matemática financeira.pdf

ROBERTO G. FERREIRA NATASHA GOMES FERREIRA

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PARA CONCURSOS PÚBLICOSMais de 400 Problemas

Resolvidos e Comentados

SÃO PAULO EDITORA ATLAS S.A. - 2010

Capa: Mareio Henrique Medina

Composição: Lino-Jato Editoração Gráfica

© 2010 by Editora Atlas S.A.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ferreira, Roberto G.Matemática financeira para concursos públicos : mais de 400 problemas resolvidos e

comentados / Roberto G. Ferreira. Natasha Gomes Ferreira. São Paulo : Atlas, 2010.t _ . . . . ...

Bibliografia.

ISBN 978-85-224-5933-9 J

1. Matemática financeira 2. Matemática financeira - Concursos públicos 3. Matemática financeira - Problemas, exercícios etc. I. Ferreira, .Natasha Gomes. II. Título.

10-03212 CDD-650.01513

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - É proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei ns 9.610/98) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal, - - /.■ ' .. . .. . :

Depósito legal na Biblioteca Nadonal conforme Decreto na 1.825, de 20 de dezembro de 1907.

Impresso no Brasil/Prinred in Brazü

Editora Atlas S .A.Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elísios) 01203-904 São Paulo (SP)Tel.: (0__ 11) 3357-9144 (PABX)www.EditoraAtlas.com.br

índice para catálogo sistemático:

1. Matemática financeira : Concursos públicos 650.01513

http://www.EditoraAtlas.com.br

Aos leitores e candidatos a concursos,

os nossos votos para que obtenham o máximo retomo deste livro e muito sucesso na concretização de seus objetivos e sonhos.

“Otimismo sempre e sempre, apesar dò desmentidodos acontecimentos.”

René de Bràbois

Sumário

Apresentação, ix

1 Razoes, proporções, percentagens e taxas, 1

2 Operações com mercadorias, 30

3 Capitalização simples: juros, montantes e descontos simples, 50

4 Capitalização composta: juros, montantes e descontos compostos, 146

5 Aplicações financeiras, inflação e taxas reais de juros, 196

6 Rendas certas, séries financeiras ou séries de pagamentos, 228

7 Esquemas e sistemas de amortização de financiamentos, 247

Tabelas financeiras, 279

Referências, 303

Apresentação

Com uma grande variedade de publicações destinadas aos candidatos a concursos públicos, na área de matemática financeira, o mercado de livros didáticos não possui até o momento, infelizmente, um número suficiente de manuais neste campo que diga respeito a “problemas resolvidos e comentados de concursos”. Para dar início ao suprimento de tal carência, resolvemos elaborar o presente trabalho, que esperamos seja seguido por outros, a fim de propiciar aos candidatos a oportunidade na escolha de ter em mãos mais materiais que lhes poupem tempo e trabalho nas várias formas de resolução de um problema.

Diferenciando-se, portanto, de textos tradicionais, que possuem apenas a mera resposta apresentada pelos gabaritos de provas de concursos, os candidatos têm agora a chance de conhecer os vários processos de resolução, as metodologias empregadas e, em alguns casos, de se prevenir da má formulação de questões fornecidas em termos de dúbias interpretações. - -

Aos Capítulos 1 e 2 reservamos uma introdução ao tema, resolvendo problemas sobre razões, proporções, percentuais, taxas e operações com mercadorias, como forma inicial de o candidato ir se familiarizando com as noções da matemática financeira através dos conceitos básicos da matemática comercial.

Os Capítulos 3 e 4 tratam dos vários tipos de problemas ligados às capitalizações simples e composta relacionados aos juros, montantes, valores atuais, descontos e equivalências de capitais em seus regimes racionais e comerciais.

As aplicações financeiras, inflação, taxas reais de juros são tratadas no Capítulo 5. Tema de grande relevância em qualquer concurso público, na medida em que são poucos os livros de matemática financeira que abordam em sua íntegra tais temas com objetividade e praticidade.

X Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Finalmente, nos Capítulos 6 e 7 são resolvidos os problemas de concursos públicos que abordam séries de pagamentos, esquemas e sistemas de empréstimos e financiamentos. As várias modalidades de fluxos de caixa, constantes e variáveis, Sistema Francês ou Tabela Price, Sistemas de Amortização Constante (SAC) e americano são abordados através dos vários problemas aplicados em concursos.

Os Autores

1

Razões, Proporções, Percentagens e Taxas

01) (AN. ORC.) Em uma venda de R$ 3.840,00, um vendedor recebe de comissão R$ 115,20. Qual é a taxa de comissão paga pela loja aos seus vendedores?a) 1,5% -+ d) 3%

b) 2,5% e) 4%c) 2 %

Solução:

n/ . ^__ . ~ Comissão Recebida R$115,20 0(V% de Comissão = — =— —-— x 100 = x 100 = 3%Total da Venda R$ 3.840,00

02) (TELERJ) O preço de um artigo triplicou. Portanto, ele teve um aumento de:

a) 3% d) 300%b) 30% e) 400%

c) 200% : 7 '/ ; ; v./r \

Solução: Tomando-se como preço inicial de referência P. = R$ 100,00 e como preço final Pf = 3 x P. = 3 x R$ 100,00 = R$ 300,00, teremos:

pTaxa de Aumento % = j —í— i

P:X 100 = | ^ _ 1 I X 100 = 200%

100

2 Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

03) (CONC. MAG. SME) O salário-mínimo foi aumentado em 12% no último dia 01/05. O leite B que custava R$ 0,70 passou imediatamente a custar R$ 1,05.

A razão entre o percentual de aumento do salário-mínimo e o do leite é de:

04) (PUC) O tribunal concedeu a uma certa categoria profissional aumento de 100% sobre o salário, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores já haviam recebido tuna antecipação de 20% em setembro,

c) 67%

Solução:

Considere o salário sem antecipação = R$ 100,00. Se já houve uma antecipação de 20%, o salário de setembro passou para R$ 100,00 + 20% x R$ 100,00 = R$ 120,00.

Como o Tribunal deverá dar um aumento de 100% sobre o salário sem antecipação (R$ 100,00), isso significa que o salário final deverá passar de R$ 100,00 para R$ 200,00.

Portanto, o aumento que deverá ser dado sobre o salário, já incorporando a antecipação (R$ 120,00), será de:

Solução:

Taxa de aumento do Leite B

] % do Salário-mínimo _ 12% _ 0,12 _ 6° S° ’ % do Leite B ~ 50% 0,50 “ 25

receberão agora um aumento, sobre o salário de setembro, dé:

a) 45%

b) 50%

d) 72%

e) 80%

Razões, Proporções, Percentagens e Taxas 3

„ A______ R$ 200,00 - R$ 120,00 R$ 80,00% de aumento---------- R$ 120,00 X 100 = R$120,00 X

X 1 0 0 = 0 , 6 7 X 1 0 0 = 6 7 %

05) (ESAF) Indique a taxa de juros simples mensal que é equivalente à taxa de 9% ao trimestre.

a) 2% d) 4,5% .—► b) 3% - e) 6,0%

c) 4%

Solução:

- ■ - . i 9%" L = 3 = ^5 = 3% a. m.3 3

06) (CVR) Seu ordenado é de R$ 6.870,00. Porque trabalhou horas extras, seu contracheque indica um bruto de R$ 8.300,00. O percentual do salário correspondente às horas extras foi de, aproximadamente:a) 25% d) 21%b) 24% e) 15%c) 22%

' Solução:

Percentual das Horas x Extras - fi$ Tot l ~ R$ Ordenado x ^oo =- R$ Ordenado

8 .3 0 0 - 6 .8 7 0 rn r » or» oon/^ 6 8 7 0 " * 1 Q 0 = 2 0 ,8 2 %

07) (E TRIB.) Dois capitais, em juros simples, estão entre si assim como 4está para 6. Para que, em período de tempo igual, seja pbtido o mesmorendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: > ;

i ;; -> a) 5 0 % d) 2 0 % :b) 6 0 % e) 7 0 % . . ..c) 40%

Solução:

4 Matemática Financeira para Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

OU

4 iou ainda: _ x _i ~ 1

de onde, ^ — ~ x i2 = 1,5 x i2 = (1 + 50%) x i2

ou finalmente, ij = i2 + 50% x i2 => ia deverá ser maior que i2 em 50%.

’ c) 88%

Solução:

i, = 2 x i 2 x 40% = 80% a.b.b m

09) (FGV) Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra, o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo da caderneta. Por uma questão de justiça, no entanto, ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo:

a) diminui para 60% .b) diminui para 65%c) permaneceu em 70%d) aumentou para 80%e) é impossível ser calculada se não conhecemos o valor do saldo inicial

Solução:

Considere que ambas as irmãs tenham um saldo conjunto dè R$ 100,00. Neste caso, a participação de cada uma será:

Ana: 70% x R$ 100,00 = R$ 70,00 Lúcia: 30% x R$ 100,00 = R$ 30,00

08) (SUSEP) Quem paga juros simples mente juros de:-* a) 80% ;

b) 84%

mensais de 40% paga bimestral-

d) 92%e) 96%


Se o pai delas depositar o mesmo valor do saldo (R$ 100,00) da poupança, a participação de cada uma será:

Ana: 50% x R$ 100,00 - R$ 50,00 Lúcia: 50% x R$ 100,00 = R$ 50,00

Portanto, para um saldo total de R$ 100,00 + R$ 100,00 = R$ 200,00, a participação de Ana, com um saldo de R$ 70,00 + R$ 50,00 = R$ 120,00, será:

% d e - m i i ü x 1 0 0 - ° ' 6 ° * 1 0 0 = 6 o %

10) (UFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de:

a) 0% d) 100%b) 60% e) 150%c) 75%

Solução:

Pf = Pj + 150% x P. = P. + 1,50 x P. = 2,50 x P. (1)

e Pf (1 - X) = P. (2)

Substituindo em (2) o valor de Pf dado em (1), teremos:

2,50 P. (1 - X) = P. ou 2,50 (1 - X) = 1de onde: 2,50 - 2,50 X = 1 ou 2,50 X =• 2,50 - 1 => 2,50 X = 1,50

1 50ou ainda: X = r = 0,60 = 60%

11) (BNDES) Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 no mercado financeiro e, após 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A taxa de juros simples dessa aplicação foi de: :

a) 0,06% ao mês " v.b) 0,06% ao diac) 0,06 ao mêsd) 0,6% ao diae) 6% ao mês


Solução:

C = R$ 3.000,00

12n = 12 dias = — mês 30

J = R$72,00

i = ?

T C x i x n . 100 x J 100 x 72 7.200j — ----------ou i = ----------sst-----------—- s -------- = 6% a.m.100 C x n g 000 x — 1-200

■■ < 30

12) (FURNAS) Aplicando R$ 18.000,00 durante seis meses, um investidor obteve juros de R$ 1.620,00. A taxa anual de juros oferecida por esta instituição financeira é de:

a) 1,5% ;d) 12%

b) 3% e) 18%

c) 6%

Solução:

C = R$ 18.000,00

J = R$ 1.620,00

n ~ 6 meses

i = ?

T C x i x n . 100 x J 100x 1.620 162 ..j —--------- ou j ---------- = ---------------= ------ = 15% a. m. —100 C xn 18.000x6 108

= 1,5 x 12 ~ 18% a. a.

13) (TST) O capital de $ 1.200,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado um ano e três meses.

a) 6% a. m. d) 66% a. a.

->■ b) 60% a. a. e) 50% a. a.

c) 5% a. a. r -

Razões» Proporções, Percentagens e Taxas 7

G = R$ 1.200,00 i = ?

n = 1 ano e 3 meses = 15 meses

1.200 _ 4 J “ 3

Solução:

ou

ou ainda: 300 = 60 x i

de onde, i — ^22 — 5% a m = 60% a. a.60

14) (TELERJ) A loja X vende um par de tênis por R$ 60,00 e oferece um desconto de 20% para pagamento a vista. A loja Y vende o mesmo tipo de tênis por R$ 70,00, mas está liquidando por 20% menos. Na loja Z, um par de tênis idêntico aos anteriores, e que custa R$ 68,00, está sendo vendido com 25% de desconto.Com base nessas informações, identifique com V as afirmativas verdadeiras e com F as falsas.

(F) O. menor preço é o da 3- loja.(V) A soma dos preços, com descontos, é de R$ 155,00.(V) O par de tênis é mais caro na 2- loja.(V) A 1- loja oferece preço mais vantajoso.

A opção correta é:

a) F - V — V - V d) V - F - V - Vb) F - V - V - F e) V - V - F - Fc) V - F - V - F

Solução: ’ :v • ' - : •'•••''• (■, í

Preço a vista do tênis = P (1 - desconto) - ■ . , ;; .

Px = R$ 60,00 (1 - 0,20) = R$ 48,00.Py = R$ 70,00 (1 - 0,20) = R$ 56,00.Pz = R$ 68,00 (1 - 0,25) = R$ 51,00.Pv + P + P = R$ 155,00.x y z

1.200 4OU --------------------- — —

1.200 - i • 15 3100

100 ^ 4 15 x i 3

8 Matemática Financeira para Concursos Públicos * Ferreira e Ferreira

15) (ETFQ-adaptado) Para garantir uma sobrevivência digna, estudos indicam que o salário-mínimo pago aos trabalhadores brasileiros deveria aumentar de R$ 260,00 para R$ 1.820,00. Em termos percentuais, de quanto deveria ser este aumento?a) 388,74% -> d) 600%b) 453,53% e) 700%c) 500%

Solução:

Taxa de Aumento % =

Novo Salário _ \ x _ í 1,82000 _ j . x 100 = 6000/oAntígo Salário j 260,00

16) (TRIB. CONTAS) Consultadas 500 pessoas sobre o Plebiscito de 21 de abril de 1993, obteve-se o resultado abpixo:

Presidencialismo 196

Parlamentarismo 192

Não sabem 112

De acordo com essa pesquisa, o percentual de indecisos corresponde a:

a) 21,6% c) 22,2%

b) 21,8% d) 22,4%

Solução:

Percentagem de Indecisos = ——^ao sabem x x 100 = 22,4%* Total de pessoas 500

17) (UFES) Um trabalhador gasta com aluguel da sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido em um aumento de 25% e o aluguel com aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir do novo salário:

a) 26,08% d) 35%-► b) 27% e) 43,75%

c) 33,75%


Suponhamos que o trabalhador tenha um salário de R$ 100,00. Portanto, o seu aluguel é de 25% x R$ 100,00 — R$ 25,00.Se o aluguel é corrigido em 35% e o salário em 25%, teremos:

Novo aluguel = R$ 25,00 + 35% x R$ 25,00 = R$ 25,00 + 0,35 x x R$ 25,00 - R$ 25,00 (1 + 0,35) = R$ 33,75

Novo salário = R$ 100,00 + 25% x R$ 100,00 = R$ 100,00 + 0,25 x x R$ 100,00 = R$ 100,00 (1 + 0,25) = R$ 125,00

Portanto, a nova participação percentual do aluguel no salário será:

% aluguel = M5™Atoguel x 1Q0 = x 10o = 0,27 x 100 = 27%Novo Salano R$ 125,00

(SIJSEP) Uma firma tem a matriz em São Paulo e uma filial no Rio de Janeiro. A matriz é responsável por 70% do faturamento da firma. Este ano o faturamento da matriz sofreu um aumento de 20%, e o da filial de 10%. Responda às questões a seguir:De quanto aumentou o faturamento da firma?

a) 12% d) 20%b) 15% e) 30%

-> c) 17%

Solução:

% de aumento do faturamento = 70% x 20% + 30% x 10% = 14% ++ 3% = 17%

A matriz passou a ser responsável por que porcentagem, aproximadamente, do faturamento da firma?

a) 70% d) 84%-» b) 72% e) 90%

c) 76% : ■

Solução:

% da Matriz no Faturamento Total =70% + 70% x 20% _ 70% + 14% _ 84% _ Ar71f7n„ 71 ^Q0A „ VOO/

100% + 17% x 100% 100% + 17% 117% ’

Solução:


19) (TTN) Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de

de onde, finalmente:

i, = i2 (1 + 0,50) = i2 (1 + 50%)ij = i2 + 50% x i2 = > ii deverá ser maior que i2 em 50%.

20) (TRT) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Como ela já havia recebido em maio uma antecipação de 20% (sobre o salário de abril), a porcentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de:

aplicação do menor capital deve superar a dò maior em:

a) 20%b) 60% c) 40%

-> d) 50% e) 70%

J j 'Cj x ii x 1 / 1 0 0 _ ^J2 Cj x i2 x 1/100

ou

ou ainda:

ou i: = 1,5 x i2

a) 20% -> b) 25%

c) 30%

d) 35%e) 40%


Salário de referência: R$ 100,00Salário com a antecipação: R$ 100,00 + 20% x R$ 100,00 = R$ 100,00 +

Solução:

R$ 100,00 + 50% x R$ 100,00 = R$ 100,Q0 + R$ 50,00 = R$ 150,00

21) (UNIFICADO) Em um período em que os preços subiram 82%, os salários de certa categoria alimentaram apenas 30%. Para que os salários recuperem o poder de compra, eles devem ser aumentados em:

b) 52%

Solução:

Considerando um valor referencial de R$ 100,00 Preços: 100 + 82% x 100 = 100 + 82 = R$ 182,00 Salários: 100 + 30% x 100 = 100 + 30 = R$ 130,00

Poder de compra:

130 + X x 130 - 182 X x 130 = 182 - 130 = 52

X x 130 = 52 ou X = = 0,40 * 40%13Ü

Outra forma de resolução:

+ R$ 20,00= R$ 120,00

Salário Final, se não tivesse havido a antecipação:

% de aumento = R$ 150,00 - R$ 120,00 inn _ R$ 30,00 R$ 120,00 X R$ 120,00 *

x 100 = 0,25 x 100 = 25%

—> a) 40% a) 46%

d) 58%e) 64%

10Q (1 + 0,82) = 182 100 (1 + 0,30) ~ 130 130 (1 + X) = 182

ou

de onde: X = 1,40 - 1 = 0,40 = 40%


22) (CONC. MAG. CMRJ) Certa categoria profissional obteve, a partir de I a de novembro, no Tribunal do Trabalho, reajuste salarial de 134% sobre os salários de julho, descontadas as antecipações recebidas no período. Se essa categoria recebeu adiantamento de 20% em agosto e 30% em setembro sobre os vencimentos dos respectivos meses anteriores, calcule o índice a ser aplicado em outubro, para cumprir as determinações judiciais:

Salário de referência: R$ 100,001- antecipação: R$ 100,00 -I- R$ 20|,00 = R$ 120,002- antecipação: R$ 120,00 + 30% x R$ 120,00 « R$ 120,00 + R$ 36,00 =

Salário final, sem as antecipações:

R$ 100,00 + 134% x R$ 100,00 = R$ 100,00 + R$ 134,00 = R$ 234,00

percentuais de reajuste de 12% e de 15% para o salário-mínimo e para as aposentadorias, respectivamente, vigorando a partir de l fi de maio deste ano, correspondendo à reposição das perdas salariais ocorridas de maio/95 a abril/96. No entanto, segundo a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FÍPE), o índice de inflação correspondente àquele período foi de 20,03%. De acordo com esse índice, para que se recomponha exatamente o poder de compra, seria necessário acrescentar, respectivamente, aos novos valores do salário-mínimo e das aposentadorias, um reajuste de:

a) 8,03% e 5,03% ■-+ d) 7,17% e 4,37%b) 7,85% e 4,87% e) 7,03% e 4,33%c) 7,43% e 4,73%

a) 84%b) 70%c) 66%

d) 50%

e) 40%

Solução:

= R$ 156,00

Portanto,

% de aumento

x 100 - 50%

23) (MPU) O Governo Federal fixou, por meio de medida provisória, os


Para o salário-mínimo:

(1 + 0,12) (1 + taxa) = 1 + 0,2003

ou (1,12) (1 + taxa) = 1,2003,

de onde:

(1 + taxa) = = 1,0717 ou taxa = '1,0717 - 1 = 0,0717 - 7,17%

Para as aposentadorias:

(1 + 0,15) (1 + taxa) = 1 + 0,2003 ou (1,15) (1 + taxa) = 1,2003,

de onde:

(1 + taxa) = = 1,0437 ou taxa = 1,0437 - 1 = 0,0437 = 4,37%

24) (UFMG) Em março de 1988, o preço de um determinado produto correspondia a 15% do salário de um certo funcionário. O preço do produto teve, no mesmo ano, um aumento de 10% em abril e de 20% em maio. No entanto, o salário desse funcionário ficou congelado por dois meses, ou seja, em maio era o mesmo desde março.Depois do aumento do preço do produto em maio, a porcentagem do salário do funcionário a que corresponde o preço do produto é:

a) 19,8% d) 32%b) 25% e) 45% ^c) 30%

Solução:

Partindo-se de um salário de referência:

Salário = R$ 100,00

Preço do produto: = 15% x R$ 100 = R$ 15,00

1° aumento do produto: R$ 15,00 + 10% x R$ 15,00 = R$ 15,00 + 0,10 xR$ 15,00 - R$ 15,00 (1 + 0,10) = R$ 16,50

2e aumento do produto: R$ 16,50 + 20% x R$ 16,50 — R$ 16,50 + 0,20 xR$ 16,50 = R$ 16,50 (1 + 0,20) = R$-19,80

Solução:

Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Portanto,

% de participação = do produto x 0Q = x 100 =r y * Salário micial R$ 100,00

0,198 x 100 = 19,8%

(CONTADOR - adaptado) Um comerciante “A” prometeu a seus empregados aumentos capitalizados de 30% em janeiro, 30% em fevereiro e 20% em março. Ao mesmo tempo, um comerciante “B” reuniu seus empregados e prometeu-lhes aumento único de 100% em março. Analisando as duas propostas em março, conclui-se que:

a) Os comerciantes “A” e “B” deram aumentos iguais.

b) Os empregados do comerciante “B” ganharam 20% a mais que os empregados do comerciante “A”.

c) O comerciante “A” terá dado a seus empregados aumento real de 2,8% em relação ao comerciante “B”.

d) Os empregados do comerciante “A” tiveram um prejuízo de 4% em relação aos empregados do comerciante “B”.

e) N.R.A. . '

Solução: Admitir um salário de referência de R$ 100,00

Comerciante A: 100 + 30% x 100 = 100 + 30 = 130130 + 30% x 130 = 130 +-39 = 169169 + 20% x. 169 = 169 + 38,80 - 202,80

Comerciante B: 100 + 100% x 100 = 100 + 100 = 200

Logo, 200 + X x 200 = 202,80 ou X x 200 = 202,80 - 200 = 2,80

9 O A• X — — 0,014 = 1,4% -* aumento real.

Com esse resultado, percebe-se que a alternativa correta seria Nenhuma das Respostas Anteriores (NRA), que não se encontra no teste oficial.

Observações:

1. Aparentemente, a resposta correta seria a alternativa “c” (aumento real de 2,8%, como está assinalado no gabarito oficial), mas essa resposta está ERRADA, uma vez que se trata de “aumento nominal” e não de “aumento real” para um caso particular de se admitir um salário de referência de R$ 100,00.


2. Outra forma, mais rápida, de resolver a questão:100 (1 + 0,30) (1 ■+ 0,30) (1 + 0,20) = 202,80 100 (1 + 1,00) =200

^20(P = 1 + x ou x = 2 200°~ ~ 1 = i^014- 1 —.0)014 =1,4%-*

->■ aumento real.

26) (POSTURAS) Uma empresa de transportes aumentou os preços das passagens em 100%. Como o aumento não estava autorizado, os preços voltaram aos vigentes antes do aumento. Em relação aos preços aumentados ocorreu a seguinte porcentagem de redução:

a) 0% c) 75%b) 50% d) 100%

Solução: : ; :: ' ; ;;

Preço de referência de R$ 100,00 .. Aumento: 100 + 100% x 100 = 100 + 100 = R$ 200,00

- Desconto: 200 - X x 200 = 100 ou 200 - 100 = X x 200 100 = X x 200

x = ü = ° ’50 = 50%

Outra maneira de resolução:

100 (1 + 1 ,00) = 200 200 (1 -X ) = 100

, 1 _ x = |5o= 0 lso

X « 1 - 0,50 = 0,50 = 50%

27) (TFC) No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria?profissional tem direito a um aumento salarial de 75%>* Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25%. em novembro, qual deve ser a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida:

a) 30% d) 65%-> b) 40% e) 75%

c) 55%

16 Matemática Financeira para Concursos Púbíicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

Consideremos um salário de referência de R$ 100,00. Com a antecipação, esse salário passou para R$ 100,00 + 25% x R$ 100,00 = R$ 100,00 + R$ 25,00 = R$ 125,00.

Como o aumento deveria ser dado sobre o salário de referência:R$ 100,00 + 75% x R$ 100,00 = R$ 175,00,

teremos que fornecer o seguinte aumento sobre o salário, já computando a antecipação:

% de aumento = R$ ^ 125?— x 100 = 0,40 x 100 = 40%R$ 125,00,

28) (CONTADOR) Para obter mais clientes, uma instituição financeira decidiu criar um tipo especial de investimento, em que o cliente adquire cotas cujos preços são atualizados diariamente de acordo com a inflação. No final de 30 dias, o cliente recebe 8% de juros em cotas e as cotas são convertidas em reais pelo valor do dia. Esse cliente investiu R$ 2.400,00 num dia em que a cota custava R$ 1,60. Se após 30 dias cada cota vale R$ 2,40, ele receberá a quantia de:

-+ a) R$3.888,00 c) R$ 4.222,00

b) R$3.944,00 d) R$4.455,00

Solução:

• Cálculo do número de cotas: — 2.400,00 = .500 cotas ,R$ 1,60

• Atualização das cotas: 1.500 cotas x R$ 2,40/cota = R$ 3.600,00

• Contabilização dos juros: 3.600 + 8% x 3.600 — 3.600 + 288 = R$ 3.888,00

29) (TRT) Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações mensais iguais, “sem juros” . A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 10% é concedido se o cliente pagar a vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de:

a) 10% d) 30%

b) 20% e) 50%“> c) 25%


Dados fornecidos:

A vista: desconto de 10%.A prazo: duas parcelas “sem juros”.Considerando uma mercadoria com preço referencial de R$ 100,00, temos:

* . * 100-10 = 90 : 50 50A v is ta ------ — — A prazo --------- — —0 0 1

Desse modo, quem compra a prazo, ao pagar a vista a I a prestação de R$ 50,00, fica devendo: R$ 90,00 - R$ 50,00 = R$ 40,00, que irá pagar ao final de 1 mês com a 2- prestação de R$ 50,00:

40 + X x 40 = 50 ou X x 40 = 50 - 40 = 10

10ou ainda, X x 40 = 10 => X = ^ = 0,25 = 25%40

(PMDF) O preço de um televisor de 20 polegadas da marca Alpha é de R$400,00. O vendedor propôs a um comprador as seguintes alternativas:I - pagamento em 30 dias, com acréscimo de 5% sobre o preço da tabela;II - pagamento a vista, com 4% de desconto sobre o preço da tabela.Considere X como sendo a diferença entre os preços do televisor para pagamento em 30 dias e para pagamento a vista. Assim, X representa uma porcentagem do preço a vista do televisor igual a:

d) 9,5%e) 9,725%

Solução:

a) Preço de tabela: R$ 400,00 -b) Preço para pagamento em 30 dias: R$ 400,00 + 5% = R$ 420,00c) Preço para pagamento a vista: R$ 400,00 - 4% x R$ 400,00 ~ R$ 383,00

Diferença entre (b) e (c): 420 - 384 = R$ 36,00

Percentagem de R$ 36,00 sobre R$ 384,00:

Solução:

a) 9%b) 9,25%c) 9,375%


% = ^ X 100 = 0,09375 X 100 = 9,375%384

31) (FEDF) Uma escola oferece as seguintes opções pará o pagamento da taxa de matrícula, quando efetuada no dia 5 de dezembro:I - desconto de 10% para pagamento a vista;II - pagamento em duas vezes, sendo 50% no-ato da renovação da matrícula e 50% um mês após, isto é, no dia 5 de janeiro.

Um pai de aluno não quer ter lucro nem prejuízo, optando por qualquer uma das duas modalidades de pagamento, no ato da renovação de matrícula. Para tanto, se optar ;por II, deve investir a diferença entre os valores que seriam pagos em 5 de dezembro, nas modalidades I e II, em uma aplicação financeira com uma taxa mensal de rendimento de:

i d) 25%e) 30%

c) 20%

Solução:

a) valor de uma matrícula de referência: R$ 100,00b) matrícula com desconto de 10% para pagamento a vista: 100 (1 - 0,10)

= R$ 90,00c) matrícula paga em duas vezes iguais sem desconto: 2 x R$ 50,00

Se se paga a matrícula na condição (c) acima, na data atual, fica-se devendo: R$ 90,00 - R$ 50,00 = R$ 40,00 * ‘Recebendo-se uma taxa i% numa aplicação financeira sobre os restantes R$40,00, para alcançar os R$ 50,00,deve-se ter: 40 + i% x 40 = 50ou i% x 40 = 50 - 40 — 10

ou, ainda, i% = = 0,25 = 25%40

32) (AFTN) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Galcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente,

a) 5%b) 10%


R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 18% d) 33%b) 20% e) 41%c) 30%

Solução:

• Cálculo dos salários brutos:4.500 4.500

1-10% 1-0,10

5.310 5.3101-10% 1-0,10

= R$ 5.000,00

= R$ 5.900,00

* Parte variável do salário: R$ 5.000,00 - R$ 2.300,00 = R$ 2.700,00 R$ 5.900,00 - R$ 2.300,00 - R$ 3.600,00

* Cálculo do valor das vendas:

10.000 4* = io .OOO + = R$ 100.0003% 0,03

10.000 + - 10.000 + = R$ 130.000á% 0,03

* Cálculo da variação mensal:

130.000 1 x 1 0 0 = (1,30 - 1) X 100 = (1,30 - 1) X 100 = 30%100.000

33) (TRT) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. Qual a taxa única a que a mesma poderia empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?a) 16,8% a. a. . d) 18,4% a. a.

. b) 19,8% a. a. í ’ . ' ' . e) 21% a. a. .c) 20,0% a. a.

Solução:

Cx = ij = 15% a. a.


C2 = i2 = 18% a. a.

C3 15 X C; *3

5 + 3 15

21% a. a.

= 1 J L - Z .15 ~ 15

Logo,

C [ — x 15% + - x 18% + Z X 21% ] t _ CT x ij + C2 x i2 + C3 x i3 _ í {3 5 15 )1 C “ ~~C

= 5% + 3,6% + 9,8% = 18,4% a. a.

34) (SUSEP) Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês. Calcule os juros em relação ao capital inicial.

a) 9% d) 11%

b) 10% e) 12%

c) 10,5%

Solução:

n = 3 meses e 10 dias = 100 dias• . .. . on/ 3% j.1 = 3% a. m. = ~r— ao dia

OU

J = ?

35) (ESAF) Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetárias são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 4%,2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal média de aplicação destes capitais.

a) 2,5% d) 4%b) 3% e) 5%

10030100

= Cx10

10% x C

c) 3,5%


Cr ~ R$ 200,00; i2 = 4% a. m.

C2 = R$ 300,00; i2 = 2,5% a. m.

C3 = R$ 100,00; i3 = 5,5% a. m.

Temos: I - S J I Í l+ S l * h + C3 * h =Cj + C2 + c3

= 200 x 4% + 300 X 2,5% + 100 x 5,5% 200 + 300 + 100

^ 2 x 4% 4 - 3 X 2,5% + 1 X 5,5% =

2 + 3 + 1

8% + 7,5% + 5,5% 0 rft/= ------------------5— = 3,5% a. m.6

Solução:

36) (ESAF) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo.O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais:

a) 3% - d) 2,4%V fcy 2,7% ' . e) 2%

c) 2,5%

Solução:

C, = R$ 3.000,00; i3 = 3%C2 = R$ 2.000,00; i2 = 4%C3 = R$ 5.000,00; i3 = 2%

Temos: I = c i x »■ + G2 * + C3 * ‘a =C1 + C2 + C3

= 3.000 x 3% + 2.000 X 4% + 5.000 x 2%3.000 + 2.000 + 5.000

~ 3 x 3% + 2 x 4% + 5 x 2% _ joy3 + 2 + 5 ~ > /0

ÍÜ $

37) (ESAF) Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, $ 2.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.


a) 3,5% -> d) 4,5% ;.

b) 4% e) 5%

c) 4,25%

Solução:

Cj = R$ 1.000,00; = 5,5%C2 = R$2.000,00; Ei '•P

C3 = R$ 4.000,00;. i3 = 4,5%

rp T C. x i + C, x L + C, X !i Tpmns- 1 = 1 . 1 2 2 3 , 3 =+ c2 + c3

_ 1.000 X 5,5% + 2.000 X 4% + 4.000 x 4,5% _1.000 + 2.000 + 4.000 - ■

_ . l x 5,5% + 2 x 4%-+ 4x4,5%^ 5,5% + 8% + 18% L . rni a 1 + 2 + 4 7 _ ,, ,° *

(TTN) Paulo emprestou R$ 150,00, a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada foi de:

-> a) 7% d) 5%

b) 8% e) 4%c) 6%

. . . . . . . .

