métodos numéricos/análisis numérico/calculo numérico

1

Métodos Numéricos/Análisis Numérico/Calculo Numérico

INTERPOLACIÓN NUMÉRICA

Bibliografía:

Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE -1997.Analisis Numerico – Burden and Faires- Editorial Sudamericana – 1996.Métodos Numéricos para ingenieros. Chapra y Canale. Ed. Mc Graw Hill. 5ta. Edición.

INTRODUCCION (I)

• Cuando en una tabla se busca el valor de una función para un determinado valor de la variable que no figura explícitamente en ella, se realiza una tarea de interpolación por medio de reglas simples y muy precisas.

2

INTRODUCCION(II)

• Por ejemplo, hay solo una línea recta que une dos puntos ( polinomio de 1er grado).

• Únicamente una parábola une un conjunto de tres puntos.( interpolación de 2do grado o cuadrática).

• Una parábola cúbica une un conjunto de cuatro puntos (polinomio de 3er. Grado)

Interpolación numérica

• Supóngase que se conocen los valores y0; y1;...; yn de la función desconocida, correspondientes a los n+1 valores distintos: x0 ; x1 ; ... ; xn de una variable independiente x.

• El problema, consiste, en determinar el valor aproximado de y que cabe asignar como correspondiente a otro valor de x, distinto de todos los xi conocidos y comprendidos en el intervalo de trabajo [ x0 ; xn ].

3

Interpolación numérica (III)

Interpolación numérica

- Figura 7.1 -x0 x1 x2

Xn-1 Xn

h h h

A0

A1A2

An-1An

y

x

Pn(x)

•Dados n+1 puntos, con abscisas distintas entre si, existe uno y solo un polinomio de grado a lo mas n que pasa por estos puntos.

4

Interpolación numérica• Considerando que por los n+1 puntos A0 ; A1 ; ... ;

An, pasa a lo sumo una parábola que representa un polinomio Pn (x) de grado n

• Por dos puntos pasa una sola recta;

• Por tres puntos no alineados, pasa una sola parábola de segundo grado; etc.

• Entonces conocidos n+1 puntos, la parábola de grado n que pasa por ellos permite asignar a cada valor de x un valor de y, que será considerado como el valor de interpolación buscado.

TABLAS CON VALORES EQUIDISTANTES

El caso más frecuente: problemas de interpolación cuyas tablas tienen VALORES EQUIDISTANTES de la variable x; se dará por presupuesto que:

x x x x x x hn n1 0 2 1 1− = − = = − =−K

Se presentaran, primeramente, las tablas de diferencias.

5


• Los valores de las diferencias primeras ∆yk se obtienen restando a cada valor yk+1 el valor y kque le antecede en la tabla.

• Las diferencias segundas se obtienen de igual modo, partiendo en este caso, de las diferencias primeras.

• Las terceras se obtienen a partir de las segundas, y así sucesivamente hasta completar la tabla.

• Completar la tabla es llegar a diferencias cuyos valores son poco significativos en valor absoluto

TABLAS de Diferencias Avanzadas

x y y y y

x y

y y y

x x h y y y y

y y y y y y

x x h y y y y

y y y y y y

x x h y y y y

y y y

x x h y

y y yn n n

∆ ∆ ∆

∆∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆

∆ ∆ ∆

2 3

0 0

0 1 0

1 0 1

2

0 1 0

1 2 1

3

0

2

1

2

0

2 1 2

2

1 2 1

2 3 2

3

1

2

2

2

1

3 2 3

2

2 3 2

3 4 3

4 3 4

3

3

2

2

2

3

= −= + = −

= − = −= + = −

= − = −= + = −

= −= +

= −− − −

M

M M

M M M

M M M M

M M M

M M

∆ ∆ ∆∆

2

2 1 2

1 1

1

y y y

y y y

x x h y

n n n

n n n

n n n

− − −

− −

−

= −= −

= +

6


• Observar que:

∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

y y y

y y y y y y

y y y y y y y

0 1 0

2

0 1 0 2 1 0

3

0

2

1

2

0 3 2 1 0

2

3 3

= −= − = − −= − = − + −

( )n

i

n

i n i

=

−!

