cálculo i _fatec

FATEC

FACULDADE DE TECNOLOGIA

NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A

DISCIPLINA CLCULO I

PROF. Dr. FTIMA AHMAD RABAH ABIDO

Gara - SP

1 Semestre / 2011

Apostila de Clculo I FATEC

1

Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido

EMENTA

Matemtica Elementar

Limite e Continuidade

Derivada

OBJETIVO

Raciocinar lgica e organizadamente;

Aplicar com clareza e segurana os conhecimentos adquiridos;

O aluno dever ser capaz de construir grficos de funes reais de uma varivel real, calcular limites e derivadas;

Utilizar estes conhecimentos em outras situaes que surgiro a longo de sua atividade acadmica.

BIBLIOGRAFIA

BOULOS, Paulo. Pr-Clculo. Makron Books - SP 1999.

COELHO, Flvio. Curso bsico de Clculo. So Paulo: Saraiva, 2005.

EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1 Rio de Janeiro LTC Editora, 1999.

FLEMMING, Diva Marlia - Clculo A - Makron Books - SP 1999.

HOFFMANN, Laurence. Clculo - Vol. 1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Clculo com Geometria Analtica Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP

SILVA, Sebastio Medeiros. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2001.

SIMMONS, George. Clculo com Geometria Analtica. Vol.1 So Paulo Mcgraw-Hill 1987.

SWOKOWSHI. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Editora Makron Books.


2


REVISO

1. Conjuntos Numricos

1.1 Nmeros Naturais 1.2 Nmeros Inteiros 1.3 Nmeros Racionais 1.4 Nmeros Irracionais 1.5 Nmeros Reais

2. Nmeros reais resumo operacional

2.1 Clculo do valor de expresses numricas

2.2 Potenciao 2.2.1 Potncia de expoente inteiro

2.2.2 Potncia de expoente racional

2.3 Racionalizao

3. Valor numrico de expresses algbricas

4. Operaes com expresses algbricas

4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses Literais

4.2 Produtos Notveis

4.3 Fatorao

4.4 Simplificao

4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio

5. Equaes do 1 grau

6. Inequaes do 1 grau

7. Equaes do 2 grau

7.1 Equaes incompletas

7.2 Equaes completas

8. Sinal do trinmio do 2 grau


10. Funes

10.1 Definio

10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio

10.3 Tipos de Funes

10.3.1 Funo Constante

10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante

10.3.2 Funo do 1 Grau

10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau



10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau

10.3.3.3 Vrtice da Parbola

10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice

10.3.4 Funo Modular

10.3.5 Funo Exponencial

10.3.6 Funo Logartmica

10.3.7 Funes Trigonomtricas

10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversa


3


1. Conjuntos Numricos

1.1 Nmeros Naturais

Os nmeros naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus

bens. Os smbolos que representam os nmeros naturais so chamados de algarismos.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Nmeros Inteiros

Os nmeros inteiros so todos os nmeros naturais e tambm os seus opostos.

Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

1.2 Nmeros Racionais

Os nmeros racionais so aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois

nmeros inteiros.

Q = {p/q , onde p, q Z e q 0}

1.3 Nmeros Irracionais

Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser obtidos como o quociente de dois

nmeros inteiros.

Exemplo: So nmeros irracionais:

3,1415929...

2 1,4142135...

3 1,7320508...

e 2,7182818...

1.4 Nmeros Reais

O conjunto dos nmeros reais definido como a unio entre os conjuntos dos nmeros

irracionais e racionais.

OBSERVAO - Mdulo de um Nmero

O mdulo, ou valor absoluto, de um nmero real qualquer a distncia deste nmero

origem (zero). O mdulo de um nmero real x pode ser definido tambm por:

0 x se ,

0 x se ,

x

xx


4


Exemplos

(a) 101010 (b) 777

2. Nmeros Reais Resumo Operacional

2.1 Clculo do valor de expresses numricas

2.1.1 Ordem de operao

(1) Potenciao e Radiciao;

(2) Multiplicao e Diviso; e

(3) Adio e Subtrao

Seguindo a ordem de operao da esquerda para direita, e sempre eliminando primeiro

parnteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }.

OBS (Nmeros Racionais):

- Adio e Subtrao: Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado,

multiplicar pelo numerador);

Ex: 20

23

20

158

4

3

5

2

- Multiplicao: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador;

Ex: 14

3

28

6

47

32

4

3

7

2

- Diviso: mantm a primeira frao e multiplica pelo inverso da segunda.

Ex: 20

21

45

73

4

7

5

3

7

4

5

3


5


Exerccios

Calcular o valor das seguintes expresses numricas dando a resposta na forma de frao e

decimal.

28

372:

7

10:

49

5

8

9.

3

2 )1

2

3:

4

1

5

1:

10

11 )2

7

1:

2

1.

2

5

2

7.

7

1

12

7:

4

1

3

1 )3

11

3

1-1 413- 121- 3 )4

517,0

34

1

8

5

3-1 4

125

5

2-3

2

1

7

4

)5

Respostas

1) 1 2) 3 3) 1 4) 414 5) 0,23

2.2 Potenciao

2.2.1 Potncia de expoente inteiro

Seja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:

1) a n = a. a. a. .a ( n vezes) 5) a

m a

n = a

m - n

2) a 0 = 1 6) (a

m )

n = a

m.n

3) a - n

= 1/ a n

, a 0 7) (a / b) m = a

m / b

m, b 0

4) a m . a

n = a

m + n 8) (a . b)

n = a

m . b

m, b 0

Exerccios

Calcular o valor das expresses:

1) 5 2 2) (-3)

3 3) (-3)

2 4) -3

2 5) 5

0

6) (2 3)

2 7) ((-1)

3)

2 8) - (-1)

4 9)

3

4

3

10)

2

2

3


6


11) 4

7

2

2 12) 23 2.2 13) 3329 2.2:2

14) 22

2

5431

11

2

1

5

4

15)

2

3

2

1

6

1

3

1

6

11

2

RESPOSTAS

1) 25 2) - 27 3) 9 4) - 9 5) 1 6) 64 7) 1 8) -1 9) 27/64

10) 4/9 11) 8 12) 32 13) 1 14) 1069/1521 15) 3/5

2.2.2 Potncia de expoente racional

Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos, definimos:

a) mnnm

aa quando n a existe; b) se a 0, nm

nm

aa /1

OBSERVAES IMPORTANTES:

- n a = p p n = a, onde

radical ndicen

raizp radicandoa

- Se n par e a negativo: an

positiva, n a no real (ex: 4 16 no existe raiz real)

- Se n mpar e a negativo: an

negativo, n a negativa (ex: 283 )

Exemplos

reais. nmeros dos conjunto no 25- existe no pois real, n um no 25

9/13/127/127/1275/125/125/125

2564646482)4(4

23

22332

32

21

21

44334332

3


7


Exerccios

36 )1 3 64- )2 5

2

243

1- )3

4)

3

11

5

3:

5

31

64

49.

7

4 5)

20

102

3

32

23

4

36.32:84

6) 3:4:256:49.3322 23

Respostas

1) 6 2) - 4 3) 9 4) 5/2 5) 2 6) 1

2.3 Racionalizao

Racionalizar uma frao consiste em eliminar, atravs de operaes algbricas, o radical

ou os radicais do denominador.

Existem trs casos:

(1) a

aN

a

aN

a

a

a

N

a

N ...

2

(2) a

aN

a

aN

a

a

a

N

a

Nn xn

n n

n xn

n xn

n xn

n xn x

..

.

(3)

ba

baN

ba

baN

ba

ba

ba

N

ba

N

...