Solução:

São dados:

C = R$ 150,00

J = R$ 42,00n = 120 dias = 4 meses

i — ?

100


. mnr. • 100 X J 100x 42temos: 1 = — -----= „ „ = 7% a. m.C x n 150 x 4

39) (TRT) A que taxa mensal deverá a firma “O Dura” aplicar seu capital de R$ 300.000,00 para que, em dois anos e quatro meses, renda juros equivalentes a 98% de si mesmo?

a) 42% a. m. d) 4,2% a. m.

-> b) 3,5% a. m. " e) 18% a. m.

c) 35% a. m.

Solução:

Dados:

i = ?

C = R$ 300.000,00

n = 2 anos e 4 meses — 28 mesesJ - 98% x 300.000 = 0.98 x 300.000 = R$ 294.000,00

C x i * n100

„ . 100 X J 100 X 294.000 Q co.. Tem-se: í — —■-— = . = 3 5<>/0 a. m.C X n 300.000 x 28

40) (TTN) Aplicar um capital à taxa de juros simples de 5% ao mês, por dez meses, é equivalente a investir o mesmo capital, por 15 meses, à taxa de:

a) 7,5% ao mês c) 3,0% ao mês. . b) 3,33% ao mês d) 12% ao ano

Solução:

São dados:

iI — 5% a. m.

n1 — 10 meses


i .xn, 5 x 10 0 oon/ • wtem-se: í, = -i---- 1 = ——;— = 3,33% a. m.2 n„ 15

41) (TTN) A taxa de juros simples semestral equivalente à taxa simples de 16% quadrimestral é:a) 30% -+ c) 24%b) 26% d) 20%

Solução:

Dados:

i, = ? 1 n1 = 6 meses

i2 = 16% ao quadrimestre

n2 = 4 meses

De: -l = h , ni Dj

tem-se: L = _ l x L ou, L = T x 16% — 24% ao semestre 1 n2 2 n 4

42) (TELERJ) Juros simples de 60% ao ano eqüivalem a juros simples mensais de:

a) 4% d) 8% ,■; -> b) 5% !■ e) 10%

c) 6%

Solução:

Dados:

i = 60% a. a.a

m = 12 meses

?

De: ia = m x im,

tem-se: i = Is. = = 5% a. m.ra m 12


43) (TTN) Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante três anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a. a. renderia mais R$ 600,00 que o primeiro. A taxa é de:

a) 8,0% d) 6,9%

b) 7,5% e) 6,2%

c) 7,1%

Solução:

Dados:

C1 ~ R$ 4.000,00 C2 = R$ 10.000,00

ij — i2 = 5% a. a.n1 = 3 anos ix, = 3 anos

J, = C2 x *2 x n2 ^ 10.000 x 5 x 3 = 1 500,002 100 100

Se: J2 “ + 600

tem-se: 3l = J2 - 600 = 1.500 - 600 = R$ 900,00

t t Q x í, x n,Logo, J = -1— i------- 11 100

ou 900 = 4,000 x x 3 90.000 = 12.000 x i100

, , . 90.000 _ _A/deonde’ I = iT õõõ = 7’5%a-a-

44) (TELERJ) Dois descontos sucessivos de 10% cada eqüivalem á um único desconto de:

a) 19% d) 22%b) 20% ; e) 23% •

c) 21%

Solução:

Considere o preço de referência de R$ 100,00


l 9 desconto: 100 ~ 10% x 100 = 100 - 10 = R$ 90,00 ,29 desconto: 90 - 10% x 90 = 90 ~ 9 ~ R$ 81,00

Portanto, 100 - X x 100 = 81

ou 100 ” 81 = X x 100 19 = X = x 100

... X = = 19%100

Observação: Outra forma, mais rápida, de resolução é, 100 (1 - 0,10) (1 - 0,10) = 100 (0,90) (0,90) = 81

logo, 100 (1 -X ) = 81 ou 1 -X = ^ = 0,81 .% X - 1 - 0,81 - 0,19 = 19%

45) (TTN) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros em quatro anos, qual é a taxa aplicada?

a) 20% ao ano d) 200% ao ano/ - ■ ..

b) 125% ao ano e) 10% ao ano

-> c) 12,5% ao ano

Solução:

Substituindo os dados na fórmula de juros simples — = J, virá:

^ x C x i x 48 = 3/8 x C

100

ou ^ x i x 4 = 100 x § ou, ainda, 24 i = 3008 o

deonde:i = ^ = 1215o/„a.a

46) (UFMG) Um banco anuncia empréstimo à taxa de 20% ao mês. Porém, a prática do banco é cobrar os juros no momento do empréstimo. A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco é:

a) 21% d) 24%

b) 22% e) 25%

c) 23%

Razoes, Proporções, Percentagens e Taxas 27

Considerando o valor referencial, para um empréstimo, de R$ 100,00:Juros antecipados = 20% x R$ 100,00 = R$ 20,00Valor líquido recebido = R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00

Portanto, aplicando a fórmula dos juros simples para um período n = 1, temos:

T C x i x n . 100 x JJ = _ _ ou 1 = - ^ -

De onde, substituindo os valores, virá: i — “ 25%80 x 1 80

47) (FISCAL TRIB.) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 defevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% aoano. Nessas condições, calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.

a) 4,70% d) 4,88%b) 4,75% e) 4,93%c) 4,80%

Solução:

C = R$ 100,00 (Capital de referência)

i = 24% a. a. = ao dja365

n = 73 dias(,)

T = C x i x n _ 100 x 24 x 73 . Rn100 365 x 100 ’

Portanto, = 4,80%

(*} Cálculo do número de dias:Fevereiro: 10 a 28 = 18 diasMarço: 01 a 31 = 31 diasAbril: 01 a 24 = 24 dias

Solução:

73 dias


48) (UNI-RIO) Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo-se que o reajuste no l 2 mês foi de 15%, podemos afirmar que o do 2~ mês foi de:

a) 18,5% d) 21,5%

b) 19,5% e) 23%

c) 20%

Solução:

Considere um título valendo inicialmente R$ 100,00. Com o seu valor reajustado em 38% para o final de dois meses, temos:

100 (1 + taxa 1) Cl + taxa 2) - ido + 38% x 100 = 100 + 38

ou: 100 (1 + taxa 1) (1 + taxa 2) = 138

Se a taxa 1 = 15% - 0,15, teremos: 100 (1 ’+ 0,15) (1 + taxa 2) ■= 138

n , .. ™ 138 138ou: (1 + taxa 2) = ----------- - = ---- = 1,20 J 100(1,15) 115

Logo, 1 + taxa 2 — 1,20 ou taxa 2 = 1,20 - 1 = 0,20 = 20%

49) (TELERJ) Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20%. Em seguida, o novo preço foi rebaixado em 20%. O preço final da mercadoria em relação ao preço inicial é:

a) igual d) 8% maior

b) 4% maior e) 8% menor

-* c) 4% menor

Solução:

Preço referencial de R$ 100,00

Aumento: 100 + 20% x 100 = 100 + 20 = R$ 120,00

Desconto: 120 - 20% x 120 - 100 - 24 = R$ 96,00

Desconto Efetivo: 100 (1 - X) = 96



100 (1 + 0,20) = 120 120 (1 - 0,20) = 96 100 (1 -X ) = 96

1-x = iü = 0’96

X = 1 - 0,96 = 0,04 = 4%

50) (TRT) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 27.000,00, dispondo de R$ 90.000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de cinco meses?

a) 10% d) 8%b) 5% e) 5,5%c) 3%

Solução:

São dados:

J = R$ 27.000,00 C =* R$ 90.000,00 n = 5 meses = 10 quinzenasi = ?

C x i x nDa fórmula de juros simples, J = 100

. 100 x J _ 100 x 27.000 on/temos: i = — 77- = 3%Cxn 90.000 x 10

2

Operações com Mercadorias

01) (UN1-RIO) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu uni cheque pré- datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros cobrada foi de:

a) 0,6% ao mês d) 42% ao mêsb) 4,2% ao mês e) 60% ao mêsc) 6% ao mês

Solução:

Taxa = 74,~ ~ 70 x 100 = * 100 = 6%

02) (UNIMED) Contrariando o Plano Real, um comerciante aumenta o preço de um produto que custava R$ 300,00 em 20%. Um mês depois arrependeu-se e fez um desconto de 20% sobre o preço reajustado. O novo preço do produto é:a) R$240,00 d) R$288,00b) R$ 278,00 e) Nenhuma das anterioresc) R$300,00

Solução:

Preço Final = Px (1 + aumento %) (1 - desconto %) = R$ 300,00 (1 + 0,20) (1 ~ 0,20) = R$ 288,00

1

Operações com Mercadorias 3 1:

03) (PETROBRAS) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% eqüivale a aumentar o preço original em:

a) 2% d) 8%

-+ b) 4% e) 10%c) 6%

Solução:

Considere um produto com o preço de referência de R$ 100,00. Portanto,

Aumento: 100 + 30% x 100 = 100 + 30 = R$ 130,00 Desconto: 130 - 20% x 130 - 130 - 26 = R$ 104,00

Ou, aplicando a fórmula do problema anterior:

Preço Final = P x (1 + 30%) (1 - 20%) = R$ 100 (1 + 0,30) (1 - 0,20) = = R$ 104,00.

- Portanto:

% de aumento: 100 + X x 100 = 104 ou 100 x X = 104 -100 .\ X = = 4%

04) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

a) 10% b) 25%

b) 15% e) 36%-* c) 20%

Solução:

Considere um produto com preço referencial de R$ 100,00. : • :

Para ele não ter prejuízo, ele deverá vender o produto por:

R$ 100,00 + 44% x R$ 100,00 = 100 + 44 - R$ 144,00

A Tabela deverá ser preparada com 80% sobre o preço de custo


R$ 100,00 + 80% X R$.100,00 = 100 + 80 = R$ 180,00 e o desconto máximo a ser aplicado:

180- X x 180 = 144

X x 180 = 180 - 144 => X x 180 = 36

ou X = — = 0,20 = 20%180 ...............


100 (1 + 0,44) = R$ 144,00

100 (1 + 0,80) = R$ 180,00 *

180 (1 - X) = 144 => 1 - X = ~ ~ = 0,80180 •

ou X - 1 - 0,80 = 0,20 = 20%

05) (SUSEP) Uma loja oferece um desconto de 50% a quem pagar a vista e oferece um desconto de 20% a quem pagar integralmente um mês após a compra. Na realidade, essa loja cobra, de quem prefere pagar um mês após a compra, juros mensais de:

a) 15% -> d) 60%

b) 30% ,, e). 75%

c) 45%

Solução:

Considerando um preço referencial de R$ 100,00, temos:

A vista: R$ 100,00 - 50% x R$ 100,00 = 100 - 50 = R$ 50,00

A prazo: R$ 100,00 - 20% x R$ 100,00 = 100 - 20 = R$ 80,00

Portanto, --------------- —0 1 mês

50 + X x 50 = 80 ou X x 50 = 80 - 50 = 30

qoou ainda, Xx50 = 30 => X = — = 0,60 = 60%

50 '

Operações com Mercadorias 33

06) (AG. ADM.) Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou no dia seguinte uma remarcação com desconto de 50% em todos os preços. Qual o desconto realmente concedido em relação aos preços originais?

a) 75% d) 20%b) 50% e) 10%

-* c) 25%

Solução:

Preço referencial de R$ 100,00Aumento: 100 + 50% x 100 = 100 + 50 = R$ 150,00Desconto: 150 - 50% x 150 = 150 - 75 = R$ 75,00

Desconto efetivo X:

100 - X x 100 = 75 ou 100 - 75 = 100 xX

25 = 100 x X

A x = ^ = 0,25 - 25%

Outra forma, mais rápida, de resolução:

100 (1 +. 0,50) = 150 150 (1-0,50) = 75 100 (1 -X ) = 75

i - í - J L - o / z s

ou X = 1 - 0,75 = 0,25 = 25%

07) (CN) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em 25%. Contudo, a procura por essa mercadoria continuou grande. Então, ele fez um novo aumento de 10%. Como o preço ficou muito alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço voltasse ao valor inicial. Esse desconto:

a) foi de 35% d) foi de 25%b) ficou entre 30% e 35% e) ficou entre 22% e 25%c) ficou entre 27% e 28%

34 Matemática Financeira para Concursos Púbiicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

Considerando um preço referencial de R$ 100,00

1® aumento: 100 + 25% x 100 = 100 + 25 = R$ 125,002° aumento: 125 + 10% x 125 = 125 + 12,50 = R$ 137,50

Desconto X%: ... - „ ..

137,50 -X x 137,50 = 100 ou X x 137,50 = 137,50 - 100 = 37,50

de onde: X x 137,50 = 37,50 ;| .

ou X = = 0,2727 = 27,27%io/,bu

Observação: Forma mais rápida de resolver a mesma questão:

l p- aumento: 100 (1,25). = 125

29 aumento: 125 (1,10) = 137,50

Desconto de X% para voltar ao preço original de R$ 100,00:

137,50 (1 - X) = 100

ou 1 - X = - = 0,7272 de onde, X = 1 - 0,7272137,50

= 0,2727 = 27,27%

08) (CONC. MAG. SME) O prèço inicial de um videogame sofreu dois aumentos consecutivos de 25% e de 55%, motivados pela inflação. Em porcentagem, o aumento inicial sofrido pelo preço desse videogame foi:

a) 80% d) 92,85

b) 68,75% e) 90%.

b) 93,75% 7 '

Solução:

Preço referencial de R$ 100,00l 2 aumento: 100 + 25% x 100 - 100 + 25 = R$ 125,00 2S aumento: 125 + 55% x 125 - 125 + 68,75 = R$ 193,75


Aumento único: 100 + X x 100 = 193,75

r X x 100 — 193,75 - 100 = 93,7593 75

X = 100 = ° ’9375 = 93>75%

Outra forma, mais rápida, de responder à questão:

(1 + 0,25) (1 + 0,55) = 1 + X

(1,25) (1,55) = 1 + X 1,9375 = 1 + X

De onde, X = 1,9375 ~ 1 = 0,9375 = 93,75%

09) (FURNAS) Numa loja de fazendas, o preço do metro de certo tecido em promoção é de R$ 10,00. Se a loja está oferecendo 20% de desconto sobre o preço normal do tecido, quem comprar 2,5 m está fazendo uma economia de:

a) R$ 2,00 d) R$ 5,75b) R$2,50 -> e) R$ 6,25

c) R$ 5,00

Solução:

Preço normal do metro = ^ ^ 12,50;-k Ji UjiuUy

. 2,50 m x R$ 12,50/m = R$ 31,25. Se houver um desconto de 20%, teremos:

'• R$ 31,25 (1 - 0,20) = R$ 25,00

Portanto, a economia é de R$ 31,25 - R$ 25,00 = R$ 6,25

Observação: O problema poderá ter uma outra resposta, se a interpretação dos dados fornecidos convergir para se admitir o preço normal do metro como sendo o de R$ 10,00:

2,50 mxR$ 10,00/m = R$ 25,00

Se houver o desconto de 20%, teremos:

R$ 25,00 (1 - 0,20) = R$ 20,00

Portanto, a economia seria de R$ 25,00 - R$ 20,00 = R$ 5,00.

36 Matemática Financeira para Concursos Públicos ' Ferreira e Ferreira

10) (CONTADOR) Um eletrodoméstico custa R$ 250,00, a vista, mas pode ser pago em duas vezes: R$ 150,00 de entrada e R$ 150,00 em 30 dias.O juro que a loja está cobrando ao cliente que paga em duas vezes é de:

a) 45% a. m. c) 55% a. m.-*■ b) 50% a. m. d) 60% a. m.

Solução:

Dados da questão:a • . 250Avista: -g -

A prazo: 150 1500 30 dias = 1 mês

Quem compra a prazo, após pagaria entrada de R$ 150,00, fica devendo na data presente (data 0) R$ 250,00 - R$ 150 = R$ 100,00.Esses R$ 100,00 são financiados a uma taxa “i” por mês, que resultam em R$ 150,00 ao final de 1 mês:

100 + 100 x i ~ R$ 150,00 ou 100 x i = 150,00 - 100 = 50

de onde: i = = 0,50 = 50% a. m.

11) (FÍOCRUZ-adaptado) O preço de um produto sofreu uma redução de 10%. Algum tempo depois, ele sofreu um aumento de 20% e, mais tarde, um novo aumento de 20%. Se o comerciante deseja retornar ao preço inicial, qual o percentual de desconto a ser aplicado sobre este último preço?a) 30% d) 24,08%b) 28,36% -+ e) 22,84%c) 26,14%

Solução:

Admitindo um preço de referência de R$ 100,00:

Redução: 100 - 10% x 100 = 100 - 10 = R$ 90,00 l 9 aumento: 90 + 20% x 90 = 90 + 18 = R$ 108,002- aumento: 108 4- 20% x 108 = 108 + 21,60 = R$ 129,60

Operações com Mercadorias 3 7

Desconto de X% para retomar ao preço referencial de R$ 100,00:

129,60 - X x 129,60 = 100

de onde: X x 129,60 = 29,60 virá: X = ^ 9 60 ** 0)2284 = 22>84%

12) (UFJF) No dia l 2 de dezembro, o dono de uma mercearia elevou o preço do quilo de nozes em 40%. Uma semana após, como as vendas não estavam boas, ele resolveu reduzir este novo preço em 25%. Assim, em relação ao preço de 30 de novembro, o quilo de nozes custa hoje:

c) exatamente o mesmo preço

Solução:

Preço de referência de R$ 100,00.

Aumento: 100 + 40% x 100 = 100 + 40 = R$ 140,00

Desconto: 140 - 25% x 140 = 140 - 35 = R$ 105,00

Aumento Efetivo:

100 + X X 100 = 105

105 - 100 = X x 1005 = X x 100


100 (1 + 0,40) = 140

140 (1 - 0,25) =? 105

100 (1 + X) = 105

X = 1,05 - 1 = 0,05 ~ 5%

ou X X 129,60 = 129,60 - 100 = 29,60

a) 5% mais barato -* b) 5% mais caro

d) 10% mais barato

e) 15% mais caro

ou


13) (PETROBRAS) Um supermercado está fazendo a promoção “leve 4 e pague 3”. Isso eqüivale a conceder, a quem leva 4, um desconto de:

14) (AFTN) O preço a vista de uma mercadoria é de R$ 1.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e'o-restante em uma única parcela de R$ 1.001,60 vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de:

a) 40%b) 35%c) 33%

d) 30%e) 25%

Solução:

Considerando um produto referencial custando R$ 100,00

ouPortanto: 33.33- X x 33,33 = 25

33.33-25 = X x 33,338,33 = X x 33,33 /

de onde:


33,33 (1 -X ) = 25 => 1 -X = = 0,75

ou X = 1 - 0,75 = 0,25 = 25%

a) 98,4%b) 99,6%

-~*h c) 100,8%

d) 102,0% e) 103,2%

Solução:

Dados fornecidos

Como a entrada foi 20% x 1.000 = R$ 200,00;


saldo devido hoje — 1.000 ~ 200 = R$ 800,00,

desse modo, o saldo de R$ 800,00 deverá ser pago ao fim de 90 dias = 3 meses, através de uma parcela única de R$ 1.001,60:

800 1.001,60— i-------------------------------------------1-----0 3 meses

Portanto, 800 + X x 800 = 1.001,60

ou X x 800 = 1.001,60 - 800 = 201,60

de onde: X = = o,252 = 25,2% a. t. = 4 x 25,8% = 100,8% ao ano.800

15) (UFMG) O preço de venda de um eletrodoméstico é de R$ 650,00. O dono da loja paga ao vendedor uma comissão de 10% sobre o preço de vendas e ainda ganha 30% sobre o preço de custo. O preço de custo desse eletrodoméstico é:

a) R$432,00 d) R$ 500,00

b) R$450,00 e) R$541,67

c) R$464,28

Solução:

Preço de custo = Prei?° de venda (1 - Comissão %) = Rj_g 0 ^ y 0) = Cl + % s/ preço de custo) (1 + 0,30)

= R | lg 0 ffig 0 1 . R$450,00 1,30

16) (CPRM) Comprei dez livros por preços iguais, sete foràm vendidos com um lucro de 20% em cada um, e os outros, com um prejuízo de 20% em cada um. Em relação ao capital investido, houve: '"

a) prejuízo d) lucro de 10% . •b) ausência de lucro ou prejuízo e) lucro de 80%

-> c) lucro de 8%

Solução:

Considerando um capital investido de R$ 100,00 e que cada livro adquirido tenha custado R$ 10,00, teremos: 7 [10 + 20% x 10] + 3 [10-20% x 10] =


= 7 [10 + 0,20 x 10} +3 [10 - 0,20 x 10] =

= 7 [10 (1 + 0,20)] + 3 [10(1 - 0,20)] =

= 7 [10 (1,20)] + 3 [10 (0,80)] =

= 7 (12,00) + 3 (8,00) = 84 + 24 = R$ 108,00

Portanto, como se admitiu um capital inicial investido de R$ 100,00, houve um lucro de:

— 8 ~ 1()Q = = 0,08 = 8%100 100

17) (COM. MAG. SME) Certa loja ofereceu a seguinte promoção: “na compra de duas camisetas iguais a segunda tem um desconto de 50%”. Na promoção, comprando as duas camisetas, o percentual de desconto sobre o total da compra é de: t

a) 40% -> d) 25%

b) 20% / e) 50%

c) 30%

Solução:

Considerando o valor referencial de R$ 100,00 por cada camiseta:

I a camiseta: R$ 100,00

2a camiseta: 50% x R$ 100 = R$ 50,00

Total: R$ 150,00

Se não houvesse a promoção, as duas camisetas custariam:

2 x R$ 100,00 = R$ 200,00

Portanto, o desconto recebido foi de:

200 - 200 x X = 150

200 x X = 200 — 150 = 50

200 x X = 50

X = ^g- = 0,25 =■ 25%200



200 (1 -X ) = 150 => 1 -X = ~ = 0,75

ou X = 1 - 0,75 = 0,25 = 25%

18) (AN. ORÇ.) Uma loja vende uma mercadoria a vista, com 30% de desconto, ou em duas parcelas iguais, sem juros, sendo a I a no ato da compra e a 2-, 30 dias depois. Qual é a taxa de juros ao mês cobrada por essa loja, nas vendas a prazo?

a) 150% d) 30%

b) 100% e) 20%

c) 80%

Solução:

Considerando um preço referencial de R$ 100,00.A vista: R$ 100,00 - 30% x R$ 100,00 = 100 - 30 = R$ 70,00 A prazo: R$ 100,00/2 = R$ 50,00 (duas parcelas)

Avista: _:. '

A prazo:

0

R$ 50 R$ 50— i-------------------------------1—

0 1 mês

Quem compra a prazo, fica devendo na data presente (data 0), após pagar a l â parcela:

R$ 70,00 - R$ 50,00 = R$ 20,00

Portanto, 20 + X x 20 = 50 ou X x 20 = 50 - 20 = 30

ainda, X x 20 = 3 => X = ~ = 1,5 = 150%

19) (TTN) Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre opreço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido docomerciante é de:

a) 5% d) 2%b) 8% e) 12%

c) 11%


Solução: Consideremos:

i~ lucro = preço de venda - preço de custo = Pv - Pc e % de lucro s/preço

de custo — J - Pc

Portanto, simulando valores:

Pv = R$ 120,00, Pc = R$ 100,00, R$ 20,00, ou seja:R$ 20,00 =R$100,00

Se retirarmos 10% de R$ 120,00, leremos:

Pv = R$ 120,00 (1 - 0,10) = R$ 108,00.

Logo, /= R$ 108,00 - R$ 100,00 = R$ 8,00

Portanto, o lucro líquido do comerciante é de: R$ 8,00/R$ 100,00 — 0,08 = 8%.

20) (CONTADOR) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço “P” e paga um imposto no valor de 17% de “P”. Ao revendê-la, o comerciante cobra um valor de 72% superior a “P” . O lucro desse comerciante em relação ao custo total é, aproximadamente, de:

a) 45% c) 52%

b) 47% d) 55%

Solução:

Pp = Preço pago = P + 17% x P = P + 0,17 P = P (1 + 0,17) = 1,17 P Pv = Preço de venda = P + 72% xP = P + 0,72 x P = P (1 + 0,72) = 1,72 P

P - P 1 7?P-1 17P 1 72-1 17Lucro = f y . p x 100 = ioo = x 100 = 47%Pp 1,17 P 1,17

21) (UFF) Um atacadista compra de uma fábrica um produto e o repassa a revendedores, obtendo lucro de 50%. Sabendo que os revendedores obtêm lucro de 100%, determine o percentual de acréscimo do preço final em relação ao preço da fábrica.

a) 300% d) 150%b) 250% e) 100%

-* c) 200%


Preço para revendedores = P + 50% xp = p + 0,50 P ~ P (1 + 0,50) == 1,50 x P

Preço dos revendedores = 1,50 x P + 100% (1,50 P) = 1,50 P + 1 xx (1,50 P) = 3,0 x P

% de acréscimo =

( Preço dos revendedores A f 3,0 x P..... ........- ■ ,--------- 1 x 100 = í — --------1 [ x 100 = Preço de fabnça )

= (3 - 1) x 100 = 200%

Solução:

22) (DAIAPREV) Em certa ocasião, em que o preço do petróleo teve um aumento de 60%, um país pretendeu manter inalterado o total de seus

r 1Í ! gastos com a importação desse produto. Parã tanto, deve ter reduzido, percentualmente, o volume de suas importações em:

a) 60% d) 62,5%

b) 40% -> e) 37,5%c) 50%

Solução:

Considerando um volume referencial de importações de R$ 100,00.

Aumento: 100 + 60% x 100 = 100 + 60 = R$ 160,00Desconto X: 160 - X x 160 = 100,00

■ -- 160 - 100 = X x 160

60 = X x 160

de onde: X - = 0,375 = 37,5%160

23) (ESAL) Uma mercadoria teve 150% de acréscimo em seu preço. Para sh que esta mercadoria retome ao seu preço anterior, é necessário um

• desconto em seu preço atual de: • v:;

FV a) 150% d) 40% ' ;b) 80% e) 30% . , .. .

íSolução: 1

Pf = Pj + 150% x P. = P. + 1,50 xP. = P. ( l + 1,50) = 2,50 x P. (1) 1e Pf (1 ~ X) = P. (2) Í

, - íSubstituindo na última equação o valor de Pf dado por (1), vira: j

\2.50 P. (1 - X) = ^ ou 2,50 (1 - X) = 1 => 2,50 - 2,50 x X = 1 \

de onde: 2,50 - 1 ~ 2,50 x X ii

1.50 = 2,50 x X ou X = = 0,60 = 60% 12,50, ^

i I

24) (UFRJ) Um eletrodoméstico custa R$ 250,00 a vista,, mas pode também ser pago em duas vezes: R$ 150,00 de entrada e R$ 150,00 ao fim de 130 dias. í i

Qual a taxa de juros mensal que a loja está cobrando do cliente que -j paga em duas vezes? , \

a) 20% d) 50% jb) 25% e) 70%c) 40% :

Solução:

Dados fornecidos:

Saldo a pagar = R$ 250,00 - R$ 150,00 = R$ 100,00

100 ' 150-i-


0 1 mes

100 + X X 100 = 150 ou X X 100 = 150 - 100 = 50

50ou X = = 0,50 = 50%

25) (TTN) A empresa “Vestebem” comprou o produto “A”, pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com o imposto. Sabendo-se que a venda de “A” obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de aquisição da mercadoria com imposto foi de R$:


a) 560

-* b) 550

d) 540

e) 570

c) 580

Solução:

Notação para as variáveis envolvidas: <

X = preço de custo do produto “A”;

Pc = preço de custo + imposto + transporte;

Pv = preço de venda do produto “A”.

Conforme dados fornecidos, temos:

. pc = (X + X X 10%) + 30% (X + Xx 10%)

= X (1 + 0,10) + 0,30 X X (1 + 0,10) =

= X (1 + 0,10) (1 + 0,30) =

= X (1,10) X (1,30)

Pv = Pc + 20% xPc = Pc( l + 20%) = Pc (1 + 0,20)

Como o lucro é de 143 = Pv - Pc, virá: 143 = Pc (1,20) - Pc = Pc (1,20 ~ 1) =

de onde, o “X” com imposto, será: 500 + 10% x 500 = 500 + 50 = R$ 550,00.

(TCU) O preço de uma mercadoria é de R$ 2.400,00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar a vista, a loja dá um desconto de 20%. O mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta:

a) A melhor opção é o pagamento a vista.

b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.

-* c) No pagamento, a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, R$ 192,00.

d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, R$ 210,00.

e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, R$ 252,00.

= X(1,10) (1,30) x 0,20

. ___ ________________ ___________________________

(1,10) (1,30) x 0,20143 = R$ 500,00


Solução:

Analisando cada uma das alternativas:

a) Pagamento a vista:2.400 - 20% x 2.400 = 2.400 - 480 = R$ 1.920,00

b) Calculando o valor presente do pagamento a prazo:

Portanto, é FALSA a afirmativa.

c) Ao final do mês, o compradoi* teria de saldo, caso aplique no mercado financeiro:1.920 + 1.920 x 35% = 1.920 + 672 = R$ 2.592,00, que, abatendo do valor pago a prazo, resultaria: R$ 2.592,00 - R$ 2.400,00 = R$ 192,00Portanto, está CORRETA a afirmação.

/d) Pelos cálculos anteriores, a afirmação é FALSA.

27) (FURNAS) Um comerciante aceita cheque pré-datado para 30 dias, mas cobra juros de 8% sobre o preço a vista. Uma mercadoria que é paga em 30 dias sai por R$ 27,00, e custa a vista:

e) Idem.

a) R$19,00b) R$21,40c) R$24,80

d) R$25,00e) R$ 29,15

Solução:

São dados

n = 30 dias = 1 mês

i = 8%M = R$ 27,00

C = ?

Da fórmula de montante, M = C

temos:


----M---- = --- ?Z--- = r $ 25,001 + I i L ^ f i + 8 ü l

100 J l 100

28) (ÜFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o percentual de redução foi de:

a) 0% d) 100%-> b) 60% e) 150%

c) 75%

Solução:

Pf = P. + 150% x P. = P. + 1,50 x P. = P. (1 + 1,50) = 2,50 x P. (1) e Pf (1 - X) = P. (2)

Substituindo em (2) o valor de Pf dado em (1), teremos:

2,50 P. (1 -X ) = P. ou 2,50 (1 -X ) ~»1.de onde: 2,50 - 2,50 X = 1 ou 2,50 X = 2,50 - 1 => 2,50 X = 1,50

, . ou ainda: X = = 0,60 = 60%

29) (TTN) Um fogão é vendido por R$ 600,00 a vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de R$ 542,88, após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?

■ a) 5% d) 16% ......... :>b) 12% e) 20%

-> c) 15%

Solução:

Dados fornecidos:

Entrada de 22% x 600 = R$ 132,00Saldo devedor na data de hoje: 600 - 132 = R$ 468,00

468_______________ 542,880 32 dias


468 + X x 468 = 542,88

ou X x 468 = 542,88 - 468 = 74,88

de onde: X = = 0,16foo

Logo, a taxa mensal é de:

Observação: Outra maneira, mais direta, de resolução aplicando a fórmula de montante:

30) (B. BRASIL) Uma geladeira é vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

c) 2%

Solução:

Dados fornecidos:

Valor a vista: R$ 1.000,00

Entrada: R$ 200,00

Saldo atual: R$ 1.000,00 - R$ 200,00 = R$ 800,00

Pagamento em 2 meses: R$ 880,00

ou

de onde, 542,88 = 468 + 468 x 32 x j 30 x 100

ou 542,88 - 468 = 4,992 x i

= 15% a. m.

a) 6%b) 4%

d) 5% 'e) 3%

800 8800 2 meses


800 + X x 800 = 880 ou X x 800 = 880 x 800 = 80 80de onde, X = — - = 0,10 = 10% em dois meses oOÜ

Logo, a taxa cobrada é de = 5% a. m.4-t

Observação: Outra forma, mais rápida, de solucionar o problema é através da fórmula de montante:

3Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples

01) (TTN) Calcular os juros simples que um capital de $ 10.0000 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a. a. Os juros são de:a) R$700,00 d) R$600,00b) R$ 1.000,00 -► e) R$ 900,00

c) R$ 1.600,00

Solução:

C = R$ 10.000,00 n = 1 ano e 6 meses = 1,5 ano

i = 61% a. a.J = ?

j = = .IQiQOQ^ x 1 ,5 = ^ 9Q000

02) (TTN) Paulo emprestou R$ 150,00 a juros simples comerciais, lucrando R$ 42,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 120 dias, a taxa de juros mensal aplicada foi de:

a) 7% d) 5%

b) 8% e) 4%c) 6%

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 51

Solução:

C = R$ 150,00

J = R$ 42,00

n = 120 dias — 4 meses

i = ?

