aula 1 mat

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AULA 1

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ESTUDO DOS NÚMEROS

• NÚMEROS NATURAIS• NÚMEROS INTEIROS• NÚMEROS RACIONAIS• NÚMEROS IRRACIONAIS• NÚMEROS REAIS

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DEFINIÇÃO

NÚMERO É UM OBJETO DA MATEMÁTICA USADO PARADESCREVER QUANTIDADE, ORDEM OU MEDIDA. O

CONCEITODE NÚMERO PROVAVELMENTE FOI UM DOSPRIMEIROS CONCEITOS MATEMÁTICOS ASSIMILADOS

PELA HUMANIDADE NO PROCESSO DE CONTAGEM.

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DEFINIÇÃO

PARA ISTO, OS NÚMEROS NATURAIS ERAM UM BOMCOMEÇO. O TRABALHO DOS MATEMÁTICOS NOS LEVOU

A DESCOBRIR OUTROS TIPOS DE NÚMEROS. OSNÚMEROS INTEIROS SÃO UMA EXTENSÃO DOS NÚMEROS

NATURAIS QUE INCLUEM OS NÚMEROS INTEIROSNEGATIVOS. OS NÚMEROS RACIONAIS, POR SUA VEZ,INCLUEM FRAÇÕES DE INTEIROS. OS NÚMEROS REAIS

SÃO TODOS OS NÚMEROS RACIONAIS MAIS OSNÚMEROS IRRACIONAIS.

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O USO MAIS COMUM DOS NÚMEROS NATURAIS É ACONTAGEM “HÁ 4 QUADROS NA PAREDE” OU A

ORDENAÇÃO “ESTA É A 2ª MAIOR CIDADE DO PAÍS”.

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NÚMEROS NATURAIS

NÚMERO NATURAL É UM NÚMERO INTEIRO NÃONEGATIVO (0, 1, 2,...).

EM ALGUNS CONTEXTOS, O NÚMERO NATURAL ÉDEFINIDO COMO UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO, ISTO É,

O ZERO NÃO É CONSIDERADO COMO UMNÚMERO NATURAL.

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NÚMEROS NATURAIS

OS MATEMÁTICOS USAM O “N” PARA SE REFERIR AOCONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS. ESTECONJUNTO É INFINITO E CONTÁVEL POR DEFINIÇÃO.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....}

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NÚMEROS NATURAIS

PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS

NATURAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ

PARTE DO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO

ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}

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CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

• DIVISIBILIDADE POR 2• DIVISIBILIDADE POR 3• DIVISIBILIDADE POR 4• DIVISIBILIDADE POR 5• DIVISIBILIDADE POR 6• DIVISIBILIDADE POR 7• DIVISIBILIDADE POR 8• DIVISIBILIDADE POR 9• DIVISIBILIDADE POR 10

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DIVISIBILIDADE POR 2

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 2 QUANDO TERMINAEM 0, 2, 4, 6 ou 8, ISTO É, QUANDO É PAR.

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 3 QUANDO A SOMA DOSVALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS

FOR DIVISÍVEL POR 3.

EXEMPLO

360 (3 + 6 + 0) = 9 → É DIVISÍVEL

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 4 QUANDO OS DOIS ÚLTIMOSALGARISMOS FOREM ZERO OU FORMAREM UM NÚMERO

DIVISÍVEL POR 4.

EXEMPLO

416 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 16 [4 x 4]) → É DIVISÍVEL

200 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 00 → É DIVISÍVEL

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 5 QUANDO TERMINAEM 0 ou 5.

EXEMPLO

2.654.820 → É DIVISÍVEL

54.525 → É DIVISÍVEL

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 6 QUANDO É DIVISÍVELPOR 2 E POR 3.

EXEMPLO

414 → É DIVISÍVEL POR 6, POIS

• É PAR → É DIVISÍVEL POR 2

• 4 + 1 + 4 = 9 → É DIVISÍVEL POR 3

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 7 QUANDO SEPARANDO-SEO ULTIMO ALGARISMO DO PRIMEIRO, SUBTRAÍMOS

O DOBRO DO SEGUNDO E O RESULTADO É DIVISÍVEL POR 7.

