ajuste numérico
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Aula de ajuste numérico do prof. Arnaldo dos santos júnior - Campo SertãoTRANSCRIPT
Considerações Matemáticas
� Considere uma função f: R�R.
� Por se tratar de uma função de uma única variável f(x), aderivada desta função é dita derivada total:
xdf )(
� Considere agora uma função f: R2�R. Temos nessecaso, uma função de duas variáveis f(x,y). Podemoscalcular as derivadas de f em relação a qualquer umadas variáveis:
dx
xdf )(
y
f(x,y) e
x
f(x,y)
∂∂
∂∂ Derivadas parciais
da função f(x,y).
Considerações Matemáticas
� Exemplo: Seja a função f(x,y) = 3x2 + 4y3. Obtenhaas derivadas parciais de f.
Derivada de f em relação a x: considera-se y como� Derivada de f em relação a x: considera-se y comoconstante.
� Derivada de f em relação a y: considera-se x comoconstante.
xx
f(x,y)6=
∂∂
212yy
f(x,y) =∂
∂
Considerações Matemáticas
� Somatórias
m
m
k k xxxx +++=∑ =⋯
1 21
amaaaam
k⋅=+++=∑ =
⋯
1
mm
k=+++=∑ =
11111
⋯
)( 21 11 m
m
k
m
k kk xxxaxaxa +++==⋅∑ ∑= =⋯
Introdução
� Dado um conjunto de pontos, no ajuste ouaproximação, tenta-se encontrar uma função q(x) queaproximação, tenta-se encontrar uma função q(x) quemelhor aproxime esses pontos. Aqui, não existe anecessidade da função passar por todos os pontosconhecidos.
Introdução
60
80
100
120
y(x)
Ajuste X Interpolação
ajuste linearinterpolaçãopontos
75 80 85 90 95 1000
20
40
60
x
y(x)
No ajuste busca-se uma função que melhor represente os dados.Não exige-se que essa função passe pelos pontos fornecidos.
Quando utilizar?
� Quando se deseja extrapolar ou fazer previsões emregiões fora do intervalo considerado;
� Quando os dados tabelados são resultados deexperimentos, onde erros na obtenção destesresultados podem influenciar a sua qualidade.
Objetivo
� Minimizar os desvios (ou resíduos) de cada pontotabelado em relação a uma função ajustada.
Formulação
� Dada uma tabela com m pontos (xk, f(xk)), k=1,...,m emum intervalo [a,b]. Deseja-se encontrar uma funçãoq(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) que melhorajuste esses pontos. Ou seja, determinar a função q(x)ajuste esses pontos. Ou seja, determinar a função q(x)que mais se aproxime de f(x).
� Problema: Como escolher as funções g1(x), g2(x), ...,gn(x)?
Formulação
� Observando o diagrama de dispersão dos pontostabelados com o intuito de buscar a curva que melhorajusta os dados;
Formulação
� Baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentosque forneceu a tabela.
� Ex.: Sabe-se que a relação entre tensão e corrente elétricaé linear – Lei de Ohm.
Método dos Mínimos Quadrados
� Método bastante utilizado para ajustar umadeterminada quantidade de pontos;
� Dados m pontos (x , f(x )), k=1,...,m e as n funções� Dados m pontos (xk, f(xK)), k=1,...,m e as n funçõesg1(x), g2(x), ..., gn(x) escolhidas de alguma forma.
� Considere que o número de pontos tabelados m ésempre maior ou igual ao número de funções escolhidas n(ou ao número de coeficientes a determinar ai);
� Encontrar os coeficientes a1, a2, ..., an tais que a funçãoq(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + ... + angn(x) se aproxime aomáximo de f(x).
Método dos Mínimos Quadrados
� Seja dk = f(xk) – q(xk) o desvio em xk. Um conceito deproximidade é que dk seja mínimo para todo k = 1, 2, ...,m.
� O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolheros ai’s de tal forma que a soma dos quadrados dosdesvios seja mínima.