T C x i x n . 100 x J 100 x 42 4.200 nn/ _J = ———— ou í = —----- ~ — — -r — —7T—r ~ 7% a. m.100 C x n 150 x 4 600

03) (AG. ADMINISTRATIVO) O prazo de aplicação de um capital de R$14.400,00 que produziu R$ 360,00 à taxa de 20% ao ano foi de:

a) 45 dias d) 1 mês

b) 15 dias e) lA de ano

c) 2 meses

Solução:

Foram dados:

n = ?

C = R$ 14.400,00 J = R$360,00

i = 20% a. a.

Da fórmula de juros simples, J C x i x n 100

100 x J 100 x360 A-IOCor, temos: n = —-— — = „ „ ■ ■— — = 0,125 anoC x í 14.400 x 20

ou n = 0,125 x 360 = 45 dias

04) (ESAL) O capital de R$ 600,00 aplicado à taxa simples de 9,5% ao ano produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de:a) 1 ano e 10 meses -* d) 2 anos e 2 meses

b) 1 ano e 11 meses e) 2 anos e 3 meses

c) 2 anos e 1 mês


Solução:

São dados:

C = R$ 600,00i = 9,5% a. a.J = R$ 123,50 n = ?

Da fórmula de juros simples, J = - | Ay -

temos: í

= 2x 360 + 2 x 30 = 2 anos e 2 meses

05) (B. BRASIL) Que quantia aplicada á 2,5% a. m., durante três meses dez dias, rende R$ 28.000,00?

c) R$250.000,00

Solução:

Sendo dados,

C = ?

i = 2,5% a. m.

n ^ S m l O d ^ S x S O + l O^ 100 dias = meses30

J = R$ 28.000,00

Da fórmula de juros simples, J - ^

^ 100xJ_ 100x123,50 n C x 1 600 x 9,5 2,16667 anos = 2,16667 x 360 = 780 dias

a) R$ 112.000,00

b) R$ 134.000,00

d) R$336.000,00

e) R$403.200,00

100 x 28.000 = R$ 336.000,00i x n


06) (CEF) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00,0 prazo dessa aplicação deverá ser de:a) 1 ano e dez meses d) 1 ano e 6 mesesb) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 mesesc) 1 ano e 8 meses

Solução:

C = R$ 15.000,001 = 3% a. b. = 1,5% a. m.M = R$ 19.050,00n = ?J = M - C = 19.050 -15.000 = 4.050

t * . t C x i x n 100 x J 100 x 4.050 405 0Logo’ deJ---- Í55~’ 11 = ~cTT = 15.000'xf,s = 225 = 18 meses =

= 1 ano e 6 meses.

07) (CONTADOR) O rendimento obtido por um investidor ao aplicar R$ < 60.000,00, durante dois meses, a taxa simples de 200% a. a., é:

a) R$ 5.000,00 -> d) R$20.000,00b) R$ 10.000,00 e) R$ 25.000,00

c) R$ 15.000,00

Solução:

São dados:

C = R$ 60.000,002n = 2 meses = ^- ano

i = 200% a. a.J = ?

Da fórmula de juros simples, J

60.000 x 200 xtemos: J ~ - R$ 20.000,00

100

.54 Matemática Financeira para Concursos Públicos * Ferreira e Ferreira

08) (BEMGE) Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a juros simples e à taxa de 40% ao bimestre, triplique o seu valor?

Solução:

n = ?

M = 3 Ci — 40% a.b. = 20% a. m.

3 = 1 + 0,20 n ou ainda: 2 = 0,20 n

09) (TTN) Um capital de R$ 100.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 20% ao trimestre, ao longo de 15 meses, rende um total de juros no

Solução:

Dados:

C = R$ 100.000,00

i = 20% a. t.

n = 15 meses = 5 trimestres

-» a) 10 meses

b) 1 ano

c) 1 ano e 2 meses

d) 1 ano e 4 meses

e) 1 ano e 6 meses

de onde: n 2 10 meses0,20

valor de:

a) R$30.000,00

b) R$80.000,00

c) R$ 100.000,00

d) R$ 150,000,00

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 5 5

10) (TTN) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por $ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?

a) $ 420.000,00 d) $520.000,00

b) $450.000,00 e) $500.000,00

c) $ 480.000,00

Solução:

= 12% a. m.

C2 = R$ 400.000,00 ij = 15% a. m.

C( = ?

.1. J » n (:: XÍ:1 2 100 100

ou, ainda, Cj x i2 = C2 x i2

Ca = ° 2 * ^ = — Q y -••••— = R$ 500.000,00n.

11) (Bacen) Na capitalização simples, os juros correspondentes à aplicação de R$ 2.000,00 por dois meses, à taxa de 4% ao mês, são;

a) R$ 320,00 d) R$ 1.320,00

’ b) R$2.160,00 e) R$230,00

c) R$160,00

Solução:

São dados:

C = R$ 2.000,00

n = 2 meses

i = 4% a. m.

J = ?

j = C * 1* .S = 2-°00 x 4 x 2 = R$ 160,00 100 100


12) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a. a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:a) R$ 1.100,00 ■ - -H- d) R$ 1.200,00

b) R$ 1.000,00 e) R$ 1.399,68

c) R$1.392,00

Solução:

M = C + J ou M = C [1 + — |l 100 j

Para: iíi = 12% a. a. = 1% a. m.

M = R$ 1.296,00

n = 8 meses

virá: C = t— —— T := 1,296 - = 1'296 = R$ 1.200,00f i + i ü » ! ( i + 0 ’ 08)

100 J \ 100 )

13) (ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?

a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio

b) 4 meses -> e) 4 meses e 20 diasc) 4 meses e 10 dias

Solução:

i ~ 3% a. m. n — ?

J = 14% xC = 0,14 x C

T C x i x n _- . _ G x 3 x nJ — íõõ“ ou ° ’14 x c = - i õ o -

0,14 x C = C x 0,03 x n

ou ainda: 0,14 = 0,03 x n


0 14de onde, n = = 4,66 meses =

= 4 meses e 0,66 x 30 = 4 meses e 20 dias.

(AFTN) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:

a) 51 d) 53,6b) 51,2 ~e) 68c) 52

Solução:

São dados:

C = R$ 50,00 i = 3,6% a. m.

90n = 20 dias = — mês

J - ?

C x i x n 50x 3,6x20/J= ----------= ---------------L £ l = R$1,20

100 100

Como M =■ C + J, temos: M = 50 + 1,20 - R$ 51,20

(BANERJ) O capital que, empregado a juros simples de 2,5% ao mês, atinge em três meses o montante de R$ 12.900,00 é:

a) R$ 12.000,00 d) R$ 10.500,00b) R$11.400,00 e) R$ 10.000,00c) R$ 10.800,00

Solução:

São dados:

C = ?i = 2,5% a. m. n = 3 meses M = R$ 12.900,00


temos: C .=M 12.900,00 = R$ 12.000,00i x n100

16) (TFR) João tem uma dívida de R$ 350,00 que vence em cinco meses. Para dispor da quantia no prazo estipulado, ele deve aplicar hoje, a juros simples comerciais de 96% a. a., o capital de R$:

c) 250

Solução:

São dados:

M = R$ 350,00

n = 5 mesesi = 950/0 a- a. — 8% a. m.

C = ?

17) (TRT) A que taxa mensal deverá a firma “O Dura” aplicar seu capital de R$ 300.000,00 para que, em dois anos e quatro meses, renda juros equivalentes a 98% de si mesmo?

a) 200

b) 225

d) 275

e) 280

temos

C = M 350 350 350 350 = R$ 250,00

a) 42% a. m.

--*■ b) 3,5% a. m.

c) 35% a. m.

d) 4,2% a. m.

e) 18% a. m.


Solução:

i = ?

C = R$ 300.000,00

n ~ 2 anos e 4 meses = 28 meses

J = 98% (300.000) = R$ 294.000,00

; „ C x i x n _ . 100. x J 100 x 294.000 ^J -----iõ õ ~ 0U 1 - -Õ 7ÍT = 300:000 x 28 = 3’5% m'

18) (TELERJ) Uma dívida de R$ 20.142,00 foi paga com um atraso de três dias. Se são cobrados juros simples de 1% ao dia por dia de atraso, o montante pago foi de:

a) R$20.202,42 d) R$22.435,44

b) R$ 20.551,26 e) R$26.184,60c) R$20.746,26

Solução:

São dados:

C = R$ 20.142,00 n = 3 dias

i = 1% ao dia M = ?

De: M = G + J,

temos: J = C ^ x 3 - R$ 604,26

logo, M = C + J = 20.142 + 604,26 = R$ 20.746,26

19) (TRT) Certa quantia foi depositada durante um mês na caderneta depoupança. No fim do período, o banco liberou para o aplicador a importância de R$ 2.268,00. Se a renda obtida corresponde a 35% daaplicação, quanto foi depositado pelo aplicador?

a) R$ 1.320,00 d) R$ 1.860,00

b) R$ 1.380,00 e) R$ 1.900,00

-► c) R$ 1.680,00

6 0 Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

Dados fornecidos:

C = ? i = 35%M = R$ 2.268,00n = 1 - -

Aplicando o raciocínio da capitalização, virá: C + 35% x C = 2.268

ou: C+ 0,35 x C - 2.268ou, ainda, C (1 + 0,35) = 2.268

deonde’ c = õ t | I 5) = W = r$ 1 -680’00

Observação: Outra forma de resolução mais direta:

M = C | 1 + ^ - ^1 0 0 ,

ou: 2.268 = C í l + 35 X 1 | = C (1 + 0,35)100 J

ou, ainda, 2.268 = C (1,35)

de onde, C = = R$ 1.680,001,35

20) (FURNAS) Aplicando R$ 18,000,00 durante seis meses, um investidor obteve juros de R$ 1.620,00. A taxa anual de juros oferecida por esta instituição financeira é de:a) 1,5% d) 12%b) 3% -+ e) 18%c) 6%

Solução:

São dados:

C = R$ 18.000,00 - n = 6 meses


J = R$ 1.620,00

i = ?

De: J « Ç x íü B 100

temos:

. 100 x j 100x1.620 162.000 rn/____ , rn/ 10fl/ . .j — ----- = —...... ...... = .= 1,5% a. m. = 1,5% x 12 = 18% a. a.C x n 18.000 x 6 108.000

21) (TCE) O montante de um capital de R$ 20.000,00 aplicado por três períodos de tempo, no regime de capitalização simples, à taxa de 20% por período, é:

a) R$ 30.000,00 c) R$34.000,00: -> b) R$32.000,00 d) R$36.000,00

Solução:

São dados:

C = R$ 20.000,00 n = 3 períodos

i = 20% por período

M ~ ?

Sabendo-se que M = C + J

e que t — C x i x n ,

100

_ t 20.000 X 20 X 3 niMo n ntemos: J = ------ ------------= R$ 12.000,00

Portanto, M = C + J = 20.000 + 12.000 = R$ 32.000,00

22) (B. BRASIL) Em quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 2,5% ao mês, rende juros equivalentes a 2/5 de seu valor?a) 11 meses d) 1 ano e 4 mesesb) 1 ano e) 1 ano e 6 meses

c) 1 ano e 3 meses

6 2 Matemática Financeira para Concursos Páblicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

São dados;

n = ?i = 2,5% a. m,

2J = |xC

C x i x n 100 ou „ _ 100 X Jn -----~r~—;—

C x i

23) (TTN) Um capital de R$ 80,00 aplicado a juros simples à taxa de 2,4% a. m. atinge, em 45 dias, um montante, em reais, de:

c) R$ 83,60

Solução:

São dados:

C = R$ 80,00

i = 2,4% a. m.

n = 45 dias = — mês = 1,5 mês

M = ?

De: M ~ C + J,

Portanto, M = C + J = 80 + 2,88 = R$ 82,88

a) 81,92

b) R$82,88d) R$84,80

e) R$ 88,00

e sabendo-se que J == £ x 1 * i nn100

temos: J 80 x 2,4 x 1,5 R$ 2,88100

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 63r.

24) 0?G) Certo capital, aplicado durante nove meses à taxa de 35% ao ano, rendeu R$ 191,63 de juros. O valor desse capital era de:a) R$ 690,00 d) R$ 720,00

b) R$700,00 e) R$730,00c) R$710,00

Solução:

São dados:

C = ?

9n = 9 meses = — ano12 . . . . . .

i = 35% a. a.

J = R$191,63 ; o

c _ IQOxJ , 100X191,63 . Mi x n 0£r 935 x —

12

25) (FGV) Guilherme utilizou o limite de crédito de seu cheque especial, no mês de março passado, nos seguintes valores e respectivos prazos: R$ 500,00 durante 5 dias, R$ 700,00 durante 8 dias e R$ 800,00 durante 3 dias. A taxa de juros simples ordinários cobrada pelo banco de Guilherme nessa linha de crédito é de 9% a. m. Nessas condições, o total de juros pago por Guilherme ao fínal do referido mês eqüivale a:

a) R$ 13,20 -> c) R$ 31,50

b) R$30,50 d) R$59,06

Solução: ..

São dados: • •' '

C1 = R$ 500,00; n, = 5 dias

C2 = R$ 700,00; n2 = 8 dias

C3 = R$ 800,00; n3 = 3 dias

i = 9% a. m.


3 ~ ~ iõ (Ci x n* + C2 x 112 + Cs x n3) =

= (500 X 5 + 700 X 8 + 800 x3) =

= ^ (2.500 + 5.600 + 2.400) = R$ 31,50

26) (TRT) Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a. m., a juros simples, para se obter R$ 6.000,00 de juros em quatro meses.

a) R$ 10.000,00 d) R$ 180.000,00

b) R$25.000,00 * e) R$ 250.000,00

c) R$ 100.000,00

Solução:

Dados:

C = ?i — 6% a. m.

J = R$ 6.000,00

n = 4 meses

De: J == ~~100

obtemos: C = x~ - x - = 100 ? 6-°°Q ^ 6Qg-ffQQ. = R$ 25.000,00 íx n 6x4 24

27) (CEF) João investiu o capital de R$ 12.000,00 à taxa de juros simples de 24% ao ano. Três meses após a aplicação de João, Maria investiu o capital de R$ 11.600,00 à taxa de juros simples de 24% ao semestre. Após um certo tempo, o montante da aplicação efetuada por João era igual ao montante da aplicação efetuada por Maria. Neste momento, a soma dos valores dos juros destas duas aplicações era:

-* a) R$ 4.240,00 d) R$2.960,00

b) R$ 3.840,00 e) R$2.320,00

c) R$3.200,00


C3 = R$ 12.000,00 ij = 24% a. a. = 2% a. m. C2 = R$ 11.600,00 i2 = 24% a. s. - 4% a. m. Mj + M2 = ?

Solução:

M, = M2

M = C J 1 + i i I 10Q 12.000 | 1 + { = 12.000 (1 + 0,02 x n)( 100

m 2= c2 = 11.600 \ + 4(11 - 3)1100 100

= 11.600 [1 + 0,04 (n - 3)]

-M 2,teremos:

12.000 (1 + 0,02 x n) = 11.600 [1 + 0,04 (h - 3)312.000 + 240 x n = 11.600 + 464 (n - 3)12.000 + 240 x n = 11.600 + 464n - 1.392464 x n - 240 x n = 12.000 - 11.600 + 1.392 - '

ou, ainda, 224 x n = 1.792

1 792de onde: n = - ~ T~ = 8 meses224 • -- ........

Logo, M1 = 12.000 Cl + 0,02 x 8) = R$ 13.920,00M2 = 11.600 [1 + 0,04 C8 ~ 3)] = R$ 13.920,00

e = M1 - q = 13.920 - 12.000 = R$ 1.920,00J2 = M2 - C2 = 13.920 - 11.600 = RS 2.320.00

TOTAL ...... R$ 4.240,00

28) (PG) Certo investidor aplicou R$ 870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante no final de três anos?

ParaMj^

ou

a) R$ 4.628,40b) R$35.078,40c) R$4.800,40

d) R$35.780,40e) R$4.860,40

6 6 Matemática Financeira para Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

Solução:

São dados:

C = R$ 870,00 i = 12% a. m. n = 3 anos = 36 meses M = ?

De: M — C + J

C x i x nJ = 100

_ „ _ T 870 X 12 x 36 T> O 7 C O AC\tem-se: J = ------——-— — = R$ 3.758,40iUU i

Logo, M = C + J = 870 + 3.758,40 — R$ 4.628,40

!29) (PG) Um imposto no valor de R$ 488,00 está sendo pago com atraso de

três meses. Se a Prefeitura cobrar juros de 25% ao ano, o contribuinte terá de pagar um acréscimo de:

a) R$ 30,20 V..- - 4) R$ 30,50b) R$ 30,30 e) R$30,60

c) R$30,40

Solução:

São dados:

'C = R$488,00

o 3n = 3 meses = ~ ano; •»; J.Z

i = 25% a. a.

j = ? v;;í

De: ; j = C x i x n ,100

488 x 25 x 3/tem-se: J = — ------- /12 = R$30,50

100


30) (TTN) Se em cinco meses o capital de R$ 250.000,00 rende R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano?->• a) 6m d) 9 m

b) 7 m e) 10 m

c) 8 m - U ' V . - , -

Solução:

São dados:

J *= R$ 200.000,00 C = R$ 250.000,00

i cnn/ 160% _i = 160% a. a. = — a. m.

De: C x j x n 100

100 x j 100x200.000 ,tem-se: n = ---— = ----------- — r = 6 meses

C x i 250.000 x ——12

31) (TTN) Um capital de R$ 14.400,00 aplicado a 22% ao ano rende R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?a) 3 meses e 3 dias d) 3 meses e 10 diasb) 3 meses e 8 dias e) 27 dias

* ' ■ c) 2 meses e 23 dias ; : 7

Solução:

São dados:

C = R$ 14.400,00 i = 22% a. a.J = R$ 880,00

n = ?

n T C x i x nÍ> ;J - i o i T "


tem-se:

100 x J 100 x880 „ nnr7n j*n = — — — = —— r - = 0,278 ano = 0,278 x 360 = 100 dias =C x i 14.000 x 22

= 3 meses e 10 dias

32) (TRT) Um capital rendeu juros equivalentes a 15% de seu valor. Quantos dias esteve aplicado, sabendó-se que a taxa de juros diária é de 1,5%?a) 5 d) 10b) 7,5 e) 12c) 8

íSolução:

Dados:

J = 15% x C = 0,15 x C n = ?i = 1,5% ao dia

rw t ~ C x i x n,100

C x 1 5 x ntem-se, substituindo os valores dados: 0,15 C = ------------

ou 100 (0,15) = 1,5 x n => n= £0,15). _ -as

33) (AFTN) Indique nas opções abaixo qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.a) 5,0 d) 12,0b) 1,0 -»• e) 0,6c) 60,0

Solução:

Dados:

i = 5% a. m.mm = 12 meses i = ?


De i = i x m,a m ?

tem-se: ia = 5% x 12 ~ 60% a. a. = 0,6 a. a.

(TTN) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenham os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400,000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?a) R$ 420.000,00 d) R$ 520.000,00b) R$450.000,00 -+'e) R$500.000,00c) R$480.000,00

Solução:

São dados:

C, = ?ij = 12% a. m.C2 - R$ 400.000,00 ij = 15% a. m.

De: C1 x = C2 x L,,

tem-se: C, = S * ^ = 400.000 x 15 = R$ 500.000,00i 12 í

(BACEN) Na capitalização simples, a taxa que faz duplicar um capital, em dois meses vale:

a) 100% d) 30%b) 50% e) 10%c) 40%

Solução:

São dados:

i = ?n = 2 meses M = 2C

De M = C l + 1 X n tem-se, quando são substituídos os valores fornecidos100 J

na questão:

70 Matemática Financeira para Concursos Púbiicos • Ferreira e Ferreira

de onde: i = = 50% a. m.

Observação: Se no problema acima (problema 35) fosse solicitada “a taxa que triplicasse o capital aplicado”, ou o equivalente: “fizessem com que os juros simples fossem o dobro do capital aplicado”, teríamos:

São dados: ;

i — ?/

n = 2 meses

J = 2C

De onde: J - C n, tem-se substituindo os dados fornecidos;

36) (CN) A que taxa de juros simples, em por cento ao ano, deve-se emprestar um certo capital, para que no fim de seis anos e oito meses duplique de valor?

c) 15

Solução:

Dados fornecidos:

i = ?%

n = 6 anos e 8 meses = 6 x 12 + 8 = 80 meses M = 2 C

a) 10

b) 12d) 18 e) 20


Substituindo na fórmula: M = C 1 + iü üV 100

2C = C í 1 + | ou 2 = 1 + 0,80 x i, de onde, 0,80 x i = 2 - 1 - 1t 100 J

=> i ~ A - = 1,25% a. m. = 12 x 1,25% a. m. — 15% á. a.U,oU

37) (SUSEP) Quem paga juros simples mensais de 40%, paga bimestral- mente juros de:

c) 88%

Solução:

Dados:

i = 40% a. m.nl

xn = 2 meses

De: i, = m x i ,d ver

tem-se: ib — 2 x 40% = 80% a.b.

38) (TST) Depositei certa importância em um banco e, depois de algumtempo, retirei os juros de R$ 1.600,00, que representavam 80% do capital. Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa contratada foi de 16% a. m.

a) 5 meses e 20 dias d) 4 meses-> b) 5 meses e) 6 meses e 5 dias

c) 4 meses e 10 dias

Solução:

Dados fornecidos pelo problema:

J = R$ 1.600,00 = 80% x C n = ?i - 16% a. m.

-■* . a) 80% b) 84%

d) 92%e) 96%


Se 1.600 = ™ x C ^ C = 1>600 x 100 = 2 0Q()100 80

/ C x i x n /Logo, substituindo os dados na fórmula J = - —— , vira

1.600 = — ou 1.600 = 2.000 x 0,16 x n100. , 1.600 rou amda: n = —r— —— = 5 meses

2.000 x 0,16

39) (TTN) O prazo em que se duplica um capital aplicado à taxa de jurossimples de 4% ao mês é: |

a) 1 ano c) 20 meses

b) 15 meses -* d) 25 meses

Solução:

Dados:

n = ?

M = 2C

i = 4% a. m.

De: M = C 1 + i-ÜÜ virá, quando substituindo os valores fornecidos:V 100 J

nr- r -n 4 x n Y ' - , 4n. ..2C — C j.l + --- ^ ou 2 — 1 -f- —-----100 J . 1 0 0

de onde: = 2 -1 = 1

ou 4n = 100 = 25 meses4

40) (BEMGE) Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a juros simples e à taxa de 40% ao bimestre, triplique o seu valor?

-* a) 10 meses d) 1 ano e 4 meses

b) 1 ano e) 1 ano e 6 mesesc) 1 ano e 2 meses


Solução:

Dados fornecidos:

n - ?i = 40% a. b.M = 3C

Substituindo esses dados na fórmula

i x n i , f , 4 x nM = C 1 + ----- , resultara 3C = C l + - — -100 J { 100

.:

ou

ou

3 = 1 + 0,40 x n 0,40 xn = 3 - l = 2 2n =

0,405 bimestres = 10 meses

41) (CEF) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de um ano e quatro meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:

a) 2% d) 2,6%b) 2,2% e) 2,8%

-> c) 2,5%

Solução:

Dados do problema:

n = 1 ano e;4 meses = 12 x 1 + 4 = 16 meses

M = ~ C 5

Substituindo na Fórmula M — C 1 +

. , 7 „ i x 16vira: —C ~ C 1 + ------5 l 100

n x i100 )

1,4-1 = 0,16 i

ou 0,16 i = 1,4- 1 = 0,4

de onde, i = = 2,5% a. m.0,1o


42) (UERJ) Se um comprador dispusesse exatamente de R$ 5.890,00 para a aquisição de um ventilador, e optasse pela forma de pagamento era duas vezes, teria que quitar, no ato da compra, a primeira parcela de R$ 3.960,00. Restariam R$ 1.930,00 (R$ 5.890,00 - R$ 3.960,00) para pagar, 30 dias após, a segunda parcela no valor de R$ 3.960,00.

Suponha que os R$ 1.930,00 restantes venham a ser aplicados no mercado financeiro até o dia do pagamento da segunda parcela de R$ 3.960,00.

Nesse caso, os R$ 1.930,00 teriam de render, para saldar a dívida, aproximadamente, o mínimo de:

a) 34,5%

b) 50,5%c) 55%

d) 80%

e) 105%

Solução:

Dados fornecidos: / •••-■•

C = R$ 1.930,00

M = R$ 3.960,00 n = 1 mês

i = ?

Substituindo os dados na fórmula: M = C 11 + I , virá:100 J

3.960 = 1.930 1 +1 x i 100

ou 3.960 = 1.930 + 19,30 x i

ou ainda: 19,30 i = 3.960 - 1.930 = 2.030

de onde: i = = 105%ly,oU

43) (AN. ORÇ.) O prazo que uma pessoa deve aguardar para ganhar em uma aplicação o equivalente a 1/5 do seu valor investido, a uma taxa de juros simples de 16% ao ano, é de:

a) 3 anos e 2 meses d) 2 anos e 3 mesesb) 1 ano e 2 meses -+ e) 1 ano e 3 mesesc) 2 anos e 1 mês

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descoatos Simples 75

Dados fornecidos:

n = ?

J ~ — C 5

i = 16% a. a.

C x i x n

Solução:

Da fórmula J = 100

t . * . , , 1 C x l ô x ntemos, ao substituir dados: — C = ----—“

1ou - = 0,16 x n ou, ainda, 0,20 = 0,16 x n =>

50 20

=>n - 7~rr = 1,25 ano = 1,25 x 12 — 15 meses = 1 ano e 3 mesesü,lu

) (TCE) Ao comprar um bem cujo preço a vista é R$ 200.000,00, uma pessoa oferece 50% de sinal e o restante após 30 dias. Se o vendedor cobra uma tàxa de 30% a. m., o valor restante a ser pago é:a) R$ 160.000,00 c) R$ 140.000,00b) R$ 150.000,00 d) R$ 130.000,00

Solução:

Dados fornecidos:

50% x R$ 200.000,00 = R$ 100.000,00

100.000 M0 30 dias = 1 mês

M = 100.000 + 30% x 100.000 = 100.000 + 30.000 = R$ 130.000,00

) (TRT) Obtendo-lse em dez meses, R$ 120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital de R$ 200.000,00, à taxa de 6% a. m., determine o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros, caso a taxa seja de 60% a. a.

a) 8 meses d) 10 mesesb) 1 ano e 3 meses e) 13 meses

-> c) 1 ano

Solução:

Dados fornecidos:

nx = 10 meses n2 = ?

76 Materaádca Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Jj = R$ 120.000,00 J2 = R$ 120.000,00 I

C, = R$ 200.000,00 c2 = R$ 200.000,00 |" -5

ij = 6% a. m. i2 — 60% a. a. = 5% a. m.

Substituindo o segundo conjunto de dados na fórmula: J = virá:

120.000 = 000 x 5 x n2 = 200.000 X 0,05 x n,100

120.000 ^ou n = _______— = 12, meses — 1 ano2 200.000 x 0,05

46) (TTN) Qual é o capital que, diminuído dos seus juros simples de 18 § meses, à taxa de 6% a. a., reduz-se a R$ 8.736,00?

a) R$ 9.800,00 ’ d) R$ 10.308,48

b) R$ 9.760,66 e) R$ 9.522,24

c) R$9.600,00

Solução:

Dados fornecidos:

C - J = R$ 8.736,00

18n = 18 meses = — ano = 1,5 ano

i = 6% a. a.C = ?

Da l â equação; C - J — R$ 8.736,00, obteremos:

0 i nJ = € - 8.736, que, substituindo na fórmula J = ————, fornecerá:H 100

C -8.736 = C XaQQ 1,5 = Cx 0,06 x 1,5 ou C- C x 0,06 x 1,5 = 8.736


ou ainda: C (1 - 0,06 x 1,5) = 8.736

C (1 - 0,09) = 8.736

de onde:

47) (TTN-adaptado) Uma duplicata de R$ 300,00 venceu em 26-6-04 e somente foi paga em 14-10-04. Sabendo-se que o banco cobra juros simples de 72% a. a., o sacado desembolsou o montante de R$:

c) 375,00

Solução:

Dados fornecidos:

C - R$ 300,00i = 72% a. a. = 6% a. m.n = 110 dias = 11% meses(*} .

C*J Número de dias entre as datas de 26-6-04 a 14-10-04:

De 26-6-04 a 30-6-04 = 4 dias12-7-04 a 31-7-04 - 31 diasP-8-04 a 31-8-04 = 31 diasl s-9-04 a 30-9-04 = 30 diasl 2-10-04 a 14-10-04 = 14 dias

Deste modo, o montante solicitado é: M = C + J — 300 + 66,00 = R$ 366,00

48) (TTN) Paulo colocou $ 200.000,00 à taxa de juros simples comerciais de 96% a. a. pelo prazo de dez meses. Entretanto, antes do término do prazo conseguiu um aumento da taxa para 144% a. a., para o restante do prazo. Sabendo-se que ao final do período recebeu o montante de R$ 376.000,00, o tempo que o capital ficou aplicado à taxa menor foi de (juros simples comerciais para todo o período): ~

—*■ a) 366,00 b) 373,00

d) 376,00e) 380,00

Total = 110 dias

300 x 6 x 300 x 6 x 110 30x100 = $ 66,00

100


a) 2 meses -> d) 8 mesesb) 4 meses e) 9 mesesc) 6 meses

Solução:

C = R$ 200.000,00 M ~ R$ 376.000,00. ~ 96% a. a. ~ 8% a. m. i2 = 144% a. a. = 12% a. m.

üj = ? n2 = (10 -n ,)

C = 200.000 J, M = 376.000-------j------------ i---- }-----------------|-------0 f n, n2 = 10 meses

T C x i x n. 200.000 x 8 x n .J = ----1----- 1 = ____________ 1.1= 16.000x11,1 100 100 ! 1

J. = C x *2 x ^ = 200.000 X 12 X (10 - nx) = 24,000 (10 - n )2 100 100

Como M = 376.000 = 200.000 + J3+ J2

virá: 376.000 - 200.000 = 16.000 x na + 24.000 (10- n,) ;

ou 176.000 = 16.0000 x n, + 240.000 - 24.00024.000 1 ~ 16.000 x nx = 240.000 - 176.0008.000 nx = 64.000

de onde, finalmente: n ~ = 8 meses7 o.UUU

49) (UFRRJ) Um armário custa à vista R$ 620,00, ou duas prestações de R$375,00, uma no ato da compra e outra após 30 dias. Para que a compra em duas vezes seja vantajosa, devemos encontrar um investimento que renda, em 30 dias, mais do que:

a) 53% d) 21%b) 45% e) 33%c) 35%

Solução:

Dados fornecidos: -


A vista: R$ 620,00

2 parcelas de R$ 375,00Saldo a render juros após a entrada = 620 - 375 = R$ 245,00

245 375

0 1 mês

ou ainda:ou: 375 = 245 + 2,45 i

2,45 i = 375 ~ 245 = 130

de onde,

50) (AN. ORÇ.) Uma pessoa aplicou 1/8 do seu capital a juros simples (comercial) de 36% ao ano, pelo prazo de um ano, e o restante do dinheiro, a uma taxa de juros de 42% ao ano, pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 3.096,00 de juros mais que a outra, de quanto era o seu capital inicial?a) R$9.636,00 d) R$ 9.600,00b) R$8.536,00 e) R$ 8.500,00 vc) R$8.586,00

Solução:

----------- = — x C x 0,36100 8

Portanto, •j2 = Z x c.x 0 , 4 2 x C x 0,36 = 3.096

J2 = Jj-+ 3.096 ou J2-Jj = 3.096

De onde, substituindo J2 e Jj por suas equações, obtém-se:

Z x C x 0,42 - 1 x C x 0,36 = 3.096 ou ^ x C (7 x 0,42 - 0,36). = 3.096o 8 o


ou ainda: C (2,94-0,36) = 8 x 3.096 = 24.768

ou, finalmente: C = = R$ 9.600,002,58

51) (TTN-adaptado) Uma pessoa aplicou a juros simples ordinários ou comerciais a importância de R$ 1.000,00 no dia 20-6-09 e recebeu por essa aplicação o montante de R$ 1.020,00 no dia 2-7-09. Nessas condições, a taxa de juros mensal da operação foi de:

a) 4,0% d) 5,5%

b) 4,5% e) 6,0%c) 5,0% í

Solução:

. : Dados fornecidos:

C = R$ 1.000,00 12n = 12 dias = —- meses 30

M = R$ 1.020,00

i = ? -

Juros recebidos = M - C - 1.020 - 1.000 ~ R$ 20,00

- C x i x n . , . 100 x J 100 x 20 30 x 100 x 20j — ---- ----- vira í - -------- = ---------- —- = ---- --------- — = 5% a. m..100 C X n x ooo x — 1*000 x 12

30

52) (TFR-adaptado) Paulo aplicou dois capitais a juros simples comerciais: o primeiro à taxa de 72% a. a., durante seis meses, e o segundo à taxa de 84% a. a., durante oito meses. Sabendo-se que a soma dos capitais iniciais aplicados era de R$ 3.000,00 e que o valor dos rendimentos das aplicações somou R$ 1.360,00, o valor do menor capital

l de R$:

a) 1.350 d ) 1.450

b ) 1.400 e) 1.600

c) 1.420


ij = 72% a. a. = 6% a. m. íij - 6 meses

Ci " ?Cx + C2 = 3.000 Jx-+ J2 = 1.360,00

Solução:

i2 = 84% a. a. = 7% a. m. n2 ~ 8 meses

C , « ?(1)(2)

100C2 x 7 x 8

_ _ _ _ _

Teremos, quando substituímos em (2):

'i + Z2_100 100

ou Cj x 0,36 + C2 x 0,56 = 1.360 (3)

De (1) sabemos que C2 = 3.000 - Cx que, substituindo em (3), virá:

V Cx x 0,36 + (3.000 -C j) x 0,56 = 1.360

de onde, 320 = 0,20

Qonou c> - m = R$ 1-600’00

e C2 = 3.000 - q = 3.000 - 1.600 = R$ 1,400,00

53) (TTN-adaptado) Uma duplicada de R$ 750,00, vencida em 4-3-09, somente foi paga em 20-6-09. Admitindo-se que o banco cobre juros simples de 24% a. a., o montante desembolsado pelo devedor foi de R$:

;; a) 591,06 d) 607,57b) 595,95 e) 611,04c) 601,82

Solução:

Dados fornecidos:

C = R$ 570,00 i = 24% a. a. = 2% a. m.

ouou ainda:

0,36 Cx + 1.680 - 0,56 C, = 1.360 1.680 - 1.360 = 0,56 C, ~ 0,36 Cx

82 Matemática Financeira para Concursos Públicos » Ferreira e Ferreira

ri = 108 diasc*} = meses 30

c*} Número de dias entre as datas de 4-3-09 a 20-6-09 De: 4-3-09 a 31-3-09 = 27 dias

l 9-4-09 a 30-4-09 = 30 dias1--5-09 a 31-5-09 = ... 31 dias.l e-6-09 a 20-6-09 = 20 dias

Total - 108 dias

_ C x i x n 5 7 0 x 2 x l0 % oioo ioa

= 570x2x 10830 x 100 * ’

Desse modo, o montante solicitado é: M *= C + J = 570 + 41,04 — R$ 611,04

54) (ACE) O desconto simples racional de rnn título descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor dó desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial.

a) R$43,20 -> d) R$ 763,20b) R$676,80 e) R$12.000,00

c) R$720,00 ' ;

Solução:

Dr = R$720,00 1

i = i* = 24% a. a. = 2% a. m. n - 3 meses

Dc = ?

