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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Circuitos elétricos

Elementos lineares e não-lineares

Projeto FEUP 1ºano -- MIEEC:

Manuel Firmino Torres e Sara Ferreira José Fidalgo e José Carlos Alves

Equipa 1MIEEC5_2:

Supervisor: Abel Costa Monitor: Tiago Mendonça

Estudantes & Autores:

André Ribeiro ([email protected])

Diogo Teixeira ([email protected])

Gonçalo Santos ([email protected])

José Sousa ([email protected])

Nuno Costa ([email protected])

Simão Amorim ([email protected])

2016 / 2017

mailto:[email protected]








Mestrado Integrado Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Resumo Neste trabalho testou-se a Lei de Ohm em circuitos elétricos lineares e não lineares,

bem como a associação de resistências em série e em paralelo. Para tal, utilizaram-se 3

resistências (uma de 180Ω, uma de 390Ω e outra de 470Ω) e observou-se que o gráfico

Tensão / Corrente para as resistências se aproximava a uma função linear. Fez-se, ainda,

uma verificação em relação às potências consumidas nos dois tipos de circuitos (série e

paralelo).

De seguida executou-se um circuito com um LED e uma resistência em série e

verificou-se que o mesmo gráfico de Tensão / Corrente aplicado ao LED não representa

uma função linear.

Palavras-Chave

Tensão; queda de tensão; potência; corrente; Lei de Ohm; diodo; LED; breadboard;

circuitos; elementos lineares; multímetro (Voltímetro, Amperímetro, Ohmímetro);

condutores; resistências; fontes de alimentação; circuitos série e paralelo;

Circuitos Elétricos: Elementos lineares e não-lineares 2/36


Agradecimentos

Em primeiro lugar, gostaríamos de agradecer à FEUP por nos dar a oportunidade de, de

uma forma mais prática e ativa, pôr em ação o aprendido na semana inicial do projeto, bem

como permitir a maior integração dos alunos no ambiente FEUP. Este mini projeto, para

além de nos ter permitido discutir cientificamente um tema, constitui também um bom

exercício na área das soft skills.

Gostaríamos também de agradecer ao nosso professor, Abel Costa, e aos monitores,

Tiago Mendonça e Artur Antunes pela sua ajuda, que nos permitiu realizar o trabalho de

uma forma mais eficaz e direcionada para os problemas com que nos iremos deparar ao

longo das nossas carreiras em engenharia.



Índice

Resumo

Palavras-Chave

Agradecimentos

Lista de Figuras

Lista de Acrónimos

Glossário

Introdução Considerações Gerais Objetivos

Preparação Materiais Aprendizagem necessária

Teoria Lei de Ohm Erros nos resultados experimentais Associações de resistências

Em série Em paralelo

Energia transferida para um recetor

Metodologia Montagem em série Montagem em paralelo Montagens com elementos não lineares

Análise breve de resultados

Análise Intensiva Montagem em Série Montagem em paralelo Elementos não lineares

Conclusões

Referências bibliográficas

Apêndices



Lista de Figuras

■ Fig. 1 - Esquema de um circuito com três resistências em série

■ Fig. 2 - Esquema de um circuito com três resistências em paralelo

■ Fig. 3 - Representação da montagem em série

■ Fig. 4 - Representação da montagem em paralelo

■ Fig. 5 - Representação da montagem com elementos não lineares

■ Fig. 6 - Potência consumida pela resistência R2 nos circuitos série e paralelo

■ Fig. 7 - Corrente em função da tensão para o circuito paralelo

■ Fig. 8 - Corrente em função da queda de tensão para o LED verde

■ Fig. 9 - Corrente em função da queda de tensão para o LED branco

■ Fig. 10 - Gráfico intensidade luminosa relativa para o LED branco

■ Fig. 11 -Gráfico Intensidade luminosa relativa para o LED vermelho



Lista de Acrónimos

■ LED - Do inglês, Light Emitting Diode



Glossário

LED - Um LED é um componente estrutural de semicondutores eletrónico, que emite luz

carateŕistica quando é atravessado por uma corrente. Os benefícios mais importantes da

tecnologia LED são a elevada vida útil, sem necessidade de manutenção, ausência de

emissão de radiação IV / UV, baixo consumo de energia e estabilidade de cor.

