ANLISE COMBINATRIA

Universidade do Estado do Par Curso de Licenciatura Plena em Matemtica Pg.58

GOVERNO DO ESTADO DO PARUNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR-UEPALICENCIATURA EM MATEMTICA-CCSEDEPARTAMENTO DE MATEMTICA ESTATISTICA E INFORMTICA

Uma breve histria do estudo da Derivada

A derivada tem dois aspectos bsicos, o geomtrico e o computacional. Alm disso, as aplicaes das derivadas so muitas a derivada tem muitos papis importantes na matemtica propriamente dita, tem aplicaes em fsica, qumica, engenharia, tecnologia, cincias, economia e muito mais, e novas aplicaes aparecem todos os dias. A origem da derivada est nos problemas geomtricos clssicos de tangncia, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um crculo em qualquer ponto P perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente sua espiral e Apolnio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu mtodos, todos um tanto diferente, para determinar tangentes a parbolas, elipses e hiprboles. Mas estes eram apenas problemas geomtricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos no perceberam que nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas. Problemas de movimento e velocidade, tambm bsicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, tambm surgiram com os gregos antigos, embora estas questes tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zeno (cerca de 450 a.C.) se apiam sobre dificuldades para entender velocidade instantnea sem ter uma noo de derivada. Na Fsica de Aristteles (384--322 a.C.), os problemas de movimento esto associados intimamente com noes de continuidade e do infinito (isto , quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na poca medieval, Thomas Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforos para transformar algumas das idias de Aristteles sobre movimento em afirmaes quantitativas. Em particular, a noo de velocidade instantnea tornou-se mensurvel, pelo menos em teoria, hoje, a derivada (ou a taxa de variao) da distncia em relao ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princpio que matemtica era a ferramenta indispensvel para estudar o movimento e, em geral, cincia: Filosofia (cincia e natureza) est escrita naquele grande livro o qual est diante de nossos olhos quero dizer o universo, mas no podemos entend-lo se no aprendermos primeiro a linguagem. O livro est escrito em linguagem matemtica. Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as propores clssicas de Euclides e propriedades das cnicas de Apolnio para estabelecer relaes entre distncia, velocidade e acelerao. Hoje, estas quantidades variveis so aplicaes bsicas das derivadas. O interesse em tangentes a curvas reapareceu no sculo 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analtica. Uma vez que equaes eram ento usadas para descreverem curvas, o nmero e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em pocas clssicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idia de uma famlia inteira de curvas de uma s vez. Ele as chamou de parbolas superiores, curvas da forma , onde k constante e n = 2, 3, 4, A introduo de smbolos algbricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do clculo. Por outro lado, como concluses e resultados geomtricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocnio algbrico que geomtrico, os padres de rigor lgico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de clculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvrsias espirituosas e at amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algbrico para determinar os pontos mais altos (mximos) e mais baixos (mnimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente curva tem inclinao zero.

Ren Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importncia da tangente quando, em sua Geometria, escreveu E eu ouso dizer isto (encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente) no apenas o problema mais til e geral da geometria que conheo, mas at aquele que sempre desejei conhecer Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e ento a tangente a uma curva. Como resultado da traduo da Geometria de Descartes para o latim por Frans Van Schooten (1615--1661) e as explicaes abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princpios e benefcios da geometria analtica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a tcnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos mximos e mnimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Ento, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqncia de etapas algbricas que produziu os pontos de inflexo de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. Ren Franois de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma tcnica algbrica que levou inclinao da tangente a uma curva. No final da dcada de 1650, havia grande correspondncia entre Huygens, Hudde, Van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de vrias curvas algbricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram mtodos algbricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602--1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um mtodo mecnico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclide. Mas o mtodo de Roberval no podia ser generalizado para incluir mais curvas. Isaac Newton (1642--1727) comeou a desenvolver o seu clculo de flxions entre os seus primeiro esforos cientficos em 1663. Para Newton, movimento era a base fundamental para curvas, tangentes e fenmenos relacionados de clculo e ele desenvolveu seus flxions a partir da verso de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta tcnica como um mtodo para encontrar a curvatura de uma curva, uma caracterstica que agora sabemos ser uma aplicao da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de clculo e estes manuscritos circularam entre um grande nmero de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de clculo em pocas diferentes de sua vida cientfica, os trabalhos de Newton sobre clculo no foram publicados at 1736 e 1745. Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) desenvolveu seu clculo diferencial e integral durante o perodo entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o mtodo de Sluse para encontrar tangente a curvas algbricas. Leibniz tinha pouca inclinao para desenvolver estas tcnicas e interesse ainda menor em fundamentaes matemticas (isto , limites) necessrias, mas ele aperfeioou as frmulas modernas e a notao para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them" (Novos mtodos para mximos e mnimos, assim como tangentes, os quais no so impedidos por quantidades fracionrias e irracionais, e um clculo notvel para eles) de 1684. Aqui est o primeiro trabalho publicado em clculo e de fato a primeira vez que a palavra clculo foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, algum poderia simplesmente usar as frmulas de clculo de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz inventaram o clculo. Como podemos ver, isto simplificao exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, clculo tem sido uma luta intelectual dramtica que durou 2500 anos. Depois de 1700, circunstncias levaram a um dos episdios mais tristes e deselegantes em toda a histria da cincia: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os crditos do clculo. Cada um fez contribuies importantes para derivada, integral, sries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Clculo. As acusaes de plgio e outros ataques eram irrelevantes frente matemtica feita por eles, mas as acusaes e contra-ataques escalaram para cises entre matemticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram xenofobia nacionalista por mais de um sculo. O primeiro livro sobre clculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines (Anlise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas, 1696) pelo Marqus de lHospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido Johann Bernoulli (1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, mximos, mnimos e outras anlises de curvas. Mas o mtodo de LHospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmo mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das frmulas de clculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenria e da braquistcrona so dois exemplos) para os quais o clculo era necessrio. Leibniz, Newton e Huygens tambm resolveram estes problemas. Estes problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equaes diferenciais e do clculo das variaes, novos campos da matemtica dependentes de clculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flxions, 1737) de Thomas Simpson (1710--1761) forneceu a primeira derivada da funo seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685--1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque falta de fundamentos rigorosos para seus flxions. Berkeley reconheceu a preciso das frmulas de Newton e a exatido das suas aplicaes abrangentes em fsica e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os "incrementos imperceptveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698--1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funes logartmicas e exponenciais e expandiu as frmulas de Simpson para incluir as derivadas das funes tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L' Hospital no seu livro de clculo Analytical Institutions (Instituies Analticas, 1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um passo importante na direo de estabelecer uma fundamentao slida para o clculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introduo Anlise do Infinito, 1748) quando introduziu funes (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras tcnicas de clculo seriam aplicadas. Por funo, Euler queria dizer algum tipo de "expresso analtica"; sua concepo no era to abrangente como a nossa definio moderna. Na sua publicao, tambm introduziu o termo anlise como um nome moderno para clculo e a matemtica avanada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Mtodos de Clculo Diferencial, 1755), Euler definiu a derivada como "o mtodo para determinar as razes entre os incrementos imperceptveis, as quais as funes recebem, e os incrementos imperceptveis das quantidades variveis, das quais elas so funes", que soa no muito cientfico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vrios casos especiais da regra da cadeia, introduziu equaes diferenciais e tratou mximos e mnimos sem usar quaisquer diagramas ou grficos. Em 1754, na famosa Encyclopdie francesa, Jean le Rond dAlembert (1717--1783) afirmou que a "definio mais precisa e elegante possvel do clculo diferencial" que a derivada o limite de certas razes quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expresses algbricas que chamamos de derivada. No final do sculo 18, Joseph Louis Lagrange (1736--1813) tentou reformar o clculo e torn-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funes Analticas, 1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algbrica para a derivada, sem recorrer intuio geomtrica, a grficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notao que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lgico de seu clculo era admirvel em outros aspectos, mas seu esforo em prover uma base slida para o clculo falhou porque sua concepo da derivada era baseada em certas propriedades de sries infinitas as quais, sabemos agora, no so verdadeiras.

Finalmente, no incio do sculo 19, a definio moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Rsum of Lessons given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lies Dadas na Escola Politcnica Sobre o Clculo Infinitesimal, 1823), Cauchy afirmou que a derivada :

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da funo que serve como o limite da razo [f(x + i) - f(x)] / i depender da forma da funo proposta y = f(x). Para indicar sua dependncia, d-se nova funo o nome de funo derivada. Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funes elementares e dar a regra da cadeia. De igual importncia, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Mdio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vrios teoremas bsicos do clculo que foram assumidos como verdadeiros, isto , descries de funes crescentes e decrescentes. Derivadas e o clculo diferencial esto agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do clculo.

Aps estudarmos limite de uma funo suas propriedades e aplicaes, passaremos nessa aula estudar agora a derivada, a partir da idia de taxa de variao mdia.

Como exemplo vamos considerar a funo .

1) Vamos construir uma tabela a partir da funo dada:

x-4-3-2-101234

f(x)84,520,500,524,58

2) Vamos construir agora o grfico da funo:

Podemos observar que se consideramos x variando de 1 a 2, por exemplo, o valor de y tambm varia, e varia de 0,5 a 2. Assim, enquanto x varia de 1 unidade, y varia 1,5 unidades. Observamos tambm que mantendo a variao de x constante e igual a 1 unidade (no caso), as variaes de y so 0,5; 1,5; 2,5; 3,5;. Essas variaes esto marcadas no grfico acima: Observe que elas no so constantes.

Vamos ento considerar, para y, dois valore , e tambm para x, dois valores , para podermos calcular a razo .1)

.

Podemos dizer que entre 1 e 2, y cresce em mdia 1,5 unidades por unidade de x.

2)

.

Podemos dizer que entre 3 e 4, y cresce em mdia 3,5 unidades por unidade de x.

3)

.

Podemos dizer que entre 1 e 4, y cresce em mdia 2,5 unidades por unidade de x.

4)

.

Podemos dizer que entre e , y decresce em mdia 1,5 unidades por unidade de x.

5)

.

Podemos dizer que entre e , y decresce em mdia 2,5 unidades por unidade de x.

6)

.

Podemos dizer que entre e , y decresce em mdia 2 unidades por unidade de x.

De um modo geral, sendo f uma funo definida num intervalo aberto do domnio, dois valores do domnio, , a razo , representa a variao no valor da funo em mdia por unidade que se acrescenta no valor de x entre .Assim, vale definir.

