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CÁLCULO IProf. Marcos Diniz | Prof. André Almeida| Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho

Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas.

Objetivos da Aula

• De�nir as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmica, exponencial e hiperbólicas;

• Enunciar suas principais propriedades dessas funções e reconhecer os seus respectivos grá�cos.

1 Funções Trigonométricas

Dado um número real θ, considere o ângulo orientado, em sentido anti-horário a partir do semi-eixo

positivo dos x, cuja medida em radianos é θ e P (x, y) a interseção do lado terminal deste ângulo com o

círculo unitário x2 + y2 = 1.

Figura 1: Círculo unitário x2 + y2 = 1

De�niremos, a seguir, as funções trigonométricas.

De�nição 1 (Função Seno). A função seno é uma função f de R em R que associa a cada x ∈ R o número

real y = senx, isto é,f : R → R

x 7→ f(x) = senx.

O domínio de f(x) = senx é R e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. Da forma como foi de�nida,

é possível notar que existe um padrão de repetição nos valores que a função assume, a cada certo intervalo.

O comprimento deste menor intervalo de repetição é denominado de período da função f e é igual a 2π.O grá�co de f(x) = senx, denominado de senóide, pode ser visualizado a seguir.

Figura 2: Grá�co de f(x) = senx.

1

Cálculo I Aula no 04

De�nição 2 (Função Cosseno). A função cosseno é uma função f de R em R que associa cada x ∈ R ao

número real y = cosx, isto é,f : R → R

x 7→ f(x) = cosx.

De forma semelhante à função seno, o domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o

intervalo [−1, 1]. Como esta função também foi de�nida a partir do círculo unitário, é possível notar que

existe um padrão de repetição. Desse modo, essa função é periódica e de período igual a 2π. O grá�co de

f(x) = cosx, denominado de cossenóide, pode ser visualizado a seguir.

Figura 3: Grá�co de f(x) = cosx.

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante, apresentadas a seguir, serão de�nidas em termos

de seno e cosseno.

De�nição 3 (Função Tangente). Para todo número real x, tal que cosx 6= 0, de�nimos a função tangente

(denotada por tg x) pela regra:

f(x) = tg x =senx

cosx.

O domínio da função tangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cosx 6= 0.Portanto, para todo x na forma π

2 + kπ, com k ∈ Z, a função tangente não é de�nida. Pode-se veri�car

que a função tangente é periódica, mas de período igual a π. Seu grá�co pode ser visto na �gura abaixo:

Figura 4: Grá�co de f(x) = tg x.

As funções secante, cossecante e cotangente são de�nidas, respectivamente, da seguinte forma:

secx =1

cosx, cossec x =

1

sen x, cotg x =

cosx

sen x

Funções Trigonométricas Inversas

De�nição 4. A função inversa do cosseno é a função chamada arco-cosseno, denotada por arccos ou

cos−1, de�nida por:

y = arccos(x) ⇔ x = cos(y)

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e 0 ≤ y ≤ π.

Figura 5: Grá�co da função y = arccos x

De�nição 5. A função inversa do seno é a função chamada arco-seno, denotada por arcsen ou sen−1,de�nida por:

y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y)

e −π2≤ y ≤ π

2.

Figura 6: Grá�co da função y = arcsen x

De�nição 6. A função inversa do tangente é a função chamada arco-tangente, denotada por arctg ou

tg−1, de�nida por:

y = arctg(x) ⇔ x = tg(y)

e −π2< y <

π

2.



Figura 7: Grá�co da função y = arctg x

2 Funções Exponenciais e Logarítmicas

A Função Exponencial

Consideremos um número real a > 0 e a 6= 1. De�nimos a função exponencial como sendo a função

f : R→ R dada por

f(x) = ax.

O conjunto imagem da função exponencial é R∗+ e seu grá�co é dado por:

Figura 8: Função exponencial com base a > 1.

Figura 9: Função exponencial com base 0 < a < 1.



As principais propriedades da função exponencial, conhecidas como propriedades da potência, serãomuito úteis em nosso estudo. São elas:

(P1) ax+y = ax · ay;

(P2) ax−y =ax

ay;

(P3) ax·y = (ax)y;

(P4) a−x =1

ax;

(P5) amn = n

√am

(P6) Se x < y então ax < ay, para a > 1 e ax > ay, para 0 < a < 1

Observando as propriedades, podemos destacar que a propriedade (P1) nos leva a entender que a função

exponencial "transforma somas em produtos", de fato:

f(x+ y) = ax+y = ax · ay = f(x) · f(y),

e a propriedade (P6) nos garante que a função exponencial é crescente para a > 1 e decrescente para

0 < a < 1, fato esse que pode ser observado nos grá�cos.

