cálculo i _fatec

FATEC

FACULDADE DE TECNOLOGIA

NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A

DISCIPLINA CÁLCULO I

PROFª. Drª. FÁTIMA AHMAD RABAH ABIDO

Apostila de Cálculo I – FATEC

1

Garça - SP1º Semestre / 2011

EMENTA

Matemática Elementar

Limite e Continuidade

Derivada

OBJETIVO

Raciocinar lógica e organizadamente;

Aplicar com clareza e segurança os conhecimentos adquiridos;

O aluno deverá ser capaz de construir gráficos de funções reais de uma variável real, calcular limites e derivadas;

Utilizar estes conhecimentos em outras situações que surgirão a longo de sua atividade acadêmica.

BIBLIOGRAFIA

BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. Makron Books - SP 1999.

COELHO, Flávio. Curso básico de Cálculo. São Paulo: Saraiva, 2005.

EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 Rio de Janeiro – LTC Editora, 1999.

FLEMMING, Diva Marília - Cálculo A - Makron Books - SP 1999.

HOFFMANN, Laurence. Cálculo - Vol. 1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Cálculo com Geometria Analítica –Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP

SILVA, Sebastião Medeiros. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.

SIMMONS, George. Cálculo com Geometria Analítica. Vol.1 São Paulo – Mcgraw-Hill 1987.

SWOKOWSHI. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Editora Makron Books.

Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido


2

REVISÃO

1. Conjuntos Numéricos1.1 Números Naturais1.2 Números Inteiros1.3 Números Racionais1.4 Números Irracionais1.5 Números Reais

2. Números reais – resumo operacional2.1 Cálculo do valor de expressões numéricas2.2 Potenciação

2.2.1 Potência de expoente inteiro2.2.2 Potência de expoente racional

2.3 Racionalização3. Valor numérico de expressões algébricas4. Operações com expressões algébricas

4.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de expressões Literais4.2 Produtos Notáveis4.3 Fatoração4.4 Simplificação4.5 Identidades envolvendo Divisão de Polinômio por Polinômio

5. Equações do 1º grau6. Inequações do 1º grau7. Equações do 2º grau

7.1 Equações incompletas7.2 Equações completas

8. Sinal do trinômio do 2º grau9. Inequações do 2º grau10. Funções

10.1 Definição10.2 Domínio, Imagem e Contradomínio10.3 Tipos de Funções

10.3.1 Função Constante10.3.1.1 Gráfico de uma Função Constante

10.3.2 Função do 1º Grau10.3.2.1 Gráfico de uma Função do 1º Grau

10.3.3 Função do 2º Grau10.3.3.1 Gráfico de uma Função do 2º Grau10.3.3.2 Zeros da Função do 2º Grau10.3.3.3 Vértice da Parábola10.3.3.4 Coordenadas do Vértice

10.3.4 Função Modular10.3.5 Função Exponencial10.3.6 Função Logarítmica10.3.7 Funções Trigonométricas10.3.8 Funções Trigonométricas Inversa



3

1. Conjuntos Numéricos

1.1 Números Naturais

Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Números Inteiros

Os números inteiros são todos os números naturais e também os seus opostos.

Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

1.2 Números Racionais

Os números racionais são aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois números inteiros.

Q = {p/q , onde p, q Z e q 0}

1.3 Números Irracionais

Os números irracionais são aqueles que não podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.

Exemplo: São números irracionais:

3,1415929... 1,4142135... 1,7320508... e 2,7182818...

1.4 Números Reais

O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.

OBSERVAÇÃO - Módulo de um Número

O módulo, ou valor absoluto, de um número real qualquer é a distância deste número à origem (zero). O módulo de um número real x pode ser definido também por:



4Exemplos

(a) (b)

2. Números Reais – Resumo Operacional

2.1 Cálculo do valor de expressões numéricas

2.1.1 Ordem de operação

(1º) Potenciação e Radiciação;(2º) Multiplicação e Divisão; e(3º) Adição e Subtração

Seguindo a ordem de operação da esquerda para direita, e sempre eliminando primeiro parênteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }.

OBS (Números Racionais):

- Adição e Subtração: Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado, multiplicar pelo numerador);

Ex:

- Multiplicação: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador;

Ex:

- Divisão: mantém a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda.

Ex:

Exercícios

Calcular o valor das seguintes expressões numéricas dando a resposta na forma de fração e Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido


5decimal.

Respostas

1) 1 2) 3 3) 1 4) – 414 5) – 0,23

2.2 Potenciação

2.2.1 Potência de expoente inteiro

Seja a um número real e m e n inteiros positivos. Então:

1) a n = a. a. a. … .a ( n vezes) 5) a m a n = a m - n

2) a 0 = 1 6) (a m ) n = a m.n

3) a - n = 1/ a n, a 0 7) (a / b) m = a m / b m, b 0 4) a m . a n = a m + n 8) (a . b) n = a m . b m, b 0

Exercícios

Calcular o valor das expressões:

1) 5 2 2) (-3) 3 3) (-3) 2 4) -3 2 5) 5 0

6) (2 3) 2 7) ((-1) 3) 2 8) - (-1) 4 9) 10)

11) 12) 13)



6

14) 15)

RESPOSTAS

1) 25 2) - 27 3) 9 4) - 9 5) 1 6) 64 7) 1 8) -1 9) 27/64

10) 4/9 11) 8 12) 32 13) 1 14) 1069/1521 15) 3/5

2.2.2 Potência de expoente racional

Se a é um número real qualquer e m e n são inteiros positivos, definimos:

a) quando existe; b) se a 0,

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

- = p p n = a, onde

- Se n par e a negativo: an é positiva, não é real (ex: não existe raiz real)

- Se n ímpar e a negativo: an é negativo, é negativa (ex: )

Exemplos

Exercícios

4) 5)



7

6)

Respostas

1) 6 2) - 4 3) 9 4) 5/2 5) 2 6) 1

2.3 Racionalização

Racionalizar uma fração consiste em eliminar, através de operações algébricas, o radical ou os radicais do denominador.

Existem três casos:

(1)

(2)

(3)

Exercícios

1. Racionalize:

(a) (b) (c) (d )

2. Efetue o produto: .

3. Simplifique: .

Respostas

1 . (a) (c) (b) (d)

2. 3. 4

3. Valor numérico de expressões algébricas



8Exercícios

Em cada uma das expressões seguintes, substituir x pelo valor dado e calcular o valor da correspondente expressão numérica.

