NOTAS DE AULA - LGEBRA LINEAR ESPAOS VETORIAIS TRANSFORMAES LINEARES ISABEL C. C. LEITE SALVADOR BA 2007 Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear1 ESPAOS VETORIAIS

Definio: Seja um conjunto V, no vazio, sobre o qual esto definidas as operaes adio e multiplicao por um escalar, ou seja, u, v V, u + v V R, u V, u V. O conjunto V com essas duas operaes chamado espao vetorial real (ou espao vetorial sobre R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas: A) Em relao adio: u, v, w V A1) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u + v = v + u A3) 0 V tal que u + 0 = u A4) u V tal que u + (u) = 0 M) Em relao multiplicao por escalar: u, v V e , R M1) () u = (u)M2) ( + ) u = u + u M3) (u + v) = u + v M4) 1u = u Exemplos: 1.V=R={(x,y)/x,yR}umespaovetorialcomasoperaesusuaisdeadioe multiplicao por escalar: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (x, y) = (x, y) 2.OsconjuntosR,R4,...,Rnsoespaosvetoriaiscomasoperaesusuaisdeadioe multiplicao por escalar. 3.V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais. Em particular: 3.1. V = M(n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n; 3.2. V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij R}, tambm identificado com V = Rn so espaos vetoriais relativamente s mesmas operaes. 4.O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x + ... + anxn; ai R} dos polinmios com coeficientes reais de graun,emrelaosoperaesusuaisdeadiodepolinmiosemultiplicaopor escalar. Em particular, o conjunto dos polinmios de grau menor ou igual a 2, P2 = {a0 + a1x + a2x; ai R} um espao vetorial relativamente s mesmas operaes. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear2 Propriedades dos espaos vetoriais Da definio de espao vetorial V decorrem as seguintes propriedades: i.Existe um nico vetor nulo em V (elemento neutro da adio). ii.Cada vetor u V admite apenas um simtrico (u) V. iii.Para quaisquer u, v, w V, se u + v = u + w, ento v = w. iv.Qualquer que seja v V, tem-se (v) = v. v.Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente um w V tal que u + w = v. Esse vetor w ser representado por w = v u. vi.Qualquer que seja v V, tem-se 0v = 0. vii.Qualquer que seja R, tem-se 0 = 0. viii.Se v = 0, ento = 0 ou v = 0. ix.Qualquer que seja v V, tem-se (1)v = v. x.Quaisquer que sejam u, v V e R, tem-se ()v = (v) = (v). SUBESPAOS VETORIAIS DefinioDado um espao vetorial V, um subconjunto W, no vazio, um subespao vetorial de V se: i.Para quaisquer u, v W tem-se u + v W. ii.Para qualquer R, u W, tem-se u W. Observaes 1.As condies da definio garantem que ao operarmos em W no obteremos um vetor fora de W. De modo que W ele prprio um espao vetorial. 2.QualquersubespaoWdeVprecisanecessariamenteconterovetornulo(condio(ii)para 0 = ). 3.Todoespaovetorialadmitepelomenosdoissubespaos(chamadossubespaostriviais),o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o prprio espao vetorial. Exemplos 1.Sejam V = R e W = {(x, 2x); x R}. Evidentemente, W , pois (0,0) W. Verifiquemos as condies (i) e (ii). Para u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) W, tem-se: i.u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 +x2)) W, pois a segunda componente de u + v igual ao dobro da primeira. ii.u = (x1, 2x1) = (x1, 2(x1)) W, pois a segunda componente de u igual ao dobro da primeira. Portanto,WumsubespaovetorialdeRquerepresentageometricamenteumaretaque passa pela origem. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear3 Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta que passa pela origem, o vetor soma aindaumaretaquepassapelaorigem.Esemultiplicarmosumvetorudaretaporum nmero real , o vetor uainda estar nesta reta. O mesmo no ocorre quando a reta no passa pela origem. Por exemplo, a retaW = {(x, 4 2x); x R}no um subespao vetorial do R.Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, 0) de W,temos u + v = (3, 2) W. Ainda u W, para 1. Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto W de um espao vetorial V,que:sempreque0W,WnosubespaodeV.Noentanto,se0Wnonos enganemos pensando de imediato que W seja subespao de V, pois ser necessrio verificar as propriedades (i) e (ii). ParaV=R,ossubespaostriviaisso{(0,0)}eoprprioR,enquantoqueosoutros subespaos (subespaos prprios) so as retas que passam pela origem. 2.Sejam V = R4 e W = {(x,y,z,0); x,y,z R}. (0,0,0,0) W Para u = (x1, y1, z1, 0) e v = (x2, y2, z2, 0) W: i.u+v=(x1,y1,z1,0)+(x2,y2,z2,0)=(x1+x2,y1 +y2,z1+z2,0)W,poisaquarta componente nula. ii.u = (x1, y1, z1, 0) = (x1, y1, z1, 0) W, pois a quarta componente nula. Logo, W subespao vetorial de R4. 3.Sejam V = M(3,1) e W o conjunto-soluo de um sistema linear homogneo a trs variveis. Consideremos o sistema homogneo = + += + += + +00033 32 3123 22 2113 12 11z a y a x az a y a x az a y a x a Fazendo: ((((

=((((

=((((

=0000 X , A33 32 3123 22 2113 12 11ezyxa a aa a aa a a,osistema,emnotaomatricial,serdado por AX = 0, sendo X elemento do conjunto-soluo W. Se ((((

= =((((

= =22221111X v e X uzyxzyx so solues do sistema, ento: AX1 = 0 e AX2 = 0. i.Somando essas igualdades, vem:AX1 + AX2 = 0 ou A(X1 + X2) = 0 X1 + X2 W, isto , a soma de duas solues ainda uma soluo do sistema. ii.Multiplicando por R a primeira igualdade, vem: (AX1) = 0 ou A(X1) = 0 X1 W, isto , o produto de uma constante por uma soluo ainda uma soluo do sistema. Logo,oconjunto-soluoWdosistemalinearhomogneoumsubespaovetorialde M(3,1). Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear4 Exerccios 1.Verifique se os seguintes conjuntos so espaos vetoriais.OBS: Os smbolos e, quando utilizados, so para indicar que a adio e a multiplicao por escalar no so usuais. a)V = {(x, x); xR} com as operaes definidas por: (x1, x1) (x2, x2) = (x1 + x2, (x1 + x2)) (x, x) = (x, x) b) V = *+Rcom as operaes definidas por xy = xy e x = x,x, y V. 2.Verifiqueseosseguintessubconjuntosdosespaosvetoriaisdadossosubespaosvetoriais destes. a)( ) { } x y R y x W = =, ,2 2R b)) ( , ;0 02R M R b ab aW )`((

= INTERSECO DE SUBESPAOS VETORIAIS Definio Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. W = W1 W2 = {v V; v W1 e v W2} Teorema:AintersecoWdedoissubespaosvetoriaisW1eW2 deVtambmumsubespao vetorial de V. Exemplos: 1. V = M(2,2), W1 = )`= =((

0 , ; c b d ad cb ae W2 = )`= = =((

0 , ; b d c ad cb a, ou seja, W1 = )`((

db b d0 e W2 = )`((

' '0 'a aa Para encontrarmos W1 W2, as condies de W1 e de W2 devem ser satisfeitas simultaneamente. Assim temos:== === a' d - b d da'a' b 000. Portanto W1 W2 = )`((

0 00 0. 2. V = P2(R), espao dos polinmios reais de grau menor ou igual a 2. V = {a + bx + cx; a, b, c R} W1 = {a + bx + cx; a 2b + c = 0} e W2 = {a + bx + cx; a = 0} W1 W2 = {a + bx + cx; 2b + c = 0, a = 0} Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear5 SOMA DE SUBESPAOS VETORIAIS Definio Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. W = W1 + W2 = {u + w V; u W1 e w W2} Teorema: A soma W de dois subespaos vetoriais W1 e W2 de V tambm um subespao vetorial de V. Considerando os mesmos espaos e respectivos subespaos dos exemplos anteriores: 1. ((