Vale observar que a taxa de variao mdia pode no ser constante, podendo ser positiva ou negativa dependendo dos pontos considerados.

Questes Resolvidas

01) Sendo , definida em , calcule a taxa de variao mdia da funo entre .

Soluo:

02) Sendo , definida em , calcule a taxa de variao mdia da funo entre .

Soluo:

Questes Propostas01) O grfico de uma funo f passa pelos pontos P(1, -5) e Q(3, -2). Calcule a taxa de variao mdia dessa funo entre . R: .

02) Calcule a taxa de variao mdia da funo f entre . Sabendo que o seu o grfico de uma funo f passa pelos pontos P(-3, 0) e Q(1, -5).R: .

03) Dada a funo , definida em , calcule a taxa de variao mdia da funo entre os pontos.

a)

R: .

b)

R: .

04) Dada a funo , definida em , calcule a taxa de variao mdia da funo entre os pontos.

a)

R: .

b)

R: .

05) Dada a funo: . Calcule a taxa de varaiao mdia da funo entre:a)

R: -3.

b)

R: .

Aps estudar a taxa de variao mdia, faremos agora um breve estudo da interpretao geomtrica da taxa de variao mdia, usando o resultado para calcular os coeficientes angulares das retas secantes e tangentes.

Faremos agora a interpretao geomtrica da taxa de variao mdia, para isso usaremos a mesma funo e o seu grfico.

Observando a figura, temos:

EMBED Equation.DSMT4 , Isto , geometricamente, a taxa de variao mdia da funo entre igual ao coeficiente angular da reta secante ao grfico da funo nos pontos .

Neste exemplo estamos usando tambm o conceito de razo incremental ou razo do acrscimo, para calcular o coeficiente angular da reta secante e tangente ao grfico da funo dada, como vemos abaixo:

Questes Resolvidas

01) Determine o coeficiente angular da reta secante ao grfico de , nos pontos (2, f(2)) e (5, f(5)).

Soluo:

E o coeficiente angular da reta secante nos pontos (2, 2) e (5, -10)

02) Sendo , calcule o coeficiente angular da reta secante ao grfico de f nos pontos P(-2, f(-2)) e Q(0, f(0).Soluo:

E o coeficiente angular da reta secante nos pontos P(-2, f(-2)) e Q(0, f(0) :

Aps calcular o coeficiente angular de uma reta secante, veremos agora como calcular o coeficiente angular de uma reta tangente. Para isso usaremos a mesma funo e o seu grfico. Observe as retas que passam pelo ponto P(1; 0,5).

1) Reta r: secante ao grfico de f e o seu coeficiente angular dado por:

.2) Reta v: secante ao grfico de f e o seu coeficiente angular dado por:

.3) Reta u: secante ao grfico de f e o seu coeficiente angular dado por:

.E para uma reta secante s, qualquer, que passa pelo ponto P temos: .Como a funo contnua em , ela tambm continua num intervalo aberto do domnio que contem x = 1. E quando x tende a 1 pela direita o ponto Q percorre o grfico da funo e se aproxima do ponto P. Conseqentemente as retas r, v, use aproxima da reta t tangente ao grfico de f no ponto P(1; 0,5). O mesmo acontece quando x tende a 1 pela esquerda. Podemos dizer que o coeficiente angular da reta t, tangente ao grfico da funo , no ponto P(1; 0,5). Se voc bem perceber estamos aplicando a definio de limite na equao da reta secante mt. Logo:

De um modo geral, sendo f uma funo continua num intervalo aberto do domnio, e sendo um ponto do domnio, podemos dizer que:

O coeficiente angular da reta t, tangente ao grfico da funo no ponto , dado por , se ele existir e for finito, onde passa ser o prprio conceito de deriva.A derivada da funo f (x0), no ponto xo igual ao coeficiente angular da reta t, tangente ao grfico da funo f (x), no ponto .Da geometria Analtica no a equao de uma reta sendo dados dois pontos e o coeficiente angular e dado pela seguinte frmula , aplicando o conceito de derivada na mesma equao obtemos e como f (x) = y.

Equao da reta tangente.

Equao da reta normal.

Vejamos mais alguns exemplos para podemos assimilar melhor essas equaes.

Questes Resolvidas

01) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(2, f(2)).

Soluo:

Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto P(2, f(2)) :-10.

02) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(-1, f(-1)).

Soluo:

Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto P(-1, f(-1)). 3.

03) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(1, 1).

Soluo:

Logo a reta tangente no ponto P(1, 1).

04) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(2, 4).

Soluo:

Logo a reta tangente no ponto P(2, 4).

Questes Propostas01) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(1, f(1)). R: -802) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(-2, f(-2)). R: 6

03) Determine a reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(2, f(2)).

R:

04) Determine a reta tangente ao grfico da funo , no ponto P(4, 4). R:

05) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo no ponto x = -1. R:

06) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo no ponto P(2, 3).

R:

07) Determine todos os pontos nos quais o grfico da funo tem inclinao 8.R: P(2, - 1)08) Determine o ponto do grfico da funo , em que a reta tangente t paralela a reta . R: P.

09) Determine o ponto do grfico da funo , em que a reta tangente t paralela a reta . R: .

Aps fazemos a interpretao geomtrica da taxa de variao mdia, e calcularmos os coeficiente angular da reta tangente, usaremos a taxa de variao mdia, para fazer o estudo do movimento retilneo uniformemente acelerado em Cinemtica.

Uma outra aplicao do estudo da taxa de variao mdia serve para explicar um importante tpico da Fsica no capitulo de Cinemtica, onde sabemos que a posio de um ponto material em movimento sobre uma curva (trajetria) conhecida pode ser determinada, em cada instante t, atravs de sua abscissa s, medida sobre a curva.

Assim, S uma funo de t e indicamos por S = S(t), chamada funo horria do ponto.

Observando o grfico acima, e supondo conhecida a definio de velocidade, teremos:

Ento, para calcular a velocidade escalar do mvel ponto to, temos:

Considerando a definio de derivada, podemos afirmar que a velocidade de um ponto mvel num instante to igual derivada da funo horria S(t) no instante em que t = to, isto :

Sabemos que, para um ponto em movimento, a velocidade v pode variar em funo do tempo t, assim, teremos a expresso v = f(t), chamada funo da velocidade do ponto.

Do estudo da cinemtica, sabemos que:

A acelerao escalar do ponto to o limite:

Considerando a definio de derivada, podemos afirmar que a acelerao de um ponto mvel num instante to igual derivada da funo velocidade v(t) no instante em que t = to, isto :

Questes Resolvidas

01) A equao horria de uma partcula em movimento S = 4t2 (Unidade SI: t em segundos e s em metros). Determine:a) A velocidade mdia da partcula entre os instantes t1 = 2s e t2 = 5s.Soluo:

b) A velocidade da partcula no instante t = 10s dada pela derivada de s no instante t = 10s.Soluo:

02) A equao da velocidade de uma partcula em movimento v = t2 - 2t (Unidade SI: t em segundos e v em metros por segundo). Determine:a) A acelerao mdia da partcula entre os instantes t1 = 1s e t2 = 6s.Soluo:

b) A acelerao da partcula no instante t = 3s dada pela derivada de v no ponto t = 3sSoluo:

03) Um ponto em movimento obedece equao horria S = t2 + 3t (nas unidades: S em metros e t em segundos). Determinar a velocidade do mvel no instante t = 4s.Soluo:

04) Um ponto em movimento obedece equao horria S = t2 - 5t + 1 (nas unidades: S em metros e t em segundos). Determinar a velocidade do mvel no instante t = 10 s.Soluo:

05) Um mvel se desloca segundo a funo horria S = t3 - 5t + 3 (nas unidades: S em metros e t em segundos). Determinar a acelerao do mvel no instante t = 3s.Soluo:

06) Um mvel se desloca segundo a funo horria S = t3 + t2 + t (nas unidades: S em metros e t em segundos). Determinar a acelerao do mvel no instante t = 1s.Soluo:

Questes Propostas01) Um ponto em movimento obedece equao horria S = 2t2 - 3t (Unidade: SI). Determine:a) A velocidade mdia da partcula entre os instantes t1 = 1s e t2 = 3s. R: 5 m/s.b) A velocidade da partcula no instante t = 6s. R: 21 m/s.02) A equao horria de uma partcula dada S = t3 (Unidade: SI). Determine:a) A velocidade mdia da partcula entre os instantes t1 = 3s e t2 = 7s. R: 79 m/s.b) A velocidade da partcula no instante t = 4s. R: 48 m/s.03) Determine a velocidade da partcula cuja equao horria dada por (Unidade: SI).

a) S = 4t2 + 18t, no instante t = 0s. R: 18 m/s.b) S = t2 - 3t + 2, no instante t = 40s. R: 77 m/s.c) S = -2t2 + 50, no instante t = 3s. R: -12 m/s.04) A velocidade de um ponto em movimento varia segundo a equao v = 4t2 (Unidade: SI). Determine:a) A acelerao mdia da partcula entre os instantes t1 = 2s e t2 = 9s. R: 44 m/s2.b) A acelerao da partcula no instante t = 5s. R: 40 m/s2.05) Uma partcula se move sobre uma curva com uma velocidade dada pela equao v = t3 (Unidade: SI). Determine:a) A acelerao mdia da partcula entre os instantes t1 = 1s e t2 = 5s. R: 31 m/s2.b) A acelerao da partcula no instante t = 10s. R: 300 m/s2.06) Determine a acelerao da partcula cuja velocidade dada pela equao (Unidade: SI). Determine:a) v = , no instante t = 3s. R: 4 m/s2.b) v = 4t3, no instante t = 1s. R: 12 m/s2.07) Determine a velocidade de uma partcula no instante t = 10s, sabendo que a sua equao horria dada por S = 3t2 - 4t + 8 (Unidade: SI). R: 56 m/s.08) Uma partcula se move sobre uma curva com uma velocidade . Determine a acelerao da partcula no instante t = 8s. R: 128 m/s2.09) Um corpo mvel percorre uma curva obedecendo equao horria . Determinar a sua velocidade no instante t = 4s. R: m/s.10) A funo posio de uma partcula dada por com . Quando a partcula atinge a velocidade de 5 m/s? R: t = 4s.11) Uma partcula move-se de acordo com uma lei do movimento com . Onde t e medido em segundos e s, em metros.a) Encontre a acelerao no instante t e depois de t = 3s. R: 6t 24 e -6 m/s2.