1) y = x 2 – 2x + 2; x = - 2 ; x = 2

2) y = x 2 – 2x + 2; x = 3/5 ; a = 2/3 e b = 4/5

Respostas

1) y = 10 2) y = 29/25 3) y = - 62 4) y = 22/7

4. Operações com expressões algébricas

4.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de expressões literais.

Exercícios

1) Efetuar as operações indicadas em cada um dos casos seguintes:

a) (3a - 2b + c ) - (- 6a – b – 2c) + (2a + 3b - c ) d)

b) a² b.(2a² + ab – b²)

c) f) 2x3y4 : (4x²y3)-2

2) Efetue as operações indicadas, em que a.b.x.y 0:

Respostas

1 a) 11a + 2b + 2c c)

e) 3x²y2)

b) 2a4b + a³b² -a²b³ d)

f) 32x7y10

4.2 Produtos notáveis

São produtos que aparecem com muita freqüência na resolução de equações ou no Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido


9desenvolvimento de expressões.

Vejam alguns casos:

(1) (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 Trinômio do Quadrado Perfeito de uma Soma

(2) (a - b)2 = (a - b).(a - b) a2 - 2ab + b2 Trinômio do Quadrado Perfeito de uma Diferença

(3) (a + b).(a - b) = a2 - b2 Diferença de dois Quadrados

Exercícios

1) (x + 2)2 3) (x – 1/2)2 5) (3 + x) (3 – x) 7)

2) (7x - 1)2 4) 6) (2x2 – 3) (2x2 + 3) 8)

Respostas

1) x2 + 4x + 4 3) x2 - x + 1/4 5) 9 – x2 7) x – 25

2) 49x2 - 14x + 1 4) 6) 4x4 – 9 8) 1

4.3 Fatoração (Expressões Algébricas)

(1) ax + bx = x. (a + b) Fator Comum

(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y) Agrupamento

(3) x² + Sx + P = (x + a).(x + b) Trinômio do 2º Grau

onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de números a e b, ou seja S = a + b e P = a.b Exercícios : Fatore.

1) 2x + 4y 5) 27x4 – 3y2 9) 4x2 - 4xy + y2

2) 6x² + 12x³z – 10x4a 6) x2 + 2x + 1 10) x2 + 7x + 12

3) ax – a – 3x + 3 7) x2 - 8x + 16 11) x2 - 6x + 8 4) 125x2 – 5 8) 9x4 – 30x2 + 25 12) x2 + 2x - 8

Respostas

1) 2(x + 2y) 4) 5 (5x – 1) (5x + 1) 7) (x - 4)2 10) (x + 3) (x + 4)



10

2) 2x².(3 + 6xz – 5x²a)

5) 3 (3x2 – y) (3x2 + y) 8) (3x2 – 5)2 11) (x – 2) (x - 4)

3) (x – 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9) (2x – y)2 12) (x – 2) (x + 4)

4.4 Simplificação

Exercícios : Simplifique.

1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9)

RESPOSTAS

1) 4) 7)

2) 5) 8) - 2

3)

6) 9)

EXERCÍCIO EXTRA - Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T são constantes:



11

4.5 Identidades envolvendo Divisão de Polinômio por Polinômio

Antes de iniciarmos a divisão de um polinômio por outro polinômio, daremos algumas dicas importantes:

1ª) O polinômio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relação à variável, antes de iniciar a divisão.2ª) O grau do polinômio dividendo deverá ser maior ou igual ao grau do divisor.3ª) A divisão termina quando o resto for zero (divisão exata), ou quando o resto apresentar grau menor que o grau do divisor.

LEMBRETE:

Relação fundamental da divisão

Dividendo divisor Dividendo = quociente x divisor + resto resto quociente

Exemplo: 13 4 13 = (3 x 4) + 11 3

Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinômio por outro.

Observe a seqüência utilizada para dividir o polinômio (34x – 5 + 6x 3 - 24x2) pelo polinômio (2x – 4).

1º Passo Escrevemos o polinômio dividendo na ordem decrescente dos graus da variável:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4

2º Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo, assim, o primeiro termo do quociente:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4 6x 3 : 2x = 3x2

3x2

3º Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x2) pelo divisor (2x – 4 ) e subtraímos esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4 3x2. (2x – 4) = 6x 3 - 12x2

- 6x 3 + 12x 2 3x2

- 12x 2 + 34x – 5



12

4º Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 2 ) pelo primeiro termo do divisor (2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4 (12x 2 ): (2x) = - 6x - 6x 3 + 12x 2 3x2 – 6x - 12x 2 + 34x – 5

5º Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x) pelo polinômio divisor (2x – 4 ) e subtraímos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4 (- 6x) . (2x – 4) = - 12x 2 - 24x - 6x 3 + 12x 2 3x2 – 6x - 12x 2 + 34x – 5 12x 2 - 24x . 10x – 5

6º Passo Dividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira utilizada no 4º e 5º passos:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 2x – 4 (10x) : (2x) = 5 - 6x 3 + 12x 2 3x2 – 6x + 5 - 12x 2 + 34x – 5 12x 2 - 24x . 10x - 5 - 10x + 20 15

O processo vai se repetindo até que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto seja zero, e aí a divisão é exata.

No caso do nosso exemplo, o resto é 15 grau zero (15x0), como o divisor 2x – 4 tem grau um (2x1 – 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a divisão:Resposta: Quociente (q) = 3x2 – 6x + 5 e Resto (r) = 15

A relação fundamental da divisão é utilizada para verificar se a divisão está correta.

D = q . d + rNo exemplo estudado, temos:

6x 3 - 24x 2 + 34x – 5 = (3x2 – 6x + 5) . (2x – 4) + 15.

