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PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ESTUDO DOS NÚMEROS
• NÚMEROS NATURAIS• NÚMEROS INTEIROS• NÚMEROS RACIONAIS• NÚMEROS IRRACIONAIS• NÚMEROS REAIS
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DEFINIÇÃO
NÚMERO É UM OBJETO DA MATEMÁTICA USADO PARADESCREVER QUANTIDADE, ORDEM OU MEDIDA. O
CONCEITODE NÚMERO PROVAVELMENTE FOI UM DOSPRIMEIROS CONCEITOS MATEMÁTICOS ASSIMILADOS
PELA HUMANIDADE NO PROCESSO DE CONTAGEM.
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DEFINIÇÃO
PARA ISTO, OS NÚMEROS NATURAIS ERAM UM BOMCOMEÇO. O TRABALHO DOS MATEMÁTICOS NOS LEVOU
A DESCOBRIR OUTROS TIPOS DE NÚMEROS. OSNÚMEROS INTEIROS SÃO UMA EXTENSÃO DOS NÚMEROS
NATURAIS QUE INCLUEM OS NÚMEROS INTEIROSNEGATIVOS. OS NÚMEROS RACIONAIS, POR SUA VEZ,INCLUEM FRAÇÕES DE INTEIROS. OS NÚMEROS REAIS
SÃO TODOS OS NÚMEROS RACIONAIS MAIS OSNÚMEROS IRRACIONAIS.
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O USO MAIS COMUM DOS NÚMEROS NATURAIS É ACONTAGEM “HÁ 4 QUADROS NA PAREDE” OU A
ORDENAÇÃO “ESTA É A 2ª MAIOR CIDADE DO PAÍS”.
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NÚMEROS NATURAIS
NÚMERO NATURAL É UM NÚMERO INTEIRO NÃONEGATIVO (0, 1, 2,...).
EM ALGUNS CONTEXTOS, O NÚMERO NATURAL ÉDEFINIDO COMO UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO, ISTO É,
O ZERO NÃO É CONSIDERADO COMO UMNÚMERO NATURAL.
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NÚMEROS NATURAIS
OS MATEMÁTICOS USAM O “N” PARA SE REFERIR AOCONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS NATURAIS. ESTECONJUNTO É INFINITO E CONTÁVEL POR DEFINIÇÃO.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....}
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NÚMEROS NATURAIS
PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM ASTERISCO AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZ
PARTE DO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO
ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}
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CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
• DIVISIBILIDADE POR 2• DIVISIBILIDADE POR 3• DIVISIBILIDADE POR 4• DIVISIBILIDADE POR 5• DIVISIBILIDADE POR 6• DIVISIBILIDADE POR 7• DIVISIBILIDADE POR 8• DIVISIBILIDADE POR 9• DIVISIBILIDADE POR 10
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DIVISIBILIDADE POR 2
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 2 QUANDO TERMINAEM 0, 2, 4, 6 ou 8, ISTO É, QUANDO É PAR.
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DIVISIBILIDADE POR 3
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 3 QUANDO A SOMA DOSVALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS
FOR DIVISÍVEL POR 3.
EXEMPLO
360 (3 + 6 + 0) = 9 → É DIVISÍVEL
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DIVISIBILIDADE POR 4
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 4 QUANDO OS DOIS ÚLTIMOSALGARISMOS FOREM ZERO OU FORMAREM UM NÚMERO
DIVISÍVEL POR 4.
EXEMPLO
416 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 16 [4 x 4]) → É DIVISÍVEL
200 (ÚLTIMOS 2 ALGARISMOS: 00 → É DIVISÍVEL
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DIVISIBILIDADE POR 5
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 5 QUANDO TERMINAEM 0 ou 5.
EXEMPLO
2.654.820 → É DIVISÍVEL
54.525 → É DIVISÍVEL
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DIVISIBILIDADE POR 6
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 6 QUANDO É DIVISÍVELPOR 2 E POR 3.