Breadboard - A breadboard é uma placa destinada à montagem de circuitos para uma

rápida prototipagem. Elas facilitam as ligações entre os componentes sem a necessidade do

uso de solda (método definitivo).



Introdução

Considerações Gerais

Este relatório foi realizado no âmbito da unidade curricular “Projeto FEUP” que visa

integrar os novos estudantes na comunidade FEUP através da colaboração e do trabalho

em equipa. Serve ainda como preparação de competências nas áreas de relatórios

científicos e de apresentações. Foi-nos proposto o tema “Circuitos elétricos: Elementos

lineares e não-lineares” com o objetivo de nos ajudar a compreender melhor este tópico.

Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é a compreensão do comportamento de elementos

lineares e não-lineares em circuitos de corrente contínua.

Foi necessário realizar uma preparação de conhecimentos para ser possível efetuar as

montagens e medições corretamente, como, por exemplo, saber utilizar os aparelhos

(multímetro, fonte de alimentação variável, etc.), bem como conhecer os componentes e as

suas caraterísticas (resistências e LED’s).

Neste relatório apresentamos as medições efetuadas e as várias conclusões que foi

possível retirar através deste trabalho laboratorial.



Preparação

Materiais

Para a realização deste trabalho, foram necessários os seguintes materiais:

■ Fonte de tensão contínua variável (Topward 6303D);

■ Resistẽncias de diferentes valores (as utilizadas no nosso trabalho foram de 180,

390 e 470Ω);

■ LEDs;

■ Multímetro digital (de bancada (Topward 1302) e portátil (Protek 505));

■ Placa de montagem / Breadboard ;

■ Fios condutores de ligação;

■ Smartphone (para realizar a função de luxímetro(aplicação Lux Meter utilizado num

smartphone Samsung Galaxy A5).

Aprendizagem necessária

Anteriormente à realização do nosso trabalho, foi necessário adquirir conhecimentos em

determinados temas de base, tais como:

■ Resistência elétrica - Conhecer a Lei de Ohm, saber como funciona a associação de

resistências em série e em paralelo, saber identificar o valor nominal das

resistências através das marcas de cor inscritas nas mesmas;

■ Conhecimento básico sobre o funcionamento dos LEDs;

■ Fonte de tensão - saber a diferença entre fonte de tensão ideal e real;

■ Os diferentes modos de funcionamento de um multímetro, e saber como se utiliza o

aparelho nas diversas funções (voltímetro, amperímetro, ohmímetro, etc.);

■ Funcionamento das placas de montagem / Breadboards ;

■ Tratamento de dados em folhas de cálculo (estilo folha de Excel ).



Teoria

Lei de Ohm

A lei de Ohm, formulada por Georg Simon Ohm, afirma que num condutor a temperatura

constante, a razão entre a tensão que lhe é aplicada e a corrente elétrica que o percorre é

constante. A esse valor dá-se o nome de resistência elétrica.

IRR = IV ⇔ V =

No entanto, esta proporção só é mantida em condutores lineares. Em condutores

não-lineares, a resistência varia com a tensão. Um exemplo de um elemento condutor

não-linear é o díodo.

Num gráfico que representa a tensão em função da corrente elétrica de um condutor

linear, o declive da reta que melhor se ajusta aos pontos de medição corresponde à

resistência elétrica desse elemento linear.

Erros nos resultados experimentais

Em qualquer medição há sempre uma incerteza associada aos erros cometidos, que

deve ser explicitada. Deste modo há interesse em analisar os vários tipos de erros e as

diversas formas de os exprimir, de forma a serem adequados de acordo com a questão a

ser tratada.

Para este projeto foi pedido o cálculo de erro absoluto e de erro relativo.

Erro absoluto: , onde vi corresponde ao valor experimental e ao v v | eabs = | i − exato vexato

valor exato da grandeza.