[ ]2
11
2 )()(∑∑==
−==m
kkk
m
kk xqxfdS
Como minimizar essa função?
Método dos Mínimos Quadrados
Usando cálculo diferencial, sabe-se que para encontrar
[ ]2
11
2 )()(∑∑==
−==m
kkk
m
kk xqxfdS
� Usando cálculo diferencial, sabe-se que para encontrarum ponto de mínimo de S(a1, a2, ..., an), é necessárioachar inicialmente os pontos críticos (ou seja, todos osai’s).
0=∂∂
ia
S
Por que minimizar os quadrados?
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
� Neste tipo de ajuste consideramos as funções g1(x) =1 e g (x) = x. Assim, a função de ajuste é dada por1 e g2(x) = x. Assim, a função de ajuste é dada por
� onde a1 e a2 são os coeficientes a serem determinadospelo método dos mínimos quadrados.
xaaxq 21)( +=
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
[ ]2
11
2 )()(∑∑==
−==m
kkk
m
kk xqxfdS
� A condição de minimização é satisfeita se:
11 == kk
[ ]2
121
1
2 )(∑∑==
−−==m
kkk
m
kk xaaxfdS
021
=∂∂=
∂∂
a
S
a
S
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
[ ] 0)1()(2 21 =−−−=∂∂∑
m
kk xaaxfa
S [ ] 0)1()(21
211
=−−−=∂ ∑
=kkk xaaxf
a
[ ] 0)(1
21 =−−∑=
m
kkk xaaxf
0)(1
21
11
=−− ∑∑∑===
m
kk
m
k
m
kk xaaxf
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
∑∑∑ =+m
k
m
k
m
xfxaa 21 )(∑∑∑===
=+k
kk
kk
xfxaa11
21
1 )(
∑∑∑===
=+m
kk
m
kk
m
k
xfxaa11
21
1 )(1
∑∑==
=+⋅m
kk
m
kk xfxaam
1121 )(
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
∑∑ =+⋅m
k
m
k xfxaam 21 )(∑∑== k
kk
k11
21
=
⋅
∑∑
==
m
kk
m
kk xf
a
axm
12
1
1
)(
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
[ ] 0)()(2 21 =−−−=∂∂∑ k
m
kk xxaaxfa
S [ ] 0)()(21
212
=−−−=∂ ∑
=k
kkk xxaaxf
a
[ ] 0)(1
221 =++−∑
=
m
kkkkk xaxaxfx
0)(1
22
11
1
=++− ∑∑∑===
m
kk
m
kk
m
kkk xaxaxfx
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
∑∑∑===
=+m
kkk
m
kk
m
kk xfxxaxa
11
22
11 )(
=== kkk 111
∑∑∑===
=+m
kkk
m
kk
m
kk xfxxaxa
11
22
11 )(
=
⋅
∑∑∑
===
m
kkk
m
kk
m
kk xfx
a
axx
12
1
1
2
1
)(
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Linear
Agrupando as equações:
=
⋅
∑
∑
∑∑
∑
=
=
==
=m
kkk
m
kk
m
kk
m
kk
m
kk
xfx
xf
a
a
xx
xm
1
1
2
1
1
2
1
1
)(
)(
Método dos Mínimos Quadrados
� Aplicação: encontrar a melhor reta que ajusta osvalores da tabela abaixo:
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
� Solução:
� Número de pontos tabelados m = 5.
