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CALCULO I - LICENCIATURA EM QUÍMICA – PROF. WINDSON Página 17

UNIDADE II – LIMITES E DERIVADAS

1. CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE

Tomaremos como ponto de partida o Paradoxo de Zenão, filósofo grego (490ac):

Aquiles e a tartaruga

Paradoxo é um argumento que aparenta ser logicamente correto, mas que leva a uma

contradição ou a uma conclusão que desafia claramente o senso comum.

Aquiles, símbolo da força e da agilidade, resolve apostar corrida com uma tartaruga. Mas

Aquiles era duas vezes mais forte que a tartaruga e deu a ela uma pequena vantagem. Acontece,

então que Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois, quando Aquiles atingir o ponto de partida da

tartaruga ela terá se movido para o ponto B. Quando Aquiles atingir o ponto B, a tartaruga terá

atingido o ponto C, e assim por diante infinitamente.

Vamos pensar em outra situação, esta agora geométrica que, igualmente, não terá fim.

Consideremos um quadrado de lado 1 unidade de comprimento. Incialmente branco, vamos

colorir metade do quadrado, tomando metade de sua área.

Tomemos após isso a metade da área ainda não pintada. E assim faremos sucessivamente.

Após 10 iterações, teremos um quadrado pintado da seguinte forma:

Vemos que por menor que seja a parte não pintada, pela infinidade dos números reais, ainda

restará uma parte do quadrado em branco, ainda que não visível. As frações que se apresentam da

parte pintada se aproximam vertiginosamente do valor da área de todo o quadrado, ou seja, se

aproximam de 1. Atribuímos a 1 resposta para o limite dessa condição.

Escrevemos a função correspondente a cada iteração como:

𝑓(𝑥) =2𝑥 − 1

2𝑥= 1 −

1

2𝑥

O limite é representado da seguinte forma:

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) = lim𝑛→∞

2𝑥 − 1

2𝑥= lim

𝑛→∞1 −

1

2𝑥= 1

1

2= 0,5

1

2+

1

4=

3

4=

3

4

1

2+

1

4+

1

8=

3

4+

1

8=

7

8

15

16= 0,9375

31

32= 0,9687

63

64= 0,9843

127

128= 0,9921

255

256= 0,9960

511

512= 0,9980

1023

1024= 0,9990


2. CONCEITO FORMAL DE LIMITE

O limite de 𝑓(𝑥) é igual a 𝐿, quando 𝑥 se aproxima de 𝑥𝑜, se:

Dado um número 휀 > 0, podemos encontrar um número 𝛿 > 0, tal que, para todo 𝑥 próximo de 𝑥𝑜,

isto é, para todo 𝑥 com |𝑥 − 𝑥𝑜 | < 𝛿, temos 𝑓(𝑥) próximo de 𝐿, isto é, |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

2.1 TAXA DE VARIAÇÃO

Consideremos uma curva qualquer e seja a e f(a) as coordenadas de um ponto P pertencente

à curva. Consideremos outro ponto Q do gráfico de f cuja abscissa representamos por a + h; então,

a ordenada de Q é f(a + h). O declive da reta secante PQ é dado pelo quociente

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

chamado razão incremental, onde h é o incremento.

𝑥

P 𝐿

𝑥0

𝑦

𝛿 𝛿

휀

휀

x x

𝑥

P 𝑓(𝑎)

𝑎

𝑄 𝑓(𝑎 + ℎ)

𝑎 + ℎ

ℎ

𝑓(𝑎 + ℎ) – 𝑓(𝑎)

𝑦

m = 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ


Quando aproximamos 𝑄 de 𝑃 diminuindo o valor do incremento ℎ, vemos que a reta secante se

aproxima da tangente à curva que passa por 𝑃.

A inclinação das retas 𝑃𝑄, 𝑃𝑄1 e 𝑃𝑄2 é da pela relação: m = 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ. Para

configurarmos a reta tangente à curva representada pela função 𝑓 e que passa pelo ponto 𝑃, faremos

ℎ → 0, ou seja, quanto mais próximos os pontos 𝑄𝑛 do ponto 𝑃, ou ainda, que o incremento ℎ seja

o menor possível. Assim a inclinação da reta tangente considerada é dada por:

m = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Pelo calculo da inclinação da reta tangente, vimos que representa o limite

limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Fazendo h = x – a temos que esse limite faz-se corresponder a

limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ= lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Exemplo 1: Encontre a equação da reta tangente a 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto de abscissa 𝑥 = 1.

