aula 5 mat

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

RAZÃO

A PALAVRA RAZÃO VEM DO LATIM RATIO E SIGNIFICA ADIVISÃO OU O QUOCIENTE ENTRE DOIS NÚMEROS a E b,

DENOTADO POR a:b OU a/b E LÊ-SE a PARA b.

CHAMA-SE RAZÃO DE UM NÚMERO RACIONAL POR OUTRO(DIFERENTE DE ZERO), O QUOCIENTE EXATO DO PRIMEIRO

PELO SEGUNDO.

EXEMPLO

A RAZÃO ENTRE 10 E 5 É IGUAL A 2 PORQUE 10/5 = 2.

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EXEMPLO

A RAZÃO DE 9 PARA 12 É IGUAL A 9/12.

A RAZÃO DE 5 PARA 10 É IGUAL A 5/10 OU 1/2.

A RAZÃO DE 6 PARA 18 É IGUAL A 6/18 OU 1/3.

IMPORTANTE

NA RAZÃO O NÚMERO ACIMA (NUMERADOR) É CHAMADODE ANTECEDENTE E O NÚMERO ABAIXO (DENOMINADOR)

É CHAMADO DE CONSEQÜENTE.

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IMPORTANTE

LÊ-SE : NOVE ESTÁ PARA DOZE SENDO QUE O 1º NÚMEROÉ ANTECEDENTE E O 2º NÚMERO É CONSEQÜENTE.

ENTÃO UM ESTÁ PARA DOIS, SENDO 1 O ANTECEDENTEE 2 O CONSEQÜENTE.

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IMPORTANTE

QUANDO O ANTECEDENTE DE UMA RAZÃO FOR IGUAL AOCONSEQÜENTE DE OUTRA, OU VICE-VERSA, DIZEMOS

QUE FORMAM DUAS RAZÕES INVERSAS.

EXEMPLO

5/6 E 6/5 SÃO RAZÕES INVERSAS.

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EXEMPLO

NUM VESTIBULAR COM 40 QUESTÕES, LUCIANO ACERTOU20. VAMOS DETERMINAR A RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE

QUESTÕES CORRETAS E O NÚMERO TOTAL DE QUESTÕES.

NÚMEROS DE QUESTÕES CERTAS: 20NÚMERO TOTAL DE QUESTÕES: 40

RAZÃO: 20/40 = 1/2 (LÊ-SE 1 ESTÁ PARA 2)

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EXEMPLO

UM GRUPO DE ESPORTISTAS É FORMADO POR 340 RAPAZESE 360 MOÇAS. VAMOS ENCONTRAR AS RAZÕES A SEGUIR.

a) RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE MOÇAS E O NÚMERODE RAPAZES.

NÚMERO DE MOÇAS: 360NÚMERO DE RAPAZES: 340


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EXEMPLO

UM GRUPO DE ESPORTISTAS É FORMADO POR 340 RAPAZESE 360 MOÇAS. VAMOS ENCONTRAR AS RAZÕES A SEGUIR.

b) RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE MOÇAS E O NÚMEROTOTAL DE ESPORTISTAS.

NÚMERO DE MOÇAS: 360NÚMERO TOTAL DE ESPORTISTAS: 340 + 360 = 700


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EXERCÍCIO

A RAZÃO ENTRE 0,20 E 2 É:

0,20 / 2 = (1/5)/2

1/5 x 1/2 = 1/10

1/10 É O MESMO QUE 1 PARA 10.

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EXERCÍCIO

A RAZÃO ENTRE 1/3 E 4/7 É:

(1/3) / (4/7) = 1/3 x 7/4 = 7/12


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EXERCÍCIO

A RAZÃO ENTRE 6 E 1/4 É:

(6) / (1/4) = 6 x 4/1 = 24/1 = 24


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PROPORÇÃO

É A SENTENÇA MATEMÁTICA QUE EXPRIME IGUALDADEENTRE DUAS RAZÕES.

DE MODO GERAL, PODEMOS DIZER QUE OS NÚMEROSa, b, c E d, NÃO NULOS, FORMAM, NESSA ORDEM, UMA

PROPORÇÃO QUANDO a/b = c/d.