! !

Recuérdese la expresión de los números combinatorios:


• Resulta entonces:

Así es posible deducir que las diferencias n-ésimas de y0 se forman a partir de la ordenada n-ésima y sus n ordenadas antecedentes afectadas por los coeficientes del Triángulo deTARTAGLIA.

Todas estas diferencias reciben el nombre de DIFERENCIAS AVANZADAS .

( )∆n i

n i

i o

n

yn

iy

01= −

−

=∑

7

Confeccionar la tabla de diferencias avanzadas

169410y

43210x

0149

16

01234

∆3y∆2 y∆ yyx

FÓRMULA DE NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

• Conocidos los valores y0 ; y1 ; ... ; yn de una función, correspondientes a los n+1 valores equidistantes x0 ; x1 ; ... ; xn de la variable, se trata de encontrar el polinomio de grado n:

Los n+1 coeficientes a0 ; a1 ; ... ;an se determinan imponiendo a la parábola (7.2) las n+1 condiciones de pasar por los puntos A0 ; A1 ; ... ; An ; es decir, estableciendo que para x=x0; x=x1 ; ... ; x=xn , la expresión (7.2) debe ser igual a y0 ; y1 ; ... ; yn , respectivamente; es necesario hacer:

Pn (x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 ) ( x - x1 ) + ...+ an ( x - x0 ) ( x - x1 ) ... ( x - xn-1 ) 7.2

8


• Pn ( x0 ) = y0 = a0

• Pn ( x1 ) = y1 = a0 + a1 ( x1 - x0 ) • Pn ( x2 ) = y2 = a0 + a1 ( x2 - x0 ) + a2 ( x2 - x0 ) ( x2 - x1 )• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• Pn ( xn ) = yn = a0 + a1 ( xn - x0 ) + ... + an ( xn - x0 ) ... ( xn - xn-1 ) • de donde, despejando resultan:

a y0 0

=

ay y

x x

y

h1

1 0

1 0

0=−−

=∆

( )( ) ( )ay a x x a

x x x x

y y hy y

h

h

y

h2

2 0 2 0 1

2 0 2 1

2 0

1 0

2

2

0

2

2

2 1 2=

− − −− −

=− −

−

=. !

∆


ay

n hn

n

n=

∆0

!

Sustituyendo los valores de los coeficientes, calculados a partir de la expresión (7.3 ), en la ecuación (7.2 ), se llega a la Fórmula de NEWTON-GREGORY ASCENDENTE:

Haciendo x = x0 + hu, y sustituyéndola en la expresión (7.4), se obtiene una fórmula de uso más práctico. Bajo estas condiciones es:

( ) ( ) ( )( )P x yy

hx x

y

hx x x xn n

= + − + − − + +0

0

0

2

0

0 12

∆ ∆!

K

( )( ) ( )+ − − − −∆n

n n

y

n hx x x x x x0

0 1 1!

K

7.4

7.3

9


x-x0 = h u ; x-x1 = x-(x0 +h) = h u-h = h (u-1)etc.; vale decir, la formula de NEWTON-GREGORY toma la forma:

Considerando que, según la teoría y notación de los números combinatorios, se puede expresar:

( ) ( ) ( )P x P x hu y u y

u uyn n= + = + +

−+

0 0 0

2

0

1

2∆ ∆

!

( )( ) ( )( ) ( )+

− −+ +

− − − +u u uy

u u u u n

nyn

1 2

3

1 2 13

0 0! !

∆ ∆KK

( )u

u

uu

!

! !1 1 1−=

=

7.5


y considerando a ∆0 y0 = y0 , la expresión 7.5 se puede escribir:

( ) ( )u

u

uu u

!

! !2 2 21

−=

= −

( ) ( )( ) ( )u

n u n

u

nu u u u n

!

! !−=

= − − − +1 2 1K

( ) =∆

++∆

+∆

+

=

00

2

00210

yn

uy

uy

uy

uxP n

n K

=

=∑

u

iyi

i

n

∆0

0

(7.6)

Ejemplo en Mathematica.

