eletrica circuitos elétricos

8/10/2019 Eletrica Circuitos Eltricos

1/138

Eletricidade Bsica - www.corradi.junior.nom.br

Departamento de Eletroeletrnica -COTUCA

CircuitosEltricos


2/138

2

Sumrio

1 INTRODUO 62 VARIVEIS ELTRICAS 6

2.1 Sistema Internacional de Unidades 62.2 Corrente 72.3 Tenso 72.4 Potncia 72.5 Energia 72.6 Notao 8

3 CONCEITOS BSICOS DE CIRCUITOS ELTRICOS 83.1 Definio: 83.2 Fonte de Tenso Independente 83.3 Fonte de Corrente Independente 83.4 Fontes Dependente de Tenso e Corrente 93.5 Elementos Ativos no Circuito 93.6 Elementos Passivos no Circuito 10

4 RESISTNCIA ELTRICA (LEI DE OHM) 104.1 Caractersticas dos Resistores 11

4.1.1 Tipos de Resistores 124.1.2 Cdigo de Cores 124.1.3 Interpretao do Cdigo de Cores 124.1.4 Casos Especiais de Cdigo de Cores 13

4.2 Exerccios 145 LEIS DE KIRCHHOFF 14

5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 155.2 Lei das Tenses de Kirchhoff (LTK) 155.3 Exerccios 17

6 ASSOCIAO DE RESISTORES E RESISTNCIA EQUIVALENTE 206.1 Associao em Srie de Resistores 206.2 Associao em Paralelo de Resistores 216.3 Associao Mista de Resistores 226.4 Resistncia Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 236.5 Resistncia Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes eIndependentes 246.6 Transformao Estrela-Tringulo 25

6.6.1 Converso de Tringulo para Estrela 256.6.2 Converso de Estrela para Tringulo 256.7 Exerccios 26

7 DIVISOR DE TENSO E CORRENTE 297.1 Divisor de Tenso 297.2 Divisor de Corrente 307.3 Exerccios 32

8 MTODO DE ANLISE DE MALHAS 348.1 Definio das Malhas e Sentidos de Percurso 348.2 Aplicao da LTK para as Malhas 348.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos 34

8.4 Soluo do Sistema de Equaes 358.5 Obteno das Correntes e Tenses dos Ramos 35


3/138

3

8.6 Exemplo de Aplicao 358.6.1 Definio das Malhas e Sentidos de Percurso 368.6.2 Aplicao de LTK para as Malhas 368.6.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos 36

8.6.4 Soluo do Sistema de Equaes 378.6.5 Obteno das Correntes e Tenses dos Ramos 378.7 Anlise de Malhas com Fontes de Corrente 388.8 Exemplo de Aplicao 398.9 Exerccios 41

9 MTODO DE ANLISE NODAL 459.1 Seleo do N de Referncia 459.2 Aplicao da LCK aos Ns 459.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos 459.4 Soluo do Sistema de Equaes 469.5 Obteno das Correntes e Tenses de Ramos 46

9.6 Exemplo de Aplicao 469.6.1 Seleo do N de Referncia 47

9.7 Aplicao da LCK aos Ns 479.7.1 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos 479.7.2 Soluo do Sistema de Equaes 479.7.3 Obteno das Correntes e Tenses de Ramos 48

9.8 Anlise Nodal com Fontes de Tenso 489.9 Exerccios 51

10 SUPERPOSIO 5410.1 Exemplo de Aplicao 5410.2 Exerccios 55

11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THVENIN E NORTON 5711.1 Introduo 5711.2 Circuito Equivalente de Thvenin 5711.3 Circuito Equivalente de Norton 5811.4 Exemplo de Aplicao 5911.5 Exerccios 60

12 Indutores e Capacitores 6312.1 Indutor 6312.2 Associao de Indutores 6512.3 Capacitor 67

12.4 Associao de Capacitores 6912.5 Exerccios 7113 ANLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 72

13.1 Fontes Senoidais 7213.2 Exemplo de Aplicao 7413.3 Exerccios 75

14 FASORES 7614.1 O Conjugado de um Nmero Complexo 7714.2 Soma de Nmeros Complexos 7814.3 Subtrao de Nmeros Complexos 7814.4 Multiplicao de Nmeros Complexos 78

14.5 Diviso de Nmeros Complexos 7914.6 Exerccios 79


4/138

4

15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 8015.1 Comportamento da Tenso e da Corrente em um Circuito Resistivo 8015.2 Comportamento da Tenso e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 8115.3 Comportamento da Tenso e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo

8315.4 Impedncia e Reatncia 8415.5 Exemplo de Aplicao 8515.6 Exerccios 86

16 ASSOCIAO DE IMPEDNCIAS 8716.1 Associao em Srie de Impedncias 8716.2 Associao em Paralelo de Impedncias 8816.3 Transformao Estrela-Tringulo 89

16.3.1 Converso de Tringulo para Estrela 8916.3.2 Converso de Estrela para Tringulo 89

16.4 Exemplo de Aplicao 90

16.5 Exerccios 9217 MTODO DE ANLISE DE MALHAS NO DOMNIO DA FREQNCIA 95

17.1 Exemplo de Aplicao 9517.2 Exerccios 96

18 MTODO DAS TENSES DE N NO DOMNIO DA FREQNCIA 9918.1 Exemplo de Aplicao 9918.2 Exerccios 100

19 TEOREMA DA SUPERPOSIO 10219.1 Exemplo de Aplicao 1 10219.2 Exemplo de Aplicao 2 10419.3 Exerccios 106

20 TRANSFORMAO DE FONTES 10821 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THVENIN E NORTON NO DOMNIODA FREQNCIA 108

21.1 Exemplo de Aplicao 10921.2 Exerccios 110

22 RESSONNCIA 11222.1 Ressonncia Srie 11222.2 Ressonncia Paralela 11322.3 Exemplo de Aplicao 11422.4 Exerccios 115

23 POTNCIAS E FATOR DE POTNCIA 11723.1 Potncia Instantnea 11723.2 Potncia Complexa e Tringulo das Potncias 12223.3 Correo do Fator de Potncia 12423.4 Exemplo de Aplicao 12423.5 Exerccios 127

24 CIRCUITOS TRIFSICOS EQUILIBRADOS 12824.1 Tenses Trifsicas Equilibradas 12924.2 Fonte de Tenso Trifsica 13024.3 Anlise do Circuito Ligado em Y-Y 13124.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Tringulo () 133

24.5 Potncia em Carga Trifsica Equilibrada 13424.6 Exemplo de Aplicao 135


5/138

Joo Marcio Buttendorff 5

24.7 Exerccios 136


6/138


1 INTRODUO

Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas decircuitos eltricos, apresentando um resumo dos principais tpicos abordados nesta cadeira.

D-se especial nfase s leis bsicas, teoremas e tcnicas clssicas.No prximo item so apresentados conceitos bsicos indispensveis para a

assimilao dos conhecimentos que posteriormente sero apresentados.

2 VARIVEIS ELTRICAS

2.1 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, adotado pelas principais sociedadesde engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seisunidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades fsicas podemser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus smbolos, e a quantidade fsicaque elas representam.

Tabela 2.1 Unidades Bsicas no SI.Grandeza Unidade Smbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo s

Corrente Eltrica ampre ATemperatura kelvin k

Intensidade Luminosa candela cd

As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos eltricos soapresentadas na tabela 2.2.

Grandeza Unidade SmboloCarga Eltrica coulomb C

Potencial Eltrico volt VResistncia ohm

Condutncia siemens SIndutncia henry H

Capacitncia farad FFreqncia hetz Hz

Fora newton NEnergia, Trabalho joule J

Potncia watt WFluxo Magntico weber Wb

Densidade de FluxoMagntico tesla T


7/138


2.2 Corrente

A corrente em um componente do circuito definida como a quantidade de cargaeltrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade fsica utilizada o

ampre, simbolizado por A.

dqi

dt= (2.1)

i = ampre (A), q = coulomb (C), t = segundos (s).

(O eltron possui carga de 191,602.10 C).

2.3 Tenso

A tenso (diferena de potencial) entre dois pontos de um circuito definida comoa variao do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entreestes dois pontos. A unidade utilizada o volt, simbolizado por V.

dwv

dq= (2.2)

v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C).

2.4 Potncia

Potncia a variao da energia (liberada ou absorvida) em funo da variao dotempo. Nos circuitos eltricos ela definida pelo produto entre tenso e corrente em doisterminais. A unidade utilizada o watt (ou joule/s), simbolizado por W.

. .dw dq dw

p v idq dt dt

= = = (2.3)

2.5 Energia

Energia definida como a integral da potncia ao longo do tempo. A unidadeutilizada o joule. Outra unidade bastante utilizada na prtica o watt-segundo (W.s) edemais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora.

0 0

. . .t t

w p dt v i dt = = (2.4)


8/138


2.6 Notao

comum em anlise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes evariveis com o tempo atravs da utilizao de letras maisculas e minsculas. Por

exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contnua, de dez ampres dever ser escritaI=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude dever ser escrita i=10A.

3 CONCEITOS BSICOS DE CIRCUITOS ELTRICOS

3.1 Definio:

Um circuito eltrico pode ser definido como uma interligao dos seguintes

componentes bsicos: Fontes de tenso dependentes ou independentes; Fontes de corrente dependentes ou independentes; Resistores; Capacitores; Indutores.

3.2 Fonte de Tenso Independente

A fonte ideal de tenso um elemento que mantm uma tenso especificadaconstante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontesindependentes podem ser do tipo contnua ou alternada.

Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tenso contnua.A tenso fornecida pela concessionria de energia eltrica, por outro lado, um exemplode fonte de tenso alternada.

V

Tenso Contnua

V

Tenso AlternadaFig. 3-1 - Fontes de Tenso.