CADA ELEMENTO DE UMA PROPORÇÃO É DENOMINADOTERMO DA PROPORÇÃO.

OS TERMOS a E d SÃO CHAMADOS DE TERMOS CONSE-QÜENTES OU MEIOS E OS TERMOS b E c SÃO CHAMADOS

DE TERMOS ANTECEDENTES OU EXTREMOS.

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EXEMPLO

VAMOS VERIFICAR SE OS NÚMEROS 30, 40, 12 E 16FORMAM,NESSA ORDEM, UMA PROPORÇÃO.

30/40 = 3/4 E 12/16 = 3/4

30/40 = 12/16

PORTANTO, OS NÚMEROS 30, 40, 12 E 16 FORMAM UMAPROPORÇÃO, O QUE SIGNIFICA DIZER QUE 30 ESTÁ

PARA 40 ASSIM COMO 12 ESTÁ PARA 16.

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PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

• PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

• COMPOSIÇÃO

• DECOMPOSIÇÃO

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PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

EM TODA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS MEIOS É SEMPREIGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS.

a/b = c/d => a x d = c x b

EXEMPLO

2/5 = 4/10 => 2 x 10 = 20 | 4 x 5 = 20

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EXEMPLO

7/8 = x/40 ONDE 8 x X É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOSE 7 x 40 É IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS.

TEMOS ENTÃO: 8x = 280

LOGO x = 280/8 = 35

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PROPRIEDADE COMPOSIÇÃO

EM TODA PROPORÇÃO, A SOMA DOS PRIMEIROS TERMOSESTÁ PARA O PRIMEIRO OU PARA O SEGUNDO, ASSIM

COMO A SOMA DOS DOIS ÚLTIMOS ESTÁ PARA OTERCEIRO OU PARA O QUARTO TERMO.

a/b = c/d => a+b/a = c+d/c OU a+b/b = c+d/d

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EXEMPLO

A SOMA DE DOIS NÚMEROS É 80 E A RAZÃO ENTRE O ME-NOR E O MAIOR É 2/3. ACHAR O VALOR DESSES NÚMEROS.

a = MENOR b = MAIOR

a/b = 2/3 => a+b/a = 2+3/2

a+b = 80

ENTÃO, 80/a = 5/2 => a = (80 x 2) /5 = 160/5 = 32

CONCLUI-SE: SE O MENOR VALE 32, O MAIOR ENTÃO SERÁ 80-32 = 48.

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PROPRIEDADE DECOMPOSIÇÃO

EM QUALQUER PROPORÇÃO, A DIFERENÇA ENTRE OS DOISPRIMEIROS TERMOS ESTÁ PARA O PRIMEIRO OU PARA OSEGUNDO, ASSIM COMO A DIFERENÇA ENTRE OS DOISESTÁ PARA O TERCEIRO OU PARA O QUARTO TERMO.

a/b = c/d => a-b/a = c-d/c OU a-b/b = c-d/d

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EXEMPLO

DETERMINAR DOIS NÚMEROS, SABENDO-SE QUE A RAZÃOENTRE ELES É DE 7/3 E QUE A DIFERENÇA É 48.

a = MENOR b = MAIOR

a/b = 7/3 => a-b/a = 7-3/7

a-b = 48

ENTÃO, 48/a = 4/7 => a = (48 x 7) /4 = 336/4 = 84

CONCLUI-SE: SE a = 84 E a – b = 48, ENTÃO b = 84 – 48 = 36.

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EXERCÍCIO

EM UMA PROVA COM 40 QUESTÕES, UM CANDIDATOACERTOU 25, DEIXANDO 5 EM BRANCO E ERRANDO

AS DEMAIS. QUAL A RAZÃO DO NÚMERO DE QUESTÕESCERTAS PARA O DE QUESTÕES ERRADAS?

DO TOTAL DE 40 QUESTÕES, 25 ESTAVAM CERTASE 5 EM BRANCO.

ASSIM, O NÚMERO DE QUESTÕES ERRADAS É: 40 – 25 – 5 = 10

MONTANDO, A RAZÃO DO NÚMERO DE QUESTÕES CERTAS(40) PARA OS DE QUESTÕES ERRADAS (10) É A SEGUINTE:

40/10 = 4/1 OU 4 PARA 1.