+ +=((

+((

d a ab b d aa aadb b d' ''' '0 '0 W1 + W2 = )`((

R c b ac ab b c, , ' ;' ou W1 + W2 = )` =((

y w xw zy x;2. Sejam p = 2b c + bx + cx2 W1 e q = bx + cx2 W2. p + q = (2b c) + (b + b)x + (c + c) x2. Como no existe nenhuma relao de dependncia entre os valores 2b c, b + b e c + c, W1 + W2 um polinmio qualquer de P2(R). W1 + W2 = P2(R). SOMA DIRETA DE SUBESPAOS VETORIAIS Definio Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. Diz-se que V soma direta de W1 e W2 , e se representa porV = W1 W2, se V = W1 + W2 e W1 W2 = {0}. Teorema:Se V soma direta de W1 e W2 todo vetor v V se escreve de modo nico na forma v = u + w, onde u W1 e w W2. Exemplo: Sejam V = R3 , ou seja, V = {(a,b,c); a,b,c R} e os seus subespaos W1 = {(a, b, 0); a, b R} eW2 = {(0,0,c); c R}. R3 soma direta de W1 e W2, pois W1 + W2 = {(a,b,c); a,b,c R}e W1 W2 = {(0,0,0)}. Confirmando o teorema acima, v = (a,b,c) R3, (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c), escrito de modo nico. Exerccio: Sejam W1 = )`= =((

c b d ad cb a e ; e W2 = )`= =((

d b c ad cb a e ; subespaos de M2(R). Determine W1 W2, W1 + W2 e verifique se M2(R) = W1 W2. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear6 COMBINAO LINEAR Sejam os vetores nv v v , , ,2 1Kdo espao vetorial V e os escalares na a a , , ,2 1K . Qualquer vetor v V da forma n nv a v a v a v + + + = K2 2 1 1 uma combinao linear dos vetores nv v v , , ,2 1K . Exemplo:EmP2,opolinmio7 5 52+ = t t p umacombinaolineardospolinmios , 1 221+ = t t p 22+ = t pet t p =232 , pois 3 2 12 3 p p p p + + = . Exerccios 1)Escrever) 6 , 3 , 4 ( = vcomo combinao linear de( ) 2 , 3 , 11 = ve( ) 1 , 4 , 22 = v . 2)Paraquevalordekamatriz ((

=kA014 8combinaolinearde ((

=2 03 21A e ((

=4 02 12A ? 3)Mostrarqueovetor( ) 4 , 3 = v Rpodeserescritodeinfinitasmaneirascomocombinao linear dos vetores( ) 0 , 11 = v ,( ) 1 , 02 = ve( ) 1 , 23 = v . SUBESPAOS GERADOS Sejam V um espao vetorial e{ } =nv v v A , , ,2 1K V, A . O conjunto W de todos os vetores de V que so combinao linear dos vetores de A um subespao vetorial de V. W ={ } R a a a v a v a v a v vn n n + + + = , , , ; ; V2 1 2 2 1 1K K dito subespao gerado pelo conjunto A. Notao: W = [nv v v , , ,2 1K ] ou W = G(A). Observaes: 1) nv v v , , ,2 1Kso ditos vetores geradores do subespao W. 2)Por definio: A = [] = {0}. 3)A G(A), ou seja,{ }nv v v , , ,2 1K [nv v v , , ,2 1K ]. 4)TodosubconjuntoAdeVgeraumsubespaovetorialdeV,podendoocorrerG(A)=V. Nesse caso, A o conjunto gerador de V. 5)SejaW=[nv v v , , ,2 1K ].AoacrescentarmosvetoresdeWaoconjuntodosgeradores,os novos conjuntos continuaro gerando o mesmo subespao W. 6)Aobservao5nospermiteconcluirqueumespaovetorialpodesergeradoporuma infinidade de vetores, mas existe um nmero mnimo de vetores para ger-lo. Exemplos: 1)i = (1,0) e j = (0,1) geram o R, pois (x,y) = x(1,0) + y(0,1), x, y R. 2)i=(1,0,0)ej=(0,1,0)geramosubespaodoR:W={(x,y,0)R;x,yR}que geometricamente representa o plano x0y. 3)i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o R, pois (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1), x, y, z R. 4)i = (1,0,0), j = (0,1,0) e v = (3,4,0) geram o subespao do R: W = {(x,y,0)R; x, y R}. 5)u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o subespao do R: W = {(x,y,z)R; x - 4y -2z = 0} Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear7 6) )`((

((

=1 11 3,3 22 1Agera o subespao de M2(R): W)`((

+ = R y xy x yy x, ;2. ESPAOS FINITAMENTE GERADOS Um espao vetorial V finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A V, tal que V = G(A). Todososexemplosdeespaosvetoriaisvistosatagorasoexemplosdeespaosfinitamente gerados.UmexemplodeespaovetorialnofinitamentegeradooespaoPdetodosos polinmios reais. DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR Sejam V um espao vetorial,{ } =nv v v A , , ,2 1K V e02 2 1 1= + + +n nv a v a v a K . O conjunto A diz-se linearmente independente (L.I.) ou os vetores nv v v , , ,2 1K so ditos L.I., caso a equao acima admita apenas a soluo trivial0 , , 0 , 02 1= = =na a a K . Seexistiremsolues0 ia paraalgumi=1,2,...,n,diz-sequeoconjuntolinearmente dependente (L.D.) Exemplos: a)Em V = R, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) so L.D., pois podemos escrever a combinao linear 3u + 4v w =0. b)EmV=P3(R),ospolinmios 3 223 213 5 , 4 3 2 2 x x x p x x x p + = + + + = e 3 232 4 x x p = so L.I., pois03 3 2 2 1 1= + + p a p a p asomente quando. 03 2 1= = = a a ac)Em V = R, i = (1,0) e j = (0,1) so L.I. d)Em V = R, i = (1,0), j = (0,1) e v = (3,-2) so L.D., pois podemos escrever a combinao linear 3i + 2j + v = 0. Ateno: Faa os clculos que conferem as afirmaes acima. Teorema Um conjunto{ }nv v v A , , ,2 1K = L.D. se, e somente se, pelo menos um desses vetores combinao linear dos outros. Ou, equivalentemente, um conjunto{ }nv v v A , , ,2 1K = L.I. se, e somente se, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinao linear dos outros. Do teorema acima podemos concluir que para o caso particular de dois vetores, temos que: u e v so L.D. se, e somente se, um vetor mltiplo escalar do outro. Exemplo: )`((

