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Aula 1, CVT
ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
February 9, 2020
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Notação
I Vetor posição: ~r ou r:
~r = x ı̂+ y ̂+ zk̂ = (x , y , z).
I Norma do vetor posição: r := ‖~r‖ =√
x2 + y2 + z2.I versor posição:
r̂ =~rr.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Notação
I Vetor posição: ~r ou r:
~r = x ı̂+ y ̂+ zk̂ = (x , y , z).
I Norma do vetor posição: r := ‖~r‖ =√
x2 + y2 + z2.I versor posição:
r̂ =~rr.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Notação
I Vetor posição: ~r ou r:
~r = x ı̂+ y ̂+ zk̂ = (x , y , z).
I Norma do vetor posição: r := ‖~r‖ =√
x2 + y2 + z2.I versor posição:
r̂ =~rr.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos vetoriais
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos vetoriais
I Um campo vetorial em Rn é uma função ~F : Rn → Rm que atribui a cada~r ∈ Rn
um vetor ~F (~r).I Um campo vetorial em Rn com o domínio U ⊂ Rn é chamado de campo vetorial
em U.I Quando uma função ~F : Rn → Rn é vista como um campo vetorial, para cada~r ,
o vetor ~F (~r) é identificado com o vetor que começa no ponto~r e aponta para~F (~r).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos vetoriais
I Um campo vetorial em Rn é uma função ~F : Rn → Rm que atribui a cada~r ∈ Rn
um vetor ~F (~r).I Um campo vetorial em Rn com o domínio U ⊂ Rn é chamado de campo vetorial
em U.I Quando uma função ~F : Rn → Rn é vista como um campo vetorial, para cada~r ,
o vetor ~F (~r) é identificado com o vetor que começa no ponto~r e aponta para~F (~r).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos vetoriais
I Um campo vetorial em Rn é uma função ~F : Rn → Rm que atribui a cada~r ∈ Rn
um vetor ~F (~r).I Um campo vetorial em Rn com o domínio U ⊂ Rn é chamado de campo vetorial
em U.I Quando uma função ~F : Rn → Rn é vista como um campo vetorial, para cada~r ,
o vetor ~F (~r) é identificado com o vetor que começa no ponto~r e aponta para~F (~r).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Exemplos
I
~F : R2 → R2
(x , y) 7→ ~F (x , y) = (x ,−y).
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Exemplos
I
~F : R2 → R2
(x , y) 7→ ~F (x , y) = (−y , x).
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Exemplos
I
~F : R2 \ {~0} → R2
(x , y) 7→ ~F (x , y) =(−
yx2 + y2
,x
x2 + y2
).
O campo ~F roda um vetor no sentido anti-horário por um ângulo π/2.
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Exemplos
I Força gravitacional: força central.
~F : R3 → R3
(x , y , z) 7→ ~F (x , y , z) = −GMm~rr3
= −GMm
r2r̂ .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos escalares
I Uma função f : U ⊂ Rn → R é chamada um campo escalar, que assinala umnúmero a cada ponto do aberto U.
I Quando tratamos um campo vetorial ~F : R3 → R3, temos:
~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z )̂ı+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂ ,
onde F1(x , y , z),F2(x , y , z) e F3(x , y , z) são campos escalares.I Exemplo: f : R2 → R2, onde f (x , y) = x4 − 2x2 + y4 − 2y2 + 5.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos escalares
I Uma função f : U ⊂ Rn → R é chamada um campo escalar, que assinala umnúmero a cada ponto do aberto U.
I Quando tratamos um campo vetorial ~F : R3 → R3, temos:
~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂ ,
onde F1(x , y , z),F2(x , y , z) e F3(x , y , z) são campos escalares.I Exemplo: f : R2 → R2, onde f (x , y) = x4 − 2x2 + y4 − 2y2 + 5.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos escalares
I Uma função f : U ⊂ Rn → R é chamada um campo escalar, que assinala umnúmero a cada ponto do aberto U.
I Quando tratamos um campo vetorial ~F : R3 → R3, temos:
~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂ ,
onde F1(x , y , z),F2(x , y , z) e F3(x , y , z) são campos escalares.I Exemplo: f : R2 → R2, onde f (x , y) = x4 − 2x2 + y4 − 2y2 + 5.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Gradiente
I Age em campos escalares f : R3 → R:
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z.
I Operador gradiente:
∇ = ı̂∂
∂x+ ̂
∂
∂y+ k̂
∂
∂z.
I Exemplos: f (x , y , z) = x2,f (x , y , z) = r2,f (x , y , z) = f (r).
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Gradiente
I Age em campos escalares f : R3 → R:
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z.
I Operador gradiente:
∇ = ı̂∂
∂x+ ̂
∂
∂y+ k̂
∂
∂z.
I Exemplos: f (x , y , z) = x2,f (x , y , z) = r2,f (x , y , z) = f (r).
