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PROAB 2010
AULA 6
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EQUAÇÃO
EQUAÇÃO É TODA SENTENÇA MATEMÁTICA ABERTA QUEEXPRIME UMA RELAÇÃO DE IGUALDADE. A PALAVRA
EQUAÇÃO TEM O PREFIXO “EQUA”, QUE EM LATIM QUERDIZER “IGUAL”.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
AS EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU SÃO AQUELAS QUEPODEM SER REPRESENTADAS SOB A FORMA ax + b = 0,
EM QUE “a” E “b” SÃO CONSTANTES REAIS, COM “a”DIFERENTE DE 0, E “x” É A VARIÁVEL.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
2x + 8 = 0
5x – 4 = 6x + 8
3a – b – c = 0
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NÃO SÃO EQUAÇÕES
4 + 8 = 7 + 5 (NÃO É UMA SENTENÇA ABERTA)
x – 5 < 3 (NÃO É IGUALDADE)
5 ≠ - 2 (NÃO É SENTENÇA ABERTA, NEM IGUALDADE)
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
CONSIDERANDO AS DUAS IGUALDADES ABAIXO:
2 + 3 = 52 + 1 = 5
DIZEMOS QUE AS IGUALDADES SÃO SENTENÇASMATEMÁTICAS FECHADAS, POIS SÃO DEFINITIVAMENTEFALSAS OU DEFINITIVAMENTE VERDADEIRAS. NO CASO,
A PRIMEIRA É SEMPRE VERDADEIRA E A SEGUNDA ÉSEMPRE FALSA.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
CONSIDERANDO A IGUALDADE ABAIXO:
2 + x = 5
DIZEMOS QUE A IGUALDADE É UMA SENTENÇAMATEMÁTICA ABERTA, POIS PODE SER VERDADEIRA OU
FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A LETRA “x”.NO CASO, É VERDADEIRA QUANDO ATRIBUÍMOS A “x” OVALOR 3 E FALSA QUANDO O VALOR ATRIBUÍDO A “x” É
DIFERENTE DE 3. SENTENÇAS MATEMÁTICAS DESSE TIPOSÃO CHAMADAS DE EQUAÇÕES.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
A LETRA “x” É A VARIÁVEL DA EQUAÇÃO.
O NÚMERO 3 É A RAIZ OU SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO.
O CONJUNTO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO, TAMBÉMCHAMADO DE CONJUNTO VERDADE É S = {3}.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLOS
2x + 1 = 73 É A ÚNICA RAIZ, ENTÃO S = {3}
3x – 5 = -21 É A ÚNICA RAIZ, ENTÃO S = {1}
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
CONSIDERE A EQUAÇÃO 2x – 8 = 3x – 10
A LETRA “x” É A INCÓGNITA DA EQUAÇÃO. A PALAVRA“INCÓGNITA” SIGNIFICA “DESCONHECIDA”.
NA EQUAÇÃO ACIMA A INCÓGNITA É “x” E TUDO QUEANTECEDE O SINAL DA IGUALDADE DENOMINA-SE
1º MEMBRO, E O QUE SUCEDE, 2º MEMBRO.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
QUALQUER PARCELA, DO 1º OU DO 2º MEMBRO, É UMTERMO DA EQUAÇÃO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
RESOLVER UMA EQUAÇÃO É DETERMINAR TODAS ASRAÍZES DA EQUAÇÃO QUE PERTENCEM A UM CONJUNTO
PREVIAMENTE ESTABELECIDO, CHAMADO CONJUNTOUNIVERSO.
PARA RESOLVER A EQUAÇÃO x² = 4 em R
AS RAÍZES REAIS DA EQUAÇÃO SÃO -2 E +2, ASSIM:
S = {-2, +2}
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PARA RESOLVER A EQUAÇÃO x² = 4 em N
A ÚNICA RAÍZ NATURAL DA EQUAÇÃO É +2, ASSIM:
S = {+2}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
NA RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES, PODEMOS NOS VALERDE ALGUMAS OPERAÇÕES E TRANSFORMÁ-LAS EM EQUA-
ÇÕES EQUIVALENTES, ISTO É, QUE APRESENTAM OMESMO CONJUNTO SOLUÇÃO, NO MESMO UNIVERSO.