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EXERCÍCIO

CALCULAR DOIS NÚMEROS POSITIVOS NA PROPORÇÃO DE3 PARA 5, SABENDO QUE A DIFERENÇA DO MAIOR PARA O

MENOR É 27.

SEJAM a O MENOR E b O MAIOR DOS NÚMEROSPROCURADOS.

A PROPORÇÃO NOS MOSTRA QUE a ESTÁ PARA 3ASSIM COMO b ESTÁ PARA 5.

a TEM 2 PARTES (a = 2p)b TEM 5 PARTES (b = 5p)

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EXERCÍCIO

A DIFERENÇA ENTRE b – a É IGUAL A 27, TEMOS:

5p – 2p = 27

3p = 27

p = 27/3 = 9

a = 2p => a = 2 x 9 = 18

b = 5p => b = 5 x 9 = 45

PROVANDO OS CÁLCULOS: 45 – 18 = 27

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DIVISÃO PROPORCIONAL

PODEMOS DEFINIR UMA DIVISÃO PROPORCIONAL, COMOUMA FORMA DE DIVISÃO NO QUAL DETERMINAM-SE

VALORES QUE, DIVIDIDOS POR QUOCIENTES PREVIAMENTEDETEREMINADOS, MANTÊM-SE UMA RAZÃO QUE NÃO TEM

VARIAÇÃO.

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TIPOS DE DIVISÃO PROPORCIONAL

• DIRETA

• INVERSA

• DIRETA E INVERSA AO MESMO TEMPO

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DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

O TOTAL DOS NÚMEROS A SER DIVIDIDO ESTÁ PARA ASOMA DOS PROPORCIONAIS, ASSIM COMO O NÚMERO

PROPORSIONAL ESTÁ PARA A PARTE QUE A REPRESENTA.

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DIVISÃO PROPORCIONAL

PARA DECOMPOR UM NÚMERO “n” EM DUAS PARTESa E b DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A p E q, MONTAMOSUM SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS,

DE MODO QUE A SOMA DAS PARTES SEJA a + b = n.

a/p = b/q

A SOLUÇÃO SEGUE DAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES:

a/p = b/q = (a+b)/(p+q) = n/(p+q) = k

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EXEMPLO

PARA DECOMPOR O NÚMERO 100 EM DUAS PARTES a E bDIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 2 E 3, MONTAREMOS O

SISTEMA DE MODO QUE a+b=100, CUJA SOLUÇÃOSEGUE DE:

a/2 = b/3 = (a+b)/5 = 100/5 = 20

ENTÃO, a = 40 E b = 60

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EXEMPLO

DETERMINAR NÚMERO a E b DIRETAMENTE PROPORCIONAISA 8 E 3, SABENDO-SE QUE A DIFERENÇA ENTRE ELES É 60.PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA BASTA TOMAR a-b = 60,

CUJA SOLUÇÃO SEGUE DE:

a/8 = b/3 = (a-b)/5 = 60/5 = 12

ENTÃO, a = 96 E b = 36

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EXEMPLO

UMA PESSOA DIVIDE O VALOR DE R$ 12.000,00PROPORCIONALMENTE AS IDADES DE SEUS FILHOS:

2, 4 e 6 ANOS. QUAL O VALOR QUE CADA UM RECEBERÁ?

2 + 4 + 6 = 12

12 : 12.0002 : x

12x = 24.000 => x = 24.000/12 => x = 2.000 (é a parte doprimeiro filho)

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EXEMPLO

12 : 12.0004 : x

12x = 48.000 => x = 48.000/12 => x = 4.000 (é a parte dosegundo filho)

12 : 12.0006 : x

12x = 72.000 => x = 72.000/12 => x = 6.000 (é a parte doterceiro filho)

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DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

PARA DECOMPOR UM NÚMERO “n” EM DUAS PARTES,SEJAM x E y, QUE SEJAM INVERSAMENTE PROPORCIONAISA x E y, DEVE-SE DECOMPOR ESTE NÚMERO “n” EM DUASPARTES x E y DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 1/x E 1/y,QUE FORMAM, DESTA FORMA, OS NÚMEROS INVERSOS.

