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Aula 11

Curso: Matemtica p/ TJ/PR - TcnicoProfessor: Marcos Pion

Matemtica p/ TJ-PR

Teoria e exerccios comentados

Prof Marcos Pion Aula 11

Prof. Marcos Pion www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 97

AULA 11: Matemtica Financeira. Juros

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SUMRIO PGINA 1. Juros Simples e Compostos 1 2. Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, proporcional, real e aparente

30

3. Descontos 52 4. Exerccios comentados nesta aula 83 5. Gabarito 97

Enfim chegamos nossa ltima aula! E mesmo aps mais de dois meses de curso, ainda no temos uma data para a prova. Com isso, devemos aproveitar o tempo que temos para treinar bastante todo o contedo. Continuarei disposio por meio do nosso frum. Vamos l!!!

1 Juros simples e compostos

Vamos comear agora com os tpicos relacionados Matemtica Financeira. De forma resumida podemos dizer que a Matemtica Financeira estuda os procedimentos utilizados nos pagamentos de emprstimos e os mtodos utilizados para a anlise de investimentos.

Juro (J)

Podemos definir juro como sendo a remunerao paga (ou recebida) em troca do emprstimo de certo recurso financeiro. Ou ento, como sendo o aluguel pago (ou recebido) pelo uso de certo capital financeiro.

Exemplo: Suponha que Pedro, ao pedir um emprstimo em um banco no valor de R$ 10.000,00, o banco, ao conceder este emprstimo, estabelece um juro de 5% deste valor que dever ser pago ao final do ms. Assim, aps transcorrer o ms, Pedro dever restituir ao banco, alm dos R$ 10.000,00 que ele tomou emprestado, o juro referente a 5% deste valor, que corresponde a

5% de 10.000 = 0,05 x 10.000 = R$ 500,00.

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Capital (C)

Chamamos de Capital ou Principal ao valor transacionado. Quando tomamos R$ 5.000,00 emprestado, o capital justamente os R$ 5.000,00. No exemplo anterior, o capital foi R$ 10.000,00.

Taxa de Juros (i)

A taxa de juros o juro cobrado em cada unidade de tempo. Essa taxa deve obrigatoriamente indicar a unidade de tempo que se refere. Se falarmos que a taxa de juros de um emprstimo de 5%, a informao est incompleta, pois no sabemos se este 5% dever ser cobrado aps um ms, um ano, um dia, etc. Assim, se o emprstimo for com a taxa de 5% ao ano, ser um bom emprstimo para se tomar, mas se for de 5% ao dia, ser terrvel!!!

Tempo (n)

O tempo tratado aqui, na verdade, se refere ao nmero de perodos. Se tomarmos um emprstimo com uma taxa de juros de 10% ao ms, a cada ms que se passar, deve-se contabilizar uma taxa de juros.

Montante (M)

Chamamos de Montante o capital acrescido do juro, que deve ser pago ao final do prazo do emprstimo.

M = C + J

Regimes de Capitalizao

Chamamos de regime de capitalizao a maneira como o montante evolui ao longo de mais de um perodo ao qual a taxa de juros se refere. Trataremos aqui de dois regimes: O Regime de Capitalizao Simples e o Regime de Capitalizao Composto.

Regime de Capitalizao Simples (Juros Simples)

Este o regime em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. Portanto, em todos os perodos os juros sero sempre iguais ao produto do capital pela taxa de juros. Assim, podemos definir a equao dos juros simples como sendo:

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J = C.i.n

E o montante obtido ao final de uma sucesso de perodos:

M = C + J

M = C + C.i.n

M = C.(1 + i.n)

Regime de Capitalizao Composto

Este o regime em que a taxa de juros incide sempre sobre o montante obtido no perodo anterior. Portanto, medida que os perodos vo passando, o valor do juro vai aumentando, pois o montante segue aumentando. Assim, como o juro calculado em funo do ltimo montante, podemos definir a equao do montante obtido ao final de uma sucesso de perodos:

M = C.(1 + i)n

Comparao Capitalizao Simples x Capitalizao Composta

Suponha que voc tenha R$ 10.000,00 e deseje aplicar esta quantia num banco que paga 5% de juros mensais. No estava escrito se era juros simples ou juros compostos. Caso voc deseje aplicar esta quantia pelo prazo de 15 dias (meio ms) qual o melhor regime de capitalizao, o simples ou o composto? E para o perodo de apenas 1 ms? E para 2 meses? Vamos analisar as trs situaes:

Aplicao pelo perodo de 15 dias:

Juros simples:

M = C.(1 + i.n)

M = 10000.(1 + 0,05.0,5)

M = 10000.(1 + 0,025)

M = 10000.(1,025)

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M = R$ 10.250,00

Juros compostos:

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + 0,05)0,5

M = 10000.(1,05)0,5

M = 10000.(1,024695)

M = R$ 10.246,95

Portanto, para o perodo de 15 dias (meio perodo), a melhor opo seria o regime de capitalizao simples.

Aplicao pelo perodo de 1 ms:

Juros simples:

M = C.(1 + i.n)

M = 10000.(1 + 0,05.1)

M = 10000.(1 + 0,05)

M = 10000.(1,05)

M = R$ 10.500,00

Juros compostos:

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + 0,05)1

M = 10000.(1,05)

M = R$ 10.500,00

Portanto, para o perodo de 1 ms (um perodo), as duas opes resultam no mesmo montante.

Aplicao pelo perodo de 2 meses:

Juros simples:

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M = C.(1 + i.n)

M = 10000.(1 + 0,05.2)

M = 10000.(1 + 0,1)

M = 10000.(1,1)

M = R$ 11.000,00

Juros compostos:

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + 0,05)2

M = 10000.(1,05)2

M = 10000.(1,1025)

M = R$ 11.025,00

Portanto, para o perodo de 2 meses (2 perodos), a melhor opo seria o regime de capitalizao composto.

Assim, podemos resumir o que vimos da seguinte maneira:

Perodos Maior Montante 0 < n < 1 Regime de capitalizao simples

n = 1 Valores iguais n > 1 Regime de capitalizao composto

Conveno Linear e Conveno Exponencial

Um problema que pode ocorrer no clculo de juros compostos o perodo a ser calculado no ser um nmero inteiro.

Exemplo: Calcular o montante de uma aplicao de R$ 1.000,00, a uma taxa de juros compostos de 5% ao ms, por um perodo de 3 meses e meio.

Como resolveramos este problema?

M = C.(1 + i)n

M = 1000.(1 + 0,05)3,5

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M = 1000.(1,05)3,5

Como calcular (1,05)3,5 na munheca?

Bom, nessas situaes ns temos duas opes: Ou a questo informa o valor de (1,05)3,5 e ns realizamos o clculo normalmente, ou utilizamos a conveno linear para encontrar um valor aproximado.

Para utilizar a conveno linear, ns fazemos o seguinte:

1 Etapa: Separamos a parte inteira do perodo e a utilizamos para calcular os juros compostos

2 Etapa: Utilizamos o montante obtido na primeira etapa e aplicamos a juros simples na mesma taxa pelo perodo correspondente parte fracionria do perodo original.

Vamos ver como seria no nosso exemplo:

1 Etapa

M1 = C.(1 + i)n

M1 = 1000.(1 + 0,05)3

M1 = 1000.(1,05)3

M1 = 1000.(1,157625)

M1 = 1157,625

2 Etapa

M2 = M1.(1 + i.n)

M2 = 1157,625.(1 + 0,05.0,5)

M2 = 1157,625.(1 + 0,025)

M2 = 1157,625.(1,025)

M2 = 1186,565625

Bom, de teoria isso. Vamos agora s questes!!!

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01 - (TRE/PI 2002 / FCC) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples, taxa mensal de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzir um montante no valor de

(A) R$ 7.225,00 (B) R$ 7.250,00 (C) R$ 7.320,00 (D) R$ 7.500,00 (E) R$ 7.550,00

Soluo:

Nessa questo, vamos direto equao do montante para juros simples:

C = R$ 5.000,00 Taxa de juros simples = 3% ao ms Perodo = 1 ano e 3 meses = 12 meses + 3 meses = 15 meses Montante = ?

M = C.(1 + i.n)

M = 5000.(1 + 0,03.15)

M = 5000.(1 + 0,45)

M = 5000.(1,45)

M = R$ 7.250,00

Resposta letra B.

02 - (BB 2006 / FCC) Um televisor vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opes:

I. R$ 5.000,00, vista sem desconto.

II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 (um) ms aps a data da compra.

A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opo, que vence em 1 (um) ms aps a data da compra, de

(A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 12,5%

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Soluo:

Nessa questo, devemos entender que na segunda opo, o capital no qual ir incidir o juros de apenas R$ 4.000,00, j que o comprador ir pagar R$ 1.000,00 de entrada. Assim, temos:

C = R$ 4.000,00 Perodo = 1 ms Taxa de juros = ? Montante = R$ 4.500,00

Assim, temos:

M = C.(1 + i.n)

4500 = 4000.(1 + i.1)

4500 = 4000 + 4000.i

4000.i = 4500 4000

4000.i = 500

i = 4000500

i = 0,125 = 12,5%

Resposta letra E.

03 - (BB 2010 / FCC) Um capital aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, ento o montante no final deste prazo seria igual a

(A) R$ 17.853,75. (B) R$ 17.192,50. (C) R$ 16.531,25. (D) R$ 15.870,00. (E) R$ 15.606,50.

Soluo:

Agora, primeiro ns vamos encontrar qual o capital aplicado e depois calcularemos o montante obtido na aplicao a juros compostos. Assim, temos:

C = ?