EXEMPLO
414 → É DIVISÍVEL POR 6, POIS
• É PAR → É DIVISÍVEL POR 2
• 4 + 1 + 4 = 9 → É DIVISÍVEL POR 3
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DIVISIBILIDADE POR 7
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 7 QUANDO SEPARANDO-SEO ULTIMO ALGARISMO DO PRIMEIRO, SUBTRAÍMOS
O DOBRO DO SEGUNDO E O RESULTADO É DIVISÍVEL POR 7.
EXEMPLO
453 → SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOSCOM 45 E 3. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DO
SEGUNDO, OU SEJA, 45 – 6 = 39. COMO 39 NÃO É DIVISÍVELPOR 7, LOGO O NÚMERO 453 TAMBÉM NÃO É.
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DIVISIBILIDADE POR 7
EXEMPLO
784 → SEPARANDO-SE O ÚLTIMO ALGARISMO FICAMOSCOM 78 E 4. DO PRIMEIRO SUBTRAÍMOS O DOBRO DOSEGUNDO, OU SEJA, 78 – 8 = 70. COMO 70 É DIVISÍVEL
POR 7, LOGO O NÚMERO 784 TAMBÉM É.
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DIVISIBILIDADE POR 8
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 8 QUANDO OS 3 ÚLTIMOSALGARISMOS FOREM 0 OU FORMAREM UM NÚMERO
MÚLTIPLO DE 8.
EXEMPLO
24.512 → 512 É UM NÚMERO DIVISÍVELPOR 8, LOGO O NÚMERO 24.512 TAMBÉM É.
51.000 → TERMINA COM 3 ZEROS, LOGO É DIVISÍVEL.
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DIVISIBILIDADE POR 9
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 9 QUANDO A SOMA DOSVALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS
FOR DIVISÍVEL POR 9.
EXEMPLO
927 (9 + 2 + 7) = 18 → É DIVISÍVEL
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DIVISIBILIDADE POR 10
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 10 QUANDO TERMINA EMZERO.
EXEMPLO
154.870 → É DIVISÍVEL
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NÚMEROS INTEIROS
OS INTEIROS, OU NÚMEROS INTEIROS, CONSISTEM DOSNÚMEROS NATURAIS (0, 1, 2,...) E DOS NÚMEROS INTEIROS
NEGATIVOS (-1, -2, -3, .....).
O CONJUNTO DE TODOS OS INTEIROS É NORMALMENTECHAMADO DE “Z”, QUE VEM DE ZAHLEN (QUE QUER DIZER
NÚMERO EM ALEMÃO).
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NÚMEROS INTEIROS
INTEIROS PODEM SER ADICIONADOS OU SUBTRAÍDOS,MULTIPLICADOS E COMPARADOS. A PRINCIPAL RAZÃOPARA A EXISTÊNCIA DOS NÚMEROS NEGATIVOS É QUE
TORNOU-SE POSSÍVEL RESOLVER TODAS AS EQUAÇÕESDA FORMA A + X = B PARA A INCÓGNITA X.
NOS NÚMEROS NATURAIS APENAS ALGUMAS DESTASEQUAÇÕES ERAM SOLÚVEIS.
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NÚMEROS INTEIROS
TEMOS COMO EXEMPLO O SEGUINTE CONJUNTO DENÚMEROS INTEIROS:
Z = {....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....}
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NÚMEROS INTEIROS
PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS
INTEIROS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
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NOTAÇÃO
COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO
CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃO
ABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Z* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO NEGATIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Z+ = {0, 1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO POSITIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Z- = {....., -3, -2, -1, 0}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “* e +” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS
NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTEDO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OSNÚMEROS INTEIROS POSITIVOS FAZEM PARTE DO
CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Z*+ = {1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “* e -” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE APENAS OS
NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE APENAS OSNÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS FAZEM PARTE DO
CONJUNTO, UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Z*- = {....., -3, -2, -1}
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NOTAS
• Z+ = N
• Z*+ = N*
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NÚMEROS RACIONAIS
NÚMEROS RACIONAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS QUEPODEM SER COLOCADOS NA FORMA DE FRAÇÃO (COMO NUMERADOR E DENOMINADOR PERTENCENTES AOS
NÚMEROS INTEIROS). OU SEJA, O CONJUNTO DOSNÚMEROS RACIONAIS É A UNIÃO DO CONJUNTO DOSNÚMEROS INTEIROS COM AS FRAÇÕES POSITIVAS E
NEGATIVAS.