Observação 1. Tomando, por exemplo, a função exponencial f(x) = 2x, o que é o número 2x?. Se xfor um número natural, o número 2x é o resultado da multiplicação da base por ela mesma x vezes, por

exemplo:

f(3) = 23 = 2 · 2 · 2 = 8.

Se x for um número inteiro positivo, procedemos como anteriormente e se for negativo, utilizaremos a

propriedade (P4) para determinar 2x, como por exemplo:

f(−2) = 2−2 =1

22=

1

4

Agora, se x for um número racional, para obtermos 2x, tomamos a sua forma fracionária e utilizamos a

propriedade (P5), por exemplo:

f

(2

3

)= 2

23 =

3√22 =

3√4

Mas e se x for um número irracional, por exemplo, x =√2, que número seria f(

√2) = 2

√2? Para isso,

devemos lembrar que√2 = 1, 4142135624..., dessa forma, utilizando a propriedade (P6), temos a seguinte

aproximação

1, 4 <√2 < 1, 5 ⇒ 21,4 < 2

√2 < 21,5 ⇒ 2, 639015 < 2

√2 < 2, 828427

1, 41 <√2 < 1, 42 ⇒ 21,41 < 2

√2 < 21,42 ⇒ 2, 657371 < 2

√2 < 2, 675855

1, 414 <√2 < 1, 415 ⇒ 21,414 < 2

√2 < 21,415 ⇒ 2, 664749 < 2

√2 < 2, 666597

......

...

Logo, 2√2 pode ser descrito como sendo o número maior que todos os

21,4, 21,41, 21,414, ...

e menor que todos os números

21,5, 21,42, 21,415, ...



Um Caso particular

Queremos determinar a solução do seguinte problema:

Qual é o valor de a para que a função exponencial f(x) = ax possua reta tangente cominclinação igual a 1 no ponto (0,1)?

Em outras palavras, qual a função exponencial cuja equação da reta tangente em (0,1) é y = x+1.Esse problema possui solução e a base dessa função exponencial é um número irracional, denotado por

e ≈ 2, 71828182.... Seu aparecimento de forma explícita se deu quando da resolução de um problema

de juros compostos com capitalização contínua, resolvido pelo matemático suíço Jakob Bernoulli e será

estudado na seção de limites. Mas esse número tem grande importância no estudos de vários fenômenos

naturais como o crescimento populacional, decaimentos radioativos, dentre outros.

Figura 10: Função f(x) = ex.

A Função Logarítmica

Note que pela propriedade (P6), a função exponencial é sempre crescente ou sempre decrescente, de-

pendendo do valor da base a. Logo, ela é injetora, pois para cada x < y, ou seja, x 6= y, temos, para

qualquer valor de a, que ax 6= ay. E se restringirmos o contradomínio ao conjunto R∗+, obtemos a função

f : R → R∗+ de�nida por f(x) = ax, que é bijetora. Desse modo, f possui inversa que é a denominada

função logarítmica, de�nida da seguinte forma:

f : R∗+ → Rx 7→ y = loga x

onde

y = loga x ⇔ x = ay

Como se trata de uma função inversa, a função logarítmica possui propriedades que "desfazem" o que

a função exponencial faz, por exemplo, ao passo que a função exponencial "transforma uma soma em

produto", a função logarítmica transforma um produto em soma (o logaritmo do produto é a soma dos

logaritmos). Veja a tabela a seguir:

Função Exponencial Função Logarítmica

ax+y = ax · ay loga(x · y) = loga x+ loga y

ax−y =ax

ayloga

(x

y

)= loga x− loga y

ax·y = (ax)y loga(xy) = y loga x

O grá�co da função logarítmica pode ser obtido pela propriedade grá�ca da função inversa. Dessa forma,



Figura 11: Função logarítmica com base a > 1.

Figura 12: Função logarítmica com base 0 < a < 1.

Observação 2. Quando a base do logaritmo é o número e, costuma-se denotar por ln x. Então, f(x) =ln x = loge x.

Observação 3. Uma forma de de�nir a função logarítmica de x na base e é através do cálculo de uma

área da região localizada abaixo da função g(t) =1

tentre as retas t = 1 e t = x, como mostrado na �gura

abaixo:

Figura 13: f(x) = ln x.

