engineering Electromagnetic Fields and Waves, John Wiley & Sons, 1988.