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NÚMEROS RACIONAIS
O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS RACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “Q”, QUE VEM DE
QUOTIENT (QUE QUER DIZER QUOCIENTE EM INGLÊS).
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NÚMEROS RACIONAIS
NA MATEMÁTICA, UM NÚMERO RACIONAL (OU,VULGARMENTE, FRAÇÃO) É UMA RAZÃO ENTRE DOIS
INTEIROS, GERALMENTE ESCRITA NA FORMA a/b, ONDE bÉ UM NÚMERO INTEIRO DIFERENTE DE ZERO.
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NÚMEROS RACIONAIS
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:
Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*}, AONDE LÊ-SE
Q IGUAL A “a” SOBRE (OU DIVIDIDO POR) “b”, TAL QUE, “a”PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “b”
PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. ONDE“Z” É O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E “Z*” O
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS EXCLUINDO O ZERO.
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NÚMEROS RACIONAIS
FRAÇÃO É UM NÚMERO QUE EXPRIME UMA OU MAIS PARTESIGUAIS QUE FOI DIVIDIDA UMA UNIDADE OU UM INTEIRO.
ASSIM, POR EXEMPLO, SE TIVERMOS UMA PIZZA INTEIRA EA DIVIDIRMOS EM QUATRO PARTES IGUAIS, CADA PARTE
REPRESENTARÁ UMA FRAÇÃO DA PIZZA.
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NÚMEROS RACIONAIS
TEMOS COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS RACIONAISOS SEGUINTES NÚMEROS:
• 29/8• 3 QUE É IGUAL A 3/1
• -29/8• 3 5/8
• 0 QUE É IGUAL A 0/1• -3 QUE É IGULA A -3/1
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NÚMEROS RACIONAIS
PODEMOS CONSIDERAR O CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS ORDENADOS SOBRE UMA RETA, COMOMOSTRA O GRÁFICO ABAIXO:
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
RACIONAIS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Q+ = {7/5, 0, 1/2, 1, 2, 3, .....}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
RACIONAIS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃO ABAIXO EOBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
Q- = {....., -3, -2, -1, -1/2, -1/4, 0}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÚMEROS RACIONAIS
CADA NÚMERO RACIONAL PODE SER ESCRITO DEDIVERSAS FORMAS, COMO, POR EXEMPLO,
3/6 = 2/4 = 1/2
A FORMA MAIS SIMPLES É QUANDO a E b NÃO POSSUEMDIVISORES EM COMUM, E TODO RACIONAL TEM UMA
FORMA COMO ESTA.
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NÚMEROS RACIONAIS
DE MODO SIMPLES, PODE-SE DIZER QUE UMA FRAÇÃO DEUM NÚMERO, REPRESENTADA DE MODO GENÉRICO COMO
a/b, DESIGNA ESTE NÚMERO a DIVIDIDO EM b PARTESIGUAIS. NESTE CASO, a CORRESPONDE AO NUMERADOR,
ENQUANTO b CORRESPONDE AO DENOMINADOR.
EXEMPLO
A FRAÇÃO 56/8 DESIGNA O QUOCIENTE DE 56 POR 8. ELAÉ IGUAL A 7 POIS 7 x 8 = 56.
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TIPOS DE FRAÇÕES
• PRÓPRIA• IMPRÓPRIA• MISTA• APARENTE• EQUIVALENTES• UNITÁRIA• DECIMAIS DE ESCRITA FINITA• DÍZIMAS
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FRAÇÕES PRÓPRIA
O NUMERADOR É MENOR QUE O DENOMINADOR.