De D = \ x tem-se D = _____ ?Ç_____ our 1 + í x n/lOtf r i + i x n/l00

Dc - Dr (1 + i x n/100)

Dc = 720 (1 + 2 x 3/100) => Dc = 720 (1 + 0,06) Dc =720 (1,06) =>

D = 763,20

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos. Simples 83

55) (TTN-adaptado) Uma empresa pagou uma duplicata de R$ 60.000,00 no dia 3.6.09. Sabendo-se que o título venceu em 25-3-09 e que o banco adota a taxa de juros simples ordinários de 6% ao mês, o montante que a firma desembolsou foi de:

a) R$ 68.250,00 d) R$ 68.600,00-> b) R$ 68.400,00 e) R$ 68.650,00

c) R$68.500,00

Solução:

Dados fornecidos:

C = R$ 60.000,00 i = 6% a. m.

n = 70 dias(*} = ~ meses

f*} Número de dias entre as datas de 25-3-09 a 3-6-09

De 25-3-09 a 31-3-09= 6 dias1M-09 a 30-4-09 = 30 diasl s-5-09 a 31-5-09 = 31 diasl ô-6~09 a 3-6-09 = 3 dias

Total = 7 0 dias

C x i x n 60.000 x 6 x Logo, j = — s = — = s 5 100 100

60.000 x 6 x 70 a, c30 x ÍÒQ 8.40°,00 , .

Deste modo, o montante solicitado é:

M = C + J = 60.000 + 8.400 = R$ 68.400,00

56) (TTN) Um indivíduo deverá liquidar duas dívidas, expressas por dois títulos, um de $ 37.000,00 e outro de $ 49.800,00, vencíveis, respectivamente, em 8 e 11 meses, a partir de hoje. A taxa atual de juros simples é de 6% ao mês. Útilizando-se o critério do valor atual racional, para que uma promissória de $ 59.950,00 seja equivalente, hoje, aos dois títulos especificados, o prazo de vencimento da promissória deve ser de:

a) 15 dias d) 134 dias->• b) 45 dias e) 148 dias

c) 110 dias


Solução:

59.950 37.000 49.800|------------ 1---------------- :------------------!---------i---------0 x 8 11 (meses)

I = 6% a. m.

Adotando a data “0” como data focal, tem-se a equação de valor:

59.950 37.000 49.800- 6 x x 6x8 6x111 + ------ i + _____ 2 + -------

100 100 100

59.950 ^ 37.000 49j8001 + 0,06 x x 1,48 1,’66

ou ,

, — = 25.000 + 30.000 = 55.0001 + 0,06 x x/

ou ainda: 59-950 = 55.000 (1 4* 0,06 x x)59.950 = 55.000 + 3.300 x x59.950 - 55.000 = 3.300 x x4.950 = 3.300 x

de onde, x ~ = 1,5 mês = 1,5 x 30 dias = 45 dias

57) (TJ-adaptado) Carlos pagou o camê de condomínio do seu apartamento em 22-11-08. Sabendo-se que o valor do condomínio era de R$ 720,00 com vencimento em 19-9-08, e que o banco cobra multa de 10% pelo atraso e juros simples comerciais de 24% a. a., o total desembolsado por Carlos foi de R$:

a) 817,85 d) 829,30-+ b) 822,72 e) 833,76

c) 825,76

Solução:

Dados fornecidos:

C - R$ 720,00 i ~ 24% a. a. = 2% a. m.i* = 10%

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Stmplés 8 5

n = 64 dias(*} = ^ meses

w Número de dias entre as datas de 19-9-09 a 22-11*94

De: 19-9-08 a 30-9-08 = 11 dias

l a-10-08 a 31-10-08 = 3 1 .dias

l a- l l -0 8 a 22-11-08 = 22 dias

Total = 64 dias

e Multa = C x i* = 720 x 10% = 720 x 0,10 = R$ 72,00

M ™ C + J + Multa = 720 + 30,72 + 72 = R$ 822,72

(TRT) Emprestei V* do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, eo restante a 6% ao ano. No fim de um ano recebi R$ 102,00 de juros. Determine o capital.

Logo,

Deste modo, o montante a ser pago é igual a:

a) R$680,00b) R$840,00

-> c) R$1.200,00

d) R$2.530,00e) R$ 12.600,00

Solução:

São dados:

O capital utilizado e o que restou foi de:

8 6 Matemática Financeira para Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

3 4- 8 _ 11 , ■ _ 11 = 12-11 = Jl_ 12 12 12 12 12

Logo, C x 0,06100 12

Como: + x J2 + J3 — R$ 102,00, teremos:

\ x C x 0,08 + | x C x 0,09 4- ~ x C x 0,06 - 102t «5 X

ou C x 0,02 + C x 0,06 + C x 0,005 = 102

ou ainda: C (0,02 + 0,06s + 0,005) = 102

102de onde, 102 = R$ 1.200,00(0,02 + 0,06 + 0,005) (0,085)

59) (TCU-adaptado) Um investidor apUcou R$ 2.000,00 no dia 6-1-09, à taxa de 22,5% ao mês. Esse capital terá um montante de R$ 2.195,00:

Solução:

Dados fornecidos:

C = R$ 2.000,00

i = 22,5% a. m.

M — R$ 2.195,00 n = ?

Como a única variável a ser determinada é o “n”, temos:

Juros de aplicação = M - C = 2.195 - 2.000 = R$ 195,00

Logo, de J = iq5~~" exP^ca_se:

a) 5 dias após sua aplicação -+ d) aos 19-1-09

b) após 130 dias de aplicação e) após 52 dias de sua aplicação

c) aos 15-5-09

100 x J = 100 x 195 C x i 2.000 x 22,5 = 0,43 mês = 0,43 x 30 = 13 dias


Analisando as várias alternativas dadas, conclui-se:

a) ERRADAb) ERRADA

c) ERRADA (mais de 13 dias)d) De 6-1-09 a 19-1-09, são 13 dias, e portanto, está CORRETA a afirmaçãoe) ERRADA.

i (AFTN) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a. m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de R$ 1.400,00. As condições contratuais preveem que o pagamento desse financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total de pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é:

a) $816,55 d) $970,00- b) $ 900,00 e) $ 995,00

c) $ 945,00

Solução:

Chamando de “A” o valor do financiamento (onde A = + A^ ; e de H, e N2os dois pagamentos amortizadores do financiamento, teremos, de acordo com o conceito de valor futuro e de valor presente:

A N.

0-h4 11 meses

N.

Conhecidos os valores:

Nj = 70% x R$ 1.400,00 = R$ 980,00 N2 = 30% x R$ 1.400,00 = R$ 420,00


i = 10% a. m. n1 = 4 meses n2 = 11 meses

Teremos ao substituí-los nas fórmulas acima:

- t---— --- r = — — — - R$ 700,001 | 10 x 4 ) (1 + 0,40)

+ 100

= ----— 2. = — 420 — = R$ 200,00 ' 1+ 10x11^ (1 + 1,10^

100

Portanto, A = A1 + \ = 700 +1200 = R$ 900,00

61) (TTN) Um capitalista empregou 2/5 de seu capital a juros simples comerciais, à taxa de 48% a. a., durante cinco meses, e o restante do capital também a juros simples comerciais, à taxa de 60% a. a., durante seis meses. Sabendo-se que a soma dos montantes recebidos nas duas aplicações foi de R$ 302.400,00, o capital inicial era de:

a) R$230.000,00 d) R$255.000,00 ::b) R$240.000,00 e) R$260.000,00c) R$250.000,00

■i

Solução:

Dados fornecidos:

c , = i * c c>= i * c :

ij = 48% a. a. = 4% a. m. i2 = 60% a. a. = 5% a. m.nj = 5 meses n2 = 6 meses

i x n iSubstituindo esses dados na fórmula de montante, M =? C [ 1 + ‘teremos: 100 y


| x C (1 + 0,20) + | x C (1 + 0,30) = 302.400

2 C (1,20) + 3 C (1,30) = 5 x 302.400

de onde: C (2 x 1,20 + 3 x 1,30) = 1.512.000

C (2,40 + 3,90)1.512.000 = R$ 240.000,00ou

(TTN-adaptado) Um investidor empregou 70% de seu capital à taxa de 24% a. a. e o restante à taxa de 18% a. a. Admitindo-se que as aplicações foram efetuadas no regime de juros simples comerciais, pelo prazo de dez meses, e que juntas renderam juros no total de R$ 38.850,00,o capital inicial do investidor era de R$:

a) 210.000,00 d) 218.000,00b) 214.000,00 e) 220.000,00c) 215.000,00

Solução:

Cx = 70% x C = 0,7 x C ij ™ 24% a. a. = 2% a. m.C2 = 30% x C = 0,3 x C i2 = 18% a. a. = 1,5% a. m. n — 10 meses

Jx + J2 = 38.850

C x i x nSubstituindo os dados na fórmula de Juros Simples: J = —

J,0,7 x Ç x 2 x 10 = 0,7 x C x 0,20 = 0,14 x C100

J.0,3 x Ç x 1,5 x 10

100 = 0,3 x C x 0,15 = 0,045 x C

Como:

ou

J1 + J2 = 38.850, teremos:

0,14 C + 0,045 C = 38.850 C (0,14 + 0,045) = 38.850 C (0,185) = 38.850


De onde, 38.8500,185

= R$ 210.000,00

63) (TTN-adaptado) Uma empresa, em 25-7-09 descontou em um banco uma duplicata de $ 60.000,00 com vencimento para 23-10-09. Sabendo-se que o banco adota desconto simples, comercial ou por fora, a uma taxa de 96% a. a., o líquido creditado na conta-corrente da empresa, na data do desconto, foi dé $:

a) 45.000,00 d) 46.000,00-> b) 45.600,00 e) 46.200,00

c) 45.900,00í

Solução:

N= R$60.000í* = 96% a. a. = 8% a. m.

n = 90 diasc,r) = 3 meses

Ac = ? ! ;■

n Cálculo do número de dias:

julho : 6 dias

agosto : 31 dias

setembro : 30 dias

outubro : 23 dias

Total = 90 dias = 3 meses.

AC = N 1 - í x n100

R$ 45.600,00

60.000 18x3100

= 60.000 (1 r- 0,24) =

64) (TTN) Carlos aplicou XA de seu capital a juros simples comerciais de 18% a. a., pelo prazo de um ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a. a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros mais do que a ou-tra, o capital inicial era de R$:

a) 4.200,00 d) 4.600,00

b) 4.800,00 e) 4.400,00

c) 4.900,00


v G,

Solução:

1 r4

X C

18% a. a. : 1 ano

i2 = 24% a. a. n, = 1 ano

(1)

Substituindo esses dados em J = ^ ^qq ^

J / x C x l 8 x l T — 13 --------------1 100

= i x Cx 0,18 4

x C x 24 x 1

J* iõõ= — x C x 0,24

4

De onde, substituindo na equação (1), teremos:

| x C x 0,24 = 7 xC x 0,18 + 594 4 4

| x C x 0,24 - j x C x 0,18 + 5944 4

ou

ou

C I I x 0,24 ~ ^ x 0,18

C (0,18 - 0,045) =. 594 C (0,135) = 594

594

De onde, 5940,135

R$4.400,00

65) (TTN) Um indivíduo tem uma dívida a ser paga em três parcelas: uma de $ 10.000,00 de hoje a seis meses, outra de $ 20.000,00 de hoje a nove meses e a terceira de $ 30.000,00 de hoje a doze meses. O credor aceita pagamento da dívida em duas parcelas iguais, no 6a mês e no 12- mês, a partir de hoje, utilizando-se de uma taxa de juros simples de 45% a. a. O valor de cada pagamento, adotando-se desconto comercial e a data zero como referência, é, desprezados os centavos:


a) $38.301 -► d) $28.301b) $37.500 e) $22.830c) $26.301

Solução:

10.000 ’ ' 20.000 30.000H-------------- 1-------------- í--------------i---0 6 9 12

X

~12

i* = 45% a. a.

n, = 9 meses = r-™ ano Á 12

n3 ~ 12 meses = 1 ano

Portanto, temos duas equações de valor:

45 x 1/1 -

100+ 20.000 1

45 x 12100

+ 30.000 I 1 - 45x1 j = 37.500 100

eA’c = X45 x X

100 1002 1 + X I 1 - | = X [(1 - 0,225) + (1 - 0,45)]

X (1,325)

Igualando Ac a Ac, virá: 37.500 = x (1,325)

37.500=s> X = 1,325 R$ 28.301,00


(AFTN) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a. a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de quatro meses e osegundo por cinco meses. Sabendo-se que a soma dos dois juros totalizou $ 39.540,00 e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em $ 12.660,00, a soma dos dois capitais era de:

a) $ 140.000 d) $ 147.000

-+ b) $ 143.000 e) $ 115.000

c) $145.000

Solução:

ij = i2 = 72% a. a. = 6% a. m.

Hj = 4 meses n2 = 5 meses

J, + J2 = R$ 39.540,00

J2 - J, = R$ 12.660,00(1)(2)

Somando algebricamente as relações (1) e (2), virá:

Jj + J2 = 39.540— + J2= 12.660

2J, = 52.200 J, = 52,2— = 26.100 A ^ 2

De (1) teremos:

JV= 39.540 - J2 = 39.540 - 26.100 = R$ 13.440,00

Sabendo-se que:

100 x 13.440 = R$ 56.000,00 e

100 x J2 = 100 x 26.100 = R$ 87.000,00

Portanto, Cx + C2 = 56.000 + 87.000 = R$ 143.000,00


67) (TTN) O desconto simples comercial de um título é de $ 860,00 a uma 1 taxa de juros de 60% a. a. O valor do desconto simples racional do í mesmo título é de $ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. í Nessas condições, o valor nominal do título é de: i

a) $8.400,00

b) $8.500,00

-*■ c) $ 8.600,00

Solução:

Dc = R$ 860,00

i* = i = 60% a. a. = 5% a. m. 1

Dr = R$ 781,82

n = ? ;

Sabendo-se que D N x j* x n 100

d) $ 8.700,00

e) $8.900,00

e D

ou 1 +

N x i x n/l00

1 + í x n 100

D.

, tem-se para i = i*DrD,

1 + i x n 100

1 x n

100 ~ Õ!

Substituindo-se os valores fornecidos:

ou

de onde,

Desta forma,

nos fornece:

1 + 5n 860100 781,82

1 + 0,05 n = 1,10

= 1,10

0,05 n = 1,10-1 = 0,10

n = §45 = 2 meses 0,05

D. = N x j* x n 100

m = 100 x D c i* x n

100 x 8605x2

R$ 8.600,00

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples' 95:

68) (TTN) Um capitalista aplicou o seu capital a juros simples ordinários, sendo 2/5 a 60% a. a. e o restante a 72% a. a. Sabendo-se que ao final de seis meses a soma dos montantes era de $ 641.280,00, o capital inicial aplicado foi de:

a) $470.000,00 d) $495.000,00b) $480.000,00 e) $500.000,00c) $490.000,00

Solução:

ci = 1 x ° c*=!xcij = 60% a. a. = 5% a. m. i2 - 72% a. a. = 6% a. m.^ = 6 meses n2 = 6 meses

M + M, = R$ 641.280,00

i x n^jDa fórmula: M = C 1 + ----- , obteremos: 100 JM. = C. í l + 11 X n0 ou M. = - x c f l + ^ -^ 1 = - x C (1 + 0,30)

1 1 t 100 J 1 5 L 100 ) 5

1 + iâJLEi)quM2~ — x C f 1 + = - x C ( l + 0,36)100 J 2 5 { 100 ) 5 ■

m2 = c2

Sabendo-se que: ,+ M2 = 641.280, teremos:

| x C (1,30) + | x C (1,36) = 641.280

ou C 0 x 1,30 + 1 x l,3ó j - 641.280

• ou ainda: C (0,52 + Ó,8Í6) = 641.280 ; " ' /

de°nde:69) (AFTN) João deve a um banco R$ 190.000, que vencem daqui a 30

dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação dadívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal àtual (zeró) e que o


banco adota a taxa de desconto comercial simples de 72% a. a., o valor do novo título será de:

a) R$ 235.000 d) R$ 243.000

b) R$ 238.000 e) R$ 245.000

c) R$ 240.000

Solução:

N, - 190.000 n 2 = ?”f------------------------ i------------------------f-----0 30 120 (dias)

Nj = R$ 190.000,00 !n: = 30 dias — 1 mês

ín2 = 30 dias + 90 dias = 120 dias ~ 4 meses

i* = 72% a. a. = 6% a. m.N2 = ? ;

Ac = Nx | 1 - * | = 190.000 [ 1 - \ = 190.000 (1 - 0,06)í x n,-----— | — xyu.uuu j -L--------|100 ) l 100 J

R$ 178.600,00

Logo, A = N. I 1 - 1 Xn’100

O U N .-V ' Ac , = 7lZ§--60% = 178'600 , R$ 235.000í* x n2\ ( - 6x4^ (1 - 0,24)2

100 J l 100

70) (TTN) João aplicou certa importância a uma taxa de 24% a. a., por dez meses. Findo o prazo, reaplicou o montante por mais cinco meses, à taxa de 30% a. a. Sabendo-se que ambas as aplicações renderam juros totais de $ 3.710,00 e que o regime de capitalização é o de juros simples comerciais, o capital inicial da aplicação original era de $:

a) 10.000,00 d) 10.800,00

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples -97

Solução:

ij = 24% a. a. = 2% a. m. iij = 10 mesesi2 = 30% a. a. = 2,5% a. m. n2 = 5 meses

+ J2 - R$ 3.710,00

Da fórmula J ~ ^ n temos:

^ = £ . .x 10 = c x 0,20 => M 1 = C + C x 0,20 = C (1 + 0,20)

T = ^ ^ 2 =: (1)20) x 2,5 x 5 _ p v q 2 52 100 100

Como Jj + J2 = 3.710, virá:

C x 0,20 + C x 0,15 = 3.710 ou C (0,20 + 0,15) = 3.710

C (0,35) = 3.710

De onde: C = = R$ 10.600,00

(TTN) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a dois tiposde descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% ã. a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de $ 635,50, o valor nominal do título era de R$:

a) 6.510,00 d) 5.970,00b) 6.430,00 e) 6.240,00

c) 6.590,00

Solução:

i* - i = 10% a. a.1

n = 180 dias = — ano = 0,5 ano


Dr + Dc = R$ 635,50 N = ?

Sabendo-se que:

^ N x i* x n „ Nxixn/100 'q _ ~~T~ j D = —---- :----- - - ■■ e 1 = 1,c 100 r 1 + ix n/100

^ D Dtem-se: Dr = -------- s------ ou -£ - 1 + i x n/100

r 1 + i x n/100 Dr

Substituindo-se “i” e “n” na expressão,

virá: ü = 1 + 10 x 0,5/100 = 1 + 0,05 Dr

Logo, Dc — Dr (1,05); (1)Como Dr + Dc = 635,50

D = 635,50-D (2)C 7 T i > z' ■/temos, igualando (1) = (2):

Dr (1,05) = 635,50 - Dr

Dr (1,05) + Dr = 635,50 Dr (1,05 + 1) = 635,50

ou D = 635,50 = R$ 310,00r ( i ^ o s + l )

Logo, Dc = Dr (1,05) = 310 (1,05) = R$ 325,50

r, ' . : r» N X i* X n- ,De : D= = - i » — • ten,se: ' .

N = lOOxD, = ioo*_325^0 = R$ 6.S10;001* X n 10 X 0,5

72) (TTN) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a. a., durante quatro anos, o segundo a 24% a. a., durante três anos e seis meses e o terceiro a 20% a. a., durante dois anos e quatro meses. Juntos renderam um juro de $ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de:

CapitaÜEação Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples

-> a) $ 30.210,00 d) $20.140,00.

c) $ 15.105,00

Solução:

i, = 25% a. a.

= 4 anos ^ = 24% a. a.n2 = 3 anos e 6 meses = 3,5 anosi3 = 20% a. a.

- ■ , 4 1 7-'n = 2 anos e 4 meses ~ 2 ~ 2 + - ~ - ' "r ;

... . _ 12 . 'V . 3 3

jj"+ J2 + J3'= R$ 27.591,80 . . . / ; . . _ ; . '

C2 = 2 Gj e C3 = 3 C2 => C2 = ^

Temos:

b) $10.070,00 e) $ 5.035,00

i i 100

l C, x 25 x 4 s-,1 = í = c 100

e teremos: J, = C/6

que, substituídas na equação (1), nos fornece:;

1 0 0 Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

OU

+ 0,84 + C , x ^ = 27.591,806 3 3 3

C3 + 2 C3 x 0,84 + 2 x C3 x 1,4 _ ^ gQ

C3 + 2 C3 x 0,84 + 2 C3 x 1,4 = 6 x 27.591,80

C3 (1 + 2 x 0,84 + 2 x 1,4}.= 165.550,80

C3 (5,48) = 165.550,80

de onde: C3 = 15. 50,80 = ^ 30 2io,00 5,48

73) (B. BRASIL) Um título vale $ 20.000,00 no vencimento. Entretanto, poderá ser resgatado antecipadamente, com um desconto racional (por dentro) simples de 12,5% ao trimestre. Quanto tempo antes do vencimento o valor do resgate seria de $ 16.000,00?

a) 1,6 trimestre , -> d) 6 meses

b) 4 meses e) 150 diasc) 5 meses

Solução:

N = R$ 20.000,00i = 12,5% a. t.

A ~ R$ 16.000,00

N." ? . ‘ , " .D ~ N ~ A = 20.000 - 16.000 = R$ 4.00000

D. = A x j x n 100

ou n = 100 x Dr A x i

* 100x4.000 0 £U 8°* n = 167000 X 12,5 = 2 011,1651168 = 6 meses

74) (CON. MAG. -SME) Dois capitais AeB , aplicados a taxas de juros simples, rendem os mesmos juros. B é empregado a uma taxa igual ao triplo da taxa destinada ao capital A. Por outro lado, o tempo de aplicação de B é a metade do de A. Sabendo-se que a soma de A e B é de $5.160,00, o menor dos capitais vale:

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 1 0 1

-* a) R$2.064,00 d) R$2.163,00

b) R$2.056,00 e) R$2.200,00c) R$1.267,00

Solução:

JA = JB

Íb= 3 xí a - ■

n = ^2

CA + CB = R$ 5.160,00

Sabendo-se que:

J =: CA X lA * nA A 100

J = C B X h x n B B 100

J = J : C A X X n A = C B x *B X n E

Fazendo as devidas substituições e cancelamentos, virá:

CA X Í A X n A = C B X 3 ÍA X ™

ou CA = Cb x 3 x |

3ou ainda: C = - x C„

A 2 BComo CA + CB = 5.160 => 3 x CB/2 + CB = 5.160

3 CD "I- 2 CL t~ou _1_rB = 5.1602

ou ainda: CB = 2 * |'16Q = R$ 2.064,00

e C = |.(2.064) - R$ 3.096,00A 2

Portanto, o menor capital é C = R$ 2.064,00


75) (TTN) Um investidor aplica seu capital no desconto de um título ven- cível daqui a três meses, realizando uma aplicação à taxa de rentabilidade simples de 3% ao mês. Pode-se afirmar que:

a) a taxa de desconto mensal do título, nessa operação, é igual a 3% ao mês.

b) a taxa de desconto mensal do título, nessa operação, é superior a 3% ao mês.

-► c) a taxa de desconto mensal do título, nessa operação, é inferior a 3% ao mês.

d) nada se pode determinar a respeito da taxa de desconto mensal do título.

íiSolução:

i — 3% a. m. ‘

n = 3 meses

i* = ?

i/100Aplicando a fórmula: i* = -------- :---------=r , íx n

1 + -----1003/100 0,03

- 0,0275 = 2,75% a. m .:' 1 ' 3x3 1 + 0,09

100

76) (B. BRASIL-Adaptado) Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?

a) 4% d) 7%

b) 5% e) 8%

c) 6%

Solução:

n; ~ 8 meses

M8 = R$ 63.000,00 n2 = 13 meses

M13 - R$ 74.250,00 ^ ;


C Ms = 63.000 - Mu = 74.250-4 _ _ -------------------------------- j— — --------------------- ■ ----------

0 8 13

Da expressão de montante: M = C 1 +1 x n 100

i x 13

Podemos escrever: ^ ^-----100j_ = = 74.250 = a 17g6M8 C x í l + i ^ l M8 63-000

l 100 J

ou 1 + 0,13 x i = k (1 + 0,08 x i)1 + 0,13 x i — k 4- 0,08 x k x i

ou ainda 0,13 x i~ 0,08 x k x i — k - 1

i (0,13 - 0,08 x k) = k - 1

k -1de onde i =(0,13 - 0,08 x k)

,, , 74.250 ,Como k = —13 = _ ..= 1,1786Ma 63.000

* i „ • 1,1786-1 0,1786 CfV _Teremos, finalmente:. = 3 J 0j08x 1>17aq = 0^357 = 5% m’

Observação: Forma prática de resolução quando se sabe que os juros simples formados são todos iguais em cada período mensal.

Mi r M8= 5 x J1 : -

ou 74.250-63.000 = 5 x 1 ^ 1 = = R$ 2.250,00,i i 5

onde são os juros simples para um único período (n = 1).

Portanto: :Mg = C + 8 x J}

ou 63.000 = C + 8 (2.250)

o que resulta: C = 63.000 - 8 (2.250) = R$ 45.000

. 100 x J, 100 x 2,250 „Como Jj = C x i x 1/100, tem-se: í = - = 45 000 x 1 " 5 /0 a‘ m’

1 0 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos * Ferreira e Ferreira

77) (TTN-adaptado) O valor atual racional de um título é igual a metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em cinco meses.

a) 200% a. a. d) 28% a. m.

->■ b) 20% a. m. e) 220% a. a.c) 25% a. m.

Solução:

A = | ou N " 2 A

n = 5 meses j

NDa fórmula A = -----:-----, teremos após as devidas substituições:í x n r y1 H-------

100 í

2A 2A = -----:— - ou 1 = -----

1 + i^_5 y 1 + 0,05 i100

De onde, 1 + 0,05 i = 2

0,05 i = 1

* 1 = 20% a. m.0,05

78) (EPCAR-adaptado) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após dez meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qualo capital?

a) R$9.000,00 d) R$ 8.600,00b) R$6.912,00 e) R$ 9.600,00c) R$ 10.000,00

Solução:

M10 = R$ 13.440,00 nj = 10 meses

M1S = R$ 16.512,00 n2 = 18 meses


Usando a mesma sistemática da Questão 76, teremos:

i x 18^CXI I 4-m 18

-1

M10 C x 1 +

100 ) = (1 + 0,18 x j)

i x 10 ( l + 0,10xi) 100

n k = 1,2286M 13.440 ’10

Portanto, igualando (1) a (2), virá:

1 + 0,18 X i -1 Í W x 1 " lj2286

(D

(2)

ou

ou ainda:

de onde:

1 + 0,18 x i = (1 + 0,10 x i) x 1}22861 + 0,18 x i = 1.2286 + 0,12286 x i

0,18 x i - 0,12286 x i = 1,2286 - 1

i (0,18 - 0,12286) = 0,2286

0,22860,18 - 0,12286

= 4% a. m.

Portanto, de

explicitamos: C =

M = C 1 +i x n 100

M 13.440

1 4-

ou C =

i x n |

100 J

16.512

4 x 10

1 +

100

16.512 4 x 18 ” (1 + 0,72) 100

R$ 9.600,00

= R$ 9-600,00


M18 - M10= 8 X J 1

OU3.072

8R$ 384,00,

onde Ja são os juros simples para um único período (n = 1).


Portanto: M10 = C + 10 x , \

ou C = M10 - 10 x = 13.440 - 10 (384) = R$ 9.600,00

79) (TFR) O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de juros simples de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria parao vencimento do título, se o valor nominal do referido título fosse de R$4.000,00?-*->• a) 45 dias d) 30 dias

b) 40 dias e) 25 diasc) 35 dias

Solução: í

Dc = R$ 150,00i* = 30% a. a. = 2,5% a. m. i N = R$ 4.0000,00n = ? ' :'"'7 ' ' ' 'v

^ Nx i * xn 100 X D = 100 X 150 c - i c ac a-D = — r™— oun = _-------£ = 1,5 mes = 1,5 x 30 = 45 diasc 100 Nx i * 4.000x2,5

80) (B. BRASIL-adaptado) Um capital com os juros correspondentes a quatro meses eleva-se a R$ 6.200,00; o mesmo capital com juros correspondentes a nove meses eleva-se a R$ 6.450,00. A taxa de juros é:a) 5% a. a. ->• d) 10% a. a.b) 6% a. a. ; e) 12% a. a.c) 8% a. a.

Solução:

M4 = R$ 6.200,00; M9 = R$ 6.450,00n: = 4 meses; . n2 = 9 meses

Usando a mesma sistemática da Questão 76, teremos:

C x í l + i^ -? l M9 _ 100 J (1 + 0,09 x j)M, C x í l + Í ^ 1 (1 + 0,04 x i)

l 100 J


e

Logo:

ou 1 + 0,09 X i = k (1 + 0,04 X i)1 4- 0,09 x i = k + 0,04 x k x i

ou ainda 0,09 x i - 0,04 x k x i =1 (-1i x (0,09 - 0,04 x k) = k - 1

de onde: k -1 1,0403 - 1i =0,09 - 0,04 x k (0,09 - 0,04 x 1,0403)

0,0403 „ 0,0403 0,83% a. m.(0,09 - 0,0416) 0,0484

Logo 0,83% a. m. x 12 = 9,96% a. a. = 10% a. a.


M9 - M4 ™ 5 x J1

onde Jl são os juros simples para um-único período (n = 1).

Logo, .' M4 = C + 4 X (J 5)

ou c = M4 - 4 (J3) = 6.200 - 4 (50) = R$ 6.000,00 • ;

ou ia = 12 (i) = 12 (0,83333% a. m.) = 10% a. a.

