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NOTAS DE AULA

Clculo Numrico

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

- UTFPR -

Professores: Lauro Cesar Galvo

Luiz Fernando Nunes

Clculo Numrico Integrao Numrica

Lauro / Nunes

5-71

5 Ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados

5.1 Introduo Uma forma de se trabalhar com uma funo definida por uma tabela de valores a

interpolao. Contudo, a interpolao pode no ser aconselhvel quando:

preciso obter um valor aproximado da funo em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolao).

Os valores tabelados so resultado de experimentos fsicos, pois estes valores podero conter erros inerentes que, em geral, no so previsveis.

Surge ento a necessidade de se ajustar a estas funes tabeladas uma funo que seja

uma boa aproximao para as mesmas e que nos permita extrapolar com certa margem de

segurana.

Assim, o objetivo deste processo aproximar uma funo f por outra funo g ,

escolhida de uma famlia de funes em duas situaes distintas:

Domnio discreto: quando a funo f dada por uma tabela de valores.

Domnio contnuo: quando a funo f dada por sua forma analtica.

y

x

y

x

y =f x( )

a

b

Clculo Numrico Integrao Numrica

Lauro / Nunes

5-72

5.2 Caso Discreto O problema do ajuste de curvas no caso em que se tem uma tabela de pontos:

1x 2x 3x mx

f ( 1x ) f ( 2x ) f ( 3x ) f ( mx )

com 1x , 2x , 3x , , mx [ a ,b ], consiste em: escolhidas n funes contnuas 1g ( x ),

2g ( x ), 3g ( x ), , ng ( x ), contnuas em [ a ,b ], obter n constantes 1 , 2 , 3 , , n tais

que a funo g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x ) 3 3g ( x ) n ng ( x ) se aproxime ao

mximo de f ( x ).

Este modelo matemtico linear pois os coeficientes que devem ser determinados

1 , 2 , 3 , , n aparecem linearmente, embora as funes 1g ( x ), 2g ( x ), 3g ( x ), ,

ng ( x ) possam ser no lineares.

Surge ento a primeira pergunta: Como escolher as funes contnuas 1g ( x ), 2g ( x ),

3g ( x ), , ng ( x ) ?

Esta escolha pode ser feita observando o grfico dos pontos tabelados (diagrama de

disperso) ou baseando-se em fundamentos tericos do experimento que forneceu a tabela.

Seja kd f ( kx ) g ( kx ) o desvio em kx .

O mtodo dos mnimos quadrados consiste em escolher os coeficientes 1 , 2 , 3 ,

, n de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mnima, isto :

m

kkd

1

2

m

kkk xgxf

1

2)]()([ deve ser mnimo.

Assim, os coeficientes 1 , 2 , 3 , , n que fazem com que g ( x ) se aproxime ao

mximo de f ( x ), so os que minimizam a funo:

F ( 1 , 2 , 3 ,, n )

m

kkk xgxf

1

2)]()([ =

m

kknnkkkk xgxgxgxgxf

1

2332211 )]()()()()([ .

Para isto necessrio que:

),,,,( nj

F

321 0, j 1, 2, 3, , n , isto :

),,,,( nj

F

321

f

y

xxg( )

xk

k

dk

x( )k

g

Clculo Numrico Integrao Numrica

Lauro / Nunes

5-73

2

m

kkjknnkkk xgxgxgxgxf

12211 )]([)]()()()([ 0, j 1, 2, 3, , n

ou

m

kkjknnkkk xgxgxgxgxf

12211 )]([)]()()()([ 0,

j 1, 2, 3, , n

Assim, tem-se o seguinte sistema de n equaes lineares com n incgnitas 1 , 2 ,

3 , , n :

0

0

0

1

2211

1

22211

1

12211

m

k

knknnkkk

m

k

kknnkkk

m

kkknnkkk

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

)]([)]()()()([

)]([)]()()()([

)]([)]()()()([

Que equivalente a:

)()()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()(

k

m

kknn

m

kknkn

m

kkkn

k

m

kkn

m

kknk

m

kkk

k

m

kkn

m

kknk

m

kkk

xfxgxgxgxgxg

xfxgxgxgxgxg

xfxgxgxgxgxg

111

11

12

121

112

11

111

111

As equaes deste sistema linear so chamadas de equaes normais.

Este sistema pode ser escrito na forma matricial bA :

nnnnnn

nn

nn

baaa

baaa

baaa

2211

22222121

11212111

onde A ( ija ) tal que ija

m

kkjki xgxg

1

)()(

m

kjikikj axgxg

1

)()( , ou seja, A

uma matriz simtrica;

Tn ],,,[ 21 e

Tnbbbb ],,,[ 21 tal que

m

kkkii xfxgb

1

)()( .