Utilizaremos para isso a equação da reta 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) e a sua inclinação dada por

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ

𝑚 = limℎ→0

(𝑎 + ℎ)2 − (𝑎)2

ℎ= lim

ℎ→0

𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎2

ℎ= lim

ℎ→0

2𝑎ℎ + ℎ2

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ(2𝑎 + ℎ)

ℎ

𝑚 = limℎ→0

2𝑎 + ℎ = 2𝑎

Portanto a inclinação da reta tangente é 𝑚 = 2𝑎 e o ponto considerado é 𝑃(𝑎, 𝑎2). Para a abscissa

𝑥 = 𝑎 = 1, temos 𝑚 = 2 e 𝑃(1,1). A reta tangente terá equação:

𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 1 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 1

𝑓(𝑎 + ℎ) – 𝑓(𝑎)

𝑥

𝑃 𝑓(𝑎)

𝑎

𝑄 𝑓(𝑎 + ℎ)

𝑎 + ℎ

h

𝑦

𝑄1 𝑄2


Exemplo 2:Encontrar a reta tangente à parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto dado 𝑃(𝑎, 𝑎2).

Pelo exemplo anterior temos

𝑚 = limℎ→0

(𝑎 + ℎ)2 − (𝑎)2

ℎ= lim

ℎ→0

𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎2

ℎ= lim

ℎ→0

2𝑎ℎ + ℎ2

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ(2𝑎 + ℎ)

ℎ

𝑚 = limℎ→0

2𝑎 + ℎ = 2𝑎

Portanto a inclinação da reta tangente é 𝑚 = 2𝑎 e o ponto considerado é 𝑃(𝑎, 𝑎2). A reta tangente

terá equação:

𝑦 − 𝑎2 = 2(𝑥 − 𝑎) ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 2𝑎 + 𝑎2.

Exemplo 3: Vamos calcular o declive da curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto 𝑥 = 4, usando a notação:

𝑚 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Considerando primeiramente a função 𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎, fazendo-se 𝑥 = 𝑎 resulta em uma

indefinição pela divisão por zero, logo a ideia de aplicar o limite a função 𝑓(𝑥) necessita de

encontrar uma relação equivalente levando em conta todo o seu domínio.

Usando relações fundamentais dos produtos notáveis, resulta:

𝑔(𝑥) =𝑥2 − 𝑎2

𝑥 − 𝑎=

(𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎= 𝑥 + 𝑎

Assim, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑎 é equivalente a 𝑔(𝑥) =𝑥2−𝑎2

𝑥−𝑎 e possui domínio para 𝑥 ≠ 𝑎.

A resolução do limite passa por essa transformação e acontece da seguinte forma para 𝑥 = 4.

𝑚 = lim𝑥→4

𝑓(𝑥) − 𝑓(4)

𝑥 − 4= lim

𝑥→4

𝑥2 − 42

𝑥 − 4= lim

𝑥→4

(𝑥 + 4). (𝑥 − 4)

𝑥 − 4= lim

𝑥→4𝑥 + 4 = 8

2.2 LIMITE E CONTINUIDADE

Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua num ponto 𝑥0 quando as seguintes condições

estão satisfeitas:

a) 𝑓 está definida em 𝑥0

b) 𝑓(𝑥) tem limite com 𝑥 → 𝑥0 e esse limite é igual a 𝑓(𝑥0), isto é, lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).

Dizemos que 𝑓 é contínua num domínio 𝐷 se ela for contínua em cada ponto desse domínio.

Teorema do valor intermediário. Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo, do qual 𝑎 e 𝑏 são

pontos quaisquer. Então, dado qualquer número 𝑟, entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), existe pelo menos um número

𝑐 entre 𝑎 e 𝑏, tal que 𝑟 = 𝑓(𝑐).


Pelo enunciado do teorema podem-se prever outros valores que compõe os valores entre 𝑎 e 𝑏.

Corolário. Seja f uma função contínua num intervalo, do qual a e b são pontos onde a função assume

valores de sinais contrários. Então existe pelo menos um ponto entre a e b onde f se anula.

Exemplo: Verificar se cada função é continua no ponto considerado.

1: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 7 para 𝑥 = 5.

