cálculo ii - lista curvas e funções vetoriais maria josé

Cálculo II - Lista Curvas e Funções VetoriaisMaria José Pacifico

Instituto de matemática - Universidad Federal do Rio de Janeiro

1. Decida se é verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo:

(a) Um vetor é um segmento de reta orientado;

(b) Um vetor é determinado pelo seu módulo, direção e sentido;

(c) Dois vetores com o mesmo módulo, direção e sentido, mas com pontos inicial e finaldiferentes, são considerados iguais;

(d) a representação de um vetor com ponto inicial na origem e ponto final em algum pontoP ∈ R2 ou P ∈ R3 é chamada vetor posição;

(e) os pontos de R2 (respectivamente R3) estão em correspondência bijetiva com os vetoresde R2 (respectivamente R3);

(f) as operações com vetores são: soma, multiplicação por um número real(escalar), sub-tração, produto interno (também chamado produto escalar) e produto vetorial;

(g) Dados |−→a |; |−→b | e o menor ângulo entre −→a e

−→b , é possí?vel determinar −→a .

−→b e −→a ×

−→b ;

(h) dois vetores −→a e−→b não nulos são ditos ortogonais ( quando o ângulo entre eles é π/2)

se e somente se a× b = 0;

(i) dois vetores −→a e−→b não nulos são ditos paralelos (quando o ângulo entre eles é 0 ou

π) se e somente se −→a .−→b = 0;

(j) se dois vetores −→a e−→b são não nulos e não paralelos, eles determinam um plano e o

vetor −→a ×−→b será perpendicular a este plano.

2. Determine o que se pede em cada item abaixo:

(a) Se −→a = (4,−1) e−→b = (3, 6), calcule −→a ·

−→b ;

(b) Se −→a = (5, 0,−2) e−→b = (3,−1, 10) calcule −→a ·

−→b ;

(c) Se |−→a | = 12, |−→b | = 15 e o ângulo entre −→a e

−→b é π/6, calcule −→a ·

−→b ;

(d) Se −→a = (3, 4) e−→b = (5, 12), o ângulo entre −→a e

−→b ;

(e) Se −→a = (1, 2, 0) e−→b = (0, 3, 1) calcule −→a ×

−→b ;

(f) dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a (1,−1, 1) quanto a (0, 4, 4).

3. Determine o domí?nio e a imagem das funções vetoriais abaixo:

(a) −→σ (t) = (t2,√t− 1,

√5− t) (b) −→σ (t) = ( t−2

t+2 , sin t, log(9− t2)).

4. Calcule os limites das funções vetoriais abaixo, caso existam:

(a) limt→0(cos(t), sin(t), t log(t)). (b) limt→0(√t+ 3, t−1

t2−1, arctan(t)t .

5. Determine o vetor derivada −→σ ′(t) para cada função vetorial −→σ (t) abaixo e um vetor tan-gente à curva C = Im(−→σ (t)), no ponto dado de C:

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(a) −→σ (t) = (cos(t), sin(t)), P0 = (√2/2,

√2/2);

(b) −→σ (t) = (et, e−t), P0 = (1, 1);

(c) −→σ (t) = (t2, 1− t,√t), P0 = (1, 0, 1).

6. Determine −→σ (t), se o vetor derivada −→σ ′(t) = (t2, 4t3,−t2) e −→σ (0) = (0, 1, 0).

7. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana para cada curva, esboce acurva e indique com uma seta a direção/sentido em que a curva é traçada quando o valordo parâmetro aumenta:

(a) x = sin(θ), y = cos(θ), −π/2 ≤ θ ≤ π/2;

(b) x = 4 cos(θ), y = 5 sin(θ),−π/2 ≤ θ ≤ π/2;

(c) x = (sin(θ))2, y = (cos(θ))2, 0 ≤ θ ≤ π/2;

(d) x = sec(θ), y = tan(θ),−π/2 < θ < π/2;

(e) x = et, y = e−t, t ∈ R;

(f) x = −1 + t, y = 2− t, t ∈ R. As equações em (c) e (f) representam a mesma curva ?Compare o sentido de percurso.

8. Encontre equação vetorial, equações paramétricas e simétricas para cada reta que:

(a) passa pelo ponto (1, 0,−3) e é paralela ao vetor (2,−4, 5);

(b) passa pela origem e no ponto (1, 2, 3);

(c) passa pela origem e é paralela à reta x = 2t, y = 1, z = 4 + 3t, t ∈ R.

(9.) Determine equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações para-métricas abaixo, no ponto especificado:

(a) x = t5, y = t4, z = t3, P0 = (1, 1, 1);

(b) x = log(t), y = 2√t, z = t2, P0 = (0, 2, 1);

(c) x = 3t2 + 1, y = 2t3 + 1, P0 = (4,−1).

(10.) Em que pontos da curva C, cuja parametrização é x = t3 + 4t, y = 6t2, a reta tangente éparalela à reta com equações paramétricas x = −7t, y = 12t− 5?

(11.) Seja Cdefinida por σ(t) = (2 cos(t), 1 + 2 sin(t)). Determine as equações paramétricas dareta normal a C em (

√3, 2).