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
Método dos Mínimos Quadrados
2.2
2.4
2.6
2.8Diagrama de Dispersão
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
f(x)
Método dos Mínimos Quadrados
∑=
=++++=5
1
5,2175,05,025,00k
kx
∑=
=++++=5
1
222222 875,1175,05,025,00k
kx
∑=
=++++=5
1
768,87183,2117,26487,1284,11)(k
kxf
∑=
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5
1
4514,57183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k
kk xfx
⋅=
⋅
∑
∑
∑∑
∑
=
=
==
=m
kkk
m
kk
m
kk
m
kk
m
kk
xfx
xf
a
a
xx
xm
1
1
2
1
1
2
1
1
)(
)(
=
⋅
4514,5
768,8
875,15,2
5,25
2
1
a
a
Método dos Mínimos Quadrados
� Solução do sistema:
=
7078,1
8997,01
a
a4
5
pontosajuste linear
7078,12a
xxq 7078,18997,0)( +=
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
0
1
2
3
x
f(x)
Função ajustada
∑=
==5
1
2 0392,0k
kdS
Soma dos quadrados dos resíduos
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Polinomial
� Pode-se estender o processo do cálculo da funçãoutilizaod no ajuste linear para o ajuste polinomial.Assim, uma função polinomial de grau (n-1) é dadaAssim, uma função polinomial de grau (n-1) é dadapor:
� onde os coeficientes aipodem ser obtidos através da
expansão do sistema utilizado no ajuste linear.
12321)( −++++= n
n xaxaxaaxq ⋯
0=∂∂
ia
Scom i = 1,2,...,n
Método dos Mínimos Quadrados
� Ajuste Polinomial
� A expansão resultará no seguinte sistema:
∑∑∑∑−
mmn
mm
xfxxxm 12 )(⋯
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
=
−
=
=
=
=
−
=
+
==
−
=
+
===
====
=
−
==
m
kk
nk
m
kkk
m
kkk
kk
nm
k
nk
m
k
nk
m
k
nk
m
k
nk
m
k
nk
m
kk
m
kk
m
kk
m
k
nk
m
kk
m
kk
m
kk
k
nk
kk
kk
xfx
xfx
xfx
xf
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxm
1
1
1
2
1
1
3
2
1
1
)1(2
1
1
11
1
1
1
1
4
1
3
1
2
11
3
1
2
1
1
1
1
2
1
)(
)(
)(
)(
⋮
⋮
⋯
⋮⋱⋮⋮⋮
⋯
⋯
⋯
Método dos Mínimos Quadrados
� Aplicação: encontrar a melhor parábola que ajustaos valores da tabela abaixo:
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
� Solução:
� Número de pontos tabeados m = 5.
� Polinômio adotado (n = 3):
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
2321)( xaxaaxq ++=
Método dos Mínimos Quadrados
� Calculando os termos da matriz de coeficientes e dovetor de constantes:
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
∑5
∑=
=++++=5
1
5,2175,05,025,00k
kx
∑=
=++++=5
1
222222 875,1175,05,025,00k
kx
∑=
=++++=5
1
333333 5625,1175,05,025,00k
kx
∑=
=++++=5
1
444444 3828,1175,05,025,00k
kx
Método dos Mínimos Quadrados
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
f(x) 1,00 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
∑5
∑=
=++++=5
1
768,87183,2117,26487,1284,11)(k
kxf
∑=
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5
1
4514,57183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k
kk xfx
∑=
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅5
1
222222 4015,47183,21117,275,06487,15,0284,125,010)(k
kk xfx
Método dos Mínimos Quadrados
Montando o sistema de equações:
=
⋅
4514,5
768,8
5625,1875,15,2
875,15,25
2
1
a
a
=
⋅
4015,4
4514,5
3828,15625,1875,1
5625,1875,15,2
3
2
a
a
Solução:
=
8432,0
8647,0
0051,1
3
2
1
a
a
a
Equação da parábola:28432,08647,00051,1)( xxxq ++=
Método dos Mínimos Quadrados
� Linearização
� Algumas funções de duas constantes podem serlinearizadas antes da aplicação do método dos mínimosquadrados, com o objetivo de obter o sistema dequadrados, com o objetivo de obter o sistema deequações como aquele apresentado anteriormente.
� Função Exponencial
bxaey =
Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:
Método dos Mínimos Quadrados
� Função Exponencialbxaey =
)ln()ln()ln()ln( bxbx eaaey +== )ln()ln()ln()ln( bxbx eaaey +==
bxay += )ln()ln(
Se fizermos y* = ln(y), a1 = ln(a) e a2 = b, temos:
xaay 21* +=
Equação da reta. Daí o nome linearização.