Basta verificar se: 1) 𝑓 está definida em 𝑥 = 5; Como temos uma função polinomial não existe

restrição ao domínio. 2) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) ⇒ lim𝑥→5

𝑓(𝑥) = lim𝑥→5

3𝑥 − 7 = 8 = 𝑓(5). Portanto,

verificadas essas duas condições dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑥 = 5.

2: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − √𝑥 + 1, 𝑥 = 4.

3: 𝑓(𝑥) =√𝑥+10

𝑥−1, para 𝑥 = 9.

4: 𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥+7

6𝑥−1, para 𝑥 = 1.

f(a)

a

f(b)

b x

y

c

r

f(a)

a

f(b)

b x

y

c c’ c’’

r

f(a)

a

f(b)

b x

y

c 0


2.3 LIMITES LATERAIS

Às vezes uma função possui limites diferentes, conforme x se aproxime de x0 por valores estritamente

maiores ou menores que x0.

Representa-se por 𝑥 → 𝑥0+ para valores 𝑥 que se aproximam de 𝑥0 por valores maiores que ele.

E por 𝑥 → 𝑥0− para o limite de aproximação de 𝑥 em relação à 𝑥0 por valores menores que ele.

Exemplo 1: Analisar os limites laterais da função considerada para 𝑥 = 0.

𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥

Pela definição da função modular temos: |𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0. Assim a função constitui-se da

seguinte forma:

𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥= {

1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Visualiza-se que o domínio da função é ℝ∗.

Portanto os limites quando 𝑥 tende a zero pela esquerda (ou seja, por valores menores que zero) e

pela direita (por valores maiores que zero) são respectivamente:

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−

|𝑥|

𝑥= −1

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+

|𝑥|

𝑥= 1

Exemplo 2: Encontrar os limites laterais da função 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 para 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1.

Fazendo 𝑦 = √1 − 𝑥2, verificamos que a função 𝑓(𝑥) representa a parte superior de uma

circunferência:

𝑦 = √1 − 𝑥2

𝑦2 = 1 − 𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Logo, temos uma circunferência de centro 𝐶(0,0) e raio = 1.

1

𝑥

𝑦

0

−1

1

𝑥

𝑦

0 1 −1


Os limites laterais da função 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2 para 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1, serão:

lim𝑥→−1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−1+

√1 − 𝑥2 = 0

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

√1 − 𝑥2 = 0

Como a função não está definida para 𝑥 < −1 e 𝑥 > 1 os limites 𝑥 → −1− e 𝑥 → 1+ não existem.

2.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES

Considere os seguintes limites: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝑀. Valem para esses limites, se eles

existirem as seguintes propriedades:

I) Regra da soma (subtração): “O limite de uma soma (subtração) é a soma (subtração) dos

limites”.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀

II) Regra do produto: “O limite de um produto é o produto dos limites”.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀

III) Regra da multiplicação por um escalar: “O limite da multiplicação por um escalar é o escalar

multiplicado pelo limite”

lim𝑥→𝑎

𝑐. 𝑓(𝑥) = 𝑐. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝐿

IV) Regra do quociente: “O limite de um quociente é o quociente dos limites”. Com 𝑀 ≠ 0.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀

V) Regra da potência: “O limite de um a potência é a potência do limite”.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛 = (lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥))𝑛

= 𝐿𝑛

VI) Regra da radiciação: “O limite de uma raiz é a raiz do limite”. Desde que 𝑛 seja par.

lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛 = √lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛 = √𝐿𝑛

2.5 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO

São limites que adotam o símbolo ±∞ para representar valores muito grandes (ou muito pequenos).

Exemplo 1: Encontrar 𝑥 → 0+ e 𝑥 → 0− na função

𝑓(𝑥) =1

𝑥3


O gráfico dessa função nos mostra o que acontece quando os valores de 𝑥 se aproximam de zero

por valores imediatamente maiores ou menores que zero.

Pela fração que representa a função, o decrescimento do denominador faz com que os valores

resultantes da função fiquem cada vez maiores quando 𝑥 ficar muito próximo de zero

Vemos que os limites pela esquerda e pela direita tendem a valores muito grandes positivos e

valores muito grandes negativos, de forma que:

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = −∞

Exemplo 2: Dada função 𝑓(𝑥) = 1 +1

𝑥−

1

𝑥2. Encontre, lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) e lim𝑥→0

𝑓(𝑥).

