Circuitos

elétricos CC

Prof.

Graça 2012

Circuitos elétricos de CC

Conteúdo

• Circuitos Equivalentes

• Princípio da Superposição

• Elementos Lineares

• Regras de Kirchoff

• Divisor de tensão

• Circuito de várias malhas (regra de Cramer)

• Carga e Descarga de capacitores

• Circuitos Indutivos

Corrente elétrica

Para aparecer uma corrente através de um resistor, devemos ter uma diferença de potencial

entre as suas pontas, o que é equivalente à existência de um campo elétrico:

O dispositivo capaz de manter essa diferença de potencial é uma fonte de força eletromotriz

fem. A fem é capaz de realizar continuamente um trabalho capaz de manter a diferença de

potencial V+ - V-

Exemplos de fem

V+ V_

E

I

Trabalho energia e fem

Analisando o circuito:

a) Em um intervalo dt, uma carga dq passa através

da seção transversal aa´

b) A fem deve realizar um trabalho dW para levar a

carga dq do potencial menor para o maior.

A fem representa o trabalho por unidade de carga para levar a carga do potencial mais baixo para o mais alto.

Unidade (): []=[W]/[q] Joule/Coulomb Volt

Fem ideal e real Fonte Ideal 1. Possui resistência interna nula 2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem da fonte:

Fonte Real 1. Possui resistência interna 2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem só quando a fonte está

aberta, ou seja sem carga: 3. Quando há corrente através da fonte ddp entre os seus terminais é

diferente da fem.

Circuito elétrico: Fontes e cargas

Em resumo:

Cálculo da corrente

Dois métodos básicos:

1º Baseando-se na conservação de energia

2º Baseando-se na conservação de carga.

Método da Energia • A energia produzida pela fonte aparece no resistor sob a forma de calor, sendo a potência:

Como se trata de uma fonte

Ideal, o balanço de energia mostra:

Cálculo da corrente

Método do Potencial- regra das malhas:

Partindo de um ponto qualquer do circuito, em

qualquer sentido, podemos somar as

ddp...aplicando a conservação de energia.

• Vamos aplicar o método partindo do ponto ´a´ no sentido horário:

então

Cálculo da corrente

Método do Potencial- regra das malhas:

Partindo de um ponto qualquer do circuito, em

qualquer sentido, podemos somar as ddp

aplicando a conservação de energia.

A regra das malhas de Kirchoff, aplicação do método

do potencial ou conservação de energia pode ser

resumido assim:

A soma algébrica das variações de potencial

ao longo de uma malha fechada deve ser nula:

Cálculo da corrente: fonte real

A fonte real possui uma resistência interna r,

Aplicando a regra das malhas teremos:

Diferença de Potencial Entre Dois Pontos Quaisquer do circuito Muitas vezes queremos calcular a d. d. p. entre dois pontos de um circuito, o método dos

potenciais pode ser útil neste momento.

Problema: Considere o mesmo circuito anterior onde os pontos que vamos

considerar são os pontos a e b.

Cálculo da corrente

Cálculo da corrente

b) Usando o mesmo valor da corrente do 1º caso

Obs.: não importa o sentido que percorremos o circuito, devemos encontrar a mesma ddp entre os pontos a e b, pois esta ddp independe da trajetória.

Resistores em série Problema: dadas as resistências de uma combinação em série, devemos encontrar

o resistor equivalente, que para a mesma bateria, substitui os demais resistores da

combinação.

Divisor de tensão

total

321

111 v

RRR

RiRv

total

321

222 v

RRR

RiRv

total

321

3

33 vRRR

RiRv

total

321

vRRR

RiRv k

kk

Aplicação do divisor de tensão

V5.1

156000200010001000

1000

total

4321

11

v

RRRR

Rv

Na bateria, lembrando que dq=Idt, a Energia será dada por:

IdtdqdW;dt

dW

Resistores em paralelo

Circuitos de Malhas Múltiplas

O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro

Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:

1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia)

2. Regra dos nós conservação da carga

Circuitos de Malhas Múltiplas

O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro

Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:

1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia)

