FUNÇÕES VETORIAIS

Em geral, uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a

um elemento de sua imagem. Uma função vetorial é uma função cuja o domínio é

um conjunto de números reais e cuja a imagem é um conjunto de vetores.

Em particular, isso significa que para todo numero t no domínio de r existe um

único vetor de V3 denotado por r(t). Se f(t), g(t) e h(t) são componentes do vetor

r(t), então f, g e h são funções de valor real chamadas funções componentes de r e

escrevemos:

𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , 𝑕(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + 𝑕 𝑡 𝒌

Como na maioria das aplicações a variável independente é o tempo, utilizaremos

a letra t para indicá-la.

LIMITE

O limite de uma função vetorial r é definido tomando-se os limites de suas

funções componentes.

Se 𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 , 𝒈 𝒕 , 𝒉𝒉(𝒕) , então:

𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂

𝒓 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂

𝒇 𝒕 , 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂

𝒈 𝒕 , 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂

𝒉𝒉(𝒕)

desde que estes limites existam.

Os limites da função vetorial obedecem as mesmas regras dos limites de uma

função real.

EXEMPLOS

Determine 𝐥𝐢𝐦𝒕→𝟎 𝒓 𝒕 , onde 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡3 𝒊 + 𝑡𝑒−𝑡𝒋 +𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑡k

Resp: i + k

CONTINUIDADE

Uma função r é contínua em a se:

𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒂

𝒓 𝒕 = 𝒓(𝒂)

De acordo com a definição de limite, r é considerada contínua em a se e somente

se suas funções componentes f, g e h são contínuas em a.

As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente

relacionadas. Se f, g e h são contínuas em um intervalo I, então o conjunto C de tds

os ptos (x, y, z) no espaço para os quais:

x = f(t) y = g(t) z = h(t)

onde t varia no intervalo I é chamado curva espacial. As equações acima são

denominadas equações paramétricas de C e t é conhecido como parâmetro.

DERIVADA

A derivada r’ de uma função vetorial é definida do mesmo modo que as funções

reais:

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 𝑟′ 𝑡 = lim

𝑕→0

𝑟 𝑡 + 𝑕 − 𝑟(𝑡)

𝑕

se este limite existir.

P: vetor posição r(t);

Q: vetor posição r(t + h);

𝑃𝑄 : vetor secante r(t + h) – r(t);

𝑟 𝑡 + 𝑕 − 𝑟 𝑡

𝑕: mesma direção e sentido que

𝑟 𝑡 + 𝑕 − 𝑟 𝑡 ; (escalar 1𝑕 )

A reta tangente a C em P é definida como a reta que passa por P e é // ao vetor

r’(t). O vetor tangente é dado por:

𝑇 𝑡 =𝑟′(𝑡)

𝑟′(𝑡)

TEOREMA:

Se 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , 𝑕(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + 𝑕 𝑡 𝒌, onde f, g e h são funções

diferenciáveis, então:

𝑟′ 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , 𝑕′(𝑡) = 𝑓′ 𝑡 𝒊 + 𝑔′ 𝑡 𝒋 + 𝑕′ 𝑡 𝒌

EXEMPLO 1: Dada a função vetorial 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡3 𝑖 + 𝑡𝑒−𝑡𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑘:

a) Encontre a derivada de r(t).

𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2𝑖 + 𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡 𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑘

𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2𝑖 + 1 − 𝑡 𝑒−𝑡𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑘

b) Encontre o vetor tangente no ponto onde t = 0.

𝑇 0 =𝑟′ (0)

𝑟′ (0) =

𝑗 + 2𝑘

1 + 4=

1

5𝑗 +

2

5𝑘

EXEMPLO 2: Determine as equações paramétricas para a reta tangente a hélice

com equações paramétricas

𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧 = 𝑡

no ponto 0, 1, 𝜋2 .

Solução:

𝑟 𝑡 = 2 cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡

𝑟′ 𝑡 = −2 sen 𝑡, cos 𝑡, 1

ponto 0, 1, 𝜋2 , parâmetro t = 𝜋 2 → 𝑟′ 𝜋 2 = −2, 0,1 .