22

Exerccios

1. Racionalize:

(a) 2

5 (b)

12

22

(c)

25

4

(d )

35

32

2. Efetue o produto: 13

35.

3

53

.

3. Simplifique: 13

13

13

13

.


8


Respostas

1 . (a) 2/25 (c) 3/25.4 (b) 2

(d) 315

2. 3/33.2

3. 4

3. Valor numrico de expresses algbricas

Exerccios

Em cada uma das expresses seguintes, substituir x pelo valor dado e calcular o valor da

correspondente expresso numrica.

1) y = x 2 2x + 2; x = - 2 1

3

2

1-x

1y )3

32

x

x; x = 2

2) y = x 2 2x + 2; x = 3/5

ab1

bay )4

; a = 2/3 e b = 4/5

Respostas

1) y = 10 2) y = 29/25 3) y = - 62 4) y = 22/7

4. Operaes com expresses algbricas

4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses literais.

Exerccios

1) Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:

a) (3a - 2b + c ) - (- 6a b 2c) + (2a + 3b - c ) d)

xxx

4

121

5

2 32

b) a b.(2a + ab b) 22

34

yx6

y18x- )e

c)

2222

3

1

4

1103

4

1yxxyyxxy f) 2x

3y

4 : (4xy

3)

-2


9


2) Efetue as operaes indicadas, em que a.b.x.y 0:

2

5

3

43

52

22

xy4

ya7:

xy6

ba5.

ba10

y3x

Respostas

1 a) 11a + 2b + 2c

c) 22

4

39

12

35yx

e) 3xy 2)

ba7

x4

2

b) 2a4b + ab -ab d)

352

10

1

5

4 -

5

2xxx

f) 32x7y

10

4.2 Produtos notveis

So produtos que aparecem com muita freqncia na resoluo de equaes ou no

desenvolvimento de expresses.

Vejam alguns casos:

(1) (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a

2 + 2ab + b

2

Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Soma

(2) (a - b)2 = (a - b).(a - b) a

2 - 2ab + b

2 Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Diferena

(3) (a + b).(a - b) = a2 - b

2 Diferena de dois Quadrados

Exerccios

1) (x + 2)2 3) (x 1/2)

2 5) (3 + x) (3 x) 7) 5x.5x

2) (7x - 1)2 4)

21

2

x

x

6) (2x2 3) (2x

2 + 3) 8)

x2

x4.

x2

1

Respostas

1) x2 + 4x + 4 3) x

2 - x + 1/4 5) 9 x

2 7) x 25

2) 49x2 - 14x + 1 4) 2

2

x

1 1-

4

x

6) 4x4 9

8) 1

4.3 Fatorao (Expresses Algbricas)

(1) ax + bx = x. (a + b) Fator Comum

(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y) Agrupamento

(3) x + Sx + P = (x + a).(x + b) Trinmio do 2 Grau

onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de nmeros a e b, ou seja S = a + b

e P = a.b


10


Exerccios : Fatore.

1) 2x + 4y 5) 27x

4 3y

2 9) 4x

2 - 4xy + y

2

2) 6x + 12xz 10x4a 6) x

2 + 2x + 1 10) x

2 + 7x + 12

3) ax a 3x + 3 7) x2 - 8x + 16 11) x

2 - 6x + 8

4) 125x2 5 8) 9x

4 30x

2 + 25 12) x

2 + 2x - 8

Respostas

1) 2(x

+ 2y)

4) 5 (5x 1) (5x + 1) 7) (x - 4)2 10) (x + 3) (x + 4)

2) 2x.(3 + 6xz 5xa)

5) 3 (3x2 y) (3x

2 + y) 8) (3x

2 5)

2 11) (x 2) (x - 4)

3) (x 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9) (2x y)

2 12) (x 2) (x + 4)

4.4 Simplificao

Exerccios : Simplifique.

1) 2a3

ab2 4)

4x4x

4x2

2

7)

9x6x

6x5x2

2

2) x28

x4x 2

5)

25x

5x2

2

8)

232

1

1

1

1a

a

a

a

a

3) x93

x9x27 23

6)

9x

9x6x2

2

9)

4a

1a.

a2a

aa

aa

a2a2

2

2

2

2

2


11


RESPOSTAS

1) a3

b2

4) 2x

2x

7)

3x

2x

2) 2

x

5) 5x

5x

8) - 2

3) 2x3

6) 3x

3x

9) 2a

2a

EXERCCIO EXTRA - Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T so constantes:

BOCx

CTE

B

AM

BOCxB

xBCAM

.

.

4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio

Antes de iniciarmos a diviso de um polinmio por outro polinmio, daremos algumas

dicas importantes:

1) O polinmio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relao

varivel, antes de iniciar a diviso.

2) O grau do polinmio dividendo dever ser maior ou igual ao grau do divisor.

3) A diviso termina quando o resto for zero (diviso exata), ou quando o resto apresentar grau

menor que o grau do divisor.

LEMBRETE:

Relao fundamental da diviso

Dividendo divisor Dividendo = quociente x divisor + resto

resto quociente

Exemplo: 13 4 13 = (3 x 4) + 1

1 3

Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinmio por

outro.

Observe a seqncia utilizada para dividir o polinmio (34x 5 + 6x 3 - 24x

2) pelo

polinmio (2x 4).

1 Passo Escrevemos o polinmio dividendo na ordem decrescente dos graus da varivel:


12


6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4

2 Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo,

assim, o primeiro termo do quociente:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4 6x

3 : 2x = 3x

2

3x2

3 Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x2) pelo divisor (2x 4 ) e subtramos

esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4 3x

2. (2x 4) = 6x

3 - 12x

2

- 6x 3 + 12x

2 3x

2

- 12x 2

+ 34x 5

4 Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 2

) pelo primeiro termo do divisor

(2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4 (12x

2 ): (2x) = - 6x

- 6x 3 + 12x

2 3x

2 6x

- 12x 2 + 34x 5

5 Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x) pelo polinmio divisor (2x 4 ) e

subtramos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4 (- 6x) . (2x 4) = - 12x

2 - 24x

- 6x 3 + 12x

2 3x

2 6x

- 12x 2 + 34x 5

12x 2 - 24x .

10x 5

6 Passo Dividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira

utilizada no 4 e 5 passos:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 2x 4 (10x) : (2x) = 5

- 6x 3 + 12x

2 3x

2 6x + 5

- 12x 2 + 34x 5

12x 2 - 24x .

10x - 5

- 10x + 20

15

O processo vai se repetindo at que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto

seja zero, e a a diviso exata.

No caso do nosso exemplo, o resto 15 grau zero (15x0), como o divisor 2x 4 tem

grau um (2x1 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a diviso:


13


Resposta: Quociente (q) = 3x2 6x + 5 e Resto (r) = 15

A relao fundamental da diviso utilizada para verificar se a diviso est correta.

D = q . d + r

No exemplo estudado, temos:

6x 3 - 24x

2 + 34x 5 = (3x

2 6x + 5) . (2x 4) + 15.

O processo de diviso exposto fica mais simples quando o divisor da forma (x a).