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Taxa de juros simples = 15% ao ano = 12

%15 ao ms = 1,25% ao ms

Perodo = 8 meses Montante = R$ 13.200,00

Utilizando a equao do montante, temos:

M = C.(1 + i.n)

13200 = C.(1 + 0,0125.8)

13200 = C.(1 + 0,1)

13200 = C.(1,1)

C = 1,1

13200

C = R$ 12.000,00

Agora, vamos calcular quanto ser o montante da aplicao destes R$ 12.000,00 a 15% ao ano de juros compostos por dois anos:

C = R$ 12.000,00 Taxa de juros compostos = 15% ao ano Perodo = 2 anos Montante = ?

M = C.(1 + i)n

M = 12000.(1 + 0,15)2

M = 12000.(1,15)2

M = 12000.(1,3225)

M = R$ 15.870,00

Resposta letra D.

04 - (BB 2011 / FCC) Um capital de R$ 10.500,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, ento, no tendo sido feito qualquer depsito ou retirada, o montante de R$ 11.725,00 estar disponvel a partir de quanto tempo da data de aplicao?

(A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias.

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(C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias.

Soluo:

Nessa questo, temos o seguinte:

C = R$ 10.500,00 Taxa de juros simples = 42% ao ano =

1242 % ao ms = 3,5% ao ms

Perodo = ? Montante = R$ 11.725,00

Assim, temos:

M = C.(1 + i.n)

11725 = 10500.(1 + 0,035.n)

11725 = 10500 + 367,5.n

367,5.n = 11725 10500

367,5.n = 1225

n = 5,367

1225

n = 3,333... meses = 3 meses e 10 dias

Resposta letra C.

05 - (CEF 2000 / FCC) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado taxa mensal de 2%, num regime de capitalizao composta. Aps um perodo de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicao sero

(A) R$ 98,00 (B) R$ 101,00 (C) R$ 110,00 (D) R$ 114,00 (E) R$ 121,00

Soluo:

Nessa questo, temos:

C = R$ 2.500,00

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M1 = C1.(1 + i)n1

M1 = 2000.(1 + 0,1)2

M1 = 2000.(1,1)2

M1 = 2000.(1,21)

M1 = R$ 2.420,00

2 Aplicao:

C2 = R$ 3.000,00 Taxa de juros compostos = 10% ao trimestre Perodo2 = 1 trimestre Montante2 = ?

M2 = C2.(1 + i)n2

M2 = 3000.(1 + 0,1)1

M2 = 3000.(1,1)

M2 = R$ 3.300,00

Por fim, encontramos o montante final:

Mfinal = M1 + M2

Mfinal = 2420 + 3300

Mfinal = R$ 5.720,00

Resposta letra E.

07 - (DNOCS 2010 / FCC) Um capital aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do perodo. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalizao, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao ms, o valor do montante, no final do ano, seria de

(A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00.

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08 - (MPE/RS 2008 / FCC) Se uma dvida, contrada a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de

(A) 25% (B) 27,5% (C) 45% (D) 47,5% (E) 50%

Soluo:

Nessa questo, temos o seguinte:

Capital = C Taxa de juros compostos = ? Perodo = 2 anos Montante = C + 125% de C = C + 1,25.C = 2,25.C

Assim, temos:

M = C.(1 + i)n

2,25.C = C.(1 + i)2

2,25 = (1 + i)2 1 + i = 25,2

1 + i = 1,5

i = 1,5 1

i = 0,5 = 50% ao ano

Resposta letra E.

09 - (MPE/RS 2010 / FCC) O extrato de uma aplicao financeira capitalizada anualmente no sistema de juros compostos dado na tabela abaixo.

Data Saldo (R$) 01/01/2008 20.000,00 01/01/2009 ????? 01/01/2010 28.800,00

No perodo considerado, no houve depsitos nem retiradas. Se as taxas de juros referentes aos perodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/01/2009 a

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01/01/2010 foram iguais, ento o saldo da aplicao, em reais, em 01/01/2009 era de

(A) 25.000,00. (B) 24.800,00. (C) 24.400,00. (D) 24.200,00. (E) 24.000,00.

Soluo:

Nessa questo, primeiro vamos encontrar a taxa de juros nos dois anos de aplicao e em seguida o montante aps o primeiro perodo. Assim:

Capital = R$ 20.000,00 Taxa de juros compostos = ? Perodo = 2 anos Montante = R$ 28.800,00

Assim, temos:

M = C.(1 + i)n

28800 = 20000.(1 + i)2

(1 + i)2 = 2000028800

(1 + i)2 = 1,44

(1 + i) = 44,1

1 + i = 1,2

i = 1,2 1

i = 0,2 = 20% ao ano

Agora, vamos encontrar o montante aps o primeiro ano de aplicao:

Capital = R$ 20.000,00 Taxa de juros compostos = 20% ao ano Perodo = 1 ano Montante = ?

Assim, temos:

M = C.(1 + i)n

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M = 20000.(1 + 0,2)1

M = 20000.(1,2)

M = R$ 24.000,00

Resposta letra E.

10 - (ISS/SP 2007 / FCC) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C taxa de 3% ao ms, de forma que:

daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, mesma taxa, pelo resto do prazo;

daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicao e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.

Nessas condies, o valor de C igual a

(A) R$ 3.654,00 (B) R$ 3.648,00 (C) R$ 3.640,00 (D) R$ 3.620,00 (E) R$ 3.600,00

Soluo:

Nessa questo, fica mais fcil comear pelo final. Primeiro, vamos encontrar o valor que aplicado nos ltimos 2 meses resulta num montante de R$ 2.382,88. Assim:

Capital = C2 Taxa de juros simples = 3,0% ao ms Perodo = 2 meses Montante = R$ 2.382,88

Assim,

M = C.(1 + i.n)

2382,88 = C2.(1 + 0,03.2)

2382,88 = C2.(1 + 0,06)

2382,88 = C2.(1,06)

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Vamos comear calculando o capital empregado na segunda aplicao:

C = C2 Taxa de juros simples = 1,5% ao ms Perodo = 12 meses Montante = R$ 28.933,60

Assim, temos:

M = C.(1 + i.n)

28933,6 = C2.(1 + 0,015.12)

28933,6 = C2.(1 + 0,18)

28933,6 = C2.(1,18)

C2 = 18,1

6,28933

C2 = R$ 24.520,00

Agora, vamos calcular o capital empregado na primeira aplicao:

C = C1 Taxa de juros simples = 12% ao ano =

12%12

ao ms = 1% ao ms

Perodo = 6 meses Montante = R$ 20.000,00 + R$ 24.520,00 = R$ 44.520,00

Com isso, temos:

M = C.(1 + i.n)

44520 = C1.(1 + 0,01.6)

44520 = C1.(1 + 0,06)

44520 = C1.(1,06)

C1 = 06,1

44520

C1 = R$ 42.000,00

Agora, vamos calcular o juros total obtido nas duas aplicaes. Vamos por partes:

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Assim, temos:

M = C.(1 + i.n)

M = 18000.(1 + 0,015.8)

M = 18000.(1 + 0,12)

M = 18000.(1,12)

M = R$ 20.160,00

Agora, vamos calcular o montante aps a segunda aplicao:

C = R$ 20.160,00 Taxa de juros compostos = 5% ao semestre Perodo = 2 semestres Montante = ?

M = C.(1 + i)n

M = 20160.(1 + 0,05)2

M = 20160.(1,05)2

M = 20160.(1,1025)

M = R$ 22.226,40

Agora, vamos calcular o juros de cada aplicao:

1 aplicao:

J1 = M1 C1

J1 = 20160 18000

J1 = R$ 2.160,00

2 aplicao:

J2 = M2 C2

J2 = 22226,40 20160

J2 = R$ 2.066,40

Por fim, encontramos o juros total:

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Jt = J1 + J2

Jt = 2160 + 2066,4

Jt = R$ 4.226,40

Resposta letra D.

13 - (TRE/BA 2003 / FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicao um capital produza juros simples iguais a

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de seu valor, ele deve ser investido

taxa mensal de

(A) 2,6% (B) 2,8% (C) 3,2% (D) 3,6% (E) 3,8%

Soluo:

Nessa questo, vamos utilizar diretamente a equao do juros simples:

Capital = C Juros =

5C.4

Taxa de juros simples = ? Perodo = 25 meses

J = C.i.n

5C.4

= C.i.25

4.C = 5.C.i.25

125.i = 4

i = 125

4

i = 0,032 = 3,2% ao ms

Resposta letra C.

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14 - (TRF 5 Regio 2008 / FCC) Um tcnico judicirio aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos por 2 meses, taxa de 3% ao ms. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicao

(A) R$ 333,00 (B) R$ 326,22 (C) R$ 334,18 (D) R$ 324,00 (E) R$ 315,00

Soluo:

Vamos comear calculando o montante obtido na primeira aplicao:

C = R$ 300,00 Taxa de juros simples = 30% ao ano =

6%30

ao bimestre = 5% ao bimestre

Perodo = 1 bimestre Montante = ?

Assim:

M = C.(1 + i.n)

M = 300.(1 + 0,05.1)

M = 300.(1 + 0,05)

M = 300.(1,05)

M = R$ 315,00

Agora, podemos encontrar o montante obtido ao final da segunda aplicao:

C = R$ 315,00 Taxa de juros compostos = 3% ao ms Perodo = 2 meses Montante = ?