VEJAMOS ALGUMAS DESTAS PROPRIEDADES:
P1) QUANDO ADICIONAMOS OU SUBTRAÍMOS UM MESMONÚMERO AOS DOIS MEMBROS DE UMA IGUALDADE, ESTA
PERMANECE VERDADEIRA.
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OBSERVEMOS A EQUAÇÃO:
x + 2 = 3
SUBTRAINDO 2 NOS DOIS MEMBROS DA IGUALDADE,TEMOS:
x + 2 = 3 => x + 2 – 2 = 3 – 2
ASSIM:
x + 2 = 3 => x = 3 – 2
x + 2 = 3 => x = 1
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P2) QUANDO MULTIPLICAMOS OU DIVIDIMOS OS DOISMEMBROS DE UMA IGUALDADE POR UM NÚMERODIFERENTE DE ZERO, A IGUALDADE PERMANECE
VERDADEIRA.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVEMOS A EQUAÇÃO:
-2x = 6
DIVIDINDO POR -2 OS DOIS MEMBROS DA IGUALDADE,TEMOS:
-2x = 6 => -2x/-2 = 6/-2
ASSIM:
-2x = 6 => x = – 3
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
3x – 5 = 0 (a = 3 E b = -5)
PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, DEVEMOSISOLAR A INCÓGNITA EM UM DOS MEMBROS DA
IGUALDADE, USANDO AS PROPRIEDADES P1 E P2 DOITEM ANTERIOR
3x – 5 = 03x – 5 + 5 = 0 + 5
3x = 53x/3 = 5/3
x = 5/3
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EXERCÍCIO
3x – 5 = 2x + 63x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}
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EXERCÍCIO
2(x + 3) + 3(x - 1) = 7(x + 2)2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 142x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
-2x = 11x = -11/2
S = {-11/2}
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EXERCÍCIO
EM UM SÍTIO, ENTRE OVELHAS E CABRITOS, HÁ 200 ANIMAIS.SE O NÚMERO DE OVELHAS É IGUAL A 1/3 DO NÚMERO DE
CABRITOS, DETERMINE QUANTAS SÃO O NÚMERO DEOVELHAS E QUANTOS SÃO O NÚMERO DE CABRITOS.
x = OVELHAS y = CABRITOS
x = 1/3.200 = 67x + y = 200
67 + y = 200y = 200 – 67
y = 133S = {67, 133}
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EXERCÍCIO
EM UM QUINTAL EXISTEM PORCOS, AVETRUZ E GALINHAS,FAZENDO UM TOTAL DE 60 CABEÇAS E 180 PÉS.
x = ANIMAIS DE DOIS PÉS (AVESTRUZ E GALINHAS)y = ANIMAIS DE QUATRO PÉS (PORCOS)
x + y = 60 => x = 60 – y
ASSIM, ANIMAIS DE DOIS PÉS 2x, E QUATRO PÉS 4y,LOGO SÃO OBSERVADOS:
2x + 4y = 180
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EXERCÍCIO
2x + 4y = 1802(60 – y) + 4y = 180120 - 2y + 4y = 180-2y + 4y = 180 - 120
2y = 60y = 30
x + y = 60x + 30 = 60x = 60 – 30
x = 30
LOGO, S = {30, 30}
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EXERCÍCIO
A SOMA DE DOIS NÚMEROS DADOS É 8 E A DIFERENÇAENTRE ESTES MESMO NÚMEROS É IGUAL A 4.
QUAIS SÃO OS NÚMEROS?
x + y = 8 x - y = 4
x + x + y – y = 8 + 42x = 12
x = 12/2 = 6
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EXERCÍCIO
x – y = 46 – y = 4-y = 4 – 6
-y = -2 (x-1)y = 2
S = {6,2}
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
DENOMINA-SE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA VARIÁVELTODA E QUALQUER EQUAÇÃO QUE ESTEJA NA FORMA:
ONDE a, b E c PERTENCEM AOS REAIS “R”, COM a ≠ 0.