O primeiro limite é mais direto para se calcular, uma vez que utilizando as propriedades do limite

temos:

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→±∞

1 +1

𝑥−

1

𝑥2= lim

𝑥→±∞1 + lim

𝑥→±∞

1

𝑥− lim

𝑥→±∞

1

𝑥2=

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) = 1 ± 0 − 0 = 1

Para o segundo limite podemos separar os casos 𝑥 → 0+ e 𝑥 → 0− para visualizar o limite, pois os

valores dos sinais de +∞ e −∞ podem alterar o valor do limite. Poderemos então utilizar o maior expoente

do denominador colocando-o em evidência para o cálculo do limite em cada parcela da seguinte forma:

𝑓(𝑥) =1

𝑥2(𝑥2 + 𝑥 − 1)

O limite da função resultará:

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0+

1

𝑥2(𝑥2 + 𝑥 − 1) = +∞. (−1) = −∞

Reparem que o sinal de 𝑥 → 0− não interfere na resposta pois o expoente sendo par o primeiro fator

da multiplicação ser sempre positivo enquanto o segundo será sempre negativo. Com isso podemos escrever:

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = −∞

1 −1

1

𝑥

𝑦

0 −1


EXEMPLOS

1. Calcule os limites indicados a seguir:

a) limx→2

(x2 − 3x + 1)

b) limx→−1

(√2 − x2)

c) limx→9

x√x

x2−1

d) limx→−1

x2+3x+2

x2−1

e) limx→5

√5−√x

x−5

f) limx→1−

𝑥2−1

|𝑥−1|

g) limx→−3±

|𝑥+3|

9−𝑥2

h) limx→1−

x

1−x

i) limx→0

x−1

|𝑥|

j) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(√𝑥−√𝑎)2

𝑥−𝑎

3. A DERIVADA

O declive de uma curva y = f(x), num ponto x = a, como limite da razão incremental com ℎ → 0:

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Essa quantidade m depende do valor x = a considerado, isto é, m é função de a.

Ela é chamada derivada da função f e é indicada com o símbolo f’. Escrevemos a expressão

anterior na forma

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

O valor x = a é um valor específico. Generalizando temos

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Fazendo x = x0 + h h = x – x0 , temos:

𝑓′(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

Exemplo 1: Vamos calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 num ponto qualquer 𝑥 > 0.

Pelo limite da razão incremental temos:


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

√𝑥 + ℎ − √𝑥

ℎ


Podemos notar que quando aplicamos o limite à expressão, vemos que o resultado é um limite do

tipo 0

0, ou seja, chegamos a uma indefinição matemática. Precisamos, assim, fatorar a expressão de forma a

desconstituir o limite. Uma fatoração possível é multiplicar e dividir o limite pelo termo √𝑥 + ℎ + √𝑥,

usando um velho conhecido produto notável “produto da soma pela diferença”.


√𝑥 + ℎ − √𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

(√𝑥 + ℎ − √𝑥)

ℎ.√𝑥 + ℎ + √𝑥

√𝑥 + ℎ + √𝑥= lim

ℎ→0

(√𝑥 + ℎ)2

− (√𝑥)2

ℎ(√𝑥 + ℎ + √𝑥)


𝑥 + ℎ − 𝑥

ℎ(√𝑥 + ℎ + √𝑥)= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ(√𝑥 + ℎ + √𝑥)= lim

ℎ→0

1

√𝑥 + ℎ + √𝑥=

1

2√𝑥

Vale lembrar, como observação, que os produtos notáveis aparecem com constância para o cálculo

dos limites, dentre eles destacam-se:

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Exemplo 2: Vamos estudar a derivada da função

𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Nesta função vemos que para 𝑥 = 0 usaremos o segundo limite da definição de derivada pois sabemos que

a aproximação 𝑥 → 0 pode ocorrer pela esquerda e pela direita, sendo assim os limites serão

𝑓′(𝑥)− = lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) − 𝑓(0)

𝑥 − 0= lim

𝑥→0−

−𝑥 − 0

𝑥 − 0= −1

𝑓′(𝑥)+ = lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) − 𝑓(0)

𝑥 − 0= lim

𝑥→0−

𝑥 − 0

𝑥 − 0= 1

Portanto a derivada pela esquerda e pela direita quando 𝑥 → 0 são diferentes, concluímos assim que a função

não admite derivada para o ponto 𝑥 = 0.

