aula 18, cálculo vetorial e tensorialprofessor.ufabc.edu.br/.../uploads/aula18.pdf · aula 18,...

Aula 18, Cálculo Vetorial e Tensorial

PROF. ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

27 Maio 2020

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

Métrica: coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3)

I Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

~e2 =∂r∂u2

~e3 =∂r∂u3

I Matriz

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3

I ou equivalentemente, gij = ~ei · ~ej , onde i, j = 1, 2, 3.

~e1 =∂r∂u1

~e2 =∂r∂u2

~e3 =∂r∂u3

I Matriz

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

~e1 =∂r∂u1

~e2 =∂r∂u2

~e3 =∂r∂u3

I Matriz

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)

I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

1 0 00 1 00 0 1

I r = x ı+ y + zk . Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

1 0 00 1 00 0 1

I Vetor posição: r = x ı+ y + zk .I Diferencial do vetor posição: r = x ı+ y + zkI

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

= dx ı+ dy + dzk .

I Elemento de linha (ao quadrado):

ds2 = dr · dr = (dx ı+ dy + dzk) · (dx ı+ dy + dzk)

= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

dxdydz

I Métrica carrega o produto escalar.

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

= dx ı+ dy + dzk .

= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

dxdydz

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

= dx ı+ dy + dzk .

= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

dxdydz

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

= dx ı+ dy + dzk .

= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

dxdydz

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

= dx ı+ dy + dzk .

= dx2 + dy2 + dz2 = (dx , dy , dz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

dxdydz

I Dado um vetor v = vx ı+ vy + vz k , sua norma é dada por

‖v‖2 = v2x + v2

y + v2z

= (vx , vy , vz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

vxvyvz

I Vetor posição: r = x ı+ y + zk , sua norma é dada por

‖r‖2 = x2 + y2 + z2

= (x , y , z)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

I Dado um vetor v = vx ı+ vy + vz k , sua norma é dada por

‖v‖2 = v2x + v2

y + v2z

= (vx , vy , vz)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

vxvyvz

I Vetor posição: r = x ı+ y + zk , sua norma é dada por

‖r‖2 = x2 + y2 + z2

= (x , y , z)

1 0 00 1 00 0 1

︸︷︷︸

I Métrica

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

1 0 00 1 00 0 1

I Ao denominarmos x1 = x , x2 = y , x3 = z, podemos escrever

‖r‖2 =

∑3i=1

∑3j=1︷︸︸︷

3∑i,j=1

gij x i x j

= g11x1x1 + g12x1x2 + g13x1x3 + · · ·+ g33x3x3

= g11x1x1 + g22x2x2 + g33x3x3

= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

= x2 + y2 + z2.

I Métrica

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

1 0 00 1 00 0 1

I Ao denominarmos x1 = x , x2 = y , x3 = z, podemos escrever

‖r‖2 =

∑3i=1

∑3j=1︷︸︸︷

3∑i,j=1

gij x i x j

= g11x1x1 + g12x1x2 + g13x1x3 + · · ·+ g33x3x3

= g11x1x1 + g22x2x2 + g33x3x3

= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

= x2 + y2 + z2.

I Similarmente, podemos escrever

ds2 = dr · dr = ‖dr‖2 =

∑3i=1

∑3j=1︷︸︸︷

3∑i,j=1

gij dx i dx j

= g11dx1dx1 + g12dx1dx2 + g13dx1dx3 + · · ·+ g33dx3dx3

= g11dx1dx1 + g22dx2dx2 + g33dx3dx3

= dx2 + dy2 + dz2.

Coordenadas cilíndricas (u1 = ρ, u2 = θ, u3 = z)

I Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:

~e1 = ~eρ =∂r∂ρ

= cos θı+ sin θ = ρ

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= −ρ sin θı+ ρ cos θ = ρθ

~e3 =∂r∂z

I Portanto

1 0 00 ρ2 00 0 1

I Coordenadas cilíndricas r = ρ cos θı+ ρ sin θ+ zk . Vetores coordenados:

~e1 = ~eρ =∂r∂ρ

= cos θı+ sin θ = ρ

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= −ρ sin θı+ ρ cos θ = ρθ

~e3 =∂r∂z

I Portanto

1 0 00 ρ2 00 0 1

dr = dρ

ρ︷︸︸︷eρ +ρdθ

θ︷︸︸︷eθ +dz

k︷︸︸︷ez

= dρρ+ ρdθθ + dzk .