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
DESTA FORMA, SÃO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU:
3x² - 4x + 2 = 0
ONDE:
a = 3
b = -4
c = 2
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
DESTA FORMA, SÃO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU:
y² + 10y - 15 = 0
ONDE:
a = 1
b = 10
c = -15
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COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
OS NÚMEROS REAIS a, b E c SÃO CHAMADOS DECOEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, E SEGUEM
DA SEGUINTE FORMA:
• “a” É SEMPRE O COEFICIENTE DO TERMO x².
• “b” É SEMPRE O COEFICIENTE DO TERMO x.
• “c” É CHAMADO DE TERMO INDEPENDENTE OU MESMODE TERMO CONSTANTE.
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
O QUE SÃO EQUAÇÕES COMPLETAS E EQUAÇÕESINCOMPLETAS.
COMO JÁ DEFINIMOS, O COEFICIENTE “a” É SEMPREDIFERENTE DE ZERO (a ≠ 0). MAS OS COEFICIENTES
“b” E “c” PODEM SER NULOS.
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
QUANDO “b” E “c” SÃO DIFERENTES DE ZERO, A EQUAÇÃOSE DIZ COMPLETA.
2x² - 4x + 2 = 0
y² - 3y + 4 = 0
-3t² + 4t + 3 = 0
OBS.: TODAS AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO CHAMADAS DE“EQUAÇÕES COMPLETAS”.
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
QUANDO (b = 0), OU (c = 0) OU (b = c = 0), A EQUAÇÃO SEDIZ INCOMPLETA.
x² - 5 = 0
10x² = 0
t² + 2t = 0
OBS.: TODAS AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO CHAMADAS DE“EQUAÇÕES INCOMPLETAS”.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO, QUE SIGNIFICADETERMINAR O CONJUNTO DE SOLUÇÕES DESSA
EQUAÇÃO, INICIALMENTE OBSERVAMOS O SEGUINTE:
• SE x² = a, ENTÃO x = RAIZ QUADRADA POSITIVAE NEGATIVA (RELAÇÃO FUNDAMENTAL).
• SE a.b = 0, ENTÃO a = 0 OU b = 0.
BASEADO NAS CONDIÇÕES ACIMA, VERIFICAREMOS COMORESOLVER AS EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU.
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COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
A EQUAÇÃO É DA FORMA ax² + bx = 0, ONDE c = 0.
EXEMPLOS
x² - 4x = 0
COLOCANDO O FATOR “x” EM EVIDÊNCIA, TEMOS:
x.(x – 4) = 0x = 0
x - 4 = 0x = 4
LOGO S = {0,4}
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EXEMPLOS
y² - 10x = 0
COLOCANDO O FATOR “y” EM EVIDÊNCIA, TEMOS:
y.(y + 10) = 0y = 0
y + 10 = 0y = -10
LOGO S = {0,-10}
OBSERVE QUE NOS DOIS EXEMPLOS ACIMA, SEMPRE PROCURAMOSCOLOCAR A VARIÁVEL EM EVIDÊNCIA PARA QUE A EQUAÇÃO SEJA
SOLUCIONADA MAIS RAPIDAMENTE.
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COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
A EQUAÇÃO É DA FORMA ax² + c = 0, ONDE b = 0.
EXEMPLOSx² - 49 = 0
CALCULANDO O TERMO INDEPENDENTE E TRANSPONDOO TERMO, TEMOS O SEGUINTE:
x² - 49 = 0x² = 49
x = +/- raiz quadrada de 49 (√49) – relação fundamentalx = +/- 7
x = +7 ou -7S = {-7,7}
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EXEMPLOS
4x² - 36 = 0
CALCULANDO O TERMO INDEPENDENTE E TRANSPONDOO TERMO, TEMOS O SEGUINTE:
4x² - 36 = 04x² = 36x² = 36/4
x² = 9x = +/- raiz quadrada de 9 (√9) – relação fundamental
x = +/- 3 x = +3 ou -3
S = {-3,3}
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EXERCÍCIO
IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:
4x² - 2x - 2 = 0
a = 4
b = -2
c = -2
A EQUAÇÃO É DENOMINADA COMPLETA.