(AFC) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes, hoje, os capitais de R$ 1.000,00 vencível em dois raeses e R$ 1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial.

e J = C x i x 1/100 => i = 100 X Ja = 100 X 50 - 0,83333% a. m.C x 1 6.000 x 1

a) 15% -» b) 20%

d) 25%

d) 30%e) 33,33%


Solução:

Nx = R$ 1.000,00; nx = 2 mesesN *= R$ 1.500,00; n, ~ 3 meses

2N,

A cl A c2 N J1r x n-,100

I -= N, 1*n 2

100

Ou, 1.000 1 -

ou ainda:

i* x 2

de onde,

1001.500 1

i* x 3 100

(1 - 0,02 x i*) = 1,5 (1 - 0,03 x i*)

1-0,02 i* = l,5-0,Ò45xi*

0,045 i* - 0,02 i* = 1,5-1

i* (0,045 - 0,02) = 0,5

i* (0,025) = 0,5

i* = -A|~ = 20% a. m.0,025

82) (AFTN) João colocou metade do seu capital a juros simples pelo prazo de seis meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de quatro meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de $ 117.000 e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de:a) $ 150.000 d) $ 180.000b) $ 160.000 e) $ 200.000c) $ 170.000

Solução:

Mj = R$ 117.000 M2 = R$ 108.000,00

= 6 meses n2 = 4 meses


Aplicando a sistemática da Questão 75, e levando-se em consideração queMj > M2, virá:

M2 Ç [ 1 + i * 4 l (1 + 0,04 x i)2 100

M, 117.000M2 108.000

igualando-se ( 1 ) a (2 ), resulta:

1 + 0,06 x i _ ,1 + 0,04 x i " K

ou 1 4- 0,06 x i = k (1 + 0,04 x i)

ou ainda: 1 + 0,06 x i = k + 0,04 x k x i

0,06 x i - 0,04 x k x i = k - l

i (0,06 ~ 0,04 x k) = k - 1

de onde,

j = 1 _ 1 ,0 8 3 - 1 _______________________________________________________ _0 ,0 8 3 ._ . q jo / q ~ 5o/0 a m0,06-0,04 xk 0,06-0,04x1,083 0,06-0,043 w 0 - J 0 m-

Deste m odo, o capitalista aplicou:

r » ~ = 108.000 = 9o 000 ^ C = R$ 90.000 x 2 = R$ 180.0001 ° ' 4 x 5a ..................1 ~i-------

100C 117 OOO

ou •— = . N = 90.000 => C = R$ 180.0002 I : 6 x 5

t + T õõ

Observação: Forma prática de resolução quando se sabe que os ju ro s simples form ados sãó todos iguais em cada período m ensal.

M, - M, = 2 x J6 4 1

T M, -M „ 117.000-108.000ou J. = — é ------ ± ~ ------------—-—— = R$ 4.500,00,2 2

onde J j são os ju ro s simples p ara um único período (n = 1) .


Como M4 = C: + 4 x (Jj), virá,Cj = M4 - 4 X (Jx) = 108.000 - 4 (4.500) = R$ 90.000,00.

E, sendo Cí = principal ou capital inicial, Cx = C/2, teremos: C = 2 x Cx —2 (90.000) = R$ 180.000,00.

83) (B. BRASIL) Qual a diferença entre os descontos por fora e por dentro de um título de valor nominal de $ 5.508,00, pago a dois meses do vencimento, à taxa de 12% a. a.?

a) $2,16 d) $0,16b) $0,24 e) $ 1,53c) $ 2,24 |

Solução:í

D -D = ? :c r

N = R$ 5.508,00 n = 2 mesesx = i* = 12% a. a. = 1% a. m.

D. = - yòoX ” ou D' = 5-S° ^ o 1X2 = ^ 110’ 16

= Nxix n/100 = ..D,,. = . R$ 108)00r - i x n . 1x2 1 + 0,02-j----------_j-----------------------

100 100

Logo, Dc - Dr = 110,16 - 108,00 - R$ 2,16

84) (UFMG) Uma pessoa tinha uma dívida da qual podia pagar apenas 20%. Para pagar o restante, fez um empréstimo que, a uma taxa fixa de 5% ao mês, lhe custou juros simples de R$ 12.000,00, ao final de um ano. A dívida era de:

-► a) R$ 25.000,00 d) R$ 240.000,00b) R$ 30.000,00 e) R$ 300.000,00 .c) R$100.000,00

Solução:

C = 0,80 x D

i = 5% a. m.


n = 12 meses • "

'• J = R$ 12.000,00 '

Portanto, J * x x 12 = 12.000

ou 0,80 x D x 0,60 = 12.0000,80 x 0,60 x D = 12.000

de onde: D = = R$ 25.000,000,80 x 0,60

85) (TTN) Uma certa Importância foi aplicada a juros simples de 48% a. a., durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a. a., mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,63, qual foi o capital inicial da primeira operação?

a) R$200,00 d) R$ 150,00b) R$180,00 e) R$ 144,00

-> c) R$ 160,00 : l y: > ;

Solução:

C = ? M = R$ 207,63ij = 48% a. a. = 4% a. m. i2 = 60% a. a. ■=■ 5% a. m. -nj = 60 dias = 2 meses n2 ~ 120 dias = 4 meses

C. J, J,-H-------------------------------:----:----:------ .......;; '■■■;■ 0 • ' ■ ' 2 6 .

• = ^ 4 ^ 2 ^ 0 , 0 81 100 100

, j = g + X12Xn2^ (C + c x X JLX-_1 = ç ( i 3Q8) X0,20 = Cx 0,216 Á 100 100

Como M = C + Cx 0,08 + Cx 0,216 = C (1 + 0,08 + 0,216) = C (1,296)virá, quando da substituição de “M” pelo seu valor fornecido: 207,63 = C(1,296)

ou C = = R$ 16°,0°


86) (B. BRASIL) Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por dentro de $ 500,00, a 50 dias de seu vencimento, à taxa de 3% a. m.?

a) $9.500,00 d) $10.050,00b) $9.550,00 e) $ 10.500,00c) $ 10.000,00

Solução:

A = ?D = R$ 500,00

i = 3% a. m.50 in = 50 dias = — mês

A x i x n , ; A * 3 x 50/De D ~ ■■■ -, virá 500 = ' ^

r 100 100 '

ou 50.000 — 5 x A .

de onde, A = =. R$ 10.000,00

87) (CONTADOR) A firma BML queria comprar determinados equipamentos. Como opção, ela poderia:I - comprá-los a vista com desconto de x%;II - comprá-los a prazo sem desconto, pagando a metade no ato da compra e a outra metade um mês após;BML tinha dinheiro suficiente para escolher qualquer ópção de cóm- pra. Caso escolhesse “II”, guardaria o dinheiro para pagar a segunda metade em uma caderneta de poupança que lhe renderia 40% ao mês. O valor de x, a partir do qual a alternativa “I” seria melhor para BML, é aproximadamente:

a) 12% c) 20%-* b) 15% ‘ d) 25%

Solução:

Considerando um preço de referência igual a R$ 100,00:

I) Preço a vista: Pv ~ 100 (1 - X%)II) Preço a prazo:


50 50_ ) ------------------------------------------------------- 1— .

0 1 mês

Como o dinheiro vale, nesta última opção, 40% a. m., teremos o preço a vista na condição a prazo:

p = 50 + = 50 + 35 = R$ 85,00v 1 + 0,40

Portanto, igualando ambas as opções, virá:

100(1-X%) = 85

ou 1 -X% =* 0,85

ou ainda: X% = 1 - 0,85 = 0,15 = 15%

88) (CVM) Os capitais de R$ 12.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 16.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, durante nove, cinco e oito meses, respectivamente. A soma desses capitais, isto é, R$ 48.000,00, para produzir um juro simples igual à soma dos juros produzidos por aqueles capitais nos prazos respectivos, deveria ser aplicada durante quantos meses?

; a) 6 d) 9b) 7 e) 10 : ■ - ' ' --r

■ c) 8

Solução:

ou n =

CXXni + C2Xn2 + C3><I13c

12.000 x 9 4- 20.000 x 5 + 16.000 x 848.000

12 x9 + 20 x 5 + 16 x 848

= 7 meses

89) (B. BRASIL) Por qual valor foi liquidada uma duplicata de $ 122.000,00, quatro meses antes do vencimento, com desconto comercial de 4,5% a. m.?

a) $ 100.000,00 d) $ 100.960,00b) $ 100.040,00 e) $ 104.000,00c) $ 100.400,00


Solução:

N = R$ 122.000,00

n = 4 meses i* = 4,5% a. m.

A. = ?

■I

n - N x ** x n - 122.000 x 4,5 x 4 _ 01 OAn nn100 100 ’

Logo, Ac = N - Dc = 122.000 - 21.960 = R$ 100.040,00.

Observação: Resolução de forma mais rápida:

A. = N | 1 - -^ 4 ^ I = 122.000 11 4,5 X -100

R$ 100.040,00

, = 122.000 (1 - 0,18) =100 J- : ,, \iSim

90) (AFTN) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30,000,00 e R$ 50.000,00 fo- | ram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante quatro, | três e dois meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplica- ■ção desses capitais: fi

-» d) dois meses e vinte e um dias 1e) três meses e vinte dias i|

a) três meses e dez dias

b) dois meses de meioc) três meses

Solução:

n = C, x n, + c2 * a, + c3 * n3C

ou

- = 20.000 X 4 + 30.000 x 3 + 50.000 x 2n 100.000

‘ ' ' f . - . - . . -

_ 20 x 4 + 30 x 3 4- 50 x 2 =100

2 x4 + 3 x 3 + 5 x2

1

10= 2,7 meses = 2 meses e 0,7 x 30 = 21 dias 1

..... . . . .


91) (AN. ORÇ.) Uma empresa dispõe de uma duplicata de R$ 12.000,00, com vencimento em três meses. Ao procurar , um banco e propor um desconto de duplicata, é informada que a taxa de desconto simples por fora é de 10% a. m. e ainda há a cobrança de uma taxa fixa de R$ 20,00 (cobrada na data de desconto) a título de taxa de administração. Que taxa de juros simples mensal equivalente foi cobrada pelo banco, referente ao adiantamento dos recursos?

a) 14,10% c) 14,15%-*• b) 14,40% d) 14,60%

Solução:

N = R$ 12.000,00 n = 3 meses i* ~ 10% a. m.

: TA = R$ 20,00 (taxa de administração)

^ N x i* x n 12.000 x 10 x 3 0 AnP* ------ioo.. = ------- íõõ--------- R$ 3.600,00

VL = N -D e-TA = 12.000-3.600- 20 = R$ 8.380,00

Portanto, a taxa de juros simples equivalente que foi cobrada é de:

D„ + TA 3.600 + 20 Ann/ ^i - __ç----x 100 = ———————— x 100 — 14,40% a. m.VLxn 8.380 x 3

92) (FISCAL TRIB.) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de oito, cinco e nove meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário -para que a soma desses capitais produza juros,' à mesma taxa, iguais à soma dos juros dos capitais individuais nos seus respectivos prazos.

a) 6 meses d) 7 meses e dez diasb) 6 meses e meio e) 7 meses e dezoito dias

-* c) 7 meses .

Solução:

n = C i x n i + C 2 x ^ + C 3 x n 3 =

c

' = 8.000 x 8 + 10.000 X 5 + 6.000 x 9 8 x 8 + 1 0 x 5 + 6x9 = 7 meses24.000 24


93) (TTN) José descontou duas duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de 15% a. a. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de R$ 382,50, o título que produziu o maior desconto tinha valor nominal em R$ de:

■ a) 1.800,00 d) 1.850,00

b) 1.700,00 e) 1.750,00c) 1.900,00

Solução:

1,5X X0 160 270 (dias)

i* = 15% a. a.

nx = 270 dias ano

n2 = 160 dias = ano

Dci + = R$ 382,50

Portanto.

Nr x ii *100 100

1.5X x 15 x 1 6 ^ 60

100

.0//3

=*X (0,1125) + X(0,10)

ou. 382,50 = X (0,2125)

de onde, X « = R$ 1.800,000,2125

Por ser X = R$ 1.800,00, o título que produz o maior desconto (na = 270 dias), a resposta é a alternativa “a”.

94) (TRT) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. Qual a taxa única, a que a mesma poderia empregar todo o capital, a fim de obter o mesmo rendimento?

a) 10% d) 18,4%

b) 12,6% e) 19,8%

c) 16,8%

Solução:


,- = CaXni + C2Xn2 + C3Xn3 =C

- x 15% + i x 18% + — x 21% _ 3 5_ 15 = 5% + 3,6% + 9,8% = 18,4%

3 5«C ap ita i restante: 1 - j 1 + 1 } = i _ f = i _ _ L 15 8 7

15 15 15

95) (AFTN) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.

a) R$705,00 d) R$715,00

b) R$720,00 e) R$ 735,00

' ; c) R$ 725,00 .......... ' ' "

Solução:

C = R$ 10.000,00

i = i8o/0 a a = ao dia 365

.. n = 146 dias(ír)

J = ?

j = c x 1 x 11 = iQ-QQQ..* JjL* 146 = r$ 720,00100 365 x 100


(") Cálculo dò número de dias:

Abril: 12 a 30 = 18 dias

Maio: 01 a 31 = 31 dias

Junho: 01 a 30 = 30 dias

Julho: 01 a 31 = 31 dias

Agosto: 01 a 31 = 31 dias

Setembro: 01 a 05 = ' 05 dias

146 dias

96) (TTN) Um título de R$ 3.000,00 vencível daqui a 20 dias é descontado hoje, à taxa de desconto comercial de 4,5% ao mês. O valor descontado do título é de: I

a) R$2.950,00 c) R$2.850,00b) R$2.910,00 ; d) R$ 2.800,00

Solução:

C = R$ 3.000,00i = 4,5% a. m.n = 20 dias = mês

■- A, = ? ■■■ J

N x i x n 3.000x4,5x20D. = 100 100

N - D = 3.000 - 90 = R$ 2.910,00

^0 = R$ 90,00

Observação: Aplicação.direta da fórmula para o cálculo do valor atual comercial (AJ:

A = N 1 - i ^ =3.000L 100 J

= R$ 2.910,00

4 c x 2 0 / 4 , b x y 3Q

100= 3.000 (1 - 0,03) =

97) (CONTADOR) Duas letras foram descontadas a uma taxa simples de desconto de 10% ao mês. O valor nominal da primeira letra é R$ 10.000,00 maior que o valor nominal da segunda e foi descontada na modalidade de desconto comercial simples seis meses antes do vencimento; a segunda foi descontada na modalidade de desconto racional simples cinco meses antes do vencimento. Se o valor total do desconto sofrido


pelas duas letras é de R$ 34.000,00, os valores nominais das letras são, respectivamente,-» a) R$ 40.000,00 e R$ 30.000,00 d) R$ 44.000,00 e R$ 34.000,00

b) R$ 40.600,00 e R$ 30.600,00 e) R$ 48.000,00 eR$ 38.000,00c) R$ 42.000,00 e R$ 32.000,00

Solução:

T 10.000 + T

0 5 6 (meses)

i — l* = io% a. m.

D = N- ~* x n = a °-°Q.Q-± x 6 = (10.000 + T) x 0,60c 100 100

N x i x n/100 _ T x 5 x 10/100 _ T x 0,50

r ~ l \ i x n ~ 1 \ 5x10 ~ 1 + 0,50100 100

Se Dc + Dr = 34.000, virá:

(10.000 + T) x 0,60 + - x °150 = 34.0001,50

6.000 + 0,60 T + = 34.0001,50

Ou, 6.000 (1,50) + 0,60 x 1,5 T + T x 0,50 = 34.000 x 1,509.000 + 0,90 x T + T x 0,50 = 51.000 T (0,90 + 0,50) = 51.000 - 9.000T (1,40) = 42.000

De onde, T ~ 4^ ° ® R$ 30.000,00

e T + 10.000 = 30.000 + 10.000 = R$ 40.000,00

(TTN) O valor atual de uma duplicata é cinco vezes o valor de seu desconto comercial simples; Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% a. a., o vencimento do título expresso em dias é:-* a) 100 d) 140

b) 120. e) 150c) 130


Solução:

A = 5 xDC C

i* — 60% a. a, — 5% a. m. n = ?

N x i* x n 100 x D 100 x DD = — —-:— ou n = ---------£ =100 N x i* (De + Ac) x i*

100 x D 100 x D 100 x D(Dc + 5 x D ) x 5 Dc( l + 5 )x 5 Dc (6) x 5

, , 100 10 i de onde, n = ~ r~ = -r - smeses30 â

10ou n = —• x 30 — 100 dias3 i ..

99) (TTN) O valor atual racional de um título cujo valor de vencimento é de: $ 256.000,00, daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% ao mês, é:-* a) $ 200.000,00 c) $ 180.000,00

b) $ 220.000,00 d) $ 190.000,00

Solução:

N = R$ 256.000,00n = 7 meses -i - 4% a. m. - •' ••A = ?

N 256.000 256.000

H ixD 1 i 4x7 1 + 0^8100 100

= R$ 200.000,00

100) (POSTURAS) Um título de valor nominal de $ 500.000,00 (quinhentos mil reais) foi descontado 60 dias antes do seu vencimento, à taxa simples de desconto de 10% ao mês. O valor líquido do título é:-*• a) $400.000,00 d) $ 30.000,00

b) $ 50.000,00 e) $ 300.000,00c) $ 100.000,00


N = R$ 500.000,00

i* = 10% a. m.

n = 60 dias = 2 meses

Solução:

D N x i* x n 500.000 x 10 x 2 R$ 100.000,00100 100

Ac = N - Dc == 500.000 - 100.000 = R$ 400.000,00

Observação: Aplicando a fórmula direta para Ac, podemos também obter:

A = N f 1 - = 500.000 í l -1, 100 j 1/ 100

= 500.000 (1 - 0,20) = 500.000 (0,80) ® R$ 400.000,00

101) (FISCAL. TRANSE URBANOS) Um comerciante desconta, no banco, uma promissória para 80 dias, à taxa de 3% a. m. e mais 0,6% de IOF, recebendo líquido R$ 54.840,00. O valor da promissória era de:

a) R$60.000,00b) R$ 61.000,00

c) R$62.000,00

d) R$ 63.000,00

e) R$ 64.000,00

Solução:

n = 80 dias 8030

meses

i*'= 3% a. m. f = 0,6% (IOF)VL = R$ 54.840,00 N = ?

Aplicando a fórmula VL - N

VL

1 -í* x n

- V

virá N =

100

54.840r x n 100

- i 1 -3 x 80/

30100

0,006


R$ 60.000,00[1 - 0,008 - 0,006]

102) (BANESPA) O desconto que recebe uma duplicata de $ 300,00 paga dois meses antes do vencimento, à taxa de 12% ao ano, é de:

-► b) $ 6,00 e) $ 1,20c) $12,50

Solução:

N - R$ 300,00 !i* = 12% a. a. — 1% a. m.

n = 2 meses '

103) (B. BRASIL) José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:

a) $3,00 d) $2,40

-+ a) 9.709,65b) 9.719,65c) 9.729,65

d) 9.739,65e) 9.749,65

Solução:

Nx = R$ 5.000,00; N2 = R$ 5.000,00 i — 2% a. m.

na = 30 dias = 1 mês n, = 60 dias = 2 meses

A =l + ÜLB]

100

+i + - 2 x 11 + ---- r-

100

5.000

1 + ----100

5.000 5.000 5.000------ = --------+ ----:---, 2 x 2 1 + 0,02 1 + 0,04-r -------

= R$ 9.709,65

100

Observação: O problema acima está com interpretação dúbia, pois dá a entender que o regime a ser aplicado deveria ser o do “desconto comercial

Capitalização Simpies: Juros, Montantes e Descontos Simples 1 2 3

simples ou do regime de desconto por fora”, ao fomeeer uma “taxa de desconto” em lugãr de uma “taxa de juros simpies”.

104) (B. BRASIL) Qual o valor nominal de uma letra que, em três anos, a 5% a. a., sofre desconto de $ 1.350,00?

a) $ 9.000,00 c) $2.700,00b) $ 18.00000 d) $ 900,00

-■ Solução:

N = ? n = 3 anos i* = 5% a. a.

Dc = R$ 1.350,00

D = - ou N - « 100 * = R$ 9.000,00c 100 i * xn 5x3

105) (TTN) Um banco, ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% ao mês. Q banco cobra, simultaneamente, uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe $ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:

a) $ 12.000,00 d) $ 19.200>00

b) $14.600,00 -» e) $20.000,00

c) $ 16.000,00

Solução: 'v.:

o- i*= 12% a. m.

t = 4% (comissão) = 0,04

VL = R$ 300.000,00

n = 3 meses.

Comissão = tx N = ?

Da fórmula: VL = N

segue-se que:

1 2 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

N - ^ „-----300000___ _ -----300.000 _ R$ 500.000>00x n

1001 2 x 3 1 [1 - 0,36 - 0,04]100

Portanto, a comissão será de:

Comissão = t-x N = 4% x 500.000 = 0,04 x 500.000 = R$ 20.000,00

106) (BEMGE) Certo banco, para descontar notas promissórias, cobra uma taxa de juros simples de 15% ao mês sobre o seu valor nominal. Qual éo valor nominal de uma nota promissória, com vencimento em 60 dias, para que ao descontá-la hoje se receba líquido de R$ 280,00?a) R$350,00 ; d) R$400,00b) R$360,00 ' e) R$420,00c) R$380,00

Solução:

i* = 15% a. m. n = 60 dias = 2 meses Ac = R$280,00 N = ?

A. = N Í 1 - Í ^ Ü 100

N = -----^ ---- = 7 --- = ----^ 9 .— = = R$ 400,00' i * x n } 15x2^ (1 ~ 0,30) 0,7

100 ) \ 100

107) (EíSCAL TRIBO O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale:

a) R$ 100.000,00 d) R$ 40.000,00b) R$1.000,00 e) R$ 30.000,00

-+ c) R$ 10.000,00

Solução:

N = ?

n = 4,5 meses


i* = 6o/0 a a_ ~ 0,5% a. m.

D = R$ 225,00

Da fórmula: D = ------.* n>100

100 X D 100x 225 22.500vira: N ~ . c = = = R$ 10.000,00i* xn 0,5 x 4,5 2,25

108) (B. BRASIL) Um título de valor nominal de R$ 12.000,00 sofre um desconto, à taxa de 6% a. a., 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto?

-> a) R$240,00 d) R$853,00

b) R$260,00 e) R$864,00

c) R$300,00

Solução:

N = R$ 12.000,00 i* = 6% a. a. = 0,5% a. m.

n = 120 dias = 4 meses

Dc = ?

_ N x i * x n _ 12.000 x 0,5 x 4 _ p<r „ , n nní o o ----------lõõ - ~ - R$240>00

109) (AFFNT) Você possui uma duplicata cujo valor de face é de $ 150,00. Esta duplicata vence em três meses. O banco com o qual você normalmente opera além da taxa nominal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, receberá líquidos, hoje, $ 105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é:

a) 5,0% d) 4,8%

b) 5,2% e) 5,4%

c) 4,6%

1 2 6 Matemática Financeira para Concursos Púbiicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

N = R$ 150,00

n = 3 meses

VL = R$ 105,00 i* = ?t = 15% (taxa de retenção)

Partindo da fórmula: VL — N100

virá: VL = N - N- X - N x t

ou N - N x t - V L y - io'Õ~~

N x j* x n 100N (1 - t ) - VL

De onde: i* = I g O J í j l - 0 - N x n

Substituindo os valores fornecidos, virá:

i* = 100 [150 (1-0,15)-105] _ - 150x3

110) (TTN) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 6.000,00, recebendo o líquido de $ 5.160,00. Sabendo-se que o banco

... cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título e que o regime é de juros simples comerciais, sendo a taxa de juros de 96% a. a., o prazo

. de desconto da operação foi de: '

a) 30 dias d) 50 dias :b) 40 dias e) 60 dias

. ~+ c) 45 dias ; , ...

Solução:

N = R$ 6.000,00 VL == R$ 5.160,00 t = 2% (comissão)


i* = 96% a. a. ~ 8% a. m. n = ?

Da fórmula: VL = N - i* x n1 ----------- 1100

vira:

ou

VL = N ~ N iooXn~ N x t

N - N x t -VL =

N (1 - t ) ~ V L -

N x j* x n 100

N x j* x n 100

Ou ainda: 100 [N ( l - t ) - V L ] Nx i *

que, substituindo os valores fornecidos, tem-se:

100 [6.000 (1 - 0,02) - 5.160] = n 6.000x8

- 100 [6.00^(0^98) - 5.160] = ^ mês = ^ „ 3Q , 4g dias

111) (FISCAL. TRIB.) Qual o valor de um título nominal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de seis meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial?

a) R$19.200,00b) R$ 20,000,00c) R$ 20.400,00

Solução:

N = R$ 24.000,00 n = 6 meses = Vz ano i* = 40% â. a.A. — ? "

A = N 1 1 - í = 24.000 100

d) R$ 21.000,00e) R$21.600,00

40 x1 -

100= 24.000 (1 - 0,20) = R$ 19.200,00


112) (AN. ORÇ.) Uma companhia necessita captar R$ 10.000,00 para saldar um compromisso assumido. Para isso, procura um banco e oferece um título, cujo valor de emissão é de R$ 6.000,00, prazo de 24 meses e taxa de juros de 4% a. m. (Juros simples). Quanto restará para ser captado se a taxa de desconto (desconto simples por fora) praticada pelo banco é de 5% a. m. e faltam quatro meses para o vencimento do título?

a) R$590,12b) R$594,48

c) R$ 598,00d) R$592,00

Solução:

C = R$ 6.000,00

i = 4% a. m.

nx = 24 meses i* = 5% a. m.

n2 = 4 meses

C = 6.000 10.000 M0 .2 0 24 (meses)

Da fórmula de montante, tem-se:

M = C = 6.000 = 6.000 (1 + 0,96) = R$ 11.760,00

Descontando-se por quatro meses esse valor, virá:

Ac = 11.760 |l - - 11.760 (1 - 0,20) = R$ 9.408,00

Logo, restará a quantia a ser captada de: R$ 10.000,00 - R$ 9.408,00 = R$ 592,00

113) (BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 120 dias à taxa de 3% ao mês, é, emreais:

a) 320,00 d) 340,00

b) 120,00 e) 420,00

- c) 240,00


Solução:

Dc = ?

N = R$ 2.000,00

n = 120 dias = 4 mesesi * = 30/0 a> m ,

D = xü ~ 2.000 x 3 x 4 „ 240,00100 100

114) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a seis meses, se o seu valor nominal for de $ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:

a) $24.000,00 d) $ 18.880,00b) $25.000,00 e) $24.190,00

c) $27.500,00

Solução:

N = R$ 29.500,00 i = 36% a. a. = 3% a. m.

n = 6 meses A ~ ?

29.500 29.500 ^= R$ 25.000,00X) 3x6 1 + 0,18

100 100. 1 .. : - : :

115) (B. BRASIL) Um título de $ 8.000,00 sofreu um desconto racional de $ 2.000,00, oito meses antes do vencimento. Qual a taxa anual empregada?a) 28% -> d) 50%

b) 37,5% e) 52,5%c) 45% ' 1

Solução:

N = R$ 8.000,00

Dr = R$ 2.000,00

1 3 0 Matemática Financeira pa ia Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

n = 8 meses

i = ?

Sabendo que A = N - D, teremos:

A = 8.000 - 2.000 = 6.000

~ NDe A = -----:-----, vira:- i x n ..........1 + ——

100

8.000 8.0006.000 =

2 -{. 1 + 0,08i I® "

Ou 1 + 0,08i = = 1,333336.0Q0

0,08i = 1,33333 -1 = 0,33333

de onde: i = = 4,17% a. m. = 4,17% x 12 = 50% a. a.Ujüo

Observação: Outra forma de resolução quando se emprega a fórmula para0 desconto racional:

N x i x n/100 0 8.000 x i x 8/100Dr = ------- ------- ou 2.000 = -----------:— 5-----

- 1 x n 1x 81 + ----- 1 + ——100 100

- j 0 8 x O.O81ou ainda, 2 = .1 -f 0,08i

de onde, ..1 = => 1 + 0,081 = 0,321 : , ' "

0,32i -0 ,0 8 t= l ■=> i (0,32) - 0,08) = 1

1 (0,24) = 1 => - i = \ = 4,17% a. m.

Finalmente, i = 4,17% x 12 = 50% a. a.

116) (B. BRASIL) Sabendo-se que foi de $ 224 o desconto por dentro de um título a 160 dias do vencimento e a 7% a. a., pede-se o valor nominal.a) $ 7.200 c) $ 720b) $224 -> d) $ 7.424


I

Dr = R$ 224,00

n = 160 dias = 160/360 ano i = 7% a. a.

N = ?A x i x n

Solução:

Da fórmula: D

100 x D„A =

Como

ou

100

100 x 224í x n 7 x 160

calculamos: _

= R$ 7.200,00

360

Dr = N~A, N = A + Dr

N = 7.200 + 224 — R$ 7.424,00

Observação: Pela fórmula de D = ^ x |v 1 + i X n/l 00

N xteremos: 224 —

1 +

Nx 0,031111 1 + 0,031111

7 x 160/360100

7x160/360100

_ 224 (1,031111) 0,031111

= R$ 7.424,00

117) (B. BRASIL) Qual o valor nominal de uma nota promissória, a vencer ifè- v em 30 de maio, que descontada por fora no dia 3 de abril do mesmo

ano, à taxa de 6% a. m., produziu um desconto de $ 1.881?a) $ 15.600 d) $ 18.550

-> b) $16.500 . o e) $ 18.900c) $ 17.750 c_.:.

Solução:

N = ?n = 57 dias(n = 57/30 mês 'i* = 6% a. m.

D„ R$ 1.881,00 ;

^ Cálculo do número de dias:

abril = 27 dias

maio = 30 dias .v á

57 dias |

_ _ N x i* x n sDe: D = --------------- , i

100 |at 100 x D 100x1.881 nt . n£enr ínn 1

tem -se: N = ——------- --------------==— = R $ 1 6 .5 0 0 ,0 0 :■i * x n , 5 7 j

6 x — o3 0 j

118) (SENADO FEDERAL) No desconto simples bancário de quatro títulos à 1 mesma taxa de desconto, cada um no valor de R$ 2.000,00, com ven- | cimentos mensais e sucessivos, a partir de 30 dias, obteve-se um valor j líquido de R$ 7.000,00. Com relação à situação descrita, julgue os itens i que se seguem: assinalando C (certo) ou E (errado). ja) (Certo) A taxa de desconto sim ples do títu lo que vence em 1 2 0 dias i

corresponde à taxa de ju ro s sim ples de 6 ,2 5 % ao mês. ~â

b) (Certo) A taxa de desconto sim ples p ara cada títu lo é igual a 5% . ;>j

c) (Certo) O desconto obtido para o títu lo que vence em 9 0 dias é o trip lo ;do desconto obtido p ara títu lo que vence em 3 0 dias. i

d) (Certo) As taxas m ensais de ju ros sim ples dos valores atuais dos títu los ;isão d iferentes. \

e) (Errado) No desconto sim ples bancário, a taxa de desconto incide sobre ;o v a lo r a tua l ou líquido.

.......Solução:

A plicando a fó rm u la : VD = N


Onde: VD = valor descontado dos títulosN = valor nominal de cada título i* ~ taxa (unitária) de desconto comercial n = nfi de títulos

a) Analisando a relação entre a taxa de juros simples (i) com a taxa de desconto (i*), pela fórmula:

1 - i r & r a virf: j = i d Ü 7 4 - r r f r o = I M = °*0625 - 6-25% a-m-


b) Substituindo os valores fornecidos, tem-se:

7.000 = 2.000 4 - " p r ) 4

ou 7 = 2 [4 - 10 i*]

| - 4 -10 i*=>10 i* - 4 - |

ou 10i* ^ 4-3,5 = 0,5

de onde, j* = M = o,05 = 5% a. m.

„ N x i* x 3 _ 2.000 x 5 x 3 _ nd, nnn ™- ,; 0 Dcs - ' — iõo --------------------- Too ■ “ 30íi’u0

_ N x i* x 1 2.000 x 5 x l _ ní1ftnmDc i - _ 10Ó " ÍQÕ R$ 100,00

Portanto, Dc3 = 3x Dcl

d) Para cada valor de “n”, na fórmula explicitada do item (a) acima, acarretará um “i” diferente.

x i* x He) D = ----------- , no desconto simples bancário ou comercial, a taxa de

100 . . desconto incide sobre o valor nominal (N ).

119) (AFTN) Para refmanciar uma dívida de $ 1.500.000,00 em 36 dias,o devedor paga $ 148.000 e é emitido um novo título no valor de $ 1.400.000,00 para o prazo de 90 dias. A taxa de desconto comercial adotada na operação foi de:Observação: 1) Considere a data de referência o instante 0.

2) Taxa de juros simples.

a) 25% a. a. d) 30% a. a.b) 26% a. a. -> e) 24% a. a.

c) 20% a. a. ■vf; í'-

Solução:

148.000 N, = 1.500,000 N 2 = 1.400,00

0 36 90 (dias)


A equação de equivalência é:

v J v J

ou 148 = 1.500 (1 - 0,012 X i*) - 1.400 (1 - 0,03 x i*)

148 = 1.500 - 18 x4* -1.400 + 42 x i*148 = 100 + 24i*

de onde, 24i* = 148 - 100 = 48 48ou i* = — — 2% a. m. — ;24% a. a.24 í

120) (PGR) Um comerciante comprou certa quantia de bombons ao preço de $ 120,00 a caixa, para pagamento ao final de 18 meses. No entanto, resolveu pagá-los a vista, para aproveitar-se do desconto por fora de 8% a. a., que lhe fora concedido sobre àquele prazo. Calcular o número de caixas de bombons adquiridas,/sabendo-se que o desconto obtido foi no valor de $ 4.752,00.a) 230 , . d) 250 ;b) 280 e) 330c) 350

Solução:

Dc — R$ 4.752,00 i* == 8% a. a.

: n = 18 meses = 1,5 ano '1 caixa = R$ 120,00

De: D( , N x „ tem.se;

ou 475.200 = N x 12,

de onde, N = ^ R$ 39.600,00.