3.3 Fonte de Corrente Independente

Uma fonte ideal de corrente um elemento que atravessado por uma correnteespecificada, para qualquer que seja a tenso entre seus terminais. As fontes de correntetambm podem ser do tipo contnuo ou alternado.


9/138


I

Corrente Alternada

I

Corrente Contnua

+ +

Fig. 3-2 - Fontes de Corrente.

3.4 Fontes Dependente de Tenso e Corrente

So aquelas que estabelecem uma tenso ou corrente em um circuito cujo valordepende do valor da tenso ou da corrente em outro ponto do circuito. No possvel

especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conhea o valor da tenso oucorrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citarunidades geradoras, pois a tenso induzida no enrolamento do estator funo da correnteno rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor proporcional corrente de base.

+ I=b.IxV=a.Vx _

Fonte de CorrenteFonte de TensoDependente Dependente

Fig. 3-3 - Fontes Dependentes.

3.5 Elementos Ativos no Circuito

So fontes de tenso e corrente capazes de fornecer energia eltrica para os demaiscomponentes do circuito.

Em componentes ativos, deve-se definir se a potncia est sendo fornecida ouabsorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-seque a fonte est absorvendo energia, resultando em uma potncia negativa. Para o caso em

que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte est fornecendopotncia, ou seja, a potncia positiva.

V

I

V

I

Fornecendo AbsorvendoPotncia PotnciaP=V.I P=-(V.I)

Fig. 3-4 - Conveno para fontes.


10/138


3.6 Elementos Passivos no Circuito

So dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia eltrica fornecidapelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores so elementos

passivos.Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo)

e sai do mesmo pelo lado de menor potencial.

+ VC -

C

+ VL -

L

+ VR -

R

I

I

I

Fig. 3-5 - Conveno para elementos passivos.

4 RESISTNCIA ELTRICA (LEI DE OHM)

Resistncia a propriedade dos materiais de se opor passagem de correnteeltrica, mais precisamente, ao movimento de cargas eltricas. O elemento ideal usadocomo modelo para este comportamento o resistor. A Fig. 4-1 mostra o smbolo doresistor. A letra R indica a resistncia do resistor.

R

Fig. 4-1 - Smbolo do resistor.

A Lei de Ohm uma homenagem a Georg Simon Ohm, um fsico alemo que aformulou pela primeira vez no incio do sculo XIX. A lei de Ohm a relao algbricaentre tenso e corrente em um resistor e medida em ohms no sistema internacional (SI).O smbolo de ohm a letra grega Omega ( ) . A equao (4.1) descreve esta lei.

.V R I (4.1)

Onde:V = Tenso em volts (V);I = Corrente em ampres (A);R = Resistncia em ohms ( ) .

A potncia dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tenso entreos terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potncia watts (W).

.P V I (4.2)

Substituindo-se a equao (4.1) na (4.2) pode-se obter a equao da potncia em

funo da corrente e da resistncia e a potncia em funo da tenso e da resistncia.


11/138


2.P I R (4.3)

2V

PR

(4.4)

O recproco da resistncia chamando de condutncia, representado pela letra G emedido em Siemens (S). Assim:

1G

R= (4.5)

Exemplos 2.1:Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tenses nos resistores e as potncias

dissipadas nos mesmos.

8R 1A 20R1A

(A) (B) Fig. 4-2 Exemplos.

Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtm-se:

.8.1 8

RA

RA

V R IV V

.20.1 20

RB

RB

V R IV V

(4.6)

.

8.1 8RA RA

RA

P V I

P W

.

20.1 20RB RB

RB

P V I

P W

(4.7)

4.1 Caractersticas dos Resistores

Em geral os fabricantes de resistores fornece trs parmetros que caracterizam os

mesmos: Resistncia hmica; Percentual de tolerncia; Potncia.

Resistncia hmica O valor especfico da resistncia do componente indicadanumericamente ou por cdigo de cores. Os resistores so fabricados em valorespadronizados. Os valores comerciais no Brasil so mltiplos de dez de:

1 1,2 1,5 1,8 2,2 2,7 3,3 3,9 4,7 5,6 6,8 8,2.Percentual de Tolerncia Os resistores esto sujeitos a diferenas em seus

valores decorrentes aos processos de fabricao. Estas diferenas se situam em 5 faixas depercentual:

20%, 10%, 5%, 2%, 1% de tolerncia.


12/138


Os trs primeiros so considerados resistores comuns, enquanto os demais sochamados resistores de preciso. Deve-se notar que a tolerncia pode ser tanto acima comoabaixo do valor padro do resistor.

Potncia A dissipao de potncia do resistor indica a capacidade de suportar

calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor produzido pela potnciadesenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potncia para asredondezas.

4.1.1 Tipos de Resistores

Resistores de Filme de Carbono: Constitudo por um corpo cilndrico de cermicaque serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbonoou grafite em p) que determina seu valor hmico.

O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que d acabamento nafabricao e isola o filme de carbono da ao da umidade.As principais desvantagens dos resistores de carbono so o baixo percentual de

preciso e a baixa dissipao de potncia. Em geral apresentam tolerncia de 5 e 10%,apesar de existir tambm 1 e 2%.

Resistores de Carvo: So constitudos por um corpo de porcelana. No interior daporcelana so comprimidas partculas de carvo que definem a resistncia do componente.Neste tipo de resistor os valores das resistncias no so precisos.

Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base.Sobre o corpo enrolado um fio especial (por exemplo, nquel cromo) cujo comprimentoe seo determinam o valor da resistncia. Nos resistores de fio obtm-se maior preciso, e

maior dissipao de potncia.

4.1.2 Cdigo de Cores

O valor hmico dos resistores e sua tolerncia podem ser impressos no corpo docomponente atravs de anis coloridos. A cor de cada anel e a sua posio com relao aosdemais anis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. Adisposio em forma de anis permite a leitura do valor em qualquer posio docomponente.

4.1.3 Interpretao do Cdigo de Cores

O cdigo se compe de trs anis usados para representar o valor hmico e um pararepresentar o percentual de tolerncia. Para uma correta leitura, os anis devem ser lidos naseqncia correta, sendo que o primeiro aquele que estiver mais prximo da extremidade.A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores.

1 2 3 4

1 - Unidade;2 - Dezena;3 - Nmero de zeros;

4 - Percentual de tolerncia.

Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores.


13/138


Cada cor representa um nmero, como segue:

Valor TolernciaPreto 0 Marrom 1%

Marrom 1 Vermelho 2%Vermelho 2 Dourado 5%Laranja 3 Prata 10%Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20%

Verde 5Azul 6

Violeta 7Cinza 8

Branco 9Tabela 1 Cdigo de cores.

O cdigo interpretado da seguinte forma: Os dois primeiros anis so nmeros; O terceiro anel o fator multiplicativo por dez, ou seja, n nmeros de

zeros que viro aps os dois primeiros nmeros; O quarto anel a tolerncia do valor da resistncia.

Exemplo:1 anel amarelo = 42 anel violeta = 73 anel vermelho = 2 zeros (00)4 anel dourado = 5% de tolerncia.

Resistor de 4700 Ohms 5%, 4,7k Ohms 5% ou 4k7 Ohms 5%.

4.1.4 Casos Especiais de Cdigo de Cores

Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o cdigoestabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica aexistncia de uma vrgula entre os dois primeiros nmeros ou tambm pode serconsiderado como um fator de multiplicao de 0,1.

Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms 5%.Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o

cdigo determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica aexistncia de um zero antes dos dois primeiros nmeros ou um fator de multiplicao de0,01.

Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms 5%.Resistores de cinco anis: Em algumas aplicaes so necessrios resistores com

valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, ostrsprimeiros anis so dgitos significativos, o quartoanel representa o nmero de zeros(fator multiplicativo) e o quinto anel a tolerncia.

Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms 1%.


14/138


4.2 Exerccios

1-) Determine a corrente e a potncia dissipada nos resistores.

12V 1k 40V 120R

(A) (B) Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W.

2-) Determine a tenso das fontes.

2AV 50R

10AV

RP=200W

(A) (B) Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V.

3-) Determine a tenso sobre os resistores e a potncia dissipada pelos mesmo.

3A 100R 100mA 2,2k

(A) (B) Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W.

5 LEIS DE KIRCHHOFF

Os comportamentos dos circuitos eltricos so governados por duas leis bsicaschamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relaes entre as tenses e correntes entreos diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamentomatemtico dos circuitos eltricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se,

entretanto, necessrio introduo de algumas definies bsicas: N: um ponto de juno de dois ou mais componentes bsicos de um circuito(ramos). Na Fig. 5-1 est representado um circuito simples composto de dois ns(ns 1 e 2);

Ramo: a representao de um nico componente conectado entre dois ns, talcomo um resistor ou uma fonte de tenso. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2)conectado entre os ns 1 e 2 um ramo do circuito.

Malha: qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nescolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vezpelo mesmo n.


15/138


R1 R21k

Vcc

1

2

I1 I2

I3

Fig. 5-1 - Circuito com dois ns.

5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)

A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam aum n igual soma das correntes que saem do mesmo n. Considerando-se as correntes

que chegam a um n como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes deKirchhoff estabelece que a soma algbrica das correntes incidindo em um n deve ser nula.Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1,

pode-se escrever a seguinte equao para o n marcado como 1:

1 2 3 0I I I 1 2 3I I I (5.1)

5.2 Lei das Tenses de Kirchhoff (LTK)

A lei das tenses de Kirchhoff estabelece que a soma algbrica das tenses emqualquer malha de um circuito sempre nula.

+ VR1 -

Vcc R3+

R1 R2

+ VR2 -

VR2-

I

Fig. 5-2 - Circuito com uma malha.

Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-seescrever a seguinte equao:

1 2 3 0R R RVcc V V V 1 2 3R R RVcc V V V (5.2)

Exemplo 3.1:Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I 1no

circuito da Fig. 5-3.


16/138


R2=50R 6A120V

R1=10R

I1

Fig. 5-3 - Exemplo 3.1.

Antes de iniciar a resoluo do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramoformado pelo resistor R2. Como se tm duas correntes entrando no n superior, formadopor I1e pela fonte de corrente (6A), ser considerado que a corrente em R 2est saindo don. Tambm deve-se acrescentar tenses desconhecidas aos resistores. O circuito passa aser o apresentado na Fig. 5-4.

6A120V

VR1

I1I2

VR2+

+ _

_

N 1

N 2 Fig. 5-4 - Circuito resultante.

Aplicando a LCK ao n 1 e considerando que as correntes entrando no n sopositivas e as que saem so negativas, obtm-se:

1 26 0I I 1 26I I (5.3)

Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido nosentido horrio, obtm-se:

1 2120 0R RV V 1 2 120R RV V (5.4)

Substituindo-se a lei de Ohm na equao (5.4).

1 1 2 2

1 2

. . 12010. 50. 120R I R I

I I

(5.5)

Substituindo-se a equao (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equaes, obtm-se:

1

2

3

3

I A

I A

(5.6)

O resultado negativo de I1representa que o sentido real da corrente o contrrio dosentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fatoque a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tenso, o que resulta que amesma est absorvendo potncia ao invs de estar fornecendo potncia para o circuito.


17/138


Exemplo 3.2:Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tenses sobre os resistores, a corrente da malha e

a potncia fornecida pela fonte de tenso.

3R+ VR1 -

2RVR3

7R+ VR2 -

24V+

-I

Fig. 5-5 - Exemplo 3.2.

Aplicando-se a LTK ao circuito, obtm-se:

1 2 3

1 2 3

24 024

R R R

R R R

V V VV V V

(5.7)

Substituindo a Lei de Ohm na equao (5.7) e resolvendo-se a equao, obtm-se acorrente do mesmo.

1 2 3. . . 24

3. 7. 2. 24

2

R I R I R I

I I I

I A

(5.8)

Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tenso sobreos mesmos.

1 1

2 2

3 3

. 3.2 6

. 7.2 14

. 2.2 4

R

R

R

V R I V

V R I V

V R I V

(5.9)

A potncia da fonte obtida pelo produto da tenso fornecida pela mesma e pelacorrente que circula por ela.

. 24.2 48P V I W (5.10)

5.3 Exerccios

1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo.

20V V=?

1V 6V

20A2A 10A I=?

1V 2V

I

Respostas: I=8A e V=10V.


18/138


2-) Calcule a corrente e as quedas de tenso atravs de R1 e R2.

10R

20V

20R

50V40V

R1R2

Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V.

3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo.

8R

R

120V 24R200V +_

Resposta: 4R

4-) Calcule a corrente, as tenses nos resistores e a potncia fornecida pela fonte.

VR3 2R

+ VR1 -

3R

+ VR2 -

7R

24V+

_

Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W.

5-) Para o circuito abaixo, calcule:a) As correntes da fonte e no resistor de 80 ;b) A tenso no resistor de 90 ;c) Verifique que a potncia fornecida pela fonte igual potncia dissipada nos

resistores.

I 90R

30R

1,6A80RI

Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W.

6-) Dado o circuito, determine:a) O valor de Ia;b) O valor de Ib;c) O valor de Vo;d) As potncias dissipadas nos resistores;e) A potncia fornecida pela fonte.


19/138


80R

4R

20R50V Vo+

_

Ib

Ia

Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V;

d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W.

7-) A corrente I0 no circuito 4A.a) Determine a corrente I1;b) Determine as potncias dissipadas nos resistores;

8R

5R

25R

70R

10R

180V

I0

I1

Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W.

8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1e a tenso V.

6k

54k+ V -

5V

1,8k1V

8V

I1 30.I1

Respostas: I1=25uA e V=-2V.

9-) A corrente I1no circuito abaixo de 2A. Calcule:a) A tenso Vs;b) A potncia recebida pela fonte de tenso independente;

c) A potncia fornecida pela fonte de corrente independente;d) A potncia fornecida pela fonte de corrente dependente;e) A potncia total dissipada pelos dois resistores.

30R

2.I1

10R

Vs5A I1

Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W.


20/138


6 ASSOCIAO DE RESISTORES E RESISTNCIAEQUIVALENTE

A anlise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinao daresistncia equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Alm disso, pode-senuma srie de casos prticos solucionar o circuito a partir da associao dos resistores quecompem determinadas partes do circuito. Esta tcnica denominada de reduo doscircuitos e ser brevemente apresentada aqui, junto com as tcnicas bsicas dedeterminao da resistncia equivalente.

6.1 Associao em Srie de Resistores

Neste caso, todos os resistores so percorridos pela mesma corrente, sendo que o

terminal final do primeiro conectado ao incio do segundo e assim por diante, conformemostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente o resistor que quando conectado aos terminaisda fonte possui as mesmas caractersticas eltricas que a associao srie dos resistores 1 an, sendo n o nmero total de resistores em srie. Portanto, para a fonte conectada aosresistores, a corrente no resistor equivalente ser a mesma da associao srie dos nresistores.

R1 R2 R3 Rn

V

+ VR1 - + VR2 - + VR3 - + VRn -

I

Fig. 6-1 - Circuito srie.

A Lei das tenses de Kirchhoff estabelece que a soma das tenses em um circuitofechado igual a zero. Deduz-se da que a soma das quedas de tenses em todo o circuitoda Fig. 6-1 igual a tenso da fonte V.

1 2 3

...R R R Rn

V V V V V (6.1)

Substituindo-se as quedas de tenses nos resistores pela Lei de Ohm, Obtm-se:

1 2 3. . . ... . nV I R I R I R I R (6.2)

1 2 3.( ... )nV I R R R R (6.3)

A resistncia vista pela fonte de alimentao a resistncia equivalente (Req) docircuito. Desta forma, tem-se:

. eqV I R (6.4)


21/138


Substituindo-se a equao (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equaoporI, determina-se a equao da resistncia equivalente do circuito.

e 1 2 3R ...q nR R R R (6.5)

A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1.

ReqVI

Fig. 6-2 - Circuito equivalente.

6.2 Associao em Paralelo de Resistores

Na Fig. 6-3 mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estoconectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores est conectado diretamentea fonte de tenso e, portanto a tenso sobre cada resistor igual tenso da fonte. Poroutro lado, a corrente atravs de cada resistor determinada pelo valor de cada um deles.

R2

R1

Rn

V

R3

I1

I2

I3

In

I

Fig. 6-3 - Circuito paralelo.

A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entramem um n igual soma das correntes que saem do n. Assim:

1 2 3 ... nI I I I I (6.6)

A corrente que circula pela fonte de alimentao a corrente total (I) do circuito.Desta forma, tem-se:

eq

VI

R (6.7)

Substituindo-se cada termo da equao (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se acorrente total pela equao (6.7), obtm-se:


22/138


e 1 2 3

...R

q n

V V V V V

R R R R (6.8)

Dividindo-se ambos os lados da equao (6.8) por V, obtm-se:

1 2 3

1 1 1 1 1...

R R R R Req n

(6.9)

1 2 3

1R

1 1 1 1...

R R R R

eq

n

(6.10)

Esta equao usada para determinar o valor da resistncia equivalente dosresistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equao que o valor total da resistncia

menor que o menor valor das resistncias individuais.Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equao

(6.11) para determinar a resistncia equivalente.

1 2

1 2

.eq

R RR

R R

(6.11)

6.3 Associao Mista de Resistores

No caso de haver partes do circuito que esto conectadas em srie e partes queesto conectadas em paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equaes (6.5), (6.10) e(6.11) at que se obtenha a resistncia equivalente nos terminais desejados. O exemplo aseguir ilustra este procedimento.

Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistncia equivalente apartir dos terminais a-b.

RB

RA

R1

R3

R1

R2

R1 R3

RD

R5

R2

R2

RC

R4

R1

a

a

aa

a

b

b

b

b

(A)(B)

(C) (D)

(E)

b

Fig. 6-4 - Associao mista de resistores.


23/138


Pela Fig. 6-4, os resistores R4 e R5 esto em srie, podendo-se determinar aresistncia equivalente RApela equao (6.5) (vide figura A).

4 5AR R R (6.12)

O circuito possuir agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que osresistores RA e R3 esto conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se aequao (6.11), resultando na resistncia RB:

3

3

.A

B

A

R RR

R R

(6.13)

Aps esta operao o circuito assumir a forma mostrada na figura (C). Osresistores RB e R2 esto agora em srie e a resistncia equivalente RC correspondente aestes dois dada pela equao (6.5):

2C BR R R (6.14)

O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores RCe R1esto em paralelo e podem ser associados pela equao (6.11), resultando na resistnciaequivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual denominado de RD.

1

1

.C

D

C

R RR

R R

(6.15)

Deve-se salientar que a resistncia equivalente est sempre relacionada a doisterminais especficos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistnciaequivalente diferente. No existe, portanto, o conceito da resistncia equivalente docircuito ou resistncia total do circuito, mas sim uma resistncia equivalente a partir dedois terminais do circuito.

6.4 Resistncia Equivalente de Circuitos Contendo FontesIndependentes

Nos casos anteriores, a resistncia equivalente foi determinada para um circuito (ouparte dele) onde no existiam fontes de corrente ou tenso. Mesmo quando houver fontes

independentes, pode-se determinar a resistncia equivalente a partir de um par determinais.