Em fim as taxas de variao ocorrem em todas as cincias. Um gelogo se interessa em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida atravs da condutividade trmica com o meio rochoso que a envolve. Um engenheiro quer saber a taxa segundo a qual a gua flui para dentro ou para fora de um reservatrio; um gegrafo est interessado na taxa de variao da densidade populacional em uma cidade medida que aumenta a distncia de seu centro; um meteorologista est interessado na taxa de variao da presso atmosfrica em relao altura.

Em psicologia, aqueles interessados na teoria do aprendizado estudam a chamada curva do aprendizado, que o grfico do desempenho P(t) de algum aprender alguma coisa como funo do tempo de treinamento t. de particular interesse a taxa segundo a qual o desempenho melhora medida que o tempo passa, isto , dP/dt.

Em sociologia, o clculo diferencial usado na anlise do espalhamento do boato (ou inovaes, ou modismo, ou padres). Se p(t) denota a proporo de uma populao que fica sabendo de um boato no instante t, ento a derivada dp/dt, representa a taxa de espalhamento do boato.

Da mesma forma a velocidade, a densidade, a corrente, a potncia e o gradiente da temperatura na fsica, a taxa de reao e a compressibilidade na qumica, a taxa de crescimento e o gradiente da velocidade do sangue na biologia, o custo e o lucro marginal na economia, a taxa do fluxo do calor na geologia, a taxa de desenvolvimento do desempenho na psicologia todos esses so casos especiais de um nico conceito matemtico, a derivada.Isto uma ilustrao do fato de que parte do poder da matemtica est em sua abstrao. Um nico conceito matemtico abstrato (tal como a derivada) dentre outros, pode ter interpretaes diferentes em cada uma das cincias. Quando desenvolvemos as propriedades do conceito matemtico de uma vez por todas, podemos voltar e aplicar esses resultados para todas as cincias. Isso muito mais eficiente do que desenvolver as propriedades de conceitos especiais separadas para cada cincia. O matemtico francs Joseph Fourier (1768-1830) colocou isso sucintamente: Os matemticos comparam os mais diversos fenmenos e descobrem as anlogias secretas que os unem.

Nas prximas aulas vamos verificar essas afirmaes bom estudo!!!

Quando estudamos a taxa de variao mdia, nas aulas, 06, 07 e 08, vimos que a mesma serve para calcular coeficiente angular da reta secante e tangente, velocidade e acelerao no estudo da cinemtica, usando o mesmo conceito de taxa de variao mdia. Nessa aula estudaremos regras derivao ou as propriedades operatrias, derivadas das funes elementares, derivada sucessivas, aplicaes em economia e resoluo de equaes polinomiais.

Todavia o conceito de derivada tambm pode ser interpretado como taxa de variao, pois dada uma funo , quando a varivel independente varia de x a , a correspondente variao de y a . O quociente , que representa a taxa de variao de y em ralao a x chamado de razo incremental ou razo dos acrscimos.

E a taxa instantnea de variao ou simples taxa de variao de y em relao a x, que a definio formal de derivada .9.1 - Definio de derivada:

Dizemos que a funo f (x) derivvel no ponto xo, se o limite da razo incremental , quando , existir e for nico .

Notaes: ou ou .

Questes Resolvidas

01) Usando a definio de derivada, calcule:

1)

1 Maneira

2 Maneira

2)

1 Maneira

2 Maneira

3)

1 Maneira

2 Maneira

9.2 - Funo derivada:

Seja f uma funo derivvel no intervalo aberto I. Para cada xo, pertencente a I, existe, e nico o limite:

Portanto, podemos definir uma funo f: IR, que associa cada xo I a derivada de f no ponto xo. Esta funo chamada derivada de f ou simplesmente derivada de f.

Habitualmente a derivada de f representada por , , ou .

A lei f '(x) pode ser determinada a partir da lei f (x), aplicando-se a definio de derivada de uma funo num ponto genrico x I. .Teorema: Seja a funo e xo. A. Se f derivvel em xo, ento f contnua em xo . J demonstrado na aula de 03, no estudo de Limite.9.3 - Regras de Derivao: As derivadas so muito usadas em engenharia, cincias, economia, medicina e cincias da computao para calcular a velocidade e a acelerao, para explicar o funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da gua quando ela bombeada para fora de um tanque e para prever as conseguencias de erros cometidos durante medies. Obter derivadas calculando limites tal como vimos nas aulas 06, 07 e 08 pode ser demorado e difcil. Desenvolveremos tcnicas e frmulas para calcular derivadas mais facilmente.9.3.1 - Derivada da soma: a soma das derivadas.

Sejam u = u (x) e v = v (x), duas funes derivveis em I = ]a, b[. Temos que a funo f (x) = u (x) + v (x), tambm derivvel em I e sua derivada dada por: .Demonstrao:

9.3.2 - Derivada da diferena: a diferena das derivadas.

Sejam u = u (x) e v = v (x), duas funes derivveis em I = ]a, b[. Temos que a funo f (x) = u (x) - v (x), tambm derivvel em I e sua derivada dada por: .Demonstrao:

9.3.3 Derivada do produto: o produto da deriva da 1 funo pela 2 funo, somado com o produto da 1 funo pela derivada da 2 funo.

Sejam u = u (x) e v = v (x), funes derivveis em I = ]a, b[. Temos que a funo f (x) = u (x)v (x), tambm derivvel em I e sua derivada dada por:Demonstrao:

Somando e subtraindo o fator .

Por extenso: a derivada de dada por:

9.3.4 - Derivada do quociente: o produto da deriva da 1 funo pela 2 funo, subtraindo o produto da 1 funo pela derivada da 2 funo e o resultado dividimos pela o quadrado da 2 funo.Sejam u = u (x) e v = v (x), duas funes derivveis em I = ]a, b[ e v (x) 0. Temos que a funo , tambm derivvel em I e sua derivada dada por:

Demonstrao:

Obtendo o m.m.c, temos:

somando e subtraindo o fator , obtemos:

9.3.5 Derivada da potncia:

Demonstrao usando a razo incremental:

, Efetuando a diviso de , obtemos o resultado:

, substituindo e .

usando a definio de derivada .

9.3.6 Derivada da raiz:

x0.Demonstrao: usando a razo incremental:

Conseqncias das frmulas de derivadas (10.1.5) e (10.1.6)

Demonstrao:

ou

De acordo com a regra estabelecida no item anterior temos:

logo

Conforme j provamos anteriormente temos:

logo temos

9.4 - Derivada das Funes Elementares: Apresentaremos as derivadas das funes elementares.9.4.1 Funo Identidade: A derivada da funo identidade igual a um.

Dada a funo f (x) = x, , temos: f '(x) = 1.

Demonstrao:

9.4.2 Funo constante: A derivada da constante igual a zero.

Dada a funo f (x) = k, , temos: f ' (x) = 0.

Demonstrao:

9.4.3 - Derivada da funo seno: A derivada da funo seno igual a funo cosseno.

Dada a funo f (x) = sen x, temos: f ' (x) = cos x.

Demonstrao:

9.4.4 - Derivada da funo cosseno: A derivada da funo cosseno igual a menos funo seno.

Dada a funo f (x) = cos x, temos: f ' (x) = -sen x

Demonstrao:

9.4.5 - Derivada da funo tangente: A derivada da funo tangente igual a funo secante elevado ao quadrado. Dada a funo f (x) = tg x, temos: f ' (x) = .

Demonstrao:

9.4.6 - Derivada da funo cotangente: A derivada da funo cotangente igual a menos funo cossecante elevado ao quadrado. Dada a funo f (x) = cotg x, temos: f ' (x) =

Demonstrao:

9.4.7 - Derivada da funo secante: A derivada da funo secante igual ao produto das funes tangente pela secante. Dada a funo f (x) = sec x, temos: f ' (x) = tg xsec x.

Demonstrao:

9.4.8 - Derivada da funo cossecante: A derivada da funo cossecante igual a menos o produto das funes cotangente pela cossecante.Dada a funo f (x) = cossec x, temos: f ' (x) = cotg xcossec x

Demonstrao:

9.4.9 - Derivada da funo exponencial:Dada a funo f (x) = , com a e , temos f ' (x) =

Demonstrao:

9.4.10 - Derivada exponencial geral:

Demonstrao:

9.4.11 - Derivada da funo logartmica:

Dada a funo f (x) = ln (x), temos: f '(x) = .Demonstrao:

9.5 - Derivada de uma funo composta ou (Regra da Cadeia)

Funo Composta: Imagine que uma industria consiga vender tudo que produz (p) ou seja L uma funo de p logo podemos escrever L(p). Mas a produo por sua vez, pode depender do tempo (t) durante o qual determinada mquina funciona, isto , p depende de t escrevemos p(t), e, portanto o lucro tambm depende de t escrevemos L(p(t)). Neste caso o que temos e a composio das funes L e p. O tipo de funo que modela situaes como estas chama-se de funo composta.Demonstrao:

Seja uma funo dada pela lei . Seja uma funo dada pela lei . Existe a funo composta dada pela lei .

Supondo que f seja derivvel no ponto x e g seja derivvel no ponto y tal que , provemos que F tambm derivvel em x, e calculemos sua derivada.

Temos:

e, da, vem:

Tambm temos;

Desta forma obtemos:

Observando a igualdade (I), notamos que, quando , o mesmo ocorre com ; ento, fazendo na igualdade (III), encontramos:

Desta forma Obtemos:

9.6 - Derivada Sucessiva

Seja f uma funo derivvel em um intervalo aberto I. Se a funo tambm for derivvel em I, ento sua derivada a derivada segunda ou derivada de ordem 2 da funo, indicada por f ''.

Se a funo f '' tambm for derivvel em I, ento sua derivada a derivada terceira ou derivada de ordem 3 da funo f '' indicada por f '''.

E assim por diante, se a derivada de ordem n for derivvel em I, pode-se obter a derivada de ordem n + 1, da funo f.

Notaes:

.9.7 - Aplicao de derivada na Economia: Anlise MarginalEm negcios e economia comum economista estarem interessados em como mudanas em variveis tais como produo, oferta ou preo afetam outras variveis tais como: custo, receita ou lucro os mesmos usam os termos custo marginal, lucro marginal e receita marginal para as taxas de variao do custo, do lucro, da receita em relao ao nmero de unidades produzidas ou vendidas.

Supondo que C(x) o custo total que uma companhia incorre na produo de x unidades de um certo produto. A funo C chamada funo custo. Se o nmero de itens produzido estiver crescendo x1 para x2 o custo adicional ser . O limite dessa grandeza quando , isto , a taxa de variao do custo em relao ao nmero de itens produzidos, que denominado pelos Economistas por custo marginal logo .