Contudo, essa abordagem será discutida mais a frente no nosso curso.



3 Funções Hiperbólicas

Nesta seção, apresentaremos funções que são obtidas a partir da combinação das funções ex e e−x. Elassão análogas, de muitas maneiras, às funções trigonométricas e relacionam-se com a hipérbole da mesma

forma que as trigonométricas relacionam-se com o círculo. Por essa razão, são chamadas de funçõeshiperbólicas.

• Função Seno Hiperbólico é a função f : R → R dada por f(x) = senh (x) =ex − e−x

2. O seu

grá�co é

Figura 14: Grá�co da Função f(x) = senh x

• Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R→ R∗+, dada por g(x) = cosh(x) =ex + e−x

2, e seu

grá�co é:

Figura 15: Grá�co da Função f(x) = cosh x



A partir dessas duas funções podemos de�nir as outras que seguem abaixo:

• Função Tangente Hiperbólica é a função f : R → (−1, 1) dada por f(x) = tgh (x) =senh x

cosh x=

ex − e−x

ex + e−x, o seu grá�co é o seguinte:

Figura 16: Grá�co da Função f(x) = tgh x

• Função Secante Hiperbólica é a função g(x) =1

cosh(x)e cujo grá�co é:

Figura 17: Grá�co da Função f(x) = sech x

• Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) =1

senh(x)e cujo grá�co é:

Figura 18: Grá�co da Função f(x) = cossech x



• Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) =1

tgh(x)=

cosh(x)

senh xe cujo grá�co é:

Figura 19: Grá�co da Função f(x) = cotgh x

Vejamos alguns exemplos de cálculos simples:

Exemplo 1. Calcule o valor de

(a) senh 0

(b) cosh 0

(c) tgh 1

(d) senh (ln 2)

(e) sech 0

(f) cotgh (ln 3)

(g) cossech (ln 2)

Solução:

(a) senh 0 =e0 − e−0

2=

0

2= 0

(b) cosh 0 =e0 + e−0

2=

2

2= 1

(c) tgh 1 =senh 1

cosh 1=e1 − e−1

e1 + e−1=e− e−1

e+ e−1=e2 − 1

e2 + 1

(d) senh (ln 2) =eln 2 − e− ln 2

2=

2−(1

2

)2

=

3

22=

3

4

(e) sech 0 =1

cosh 0=

1

1= 1



(f) cotgh (ln 3) =cosh ln 3

senh ln 3=

eln 3 + e− ln 3

2eln 3 − e− ln 3

2

=eln 3 + e− ln 3

eln 3 − e− ln 3=

3 +1

3

3− 1

3

=

10

38

3

=5

4

(g) cossech (ln 2) =1

senh x=

2

eln 2 − e− ln 2=

2

2− 1

2

=23

2

=4

3

�A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade como

a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse

decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para

descrever a forma de um �o dependurado entre duas hastes, como por exemplo o �o elétrico entre dois postes.

Em geral, esse �o assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c+ a cosh(xa

).

Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda

aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada

pela função:

v =

√gL

2πtgh

(2πd

L

)onde g é a aceleração da gravidade.

A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas:

Proposição 1. Sejam x,∈ R. Então:

(i) senh (−x) = − senh x

(ii) cosh(−x) = coshx

(iii) cosh2 x− senh2 x = 1

(iv) 1− tgh2 x = sech2 x

(v) senh(x+ y) = senh x cosh y + senh y cosh x

(vi) cosh(x+ y) = coshx cosh y + senh x senh y

Demonstração:Provaremos os itens (iii) e (iv) e os outros �cam como exercício.

(iii) Note que

cosh2 x− senh2 x =

(ex + e−x

2

)2

−(ex − e−x

2

)2

=

(e2x + 2exe−x + e−2x

4

)−(e2x − 2exe−x + e−2x

4

)=

��e2x + 2 +�

��e−2x −��e2x + 2−�

��e−2x

4

=4

4= 1

(iv) Observe que

1− tgh2x = 1− senh2 x

coshx

=cosh2 x− senh2 x

cosh2 x

=1

cosh2 x= sech2 x

�



Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.2, 1.5 e 1.6 e no Apêndice G do livro texto.

Sugestão de exercícios

Resolva os exercícios das seções 1.2, 1.5 e 1.6 os do Apêndice G do livro texto.


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