Neste caso a resistncia equivalente ser determinada anulando-se todas as fontesindependentes do circuito. Para isso, as fontes de tenso sero substitudas por terminaisem curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, aresistncia equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), ser obtido a partir docircuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas.


24/138


R3

R1

R2

R1 I

R2

Vcc

R3a

b

(A) (B)

a

b Fig. 6-5 - Resistncia equivalente contendo fontes.

6.5 Resistncia Equivalente de Circuitos Contendo FontesDependentes e Independentes

Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e,contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensese correntes do circuito. Deve-se calcular a resistncia equivalente aplicando-se uma fontede tenso aos terminais onde a resistncia equivalente deve ser calculada e em seguidadeterminar a corrente da mesma. A resistncia equivalente ser a relao entre a tensoaplicada e a corrente. A fonte aplicada poder ter um valor qualquer, devendo-se optar porum valor que simplifique o calculo (1V, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra esteprocedimento.

Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar aresistncia equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original mostrado na Fig.6-6(A) e o circuito utilizado para o clculo da resistncia equivalente mostrado na Fig.6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tenso de 1V.

12V

3R

4R

2Ra

b

+_5.Vx

+ Vx -

1V

2R 3R

5.Vx4R

+ Vx -

+_

a

b

(A) (B)

I

Fig. 6-6 - Circuito exemplo.

Aplicando-se a Leis das Tenses de Kirchhoff, obtm-se:

1 5. 00,1667Vx Vx

Vx V + + =

= (6.16)

Aplicando-se a LCK no n formado pela fonte de tenso e pelos resistores de 2e4, obtm:

2 4

1 0,16670,3333

4 2

I I I

I A

= +

= + = (6.17)

Assim, a resistncia equivalente obtida por:


25/138


13

0,3333eqV

RI

= = = (6.18)

6.6 Transformao Estrela-Tringulo

Existem muitos casos prticos em que a resistncia equivalente necessita serdeterminada e no possvel utilizar as regras de associao srie nem as de associao emparalelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversoestrela-tringulo. A conexo de resistores em estrela mostrado na Fig. 6-7(a), ao passoque a conexo em tringulo mostrado na Fig. 6-7(b). A conexo em estrela tambm denominada de conexo Y ou ainda conexo T. Por outro lado, a conexo tringulotambm denominada de conexo delta ou ainda conexo .

R1

R3 Rb

R2

Ra

Rc1 1

2 2

3 3

4 4(a) (b)

Fig. 6-7 - Equivalncia entre a conexo (a) estrela e (b) tringulo.

6.6.1 Converso de Tringulo para Estrela

Quando o circuito original est na conexo tringulo, pode-se converter o circuitopara estrela utilizando-se as seguintes relaes:

1.b c

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.19)

2.a c

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.20)

3.a b

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.21)

A regra para a converso tringulo-estrela , portanto: cada resistor do circuito emestrela o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do tringulo dividido pelasoma dos trs resistores do tringulo.

6.6.2 Converso de Estrela para Tringulo

Quando o circuito original est na conexo estrela, pode-se converter o circuito paratringulo utilizando-se as seguintes relaes:


26/138


1 2 2 3 3 1

1

. . .a

R R R R R RR

R

+ += (6.22)

1 2 2 3 3 1

2

. . .b

R R R R R R

R R

+ += (6.23)

1 2 2 3 3 1

3

. . .c

R R R R R RR

R

+ += (6.24)

A regra para a converso estrela-tringulo , portanto: cada resistor do circuito emtringulo o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto daestrela.

6.7 Exerccios

1-) Calcule a tenso sobre cada resistor dos circuitos abaixo.

110V R2 10R

R3

7R

115V

1RR1

5R

2R

3R 4R

(a) (b) Respostas: (a) V1=25V; V2=50V e V3=35V

(b) V1=11,5V; V2=23V; V3=34,5V e V4=46V.

2-) Um circuito paralelo formado por uma cafeteira eltrica (15), um torrador de po(15) e uma panela de frituras (12) ligados s tomadas de 120V de uma cozinha. Quecorrente fluir em cada ramo do circuito e qual a corrente total consumida por todos oseletrodomsticos?

Respostas: ICaf=8A; ITor=8A; IPan=10A e Itot=26A.

3-) Determine a resistncia equivalente para o circuito abaixo:a) Como est desenhado;b) Com o resistor de 5 substitudo por um curto-circuito;c) Com o resistor de 5 substitudo por um circuito aberto.

4R

9R

4R

10R

3R 5R

2R 1R

4R

Respostas: a) 10eq

R ; b) 9,933eq

R e c) 10,2eq

R .


27/138


4-) Determine a resistncia equivalente para os dois circuitos abaixo.

20k12R

2R

30k 30k15k

7k

24k24R

6R

Respostas: (A) 16eq

R ; (B) 6eq

R k .

5-) Determine a resistncia equivalente do circuito abaixo.

8R

10R

20R

5R

15R

Resposta: Req=12,162.

6-) Determine para os trs circuitos abaixo:a) A resistncia equivalente;

b) As potncias fornecidas pelas fontes.

48R

18R

20V 6R

10R

15R

6R

15R20R

48R

20R 6R

10R

60R

18R 14R4R

16R

12R

15R

8R

10R

15R

18R

144V

10R

8R

30R6A

(A)

(B)

(C)

Respostas: (A) 10eq

R e P=40W; (B) 27eq

R e P=768W;

(C) 24eq

R e P=864W.

7-) Determine Vo e Vg no circuito abaixo.


28/138


25A

30R

25R60R

12R

30R Vo

50R

Vg

+

_ +

_

Respostas: Vo=300V e Vg=1050V.

8-) Calcule a tenso Vx no circuito.

60k

15k1k

30V

5k

- Vx +

Resposta: Vx=1V.

9-) A corrente no resistor de 9 do circuito abaixo 1A, como mostra a figura.a) Calcule Vg;b) Calcule a potncia dissipada no resistor de 20 .

25R

20R

10R

Vg

5R

32R 2R

4R

40R

3R 1R

9R

1A

Respostas: a) Vg=144V; b) P=28,8W.

10-) Calcule a potncia dissipada pelo resistor de 3kdo circuito abaixo.

5k

3k

25k

750R

15k

5k

192V

Resposta: P=300mW.


29/138


11-) Obtenha a resistncia equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar acorrente I.

20R

30R

10R

120V5R

12,5R

15R

I

Respostas: Req=9,632e I=12,458A.

7 DIVISOR DE TENSO E CORRENTE

A soluo de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicaode tcnicas conhecidas como divisor de tenso e divisor de corrente. As regras deaplicao dos divisores so obtidas a partir das regras de associao srie e paralela deresistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis deKirchhoff.

7.1 Divisor de Tenso

A regra do divisor de tenso se aplica a componentes (resistores) conectados em

srie, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensosobre cada componente individual. A resistncia equivalente vista pela fonte V mostradana figura (B), sendo dada pela relao:

e 1 2 3 4R ...q nR R R R R (7.1)

R3

Req

Rn

+VR1-

R1 R4R2

+VR2- +VR3- +VR4- +VRn-

+VReq-

+

_

V

+

_

V

(A)

(B)I

I

Fig. 7-1 - Diviso de tenso entre resistores em srie.

Em um circuito em srie a corrente em todos os componentes a mesma, sendodada pela equao:

1 2 3 4( ... )eq nV VI

R R R R R R

(7.2)


30/138


Desta forma, a tenso sobre cada resistor ser dada pelas seguintes equaes:

11 1

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.3)

22 2

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.4)

33 3

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.5)

...

1 2 3 4

..

( ... )n

Rn n

n

R VV R I

R R R R R

(7.6)

As equaes anteriores permitem determinar diretamente a tenso sobre cadaresistor a partir da tenso aplicada associao. A regra : a tenso sobre cada

componente a tenso aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistncia edividida pela soma das resistncias dos componentes.

Ao aplicar-se a regra fundamental observar que as polaridades das tenses esentidos das correntes sobre os componentes so conforme mostra a Fig. 7-1.

7.2 Divisor de Corrente

Analogamente ao caso de resistncias em srie, a regra do divisor de corrente seaplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuitomostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componenteindividual. A resistncia equivalente mostrada na figura (B), sendo dada pela relao:

1 2 3 4

1R

1 1 1 1 1...

R R R R

eq

nR

(7.7)

R3

Req

RnR1 R4R2

I I1 I2 I3 I4 In+

_

V

I+

_

V

(A)

(B) Fig. 7-2 - Diviso de corrente entre resistores em paralelo.


31/138


A tenso em todos os componentes mesma, sendo ento determinada pelaequao (7.8):

e

1 2 3 4

1.R .

1 1 1 1 1...

q

n

V I I

R R R R R

(7.8)

Desta forma, a corrente em cada um dos resistores ser dada pelas seguintesequaes:

11 1

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R R

R R R R R

(7.9)

22 2

1 2 3 4

1 .1 1 1 1 1...

n

V IIR R

R R R R R

(7.10)

33 3

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R R

R R R R R

(7.11)

4

4 4

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...n

V II

R RR R R R R

(7.12)

...

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

n n

n

V II

R R

R R R R R

(7.13)

As equaes anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a

partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente emcada componente a corrente de entrada multiplicada pela resistncia equivalente edividida pela resistncia na qual deseja-se obter a corrente.

Ao aplicar-se a regra fundamental observar que as polaridades das tenso esentidos das corrente sobre os componentes so conforme apresentado na Fig. 7-2.

Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-seobter as seguintes expresses:

21

1 2

.R

I IR R

(7.14)

121 2

. RI IR R

(7.15)


32/138


7.3 Exerccios

1-) Calcule atravs do mtodo do divisor de tenso a queda de tenso atravs de cadaresistor.

R2 6k

10V

R1 2k

Respostas: VR1=2,5V e VR2=7,5V.