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EXERCÍCIO
IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:
4x² + 60 = 0
a = 4
b = 0
c = 60
A EQUAÇÃO É DENOMINADA INCOMPLETA.
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EXERCÍCIO
IDENTIFIQUE OS COEFICIENTES DE CADA EQUAÇÃO EDIGA SE ELA É COMPLETA OU INCOMPLETA:
x² - 6x = 0
a = 1
b = -6
c = 0
A EQUAÇÃO É DENOMINADA INCOMPLETA.
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EXERCÍCIO
CALCULE A EQUAÇÃO ABAIXO.
y² + 15y = 0
y.(y + 15) = 0
y = 0
y + 15 = 0
y = -15
S = {0, -15}
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COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS
INICIALMENTE OBSERVAMOS A FÓRMULA RESOLUTIVAE DISCRIMINANTE. CONSIDERANDO A EQUAÇÃO:
ax² - bx + c = 0
EM QUE a, b E c PERTENCEM AOS REAIS “R” E a ÉDIFERENTE DE ZERO.
SERÁ USADA A FÓRMULA RESOLUTIVA OU FÓRMULA DEBÁSCARA PARA A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
COMPLETAS.
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COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS
A EXPRESSÃO:
AONDE O SÍMBOLO APONTADO ACIMA CHAMA-SE“DELTA”.
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COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS
A FÓRMULA DE BÁSCARA:
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DELTA
O POLINÔMIO INDICADO E QUE SE ENCONTRA DENTRO DARAÍZ DA FÓRMULA É CHAMADO DE DELTA OU
DISCRIMINANTE.
DESSA FORMA, A FÓRMULA RESOLUTIVA PODE SERESCRITA NA FORMA.
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DELTA
CONFORME O DELTA SEJA POSITIVO, NEGATIVO OU NULO,EXISTEM TRÊS CASOS PARA SE ESTUDAR E RESOLVER:
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DELTA
O DISCRIMINANTE É POSITIVO:
A EQUAÇÃO TERÁ DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES EDISTINTAS, SENDO COSTUME FAZER ESTA
REPRESENTAÇÃO POR x’ E x”.
A FÓRMULA RESOLUTIVA DESTE CASO É:
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DELTA
O DISCRIMINANTE É NULO:
A EQUAÇÃO TERÁ DUAS RAÍZES REAIS E IGUAIS.
NESTE CASO EXISTE UM CASO PARTICULAR PARAFÓRMULA RESOLUTIVA:
x = -b/2a
ASSIM x = x’ = x” = -b/2a
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DELTA
O DISCRIMINANTE É NEGATIVO:
NESTE CASO O VALOR DA RAIZ QUADRADA DE DELTA NÃOEXISTE EM “R”, POIS NÃO EXISTE NO CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO
NEGATIVO.
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EXERCÍCIO
x² - 6x + 5 = 0
a = 1b = -6c = 5
DISCRIMINANTE:
= (-6)² - 4.(1).(5)= 36 – 20
= 1616 > 0
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EXERCÍCIO
x = -(-6) +- √16 = 6 +- 4 2.(1) 2
x’ = 6 + 4 = 5 2 x’’ = 6 – 4 = 1 2 S = {1,5}
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EXERCÍCIO
x² = 5(2x – 5)x² = 10x – 25
x² -10x + 25 = 0
a = 1b = -10c = 25
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EXERCÍCIO
DISCRIMINANTE:
= (-10)² - 4.(1).(25)= 100 – 100
= 00 = 0 (DUAS RAÍZES)
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EXERCÍCIO
Fórmula resolutiva: x = x’ = x’’ = -b 2a x = -(-10) ---> x = 10/2 2.(1) x = 5 S = {5}
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EXERCÍCIO
x² + 3x + 8 = 0
a = 1b = 3c = 8
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EXERCÍCIO
DISCRIMINANTE:
= (3)² - 4.(1).(8)= 9 – 32= - 23
-23 < 0
COMO < 0, A EQUAÇÃO NÃO TEM RAÍZES REAIS.