Nesse caso, usa-se um dispositivo prtico, conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini, que

apresentamos atravs de um exemplo. Para dividir (x + 2x4 3x

2 3) por (x 3), dispomos o

dividendo em soma de parcelas de potncias decrescentes de x, e dispomos as expresses como

na diviso de nmeros, s que agora s escrevemos os coeficientes (os nmeros que multiplicam

as potncias de x). No caso, o dividendo se escreve (2x4 + 0x

3 3x

2 + x 3), os coeficientes

sendo 2, 0, - 3, 1 e 3. Dispomos os nmeros como segue:

2 0 - 3 1 - 3 3

A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto , escrevemos 2 abaixo do 2. Da

multiplicamos esse nmero pelo nmero na chave da diviso, isto , 3: 2.3 = 6. O nmero obtido

somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0 = 0, e o resultado escrito abaixo desse

segundo coeficiente. 2.3 + 0 = 6 ____________________

2 0 - 3 1 - 3 3

2 6

__________________ 2.3

Agora, repetimos o procedimento, comeando pelo 6. Multiplicamos 6 pelo nmero da

chave 3, e somamos com 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do prximo coeficiente do

dividendo, isto , abaixo do 3: 6.3 + (-3) = 15 _______________

2 0 - 3 1 - 3 3

2 6 15

_______________ 6.3

De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46,

que colocamos abaixo desse coeficiente. 15.3 + 1 = 46

___________

2 0 - 3 1 - 3 3

2 6 15 46

____________ 15.3


14


Finalmente, a ltima etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com 3, obtendo 135,

que deve ser colocado abaixo do 3. O nmero 135 o resto. Veja como fica o dispositivo:

2 0 - 3 1 - 3 3

2 6 15 46 135

quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46 resto

O quociente obtido atravs dos nmeros da segunda linha, exceto o ltimo, 135, que o

resto. Deve-se comear com uma potncia a menos que a do dividendo. Ento o quociente ,

conforme indicado acima, 2x 3 + 6x

2 + 15x + 46. Portanto,

2x4 3x

2 + x 3 = (x 3).(2x

3 + 6x

2 + 15x + 46) + 135

ou, se x 3,

2x4 3x

2 + x 3 = (2x

3 + 6x

2 + 15x + 46) + 135

x 3 x - 3

Exerccios

Usando o dispositivo prtico, descubra o quociente e o resto de cada diviso:

a) (x 5 1) por (x 1) e) (x 5 - 5x 3 + 5x + 1) por (x2 + 3x + 1)

b) (2x 3 + 3x 2 - 3x 2) por (x 1) f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3)

c) (x 4 + x 2 + 1) por (x 1) g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x - 8)

d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x - x + 3)

Respostas

a) q = x 4 + x

3 + x

2 + x + 1e r = 0 e) q = x

3 - 3x

2 + 3x - 1e r = 2

b) q = 2x2 + 5x + 2 e r = 0 f) q = x

2 - 4x + 17 e r = - 45

c) q = x2 + 2 e r = 3

g) q = 2

1x

2 -

4

3x + 5 e r = 0

d) q = 2x + 1 e r = 0

h) q = x e r = x - 6


15


5. Equaes do 1 grau

toda equao do tipo ax + b = 0, com a IR* e b IR. Para determinar o conjunto

soluo (S) de uma equao do 1 grau, procedemos assim:

Forma Geral: ax = - b, onde a 0

Soluo: x = - b / a , ou seja, S =

a

b

Exemplos: Resolva as equaes.

1) (x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1), para U = IR.

Soluo:

(x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1) x - 1 2x + 2 = x - 2x + 1 3x - 3

3x = 1 3 + 1 - 2

3x = 3

x = 3/3 ou seja, x = - 1

Como -1 IR, ento S = { - 1}.

2) 12

x

3

1x2

4

1x

, para U = IR.

Soluo:

12

x

3

1x2

4

1x

mmc(4,3,12) = 12

12

x

12

)1x2.(4)1x.(3

3.(x - 1) 4.(2x 1) = x

3x - 3 8x + 4 = x

3x 8x - x = 3 4

- 6x = 1

x = 1/- 6 ou seja, x = 1/6

Como 1/6 IR, ento S = { 1/6}.


16


3) 18x2

3

9x6x

4

9x

5222

, para U = IR - {- 3, 3}.

Soluo:

18x2

3

9x6x

4

9x

5222

Determinando o mmc dos denominadores, temos,

x - 9 = (x + 3).(x 3)

x - 6x + 9 = (x 3)

2x - 18 = 2.(x 9) = 2. (x + 3).(x 3)

mmc(x - 9, x - 6x + 9, 2x - 18)

Assim:

22 )3x).(3x(2

)3x(3

)3x).(3x(2

)3x.(2.4)3x.(2.5

10.(x - 3) 8.(x + 3) = 3.(x-3)

10x - 30 8x - 24 = 3x - 9

10x 8x 3x = 24 9 + 30

- x = 45 ou seja, x = - 45

Como -45 IR - {- 3, 3}, ento S = { - 45}.

Exerccios

1) Resolver cada uma das equaes seguintes:

a) 5(3x 1) 4.(2 4x) = 2.(x 4)

b) 2x + x.(x + 2) (x + 3).(x 3) = 2.(x + 1)

c) 3

2x

2

1x2

4

1

d) x6x6

x

1x

x2

6

5

x

1x2

2

, (x - 1 e x 0)

2) Um txi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxmetro. Sabendo que cada quilmetro

rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilmetros

foram percorridos.


17


3) Determine o nmero cujo dobro subtrado de 20 unidades igual sua metade adicionada de

10 unidades.

4) Determine as dimenses de um retngulo, sabendo que seu permetro mede 90 m e que a

medida de um lado o dobro da medida do outro.

Respostas

1) a) 5/29 b) 7/2 c) 1/16 d) 6/5 2) 16km 3) 20

4) 15 e 30

6. Inequao do 1 grau

Chama-se de inequao do 1 grau a toda sentena aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0

ou ax + b < 0 ou ax + b 0, onde a IR* e b IR.

Exemplos

1) 2x 4 > 0 2x > 4 x > 4/2 x > 2, ou seja, S = {x IR x > 2}

2) - 5x - 10 0 - 5x 10 5x - 10 x - 2, ou seja, S = {x IR x - 2}

Exerccios

Resolver as inequaes seguintes:

1) 3x 6 < 0 3) 13

x2

5

1x2

2) x + 3 x + 3 4) 3

1x5

10

13x3

4

1x5

Respostas

1) {x IR x < 2} 2) {x IR x 0} 3) {x IR x > 2} 4) {x IR x < 1}

7. Equaes do 2 grau

toda equao do tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR.

As razes (solues) desta equao so obtidas a partir da frmula

a

bx

2

, com = ac4b2


18


Conforme o valor do acb 42 , tm-se as seguintes possibilidades quanto natureza

das razes da equao ax2 + bx + c = 0:

> 0 Existem duas razes reais e que so distintas.

= 0 Existem duas razes reais e que so iguais.

< 0 Existem duas razes que so imaginrias.

Observaes:

As equaes incompletas que so da forma

ax2 + bx = 0

podem ser resolvidas por fatorao.

As equaes incompletas que so da forma

ax2 + c = 0

podem ser resolvidas isolando-se o x.

Propriedades das Razes

Soma das Razes a

bxxS 21

Produto das Razes a

cxxP 21.

Equao a partir das Razes 02 PSxx

Teorema da Decomposio )xx).(xx.(acbxax 212

Exemplos

1) 4x2 - 10x = 0 x.(4x 10) = 0

0104x

0x

104x

0x

5/2x

0x

2) 4x2 - 16 = 0 4x

2 = 16 x

2 = 16 / 4 x

2 = 4 x = 4 x = 2

3) x2 - 7x + 12 = 0


19


12 c

-7b

1a

142 acb a2

bx

=

2

17

1.2

1)7(

32

1 -7x

42

17x

4) 13x

1

9x

4x2

1

1

3x

1

)3x).(3x(

4x

)3x).(3x(

)3x).(3x.(1)3x.(1

)3x).(3x(

4x

x 4 = x + 3 (x - 9)

x 4 = x + 3 x + 9

x = 3 + 9 + 4

x = 16, ou seja, x = 4.