Erro relativo: erel = eabsvexato



Associações de resistências

Em série

Fig. 1 - Esquema de um circuito com três resistências em série

Uma vez que só existe um percurso para a corrente elétrica fluir, a corrente que

atravessa todas as resistências é igual, ou seja, I I I I = 1 = 2 = 3

Como o somatório das quedas de tensão em cada resistência tem de ser igual à tensão

fornecida pela fonte, vem que V V V V total = 1 + 2 + 3

Pela Lei de Ohm, I R I R I R V I(R R R ) V total = 1 1 + 2 2 + 3 3 ⇔ total = 1 + 2 + 3

Por outro lado, também tem de ser satisfeita a seguinte equação: IR V total =

Juntando as duas equações, R I(R R R ) I = 1 + 2 + 3 ⇔ R R R R = 1 + 2 + 3

Conclui-se, portanto, que num circuito de associação de resistências em série, a

resistência total do circuito é igual ao somatório das diversas resistências que o compõem.



Em paralelo

Fig. 2 - Esquema de um circuito com três resistências em paralelo

A diferença de potencial em cada resistência é igual à tensão fornecida ao circuito pois

os terminais de todas as resistências estão ligados aos mesmo pontos (ou seja, são todas

sujeitas à mesma diferença de potencial).

Como a corrente se divide entre as 3 resistências, a soma da corrente que atravessa

cada uma tem de ser igual à corrente total, . I1 I2 I3 I = + +

Pela lei de Ohm, esta equação é equivalente a RV = R1

V 1 + R2

V 2 + R3

V 3

Como as diferenças de potencial são as mesmas, temos que 1R = 1

R1+ 1

R2+ 1

R3

Conclui-se que, quantas mais resistências associarmos em paralelo, menor será o valor

da resistência equivalente. Assim, ao associarmos resistências em paralelo estamos a

diminuir a resistência elétrica de um circuito. Desta maneira, como a resistência é inferior ao

circuito em série, espera-se que a potência consumida por um circuito em paralelo seja

superior à de um circuito em série. Isto verificar-se-á nos gráficos de potência realizados

para a resistência R2.



Energia transferida para um recetor

Nas duas atividades práticas que envolveram elementos lineares (montagens de

circuitos em série e paralelo), a energia elétrica é transferida para resistências.

Considerando que a energia transferida pelo gerador a um recetor (neste caso, as

resistências), por unidade de tempo, é a potência fornecida ao sistema, então: , /Δt P = W W

trabalho em Joules e intervalo de tempo em segundos.tΔ

Sabendo que: e que é então possível relacionar as duas W /ΔQ U = ΔQ/Δt I =

expressões:

e W /ΔQ ΔQ U = ⇔ W = *U ΔQ/Δt Q I Δt I = ⇔ Δ = *

U t W = * I * Δ

Isto conclui então que:

U*I W /Δt P = ⇔ P =



Metodologia

Montagem em série

A realização da primeira montagem tem como objetivo determinar a queda de tensão

em cada resistência em função da tensão aplicada ao circuito. Com os resultados obtidos

pretende-se demonstrar a veracidade da Lei de Ohm para elementos lineares e verificar a

relação existente entre as potências consumidas por cada resistência e a potência total

consumida pelo circuito.

Deve medir-se o valor real de cada uma das resistências antes da montagem do

circuito, utilizando um multímetro configurado com a função de ohmímetro. Isto é importante

para verificar que o valor real de uma resistência não é exatamente igual ao seu valor

nominal, mas respeita o intervalo de precisão indicado em cada resistência (±5%, ±10%,

etc.).

No caso das resistências utilizadas nos nossos circuitos verificou-se que todos os

valores reais se encontravam no intervalo de precisão (±5%). A título de exemplo, para a

resistência R2 (390𝛺) mediu-se o valor real de 379𝛺 (ohm), que satisfaz a condição 390𝛺 ±

5% = 390𝛺 ± 19,5𝛺 ⇒ 380,5𝛺 < R2 < 409,5𝛺

O circuito realizado é formado por três resistências ligadas em série a uma fonte de

tensão (Fig. 3). Variou-se a tensão fornecida entre 0 e 10 V, em intervalos de 0,5 V e, para

cada valor de tensão fornecida, foram medidos os valores de corrente e as quedas de

tensão em cada resistência.