EXEMPLO

453 → SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOSCOM 45 E 3. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DO

SEGUNDO, OU SEJA, 45 – 6 = 39. COMO 39 NÃO É DIVISÍVELPOR 7, LOGO O NÚMERO 453 TAMBÉM NÃO É.

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EXEMPLO

784 → SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOSCOM 78 E 4. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DOSEGUNDO, OU SEJA, 78 – 8 = 70. COMO 70 É DIVISÍVEL

POR 7, LOGO O NÚMERO 784 TAMBÉM É.

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 8 QUANDO OS 3 ÚLTIMOSALGARISMOS FOREM 0 OU FORMAREM UM NÚMERO

MÚLTIPLO DE 8.

EXEMPLO

24.512 → 512 É UM NÚMERO DIVISÍVELPOR 8, LOGO O NÚMERO 24.512 TAMBÉM É.

51.000 → TERMINA COM 3 ZEROS, LOGO É DIVISÍVEL.

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 9 QUANDO A SOMA DOSVALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS

FOR DIVISÍVEL POR 9.

EXEMPLO

927 (9 + 2 + 7) = 18 → É DIVISÍVEL

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UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 10 QUANDO TERMINA EMZERO.

EXEMPLO

154.870 → É DIVISÍVEL

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NÚMEROS INTEIROS

OS INTEIROS, OU NÚMEROS INTEIROS, CONSISTEM DOSNÚMEROS NATURAIS (0, 1, 2,...) E DOS NÚMEROS INTEIROS

NEGATIVOS (-1, -2, -3, .....).

O CONJUNTO DE TODOS OS INTEIROS É NORMALMENTECHAMADO DE “Z”, QUE VEM DE ZAHLEN (QUE QUER DIZER

NÚMERO EM ALEMÃO).

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NÚMEROS INTEIROS

INTEIROS PODEM SER ADICIONADOS OU SUBTRAÍDOS,MULTIPLICADOS E COMPARADOS. A PRINCIPAL RAZÃOPARA A EXISTÊNCIA DOS NÚMEROS NEGATIVOS É QUE

TORNOU-SE POSSÍVEL RESOLVER TODAS AS EQUAÇÕESDA FORMA A + X = B PARA A INCÓGNITA X.

NOS NÚMEROS NATURAIS APENAS ALGUMAS DESTASEQUAÇÕES ERAM SOLÚVEIS.

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NÚMEROS INTEIROS

TEMOS COMO EXEMPLO O SEGUINTE CONJUNTO DENÚMEROS INTEIROS:

Z = {....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....}

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NÚMEROS INTEIROS


INTEIROS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:

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NOTAÇÃO

COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO

CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO

ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Z* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

INTEIROS NÃO NEGATIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS,

UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Z+ = {0, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS

INTEIROS NÃO POSITIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS,


Z- = {....., -3, -2, -1, 0}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “* e +” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS

NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTEDO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OSNÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTE DO

CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Z*+ = {1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO

COLOCAMOS UM SÍMBOLO “* e -” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS

NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OSNÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO

CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Z*- = {....., -3, -2, -1}

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NOTAS

• Z+ = N

• Z*+ = N*

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NÚMEROS RACIONAIS

NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUEPODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COMO NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTES AOS

NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO DOSNÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTO DOSNÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES POSITIVAS E

NEGATIVAS.

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NÚMEROS RACIONAIS

O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “Q”, QUE VEM DE

QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).

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NÚMEROS RACIONAIS

NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU,VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS

INTEIROS, GERALMENTE ESCRITA NA FORMA a/b, ONDE bÉ UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO.

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NÚMEROS RACIONAIS

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:

Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*}, AONDE LÊ-SE

Q IGUAL A “a” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “b”, TAL QUE, “a”PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “b”

PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE“Z” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “Z*” O

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.

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NÚMEROS RACIONAIS

FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTESIGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO.

ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA EA DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE

REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.

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NÚMEROS RACIONAIS

TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAISOS SEGUINTES NÚMEROS:

• 29/8• 3 QUE É IGUAL A 3/1

• -29/8• 3 5/8

• 0 QUE É IGUAL A 0/1• -3 QUE É IGULA A -3/1

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NÚMEROS RACIONAIS


RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:

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NOTAÇÃO


RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS,


Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO


RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS,

UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO EOBTEREMOS O SUBCONJUNTO:

Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}

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NÚMEROS RACIONAIS

CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DEDIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO,

3/6 = 2/4 = 1/2

A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEMDIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA

FORMA COMO ESTA.