Como esses valores pertencem ao conjunto dos nmeros reais e no anulam o

denominador, S = { - 4, 4}.

Exerccios:

1) Resolva as seguintes equaes do 2 grau:

a) x2 + 2x - 3 = 0 c) 5x

2 + 4x + 1 = 0 e)

2x1

21

1x

1

b) (x + 1)2 = 2.(x + 1) d) 8x

2 x =0 f)

1x

x5

2x2

12x

1x

32

2) A rea de um tringulo igual a 24 cm. Sabendo que as medidas da base e da altura desse

tringulo so respectivamente nmeros pares consecutivos, determine seus valores.

Respostas

1) a. {-3, 1} c. { } = e. { } =

2) base = 6 cm

altura = 8 cm

b. {-1, 1} d. {0, 1/8} f. x = 1/2; x = 6/5


20


8. Sinal do trinmio do 2 grau

y = ax2 + bx + c

Se > 0, a equao tem duas razes reais distintas.

Se = 0, a equao tem duas razes reais e iguais.

Se < 0, a equao no tem razes reais.

Exemplos

1) y = x2 - 7x + 12

12 c

-7b

1a

acb 42 = 1 x =2

17

1.2

1)7(

32

1 -7x

42

17x

Como a > 0 temos: + +

3 4 x

2) y = - x2 + 7x - 10

10 c

7b

1a

acb 42 = 9 x =2

37

)1.(2

97

52-

3 -7-x

22-

37-x

Como a < 0 temos:

- + -

2 5 x

3) y = 4x2

0 c

0b

4a

acb 42 = 0 sinal (y) = sinal (a) para todo x 0.

Como a > 0 temos:

+ + 0 x

4) y = x2 + x + 1

1 c

1b

1a

acb 42 = - 3 sinal (y) = sinal (A)

Como a > 0 temos: + + + + + + + + + +

x


21


Exerccios

Estude o sinal das seguintes equaes:

1) y = x2 5x + 6 3) y = 9x

2

2) y = - x2 + 6x - 9 4) y = 5 x

2 + 1


Chama-se inequao do 2 grau a toda sentena aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou

ax2 + bx + c 0, ou ax

2 + bx + c < 0 ou ax

2 + bx + c 0, com a IR* e b IR e c IR.

Resolver, em IR, uma inequao do 2 grau do tipo ax2 + bx + c > 0 (a 0)

determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax2 + bx

+ c se encontra acima do eixo x.

Resolva as seguintes inequaes do 2 grau:

1) x2 5x + 6 0 3) x

2 16 > 0

2) x2 - 2x - 15 0 4) x

2 < 2x 1

Respostas

1. S = { x IR / 2 x 3} 2. S = { x IR / x - 3 ou x 5}

3. S = { x IR / x < - 4 ou x > 4} 4. S = { } = vazio

10. Funes

10.1 Definio

Dados dois conjuntos A e B, chama-se funo f: A B a toda relao na qual, para todo

elemento de A, existe um nico correspondente em B.

f : A B

x y = f (x)

x

y


22


10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio

Sendo a funo f: A B, o conjunto B chamado de contradomnio da funo f, e o

conjunto formado pelos elementos de B, que esto relacionados atravs de f com elementos do

conjunto A, chamado conjunto imagem.

Exemplos f

A B

f: A B

Domnio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3}

Imagem: Im(f) = {0, -1, -2, 3, 4}

Contradomnio: CD(f) = B = {0, -1, -2, 3, 4, 5, 8}

Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondncia x x2 + 4 define em IR a funo f tal que f(x) = x

2 + 4. Assim,

f (- 1) = (- 1)2 + 4 = 5; f(0) = (0)

2 + 4 = 4; f(2) = (2)

2 + 4 = 8.

Exerccios

1) Sendo f(x) = - x

2 + 3x 2 definida de IR em IR determine:

a) f(0) b) f(2) c) f(-1) d) f(2/3) e) f( 2 )

2) Dada a funo f de IR em IR definida por f(x) = x3 x, determine f(2) + f(-2).

Respostas

1) a) - 2

b) 0

c) - 6

d) - 4/9

e) - 4 + 3 2

2) 0

-1 - 2 1

2

3

0

- 1

- 2 5

3

4 8


23


10.3 Tipos de Funes

10.3.1 Funo Constante

Uma funo f: IR IR denominada de funo constante quando definida por uma

sentena do tipo y = f(x) = k, onde k um nmero real.

Exemplo : f(x) = 3

10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante

O grfico de uma funo constante, y = f(x) = k, ser uma reta paralela ao eixo das

abscissas, ou seja, y

k f(x) = k

x


Funo do 1 grau, ou funo afim, aquela que associa a todo nmero real x, um outro

real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b IR (a 0).

Exemplo : f(x) = 2x 5


O grfico de uma funo do 1 grau uma reta no paralela ao eixo das abscissas.

Graficamente, existem duas situaes a considerar:

- 1 Caso: Funo Crescente (a > 0)

y

f(x) = ax + b

x


24


- 2 Caso: Funo Decrescente (a < 0)

y

f(x) = ax + b

x

Exemplo:

f(x) = 2x 7 (a = 2 > 0: crescente)

f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente)


Uma funo f: IR IR denominada de funo do 2 grau ou funo quadrtica, quando

associada a todo nmero real x, um outro nmero real y, tal que y = f(x) = ax2 + bx + c onde a, b

e c IR (a 0).

Exemplo : f(x) = 7x2 4x 1


O grfico de uma funo do 2 grau uma parbola no plano cartesiano.

Graficamente, existem duas situaes a considerar:

- 1 Caso: a > 0 (Concavidade voltada para cima)

y

f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x 6


25


- 2 Caso: a < 0 (Concavidade voltada para baixo)

y

f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = - x2 + 7x 5

10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau

So os valores da varivel x para os quais a funo se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0.

Graficamente so os pontos de interseco da parbola com o eixo das abscissas.

Observao: A interseco da parbola de equao y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas

o ponto de coordenadas (0, c).

10.3.3.3 Vrtice da Parbola

o ponto externo de uma funo do 2 grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c.

Se a concavidade voltada para cima, o vrtice representa um ponto de mnimo da

funo.

Se a concavidade voltada para baixo, o vrtice representa um ponto de mximo da

funo.


26


10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice

As coordenadas do vrtice da parbola obtidas atravs da funo do 2 grau

y = ax2 + bx + c (xv , yv ), onde

xv = - b / 2a e yv = - / 4a

a

b

4,

2aV

Exemplo: y = f(x) = - 2x2 + 6x 1

xv = - b / 2a xv = - 6 / 2.(- 2) xv = - 6 / - 4 xv = 3 / 2

e

yv = - / 4a yv = - (b2 4ac) / 4a yv = - [6

2 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2) yv = 7 /2

2

7,

2

3V

Observao:

O yv pode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ).

10.3.4 Funo Modular

A funo f definida em IR e dada por y = x recebe o nome de funo valor absoluto

ou funo mdulo. Considerando que

0 x se ,

0 x se ,

x

xx

resulta que o grfico de y = x formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme

a figura seguinte.

y

x


27


Exerccios

Representar graficamente as seguintes funes:

a) y = 3 b) y = 3x + 1 c) y = - 3x + 2

d) y = x e) y = 1x f) y = x2 - 2x + 1

g) y = - x2 + 6x 8 h) y = - 2x

3 + 4, x [0,2] i) y = x - 1

j) y =

0 x se x1

0 x se x

2

2

k) y =

2 x se 2

2 x 0 se x

0 x se 2x3

2

10.3.5 Funo Exponencial

A toda funo do tipo f(x) = ax ( a > 0, a 1) chamamos de funo exponencial.