M = C.(1 + i)n

M = 315.(1 + 0,03)2

M = 315.(1,03)2

M = 315.(1,0609)

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16 - (TRT 8 Regio 2001 / FCC) Ao fazer uma compra que totalizou R$ 50,00, Joo foi informado que poderia pag-la com cheque pr-datado de 30 dias com juros simples de 4,2% ao ms. Caso aceite esta proposta, qual o valor do cheque que Joo assinar?

(A) R$ 52,10 (B) R$ 54,20 (C) R$ 56,30 (D) R$ 58,50 (E) R$ 60,40

Soluo:

Nessa questo, para saber o valor do cheque devemos calcular o montante da aplicao do valor vista com juros de 4,2% ao ms durante 1 ms. Vejamos:

C = R$ 50,00 Taxa de juros simples = 4,2% ao ms Perodo = 1 ms Montante = ?

Assim:

M = C.(1 + i.n)

M = 50.(1 + 0,042.1)

M = 50.(1 + 0,042)

M = 50.(1,042)

M = R$ 52,10

Resposta letra A.

17 - (TRT 15 Regio 2009 / FCC) Romualdo recebeu R$ 15.000,00, referentes a uma indenizao trabalhista. Dessa quantia, retirou 20% para o pagamento dos honorrios de seu advogado e o restante aplicou em um investimento a juros simples, taxa anual de 18,75%. Quantos meses Romualdo dever esperar at que possa retirar R$ 15.000,00 dessa aplicao?

(A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12

Matemtica p/ TJ-PR




Soluo:


C = 80% de R$ 15.000,00 = 0,8 x 15000 = R$ 12.000,00 Taxa de juros simples = 18,75% ao ano =

12%75,18

ao ms = 1,5625% ao ms

Perodo = ? Montante = R$ 15.000,00

Assim, temos:

M = C.(1 + i.n)

15000 = 12000.(1 + 0,015625.n)

15000 = 12000 + 187,5.n

187,5.n = 15000 12000

187,5.n = 3000

n = 5,187

3000

n = 16 meses

Resposta letra A.

18 - (TRT 22 Regio 2004 / FCC) Num mesmo dia, so aplicados a juros simples:

52

de um capital a 2,5% ao ms e o restante, a 18% ao ano. Se,

decorridos 2 anos e 8 meses da aplicao, obtm-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era

(A) R$ 12.500,00 (B) R$ 12.750,00 (C) R$ 14.000,00 (D) R$ 14.500,00 (E) R$ 14.750,00

Soluo:

Nessa questo, temos duas aplicaes a juros simples, em que o juros resultante das duas aplicaes R$ 7.600,00. Assim, vamos calcular o juros de cada aplicao e depois som-los e igualar a R$ 7.600,00:

Matemtica p/ TJ-PR




1 Aplicao

Capital = 52

.C

Taxa de juros simples = 2,5% ao ms Perodo = 2 anos e 8 meses = 24 meses + 8 meses = 32 meses Juros = ?

Assim:

J = C.i.n

J1 = 52

.C.0,025.32

J1 = 52

.C.0,8

J1 =0,32.C

2 Aplicao

Capital = C 52

.C = 53

.C

Taxa de juros simples = 18% ao ano = 12

%18 ao ms = 1,5% ao ms

Perodo = 32 meses Juros = ?

Assim:

J = C.i.n

J2 = 53

.C.0,015.32

M2 = 53

.C.0,48

M2 =0,288.C

Por fim, podemos encontrar o capital aplicado inicialmente:

Jfinal = J1 + J2

7600 = 0,32.C + 0,288.C

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7600 = 0,608.C

C = 608,0

7600

C = R$ 12.500,00

Resposta letra A.

19 - (TRT 24 Regio 2003 / FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade taxa de 1% ao ms por um bimestre,

51

taxa de

2% ao ms por um trimestre e o restante taxa de 3% ao ms durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era

(A) R$ 5.800,00 (B) R$ 8.300,00 (C) R$ 10.000,00 (D) R$ 10.200,00 (E) R$ 10.800,00

Soluo:

Essa questo parecida com a anterior, s que agora temos 3 aplicaes. Vejamos:

1 Aplicao

Capital = 21

.C

Taxa de juros simples = 1% ao ms Perodo = 1 bimestre = 2 meses Juros = ?

Assim:

J = C.i.n

J1 = 21

.C.0,01.2

J1 = 21

.C.0,02

J1 =0,01.C

Matemtica p/ TJ-PR




2 Aplicao

Capital = 51

.C

Taxa de juros simples = 2% ao ms Perodo = 1 trimestre = 3 meses Juros = ?

Assim:

J = C.i.n

J2 = 51

.C.0,02.3

J2 = 51

.C.0,06

J2 = 0,012.C

3 Aplicao

Capital = C 21

.C 51

.C = 10

C.2C.5C.10 =

103

.C

Taxa de juros simples = 3% ao ms Perodo = 1 quadrimestre = 4 meses Juros = ?

Assim:

J = C.i.n

J3 = 103

.C.0,03.4

J3 = 103

.C.0,12

J3 = 0,036.C

Assim, sabendo que o juros total foi de R$ 580,00, temos:

Jtotal = J1 + J2 + J3

580 = 0,01.C + 0,012.C + 0,036.C

Matemtica p/ TJ-PR




M = R$ 843,20

Agora, vamos calcular o perodo necessrio para que o montante chegue a R$ 1.550,00. Utilizaremos a mesma equao:

M = C.(1 + i.n)

1550 = 620.(1 + 0,015.n)

1550 = 620 + 9,3.n

9,3.n = 1550 620

9,3.n = 930

n = 3,9

930

n = 100 meses = 8 anos e 4 meses

Resposta letra E.

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2 Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, proporcional, real e aparente

Taxas de Juros Proporcionais

Vamos comear falando em taxas proporcionais:

Dizemos que duas taxas so proporcionais quando seus valores so diretamente proporcionais aos respectivos tempos, considerados numa mesma unidade.

Exemplo:

As taxas de juros 5% ao ms e 30% ao semestre so diretamente proporcionais, pois:

ms1%5

=

meses6%30

Taxas de Juros Equivalentes

Agora, vejamos o conceito de taxas de juros equivalentes:

Matemtica p/ TJ-PR




Entretanto, comum encontrarmos tambm em problemas de juros compostos expresses como juros de 15% ao ano, capitalizados mensalmente " ou "taxa de 12% ao ano com capitalizao bimestral".

Em tais situaes encontramos o que se convencionou chamar de taxa nominal, que aquela cuja unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo do perodo de capitalizao.

A taxa nominal da forma como ela apresentada pode ser entendida com uma taxa enganosa, geralmente dada com perodo em anos, que no devemos utilizar diretamente nos clculos de juros compostos, pois no produzem resultados corretos. Em seu lugar devemos usar uma taxa efetiva.

Mas como descobrir qual a taxa efetiva que representa a taxa nominal informada numa questo?

A converso da taxa nominal em taxa efetiva feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao perodo de capitalizao.

Exemplo:

Uma aplicao de R$ 10.000,00 a uma taxa nominal de juros compostos de 12% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o valor do montante ao final de 1 ano de aplicao?

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + meses12

%12 )12

M = 10000.(1 + 0,01)12

M = 10000.(1,01)12

M = 10000.(1,126825)

M = 11.268,25

Agora, qual seria o valor do montante se a capitalizao fosse semestral?

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + semestres2

%12 )2

M = 10000.(1 + 0,06)2

Matemtica p/ TJ-PR




M = 10000.(1,06)2

M = 10000.(1,1236)

M = 11.236,00

E qual seria o valor do montante se a capitalizao fosse anual?

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + ano1

%12 )1

M = 10000.(1 + 0,12)

M = 10000.(1,12)

M = 11.200,00

Perceba que os trs resultados foram diferentes.

O conceito de taxas de juros efetiva e nominal s faz sentido para regimes de capitalizao composto, pois quando falamos de juros simples, as taxas efetiva e nominal so sempre equivalentes.

Vejamos algumas questes de prova:

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21 - (ANTAQ 2009 / CESPE) Considere que um investidor dispe de R$ 1.000,00 para aplicar no mercado financeiro e est diante de duas opes: a primeira, um investimento de dois anos, com taxa de juros de 10,5% ao ano, no capitalizados, e a segunda, um investimento de um ano, com taxa de juros de 10% ao ano. Nessa situao hipottica, se o investidor optar pelo primeiro investimento ou aplicar no segundo, reinvestindo o total recebido por mais um ano, o resultado ser o mesmo.

Soluo:

O que a questo est nos dizendo que o montante gerado numa aplicao a juros simples com taxa de 10,5% ao ano num perodo de dois anos igual ao montante gerado numa aplicao a juros compostos com taxa de 10% ao ano por dois anos. Vejamos:

M1 = C.(1 + 10,5%.2) M2 = C.(1 + 10%)2

Igualando M1 e M2, temos:

Matemtica p/ TJ-PR




C.(1 + 10,5%.2) = C.(1 + 10%)2

(1 + 0,105.2) = (1 + 0,1)2

1 + 0,21 = (1,1)2

1,21 = 1,21

Portanto, podemos concluir que o item est correto.

22 - (ANTAQ 2009 / CESPE) Duas taxas de juros so efetivas se, considerados o mesmo prazo de aplicao e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicao com uma ou com outra taxa.

Soluo:

A questo traz o conceito de taxas de juros equivalentes no lugar de taxas de juros efetivas. Item errado.

23 - (ANTAQ 2009 / CESPE) Diferentemente do regime de juros simples, no regime de juros compostos, os juros so capitalizados.