EXEMPLO
1/2, 1/4, 2/4
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FRAÇÕES IMPRÓPRIA
O NUMERADOR É MAIOR QUE O DENOMINADOR.
EXEMPLO
7/3, 5/2, 9/4
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FRAÇÕES MISTA
É CONSTRUÍDA POR UMA PARTE INTEIRA E UMAPARTE FRACIONÁRIA.
EXEMPLO
2 1/2, 4 1/4, 7 2/4
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FRAÇÕES APARENTE
É CONSTITUÍDA QUANDO O NUMERADOR ÉMÚLTIPLO DO DENOMINADOR.
EXEMPLO
12/2, 20/4, 10/5
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FRAÇÕES EQUIVALENTES
SÃO AQUELAS QUE MANTÊM A MESMA PROPORÇÃODE OUTRA FRAÇÃO.
EXEMPLO
4/8 = 1/2, 4/20 = 1/5, 10/30 = 1/3
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FRAÇÕES UNITÁRIA
O NUMERADOR É IGUAL A 1 (UM) E O DENOMINADORÉ UM INTEIRO POSITIVO.
EXEMPLO
1/3, 1/5, 1/7
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FRAÇÕES DECIMAIS DE ESCRITA FINITA
SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADOSÃO FINITAS.
EXEMPLO
8,35 ou 4,59 ou 1,23
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FRAÇÕES DE DÍZIMAS
SÃO AQUELAS QUE A PARTE DECIMAL DO RESULTADONÃO SÃO FINITAS.
EXEMPLO
8,66666... ou 4,59595959... ou 1,23333333...
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
TIPOS DE DECIMAIS
• DECIMAIS EXATOS
• DÍZIMA PERIÓDICA• DÍZIMA SIMPLES• DÍZIMA COMPOSTA
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DECIMAIS EXATOS
EXEMPLOS
• 1/2 = 0,5
• 1/5 = 0,2
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DECIMAIS PERIÓDICOS
DÍZIMA SIMPLES
EXEMPLOS
• 2/3 = 0,666666...
• 5/3 = 1,6666...
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DECIMAIS PERIÓDICOS
DÍZIMA COMPOSTA
EXEMPLOS
• 7/6 = 1,166666...
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
• MULTIPLICAÇÃO• DIVISÃO• ADIÇÃO• SUBTRAÇÃO• EXPONENCIAÇÃO• EXPOENTE FRACIONÁRIO• SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MULTIPLICAÇÃO
MULTIPLICAM-SE OS NUMERADORES ENTRE SIE OS DENOMINADORES ENTRE SI.
EXEMPLOS
3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
1/4 x 3/5 = 1 x 3 / 4 x 5 = 3/20
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MULTIPLICAÇÃO
PARA MULTIPLICAR UMA FRAÇÃO POR UM NÚMEROINTEIRO, CONSIDERA-SE QUE ESTE É UMA FRAÇÃO
CUJO DENOMINADOR É IGUAL A 1 (UM).
EXEMPLOS
3 x 1/4 = 3 x 1 / 1 x 4 = 3/4
4 x 2/5 = 4 x 2 / 1 x 5 = 8/5
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MULTIPLICAÇÃO
É IMPORTANTE NOTAR QUE, MUITAS VEZES, AMULTIPLICAÇÃO DOS NUMERADORES E DENOMINADORESRESULTA EM FRAÇÕES REDUTÍVEIS. ESTA FRAÇÃO DEVE
SER REDUZIDA A UMA FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.
EXEMPLO
1/3 x 9/2 = 1 x 9 / 3 x 2 = 9/6
DIVIDINDO A FRAÇÃO POR 3, OBTEREMOS:
3/2
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MULTIPLICAÇÃO
COSTUMA SER MAIS PRÁTICO SIMPLIFICARANTES DE EFETUAR A MULTIPLICAÇÃO.
EXEMPLO
1/3 x 9/2 = 1 x 3/2 = 1 x 3 / 1 x 2 = 3/2
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
DIVISÃO
COMO JÁ VISTO, A DIVISÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DAMULTIPLICAÇÃO. É IMPORTANTE TER ISSO EM MENTE
PARA RESOLVER UMA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES.