O processo de divisão exposto fica mais simples quando o divisor é da forma (x – a). Nesse caso, usa-se um dispositivo prático, conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini, que apresentamos através de um exemplo. Para dividir (x + 2x4 – 3x2 – 3) por (x – 3), dispomos o dividendo em soma de parcelas de potências decrescentes de x, e dispomos as expressões como

na divisão de números, só que agora só escrevemos os coeficientes (os números que multiplicam as potências de x). No caso, o dividendo se escreve (2x4 + 0x3 – 3x2 + x – 3), os coeficientes sendo 2, 0, - 3, 1 e – 3. Dispomos os números como segue:



132 0 - 3 1 - 3 3

A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto é, escrevemos 2 abaixo do 2. Daí multiplicamos esse número pelo número na chave da divisão, isto é, 3: 2.3 = 6. O número obtido é somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0 = 0, e o resultado é escrito abaixo desse segundo coeficiente. 2.3 + 0 = 6 ____________________

2 0 - 3 1 - 3 3 2 6 __________________ 2.3

Agora, repetimos o procedimento, começando pelo 6. Multiplicamos 6 pelo número da chave 3, e somamos com – 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do próximo coeficiente do dividendo, isto é, abaixo do – 3: 6.3 + (-3) = 15 _______________

2 0 - 3 1 - 3 3 2 6 15 _______________

6.3

De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46, que colocamos abaixo desse coeficiente.

15.3 + 1 = 46 ___________

2 0 - 3 1 - 3 3 2 6 15 46

____________ 15.3

Finalmente, a última etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com – 3, obtendo 135, que deve ser colocado abaixo do – 3. O número 135 é o resto. Veja como fica o dispositivo:

2 0 - 3 1 - 3 3 2 6 15 46 135 quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46 resto

O quociente é obtido através dos números da segunda linha, exceto o último, 135, que é o resto. Deve-se começar com uma potência a menos que a do dividendo. Então o quociente é, conforme indicado acima, 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46. Portanto,

2x4 – 3x2 + x – 3 = (x – 3).(2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135

ou, se x 3,

2x 4 – 3x 2 + x – 3 = (2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135 x – 3 x - 3



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Exercícios

Usando o dispositivo prático, descubra o quociente e o resto de cada divisão:

a) (x 5 – 1) por (x – 1) e) (x 5 - 5x 3 + 5x² + 1) por (x2 + 3x + 1)

b) (2x 3 + 3x 2 - 3x – 2) por (x – 1) f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3)

c) (x 4 + x 2 + 1) por (x² – 1) g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x² - 8)

d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x² - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x² - x + 3)

Respostas

a) q = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1e r = 0 e) q = x 3 - 3x 2 + 3x - 1e r = 2

b) q = 2x2 + 5x + 2 e r = 0 f) q = x2 - 4x + 17 e r = - 45

c) q = x2 + 2 e r = 3g) q = x 2 - x + 5 e r = 0

d) q = 2x + 1 e r = 0 h) q = x e r = x - 6

5. Equações do 1º grau

É toda equação do tipo ax + b = 0, com a IR* e b IR. Para determinar o conjunto solução (S) de uma equação do 1º grau, procedemos assim:

Forma Geral: ax = - b, onde a 0

Solução: x = - b / a , ou seja, S =

Exemplos: Resolva as equações.

1) (x + 1).(x - 1) – 2.(x – 1) = (x – 1)² - 3.(x + 1), para U = IR.

Solução:

(x + 1).(x - 1) – 2.(x – 1) = (x – 1)² - 3.(x + 1) x² - 1 – 2x + 2 = x² - 2x + 1 – 3x - 3

3x = 1 – 3 + 1 - 2



15 3x = – 3

x = – 3/3 ou seja, x = - 1

Como -1 IR, então S = { - 1}.

2) , para U = IR.

Solução:

mmc(4,3,12) = 12

3.(x - 1) – 4.(2x – 1) = x

3x - 3 – 8x + 4 = x 3x – 8x - x = 3 – 4

- 6x = – 1

x = – 1/- 6 ou seja, x = 1/6

Como 1/6 IR, então S = { 1/6}.

3) , para U = IR - {- 3, 3}.

Solução:

Determinando o mmc dos denominadores, temos,

x² - 9 = (x + 3).(x – 3)x² - 6x + 9 = (x – 3)²2x² - 18 = 2.(x² – 9) = 2. (x + 3).(x – 3)

mmc(x² - 9, x² - 6x + 9, 2x² - 18)

Assim:

10.(x - 3) – 8.(x + 3) = 3.(x-3)

10x - 30 – 8x - 24 = 3x - 9



16 10x – 8x – 3x = 24 – 9 + 30

- x = 45 ou seja, x = - 45

Como -45 IR - {- 3, 3}, então S = { - 45}.

Exercícios

1) Resolver cada uma das equações seguintes:

a) 5(3x – 1) – 4.(2 – 4x) = 2.(x – 4) b) 2x² + x.(x + 2) – (x + 3).(x – 3) = 2.(x + 1)²

c)

d) , (x - 1 e x 0)

2) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxímetro. Sabendo que cada quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilômetros foram percorridos.3) Determine o número cujo dobro subtraído de 20 unidades é igual à sua metade adicionada de 10 unidades.

4) Determine as dimensões de um retângulo, sabendo que seu perímetro mede 90 m e que a medida de um lado é o dobro da medida do outro.

Respostas

1) a) 5/29 b) 7/2 c) 1/16 d) 6/5 2) 16km 3) 20 4) 15 e 30

6. Inequação do 1º grau

Chama-se de inequação do 1º grau a toda sentença aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou ax + b 0, onde a IR* e b IR.

Exemplos

1) 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 4/2 x > 2, ou seja, S = {x IR x > 2}

2) - 5x - 10 0 - 5x 10 5x - 10 x - 2 , ou seja, S = {x IR x -



172}

Exercícios

Resolver as inequações seguintes:

1) 3x – 6 < 0 3)

2) – x + 3 x + 3 4)

Respostas

1) {x IR x < 2} 2) {x IR x 0} 3) {x IR x > 2} 4) {x IR x < 1}

7. Equações do 2º grau

É toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR.

As raízes (soluções) desta equação são obtidas a partir da fórmula

, com =

Conforme o valor do , têm-se as seguintes possibilidades quanto à natureza das raízes da equação ax2 + bx + c = 0:

> 0 Existem duas raízes reais e que são distintas.

= 0 Existem duas raízes reais e que são iguais.

< 0 Existem duas raízes que são imaginárias.

Observações:

As equações incompletas que são da forma

ax2 + bx = 0podem ser resolvidas por fatoração.

As equações incompletas que são da forma

ax2 + c = 0podem ser resolvidas isolando-se o x.