Soluo:

A questo est correta, pois justamente essa a diferena entre os dois regimes. No regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital investido e no contabiliza os juros do perodo anterior para seu clculo, enquanto que no regime de juros compostos a taxa de juros incide sobre o capital acrescido dos juros que j incidiram no perodo anterior. Item correto.

24 - (Banco da Amaznia 2009 / CESPE) Considerando 1,1 e 1,0489 como valores aproximados de 1,0128 e 1,0124, respectivamente, correto afirmar que a taxa anual de juros equivalente taxa de juros compostos de 1,2% ao ms inferior a 15%.

Soluo:

Nessa questo, vamos chamar de i1 a taxa de juros anual e de i2 a taxa de juros mensal. Assim, temos:

C.(1 + i1)1 = C.(1 + i2)12

(1 + i1) = (1 + 1,2%)12

1 + i1 = (1 + 0,012)12

Matemtica p/ TJ-PR




1 + i1 = (1,012)12

A questo no nos deu o valor de 1,01212, mas nos deu o valor de 1,0128 e 1,0124. Assim, temos:

1 + i1 = (1,012)12

1 + i1 = (1,012)8.(1,012)4

1 + i1 = (1,1).(1,0489)

1 + i1 = 1,15379

i1 = 1,15379 1

i1 = 0,15379 = 15,379%

Portanto, o item est errado.

25 - (TRE/BA 2009 / CESPE) Considere que um investidor tenha aplicado R$ 120.000,00 no prazo de seis meses e tenha recebido R$ 6.100,00 de juros pelo investimento. Supondo que a financeira remunere as aplicaes a juros compostos capitalizados mensalmente a 8% e tomando 1,008 como valor aproximado de 6 05,1 correto afirmar que a taxa de juros anual equivalente do investimento foi de 9,6%.

Soluo:

Sabendo que M = C + J e que M = C.(1 + i)n, temos:

C + J = C.(1 + i)n

120000 + 6100 = 120000.(1 + i)6

126100 = 120000.(1 + i)6

(1 + i)6 = 120000126100

(1 + i)6 = 1,05

1 + i = 6 05,1

1 + i = 1,008

i = 1,008 1

Matemtica p/ TJ-PR




i = 0,008 = 0,8%

Bom, agora devemos encontrar a taxa de juros anual equivalente a taxa de juros mensal de 0,8% ao ms:

C.(1 + 0,8%)12 = C.(1 + i)1

(1 + 0,008)12 = (1 + i)

(1,008)12 = (1 + i)

Como a questo no nos informou o valor de 1,00812, podemos, sem precisar fazer esta conta, concluir que a questo est errada pois para a taxa de juros anual ser 9,6% deveramos simplesmente multiplicar 0,8% por 12, mas no isso que se deve fazer para encontrar a taxa equivalente, j que estamos no regime de capitalizao composta. Portanto, o item est errado.

(Texto para as questes 26 e 27) Um capital de R$ 8.000,00, aplicado por 12 meses em uma instituio financeira que paga juros compostos mensais, rende, ao final desse perodo, R$ 400,00. Considerando essa situao e 1,004 como valor aproximado de 1,051/12, julgue os itens a seguir.

26 - (PC/ES 2010 / CESPE) A taxa nominal anual paga pela instituio nessa aplicao superior a 5%.

Soluo:

Sabemos que o capital foi de R$ 8.000,00, o prazo foi de 12 meses e o juros foi de R$ 400,00. Assim, sabendo que M = C.(1 + i)n e que M = C + J, temos:

C.(1 + i)n = C + J

8000.(1 + i)12 = 8000 + 400

8000.(1 + i)12 = 8400

(1 + i)12 = 80008400

(1 + i)12 = 1,05

1 + i = 12 05,1

1 + i = (1,05) 1/12

1 + i = 1,004

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M1 = C.(1 + i1)n1 M2 = C.(1 + i2)n2

Sabendo que M1 = M2, temos:

C.(1 + i1)n1 = C.(1 + i2)n2

(1 + i1)2 = (1 + 12%48 )12

(1 + i1)2 = (1 + 4%)12

(1 + i1)2 = (1 + 0,04)12

(1 + i1)2 = (1,04)12

(1 + i1)2 = 1,6

1 + i1 = 6,1

1 + i1 = 1,61/2

1 + i1 = 1,265

i1 = 1,265 1

i1 = 0,265 = 26,5% ao semestre de taxa efetiva, ou 2 x 26,5% = 53% ao ano de taxa nominal capitalizada semestralmente. Portanto, item errado.

(Texto para a questo 29) Um investidor aplicou R$ 20.000,00, por doze meses, em uma instituio financeira que pratica a taxa nominal anual de juros de 24%. Nessa situao, sabendo que a capitalizao foi mensal e no sistema de juros compostos, e considerando 1,2682 como valor aproximado para 1,0212, julgue o item subsequente.

29 - (STM 2010 / CESPE) O capital renderia o mesmo montante, no mesmo perodo, se fosse aplicado a uma taxa de juros simples mensais inferior a 2,2%.

Soluo:

Primeiramente, vamos calcular o montante resultante da aplicao a juros compostos. Sabendo que a taxa nominal anual foi de 24% e que a capitalizao foi mensal, podemos chegar a concluso que sua taxa de juros efetiva mensal foi de

12%24

= 2% ao ms.

M = C.(1 + i)n

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M = C.(1 + 0,02)12

M = C.(1,02)12

M = C.(1,2682)

M = 1,2682.C

Bom, agora resta calcular qual a taxa de juros simples mensal que resulta nesse montante:

M = C.(1 + i.n)

1,2682.C = C.(1 + i.12)

1,2682 = 1 + 12.i

12.i = 1,2682 1

12.i = 0,2682

i = 122682,0

i = 0,02235 = 2,235 %


30 - (SERPRO 2008 / CESPE) Tomando 1,05 como valor aproximado de 121

8,1 , ento a taxa efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal anual de 64% com capitalizao mensal.

Soluo:

Nessa questo devemos verificar se uma taxa de juros efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal de 64% ao ano com capitalizao mensal. Assim, podemos encontrar a taxa mensal que corresponde aos 64% ao ano de taxa nominal e em seguida verificar se essa taxa corresponde a 80% de taxa anual efetiva.

Taxa mensal = 12

%64 =

316 %

M1 = C.(1 + 3

16 %)12

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M2 = C.(1 + 80%)1

Fazendo M1 = M2, temos:

C.(1 + 3

16 %)12 = C.(1 + 80%)1

(1 + 3

16 %)12 = (1,8)

1 + 3

16 % = 12 8,1

1 + 3

16 % = 121

8,1

1 + 3

16 % = 1,05

316 % = 1,05 1

316 % = 0,05

16% = 0,15

16% = 15%


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Taxa de Juros Real e Aparente

Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicao pagando uma taxa efetiva de 10% ao ano. Se no mesmo perodo for registrada uma inflao da ordem de 6% ao ano, ento diremos que a taxa de 10% ao ano oferecida pelo banco no foi a taxa real de remunerao do investimento, mas uma taxa aparente, pois os preos, no mesmo perodo, tiveram um aumento de 6%.

Vamos imaginar o seguinte, Joo possui R$ 1.000,00 aplicado num banco que promete pagar 10% de juros efetivos num perodo de um ano. No momento da aplicao a mensalidade da academia de Joo custava R$ 100,00, o que daria para Joo pagar 10 mensalidades com o dinheiro que foi investido. Ao final de um ano Joo poder resgatar seu investimento acrescido dos juros pago pelo banco:

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ir = 0,0377

ir = 3,77 %

Bom, vamos ver umas questes para praticar:

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31 - (TRE/BA 2009 / CESPE) Em um ano em que a taxa de inflao foi de 6,2% ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar a taxa nominal anual de 17,2% ao ano.

Soluo:

Nessa questo, vamos aplicar diretamente a equao do juros real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

1 + iap = (1 + 6,2%) x (1 + 11%)

1 + iap = (1 + 0,062) x (1 + 0,11)

1 + iap = (1,062) x (1,11)

1 + iap = (1,062) x (1,11)

1 + iap = 1,17882

iap = 1,17882 1

iap = 0,17882 = 17,882%


(Texto para a questo 32) Uma dvida de R$ 5.000,00 paga, com juros reais acrescidos da taxa de inflao do perodo, por R$ 5.670,00. Nessa situao, sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflao 0,004, julgue o item que se segue.

32 - (PC/ES 2010 / CESPE) A soma da taxa de juros reais com a taxa de inflao inferior a 13,1%.

Soluo:

Sabemos que:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

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1 + iap = (1,04)4

1 + iap = 1,17

iap = 1,17 1

iap = 0,17

Com isso, temos:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,17) = (1 + 0,03) x (1 + ir)

1,17 = (1,03) x (1 + ir)

1,17 = 1,03 + 1,03.ir

1,17 1,03 = 1,03.ir

1,03.ir = 0,14

ir = 03,114,0

ir = 0,1359 = 13,59%


(Texto para as questes 34 e 35) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado em uma instituio financeira que paga alm dos juros reais, a taxa de inflao do perodo, as quais somaram 45%, sendo que a taxa de juros reais foi superior taxa de inflao. Sabendo que o montante ao final do perodo de aplicao foi de R$ 12.000,00, julgue os itens subsequentes.

34 - (PC/ES 2010 / CESPE) A taxa de juros reais paga no perodo da aplicao foi superior a 24%.