Observao:

O grfico de uma funo exponencial crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

y y

1 1

x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.6 Funo Logartmica

A toda funo logartmica, definida de IR*

+ em IR dada por:

f(x) = log a x, a > 0 e a 1 af (x)

= x.

Observaes:

1) A funo logartmica , portanto, a inversa da funo exponencial.

2) Listemos as propriedades bsicas do logaritmo:


28


Sendo a > 0, b > 0 e b 1, c > 0 e IR, ento:

P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c 1)

P2) log b (a / c) = log b a - log b c P5) b log

ba = a

P3) log b (a) = .log b a

3) O grfico crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. y y

1 1

x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.7 Funes Trigonomtricas

Definio 1: Denominamos de circunferncia trigonomtrica a circunferncia de centro na

origem do plano cartesiano, de raio unitrio e cujos arcos tm origem no ponto A(1, 0), com

sentido anti-horrio positivo.

y

A(1,0) x

Definio 2: Considere na circunferncia trigonomtrica um arco de medida x, com origem em

A e extremamente em P. Ento, por definio:

a) seno de x a ordenada do ponto P b) cosseno de x a abscissa do ponto P c) tangente de x a ordenada do ponto T, interseco da reta OP com o eixo tangente

circunferncia pelo ponto A.

0


29


y

T

P A x

Definio 3: Definimos as principais funes trigonomtricas da seguinte forma:

a) Funo seno: f : IR IR, f(x) = senx

b) Funo cosseno: f : IR IR, f(x) = cosx

c) Funo tangente: f : IR {/2 + h, h Z} IR, f(x) = tgx

As outras funes trigonomtricas so definidas pelas relaes

tgx

1

senx

cosx cotgx ,

cosx

1 secx ,

senx

1 cossecx

Exerccio Usando a calculadora cientfica, calcule:

a) sen 90 d) cos 90 e) tg 45

b) sen 0 e) cos 60 f) tg 0

c) sen 270 f) cos 120 g) tg 60

Respostas

a) 1 d) 0 g) 1

b) 0 e) 0,5 h) 0

0


30


10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversas

Definio: Define-se:

a) Funo Arco-seno: f : [-1,1] [- /2, /2 ], f(x) = arc senx

b) Funo Arco-cosseno: f : [-1,1] [ 0, ], f(x) = arc cosx

c) Funo Arco-tangente: f : IR [- /2, /2 ], f(x) = arctgx

Exerccio

Usando a calculadora cientfica, calcule:

a) arc sen 1 d) arc cos 0 h) arc tg 1

b) arc sen 0 e) arc cos (1/2) i) arc tg 0

c) arc sen ( - 1) f) arc cos ( - 1/2) j) arc tg 3

Respostas

a) x = 90 d) x = 90 g) x = 45

b) x = 0 e) x = 60 h) x = 0

c) x = - 90 ou x = 270 f) x = 120 ou x = 240 i) x = 60

FINAL DA REVISO!


31


11. Introduo Diferenciao

11.1 Introduo

Enquanto os tpicos de lgebra, trigonometria e geometria so de importncia

fundamental para o matemtico e o tcnico, uma grande variedade de problemas tcnicos no

pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemtica. Muitos problemas podem ser

resolvidos utilizando apenas mtodos do clculo. A partir do sculo dezessete, os cientistas

sentiram a necessidade de novas tcnicas matemticas. Queriam estudar o movimento de

projteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac

Newton, comearam a desenvolver um novo ramo da Matemtica para resolver os problemas

que envolviam movimento. Este novo ramo da Matemtica tornou-se conhecido como o clculo.

Atualmente, o clculo originou um grande desenvolvimento da Matemtica. Enquanto o clculo

comeou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas

variedades de reas tcnicas.

11.2 O Problema do Movimento

Resumidamente, o problema do movimento pode ser encarado como o problema da

determinao da velocidade e direo de um objeto mvel no espao, num dado instante. Voc

est familiarizado com a determinao da velocidade mdia de um objeto em movimento. Por

exemplo, se numa viagem voc dirigir 150km em 3 horas (h), ento, dividindo 150km por 3 h

determina que dirigiu em mdia 50km/h. Isto no lhe indica exatamente distncia percorrida 1

h e 32 minutos (min) aps ter comeado a viagem. Voc pode ter parado num sinal de trnsito ou

pode ter viajado a 55km/h.

Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos

descrever a distncia percorrida por um objeto como uma funo do tempo. Isto , em cada

ponto no tempo t podemos associar um nmero s representando a distncia percorrida pelo

objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 uma funo que descreve o movimento de um objeto que se

move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em

metros (m), ento aps 2 seg, o objeto est em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de

movimento. Trs segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1

= 11 m ao longo da linha de movimento.

t = 2 t = 5

0 5 11 x

A velocidade mdia vmd de um objeto em movimento a razo entre a distncia

percorrida por um objeto e o tempo gasto para percorrer essa distncia. No exemplo anterior, a

distncia percorrida pelo objeto 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distncia em 3 seg. A

velocidade mdia ao longo deste perodo de tempo , ento,

segmseg

mvmd /2

3

6 .

Neste ponto vantajoso introduzir um novo smbolo matemtico. Quando quisermos

indicar uma variao entre dois valores de uma varivel utilizaremos a letra grega . Nesta seo

t (ler delta t) representa a variao em tempo t e s (leia delta s) representa a variao em

distncia s. No exemplo anterior, t = 3 seg. Est a variao em tempo necessrio para o objeto

ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variao em distncia para este intervalo de


32


tempo t = 3 seg s = 11m 5m = 6m. Utilizando esta notao podemos escrever agora

t

svmd

.

Relembrar da lgebra que uma funo um conjunto de pares ordenados, dois dos quais

no tem o mesmo primeiro elemento. Isto agora til para introduzir uma notao especial,

chamada notao funcional, para representar uma relao funcional. Por exemplo, a funo

y = x2 + 3 escrita f(x) = x

2 + 3 usando a notao funcional. O smbolo f(x), ler f de x,

utilizado para representar o nmero y que corresponde a um nmero x na relao funcional dada.

Isto , f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x2 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vrios

valores de x.

x f(x) = x

2 + 3

- 3 f (- 3) = (-3)2 + 3 = 12

0 f (0) = (0)2 + 3 = 3

1 f (1) = (1)2 + 3 = 4

2 f (2) = (2)2 + 3 = 7

h f (h) = (h)2 + 3 = h2 + 3

3t f (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3

1 + x f (1 + x) = (1 + x)2 + 3 = 1 + 2x + (x)2 + 3 = 4 + 2x + (x)2

A utilizao do smbolo f(x) til j que podemos utilizar f(x) para representar o nmero

correspondente a x na relao funcional sem ter de determinar exatamente o nmero, como foi

feito na tabela anterior. Por exemplo, f(3) representa o nmero correspondente a x = 3 sem

nenhuma relao funcional dada. Por esta razo, f(x) muitas vezes chamado o valor da funo

em x.

Exemplo 1. Escrever em notao funcional que relaciona cada nmero x com seu cubo menos 2.

A relao y = x3 2. Utilizando o smbolo f para representar esta funo, escrevemos:

f (x) = x3 2.