Propriedades das Raízes



18

Soma das Raízes

Produto das Raízes

Equação a partir das Raízes

Teorema da Decomposição

Exemplos

1) 4x2 - 10x = 0 x.(4x – 10) = 0

2) 4x2 - 16 = 0 4x2 = 16 x2 = 16 / 4 x2 = 4 x = x = 2

3) x2 - 7x + 12 = 0

=

4)

x – 4 = x + 3 – (x² - 9)

x – 4 = x + 3 – x² + 9 x² = 3 + 9 + 4 x² = 16, ou seja, x = 4.

Como esses valores pertencem ao conjunto dos números reais e não anulam o denominador, S = { - 4, 4}.

Exercícios : Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido


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1) Resolva as seguintes equações do 2º grau:

a) x2 + 2x - 3 = 0 c) 5x2 + 4x + 1 = 0 e)

b) (x + 1)2 = 2.(x + 1) d) 8x2 – x =0 f)

2) A área de um triângulo é igual a 24 cm². Sabendo que as medidas da base e da altura desse triângulo são respectivamente números pares consecutivos, determine seus valores.

Respostas

1) a. {-3, 1} c. { } = e. { } = 2) base = 6 cm altura = 8 cm

b. {-1, 1} d. {0, 1/8} f. x = 1/2; x = 6/5

8. Sinal do trinômio do 2º grau

y = ax2 + bx + c

Se > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.

Se = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.

Se < 0, a equação não tem raízes reais.

Exemplos

1) y = x2 - 7x + 12

= 1 x =

Como a > 0 temos: + +

3 4 x

2) y = - x2 + 7x - 10

= 9 x =



20

Como a < 0 temos:

- + -

2 5 x 3) y = 4x2

= 0 sinal (y) = sinal (a) para todo x 0. Como a > 0 temos:

+ + 0 x

4) y = x2 + x + 1 = - 3 sinal (y) = sinal (A)

Como a > 0 temos: + + + + + + + + + +

x

Exercícios

Estude o sinal das seguintes equações:

1) y = x2 – 5x + 6 3) y = 9x2

2) y = - x2 + 6x - ¨9 4) y = 5 x2 + 1

9. Inequações do 2º grau

Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c 0, ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c 0, com a IR* e b IR e c IR.

Resolver, em IR, uma inequação do 2º grau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a 0) é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x. Resolva as seguintes inequações do 2º grau:

1) x2 – 5x + 6 0 3) x2 – 16 > 0

2) x2 - 2x - 15 0 4) x2 < 2x – 1

Respostas

1. S = { x IR / 2 x 3} 2. S = { x IR / x - 3 ou x 5}

3. S = { x IR / x < - 4 ou x > 4} 4. S = { } = vazio



21

10. Funções

10.1 Definição

Dados dois conjuntos A e B, chama-se função f: A B a toda relação na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B.

f : A B x y = f (x)

10.2 Domínio, Imagem e Contradomínio

Sendo a função f: A B, o conjunto B é chamado de contradomínio da função f, e o conjunto formado pelos elementos de B, que estão relacionados através de f com elementos do conjunto A, é chamado conjunto imagem.

Exemplos f A B

f: A BDomínio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3}Imagem: Im(f) = {0, -1, -2, 3, 4}Contradomínio: CD(f) = B = {0, -1, -2, 3, 4, 5, 8}

Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondência x x2 + 4 define em IR a função f tal que f(x) = x2 + 4. Assim,

f (- 1) = (- 1)2 + 4 = 5; f(0) = (0)2 + 4 = 4; f(2) = (2)2 + 4 = 8.

Exercícios

1) Sendo f(x) = - x2 + 3x – 2 definida de IR em IR determine:


x y

-1 - 2 1 2 3

0 - 1 - 2 5 3 4 8


22

a) f(0) b) f(2) c) f(-1) d) f(2/3) e) f( )

2) Dada a função f de IR em IR definida por f(x) = x3 – x, determine f(2) + f(-2).

Respostas

1) a) - 2 b) 0 c) - 6 d) - 4/9 e) - 4 + 3

2) 0

10.3 Tipos de Funções

10.3.1 Função Constante

Uma função f: IR IR é denominada de função constante quando definida por uma sentença do tipo y = f(x) = k, onde k é um número real.

Exemplo : f(x) = 3

10.3.1.1 Gráfico de uma Função Constante

O gráfico de uma função constante, y = f(x) = k, será uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou seja,

y

k f(x) = k

x

10.3.2 Função do 1º Grau

Função do 1º grau, ou função afim, é aquela que associa a todo número real x, um outro real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b IR (a 0).

Exemplo : f(x) = 2x – 5

10.3.2.1 Gráfico de uma Função do 1º Grau



23

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela ao eixo das abscissas.

Graficamente, existem duas situações a considerar:

- 1º Caso : Função Crescente (a > 0)

y

f(x) = ax + b

x

- 2º Caso: Função Decrescente (a < 0)

y

f(x) = ax + b

x

Exemplo:

f(x) = 2x – 7 (a = 2 > 0: crescente)

f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente)

10.3.3 Função do 2º Grau

Uma função f: IR IR é denominada de função do 2º grau ou função quadrática, quando associada a todo número real x, um outro número real y, tal que y = f(x) = ax2 + bx + c onde a, b e c IR (a 0).

Exemplo : f(x) = 7x2 – 4x – 1

10.3.3.1 Gráfico de uma Função do 2º Grau

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola no plano cartesiano.

Graficamente, existem duas situações a considerar:

- 1º Caso : a > 0 (Concavidade voltada para cima)



24 y f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x – 6

- 2º Caso : a < 0 (Concavidade voltada para baixo)

y

f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = - x2 + 7x – 5

10.3.3.2 Zeros da Função do 2º Grau

São os valores da variável x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0.

Graficamente são os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas.

Observação: A intersecção da parábola de equação y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas é o ponto de coordenadas (0, c).

10.3.3.3 Vértice da Parábola

É o ponto externo de uma função do 2º grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c.



25Se a concavidade é voltada para cima, o vértice representa um ponto de mínimo da

função. Se a concavidade é voltada para baixo, o vértice representa um ponto de máximo da

função.