Como o valor de x pode geralmente assumir somente os valores inteiros, pode no fazer sentido tomar , mas podemos sempre substituir C(x) por uma funo aproximativa suave. Fazendo e n muito grande (tal que pequeno comparado com n), temos . Assim, o custo marginal de produo de n unidades aproximadamente igual ao custo da produo de mais uma unidade [(n + 1)sima unidade].Em geral apropriado representar uma funo custo por um polinmio , onde a representa os custos gerais indiretos (aluguel, aquecimento, manuteno), e os outros termos representam o custo das matrias-primas, da mo-de-obra e asssim por diante (O custo das matrias-primas pode ser proporcional a x, mas o custo da mo-de-obra poderia depender parcialmente de potncias mais altas de x, em decorrncias dos custos de horas extras e ineficincias envolvidas em operaes de larga escala).

Consideraes semelhantes se aplicam s funes receitas e lucro, R(x) e L(x). Assim, chegamos s seguintes definies:

1) Custo marginal = O custo extra na produo de uma unidade adicional.

2) Receita marginal = a receita extra pela venda de uma unidade adicional.

3) Lucro marginal = O lucro extra de uma unidade adicional.

Como , temos tambm a relao ou . Muitas decises econmicas so baseadas na anlise do custo e receita marginal. Uma regra bsica a seguinte.Se o lucro marginal positivo, vale a pena aumentar a produo, se o lucro marginal negativo, vale a pena diminuir a produo.Para compreender a razo destas afirmaes, suponha que o nvel de produo seja x = a. Supondo que a funo L(x) seja derivvel no ponto a, temos, de acordo coma definio de derivada:

Assim, para valores de x prximos de a, a derivada o quociente tm o mesmo sinal. Suponha que estejamos interessados em escolher um valor de x tal que o lucro aumente, ou seja, tal que L(x) > L(a). Nesse caso, o sinal de o mesmo de . Assim, para x prximo de a.

, significa quando e portanto o lucro aumenta com o aumento da produo, enquanto.

, significa quando e portanto o lucro aumenta com o diminuio da produo.

Queremos indicar aqui dois outras aplicaes das funes marginais em economia onde a primeira tem a ver com a maximizao do lucro e a segunda, com a minimizao do custo mdio.

Vamos considerar agora o mercado. Seja p(x) o preo por unidade que uma companhia pode cobrar se ela vende x unidades. Ento p chamada funo demanda (ou funo preo), e esperamos que ela seja uma funo decrescente de x. Se x unidades forem vendidas e o preo por unidade for p(x), ento o rendimento total ser e R denominada funo rendimento (ou funo venda). A derivada da funo rendimento conhecida como funo rendimento marginal, e a taxa de variao do rendimento em relao ao nmero de unidades vendidas. Se x unidades forem vendidas, ento o lucro total ser , e P dita funo lucro. A funo lucro marginal , a derivada da funo lucro. Para maximizar o lucro procuramos por nmeros crticos de P, isto , os nmeros onde o lucro marginal zero. Mas se , ento e portanto. Se o lucro for mximo, ento o rendimento marginal = custo marginal.

A funo custo mdio , representa o custo por unidade, quando x unidades so produzidas. Notando que a inclinao da reta que liga a origem ao ponto . aparente que deve existir um mnimo absoluto. Para encontr-lo localizamos o ponto crtico de c usando a regra do quociente para diferenciar a equao do custo mdio , como , ento , e temos , portanto. Se o custo mdio for mnimo, ento custo marginal = custo mdio.

Esse princpio plausvel, pois se o nosso custo marginal for menor que o nosso custo mdio, ento deveremos produzir mais e abaixando assim o nosso custo mdio. Da mesma forma, se nosso custo marginal for maior que nosso custo mdio, ento deveremos produzir menos, a fim de abaixar o nosso custo mdio.9.8 - Aplicao das Derivadas Sucessivas na Resoluo de Equaes Polinomiais

Definio:

Dada a funo polinomial definida por

onde , chama-se funo polinomial derivada de f (x) a funo , definida por .Neste sentido ou tambm uma funo polinomial possvel determinar a sua funo polinomial derivada , obtendo a chamada funo derivada - segunda de , que ser denotada por ou . Notemos que:

A derivada da funo polinomial chamada funo polinomial derivada - terceira e ser denotada por ou . Notemos que:

E, assim por diante, a derivada da funo polinomial chamada funo derivada ensima de e ser denotada por .

Vamos ver agora os teoremas que facilitam a pesquisa das razes mltiplas de uma equao polinomial. Da teoria de equao polinomial onde , com multiplicidade m, temos:

Teorema:

Se r uma a raiz de multiplicidade m da equao , ento r raiz de multiplicidade m - 1 da equao , onde a derivada - primeira de .

Demonstrao:

Portanto, temos: e, como

, temos que r raiz de multiplicidade m1 de .

Corolrio 1:

Se r raiz de multiplicidade m da equao , ento r raiz de:

com multiplicidade m1, m2, m3, ,1, respectivamente, e r no raiz de .

Corolrio 2:

Se r raiz das equaes

e r no raiz da equao, ento a multiplicidade de r em m.

Resumindo:

A condio necessria e suficiente para que um nmero r seja raiz com multiplicidade m de uma polinomial que r seja raiz das funes e no seja raiz .

Questes Resolvidas

01) Determinar a derivada das seguintes funes:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

EMBED Equation.DSMT4

19)

20)

02) Seja . Verifique que

03) Seja , w constante. Verifique que .Soluo:

04) Encontre as funes custo mdio e custo marginal. Para as funes abaixo:Soluo:a) .

b) .

05) Um fabricante de pequenos motores estima que o custo da produo de x motores por dia dado por , compare o custo marginal da produo de 5 motores. Com o custo para produo do sexto motor.Soluo:06) Uma agncia de viagens estima que, para vender x pacotes de viagem, deve cobrar um preo, por pacote de . Se o custo da agncia para x pacotes . Determine:

a) funo receita: para vender x pacotes, R$ =

EMBED Equation.DSMT4 preo por pacote, custo para vender pacotes . Soluo:

b) funo lucro:

c) O numero de pacotes que maximiza o lucro .

Substituindo o valor na funo lucro o valor responsvel x = 100.

d) O lucro mximo.

07) Uma industria verifica que o lucro proveniente da venda de um determinado produto por . Soluo:a) Encontre o lucro marginal para um nvel de produo de 50 unidades.

b) Para x 50 e 51, o lucro , de fato:

Portanto, o lucro obtido pelo aumento da produo de 50 para 51 unidades

08) Um negcio vende 2000 itens por ms a cada R$ 10,00 cada. Foi previsto que as vendas mensais aumentariam de 250 itens para cada R$ 0,25 de reduo no preo. Encontre a funo demanda correspondente a essa produo.

Soluo: Para a previso feita x aumenta 250 unidades cada vez que p diminui R$ 0,25 do custo original de R$ 10,00 isso descrito pela equao.

09) Um a lanchonete verificou que a demanda mensal para seus hambrgueres dado por . Encontre o aumento na receita por hambrgueres para uma venda mensal de 20.000 hambrgueres. Em outras palavras, encontre a receita marginal quando x = 20.000.

Soluo: como receita total dado dado por , temos:

, a receita marginal e dada por:

Substituindo x = 20.000 obtemos.

10) Uma companhia estima que o custo (em dlares) na produo de x itens dado pela equao abaixo .

a) Encontre o custo, o custo mdio e o custo marginal da produo de 1000, 2000 e 3000 itens.

Soluo:

Usamos essas expresses para fazer a tabela a seguir, dando o custo, o custo mdio e o custo marginal (em dlares ou dolares por item, arredondados at o centavo mais proximo).xC(x)c(x)C(x)

1.0005.600,005,604,00

2.00010.600,005,306,00

3.00017.600,005,878,00

b) A que nvel de produo ser mais baixo o custo mdio? Qual o custo mdio mnimo?Soluo:

Para minimizar o custo mdio devemos ter custo marginal = custo mdio.

Para ver que esse nvel de produo realmente d o mnimo, notamos que , portanto c cncava para cima em todo seu domnio. O custo mdio mnimo :

11) Determine o nvel de produo que maximizar o lucro para uma companhia com funes custo e demanda dada pelas equaes e .Soluo:A funo rendimento , a funo rendimento marginal

A funo custo marginal : , dessa forma, o rendimento marginal igual ao custo marginal quando .

Para verificar que isso fornece um mximo, computamos as derivadas segundas: e

. Assim, , para todo x > 0. Portanto o nvel de produo de 103 unidades maximizar o lucro.12) Uma loja vende 200 aparelhos de DVD por semana, a $ 350 cada. Uma pesquisa de mercado indica que, para cada abatimento de$ 10 oferecidos aos compradores, o nmero de aparelhos vendidos aumenta em 20 por semana. Encontre as funes de demanda e de rendimento oferecido pela loja maximizar seu rendimento?Soluo:Seja x o nmero de aparelhos de DVD vendidos por semana. Ento o crescimento semanal em vendas . Para cada aumento de 20 aparelhos vendidos, o preo decresce em $ 10. Logo, para cada aparelho adicional vendido o decrscimo no preo ser de e a funo demanda :

Uma vez que , vemos que , quando x = 450. Esse valor de x d o mximo absoluto pelo teste da derivada primeira (ou simplesmente observando que o grfico de R uma parbola que cncava para baixo). O preo correspondente e o abatimento 350 335 = 125. Portanto, para maximizar o rendimento, a loja deve oferecer um abatimento $ 125,00.13) Verificar se 1 raiz tripla da equao .Soluo:P(1) = 0

Logo, 1 raiz tripla da equao.

14) Verificar se 2 raiz dupla da equao .Soluo:

Logo, 2 raiz dupla da equao.15) Resolver a equao , sabendo-se que a mesma admite raiz dupla.

Soluo: P(x) = 0

, sendo raiz dupla.1)

2) Como , vamos calcular x:

3) Para sabermos qual dos valores raiz dupla, devemos ter P(x) = 0.

Ento, 3 a raiz dupla da equao dada:

4) Para determinar a outra raiz, vamos aplicar o dispositivo prtico de Briot-Ruffini:3

3

0

0

Recamos, ento, na equao .

logo,

16) Resolver a equao , sabendo-se que a mesma admite raiz tripla.

Soluo: P(x) = 0

, sendo raiz tripla.

1) Para sabermos qual dos valores raiz dupla, devemos ter P(x) = 0.

