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MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 2 - CEF Juros Compostos ........................................................................................................................... 2

Período de Capitalização ...................................................................................................................... 2

Fórmula do Montante Composto ......................................................................................................... 2

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta .......................................... 3

Taxas Equivalentes ....................................................................................................................... 8

Taxa Nominal e Taxa Efetiva .................................................................................................... 8

Descontos Compostos ............................................................................................................... 12

Desconto Racional (por dentro) Composto .................................................................................... 13

Desconto Comercial (por fora) Composto ..................................................................................... 14

Relação das questões comentadas ....................................................................................... 25

Gabaritos ........................................................................................................................................ 30



Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo

período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados

em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são

e o montante após

o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são

e o montante após

o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são

e o montante após o

terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são

e o montante após o

quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são

e o montante após

o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Período de Capitalização O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é

chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os

juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma

vez por trimestre. E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na

mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este

assunto em seções posteriores (taxas de juros).

Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica:

M montante (capital + juros).

C Capital inicial aplicado.

i taxa de juros

n número de períodos.



Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres.

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto,

utilizaremos a relação:

Comparação entre as Capitalizações Simples e

Composta Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma

taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização:

a) 1 mês b) 15 dias (meio mês)

c) 2 meses Resolução

a) Capitalização Simples

Capitalização Composta

Observe que, para , o montante simples é igual ao montante composto.

b) Capitalização Simples


Observe que, para , o montante simples é maior do que o montante

composto (este montante foi obtido com uma calculadora).

c) Capitalização Simples




Observe que, para , o montante simples é menor do que o montante

composto.

Em resumo, temos as seguintes relações

O montante simples é igual ao montante

composto. O montante simples é maior do que o

montante composto. O montante simples é menor do que o

montante composto.

01. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao

mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais)

a) 20.999,66 b) 21.985,34

c) 22.111,33 d) 22.400,00

e) 22.498,00

Resolução

O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

Letra E

02. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras

2008/CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10%

a.a.?

(A) 14.325,00 (B) 14.000,00

(C) 13.425,00 (D) 12.000,00

(E) 10.000,00

Resolução



Vamos utilizar a fórmula do montante composto. Observe que a taxa e o

tempo já estão em conformidade em relação às unidades.

Letra B

03. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras

2008/CESGRANRIO) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de,

aproximadamente, (A) 10,0%

(B) 20,5% (C) 21,0%

(D) 22,5% (E) 25,0%

Resolução

Rendimento é sinônimo de juros. Vamos aplicar a fórmula do montante composto.

Como o rendimento (juro) é igual a diferença entre o montante e o capital aplicado, então:

Percentualmente temos:

Letra D

04. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês.

Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros



compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C,

acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i ? (A) 6

(B) 5 (C) 4

(D) 2 (E) 1

Resolução

Para facilitar os cálculos, vamos considerar que o capital aplicado foi igual a

R$ 100,00.

Temos duas aplicações:

i) A metade de um capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês durante dois meses.

A metade do capital é igual a R$ 50,00.

ii) A outra metade foi aplicada a juros simples com taxa mensal de i%

durante 2 meses.

O juro simples é calculado da seguinte maneira:

É importante notar que deve haver conformidade entre a unidade da taxa e a unidade de tempo.

Por definição, o montante é a soma do capital aplicado com os juros auferidos

no período. Desta forma, o montante simples é igual a .



Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos

foram somados e seu valor correspondia ao capital total C, acrescido de 50%.

Como estamos supondo que o capital aplicado é igual a R$ 100,00, então os montantes somados resultam R$ 150,00.

Os divisores positivos de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

O número possui 6 divisores positivos.

Letra A

05. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no

tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos

à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma

unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de

tempo. c) simples, sempre.

d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto. Letra E



Taxas Equivalentes

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples

é o mesmo que falar em taxas proporcionais. Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao

mês? Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital

inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a

seguinte equação: 3 1(1 ) (1 )m tC i C i

3(1 0,10) 1 ti

1 1,331ti

0,331ti

33,1%ti

Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores Exemplo Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao

trimestre? Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação:

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo

“24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é

chamada de taxa efetiva. No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a

que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo,



uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal

porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por

mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de

capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva.

São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização diária.

- 48% ao ano com capitalização bimestral. Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for

coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”.

A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões

sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve

ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula:

Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva.

Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será

60%10% a.b.

6bi

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de

taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira:

1 6(1 ) (1 )a bi i

61 (1 0,10)ai

61,10 1ai

0,7715ai

77,15%ai



Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser

utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada

para efeito de cálculo será 10% a.b.. Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal

diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal.

06. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de

juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,

capitalizada bimestralmente?

a) 75,0%

b) 72,8% c) 67,5%

d) 64,4% e) 60,0%

Resolução

Vamos analisar cada parte do enunciado.

“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”.

Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por

40%20% a.b.

2bi

Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes.

Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 1 3(1 ) (1 )s bi i

31 (1 0,20)si

1,728 1 0,728si

72,8%si

Letra B

07. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se

R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será

(A) 5.400,00 (B) 5.405,00

(C) 5.408,00 (D) 6.272,00

(E) 6.275,00

Resolução



O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é

chamado de período de capitalização. Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é bimestral, então os

juros são calculados em todos os bimestres e imediatamente incorporados ao capital.

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais

(no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização bimestral” significa na realidade “4% ao

bimestre”, isto porque 24% dividido por 6 é igual a 4% (lembre-se que um ano é composto por 6 bimestres).

A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao bimestre é

chamada de taxa efetiva.

Nas fórmulas de juros compostos sempre devemos utilizar as TAXAS

EFETIVAS. Lembre-se sempre disto!! No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a

que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral é uma taxa nominal

porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada bimestralmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por

bimestre e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de

capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao bimestre com capitalização bimestral é uma taxa efetiva.

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a

seguinte fórmula básica:

M montante (capital + juros).

C Capital inicial aplicado.

i taxa de juros

n número de períodos.

Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 4 meses, então o número de períodos é igual a 2 bimestres.

Temos os seguintes dados no enunciado:

Letra C



Descontos Compostos

A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes

da data de vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto são:

Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na

data do vencimento.

Valor Atual, Valor Presente,

Valor Líquido, Valor Descontado (A)

O valor líquido é obtido pela

diferença entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto é o abatimento que se faz

no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de

vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor

atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a

natureza da taxa.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o

desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou

desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro.

Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de

capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro).

Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto

Comercial Composto.

Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação

(simples ou composto).



Desconto Racional (por dentro) Composto

A operação de desconto racional composto, por definição, é

equivalente a uma operação de juros compostos.

Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto

teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido

aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde

ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples,

podemos fazer um desenho comparativo.

O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital

inicial da operação de juros compostos. O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao

montante da operação de juros compostos. O desconto da operação de desconto racional composto corresponde

ao juro da operação de juros compostos.



Correspondência entre os elementos das operações

Juros Compostos Desconto Racional Composto (por

dentro)

Capital Inicial (C) Valor Atual (A)

Montante (M) Valor Nominal (N)

Juro (J) Desconto (D)

Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples

(por dentro).

Juros Compostos: (1 )nM C i

Desconto Racional Composto

Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

(1 )N A i n (1 )nN A i

A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente.

O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional

composto equivale a uma operação de juros compostos.

Desconto Comercial (por fora) Composto

Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros

compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao

juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal.

Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.

(1 )nN A i



Desconto Racional Simples

(por dentro)

Desconto Racional Composto (por

dentro)

(1 )N A i n (1 )nN A i

Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi

para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.

Desconto Comercial Simples (por fora)

Desconto Comercial Composto (por fora)

(1 )A N i n (1 )nA N i

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

08. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de

seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa

de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$

20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do

desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual

seria de

a) R$ 21.780,00

b) R$ 21.600,00

c) R$ 20.702,00

d) R$ 19.804,00

e) R$ 19.602,00

Resolução

Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto.

Assim,

A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte:

Letra E



09. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois

meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do

título?

a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00.

c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00.

e) R$ 110 000,00.

Resolução

A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.

O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Letra B

10. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$

50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros

compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do

desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00

b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86

d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00

Resolução



No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do título é dada pela expressão

Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00.

Letra B

11. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos

de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por:

, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a

taxa de juros.

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto

comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por

Em que n é o número de períodos.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros

compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:


Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.

b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se todas as afirmativas estiverem corretas.

d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

Resolução

I. Falsa. A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente

a uma operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto

racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.



O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido

aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o

vencimento do título.

O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples.

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples.

O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao

juro da operação de juros simples.

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto

racional simples!!

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Simples: J C i n

Desconto Racional Simples:




Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o

mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais.

Lembrando que

D A i n



A proposição II, portanto, é verdadeira.

III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor futuro).

Letra D

12. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses

antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto

racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00

b) R$ 104,89 c) R$ 168,00

d) R$ 93,67 e) R$ 105,43

Resolução

A = 840,00.

Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor

descontado equivale ao capital inicial. Temos a seguinte expressão:

(1 )nN A i

4840 (1 0,03)N

4840 1,03N

Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida multiplicaremos 1,032 por 1,032

1,032 = 1,0609

1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088

4840 1,03 840 1,1255088 945,43N .



Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que

em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor atual.