Soluo:

Bom, podemos inicialmente encontrar a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

12000 = 8000.(1 + iap)1

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(1 + iap) = 800012000

1 + iap = 1,5

iap = 1,5 1

iap = 0,5 = 50%

Tambm foi dito na questo que a taxa de juros real e a taxa de inflao somaram 45%:

ir + ii = 45%

ii = 0,45 ir

Por fim, sabemos que:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,5) = (1 + 0,45 ir) x (1 + ir)

1,5 = (1,45 ir) x (1 + ir)

1,5 = 1,45 + 1,45.ir ir ir2

1,5 1,45 = 0,45.ir ir2

ir2 0,45.ir + 0,05 = 0

Resolvendo a equao dos segundo grau, temos:

ir = )1.(2)05,0).(1.(4)45,0()45,0( 2

ir = 2)2,02025,0(45,0

ir = 2)0025,0(45,0

ir = 205,045,0

ir = 205,045,0 +

=

25,0

= 0,25 = 25%

ou

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ir = 205,045,0

=

24,0

= 0,2 = 20%

Para ir = 0,25, temos:

ii = 0,45 ir

ii = 0,45 0,25

ii = 0,2


ii = 0,45 ir

ii = 0,45 0,2

ii = 0,25

Como foi dito que a taxa real de juros pagos pela instituio foi superior a taxa de inflao, conclumos que a taxa de juros real foi de 0,25 ou 25% e a taxa de inflao foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

35 - (PC/ES 2010 / CESPE) A taxa de inflao no perodo foi inferior a 18%.

Soluo:

Vimos na questo anterior que a taxa de inflao foi de 20%. Portanto, o item est errado.

36 - (SERPRO 2008 / CESPE) Considerando que, em certo perodo, uma instituio financeira pagou taxas de juros reais que, somados taxa de inflao do perodo, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessa instituio, nesse perodo, resultou em um montante de R$ 1.560,00 e se, nesse perodo, a taxa de inflao foi inferior taxa real de juros pagos pela instituio, ento a taxa de inflao do perodo foi superior a 18%.

Soluo:

Foi dito na questo que:

taxas de juros reais que, somados taxa de inflao do perodo, deram um total de 50%

ir + ii = 50%

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ir = 21,05,0 +

=

26,0

= 0,3

ou

ir = 21,05,0

=

24,0

= 0,2


ii = 0,5 ir

ii = 0,5 0,3

ii = 0,2


ii = 0,5 ir

ii = 0,5 0,2

ii = 0,3

Como foi dito que a taxa de inflao foi inferior taxa real de juros pagos pela instituio, conclumos que a taxa de juros real foi de 0,3 ou 30% e a taxa de inflao foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

(Texto para as questes 37 e 38) Considere que R$ 4.000,00 sejam investidos em uma instituio financeira, por determinado perodo, no qual a taxa de inflao seja de 25%. Em face dessas consideraes, julgue os itens a seguir.

37 - (STF 2008 / CESPE) Se o montante obtido com esse investimento, ao final do perodo, for de R$ 6.000,00, ento a instituio financeira pagar, nesse perodo, juros reais superiores a 24%.

Soluo:

Vamos primeiramente calcular a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

6000 = 4000.(1 + iap)1

(1 + iap) = 40006000

1 + iap = 1,5

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iap = 1,5 1

iap = 0,5 = 50%

Assim, resta calcular a taxa de juros real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,5) = (1 + 0,25) x (1 + ir)

(1,5) = (1,25) x (1 + ir)

(1 + ir) = 25,15,1

1 + ir = 1,2

ir = 1,2 1

ir = 0,2 = 20%


38 - (STF 2008 / CESPE) Se a instituio financeira pagar juros reais de 30% no perodo considerado, ento o montante, ao final desse perodo, ser inferior a R$ 6.400,00.

Soluo:

Agora ns temos a taxa de inflao e a taxa de juros real. Vamos primeiramente calcular a taxa de juros aparente:

(1 + iap) = (1 + 0,25) x (1 + 0,3)

(1 + iap) = (1,25) x (1,3)

1 + iap = 1,625

iap = 1,625 1

iap = 0,625

Bom, agora podemos calcular o montante:

M = C.(1 + iap)n

M = 4000.(1 + 0,625)1

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M = 4000.(1,625)

M = R$ 6.500,00


39 - (ANTAQ 2009 / CESPE) De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica, a inflao medida pelo ndice de preos ao consumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transporte hidrovirio tivessem reajustado seus preos em 10%, na mdia, poder-se-ia dizer que o setor obteve, no perodo, um ganho real inferior a 4%.

Soluo:

Nessa questo ns temos a taxa de inflao de 5,9%, a taxa aparente de 10% e queremos saber a taxa real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 10%) = (1 + 5,9%) x (1 + ir)

1 + 0,1 = (1 + 0,059) x (1 + ir)

1,1 = (1,059) x (1 + ir)

1 + ir = 059,11,1

1 + ir = 1,0387

ir = 1,0387 1

ir = 0,0387

ir = 3,87%

Portanto, o item est correto.

40 - (MPU 2010 / CESPE) Se a expectativa de inflao for de 4,5% ao ano e se os agentes do mercado exigem uma taxa de juros reais de 4% ao ano, ento, a taxa aparente de juros dever ser de 8,68% ao ano.

Soluo:


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(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + iap) = (1 + 4,5%) x (1 + 4%)

(1 + iap) = (1 + 0,045) x (1 + 0,04)

1 + iap = (1,045) x (1,04)

1 + iap = 1,0868

iap = 1,0868 1

iap = 0,0868

iap = 8,68%


41 - (MPU 2010 / CESPE) Considere que uma aplicao financeira de R$ 70.000,00 tenha sido resgatada no montante de R$ 77.000,00 aps 30 dias. Supondo-se que a inflao tenha atingido a taxa de 2% nesse perodo, conclui-se, ento, que a taxa de juros reais foi superior a 8% no referido perodo.

Soluo:

Primeiramente, vamos calcular a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

77000 = 70000.(1 + iap)

1 + iap = 7000077000

1 + iap = 1,1

iap = 1,1 1

iap = 0,1 = 10%

Assim, podemos calcular a taxa de juros real sabendo que a inflao foi de 2%:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,1) = (1 + 0,02) x (1 + ir)

(1,1) = (1,02) x (1 + ir)

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(1 + ir) = 02,11,1

1 + ir = 1,0784

ir = 1,0784 1

ir = 0,0784 = 7,84%


42 - (MPU 2010 / CESPE) Considere que em uma operao contratada por 30 dias, a taxa aparente de juros foi de 3% no perodo, e a inflao atingiu, no mesmo perodo, 0,6%. Nessa situao, para se calcular a taxa de juros reais dessa operao, subtrai-se a taxa de inflao da taxa aparente de juros, o que resulta em exatos 2,4% de juros reais no referido perodo.

Soluo:

Nessa questo ns no precisamos fazer conta alguma, pois sabemos que a relao entre estas taxas de juros no to simples assim. De qualquer forma, vamos calcular a taxa real de juros:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,03) = (1 + 0,006) x (1 + ir)

(1,03) = (1,006) x (1 + ir)

(1 + ir) = 006,103,1

1 + ir = 1,0238

ir = 1,0238 1

ir = 0,0238 = 2,38%


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 Descontos

Desconto o abatimento que se obtm no valor de uma dvida quando ela paga antes da data do seu vencimento. Vamos comear estudando o desconto simples.

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Bom, inicialmente vamos calcular os dois descontos e verificar qual o maior deles. Comecemos com o desconto comercial simples. Vimos que este desconto calculado com base no valor nominal do ttulo. Assim, temos:

D = Vn.i.n, onde Vn o valor nominal do ttulo

D = 1000 2% 2

D = 1000 0,02 2

D = 1000 0,04

D = R$ 40,00

Agora, vamos calcular o desconto racional simples:

D = Vl.i.n, onde Vl o valor lquido do ttulo

O problema aqui que temos que calcular primeiro o valor lquido do ttulo. Este valor equivale ao capital que aplicado a taxa de juros do emprstimo resulta no montante equivalente ao valor nominal do ttulo:

Vn = Vl.(1 + i.n)

Vl = )n.i1(Vn+

Assim, podemos calcular o desconto racional simples:

D = Vl.i.n

D = )n.i1(Vn+

.i.n

D = )2%21(1000

+ 2% 2

D = )202,01(1000

+ 0,02 2

D = )04,01(1000+

0,04

D = )04,1(1000

0,04

D = R$ 38,46

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Portanto, o desconto comercial simples produz um valor maior do que o desconto racional simples.

Com isso, podemos resumir esses dois tipos de desconto simples:

Dracional simples = Vl.i.n, onde Vl o valor lquido do ttulo

Dcomercial simples = Vn.i.n, onde Vn o valor nominal do ttulo

D = Vn Vl (aqui vale para os dois tipos de desconto)

Vn = Vl.(1 + i.n) (Vale apenas para desconto racional simples)

Vl = Vn.(1 i.n) (Vale apenas para desconto comercial simples)

Desconto composto

O desconto composto se refere ao desconto calculado com base no regime de capitalizao composta, ou seja, utilizando juros compostos. Basicamente existem dois tipos de desconto composto: o desconto comercial composto e o desconto racional composto. Aqui os conceitos so bastante semelhantes aos conceitos vistos no regime de capitalizao simples. A diferena bsica o prprio regime de capitalizao.