ds2 = dr · dr = (dρρ+ ρdθθ + dzk) · (dρρ+ ρdθθ + dzk)

= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)

= (dρ, dθ, dz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

dρdθdz

dr = dρ

k︷︸︸︷ez

= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)

= (dρ, dθ, dz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

dρdθdz

dr = dρ

k︷︸︸︷ez

= dρ2 + ρ2dθ2 + dz2 (SI)

= (dρ, dθ, dz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

dρdθdz

I Dado um vetor v = vρρ+ vθ θ + vz k , sua norma é dada porI

‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

︸︷︷︸

vρvθvz

= (vρ, vθ, vz)

vρρ2vθvz

ρ + ρ2v2θ + v2

‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

︸︷︷︸

vρvθvz

= (vρ, vθ, vz)

vρρ2vθvz

ρ + ρ2v2θ + v2

‖v‖2 = (vρ, vθ, vz)

1 0 00 ρ2 00 0 1

︸︷︷︸

vρvθvz

= (vρ, vθ, vz)

vρρ2vθvz

ρ + ρ2v2θ + v2

I Métrica

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

1 0 00 ρ2 00 0 1

I Ao denominarmos x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z, podemos escreverv = vρρ+ vθ θ + vz k , e

‖v‖2 =

∑3i=1

∑3j=1︷︸︸︷

3∑i,j=1

gij v i v j

= g11v1v1 + g12v1v2 + g13v1v3 + · · ·+ g33v3v3

= g11v1v1 + g22v2v2 + g33v3v3

= v2ρ + ρ2v2

θ + v2z .

I Métrica

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

1 0 00 ρ2 00 0 1

I Ao denominarmos x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z, podemos escreverv = vρρ+ vθ θ + vz k , e

‖v‖2 =

∑3i=1

∑3j=1︷︸︸︷

3∑i,j=1

gij v i v j

= g11v1v1 + g12v1v2 + g13v1v3 + · · ·+ g33v3v3

= g11v1v1 + g22v2v2 + g33v3v3

= v2ρ + ρ2v2

θ + v2z .

Coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ)

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.

I Fatores de escala:

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.

I Portanto

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı+ sin θ sinφ+ cos θk = r

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

= r cos θ cosφı+ r cos θ sinφ− r sin θk

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

= −r sin θ sinφı+ r sin θ cosφ.

I Fatores de escala:

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.

I Portanto

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

I Diferencial do vetor posição:

dr = dr

r︷︸︸︷er +rdθ

θ︷︸︸︷eθ +r sin θdφ

φ︷︸︸︷eφ

= dr r + rdθθ + r sin θdφφ.

ds2 = dr · dr = (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ) · (dr r + rdθθ + r sin θdφ φ)

= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2, análogo do teorema de Pitágoras,

= (dr , dθ, dφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

drdθdφ

︸︷︷︸

drr2dθ

r2 sin2 θdφ

dr = dr

φ︷︸︸︷eφ

= (dr , dθ, dφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

drdθdφ

︸︷︷︸

drr2dθ

r2 sin2 θdφ

dr = dr

φ︷︸︸︷eφ

= (dr , dθ, dφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

drdθdφ

︸︷︷︸

drr2dθ

r2 sin2 θdφ

I Dado um vetor v = vr r + vθ θ + vφφ, sua norma é dada porI

‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

︸︷︷︸

vrvθvφ

= (vr , vθ, vφ)

vrr2 vθ

r2 sin2 θ vφ

r + r2v2θ + r2 sin2 θv2

‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

︸︷︷︸

vrvθvφ

= (vr , vθ, vφ)

vrr2 vθ

r2 sin2 θ vφ

‖v‖2 = (vr , vθ, vφ)

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

︸︷︷︸

vrvθvφ

= (vr , vθ, vφ)

vrr2 vθ

r2 sin2 θ vφ

Tensores

I Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores e matrizes, introduzindoesse novo conceito que chamamos de tensores.

I Lembramos que:I Escalar: definido por um número (ou função, em caso de um campo escalar). É

especificado, portanto, por uma única componente.I Vetor (v =

∑ni=1 v i ei ) lista de números, cujo número de componentes v i é igual

à dimensão do espaço, n. Segmento de reta orientado.I Matriz: componentes aij . Número de componentes (entradas): n2.