Deste modo, 39.600 — X x 120

v 39.600 00„ .ou X - — = 330 caixas

* . «3 0/___ A

10030

Capitalização Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 1 3 5 "

121) (TTN) A diferença entre o desconto simples comercial e o racional de uma duplicata é igual a $ 5.267,50. Sabendo-se que o desconto comerdal é igual a $ 24.080,00, o valor nominal do título à taxa de 84% a. a. é:a) $34.400,00 -* d) $86.000,00b) $18,812,50 e) $ 74.000,00c) $ 62.000,00

Solução: '

Dc- D f = R$5.267,50Dc = R$ 24.080,001 = 1* = 84% a. a> = 7% a. m.

N = ?

Se Dc~Dr = 5.267,50

e Dc = 24.080,

tem-se: 24.080 - Dr = 5.267,50

ou Dr = 24.080 - 5.267,50 = R$ 18.812,50

N x i* x n100

o = n/l 00 para i ^ I>r = — -1 + ÜL2 1 + Ü H

+ 100 100

\100 d”

De onde, substituindo os valores, teremos:

1 + 7 x n 24.080. _ 1 _ 100 18.812,50

ou 1 + 0,07n = 1,280,07n = 1,28 - 1 = 0,28

• j 0,28 .ou amda, n = ~ 4 meses

Portanto, sendo D = ^ conclui-se:c lüü ;


N = 100 x Dg = 100 x24;080 = R$ 86.000,00í x n 7x4

122) (B. BRASIL) Ao descontar-se um título por dentro e por fora, certificou-se que a diferença entre os descontos era de 350. A taxa é de 5% a. a. e o prazo de 24 meses. O valor nominal e os descontos são, respectivamente:

a) 3.500-3.850-38.500 c) 38.500-3.850-3.500-> b) 38.500-3.500-3.850 d) 3.850-38.500-3.500

Solução:

Dc - Dr = R$ 350,00 i* = i = 5% a. a. n = 24 meses = 2 anos N = ?D = ?

C

D -?

Sabendo-se que: DN x j* x n : 100

tem-se: D = D1 + i x n/100

ou

D

Dd!

N x j x n/100 1 -f i x n/100

s. = 1 4- i x n/100

e r

Substituindo-se “i” e “n” na expressão, virá: ^ = l + 5x 2/100

ou D_cD

= 1 + 0,10 DC = Dr (1,10)

Como D - D = 350 ou D = D + 350c r c r

temos, fazendo (1) = (2),Dr (1,10) = Dr + 350

ou Dr (1,10) - Dr = 350

(1)

(2)

350D (1,10 - 1) = 350 => Dr = = 3.500

Logo, Dc = Dr (1,10) = 3.500 (1,10) = R$ 3.850,00

a*. r» N x i* x n XT 100 x D 100x 3.850 00 Ane de D. = — — , tem-se: N = — ------s = -----f~ ív— — 38.500,00100 r x n 5 x 2


123) (AFTN) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.

c) R$ 800,00

Solução:

Dc - R$ 600,00 n ~ 4 meses i = i* = 5% a. m.

De onde, substituindo-se os valores, virá:

124) (CVM) Uma nota promissória no valor nominal de R$ 50.000,00 vence no dia 30 de abril. Uma negociação para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto comercied simples de 4,5% ao mês, implicaria num desembolso de:

c) R$47.000,00

a) R$ 500,00b) R$400,00

d) R$700,00e) R$ 600,00

D = ?

Sabendo-se que, Dr — N x i* x n/l 00, virá:

D Dc1 + í x n/100

600 600= R$ 500,00

1 + 5x4 1 + 0,20 100

a) R$44.000,00b) R$45.500,00

-*• d) R$48.500,00 e) R$50.000,00

Solução:


Nxi*xn 50.000 x 4,5 x 2Q/De D - teremos: Dc ------=----- ^ 1.500,00

100 100

De onde, A = N - D . nos fomece: Ar = 50.000 - 1.500 = R$ 48.500,003 c <y c

Observação: Poderíamos encontrar o valor desembolsado diretamente pela fórmula de:

A X T í * XA = N X 1100

onde, A = 50.0004,5x 20/q

10Ó= 50.000 (1 - 0,03) = R$ 48.500,00

125) (TCI) Uma promissória de R$ 240.000,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operação resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco é de:

a) 15,0 d) 8,5-> b) 10,0 e) 6,5

0 9,5

Solução:

N = R$ 240.000,00n = 60 dias = 2 meses

i = 1-2,5% a. m. . .-?/ v

Pela fórmula que explicita “i*” em função de “i”, tem-se:

i* = ___ . 12.5/100, _ = ,,0Jj,5... = 010 = 10% a. m.1 + i x n/100 1 + 12,5 x 2/100 1 + 0,25

126) (BACEN) O valor nominal de um compromisso é quanto ele vale na data do seu vencimento, enquanto o valor atual é o valor que ele tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Já o valor futuro corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estiver sendo considerado no momento.No regime de juros simples, considere que um investidor aplicou, hoje,certa quantia, para receber, ao final de dez meses, um título que valerá


R$ 36.000,00. Nessas condições, julgue os itens que se seguem, colocando C (certo) ouE (errado).

a) (E) Se o valor aplicado hoje for de R$ 30.000,00, então a taxa de juros simples utilizada na aplicação será superior a 3% a. m.;

b) (E) Se a taxa de aplicação for superior a 8% a. m., então a quantia aplicada será superior a R$ 20.000,00;

c) (C) Se, após cinco meses da data da aplicação, o investidor descontar o seu título à taxa de 16% a. m., então o desconto racional aplicado sobreo valor nominal do título será inferior a R$ 17.000,00;

d) (C) Se cinco meses antes do vencimento o investidor necessita resgatar o título, tendo a opção de escolha entre os descontos comercial e racional, ambos utilizando uma mesma taxa não nula, então a opção que lhe daráo maior retomo financeiro será a do desconto racional;

e) (E) No desconto bancário, a taxa de desconto utilizada é igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante, quando aplicada sobre o valor descontado.

Solução:

A N = 36.000------------------------------------------- 1---------0 10 meses

N = 36.000,00

n = 10 meses

Analisando cada item:

a) N = A ( l + ou 36.000 = 30.000 [ 1 + |l" 100 J ...... I 100 j

ou || = 1 + 0,10 x i

1,20 = 14- 0,10 x i ou = 0,1 Oi = 1,20 - 1 = 0,20

de onde i = = 2% a. m.

Portanto, item ERRADO.

b) N = 20.000 í l + -8 — ° j = 20.000 (1 + 0,80) = R$ 36.000,00


Desse modo, de acordo com os dados, o item está ERRADO, pois a taxa de 8% a. m. é a própria taxa da aplicação para que resulte o montante de R$ 36.000,00.

c\ D = N * 1 * n/10° = 36-000><16x5/ :L00 = 36.000x0,80 =r , , ix n , 1 5 x 5 1 + 0,80 ' ’ ■.

1 lõõ" T õ T

Como 16.000 < 17.000 => o item está CÒRRETO.

d) O item está CORRETO, pois sempre temos Dr < Dc, o que obriga a desigualdade: A > Ac

e) Item ERRADO, pois a relação existente é:{

i* — ___i---- oll seja j* < i paj-a n > 01 + ix n J rt . . ’

127) (TCI) Dois títulos com o mesmo valor nominal foram descontados cinco meses antes do vencimento, apljcando-se uma taxa simples de desconto de 2% ao mês. O primeiro foi descontado pela modalidade de desconto de racional simples, e o segundo pelo desconto comercial simples.Se o desconto sofrido totalizou R$ 23.100,00, o valor nominal de cada título é de:

a) R$ 111.000,00 d) R$ 117.000,00e) R$ 112.000,00 -» e) R$ 121.000,00c) R$114.000,00

Solução:

i * = i = 2% a. m. n = 5 meses N = ?

D = N * 1 * n/10° = N x 2 x 5/100 _ N x 0,101 + ÍÜE ~ 1 + 2 x 5/100 ~ 1 + 0,10

100

N x i* x n N x 2 x 5 D< = - l õ õ - = i õ õ - = N x °>10

Como D + D = 23.100. virá:

Capitaiizaçlo Simples: Juros, Montantes e Descontos Simples 1 4 1

- j ^ -10- + N x 0,10 = 23.100

ou 0,10 x N + 1,10 (0,10) xN = 23.100 (1,10) 0,10 x N + 0,11 x N = 25.410 N (0,10 + 0,11) = 25.410

ou H 25.410 (0,10 + 0,11) = R$ 121.000,00

128) (AFTN) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adotou uma taxa de 84% a. a. e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de $ 10.164. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o valor do desconto seria reduzido em $ 1.764. Nessas condições, o valor nominal da duplicata é de:a) $45.000 - d) $48.400b) $46.700 e) $ 50.000c) $ 47.300

Solução:

i* — í — 84% a. a. = 7% a. m.Dc = R$ 10.164,00 D = 10.164-1.764 = R$ 8.400,00 N — ?

Da fórmula D. = N x í x n/100 pode-se escrever Dr = DC

1 + i x n/100 1 + i x n/100

ou (1 + i x n/100)D

Substituindo os dados do problema, virá:

1 + 7 x n/100. = 10.164 _ 8.400

ou 1 4- 0,07 n = 1,210,07 n = 1,21 -1 = 0,21

= 3 meses


De: D = N x j* x n 100 3

virá: N 100 x Dc _ 100 x 10.164 R$48.400,00

129) (FISCAL TRANSE URBANOS) Duas letras com o mesmo prazo foram descontadas por fora, sendo a primeira a 5% a. a. e a segunda a 9% a. a. Se os descontos obtidos foram, respectivamente, de R$ 30,00 e R$ 24,00 e0 nominal da primeira é maior R$ 3.000,00 que o da segunda conclui-se que o valor nominal desta última é:

a) R$2.400,00 d) R$2.460,00b) R$2.420,00 e) R$2.480,00 ^

. c) R$ 2.440,00 .I.

Solução:

1 = 5% a. a. ;i = 9% a. a.

Dcl = R$30,00

0* = R$24,00 = 3.000 + N2

100 100

‘ = ^ 2 X 2Xn = ^2X ^ XI1 2 íõõ iõõ

= N 2 x 0,09 x n

Como Dcl = 30 = (3.000 4- N2) x 0,05 x n Dca “ 24 = N2 x 0,09 x n

(1)(2)

Temos, dividindo (1) por (2):

30 ^ (3.000 + N2) x 0,05 x n24 N2 x 0,09 xn

ou 1,25 = (3.000 + N2) x 0,05 N2 x 0,09" .

ou ainda: 1,25 x N2 x 0,09 = 3.000 x 0,05 + 0,05 N20,1125 x N2 = 150 + 0,05 N2 (0,1125-0,05) x N2 = 150

M = — ,2 0,0625

150 = R$ 2.400,00ou


130) (CONTM)OR - SMA) Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada pela modalidade de desconto comercial simples 120 dias antes do vencimento. Sabendo-se que o valor líquido liberado pelo banco foi de R$ 18.000,00 e que o banco cobrou uma comissão de 2% sobre o valor nominal da duplicata, a taxa mensal de desconto é a taxa linear efetiva da operação são respectivamente:

a) 2,0% ao mês e 2,18% ao mês

—» b) 2,0% ao mês e 2,78% ao mês

c) 2,5% ao mês e 2,0% ao mês

d) 2,5% ao mês e 2,48% ao mês

e) 2,4% ao mês e 1,98% ao mês

Solução:

Denominando de N - valor nominal e de VL = valor líquido, temos:

VL — R$ 18.000,00

n = r$ 20.000,00 ; T i

100

n = 120 dias = 4 meses t = 2% (comissão) = 0,02

i* ” ? i = ?

E, substituindo os valores fornecidos, virá:

i* x 418.000 = 20.000

18

100- 0,02

= 1 - 0,04 x i* - 0,02

0,9 = 0,98 - 0,04 x i*

de onde,

ou

0,04 x i* = 0,98 ~ 0,9

0,04 xi* = 0,08

í* = = 2% a. m.0,04


Por outro lado, para N = VL

virá: 20.000 = 18.000 1 + => — = 1 + 0,04 x i18

1,111 = 1 + 0,04i

ou 0,04i = 1,111-1

0 1 1 1i = hM-Li = 2,78% a. m. 0,04

Portanto, i* = 2% a. m. ttaxa mensal de desconto)i = 2,78% a. m. (taxa linear efetiva)

131) (ESAF) João aplicou uma determinada quantia a uma taxa de 144% a. a., sob regime de juros simples comerciais, durante 90 dias. Terminado o prazo, retirou 40% do montante e reaplicou o restante a juros compostos a uma nova taxa de 10% ao mês durante 135 dias, recebendo no final da nova aplicação a importância de R$ 642.460,00. Sabendo-se que para o cálculo do montante utilizou-se a convenção linear, o valor do capital inicial da primeira aplicação foi de, aproximadamente:

c) R$512.150,00

Solução:

C = ?

ij = 144% a. a. = 12% a. m. nj = 90 dias = 3 meses i2 = 10% a. m.

15n, = 135 dias = 4 meses -f — mês * ou

C2 = 60% x = 0,6 x M,M2 = R$ 642.460,00

a) R$503.200,00b) R$510.750,00

d) R$520.840,00e) R$540.000,00

M = C x 1 + i, x n,100

= C í l + = C (1 + 0,36) - C (1,36)100

m 2 =

Como

ou

:2(1 + i2T 2 X Jl + i2 X = 0,6 X C (1,36) X (1,10)4 x + 0,10 X I =

= 1,254441 X c

M2 = 642.460,00, resulta: 1,254441 xC = 642.460,00

C = = R$ 512.148,44 s R$ 512.150,00.1,254441


A nr

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos

01) (BANESPA) Qual o montante de $ 50.000,00 aplicados à taxa de juroscompostos a 3% a. m. por dois meses?

c) $60.000,00

Solução:

C = R$ 50.000,00 i — 3% a. m. n = 2 meses

Da fórmula de montante, M = C (1 + i)n, teremos M = 50.000 x (1 + 0,03)2 = 50.000 x (1,03)2Podemos calcular o fator (1,03)2 através de duas vias:(*}

a) $53.045,00b) $57.045,00

d) $64.750,00e) $ 71.000,00

• O matemático, em que: (1,03)2 = 1,03 x 1,03 = 1,0609• Tabela financeira: (1 + i)n = rn, para a taxa de 3% e n = 2 períodos,

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos 1 4 7

i = 3%

Em ambas as situações, resultará: M — 50.000 x 1,0609 — R$ 53.045,00.

^ Uma terceira via de determinação do fator seria a calculadora financeira (ou científica), dispensada neste livro por não ser permitido o seu uso em concursos públicos.

02) (CONTADOR) O valor do resgate, no fim de dois meses, de uma aplicação inicial de $ 20.000,00 à taxa composta de 10% a. m. é:

a) $ 20.200,00 d) $ 26.200,00

b) $22.200,00 e) $28.200,00

c) $24.200,00

Solução:

C - R$ 20.000,00 i = 10% a. m.

n = 2 meses

M = C x (1 + i)a = 20.000 x (1 + 0,10)2 = 20.000 (1,10)2 =

= 20.000 x 1,10 x 1,10 = 20.000 x 1,21 = R$ 24.200,00

• Tabela financeira: (1 + i)n = rR = 1,21, para a taxa 1 =. 10% e n =2 períodos.

03) (UFMG) A quantia de R$ 15.000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago para a quitação da dívida, três meses depois, é:

a) R$24.000,00 d) R$42.000,00

b) R$25.920,00 e) R$48.000,00

c) R$40.920,00


Solução:

C = R$ 15.000,00 i = 20% a. m. n = 3 mesesM = C x (1 + i)tt = 15.000 x (1 + 0,20)3 = 15.000 (1,20)3 =

= 15.000 x 1,728 = R$ 25.920,00

• Tabela financeira: (1 + i)n = rn = 1,728, para a taxa i ~ 20% e n = 3 períodos.

04) (BANERJ) O montante produzido por $ 10.000,00 aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante três meses, é igual a:a) $ 10.325,01 d) $10.303,01b) $ 10.321,05 t e) $10.300,00c) $10.305,21 i r -

Solução:

C = R$ 10.000,00 i = 1% a. m. n = 3 mesesM = C x (1 + i)n = 10.000 x (1,01)3 = 10.000 x 1,030301 = R$ 10.303,01

• Tabela financeira: (1 + i)ft = rn = 1,030301, para a taxa i = 1% en = 3 ; períodos.

05) (TALCRIM) Se uma pessoa aplicou $ 50.000,00 a juros compostos, à taxa de 10% ao mês, durante três meses, a quantia de juros recebida importou em:

a) $10.500,00 d) $55.000,00b) $ 15.000,00 e) $ 66.550,00c) $ 16.500,00

Solução:

C = R$ 50.000,00 i = 10% a. m. n = 3 meses

J = C [(1 + i)n - 1] - 50.000 [(1,10)3 - 1] = 50.000 [1,33 ~ 1] = = 50.000 (0,33) = R$ 16.500,00

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos 149

06) (B. BRASIL) Se aplicarmos $ 25.000,00 a juros compostos, rendendo 7% a cada bimestre, quanto teremos após três anos?

c) $ 25.000,00 x (0,93)3

Solução:

C = R$ 25.000,00 i = 7% a.b.n = 3 anos = 18 bimestres M = C x (1 + i)n = 25.000 x (1,07)18

07) (METRÔ) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a. m. Que montante este capital irá gerar após três meses?a) R$26.420,00 -> c) 26.620,00b) R$26.520,00 d) 26.720,00

Solução:

C = R$ 20.000,00 i = 10% a. m. n = 3 mesesM = C x (1 + i)B = 20.000 x (1,10)3 = 20.000 x 1,331 = R$ 26.620,00

* Tabela financeira: (1 + i)n = rn = 1,331, para a taxa i = 10% e n =3 períodos,

08) (BACEN) Um capital de R$ 4.000,00 aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de:a) 6.000,00 d) 4.244,83b) 4.240,00 e) 6.240,00c) 5.500,00

Solução:

C = R$ 4.000,00 i ~ 2% a. m. n = 3 meses

a) $ 25.000,00 x (1,70)6 -> b) $ 25.000,00 x (1,07)18

d) $ 25.000,00 x (l,70)3e) $ 25.000,00 x (0,07)18


... M = C x (1 + i)n = 4.000 x (1,02)3 = 4.000 x 1,061208 = R$ 4.244,83 ')

• Tabela financeira: (1 + i)n = r” = 1,061208, para a taxa 1 = 2% en = 3 períodos.

09) (ICMS) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente, valem:

a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45

b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00c) R$ 2.185,45 e R$ 2.480,00d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00e) R$ 6.180,00 e R$ 4.394,00

Solução: !

C = R$ 2.000,00.i = 3% a. m. n = 3 meses

M = C í 1 + = 2.000Í 1 + | = 2.000 (1 + 0,09) = R$ 2.180,00:1 ( 100 ) l 100 J

M2 = C x (1 + i)n = 2,000 X (1,03)3 = 2.000 x 1,092727 = R$ 2.185,45 ;

* Tabela financeira, (1 + i)n = rQ = 1,092727, para a taxa i = 3% e n —3 períodos.

10) (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 5-6-97 e R$ 3.000,00 em 5-9-97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10 % ao trimestre, em 5-12-97 essa pessoa tinha um total de:a) R$ 5.320,00 d) R$ 5.680,00b) R$5.480,00 e) R$5.720,00

c) R$5.620,00

Solução:

Cj = R$ 2.000,00; = 183 dias(,) = 2 trimestres; i5 = 10%'a.t.C2 = R$ 3.000,00; n, - 91 dias('*} = 1 trimestre; i2 = 10% a.t.


w n2 de dias: junho: 25 diasjui. + ago. + set. + out. + nov. = 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 153 diasdezembro: 5 diasTotal =* 183 dias s 2 trimestres(“} ns de dias:setembro: 25 diasout. + nov.: 31 + 30 = 61 dias

dezembro: 5 dias

Total = 91 dias s 1. trimestre

Logo,

Mj = Cx (1 + h f 1 = 2.000 x (1,10)2 = 2.000 x 1,21 = R$ 2.420,00 M2 = C2 (1 + i2? * = 3.000 x (I.IO )1 = 3.000 x 1,10 = R$ 3.300,00

Deste modo,

Mj + M2 = R$ 2.420,00 + R$ 3.300,00 = R$ 5.720,00

11) (TCE) O valor do resgate no fim de dois meses de uma aplicação inicial de $ 10.000,00 a uma taxa composta de 40% ao mês é:

Solução:

C = R$ 10.000,00i = 40% a. m. n = 2 meses

M = C x (1 + í)« = 10.000 x (1,4Ó)2 = 10.000 x 1,40 x 1,40 == 10.000 X 1,96 = R$ 19.600,00

• Tabela financeira: (1 + i)n = rn =?-. 1,96, para a taxa i = 40% e n =2 períodos.

12) (CEF) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2% num regime de capitalização composta. Após um período de dois meses, os juros resultantes dessa aplicação serão:

a) R$98,00 d) R$ 114,00

-> b) R$ 101,00 e) R$ 121,00c) R$ 110,00 . í

a) $ 18.000,00

-> b ) $ 19.600,00

c) $22.200,00

d) $27.440,00


Solução:

C = R$ 2.500,00

i = 2% a. m.

n = 2 meses

J = C [Cl + 0a - 1] = 2.500 1(1,02)2 -1 ] = 2.500 [1,0404 - 1] == 2.500 (0,0404) * R$ 101,00

• Tabela financeira: (1 + i)n = rn = 1,0404, para a taxa i = 2% e n =2 períodos.

13) (B. BRASIL) Numa financeira! os juros são capitalizados trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$ 145.000,00 em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?

a) R$557.032,00 d) R$ 377.000,00

b) R$542.880,00 e) R$397.888,00

-* c) R$412.032,00 ;.

Solução:

C = R$ 145.000,00

i = 40% a.t.

n = 1 ano = 4 trimestres

J = C [(1 + i)n - 1] = 145.000 [(1,40)4 -1 ] = 145.000 [3,8416 - 1] == 145.000 (2,8416) = R$ 412.032,00

• Tabela financeira: (1 + i)a = rn = 3,8416, para a taxa i = 40% e n =4 períodos.

14) (ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:

a) de $ 3.000,00

b) de $ 13.000,00

c) inferior a $ 13.000,00

-> d) superior a $ 13.000,00e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos 1 S 3

Solução:

C = R$ 10.000,00 i = 10% a. m. n — 3 meses

M = C x (1 + i)n = 10.000 x (1,10)3 = 10.000 x 1,331 = R$ 13.310,00

• Tabela financeira, (1 + i)n = rR = 1,331, para a taxa i = 10% e n -3 períodos.

(CEB-CONTADOR) A aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de juros compostos de 20% a. m. irá gerar, após quatro meses, o montante de:

a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00-> b) R$10.368,00 d) R$10.388,00

Solução:

C = 5.000,00; i =20% a. m.; n = 4 meses

M = C x (1 + i)* = 5.000 x (1,20)4 = 5.000 x 2,0736 = R$ 10.368,00

* Tabela financeira: (1 + i)n = rn = 2,0736, para a. taxa i ~ 20% e n =4 períodos.

(METRÔ) Um capital de US$ 2,000.00 aplicado à taxa racional composta de 5% a. m., em um ano produz um montante de quaiitos dólares?Dado: (1,05)12 = 1,79586a) US$ 3,291.72 ' c) US$3,491.72b) US$ 3,391.72 ^ d) US$ 3,591.72 ' "

Solução: ,

C = US$ 2,000.00 'i - 5% a. m. : 'n = 1 ano = 12 meses M = C x (1 + i)n = 2,000 x (1,05)12


Tabela Financeira i = 5%

Logo, M = 2,000 x 1,7958563 == US$ 3,591.72■ . | . . -

17) (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante três % anos, na base de 10% ao ano, seu montante fínal é:

a) 30% superior ao capital Inicialb) 130% do valor do capital inicial . Âc) aproximadamente 150% do capital iniciald) aproximadamente 133% do cápital inicial

Solução:

C - R$ 100,00 (capital de referência) i ss 10% a. a. n - 3 an oM = C x (1 4- i)n = 100 x (1,10)3 = 100 x 1,331 - R$ 133,10 ou M = 113% x 100

• Tabela financeira, (1 4* i)B = rn ~ 1,331, para a taxa i = 10% e n - A3 períodos.

18) (APC) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada | dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em:

a) 5 meses e meio d) 5 meses-+ b) 6 meses . e) 3 meses

c) 3 meses e meio

Solução:

M - 2C n — 2 meses

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Composto? 1 5 5

Aplicando a fórmula: M = C x ( l + i)n, virá:

2C = C x (1 + i)2 ou i = V2 - 1

Quando tivermos: J = 700% C = 7 x C, virá:

J = C [Q + i)n - 1] ou 7C = C [(1 + V2 - l ) n - 1

ou 7 ~ [ (Vã)-

ou ainda, 8 = ( 2 *

23 =: 2^

de onde, n _ 2 ~ 3=>. 6 meses

19) (ESAF) Qual o montante, no regime de juros compostos, ao fim de cinco anos, de um Investimento de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% por semestre?a) 2.329,40 -* d) 2:593,74b) 2.329,70 e) 1.410,50c) 1.710,60

Solução:

C = R$ 1.000,00 i - 10% a. s.

n = 5 anos = 10 semestres

M ~ C x (1 + i)n « 1.000 x (1,1o)10 = 1.000 x 2,5937425 = R$: 2.593,74 '

: * Tabela financeira: (1 + i)n = r'1 = 2,5937425, para a taxa i - 10 % e: n = 10 períodos.

20) (FISCAL DE RENDAS) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento para hoje, quando úma quantia de R$ 200,00 fará com que, no final do segundo ano, o valor do montante seja de R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de rentabilidade anual desse investimento é de:

a) 5% d) 12,5%b) 7,5% e) 15%

--*• c) 10%

I

Solução:

C = R$ 200,00 íM = R$ 242,00 n = 2 anos

i = ?

De M = C x (1 + i)“ => 242 = 200 x (1 + i)2

ou (1 + i)2 = H = 1,21

de onde, i = ^ 2 1 -1 = 1,10 -1 = 0,10 1

ou, finalmente, i = 10% a. a. ^

21) (TCDF) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a. a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de:a) R$ 171,43 ^ d) R$200,00 'b) R$ 172,86 ' e) R$220,00c) R$190,00

Solução: 2

M = R$242,00i = 40% a. a. com capitalização trimestral = 40%/4 = 10% a, t.

n = 6 meses — 2 trimestres

, = C. x Cl * o» - c = ç f - . ™ = r$ 200,00 ; ;

22) (AFC) Um título de valor inicial R$ 1.000,00, vencível em um ano com ;capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá serresgatado um mês antes do eu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês?

a) R$313,84 , d) R$ 259,37b) R$285,31 e) R$251,81c) R$281,26

Solução:


C = R$ 1.000,00 i = 10% a. m.


n — 12 meses

^ — 10% a. m.— 1 mês

M = C x (1 + i)n = 1.000 x (1,10)12 = 1.000 x 3,138428 = R$ 3.138,43

Dc = ?--„h x-n.i ^ M -3.M 3 x _10 x 1 = r $ 313,84 c 100 100

• Tabela financeira, (1 + i)n = r“ = 3,138428, para a taxa i = 10% en = 12 períodos.

23) (POSTURAS) Para juros compostos considere a fórmula do montante.O fator pelo qual devemos multiplicar a aplicação para se conhecer o resgate de um título possui, respectivamente, a seguinte expressão e denominação:

a) (1 -f-i)-a e fator de valor futurob) (1 + i)“n e fator de atualização

-> c) (1 + i)n é fator de capitalizaçãoc;r d) (1 4- i)~n e fator de valor atual

e) (1 + i)n e fator de valor presente

Solução: (1 + i)n = fator de capitalização

24) (FISCAL-TRIB.) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).

a) R$625,00 - d) R$ 650,00b) R$630,00 e) R$676,00c) R$636,00

Solução:

M = R$ 1.000,00i = 4% a. m. n — 12 meses M = C x (1 + i)n =>

c = ÕTi^ = ( S = I O T = 1 -000 x (0 ’624597 ) s ^ 625’°°


• Tabela financeira, (1 -f i)n = rn = 1,601032, para a taxa i - 4% e n - 12 períodos.

• Tabela financeira para 4% para o fator (1 + i)_ n = vn = (1,04)~ 12 ~ 0,624597.

• Tabela financeira: (1 + i)~n = vR, para a taxa de 4% en = 12 meses,

Taxa de 4% ...............

n (1 4- i)"n = V*

1 0,9615382 0,924556

3 i0,888996

12. 0,624597

25) (BACEN) Tomar um empréstimo por dois meses, assinando uma promissória com vencimento em dois meses e sendo feito o desconto da mesma por um banco à taxa de desconto bancário (desconto simples por fora) de 10% ao mês, eqüivale a pagar juros compostos de taxa bimestral de:

a) 20%

b) 22% c) 25%

d) 28% e) 30%

Solução: '

N = valor referencial do empréstimo = R$ 100,00 i* = 10% a. m.

n - 2 mesesib = taxa bimestral de juros compostos = ?

A = N í 1 - = lO õ f 1 - 10 X~ ) = R$ 80,00c l 100 J l 100 J

Se N = Ac x (1 + g 1, tem-se: 100= 80 x (1 + y 1

ou l + i b = ^ = l , 2 5 => ib = 1,25 - 1 = 0,25

ou ainda, L = 25% a. b.


26) (BANERJ) O capital de $ 10.000,00 colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante oito meses, elevou-se no final desse prazo a $ 14.800,00. Com o auxílio de uma calculadora eletrônica, verifica-se que (1,48)1/8 = 1,050226.A taxa de juros a que foi empregado esse capital vale, aproximadamente: -> a) 5,02% d) 1,48%

b) 4,80% • e) 1,05%c) 2,26%

Solução:

Como (l,48)1/s =» 1,050226 => taxa mensal, aproximadamente, de (1,050226 - 1) x 100 = 5,02% ; ;

27) (ESAF) J. Veríssimo aplicou seu capital durante três anos, à taxa de 12% a. a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria reçebido $ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros?a) $35.033,00 d) $ 45.000,00b) $21.100,00 e) $ 16.200,00c) $ 58.613,00

Substituindo os valores fornecidos:

Solução:

C = ?ij = 12% a. a. n, = 3 anos

= 6% a. s.; n2 = 6 semestres

M2 - Mj + R$ 2.633,36

M = C 1 +i, x n100

= C (1 + 0,36)


M2 = C (1 + i 2) n* = C (1 + 0,06)6 = C (1,418519)

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,418519, para a taxa i - 6% e n = 6 períodos.

Substituindo Mj e M2 na equação (1), virá:

C (1,418519) =? C (1,36) + 2.633,36 ou C (1,418519) - C (1,36) = 2.633,36 C (1,418519 - 1,36) « 2.633,36 C (0,058519) = 2.633,36

ieondE-c = S =s,4Í“ '“Logo, M 1 = 45.000 x (1,36) f R$ 61.200,00

e J = Mx - C = 61.200 ~ 45.000 = R$ 16.200,00

28) (POSTURAS) O montante de uma capitalização composta será maior que o de uma capitalização simples quando o período de tempo for:

a) menor que um d) igual a um-> b) maior que um e) igual a zero

c) menor que zero

Solução:

Resposta: Quando o tempo for maior que 1.

29) (TFC) Uma certa quantia, ao cabo de sete meses, rendeu 40,71% de juros, no regime de juros compostos. Se essa mesma quantia ficasse aplicada durante um ano, à mesma taxa e mesmo regime, quanto por cento renderia?a) 65,6% - d) 79,59%b) 67,8% e) 83,42%c) 71,18%


Solução:

Taxa mensal = im = (1,4071)1/7 - 1 — 1,05 - 1 = 0,05 = 5% a. m.Taxa anual = ia = (1 + im) 12 - 1 = (1,05)12 1 =

= 1,7959 - 1 « 0,7959 = 79,59% a. a.

30) (AFTN) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante seráo capital inicial aplicado mais:

a) 20,324% d) 18,174%-*• b) 19,6147% e) 18%

c) 19,196%

Solução:

Taxa acumulada = i = [(l,01)ia - 1] x 100 =

= [1,196147- 1] x 100 = (0,196147) x 100 = 19,6147%

* Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,196147, para a taxa i = 1% en = 18 períodos.

31) (TCF) Uma pessoa aplicou seu capital durante quatro meses a taxas variáveis a cada mês. No fim do período, verificou que recebera R$ 46,41 por cada R$ 100,00 que aplicou. Para obter o mesmo juro, em igual período, qual deve ser a taxa fixa (constante) mensal a que outra pessoa deve aplicar um capital igual ao primeiro, no regime de juros com postos?

— a) 7% a. m. d) 12% a. m.b) 8% a. m. e) 15% a m.c) 10% a. m.

Solução:

Taxa mensal equivalente (im) à taxa durante os quatro meses de aplicação de 46,41%:

im = (1,4641)1/4 - 1 = 1,10 - 1 = 0,10 = 10% a. m.

