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Clculo Vetorial e Geometria Analtica

Prof. Srgio de Albuquerque Souza Curso de Licenciatura em Matemtica UFPBVIRTUAL

Correio eletrnico: sergio@mat.ufpb.br Stio: www.mat.ufpb.br/segio

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horria: 60 horas Crditos: 04

Descrio do Curso

Este curso ir introduzir conceitos e utilizao de vetores, no espao tridimensional, para a

resoluo de vrios problemas geomtricos como determinar, por exemplo, distncias entre

pontos, projees, reas e volumes. Para tais conceitos utilizaremos algumas ferramentas

algbricas, via resoluo de sistemas lineares, matrizes e determinantes.

Depois da apresentao dos vetores, iremos utiliz-los como ferramenta para definir as

retas e os planos atravs de suas equaes e trataremos os problemas de posies relativas,

distncias e ngulos entre retas, entre retas e planos e entre planos.

Mostraremos as cnicas nas suas formas reduzidas e paramtricas, para depois introduzir

um mtodo mais algbrico para a classificao das cnicas, usando autovalores e autovetores,

determinando, desta maneira, os novos eixos coordenados para a cnica.

Finalmente, as qudricas sero exibidas e classificadas a partir de suas equaes

reduzidas, mostrando o processo de construo tridimensional da mesma, atravs de cortes com

os planos coordenados.

Objetivos

Ao final do curso voc estar habilitado a:

Compreender o conceito de vetores;

Ter uma compreenso espacial dos vetores;

Operacionalizar vetores de forma geomtrica e analtica;

Compreender os resultados geomtricos e numricos associados s operaes com

vetores;

Definir as retas e os planos atravs de suas equaes, obtidas utilizando-se vetores;

Determinar as posies relativas, os ngulos, as distncias, as intersees entre as

retas, entre as retas e os planos e entre os planos;

Definir e classificar as cnicas nas formas reduzidas;

Trabalhar com polinmios caractersticos, autovalores e autovetores;

Classificar uma cnica dada na forma geral;

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Definir e classificar as qudricas, superfcies cilndricas e cnicas.

Projeto da Disciplina

A disciplina est estruturada em trs Unidades Temticas Integradas. Cada uma contm

itens e subitens que os remetem s outras unidades. Os temas abordados sero acompanhados

de uma exposio, uma animao, vdeos ou ilustraes, com indicao de textos de apoio e

problematizao das questes do texto. Para cada Unidade ser aberta uma discusso no frum

e proposta uma atividade de avaliao.

Unidades Temticas Integradas

Unidade I Vetores

Situando a Temtica

Problematizando a Temtica

Conhecendo a Temtica

Introduo

Segmentos Orientados

Norma, direo e sentido

Vetores

Operaes elementares com vetores

Soma

Multiplicao por escalar

Combinao Linear

Dependncia Linear

ngulos entre vetores

Produtos entre vetores

Produto Interno

Produto Vetorial

Produto Misto

Vetores do R3 em coordenadas

Exemplos

Avaliando o que foi construdo

Unidade II Retas e Planos

Situando a Temtica

Problematizando a Temtica

Conhecendo a Temtica

Introduo

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O plano

Por trs pontos

Por um ponto e dois vetores

Um ponto e um vetor perpendicular

A reta

Por dois pontos

Por um ponto e um vetor

Por dois planos

Posio relativa

Entre retas

Entre retas e planos

Entre planos

ngulo

Nulo

No nulo

Intersees

Vazia

No vazia

Distncias

Igual a zero

Diferente de zero

Exemplos

Avaliando o que foi construdo

Unidade III Cnicas e Qudricas

Situando a Temtica

Problematizando a Temtica

Conhecendo a Temtica

Introduo

Cnicas

Forma reduzida

Autovalores e autovetores

Classificando as cnicas

Qudricas

Esfera

Elipside

Hiperbolide de uma folha

Hiperbolide de duas folhas

Parabolide elptico

Parabolide hiperblico

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Superfcie cnica

Superfcie cilndrica

Exemplos

Cnicas

Qudricas

Avaliando o que foi construdo

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Unidade I Vetores

1. Situando a Temtica

Nesta unidade estudaremos e definiremos vetores, bem como as operaes com esses

vetores, obtendo resultados geomtricos e analticos, utilizando como base os conceitos bsicos

da trigonometria, como tringulos retngulos e suas relaes.