Lembrando que, dados os vetores x e y m o nmero real

m

kkk yxyx

1

,

chamado de produto escalar de x por y , e usando esta notao no sistema normal bA ,

tem-se: jiij gga , e fgb ii , onde:

lg o vetor T

mllll xgxgxgxg )]()()()([ 321 e

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5-74

f o vetor Tmxfxfxfxf )]()()()([ 321 .

Desta forma o sistema na forma matricial fica:

fg

fg

fg

gggggg

gggggg

gggggg

nnnnnn

n

n

,

,

,

,,,

,,,

,,,

2

1

2

1

21

22212

12111

Demonstra-se que, se as funes 1g ( x ), 2g ( x ), 3g ( x ), , ng ( x ) forem tais que os

vetores ,,,,, ngggg 321 sejam linearmente independentes (LI), ento 0Adet e o sistema de equaes possvel e determinado (SPD). Demonstra-se ainda que a soluo nica deste

sistema, 1 , 2 , 3 , , n o ponto em que a funo F ( 1 , 2 , 3 ,, n ) atinge seu

valor mnimo.

OBS. 3: Se os vetores ,,,,, ngggg 321 forem ortogonais entre si, isto , se

0 ji gg , se ji e 0 ji gg , se ji , a matriz dos coeficientes A ser uma matriz

diagonal, o que facilita a resoluo do sistema bA .

89. (Regresso Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo atravs de uma reta.

i 1 2 3 4 5

ix 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0

)( ixf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8

Resoluo: Fazendo )()()( xgxgxg 2211 e considerando

)(xg1 1 e )(xg2 x , tem-se: xxg 21)( .

Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela ter coeficientes 1 e 2 , que

so soluo do seguinte sistema na forma matricial:

fg

fg

gggg

gggg

,

,

,,

,,

2

1

2

1

2212

2111

Tg ][ 111111 Tg ],,,,,[ 08861543312 Tf ],,,,,[ 8516832502

11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 5

21 gg , (1)(1,3)+(1)(3,4)+(1)(5,1)+(1)(6,8)+(1)(8,0) = 24,6

12 gg , (1,3)(1)+(3,4)(1)+(5,1)(1)+(6,8)(1)+(8,0)(1) = 24,6

22 gg , (1,3)(1,3)+(3,4)(3,4)+(5,1)(5,1)+(6,8)(6,8)+(8,0)(8,0) = 149,50

fg ,1 (1)(2,0)+(1)(5,2)+(1)(3,8)+(1)(6,1)+(1)(5,8) = 22,9

fg ,2 (1,3)(2,0)+(3,4)(5,2)+(5,1)(3,8)+(6,8)(6,1)+(8,0)(5,8) = 127,54

Assim,

54127

922

50149624

6245

2

1

,

,

,,

, 1 2,01 e 2 0,522

Logo a equao da reta procurada :

xxg 21)( )(xg 2,010,522 x

Clculo Numrico Integrao Numrica

Lauro / Nunes

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90. Ajustar os dados da tabela atravs da parbola )(1 xg 2x :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ix 1 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

)( ixf 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Resoluo: Fazendo )()( xgxg 11 e considerando )(xg1 2x , obtm-se

21 xxg )( .

Assim, para se obter a parbola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, ser necessrio

encontrar 1 do sistema:

1111 ,, gfgg Tg ])1()7,0()6,0()75,0()1([ 222221

Tf ],,,,,[ 052214501531052

11 gg , (1)2 (1) 2 +(0,75) 2 (0,75) 2 +(0,6) 2 (0,6) 2 + + (0,7) 2 (0,7) 2 +

(1) 2 (1) 2 = 2,8464

fg ,1 (1)2 (2,05)+(0,75) 2 (1,153)+(0,6) 2 (0,45)+ + (0,7) 2 (1,2) +

(1) 2 (2,05) = 5,8756.

Assim, 84642

875651

,

,2,0642

Logo a equao da parbola procurada : 2

1 xxg )( 206422 xxg ,)(

91. Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinmio do segundo grau 2

321 xxxg )( .

i 1 2 3 4

ix 2 1 1 2

)( ixf 1 3 1 9

Resoluo: Neste caso tem-se que: )(xg1 1, xxg )(2 e 2

3 xxg )(

fg

fg

fg

gggggg

gggggg

gggggg

,

,

,

,,,

,,,

,,,

3

2

1

3

2

1

332313

322212

312111

y

x

2

1-1

1

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Lauro / Nunes

5-76

Tg ][ 11111 Tg ][ 21122

Tg ])()()()([ 22223 2112 Tf ][ 9131

11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 4

21 gg , (1)(2)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(2) = 0

12 gg , (2)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(1) = 0

31 gg , (1)22)( +(1) 21)( +(1) 21)( +(1) 22)( = 10

13 gg ,22)( (1)+ 21)( (1)+ 21)( (1)+ 22)( (1) = 10

22 gg , (2)( 2)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(2) = 10

32 gg , (2)22)( +(1) 21)( +(1) 21)( +(2) 22)( = 0