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INTERPOLACIÓN LINEALSi en una tabla de valores, las diferencias son nulas, a partir de la segunda en adelante, la formula de NEWTON-GREGORY se reduce a la siguiente:

Es la expresión analítica de la recta que pasa por los puntos A0; A1 . Puede utilizarse cuando, las diferencias tabulares de orden dos y > son nulas; o cuando las diferencias de orden superior ∆ 2 ; ∆ 3 y siguientes, son despreciables.En este caso, la curva representativa de la función es reemplazada por la poligonal que se obtiene uniendo los puntos A0 ; A1 ; ... ; An , con segmentos de recta.

( ) ( )P x yy

hx x

1 0

0

0= + −

∆7.7

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICASi las diferencias tabulares de orden mayor al segundo son nulas; se puede utilizar la fórmula de NEWTON-GREGORY incluyendo los términos de segundo orden y menores:

( ) ( ) ( ) ( )P x yy

hx x

y

hx x x x

2 0

0

0

2

0

2 0 12

= + − + − −∆ ∆

!7.8

Esta es la ecuación de la parábola de segundo grado que pasa por A0 ; A1 y A2 .

No se pierde generalidad si se considera el valor x1 coincidiendo con el origen de coordenadas (ver figura 7.2 ), en cuyo caso es:

x0 = - h ; x1 = 0 ; x2 = hy la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A0 ; A1 y A2 es, en general:

y = a x2 + b x + c7.9

11

Figura 7.2

A0

A1 A2

-h h

0

y

xx0 X2

INTERPOLACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

Siendo x0 = - h ; x1 = 0 y x2 = h, la expresión (7.8) es válida para todos ellos, entonces, según la (7.9) se puede escribir:

( ) ( )y a x b x c a h b h c

y a x b x c c

y a x b x c a h b h c

0 0

2

0

2

1 1

2

1

2 2

2

2

2

= + + = − + − += + + == + + = + +

de la segunda, se obtiene directamente que c = y1 ; y reemplazando este valor en las otras dos ecuaciones, resulta:

a h b h y y

a h b h y y

2

1 0

2

1 2

− + =+ + =

de donde, sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene:

ay y y

hb

y y

h=

− +=

−2 1 0

2

2 02

2 2;

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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

valores que reemplazados en la ecuación:

denominada FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA .

yy y y

hx

y y

hx y=

− ++

−+2 1 0

2

2 2 0

1

2

2 2

y = a x2 + b x + c

dan como resultado:

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo del uso de la interpolación cuadrática para estimar ln 2. Para comparación se presenta también la interpolación lineal desde x= 1 a 4.

13

FÓRMULA DE NEWTON-GREGORY DESCENDENTE

Cuando, la interpolación debe efectuarse para un valor de x próximo a xn

o, en general, alejado de x0 , -> Aplicar fórmulas de interpolación en las que intervengan las diferencias sucesivas relacionadas con el último valor yn de la tabla. Definiendo la diferencia de primer orden mediante la expresión:

(7.11) ∆ yn-1 = yn - yn-1 = ν yn

y, operando de igual modo al realizado para definir las diferencias avanzadas, en este caso podemos observar la tabla correspondiente:


nnn

nnn

nnn

nnn

yhxx

yyy

yyy

yyy

yhxx

yyy

yyyyhxx

yyyyyy

yyyyhxx

yyyyyy

yyyyhxx

yyy

yx

yyyyx

+=−=∇

∇−∇=∇∇−∇=∇

+=−=∇

∇−∇=∇+=∇−∇=∇−=∇

∇−∇=∇+=∇−∇=∇−=∇

∇−∇=∇+=−=∇

∇∇∇

−

−

−−−

−−−

1

1

211

2

3

2

2

2

2

3

434

344

233

2

323

1

2

2

2

2

3

233

122

2

212

0

2

1

2

1

3

122

011

2

101

011

00

32

MM

MMM

MMMM

MMM

MM

M

Las diferencias calculadas arriba, reciben el nombre de DIFERENCIAS ATRASADAS .