((

=9 126 3,3 42 1A M2(R)umconjuntoL.D.,poispodemosescreveracombinao linear ((

=((

((

0 00 09 126 33 42 13 . Notemos que ((

=((

3 42 139 126 3. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear8 Exerccio: Verifique se so L.D. os seguintes conjuntos. 1){ } + + +2 2 27 4 3 , 3 2 , 2 1 x x x x x x P2(R) 2)( ) ( ) { } 3 , 1 , 1 , 2 R PROPRIEDADES DA DEPENDNCIA E DA INDEPENDNCIA LINEAR Seja V um espao vetorial. 1.Se A = {v} V e v 0, ento A L.I. 2.Considera-se por definio que o conjunto vazio L.I. 3.Se um conjunto A V contm o vetor nulo, ento A L.D. 4.Se uma parte de um conjunto A V L.D., ento A tambm L.D. 5.Se um conjunto A V L.I., ento qualquer parte de A tambm L.I. Observemos que a recproca desta afirmao no verdadeira. De fato, voltando ao exemplo (d), A = {(1,0), (0,1), (3,-2)} temos que qualquer subconjunto prprio de A L.I.A1 = {(1,0)}, A2 = {(0,1)}, A3 ={(3,-2)}, A4 = {(1,0), (0,1)}, A5 = {(1,0), (3,-2)}, A6 = {(3,-2), (0,1)} Porm verificamos que o conjunto A LD. 6.Se{ }nv v v A , , ,2 1K = L.Ie{ } w v v v Bn, , , ,2 1K = L.D.,entowcombinaolineardos vetores nv v v , , ,2 1K . BASE DE UM ESPAO VETORIAL Um conjunto B = } , , , {2 1 nv v v KV uma base do espao vetorial V se: i)B LI; ii)B gera V. Exemplos: 1) B = {(1, 1), (-1, 0)} base do R2. OBS: quaisquer dois vetores no colineares do R2, portanto LI formam uma base desse espao. 2) B = {(1, 0), (0, 1)} base do R2 , denominada base cannica. 3) B ={ }ne e e , , ,2 1K base cannica do Rn, onde ( ) ( ) ( ) 1 , , 0 , 0 , , 0 , , 0 , 1 , 0 , 0 , , 0 , 0 , 12 1K K K K = = =ne e eso vetores LI e . como escrito serpode R2 2 1 1nn ne x e x e x v v + + + = K 4) )`((

((

((

((

=1 00 0,0 10 0,0 01 0,0 00 1B base cannica de M2(R). 5) B ={ }nt t t , , , , 12K base cannica do espao vetorial Pn e tem n + 1 vetores. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear9 6) B = {(1,2), (-2, -4)} no base do R2, pois LD. 7) B = {(3, -1)} no base do R2, pois no gera todo R2. Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem. W = [(3, -1)] = {(x, y) R2; x = -3y} 8)B={(1,2,1),(-1,-3,0)}nobasedoR3,poisnogeratodoR3.BgeraosubespaodoR3 ( ) { } 0 3 ; R , , W3= = z y x z y xe por ser LI base de W. OBS: Todo conjunto LI de um espao vetorial V base do subespao por ele gerado. Teorema: Se B =} , , , {2 1 nv v v K for uma base de um espao vetorial V, entoi)todo conjunto com mais de n vetores ser LD; ii)todo conjunto com menos de n vetores no gera V. Corolrio: Duas bases quaisquer de um mesmo espao vetorial tm o mesmo nmero de vetores. DIMENSO de um espao vetorial: o nmero de vetores da base de um espao vetorial. Exemplos: 1)dim R2 = 2 2)dim Rn = n 3)dim M2(R) = 4 4)dim M(m,n) = mn 5)dim Pn = n + 1 6)dim {0} = 0 , pois {0} gerado pelo conjunto vazio e portanto no possui base. Observaes: 1)dim V = n e W subespao de V dim W n No caso de dim W = n, ento temos que W = V. Ex: V = R3, dim V = 3. A dimenso de qualquer subespao W do R3 s poder ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto temos: a.dim W = 0, ento W = {(0,0,0)} a origem. b.dim W = 1, ento W uma reta que passa pela origem. c.dim W = 2, ento W um plano que passa pela origem. d.dim W = 3, ento W = R3. 2)Se dim V = n, ento qualquer subconjunto de V com mais de n vetores LD. 3)SesoubermosqueadimV=n,paraobtermosumabasedeVbastaqueapenasumadas condies de base esteja satisfeita, pois a outra ocorrer como conseqncia. Ou seja: a.Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI uma base de V. b.Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V uma base de V. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear10 EXERCCIOS 1. Verifique se os conjuntos abaixo so subespaos de 2 = V . a)( ) { }. real constante , , ,2a ax y y x W = =c)( ) { }3 2 , , x y y x W = =b)( ) { } x y y x W = =, ,2.d)( ) ( ) { } x sen y y x W = =, ,2 2. Dados os espaos vetoriais abaixo diga, em cada caso, se W subespao vetorial de V sobre. a) 3 = V . a.1)( ) { } 1 , , ,3= + + = z y x z y x W . a.2)( ) { } z y x z y x W + = = 2 , , ,3. a.3)( ) { } 0 . , , ,3= = y x z y x W . c)( ) =2P V . c.1){ } 0 2 ,2= + + + = c b a V c bt at W . c.2){ } 4 ,2= + + = c V c bt at W . b)( ) =2M V . b.1){ } V T TA AT V A W em fixada , , = = . b.2){ } A A V A W = =2 , . b.3){ } inversvel , A V A W = . d)( ) = , F V .Espaodasfunescontnuasde em . d.1)( ) ( ) { } x f x f V f W = =, . d.2)( ) { } 0 3 , = = f V f W . 3. Seja( ) =2M Ve sejam{ } { } A A V A W A A V A Wt t = = = =, e ,2 1. Mostre que: a) 2 1 e W Wso subespaos de V; b) 2 1W W V + = ; 4. No exerccio anterior, mostre que 2 1W W V = . 5. Escreva, se possvel, cada vetor v como combinao linear dos elementos de S, sendo: a) )`|||

\||||

\||||

\||||

\|=|||

\|=5 91 4,0 10 0,3 00 0,0 02 3 e1 01 1S v . b)( ) ( ) ( ) { } 9 , 2 , 0 , 1 e 7 , 2 = = S v . c)( ) ( ) ( ) { } 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 2 e 3 , 0 , 0 = = S v . d) d)( ) { }3 2 2 3, 1 , t 3 , 2 e 1 + t + 4t + t t t S t p v = = = . e)( ) ( ) ( ) { } 3 cos e2 2,xS x sen x f v = = = . 6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaos: a)( ) { } 0 2 e 0 , , ,3= = + = y x z x z y x W . b)( ) { } 0 3 2 , , ,3= + = z y x z y x W . c)( ))`= |||

\|= 0 e 0 = c + ,2d a Md cb aW . d)( ) { } 0 e , d + ct + bt + at32 3= = = a c b P WProf. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear11 7.Seja{ } w v u , , umconjuntoL.I.devetoresdeumespaovetorialV.Mostreque { } w w v u w v u , 3 , 3 + + L.I. . 8. Determine k de modo que o conjunto( ) ( ) ( ) { }2, , 1 , , 1 , 1 , , 0 , 1 k k k kseja L.I. . 9. Mostre que os seguintes pares de vetores em V= ( ) , Fso L.I. . a)x , 1b) 2, x x c) x xe e x2, . d)( ) ( ) x x sen cos , 10. Verifique quais dos seguintes conjuntos: i) so L.I.ii) geram os espaos V considerados.iii) so bases dos espaos V considerados. a)( ) ( ) ( ) ( ) { }4V 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 = . b)( ) ( ) ( ) { }2V 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 = . c)( ) = )`|||