Exemplo 2. Determinar o valor da funo f(x) = x3 2 para x = - 2 e para x = 2 + x.

f(- 2) = (- 2)3 2 = - 8 2 = - 10

e

f(2 + x.) = (2 + x)3 2 = (2)

3 + 3. (2)

2.x + 3.2. (x )

2 + (x )

3 - 2

= 8 + 12.x + 6. (x )2 + (x )

3 - 2

= 6 + 12.x + 6. (x )2 + (x )

3

Exemplo 3. Calcular a funo g(x) = 32 x para x =3.

g(3) = 393633.2 .


33


Exemplo 4. Calcular a funo f(x) = x2 5 para x = h + 2.

f(h + 2) = (h + 2)2 5

= (h)2 + 2. h.2 + (2)

2 5

= h2 + 4.h + 4 5

= h2 + 4h 1

No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de

acordo com a funo s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notao funcional:

s(t) = 2t + 1.

Relembramos que s a variao na distncia s e t a variao no tempo t. Ento,

utilizando nossa notao funcional,

s = s(2 + t) s(2)

= s(2 + 3) s(2)

= s(5) s(2)

= [ 2.5 + 1] [ 2.2 + 1]

= 11 5

= 6m.

Portanto, a velocidade mdia durante este perodo de tempo

segmseg

m

t

sts

t

svmd /2

3

6)2()2(

como determinamos anteriormente.

Em geral, a distncia percorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + t dada em

notao funcional por

s = s(t + t) s(t).

A velocidade mdia deste objeto ao longo da variao em tempo t ento

t

tstts

t

svmd

)()(.

Exemplo 5. Dado que s = t 2 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de

uma reta, onde s medido em ps; (a) determinar s e vmd ; (b) determinar v md aps 3 seg de viagem; e (c) determinar v md de 4 seg de viagem at 7 seg de viagem.

(a)

s = s(t + t) s(t)

= [(t + t)2 1] - (t

2 1)

= [t2 + 2.t.(t) + (t)

2 1] - t

2 + 1


34


= t2 + 2.t.(t) + (t)

2 1 - t

2 + 1

= 2.t.(t) + (t)2

)(.2

)](.2.[

)().(.2 2

tt

t

ttt

t

ttt

t

svmd

(b) t = 3 seg, assim de (a) temos:

./)32(

.2

segpst

ttvmd

(c) O tempo no qual comeamos a medir a distncia percorrida s t = 4s. Portanto,

t = 7 4 = 3 seg.

De (a) temos

./11

34.2

.2

segps

ttvmd

Voc deve agora verificar que este o mesmo nmero que obteramos calculando:

gasto tempo

percorrida distncia

3

)4()34(

ssvmd

Do exemplo 5 vemos que para calcular v md = (s/t) precisamos saber o tempo t no qual

comeamos a medir a velocidade v md assim como a variao em tempo t. Notar que ambos, t

e t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos t = -1, ento s(t + (-1)) representa a

posio do objeto 1 segundo antes de alcanar a posio s(t).

Notar tambm que a utilizao da notao funcional, como a do prprio conceito de

funo, sero largamente, enfatizadas na matria em questo. O desenvolvimento do clculo

depende amplamente deste conceito.

11.3 Velocidade Instantnea

Podemos agora comear a resolver o problema da determinao das velocidades

instantneas. Considerar o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e

descrita por s(t) = 3t2 + 1, com s medido em ps. Tentaremos agora determinar a velocidade

instantnea exatamente aps 2 seg de percurso.


35


tempo em variao

distncia em variao

t

stsvmd

)2()2(

t

123.1t23.22

t

t3.t12.2

t312t

]..t3.[12

Portanto, por exemplo, com uma variao em tempo t = 4 seg, a velocidade mdia

12 + 3. (4) = 24 ps/ seg. Faamos agora uma tabela de vmd para diferentes valores de t :

t v md

4,0 24,0

2,0 18,0

1,0 15,0

0,5 13,5

0,1 12,3

0,001 12,003

- 0,001 11,997

- 0,5 10,5

- 2,0 6,0

Por esta tabela podemos observar que, quanto mais t se aproxima de 0, mais perto v md

est de 12 ps/seg. medida que diminuirmos o intervalo de tempo deveremos esperar que a

velocidade mdia se aproxime mais da velocidade instantnea do objeto em 2 seg. Isto ,

v md = 12,3 ps/seg aps 0,1 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg) uma melhor

aproximao, ento v md = 24,0 ps/seg aps 4 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg).

Observando esta tabela somos ento levados a acreditar que a velocidade instantnea no tempo

t = 2 seg deve ser 12 ps/seg. Este o processo que usaremos para resolver o problema do

movimento.

Para determinar a velocidade instantnea de um objeto em movimento num dado tempo t:

1. Determinar

t

s

t

s(t)t)s(tvmd

onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma funo do tempo.

2. Observar a que nmero se houver algum, se aproxima v md em valor quando os valores

de t se aproximam de 0 (zero). Se voc for capaz de determinar tal nmero, poder

chamar-lhe a velocidade instantnea v.


36


Exemplo 1. Determinar a velocidade instantnea de um objeto que se move de acordo com

s(t) = 5t2 4 com t = 3 seg.

Passo 1.

t

stsvmd

)3()3(

t

435.4t35.22

t

t5.t30.2

t530t

t]t5.[30

Passo 2. Vemos que medida que t se aproxima (fica perto) de 0, v md se aproxima de 30.

Conclumos que

v = 30 ps/ seg.

Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir t = 0 por v md. Isto seria uma tentativa para calcular

uma velocidade mdia durante uma variao de tempo de 0 seg. Isto nos d o intervalo de tempo

nulo durante o qual podemos fazer a mdia! Seramos tentados a dividir por zero, o que

indefinido.

!!!!!!!!0

0

0

)3()03(

ss

Como no Exemplo 1, devemos encontrar uma maneira para simplificar a expresso de

vmd para que t no permanea no denominador. S ento podemos comear a ver a qual

nmero v md tende quando t tende para 0.

Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t.

Passo 1.

)2(2

1

t

)2(2

t

)2(2

)2(2

)2()2(

t

t

t

t

t

t

stsvmd

Passo 2. medida que t tende para 0, v md tende para 1/ 4. Assim v = - 1/ 4.


37


11.4 Limite

O processo que desenvolvemos para resolver o problema do movimento foi

considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicaes. tcnica utilizada foi dado o

nome de o processo limite.

Dada qualquer funo, podemos observar se os valores funcionais tendem para algum

nmero quando o valor da varivel tende para um nmero especfico.

Exemplo 1. Consideremos f (x) = x2 3x + 2. Para que nmero se houver algum, tende

f (x) quando x tende para 1?

Como x2 tende para (-1)

2 = 1 quando x tende para 1 e 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3

quando x tende para 1, conclumos que f (x) = x2 3x + 2 tende para 1 + 3 + 2 = 6 quando x

tende para 1.

Os matemticos utilizam smbolos para descrever este processo limite mais

resumidamente. O smbolo significa tender; portanto, x tende para 1. Dever escrever-

se x - 1.

Se f(x) L quando x a, ento L chamado o limite da funo quando x a. Este

processo escrito como

Lxfax

)(lim

e l-se o limite de f de x quando x tende para a igual a L. A expresso no Exemplo 1 deveria

ser escrita 623lim 21

xxx

.

O limite descreve o comportamento de uma funo perto de um ponto, no no ponto.

Exemplo 2. Determinar .3

9lim

2

3

x

x

x

Quando x 3, o denominador tende para 0. No podemos dividir por zero. No entanto,

).3(3

)3).(3(

3

92

x

x

xx

x

x

No processo limite no estamos preocupados com o que acontece quando x = 3, mas

apenas o que acontece quando x 3. Quando x 3, x + 3 6. Portanto

.6)3(lim3

9lim

3

2

3

x

x

x

xx

Notar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = 3

92

x

x quando

x 3 mesmo que a funo no seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem

sempre existem limites.