D N A

945,43 840 105,43D

Letra E

13. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por

R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao

mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o

desconto racional composto. Despreze os centavos.

a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00

c) R$ 11.363,00 d) R$ 11.800,00

e) R$ 12.000,00

Resolução

Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer

que o valor atual é R$ 10.000,00.

(1 )nN A i

410.000 (1 0,03)N

410.000 1,03 10.000 1,1255088N

11.255,00N

Letra A

14. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$

6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais

próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é

de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506)

a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72

c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90

e) R$ 36.465,18

Resolução



Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor

descontado no desconto racional composto.

(1 )nN A i

O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O

desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Assim,

6.465,18N A

Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos:

(1 ) 6.465,18nA i A

4(1 0,05) 6.465,18A A

Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A).

41,05 1 6.465,18A A

Podemos então colocar A em evidência:

4(1,05 1) 6.465,18A

4

6.465,18 6.465,18

1,05 1 1,215506 1A

6.465,1830.000,00

0,215506A

Letra C

15. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será

descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto

de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor

do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00 b) 398,00

c) 397,00 d) 396,00

e) 395,00

Resolução

Dados do problema:



N = 24.200,00 n = 2 meses

i = 10% a.m. = 0,10 a.m.

1º) Desconto comercial composto (D)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto:

(1 )nA N i

224.200 (1 0,10)A

224.200 0,90 24.200 0,81A

19.602,00A

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a

diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que D = 24.200 – 19.602

D = 4.598,00

2º) Desconto racional composto (d)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto:

(1 )nN A i

224.200 (1 0,10)A

24.200 1,21A

24.20020.000,00

1,21A

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que

d = 24.200,00 – 20.000,00 d = 4.200,00.

Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00

Letra B



16. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos

antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se for utilizado o

desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e,

se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$

23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00

b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00

d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00

Resolução

1º) Desconto Racional Composto

2º) Desconto Comercial Composto

Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas expressões obtidas:



Sabemos que:

Letra B



Relação das questões comentadas

01. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao

mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais)

a) 20.999,66 b) 21.985,34

c) 22.111,33 d) 22.400,00

e) 22.498,00

02. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar

um montante de R$18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.?

(A) 14.325,00

(B) 14.000,00 (C) 13.425,00

(D) 12.000,00 (E) 10.000,00

03. (Técnico de Administração e Controle Júnior – Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de

7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente,

(A) 10,0% (B) 20,5%

(C) 21,0%

(D) 22,5% (E) 25,0%

04. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A metade de um

capital C foi aplicada a juros compostos com taxa de 20% ao mês. Simultaneamente, a outra metade foi aplicada a juros simples com taxa

mensal de i%. Ao final de dois meses, os montantes a juros simples e a juros compostos foram somados e seu valor correspondia ao capital total C,

acrescido de 50%. Quantos são os divisores inteiros positivos de i ? (A) 6

(B) 5 (C) 4

(D) 2 (E) 1



05. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no

tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos

à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma

unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de

tempo.

c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.

e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

06. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de

juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,

capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8%

c) 67,5% d) 64,4%

e) 60,0%

07. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Aplicando-se

R$5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização bimestral, o montante, em reais, ao fim de 4 meses, será

(A) 5.400,00 (B) 5.405,00

(C) 5.408,00 (D) 6.272,00

(E) 6.275,00

08. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de

seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa

de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$

20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do



desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual

seria de

a) R$ 21.780,00

b) R$ 21.600,00

c) R$ 20.702,00

d) R$ 19.804,00

e) R$ 19.602,00

09. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois

meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do

título?

a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00.

c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00.

e) R$ 110 000,00.

10. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$

50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros

compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do

desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00

b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86

d) R$ 24.000,00

e) R$ 20.000,00

11. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos,

analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por:

, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a

taxa de juros.




III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros

compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:




Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.

b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se todas as afirmativas estiverem corretas.

d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

12. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses

antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto

racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00

b) R$ 104,89 c) R$ 168,00

d) R$ 93,67 e) R$ 105,43

13. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por

R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao

mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o

desconto racional composto. Despreze os centavos.

a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00

c) R$ 11.363,00 d) R$ 11.800,00

e) R$ 12.000,00

14. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$

6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais

próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é

de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506)

a) R$ 25.860,72

b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00

d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18



15. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será

descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto

de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor

do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00

b) 398,00 c) 397,00

d) 396,00 e) 395,00

16. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos

antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se for utilizado o

desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e,

se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$

23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00

c) R$ 34.000,00

d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00



Gabaritos 01. E

02. B

03. D

04. A

05. E

06. B

07. C

08. E

09. B

10. B

11. D

12. E

13. A

14. C

15. B

16. B

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