\| |||

\| |||

\||||

\|2V1 11 10 01 11 11 11 11 1 M ,,,. d)( ) = )`|||

\||||

\||||

\|3 2V0 1 00 0 00 0 00 0 30 0 20 2 0xM ,,. e){ } ( ) = +22V 1P t, t,t . f){ } ( ) = 22 2V 1 3 5P ,t ,t . 11. Determine uma base e a dimenso dos seguintes subespaos vetoriais: a)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 , , 3 , 2 , 0 , 7 , 2 , 5 , 0 , 0 , 0 , 1 = Wem3 = V . b)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 14 , 1 , 3 , 2 , 7 , 4 , 3 , 1 , 0 , 3 , 1 = Wem4 = V . c)( ) { }tA A M A W = =,2em ( ) =2M V . d) Os subespaos do exerccio 6. e)( ) ( ) [ ] ( ) = = , , os , F V x c x sen W . f)( ) = = , ], , , [3 2F V e e e Wx x x. 12. Encontre as equaes lineares homogneas que caracterizam os seguintes subespaos: a)( ) ( ) ( ) [ ] 1 , 2 , 1 , 1 , 0 , 3 , 0 , 1 , 2 = W em3 = V . b)( ) ( ) [ ] 4 , 2 , 4 , 2 , 1 , 2 = W em3 = V . c)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 = W em4 = V . Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear12 d) ((

|||

\||||

\||||

\|=0 41 3,0 11 2,0 10 1W em ( ) =2M V . e)[ ] 1 , 2 ,2 3t t t t W + = em ( ) =3P V . 13. Em cada caso a seguir, determine os subespaosU W U W + , de V e uma base para cada um dos subespaos encontrados: a) 4 = V( ) { }( ) { }= = == = + =0 e 0 , , , ,e 0 , , , ,w z V w z y x Wz w y x V w z y x U b) 3 = V( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) [ ] == =3 , 2 , 1 , 21 , 12 , 7 , 3 , 2 , 1 , 0 , 2 , 0e 0 , , ,Wx V z y x U c)( ) =2M V)`= = + |||

\|=)`= = + + |||

\|=0 , 0 3 ,e 0 , 0 2 ,w z y Vw zy xWz w y x Vw zy xU d) 3 = V( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ==2 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0e 3 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 2 , 0 , 1WU 14. Dados os vetores( ) ( ) ( ) 6 8 1 4 e 3 2 1 1 0 4 1 2 , , , t , , , , v , , , u = = = : a)Encontre uma base para[ ] u, v, t S = ; b) Escreva as equaes que caracterizam S; c)Que relao deve existir entre a e b para que( ) b a , 0 , , 0pertena a S ? d) Seja( ) [ ] 2 , 0 , 1 , 0 = Y . DetermineS Y ,( ) S Y + dime uma base paraS Y + . 15. Verifique seW U V = nos seguintes casos: a) 3 2xM V =)`= |||

\|=)`= = |||

\|=0 ,,d Vf e dc b aWf b a Vf e dc b aU b) 4 = V( ) { }( ) { }= = == + = = + =0 , , , ,0 , , , ,z x V w z y x Ww z y w x V w z y x U c) itens do exerccio 13o 16. Determine uma base do5 que contenha o conjunto( ) ( ) { } 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 . Justifique sua resposta. 17. Sendo( ) ( ) ( ) [ ] 1 , 12 , 7 , 1 , 5 , 3 , 3 , 2 , 1 = W , encontre um subespao U do 3tal queW U = 3. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear13 18. Sejam 2 1eW Wsubespaos do 5 . Sabendo-se que: ( ) 4 dim2 1= +W W ; ( ) ( ) { } 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 1 base de 1W ; ( ) ( ) ( ) [ ] 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 1 , 12 1 = W W . Determine a dimenso de 2W . Justifique a sua resposta. 19. Sabendo queW V = 4 e( ) ( ) [ ] 12 , 9 , 6 , 3 , 4 , 3 , 2 , 1 = V , determine a dimenso de W. Justifique. 20. Sejam V um espao vetorial de dimenso igual a 6, U e W subespaos de Vtais que: a)( ) ( ) 5 dim e 4 dim = = W U . Mostre que{ } 0 W U . b)( ) ( ) 4 dim dim = = W U . Encontre as possveis dimenses paraU W . 21. D, se possvel, exemplos de: a)Um conjunto L.I. de 3 vetores que no geram o3; b) Um conjunto L.D. de 3 vetores do( ) M2 ; c)Um subespao U de4 tal queU 4 e ( )dim U = 4 ; d) Dois subespaos W e Ude5 tais que ( ) ( )dim dim U W U W = = = 35e . Caso seja impossvel, justifique sua resposta. 22. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em relao s bases indicadas: a)( ) 3 5 4 ,,( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { } ==4 1 1 2 3 0 1 2 10 1 3 0 2 1 1 1 1,,,,,,,,B',,,,,,,,B b) |||

\| 0 12 1 ( ) =)`|||

\||||

\||||

\||||

\|=de cannica base0 10 01 00 00 00 10 01 12M B',,,B c)t t t 2 5 22 3 +{ }( ) =+ + =de cannica base3 232 2 3P B',t, t- , t t t B Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear14 Respostas 1.a) simb) noc) nod) no 2.a.1) noa.2) sima.3) noc.1) simc,2) no b.1) simb.2) nob.3) nod.1) simd.2) sim 5.a) 1 10 1353 20 0230 00 3950 01 0154 19 5|\

|| =|\

|| +|\

|| +|\

|| |\

||b)( ) ( ) ( ) 2 74910792 9 , , , = +c) no possvel. d)( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t3 2 2 34 1522133 4 1 1 + + + = + + +e) ( )( )sen cos2 21133 x x = + 6. a)( ) { } 2 1 2 , , b)( ) ( ) { } 2 10 3 01 , , , , , c) 1 01 00 10 0 |\

|| |\

||`),d){ } t t21 + , 8. k k 0 1e 10.a) i) L.I.ii) simiii) sim b) i) L.D.ii) simiii) no c) i) LD.ii) noiii) no d) i) L.I.ii) noiii) no e) i) L.I.ii) simiii) sim f) i) L.D.ii) noiii) no 11. a)( ) ( ) ( ) { } B = 10 0 0 5 2 7 0 2 , , , , , , , , outra base de W:( ) ( ) ( ) { }( )B W ' , , , , , , , , , dim = = 10 0 010 0 01 3b)( ) ( ) ( ) { }( )B W = = 13 01 3 4 7 2 2 301 3 , , , , , , , , , , , dimc) ( )B W = |\

|| |\

|| |\

||`)=1 00 00 11 00 00 13 , , , dimd)d.1)( ) { }( )B W = = 2 1 2 1 , , , dim d.2)( ) ( ) { }( )B W = = 210 301 2 , , , , , , dimd.3) ( )B W =|\

|| |\

||`)=1 01 00 10 02 , , dimd.4){ } ( )B t t W = + = 1 2 , , dim2 e) ( ) ( ) { } ( )B x ,x ,W = = sen cos dim 2f) { }( )B e , e e ,Wx x x= =2 33 , dim 12.a)( ) { } W x y z x y z = + = , , ,32 3 0 b)( ) { } 0 , , ,3= + = z x z y x Wc)W = 4d) ( )Wx yz wM x y z w = |\

|| + = =`)20 0 ,ee) ( ){ } W at bt ct d P c a b = + + + = 3 232 , 13.a)( ) { } U W x,y,z,w , x y , z , w = + = = =40 0 0 ( ) { } BU W = 1 10 0 , , ,( ) { } U W x,y,z,w , w z + = =40 ( ) ( ) ( ) { } BU W += 10 0 0 010 0 0 011 , , , , , , , , , , , Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear15 13.b)( ) { }U W x,y,z x = 3,= z = 0 ( ) { } BU W = 010 , ,U W + = 3( ) ( ) ( ) { } BU W += 10 0 010 0 01 , , , , , , , , c)U W = |\

||`)0 00 0no h base. ( ) U W M + = 2BU W +=|\

|| |\

|| |\

|| |\

||`)1 00 00 10 00 01 00 00 1, , , d)( ) { } U W x,y,z , x , z y = = =30 ( ) { } BU W = 011 , ,U W + = 3( ) ( ) ( ) { } BU W += 10 0 010 0 01 , , , , , , , , 14.a)( ) ( ) { } B = 10 2 1 010 2 , , , , , , , , outra base:( ) ( ) { } 2 14 0 112 3 , , , , , , , b)( ) { } S x y z w y z w = + = , , , ,44 2 0 c)b a = 2 d) ( )Y S Y Y S BY S = + =+, dim ,2a mesma de S 15. a) nob) simc) 13a) no 13b) no 13c) sim13d) no 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }B = 110 0 0 1010 0 0 010 0 0 0 010 0 0 0 01 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 17. ( )[ ]( )[ ]( )[ ]U U U = = = 0 01 010 10 0 , , , , , , , ,ou por exemplo,ou 18. ( ) dim W24 = 19. ( )dim W= 3 20.a)( ) { } 2 5 0 < < dim U W U W b)2 3 4 , , 21.a) impossvel.b) 1 00 03 00 00 10 0|\