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NÚMEROS RACIONAIS

DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DEUM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO

a/b, DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTESIGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR,

ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR.

EXEMPLO

A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8. ELAÉ IGUAL A 7 POIS 7 x 8 = 56.

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TIPOS DE FRAÇÕES

• PRÓPRIA• IMPRÓPRIA• MISTA• APARENTE• EQUIVALENTES• UNITÁRIA• DECIMAIS DE ESCRITA FINITA• DÍZIMAS

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FRAÇÕES PRÓPRIA

O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR.

EXEMPLO

1/2, 1/4, 2/4

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FRAÇÕES IMPRÓPRIA

O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR.

EXEMPLO

7/3, 5/2, 9/4

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FRAÇÕES MISTA

É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMAPARTE FRACIONÁRIA.

EXEMPLO

2 1/2, 4 1/4, 7 2/4

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FRAÇÕES APARENTE

É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR ÉMÚLTIPLO DO DENOMINADOR.

EXEMPLO

12/2, 20/4, 10/5

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FRAÇÕES EQUIVALENTES

SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃODE OUTRA FRAÇÃO.

EXEMPLO

4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3

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FRAÇÕES UNITÁRIA

O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADORÉ UM INTEIRO POSITIVO.

EXEMPLO

1/3, 1/5, 1/7

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FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA

SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADOSÃO FINITAS.

EXEMPLO

8,35 ou 4,59 ou 1,23

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FRAÇÕES DE DÍZIMAS

SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADONÃO SÃO FINITAS.

EXEMPLO

8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...

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TIPOS DE DECIMAIS

• DECIMAIS EXATOS

• DÍZIMA PERIÓDICA• DÍZIMA SIMPLES• DÍZIMA COMPOSTA

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DECIMAIS EXATOS

EXEMPLOS

• 1/2 = 0,5

• 1/5 = 0,2

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DECIMAIS PERIÓDICOS

DÍZIMA SIMPLES

EXEMPLOS

• 2/3 = 0,666666...

• 5/3 = 1,6666...

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DECIMAIS PERIÓDICOS

DÍZIMA COMPOSTA

EXEMPLOS

• 7/6 = 1,166666...

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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

• MULTIPLICAÇÃO• DIVISÃO• ADIÇÃO• SUBTRAÇÃO• EXPONENCIAÇÃO• EXPOENTE FRACIONÁRIO• SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

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MULTIPLICAÇÃO

MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SIE OS DENOMINADORES ENTRE SI.

EXEMPLOS

3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35

1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20

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MULTIPLICAÇÃO

PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMEROINTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE É UMA FRAÇÃO

CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM).

EXEMPLOS

3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4

4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5

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MULTIPLICAÇÃO

É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, AMULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORESRESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE

SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

EXEMPLO

1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6

DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS:

3/2

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MULTIPLICAÇÃO

COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICARANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO.

EXEMPLO

1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2

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DIVISÃO

COMO JÁ VISTO, A DIVISÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DAMULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE TER ISSO EM MENTE

PARA RESOLVER UMA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES.

EXEMPLO

3/5 / 7/2

PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDAFRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO,

ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO:

3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35

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MÁXIMO DIVISOR COMUM

O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIORDIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGARMENTEABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON-TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.

EXEMPLO

mdc(24,40)

24 | 2 40 | 212 | 2 20 | 26 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 83 | 3 5 | 5 ___ ___

1 | 2³ x 3 1 | 2³ x 3

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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

EXEMPLO

mdc(16,8)

16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___1 | 24 1 | 2³

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O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENORMÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGAR-MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIROENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.