2. Regra dos nós conservação da carga

Malha abda

Malha bcda

Nó b

−𝜖1 − 𝐼2𝑅2 + 𝐼1𝑅1 = 0

𝜖2+𝐼2𝑅2 + 𝐼3𝑅3 = 0

−𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0

Circuitos de Malhas Múltiplas

Temos três equações, envolvendo as três correntes. Resolvendo para as três incógnitas (I1,

I2 e I3):

R1 I1 - R2 I2 + 0 I3 = ε1

0 I1 + R2 I2 + R3 I3 = - ε2

- I1 − I2+ I3 = 0

O método de solução mais agradável é o matricial:

A solução deste sistema envolve a

inversão da matriz de coeficientes e a sua

multiplicação pelo vetor de termos

independentes

A inversão e a multiplicação de matrizes numéricas pode ser feita no EXCEL

Circuitos de Malhas Múltiplas Vamos dar como exemplo: R1= 1; R2= 2; R3= 3; 1=12volts; 2=6volts

Em vez da inversão de matrizes pode ser utilizada a regra de Cramer que se encontra no livro

1 -2 0

0 2 3 -1 -1 1

12

-6

0

0,454545 0,181818 -0,54545 -0,27273 0,090909 -0,27273

0,181818 0,272727 0,181818

12

-6

0

x =

= x

4,363636 -3,81818

0,545455 =

Circuítos

Capacitivos

Prof. Graça

Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores

Antes: tratamos até aqui com correntes elétricas que não variam no tempo. Agora: vamos tratar com correntes elétricas variáveis no tempo. 1º Carregando um Capacitor O capacitor está inicialmente descarregado. Movendo-se a chave S para a temos um circuito RC em série e a fem, ε, em série com a resistência R e a capacitor C.

Como a corrente varia no tempo? Para responder isso, vamos aplicar a Regra das Malhas no circuito (com chave S em a), no sentido horário e começando do ponto x: ε − VR − VC = 0 ou VR+VC = ε . Usando VR = R I e q = C VC, então, , tanto q quanto I variarão com o tempo, logo esta é uma equação com duas variáveis (q, I), precisamos de mais uma equação : I=dq/dt Então temos a equação de carga:

Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores

Devemos achar uma condição inicial que satisfaça a exigência de que o capacitor esteja

inicialmente descarregado. Condição de contorno = condição inicial = para t = 0 s, q0 = 0 C.

Felizmente a equação diferencial é de variáveis separáveis dt

Solução: Carga Corrente ddp no capacitor ddp no resistor

Descarga do Capacitor

Suponha agora que o capacitor está plenamente carregado (VC = ε e q = ε C), e para t = 0 s, giramos a chave S para o ponto b, para que o capacitor C possa descarregar na resistência R. Como a corrente de descarga do capacitor varia no tempo?

A equação anterior continua sendo válida, exceto que agora não temos a bateria no circuito (ε = 0 V).

VR +VC = 0 Então, a equação de descarga será

A condição inicial agora é que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado: q(t=0)=q0 = ε C.

Descarga do Capacitor

Da mesma maneira que na carga, esta equação também é de variáveis separáveis, então podemos escrever:

derivando

Portanto

corrente em direção oposta

26

A equação de descarga RC

q qmaxet

RC

6

2 4 6 8 10

qmax

tempo

qmax/e

Carga 37% of qmax

tempo = RC (constante de

tempo)

27

Corrente de descarga

2 4 6 8 10

Imax

tempo

corr

ente

37% de Imax

28

Exemplos

R C T

10k 10nF 1s

1M 10pF 1s

1k 10pF ?

1M 10F ?

Mostrar que a dimensão RC = T

29

Circuito Integrador

Vi

R C Vc

T

Vi

Vc T/10

5T

Vc 1

RCVi dt

30

Circuito Diferenciador T

Vi

VR T/10

VR RCdVidt

Vi R

C

VR

31

• Capacitância é uma constante de proporcionalidade relacionando q e V

• Capacitância depende de fatores geométricos

• Capacitores podem armazenar energia elétrica

• Circuitos gráficos e equações C - R (V, q e I)

• Transientes ajudam a explicar o comportamento de

circuitos AC

• Como os capacitores se somam quando em paralelo e em série

• Leia os capítulos 4 e 11 das notas de aula

Sumário

32

Tipos de Capacitores....

eletrolítico

tântalo

poliéster

epoxi

cerâmica

ajustávei

s

p/

sintonia

Para motores

super

capacitor

Circuitos Indutivos

Prof. Graça

2012

Circuito RL

• Quando a chave S é fechada a

corrente não atinge imediatamente

o seu valor máximo.