10.3.3.4 Coordenadas do Vértice

As coordenadas do vértice da parábola obtidas através da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é (xv , yv ), onde

xv = - b / 2a e yv = - / 4a

Exemplo: y = f(x) = - 2x2 + 6x – 1

xv = - b / 2a xv = - 6 / 2.(- 2) xv = - 6 / - 4 xv = 3 / 2

e

yv = - / 4a yv = - (b2 – 4ac) / 4a yv = - [62 – 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2) yv = 7 /2

Observação:

O yv pode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ).

10.3.4 Função Modular

A função f definida em IR e dada por y = recebe o nome de função valor absoluto ou função módulo. Considerando que

resulta que o gráfico de y = é formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme



26a figura seguinte.

y

x

Exercícios

Representar graficamente as seguintes funções:

a) y = 3 b) y = 3x + 1 c) y = - 3x + 2

d) y = e) y = f) y = x2 - 2x + 1 g) y = - x2 + 6x – 8 h) y = - 2x3 + 4, x [0,2] i) y = x - 1

j) y = k) y =

10.3.5 Função Exponencial

A toda função do tipo f(x) = ax ( a > 0, a 1) chamamos de função exponencial.

Observação:

O gráfico de uma função exponencial é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

y y

1 1

x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.6 Função Logarítmica

A toda função logarítmica, definida de IR*+ em IR é dada por:



27

f(x) = log a x, a > 0 e a 1 af (x) = x.

Observações:

1) A função logarítmica é, portanto, a inversa da função exponencial.

2) Listemos as propriedades básicas do logaritmo:Sendo a > 0, b > 0 e b 1, c > 0 e IR, então:

P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c 1)

P2) log b (a / c) = log b a - log b c P5) b logba = a

P3) log b (a) = .log b a

3) O gráfico é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

y y

1 1 x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.7 Funções Trigonométricas

Definição 1: Denominamos de circunferência trigonométrica a circunferência de centro na origem do plano cartesiano, de raio unitário e cujos arcos têm origem no ponto A(1, 0), com sentido anti-horário positivo.

y

A(1,0) x

Definição 2: Considere na circunferência trigonométrica um arco de medida x, com origem em A e extremamente em P. Então, por definição:


0


28a) seno de x é a ordenada do ponto Pb) cosseno de x é a abscissa do ponto Pc) tangente de x é a ordenada do ponto T, intersecção da reta OP com o eixo tangente à

circunferência pelo ponto A.

y T P A x

Definição 3: Definimos as principais funções trigonométricas da seguinte forma:

a) Função seno: f : IR IR, f(x) = senx

b) Função cosseno: f : IR IR, f(x) = cosx

c) Função tangente: f : IR – {/2 + h, h Z} IR, f(x) = tgx

As outras funções trigonométricas são definidas pelas relações

, ,

Exercício Usando a calculadora científica, calcule:

a) sen 90º d) cos 90º e) tg 45º

b) sen 0º e) cos 60º f) tg 0º

c) sen 270º f) cos 120º g) tg 60º

Respostas

a) 1 d) 0 g) 1

b) 0 e) 0,5 h) 0


0


29

10.3.8 Funções Trigonométricas Inversas

Definição: Define-se:

a) Função Arco-seno: f : [-1,1] [- /2, /2 ], f(x) = arc senx

b) Função Arco-cosseno: f : [-1,1] [ 0, ], f(x) = arc cosx

c) Função Arco-tangente: f : IR [- /2, /2 ], f(x) = arctgx

Exercício

Usando a calculadora científica, calcule:

a) arc sen 1 d) arc cos 0 h) arc tg 1

b) arc sen 0 e) arc cos (1/2) i) arc tg 0

c) arc sen ( - 1) f) arc cos ( - 1/2) j) arc tg 3

Respostas

a) x = 90º d) x = 90º g) x = 45º

b) x = 0º e) x = 60º h) x = 0º

c) x = - 90º ou x = 270º f) x = 120º ou x = 240º i) x = 60º

FINAL DA REVISÃO!



30

11. Introdução à Diferenciação

11.1 Introdução

Enquanto os tópicos de álgebra, trigonometria e geometria são de importância fundamental para o matemático e o técnico, uma grande variedade de problemas técnicos não pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemática. Muitos problemas podem ser resolvidos utilizando apenas métodos do cálculo. A partir do século dezessete, os cientistas sentiram a necessidade de novas técnicas matemáticas. Queriam estudar o movimento de projéteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac Newton, começaram a desenvolver um novo ramo da Matemática para resolver os problemas que envolviam movimento. Este novo ramo da Matemática tornou-se conhecido como o cálculo. Atualmente, o cálculo originou um grande desenvolvimento da Matemática. Enquanto o cálculo começou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas variedades de áreas técnicas.

11.2 O Problema do Movimento

Resumidamente, o problema do movimento pode ser encarado como o problema da determinação da velocidade e direção de um objeto móvel no espaço, num dado instante. Você está familiarizado com a determinação da velocidade média de um objeto em movimento. Por exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3 horas (h), então, dividindo 150km por 3 h determina que dirigiu em média 50km/h. Isto não lhe indica exatamente à distância percorrida 1 h e 32 minutos (min) após ter começado a viagem. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a 55km/h.

Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distância percorrida por um objeto como uma função do tempo. Isto é, em cada ponto no tempo t podemos associar um número s representando a distância percorrida pelo objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 é uma função que descreve o movimento de um objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em metros (m), então após 2 seg, o objeto está em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de movimento. Três segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1 = 11 m ao longo da linha de movimento.

t = 2 t = 5 0 5 11 x

A velocidade média vméd de um objeto em movimento é a razão entre a distância percorrida por um objeto e o tempo gasto para percorrer essa distância. No exemplo anterior, a distância percorrida pelo objeto é 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distância em 3 seg. A velocidade média ao longo deste período de tempo é, então,



31

.

Neste ponto é vantajoso introduzir um novo símbolo matemático. Quando quisermos indicar uma variação entre dois valores de uma variável utilizaremos a letra grega . Nesta seção t (ler “delta t”) representa a variação em tempo t e s (leia “delta s”) representa a variação em distância s. No exemplo anterior, t = 3 seg. Está é a variação em tempo necessário para o objeto ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variação em distância para este intervalo de tempo t = 3 seg é s = 11m – 5m = 6m. Utilizando esta notação podemos escrever agora

.