EXEMPLO
3/5 / 7/2
PRIMEIRAMENTE INVERTE-SE O DIVISOR DA SEGUNDAFRAÇÃO. COM ISTO, TEM-SE A INVERSÃO DA OPERAÇÃO,
ISTO É, PASSARÁ A HAVER UMA MULTIPLICAÇÃO:
3/5 x 2/7 = 3 x 2 / 5 x 7 = 6/35
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O MÁXIMO DIVISOR COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MAIORDIVISOR EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGARMENTEABREVIADO COMO mdc(a,b) É O MAIOR NÚMERO INTEIRO ENCON-TRADO, QUE SEJA DIVISOR DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.
EXEMPLO
mdc(24,40)
24 | 2 40 | 212 | 2 20 | 26 | 2 x 10 | 2 x mdc(24,40) = 2³ = 83 | 3 5 | 5 ___ ___
1 | 2³ x 3 1 | 2³ x 3
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
EXEMPLO
mdc(16,8)
16 | 2 8 | 2 8 | 2 4 | 2 4 | 2 x 2 | 2 x mdc(16,8) = 2³ = 8 2 | 2 ___ ___1 | 24 1 | 2³
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (TAMBÉM CONHECIDO POR MENORMÚLTIPLO EM COMUM) ENTRE DOIS NÚMEROS a E b, VULGAR-MENTE ABREVIADO COMO mmc(a,b) É O MENOR NÚMERO INTEIROENCONTRADO, QUE SEJA MÚLTIPLO DOS OUTROS DOIS NÚMEROS.
EXEMPLOMmc(24,40)
24, 40 | 212, 20 | 26, 10 | 2 x3, 5 | 31, 5 | 5 ____1, 1 | 120
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
EXEMPLO
Mmc(6,8)
6, 8 | 23, 4 | 23, 2 | 2 x3, 1 | 3 __1, 1 | 24
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ADIÇÃO
CASO OS DENOMINADORES NÃO SEJAM IGUAIS É PRECISO,ANTES DE EFETUAR A ADIÇÃO, ENCONTRAR O MENORMÚLTIPLO COMUM (MMC) ENTRE OS DENOMINADORES:
2/3 + 3/5
ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O
MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:
15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ADIÇÃO
SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA ADIÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:
10+9 / 15 = 19/15
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SUBTRAÇÃO
A SUBTRAÇÃO É FEITA SEGUINDO-SE OS MESMOSPASSOS DA ADIÇÃO:
2/3 - 3/5
ENCONTRADO O MMC, ESTE SERÁ DIVIDIDO POR CADA UMDOS DENOMINADORES, MULTIPLICANDO-SE O RESULTADODESTA DIVISÃO PELO RESPECTIVO NUMERADOR. COMO O
MMC DE 3 E 5 É 15, TEM-SE:
15/3 = 5 e 5 x 2 = 1015/5 = 3 e 3 x 3 = 9
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SUBTRAÇÃO
SENDO IGUAIS OS DENOMINADORES, PODE-SE EFETUARA SUBTRAÇÃO ENTRE OS NUMERADORES:
10-9 / 15 = 1/15
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXPONENCIAÇÃO
É INDIFERENTE RESOLVER PRIMEIRA AEXPONENCIAÇÃO OU A DIVISÃO:
(1/2)² = 1²/2² = 1/4 = 0,25
EFETUANDO-SE PRIMEIRAMENTE A DIVISÃOOBTÉM-SE O MESMO RESULTADO:
(1/2)² = (0,5)² = 0,25
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXPOENTE FRACIONÁRIO
DA MESMA FORMA QUE NA DIVISÃO ENTRE FRAÇÕES,A OCORRÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO CAUSA A
INVERSÃO DA OPERAÇÃO:
8⅔ = A RAIZ CÚBICA (3) DE OITO ELEVADO AO QUADRADO= 8² = 64 = 4
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SIMPLICIDADE DE FRAÇÕES
UMA FRAÇÃO PODE SER SIMPLIFICADA QUANDONUMERADOR E DENOMINADOR NÃO SÃO PRIMOS
ENTRE SI:
8/4
PARA TANTO BASTA DIVIDI-LOS PELO MÁXIMO DIVISORCOMUM (MDC) ENTRE ELES, OBTENDO-SE UMA FRAÇÃOQUE, ALÉM DE MANTER A PROPORÇÃO DA ORIGINAL, É
DO TIPO IRREDUTÍVEL:
8 : 4 / 4 : 4 = 2/1
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÚMEROS IRRACIONAIS
NÚMEROS IRRACIONAIS É O CONJUNTO DOS NÚMEROSREAIS QUE NÃO SÃO RACIONAIS.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÚMEROS IRRACIONAIS
O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS IRRACIONAISÉ NORMALMENTE CHAMADO DE “I”.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É DEFINIDO POR:
I = R - Q
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÚMEROS IRRACIONAIS
COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRENOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO:
√2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828...