Desconto comercial composto o desconto calculado com base no valor nominal do ttulo de crdito no regime de juros compostos

Desconto racional composto o desconto calculado com base no valor lquido do ttulo de crdito no regime de juros compostos

Vamos ver um exemplo para entendermos melhor a diferena entre os dois tipos de desconto:

Exemplo2: Marcos tomou uma quantia emprestada no banco para ser paga daqui a trs meses. O valor a ser pago era de R$ 1.000,00. Acontece que Marcos conseguiu um trabalho extra e um ms aps contrair a dvida ele j dispunha dos R$ 1.000,00 que devia ao banco. Assim, Marcos se dirigiu ao banco e props saldar sua dvida com desconto. O banco aceitou e ainda deu a Marcos a opo de escolher entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto. Qual desconto Marcos deve optar sabendo que a taxa de juros fixada no emprstimo era de 2% ao ms?

Vamos comear calculando o desconto comercial composto

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D = Vn Vl (esta equao vale para qualquer tipo de desconto)

Como o regime de juros compostos, o valor de Vl dado pelo valor de Vn reduzido da taxa de juros nesse perodo:

Vl = Vn.(1 i)n

Assim, podemos calcular o desconto comercial composto:

D = Vn Vl

D = Vn Vn.(1 i)n

D = 1000 1000.(1 2%)2

D = 1000 1000.(1 0,02)2

D = 1000 1000.(0,98)2

D = 1000 1000.(0,9604)

D = 1000 960,4

D = R$ 39,60

Agora, vamos calcular o desconto racional composto:

D = Vn Vl (esta equao vale para qualquer tipo de desconto)

Bom, como o desconto racional, podemos entender que o valor atual equivalente ao capital aplicado a juros compostos que resultaria no montante equivalente ao valor nominal:

Vn = Vl.(1 + i)n

Vl = n)i1(

Vn+

Assim, podemos calcular o desconto racional composto:

D = Vn Vl

D = Vn n)i1(

Vn+

D = 1000 2%)21(1000+

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D = 1000 2)02,01(1000+

D = 1000 2)02,1(1000

D = 1000 )0404,1(1000

D = 1000 961,17

D = R$ 38,83

Portanto, o desconto comercial composto foi maior que o desconto racional composto.

Vamos resumir o que vimos para desconto composto:

D = Vn Vl (vale para todos os tipos de desconto)

Vl = n)i1(

Vn++++

(vale apenas para desconto racional composto)

Vl = Vn.(1 i)n (vale apenas para desconto comercial composto)

Bom, de teoria por hoje s isso mesmo. Vamos ver mais algumas questes:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(Texto para as questes 43 a 47) Um ttulo de valor nominal igual a R$ 24.000 foi descontado 4 meses antes do vencimento, taxa de desconto de 5% ao ms.

Admitindo-se que (1 0,05)4 = 0,81 e que 405,1000.24

= 19.744,86, correto

afirmar que, se for usado o desconto

43 - (CGE-PB 2008 / CESPE) racional simples (por dentro), ento o valor do desconto ser superior a R$ 4.200.

Soluo:

Para calcular o desconto racional simples, vamos primeiro encontrar o valor lquido do ttulo:

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Vn = Vl.(1 + i.n)

24000 = Vl.(1 + 0,05 4)

24000 = Vl.(1 + 0,2)

24000 = Vl.(1,2)

Vl = 2,1

24000

Vl = R$ 20.000,00

Assim, o desconto racional simples fica:

D = Vl.i.n

D = 20000 0,05 4

D = R$ 4.000,00


44 - (CGE-PB 2008 / CESPE) comercial simples (por fora), ento o valor do desconto ser inferior a R$ 4.700.

Soluo:

Bom, o desconto comercial simples incide diretamente sobre o valor nominal do ttulo. Assim:

D = Vn.i.n

D = 24000 0,05 4

D = R$ 4.800,00


45 - (CGE-PB 2008 / CESPE) comercial simples, ento a taxa efetiva da operao ser superior a 6%.

Soluo:

Vimos que o desconto comercial simples foi de R$ 4.800,00. Assim, podemos encontrar o valor lquido do ttulo:

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D = 24000 19744,86

D = R$ 4.255,14


47 - (CGE-PB 2008 / CESPE) comercial composto, ento o valor do desconto ser superior a R$ 4.500.

Soluo:

Agora, calculamos o desconto comercial composto:

D = Vn Vl

D = Vn Vn.(1 i)n

D = 24000 24000.(1 0,05)4

D = 24000 24000.(0,81)

D = 24000 19440

D = R$ 4.560,00


48 - (ANTAQ 2009 / CESPE) Desconto racional aquele valor que se obtm pelo clculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n perodos antes de seu vencimento.

Soluo:

Vimos que o desconto racional baseado no valor lquido (ou valor atual) do ttulo, e no no valor nominal do ttulo. Item errado.

(Texto para as questes 49 e 50) Um comerciante dispe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um ttulo em um banco que usa taxa de juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% ao ms, para remunerao de um fundo de investimentos prprio. O valor nominal do referido ttulo de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses.

Com relao situao apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 como valor aproximado para 1,054.

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D = 11025 0,2

D = R$ 2.205,00


(Texto para as questes 51 a 55) A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem.

51 - (MPU 2009 / CESPE) Considere que um ttulo no valor de R$ 1.157.625,00 ser descontado (desconto racional composto) trs meses antes do seu vencimento taxa de 5% ao ms. Nessa situao, esse desconto ser superior a R$ 180.000,00.

Soluo:

Temos um desconto racional composto. Assim:

D = Vn Vl

D = Vn n)i1(

Vn+

D = 1157625 3%)51(1157625

+

D = 1157625 3)05,01(1157625

+

D = 1157625 3)05,1(1157625

D = 1157625 157625,1

1157625

D = 1157625 1000000

D = R$ 157.625,00


52 - (MPU 2009 / CESPE) O desconto racional composto de um ttulo com um ms para o vencimento, obtido com a utilizao da taxa de 5% ao ms, metade do valor daquele que se obtm ao se aplicar, para o mesmo ttulo, a taxa de 10% ao ms.

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Soluo:

Bom, agora devemos comparar o desconto racional composto a uma taxa de 5% ao ms e outro desconto racional composto a taxa de 10 % ao ms. Vejamos:

D1 = Vn Vl1 = Vn n1)i1(

Vn+

D2 = Vn Vl2 = Vn n2 )i1(

Vn+

Queremos saber se para i1 = 5% e i2 = 10%, D2 = 2.D1.

2.[Vn n

1)i1(Vn+

] = Vn n

2 )i1(Vn+

2.Vn 2. 1)05,01(Vn

+ = Vn 1)1,01(

Vn+

2.Vn 2. )05,1(Vn

= Vn )1,1(Vn

2.Vn Vn = 2. )05,1(Vn

)1,1(Vn

Vn = Vn.( )05,1(2

)1,1(1 )

1 = )05,1(2

)1,1(1

1 = 155,1

05,12,2

1 = 155,115,1

1 = 0,99567


53 - (MPU 2009 / CESPE) Considere que um desconto simples de 25% tenha sido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para o

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vencimento. Nessa situao, a taxa de juros efetiva dessa operao foi superior a 30% ao ano.

Soluo:

Nessa questo, devemos calcular o valor do desconto comercial simples de 25% aplicado sobre o valor nominal do ttulo e em seguida calcular qual a taxa de juros que aplicada ao valor presente resulta no valor nominal do ttulo:

D = Vn.i.n

D = Vn.0,25.1

D = 0,25.Vn

Agora, calculamos o valor lquido do ttulo:

D = Vn Vl

0,25.Vn = Vn Vl

Vl = Vn 0,25.Vn

Vl = 0,75.Vn

Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,75.Vn resulta em Vn:

M = C.(1 + i.n)

Vn = 0,75.Vn.(1 + i.1)

1 + i = Vn.75,0

Vn

1 + i = 1,333

i = 1,333 1

i = 0,333 = 33,3% ao ano


54 - (MPU 2009 / CESPE) Para cobrar juros de 100% efetivos no perodo, basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do ttulo.

Soluo:

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Essa questo semelhante anterior. Vamos checar:

D = Vn.i.n

D = Vn 0,5 1

D = 0,5.Vn

Agora, calculamos o valor lquido do ttulo:

D = Vn Vl

0,5.Vn = Vn Vl

Vl = Vn 0,5.Vn

Vl = 0,5.Vn

Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,5.Vn resulta em Vn:

M = C.(1 + i.n)

Vn = 0,5.Vn.(1 + i.1)

1 + i = Vn.5,0

Vn

1 + i = 2

i = 2 1

i = 1 = 100,0%


55 - (MPU 2009 / CESPE) Para um tomador de crdito que possui um ttulo com um ano para o vencimento, um desconto simples taxa de 20% ao ano mais oneroso que um desconto racional taxa de 20% ao ano.

Soluo:

Aqui devemos comparar o desconto comercial simples (que o Cespe chamou simplesmente de desconto simples) e o desconto racional simples (que o Cespe chamou simplesmente de desconto racional). Vejamos:

Dracional simples = Vl.i.n

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Dracional simples = )n.i1(Vn+

.i.n

Dracional simples = )1.2,01(Vn

+.0,2.1

Dracional simples = 0,2. )2,1(Vn

Dracional simples = 0,1667.Vn

Agora, vamnos calcular o desconto comercial simples:

Dcomercial simples = Vn.i.n

Dcomercial simples = Vn.0,2.1

Dcomercial simples = 0,2.Vn

Assim, o maior desconto o desconto comercial simples (j tnhamos visto isso em nosso exemplo na parte terica). Porm, na questo a pessoa possui um ttulo com vencimento em um ano, mas deseja receber o valor antecipadamente com desconto. Nesse caso, o desconto mais oneroso o maior desconto, que o desconto comercial simples. Item correto.