O tratamento vetorial de vrios problemas matemticos e fsicos simplifica a compreenso

e o estudo destes problemas, possibilitando a ampliao, generalizao e confirmao dos

conceitos e definies existentes.

2. Problematizando a Temtica

Trataremos vrios problemas geomtricos, como por exemplo, rea de um tringulo

qualquer, projees, volume de um paralelogramo, perpendicularismo, paralelismo e ngulos,

utilizando as facilidades dadas pelas propriedades encontradas nos vetores e suas operaes.

3. Conhecendo a Temtica

3.1 Introduo

O estudo de vetores iniciou-se no final do sculo XIX. Eles constituem os instrumentos

ideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes nas vrias reas do

conhecimento, como em Fsica e em Matemtica.

Existem basicamente trs maneiras de se introduzir o estudo de vetores:

Geometricamente: os vetores so representados por segmentos de reta orientados

(setas) e as operaes com eles so definidas geometricamente;

Analiticamente: os vetores e correspondentes operaes so descritos em termos de

nmeros, chamados componentes dos vetores. A descrio analtica resulta naturalmente

da descrio geomtrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas;

Axiomaticamente: no se faz qualquer tentativa para se descrever um vetor ou as

operaes algbricas com vetores. Neste caso, vetores e operaes vetoriais so

considerados conceitos no definidos, relativamente aos quais se sabe apenas que eles

satisfazem certo conjunto de axiomas. Tal sistema algbrico, com axiomas apropriados,

chama-se espao vetorial. Em todos os ramos da Matemtica se encontram espaos

vetoriais e eles so apresentados em cursos de lgebra Linear.

Nesta unidade, inicialmente introduzimos vetores geometricamente de modo construtivo e

j apelando para a visualizao do mesmo, dentro do espao tridimensional. Depois, utilizamos o

mtodo analtico e geomtrico para introduzir outros conceitos e operaes.

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3.2 Segmentos Orientados

Definio: Dados dois pontos distintos A e B quaisquer, que determinam uma reta r, chamaremos

de segmento AB , ao conjunto formado por todos os pontos da reta r entre A e B .

Observao: Note que o segmento BAAB = . O segmento AA ser considerado segmento nulo.

Definio: Um segmento orientado AB definido por um segmento AB mais a escolha de um

dos seus extremos como ponto inicial e o outro como ponto final, ou seja, daremos uma

orientao de como deve ser olhado o segmento.

Exemplo: Considere a figura do paraleleppedo da figura

1, o segmento orientado AB tem ponto inicial o ponto A e

ponto final B.

Observao: Note que o segmento orientado BAAB .

Exerccio: Considere o paraleleppedo da figura 1.

a) Verifique que existem 36 segmentos que podem ser definidos pelos pontos ABCDEFGH.

b) So 64 segmentos orientados?

3.3 Norma, direo e sentido

Para efeito da definio e estudo de vetores, precisamos comparar um segmento orientado

a um outro, observando as trs seguintes caractersticas:

Norma: o comprimento do segmento orientado AB , denotado por AB .

Direo: dois segmentos orientados AB e CD tero mesma direo se as retas que os

contm so coincidentes ou paralelas.

Sentido: dois segmentos orientados AB e CD que tiverem a mesma direo e no forem

colineares, tm o mesmo sentido quando }{=BDAC I , caso contrrio tm sentidos

opostos. Os segmentos orientados AB e CD colineares tm o mesmo sentido, quando um

outro segmento auxiliar ''BA no colinear com CD e no mesmo sentido de AB , satisfaz

}{='' DBCA I

Exemplo: Considere a figura do paraleleppedo da figura 1:

Figura 1 Paraleleppedo ABCDEFGH

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a) Os segmentos orientados BG , GB , FC , CF , AH , HA , ED e DE possuem a mesma

norma;

b) Os segmentos orientados AB , EF , DC e HG possuem o mesmo sentido;

c) Os segmentos orientados AB , BA , EF , FE , DC , CD , HG e GH possuem a mesma

direo;

Definio: Diremos que dois segmentos orientados MN e PQ, no nulos, so eqipolentes se os

segmentos tiverem a mesma norma, mesma direo e mesmo sentido, e representaremos essa

relao com PQMN~ .

Observao: Todos os segmentos nulos so eqipolentes entre si, ou seja, BBAA ~ .

Exemplo: No exemplo anterior, temos que o segmento orientado:

a) AB eqip

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