POR EXEMPLO, PARA DIVIDIR EM PARTES INVERSAMENTEPROPORCIONAIS A 1/4 E 2/3 EQUIVALE A DIVIDIR EM PARTES

DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 4 E 3/2.

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DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL

DIVIDIR O NÚMERO 441 EM PARTES INVERSAMENTEPROPORCIONAIS A 3, 5 e 6.

x + y + z = 441

x/(1/3) = y/(1/5) = z/(1/6)

DETERMINANDO AS FRAÇÕES EQUIVALENTES:

mmc(3,5,6) = 30

1/3, 1/5, 1/6 = 10/30, 6/30, 5/30

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MONTANDO O SISTEMA TEMOS:

x + y + z = 441

x/10 = y/6 = z/5

(x + y + z)/(10 + 6 + 5) = x/10 = y/6 = z/5

441/21 = 21

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CALCULANDO AS PARTES TÊM-SE O RESULTADO:

21/1 = x/10x.1 = 21.10

x = 210

21/1 = y/6y.1 = 21.6

y = 126

21/1 = z/5z.1 = 21.5

z = 105

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VERIFICAÇÃO DE RESULTADOS:

210 + 126 + 105 = 441

210/10 = 21

126/6 = 21

105/5 = 21

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DIVISÃO DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

PARA DECOMPOR UM NÚMERO “n” EM DUAS PARTES a E bDIRETAMENTE PROPORCIONAIS A c E d E INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS A p E q, DEVE-SE DECOMPOR ESTENÚMERO “n” EM DUAS PARTES a E b DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS A c/p E d/q, BASTA MONTAR UMSISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS

DE FORMA QUE a + b = n E ALEM DISSO:

a/(c/p) = b/(d/q) = (a+b)/(c/p+d/q) = n/(c/p+d/q) =(n.p.q)/(c.q+p.d) = k

O VALOR DE K PROPORCIONA A SOLUÇÃO POIS:a = K.c/p E b = k.d/q

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PARA DECOMPOR O NÚMERO 58 EM DUAS PARTES “a” E “b”DIRETAMENTE PROPORCIONAIS A 2 e 3, E, INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS A 5 e 7, DEVE-SE MONTAR ASPROPORÇÕES:

a/(2/5) = b/(3/7) = (a+b)/(2/5+3/7) = 58/(29/35)58/1 x 35/29 = 2/1 x 35/1 = 70/1 = 70

ASSIM a = (2/5).70 = 140/5 = 28 E b = (3/7).70 = 210/7 = 30

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PARA OBTER NÚMEROS “a” E “b” DIRETAMENTE PROPOR-CIONAIS A 4 e 3, E, INVERSAMENTE PROPORCIONAIS A 6 e 8,

SABENDO-SE QUE A DIFERENÇA ENTRE ELES É 21. PARARESOLVER ESTE PROBLEMA BASTA ESCREVER QUE

a-b = 21 E RESOLVER AS PROPORÇÕES:

a/(4/6) = b/(3/8) = (a-b)/(4/6-3/8) = 21/(7/24)21/1 x 24/7 = 3/1 x 24/1 = 72/1 = 72

ASSIM a = (4/6).72 = 288/6 = 48 E b = (3/8).72 = 216/8 = 27

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REGRA DE TRÊS SIMPLES

REGRA DE TRÊS SIMPLES É UM PROCESSO PRÁTICO PARARESOLVER PROBLEMAS QUE ENVOLVAM QUATROVALORES DOS QUAIS CONHECEMOS TRÊS DELES.

DEVEMOS, PORTANTO, DETERMINAR UM VALOR A PARTIRDOS TRÊS JÁ CONHECIDOS.

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PASSOS UTILIZADOS NUMA REGRA DE TRÊS SIMPLES

1º) CONSTRUIR UMA TABELA, AGRUPANDO AS GRANDEZASDA MESMA ESPÉCIE EM COLUNAS E MANTENDO NA MESMA

LINHA AS GRANDEZAS DE ESPÉCIES DIFERENTES EMCORRESPONDÊNCIA.

2º) IDENTIFICAR SE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE OUINVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

3º) MONTAR A PROPORÇÃO E RESOLVER A EQUAÇÃO.