Exemplo 3: Vamos estudar a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)|𝑥 + 2| pela definição.

A função módulo pode ser definida da seguinte forma:

|𝑥 + 2| = {𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −2

−𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < −2

𝑓(𝑥) pode ser redefinida assim:


𝑓(𝑥) = {(𝑥 − 1). (𝑥 + 2), 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −2

(𝑥 − 1). (−𝑥 − 2), 𝑠𝑒 𝑥 < −2

Pela definição de derivada teremos:

𝑓′(𝑥)− = lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)

𝑥 − (−2)= lim

𝑥→−2−

(𝑥 − 1). (−𝑥 − 2) − (−2 − 1). (2 − 2)

𝑥 + 2=

𝑓′(𝑥)− = lim𝑥→−2−

(𝑥 − 1). (−𝑥 − 2) − 0

𝑥 + 2= lim

𝑥→−2−

(𝑥 − 1). (−𝑥 − 2)

𝑥 + 2= lim

𝑥→−2−

(𝑥 − 1). (−1) = 3

𝑓′(𝑥)+ = lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)

𝑥 − (−2)= lim

𝑥→−2+

(𝑥 − 1). (𝑥 + 2) − (−2 − 1). (−2 + 2)

𝑥 + 2=

𝑓′(𝑥)+ = lim𝑥→−2+

(𝑥 − 1). (𝑥 + 2) − 0

𝑥 + 2= lim

𝑥→−2+

(𝑥 − 1). (𝑥 + 2)

𝑥 + 2= lim

𝑥→−2+

(𝑥 − 1) = −3

3.1 NOTAÇÕES DA DERIVADA

Em mecânica ∆𝑥 = 𝑥′ − 𝑥 ⇒ 𝑥′ = 𝑥 + ∆𝑥

A razão incremental será:

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥=

∆𝑓(𝑥)

∆𝑥=

∆𝑦

∆𝑥

Notação de Leibniz 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥. Para y = f(x) = x, sua diferencial dx é simplesmente ∆𝑥, pois a

derivada é 1. Portanto,

𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥

A derivada 𝑓′(𝑥) de 𝑦 = 𝑓(𝑥) é também uma função de x. Podemos, então, considerar sua derivada, que é

chamada derivada segunda de f.

𝒇′′, 𝑫(𝟐)𝒇, 𝒅𝟐𝒇

𝒅𝒙𝟐, 𝒚′′, �̈�

São outros símbolos.

𝒇(𝒏), 𝑫(𝒏)𝒇, 𝒅𝒏𝒇

𝒅𝒙𝒏, 𝒚(𝒏)

3.2 DERIVADAS E CONTINUIDADE

Teorema: Toda função derivável num ponto x0 é contínua nesse ponto.

Dem: Seja f uma função derivável em x0 .


𝜂 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0− 𝑓′(𝑥0)

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0). 𝜂

Quando 𝑥 → 𝑥0 temos

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

EXEMPLOS

Ache a derivada das funções, pela razão incremental:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2

b) 𝑓(𝑥) =𝑥2

4

c) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3

e) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2

f) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

3.3 O CÁLCULO FORMAL DAS DERIVADAS – REGRAS DE DERIVAÇÃO

Utilizando a definição da derivada através do limite da razão incremental vamos demonstrar

algumas regras importantes para o estudo de derivação.

Consideremos os seguintes limites


𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ; 𝑔′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ; 𝐻′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝐻(𝑥+ℎ)−𝐻(𝑥)

ℎ

Regra 1: Derivada de xn

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ⇒ 𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

(𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥𝑛

ℎ

(𝑥 + ℎ)𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ + 𝐶𝑛,2𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + ℎ𝑛


𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ + 𝐶𝑛,2𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + ℎ𝑛 − 𝑥𝑛

ℎ


ℎ. (𝑛𝑥𝑛−1 + 𝐶𝑛,2𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ + ℎ𝑛−1)

ℎ= 𝑛𝑥𝑛−1

𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1

Exemplos: Encontre a derivada das seguintes funções:

a) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥√2

Regra 2: Derivada da soma

𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝐻′(𝑥) = limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]

ℎ


[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]

ℎ



[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]

ℎ+

[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]

ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]

ℎ+ lim

ℎ→0

[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]

ℎ

𝐻′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 6

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥

Regra 3: Derivada de um produto

𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)

ℎ′(𝑥) = limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)]

ℎ=

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] + 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥 + ℎ)

ℎ=

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]. 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥). [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]

ℎ=

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]

ℎ. 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥). lim

ℎ→0

[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]

ℎ

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥)

Regra 4: Derivada de um produto por escalar.