Método dos Mínimos Quadrados
� Função Logarítmica
)ln(bxay =A função pode ser expandida para:
)ln()ln( xabay +=
A função pode ser expandida para:
Se fizermos y* = y, a1 = aln(b), a2 = a e x* = ln(x):
*21
* xaay +=
Método dos Mínimos Quadrados
� Função Potencialbaxy =
Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:
)ln()ln()ln()ln( xbaaxy b +==
Se fizermos y* = ln(y), a1 = ln(a), a2 = b e x* = ln(x):
*21
* xaay +=
Se aplicarmos o logarítmo em ambos os membros, teremos:
Método dos Mínimos Quadrados
� Função Hiperbólica
bay +=
xay +=
Se fizermos y* = y, x* = 1/x, a1 = a, a2 = b:
*21
* xaay +=
Método dos Mínimos Quadrados
� Aplicação: encontrar a melhor função que ajusta osvalores da tabela abaixo:
x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1
Sugestão: utilizar uma função exponencial.
x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1
y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246
bxaey =
Método dos Mínimos Quadrados
Como vamos ajustar os pontos por uma exponencial,precisamos fazer a adaptação:
)ln(* yy =
Então faz-se um ajuste linear dos pontos de abscissa x eordenada y*.
x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1
y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246
y* 3,5986 2,8486 2,0986 1,3486 0,5988 -0,1508 -0,9014 -1,4024
Método dos Mínimos Quadrados
Número de pontos m = 8
x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1
y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246
y* 3,5986 2,8486 2,0986 1,3486 0,5988 -0,1508 -0,9014 -1,4024
Número de pontos m = 8
∑=
=8
1
3,0k
kx ∑=
=8
1
2 59,3k
kx ∑=
=8
1
0386,8)(k
kxf ∑=
−=⋅8
1
6461,8)(k
kk xfx
⋅=
⋅
∑
∑
∑∑
∑
=
=
==
=m
kkk
m
kk
m
kk
m
kk
m
kk
xfx
xf
a
a
xx
xm
1
1
2
1
1
2
1
1
)(
)(
−=
⋅
6461,8
0386,8
59,33,0
3,08
2
1
a
a
Método dos Mínimos Quadrados
−=
5002,2
0986,1
2
1
a
a
Resolvendo o sistema:
2
xy 5002,20986,1* −=
Equação da reta:
Para adaptar esses valores, coeficientes da reta, para a funçãoexponencial, ainda basta fazer as seguintes adaptações:
Método dos Mínimos Quadrados
xy 5002,20986,1* −=
3)ln( 0986,11
1 ===⇒= eeaaa a
5002,22 −== ba
Então, a função exponencial que melhor ajusta os pontosfornecidos no exemplo é:
xey 5002,23 −=
Método dos Mínimos Quadrados
80
100
120
140
ajuste exponencialpontos
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
20
40
60
80
x
f(x)
Qualidade do Ajuste
� Uma forma de avaliar a qualidade do ajuste é atravésdo coeficiente de correlação de Pearson (r). Estecoeficiente pode ser calculado pela seguinte expressão:
� Sendo yk os valores tabelados da função e qk os valoresda função ajustada relativos aos valores xk.
( )( )[ ]
( ) ( )∑∑
∑
==
=
−⋅−
−−=
m
kk
m
kk
m
kkk
qqyy
qqyyr
1
2
1
2
1∑∑
==
==m
kk
m
kk q
mq y
my
11
1e
1
Qualidade do Ajuste
� Esse coeficiente assume apenas valores entre -1 e 1:
� r = 1, significa uma correlação perfeita positiva entreduas variáveis;
� r = -1, significa uma correlação perfeita negativaentre duas variáveis, isto é, se uma aumenta a outradiminui;
� r = 0, indica que as duas variáveis não dependemlinearmente uma da outra.