Fig. 3 - Representação da montagem em série



Montagem em paralelo

A segunda montagem, por sua vez, tem como objetivo calcular o valor da corrente em

cada resistência através da Lei de Ohm e verificar que o somatório das correntes em todas

as resistências é igual ao valor da corrente fornecida pela fonte.

Nesta situação as mesmas três resistências da primeira montagem devem ser ligadas

em paralelo (Fig. 4). Varia-se a tensão fornecida pela fonte entre 0 e 5 V, em intervalos de

0,5 V, e deve-se medir a corrente fornecida pela mesma para cada valor de tensão, assim

como os valores de queda de tensão em cada uma das resistências. Para além disso, pode

medir-se a corrente em cada uma das resistências, de forma a poder comparar o valor

calculado com o valor experimental.

Fig. 4 - Representação da montagem em paralelo



Montagens com elementos não lineares

A terceira montagem consiste na ligação de um LED e de uma resistência de 100 ohms

a uma fonte de tensão (Fig. 5). Deve-se variar a tensão fornecida pela fonte entre 1,5 e 5 V,

em intervalos de 0,2 V e, para cada valor, medir a corrente e a queda de tensão nos

terminais do LED.

Na experiência são utilizados dois LEDs, um de cor verde e outro de cor branca. O

objetivo desta montagem passa por verificar os valores de tensão para os quais os LEDs

acendem e os valores a partir dos quais os LEDs começam a apresentar uma elevada

intensidade luminosa, bem como verificar que não existe uma linearidade, através do registo

de dados relativos à corrente, tensão e resistência

Fig. 5 - Representação da montagem com elementos não lineares

De seguida, foi utilizada uma montagem fornecida para a medição do padrão de

radiação da luz emitida por dois LEDs, um branco e um vermelho. Para a realização desta

experiência, foi necessário o uso de um smartphone com uma aplicação de um luxímetro,

para medir a intensidade luminosa dos LEDs.

Antes de começar, mediu-se o valor da intensidade luminosa ambiente para servir de

referência aos restantes valores medidos.

Começou-se por colocar o LED no devido local e fixar o smartphone com o sensor de

luz por baixo deste, na posição onde se obtêm valores máximos para a intensidade

luminosa do LED. O smartphone deve estar na mesma posição durante todo o

procedimento. A montagem consiste num suporte vertical que contém um transferidor e um

suporte para o LED inserido num eixo rotativo fixo no centro do transferidor. Os 0 graus

correspondem à posição vertical do LED em relação ao smartphone, e, sendo assim, os



ângulos.

No início da experiência coloca-se o eixo do LED a 0 graus e mede-se o valor da

intensidade luminosa do mesmo, em lux. De seguida varia-se o ângulo, em intervalos de 5

graus, no caso do LED branco, e intervalos de 2 graus, no caso do LED vermelho, em

ambos os sentidos, positivo e negativo, e mede-se o valor da intensidade luminosa do LED

para cada valor do ângulo pretendido. Para o LED branco devem ser medidos os valores

correspondentes ao intervalo de ângulos de -60 graus a 60 graus e no caso do LED

vermelho deverão ser medidos os valores correspondentes ao intervalo de -20 graus a 20

graus.



Análise breve de resultados

Através deste trabalho experimental, pudemos confirmar a teoria sobre elementos

lineares e não-lineares.

No caso das resistências (elementos lineares) a distribuição dos pontos das medições

efetuadas (tensão e corrente) aproxima-se a uma reta. O declive das retas corresponde ao

valor nominal da resistência em causa. Podemos concluir, então, que o valor da resistência

desses elementos se mantém constante, independentemente da tensão que lhes é aplicada.

Por outro lado, nos gráficos relativos aos díodos emissores de luz (LED’s), não se

verificou essa linearidade. Neste caso, os gráficos que melhor se ajustam aos pontos não

são retas, mas sim curvas exponenciais, o que significa que a resistência destes elementos

não se mantém constante com a variação da tensão. Podemos então concluir que estes

elementos são não-lineares e, por sua vez, não respeitam a Lei de Ohm no que diz respeito

ao cálculo da queda de tensão em função da corrente que o percorre.