2-) Calcule as correntes I1 e I2 utilizando divisor de corrente.

3k 6k

I1 I2It=18mA

Respostas: I1=12mA e I2=6mA.

3-) Determine no circuito abaixo:a) O valor de Vo na ausncia de carga.b) Calcule Vo quando 150

LR k .

c) Qual a potncia dissipada no resistor de 25k se os terminais da carga foremacidentalmente curto circuitados?

d) Qual a potncia mxima dissipada no resistor de 75k ?

Vo75k RL

200V

25k

+

_

Respostas: a) Vo=150V; b) Vo=133,33V; c) P=1,6W e d) P=300mW.

4-) Determine a potncia dissipada no resistor de 6 do circuito abaixo.

6R4R16R

1,6R

10A

Resposta: P=61,44W.


33/138


5-) No circuito divisor de tenso da figura abaixo, o valor de Vo sem carga 6V. Quando aresistncia de carga RL inserida ao circuito, a tenso cai para 4V. Determine o valor de R2RL.

RLR2

40R

18V Vo

+

_

Respostas: 2 20R e 26,67LR .

6-) Calcule no circuito divisor de tenso abaixo:a) A tenso de sada Vo sem carga;b) As potncias dissipadas em R1e R2;

R2 3,3k

4,7k

160V

R1

Vo

Respostas: a) Vo=66V e b) PR1=1,88W e PR2=1,32W.

7-) Muitas vezes necessrio dispor de mais de uma tenso na sada de um circuito divisorde tenso. Assim, por exemplo, as memrias de muitos computadores pessoais exigemtenses -12V, 6V e +12V, todas em relao a um terminal comum de referncia. Escolhaos valores de R1, R2e R3no circuito abaixo para que as seguintes especificaes de projetosejam atendidas:

a) A potncia total fornecida ao circuito divisor de tenso pela fonte de 24V deve serde 36W quando o circuito no est carregado.

b) As trs tenses, todas medidas em relao ao terminal comum de referncia, devemser V1=12V, V2=6V e V3=-12V.

R2

R1

24V

R3

V3

V1

V2

Comum

Respostas: 1 4R , 2 4R e 3 8R .


34/138


8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25 , no circuito divisor de corrente apresentadoabaixo.

6,25R1142mA 20R0,25R 1R 10R2,5R

Resposta: I=32mA.

8 MTODO DE ANLISE DE MALHAS

A anlise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir.

8.1 Definio das Malhas e Sentidos de Percurso

Inicialmente devem ser determinadas quantas malhas contm o circuito. Para umcircuito contendo b ramos (componentes) e n ns existiro sempre (b-n+1) malhas, as quaispermitiro escrever um nmero de equaes independentes tambm igual a (b-n+1). Umavez identificadas s malhas, deve-se numer-las e design-las como I1, I2, I3...Ib-n+1. Almdisso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido nointerfere com as equaes que sero obtidas, mas importante na determinao dascorrentes e tenses de ramo. Tambm nesta etapa sero definidas polaridades para as

tenses nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que sero consideradas positivas.

8.2 Aplicao da LTK para as Malhas

Aps a definio das malhas, deve-se percorr-las de acordo com o sentidoatribudo para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida aps a malha ter sidopercorrida. Pode-se adotar a seguinte conveno quanto s diferenas de potencial: quedasde potencial ao longo deste percurso sero consideradas positivas, ao passo que elevaesde potencial sero consideradas negativas. Como resultado desta etapa haver (b-n+1)equaes que representam os somatrios das tenses sobre os componentes que compem

cada malha, de acordo com a conveno adotada.

8.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos

Considerando que as equaes da etapa anterior foram escritas em funo dastenses dos ramos e as incgnitas so correntes de malha, devem-se utilizar as relaes detenso-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tenses dos ramos por relaes envolvendoas correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtm-se (b-n+1) equaes envolvendoas correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relao tenso corrente para cadaramo (componente), existindo, portanto b relaes deste tipo.


35/138


8.4 Soluo do Sistema de Equaes

Aps a obteno das equaes de malha, deve-se utilizar algum mtodo de soluode sistemas lineares para determinar as (b-n+1) incgnitas.

8.5 Obteno das Correntes e Tenses dos Ramos

Depois de solucionado o sistema de equaes e obtido as correntes das malhas,pode-se obter todas as correntes e tenses de ramo do circuito a partir das correntes demalha. Por exemplo, a corrente de ramo IK, percorrido por um lado pela corrente de malhaIxe por outro pela corrente de malha IYdo circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode serobtida pela seguinte equao:

k x yI I I (8.1)

Fig. 8-1 - Tenso e corrente de ramo.

Na equao (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula nomesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula

em sentido contrrio. Deve-se tambm atentar que a equao pode ser obtida aplicando-sea LCK a qualquer um dos ns do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensono ramo k ser dada como:

. ( ).k k k x y k V I R I I R (8.2)

Rk Resistncia do ramo k (ohms, )

8.6 Exemplo de Aplicao

O mtodo exposto ser ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig.8-2, onde todas as etapas citadas sero realizadas passo a passo.


36/138


8.6.1 Definio das Malhas e Sentidos de Percurso

Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 ns e b=5 componentes. Desta forma, o

nmero de malhas fechadas (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos dasmalhas sero todos no sentido horrio, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto serescolhido um outro sentido. Na figura tambm so mostrados os sentidos consideradospositivos para as quedas de tenso (polaridade das tenses) para os componentes.

R1+ R2

R4R3

+

++

- -

--

VI1 I2

Malha 1 Malha 2

Fig. 8-2 - Circuito de exemplo.

8.6.2 Aplicao de LTK para as Malhas

De acordo com conveno adotada, as equaes para as malhas 1 e 2 so dadaspelas seguintes equaes:

1 3 1 30R R R RV V V V V V (8.3)

3 2 4 0R R RV V V (8.4)

8.6.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos

As relaes tenso corrente para os ramos do circuito so estabelecidas baseadasnas equaes (8.1) e (8.2) da forma que segue:

1 1RI I (8.5)

2 2RI I (8.6)3 1 2RI I I (8.7)

4 2RI I (8.8)

1 1 1 1 1. .R RV I R I R (8.9)

2 2 2 2 2. .R RV I R I R (8.10)

3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R (8.11)

4 4 4 2 4. .R RV I R I R (8.12)


37/138


Inserindo-se as relaes tenso-corrente nas equaes de malha, obtm-se asequaes em termos das correntes de malha.

Equao da malha 1:

1 3

1 1 1 2 3

1 1 3 2 3

. ( ).

.( ) .

R R

V V V

I R I I R V

I R R I R V

(8.13)

Equao da malha 2:

3 2 4

1 2 3 2 2 2 4

1 3 2 2 3 4

0

( ). . . 0

. .( ) 0

R R RV V V

I I R I R I R

I R I R R R

(8.14)

8.6.4 Soluo do Sistema de Equaes

Para a obteno da soluo sero considerados os seguintes valores:

20V V 1 2R 2 4R (8.15)

3 6R 4 3R

Desta forma, o sistema de equaes ter a seguinte forma:

1 2

1 2

8. 6. 206. 13. 0

I I

I I

(8.16)

Solucionando-se o sistema, obtm-se:

1

2

3,824

1,765

I A

I A

8.6.5 Obteno das Correntes e Tenses dos Ramos

A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tenses em todos osramos:

1 1 3,824RI I A (8.17)

2 2 1,765RI I A (8.18)

3 1 2 3,824 1, 765 2, 059RI I I A (8.19)

4 21,765

RI I A

(8.20)

1 1 1. 3,824.2 7,684RV I R V (8.21)


38/138


2 2 2. 1,765.4 7,06RV I R V (8.22)

3 1 2 3( ). (3,824 1,765).6 12,354RV I I R V (8.23)

4 2 4. 1,765.3 5, 295RV I R V (8.24)

Uma vez conhecidas as correntes e tenses nos ramos pode-se tambm determinaras potncias em cada um dos componentes bem como a potncia total dissipada nocircuito.

8.7 Anlise de Malhas com Fontes de Corrente

A anlise de malhas, sendo um mtodo geral de anlise, pode tambm ser

empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ouindependentes. As fontes de corrente impem uma determinada corrente num ramo, nosendo, contudo possvel determinar tenso da mesma antes de solucionar o circuito. Narealidade a presena de uma fonte de corrente no altera praticamente nada no mtodo deanlise descrito anteriormente. Estas caractersticas devem ser consideradas quando doestabelecimento das equaes do circuito.

Considerando que a fonte de corrente est inserida entre as malhas x e y conforme aFig. 8-3, observa-se que a tenso da fonte aparecer nas equaes de ambas as malhas quepossuem a fonte de corrente em comum. Como no h uma relao entre a corrente dafonte e a sua tenso pode-se manter a tenso Vk da fonte como uma incgnita a serdeterminada. Por outro lado, devido presena da fonte, as correntes das malhas x e y

esto relacionadas pela seguinte relao:x y

I I I (8.25)

Fig. 8-3 - Fonte de corrente entre duas malhas.

Desta forma, foi acrescentada uma incgnita ao sistema de equaes, mas tambm

foi acrescentada uma equao, sendo ainda possvel solucionar o circuito.


39/138


Tambm se pode eliminar a tenso da fonte do sistema de equaes isolando-se atenso Vkna equao da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equao da malha y.Desta forma, elimina-se a equao de uma das malhas do sistema.

Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha

passa, significa que a corrente da malha est determinada pela prpria corrente da fonte.Neste caso pode-se desconsiderar a equao desta malha e estabelecer o seguinte valorpara a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4:

xI I (8.26)

Fig. 8-4 - Fonte de corrente em uma nica malha.

