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Método da Bissecção
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] tal que f(a).f(b)<0.
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtemos o valor x0. Com esta divisão, temos agora, dois subintervalos, [a, x0] e [x0, b].
a x0 b
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção A raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos no pontos extremos.
a x0 b
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção O novo intervalo [a1, b1] que contém a raiz é dividido ao meio e obtém-se o ponto x1.
a1 b1
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata, com tolerância desejada.
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Método da BissecçãoMétodo da BissecçãoExemplo: Considere a função f(x)=x2-3 e o intervalo [a,b]=[1,2]. Critério de parada: |bk- ak| < 0,01.
Iteração: k=0
Intervalo: [a0, b0]= [1, 2]x0 = 1,5f (x0) = -0,75f(1) = -2f(2) = 1
f (x0).f(2) < 0
Novo intervalo: [a1, b1]= [1,5; 2]x1 = 1,75Erro: 0,5
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=1
Intervalo: [a1, b1]= [1,5; 2]x1 = 1,75f (x1) = 0.0625f(1,5) = -0,75f(2) = 1
f (x1).f(1,5) < 0
Novo intervalo: [a2, b2]= [1,5; 1,75]x2 = 1.625Erro: 0,25
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=2
Intervalo: [a2, b2]= [1,5; 1,75]x2 = 1.625f (x2) = -0,359375f(1,5) = -0,75f(1,75) = 0.0625
f (x2).f(1,75) < 0
Novo intervalo: [a3, b3]= [1,625; 1,75]x3 = 1.6875 Erro: 0,125
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=3
Intervalo: [a3, b3]= [1,625; 1,75]x3 = 1.6875 f (x3) = - 0.15234375 f(1,625) = - 0,359375f(1,75) = 0.0625
f (x3).f(1,75) < 0
Novo intervalo: [a4, b4]= [1,6875; 1,75]x4 = 1.71875Erro: 0,0625
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=4
Intervalo: [a4, b4]= [1,6875; 1,75]x4 = 1.71875f (x4) = - 0.045898438f(1,6875) = - 0.15234375 f(1,75) = 0.0625
f (x4).f(1,75) < 0
Novo intervalo: [a5, b5]= [1,71875; 1,75]x5 = 1.734375 Erro: 0, 03125
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=5
Intervalo: [a5, b5]= [1,71875; 1,75]x5 = 1.734375 f (x5) = 0.008056641f(1,71875 ) = - 0.045898438f(1,75) = 0.0625
f (x5).f(1,6875) < 0
Novo intervalo: [a6, b6]= [1,71875; 1,734375 ]x6 = 1.7265625Erro: 0.015625
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Iteração: k=6
Intervalo: [a6, b6]= [1,71875; 1,734375 ]x6 = 1.7265625f (x6) = -0.018981934f(1,71875 ) = - 0.045898438f(1,734375 ) = 0.008056641
f (x6).f(1,734375) < 0
Novo intervalo: [a7, b7]= [1.7265625; 1,734375]x7 = 1.73046875Erro:0.0078125 OK!
Solução: x7 = 1.73046875
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
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Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
• Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; xk := (ak + bk)/2;
enquanto critério de parada não satisfeito ou k L
se f(ak).f(xk) < 0 então
ak+1 := ak;
bk+1 := xk;
senão
ak+1 := xk;
bk+1 := bk ;
xk+1 := (ak + bk)/2;
k := k +1;
fim_enquanto
exiba xk15
Método da BissecçãoMétodo da Bissecção
Observações:
a)A convergência do método é garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b] tal que f(a).f(b)<0
b)Se o intervalo inicial for grande e se ε for pequeno, o número de iterações tende a ser grande;
c)As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
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