Ainda assim foi possível tirar uma conclusão interessante se apenas considerarmos os

pontos do gráfico para os quais a aproximação é praticamente linear: o valor da corrente

que o gráfico da regressão linear assume quando intercetado com o eixo das abcissas

corresponde, aproximadamente, à intensidade de corrente para a qual o LED em questão

começa a emitir uma luz aceitável.



Análise Intensiva

Montagem em Série

A potência consumida por uma dada resistência é calculada da seguinte forma

. Tendo em conta que neste circuito a corrente elétrica é igual no circuiton Un n P = * I

inteiro (propriedade do circuito em série), temos que . Se U P R ² P n = n * I ⇔ n = n * I

estabelecermos a relação entre a potência fornecida e a potência numa resistência ficamos

com ou então, utilizando obtém-se PP n = U I*

U In* ⇔ PP n = UUn R ² P n = n * I P

P n = RRn.

Através desta fórmula, foi possível obter uma equação para determinar a queda de

tensão numa resistência em função dos valores das resistências e da tensão aplicada ao

circuito. A equação foi obtida da seguinte forma: se então UUn

= RRn

. De facto, utilizando quaisquer valores medidos U U Un = UR÷Rn ⇔ n = * R

Rn

verificamos que:

U 1, 1 6, 0U1 = *R1

R +R +R1 2 3⇔ 1 = 5 *

174,6174,6+379+459

1, 1 , 2 ⇔ 1 ≃ 1 1

Como já foi mencionado em Metodologia , os valores reais das resistências não são

exatamente iguais aos seus valores nominais. Assim sendo, calculamos o erro absoluto

máximo e o erro relativo de cada resistência, quer para os valores medidos quer para os

valores calculados, em relação aos seus valores nominais (180, 390 e 470𝛺 para as

resistências R1, R2 e R3 respetivamente) através das regressões lineares dos gráficos,

tendo-se obtido os seguintes resultados:



■ Para os valores medidos

Erro Absoluto Erro Relativo

R1 5,4 0,030

R2 11 0,029

R3 11 0,024

■ Para os valores calculados

Erro Absoluto Erro Relativo

R1 6 0,033

R2 11 0,029

R3 12 0,026

Ora após o cálculo dos valores das potências fornecida e consumidas em cada

resistência, que podem ser consultados nos Apêndices, concluímos que a potência

fornecida pela fonte é igual à soma das potências consumidas em cada uma das

resistências.

Ainda para este circuito traçou-se o gráfico da potência consumida pela resistência R2.

Foi possível verificar que o gráfico que mais se aproxima dos pontos da potência è uma

função polinomial de grau 2 (Fig. 6). Isto acontece pois a potência é calculada através da

fórmula logo, se temos uma potência de grau 2 de I para o U P R ² P = * I ⇔ = * I

cálculo de P, o gráfico mais aproximado será, de facto, o de um polinómio de grau 2.



Fig. 6 - Potência consumida pela resistência R2 nos circuitos série e paralelo

Mais uma vez, a intensidade da corrente que atravessa todas as resistências é a

mesma, logo, tem-se:

P P P P T = 1 + 2 + 3 U. I U .I .I U .I ⇔ = 1 +U2 + 3 ⇔ . I I . (U U ) U = 1 + 2 +U3

U U U U ⇔ = 1 + 2 + 3



Montagem em paralelo

No circuito de resistências em paralelo continuou-se a verificar a linearidade da relação

entre a tensão e a corrente para elementos lineares.

Fig. 7 - Corrente em função da tensão para o circuito paralelo

Através da análise dos vários gráficos construídos concluímos que existe sempre uma

relação de linearidade entre a intensidade da corrente e a tensão. Os declives dos gráficos,

correspondem, então, segundo a lei de ohm, ao inverso do valor da resistência usada ( )1R

Ao contrário dos gráficos da montagem anterior, onde se tinha a tensão em função da

corrente, gráficos da montagem em paralelo foram construídos através da corrente em

função da tensão aplicada ao circuito.