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VARIANTES DA REGRA DE TRÊS SIMPLES

• DIRETA

• INVERSA

É DEFINIDO NA REGRA DE TRÊS OS TERMOS DE“DIRETA OU INVERSA”, DEPENDENDO DO TIPO DE

RELAÇÃO QUE EXISTEM ENTRE AS DUAS GRANDEZASENVOLVIDAS NO PROCESSO DO PROBLEMA.

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EXEMPLOS

COM UMA ÁREA DE ABSORÇÃO DE RAIOS SOLARES DE1,2 m², UMA LANCHA COM MOTOR MOVIDO A ENERGIA

SOLAR CONSEGUE PRODUZIR 400 WATTS POR HORA DEENERGIA. AUMENTANDO-SE ESSA ÁREA PARA 1,5 m², QUAL

SERÁ A ENERGIA PRODUZIDA?

MONTANDO A TABELA:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400 1,5 x

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EXEMPLOS

IDENTIFICAÇÃO DO TIPO DE RELAÇÃO:


1,2 400 | 1,5 x | V

INICIALMENTE COLOCAMOS UMA SETA PARA BAIXO NA COLUNA QUE CONTÉM O x (2ª COLUNA).

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EXEMPLOS

OBSERVE QUE: AUMENTANDO A ÁREA DE ABSORÇÃO,A ENERGIA SOLAR AUMENTA.

COMO AS PALAVRAS CORRESPONDEM (AUMENTANDO – AUMENTA),PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS. ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETANO MESMO SENTIDO (PARA BAIXO) NA 1ª COLUNA. MONTANDO A

PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:


1,2 | 400 | 1,5 | x | V V

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EXEMPLOS

1,2 / 1,5 = 400 / x

MULTIPLICAMOS EM CRUZES:

1,2x = 1,5 x 400

x = 1,5 x 400 / 1,2

x = 600 / 1,2 = 500

LOGO, A ENERGIA PRODUZIDA SERÁ DE 500 WATTSPOR HORA.

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EXEMPLOS

UM TREM, DESLOCANDO-SE A UMA VELOCIDADE MÉDIADE 400 km/h, FAZ UM DETERMINADO PERCURSO EM 3

HORAS. EM QUANTO TEMPO FARIA ESSE MESMOPERCURSO, SE A VELOCIDADE UTILIZADA FOSSE DE

480 km/h?

MONTANDO A TABELA:

Velocidade (km/h) Tempo (h)

400 3 480 x

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EXEMPLOS



400 3 | 480 x | V


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EXEMPLOS

OBSERVE QUE: AUMENTANDO A VELOCIDADE, OTEMPO DO PERCURSO DIMINUI.

COMO AS PALAVRAS SÃO CONTRÁRIAS (AUMENTANDO – DIMINUI),PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS. ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETANO SENTIDO CONTRÁRIO (PARA CIMA) NA 1ª COLUNA. MONTANDO

A PROPORÇÃO E RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:

Velocidade (km/h) Tempo (h)^

400 | 3 | 480 | x | V

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EXEMPLOS

3 / x = 480 / 400 (INVERTERMOS OS TERMOS)

MULTIPLICAMOS EM CRUZES:

480x = 3 x 400

x = 3 x 400 / 480

x = 1200 / 480 = 2,5

LOGO, O TEMPO DESSE PERCURSO SERIA DE 2,5 HORASOU 2 HORAS E 30 MINUTOS.

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EXEMPLOS

BIANCA COMPROU 3 CAMISETAS E PAGOU R$ 120,00.QUANTO ELA PAGARIA SE COMPRASSE 5 CAMISETAS

DO MESMO TIPO E PREÇO?

MONTANDO A TABELA:

Camisetas Preço (R$)

3 120 5 x

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EXEMPLOS


Camisetas Preço (R$)

3 120 | 5 x | V


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EXEMPLOS

OBSERVE QUE: AUMENTANDO O NÚMERO DE CAMISETAS,O PREÇO AUMENTA.

COMO AS PALAVRAS CORRESPONDEM (AUMENTANDO – AUMENTA),PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS. ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETANO MESMO SENTIDO (PARA BAIXO) NA 1ª COLUNA. MONTANDO



400 | 3 | 480 | x | V V

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EXEMPLOS

LOGO, A BIANCA PAGARIA R$ 200,00 PELAS 5 CAMISETAS.

