Cálculo II

Aula 04: Plano Tangente e Aproximações Lineares.

Plano Tangente

Equação do Plano Tangente

0 0( )y y a x x

0 0 0( ) ( )z z a x x b y y

0 0 0( ) quando z z a x x y y

0 0 0( ) quando z z b y y x x

0 0 0 0( , ) e ( , )x ya f x y b f x y

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y

Equação do Plano Tangente

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas.

Uma equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P(x0,y0,z0) é dada por

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y

Exemplo 1

Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico no ponto (1,1,3). 2 22z x y

Exercício 4 p. 928

Determine uma equação do plano tangente à superfície no seu ponto especificado.

4. ln , (1,4,0)z y x

4 4z x

Aproximação Linear

Seja f uma função de duas variáveis que tem derivadas parciais contínuas em um ponto (a,b,f (a,b)). Então

é chamado linearização de f em (a,b).

é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (a,b).

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yL x y f a b f a b x a f a b y b

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yf x y f a b f a b x a f a b y b

Exemplo 2

2 2 se ( , ) (0,0)

( , )

0 se (x,y)=(0,0)

xyx y

x yf x y

(0,0) (0,0) 0x yf f

( , ) 0f x y 1

mas ( , ) para 2

f x y y x

e não são contínuas em (0,0).x yf f

Gráfico

Teorema

Se as derivadas parciais e existem perto do ponto e forem contínuas em , então é diferenciável em .

xf yf( , )a b ( , )a b

f ( , )a b

Exemplo 3

Mostre que é diferenciável em (1,0) e determine sua linearização ali. Em seguida, use a linearização para aproximar .

( , ) xyf x y xe

(1,1 , 0,1)f

Exemplo 4

Determine uma aproximação linear para

quando T está próximo de 30ºC e U está próximo de 60%. Use esta estimativa quando a temperatura estiver a 31ºC e a umidade relativa for 62%.

( , )I T U

Exemplo 4

TU 40 45 50 55 60 65 70 75 80

26

28

30

32

34

36

28 28 29 31 31 32 33 34 35

31 32 33 34 35 36 37 38 39

34 35 36 37 38 40 41 42 43

37 38 39 41 42 43 45 46 47

41 42 43 45 47 48 49 51 52

43 45 47 48 50 51 53 54 56

Exemplo 4

Determine uma aproximação linear para

quando T está próximo de 30ºC e U está próximo de 60%. Use esta estimativa quando a temperatura estiver a 31ºC e a umidade relativa for 62%.

( , )I T U

( , ) 38 1,75( 30) 0,3( 60)f T U T U

(31,62) 40,4ºCf

Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2