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Calculando sus coeficientes a0 ; a1 ; ...; an mediante las n+1 condiciones que impone el hecho que la parábola (7.12) tenga que pasar por los puntos A0 ; A1 ; ...; An y operando en forma similar a G.N.A. se obtienen los coeficientes ai buscados.

Para deducir la fórmula correspondiente, es necesario escribirla en forma análoga a la ya utilizada para la ascendente; la expresión de la ecuación del polinomio de grado n es:

7.12 Pn (x) = a0 + a1 ( x - xn ) + a2 ( x - xn ) ( x - x n -1 ) + .....+ an ( x - xn ) ( x - x n -1 ) ... ( x - x1 )


( ) ( ) ( )( )P x yy

hx x

y

hx x x xn n

n

n

n

n n= +∇

− +∇

− − + +−

2

2 12!

K

( )( ) ( )+∇

− − −−

n

n

n n n

y

n hx x x x x x

!1 1K

ay

n hn

n

n

n=

∇!

En general resulta que:

Sustituyendo los coeficientes calculados en la expresión 7.12

Realizando el cambio de variable de x por xn+ h u , resulta una expresión mas practica.

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FÓRMULA DE LAGRANGE (I)Si la interpolación debe realizarse por medio de tablas obtenidas experimentalmente, -> en gral. estas poseen intervalos no equidistantes. Para estos problemas, se utiliza LAGRANGE que puede deducirse a partir del polinomio de grado n al cual se le impone pasar por los n+1 puntos A0 ; A1 ;…….; An , de la forma:

Pn (x) = a0 (x - x1 ) (x - x2 ) ... (x - xn ) + a1 (x - x0 ) (x - x2 ) ... (x - xn ) + ... ……. + an (x - x0 ) (x - x1 ) ... (x - xn-1 ) ...; donde c/u de los términos, es a su vez, un polinomio de grado n afectado de un coeficiente ar , el cual debe ser hallado.Los n+1 a r se determinan imponiendo las n+1 condiciones:

para x x y y

para x x y y

para x x y yn n

= ⇒ == ⇒ =

= ⇒ =

0 0

1 1

L L L L L L L

así, se obtienen las ecuaciones:

FÓRMULA DE LAGRANGE (II)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y a x x x x x x

y a x x x x x x

y a x x x x x x

n

n

n n n n n n

0 0 0 1 0 2 0

1 1 1 0 1 2 1

0 1 1

= − − −= − − −

= − − − −

K

K

L L L L L L L L

K

Despejando los valores de los a r y sustituyéndolos en el polinomio original, resulta la denominada FORMULA DE LAGRANGE :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P x yx x x x x x

x x x x x xn

n

n

= +− − −− − −

+0

1 2

0 1 0 2 0

K

K

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

− − −− − −

+ +yx x x x x x

x x x x x x

n

n

1

0 2

1 0 1 2 1

K

KK

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

− − −− − −

−

−

yx x x x x x

x x x x x xn

n

n n n n

0 1 1

0 1 1

K

K

(7.15)

16

FÓRMULA DE LAGRANGE (III)

Es más cómodo operar con la expresión que se obtiene dividiendo ambos miembros de (7.15) por el producto (x - x0 )(x - x1 ) ... (x - xn ), con lo cual resulta:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x

x x x x

y

x x x x x x x x

n

n n− −=

− − − −+

0

0

0 0 1 0 2 0K K

( ) ( ) ( ) ( )+− − − −

+ +y

x x x x x x x xn

1

1 1 0 1 2 1K

K

( ) ( ) ( ) ( )+− − − − −

y

x x x x x x x x

n

n n n n n0 1 1K

(7.16)

Expresión utilizada en las aplicaciones prácticas para realizar la interpolación en tablas con valores no equidistantes.

FÓRMULA DE LAGRANGE para Valores Equidistantes

Los coeficientes resultan independientes de los valores de las abscisas de la tabla dada y de su incremento tabular h;

Se calculan de una vez para siempre, recibiendo el nombre de COEFICIENTES LAGRANGIANOS .