38


Exemplo 3. Determinar .5lim0

xx

Como no podemos obter um nmero real quando calculamos a raiz quadrada de um

nmero negativo, a funo 5xf(x) no pode ser calculada para x inferior a 5. impossvel

ento observar os valores de 5x quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade

x 5 ser negativa).

Conclumos que 5lim0

xx

no existe.

Algumas vezes uma funo tende para um limitado nmero L quando x ; isto , a

funo tende para L quando x no tem limite.


lim

xx

Como o denominador x , a funo (1/x) tende para 0. Portanto,

.01

lim

xx


2lim

2

2

x

xx

x

Como x , tanto o numerador como o denominador tende separadamente para . No

entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potncia de x no denominador,

x2, teremos

2

37

12

x

x

.7

2

07

02

37

12

lim37

2lim

2

2

2

x

x

x

xx

xx

Nota:

xquandox

ex

03

01

2.

OBS: A determinao da velocidade instantnea uma aplicao do processo limite.


39


Exemplo 6. Determinar a velocidade instantnea v para t = 3 quando s(t) = t - 7.

Podemos considerar a velocidade mdia vmd como funo de t:

t

stsvmd

)3()3(

Portanto,

t

stsv

t

)3()3(lim

0

t

797)t()t.(69lim

2

0t

t

)t()t.(6lim

2

0t

t

t6.tlim

0t

t6lim0t

= 6.

NOTA:

1. ) Avalie o comportamento da funo

3 x se 1, x

3 x se ,3)(

xxf nas proximidades de trs.

Note que esta funo tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o

que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais prximos de trs, mas, menores que

trs ou a sua esquerda e tambm valores de x cada vez mais prximos de trs, mas maiores que trs ou a sua direita, como exibido na tabela abaixo.

Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3

Valores

de x

0

1

2

2,9

2,99

2,999

3,001

3,01

3,1

4

5

6

Valores

de f(x)

1

2

3

3,9

3,99

3,999

6,001

6,01

6,1

7

8

9

A tabela mostra que quando x se aproxima de trs pela esquerda, mas no assume o valor

trs, a funo se aproxima de 4. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela esquerda a funo

tende para 4. Ou ainda, que o limite da funo 4 quando x tende a trs pela esquerda.

Quando x se aproxima de trs pela direta, mas no assume o valor trs, a funo se

aproxima de 6. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela direita a funo tende para 6. Ou

ainda, que o limite da funo 6 quando x tende a trs pela direita.

Como o limite esquerda diferente do limite direita, dizemos que esta funo no tem

limite no ponto trs. Possui apenas limites laterais.

Usando a linguagem matemtica escrevemos:


40


xflim xflimxflim

xflimou xfx

xflimou xfx

xxx

x

x

333

3

3

663

443

Concluso: Uma funo s ter limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto

forem iguais.

xflim xflimxflimcxcxcx

2. ) Avalie o comportamento da funo 23

1)(

xxf nas proximidades de trs.

Consideramos valores de x cada vez mais prximos de trs pela esquerda e tambm pela direita.

Em ambos os casos notamos que o valor que a funo assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a funo tende para o infinito.

Valores menores que 3 Valores maiores que 3

ou a esquerda de 3 ou a direita de 3

x

2

2,9

2,99

2,999

3,001

3,01

3,1

4

y

1

100

10.000

1.000.000

1.000.000

10.000

100

1

Neste caso o limite da funo infinito quando x tende para trs.

Usando a linguagem matemtica, escrevemos:

xflimouxfxx 3

3

Concluso: Uma funo tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja

ordem de grandeza elevada, quando x tende para c.

xflimcx

Nessa mesma funo fcil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo

valores maiores que trs, o valor da funo se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x

assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-

se, ento, um limite no infinito.

Usando a linguagem matemtica, escrevemos:

00

xflimouxfxx


41


Concluso: Uma funo tem limite no infinito quando a varivel do seu domnio tende para

infinito enquanto a imagem da funo tende para L.

Lxflimx

NOTA:

(i) Nessa teoria devemos entender, sempre, que a varivel x tende para um valor c, mas nuca

igual a c e a imagem da funo tende para L, mas nunca igual a L.

(ii) H tambm os casos de limites infinitos no infinito.

(iii) O limite de uma funo num ponto c do seu domnio nico.

11.5 Frmulas do Limite

Pode ser demonstrado que o processo limite obedece s seguintes regras:

A. xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

Exemplo 1. 36927limlimlim 23

3

3

23

3

xxxx

xxx.

B. constante uma onde ,lim..lim kxfkxfkaxax

Exemplo 2. .48)4.(12lim.12.12lim 22

2

2

xx

xx

C. constante uma onde ,lim kkkax

Exemplo 3. 8lim2x

= 8.

Nota No importa qual a tendncia de x em f(x) = 8; portanto, f(x) no s tende para 8 como, neste caso, mesmo 8.

D. xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

Exemplo 4. .1829)1(limlim1lim3

2

3

2

3

xxxx

xxx

E.

0lim que desde ,

lim

limlim

xg

xg

xf

xg

xf

axax

ax

ax

Exemplo 5. .13

3

)2(lim

4lim

2

4lim

1

2

12

1

x

x

x

x

x

x

x


42


EXERCCIO: Determinar cada limite.

)5(lim1 22

xxx

)173(lim2 21

xxx

)252(lim3 231

xxx

)43(lim4 232

xxxx

1

)1(lim5

2

1

x

x

x

3)9(

lim62

3

x

x

x

32

)94(lim7

2

2/3

x

x

x

43)169(

lim82

3/4

x

x

x

32lim91

xx

33lim104

xx

xx

4lim116

12lim121

xx

xx 2

1lim13

2

1lim14

xx

)1184(

)253(lim15

2

2

xx

xx

x

)4(

)1327(lim16

23

3

xx

xx

x

)(lim17 22

xxx

)(lim18 233

xxx

)21004(lim19 21

xxx

)853(lim20 21

xxx

4.3lim211

xxx

3.12lim224

xxx

)32).(13(lim23 2422

xxxxx

)6).(105(lim24 2322

xxxxxx

1

23lim25

2

2

2

x

xx

x

xx

xx

x 2

54lim26

2

2

3

7

49lim27

2

7

x

x

x

2

4lim28

2

2

x

x

x

52

254lim29

2

2/5

x

x

x

43

169lim30

2

3/4

x

x

x


43


)2(

5).13(lim31

2

3

x

xxx

x

)3(

3).5(lim32

2

2

x

xxx

x

)1(

)462(lim33

2

2

1

x

xx

x

)1(

)132(lim34

2

1

x

xx

x

)633(

)1(lim35

2

2

1

xx

x

x

)44(

)134(lim36

23

3

2/1 xxx

xx

x

x

x

x

5325lim37

0

4

82lim38

2

4

x

xx

x

x

x

x

51

53lim39

4

x

x

x

11lim40

0

Respostas

1) 6 6) 6 11) no existe 16) 7 / 4 21) - 12 26) 2 /15 31) 152 36) 3

2) 3 7) 0 12) no existe 17) 6 22) 9 27) 14 32) 15 37) 3 / 10

3) 1 8) 0 13) 0 18) 36 23) 11 28) 4 33) 1 38) 1

4) 2 9) 1 14) 0 19) 102 24) 120 29) 10 34) 1 39) 1 / 3

5) 0 10) 3 15) 20) 10 25) 12 / 5 30) 8 35) 2 / 9 40) 1 / 2

Nos exerccios de 41 a 44, trace um esboo do grfico e encontre o limite indicado se ele existir;

se o limite no existir, d a razo.