A relação que existe entre a resistência total do circuito, R (também designada como

resistência equivalente), é dada pela expressão que relaciona os 1R = 1

R1+ 1R2

+ 1R3

declives dos gráfico das correntes no circuito.

IR U = ⇔ I = RU

UI P = = RU2



, pois as diferenças de potencial são iguais em todas as resistências. P nPT

= UInUIT

= InIT

P nPT

= InIT⇔ Rn

U2

RTU2 = In

IT⇔ Rn

RT = InIT

Sendo assim, tem-se que In = RnRT * IT

Sabe-se que o inverso da resistência total é dada pela soma dos inversos de cada

resistência, logo, , sendo m o número de resistências.In = Rn

+ +...+1R1

1R2

1Rm

* IT

Foram novamente calculadas as potências fornecida pela fonte de alimentação e

consumida por cada uma das resistências, disponíveis em Apêndices, o que permitiu

constatar que a potência fornecida resulta da soma dos valores da potência consumida em

cada uma das resistências. Neste caso, a diferença de potencial nas extremidades das

diferentes resistências é igual, o que implica que:

P P P P T = 1 + 2 + 3 . I U. I . I U. I ⇔ U = 1 +U 2 + 3 ⇔ . I U . (I I ) U = 1 + 2 + I3

I I I I ⇔ = 1 + 2 + 3

Mais uma vez, chegou-se à expressão que define um circuito em paralelo.



Elementos não lineares

Montagens com os LEDs branco e verde:

Através dos seguintes gráficos, concluíu-se que a relação Tensão / Corrente para os

LED’s não é constante. Não o sendo, prova-se que o LED é um elemento que não respeita

a lei de Ohm. Assim se confirma que a lei em questão apenas é válida para elementos

lineares.

Fig. 8 - Corrente em função da queda de tensão para o LED verde

Fig. 9 - Corrente em função da queda de tensão para o LED branco



Considerando os gráficos presentes no Apêndice que apenas representam a zona linear

dos gráficos anteriores, tem-se que para o LED branco, a abcissa na origem é de e .66 x ≈ 2

para o LED verde, a abcissa na origem é de . Estes valores coincidem com o valor .49x ≈ 2

da queda de tensão para o qual a luz emitida pelo respetivo LED é aceitável.

De seguida fez-se um estudo sobre a intensidade luminosa relativa para os LED’s

branco e vermelho.

Neste estudo foi possível concluir que a distribuição da intensidade luminosa produzida

pelos LED’s se concentra na zona central do gráfico, ou seja, o valor máximo corresponde à

posição perpendicular do LED em relação ao sensor.

Fig. 10 - Gráfico intensidade luminosa relativa para o LED branco



Fig. 11 -Gráfico Intensidade luminosa relativa para o LED vermelho



Conclusões

Com o objetivo de compreender o comportamento dos elementos lineares e

não-lineares, bem como as diferenças entre eles, foi realizado o estudo prático relatado no

presente relatório.

Depois de realizada a recolha de dados (medições de tensão, corrente e luminosidade)

e feita a respetiva análise, torna-se claro que a razão entre a tensão e a intensidade de

corrente para os elementos lineares é uma constante (resistência elétrica).

Para elementos não-lineares esta relação não se verificou. Deste modo conclui-se que o

diodo emissor de luz é um elemento não linear e que as resistências são elementos

lineares.



Referências bibliográficas

EGLO. 2016. LED / Glossário / ... . 2016 Available from

http://www.eglo.com/portugal/International/Mundo-da-Luz/Informacoes-de-Luz/Glossario/LE

D

Oxford Reference. 2016. Ohm’s Law. Acedido a 20 de outubro de 2016.

http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803100247443

Maciel, Noémia e Villate, E. Jaime. 2014. Eu e a Física 12 . 1a ed. Maia: Porto Editora


http://www.eglo.com/portugal/International/Mundo-da-Luz/Informacoes-de-Luz/Glossario/LED

http://www.eglo.com/portugal/International/Mundo-da-Luz/Informacoes-de-Luz/Glossario/LED

http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803100247443


Apêndices


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