32) (CONTADOR) O tempo necessário para que R$ 2.200,00 empregados à taxa de 20% ao mês, com juros capitalizados mensalmente, quadruplique seu valor, está compreendido entre:


Dados: -< -

Log 2 = 0,30

Log 3 = 0,477

-» a) 7 e 8 meses c) 9 e 10 meses

b) 8 e 9 meses d) 10 e 11 meses

Solução:

C = R$ 2.200,00M = 4xR$ 2.200,00 = R$ 8.80,0,00i = 20% a. m. ^

n — ?

M = C (1 + i)n ou 8.800 ^ 2.200 x (1,20)"

f § § = ( l , 2 0 ) ° => 4 = (1,20)»

o2 . f l2 0 You amda, 2 = ----U o o j

de onde, 22 = { 23 x 3 x 5 v 100

2 log 2 = n (3 log 2 + log 3 + log ~

2 log 2 = n (3 log 2 + log 3 + log 10 - log 2 - log 100)

Substituindo os valores fornecidos para log 2 e log 3, virá:

n = __________2 CQ»3)__________ = — 7 79 meses3 (0,3) + 0,477 + 1 - 0,3 - 2 0,07 ’

Portanto, entre 7 é 8 meses

33) (TFC) Uma pessoa tem um compromisso no valor $ 900.000,00 a sersaldado dentro de seis meses. A maior taxa de juros mensais por remuneração de aplicação de capital que conseguiu foi de 7% ao mês. Para garantir o pagamento do compromisso na data marcada, qual a quantia mínima que deverá aplicar hoje (juros compostos)?


. a) $ 450.000,00 -► d) $ 600.000,00 : : ^b) $500.000,00 e) $650.000,00 ' ' •c) $550.000,00

Solução:

M = R$ 900.000,00i = 7% a. m. n = 6 meses

De M = C (1 + ü" => C = = R* 600.000,00

• Tabela financeira, (1 + i)n = rB = 1,50, para a taxa i = 7% e n = 6 períodos. ■ '

34) (TCDF) Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de '21 20% a* a., capitalizada trimestralmente. Para que tal quantia seja du

plicada, deve-se esperar:

Or>a) r — trimestres d) . • trimestres

log 1,05 log 1,2 . :

b) trimestres e) - ^ “ trimestreslog 1,05 log 1,2 ......

c) -1^™ trimestres log 1,2

Solução:

35) (FISCAL TRIB.) Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%, a juros compostos, em porcentagem e com aproximação de uma casa decimal.

1 6 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos » Ferreira e Ferreira

a) 60,0%b) 69,0%c) 72,8%

Solução:

i = 5% a. m.ram = 12 meses

i = ?

d) 74,9%e) 79,6%

K “ K 1 + U m - ^ x 100 = CC} + 0,05)12- 1] X 100 == [1,796 - 1] X 100 = (0,796) x 100 = 79,6% a. a.

• Tabela, financeira, (1 4- i)tt = .rn = 1,796, para a taxa i períodos. /

5% en = 12Í

36) (TCU) A empresa X paga, a cada um de seus funcionários, salário de $ 10.000,00 com reajuste mensal de 10%. A empresa Y paga salário de $ 14.400,00, com reajuste semestral de 60%. Indique o número de semestres após os quais o salário na empresa Y começará a ser menor/ que na empresa X.Utilize as aproximações: log 1,44 = 0,16; log 1,1 — 0,04; log 1,6 = 0,2

a) 6 d) 3b) 5 e) essa possibilidade jamais ocorrerá

-» c) 4

Solução:

C, = R$ 10.000,00 ij ~ 10% a. m.

C2 = R$ 14.400,00 i2 = 60% a. s. n = ? semestres

M 1 = C, (1 4- i j * » > M2 = C2 (1 4- i2y

ou 10.000 (l,10)6n > 14.400 (l,60)n


(l,10)6tt ^ 14.400 . , (l,10)6n . - „ .(l,60)n 10.000 °U ’ (l,60)n ’

6n log 1,10 - n log 1,60 > log 1,44 j

n (6 log 1,10 - log 1,60) > log 1,44

de onde n > ______ IS S it í______’ (6 log 1,10 — l0g 1,60)

Substituindo os valores dos logaritmos fornecidos:

n > 046 _ 046 , ,6 (0,04) -0,2 0,04

Portanto, n > 4 semestres.

37) (FISCAL TRIB.) Qual a taxa efetiva, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal?a) 36,0% ao ano d) 41,9% ao anob) 39,2% ao ano -+ e) 42,6% ao anoc) 41,2% ao ano

Solução:

*. = ?36%j = 36% a. a. com capitalização mensal — a. a. = 3% a. m. = im

K = K l + U 12- 1 x 100 = E(l,03)12- 1] xioo = [1,426- 1J x 100 == (0,426) x 100 = 42,6% a. a: ■■■- —

* Tabela financeira, (1 + i)n ~ rn = 1,426, para a taxa j — 3% e n = 12períodos. ;

38) (AFTN) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral.

a) 8,20% • d) 8,10%b) 8,05% e) 8,00%

-> c) 8,16% ; :v ^ V

Solução:

j = 8% a. a. com capitalização semestral = ^ = 4% a. s.


m — 2

\ = t ( l + is)2- l ] x 100 = [(1,04)2 -13 x 100 « (1,0816-1) x 100 =- 8,16% a. a.

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,0816, para a taxa i = 4% e n =2 períodos.

39) (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:

a) 8% d) 1,0816%-> b) 8,16% j e) 16%

c) 1,08%

Solução:

i ~ 4% a. m.rn

m = 2

K = ? .i* = [(1 + im)2 - 1] x 100 = [(1,04)2 - 1] x 100 = [1,0816 - 1] x 100 =

= (0,0816) x 100 = 8,16% a. b.

* Tabela financeira, (1 + i)n = rn 1,0816, para a taxa i = 4% e n = 2 períodos.

40) (BANERJ) Um capital foi colocado a juros compostos a uma taxa semestral de 5%. A taxa anual equivalente a essa taxa semestral corresponde a:

a) 10,75% d) 10,05%b) 10,25% e) 10%c) 10,15%

Solução:

i = 5% a. s.S

m = 2

ia = ?ia - [d + y 2- l ] . x 100 = [(1,05)2-13 x 100 = (1,1025-1) x 100 =

= 10,25% a. a.


41)

42)

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,1025, para a taxa i — :5% e n =2 períodos. • •

(B. BRASIL) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 25% ao ano?

a) 11,40% d) 11,70%

b) 11,50% -+ e) 11,80%

c) 11,60%

Solução:

i =25% a. a. dm = xh

is - [(1 + g * - 1] X 100 = [(1,25)1/4 - 1] = (1 ,1180-1) X 100 = 11,80% a. s.

(AFTN) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:

-+ d) 72,8%a) 60,0%

b) 66,6%

c) 68,9%

Solução:

e) 84,4%

40%j = 40% a. b. com capitalização mensal = = 20% a. m. = in

m = 3 ••

\ = [d + iJ 3 - 1] x 100 = [(1,20)3 - 1] x 100 = (1,7280 - 1) x 100 == 72,80% a. t.

• Tabela financeira, (1 + i)n — rR = 1,7280, para a taxa i = 20% en = 3 períodos.

f - 43) (BACEN) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

a) 20% d) 23%

-*• b) 21% e) 24%

c) 22%


Solução:30%J ~ 30% a. t. com capitalização mensal = = 10% a. m. = im

m = 2

ib = [ ( 1 + i m) m - 1 ] X 1 0 0 - [ ( 1 , 1 0 ) 2 - 1 ] X 1 0 0 = (1 ,2 1 - 1 ) X 1 0 0 =

= 21% a. b.

* Tabela financeira, (1 + i)n = r*1 — 1,21, para a taxa i = 10% e n = 2 períodos.

44) (AFC) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a taxa amial efetiva?a) 27,75% d) 32,25%b) 29,50% ; e) 35%c) 30%

Solução:

30%J = 30% a. a. com capitalização semestral = = 15% a. s. = is

m - 2

K = ?ia = [(1 + is) ra - 1J X 100 = [(1 + 0,15)2 ~ 1] X 100 - = (1,3225 -1 ) x 100 =

= 32,25% a. a.

• Tabela financeira, (1 + i)n = rft = 1,3225, para a taxa i = 15% en =2 períodos... . .............. . . . . . ...............

45) (TRT) Juros mensais de taxa i, capitalizados mensalmente, eqüivalem a juros anuais de taxa J. Então:

a) J — 12i d ) J = í Í

b) 1 + J = 1 + 12i |c) J = i12 -» | e) 1 + J = (1 + i)12

Solução:

i = taxa efetiva mensal J = taxa efetiva anual Portanto, 1 + J = (1 + i)12


46) (AFTN) Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por dez meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação e:

a) 4,60% d) 5,20%

b) 4,40% e) 4,80%

c) 5,00%

Solução:

C = R$ 300,001 = 40/0 a< m .

n -1 0 meses?

. Taxa em 10 (dez) meses:

ij0 - [(1 + i)10 -1 ] X 100 = [(1,04)10 - 1] X 100 = (1,4802 - 1) x 100 =* 48,02% -

Portanto, a taxa proporcional mensal é de:

48,02% „lm = — — = 4,80% a. m.

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,4802, para a taxa i = 4% e n = 10 períodos.

47) (CVM) Um título com vencimento dentro.de dez meses e de valor nominal de R$ 1.000,00 é negociado hoje com um deságio de 21,88% sobreo seu valor nominal. Indique a taxa mensal de juros compostos que representa o rendimento efetivo do título.

■ a) 2,188% d) 30%-» b) 2,5% e) 34,389%

c) 21,88% ::

Solução:

N - Valor nominal = R$ 1.000,00

id = taxa de deságio = 21,88%A = Valor atual comercial = ?


Tem-se: Ac = N 121 88

^ ! - 1.000 11 ~ ..I = 1.000 (1 ~ 0,2188)100100

= R$ 781,20

Da fórmula de montante a juros compostos, virá: N = Ac x (1 + im) 10

ou 1.000 = 781,20 (1 + im)10

1.000ou ainda,

de onde,

d + O 10 781,20

i = (1,28)1/10 - 1 = 0,025 = 2,5% a. m.

d) Igual ou menore) Igual ou maior

48) (B. BRASIL) Quando se converte uma mesma taxa de juros de um pra-1 zo maior em sua taxa equivalente ou proporcional de prazo menor, como, por exemplo, de um ano para um mês, a taxa de juros obtida no regime de capitalização simples, comparada ao outro resultado noj regime de capitalização composto, é:

a) Menorb) Maior

c) Igual

Solução:

i = taxa efetiva mensalmi = taxa efetiva anuala

item-se, i = > í»: 12 (1 + i ) 1/12 - 1 £r

Logo, a alternativa correta é: “b”.

49) (CONTADOR) Taxas diferentes expressas em períodos de tempo diferentes, mas que conduzem um capital a um mesmo resultado no fim de < determinado período denominam-se:a) efetivas d) capitalizadasb) proporcionais -> e) equivalentesc) nominais

Solução:

Resposta: São denominadas taxas equivalentes.


•50) (FISCAL RENDAS) Suponha que se precise localizar o valor de uma y taxa para n = 5 cujo fator de multiplicação seja 1,9344. Na consulta às

tabelas da Matemática Financeira observa-se que não existe tal valor o qual está compreendido entre as tabelas de 3,0% e 4,0%, ou seja, fator (3,0%, 5) = 1,15927 e fator (4,0%, 5) = 1,21665. A taxa cobrada no período, calculada utilizando-se o método da interpolação linear, é, aproximadamente, igual a:

c) 3,7%

Solução:

Fator 1 « Fj = 1,15927 v .. : Fator 2 = F2 = 1,21665 ° - 'L ' Fator x = Fv — 1,19344

a) 3,5% -* b) 3,6%

d) 3,8%

e) 3,9%

Os triângulos ABC e ADE fornecem: —DE BC

De onde AE =ACx DE

BC

« AC x DEPortanto, a Taxa x% = 3% -----= —BC

FatorB

x% 4 %>Taxa

Taxa x% = 3% + (4% - 3%) (1,19344 - 1,15921)(1,21665 -1,15921)

= 3% + 1% = 3% + 0,60% = 3,60,0574

51) (TCDF) Uma empresa solicita um empréstimo ao banco no regime dè capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equivalente composta ao mês é de:

a) 12% c) 22%b) 20% d) 24%

Solução:

ih = 44% a. b. m - 2i = ?m f

in = [(1 + ib)Vm- 1] x 100 * [<fl,44)V2~- 1] = (1,20-1) x 100 = 20% a. mi

52) (FISCAL TRANSE URBANOS) ‘Resolvendo um problema de montante dê juros compostos no prazo de seis anos com a taxa de 5% a. a. que não está na tábua, vi que precisava de um cálculo à parte. A tábua dá U f IP para 5% igual a 1,340095 e para 6% o valor de 1,418520. Logo, a interpolação de U* para 53/8% é igual a:

a) 1,009808 d) 1,447626

b) 1,072929 e) 1,449703-> c) 1,369504

Solução:

Da mesma figura da questão anterior:

1 7 2 Matemática Financeira para Concursos Públicos .* Ferreira e Ferreira

Fàtor

Para V1 = 1,340095

Fx« F l + DE F2 = 1,418520

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos. 1 7 3

T-, c BC X AETem-se: F = F, H-----= — =1 AC

(1,418520 - 1,340095)(5 3A % - 5%)= 1,340095 + ------------------------------ ^ -----------

(6% - 5%)

0,078425(^1 = 1,340095 + --------

= 1,340095 + 0,029409 - 1,369504

(TJ) Mauro aplicou o seu capital a juros compostos, a uma taxa de 24% a. a. com capitalização trimestral, pelo prazo de 21 meses. Findoo prazo, o montante atingiu a quantia de R$ 6.465,61. O capital inicial dessa aplicação é de R$:

a) 4.600,00 d) 4.500,00b) 4.200,00 e) 4.400,00

-*■ c) 4.300,00

Solução:

24%j = 24% a. a. com capitalização trimestral = —— = 6% a. t. = i

n = 21 meses = 7 trimestres M = R$ 6.465,61

C = ?> _ ■ M __ 6.465,61 _ 6.465,61 ..........*

(1 + i)n (1,06)7 1,503630R$ 4.300,00

• Tabela financeira: (1 + i)n - rn = 1,503630, para a taxa i = 6% en = períodos.

(ACE) O capital de R$ 50.000,00, aplicado a juros compostos com capitalização trimestral, produziu o montante de R$ 60.775,31 aò fim de um ano. Calcular a taxa de juros nominal anual, com aproximação de uma casa decimal.

a) 5,% d) 21,6%

b) 5,4% e) 30,4%—► c) to o o -p

Solução:

C = R$ 50.000,00

M = R$ 60.775,31 n — 1 ano — 4 trimestres

M = C (1 + i)n ou = (1 + i)n

d® ° nde’ 6500001 = C1 + ° 4 = a-21551

ou ainda, i = (1,21551)V4 - 1 = 0,05 - 5% a. t.

Logo, a taxa nominal anual é igjual a: j = 4 x 5% = 20% a. a.

1 7 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos .* Ferreira e Ferreira

.:í

55) (ICMS) Considerando-se uma taxa de 6% ao trimestre, se capitalizada-: com juros compostos, a correspondente taxa anual equivalente tergff um valor de:

a) 18%

b) 24%

c) 26,25%

d) 118%

e) 124%--%

JSolução:

ait — 6% a. t.

m = 4

ia = ?ia = Cd + -1] x 100 = [(1,06)4 - 1] - (1,2625 -1 ) X 100 = 26,25% a. ag

Tabela financeira, (1 + i)r períodos.

rn = 1,2625, para a taxa i = 6% e n — 4;

56) (CONTADOR) Um capital foi inicialmente aplicado por dois anos à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Terminado esse prazo, o rendimento da aplicação foi aplicado por três anos taxa nominal de 12% ao ano com capitalização semestral. Se o ren-; dimento dessa segunda aplicação foi de R$ 2.485,38, qual o capital inicial aplicado?

a) R$ 9.000,00 d) R$ 12.000,00

b) R$ 10.000,00 e) R$ 13.000,00

c) R$ 11.000,00


Solução:

24%j-j = 24% a. a. com capitalização trimestral = — — = 6% a. t.

n 2 anos = 8 trimestres

12%J2 = 12% a. a. com capitalização s e m e s t r a l “ 6% a. s.

il , = 3 anos = ó semestres

JZ = R$ 2.485,38

J, = C

Ji — J2 x

1 + Í-,4x2

1 U C X -f 0,24

1 + h ) 2 )

2x3-1 = C X (0,593848) x

s C (0,593848)

Ow/O

0,121 +

2 J

- C (0,593848) (0,418519)= C (0,248537)

Como J2 = 2.485,38, virá: C (0,248537) = 2.485,38

ou c = f i i l = R$ ia000’00

57) (FISCAL TRIB.) Quanto devo aplicar hoje para obter um rendimento de ■; RS 101,25 após seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao

ano, com capitalização trimestral?Dado: (1,025)2 = 1,050625 : -

a) R$ 2.000,00b) R$ 3.000,00c) R$2.101,25

Solução:

J = R$ 101,25 n = 6 meses = 2 trimestres

d) R$ 4.000,00e) R$ 638,25:

10%j = 10% a. a. com capitalização trimestral = —~ — 2,5% a. t.

C — ?

J = C [(1 + i)n- l ] =>


101,25 101,25 = R$[(1 + in) - l ] [(1,025)2 - l ] 0,050625

58) (CONTADOR) Um capital de R$ 200,00 foi aplicado a juros nominais det 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após seis meses, o montante será de:

a) R$ 228,98 d) R$ 278,46

b) R$244,50 e) R$298,34

c) R$ 248,78

Solução: I

C = R$ 200,00í

’ 28% j = 28% a. a. com capitalização trimestral = —~ = 7% a. t. = i

n = 6 meses = 2 trimestres /

M — ?

M = C (1 + i)n = 200' (1,07)2 = 200 x 1,1449 = R$ 228,98

• Tabela financeira: (1 + i)“ = rn = 1,1449, para a taxa i = 7% e n2 períodos.

59) (FISCAL TRIB.) Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um montante de; R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. Desprezando os centavos, o capital aplicado foi de:

a) R$9.800,00 - d) R$9.975,00

b) R$ 9.889,00 e) R$ 10.000,00

c) R$9.919,00

Solução:

36%j — 36% a. a. com capitalização mensal — ■ ■ = 3% a. m. = i

M = R$ 10.900,00

n = 1 trimestre = 3 meses

M = C (1 + i)B =>


c = M 10.900 10.900(1 4- i)n (1,03)3 1,092727

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,092727, para a taxa i = 3% e n =3 períodos.

(ESAF) Uma empresa aplicou $ 250.000,00 em um banco, a juros compostos, pelo prazo de um ano. Sabendo-se que, findo o prazo, recebeu juros de $ 198.964,08, a taxa de juros anual, com capitalização mensal, foi de:

a) 54%b) 60% c) 72%

d) 80% e) 120%

Solução:

C = R$ 250.000,00 n = 1 ano J = R$ 198.964,08

j = ? m — 12

J - C 1 +)

mxn-1 = 250.000

. \12x11 + - M - 1

12 )

Como J = 198.964,08, virá:

. 198.964,08 — 250.000.. . \12

1 + - L -1' 12;

ou 1 + X T 2 - 1 ^ 198-964-08 ^ 0.7958563250.000

ou ainda,

1 + - J- = 1,795856312 J

1 + J - I = (1,7958563)1/12 = 1,05 12 i

1 7 8 Matemática Financeira para Concursos Púbíicos • Ferreira e Ferreira

de onde,12

0,05 => j = 12 x 0,05 = 0,60 = 60% a. a.

61) (CVM) Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 30% j ao ano, com capitalização trimestral, durante dois anos e meio, ori«f| ginou um montante de R$ 100.000,00. Qual foi o valor do capital;aplicado?Dado: (1,075)10 = 2,06103 " ’ ~

a) R$47.674,00b) R$48.102,00c) R$ 48.519,00

Solução:

j - 30% a. a. com capitalização trimestral

d) R$ 70.683,00

e) R$76.923,00

30% = 7,5% a. t. - i

n = 2 anos e meio = 30 meses

M - R$ 100.000,00c = ?

10 trimestres

M 100.000 100.000(1 + i)n (1,075)10 2,06103

= R$ 48.519,00

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 2,06103, para a taxa i 7,5% e n — 1Q; períodos.

62) (TCI) Uma pessoa aplicou um capital de R$ 20.000,00 durante quatrgj anos à taxa nominal de 14% ao ano capitalizada semestralmente. Àb||

. término desse período, somente os juros ganhos foram reaplicados p o â 15 meses à taxa nominal de 12% ao trimestre capitalizada mensalmen^j te. Qual o rendimento dessa áltima aplicação?

a) R$10.308,29 d) R$ 12.856,78-* b) R$ 11.504,53 e) R$ 13.082,56

c) R$12.718,97

Solução:

= R$ 20.000,00

14% a. a. = 7% a. s.

c2 = J,

12% a. t. = 4% a. m.


iij ~ 4 anos = 8 semestres n2 ~ 15 meses

Jj ” ?

J2 = ?3l = Cx [(1 + i j* * -1 ] = 20.000 [(1,07)8 - 1] = 14.363,72 J2 - C2 x [(1 + -1 ] = 14.363,72 [(1,04)15 - 1] = 11.504,53

63) (ESAF) Uma pessoa aplicou 60% de seu capital na Financeira “X”, a 16% a. a. com capitalização trimestral. O restante aplicou na Financeira “Y”, a 18% a. a., com capitalização semestral. Depois de três anosrecebeu R$ 20.177,58 de juros compostos da Financeira “Y”. Nessas condições, o valor dos juros que recebeu da Financeira “X” foi (desprezar os centavos no resultado final):

a) R$ 48.159,00 d) R$ 46.978,00b) R$ 75.400,00 e) R$ 71.556,00c) R$26.866,00

Solução:

Ca = 60% x C = 0,6 x C

16%4

4% a. X.

na = 3 anos = 12 trimestres C2 = 40% x C - 0,4 x C

n2 .= 3 anos - 6 semestres - .

J2 = R$ 20.177,58J2 = C2 [(1 + i2)n* - 1} * 0,4C [(1,09)6 - 13 j 2 = 0,4C (0,6771)' = C (0,27084)

Como J2 = 20.177,58, virá: C (0,27084) = 20.177,58

0U ° = 20270848 = ^ 74S00-00

de Jj = [(1 + ij)01 ~ 1], tem-se:

J, = 0,6 x C [(1,04)12- 13 = 0,6 (74.500) (0,601032) = R$ 26.866,00

64) (TCI) Dois capitais aplicados pelo prazo fixo de dois anos. O primeiroà taxa nominal de 20% ao ano capitalizada semestralmente e o segun- 1 do, a 16% ao semestre capitalizada trimestralmente. Sabendo-se que | ao término do prazo os juros ganhos pelos dois capitais totalizaram J R$ 2.042,14, e que o primeiro capital é de R$ 1.000,00 maior que o f segundo, o valor de cada capital é, respectivamente:

a) R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00 d) R$ 2.240,00 e R$ 1.240,00b) R$ 2.180,0 e R$ 1.180,00 e)' R$ 2.280,00 e R$ 1.280,00

-> c) R$ 2.200,00 eR$ 1.200,00

Solução:|

n ~ 2 anos = 4 semestres = 8 trimestres

2 0 % -i Aft/a- a* = 10% a. s.

16% on/\2 = ~~y ~ a. s. = 8% a. t.

J, + J2 = R$ 2.042,14.C1 = 1-000 + C2J, = Cx [(1 + i)n- 1) = (1.000 + C2). [(1,10)4~~ 1] = (1.000 + C2) (0,4641) *

J2 = c2 [(1 + y “ - 1] = c2 [(1,08)8 - 1] - C2 (0,85093)

Como Jx + J2 = 2.042,14, virá:

(1.000 + C2) (0,4641) + C2 (0,85093) = 2.042,14

ou 464,10 + C2 (0,4641) + C2 (0,85093) = 2.042,14

C2 (0,4641 + 0,85093) = 2.042,14-464,10 |C2 (1,31503) = 1.578,04

de onde, C2 = = R$ 1.200,00 j 1,31503 |

e Cj= 1.000 + 1.200 = R$ 2.200,00 |

65) (CONTADOR) Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por três | meses a juros efetivos compostos de 5% ao mês e o segundo por dez } meses a juros efetivos compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou d ao todo R$ 11.181,14 de juros, qual o valor do primeiro empréstimo, J sabendo-se que ele foi igual à metade do segundo?



-► a) R$ 10.000,00 d) R$ 10.125,00b) R$ 10.090,00 e) R$ 10.150,00c) R$ 10.100,00

Solução:

c, = § c 2 = c

ij = 5% a. m. i2 = 4% a. m.iij = 3 meses n2 = 10 meses

Jj + J2 = 11.181,14

ou C1 [(1 + ij)"1 -1 ] + C2 [(1 + i2)n* - 1] = 11.181,14

Substituindo os valores fornecidos, virá:

| E(l,05)3 ~ 1] + C [(1,04)10 - 1] = 11.181,14

de onde: C (0,157625) + 2C (0,480244) = 2 (11.181,14)G (0,157625 + 0,960488) = 22.362,28

c " ( u f n st) = M 20-000'00

Portanto, C. = ^ = R$ 10.000,00

66) (TCI) Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos compostos de 2% ao ano. No término desse prazo, um terço dos juros ganhos foram reaplicados à taxa efetiva composta de 5% ao ano, obterido-se uma remuneração de R$ 6.368,25 ao fim de três anos. Qual o valor do capital inicialmente aplicado? "

a) R$2.000.000,00 d) R$3.100.000,00b) R$ 2.900.000,00 e) R$3.120.000,00c) R$ 3.000.000,00

Solução:

Cj = ? i2 = 5% a. a.n = 2 anos n2 = 3 anos

1 8 2 Matemática Financeira pata Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

ir =..2%;a. a. J, = R$ 6.368,25

C2 - J/3

J, = C1 [(1 + i ^ 1 - 1] = C, [(1,02)2 - 1] = Ct (0,0404)

J2 “ Y [ d + i2) n2 - l ] = Y C°>0404) [& 0 5 )3 " ! ] = “ • (0,0404) (0,157625) =

= Cj (0,002122683)

Como J2 = 6.368,25, virá: Cx (0,002122683) ^ 6.368,25

ou c> = õ ^ i s s = i$ 3-00a000’00

• Tabela financeira, (1 + i)n ==? rn — 1,0404, para a taxa i = 2% e n2 períodos. v . ^

* Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,157625, para a taxa i = 5% e n3 períodos. /

67) (APC) Em quantos meses o juro ultrapassará o valor do capital aplicai do se a taxa de juros for de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente?a) 12 ... d) 30b) 20 .. e) 36

c) 24

Solução:

. J ^ c ;.. .. ; • ' .. ■/- .: 7 ' . .n = ? .

i = — ^ a. a. ~ 6% a, t.

J = C [(1 + i)n -1 ] ou C = C [(l,06)n - 13

ou ainda, l~ ( l , 0 6 )n- l1 + 1 = (l,06)n

de onde, (l,06)n — 2

O valor de “n” poderá ser calculado por:


a) Tabela Financeira: Taxa i — 6%

n (1 + i )n

12

Verifica-se que o valor maisaproximado é para n ~ 12trimestres - 36 meses 6

11 1,898212 2,012813 2,1329

b) Uso de logaritmos:

n = nA = trimestres s 36 mesesLN 1,06 0,05826891

68); (SENADO FEDERAL) Acerca de uma aplicação realizada na mesma data e referente a dois capitais (Cx e .Ç2) de valores iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, à taxa nominal de 42% ao ano, para o capital Ca e à taxa de 21% ao ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo em C (certos) e E (errados):

a) A taxa nominal, para a capitalização do capital C2, é igual a 20% ao ano.

b) A taxa de capitalização semestral do capital é igual a 20%.

c) A taxa de capitalização semestral do capital Cx é exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C2.

d) O montante do capital Cx é 21% maior que o montante do capital C2, no prazo estabelecido para a aplicação.

e) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, à mesma taxa estabelecida, 0 montante de C2 (ao final do 2- ano de aplicação) será igual ao montante de Cx (ao final do l 9 ano de aplicação).

Solução:

Para Cx

n = 1 ano

Para C

n„2

1 ano


i2 = 21% a. a. = 10% a. s.

a) Certo, poisb) Errado, poisc) Errado, poisd) Certo, pois

e) Certo, pois e

e

j2 — 10% a. s. x 2 = 20% a. a. it = 21% a. s.

it ~ 21% a. s. e i2 = 10% a. s.Mj = C, (1,21)2 = C, (1,21) x (1,21)

M2 — C2 (1,10)2 = C2 (1,21)

M 1 = Cj x (1,21)2

M2 - C2 x (1, 10)4 =

= C2 (l,10)2x(l,10 )2 = = c2 (1,21) X (1,21) == C2 x (1,21)2

69) (BACEN) Na capitalização composta:a) O montante é constante.b) O juro produzido por período é constante.c) Só o capital aplicado inicialmente rende juros, ao fim de cada período ;d) Uma taxa mensal de 15% é equivalente a uma taxa bimestral de 30%l

-► e) O juro produzido ao fim de cada período renderá juro nos períodos seguintes.

Solução:

Resposta: e) o juro produzido ao fim de cada período renderá juro nos períodos seguintes. ‘ :v - - r.-:. -

70) (TCE) Utilizando a convenção linear, o montante de uma aplicação de $ 10.000,00 à taxa composta de 10% a. a. no fim de dois anos e seis meses corresponde a:

a) R$11.105,00b) R$11.705,00

c) R$12.100,00

-+ d) R$ 12.705,00

Solução:

C « R$ 10.000,00 i = 10% a. a. n = 2 anos e 6 meses


10.000 (1,1o)2 X j l + 1,10 X A j = r $ 12.705,00

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,21, para a taxa i = 10% e n = 2 períodos.

71) (AFTN) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Esse empréstimo deve ser pago em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e14 meses, respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é:

a) R$2.012,00 d) R$2.484,84-► b) R$2.121,00 e) R$2.516,16

c) R$2.333,33

Solução:

1.000 1.000 X = ?~0 13 14 15~

i = 4% a. m>

X =1.000 (1,04)2 + 1.000 (1,04) = 1.000 (1,0816) + 1.000 (1,04) = = 1,08160 + 1.040 = R$ 2.121,60 s R$ 2.121,00

72) (AFTN) O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real:

a) R$337,00 d) R$342,00b) R$331,00 e) R$340,00c) R$ 343,00

Solução:

C = R$ 1.000,00 i = 21% a. m.

n = 45 dias = 1 mês 4- ^ mês

Pela convenção linear

M = C (1 + i)n x j 1 + i x — I =


= 1.000 (1,21)1 x | 1 + 0,21 x — 1-1 ' 30 J

= 1.000 [(1,21) (1,105) -1 ] = 1.000 (0,337) = R$ 337,00

73) (AFTN) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 15% a. a- pelo prazo de três anos e oito meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:

a) R$ 16.590,00b) R$ 16.602,00c) R$ 16.730,00

Solução:

C = R$ 10.000,00

i = 15% a. a.

n = 3 anos e 8 meses

Pela convenção linear

(M = C (1 + i)n x 1 + i x £l q.

= R$ 16.730,00

d) R$ 16.705,00e) R$ 16.698,00

= 10.000 (1,15 ? X 1+0,15 X12

• Tabela financeira, (1 + i)n = rn = 1,5209, para a taxa i = 15% e n = 3 períodos. ■ . _

74) (ESAF) A melhor aproximação do capital; que, êm 10 .meses e 25 dias, a juros compostos de 9% a. m. calculados pela convenção linear, resultaria no montante de R$ 235.506,45 é:

a) R$92.540,00 d) R$96.800,00b) R$92.572,98 e) R$ 119.243,77

c) R$ 92.586,80

Solução:

25n = 10 meses 4- ™ mês

i = 9% a. m.

Capitalização Composta: Juros, Montantes e Descontos Compostos 1 S 7

M = R$ 235.506,45

(1 + i)n X j l + i X —

235.506,45

M

235.506,45

(1,09)10 x 1 + 0,09 x — 2,367364x1,07530

R$ 92.539,97 = R$ 92.540,00

• Tabela financeira, (1 + i)n = r“ = 2,367364, para a taxa i = 9% e n =10 períodos.

75) (BACEN) Desconto composto por fora a uma taxa de 20% ao mês é equivalente a um desconto composto por dentro a uma taxa mensal de:a) 10% d) 20%b) 15% e) 25%c) 17%

Solução:

x* ~ 20% a. m. i = ?n - 1 mês

76) (TCDF) Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de:

a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00 d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00b) R$ 1.620,00 e R$ 380,00 e) R$ 1.666,67 e R$ 333,33c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00

Solução:

N = R$2.000,00 n = 2 meses


i* = 10% a. m.

Ac = ?D = ?