|| |\

|| |\

||`), ,,por exemplo.c) impossvel.d) impossvel. 22.a)( )[ ]( )[ ] 4 5 33524 5 321 1758 1747 17, , , ,' = |\

|||| = |\

||||B Beb) 1 21 021011 21 01210|\

||

((=|\

||||||\

||

((=|\

|||||B B e ' c)[ ] [ ] 2 5 223510 32 5 202523 2 3 2t t t t t tB B+ =|\

|||||+ =|\

|||||e ' Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear16 TRANSFORMAO LINEAR Sejam V e W espaos vetoriais. Uma aplicao T:V W chamada transformao linear de V em W se satisfaz s seguintes condies: I)T(u + v) = T(u) + T(v) II)) ( ) ( u T u T =R e V v u , . Em particular, uma transformao linear de V em V (ou seja, se W = V) chamada operador linear sobre V. Exemplos: 1)A transformao nula (ou zero) linear: T O O: V W v 0 ) ( O = v a De fato:I)O(u + v) =0 = 0 + 0 = O(u) + O(v) II) O(u) = 0 = 0 = O(u) 2) A transformao identidade linear.I T

v v I vW V I=) (:a De fato:I)) ( ) ( ) ( v I u I v u v u I + = + = +II) ) ( ) ( u I u u I = = 3)A transformao projeo de R3 em R2 linear. ( ) z x y x z y x T z y xR R T+ =2 , ) , , ( ) , , (:2 3a De fato: I)( ) ) , , ( ) , , ( ) (2 2 2 1 1 1z y x z y x T v u T + = +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )) ( ) (2 , 2 ,2 2 ,2 ,, ,2 2 2 2 1 1 1 12 2 1 1 2 2 1 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1v T u Tz x y x z x y xz x z x y x y xz z x x y y x xz z y y x x T+ =+ + + =+ + + + =+ + + + + =+ + + = II)) , , ( ) ( z v x T u T = ( )( )) (2 ,2 ,u Tz x y xz x y x =+ =+ = 4) A funo real F: R R, tal que F(u) = u2 no uma transformao linear. De fato:I) ( ) ( )2v u v u F + = + ) ( ) ( 22 2v F u F uv v u + + + = II) ( ) ( ) ) (2 2 2u F v u u F = = Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear17 5) A transformao derivadaD T linear. Pn(R) o conjunto dos polinmios reais de grau n e f(t), g(t) so polinmios de Pn(R). ) ( ' )) ( ( ) () ( ) ( :t f t f D t fR P R P Dn n=a De fato:I) ( ) ( )' ) ( ) ( ) ( ) ( t g t f t g t f D + = + ( ) ( ) ) ( ) () ( ' ) ( 't g D t f Dt g t f+ =+ = II)( ) ( )' ) ( ) ( t f t f D =

( ) ) () ( 't f Dt f== Exerccio: Verifique se so lineares as seguintes aplicaes. a) 3 2: T R R definida por( ) ( , , ) , 2 T x y z x y x z = +b)( )32: T P R R definida por( )20 1 2 0 1 2( ) , 1, 2 T a a t a t a a a + + =

Propriedades 1.SeW V T : uma transformao linear, ento( )W VT 0 0 = . Equivalentemente, se( ) 0 0V WT , entoW V T :no uma transformao linear. Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformao do exerccio (b) no linear, pois( ) ( ) 0 0, 1, 2 T = . 2.SeW V T : uma transformao linear, ento ( ) ( ) ( ) . , e , ,2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1R a a V v v v T a v T a v a v a T + = +Analogamente, ( ) ( ) ( ) ( ) . , , e , , ,1 1 2 2 1 1 2 2 1 1R a a V v v v T a v T a v T a v a v a v a Tn n n n n n + + + = + + + K K K K Esta propriedade muito til, principalmente se os vetores 1 2, ,nv v v Kconstituem uma base de V, pois podemos encontrar a lei da transformao linear como vem exemplificado abaixo. Exemplo:Sejam 3 2: T R R umatransformaolineare( )( )( ) { }0,1, 0 , 1, 0,1 , 1,1, 0 B = umabasedo R.Sabendoque( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1, 0 1, 2 , 1, 0,1 3,1 e1,1, 0 0, 2 T T T = = = ,determine( ) , , T x y z e ( ) 5, 3, 2 T . Em primeiro lugar vamos expressar o vetor( ) , , x y zcomo combinao linear dos vetores da base. No caso, resolvendo o sistema, determinamos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1, 0 1, 0,1 1,1, 0 x y z y z x z x z = + + + Aplicando a transformao T e usando a propriedade (2), temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1, 0 1, 0,1 1,1, 00,1, 0 1, 0,1 1,1, 01, 2 3,1 0, 2T x y z T y z x z x zy z x T z T x z Ty z x z x z ( = + + + = + + + = + + + Portanto,( ) ( ) , , 4 , 4 2 3 T x y z x y z x y z = + + e aplicando ao vetor dado,( ) ( ) 5, 3, 2 10, 20 T = . Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear18 Imagem de uma transformao linear Chama-se imagem de uma transformao linearW V T : ao conjunto dos vetores w W que so imagem de vetores v V. Im(T) = { w W / T(v) = w para algum v V} W. OBS: 1) ( ) T Im , pois no mnimo o conjunto imagem contm o vetor nulo.( ) Im( 0 TW ) 2)Se Im(T) = W , T diz-se transformao sobrejetora, isto ,( ) . que tal , w v T V v W w = 3)A imagem de uma transformao linearW V T : um subespao vetorial de W. Exemplo: Seja) 0 , , ( ) , , ( , :3 3y x z y x f R R f = a projeo ortogonal do R3 sobre o plano x0y. A imagem de f o prprio plano x0y. Im(f) = { R y x R y x , / ) 0 , , (3} Ncleo de uma transformao linear Chama-se ncleo de uma transformao linearW V T : ao conjunto de todos os vetores v V que so transformados em 0 W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T). N(T) = {v V/ T(v) = 0} Exemplos: 1.No exemplo anterior o ncleo da transformao f o eixo dos z, pois == = =00) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , , ( ) 0 , 0 , 0 ( ) , , (yxy x z y x fPortanto,} / ) , 0 , 0 {( ) ( R z z f N =2.Dada a transformao linear) 8 3 , 4 ( ) , , ( , :2 3z y x z y x z y x T R R T + + + = , por definio sabemos que (x, y, z) N(T) se, e somente, se = + += + = + + + 0 8 30 4ou) 0 , 0 ( ) 8 3 , 4 (z y xz y xz y x z y x sistema cuja soluo x = 3z e y = z. Logo,} / ) , , 3 {( ) (3R z R z z z T N = . Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear19 OBS: 1)N(T) , pois no mnimo o ncleo contm o vetor nulo.(Se T(0) = 0,) ( 0 T NV ) 2)Uma transformao linear dita injetora, se e somente se, N(T) = {0}. W V T : uma transformao injetora se( ) ( )2 1 2 1 2 1, , v v v T v T V v v = = . 3)O ncleo de uma transformao linearW V T : um subespao vetorial de V. Teorema do Ncleo e da Imagem Se V um espao vetorial de dimenso finita eW V T :uma transformao linear, V T T N dim ) Im( dim ) ( dim = + Corolrios: SejaW V T :uma transformao linear. 1.Se dimV = dimW, ento T sobrejetora se, e somente se, T injetora. 2.Se dimV = dimW e T injetora, ento T transforma base em base, isto , se{ }1 2, , ,nB v v v = K base de V, ento( ) ( ) ( ) ( ) { }1 2, , ,nT B T v T v T v = K base de W. Se a transformao linear T no satisfaz a todas as condies do corolrio 2, podemos usar um resultado semelhante para gerar a imagem da transformao: SeW V T : uma transformao linear e{ }1 2, , ,nv v v Kgera V, ento ( ) ( ) ( ) { }1 2, , ,nT v T v T v Kgera a Im(T). Exerccio: Determine o ncleo, a imagem, uma base para o ncleo, uma base para a imagem e a dimenso de cada um deles para as seguintes transformaes lineares. 1. 3 3: T R R definida por( ) ( , , ) 2 , 2 , 3 T x y z x y z y z x y z = + + + + . 2. 31: ( ) T R P R definida por( ) ( ) , , T x y z x y zt = + + . 3. 3 2: T R R tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31, 2 , 0,1e1, 3 T e T e T e = = = , sendo{ }1 2 3, , e e ea base cannica do R. Isomorfismo Chama-se isomorfismo do espao vetorial V no espao vetorial W a uma transformao linear W V T :bijetora (injetora e sobrejetora). Neste caso, V e W so ditos espaos isomorfos. Exemplo: Mostremos que( )32: T P R R , definida por( )2( ) , , T a bt ct c b c b a + + = + , um isomorfismo. Determinando o N(T):( )20 0( ) 0, 0, 0 0 00 0c cT a bt ct b c bb a a= = + + = + = = = = ( ) {} 0 N T = T injetora. ComoTinjetoraedim ( )2P R =dimR,pelocorolrio2podemosafirmarqueTtambm sobrejetora, provando o isomorfismo. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear20 Automorfismo Chama-se automorfismo o operador linear: T V V que bijetor. Proposio SeW V T : um isomorfismo, ento existe uma transformao inversa 1: T W Vque linear e que tambm um isomorfismo. Exerccio.Determine 1T para o isomorfismo do exemplo anterior. Matriz de uma transformao linear Sejam W V T :umatransformaolinear,{ }nv v v A , , ,2 1K = umabasedeVe{ }mw w w B , , ,2 1K =uma base de W. Ento( ) ( ) ( )nv T v T v T , , ,2 1Kso vetores de W e podemos escrev-los como combinao linear dos vetores da base B. ( )m mw a w a w a v T1 2 21 1 11 1+ + + = K( )m mw a w a w a v T2 2 22 1 12 2+ + + = KM( )m mn n n nw a w a w a v T + + + = K2 2 1 1 A matriz [ ](((((