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Gradiente
I Age em campos escalares f : R3 → R:
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z.
I Operador gradiente:
∇ = ı̂∂
∂x+ ̂
∂
∂y+ k̂
∂
∂z.
I Exemplos: f (x , y , z) = x2,f (x , y , z) = r2,f (x , y , z) = f (r).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Significado do gradiente
I Usando a definição,
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z,
I Considere um deslocamento infinitesimal
d~r = dx ı̂+ dy ̂+ dz k̂
e, usando a regra da cadeia, df = ∂f∂x dx + ∂f
∂y dy + ∂f∂z dz, implica
df = ∇f · d~r .
I Portanto, em superfícies f (x , y , z) = constante, ou seja, df = 0, temos:
df = ∇f · d~r = 0.
⇒ ∇f ⊥ d~r e, portanto, ∇f é ortogonal à superfície f (x , y , z) = constante.I O gradiente ∇f em um ponto aponta na direção de maior variação de f neste
ponto.
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Significado do gradiente
I Usando a definição,
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z,
I Considere um deslocamento infinitesimal
d~r = dx ı̂+ dy ̂+ dz k̂
e, usando a regra da cadeia, df = ∂f∂x dx + ∂f
∂y dy + ∂f∂z dz, implica
df = ∇f · d~r .
I Portanto, em superfícies f (x , y , z) = constante, ou seja, df = 0, temos:
df = ∇f · d~r = 0.
⇒ ∇f ⊥ d~r e, portanto, ∇f é ortogonal à superfície f (x , y , z) = constante.I O gradiente ∇f em um ponto aponta na direção de maior variação de f neste
ponto.
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Significado do gradiente
I Usando a definição,
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z,
I Considere um deslocamento infinitesimal
d~r = dx ı̂+ dy ̂+ dz k̂
e, usando a regra da cadeia, df = ∂f∂x dx + ∂f
∂y dy + ∂f∂z dz, implica
df = ∇f · d~r .
I Portanto, em superfícies f (x , y , z) = constante, ou seja, df = 0, temos:
df = ∇f · d~r = 0.
⇒ ∇f ⊥ d~r e, portanto, ∇f é ortogonal à superfície f (x , y , z) = constante.I O gradiente ∇f em um ponto aponta na direção de maior variação de f neste
ponto.
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Significado do gradiente
I Usando a definição,
∇f = ı̂∂f∂x
+ ̂∂f∂y
+ k̂∂f∂z,
I Considere um deslocamento infinitesimal
d~r = dx ı̂+ dy ̂+ dz k̂
e, usando a regra da cadeia, df = ∂f∂x dx + ∂f
∂y dy + ∂f∂z dz, implica
df = ∇f · d~r .
I Portanto, em superfícies f (x , y , z) = constante, ou seja, df = 0, temos:
df = ∇f · d~r = 0.
⇒ ∇f ⊥ d~r e, portanto, ∇f é ortogonal à superfície f (x , y , z) = constante.I O gradiente ∇f em um ponto aponta na direção de maior variação de f neste
ponto.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Gradiente: mais exemplos
.I Barra de metal, quente em uma extremidade e fria na outra.I Sua temperatura é um campo escalar T (x , y , z).I O fluxo de calor é um campo vetorial J = −κ∇T , onde κ é uma constante.I Serão considerados de agora em diante campos escalares e vetoriais de classe
C2 (possuem derivadas de segunda ordem contínuas).
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Gradiente: mais exemplos
.I Barra de metal, quente em uma extremidade e fria na outra.I Sua temperatura é um campo escalar T (x , y , z).I O fluxo de calor é um campo vetorial J = −κ∇T , onde κ é uma constante.I Serão considerados de agora em diante campos escalares e vetoriais de classe
C2 (possuem derivadas de segunda ordem contínuas).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Gradiente: mais exemplos
.I Barra de metal, quente em uma extremidade e fria na outra.I Sua temperatura é um campo escalar T (x , y , z).I O fluxo de calor é um campo vetorial J = −κ∇T , onde κ é uma constante.I Serão considerados de agora em diante campos escalares e vetoriais de classe
C2 (possuem derivadas de segunda ordem contínuas).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Gradiente: mais exemplos
.I Barra de metal, quente em uma extremidade e fria na outra.I Sua temperatura é um campo escalar T (x , y , z).I O fluxo de calor é um campo vetorial J = −κ∇T , onde κ é uma constante.I Serão considerados de agora em diante campos escalares e vetoriais de classe
C2 (possuem derivadas de segunda ordem contínuas).
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos conservativos e potenciais
I Um campo vetorial ~F é dito ser um campo vetorial gradiente se existir umcampo escalar f : Rn → R tal que
~F = ∇f .
I Neste caso, f é denominado um potencial escalar.I Potencial gravitacional: f (r) = GMm
r , então ∇f = −GMmr2 r̂ = ~F = força
gravitacional.