Ento, 1 a raiz tripla da equao dada:2) Para determinar a outra raiz, vamos aplicar o dispositivo prtico de Briot-Ruffini:

1

15

4

1

-6

9

-4

0

1

-5

4

0

-4

0

Recamos, ento, na equao .

logo, .

17) Determinar o valor de a na equao , admita uma raiz dupla.

Soluo: P(x) = 0

, sendo raiz dupla.

1)

2) Para que 2 seja raiz dupla, devemos ter P(2) = 0.

logo, a = 4 e .

18) Verificar se a equao tem alguma raiz dupla.

Soluo: toda eventual raiz dupla da equao dada f(x) = 0, tambm raiz da derivada - primeira.

2) Os candidatos a raiz dupla so 1 e o 2, faamos a verificao.

Logo conclumos que no h raiz dupla.19) Determinar a e b de modo que a equao , admita uma raiz tripla.

Soluo: Utilizando as derivadas sucessivas na equao , obtemos:

1)

2) a condio do problema estar satisfeita se existir um nmero x tal que:

e , temos:

11) Possibilidade: x = 1.

Portanto a = 8 e b = -3.

2) Possibilidade: x = -1.

Portanto a = -8 e b = -3.

Logo (a = 8 e b = -3) ou (a = -8 e b = -3)20) Determinar a, b, c de modo que 1 seja raiz dupla da equao .Soluo: 1) A condio do problema estar satisfeita se . Fazendo , temos: e

Impondo a condio, obtemos:

Donde vem , como , devemos ter .Logo: e .21) Calcule o polinmio f(x) de quarto grau conhecendo a sua derivada segunda e sabendo que f(x) divisvel por .Soluo: Escrevemos que o polinmio f(x) do quarto grau divisvel pela derivada segunda:

I

Determinando a derivada segunda da equao I, obtemos: .Pelo enunciado igualando:

Onde igualando os coeficientes temos:, e .Formando o polinmio: .22) Prove que as equaes binmias , com , no tem razes mltiplas:

Soluo: Vamos supor que a equao admita uma raiz dupla r. Temos f (x) = 0 e

I)

II)

23) Determine p e q de modo que a equao , admita uma raiz com multiplicidade 3.

Soluo: Fazendo , obtemos.

A condio do problema estar satisfeita se existir um nmero r tal que f(r) = 0, f '(r) = 0 e f '' (r) = 0, temos:

Questes Propostas

01) Usando as propriedades operatrias e as regras de derivao, calcule as derivadas das funes abaixo:

1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

6)

R:

7)

R:

8)

R:

9)

R:

10)

R:

11)

R:

12)

R:

13)

R:

14)

R:

15)

R:

16)

R:

17)

R:

18)

R:

19)

R:

20)

R:

21)

R:

22)

R:

23)

R:

24)

R:

25)

R:

02) Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funes:

1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

03) A funo , com A > 0, e sua derivada segunda satisfazem identicamente a igualdade . O valor da derivada primeira , para x = 0, 12. Calcule as constantes de A e K. R: A: 6 e K: 2.04) Demonstrar que a funo , satisfaz a equao diferencial .

05) Demonstrar que a funo , para qualquer valor das constantes C1 e C2 satisfaz a equao diferencial .06) Demonstrar que a funo , satisfaz a equao diferencial .07) Demonstrar que a funo , satisfaz a equao diferencial .

08) A equao chamada equao diferencial, pois envolve a funo desconhecida y e suas derivadas e . Encontre as constantes A e B tal que sua funo , satisfaa essa equao. R: .09) Para que valores de r a funo , satisfaz a equao ? R: .10) Encontre os valores de para os quais satisfaz a equao diferencial .

11) Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto so fabricadas, o custo total C(x) = x/8 + 3x + 98 reais e que todas as x unidades so vendidas quando o preo p(x) = 25 x/3 reais por unidade.

(a) Use a funo de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona unidade. Qual o custo exato para produzir a nona unidade?

(b) Determine a funo de receita do produto. Em seguida, use a funo de receita marginal para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. Qual a receita exata obtida com a venda da nona unidade?

(c) Determine a funo de lucro associada produo de x unidades. Plote a funo de lucro e determine o nvel de produo para o qual o lucro mximo. Qual o lucro marginal associado ao nvel timo de produo?

R: a) R$ 5,13.

b) funo da receita: e receita da nona unidade: R$ 19,33.

c) funo de lucro: lucro mximo: x = 24 e p(x) = R$ 17,00, lucro marginal: LM(x) = -11x/12 + 22

12) Seja C(x) = x/8 + 3x + 98 a funo de custo total do produto do problema 01.

(a) Determine o custo mdio e o custo mdio marginal do produto.

(b) Para que nvel de produo o custo mdio marginal nulo?

(c) Para que nvel de produo o custo marginal igual ao custo mdio?

R:(a) custo mdio: , custo mdio marginal: .(b) x = 28 e (c) x = 28.13) O custo total de uma fbrica C(q) = 0,1q - 0,5q + 500q + 200 reais, onde q o nmero de unidades produzidas.

(a) Use os mtodos de anlise marginal para estimar o custo de fabricao da quarta unidade.

(b) Calcule o custo real de fabricao da quarta unidade.

R:

14) Nos Problemas 1 at 3, C(x) o custo total para produzir x unidades de um produto e p(x) o preo pelo qual as x unidades sero vendidas.(a) Determine o custo marginal e a receita marginal.

(b) Use o custo marginal para estimar o custo para produzir uma quarta unidade.

(c) Determine o custo real para produzir uma quarta unidade.

(d) Use a receita marginal para estimar a receita conseguida com a venda da quarta unidade.

(e) Determine a receita real conseguida com a venda da quarta unidade.

1) C(x) = x + 4x + 57; p(x) = (36 x).

R:

2) C(x) = x + 2x + 39; p(x) = -x + 4x + 10.R:

3) C(x) = x + 43; p(x) = .

R:

15) O custo total de certa fbrica, C(q) = 0,1q - 0,5q + 500q + 200 reais quando o nvel de produo q unidades. O nvel atual de produo 4 unidades, mas o fabricante pretende aument-lo para 4,1 unidades. Estime a variao do custo total em conseqncia desse aumento de produo.R: R$ 50,0816) O custo total em reais para fabricar q unidades de certo produto C(q) = 3q + q + 500.(a) Use os mtodos de anlise marginal para estimar o custo de fabricao da 41a unidade.

(b) Calcule o custo real de fabricao da 41 unidade.

R: .17) Para cada funo custo (dada em dlares) dada abaixo, Determine:

1)

2)

3)

4)

a) O custo, o custo mdio e o custo marginal a um nvel de produo de 1000 unidades.

b) O nvel de produo que vai minimizar o custo mdio.c) O custo mdio mnimo.R:1). . R:2).

R:3). .

R:4).

18) Para as funes custo e demanda dadas, encontre o nvel de produo que maximizar o lucro.1) .

R: 400.2)

R: 3)

R: 672.4)

R: 19) No estudo de ecossistema, o modelo predador-presa muitas vezes usado para estudar a interao entre as espcies. Considere uma populao de lobos da tundra, dada por W(t), e caribu, dada por C(t), no norte do Canad. A interao tem sido modelada pelas equaes abaixo:

a) Que valores de e , correspondem a populao estveis? R: (0,0).

b) Como representar matematicamente a afirmativa o caribu est se extinguindo? R: C = 0.

c) Suponha qua a = 0,05, b = 0,001, c = 0,05 e d = 0,0001. Encontre todos os pares (C, W) que levam a populaes estveis. Segundo esse modelo, possvel para as espcies viverem em harmonia, ou uma ou as duas espcies acabam por se extinguir?

R: (0,0) e (500,50) possvel para as espcies coexistirem.

20) A lei dos gases para um gs ideal temperatura absoluta T (em Kelvins), presso P (em atmosfera) e volume V (em litros) , onde n o nmero de mols de gs e R = 0,0821 uma constante do gs. Suponha que, em um certo instante, P = 8,0 atm, e est crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e V = 10L, e est decrescendo a uma taxa de 0,15L / min. Encontre a taxa de variao de T em relao ao tempo naquele instante se n 10 mols. R: .21) Em uma fazenda de piscicultura, uma populao de peixes colocada dentro de um pequeno lago e colhido regularmente. Um modelo para a taxa de variao da populao dado pela equao

onde r0 a taxa de nascimento dos peixes; Pc, a populao mxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua capacidade de suporte) e , a porcentagem da populao que colhida.

a) Qual o valor de que corresponde populao estvel? R: b) Se o pequeno lago pode manter 10.000 peixes, a taxa de nascimento de 5% e a taxa de colheita de 4%, encontre o nvel estvel da populao. R:

c) O que acontece se est elevando para 5%? R:

22) Se um gs (real) for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a presso P estar relacionada com o volume V de acordo com uma frmula na forma , em que a, b, n e R so constantes. Determine . R: .23) Uma das frmulas para o gerenciamento de estoque diz que o custo mdio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadorias , onde q a quantidade (de sapatos, rdio, vassouras ou qualquer outro item) pedida quando as vendas esto em baixa, k o custo para se fazer um pedido (sempre o mesmo, independentemente da freqncia com que se faz o pedido), c o custo de cada item (constante), m a quantidade de itens vendidos por semana (constante) e h o custo semanal para manter cada item armazenado (constante que incorpora aspectos como espao, utilidade, seguro e segurana). Determine e . R: 24) Para oscilaes de pequena amplitude (balanos curtos), seguro modelar a relao entre o perodo T e o comprimento L de um pndulo simples com a equao , onde g a acelerao constante da gravidade no local onde est o pndulo. Se medirmos g em cm/s2, devemos usar L em cm T em s. Se o pndulo for de metal, seu comprimento variar com a temperatura, aumentando ou diminuindo a uma taxa aproximadamente proporcional a L. Usando os smbolos u para temperatura e K para a constante de proporcionalidade, temos . Considerando que este seja o caso, mostre que a taxa de variao do perodo, em relao temperatura, .25) O custo em cents por milha para manter um automvel nos Estados Unidos entre 1989 e 1997 pode ser modelado pela funo , onde t o ano, com t = 0 correspondendo a 1990. Determine e calcule o valor dessa derivada para t = 0, 3, 5 e 7. O que significam esses valores? (Fonte: American Automobile Manufacturers Association).R:.