=mn m2 m12n 22 211n 12 11ABa a aa a aa a aTKM O M MKK chamada matriz T da transformao em relao s bases A e B. Como[ ]ABTdepende das bases A e B, uma transformao linear poder ter uma infinidade de matrizes para represent-la. No entanto, uma vez fixadas as bases, a matriz nica. Podemos representar a transformao linear pela operao entre matrizes:( ) [ ] [ ] []AAB Bv T v T = . Exemplos: 1.Dadaatransformaolinear) , ( ) , , ( , :2 3z y y x z y x T R R T + = econsiderandoasbases ( )( )( ) { }1,1,1 , 0,1,1 , 0, 0,1 A =do R3 e( )( ) { }1,1 , 0, 2 B =do R2, temos ( ) ( ) ( ) ( )11 211,1,1 2, 0 1,1 0, 2 T a a = = +( ) ( ) ( ) ( )12 220,1,1 1, 0 1,1 0, 2 T a a = = +( ) ( ) ( ) ( )13 230, 0,1 0, 1 1,1 0, 2 T a a = = + que gera os sistemas: Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear21 1111 2122 0aa a= + =,1212 2212 0aa a= + =e1313 2302 1aa a= + = cujas solues so 11 21 12 22 13 231 12, 1, 1, , 0,2 2a a a a a a = = = = = = Logo,[ ]1 12 21 0 21ABT (=( 2.Considerandoamesmatransformaodoexemploanteriorcomasbasescannicas ( )( )( ) { }' 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1 A=do R3 e( )( ) { }' 1, 0 , 0,1 B=do R2 . ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0, 0 1, 0 1 1, 0 0 0,1 T = = +( ) ( ) ( ) ( ) 0,1, 0 1,1 1 1, 0 1 0,1 T = = +( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,1 0, 1 0 1, 0 1 0,1 T = = Logo,[ ]''1 1 00 1 1ABT (=( No caso de serem A e B bases cannicas, representa-se a matriz simplesmente por [T], que chamada matriz cannica de T. Ento tem-se:( ) [ ] [ ][] v T v T = Observemos que calcular T(v) pela matriz [T] o mesmo que faz-lo pela frmula que define T. T(2,1,3) = (2 + 1, 1 3) = (3, 2) ou[ ]((

=((((

((

=23312101101) (v T3.Dadasasbases( )( ) { }1,1 , 0,1 B = doR2e( )( )( ) { }' 0, 3, 0 , 1, 0, 0 , 0,1,1 B= doR3,encontremosa transformao linear cuja matriz [ ]'0 21 01 3BBT ( (= ( ( . No caso, desejamos determinar a transformao 2 3: T R R tal que( ) ( ) , , , T x y a b c = . Pelo modo como determinada a matriz [ ]'BBTsabemos que( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 0 0, 3, 0 1 1, 0, 0 1 0,1,1 1, 1, 10,1 2 0, 3, 0 0 1, 0, 0 3 0,1,1 0, 9, 3TT= = = + + = Escrevendo (x, y) como combinao linear dos vetores da base B, temos ( ) ( ) ( )( ) , 1,1 0,1 x y x y x = + Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear22 Aplicando T :( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), 1,1 0,11, 1, 1 0, 9, 3, 10 9 , 4 3T x y xT y x Tx y xx x y x y= + = + = + + Doexemploacima,observamosquedadaumamatrizefixadaduasbasesemVeemWestamatriz representa uma transformao linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de bases representar uma transformao linear diferente. 4.Considerando que a matriz[ ]0 21 01 3T ( (= ( ( a matriz cannica da transformao, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 0 0 1, 0, 0 1 0,1, 0 1 0, 0,1 0, 1, 10,1 2 1, 0, 0 0 0,1, 0 3 0, 0,1 2, 0, 3TT= = = + + = e, portanto, ( ) ( ) ( ) , 1, 0 0,1 x y x y = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1, 0 0,1 , 0, 1, 1 2, 0, 3 T x y xT yT T x y x y = + = +( ) ( ) , 2 , , 3 T x y y x x y = + As matrizes das transformaes lineares so importantes, pois: muitas vezes respostas a questes tericas sobre a estrutura de uma transformao linear podem ser obtidas estudando as caractersticas da matriz da transformao; estas matrizes tornam possvel calcular as imagens de vetores usando a multiplicao matricial. Estes clculos podem ser efetuados rapidamente em computadores. Teorema Sejam W V T : uma transformao linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Ento[ ][ ] [ ] [ ]dimIm( ) posto de dim ( )nulidade den de colunas de posto de ABA A AB B BT TN T T T T== = Teorema SejamAeBbasesdosespaosvetoriaisVeW,respectivamente.Umatransformaolinear W V T :inversvelse,esomentese,[ ]ABT inversvel.Almdisso,seTinversvel,ento [ ]( )11BABAT T ( = . Corolrio SejamAeBbasesdosespaosvetoriaisVeW,respectivamentee W V T :umatransformao linear. T inversvel se, e somente se, det [ ]ABT 0 . Exerccio.Seja 2 2: T R R umatransformaolineardadapelamatrizcannica [ ]3 42 3T (=( . Verifique se T inversvel. Caso o seja, determine T-1(x, y). Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear23 Autovalores (Valores Prprios) e Autovetores (Vetores Prprios) Definio Seja: T V V um operador linear. Um vetorv V ,0 v , um autovetor (ou vetor prprio) do operador T se existeR tal que( ) T v v = . denominado autovalor (ou valor prprio, valor caracterstico, valor espectral) associado ao autovetor v. Exemplos: 1.Seja 2 2: T R R tal que( ) ( ) , , , T x y x y R = . Este operador temcomo autovalor e qualquer( ) ( ) , 0, 0 x y como autovetor correspondente. Sei.0 < , T inverte o sentido do vetor; ii.1 > , T dilata o vetor; iii.1 > , T contrai o vetor; iv.1 = , T a transformao identidade. 2.Seja 2 2: T R R definida por( ) ( ) , , T x y x y = , a transformao reflexo no eixo x. Os vetores da forma (0, y), so tais que( ) ( ) 0, 0, T y y = , ou seja, ( ) ( ) 0, 1 0, T y y = . Assim,todovetor(0,y),y0autovetordeTcomautovalor 1 = . Tambm para todo vetor (x, 0) temos que( ) ( ) ( ) , 0 , 0 1 , 0 T x x x = = . Da,dizemosquetodovetor(x,0),x0autovetordeTcom autovalor1 = . 3.Seja 2 2: T R R definida por( ) ( ) , , T x y y x = , a transformao rotao de 90.