[𝐶. 𝑓(𝑥)]′ = 𝐶. 𝑓′(𝑥)


a) 𝐷(𝑥4 −7

6𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 10)

b) 𝐷(𝑥2. 𝑥3)

c) 𝐷(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

d) 𝑑(𝑥2−3𝑥)

𝑑𝑥

e) [(𝑥3 − 2𝑥). (𝑥2 − 1)]′

f) [(𝑥2 − 3𝑥 + 1). (3𝑥2 + 5𝑥 − 5)]′

Regra 5: Derivada de um quociente

𝐻(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), com 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑓 = 𝑔ℎ ⇒ 𝑓′ = 𝑔′. ℎ + 𝑔. ℎ′

ℎ′ =𝑓′ − 𝑔′. ℎ

𝑔⇒

𝑓′ − 𝑔′. (𝑓𝑔)

𝑔

(𝑓

𝑔)

′

=𝑓′𝑔 − 𝑔′. 𝑓

𝑔2


a) 𝐷 (1

𝑥√𝑥)

b) 𝐷 (𝑥2−1

𝑥2+1)

c) 𝐷 (√𝑥

1+√𝑥)


Regra 6: Derivada de uma função composta e regra da cadeia

𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ⇒ 𝐻 = 𝑓 ∘ 𝑔

𝑢 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑢) ⇒ 𝐻′(𝑥) = 𝑓′(𝑢)

∆𝑢 = 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)

∆𝐻 = 𝐻(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐻(𝑥)

∆𝐻 = 𝑓(𝑔(𝑥 + ∆𝑥)) − 𝑓(𝑔(𝑥))

∆𝐻 = 𝑓(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢)

∆𝐻

∆𝑥=

𝐻(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐻(𝑥)

∆𝑥=

𝑓(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢)

∆𝑥

=𝑓(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢)

∆𝑥.∆𝑢

∆𝑢=

𝑓(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢)

∆𝑢.𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)

∆𝑥

lim∆𝑥→0

∆𝐻

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑓(𝑢)

∆𝑢.𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)

∆𝑥

lim∆𝑥→0

𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)

∆𝑥= 𝑔′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

∆𝑢

∆𝑥=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

lim∆𝑥→0

∆𝐻

∆𝑥= lim

∆𝑥→0(

∆𝑓

∆𝑢.∆𝑔

∆𝑥) = ( lim

∆𝑢→0

∆𝑓

∆𝑢) . ( lim

∆𝑥→0

∆𝑔

∆𝑥)

𝐻′(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑢). 𝑔′(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

Exemplos: Calcular as derivadas:

a) 𝑦 = √𝑥2 + 1

b) 𝑦 = (𝑥10 + 2)20

c) 𝑦 =(𝑥2+1)

3

(𝑥2+1)3−1

d) 𝑦 =(

1

1−𝑥2)2−3

(1

1−𝑥2)2+2

Regra 7: Derivada do logaritmo natural:

𝑦 = ln|𝑥| ⇒ 𝑦′ =1

𝑥

𝐷 ln|𝑓(𝑥)| =𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

Exemplo: ln (𝑥+1

𝑥−1)

Regra 8: Derivada da exponencial:

𝑦 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑒𝑥

𝐷𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥). 𝑓′(𝑥)

Exemplo: 𝑦 = 𝑒𝑥2−√𝑥


EXERCÍCIOS

1. Calcule os limites indicados a seguir:

a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−9

(√−𝑥 − 𝑥 + 2) b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2

√𝑥(𝑥 − 1)

c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

1−√1+𝑥

√𝑥−1−𝑥 d)𝑙𝑖𝑚

𝑥→4

𝑥2−16

𝑥2−5𝑥+4

e) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑥−3

√𝑥−√3 f) 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

𝑥2−1

|𝑥−1|

g) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−3±

|𝑥+3|

𝑥2−9 h)𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

𝑥

(𝑥−2)2

2. Calcule a derivada das funções dadas pelo cálculo direto do limite da razão incremental.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 – 5𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 1 – 2𝑥 – 4𝑥2

c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 d) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

e) 𝑓(𝑥) = √3𝑥, 𝑥 > 0 f)𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥, 𝑥 < 5

Respostas (pág 30):

1. a) 14

c) 1/(3-√2)

e) 2√3

g) ±1

6

2. a) f’(x)=6x – 5

c) f’(x) = 2(x+3)

e) f’(x)=3/2√3𝑥

3.4 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS

A derivada da função explicita pode ser calculada pelas regras já utilizadas.