26) O custo de processamento e transporte (em milhares de reais) dos componentes usados para fabricar um produto dado por , , onde x o tamanho da encomenda (em centenas de componentes). Determine a taxa de variao de C em relao a x para os valores indicados de x.a) x = 10. R: .

b) x = 15. R: .

c) x = 20. R: .27) A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gs comprimida a uma temperatura constante, o produto da presso e o volume permanecem constantes .

a) Encontre a taxa de variao do volume em relao presso. R: .b) Uma mostra de gs est em um recipiente baixa presso e regularmente comprimida temperatura constante por 10 minutos. O volume decresce mais rapidamente no incio ou no final dos 10 minutos? Explique. R: No incio.

c) Prove que a compressibilidade isotrmica e dada por .

28) Um objeto com peso W arrastado ao longo de um plano horizontal por uma fora agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ngulo com o plano, ento a grandeza da fora representada pela equao , onde uma constante chamada coeficiente e atrito.a) Encontre a taxa de variao de F em relao a . R: b) Quando essa taxa de variao igual a 0? R:

c) Se W = 50 lb e = 0,6, faa o grfico de F como uma funo de e use-o para localizar o valor de para o qual . Esse valor consistente com a resposta dada na parte (b).R:29) A lei de Gravitao de Newton diz que a grandeza F da Fora exercida por um corpo de massa m sobre um corpo de Massa M dada pela equao , em que G a constante gravitacional e r, a distncia entre os corpos.

a) Se os corpos esto se movendo, encontre e explique seu significado. O que o sinal de menos indica?

R:

b) Suponha que se tenha conhecimento de que a terra atrai um objeto com uma fora que decresce a uma taxa de 2 N/km quando r = 20.000 km. Quo rpido essa forca varia quando r = 20.000 km?R:

30) Para estudar de que forma o corpo metaboliza o clcio, um pesquisador pode injetar no sangue uma amostra de clcio quimicamente rotula para medir a rapidez com que o produto removido do sangue. Suponha que a expresso fornea a quantidade de clcio (em miligramas) que permanece na corrente sangnea aps t horas. Qual a taxa com que clcio est sendo eliminado da corrente sangnea 2 horas aps a injeo? R: .31) Se um Objeto de massa m tem velocidade v, ento sua energia cintica EC, definida por. . Suponha que v uma funo do tempo. Qual a taxa de variao de EC em relao ao tempo t?R:

32) A C, a perda de calor H (em quilocalorias por metro quadrado-hora) de um ser humano pode ser expresso pela funo , onde v a velocidade do vento (em metros por segundo).a) Determine e explique o seu significado neste contexto. R: b) Calcule a taxa de variao de H para v = 2 e v = 5. R: 33) Um polinmio divisvel pelo seu polinmio derivado e este divisvel por . Ento, , igual a: R: -1.34) Determinar os valores de a e b na equao de modo que a mesma admita uma raiz tripla positiva. R: a = 16 e b = -1635) O nmero 2 raiz da equao Determine a e b.R: a = 1 e b = -12.36) Verificar se a equao tem alguma raiz iguais. R: no37) Pesquisar razes mltiplas na equao .R: 1 raiz tripla.38) Resolver a equao , sabendo que existem razes mltiplas.R: .39) dada a equao .

a) Quais os valores de para os quais a equao admite uma raiz dupla? R: .b) Quais os valores de a equao tem trs razes reais distintas duas a duas? R: .40) Determinar a condio para que a equao , tenha razes mltiplas?R: Uma raiz dupla: 4p3 + 27q2 = 0 e Uma raiz tripla: p = 0 e q = 0.

41) Determinar k de modo que a equao , admita uma raiz dupla negativa e, em seguida, resolver a equao. R: k = 19 e .42) Para que valores de a equao , tem razes mltiplas, e tambm mostra que equao , possui uma raiz simples qualquer que seja ?R: .43) Prove que a equao , no pode ter trs razes iguais.

44) Determine m de modo que a equao , tenha uma raiz dupla.R: m = 1 ou m = .45) Se a equao , tem raiz tripla, qual o valor de a? R: a = 3.46) Determine a condio para que a equao , tenha uma raiz dupla. Calcule essa raiz.R: 27p4 + 256q3 = 0 e .47) Determine m de modo que a equao , admita uma raiz tripla e, em seguida, resolva a equao.R: m = -6; S =

48) Demonstre que, se a equao , tiver uma raiz dupla, ento a ser sempre positivo.

49) Um polinmio divisvel pelo polinmio derivado e esse divisvel por x 1. Determine os coeficientes a, b e c. R: a = -3, b = 3 e c = -1.50) Encontre um polinmio de segundo grau P tal que = 5, = 3 e = 2.R:

Questes Resolvidas01) Determine as equaes das retas tangente e normal ao grfico da funo dada, no ponto dado:

, no ponto de abscissa 8.

02) Encontre as equaes das retas tangente e normal para as curvas abaixo, no ponto especificado.

1) , no ponto , .

(Coeficiente Angular)

(Imagem quando )

Equao da reta tangente

Equao da reta normal

2) , no ponto .

(Coeficiente Angular)

(Imagem)

Equao da tangente

Equao da reta normal

03) Um ponto mvel sobre uma reta tem abscissa S dada em cada instante t dada pela lei em que a, w e so nmeros reais dados. Determine.

1) A lei que d a velocidade do ponto em cada instante.

2) A velocidade no instante .

3) A lei que d a acelerao do ponto em cada instante.

4) A acelerao no instante no instante .

04) Obtenha a velocidade e a acelerao de um ponto material que percorre um seguimento de reta obedecendo a equao horria , com .

05) Durante vrias semanas, o departamento de trnsito vem registrando a velocidade dos veculos que passam em um certo quarteiro. Os resultados mostram que entre 13h e 18h de um dia de semana, a velocidade nesse quarteiro dada aproximadamente por , quilmetros por hora, onde t o nmero de horas aps o meio-dia. Qual o instante entre 13h e 18h em que o trnsito mais rpido? Qual o instante em que o trnsito mais lento?

O trnsito mais rpido s 14h, quando os carros passam no quarteiro com uma velocidade mdia de 46 km/h, e mais lento s 17h, quando a velocidade mdia 32,5 km/h.06) Um corpo se move em linhas retas de tal forma que, em t segundos, percorre uma distncia em metros. Calcule a acelerao do corpo aps 3 segundos.

Questes Propostas

01) Dada a elipse de equao , obter as equaes das retas tangentes nos pontos de abscissa 3. R: e .

02) Considere a hiprbole de equao , obter as equaes das retas tangentes nos pontos de abscissa 3. R: e .03) Considere a parbola de equao , obter as equaes das retas tangentes nos pontos de abscissa 12. R: e .

04) Escrever a equao da tangente e da normal curva no ponto (-2;5).

R: e .

05) Achar a equao da tangente e da normal curva no ponto (1;0).

R: e .

06) Escrever a equao da tangente e da normal curva: no ponto com ordenada .R: e .

07) Escrever a equao da tangente curva: no ponto (1;1).R:

08) Escrever a equao da tangente e da normal curva: nos pontos de sua interseco com o eixo das abscissas.

R: no ponto (1;0):; no ponto (2;0): e no ponto (3;0):

09) Escrever a equao da tangente e da normal curva: no ponto (1;2).

R: e .

10) Escrever as equaes da tangente e da normal s curvas nos pontos dados:

a) , na origem das coordenadas:

R:

b) , no ponto de interseo com o eixo .R;

c) , no ponto de interseo com o eixo .

R;

d) , no ponto de interseo com o eixo :

R;

e) , nos pontos de interseo com a reta .

11) A reta tangente ao grfico de , no ponto de abscissa e a reta tangente ao grfico de , no ponto de abscissa 1 se interceptam no ponto P (m, n). Calcular m e n.

R: .12) Se a posio de um corpo que est se movendo em linha reta dada por s(t) = t3 - 3t2 + 4t no instante t, calcule a velocidade e a acelerao do corpo. R: 3t - 6t + 4 e 6t 6.13) Uma pedra lanada verticalmente para cima. Sua altura h (metros) em relao ao solo, dada por h = t3 3t2 9t + 1, onde t indica o nmero de segundos decorridos aps o lanamento. Em que instante a pedra atingir sua altura mxima? R: t = 1s e t = 2s.14) Um mvel desloca-se sobre um eixo de modo que sua abscissa s no instante t dada pela equao S = a. cos (kt + ), sendo a, k, constantes dadas. Determinar:

a) instantes e posies em que mxima a velocidade do mvel;R: e s = 0.b) instantes e posies em que mnima a acelerao do mvel. R: e s = a.15) Os experimentos mostram que a altura (em metros) do pulo de uma pulga aps t segundos dada pela funo H(t) = (4,4)t (4,9)t Usando os mtodos do clculo, determine o instante em que a pulga atinge a altura mxima. Qual a altura mxima atingida pela pulga?

R: t 0,449s e h 0,988m

16) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posio no instante t dada por s(t) = t - 6t + 9t + 5.

(a) Determine a velocidade e acelerao do corpo no instante t.R: (a) v(t) = 3t - 12t + 9 e a(t) = 6t 12.(b) Em que instante o corpo est estacionrio? R: (b) t = 1 e t = 3.17) Do alto de um edifcio de 34 metros de altura, uma pessoa lana uma bola verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 29m/s:

(a) Determine a altura e velocidade da bola no instante t. R h(t) = -4,9t + 29t + 34, v(t) = -9,8t + 29.(b) Em que instante a bola chega ao cho e qual a velocidade no momento do impacto?R v(7) = -39,6 m/s.(c) Em que momento a velocidade nula? O que acontece nesse momento?

R: (c) A velocidade nula quando v(t) = 0, o que acontece no instante t = 3. Para t < 3, a velocidade positiva e a bola est subindo; para t > 3, a velocidade negativa e a bola est descendo. Assim, a bola atinge o ponto mais alto da trajetria no instante t = 3.

(d) Qual a distncia total percorrida pela bola? R: (d) 119,8m.18) Um mvel se desloca segundo a equao horria S em metros e t em segundos. A velocidade do mvel no instante t = 2s. R: 1 m/s.19) A posio s(t) de um corpo que est em movimento em linha reta dada. Em cada caso:

Calcule a velocidade v(t) e a acelerao a(t) do corpo

Determine o instante t no qual a acelerao nula.

(a) s(t) = 3 - 5t - 7

R:

(b) s(t) = (1 t) + (2t + 1)

R:

20) A distncia percorrida por um carro em t horas de viagem D(t) = 64t + 10t/3 2t/9 quilmetros.(a) Escreva uma expresso para acelerao do carro em funo ao tempo.(b) Qual a taxa de variao da velocidade com o tempo aps seis horas de viagem? A velocidade est aumentando ou diminuindo nesse instante?