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EXEMPLOS

UMA EQUIPE DE OPERÁRIOS, TRABALHANDO 8 HORAS PORDIA, REALIZOU DETERMINADA OBRA EM 20 DIAS. SE ONÚMERO DE HORAS DE SERVIÇO FOR REDUZIDO PARA5 HORAS, EM QUE PRAZO ESSA EQUIPE FARÁ O MESMO

TRABALHO?

MONTANDO A TABELA:

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20 5 x

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EXEMPLOS


Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20 | 5 x | V


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EXEMPLOS

OBSERVE QUE: DIMINUINDO O NÚMERO DE HORAS TRABA-LHADAS POR DIA, O PRAZO PARA TÉRMINO AUMENTA.

COMO AS PALAVRAS SÃO CONTRÁRIAS (DIMINUINDO – AUMENTA),PODEMOS AFIRMAR QUE AS GRANDEZAS SÃO INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS. ASSIM SENDO, COLOCAMOS UMA OUTRA SETANO SENTIDO CONTRÁRIO (PARA CIMA) NA 1ª COLUNA. MONTANDO


horas por dia prazo para término (dias)^

8 | 20 | 5 | x | V

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EXEMPLOS

LOGO, A EQUIPE FARIA O MESMO TRABALHO EM 32 DIAS.

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QUADRO DE FIXAÇÃO DA REGRA DE TRÊSDIRETA E INVERSA

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA:

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QUADRO DE FIXAÇÃO DA REGRA DE TRÊSDIRETA E INVERSA

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA:

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REGRA DE TRÊS COMPOSTA

REGRA DE TRÊS COMPOSTA É UM PROCESSO PRÁTICOPARA RESOLVER PROBLEMAS COM MAIS DE DUAS

GRANDEZAS, DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

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REGRAS

MÉTODO MAIS PRÁTICO DE SOLUÇÃO DA REGRA DETRÊS COMPOSTA:

FAÇA A COMPARAÇÃO DA GRANDEZA QUE IRÁ DETERMI-NAR A REGRA COM AS DEMAIS GRANDEZAS. SE ESTA

GRANDEZA FOR INVERSA, INVERTEMOS OS DADOSDESSA GRANDEZA DAS DEMAIS GRANDEZAS.

A GRANDEZA A SE DETERMINAR NÃO SE ALTERA, ENTÃO,IGUALAMOS A RAZÃO DAS GRANDEZAS E DETERMINAMOS

O VALOR QUE SE PROCURA.

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EXEMPLOS

SE 10 METROS DE UM TECIDO CUSTAM R$ 50,00 QUANTOCUSTARÁ 22 METROS?

O PROBLEMA ENVOLVE DUAS GRANDEZAS (QUANTIDADEDE TECIDOS E PREÇO DA COMPRA).

ASSIM 22 METROS CUSTARÃO R$ 110,00

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EXEMPLOS

SE EM 6 DIAS DE TRABALHO, 12 CONFEITEIROS FAZEM960 TORTAS. EM QUANTOS DIAS 4 CONFEITEIROS

PODERÃO FAZEM 320 TORTAS.

SOLUÇÃO: O PROBLEMA ENVOLVE TRÊS GRANDEZAS(TEMPO, NÚMERO DE CONFEITEIROS, QUANTIDADE

DE TORTAS).

ASSIM 320 TORTAS POR 4 CONFEITEIROS LEVARÃO 6 DIAS.

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PORCENTAGEM

PORCENTAGEM PODE SER DEFINIDA COMO A CENTÉSIMAPARTE DE UMA GRANDEZA, OU O CÁLCULO BASEADO

EM 100 UNIDADES.

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PORCENTAGEM

É VISTO COM FREQÜÊNCIA AS PESSOAS OU O PRÓPRIOMERCADO USAREM EXPRESSÕES DE ACRÉSCIMO OUREDUÇÃO NOS PREÇOS DE PRODUTOS OU SERVIÇOS.