EXEMPLOMmc(24,40)

24, 40 | 212, 20 | 26, 10 | 2 x3, 5 | 31, 5 | 5 ____1, 1 | 120

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EXEMPLO

Mmc(6,8)

6, 8 | 23, 4 | 23, 2 | 2 x3, 1 | 3 __1, 1 | 24

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ADIÇÃO

CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO,ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENORMÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES:

2/3 + 3/5

ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O

MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:

15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9

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ADIÇÃO

SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:

10+9 / 15 = 19/15

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SUBTRAÇÃO

A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOSPASSOS DA ADIÇÃO:

2/3 - 3/5

ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O

MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:

15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9

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SUBTRAÇÃO

SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:

10-9 / 15 = 1/15

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EXPONENCIAÇÃO

É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRA AEXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO:

(1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25

EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃOOBTÉM-SE O MESMO RESULTADO:

(1/2)² = (0,5)² = 0,25

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EXPOENTE FRACIONÁRIO

DA MESMA FORMA QUE NA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES,A OCORRÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO CAUSA A

INVERSÃO DA OPERAÇÃO:

8⅔ = A RAIZ CÚBICA (3) DE OITO ELEVADO AO QUADRADO= 8² = 64 = 4

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SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES

UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDONUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS

ENTRE SI:

8/4

PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISORCOMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃOQUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É

DO TIPO IRREDUTÍVEL:

8 : 4 / 4 : 4 = 2/1

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NÚMEROS IRRACIONAIS

NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROSREAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.

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O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “I”.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:

I = R - Q

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COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRENOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO:

√2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828...

(Pi) = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...

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NÚMEROS REAIS

É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAISE PELOS NÚMEROS RACIONAIS.

OS MATEMÁTICOS USAM O “R” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.

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NÚMEROS REAIS

AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAISCOM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, FORMANDOO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS

REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETAPREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS

OS SEUS PONTOS.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.

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NOTAÇÃO

COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO

CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS,


R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO


INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS,


R+ = {0, 1, 2, 3, .....}

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NOTAÇÃO


INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.

PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS,


R- = {....., -3, -2, -1, 0}

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NÚMEROS REAIS

PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS,RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.

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NÚMEROS REAIS

ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

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MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x,É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE

X E –x, ISTO É:

|x| = MÁXIMO{x,y}

OU AINDA POR:

x SE x > 00 SE x = 0-x SE x < 0

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AULA 1


EXEMPLOS

|+5| = 5

|0| = 0

|-6| = 6

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AULA 1


ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS

A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITEDEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS

NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZEROE OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO.

EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DASEGUINTE MANEIRA:

a ≤ b se b – a ≥ 0

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AULA 1


EXEMPLO

-15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0

-15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0

-15 ≤ 5 se 20 ≥ 0

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AULA 1


PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS

REFLEXIVA: PARA TODO x EM R:

x ≤ x

ANTI-SIMÉTRICA: SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO:

x = x

TRANSITIVA: SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO:

x < z

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AULA 1


EXERCÍCIOS

QUAL É O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UMNÚMERO NATURAL n SERÃO RESPECTIVAMENTE:

RESPOSTA: n + 1 e n - 1

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AULA 1


EXERCÍCIOS

O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PARSERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO?

RESPOSTA: ÍMPAR.

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AULA 1


EXERCÍCIOS

SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROSPARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO:

2n + 1 = IMPAR

8n – 6 = PAR

6n -1 = IMPAR

5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n

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AULA 1


EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS?

RESPOSTA: 99 E 10.

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AULA 1


EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS DIFERENTES?

RESPOSTA: 98 E 10.

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AULA 1


EXERCÍCIOS

QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPARDE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES?

RESPOSTA: 9.875 E 1.235.

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AULA 1


EXERCÍCIOS

O VALOR DE X QUE É SOLUÇÃO, NOS NÚMEROS REAIS, DA EQUAÇÃO 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 É IGUAL A?

RESPOSTA:

6 + 4 + 3 / 12 = x/48

13/12 = x/48

X = 52

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AULA 1


EXERCÍCIOS

NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58.SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À

SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA,QUAL SERÁ O NOVO TOTAL?

RESPOSTA:

x + y + z = 58

X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82

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AULA 1


EXERCÍCIOS

RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:

- [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)]

RESPOSTA:

PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELETINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM

COM OS SINAIS TROCADOS:

- [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6]

LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES:

3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6

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AULA 1


EXERCÍCIOS

RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:

{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] }

RESPOSTA:

PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES:

{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] }

DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3:

{ - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }

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AULA 1


EXERCÍCIOS

LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTESDESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS

SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL:

{ - 5 - 8 + 15 – 3 }

LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉMNÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR:

- 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1

aula 1 mat

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