• A Lei de Faraday pode ser usada

par explicar o fato

fem auto induzida

A fem tem polaridade inversa ao (b) quando a corrente decresce (c)

Uma corrente na bobina produz um campo B para a esquerda (a).

Se a corrente cresce, o fluxo aumenta e a fem induzida tem o sinal indicado,

criando um campo induzido contrário ao crescimento da corrente (b)

Auto Indutância

oBo

d nIAd dI NBA dIN N N nA

dt dt dt I dt

oB nI

BN dI dIL

I dt dt

BNL

I

Definição: Auto Indutância

Indutância de um Solenoide

• O fluxo magnético através de cada espira será:

• Portanto a indutância será:

• Isto demonstra que a indutância é dependente da geometria do solenoide

IB o

NBA μ A

2

I

B oN μ N AL

Unidades de Indutância

BNL

I

dIL

dt

V

L s Henry HA / s

Circuíto RL

Carga

Lei das malhas:

o

dIV RI L 0

dt

Solução:

t /oVI 1 e

R

L

R

Circuíto RL

Descarga

Lei das malhas:

dIRI L 0

dt

Solução:

t /

oI I e

L

R

Energia na bobina

dIP VI L I

dt

21U LI

2PE no Indutor

PE no Capacitor 21

U CV2

Densidade de energia na bobina

21U LI

2PE no indutor

oBN NI / AN NBA

LI I I

2

o 2

o o

N N A1 B 1U B A

2 N 2

o

BI

N

2

o

1u B

2

2

o

1u E

2

Exemplo: Cabo Coaxial

• Calculo de L para o cabo

• O fluxo total flux é

• Portanto, L é

• A energia total será

ln2 2

I Ibo o

Ba

μ μ bB dA dr

πr π a

ln2I

B oμ bL

π a

221

ln2 4

II oμ b

U Lπ a

Circuíto LC

Q dIL 0

C dt

2

2

d Q Q0

dt LC

Equação das malhas: Solução:

maxQ Q cos t

1

LC

I t 0 0 maxQ(t 0) Q

Energia em um circuito LC

22

2maxE

Q1 QU cos t

2 C 2C

maxQ Q cos t 1

LC

2 2 2

2 2 2max maxB

L Q Q1U LI sin t sin t

2 2 2C

max

dQI Q sin t

dt

2 2 2

2 2max max maxE B

Q Q QU U cos t sin t

2C 2C 2C

Circuitos RLC

Q dIRI L 0

C dt

Equação das malhas:

Solução:

2

2

d Q dQ QL R 0

dt dt C

t

max dQ Q e cos t

2

d 2

1 R

LC 4L

R

2L

Circuito RLC amortecido

• O máximo valor de Q

decresce após cada

oscilação

– R < RC

• Isto é análogo ao

sistema massa-mola

amortecedor

Circuitos RLC

A. Subamortecido

B. Amortecimento critico

C. sobramortecido

R

t2L

oQ Q e cos ' t

2

2

1 R'

LC 4L

2

2

1 R

LC 4L

2

2

1 R

LC 4L

2

2

1 R

LC 4L

24LR

C

24LR

C

24LR

C

Analogias entre sistemas elétricos e mecânicos

Circuito Elétrico Variáveis Sistema Mecânico Unidimensional

Carga elétrica Q x Posição

Corrente I vx Velocidade

Diferença de Potencial V F x Força

Resistência R b Coeficiente de Amortecimento

Capacitância C 1/k Constante elástica

Indutância L m Massa

Corrente Velocidade

Derivada da corrente Aceleração

Energia no indutor Energia Cinética

Energia no capacitor Energia potencial armazenada em mola

Energia perdida na

resistência

Perda de Energia por atrito

Circuito RLC Sistema massa-mola-amortecedor