(Pi) = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
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NÚMEROS IRRACIONAIS
COMO EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS, SEMPRENOS APRESENTARAM NÚMEROS ESPECIAIS COMO:
√2 = 1,414... , √3 = 1,732... e 2,71828...
(Pi) = 3,1415926535... a = 0,101001000100000...
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NÚMEROS REAIS
É O CONJUNTO FORMADO PELOS NÚMEROS IRRACIONAISE PELOS NÚMEROS RACIONAIS.
OS MATEMÁTICOS USAM O “R” PARA SE REFERIR AO CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS.
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NÚMEROS REAIS
AO UNIRMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAISCOM O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, FORMANDOO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, TODAS AS DISTÂNCIAS
REPRESENTADAS POR ELES SOBRE UMA RETAPREENCHEM-NA POR COMPLETO, ISTO É, OCUPAM TODOS
OS SEUS PONTOS.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, PRENCHE A RETA POR COMPLETO.
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NOTAÇÃO
COMO NOS NÚMEROS NATURAIS, COLOCAMOS UMASTERISCO AO LADO DO NOME DO
CONJUNTO PARA REPRESENTAR QUE O ZERO NÃO FAZPARTE DO MESMO.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE QUE O ZERO FOIEXCLUÍDO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R* = {....., -3, -2, -1, 1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “+” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO NEGATIVOS OU POSITIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTO COM OS NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R+ = {0, 1, 2, 3, .....}
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NOTAÇÃO
COLOCAMOS UM SÍMBOLO “-” AO LADO DO NOME DOCONJUNTO PARA REPRESENTAR OS NÚMEROS
INTEIROS NÃO POSITIVOS OU NEGATIVOS.
PARA DECLARAR EXPLICITAMENTE UM CONJUNTOCOM OS NÚMEROS REAIS NÃO POSITIVOS,
UTILIZAMOS A NOTAÇÃOABAIXO E OBTEREMOS O SUBCONJUNTO:
R- = {....., -3, -2, -1, 0}
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NÚMEROS REAIS
PORTANTO, OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS,RACIONAIS E IRRACIONAIS SÃO TODOS REAIS.
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NÚMEROS REAIS
ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
ENTRE OS NÚMEROS 1 e 2 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
ENTRE OS NÚMEROS 5 e 6 EXISTEM INFINITOSNÚMEROS REAIS:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
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MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
O MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL x,É DEFINIDO COMO SENDO O MAIOR VALOR ENTRE
X E –x, ISTO É:
|x| = MÁXIMO{x,y}
OU AINDA POR:
x SE x > 00 SE x = 0-x SE x < 0
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EXEMPLOS
|+5| = 5
|0| = 0
|-6| = 6
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ORDENAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS PERMITEDEFINIR UMA RELAÇÃO DE ORDEM ENTRE ELES. OS
NÚMEROS REAIS POSITIVOS SÃO MAIORES QUE ZEROE OS NEGATIVOS, MENORES QUE ZERO.