(c) Qual a variao de velocidade do carro durante a stima hora de viagem?R:

21) Um projtil lanado verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 48 m/s:

(a) Quanto tempo o projtil leva para se chocar com o solo?

(b) Qual a velocidade no momento do impacto?

(c) Quanto tempo o projtil leva para atingir a altura mxima? Qual essa altura?

R:

22) Nos Problemas a seguir, s(t) representa a posio de um corpo que est se movendo em linha reta:

Determine a velocidade e a acelerao do corpo e descreva seu movimento durante o intervalo de tempo indicado

Calcule a distncia total percorrida pelo corpo durante o intervalo de tempo indicado.

a) s(t) = ; 0 t 3R:

b) s(t) = 2t3 21t2 + 60t - 25; 1 t 6.

23) Um carro est viajando a uma velocidade de 26 m/s quando o motorista pisa no freio para no atropelar uma criana. Aps t segundos, o carro est s = 26t - 2,4t2 metros do local onde o motorista pisou no freio. Quanto tempo o carro leva para parar e que distncia percorre antes de parar?

R: 5,4 s e 127 m24) O falco-peregrino (Falco peregrinus) uma ave de rapina rpida e precisa que caa outros pssaros, como patos, por exemplo. Quando est sobrevoando um lago e avista um pato na gua, o falco-peregrino dobra as asas e mergulha em direo presa, espalhando as penas no ltimo momento para frear e estender suas garras mortferas. De acordo com um certo modelo, a altura de um falco-peregrino acima da superfcie do lago dada por , onde t o tempo em segundos e H a altura em ps.a) Qual a velocidade instantnea do falco-peregrino no instante t = 1 segundo? Qual a velocidade instantnea no instante t = 3 segundos?

R: b) O falco-peregrino capaz de atingir velocidades da ordem de 200 milhas por hora durante um mergulho. O modelo apresentado suficiente preciso para estimar a velocidade do falco?

(Sugesto: Converta a velocidade de ps por segundo para milhas por hora. Uma milha tem 5.280 ps). R: 99,49 milhas/hora, Sim.

Nesta aula vamos estudar derivada de funo inversa, derivada das funes trigonomtricas inversas e derivadas das funes implcitas e estudo das aproximaes por diferencias.

10.1 - Funo Inversa

Demonstrao:

Considerando a funo inversvel y = f(x), derivvel no ponto x, onde, podemos demonstrar que a funo inversa x = f(y), tambm derivvel no ponto y, onde y = f (x). Inicialmente escrevemos a identidade abaixo decorre logo:

.

Devemos observar que derivvel e contnua no ponto x. Logo, se temos , ento:

.

ou .10.2 - Derivadas das funes trigonomtricas inversas: Faremos agora as demonstraes das formulas derivadas das funes trigonomtricas inversas.10.2.1 - Derivada da funo y = arc. sen x:

y = arc sen x

Demonstrao:

10.2.2 - Derivada da funo y = arc. cos x:

y = arc cos x

Demonstrao:

10.2.3 - Derivada da funo y = arc. tg x:

y = arc tg x

Demonstrao:

10.2.4 - Derivada da funo y = arc. cotg x:

y = arc cotg x

Demonstrao:

10.2.5 - Derivada da funo y = arc. sec x:

y = arc sec x

Demonstrao:

10.2.6 - Derivada da funo y = arc. cossec x:

y = arc cossec x

Demonstrao:

10.3 - Derivada de funes implcitas

At agora nossas funes envolvendo uma varivel foram expressas, de maneira geral na forma explcita y = f (x). Em outras palavras uma das variveis dada explicitamente em funo da outra.

Por exemplo:

Onde dizemos que y, s e u so funes de x, t e w respectivamente.

A equao F (x, y) = 0, define y como uma funo implcita de x, como por exemplo x.y = 1.

Forma explcita Forma implcita Derivada

ou

Exemplo:

(I)

(II)

A grande vantagem da derivada implcita est no fato de que, quando uma funo derivvel, nos dada na forma implcita sendo difcil ou at impossvel coloc-la na forma explcita, mesmo assim possvel determinar sua derivada.

10.4 Diferenciais

s vezes a notao para representar a derivada de y em relao a x. Ao contrario do que aparenta, no uma razo. Agora introduziremos duas novas varveis e coma propriedade de que, caso a razo e igual exista, esta ser igual a derivada.

O significado de e , na maioria dos contextos, a diferencial da varivel independente a sua variao , mas no impomos essa restrio sua definio.

Ao contrrio da varivel independente , a varivel sempre dependente. Ela dependente tanto de x como de .

Definio:

Seja uma funo derivvel. A diferencial uma varivel independente. A diferencial . , s vezes escrevemos .

Toda formula de diferenciao do tipo:

ou

Tem uma forma diferencial do tipo:

ou

11.4.1 Estimando Variaes com Diferenciais

Suponha que saibamos o valor de uma funo derivvel f(x) em um ponto a e que desejamos prever a variao que esse valor sofer se formos para um ponto prximo. Se for pequeno, f e sua linearizao L em a iro variar praticamente na mesma quantidade ver figura. Como os valores de L so mais simples de calcular, o clculo da variao de L nos oferece um modo prtico de estimar a variao em f.

Conforme o grfico anterior aproximando a variao na funo f pela variao na linearizao de f. Na notao do grfico, a variao em f , , a variao correspondente em L.

Assim, a diferencial , possui uma interpretao geomtrica o valor de df quando x = a , a variao da linearizao de f correspondente variao .Estimativa de Variao com Diferenciais: Seja f(x) derivvel quando x = a. A variao aproximada do valor de f quando x varia de a para .10.4.2 Variaes absoluta, relativa e percentual:

conforme nos deslocamos de a para um ponto prximo, podemos descrever a variao de f de trs maneiras:REALESTIMADA

Variao absoluta

Variao relativa

Variao percentual

FRMULAS DAS DERIVADAS DE FUNES ELEMENTARES

Propriedades Operatrias:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

Frmulas de Derivadas de Funes Compostas

Propriedades Operatrias: Sendo as funes u = u (x) e v = v(x)

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

EMBED Equation.3 7 -

8 -

9 -

10 -

11 -

12 -

13 -

14 -

15 -

16 -

17 -

18 -

19 -

20 -

21 -

22 -

23 -

Questes Resolvidas01) calcular a derivada das funes inversas abaixo:

1)

EMBED Equation.DSMT4

2)

EMBED Equation.DSMT4

3)

EMBED Equation.DSMT4

4)

EMBED Equation.DSMT4

5)

EMBED Equation.DSMT4

6)

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 7)

02) Expresse em termos de x e y, onde y = y(x), uma funo derivvel, dada implicitamente pela equao dada:

1)

2)

3)

4)

5)

03) O custo total em reais para fabricar q unidades de um certo produto . Se o nvel atual de produo 40 unidades, estime a variao do custo total se 40,5 unidades forem produzidas.Soluo: Nesse problema, a produo atual q = 40 e a variao . De acordo com a aproximao por incrementos, a variao correspondente do custo.

, como.

, temos:

04) Um estudante mede a aresta de um cubo, encontra o valor de 12 cm e conclui que o volume do cubo de 123 = 1.728 cm3. Se a preciso da medida foi de 2%, com que preciso foi calculado o volume?Soluo:

O volume do cubo , onde x a aresta do cubo. O erro cometido no clculo do volume ao supor que a aresta do cubo 12 quando na realidade dado por.

,

A diferena entre o comprimento real da aresta e o comprimento medido no mximo de 2%, ou seja, 0,02(12) = 0,24 cm para mais ou para menos. Assim, o erro mximo na medio da aresta e o erro mximo correspondente no clculo do volume o erro mximo do volume

e o erro mximo do volume

05) A produo diria de uma certa fbrica unidades, onde L a mo-de-obra utilizada, medida em homens-horas. No momento, a fbrica utiliza 1.000 homens-horas. Use os mtodos do clculo para estimar o nmero de homens-horas adicionais necessrios para aumentar de 15 unidades a produo diria.Soluo:

Calcule o valor de usando a aproximao por incrementos, com:

e , para obter ou .06) O PIB de um certo pas foi bilhes de dlares t anos aps 1994. Use os mtodos do clculo para estimar a variao percentual do PIB durante o primeiro trimestre de 2002.Use a expresso da variao percentual de , com , e .Soluo:

Para obter a variao percentual logo: .07) Em certa fbrica, a produo diria unidades, onde k o capital disponibilizado da firma. Use os mtodos do clculo para estimar o aumento percentual da produo em conseqncia de um aumento de 1% no capital disponibilizado. A derivada da funo de produo . O fato de que K aumenta 1% significa que . Assim.Soluo:

Variao percentual

.08) Um tangue de gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2 m e altura igual a 4 m. Se a gua est sendo bombeada dentro do tangue a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o nvel estar elevado quando estiver a 3 m de profundidade.Soluo:Dado que , precisamos achar dh/dt, quando h = 3m. A grandeza V e h esto relacionada pela equao do volume do cone , mais muito proveitoso expressar V como uma funo de h. Em ordem, para eliminar r, usamos a relao a expresso do volume torna-se . Agora podemos diferenciar o volume em relao em relao a t. , substituindo h = 3m e , obtemos: .09) Um balo esfrico est se expandindo. Se o raio est aumentando a uma taxa de 5 centimetros por minuto, em que taxa o volume estar aumentando quando o raio for de 12 centimetros.Soluo:

Dado o volume da esfera , ento devemos encontrar , quando o r = 12 cm, dado que .

Questes Propostas01) calcular a derivada das funes inversas abaixo:

1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

EMBED Equation.DSMT4 5)

R:

6)

R:

7)

R:

8)

R:

9)

R:

10)

R:

11)

R:

12)

R:

02) Expresse em termos de x e y, onde y = y(x), uma funo derivvel, dada implicitamente pela equao dada:

1)

R:

2)

R:

3)

R:

4)

R:

5)

R:

6)

R:

7)

R:

8)

R:

03) Um avio esta viajando a uma altitude de 10 km em uma trajetria que levar a passar diretamente acima de uma estao de radar seja s a distncia (em quilmetros) entre a estao de radar e o avio. Se s est decrescendo a uma taxa de 650 km/h, quando s de 16 km, qual a velocidade do avio.R: 832 km/h.04) O cascalho esta sendo empilhado em uma pilha cnica a uma taxa de . Encontre a taxa de v da altura da pilha quando 3m (Suponha que o tamanho do cascalho tal que o raio da base do cone igual a sua altura).

