Sistemas Lineares

Sistemas LinearesFsica Computacional ISara AvizBarbara CastroNoel MaiaLourran Almeida

Sistemas LinearesSumrioIntroduoMtodo de eliminao GaussianaMtodo de Jacobi-RichardsonAplicaes

Sistemas LinearesIntroduoEquao linear toda equao da forma: a1x1+ a2x2+ a3x3+ ... + anxn= bem quea1,a2, a3, ... , anso nmeros reais, que recebem o nome decoeficientesdas incgnitasx1, x2,x3, ... , xn,eb um nmero real chamadotermo independente.

Sistemas LinearesIntroduoSistema linearUm conjunto de equaes lineares da forma:

um sistema linear demequaes enincgnitas.

Sistemas LinearesMtodo de eliminao Gaussiana

O mtodo de eliminao de Gauss para solues de equaes lineares, tambm conhecido como escalonamento, baseia-se em trs transformaes elementares.

Sistemas LinearesMtodo de eliminao Gaussiana

Matriz aumentadaTriangularizaoRetrosubstituio

Sistemas LinearesMtodo de eliminao GaussianaPrimeira transformao:Um sistema de equaes no se altera quando permutamos as posies de duas equaes quaisquer do sistema.

Segunda transformao:Um sistema de equaes no se altera, quando multiplicarmos ambos os membros de qualquer uma das equaes do sistema, por um numero real no nulo.

Sistemas LinearesMtodo de eliminao GaussianaTerceira transformao:Um sistema de equaes lineares no se altera, quando substitumos uma equao qualquer por outra obtida a partir da adio membro a membro desta equao, com outra na qual foi aplicada a segunda transformao.

Sistemas LinearesMtodo de Jacobi-RichardsonTrata-se de um mtodo iterativo, ou seja, quando fornece uma sequncia de aproximaes, cada uma das quais obtida das anteriores pela repetio do mesmo processo.

Sistemas LinearesMtodo de Jacobi-Richardson

Sistemas LinearesMtodo de Jacobi-Richardson

Sistemas LinearesMtodo de Jacobi-Richardson

Sistemas LinearesAplicao 1: Para tratar de circuitos eltricos faz-se necessrio definir: Lei de Ohm, em que a fora eltrica o produto da resistncia pela corrente eltrica, descrita pela equao: E = Ri Leis de Kirchhoff em que tem-se a Lei dos Ns, onde a soma das correntes que entram em qualquer n igual soma das correntes que saem dele, e a Lei das Malhas, onde a soma das quedas de tenso ao longo de qualquer circuito igual tenso total em torno do circuito (fornecida pelas baterias). Numericamente, pode-se analisar o caso abaixo onde deseja-se determinar as correntes do circuito eltrico.

Tabela: Relao de miligramas de nutrientes por unidade de ingrediente.O primeiro exemplo diz respeito ao planejamento de uma refeio de modo que a quantidade de cada alimento a ser ingerido corresponda as necessidades de vitamina c, clcio e magnsio necessrios.Trs diferentes tipos de ingredientes sero empregados na refeio, sendo que cada ingrediente possui determinada quantidade de nutriente (expresso em miligramas) por unidade de ingrediente.O propsito desse problema a determinao da quantidade de unidades de cada ingrediente necessrias para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes estipulada na dieta.

NutrientesIngredientes 1Ingredientes IIIngredientes IIITotal de Ingredientes(mg)Vitamina C102020100Clcio504010300Magnsio301040200

Sistemas LinearesAplicao 3:Uma considerao importante no estudo da transferncia de calor a de se determinar a distribuio de temperatura assinttica de uma placa fina quando a temperatura em seu bordo conhecida. Suponha que a placa na figura represente uma seo transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezvel na direo perpendicular placa. Sejam T1,..., T6 as temperaturas em seis vrtices interiores do reticulado da figura. A temperatura num vrtice aproximadamente igual media dos quatro vrtices vizinhos mais prximos - esquerda, acima, direita e abaixo.

Sistemas LinearesAplicao 3:

T1 = (10+20+T2+T4)/4 = 4T1-T2-T4 = 30T2 = (T1+20+T3+T5)/4 = 4T2-T1-T3-T5 = 20T3 = (T2+20+40+T6)/4 = 4T3-T2-T6 = 60T4 = (T1+10+20+T5/4 = 4T4-T1-T5=30T5 = (T2+T4+20+T6)/4 = 4T5-T2-T4-T6 = 20T6 = (T5+T3+40+20)/4 = 4T6-T5-T3 = 60

Sistemas LinearesAplicao 3:

Mtodo de eliminao gaussiana

Mtodo de Jacobi-Richardson