Para facilitar la tarea, se han confeccionado tablas de coeficientes que consideran los casos correspondientes a 3; 4;...; 11, etc. puntos.

Caso particular que corresponde a una tabla de cuatro puntos.

Conocidos los valores f-1 ; f0 ; f1 ; f2 correspondientes a x-1 ; x0 ; x1 ; x2 , respectivamente, el polinomio de LAGRANGE será:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f xx x x x x x

x x x x x xf=

− − −− − −

+− − −

−0 1 2

1 0 1 1 1 2

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

− − −− − −

+−

−

x x x x x x

x x x x x xf

1 1 2

0 1 0 1 0 2

0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

− − −− − −

+−

−

x x x x x x

x x x x x xf

1 0 2

1 1 1 0 1 2

1

( )( )( )( )( )( ) +

−−−−−−+

−

−2

120212

101 fxxxxxx

xxxxxx

17


donde x0 - X -1 =x1 -x0 =x2 -x1 = h. Si se considera ahora, el cambio de variable x =x0 +hu, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )f x f x h u

u u uf= + = −

− −+−0 1

1 2

6

( ) ( ) ( )+

+ − −−

u u uf

1 1 2

20

( ) ( )−

+ ++

u u uf

1 2

21

( ) ( )+

+ −u u uf

1 1

62

Llamando Li a los coeficientes LAGRANGIANOS, estos pueden ser calculados. Entonces, tomando:

( ) ( )L

u u u− = −

− −1

1 2

6

( ) ( ) ( )L

u u u0

1 1 2

2=

+ − − ( ) ( )L

u u u1

1 2

2=

+ + ( ) ( )L

u u u2

1 1

6=

+ −


Teniendo tabulados los coeficientes L i, la interpolación se reduce a calcular la expresión:

( )f x L f L f L f L f= + + +− −1 1 0 0 1 1 2 2

18

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN PARABÓLICA PROGRESIVA

Ventaja: término a término, es posible obtener una cota del error que se ha cometido hasta ese momento.Sea el polinomio (7.2) ya utilizado al deducir las fórmulas de NEWTON-GREGORY:(7.2) Pn (x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 ) ( x - x1 ) + ...

+ an ( x - x0 ) ( x - x1 ) ... ( x - xn-1 )

Imponiéndole la condición que la curva representativa pase por los n+1 puntos A0 ; A1 ;...; An .

La condición de pasar por A0 implica que y0 = a0 ; se considera -> una primera aproximación de la fórmula; es decir, como el polinomio de interpolación de orden cero :

P0 (x) = y 07.19

En una 2da. aproximación, se exige que la representación gráfica pase por los puntos A0 y A1 , debe verificarse, además:


donde el numerado de a1 es la magnitud del error que se comete al estimar x1

cuando se toma el polinomio de interpolación P0

(7.20) y 1 = a0 + a1 (x1 - x0 )

de la cual puede calcularse el valor de a1 , que resulta:

7.19

Reemplazando este valor de a1 en la expresión 7.2 y tomando los términos desde el 3ro en adelante valen cero, puede obtenerse el polinomio de interpolación de orden uno, ver figura 7.4, el que resulta:

( )a

y a

x x

y P x

x x1

1 0

1 0

1 0 1

1 0

=−−

=−

−

( ) ( )( )0

01

101

01xx

xx

xPyyxP −

−−+=

19

Figura 7.4

( )101xPy −

( )212xPy −

A0

A1

A2

y0

y1

x0 x1 x2x

y

0

P2(x)

P1(x)

P0(x)

esta expresión que es el numerador de a1 es el error que se cometería si se tomara como valor de y1 el valor que proporciona el polinomio de interpolación de orden cero.