(12.) Encontre os pontos da curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical:

(a) x = 10− t2, y = t3 − 12t, t ∈ R;

(b) x = 2 cos(t), y = sin 2t, t ∈ R;

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(c) x = 2t3 + 3t2 − 12t, y = 2t3 + 3t2 + 1, t ∈ R.

(13.) Determine cada ponto de interseção das retas, se existir: σ1(t) = (1, 1, 0) + t(1,−1, 2) eσ2(t) = (2, 0, 2) + s(−1, 1, 0).

(14.) Encontre os vértices da elipse, esboce seu gráfico e parametrize:

(a) x2/9 + y2/5 = 1 (b) 4x2 + y2 = 16(c) 9x2 − 18x+ y2 = 27 (d) x2 + 2y2 − 6y + 7 = 0

(15.) Encontre os vértices, as assí?ntotas, esboce o gráfico e parametrize um dos ramos de cadahipérbole:(a) x2/144− y2/25 = 1 (b) −x2/36 + y2 = 1(c) 9x2 − 4y2 = 36 (d) −3x2 + 2y2 − 4y + 12x+ 8 = 0

(16.) Identifique a cônica, esboce e parametrize:

(a) x2 = y + 1 (b) x2 = y2 + 1 (c) x2 = 4y − 2y2

(d) y2 − 8y = 6x− 16 (d) x2 + y2 + 2y − 2x = 2.

(17.) Determine vetores velocidade e aceleração e a rapidez (velocidade escalar) de uma partí?culacuja função posição é:

(a) σ(t) = (t2, log(t), t), t ∈ R;

(b) σ(t) = et(cos(t), sin(t), t), t ∈ R.

(17.) Determine o vetor velocidade e o vetor posição de um objeto em movimento, se foremdados o vetor aceleração, o vetor velocidade inicial e o vetor posição inicial:

(a) A(t) = (0, 0, 1), V (0) = (1, 1, 0), σ(0) =−→0 ;

(b) A(t) = (0, 0,−10), V (0) = (1, 1,−1), σ(0) = (2, 3, 0).

(18.) Dois objetos viajam ao longo de duas curvas σ1(t) = (t, t2, t3), t ∈ R, e σ2(t) = (1+ 2t, 1+6t, 1 + 4t), t ∈ R. Os objetos vão colidir? Suas trajetórias vão se interceptar em algumponto?

(19.) Dois carros A1 e A2 percorrem, respectivamente as estradas BR1 e BR2, tendo seus movi-mentos descritos pelas curvas que são imagem das funções vetoriais σ1(t) = (10t, 50t2), t ≥0, e σ2(t) = (7t, 70t− 50), t ≥ 0, t medido em horas.

(a) No ponto P onde as estradas se cruzam, está situado um pardal de controle de velo-cidade. Encontre este ponto P .

(b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P?, Se não, qual chega primeiro?

(c) Supondo que o limite de velocidade no local do pardal é de 80km/h, algum dos carrosserá multado em P? Se afirmativo, determine qual(quais).

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(20.) Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição: σ1(t) = (1 + t, 2 + 3t) eσ2(t) = (1− t, 3 + t2), t ≥ 0.

(a) Mostre que eles nunca se chocarão e esboce as estradas.;

(b) Em que ponto a velocidade escalar do carro 2 é mí?nima? Qual será esta velocidade?

(21.) O vetor posição de um objeto se movendo é σ(t) = (1−t2

1+t2, 2t1+t2

).

(a) Mostre o objeto se move sobre uma circunferência de centro na origem;

(b) Em que sentido o objeto se move, quando t cresce?

(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pelo objeto quando t percorre ointervalo (−∞,∞) ?

(22.) Um objeto inicia seu movimento no ponto (0, ?4) e se move ao longo da parábola y = x2−4com velocidade horizontal dx

dt = 2t − 1. Encontre o vetor posição do objeto, os vetoresvelocidade e aceleração no instante t = 2 e represente-os geometricamente.

(23.) Considere a posição de um objeto σ(t) = (t− sin t, 1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.

(a) Determine a velocidade máxima do objeto e o instante em que ela ocorre.

(b) Os instantes t1, t2 ∈ [0, 2π] em que ⊑(t) = 1.

(c) O espaço percorrido pelo objeto no intervalo [t1, t2], com t1 e t2 do item (b).

(24.) Calcule o comprimento de cada curva abaixo:

(a) x = 1 + 3t2, y = 4 + 2t3, 0 ≤ t ≤ 1;

(b) x = a(cos t+ t sin t), y = a(−t cos t+ sin t), 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0;

(c) x = et + e−t, y = 5− 2t, deP1 = (2, 5) a P2 = (e3 + e−3,−1),

(d) x = t, y = 1− t2, z = 1; deP1 = (0, 1, 1) a P2 = (1, 0, 1);

(e) curva com equação cartesiana y2 = x3, entre P1 = (1,−1) e P2 = (1, 1).

(25.) Seja a curva C = C1 ∪ C2, onde C1 é o segmento de reta de P1 = (−2,−2) a P2 = (2, 2)e C2 é a porção de circunferência de centro (0, 2) e raio 2, entre (2, 2) e (−

√2, 2 −

√2),

percorrida no sentido anti-horário.

(a) parametrize C1 e C2;

(b) determine o comprimento de C.

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