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EXEMPLOS

-O LEITE TEVE UM AUMENTO DE 25%.QUER DIZER QUE DE CADA R$ 100,00 TEVE UM

ACRÉSCIMO DE R$ 25,00

-O CLIENTE TEVE UM DESCONTO DE 15% NA COMPRADE UMA CALÇA JEANS.

QUER DIZER QUE EM CADA R$ 100,00 A LOJA DEU UMDESCONTO DE R$ 15,00.

-DOS FUNCIONÁRIOS QUE TRABALHAM NA EMPRESA,-75% SÃO DEDICADOS.

SIGNIFICA QUE DE CADA 100 FUNCIONÁRIOS, 75 SÃODEDICADOS AO TRABALHO OU A EMPRESA.

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NOÇÃO DA PORCENTAGEM EM NÚMEROS

A) 60/100 DE 150 DIAS DE TRABALHO = (150/100) x 60 = 90 DIAS

O NÚMERO 90 DIAS DE TRABALHO REPRESENTA: PORCENTAGEM

B) 70/100 DE R$ 120,00 DE COMPRA = (120/100) x 70 = R$ 84,00

O VALOR DE R$ 84,00 REPRESENTA: PORCENTAGEM

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TAXA DE PORCENTAGEM

É DEFINIDO COMO TAXA DE PORCENTAGEM O VALOROBTIDO APLICANDO UMA DETERMINADA TAXA A UMCERTO VALOR. TAMBÉM PODE-SE FIXAR A TAXA DE

PORCENTAGEM COMO O NUMERADOR DE UMA FRAÇÃOQUE TEM COMO DENOMINADOR O NÚMERO 100.

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COMO CALCULAR PORCENTAGEM

TODO O CALCULO DE PORCENTAGEM, COMO INFORMADO,É BASEADO NO NÚMERO 100.

O CÁLCULO DE TANTOS POR CENTO DE UMA EXPRESSÃOMATEMÁTICA OU DE UM PROBLEMA A SER RESOLVIDO É

INDICADO PELO SÍMBOLO (%), E PODE SER FEITO, NASOMA, POR MEIO DE UMA PROPORÇÃO SIMPLES.

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AULA 5


REGRAS

1)A TAXA ESTÁ PARA PORCENTAGEM (ACRÉSCIMO, DESCONTO,ETC), ASSIM COMO O VALOR 100 ESTÁ PARA A QUANTIA A SER

ENCONTRADA.

UM TÍTULO TEM DESCONTO DE 10% SOBRE O VALOR TOTAL DER$ 100,00. QUAL O VALOR DO TÍTULO?

30% : R$ 100,00100% : x

x = R$ 30,00

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REGRAS

2) O NÚMERO QUE SE EFETUA O CÁLCULO DE PORCENTAGEM ÉREPRESENTADO POR 100.

EFETUE O CÁLCULO 10% DE 50.

100% : 5010% : x

x = 5

OBS.: NOS DOIS EXEMPLOS DADOS FORAM USADOS O SISTEMADE CÁLCULO DE REGRA DE TRÊS, JÁ ENSINADO

ANTERIORMENTE.

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REGRAS

3) O CAPITAL INFORMADO TEM SEMPRE POR IGUALDADE AO 100.

EFETUA-SE O RESGATE DE UM CHEQUE PRÉ-DATADO NO VALORDE R$ 150,00 E OBTEM-SE UM DESCONTO DE 20%.

100% : R$ 150,0020% : x

x = R$ 30,00

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EXERCÍCIO

UM JOGADOR DE BASQUETE, AO LONGO DO CAMPEONATO, FEZ250 PONTOS, DESTE TOTAL 10% FORAM DE CESTAS DE 2

PONTOS. QUANTAS CESTAS DE 2 PONTOS O JOGADOR FEZ DOTOTAL DE 250 PONTOS?

10% DE 250 = (10 x 250)/100 = 2500/100 = 25

PORTANTO, DO TOTAL DE 250 PONTOS O JOGADOR FEZ25 PONTOS DE CESTA DE 2 PONTOS.

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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOSEXERCÍCIO

UM CELULAR FOI COMPRADO POR R$ 300,00 E REVENDIDOPOSTERIORMENTE POR R$ 340,00, QUAL A TAXA PERCENTUAL

DE LUCRO?NESTE CASO É PROCURADO UM VALOR DE PORCENTAGEM NOQUAL SÃO SOMADOS OS R$ 300,00 INICIAIS COM A PORCENTA-GEM AUMENTADA E QUE TENHA COMO RESULTADO O VALOR

DE R$ 340,00.