( )101xPy −


La condición que la curva pase, además, por el punto A2 , impone para la deducción del polinomio de interpolación, la utilización de la expresión:

de la cual es posible deducir el valor del nuevo coeficiente a2 que debe agregarse a la expresión general. Resulta entonces:

y2 = a0 + a1 (x2 - x0 ) + a2 (x2 - x0 ) (x2 - x1 )

( )[ ]( ) ( )

( )( ) ( )a

y a a x x

x x x x

y P x

x x x x2

2 0 1 2 0

2 0 2 1

2 1 2

2 0 2 1

=− + −

− −=

−− −

de donde:

( ) ( )( ) ( )P x yy P x

x xx x

2 0

1 0 1

1 0

0= +

−−

− +( )

( )( )( )( )10

1202

212 xxxxxxxx

xPy −−−−

−

20


donde el numerador de cada coeficiente ak mide precisamente el valor del error y k -P k-1 (x k) que se comete al considerar, en lugar del valor yk , el valor dado por el polinomio de aproximación de orden (k-1) en el punto de abscisa x=x k .

en la cual el numerador de a2 es el error que se cometería si se tomara como valor de y2 el valor que proporciona el polinomio de interpolación de orden uno.Continuando este análisis y operando de idéntica manera a la estudiada, puede obtenerse el polinomio de interpolación de orden r:

( ) ( )( ) ( )P x yy P x

x xx xr = +

−−

− + +0

1 0 1

1 0

0K

( )( ) ( ) ( ) ( )+

−− −

− −−

−−

y P x

x x x xx x x x

r r r

r r r

r

1

0 1

0 1K

K

Calcule mediante interpolación parabólica progresiva, y con la tabla

siguiente, el valor que le corresponde a x= 10

4291738963y

301550x

a0 = y 0 = 63 P0 (x) = 63

P 1(x) = 63 + 5,2 x

P 2 (x) = 63 + 5,2 x + 0,21 x (x – 5 )

P 3 (x) = 63 + 5,2 x + 0,21 x ( x – 5 ) + 0,0047 x ( X- 5) ( x- 15)

21

DIFERENCIAS ENTRE METODOS

LAGRANGE: todos los términos tienen el mismo grado;

Parabólica progresiva: el grado de los distintos términos va en aumento progresivamente.

LAGRANGE: solo es posible determinar una cota del error, y en caso de ser necesaria una aproximación mayor a la obtenida es necesario rehacer integralmente el cálculo.

Parabólica progresiva : los numeradores de los coeficientes indican, sucesivamente, la magnitud de la precisión lograda en el paso anterior.

Fórmula de Gauss (I) Sea la expresión (7.2) del polinomio de interpolación dado:

(7.2) Pn (x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 ) ( x - x1 ) + ...+ an ( x - x0 ) ( x - x1 ) ... ( x - xn-1 )

y considerando los puntos de abscisas equidistantes:x 0 = x 0 ; x 1 = x 0 + h ; x 2 = x 0 - h ; x 3 = x 0 + 2 h ; x 4 = x 0 - 2 h

; ...Sustituyendo estos valores en las expresiones de ar de la Fórmula de Interpolación Parabólica Progresiva, se obtiene:

( )a y P x f0 0 0 0 0

= = = ( )( )ay P x

x x1

1 0 1

1 0

=−

−

de donde: ( ) ( )a

f x h f x

h1

0 0=+ −

de la misma manera: ( )( ) ( )ay P x

x x x x2

2 1 2

2 0 2 1

=−

− − ( ) ( )( )02

02

201

021 xxx

xPyyxP x −

−−+=

22

Fórmula de Gauss ( II )

finalmente:

vale decir:

( ) ( ) ( )a

f x h f x f x h

h2

0 0 0

2

2

2=

+ − + −o sea:

( )( ) ( ) ( )a

y P x

x x x x x x3

3 2 3

3 0 3 1 3 2

=−

− − −

( ) ( ) ( ) ( )a

f x h f x h f x f x h

h3

0 0 0 0

3

2 3 3

6=

+ − + + − −

Y así sucesivamente. Reemplazando los coeficientes obtenidos en el polinomio de interpolación, resulta:

Fórmula de Gauss (III)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x f xf x h f x

hx xn = +

+ −− +

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ − + −

− − +f x h f x f x h

hx x x x

0 0 0

2 0 1

2

2!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ − + + − −

− − − +f x h f x h f x f x h

hx x x x x x

0 0 0 0

3 0 1 2

2 3 3

3!K

23

Fórmula de Gauss (IV)

( ) ( ) ( ) ( )P x P x h u f x f x un n= + = + +0 0 0

∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−

− ++

+ − +∆ ∆2

0

3

0

21

31 1

f x hu u

f x hu u u

! !