Notemosquenenhumoutrovetordiferentedovetornulo levado por T num mltiplo de si mesmo. Logo, este operador T no tem autovalores nem autovetores. y x uT(u) v T(v) y x u T(u) Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 24 Determinao dos autovalores e autovetores Seja o operador:n nT R R cuja matriz matriz cannica 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a | | | |= | |\ M M O M, ou seja, A =[T]. Se v eso, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos: 0 A v v A v v = =(v a matriz coluna n x 1 e 0 a matriz nula n x 1) Tendo em vista quev I v = , onde I a matriz identidade de ordem n, podemos escrever ( )00A v I vA I v = = Paraqueosistemahomogneoadmitasoluesnonulas,isto 000xv yz| | || | |= | | | |\ \,estedeveser indeterminado e portanto, devemos ter( ) det 0 A I = . 11 12 121 22 21 2det 0nnn n nna a aa a aa a a | | | |= | |\ M M O M A equao( ) det 0 A I = denominada equao caracterstica do operador T ou da matriz A e suas razes so os autovalores do operador T ou da matriz A. O( ) det A I um polinmio na variveldenominado polinmio caracterstico. Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontradosno sistema homogneo de equaes lineares. Exemplo:Determinarosautovaloreseautovetoresdooperadorlinear 3 3: T R R definidopor ( ) ( ) , , 3 4 , 3 5 , T x y z x z y z z = + . 1)Matriz cannica de T: 3 0 40 3 50 0 1A | | |= | |\ 2) 3 0 40 3 50 0 1A I | | | = | | \ 3)Equao caracterstica:( ) det 0 A I = ( ) ( ) ( )1233 3 1 01 = = = Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 25 4)Clculo dos autovetores associados: Para 13 = , temos o sistema 3 3 0 4 0 4 00 3 3 5 0 5 0 ,e00 0 1 3 0 4 0x zy z x y R zz z = | | | | | | ||| = = = |||||| =\ \ \ Portanto temos os autovetores (x, y, 0) associados ao autovalor 3. Verificao:( ) ( ) ( ) 2, 4, 0 6,12, 0 3 2, 4, 0 T = = . Para 21 = , temos 4 0 4 04 4 00 4 5 0 ,54 5 00 0 0 04xx zx zy z Ry z y zz | | | | ||= = || | = || |+ = = || |\ \ \ Portanto temos os autovetores 5, ,4z z z| | |\ associados ao autovalor1 . Verificao:( ) ( ) ( ) 4, 5, 4 4, 5, 4 1 4, 5, 4 T = = . Teorema Dado um operador linear T: V V, o conjunto formado pelos autovetores associados a um autovalor e o vetor nulo subespao vetorial de V, isto ,( ) { }; V v V T v v = = subespao de V. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 26 EXERCCIOS 1. Verifique quais das seguintes aplicaes so lineares: a)T: 3 2definida por( ) ( ) T x y z x y , , , =b)T: 2definida por( ) T x y x y , . =c)T: definida por( ) T x x =d)T: 3 2definida por( ) ( ) T x y z x y z , , , = 2 3e)( ) T M : 22definida por( ) T x yx yy, =+ |\

||2 00 f)( ) T Mx:2 32 definida por( ) Ta b cd e fa e c f|\

|| = + + , g) : T definida por( ) ( ) x sen x T = 2. Determine a transformao linear para cada uma das aplicaes abaixo: a)T: 2 3tal que( ) ( ) ( ) ( ) T T 12 3 15 01 2 1 4 , , , , , , = = eb)T: 3 2tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T 10 0 2 0 010 11 0 01 0 1 , , , , , , , , , , = = = ec)T: 3 3tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T 121 12 3 010 2 15 0 41 0 3 2 , , , , , , , , , , , , , = = = ed)( ) T P :22 tal que () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T x T x 1 01 0 5 5 72= = = , , , , ee)( ) T Mx: 32 3tal que( ) ( ) ( ) T T T 10 01 0 03 4 50122 0 06 8 100 0 1 30 0 10 0 5, , , , , , , = |\

|| = |\

|| = |\

|| e 3.a) Qual a transformao linearT: 2 3 tal que( ) ( ) ( ) ( ) T T 11 3 21 0 2 010 , , , , , , = =e ? b) Determine( ) ( ) T T 10 01 , ,e , usando o item (a). c) Qual a transformao linearS: 3 2 tal que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S 3 2 1 11 010 0 2 0 01 0 0 , , , , , , , , , , = = = e ? d) Determine a transformao linear composta SoT: 2 2, usando os itens (a)e(c). 4. Determine a dimenso do ncleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicao linear T do: a)exerccio 1, itens (a),(d)e(e). b)exerccio 2, itens (b),(d)e(e). 5.SendoT: 3 5definidapor( ) ( ) T x y z x y x y z x z , , , , , , = + + + 2 0 3 0 ,determineumabasedeN(T)eIm(T). 6. Determine uma transformao linear: a)T: 3 3 cuja imagem seja gerada por( ) ( ) { } 12 3 4 56 , , , , , . b)T: 3 2 tal que ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] N T T = = 10 0 0 2 0 2 4 , , , , , Im , e , considere( ) ( ) ( ) { } = 10 0 0 2 0 0 01 , , , , , , , , base do 3 . c)T: 3 4 tal que ( ) ( ) ( )[ ] Im , , , , , , , T = 1121 2 101 . 7. D, se possvel, os exemplos pedidos abaixo. Caso no existam, justifique. a)Uma aplicao linear injetoraT: 3 2. b)Uma aplicao linear sobrejetoraT: 2 3. c)Uma aplicao linearT: 2 2, tal que( ) ( ) { } T T 01 10 , , ,seja uma base para2. Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 27 d)Uma aplicao linearT V W : tal que ( ) {}Im T = 0 . e)Uma aplicao linearT: 5 5, tal que seja injetora, mas no seja sobrejetora. 8. SejaT V V : uma transformao linear. Sabendo-se que ( ) ( ) ( ) ( ) dim dim Im V N T T = = 5 2e . a)Determine, justificando, a ( ) ( ) ( ) dim Im N T T + . b)T pode serinjetora ? Justifique. 9.Mostre que a aplicao ( )T P : 21, definida por ( )T x y x y t x , ( ). . = + + 1 um isomorfismo. 10. Determine a transformao linear 4 3: Ttal que ( )( ) { } N T x y z z x y = = , , ;3 e( ) ( ) T 0 01 0 0 01 , , , , , = . 11.Consideremosatransformaolinear 2 3: T definidapor( ) ( ) y x z y x z y x T 2 , 2 , , + + = easbases ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { }2 3do 1 , 0 , 1 , 1 e do 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 = = B A . Determine a matriz[ ] .ABT 12.Sejaatransformaolinear( ) ( ) y y x y x y x T T 2 , 3 , 2 , , :3 2 + = easbases( ) ( ) { } 1 , 2 , 1 , 1 = A e ( ) ( ) ( ) { } 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 = B . Determine[ ] .ABTQual a matriz [ ]ACT, onde C a base cannica do 3 ? 13.SabendoqueamatrizdeumatransformaolinearT: 2 3nasbases( ) ( ) { } 0 , 1 , 1 , 1 = A do 2 e ( ) ( ) ( ) { } 1 , 0 , 3 , 0 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 = B do 3[ ]((((

