6fb111- cálculo i - 2010-1

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FAAP Faculdade de Computao e Informtica

Clculo Diferencial e Integral I

Cdigo da Disciplina: 6FB111 CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1

2010Edio de 2010-1

FAAP Faculdade de Computao e Informtica

Cdigo da Disciplina: 6FB111 CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2

Toda a educao cientfica que no se inicia com a Matemtica , naturalmente, imperfeita na sua base. 1798August Comte, 1798-1875

FAAP Faculdade de Computao e Informtica Sumrio 1. Limites............................................................................................................................................................. 7 1.1 Definio ................................................................................................................................................. 7 1.2 Propriedades dos limites .................................................................................................................. 9 1.3 Limites laterais .................................................................................................................................. 11 1.4 Limites infinitos ................................................................................................................................ 15 1.5 Limites fundamentais ..................................................................................................................... 17 1.5.1 Limites trigonomtricos ........................................................................................................ 17 1.5.2 Limites exponenciais .............................................................................................................. 20 1.6 Continuidade ...................................................................................................................................... 25 2. Derivada de uma funo........................................................................................................................ 29 2.1 Conceito de derivada....................................................................................................................... 29 2.2 Propriedades das derivadas ......................................................................................................... 33 2.2.1 Derivada de uma constante.................................................................................................. 33 2.2.2 Derivada da potncia .............................................................................................................. 34 2.2.3 Derivada da soma e da diferena ....................................................................................... 36 2.2.4 Derivada do produto............................................................................................................... 40 2.2.5 Derivada do quociente ........................................................................................................... 43 2.3 Regra da Cadeia ................................................................................................................................. 45 2.4 Derivadas de Ordem Superior ..................................................................................................... 49 2.5 Derivada das Funes Trigonomtricas .................................................................................. 51 2.5.1 Derivada da funo seno ....................................................................................................... 51 2.5.2 Derivada da funo cosseno ................................................................................................ 53 2.5.3 Derivada da funo tangente ............................................................................................... 57 2.5.4 Derivada da funo cotangente .......................................................................................... 57 2.5.5 Derivada da funo secante ................................................................................................. 58 2.5.6 Derivada da funo cossecante........................................................................................... 59 2.6 Derivada de funes logartmicas .............................................................................................. 61 2.7 Derivada de funes exponenciais ............................................................................................ 67 2.8 Derivadas de Funes na Forma Implcita ............................................................................. 74 3. Aplicaes da Derivada.......................................................................................................................... 82 3.1 Mximos e mnimos de uma funo .......................................................................................... 82 3.1.1 Teorema de Fermat ................................................................................................................. 83 3.1.2 Teste da derivada de segunda ordem .............................................................................. 84 3.1.3 Clculo dos mximos e mnimos absolutos ................................................................... 86 3.1.4 Otimizao: aplicaes do clculo de mximos e mnimos...................................... 89 3.2 Esboo da curva de uma funo.................................................................................................. 93 3.2.1 Funes Crescentes e Decrescentes.................................................................................. 93 3.2.2 Anlise da Primeira Derivada.............................................................................................. 93 3.2.3 Anlise da Segunda Derivada .............................................................................................. 94 3.2.4 Procedimento para o esboo da curva de uma funo .............................................. 95 Apndices ...................................................................................................................................................... 101 A.1 Resumo de Frmulas ....................................................................................................................101 Cdigo da Disciplina: 6FB111 CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3

FAAP Faculdade de Computao e Informtica Ma Poesia Matemtica Millr Fernandes

s folhas tantas Do livro matemtico Um Quociente apaixonou-se Um dia Doidamente Por uma Incgnita. Olhou-a com seu olhar inumervel E viu-a, do pice Base. Uma figura mpar: Olhos rombides, boca trapezide, Corpo ortogonal, seios esferides. Fez da sua Uma vida Paralela dela At que se encontraram No infinito. "Quem s tu?" indagou ele Com nsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa." E de falarem descobriram que eram -- O que, em aritmtica, corresponde A almas irms -- Primos-entre-si. E assim se amaram Ao quadrado da velocidade da luz Numa sexta potenciao Traando Ao sabor do momento E da paixo Retas, curvas, crculos e linhas sinoidais. Escandalizaram os ortodoxos das frmulas euclideanas E os exegetas do Universo Finito. Romperam convenes newtonianas e pitagricas. E, enfim, resolveram se casar Constituir um lar. Mais que um lar, Uma Perpendicular.

Convidaram para padrinhos O Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equaes e diagramas para o futuro Sonhando com uma felicidade Integral E diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e trs cones Muito engraadinhos. E foram felizes At aquele dia Em que tudo, afinal, Vira monotonia. Foi ento que surgiu O Mximo Divisor Comum Freqentador de Crculos Concntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, Uma Grandeza Absoluta, E reduziu-a a um Denominador Comum. Ele, Quociente, percebeu Que com ela no formava mais Um Todo Uma Unidade. Era o Tringulo. Tanto chamado amoroso. Desse problema ela era a frao Mais ordinria. Mas foi ento que Einstein descobriu a Relatividade E tudo que era esprio passou a ser Moralidade Como, alis, em qualquer Sociedade.

Cdigo da Disciplina: 6FB111 CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4

FAAP Faculdade de Computao e Informtica Introduo

Caro aluno, seja bem-vindo!

Este material foi preparado para ajud-lo durante todo o semestre. Ele contm os conhecimentos bsicos necessrios para voc ter um bom aproveitamento dessa

disciplina. Alm disso, considerando a grande utilizao da Matemtica pelas demais partes:

disciplinas, muito importante que voc compreenda bem tudo o que vamos abordar.

Para facilitar sua utilizao desse material, saiba que ele est elaborado sempre em trs 1) Primeiro, feita a apresentao conceitual do assunto, que pode ser a apresentao de um conceito, uma demonstrao ou uma definio. 2) Em seguida, so dados exemplos de como aplicar os conceitos na resoluo de problemas. So exerccios resolvidos passo a passo, e importante voc entender bem resoluo ser terica e sua aplicao ser vista nas aulas de Fsica, Mecnicas dos Slidos, Termodinmica, etc. 3) Finalmente, haver uma lista de exerccios para voc resolver. Parte deles ser material; traga suas dvidas sempre que surgirem. esclarecidas, e os conceitos consolidados.

todas as passagens. Por vezes, os problemas so de natureza prtica, mas, outras vezes, a

resolvida por voc em sala, onde poder ter o apoio do professor. Entretanto, muito

importante que voc reserve tempo alm das aulas para resolver todos os exerccios do No demais enfatizar que a parte mais importante para seu aprendizado a terceira. A experincia mostra que ao fazer os exerccios que as dvidas aparecem, so Uma dica importante: o curso cumulativo, ou seja, os conceitos iniciais sero importantes para os prximos assuntos. Assim, no deixe que suas dvidas se acompanhar o curso.

acumulem. Se voc mantiver um bom ritmo de aprendizado, ser sempre mais fcil Acima de tudo, saiba que pode sempre contar com o apoio e ajuda de seu professor. Cdigo da Disciplina: 6FB111 CLCUL