( ) ( ) ( ) ( )+−

+ − − +∆4 0 2

41 1 2

f x hu u u u

!K

(7.24)

Observar que las diferencias que se utilizan están sobre la poligonal de eje horizontal.

La fórmula de GAUSS es conveniente de utilizar en aquellos casos en que se trata de interpolar valores de la función que corresponden a valores de la variable cercanos al sector medio de la tabla.

Haciendo la sustitución x= X0 + h u se obtiene finalmente la Formula de Interpolación de Gauss.

FÓRMULA DE BESSELEs una de las más utilizadas debido a las múltiples ventajas que presenta, tanto en la interpolación directa, cuanto en la inversa.

Es posible deducir la FÓRMULA DE BESSEL a partir de la fórmula de interpolación de GAUSS.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x f x h u f x B f x B f x h f x= + = + ′ + ′′ − + +0 0 0

2

0

2

0∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( )[ ]+ ′′′ − + − + − +B f x h B f x h f x hIV∆ ∆ ∆3

0

4

0

2

02 K

siendo:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′ = ′′ =−

′′′ =− −

=+ − −

B u Bu u

Bu u u

Bu u u u

IV;

. !;

!;

. !

1

2 2

1

3

1 1 2

2 4

1

2

Estos coeficientes reciben el nombre de COEFICIENTES BESSELIANOS y se encuentran tabulados para valores de u comprendidos entre 0 y 1, lo que permite efectuar con rapidez la interpolación.

24

FÓRMULA DE STIRLINGUtiliza elementos de una sola fila horizontal de la tabla de diferencias avanzadas, como se aprecia en la figura 7.6,

Ofrece ventajas para el caso general de interpolación, ya que, es utilizable con mucha mayor precisión en un sector más amplio de la tabla dada, que las fórmulas ya estudiadas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h u f x uf x f x h u

f x h= + = ++ −

+ − +0 0

0 02

2

02 2

∆ ∆∆!

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+− − + −

+−

− +u u f x h f x h u u

f x h

2 3

0

3

0

2 2

4

0

1

3

2

2

1

42

! !

∆ ∆∆

( ) ( ) ( ) ( )+

− − − + −+

u u u f x h f x h2 2 2 2 5

0

5

01 2

5

2 3

2!

∆ ∆K

FÓRMULA DE EVERETTLa FÓRMULA DE EVERETT es muy utilizada en algunos campos de las ciencias; y se caracteriza por utilizar en ella solamente las diferencias tabulares de orden par.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h u u f x u f x hu

f x= + = − + + ++

−

0 0 0

2

01

1

3∆

( ) ( ) ( )−

− +

+

− −

+

− +

uf x h

uf x h

uf x h

3

2

5

1

52

2

0

4

0

4

0∆ ∆ ∆ K

Esta expresión utiliza términos situados en dos horizontales sucesivas de las tablas de diferencias construida.

25

INTERPOLACIÓN INVERSALa interpolación resuelve, mediante métodos aproximados y a través de una tabla empírica, el problema de encontrar el valor de y= f(x) cuando está dado el valor de x.

Pero, en principio, no resuelve el problema inverso; vale decir, el de determinar el valor de x cuando se conoce la magnitud de f(x).

Este problema puede resolverse, si se intercambia, en la tabla de valores, la variable con la función y viceversa; lo que, equivale a interpolar la función inversa:

(7.30) x = f (-1) (y)

en lugar de hacerlo sobre f.

Esto significa intercambiar los papeles de las x y las y . Como, incluso para valores de x equidistantes, los valores correspondientes de la función no lo son, es esencial utilizar fórmulas de interpolación que se adapten a esta particularidad, tales como LAGRANGE, Parabólica Progresiva, etc.

métodos numéricos/análisis numérico/calculo numérico

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