Recordando que as equações paramétricas de uma reta que passa por (x0, y0, z0) e

é // ao vetor 𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 são dadas por:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

A reta tangente passa por 0, 1, 𝜋2 e é // a 𝑟 ′ 𝜋 2 = −2, 0,1 .

Temos: 𝑥 = −2𝑡 𝑦 = 1 𝑧 = 𝜋2 + 𝑡

Do mesmo modo que para as funções reais, a derivada segunda de uma função

vetorial r é dada pela derivada de r’, ou seja, r’’ = (r’)’.

Por exemplo, a segunda derivada do exemplo anterior é:

𝑟′′ 𝑡 = −2 cos 𝑡, − sen 𝑡, 0

REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO

Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis, c é um escalar e f, uma

função real. Logo,

𝑑

𝑑𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 + 𝑣′ 𝑡 ;

𝑑

𝑑𝑡 𝑐 𝑢 𝑡 = 𝑐 𝑢′ 𝑡 ;

𝑑

𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′ 𝑡 ;

𝑑

𝑑𝑡 𝑢 𝑡 . 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 . 𝑣′ 𝑡 ;

𝑑

𝑑𝑡 𝑢 𝑡 × 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 × 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 × 𝑣′ 𝑡 ;

𝑑

𝑑𝑡 𝑢 𝑓 𝑡 = 𝑓 ′ (𝑡) 𝑢′ 𝑓 𝑡 ; (Regra da Cadeia)

INTEGRAL

A integral definida de uma função vetorial contínua r(t) pode ser estabelecida da

mesma forma que uma função real, exceto que a integral resulta em um vetor.

Expressando a integral de r em função de suas componentes f, g e h, temos:

𝑟 𝑡 𝑑𝑡 = lim𝑛→∞

𝑟 𝑡𝑖∗ ∆𝑡

𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑓 𝑡𝑖∗ ∆𝑡

𝑛

𝑖=1

𝑖 + 𝑔 𝑡𝑖∗ ∆𝑡

𝑛

𝑖=1

𝑗 + 𝑕 𝑡𝑖∗ ∆𝑡

𝑛

𝑖=1

𝑘

𝑟 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑏

𝑎

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

𝑗 + 𝑕 𝑡 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

𝑘

Pelo TFC:

𝑟 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑏

𝑎

𝑅(𝑡) 𝑎𝑏 = 𝑅 𝑏 − 𝑅(𝑎)

EXEMPLO: Se 𝑟 𝑡 = 2 cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 2𝑡 𝒌, encontre 𝑟 𝑡 𝑑𝑡𝜋

2

0.

Sol: 𝑟 𝑡 𝑑𝑡𝜋

2

0= 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒊 − cos 𝑡 𝒋 + 𝑡2 𝒌

0

𝜋2

= 2𝒊 + 𝒋 + 𝜋2

4𝒌

COMPRIMENTO DE ARCO

Se 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , 𝑕(𝑡) , 𝑎 ≥ 𝑡 ≥ 𝑏, onde f’, g’ e h’ são funções contínuas, temos:

𝐿 = 𝑓 ′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2+ 𝑕′ 𝑡 2𝑑𝑡𝑏

𝑎

𝐿 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+ 𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

+ 𝑑𝑧

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡𝑏

𝑎

= 𝑟′ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Exemplo: Calcule o comprimento do arco da curva da hélice circular de equação

𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌

do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 2, 2π).

Sol: 𝑟′ 𝑡 = −sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌

𝑟′ (𝑡) = −sen t 2 +𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 1 = 2

parâmetro t: 0 ≥ 𝑡 ≥ 2𝜋

𝐿 = 2 𝑑𝑡

2𝜋

0

= 2 2𝜋

A função comprimento de arco pode ser dada, para um parâmetro genérico qq,

por:

𝑠 𝑡 = 𝑟′(𝑢) 𝑑𝑢

𝑡

𝑎

= 𝑑𝑥

𝑑𝑢

2

+ 𝑑𝑦

𝑑𝑢

2

+ 𝑑𝑧

𝑑𝑢

2

𝑑𝑢𝑡

𝑎

onde s(t) é o comprimento da parte de C entre r(a) e r(t).