I O campo vetorial ~F (x , y) = (y ,−x) é um campo vetorial gradiente?
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos conservativos e potenciais
I Um campo vetorial ~F é dito ser um campo vetorial gradiente se existir umcampo escalar f : Rn → R tal que
~F = ∇f .
I Neste caso, f é denominado um potencial escalar.I Potencial gravitacional: f (r) = GMm
r , então ∇f = −GMmr2 r̂ = ~F = força
gravitacional.
I O campo vetorial ~F (x , y) = (y ,−x) é um campo vetorial gradiente?
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos conservativos e potenciais
I Um campo vetorial ~F é dito ser um campo vetorial gradiente se existir umcampo escalar f : Rn → R tal que
~F = ∇f .
I Neste caso, f é denominado um potencial escalar.I Potencial gravitacional: f (r) = GMm
r , então ∇f = −GMmr2 r̂ = ~F = força
gravitacional.
I O campo vetorial ~F (x , y) = (y ,−x) é um campo vetorial gradiente?
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Campos conservativos e potenciais
I Um campo vetorial ~F é dito ser um campo vetorial gradiente se existir umcampo escalar f : Rn → R tal que
~F = ∇f .
I Neste caso, f é denominado um potencial escalar.I Potencial gravitacional: f (r) = GMm
r , então ∇f = −GMmr2 r̂ = ~F = força
gravitacional.
I O campo vetorial ~F (x , y) = (y ,−x) é um campo vetorial gradiente?
Operadores diferenciaisROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
I Seja~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂
um campo vetorial em R3.
I O divergente de ~F é um campo escalar, dado por
∇ · ~F =∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z.
I Calcule ∇ ·~r e ∇ ·(
~rr3
).
I Calcule ∇ · ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).
Operadores diferenciaisROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
I Seja~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂
um campo vetorial em R3.
I O divergente de ~F é um campo escalar, dado por
∇ · ~F =∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z.
I Calcule ∇ ·~r e ∇ ·(
~rr3
).
I Calcule ∇ · ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).
Operadores diferenciaisROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
I Seja~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂
um campo vetorial em R3.
I O divergente de ~F é um campo escalar, dado por
∇ · ~F =∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z.
I Calcule ∇ ·~r e ∇ ·(
~rr3
).
I Calcule ∇ · ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).
Operadores diferenciaisROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
I Seja~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂
um campo vetorial em R3.
I O divergente de ~F é um campo escalar, dado por
∇ · ~F =∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z.
I Calcule ∇ ·~r e ∇ ·(
~rr3
).
I Calcule ∇ · ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).
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Divergente
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
.I Se ∇ · ~F > 0: fonte.I Se ∇ · ~F < 0: sorvedouro.I Se ∇ · ~F = 0, então ~F é chamado incompressível ou solenoidal.I Laplaciano ∇2f = ∇ · ∇f .
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Divergente
.I Se ∇ · ~F > 0: fonte.I Se ∇ · ~F < 0: sorvedouro.I Se ∇ · ~F = 0, então ~F é chamado incompressível ou solenoidal.I Laplaciano ∇2f = ∇ · ∇f .
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Divergente
.I Se ∇ · ~F > 0: fonte.I Se ∇ · ~F < 0: sorvedouro.I Se ∇ · ~F = 0, então ~F é chamado incompressível ou solenoidal.I Laplaciano ∇2f = ∇ · ∇f .
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Divergente
.I Se ∇ · ~F > 0: fonte.I Se ∇ · ~F < 0: sorvedouro.I Se ∇ · ~F = 0, então ~F é chamado incompressível ou solenoidal.I Laplaciano ∇2f = ∇ · ∇f .
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Rotacional
I Seja ~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂ um campovetorial em R3.
I O rotacional de ~F é um campo vetorial, dado por
∇× ~F = det
ı̂ ̂ k̂∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Seja ~F (~r) = ~F (x , y , z) = F1(x , y , z)ı̂+ F2(x , y , z)̂+ F3(x , y , z)k̂ um campovetorial em R3.
I O rotacional de ~F é um campo vetorial, dado por
∇× ~F = det
ı̂ ̂ k̂∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
.
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Rotacional
I Vorticidade. Calcule o rotacional de
~F : R2 → R2
(x , y) 7→ ~F (x , y) = (−y , x).
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
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Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
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Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.
ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Rotacional
I Calcule ∇×~r e ∇× ~F , onde ~F (x , y , z) = −y ı̂+ x ̂.
I Calcule ∇× ~F , onde ~F = (x3y2, z2, zy).I Calcule ∇×∇f .I Calcule ∇ · (∇× ~F ).
I Calcule ∇× (f ~F ) e ∇ · (f ~F ).
I Se ∇× ~F = ~0, então ~F é dito ser irrotacional.I Se ~F é conservativo, então ~F é irrotacional.