S = ø
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLESE COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA
POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.
ax + b > 0ax + b < 0
ax + b >= 0ax + b <= 0
SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTESDE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.
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EXEMPLOS
2x – 8 > 0
3x – 9 < 0
4x + 9 >= 0
5x + 1/3 <= 0
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
OBSERVANDO AS CONDIÇÕES DE VIDA DA POPULAÇÃO DOBRASIL, OBVIAMENTE ENCONTRAREMOS UM GRANDE MARDE DESEQUILÍBRIO. ESTAS DESIGUALDADES PODEM SERENCONTRADAS EM DIVERSAS ÁREAS, MAIS A QUE MAIS
SE DESTACAM SÃO SOCIAL E ECONÔMICA.
VEJAM ALGUNS EXEMPLOS DE DESIGUALDADES:
SALARIAL: ENQUANTO MUITOS BRASILEIROS ESTÃO COMFAIXAS DE SALÁRIOS BAIXAS QUE MAL PODEM SE
SUSTENTAR, ALGUNS OUTROS TEM SEUS SALÁRIOS ALTOS.
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
HABITAÇÃO: MUITOS BRASILEIROS TÊM CASAS BOAS EMBAIRROS E CIDADES NOBRES, OUTROS NÃO TÊM
CONDIÇÕES DE TER SUA CASA PRÓPRIA.
MORADIA: AS PESSOAS QUE VIVEM NAS RUAS AUMENTAMCADA VEZ MAIS COM O PASSAR DOS ANOS.
ALIMENTAÇÃO: CERCA DE 40% DA POPULAÇÃO QUE VIVEEM AMBIENTE RURAL, NO CAMPO, VIVE EM SITUAÇÃO
PRECÁRIA.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES
QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEL QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA
NO PROBLEMA.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:
3x + 5 < 17
VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO
APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.
S = {1, 2, 3}
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EXEMPLOS
2 – 4x >= x + 17
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EXEMPLOS
3(x + 4) < 4(2 – x)
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EXEMPLOS
QUAIS OS VALORES DE “x” QUE TORNAM A INEQUAÇÃO-2x + 4 > 0 VERDADEIRA.
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EXEMPLOS
O NÚMERO 2 NÃO É A SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO DADA,MAIS SIM QUALQUER VALOR MENOR QUE 2.
PARA x = 1
-2x + 4 > 0-2.(1) + 4 > 0
-2 + 4 > 02 > 0 (VERDADEIRO)
OBSERVE, ENTÃO, QUE O VALOR DE “x” MENOR QUE 2 É A SOLUÇÃO PARA A INEQUAÇÃO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
1)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM
MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTÉM.
2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,
A DESIGUALDADE SE MANTÉM.
3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO
TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DARESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO
-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA
QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUEQUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO
POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E
SE É “>=“ FICA “<=“.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO
SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:
5x – 8 < 3x + 125x – 3x < 12 + 8
2x < 20x < 20/2x < 10
ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O
CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?
NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “S”
SIMPLESMENTE POR
S = {x/x є R / x < 10}
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:
SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.
O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DASINEQUAÇÕES DO 1º GRAU.
PROAB 2010
AULA 6
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)
5 + 2 > 3 + 2
7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 – 1 > 3 – 1
4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)
DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,
PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR UM MESMO VALOR AOSMEMBROS DA INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU.
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 2
RECURSO:
5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)
-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)
PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRAÉ PRECISO INVERTER O SINAL.
-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR
OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO
PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)
DEVE SER INVERTIDO.
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS
SEGUINTES FORMAS:
f(x).g(x) > 0
f(x).g(x) >= 0
f(x).g(x) < 0
f(x).g(x) <= 0
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.
(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0
(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O
PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.
(x – 1).(2x – 3) >= 0
f(x) = x – 1g(x) = 2x – 3
f(x) = 0x – 1 = 0
x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
COMO a = 1 > 0, VEM:
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g(x) = 02x – 3 = 0
2x = 3x = 3/2
COMO a = 2 > 0, VEM:
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QUADRO DO PRODUTO
LOGO:
S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}