Diferenciando ambos os lados da equação acima:

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟′(𝑡)

Uma curva pode ser reparametrizada em termos de s substituindo o parâmetro t,

do modo: r = r(t(s)). Assim, se s = 3, (r(t(3)) é a posição do ponto que está a 3

unidades do início da curva.

Se reparametrizarmos

𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌

utilizando a medida de comprimento de arco de (1, 0, 0) na direção de

crescimento de t, temos:

Pto inicial (1, 0, 0) → t = 0

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟′ (𝑡) = 2

𝑠 𝑡 = 𝑟′ 𝑢 𝑑𝑢𝑡

0

= 2𝑑𝑢𝑡

0

= 2𝑢 0

𝑡= 2𝑡

parâmetro t: 0 ≥ 𝑡 ≥ 2𝜋 → 2 2𝜋

CURVATURA

A direção de uma curva pode ser dada pelo vetor tangente (figura).

Podemos observar que T(t) muda de direção devagar qdo a curva C é

razoavelmente reta, mas muda de direção mais rápido qdo C se dobra ou retorce

mais acentuadamente.

A curvatura de C em um certo ponto é medida de quão rapidamente a curva muda

de direção no ponto.

Def: A curvatura de uma curva é

ĸ = 𝑑𝑇

𝑑𝑠

onde T é o vetor tangente.

Usando a Regra da Cadeia para usarmos o parâmetro t (em vez de s):

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑑𝑇

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑡

ĸ = 𝑑𝑇

𝑑𝑠 =

𝑑𝑇𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑡

Mas, como visto anteriormente,

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟′(𝑡)

então,

ĸ(𝑡) = 𝑇′(𝑡)

𝑟′(𝑡)

EXEMPLO: Mostre que a curvatura de um círculo de raio a vale 1 𝑎 .

Solução: Círculo na origem e parametrizado,

𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡 𝒊 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋

𝑟′ 𝑡 = −𝑎 sen 𝑡 𝒊 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋

𝑟′ 𝑡 = −𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2+ 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 𝑎

Portanto,

𝑇 𝑡 =𝑟′ (𝑡)

𝑟′ (𝑡) = − sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋

𝑇 ′ 𝑡 = − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋

𝑇 ′ 𝑡 = 1

ĸ = 𝑇′ (𝑡)

𝑟′(𝑡) =

1

𝑎

Outro modo de calcular a curvatura é dado por:

ĸ 𝑡 = 𝑟′ (𝑡) × 𝑟′′ (𝑡)

𝑟′ (𝑡) 3

EXEMPLO: Determine a curvatura da cúbica retorcida 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 , 𝑡3 no ponto

(0,0,0).

Solução: 𝑟′ 𝑡 = 1, 2𝑡, 3𝑡2

𝑟′′ 𝑡 = 0, 2, 6𝑡

𝑟′ 𝑡 = 1 + 4𝑡2 + 9𝑡4

𝑟′ 𝑡 × 𝑟′′ 𝑡 = 𝒊 𝒋 𝒌

1 2𝑡 3𝑡2

0 2 6𝑡

= 6𝑡2 𝒊 − 6𝑡 𝒋 + 2 𝒌

𝑟′ 𝑡 × 𝑟′′ 𝑡 = 36𝑡4 + 36𝑡2 + 4

ĸ 𝑡 = 𝑟′(𝑡) × 𝑟′′ (𝑡)

𝑟′ (𝑡) 3=

36𝑡4 + 36𝑡2 + 4

1 + 4𝑡2 + 9𝑡4 3

2

Na origem, ĸ 0 = 2.

VETOR NORMAL

O vetor normal unitário é dado por:

𝑁 𝑡 =𝑇′ (𝑡)

𝑇′ (𝑡)

e é ortogonal ao vetor tangente.