8.8 Exemplo de AplicaoO exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento.

R2=10

V=20V R4=4

R3=2

R1=6+

I=6AVf

+

+

+

+

- -

-

-

-I1 I2Malha 1 Malha 2

Fig. 8-5 - Anlise de malha com fonte de corrente.

Para este circuito, as equaes das malhas so as seguintes:Malha 1:

1 3 1 30R R f R R fV V V V V V V V (8.27)

Malha 2:

2 3 4 0R R R fV V V V (8.28)

As relaes tenso corrente no circuito so as seguintes:


40/138


1 1RI I (8.29)

2 2RI I (8.30)

3 1 2RI I I (8.31)

4 2RI I (8.32)

1 1 1 1 1. .R RV I R I R (8.33)

2 2 2 2 2. .R RV I R I R (8.34)

3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R (8.35)

4 4 4 2 4

. .R R

V I R I R (8.36)

A equao adicional considerando a fonte de corrente :

2 1I I I (8.37)

Substituindo-se as equaes (8.29) a (8.36) obtm-se finalmente as equaes docircuito. Deve-se notar que a tenso da fonte de corrente aparece como uma incgnita amais, havendo tambm uma equao a mais (equao (8.37)).

Malha 1:

1 3

1 1 1 2 3

1 1 3 2 3

. ( ).

.( ) .

R R f

f

f

V V V V

I R I I R V V

I R R I R V V

(8.38)

Malha 2:

2 3 4

2 2 1 2 3 2 4

1 3 2 2 3 4

0

. ( ). . 0

. .( ) 0

R R R f

f

f

V V V V

I R I I R I R V

I R I R R R V

(8.39)

As equaes (8.37), (8.38) e (8.39) so portanto as equaes bsicas do circuito,sendo as incgnitas I1, I2e Vf. Substituindo os valores nas equaes, obtm-se:

1 2

1 2

1 2

6

8. 2. 20

2. 16. 0f

f

I I

I I V

I I V

(8.40)

Resolvendo-se o sistema acima, obtm-se finalmente a soluo:

1

2

3,2

2,8

51,2f

I A

I A

V V

(8.41)


41/138


8.9 Exerccios

1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o mtodo das correntes de malha.

25V

1R4R

3R

5R

1R

6RI3I1 I2

Respostas: I1=3A; I2=1A e I3=2A.

2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o mtodo da corrente de malha.

10V

4R

10V

2R

2R

I1

I3I2

Respostas: I1=2A; I2=-1A e I3=3A.

3-) Calcule as correntes I1 e I2 e a corrente atravs da fonte de 20V, usando o mtodo dacorrente de malha.

20V 4R22V

1R

I1 I2

Respostas: I1=2A; I2=5A e I20V=-3A.

4-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar:

a) As potncias associadas s fontes de tenso.b) A tenso Vo entre os terminais do resistor de 8 .

8R Vo40V 6R

2R 4R

20V

6R

+

_

Respostas: a) P40=224W e P20=16W; b) Vo=28,8V.

5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo.


42/138


5A

2R

6R

10R

4R

100V

3R

50V

Respostas: I1=1,75A, I2=6,75A e I3=1,25A.

6-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar a potncia dissipada no resistorde 2 do circuito a seguir.

2R

3R

16A

8R

6R

5R30V

4R

Resposta: P=72W.

7-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar a potncia dissipada no resistorde 1 no circuito abaixo.

2R

2R

6V

1R

2R

2A

10V

Resposta: P=36W.

8-) Determine pelo mtodo das correntes de malha:

a) As correntes de ramo Ia, Ibe Ic.b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64V for invertida.

45R 64VIa

4R

1,5R2R

40V

3R

IbIc

Respostas: a) Ia=9,8A, Ib=-0,2A e Ic=-10A; b) Ia=-1,72A, Ib=1,08A, Ic=2,8A.

9-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar:a) A potncia fornecida pela fonte de corrente de 30A.


43/138


b) A potncia total fornecida ao circuito pelas fontes.

4R

0,8R

424V

30A

600V

5,6R

16R

3,2R

Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW.

10-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar a potncia total fornecida pelas

fontes ao circuito.

12R

4R 2R

6R

12V

70V

10R

110V

3R

Resposta: P=1,14kW.

11-) Use o mtodo das correntes de malha para determinar a potncia dissipada nosresistores do circuito abaixo.

18V

6R

9R

2R

3R

15V3A

Respostas: P3R=1,08W, P2R=0,72W, P9R=51,84W e P6R=34,56W.

12-) O circuito da figura abaixo um a verso em corrente contnua de um sistema de trsfios para distribuio de energia eltrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam asresistncias dos trs condutores que ligam as trs cargas R1, R2e R3 fonte de alimentao125/250V. Os resistores R1 e R2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125V e R3representa uma carga ligada ao circuito de 250V.

a) Determine V1, V2e V3.b) Calcule a potncia dissipada em R1, R2e R3.c) Que porcentagem da potncia total fornecida pelas fontes dissipada nas cargas?d) O ramo R

b representa o condutor neutro do circuito de distribuio. Qual seria a

conseqncia desagradvel de uma ruptura do condutor neutro? (Sugesto: Calcule


44/138


V1e V2e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tenso de trabalhode 125V).

125V

R2=19,4R

Ra=0,2R

R1=9,4R

R3=21,2R

Rc=0,2R

125V

Rb=0,4R

V1

V2

V3

+

+

+

_

_

_

Respostas: a) V1=117,758V, V2=123,9V, V3=241,658V; b) PR1=1,475kW,

PR2=791,3W, PR3=2,755kW; c-) 96,3%; e) V1=79V, V2=163V.

13-) Determine Vo e Io no circuito abaixo.

1R

3R

2R

2R 16V

Io

2.Io

Vo

Respostas: Vo=33,78V e Io=10,67A.

14-) Aplique a anlise de malhas para encontrar Vo no circuito abaixo.

8R2R

1R

5A

Vo

20V4R

40V

Resposta: Vo=20V.

15-) Utilize a anlise da malhas para obter Io no circuito abaixo.


45/138


2R 4R

6V

1R12V

3A5R

Io

Resposta: Io=-1,733A.

9 MTODO DE ANLISE NODAL

A anlise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir:

9.1 Seleo do N de Referncia

Inicialmente deve ser selecionado um n qualquer do circuito como n dereferncia, em relao ao qual todas as tenses sero medidas. O potencial deste n serassumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes tambm denominado de n deterra. Em seguida os demais ns so numerados de 1 a (n-1), sendo n o nmero total de nsdo circuito incluindo o n de referncia. As demais tenses dos ns sero designadas comoV1, V2, V3....Vn-1.

9.2 Aplicao da LCK aos Ns

Aps a escolha do n de referncia e numerao dos ns restantes, deve-se aplicar aLei de Kirchhoff para os (n-1) ns. A LCK no necessita ser aplicada para o n dereferncia, uma vez que resultar numa equao a mais do que o necessrio. Deve-seadotar uma conveno de sinal de acordo com o sentido das correntes em relao aos ns.Geralmente, considera-se que correntes que entram no n so consideradas positivas,

enquanto que correntes que saem so consideradas negativas. Como resultado desta etapahaver (n-1) equaes que representam os somatrios das correntes que incidem e saemdos (n-1) ns.

9.3 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos

Uma vez que as equaes da etapa anterior foram escritas em funo das correntesde ns e as incgnitas so tenses de n, deve-se utilizar as relaes de tenso-correntepara substituir as correntes de ns por relaes envolvendo as tenses de n. Comoresultado desta etapa, obtm-se (n-1) equaes envolvendo as tenses de n. Deve-seatentar que existe uma relao tenso-corrente para cada ramo, existindo, portanto brelaes deste tipo.


46/138


9.4 Soluo do Sistema de Equaes

Aps a obteno das equaes de n, deve-se utilizar algum mtodo de soluo edeterminar as (n-1) incgnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtm-

se um sistema de (n-1) equaes algbricas onde os coeficientes so obtidos a partir dasresistncias do circuito.

9.5 Obteno das Correntes e Tenses de Ramos

Deve-se observar para o fato que, aps solucionado o sistema de equaes, pode-seobter todas as correntes e tenses de ramo do circuito a partir das tenses de n. Porexemplo, a tenso do ramo k, conectado entre os ns x e y do circuito conforme a Fig. 9-1,pode ser obtida pela seguinte equao:

k xy x yV V V V (9.1)

Ik

VyVx Rk

+ _

Fig. 9-1 - Tenso e corrente de ramo.

Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do n x

para o n y ser dada como:x y

k

k

V VI

R

(9.2)

Rk Resistncia do ramo k (ohms)


O mtodo exposto ser ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig.

9-2, onde todas as etapas citadas sero realizadas.

Ia R3

Ib

R1

R2+

+

+

__

_I2

I1 I3

0

1 2

V1 V2



47/138


9.6.1 Seleo do N de Referncia

Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 ns, sendo que o n inferior ser

escolhido como n de referncia (terra). As tenses nos outros dois ns sero denominadosV1e V2. As correntes nos resistores R1, R2e R3sero denominadas I1, I2e I3.