56 - (SEFAZ/ES 2010 / CESPE) A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela nica ou em trs prestaes mensais com valores iguais, sem cobrana de juros, sendo que a primeira prestao vence no dia do vencimento da parcela nica e as outras duas, nos dois meses consecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes s outras duas prestaes. No incio de julho de 2009, esse contribuinte negociou a dvida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor de cada prestao, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, de modo que os novos valores da segunda e da terceira prestaes atrasadas, cujo vencimento passou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais, respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00. Assim, considerando que, de posse dos boletos bancrios nos valores de R$ 500,00 e R$ 520,00 para pagamento no dia 14/10/2009, o contribuinte tenha resolvido antecipar o pagamento para 14/8/2009, e que a secretaria de fazenda tivesse adotado o sistema de desconto racional simples a uma taxa de 4% ao ms para desconto de antecipaes dessa natureza, o valor total pago por esse contribuinte, em 14/8/2009, seria superior a R$ 950,00.

Soluo:

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i = 25% ao ano = 1225 % ao ms

Assim, podemos calcular o valor lquido:

D = Vl.i.n

Vn Vl = Vl.i.n

Vn = Vl + Vl.i.n

Vn = Vl.(1 + i.n)

77000 = Vl.(1 +1225 % 4,8)

77000 = Vl.(1 + 25% 0,4)

77000 = Vl.(1 + 0,25 0,4)

77000 = Vl.(1 + 0,1)

77000 = Vl.(1,1)

Vl = 1,1

77000

Vl = R$ 70.000

Portanto, o valor na data do desconto (valor descontado) foi inferior a R$ 71.000,00. Item correto.

58 - (MPS 2010 / CESPE) Um fundo de penso emitiu uma duplicata de R$ 120.000,00 e, em 20/9/2010, descontou a duplicata em um banco taxa de desconto comercial simples (por fora) de 1,8% ao ms. O valor lquido recebido no momento da operao de desconto foi de R$ 110.280,00. Nessa situao, correto afirmar que a duplicata foi emitida em 10/4/2010.

Soluo:

Nessa questo, temos

Vn = R$ 120.000,00 Vl = R$ 110.280,00 i = 1,8% ao ms n = ???

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Assim, sabendo que foi utilizado o desconto comercial simples, temos:

D = Vn.i.n

Vn Vl = Vn.i.n

120.000 110.280 = 120.000 0,018 n

9720 = 2160 n

n = 21609720

n = 4,5 meses = 4 meses e 15 dias

Assim, se o vencimento era 20/09/2010, a duplicata foi emitida 4 meses e 15 dias antes, ou seja, 05/05/2010. Item errado.

59 - (PM/CE 2008 / CESPE) Caso um ttulo de R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime de juros simples e taxa de juros de 12% ao ano, ento o valor do desconto racional, ou por dentro, ser superior a R$ 450,00.

Soluo:

Essa questo aplicao direta da equao do desconto racional simples. A nica observao, que devemos transformar a taxa de juros anual para mensal antes de fazer as contas. Como estamos no sistema de juros simples, temos:

i = 12% ao ano = 12

%12 ao ms = 1% ao ms

Assim, temos:

D = Vl.i.n

D = n.i1

Vn+

.i.n

D = 3.01,01

15000+

0,01 3

D = 03,01

15000+

0,03

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D = 03,1

15000 0,03

D = 03,1

450

Aqui ns nem precisaramos fazer a conta, j que foi dito na questo que o desconto foi superior a R$ 450,00. Como

03,1450

menor que 450, conclumos que

a questo est errada. De qualquer forma, o resultado seria:

D = 03,1

450 = R$ 436,89

60 - (PM/CE 2008 / CESPE) Considerando-se 0,94 como valor aproximando para 1,032, correto afirmar que o valor do desconto racional obtido ao se quitar um ttulo de R$ 12.000,00, 4 meses antes do vencimento e taxa de juros de 3% ao ms, no regime de juros compostos, ser superior a R$ 1.300,00.

Soluo:

Agora, temos o desconto racional composto. Assim, como j sabemos quem Vn, resta calcularmos Vl:

Vl = n)i1(

Vn+

Vl = 4)03,01(12000+

Vl = 4)03,1(12000

Vl = 12000 1,034

Vl = 12000 1,032 1,032

Vl = 12000 0,94 0,94

Vl = R$ 10.603,20

Assim, podemos encontrar o desconto:

D = Vn Vl

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Soluo:

Nessa questo, devemos encontra Vl para um desconto racional simples. Assim:

Vn = R$ 7.800,00 i = 60% ao ano =

12%60

ao ms = 5% ao ms

n = 4 meses Vl = ???

Com isso, podemos fazer o seguinte:

Vn = Vl.(1 + i.n)

7800 = Vl.(1 + 0,05 4)

7800 = Vl.(1 + 0,2)

7800 = 1,2.Vl

Vl = 2,1

7800

Vl = R$ 6.500,00


63 - (IMETRO 2010 / CESPE) Considerando-se que uma dvida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, correto afirmar que o desconto racional obtido ser inferior a R$ 900,00.

Soluo:

Nessa questo, devemos calcular o prprio desconto racional simples. Assim, temos:

Vn = R$ 10.000,00 i = 30% ao ano =

12%30

ao ms = 2,5% ao ms

n = 4 meses D = ???

D = Vl.i.n

D = n.i1

Vn+

.i.n

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Vl = 1000.(0,964)

Vl = R$ 964,00

Portanto, item errado.

65 - (BB 2007 / CESPE) Uma dvida, contrada taxa de juros compostos de 2% ao ms, dever ser paga em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quit-la dois meses antes do prazo. Nessa situao, de acordo apenas com as regras de matemtica financeira, o credor dever conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00.

Soluo:

Nessa questo, ficou faltando a questo informar se o desconto era comercial ou racional. Nesse tipo de questo, calculamos utilizando o desconto racional composto:

Vn = R$ 30.000,00 i = 2% ao ms n = 2 meses D = ???

Lembrando a equao do desconto:

D = Vn Vl

Falta, ento, encontrarmos o Vl:

Vl = n)i1(

Vn+

Vl = 2)02,01(30000+

Vl = 2)02,1(30000

Vl = 0404,1

30000 = R$ 28.835,06

Com isso, podemos encontrar o valor do desconto:

D = Vn Vl

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D = 30000 28835,06 = R$ 1.164,94


Agora, como treino, vamos calcular o Desconto Comercial Composto: Novamente, utilizamos a mesma equao para o desconto:

D = Vn Vl

O que muda o valor de Vl. Para o desconto comercial composto, o Vl dado pela seguinte equao:

Vl = Vn.(1 i)n

Vl = 30000.(1 0,02)2

Vl = 30000.(0,98)2

Vl = 30000 0,9604

Vl = R$ 28.812,00

Assim, podemos encontrar o desconto:

D = Vn Vl

D = 30000 28812 = R$ 1.188,00

De qualquer forma, o valor do desconto foi inferior a R$ 2.000,00, o que torna o item errado.

66 - (SEFAZ/ES 2007 / CESPE) Se uma dvida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 2 meses de antecipao por R$ 1.020.100,00, ento, na data original do vencimento, ela seria quitada por mais de R$ 1.050.000,00.

Soluo:

Mais uma questo que no especifica se o desconto dado foi racional ou comercial. Numa situao com essa, utilizamos para o clculo o desconto racional composto (por dentro):

Vl = R$ 1.020.100,00 i = 1% ao ms n = 2 meses Vn = ???

Assim, utilizando o desconto racional composto, temos:

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Vl = n)i1(

Vn+

Vn = Vl.(1 + i)n

Vn = 1020100.(1 + 0,01)2

Vn = 1020100.(1,01)2

Vn = 1020100 1,0201

Vn = R$ 1.040.604,01

Portanto, item errado.

Agora, como treino, vamos calcular utilizando o desconto comercial composto:

Vl = Vn.(1 i)n

Vn = n)i1(

Vl

Vn = 2)01,01(1020100

Vn = 2)01,01(1020100

Vn = 2)99,0(1020100

Vn = 9801,0

1020100

Vn = 1.040.812,16

De qualquer forma, os dois tipos de desconto tornam a questo errada.

67 - (PETROBRS 2004 / CESPE) Se um ttulo com valor nominal de R$ 9.860,00 resgatado 5 meses antes de seu vencimento, com desconto racional composto (por dentro) taxa de 3% a.m., supondo que (1,03)5 = 1,16, ento o valor do desconto superior a R$ 1.200,00.

Soluo:

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Nessa questo, devemos calcular o desconto racional composto. Para isso ns temos as seguintes informaes:

Vn = R$ 9.860,00 i = 3% ao ms n = 5 meses D = ???

Primeiro, vamos calcular o Vl:

Vl = n)i1(

Vn+

Vl = 5)03,01(9860+

Vl = 5)03,1(9860

Vl = 16,1

9860

Vl = R$ 8.500,00

Por fim, encontramos o desconto racional composto:

D = Vn Vl

D = 9860 8500 = R$ 1.360,00

Item correto.

(Texto para a questo 68) Julgue o item a seguir, relacionado a emprstimos e financiamentos, considerando, em todas as situaes apresentadas, que o regime de juros praticado o de juros compostos, taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,0212.