41)

2xsex3

2xse3x)x(f )()()()()()( limlimlim

222

xfcxfbxfaxxx

42)

3xsex10

3xse1x2)x(f )()()()()()( limlimlim

333

xfcxfbxfaxxx

43)

2xsex28

2xsex)x(f

2

)()()()()()( limlimlim222

xfcxfbxfaxxx

44)

1xsex2

1xsex4)x(f

2

2

)()()()()()( limlimlim111

xfcxfbxfaxxx

Respostas

41) no existe 42) 7 43) 4 44) 3


44


11.6 A Inclinao de uma Tangente a uma Curva

O processo limite no apenas aplicado ao problema do movimento. Veremos agora a

sua aplicao num problema geomtrico.

Como na figura embaixo, consideraremos que a curva o grfico de uma dada funo

y = f(x). Pretendemos determinar a inclinao da tangente mtan no ponto P com coordenadas

(x, f(x)).

Como na figura acima, podemos determinar a inclinao de uma reta passando por P e

qualquer outro ponto Q da curva (a reta secante). Podemos observar as inclinaes destas retas

secantes quando escolhemos pontos Q cada vez mais prximos do ponto P. medida que Q se

aproxima de P, os valores das inclinaes destas retas secantes ficaro cada vez mais prximos

daquele da inclinao da reta tangente mtan. Podemos explicar este processo em termos das

coordenadas de P e Q como na figura a seguir.

Nesta figura y = f (x + x) f(x).


45


medida que escolhemos valores de x mais prximos de 0, o ponto Q aproxima-se de P

ao longo da curva. Deste modo, a inclinao da reta secante aproxima-se de mtan, que a

inclinao da reta tangente. A inclinao da reta secante que passa por P e Q dada por:

x

y

x

xfxxf

xxx

xfxxf

portanto,

xxx

xfxxf

x

ym

xx

00tan limlim

Exemplo 01. Determinar a inclinao da reta tangente curva y = x + 3 em (1,4).

22lim

2lim

2lim

]31[]31[lim

lim

0

0

2

0

22

0

0tan

x

x

xx

x

xx

x

x

x

ym

x

x

x

x

x

Podemos ver agora que o processo usado para resolver o problema geomtrico o mesmo

que o usado para o problema do movimento. Este processo, o limite, o fundamento do clculo.

Exemplo 02. Determinar a equao da tangente curva y = 2x - 5 em (2,3).

Passo 1 : Determinar mtan:

.828lim

28lim

]522[]522[lim

lim

0

0

22

0

0tan

x

x

xx

x

x

x

ym

x

x

x

x

Passo 2 : Determinar a equao da reta:


46


Usando a frmula do ponto-inclinao temos:

y y1 = m.(x x1)

y 3 = 8.(x 2)

y = 8x 13.

RESUMO: Definimos o coeficiente angular ou inclinao de uma curva como o limite dos

coeficientes angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variao de

uma funo e um dos conceitos mais importantes de clculo. As derivadas so muito usadas em

engenharia, cincia, economia, medicina e cincia da computao para calcular a velocidade e a

acelerao, para explicar o funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da

gua quando ela bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqncias de erros

cometidos durante medies. Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difcil.

Assim sendo, desenvolveremos tcnicas para calcular derivadas mais facilmente.

Definies:

O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) o nmero

x

xfxxfm

x

00

0lim . (desde que o limite exista)

A reta tangente ao grfico de f em P a reta que passa por P e tem esse coeficiente

angular. Assim sendo ela dada por:

y = y0 + m(x x0)

Como achar a Tangente Curva y = f(x) em (x0, y0).

1. Calcule f(x0) e f(x0 + x).

2. Calcule o coeficiente angular:

x

xfxxfm

x

00

0lim .

3. Se o limite existe, ento determine a reta tangente quando: y = y0 + m(x x0).


47


EXERCCIOS

(1.) Determinar a equao da tangente curva dada no ponto dado.

a) y = 2x - 3; (-2, 5) (Resp.: y = - 8x 11)

b) y = 5x - 3x + 2; (-1, 10) (Resp.: y = - 13x 3)

c) y = 4x - 7x + 5; (3, 20) (Resp.: y = 17x - 31)

d) y = 2x + 4x 7; (-2, -7) (Resp.: y = - 4x 15)

(2) Determine uma equao para a tangente curva nos pontos dados. Esboce a curva e a

tangente juntas.

a.) y = 4 x2, P(-1, 3) (Resp.: y = 2x + 5)

b.) y = 2x, P(1, 2) (Resp.: y = x + 1)

c.) y = x3, P(-2, -8) (Resp.: y = 12x + 16)

d.) y = 2x2 + 3, P(2, f(2)) (Resp.: y = 8x 5)

Se duas retas so paralelas, seja (1) ambas perpendiculares ao eixo x ou (2) ambas

com a mesma inclinao, ou seja, m1 = m2.

Por outro lado, se duas retas so perpendiculares, ento, seja (1) uma reta vertical com

equao x = a e a outra horizontal com equao y = b ou (2) nenhuma sendo vertical e a

inclinao da reta sendo a recproca negativa da outra; isto , se as equaes das retas forem:

L1: y = m1x + b1 e L2: y = m2x + b2

ento m1= (-1/m2)


48


Exerccios:

1.) Determinar a equao da reta que satisfaz cada uma das seguintes condies.

a.) Passa por (-1, 5) e paralela a 2x + y + 13 = 0. (Resp.: y = 2x + 7)

b.) Passa por (2, -2) e perpendicular a 3x 2y - 14 = 0. (Resp.: y = -2x/3 2/3)

c.) Passa por (-7, 4) e perpendicular a 5y = x. (Resp.: y = - 5x 31)

d.) Passa por (2, -10) e paralela a 2x + 3y 7 = 0. (Resp.: y = -2x/3 26/3)

2.) Encontrar a equao da reta tangente curva y = x , que seja paralela reta 8x 4y + 1 = 0.

(Resp.: y = 2x + 1/8)

3.) Encontrar a equao da reta normal (ou perpendicular) curva y = x2 no ponto P(2, 4)

(Resp.: y = -1x/4 + 9/2)

A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x

x

xfxxfxf

x

0

' lim

desde que o limite exista.

A derivada de uma funo f(x) no ponto x0, denotado por f (x0), definida pelo limite:

x

xfxxfxf

x

00

00

' lim (desde que o limite exista)

OBS: Como vimos anteriormente, este limite nos d a inclinao da reta tangente curva

y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Portanto a derivada da funo y = f(x) no ponto x0 representa a

inclinao da curva neste ponto.

Exerccios:

(1.) Calcule f(x) para a funo dada usando diretamente a definio.

a) f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) f(x) =

x1

x1

c) f(x) = x3

(Resp.: f(x) = 4x + 3) (Resp.: f(x) = 2 / (1 x) ) (Resp.: f(x) = x32

1

)


49


(2.) Determinar f(x0) para cada funo, usando a definio.

a) f(x) = 5x2 + 6x 1, x0 = 2. b) f(x) = x

2 + 1, x0 = 1.

( Resp.: f(2) = 26 ) ( Resp.: f(1) = 2 )

c) f(x) =3

2

x

x, x0 = x. d) f(x) = x , x0 = 9.

( Resp.: f(x) = 5 / (x + 3) ) ( Resp.: f(9) = 1 /6 )

The end!!!!!!!!!!

cálculo i _fatec

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