Relembrar da álgebra que uma função é um conjunto de pares ordenados, dois dos quais não tem o mesmo primeiro elemento. Isto agora é útil para introduzir uma notação especial, chamada notação funcional, para representar uma relação funcional. Por exemplo, a função y = x2 + 3 é escrita f(x) = x2 + 3 usando a notação funcional. O símbolo f(x), ler “f de x”, é utilizado para representar o número y que corresponde a um número x na relação funcional dada. Isto é, f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x2 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vários valores de x.

x f(x) = x2 + 3

- 3 f (- 3) = (-3)2 + 3 = 12

0 f (0) = (0)2 + 3 = 3

1 f (1) = (1)2 + 3 = 4

2 f (2) = (2)2 + 3 = 7

h f (h) = (h)2 + 3 = h2 + 3

3t f (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3

1 + x f (1 + x) = (1 + x)2 + 3 = 1 + 2x + (x)2 + 3 = 4 + 2x + (x)2

A utilização do símbolo f(x) é útil já que podemos utilizar f(x) para representar o número correspondente a x na relação funcional sem ter de determinar exatamente o número, como foi feito na tabela anterior. Por exemplo, f(3) representa o número correspondente a x = 3 sem nenhuma relação funcional dada. Por esta razão, f(x) é muitas vezes chamado o valor da função em x.

Exemplo 1. Escrever em notação funcional que relaciona cada número x com seu cubo menos 2.

A relação é y = x3 – 2. Utilizando o símbolo f para representar esta função, escrevemos:

f (x) = x3 – 2.

Exemplo 2. Determinar o valor da função f(x) = x3 – 2 para x = - 2 e para x = 2 + x.

f(- 2) = (- 2)3 – 2 = - 8 – 2 = - 10e

f(2 + x.) = (2 + x)3 – 2 = (2)3 + 3. (2)2.x + 3.2. (x )2 + (x )3 - 2

= 8 + 12.x + 6. (x )2 + (x )3 - 2



32 = 6 + 12.x + 6. (x )2 + (x )3

Exemplo 3. Calcular a função g(x) = para x =3.

g(3) = .

Exemplo 4. Calcular a função f(x) = x2 – 5 para x = h + 2.

f(h + 2) = (h + 2)2 – 5

= (h)2 + 2. h.2 + (2)2 – 5

= h2 + 4.h + 4 – 5

= h2 + 4h – 1

No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de acordo com a função s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notação funcional: s(t) = 2t + 1.

Relembramos que s é a variação na distância s e t é a variação no tempo t. Então, utilizando nossa notação funcional,

s = s(2 + t) – s(2)

= s(2 + 3) – s(2)

= s(5) – s(2)

= [ 2.5 + 1] – [ 2.2 + 1]

= 11 – 5

= 6m.

Portanto, a velocidade média durante este período de tempo é

como determinamos anteriormente.

Em geral, a distância percorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + t é dada em notação funcional por

s = s(t + t) – s(t).

A velocidade média deste objeto ao longo da variação em tempo t é então

.

Exemplo 5. Dado que s = t 2 – 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma reta, onde s é medido em pés; (a) determinar s e vméd ; (b) determinar v méd após 3 seg de viagem; e (c) determinar v méd de 4 seg de viagem até 7 seg de viagem.



33(a)

s = s(t + t) – s(t)

= [(t + t)2 – 1] - (t2 – 1)

= [t2 + 2.t.(t) + (t)2 – 1] - t2 + 1

= t2 + 2.t.(t) + (t)2 – 1 - t2 + 1

= 2.t.(t) + (t)2

(b) t = 3 seg, assim de (a) temos:

(c) O tempo no qual começamos a medir a distância percorrida s é t = 4s. Portanto,

t = 7 – 4 = 3 seg.De (a) temos

Você deve agora verificar que este é o mesmo número que obteríamos calculando:

Do exemplo 5 vemos que para calcular v méd = (s/t) precisamos saber o tempo t no qual começamos a medir a velocidade v méd assim como a variação em tempo t. Notar que ambos, t e t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos t = -1, então s(t + (-1)) representa a posição do objeto 1 segundo antes de alcançar a posição s(t).

Notar também que a utilização da notação funcional, como a do próprio conceito de função, serão largamente, enfatizadas na matéria em questão. O desenvolvimento do cálculo depende amplamente deste conceito.

11.3 Velocidade Instantânea

Podemos agora começar a “resolver” o problema da determinação das velocidades instantâneas. Considerar o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e



34descrita por s(t) = 3t2 + 1, com s medido em pés. Tentaremos agora determinar a velocidade “instantânea” exatamente após 2 seg de percurso.

Portanto, por exemplo, com uma variação em tempo = 4 seg, a velocidade média é 12 + 3. (4) = 24 pés/ seg. Façamos agora uma tabela de vméd para diferentes valores de :

v méd

4,0 24,02,0 18,01,0 15,00,5 13,50,1 12,3

0,001 12,003- 0,001 11,997- 0,5 10,5- 2,0 6,0

Por esta tabela podemos observar que, quanto mais t se aproxima de 0, mais perto v méd

está de 12 pés/seg. À medida que diminuirmos o intervalo de tempo deveremos esperar que a velocidade média se aproxime mais da velocidade instantânea do objeto em 2 seg. Isto é, v méd = 12,3 pés/seg após 0,1 seg de percurso (após a referência de 2 seg) é uma melhor aproximação, então v méd = 24,0 pés/seg após 4 seg de percurso (após a referência de 2 seg). Observando esta tabela somos então levados a acreditar que a velocidade instantânea no tempo t = 2 seg deve ser 12 pés/seg. Este é o processo que usaremos para “resolver” o problema do movimento.

Para determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento num dado tempo t:

1. Determinar

onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma função do tempo.

2. Observar a que número se houver algum, se aproxima v méd em valor quando os valores de t se aproximam de 0 (zero). Se você for capaz de determinar tal número, poderá chamar-lhe a velocidade instantânea v.



35Exemplo 1. Determinar a velocidade instantânea de um objeto que se move de acordo com s(t) = 5t2 – 4 com t = 3 seg.Passo 1.

Passo 2. Vemos que à medida que t se aproxima (fica perto) de 0, v méd se aproxima de 30. Concluímos que

v = 30 pés/ seg.

Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir t = 0 por v méd. Isto seria uma tentativa para calcular uma velocidade média durante uma variação de tempo de 0 seg. Isto nos dá o intervalo de tempo nulo durante o qual podemos fazer a média! Seríamos tentados a dividir por zero, o que é indefinido.

Como no Exemplo 1, devemos encontrar uma maneira para simplificar a expressão de vméd para que t não permaneça no denominador. Só então podemos começar a ver a qual número v méd tende quando t tende para 0.

Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t.

Passo 1.

Passo 2. À medida que t tende para 0, v méd tende para – 1/ 4. Assim v = - 1/ 4. 11.4 Limite



36O processo que desenvolvemos para “resolver” o problema do movimento foi

considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicações. À técnica utilizada foi dado o nome de “o processo limite”.

Dada qualquer função, podemos observar se os valores funcionais tendem para algum número quando o valor da variável tende para um número específico.

Exemplo 1. Consideremos f (x) = x2 – 3x + 2. Para que número se houver algum, tende f (x) quando x tende para – 1?

Como x2 tende para (-1)2 = 1 quando x tende para –1 e – 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3 quando x tende para – 1, concluímos que f (x) = x2 – 3x + 2 tende para 1 + 3 + 2 = 6 quando x tende para – 1.

Os matemáticos utilizam símbolos para descrever este processo limite mais resumidamente. O símbolo ““ significa “tender”; portanto, x tende para – 1. Deverá escrever-se x - 1.

Se f(x) L quando x a, então L é chamado o “limite da função quando x a”. Este processo é escrito como

e lê-se “ o limite de f de x quando x tende para a igual a L”. A expressão no Exemplo 1 deveria

ser escrita .

“O limite descreve o comportamento de uma função perto de um ponto, não no ponto.”

Exemplo 2. Determinar

Quando x 3, o denominador tende para 0. Não podemos dividir por zero. No entanto,

No processo limite não estamos preocupados com o que acontece quando x = 3, mas apenas o que acontece quando x 3. Quando x 3, x + 3 6. Portanto

Notar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = quando

x 3 mesmo que a função não seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem sempre existem limites.


Como não podemos obter um número real quando calculamos a raiz quadrada de um



37número negativo, a função não pode ser calculada para x inferior a 5. É impossível então observar os valores de quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade x – 5 será negativa).

Concluímos que não existe.

Algumas vezes uma função tende para um limitado número L quando x ; isto é, a função tende para L quando x não tem limite.


Como o denominador x , a função (1/x) tende para 0. Portanto,


Como x , tanto o numerador como o denominador tende separadamente para . No entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potência de x no denominador, x2, teremos

Nota:

.

OBS: A determinação da velocidade instantânea é uma aplicação do processo limite.

Exemplo 6. Determinar a velocidade instantânea v para t = 3 quando s(t) = t ² - 7.

Podemos considerar a velocidade média vméd como função de t:



38

Portanto,

= 6.

NOTA:1º. ) Avalie o comportamento da função nas proximidades de três.

Note que esta função tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais próximos de três, mas, menores que três ou a sua esquerda e também valores de x cada vez mais próximos de três, mas maiores que três ou a sua direita, como exibido na tabela abaixo.

Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3Valores

de x 0 1 2 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 4 5 6Valores de f(x) 1 2 3 3,9 3,99 3,999 6,001 6,01 6,1 7 8 9

A tabela mostra que quando x se aproxima de três pela esquerda, mas não assume o valor três, a função se aproxima de 4. Afirmamos, então, que se x tende a três pela esquerda a função tende para 4. Ou ainda, que o limite da função é 4 quando x tende a três pela esquerda.

Quando x se aproxima de três pela direta, mas não assume o valor três, a função se aproxima de 6. Afirmamos, então, que se x tende a três pela direita a função tende para 6. Ou ainda, que o limite da função é 6 quando x tende a três pela direita.

Como o limite à esquerda é diferente do limite à direita, dizemos que esta função não tem limite no ponto três. Possui apenas limites laterais.

Usando a linguagem matemática escrevemos:

Conclusão: Uma função só terá limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto forem iguais.



39

2º. ) Avalie o comportamento da função nas proximidades de três.

Consideramos valores de x cada vez mais próximos de três pela esquerda e também pela direita. Em ambos os casos notamos que o valor que a função assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a função tende para o infinito.

Valores menores que 3 Valores maiores que 3 ou a esquerda de 3 ou a direita de 3

x 2 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 4

y 1 100 10.000 1.000.000 1.000.000 10.000 100 1

Neste caso o limite da função é infinito quando x tende para três.

Usando a linguagem matemática, escrevemos:

Conclusão: Uma função tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja ordem de grandeza é elevada, quando x tende para c.

Nessa mesma função é fácil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo valores maiores que três, o valor da função se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-se, então, um limite no infinito.

Usando a linguagem matemática, escrevemos:

Conclusão: Uma função tem limite no infinito quando a variável do seu domínio tende para infinito enquanto a imagem da função tende para L.

NOTA:

(i) Nessa teoria devemos entender, sempre, que a variável x tende para um valor c, mas nuca é igual a c e a imagem da função tende para L, mas nunca é igual a L.

(ii) Há também os casos de limites infinitos no infinito.



40(iii) O limite de uma função num ponto c do seu domínio é único.

11.5 Fórmulas do Limite

Pode ser demonstrado que o processo limite obedece às seguintes regras:

A.

Exemplo 1. .

B.

Exemplo 2.

C.

Exemplo 3. = 8.

Nota Não importa qual a tendência de x em f(x) = 8; portanto, f(x) não só tende para 8 como, neste caso, é mesmo 8.

D.

Exemplo 4.

E.

Exemplo 5.

EXERCÍCIO: Determinar cada limite.



41



42

Respostas

1) – 6 6) – 6 11) não existe 16) 7 / 4 21) - 12 26) 2 /15 31) 152 36) 3

2) – 3 7) 0 12) não existe 17) 6 22) 9 27) – 14 32) 15 37) 3 / 10

3) 1 8) 0 13) 0 18) 36 23) – 11 28) 4 33) – 1 38) – 1

4) 2 9) 1 14) 0 19) 102 24) 120 29) 10 34) 1 39) –1 / 3

5) 0 10) 3 15) ¾ 20) – 10 25) 12 / 5 30) – 8 35) 2 / 9 40) 1 / 2

Nos exercícios de 41 a 44, trace um esboço do gráfico e encontre o limite indicado se ele existir; se o limite não existir, dê a razão.