9.7 Aplicao da LCK aos Ns

Aplicando-se a LCK para os ns 1 e 2 e considerando-se como positivas ascorrentes que entram no ns, obtm-se:

N 1:

1 2 1 20a b a bI I I I I I I I (9.3)

N 2:

2 32 3 0b bI I I I I I (9.4)

9.7.1 Considerao das Relaes Tenso-Corrente dos Ramos

Considerando os sentidos das tenses e correntes associados aos resistores (Ramos)do circuito, obtm-se:

1 11

1 1

0V VIR R

(9.5)

1 22

2

V VI

R

(9.6)

2 23

3 3

0V VI

R R

(9.7)

Substituindo-se as equaes (9.5), (9.6) e (9.7) nas equaes (9.3) e (9.4), obtm-se

o seguinte sistema de equaes em termos das resistncias e fontes de corrente:

1 1 2 21

1 2 1 2 2

1 1.

a b a b

V V V V I I V I I

R R R R R

(9.8)

1 2 2 1

2 3 2 2 3

1 12.b b

V V V V I V I

R R R R R

(9.9)

9.7.2 Soluo do Sistema de Equaes

A soluo do sistema ser realizada considerando os seguintes valores numricos:


48/138


5a

I A 3b

I A

1 2R 2 4R 3 8R

Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equaesassumir a seguinte forma:

1 2

1 2

0,75. 0,25. 2

0,25. 0,375. 3

V V

V V

(9.10)

Solucionando-se o sistema, obtm-se:

1

2

6,857

12,571

V V

V V

9.7.3 Obteno das Correntes e Tenses de Ramos

A partir das tenses dos ns V1e V2obtm-se por meio das equaes (9.5) a (9.7)as correntes de ramo:

11

1

6,8573,429

2

VI A

R (9.11)

1 22

2

6,857 12,5711,429

4

V VI A

R

(9.12)

23

3

12,571 1,5718

VI AR

(9.13)

As tenses sobre os ramos sero dadas pelas seguintes equaes:

1 1 0 6,857RV V V (9.14)

2 1 2 6,857 12,571 5,714RV V V V (9.15)

3 2 0 12,571RV V V (9.16)

O sinal negativo da tenso VR2 que aparece na soluo significa que a tenso queefetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrria ao sentido assumidocomo positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido queefetivamente existe contrrio aquele considerado positivo.

Com a determinao de todos as tenses e correntes do circuito, pode-se tambmdeterminar a potncia dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente.

9.8 Anlise Nodal com Fontes de Tenso

A anlise nodal, sendo um mtodo geral de anlise, pode tambm ser empregadaquando o circuito contiver fontes de tenso sejam elas dependentes ou independentes. As


49/138


fontes de tenso impem uma determinada diferena de potencial entre dois ns, no sendopossvel determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estascaractersticas devem ser consideradas quando do estabelecimento das equaes docircuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tenso, sendo que

uma delas descrita a seguir.Considerando que a fonte de tenso est conectada entre os terminais x e yconforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecer nas equaes de ambosos ns do circuito onde a fonte est conectada. Como no h uma relao entre a correnteda fonte e a sua tenso, pode-se manter a corrente Ik como uma incgnita a serdeterminada. Por outro lado, as tenses dos ns x e y esto relacionados da seguinte forma.

x yV V V (9.17)

Ik

V+ _

Ik

Vx Vyx y

Fig. 9-3 - Fonte de tenso entre dois ns.

Desta forma, foi acrescentada uma incgnita ao sistema de equaes (Ik), mastambm foi acrescentada uma equao (9.17), sendo ainda possvel solucionar o circuito.

Caso a fonte de tenso estiver conectada entre o n x e o n de terra, significa que atenso do n est imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equao deste n eestabelecer o seguinte valor para a tenso do n:

xV V (9.18)

O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento.

V=2V

IfIa

V1

I2R2 Ib

7A

I3

R3=10R

R1

2R2A 4RI1

V2

+ +

+

+

_

_

__

2

0

1

Fig. 9-4 - Anlise nodal com fonte de tenso.

As equaes dos ns para este circuito so:N 1:

1 3 1 30a f f aI I I I I I I I (9.19)

N 2:


50/138


3 2 2 30f b f bI I I I I I I I (9.20)

As relaes tenso corrente so:

1 11

1 10V VI

R R (9.21)

2 22

2 2

0V VI

R R

(9.22)

1 23

3

V VI

R

(9.23)

A equao adicional considerando a fonte de tenso :

1 2V V V (9.24)

Substituindo-se as relaes (9.21) a (9.23) obtm-se finalmente as equaes docircuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tenso aparece como uma incgnita amais, havendo tambm uma equao a mais (equao (9.24)).

1 3

1 1 2

1 3

2

11 3 3

1 1

.

f a

f a

f a

I I I I

V V VI I

R R

V

V I IR R R

(9.25)

2 3

2 1 2

2 3

12

3 2 3

1 1.

f b

f b

f b

I I I I

V V VI I

R R

VV I I

R R R

(9.26)

Substituindo-se os valores nas equaes, obtm-se o seguinte sistema:

1 2

1 2

1 2

0,6. 0,1. 2

0,1. 0,35. 7

2

f

f

V V I

V V I

V V

(9.27)

Resolvendo-se o sistema, obtm-se as incgnitas desconhecidas:

1

2

6

8

4,8f

V V

V V

I A


51/138


9.9 Exerccios

1-) Calcule as correntes e as tenses nos resistores utilizando a anlise nodal.

R2

3R

R1

12R

84V 21V

R3

6R

Respostas: V1=60V; V2=24V; V3=3V; I1=5A; I2=4A e I3=1A.

2-) Obtenha as tenses nodais do circuito abaixo.

4A2R

6R

7R1A

1 2

Respostas: V1=-2V e V2=-14V.

3-) Determine pelo mtodo das tenses de n:a) V1, V2e I1.

b) A potncia fornecida pela fonte de 15A.c) A potncia fornecida pela fonte de 5A.

5R

5A15R60R15A 2RV1

+ +

_ _V2

I1

Respostas: a) V1=60V, V2=10V, I1=10A; b) P=900W; c) P=-50W.

4-) Use o mtodo das tenses de n para determinar o valor de V no circuito abaixo.

1R 30V

4R

V 12R4,5A

6R 2R

+

_

Resposta: V=15V.

5-) Determine pelo mtodo das tenses de n a tenso V1e a potncia fornecida pela fonte

de 60V no circuito abaixo.


52/138


4A 30R80R20R

10R60V

V1

+

_

Respostas: V1=20V e P=180W.

6-) Determine pelo mtodo das tenses de n:a) As correntes nos ramos.b) A potncia total consumida no circuito.

18R

48R 20R

Ia

10R

70V

8R

128V IbIc

IdIe

Respostas: a) Ia=4A, Ib=2A, Ic=2A, Id=3A, Ie=-1A; b) P=582W.

7-) Use o mtodo das tenses de n para determinar V1e V2no circuito abaixo.

3,2A

25R

V1 375R125R2,4A 250R

+

_V2

+

_

Respostas: V1=25V e V2=90V.

8-) Use o mtodo das tenses de n para determinar Vo no circuito.

200R

20R

Vo

6A50R

40R

800R

75V

+_

Resposta: Vo=40V.9-) Use o mtodo das tenses de n para determinar V1e V2no circuito abaixo.

V2 3A

4R

5R144V 10R V1

80R

++

_ _

Respostas: V1=100V e V2=20V.

10-) Use o mtodo das tenses de n para determinar a potncia dissipada no circuitoabaixo.


53/138


25R

50R

4A

31,25R30V 1A50R

15R

Resposta: P=306W.

11-) Encontre Io no circuito abaixo.

8R

1R

2R

4A

4R

Io

2.Io

Resposta: Io=-4A.

12-) Determine V1e V2no circuito abaixo.

4R

8R

1R

3A

2R

12V

+ Vo -

+

_5.Vo

V1 V2

Respostas: V1=-10,91V e V2=-100,36V.

13-) Utilize a anlise nodal para encontrar Vo no circuito abaixo.

5R

2R

3V

3R

1R

++

__

Vo 4.Vo

Resposta: Vo=1,11V.


54/138


10 SUPERPOSIO

O princpio da superposio estabelece que quando um circuito contiver mais deuma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual docircuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinara resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somaralgebricamente as respostas individuais. A utilizao do princpio da superposio pode,em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a soluo. Para a resoluode circuitos utilizando o princpio da superposio deve-se levar em considerao osseguintes passos:

1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes detenso so substitudas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitosabertos. Fontes dependentes no devem ser alteradas.

2. Repetir o passo 1 at que todas as fontes independentes foram consideradas.

3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cadafonte. As tenses e correntes de cada ramo sero a soma das tenses ecorrentes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes etenses nas respostas individuais.


Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-secalcular a corrente Ia e a potncia dissipada no resistor de 4.

30R

15V10A

10R

20R 4R

5R

Ia


Inicialmente ser considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a detenso substituda por um curto-circuito. O circuito equivalente apresentado na Fig. 10-2.

30R

10A

10R

20R 4R

5R

Ia'

Fig. 10-2 - Circuito equivalente para a fonte de corrente.

Solucionando-se o circuito obtm-se a corrente Ia=2,703A. Esta corrente

considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo.


55/138


Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tenso, obtm-se o circuitoapresentado na Fig. 10-3.

30R

15V

10R

20R 4R

5R

Ia''

Fig. 10-3 - Circuito equivalente para a fonte de tenso.

Resolvendo-se o circuito, obtm-se uma corrente Ia=-1,014A. A corrente tem umvalor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tenso impe uma corrente quecircula no sentido contrrio ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princpio da

superposio, a corrente total que circula no resistor ser:

' ''

2, 703 1, 014 1, 689a a a

a

I I I

I A

= +

= = (10.1)

A potncia dissipada no resistor ser:

2

2

.

4.(1,689) 11,41

aP R I

P W

=

= = (10.2)

10.2 Exerccios

1-) Use o teorema da superposio para encontrar V no circuito abaixo.

3A4R6V

8R

V

+

_

Resposta: V=10V.

2-) Determine a tenso Vo usando o teorema da superposio.

3R

2R

5R

20V8AVo

+

_

Resposta: Vo=12V.


56/138


3-) Determine o valor da corrente I, usando o princpio da superposio.