=151123ABT , encontre a expresso de( ) y x T , e a matriz[ ] T . 14.Seja[ ]((((

=3 10 22 1Ta matriz cannica de uma transformao linearT: 2 3. Se( ) ( ) 2 , 4 , 2 = v T , calcule v. 15.Seja T o operador linear dado pela matriz ((((

2 2 11 0 21 2 1. Determine: a.N(T) e dim N(T) b.Im(T) e dim Im(T). AUTOVALORES E AUTOVETORES 1.Verifique, utilizando a definio, se os vetores dados so autovetores das correspondentes matrizes: a)v = (-2,1), ((

3 12 2b)v = (-2,1,3), ((((

1 2 12 3 20 1 1 2.Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: a) 2 2: T ; T(x,y) = (x + 2y, x + 4y); b) 2 2: T ;( ) ( ) y x y x y x T 3 , 2 2 , + + =c) 2 2: T ; T(x,y) = (5x y, x + 3y); d) 2 2: T ; T(x,y) = (y, x); e) 3 3: T ;( ) ( ) z y z y z y x z y x T 3 2 , 2 , , , + + + + =f) 3 3: T ; ( ) ( ) z y x y x x z y x T 2 2 , 2 , , , + + =g) 3 3: T ; ( ) ( ) z y y x z y x T , , , , + = Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 28

3.Os vetores) 1 , 1 (1 = v e) 1 , 2 (2 = v so autovetores de um operador linear 2 2: T , associados a51 = e 12 = , respectivamente. Determine a imagem do vetor) 1 , 4 ( = vpor esse operador. 4.a) Determine o operador linear 2 2: Tcujos autovalores so3 e 12 1= = associados aos autovetores ( ) ) , 0 ( e ,2 1y v y y v = = , respectivamente. b) Mesmo enunciado para2 , 32 1 = = e( ) ) 0 , ( , 2 ,2 1x v x x v = = . 5.Se41 = e22 = ,soautovaloresde 2 2: T ,associadosaosautovetoresu=(2,1)ev=(1,3), respectivamente, determine T(3u v). 6.Sejaumoperadorlinear 2 2: T ,talqueT(u)=ueT(v)= 21vparaalgumvetoru(ev) 2 . Determine T(w) se u = (0,2), v = (2,6) e w = (3,7). Respostas 1.So lineares as funes dos itens (a), (d), (e), (f). 2.a)( ) ( ) T x,y x y,x y,x y = + + 2 3 13 4 b)( ) ( ) T x,y,z x y, y z = + 2 c)( ) ( ) T x,y,z x y z, x y z,x y z = + + + 5 2 8 11 5 18 d) ( ) ( ) T a bx cx c, a+ b+ c + + =25 5 7 e) ( )T x y zx y z yx y x y x y z, , =+ + + +|\

||2 0 3 63 6 4 8 5 20 15 3.a)( ) ( ) ( )T x,y x,x y , x = 3 5 2 b)( ) ( ) ( ) ( ) T , ,,T , ,,10 3 5 2 1 01 0 1 2 0 = = e c)( ) ( ) ( )S x,y,z x ,x y = 3 5 6 3 d)( ) ( ) SoT x,y x, y = 4.a) 1.a) ( )( ) { }N T= 0 01 , ,( )( )( ) { }Im, , ,T= 10 01 1.d) ( )( ) { }N T= 013 , ,( )( )( ) { }Im, , ,T= 10 01 1.e) ( )( ) { }N T= 0 0 ,( )Im,T= |\

|| |\

||`)1 00 02 00 1 b)2.b) ( )( ) { }N T= 12 2 , ,( )( )( ) { }Im, , ,T= 10 01 2.d) ( ){ } N Tx = 5( )( )( ) { }Im, , ,T= 10 01 2.e) ( )( ) { } N T= 212 , ,( )Im,T= |\

|| |\

||`)0 0 30 0 151 0 03 4 5 Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 29 5. ( )( ) { }( )( )( ) { } N T T= = 113 12 0 3 0 1 10 0 0 , , , , , , , , , , ,Im e 6.a)( ) ( ) T x,y x y,x y,x y = + + + 4 2 5 3 6 b)( ) ( ) T x,y,z z,z = 2 4 c)( ) ( ) T x,y,z x y, x y,x x y = + + + 2 2 , 7. a) Impossvel.b) Impossvel.c) Qualquer aplicao injetiva (ou sobrejetiva). d) A aplicao nula.e) No existe. 8.a)( ) ( ) ( )dim Im N T T + = 3 b) No.( ) ( )dim N T 010.( ) ( ) T x,y,z ,,, z x y = + 0 0 011. ((

2 3 30 3 2 12. ((((

((((

2 25 23 3e3 32 50 3 13.( ) ( ) [ ]((((

= + + =4 211 618 8e 4 2 , 11 6 , 18 8 , T y x y x y x y x T 14. v = (2,0) 15. ( ) { }( ) ( ) { } 2 ) Im( dim , 0 ; , , Im )1 ) ( dim , ; 4 , 3 , 2 ) ( )3= = + == =T z y x z y x T bT N z z z z T N a Autovalores e autovetores 1.a) Simb) No 2.a)) , 2 ( , 2 ); , ( , 32 2 1 1y y v y y v = = = = b)) , ( , 4 ); , 2 ( , 12 2 1 1y y v y y v = = = = c)) , ( , 42 1x x v = = = d) No existem. e)) 2 , , ( , 4 ); , , ( , 13 3 2 1x x x v y y x v = = = = = f)) 1 , 0 , 0 ( , 2 ); 1 , 3 , 0 ( , 1 ); 1 , 3 , 3 ( , 13 3 2 2 1 1z v z v z v = = = = = = g)) , 0 , ( , 13 2 1z x v = = = = , x e z no simultaneamente nulos. 3.(8,11) 4.a)( ) y x x y x T 3 2 , ) , ( + =b)||

\|+ = y y x y x T 3 ,252 ) , (5.(26,6) 6.||

\|25,23 Prof. Isabel Cristina C. Leitelgebra Linear 30 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS STEINBRUCH, A., WINTERLE, P.lgebra Linear. Editora Makron Books. 1987 CALLIOLI,CarlosA.,DOMINGUES,HyginoH.,COSTA,RobertoC.F.lgebralineare aplicaes. 6a edio. Atual Editora. 1998. ANTON Howard. &RORRES Chris. lgebra Linear com Aplicaes. Ed. Bookman. 8a Edio. BOLDRINI, J. L. lgebra Linear. Harbra. 1984. LIPSCHUTZ, S.lgebra Linear. 3a edio. Coleo Schaum. Editora Makron Books. SANTOS,REGINALDOJ.lgebraLineareAplicaes.BeloHorizonte,ImprensaUniversitria da UFMG, 2006. Livro disponvel para download no site www.mat.ufmg.br/~regi