68 - (BB 2008 / CESPE) Se o pagamento de um emprstimo que seria quitado em uma nica prestao de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago ser superior a R$ 19.800,00.

Soluo:

Aqui devemos encontrar o valor atual de um ttulo de R$ 26.000,00, para um pagamento com 12 meses de antecedncia a uma taxa de 2% ao ms de juros compostos. No foi dito se seria desconto racional ou desconto comercial

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composto. Assim, numa situao como essa, consideramos o desconto como sendo desconto racional composto (por dentro):

Vl = n)i1(

Vn+

Vl = 12)02,01(26000+

Vl = 12)02,1(26000

Vl = 3,1

26000

Vl = R$ 20.000,00


69 - (FINEP 2009 / CESPE - ADAPTADA) Frente ao contexto econmico atual do pas, um indivduo analisa as alternativas para melhorar os ganhos com os rendimentos de um ttulo de valor nominal de R$ 120.000,00, que, atualmente, est aplicado e tem vencimento para daqui a 2 meses. Nessa situao, o desconto que permitir ao investidor obter, hoje, o maior valor lquido o desconto composto comercial, taxa de desconto composto comercial de 2% ao ms em comparao ao composto racional, taxa de desconto composto racional de 3% ao ms.

Soluo:

Nessa questo, devemos calcular o valor atual do ttulo para cada um dos dois descontos e compar-los. Primeiro, vamos calcular o valor atual para o desconto comercial composto:

Vn = R$ 120.000,00 i = 2% ao ms n = 2 meses Vl = ???

Assim, temos:

Vl = Vn.(1 i)n

Vl = 120000.(1 0,02)2

Vl = 120000.(0,98)2

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Vn = R$ 1.000,00 i = 6,4% ao ms n = 8 meses Vl = ???

Com isso, temos:

Vl = Vn.(1 i.n)

Vl = 1000.(1 0,064.8)

Vl = 1000.(1 0,512)

Vl = 1000 0,488

Vl = R$ 488,00

Assim:

D = Vn Vl

D = 1000 488

D = R$ 512,00

Agora, vamos calcular a taxa que aplicada a este capital de R$ 512,00 por 3 meses gera um montante igual a R$ 1.000,00:

M = C.(1 + i)n

1000 = 512.(1 + i)3

(1 + i)3 = 512

1000

(1 + i)3 = 33

810

(1 + i) = 8

10

1 + i = 1,25

i = 1,25 1 = 0,25 = 25%

Portanto, item correto.

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71 - (Caixa 2010 / CESPE) Se, ao descontar uma promissria com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operao for de 2 meses, ento a taxa mensal de desconto simples por fora ser igual a 8%.

Soluo:

Nessa questo temos:

Vl = R$ 4.200,00 Vn = R$ 5.000,00 n = 2 meses i = ???

Sabendo que foi utilizado o desconto comercial simples, temos:

Vl = Vn.(1 i.n)

4200 = 5000.(1 i.2)

50004200

= 1 2.i

0,84 = 1 2.i

2.i = 1 0,84

2.i = 0,16

i = 216,0

= 0,08 = 8%

Portanto, item correto.

72 - (TCE/RN 2009 / CESPE) Considerando 1,26 e 1,19 como valores aproximados de 1,064 e 1,063, respectivamente, correto afirmar que o valor de resgate de um ttulo de R$ 20.500,00, vencvel daqui a 9 meses, taxa efetiva de desconto racional composto de 26% a.a., capitalizados trimestralmente, superior a R$ 17.250,00.

Soluo:

A primeira coisa a se fazer nessa questo, perceber que a taxa de juros composto capitalizada trimestralmente. Assim, temos:

Vn = R$ 20.500,00 n = 9 meses = 3 trimestres

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i = 26% ao ano = 4%26

ao trimestre = 6,5% ao trimestre

Vl = ???

Assim, utilizando o desconto racional composto, temos:

Vl = n)i1(

Vn+

Vl = 3)065,01(20500+

Vl = 3)065,1(20500

Aqui temos uma conta nada agradvel, j que o enunciado informou apenas o valor de 1,063. E ento? Ser que realmente precisamos fazer essa conta? Percebam que 3)065,1(

20500 um nmero menor do que 3)06,1(

20500. Assim, se 3)06,1(

20500 for

menor que R$ 17.250,00 ento 3)065,1(20500

tambm ser menor que R$ 17.250,00.

Vamos, ento, calcular o valor de 3)06,1(20500

:

3)06,1(20500

=

19,120500

= R$ 17.226,89, que menor que R$ 17.250,00.

Com isso, conclumos que Vl inferior a R$ 17.250,00 e o item est errado.

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(A) 4 meses. (B) 3 meses e 20 dias. (C) 3 meses e 10 dias. (D) 3 meses. (E) 2 meses e 20 dias.

05 - (CEF 2000 / FCC) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado taxa mensal de 2%, num regime de capitalizao composta. Aps um perodo de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicao sero

(A) R$ 98,00 (B) R$ 101,00 (C) R$ 110,00 (D) R$ 114,00 (E) R$ 121,00

06 - (CEF 2000 / FCC) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de

(A) R$ 5.320,00 (B) R$ 5.480,00 (C) R$ 5.620,00 (D) R$ 5.680,00 (E) R$ 5.720,00

07 - (DNOCS 2010 / FCC) Um capital aplicado durante 8 meses a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms, resultando em um montante no valor de R$ 14.000,00 no final do perodo. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o mesmo regime de capitalizao, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao ms, o valor do montante, no final do ano, seria de

(A) R$ 15.000,00. (B) R$ 15.500,00. (C) R$ 16.000,00. (D) R$ 17.360,00. (E) R$ 18.000,00.

08 - (MPE/RS 2008 / FCC) Se uma dvida, contrada a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de

(A) 25% (B) 27,5%

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(C) 45% (D) 47,5% (E) 50%

09 - (MPE/RS 2010 / FCC) O extrato de uma aplicao financeira capitalizada anualmente no sistema de juros compostos dado na tabela abaixo.

Data Saldo (R$) 01/01/2008 20.000,00 01/01/2009 ????? 01/01/2010 28.800,00

No perodo considerado, no houve depsitos nem retiradas. Se as taxas de juros referentes aos perodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/01/2009 a 01/01/2010 foram iguais, ento o saldo da aplicao, em reais, em 01/01/2009 era de

(A) 25.000,00. (B) 24.800,00. (C) 24.400,00. (D) 24.200,00. (E) 24.000,00.

10 - (ISS/SP 2007 / FCC) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C taxa de 3% ao ms, de forma que:

daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, mesma taxa, pelo resto do prazo;

daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicao e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.

Nessas condies, o valor de C igual a

(A) R$ 3.654,00 (B) R$ 3.648,00 (C) R$ 3.640,00 (D) R$ 3.620,00 (E) R$ 3.600,00

11 - (ICMS/SP 2009 / FCC) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depsitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta

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aplicao e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dvida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms. No final do perodo, o montante da segunda aplicao apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicaes igual a

(A) R$ 10.080,00 (B) R$ 8.506,80 (C) R$ 7.204,40 (D) R$ 6.933,60 (E) R$ 6.432,00

12 - (TCE/PR 2011 / FCC) Um capital no valor de R$ 18.000,00 aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do perodo, o montante resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicaes igual a

(A) R$ 4.012,30. (B) R$ 4.026,40. (C) R$ 4.176,00. (D) R$ 4.226,40. (E) R$ 5.417,10.

13 - (TRE/BA 2003 / FCC) Para que ao final de 25 meses da aplicao um capital produza juros simples iguais a

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de seu valor, ele deve ser investido taxa

mensal de

(A) 2,6% (B) 2,8% (C) 3,2% (D) 3,6% (E) 3,8%

14 - (TRF 5 Regio 2008 / FCC) Um tcnico judicirio aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juros compostos por 2 meses, taxa de 3% ao ms. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicao

(A) R$ 333,00 (B) R$ 326,22 (C) R$ 334,18 (D) R$ 324,00 (E) R$ 315,00

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15 - (TRT 5 Regio 2003 / FCC) Um capital produzir juros simples correspondentes a

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de seu valor se for aplicado, durante 9 meses, taxa anual

de

(A) 25% (B) 24% (C) 20% (D) 18% (E) 15%

16 - (TRT 8 Regio 2001 / FCC) Ao fazer uma compra que totalizou R$ 50,00, Joo foi informado que poderia pag-la com cheque pr-datado de 30 dias com juros simples de 4,2% ao ms. Caso aceite esta proposta, qual o valor do cheque que Joo assinar?

(A) R$ 52,10 (B) R$ 54,20 (C) R$ 56,30 (D) R$ 58,50 (E) R$ 60,40

17 - (TRT 15 Regio 2009 / FCC) Romualdo recebeu R$ 15.000,00, referentes a uma indenizao trabalhista. Dessa quantia, retirou 20% para o pagamento dos honorrios de seu advogado e o restante aplicou em um investimento a juros simples, taxa anual de 18,75%. Quantos meses Romualdo dever esperar at que possa retirar R$ 15.000,00 dessa aplicao?

(A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12

18 - (TRT 22 Regio 2004 / FCC) Num mesmo dia, so aplicados a juros simples:

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de um capital a 2,5% ao ms e o restante, a 18% ao ano. Se,

decorridos 2 anos e 8 meses da aplicao, obtm-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era

(A) R$ 12.500,00 (B) R$ 12.750,00 (C) R$ 14.000,00 (D) R$ 14.500,00 (E) R$ 14.750,00

aula 11 mat fin e juros.pdf

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