EXPRESSAMOS A RELAÇÃO DE ORDEM DASEGUINTE MANEIRA:
a ≤ b se b – a ≥ 0
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EXEMPLO
-15 ≤ 5 se 5 – (-15) ≥ 0
-15 ≤ 5 se 5 + 15 ≥ 0
-15 ≤ 5 se 20 ≥ 0
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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS
REFLEXIVA: PARA TODO x EM R:
x ≤ x
ANTI-SIMÉTRICA: SE x ≤ y e y ≤ x, ENTÃO:
x = x
TRANSITIVA: SE x ≤ y e y ≤ z, ENTÃO:
x < z
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EXERCÍCIOS
QUAL É O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UMNÚMERO NATURAL n SERÃO RESPECTIVAMENTE:
RESPOSTA: n + 1 e n - 1
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EXERCÍCIOS
O CONSECUTIVO E O ANTECEDENTE DE UM NÚMERO PARSERÁ, NECESSARIAMENTE, UM NÚMERO?
RESPOSTA: ÍMPAR.
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EXERCÍCIOS
SE n É UM NÚMERO NATURAL, DIGA SE SÃO NÚMEROSPARES OU ÍMPARES, AS EXPRESSÕES ABAIXO:
2n + 1 = IMPAR
8n – 6 = PAR
6n -1 = IMPAR
5n + 3 = DEPENDE DO VALOR DE n
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EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS?
RESPOSTA: 99 E 10.
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EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO DE DOISALGARISMOS DIFERENTES?
RESPOSTA: 98 E 10.
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EXERCÍCIOS
QUAL O MAIOR E O MENOR NÚMERO ÍMPARDE QUATRO ALGARISMOS DIFERENTES?
RESPOSTA: 9.875 E 1.235.
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EXERCÍCIOS
O VALOR DE X QUE É SOLUÇÃO, NOS NÚMEROS REAIS, DA EQUAÇÃO 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 É IGUAL A?
RESPOSTA:
6 + 4 + 3 / 12 = x/48
13/12 = x/48
X = 52
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EXERCÍCIOS
NUMA ADIÇÃO COM 3 PARCELAS, O TOTAL É DE 58.SOMANDO-SE 13 À PRIMEIRA PARCELA, 21 À
SEGUNDA E SUBTRAINDO-SE 10 DA TERCEIRA,QUAL SERÁ O NOVO TOTAL?
RESPOSTA:
x + y + z = 58
X + y + z = 58 + 13 + 21 – 10 = 82
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EXERCÍCIOS
RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:
- [ - 3 + 2 – (4 – 5 – 6)]
RESPOSTA:
PRIMEIRO ELIMINAMOS OS PARÊNTESES, COMO ANTES DELETINHA UM SINAL DE MENOS, TODOS OS NÚMEROS SAÍRAM
COM OS SINAIS TROCADOS:
- [ - 3 + 2 – 4 + 5 + 6]
LOGO DEPOIS ELIMINAMOS OS COLCHETES:
3 – 2 + 4 – 5 – 6 = - 6
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EXERCÍCIOS
RESOLVA A EXPRESSÃO NÚMERICA ABAIXO:
{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( - 4 + 9 ) – 3 ] }
RESPOSTA:
PRIMEIRO RESOLVEMOS DENTRO DO PARÊNTESES:
{ - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) – 3 ] }
DEPOIS MULTIPLICAMOS O RESULTADO POR 3:
{ - 5 + [ - 8 + 15 – 3 ] }
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EXERCÍCIOS
LOGO APÓS ELIMINAMOS OS COLCHETES, COMO ANTESDESTE TINHA UM SINAL DE MAIS, TODOS OS NÚMEROS
SAÍRAM SEM TROCAR O SINAL:
{ - 5 - 8 + 15 – 3 }
LOGO APÓS ELIMINAMOS AS CHAVES, OBSERVEM QUE TAMBÉMNÃO TEVE TROCA DE SINAIS PELO MESMO MOTIVO ANTERIOR:
- 5 - 8 + 15 – 3 = - 16 + 15 = - 1