𝑦 = 𝑥2 + 1

Nem sempre as funções aparecem de forma explícita como no caso:

𝑦2 + 𝑥2 = 1

Podemos resolver encontrando a função explícita 𝑦 = √1 − 𝑥2 e 𝑦 = −√1 − 𝑥2

Encontre 𝑦′ na equação:

𝑥2𝑦 − 2𝑦 − 3𝑥 − 1 = 0

Encontre 𝑦′ sem eliminar 𝑦:

a) 𝑥3 + 𝑦3 = 3

b) (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥4 + 𝑦4

c) 𝑥3 + 𝑦2 = 𝑥𝑦 + 𝑦2


3.5 DERIVADAS PARCIAIS

Seja uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) de duas variáveis:

Chamam-se derivadas parciais as funções relacionadas a cada uma das variáveis da forma:

𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥 e

𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦

Podemos expandir essa definição a n variáveis

𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛) com n derivadas parciais.

𝜕(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛)

𝜕𝑥1;𝜕(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛)

𝜕𝑥2; … ;

𝜕(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,..., 𝑥𝑛)

𝜕𝑥𝑛

Quando calculamos as derivadas parciais, para cada variável, consideramos as demais variáveis como

constantes.

Exemplo: Determine as derivadas parciais das seguintes funções:

1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2

2) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦𝑧2

3) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

3.6 DERIVADAS – APLICAÇÕES

3.6.1 APLICAÇÕES À CINEMÁTICA

Quando tomamos intervalos de tempo cada vez menores dizemos que a velocidade é instantânea o que

resulta no limite:

𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑣𝑚 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡=

𝑑𝑠

𝑑𝑡

A velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo.

O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga

𝑎(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

Exemplo: Vamos estudar o movimento de uma partícula ao longo de um eixo horizontal, com equação

horária:

𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡2 − 9𝑡 + 1

a) Qual a velocidade instantânea da partícula?

b) Qual a aceleração instantânea da partícula?

c) Em que momentos ela caminha na direção positiva da trajetória (e na direção negativa)?

d) Em que momentos a partícula acelera (e desacelera)?


3.6.2 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS

1) A lei de um gás ideal confinado é 𝑃𝑉 = 8𝑇 , onde 𝑃 é a pressão em 𝑁/𝑐𝑚2, 𝑉 é o volume em 𝑐𝑚3 e 𝑇 é

a temperatura em graus Celsius. Se o volume do gás é de 150 𝑐𝑚3 e a temperatura é de 100°𝐶, pede-se:

a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o volume fixo de 150 𝑐𝑚3

b) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para a temperatura fixa de 100°𝐶.

2) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da superfície 𝑧 = 4𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦3 com

o plano 𝑦 = 2 no ponto 𝑃 = (3, 2, 48).

3) O potencial elétrico no ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

onde 𝑉 é dado em volts e 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 em 𝑐𝑚. Determine a taxa de variação instantânea de 𝑉 em relação à

distância em (1, 2, 3) na direção do:

a) eixo dos 𝑥;

b) eixo dos 𝑦;

c) eixo dos 𝑧.

4) No ponto (𝑥, 𝑦) de uma chapa plana a temperatura é dada por:

𝑇(𝑥, 𝑦) = 20. 𝑒𝑥2+4𝑦

50

com 𝑥 e 𝑦 em centímetros e 𝑇 em °𝐶.

a) Calcule a temperatura no ponto 𝑃 = (3,4);

b) Calcule a taxa de variação de 𝑇 em 𝑓 na direção do eixo 𝑥;

c) Calcule a taxa de variação de 𝑇 em 𝑃 na direção do eixo 𝑦;

d) Use a diferenciabilidade para estimar 𝑇 no ponto 𝑃(3.02,4.01)

apostila de cálculo i - unidade ii.pdf

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