300 + 300 . x/100 = 3403x = 340 – 300

x = 40/3x = 13,333 (DÍZIMA PERIÓDICA)

ASSIM, A TAXA DE LUCRO OBTIDA COM ESTA OPERAÇÃODE REVENDA FOI DE 13,33%.

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FATOR MULTIPLICANTE

HÁ UMA DICA IMPORTANTE A SER SEGUIDA, NO CASO DECÁLCULO COM PORCENTAGEM. NO CASO SE HOUVER

ACRÉSCIMO NO VALOR, É POSSÍVEL FAZER ISTODIRETAMENTE ATRAVÉS DE UMA OPERAÇÃO SIMPLES,MULTIPLICANDO O VALOR DO PRODUTO/SERVIÇO PELO

FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

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DICA

TENHO UM PRODUTO “X”, E ESTE TERÁ UM ACRÉSCIMODE 30% SOBRE O PREÇO NORMAL, DEVIDO AO PRAZO

DE PAGAMENTO. ENTÃO BASTA MULTIPLICAR O VALORDO MESMO PELO NÚMERO 1,30. CASO O MESMO PRODUTO

AO INVÉS DE 30% TENHA 20% DE ACRÉSCIMO, ENTÃO OFATOR MULTIPLICANTE É DE 1,20.

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OBSERVE ESTA PEQUENA TABELA:

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EXEMPLO

AUMENTE 17% SOBRE O VALOR DE UM PRODUTO DER$ 20,00, TEMOS R$ 20,00 X 1,17 = R$ 23,40

É ASSIM SUCESSIVAMENTE, É POSSÍVEL MONTAR UMATABELA CONFORME O CASO.

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DICA

DA MESMA FORMA QUE É POSSÍVEL, TER UM FATORMULTIPLICANTE QUANDO SE TEM ACRÉSCIMO AUM CERTO

VALOR, TAMBÉM NO DECRÉSCIMO OU DESCONTO,PODE-SE TER ESTE FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

NESTE CASO, FAZ-SE A SEGUINTES OPERAÇÃO:

1 – TAXA DE DESCONTO (ISTO NA FORMA DECIMAL)

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DICA

TENHO UM PRODUTO “Y”, E ESTE TERÁ UM DESCONTODE 30% SOBRE O PREÇO NORMAL. ENTÃO BASTA

MULTIPLICAR O VALOR DO MESMO PELO NÚMERO 0,70.CASO O MESMO PRODUTO AO INVÉS DE 30% TENHA

20% DE DESCONTO, ENTÃO O FATOR MULTIPLICANTEÉ DE 0,80.

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OBSERVE ESTA PEQUENA TABELA:

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EXEMPLO

DESCONTO DE 7% SOBRE O VALOR DE UM PRODUTO DER$ 58,00, TEMOS R$ 58,00 X 0,93 = R$ 53,94

É ASSIM SUCESSIVAMENTE, É POSSÍVEL MONTAR UMATABELA CONFORME O CASO.

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EXERCÍCIO

QUAL O VALOR DE UMA MERCADORIA QUE CUSTOUR$ 555,00 E QUE PRETENDE TER COM ESTA UM

LUCRO DE 17%?

100% : 55517% : x

x = 555 . 17/100x = 9435/100

x = 94,35

TEMOS O VALOR DA MERCADORIA: R$ 555,00 + R$ 94,35

PREÇO FINAL: R$ 649,35

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EXERCÍCIO

UM ALUNO TEVE 30 AULAS DE UMA DETERMINADA MATÉRIA.QUAL O NÚMERO MÁXIMO DE FALTAS QUE ESTE ALUNOPODE TER SABENDO QUE ELE SERÁ REPROVADO, CASO

TENHA FALTADO A 30% (POR CENTO) DAS AULAS?

100% : 3030% : x

x = 30 . 30/100x = 900/100

x = 9

ASSIM, O TOTAL DE FALTAS QUE O ALUNO PODERÁTER SÃO 9 FALTAS.

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