Tensores

I Rotação ativa (coordenadas)

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = −x sin θ + y cos θ

I Rotação passiva (componentes dos vetores).Dado o vetor v = vx ı+ vy = v ′x ı′ + v ′y ′.

v ′x = vx cos θ − vy sin θ

v ′y = vx sin θ + vy cos θ

Tensores

I Rotação ativa (coordenadas)

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = −x sin θ + y cos θ

I Rotação passiva (componentes dos vetores).Dado o vetor v = vx ı+ vy = v ′x ı′ + v ′y ′.

Tensores

I O comprimento de um vetor é invariante sob rotações (sejam elas no vetor ouno sistema de coordenadas), porém suas componentes são modificadas nesseprocesso.

I Cálculo da norma de v:

‖v‖2 = v ′2x + v ′2y

= (vx cos θ − vy sin θ)2 + (vx sin θ + vy cos θ)2

= v2x cos2 θ

��

��:−2vx vy sin θ cos θ + v2

y sin2 θ

+v2x sin2 θ

��

�:+2vx vy sin θ cos θ + v2

y cos2 θ

= v2x + v2

Tensores

I O comprimento de um vetor é invariante sob rotações (sejam elas no vetor ouno sistema de coordenadas), porém suas componentes são modificadas nesseprocesso.

I Cálculo da norma de v:

‖v‖2 = v ′2x + v ′2y

= (vx cos θ − vy sin θ)2 + (vx sin θ + vy cos θ)2

= v2x cos2 θ

��

��:−2vx vy sin θ cos θ + v2

y sin2 θ

+v2x sin2 θ

��

�:+2vx vy sin θ cos θ + v2

y cos2 θ

= v2x + v2

Tensores

I Delta de Kronecker. Para i, j = 1, 2, . . . , n

δij =

{0, se i 6= j,1, se i = j.

I Como estamos trabalhando com o espaço R3, então consideramos n = 3.I Delta de Kronecker

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule3∑

δij x i x j .

Tensores

δij =

{0, se i 6= j,1, se i = j.

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule3∑

δij x i x j .

Tensores

δij =

{0, se i 6= j,1, se i = j.

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule3∑

δij x i x j .

Tensores

δij =

{0, se i 6= j,1, se i = j.

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule3∑

δij x i x j .

Tensores

I Delta de Kronecker

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule:

3∑i,j=1

δij x i x j = δ11x1x1 + δ12x1x2 + δ13x1x3 + · · ·+ δ33x3x3

= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3

= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

= ‖(x1, x2, x3)‖

I Convenção da somatória de Einstein: consiste em omitir o símbolo desomatório e interpretar índices que se repetem uma vez em um mesmo termocomo indicador desse somatório.

I Portanto a notação δij x i x j implica3∑

δij x i x j .

Tensores

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule:

3∑i,j=1

= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3

= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

= ‖(x1, x2, x3)‖

δij x i x j .

Tensores

δij =

δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

1 0 00 1 00 0 1

I Calcule:

3∑i,j=1

= δ11x1x1 + δ22x2x2 + δ33x3x3

= (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

= ‖(x1, x2, x3)‖

δij x i x j .

Tensores

I Espaço R3: i, j = 1, 2, 3.I Exemplo:

δijδij = δ11δ

11 + δ12δ12 + δ13δ

13 + δ21δ21 + δ22δ

22 + δ23δ23

+δ31δ31 + δ32δ

32 + δ33δ33

= δ11δ11 + δ22δ

22 + δ33δ33

Tensores

I Espaço R3: i, j = 1, 2, 3.I Exemplo:

δijδij = δ11δ

11 + δ12δ12 + δ13δ

13 + δ21δ21 + δ22δ

22 + δ23δ23

+δ31δ31 + δ32δ

32 + δ33δ33

= δ11δ11 + δ22δ

22 + δ33δ33

Tensores

I Símbolo de Levi-Civita:

εijk =

1, para permutações cíclicas (ijk) = (123), (312), (231),−1, para transposições (ijk) = (213), (132), (321),0 se um índice se repetir.

Tensores

I Símbolo de Levi-Civita:

εijk =

1, para permutações cíclicas (ijk) = (123), (312), (231),−1, para transposições (ijk) = (213), (132), (321),0 se um índice se repetir.