41)

42)

43)

44)

Respostas

41) não existe 42) 7 43) 4 44) 311.6 A Inclinação de uma Tangente a uma Curva

O processo limite não é apenas aplicado ao problema do movimento. Veremos agora a sua aplicação num problema geométrico.

Como na figura embaixo, consideraremos que a curva é o gráfico de uma dada função y = f(x). Pretendemos determinar a inclinação da tangente m tan no ponto P com coordenadas (x, f(x)).



43

Como na figura acima, podemos determinar a inclinação de uma reta passando por P e qualquer outro ponto Q da curva (a reta secante). Podemos observar as inclinações destas retas secantes quando escolhemos pontos Q cada vez mais próximos do ponto P. À medida que Q se aproxima de P, os valores das inclinações destas retas secantes ficarão cada vez mais próximos daquele da inclinação da reta tangente mtan. Podemos explicar este processo em termos das coordenadas de P e Q como na figura a seguir.

Nesta figura y = f (x + x) – f(x).

À medida que escolhemos valores de x mais próximos de 0, o ponto Q aproxima-se de P ao longo da curva. Deste modo, a inclinação da reta secante aproxima-se de m tan, que é a inclinação da reta tangente. A inclinação da reta secante que passa por P e Q é dada por:

portanto,



44

Exemplo 01. Determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x² + 3 em (1,4).

Podemos ver agora que o processo usado para resolver o problema geométrico é o mesmo que o usado para o problema do movimento. Este processo, o limite, é o fundamento do cálculo.

Exemplo 02. Determinar a equação da tangente à curva y = 2x² - 5 em (2,3).

Passo 1 : Determinar mtan:

Passo 2 : Determinar a equação da reta:

Usando a fórmula do ponto-inclinação temos:

y – y1 = m.(x – x1)

y – 3 = 8.(x – 2)

y = 8x – 13.

RESUMO: Definimos o coeficiente angular ou inclinação de uma curva como o limite dos coeficientes angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variação de uma função e é um dos conceitos mais importantes de cálculo. As derivadas são muito usadas em engenharia, ciência, economia, medicina e ciência da computação para calcular a velocidade e a aceleração, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros



45cometidos durante medições. Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difícil. Assim sendo, desenvolveremos técnicas para calcular derivadas mais facilmente.

Definições:

O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) é o número

. (desde que o limite exista)

A reta tangente ao gráfico de f em P é a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular. Assim sendo ela é dada por:

y = y0 + m(x – x0)

Como achar a Tangente à Curva y = f(x) em (x0, y0).

1. Calcule f(x0) e f(x0 + x).

2. Calcule o coeficiente angular: .

3. Se o limite existe, então determine a reta tangente quando: y = y0 + m(x – x0).

EXERCÍCIOS

(1.) Determinar a equação da tangente à curva dada no ponto dado.

a) y = 2x² - 3; (-2, 5) (Resp.: y = - 8x – 11) b) y = 5x² - 3x + 2; (-1, 10) (Resp.: y = - 13x – 3)

c) y = 4x² - 7x + 5; (3, 20) (Resp.: y = 17x - 31)

d) y = 2x² + 4x – 7; (-2, -7) (Resp.: y = - 4x – 15)

(2) Determine uma equação para a tangente à curva nos pontos dados. Esboce a curva e a tangente juntas.



46a.) y = 4 – x2, P(-1, 3) (Resp.: y = 2x + 5)

b.) y = 2x, P(1, 2) (Resp.: y = x + 1) c.) y = x3, P(-2, -8) (Resp.: y = 12x + 16)

d.) y = 2x2 + 3, P(2, f(2)) (Resp.: y = 8x – 5)

Se duas retas são paralelas, seja (1) ambas perpendiculares ao eixo x ou (2) ambas com a mesma inclinação, ou seja, m1 = m2.

Por outro lado, se duas retas são perpendiculares, então, seja (1) uma reta vertical com equação x = a e a outra horizontal com equação y = b ou (2) nenhuma sendo vertical e a inclinação da reta sendo a recíproca negativa da outra; isto é, se as equações das retas forem:

L1: y = m1x + b1 e L2: y = m2x + b2

então m1= (-1/m2)

Exercícios:

1.) Determinar a equação da reta que satisfaz cada uma das seguintes condições.

a.) Passa por (-1, 5) e é paralela a –2x + y + 13 = 0. (Resp.: y = 2x + 7)

b.) Passa por (2, -2) e é perpendicular a 3x – 2y - 14 = 0. (Resp.: y = -2x/3 – 2/3)

c.) Passa por (-7, 4) e é perpendicular a 5y = x. (Resp.: y = - 5x – 31)

d.) Passa por (2, -10) e é paralela a 2x + 3y –7 = 0. (Resp.: y = -2x/3 – 26/3)

2.) Encontrar a equação da reta tangente à curva y = , que seja paralela à reta 8x – 4y + 1 = 0.

(Resp.: y = 2x + 1/8)



473.) Encontrar a equação da reta normal (ou perpendicular) à curva y = x2 no ponto P(2, 4)

(Resp.: y = -1x/4 + 9/2)

A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f ’ cujo valor em x é

desde que o limite exista.

A derivada de uma função f(x) no ponto x0, denotado por f ’(x0), é definida pelo limite:

(desde que o limite exista)

OBS: Como vimos anteriormente, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Portanto a derivada da função y = f(x) no ponto x0 representa a inclinação da curva neste ponto.

Exercícios:

(1.) Calcule f’(x) para a função dada usando diretamente a definição.

a) f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) f(x) = c) f(x) =

(Resp.: f’(x) = 4x + 3) (Resp.: f’(x) = 2 / (1 – x)² ) (Resp.: f’(x) = )

(2.) Determinar f’(x0) para cada função, usando a definição.

a) f(x) = 5x2 + 6x – 1, x0 = 2. b) f(x) = x2 + 1, x0 = 1.

( Resp.: f’(2) = 26 ) ( Resp.: f’(1) = 2 )

c) f(x) = , x0 = x. d) f(x) = , x0 = 9.

( Resp.: f’(x) = 5 / (x + 3)² ) ( Resp.: f’(9) = 1 /6 )



48

The end!!!!!!!!!!


cálculo i _fatec

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