.05) Suponha que o sol nascente passa diretamente sobre um prdio e tem uma altura de 30 m e seja o ngulo de elevao. Ache a taxa segundo o qual o comprimento da sombra do prdio que est variando em relao ao ngulo , quando = 450. Expressar do respeito em .

.06) A produo diria de certa fbrica Q(L) = 300 unidades, onde L a mo-de-obra utilizada, medida em homens-horas. No momento, a fbrica utiliza 512 homens-horas. Estime o nmero de homens-horas adicionais que seriam necessrios para aumentar de 12,5 unidades a produo diria.

R: 0,5.07) Os registros mostram que x anos aps 1997, o imposto predial para um apartamento de trs quartos em certa cidade era T(x) = 60 + 40x + 1200 reais. Estime o aumento percentual do imposto predial durante o primeiro semestre de 2001.

R: 6%.08) A produo de certa fbrica Q = 600 unidades, onde K o capital imobilizado e L a mo-de-obra. Estime o aumento percentual de produo resultante de um aumento de 2% na mo-de-obra se o capital imobilizado permanecer constante. R: .09) De acordo com a lei de Boyle, quando um gs comprimido a uma temperatura constante, a presso e o volume V do gs satisfazem equao PV = C, onde C uma constante. Suponha que em certo instante o volume seja 0,1m3, a presso seja 10 atmosferas e o volume esteja aumentando razo de 0,005m/s. Qual a taxa de variao da presso nesse instante? A presso est aumentando ou diminuindo?

R: -0,5 atm/s.

10) Para estimar a quantidade de madeira que existe no tronco de uma rvore, razovel supor que a rvore um cone truncado. Se o raio superior do tronco r, o raio inferior R e a altura H, o volume de madeira dado por . As taxas de aumento de r, R e H so respectivamente 10cm/ano, 12,5cm/ano e 22,5cm/ano. Qual a taxa de aumento de V no instante em que r = 60 cm, R = 90 cm e H = 4,5 m?R:

11) Uma pessoa est de p beira de um cais, 4m acima da gua, e puxa uma corda presa a uma bia. Se a corda puxada razo de 0,6m/min, com que velocidade a bia est se movendo quando se encontra a 3 m do cais?

R: -1 m/mim.

12) A velocidade do sangue no eixo central de uma certa artria S(R) = 1,8 x 105 R cm/s, onde R o raio da artria. Um estudante de medicina mede o raio da artria e obtm o valor de 1,2 x 10-2 cm, cometendo um erro de 5 x 10-4 cm. Estime a diferena entre o valor calculado da velocidade do sangue e o valor real.R: .13) Um pequeno balo esfrico introduzido em uma artria obstruda e inflado razo de 0,002 mm/min. Qual a taxa aumento do raio do balo quando o raio R = 0,005 mm?

R: .14) De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue a r centmetros do eixo central de uma artria dada por v = , onde k onde K uma constante positiva, R o raio da artria e L o comprimento da artria. Suponha que L se mantenha constante e R esteja diminuindo razo de 0,0012 mm/min. Qual a acelerao do sangue a meio caminho entre o eixo central e a parede interna da artria no momento em que R = 0,007 mm (isto , qual o valor de dv/dt no momento em que r = 0,0035 mm)?

R: .15) Uma pilha de lixo no formato de um cubo est sendo compactada na forma de um cubo menor. Dado que o volume diminui razo de 2 metros cbicos por minuto, encontre a taxa de variao em um lado do cubo quando o volume de 27 metros cbicos. Qual a taxa de variao da rea superficial do cubo neste instante? R:

16) O perimetro de um retngulo fixado em 24 centimetros. Se o comprimento L do retngulo est aumentando razo de 1 centimetros por segundo, para que valor de L a rea do retngulo comea diminuir? R: 6 cm.

17) Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 ps/s. Um holofote localizado no cho a 20 ps do caminho focaliza o homem. A que taxa o holofote est girando quando o homem est a 15 ps do ponto do caminho mais prximo da luz? R: 0,128 rad/s.

18) Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o leste a 25 mi/h. A que taxa est crescendo a distncia entre os carros duas horas depois?R: 65 mi/h19) A altura de um tringulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enguanto a rea do tringulo crece a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa est variando a base do tringulo quando a altura 10 cm e a rea, 100 cm2? R: .20) Est vazando gua de um tangue cnico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. Ao mesmo tempo est sendo bombeada a gua para dentro do tangue a uma taxa constante. O tangue tem 6 m de altura, e o dimetro no topo de 4 m. Se o nivel da gua estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da gua for 2 m, encontre a taxa segundo a qual a gua est sendo bombeada dentro do tangue. R: 2,89 x 105 cm3/min.

Nesta aula vamos usar as derivadas primeira e segunda para analisar as propriedades geomtricas de uma funo e traar um grfico que reflita suas caractersticas principais. Em seguida, discutiremos os mtodos usados para determinar os mximos e mnimos das funes os problemas de otimizao em todas as esferas da atividade humana e por ultimo ultilizaremos a regra de L Hospital para calcular limites.11.1 - Estudo da variao das funes

1 Parte Teoremas

11.1.1 - Teorema de Weiertrass:

Seja f (x) uma funo contnua num intervalo fechado, ento existe um ponto de mximo e mnimo relativo.

1)

2)

3)

11.1.2 - Teorema de Fermat:

Seja f (x) uma funo contnua num intervalo fechado [a,b] e derivvel em (a,b). Se xo (a,b) abscissa de um ponto de mximo ou mnimo, ento .

Demonstrao:

1)

i)

ii)

2)

i)

ii)

11.1.2.1 - Interpretao Geomtrica do teorema de Fermat:

O teorema de Fermat garante que num extremo local interior de uma funo derivvel f (x), a reta tangente ao grfico de f (x) paralela aos eixos do x.

1)

2)

f(xo) o mximo local interior

f(xo) o mnimo local interior

11.1.3 - Teorema de Rolle:

Se f (x) uma funo contnua em [a,b], e derivvel em (a,b), se f (a) = f (b), ento existe pelo menos um ponto xo (a,b), tal que . 1)

2)

3)

Demonstrao:

(I) Se , temos que ,

(II) Tem-se que , ento xo abscissa de um ponto de mximo pelo T. Fermat f '(xo).

(III) Temos que , logo o ponto ponto de mnimo, assim, pelo teorema de Fermat .11.1.3.1 - Interpretao geomtrica do Teorema de Rolle:

O teorema de Rolle, afirma que se uma funo derivvel em (a,b), contnua em [a,b] e assume valores iguais nos extremos do intervalo, ento em qualquer ponto de (a,b) a tangente ao grfico de f (x) paralela ao eixo do x.

1)

2)

3)

11.1.4 - Teorema do Valor Mdio ou Teorema de Lagrange

Se a funo f (x) contnua em [a,b] e derivvel em (a,b) existe pelo menos um xo (a,b), tal que.

Demonstrao:

A equao da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) :

1 Caso: .

Neste caso e pelo teorema de Rolle, existe , tal que .

2 Caso: .

Consideremos a funo .

(I) g(x) constante em [a, b] por ser a diferena entre , que so contnuas [a, b].

(II) g(x) derivvel em (a, b) e sua derivada

(III) Nos extremos do intervalo [a, b], temos:

Portanto,

Sendo assim, vlido para g(x), o teorema de Rolle: existe , tal que , isto : 11.1.4.1 - Interpretao geomtrica do Teorema de Lagrange ou T.V.M

Segundo o Teorema de Lagrange, se f(x) funo contnua em [a,b] e derivvel em (a,b), ento existe um ponto xo (a,b), tal que a reta tangente ao grfico de f (x) no ponto P (xo, f (xo)) paralela a reta determinada pelos pontos A (a, f (a)) e B (b, f (b)), por terem coeficientes angulares iguais.

2 Parte Anlise de funes:

11.2.1 - Crescimento ou decrescimento: O termos crescente, decrescente e constante so usados para descrever o comportamento de uma funo em um intervalo.

Definio Seja f definida em um intervalo e sejam e pontos do intervalo.

(a) f crescente no intervalo se f () < f () para < .

(b) f decrescente no intervalo se f () > f () para < .

(c) f constante no intervalo se f () = f () para todos os pontos e .

a)

b)

c)

Teorema (1) Seja f uma funo contnua em um intervalo fechado [a,b] e diferencivel no intervalo aberto (a,b).(a) Se > 0 para todo valor de x em (a,b), ento f crescente em [a,b].(b) Se < 0 para todo valor de x em (a,b), ento f decrescente em [a,b].(c) Se = 0 para todo valor de x em (a,b), ento f constante em [a,b].

11.2,2 - Concavidade:

Definio Se f for diferencivel em um intervalo aberto I, ento f classificada como sendo cncava para cima se f for crescente em I e cncava para baixo se f for decrescente em I.Teorema (2) Seja f duas vezes diferencivel em um intervalo aberto I.

(a) Se (x) > 0 em I , ento f tem concavidade para cima em I.

(b) Se (x) < 0 em I, ento f tem a concavidade para baixo em I.a)

b)

11.2.3 - Pontos de inflexo:

Definio Se f for contnua em um intervalo aberto contendo o ponto xo e se f muda a direo da concavidade naquele ponto dizemos, ento que f tem um ponto de inflexo em xo e chamamos o ponto de inflexo em xo e chamamos o ponto (xo, f (xo)) do grfico de f um ponto de inflexo de f.

Os pontos de inflexo marcam os lugares sobre a outra y = f (x), nos quais a taxa de variao de y em relao a x. Tem um mximo ou mnimo relativo, isto , eles so lugares onde y cresce ou decresce mais rapidamente e sua vizinhana mxima.Teorema (3) Seja (xo, f (xo)) um ponto de inflexo. Ento (xo) = 0, ou no est definida em x = xo.

11.2.4 - Extremos relativos: Mximos e mnimos.Definio Uma funo f se diz ter um mximo relativo em xo, se houver um intervalo aberto contendo xo, na qual f (xo) o maior valor, isto , f(xo)f(x) para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um nmero relativo em xo, no qual f (xo) o menor valor, isto , f(x0)f(x), para todo x no intervalo. Quando f tiver um mximo ou um mnimo relativo em xo, se diz que f tem um extremo relativo em xo.

Teorema (4) Se uma funo f tiver extremos relativos ento eles ocorrem ou em pontos onde (x) = 0 ou em pontos de no-diferenciabilidade, tambm chamamos pontos crticos ou pontos de no-diferenciabilidade.