VETOR BINORMAL

é também um vetor unitário dado por:

𝐵 𝑡 = 𝑇(𝑡) × 𝑁(𝑡)

EXEMPLO: Determine os vetores normal e binormal da hélice circular

𝑟 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡 𝒌

Solução:

𝑟′ 𝑡 = −sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌

𝑟′ 𝑡 = 2

𝑇 𝑡 =𝑟′ (𝑡)

𝑟′ (𝑡) =

1

2 − sen 𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒋 + 𝒌

𝑇′ 𝑡 =1

2 − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋

𝑇′ 𝑡 =1

2

𝑁 𝑡 =𝑇 ′(𝑡)

𝑇 ′(𝑡) = − cos 𝑡 𝒊 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 = − cos 𝑡 , −𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0

𝐵 𝑡 = 𝑇 𝑡 × 𝑁 𝑡 =1

2

𝑖 𝑗 𝑘−𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 1− cos 𝑡 −𝑠𝑒𝑛 𝑡 0

=1

2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, − cos 𝑡 , 1

O plano determinado pelos vetores normal e binormal em um ponto P sobre a

curva C é chamado plano normal de C em P.

APLICAÇÕES: Movimento no espaço

O vetor 𝑟(𝑡+𝑕)−𝑟(𝑡)

𝑕 fornece a velocidade média no intervalo de tempo de

comprimento h e seu limite é o vetor velocidade v(t) no instante t:

𝑣 𝑡 = lim𝑕→0

𝑟(𝑡 + 𝑕) − 𝑟(𝑡)

𝑕= 𝑟′ (𝑡)

A rapidez da partícula no instante t é o módulo da velocidade, ou seja:

𝑣(𝑡) = 𝑟′(𝑡) =𝑑𝑠

𝑑𝑡= taxa de variação da distância em rel. ao tempo

No caso de movimento unidimensional, a aceleração é dada por:

a(t) = v’(t) = r’’(t)

EXEMPLO: O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por

𝑟 𝑡 = 𝑡3 𝒊 + 𝑡2 𝒋. Determine a velocidade, a rapidez e aceleração no instante

t = 1 e ilustre geometricamente.

Solução: 𝑣 𝑡 = 𝑟′ 𝑡 = 3𝑡2 𝒊 + 2𝑡 𝒋

𝑎 𝑡 = 𝑟′′ 𝑡 = 6𝑡 𝒊 + 2 𝒋

𝑣(𝑡) = 3𝑡2 2 + 2𝑡 2 = 9𝑡4 + 4𝑡2

Para t = 1:

𝑣 1 = 3 𝒊 + 2 𝒋 𝑎 1 = 6 𝒊 + 2 𝒋 𝑣(1) = 13

EXEMPLO:

Uma partícula se move de uma posição inicial 𝑟 0 = 1,0,0 , com velocidade

inicial 𝑣 0 = 𝒊 − 𝒋 + 𝒌. Sua aceleração é dada por a(t) = 4t i + 6t j + k.

Determine sua velocidade e posição no instante t.

Solução: a(t) = v’(t)

𝑣 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 4𝑡 𝑖 + 6𝑡 𝑗 + 𝑘 𝑑𝑡 = 2𝑡2 𝒊 + 3𝑡2 𝒋 + 𝑡 𝒌 + 𝐶

𝑣 0 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘

𝑣 𝑡 = 2𝑡2 𝒊 + 3𝑡2 𝒋 + 𝑡 𝒌 + 𝑖 − 𝑗 + 𝑘

= 2𝑡2 + 1 𝒊 + 3𝑡2 − 1 𝒋 + 𝑡 + 1 𝒌

v(t) = r’(t)

𝑟 𝑡 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 23 𝑡3 + 𝑡 𝒊 + 𝑡3 − 𝑡 𝒋 + 𝑡2

2 + 𝑡 𝒌 + 𝐷

Para t = 0, temos D = r(0) = i.

𝑟 𝑡 = 23 𝑡3 + 𝑡 + 1 𝒊 + 𝑡3 − 𝑡 𝒋 + 𝑡2

2 + 𝑡 𝒌