Tensores

I Transformação inversão de paridade

I A inversão de paridade é induzida pela ação da matriz aij = −δij em um vetor.I Dado o vetor posição~r = (x1, x2, x3), a inversão de paridade é dada por

x ′i = −δij xj = −δi1x1 − δi2x2 − δi3x3

= −xi .

I Isso significa que~r′ =(x ′1, x

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

I Essa transformação muda a orientação do sistema de coordenadas: se osistema em é dextrógiro (mão direita), passa a ser levógiro (mão esquerda) evice-versa.

I Um vetor que se comporta dessa forma, sob a transformação de paridade édenominado vetor polar.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

= −xi .

′2, x′3

)= (−x1,−x2,−x3) = −~r.

Tensores

I Considere agora um vetor definido a partir do produto vetorial

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣cujas componentes são da forma

C1 = A2B3 − A3B2, C2 = A3B1 − A1B3, C3 = A1B2 − A2B1.

I Sob inversão de paridade, Ai 7→ −Ai , Bj 7→ −Bj e, portanto Ci 7→ +Ci .I Esse tipo de vetor é chamado de vetor axial ou pseudo-vetor.I Exemplos:

velocidade angular ~ω. v = ~ω ×~r

momento angular : ~L = ~r × ~p

torque ~τ : = ~r × ~F

campo magnético∂~B∂t

= −∇× ~E

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

= −∇× ~E

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

= −∇× ~E

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

= −∇× ~E

Tensores

I momento angular : ~L = ~r × ~p.I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Li = εijk xj pk .I De fato,

L1 = ε1jk xj pk

= ε111x1p1 + ε112x1p2 + ε113x1p3 + ε121x2p1 + ε122x2p2

+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3

= ε123x2p3 + ε132x3p2

= x2p3 − x3p2.

I Similarmente,

L2 = x3p1 − x1p3,

L3 = x1p2 − x2p1.

I Portanto Li = εijk xi pk é uma notação tensorial para o produto vetorial (que só

existe em R3 [e R7]) ~L =~r ×~p .

Tensores

L1 = ε1jk xj pk

+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3

= ε123x2p3 + ε132x3p2

= x2p3 − x3p2.

I Similarmente,

L2 = x3p1 − x1p3,

L3 = x1p2 − x2p1.

Tensores

L1 = ε1jk xj pk

+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3

= ε123x2p3 + ε132x3p2

= x2p3 − x3p2.

I Similarmente,

L2 = x3p1 − x1p3,

L3 = x1p2 − x2p1.

Tensores

L1 = ε1jk xj pk

+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3

= ε123x2p3 + ε132x3p2

= x2p3 − x3p2.

I Similarmente,

L2 = x3p1 − x1p3,

L3 = x1p2 − x2p1.

Tensores

L1 = ε1jk xj pk

+ε123x2p3 + ε131x3p1 + ε132x3p2 + ε133x3p3

= ε123x2p3 + ε132x3p2

= x2p3 − x3p2.

I Similarmente,

L2 = x3p1 − x1p3,

L3 = x1p2 − x2p1.

Tensores

I Isso vale para qualquer produto vetorial

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .

I Para os índices i, j, k = 1, 2, 3, temos Ci = εijk Aj Bk .I De fato,

C1 = ε1jk Ai Bk

= ε111A1B1 + ε112A1B2 + ε113A1B3 + ε121A2B1 + ε122A2B2

+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2

= ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2

I Analogamente, C2 = A3B1 − A1B3 e C3 = A1B2 − A2B1.

I PortantoCi = εijk Ai Bk

é uma notação tensorial para o produto vetorial ~C = ~A× ~B.

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .

C1 = ε1jk Ai Bk

+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2

= ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .

C1 = ε1jk Ai Bk

+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2

= ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .

C1 = ε1jk Ai Bk

+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2

= ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2

Tensores

~C = ~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣ı k

A1 A2 A3B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣ = (A2B3 − A3B2)ı+ (A3B1 − A1B3)+ (A1B2 − A2B1)k .

C1 = ε1jk Ai Bk

+ε123A2B3 + ε131A3B1 + ε132A3B2

= ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2

aula 18, cálculo vetorial e tensorialprofessor.ufabc.edu.br/.../uploads/aula18.pdf · aula 18,...

Documents