8R

4A

16V

6R

2R

12V

I

Resposta: I=0,75A.

4-) Determine a corrente I do circuito apresentado abaixo.

24V

3R

4R

12V

4R

3A

8R

I

Resposta: I=2A.

5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposio para determinar Io.

3R

5R

2R

10R

4R

12V 2A

4A

Io

Resposta: Io=0,1111A.

6-) Utilize a superposio para obter a tenso Vx no circuito abaixo.

Vx

2A

20R

10V 4R 0,1.Vx

Resposta: Vx=12,5V.

7-) Determine Ix no circuito abaixo pelo mtodo da superposio.


57/138


4R

2R

1R

2A10V

Ix 5.Ix

Resposta: Ix=-0,1176A.

8-) Determine Io no circuito abaixo.

5R

1R4A

20V

2R

4R

3R

5.Io

+ |Io

Resposta: Io=-0,4706A.

11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THVENIN E NORTON

11.1 Introduo

Em muitos casos prticos existe a necessidade de determinar a tenso, corrente epotncia em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, no existe a necessidade dedeterminao das tenses e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, osteoremas de Thvenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalentesimples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar aresoluo.

11.2 Circuito Equivalente de Thvenin

A idia do circuito equivalente de Thvenin est ilustrada na Fig. 11-1. A figura(A) representa qualquer circuito constitudo por fontes e resistores; as letras a e b indicamos terminais na qual se tem interesse em obter a tenso, corrente ou potncia. O circuito

equivalente de Thvenin aparece na figura (B). Como se pode ver na figura, o circuitoequivalente de Thvenin constitudo por uma fonte independente de tenso, VTh, e um


58/138


resistor, RTh, que substituem todas as fontes e resistores do circuito. Esta combinao emsrie de VTh e RTh equivalente ao circuito original no sentido de que, se ligarmos amesma carga aos terminais a e b dos circuitos, ela ser submetida mesma tenso e seratravessada pela mesma corrente. Esta equivalncia existe para todos os valores possveis

de resistncia da carga.

VTh

RTha a

b b

Circuito

Resistivo

Contendo

Fontes

(A) (B) Fig. 11-1 - (A) Circuito genrico; (B) Circuito equivalente de Thvenin.

Para se obter a tenso de Thvenin em um ponto do circuito, basta calcular a tensonos terminais a e b quando estes esto em aberto.

Th abV V (11.1)

A resistncia equivalente de Thvenin (RTh) a resistncia equivalente do circuitoobtida a partir dos terminais a e b, com todas as fontes independentes consideradas nulas.Para isto, substituem-se as fontes de tenso por um curto-circuito e as fontes de correntepor circuitos abertos.

11.3 Circuito Equivalente de Norton

O circuito equivalente de Norton constitudo por uma fonte independente decorrente em paralelo com uma resistncia, conforme mostrado na Fig. 11-2. O valor dacorrente da fonte a corrente que circula do terminal a para b quando estes so curto-circuitados (Corrente de Norton, IN). A resistncia de Norton (RN) aquela obtida dosterminais a e b quando todas as fontes so anuladas. Como a resistncia a partir de doisterminais s possui um valor, a resistncia de Thvenin e Norton so, portanto, idnticas,bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes (RTh=RN).

IN

a

RN

a

b b

CircuitoResistivo

Contendo

Fontes

(A) (B) Fig. 11-2 - (A) Circuito genrico; (B) Circuito equivalente de Norton.

Uma alternativa para obter o circuito equivalente de Thvenin ou Norton, utilizando-se tcnicas de transformao de fontes. Uma transformao de fonte permite

substituir uma fonte de tenso em srie com um resistor por uma fonte de corrente emparalelo com o mesmo resistor, ou vice-versa.


59/138


A equaes (11.2) e (11.3) apresentam as relaes para obter a corrente de Nortonou a tenso de Thvenin quando utiliza-se destas tcnicas.

ThN

Th

VI

R

(11.2)

.Th N N

V I R (11.3)


O exemplo mostrado na Fig. 11-3 ilustra este procedimento.

4R

V13A

5R

20R25V Vab

+ +

_ _

a

b Fig. 11-3 - Circuito de exemplo.

Para determinar o circuito equivalente de Thvenin do circuito da Fig. 11-3,calcula-se primeiramente a tenso de circuito aberto entre os terminais a e b. Observe que,quando no h nenhuma carga ligada aos terminais a e b, a corrente no resistor de 4 zero, e portanto a tenso de circuito aberto, Vab, igual tenso entre os terminais da fontede corrente de 3A, V1. Para obter o valor de V1, basta resolver uma nica equao de n.Escolhendo-se o n inferior como n de referncia e adotando-se os sentidos das correntesconforme a Fig. 11-4, obtm-se:

4R

V13A

5R

20R25V Vab

+ +

_ _

a

b

I1I2

Fig. 11-4 - Sentido das correntes.

1 2

1 1

3

253

5 20

I I

V V

(11.4)

Resolvendo-se a equao, obtm-se:

1 32abV V V


60/138


Conforme apresentado anteriormente, a resistncia de Thvenin a resistncia vistapelos terminais a e b com as fontes anuladas. Anulando-se as fontes, obtm-se o circuitoequivalente da Fig. 11-5.

4R

RTh

5R

20R

a

b Fig. 11-5 - Resistncia equivalente.

Resolvendo-se o circuito equivalente pelo mtodo das associaes de resistores,obtm-se:

8Th

R

Atravs da obteno da resistncia e tenso de Thvenin, pode-se montar o circuitoequivalente.

RTh=8R

VTh=32V

Fig. 11-6 - Circuito equivalente de Thvenin.

Aplicando a transformao de fontes, determina-se o circuito equivalente deNorton.

32

8

4

ThN

Th

N

VI

R

I A

IN=4A RN=8R

Fig. 11-7 - Circuito equivalente de Norton.

11.5 Exerccios

1-) Determine o circuito equivalente de Thvenin e Norton do ponto de vista dos terminais

a e b do circuito abaixo.


61/138


10V 6R

4Ra

b Respostas: VTh=6V; IN=2,5A e RTh=RN=2,4.

2-) Determine o equivalente de Thvenin de Norton do circuito abaixo.

12V

5R

2R

3Ra

b Respostas: VTh=2,4V; IN=1,5A e RTh=RN=1,6.

3-) Determine o circuito equivalente de Thvenin de Norton do circuito abaixo.

12V

5R

2R

3R

2R

a

b

Respostas: VTh=1,33V; IN=1,5A e RTh=RN=0,89.

4-) Determine o circuito equivalente de Thvenin do circuito abaixo do ponto de vista dosterminais a e b.

8R

20R

5R

12R

72V

a

b Respostas: VTh=64,8V e 6ThR .

5-) Determine o circuito equivalente de Norton do circuito abaixo.

10R

8R 12R

2R

15A

a

b Respostas:IN=6A e 7,5NR .


62/138


6-) Determine o circuito equivalente de Norton e thvenin do circuito abaixo em relaoaos terminais a e b.

20R

40R

1,5A

25R

5R

30V 60R

a

b Respostas: VTh=45V,IN=1,5A e 30ThR .

7-) Determine o circuito equivalente de Thvenin e Norton do circuito abaixo.

2R

8A

12R

12V 6R

a

b Respostas: VTh=52V,IN-=8,67A e 6ThR .

8-) Obtenha o circuito equivalente de Thvenin para o circuito esquerda dos terminais a-b. Determine, ento, a corrente atravs do resistor RL, para RL=6, 16 e 36.

1R4R

32V 2A RL12R

a

b Respostas: IL=3A, IL=1,5A e IL=0,75A.

9-) Determine o circuito equivalente de Norton.

5R

12V

8R

2A

4R

8Ra

b Resposta: IN=1A e RN=4.


63/138


10-) Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito apresentado abaixo.

2R

2.Vx

6R 10A

+ |

Vx

+

_

a

b Resposta: IN=10A e RN=1.

11-) Determine o equivalente de Thvenin para o circuito apresentado abaixo.

4R

2R

5A 6R

2R

2.Vx

+

Vx_

+|

a

b Resposta: VTh=20V e RTh=6.

12 Indutores e Capacitores

Indutores e capacitores so elementos passivos que armazenam energia emcircuitos eltricos. Os indutores armazenam energia em forma de campo magntico,enquanto os capacitores armazenam no campo eltrico.

12.1 Indutor

O indutor um componente passivo que se ope a variaes da corrente eltrica.

Ele composto basicamente por um enrolamento de fio condutor em torno de um ncleo,conforme apresentado na Fig. 12-1.

Espiras

Ncleo

Fig. 12-1 - Indutor.

O comportamento dos indutores se baseia em fenmenos associados a campos

magnticos. O campo magntico criado em torno de um fio condutor tem a forma de anisconcntricos com o condutor. A direo do campo (das linhas de fora) pode ser


64/138


65/138


zero. Ligar e desligar circuitos indutivos constitui um srio problema na engenharia, j queo centelhamento e os picos de tenso associados podem danificar os equipamentos.

Isolando-se a corrente na equao (12.1), obtm-se a equao que determina ocomportamento da corrente nos indutores.

0

1( ) . ( ). (0)

t

L L L

t

i t v t dt iL

= + (12.2)

12.2 Associao de Indutores

Assim como as combinaes de resistores em srie e em paralelo podem serreduzidas a um nico resistor equivalente, combinaes de indutores em srie e emparalelo podem tambm ser reduzidas a um nico indutor equivalente. A Fig. 12-4 mostraindutores em srie.

L1

+ VL1 -

V

I

L2 LnL3

+ VL2 - + VL3 - + VLn -

Fig. 12-4 - Indutores em srie.

Como a corrente a mesma em todos os indutore

eletrica circuitos elétricos

Documents