C • •

Ac = N (1 - i*)*> = 2.000 (1 - 0,10)2 = 2.000 (0,902 = 2.000 x 0,81 *== R$ 1.620,00

e D = N ~ D = 2.000 - 1.620 = R$ 380,00c c ■ ■ - ■ -

77) (TCDF) Uma empresa estabelece um contrato de “leasing” para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de R$ 1.166,40, descontada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a. m. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de:a) R$194,09 ‘ -*• c) R$166,40

b) R$ 186,62 d) R$116,64

Solução:

Dados,

N = R$ 1.166,40

i = 8% a. m.

n = 2 meses

Dr = ?

Dr ~ N - A e A = = —• 1.000 .• R.......... ..... (1 ■+ r)n (1,08)2 1,1664 -

Dr = 1.166,40 - 1.000 = R$ 166,40

78) (B. BRASIL) Dada uma taxa efetiva anual ie, composta mensalmente, pode-se afirmar que sua taxa nominal anual in correspondente é _________ mensal da taxa efetiva i^ anualizada_________.

P reencher corretam ente as lacunas acim a, a opção:

a) p rop orcion al - linearm ente d) equivalente - exponencial-m ente

b) p rop orcion al - exponencialm ente e) lin ear - exponencialm ente

c) equiva lente - linearm ente


Solução:

Conforme os dados da questão, podemos escrever:

im = taxa mensal = (1 + ie)V12 ~ 1 e i = taxa nominal anual = i x 12n m

Portanto, a resposta correta é: *‘c) eqnivalente - linearmente”.

79) (BACEN) O valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 20.000,00, com prazo para 30 dias, para vencimento e taxa cobrada de 4% ao mês, é, em reais,

a) R$620,00 -*> d) R$769,00b) R$850,00 e) R$820,00c) R$950,00

Solução:

N = R$ 20.000,00 i = 4% a. m. n ™ 30 dias — 1 mês

D - ?

1 ------1--- 1 = 20.000(1 + i)r

Dr = N

= R$ 769,00

1 -

a o 4 )x20.000 (1 - 0,961538)

• Tabela financeira (1 + i)~n =? (l-,04)_ 1 = v*— 0,961538, para i ~ 4% e n.= 1.

80) (CONTADOR) Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a. m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por ele?

a) R$21.600,00 c) R$21.800,00b) R$21.700,00 d) R$21.900,00

Solução:

N = R$ 31.104,00 i = 20% a. m.


: n = 2 meses A = ?

A = — L -— = ® = R$ 21.600,00(1 + i)n (1,20)2 1,44

81) (AFTN) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três mèses, a uma-taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

a) R$9.140,00 d) R$9.100,00 7b) R$9.126,00 e) R$9.174,00

-> c) R$9.151,00 [ '•

Solução:

N = R$ 10.000,00 i = 3% a. m. n - 3 meses A = ?

a _ _ N __ 10.000 _ 10.000 __ p* r> -j ei nnA “ - Õ T W ~ 003)3 - j.092727 ' R$ 9J51’00

82) (BACEN) Um título tem valor nominal de R$ 108.160,00 e vencimento para 180 dias. Se negociado 60 dias antes do vencimento à mesma taxa de 4% ao mês, através de capitalização composta, terá valor de:a) R$90.000,00 d) R$40.000,00b) R$ 80.000,00 -> e) R$ 100.000,00

: c) R$ 60.000,00 ‘...

Solução:

N = R$ 108.160,00 *

i = 4% a. m. n = 60 dias = 2 meses

A = ?

N 108.160 108.160 _ R$ 100.000,00(1 + i)n (1,04)2 1,0816

• Tabela financeira para (1 + i)ft = (1,04)2 = 1,0816, para i = 8% e n — 2.


83) (AFTN) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100. no fim do período t mais uma quantia de 200 no fim do período t + 2 são equivalentes, no fím do período t + 1, a uma quantia de:a) 406,25 d) 300b) 352,5 -* e) 285c) 325

Solução:

i = 25% por período

100 X = ? 200— i------------------ 1-------------------------------- 1------------t t + 1 t + 2 (períodos)

X = 100 (1,25)* + --2^ t = 125 + 160 = R$ 285,00

84) (CESGRANRIO) Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas prestações: a primeira de $ 180,00, um mês após a compra, e a segunda, de $ 200,00, dois meses após a compra. Sabendò-se que estão sendo cobrados juros de 25% ao mês, sobre o saldo devedor, podemos afirmar que o preço à vista do exaustor era de:; a) $ 138,00 ' ; d> $ 235,00 \ . ' V '

b) $237,50 e) $ 304,00'■ -> c) $272,00 ' ' " ■ '

Solução:

i = .25%..a. m. / . ... ... ..................

X= ? 180 200-----j-------------------- i-------------------- H---0 1 2 (meses)

x = c i I ? + c w * 180 x a ’2S )1+200 * a,25)' 2"= 180 x (0,80) + 200 x (0,64) — 144 + 128 = R$ 272,00.

Observação: Tabelas financeiras de 25% para o fator (1 + i ) 'n — V": (1,25)*1 = 0,80 e (1,25)-2 = 0,64.

85) (TCDF) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A primeira terá o valor de R$ 2.000,00, no vencimento, daqui a seis


meses; a segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, dei R$ 4.400,00. Considerando a taxa de juros de 20% a. a., capitalizados trimestralmente, se o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de:

a) R$6.420,00 d) R$6.620,00b) R$6.547,00 e) R$6.680,00e) R$ 6.600,00

Solução:

nominal de $ 100.000,00. O vencimento do primeiro ocorre dentro de dois meses e do segundo, em quatro meses, mas ele deseja substituir ambos os títulos por um outro, com vencimento em três meses. Se o banco que realizará esta transação opera com uma taxa racional com-; posta de 25% ao mês, qual será o valor do novo título?

2.000 X = ? 4.400 ..—i---0 2 6 8 (trimestres)

x = 2.000 (1,05)4 + = 2-000 (1,21551) + =

= 2.431 > 3.990 = R$ 6.420,00,

86) (METRO) Um comerciante deve dois títulos, ambos com o mesmo valor

a) $200.000,00b) $ 205.000,00

Solução:

i — 25% a. m.

c) $210.000,00d) $ 215.000,00

100.000 100.0000 2 3 4 (trimestres)

87) (ESAF) João tem um compromisso representado por 2 (duas) promissórias: uma de $ 200.000,00 e outra de $ 150.000,00 vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá des


ses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a. m., o valor da nova nota promissória é de (desprezar os centavos no resultado final):a) $420.829,00 -► d) $450.345,00b) $ 430.750,00 e) $456.703,00c) $ 445.723,00

Solução:

i = 5% a. m.

200.000 150.000 X = ?i-----------------1------------------- 1---------------- j 0 4 6 10 (meses)

X =* 200.000 (1,05)6 + 150.000 (1,05)4 == 200.000 (1,3401) + 150.000 (1,2155) == 268.020 + 182.325 = R$ 450.345,00

88) (FISCAL. TRIB.) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. À taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses, desprezando os centavos.

a) R$48.800,00 '" d) R$40.039,00-> b) R$ 49.167,00 e) R$50.000,00

c) R$ 49.185,00 .

Solução: "

i — 4% a. m.

20.000 X = ? 30.000i------------------- j------------------ 1----------0 3 6 (meses)

X = 20.000 (1,04)3 + = 20.000 (1,124864) + =

= 22.497,28 + 26.669,89 = R$ 49!l67,17 = R$ 49.167,00

89) (ESAF) Uma empresa descontou, 60 (sessenta) dias antes do vencimento, uma duplicata de $ 500.000,00 sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros de 84%


a. a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final):a) $429.304,00 d) $ 449.785,00b) $ 440.740,00 ' e) 451.682,00c) $ 446.728,00

Observação: ^ 8 4 = (l,84)1/3~= .1,22538514

= (1,84F 6 = 1,10697115

V Í84 = (1,84)1/4 » 1,1646742

Solução:

Taxa = 84% a. a. (efetiva)

A - ?i—— 500.000

A —500.000 500.000 500.000

; (1.84)*» (1,84>;- U 0697115

(meses)

R$ 451.682,95

i-ío %v. ■ iiír

90) (ESAF) Uma empresa imobiliária está vendendo um terreno por $ 20.000,00 de entrada e um pagamento adicional de $ 200.000,00 no 69 mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para $ 250.000,00, déslocando-o parao 8e mês após a compra. A uma taxa de juros compostos de 2% a. m., o valor da entrada no esquema proposto, desprezados os centavos, é:

a) $161.221 . . d) $ 184,221 .. . ' ' :

b) $163.221 -+ e) $164.221

c) $ 173.221

Solução:

i = 2% a. m.

Fluxo de Caixa 1: 200.0000

200.000(meses)

Fluxo de Caixa 2: X = ? 250.000

8 (meses)


Valor presente do Fluxo de Caixa 1:

200.000 + - 200.000 + = 200.000 + 177.594 =(1,02)6 1,12616

= R$ 377.594,00

Valor presente do Fluxo de Caixa 2 que deverá ser equivalente (igual) ao Fluxo de Caixa 1:

X + 2(fõ 2 )8° = 377’594’00

ou X — 377 594 — 250.000 _ o j j 594 250.000ou X 377.594 377.594 1 1?166

= 377.594 - 213.372 = R$ 164.221,00

:£3n0

5Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de Juros

01) (BACEN) Os Fundos de Renda Fixasofrem uma tributação de imposto de renda sobre os ganhos acima da variação da UFIR, com alíquotas de 30%, e os Fundos de Commodities sofrem a mesma tributação com alíquota de 25%. Em um período no qual a UFIR aumentou 28%, a rentabilidade bruta dos Fundos de Commodities foi de 42% e a dos de Renda Fixa foi de x%. A rentabilidade líquida dos Fundos de Renda Fixa superará a dos de Commodities se e somente x for maior que:

c) 44

Solução:

O valor de resgate líquido de um título financeiro, com tributação sobre os ganhos de capital, é dado por:

VRJL = VRB - T (VRB-VCM)

Onde:

VRL ~ valor de resgate líquido.VRB = valor de resgate bruto.VCM = valor de custo corrigido monetariamente.T = alíquota de Imposto de Renda.

a) 48b) 46

d) 43e) 42

Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de Juros 1 9 7

Na questão, temos:

VRL^ = X - 30% (X - 28%)VRLc = 42% - 25% (42% - 28%)

Para a condição VRL^ > VRLc, virá:

X - 0,30 (x - 0,2.8) > 0,42 - 0,25 (0,42 - 0,28)

X - 0,30 x X + 0,30 x 0,28 > 0,42 - 0,25 x 0,42 + 0,25 x 0,28

X (1 - 0,30) + 0,084 > 0,42 - 0,0105 + 0,07 X (0,70) + 0,084 > 0,42 - 0,385 X (0,70) > 0,084 > 0,385 X (0,70) > 0,385 - 0,084

X (0,70) > 0,301 => X >

ou, finalmente: X > 0,43 ou X > 43%

02) (CESGRANRIO) Os rendimentos das cadernetas de poupança são isentos de Imposto de Renda, os dos fundos de commodities e os fundos de renda fixa são tributados em 25% e 30%, respectivamente, da valorização que exceder à variação da UFIR. Suponhamos que, para o próximo mês, as previsões sejam que a UFIR aumente 1,8% e que as cadernetas, os fundos de commodities e os de renda fixa rendam 2,2%, 2,6% e 2,8%, respectivamente, antes do desconto do Imposto de Renda. Se as previsões se confirmassem, a melhor e a pior das aplicações seriam, respectivamente:

a) poupança commodities • . d) renda fixa e commodities

b) commodities e renda fixa e) renda fixa e poupançac) commodities e poupança

Solução:

Partindo-se do valor de resgate líquido (VRL) de um título, com retenção de Imposto de Renda sobre os ganhos de capital, temos:

VRL = VRB - T (VRB - VCM)

onde: VRB = valor de resgate bruto

T = alíquota de Imposto de RendaVCM = valor de custo corrigido monetariamente


VRL 2 ,2%poupança

V R L _ dirie3 = 2 ,6% - 2 5 % (2 ,6% - 1 ,8% ) = 0 ,0 2 6 - 0 ,2 5 x

x (0 ,0 2 6 - 0 ,0 1 8 ) = 2 ,4%

= 2 ,8 % - 3 0 % (2 ,8% - 1 ,8% ) = 0 ,0 2 8 - 0 ,3 0 x

x ( 0 , 0 2 8 - 0 , 0 1 8 ) = 2 ,5 %

03) (TCU) Pedro, José e Márcio possuem R$ 5.500,00. Durante um mês;| fizeram aplicações de suas partes, respectivamente, em Caderneta de Poupança, com rendimento de 10%; CDB, com rendimento de 14%; e Fundo de Renda Fixa, com rendimento de 13%. O saldo total ao final | do período foi de R$ 6.165,00. Sabe-se que, antes das aplicações, Pedro : possuía o dobro de José. *Ju lgue as afirm ações seguintes em certas (C) ou erradas (E):

a) Ao final do período, Pedro possuía aproxim adam ente 93% a m ais que:; José.

b) Inicialm ente, Pedro possuía R$ 1 .6 p 0 ,0 0 ; José possuía R$ 8 0 0 ,0 0 e Már| Icio R$ 3 .1 0 0 ,0 0 . • ■' :Vg|

c) A som a dos ju ros correspondentes às aplicações de Pedro e José fo i de;R $ 3 4 0 ,0 0 . . V;:

d) A som a dos ju ro s correspondentes às aplicações de Pedro e M árcio fo i de : R $ 5 2 5 ,0 0 .

e) A som a dos ju ro s correspondentes às aplicações de José e M árcio fo i de ' R $ 5 1 5 ,0 0 .

Solução:

Às aplicações feitas, cham em os de:

P = quantia ap licada p o r Pedro;

J = quantia ap licada p o r José; e

M = quantia ap licada p o r M árcio.

Desta form a, tem os:

P + J + M = R $ 5 .5 0 0 ,0 0

Foi dito tam bém que:

E, P x ( 1 ,1 0 ) + J x ( 1 ,1 4 ) + M x ( 1 ,1 3 ) = 6 .1 6 5

(1 )J

(2)

(3)


Substituindo (2) em (1), virá: 2J -f J + M = 5.500

ou 3J + M = 5.500 => M = 5.500 - 3J

Substituindo em (3) os valores de P e M em função de J, obteremos:

2J x (1,10) + J x (1,14) + (5.500 - 3J) (1,13) = 6.165

Substituindo o último valor nas equações de P e M, virão:P = 2x J = 2 (1.000) = 2.000 M = 5.500 - 3 x J = 5.500 ~ 3 (1.000) = 2.500

E, portanto: J = R$ 1.000,00P = R$ 2.000,00 M = R$ 2.500,00

Analisando cada uma das afirmações do problema, teremos:

b) (ERRADA)c) P x (0,10) + J x (0,14) = 2.000 x (0,10) 4- 1.000 (0,14) = R$ 340,00

(CERTA)d) P x (0,10) + M x (0,13) « 2.000 (0,10) + 2.500 (0,13) = R$ 525,00

■■■ ' (CERTA.) ■■"■■■■ •e) J x (0,14) + M x (0,13) = 1.000 (0,14) + 2.500 (0,13) = R$ 465,00

(ERRADA)

04) (B. BRASIL) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Considerando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente:

a) 10.200,00 e 2,35% d) 10.240,00 e 2,45%b) 10.240,00 e 2,35% e) 10.300,00 e 2,45%

c) 10.240,00 e 2,40%

ouou ainda:

2,20 x J + 1,14 x J + 6.215 - 3,39J =6.165 0,05 x J = 50

de onde,

p X (1,10) _ 2.000 X (1,10) = 2.200 J x (1,14) 1.000 x (1,14) 1.140

= 1,93 (CERTA)


Solução:

Dados fornecidosC = R$ 10.000,00 i = 3% a. m. n — 30 dias ~ 1 mês IR = 20% - ■

Rendimento Bruto ~ 3% x 10.000 = R$ 300,00 IR Retido = 20% x R$ 300,00 = R$ 60,00 Rendimento Líquido = R$ 300,00 - R$ 60,00 = R$ 240,00

1 94-0Total de rentabilidade efetiva = Jqqqq x 100 = 0,024 x 100 = 2,4%

05) (TCU) Deseja-se comprar um bem que custa “X” reais, mas dispõe-sé apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, à taxa mensal de 26%, enquanto que o bem sofre mensalmente reajuste de 20%.Considere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 = 2,032; log 0,54 = - 0,27. Assinale a opção correta: -

a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser adquirido com o montante obtido.

b) O número n de meses necessários para o investimento alcançar o .

valor do bem é dado pela fórmula: ™ + n x 0,26 x ~ = x + n x 0,2x3 o

c) O número mínimo de mesès dè aplicação necessário, à aquisição do: bem será 23.

d) Decorridos dez meses, o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele momento.

e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido.

Solução:

X3 26% a. m. Mx0 n

X 20% a. m. M20 n


M, = | (1,26)“ M2 = x (l,20)a

Se M1 = M2, virá: | (1,26)" = x (l,20)n

0 2 6 ^ ^ 3(1,20)*

1,26 1,20,

n x log (1,05) = log 3

ou ainda, | | = 3 => n x log | = log 3

nxiog® ) =iog3 n (log 105 - log 100) - log 3

de onde n —----------- --------- = — — = ^ 8 = 22 85 mesesae onae, n (log 105 _ iog 100) 2,021 - 2 0,021

Portanto, o item “c” responde à questão, pois serão necessários 23 meses para a aplicação adquirir o bem.

06) (B. BRASIL) Uma LTN, cujo prazo a decorrer até o vencimento é de 36 dias, está sendo negociada com uma rentabilidade efetiva linear de 24% ao ano. A taxa de desconto anual embutida é de:-* a) 23,44% d) 23,46%

b) 23,48% e) 23,50%c) 23,52% ^

Solução:

i = 24% a. a.

n = 36 dias = - ano360

i* = ?

i/l 00Partindo-se da fórmula, i*i i • n1 + -----

100

Teremos:


24/100 0,2424 x 36.360

1 + 0,024= 0,2344 a. a. = 23,44% a. a.

100

07) (TTN) João aplicou R$ 500.000,00 em ações da Cia. “X” na bolsa de valores. Sessenta dias depois vendeu-as por R$ 400.000,00. Admitindo-se que ele poderia ter aplicado sua economia no mercado aberto (open market) a juros simples comerciais a uma taxa de 96% a. a. o seu prejuízo real foi de:

-> d) R$ 180.000,00a) R$ 175.000,00b) R$ 190.000,00

c) R$ 185.000,00

e) R$200.000,00

Solução:

Dados da questão:

Bolsa de Valores:

500.000 400.000

0 60 d = 2 meses

Open Market: 500.000 + x 2 x 500.000 = 7 v‘

* 500.000 + x 2 x 500.000 =12

« 500.000 + 80.000 = R$ 580.000,00

. Prejuízo real: 580.000 - 400,000 = R$ 180.000,00

08) (TCU) Uma financeira pretende ganhar 12% a. a. de juros reais em cada financiamento. Supondo que a inflação anual seja 2.300%, a financeira, a título de taxa de juros nominal anual, deverá cobrar:

a) 2.358% d) 2.868%

-> b) 2.588% e) 2.888%

c) 2.858%

Solução: Para resolver a questão, basta que se aplique a Equação de Fisher, representada por:

Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de Juros 203

onde:

TN — taxa nominal ou taxa aparente

TI = taxa de inflação ou taxa de correção monetáriaTR = taxa real

Deste modo, substituindo os valores fornecidos pela questão, virá:

(1 + TN) = (1 + 2.300%) (1 + 12%)

ou (1 + TN) = (1 + 23,00) (1 + 0,12)

(1 + TN) = (24,00) (1,12) = 26,88de onde, TN * 26,88-1 = 25,88 = 2.588%

09) (TRT) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de rendà fíxa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20%, respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi, nesse mês, de:

-»• a) 26% d) 32%

b) 28% e) 34%

c) 30%

Solução:

% aumento = (30% x 40% + 70% x 20%) = .(12% + 14%) = 26%

10) (BACEN) Sabendo-se que a taxa efetiva é de 0,9% e que a taxa de inflação é 0,7% no mês, o valor da taxa real nesse mês é:

-* a). 0,1986%. .. .... .d). 0,4523% :r:

b) 0,2136% e) 0,1642%

c) 0,1532%

Solução:

Fazendo uso da Equação de Fisher, virá: (1 -f TN) = (1 + TI) (1 + TR)

onde:

TN ~ taxa nominal ou taxa aparente00

TI = taxa de inflação ou taxa de correção monetária

TR = taxa real


assim, (1 + 0,9%) - (1 + 0,7%) (1 + TR)

ou (1 + 0,009%) = (1 + 0,007%) (1 + TR)

(1,009)de onde (1 4* TR) 1,001986(1,007)

ou TR = 1,001986 - 1= 0,001986 = 0,1986%

c') Observação: Chamamos a atenção do candidato a concurso sobre a inconsistência dosvo-í cábulos empregados por alguns formuladores de questões. Por exemplo, na questão acima,. equivocadamente foi empregado o termo “taxa efetiva”, quando deveria ter sido empregado íf o termo “taxa nominal” ou “taxa aparente”.

11) (UFES) Se o poder de compra; de meu salário é hoje 20% daquele de um ano atrás, então, para reaver aquele poder de compra, meu salário; atual deve ser reajustado em:a) 20% d) 400%

b) 80% , e) 500%

c) 180%

Solução:

Suponha que seu salário há um ano era de R$ 1.000,00. Se hoje ele so| possui o poder de compra de 20% do que antes, então, hoje ele vale 20%. R$ 1.000,00 = R$ 200,00.

Para retomar ao seu poder anterior de R$ 1.000,00, virá:

% de aumento R$ 1.000,00 R$ 200,00

x 100 = (5 -1 ) x 100 = 4x 100 = 40C

12) (CESGRANRiO) Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%^ de quanto aumentou o seu poder de compra?

-> a) 20% d) 25%

b) 21% e) 26%

c) 23%

Solução:

Considerando um salário referencial de R$ 100,00

Aumento: 100 + 56% x 100 = 100 + 56 = R$ 156,00 Preços: 100 + 30% x 100 = 100 + 30 = R$ 130,00

Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de Juros 2 05 -

Poder de compra:

130 + X x 130 = 156 X x 130 = 156 - 130 = 26

X x 130 = 26 ou X = ^ = 0,20 = 20%

Outra forma de resolução é empregando a Equação de Fisher:

(1 + TN) = (1 + TI) (1 + TR),

onde TN = taxa nominal = ao aumento salarial recebido;TI = taxa de inflação — ao aumento dos preços;TR = taxa real de juros = à taxa que se deseja saber = ?

Portanto, a partir de um salário referencial de P = R$ 1,00, teremos:

P x (1 + TN) = 1,00 x (1 + 0,56) = 1,56;

e, admitindo, também, um preço referencial de um bem com preço

P ^ R$ 1,00, teremos: P x (1 + TI) = 1,00 x (1+ 0,30) = R$ 1,30.

Logo, o poder de compra ou ganho real recebido será a partir da equaçãode Fisher:

(1 + TN) = (1 + TI) (1 + TR) => (1 + TR) = (1 + TN)/(1 + TI) == 1,56/1,30 = 1,20.

De onde, finalmente: TR = 1,20 - 1 ~ 0,20 = 20%

3- forma de resolução:

100 (1 4- 0,56) = 156 100(1 + 0,30) = 130 130 (1 + X) = 156

1 + x = ii = 1-20De onde, X = 1,20 - 1 = 0,20 = 20%

(TCDF) A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%.O crescimento da renda real foi então:- a) 5% d) 105%

b) 10% e) 110%c) 15%

2 0 6 Matemática Financeira pa ia Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

Empregando a Equação de Fisher: (1 + TN) = (1 + TI) (1 + TR) onde: TN = taxa nominal ou taxa aparente

TI = taxa de inflação TR ~ taxa real

teremos: (1 + 110%) = (1 + 100%) '(1 + TR)

ou (1 + 1,10) = (1 + 1,00) (1 + TR)

de onde

(2,10) = (2,00) (1 + TR)

n + TR') = ^>10) — l 05 U + íkj 0) i ,us

ou TR = 1,05 - 1 = 0,05 = 5%

14) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a. a. elevará a R$ 1.296,00 no fim de oito meses, é de:a) R$ 1.100,00 - d) R$1.200,00b) R$ 1.000,00 e) R$ 1.399,68c) R$ 1.392,00

Solução:

Dados,

i — 12% a. a. = 1% a. m.M = R$ 1.296,00 : V / ;■

n = 8 meses C = ?

De M — c í l + lx n100

temos:

M 1.296 1.296 = 1.296

1 + iiLE.) ~ f i + 1 x ~ + °>08) (1>08)100 J I 100

= R$ 1.200,00


15) (BACEN) Um investimento rendeu 68% em um mês no qúàl a inflação foi de 40%.

O ganho real nesse mês foi de:

c) 24%

Solução:

Substituindo os valores utilizando a Equação de Fisher: (1 + TN) =(1 + TI) x (1 + TR), virá:

(1 + 68%) = (1 + 40%) (1 + TR) ou (1 + 0,68) = (1 + 0,40) (1 + TR) .. .

(1,68) (1,40) (1 + TR) . <

de onde: (1 4- TR) = = i,20

ou TR — 1,20 - 1 = 0,20 = 20%

16) (TTN) Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% a. a., durante dois anos. Findo o prazo, reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais quatro anos, à taxa de 20% a. a., sob o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros das três aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de R$:a) 11,200,00 d) 12,700,00b) 13.200,00 -> e) 12.400,00 ..... -c) 13.500,00

Solução:

São dados:

a) 20%b) 22%

d) 26% e) 28%

C M + 2.0000 0 ■ 6 anos

Jj + J2 + J3 = R$ 18.216,00 (D


T — M x 20 x 4 _ (C + J 1) x 2 0 x 4 _ (C 4- 0,3 x C) x 802 “ 100 ~~ íõõ ~ 100

= (1,3C) x 0,8 = 1,04 X c

2.000 x 20 x 4 J3 = ------íõõ------ = 1-600

Substituindo esses valores na equação (1) acima, virá:

ou0,3 x C 4- 1,04 x C 4- 1.600 = 18.216 1,34 C = 18.216 - 1.600 = 16.616

de onde, finalmente: C = = R$ 12.400,00

17) (FISCAL DE RENDAS) Em um'determinado período com taxa. de inflação de 2%, uma aplicação é feiita à taxa real de 5,88%. A taxa nominal, nesse período, é:a) 5% ; d) 8%b) 6% e) 9%c) 7%

Solução:

Substituindo na Equação de Fisher: (1 4- TN) = (1 4-T I) (1 4- TR), virá:

(1 + TN) = (1 + 2%) (1 + 5,88%) ou (1 + TN) = (1 4- 0,02) (1 + 0,0588)

• (1 + TN) = (1,02) (1,0588)(1 + TN) = 1,08

ou TN = 1,08 - 1 = 0,08 = 8%

18) (CVM) O fluxo de caixa líquido esperado de um investimento é o seguinte, em milhares de reais:


Seu valor atual no início do primeiro ano, isto é, no momento zero, à taxa de 12% ao ano é, em milhares de reais, desprezando-se as decimais:-+ a) 670 d) 2.081

b) 750 e) 2.100c) 1.050

Solução:

Valor atual ou presente (P) do fluxo de caixa, à taxa de 12% a. a., é:

200 . , 5001.000 + + 300 ag|12 x (1,12)-1 + 12 y

P = - 1.000 + 178,57 + 300 (4,96764) (0,892857) + 160,99 == - 1.000 + 178,57 + 1.330,62 + 160,99 = R$ 670,18 ~ R$ 670,00

(AFTN) Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que ò intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos.

a) R$2.511,00 d) R$ 3.617,00b) R$2.646,00 e) R$ 2.837,00c) R$ 0,00

Solução:

i = 3% a. m.

1.000 / mês

10 (meses)

T2.000 3.000

2 . 0 0 0 + 1-000 x a^3% x (1,03)-1 =3.0001,03

2.000 - 2.912,62 + 1.000 (7,786109) x (0,970874) 2.000-2.912,62 + 7.559,33

de onde, P = 2.646,71 = R$ 2.646,00


20) (CEB-CONTADOR) Se uma aplicação rendeu 38% em um mês e, nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa real de juros foi de:

Solução:

Substituindo os dados na Equação de Fisher: (1 + TN) = (1 + TI)(1 + TR), virá:

(1 + 38%) = (1 + 20%) (1 + TR) ou (1 + 0,38) = (1 + 0,^0) (1 + TR)

(1,38) = (1,20) (1 + ÍfR)

. de onde ( l + r a ) = a | | =1,15

ou TR = 1,15 -1 = 0,15 - = 15% ;. ( -"•v

21) (FCC) Um investidor sabe que, se ele aplicar R$ 20.000,00 a uma determinada taxa de juros simples, durante 8 meses, obterá, no final do período, um montante de R$ 24.000,00. Caso este investidor resolva aplicar outro capital, com a mesma taxa de juros simples acima, da seguinte maneira: 1/3, durante 6 meses; 1/5, durante 5 meses; e o restante, durante 4 meses, verificará que a soma dos juros obtidos é igual a R$ 1.460,00. O valor deste outro capital, em reais, é: . ■ ~a) 24.000,00 d) 12.000,00b) 18.000,00 e) 9.000,00

c) 15.000,00 _

a) 14%b) 15%

c) 16%d) 17%

Solução:

C, = R$ 20.000,00 nx = 8 meses

= M 1 - Cj = 24.000 - 20.000 = R$ 4,000,00 i = ?

De tem-se = 2,5% a. m.

Deste modo, C^ = — x C; i = 2,5% a. m. e . = 6 meses


C’2 = - x C; i = 2,5% a. m. e n’2 = 5 meses

Logo,

3 5 l 15 J 15 15 15

C’ = — xC; i = 2,5% a. m. e n’, = 4 meses 15 á

x G X 2,5 X 6 + X C X 2,5 x 5 + % 5 x C x 2,5 x 4

100

2.5 x c {y x 6+y x 5+y5 x 4)_ _ „

2.5 x c (2 + 1 + 2% 5)

= IÕÕ ~

2.5 x C (3 + 2 _ 2,5 x C (45 + 28)/15 _100 ~ 100

- 2’ 5 x C (73) /15 _ 2,5 x Ç (73) = 182,5 x Ç100 ~ 15x100 ~ 1.500

Como J = R$ 1.460,00, virá: ,

1.460 - 182j5^ => C = ** R$ 12.000,001.500 182,5

(METRÔ) Se uma aplicação foi feita a uma taxa de juros de 28,8% em um mês, e se neste mês a inflação foi de 15%, a taxa real de juros foi de:-► a) 12% a. m. c) 14% a. m.

b) 13% a. m. d) 15% a. m.

Solução:

Substituindo os dados fornecidos usando a Equação de Fisher: (1 4- TN) = (1 + TI) (1 + TR), virá:

(1 + 28,8%) = (1 + 15%) (1 + TR)ou (1 + 0,288) = (14- 0,15) (1 4- TR)

(1,288) = (1,15) (1 + TR)


de onde (1 + TR) = = 1,12

ou TR = 1,12 - 1 = 0,12 = 12% a. m.

23) (AFTN) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro anõ é dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.

a) 24.940,86 ; d) 4.940,86b) 11.363,22 ‘ -* e) 1.340,86c) 5.830,21

Solução:

i - 18% a. m.

111 meses

O valor presente ou atual ao final do l 2 mês é:

P, = - 20.000 (1,18)* -.20.000 +. 10.000 x

ou Pj = — 23.600 - 20.000 + 10.000 x (4}494086)

Pj = - 43.600 4- 44.940,86

Pj = R$ 1.340,86

24) (METRÔ) Um capital foi aplicado por dois meses à taxa composta racional efetiva de 50% a. m. Nesses dois meses a inflação foi de 40% no primeiro mês e de 50% no segundo.

Pode-se concluir que a taxa real de juros neste bimestre foi de, aproximadamente:

-*• a) 7,1% c) 9,1%

b) 8,1% d) 10,1%

10.000

°l :20.000


Solução:

Substituindo os dados fornecidos na Equação de Fisher., (1 + TN) = (1 4 TI) (1 + TR), e chamando atenção para o que se denomina de “taxa efetiva”, que neste quesito se enquadra na observação do Problema 10, virá:

(1 4 50%)2 = [(1 4 40%) (1 + 50%)] x (1 4 TR) ou (1 4 0,50)2 = [(1 4 0,40) (1 4 0,50)] x (1 + TR)

ou ainda, simplificando (1 4 0,50) em ambos os membros:

(1 4 0,50) = (1 4- 0,40) x (1 4- TR)

de onde (1 4 TR) = * 1,071

ou TR = 1,071 -1 = 0,071 = 7,1%

25) (ICMS) Considerando-se uma taxa de inflação mensal de 0,8%, para que a taxa real no mês seja de 1%, o valor assumido pela taxa efetiva, na capitalização composta é:-> a) 1,81% d) 0,20%

b) 1,20% e) 2,80%c) 1,46%

Solução:

Substituindo os dados fornecidos na Equação de Fisher, (1 4- TN) = (1 4- TI) (1 4 TR), e chamando atenção que o conceito de “taxa efetiva”, que no quesito acima se enquadra na observação do Problema 10, virá:

(1 + TN) = (1 4 0,8%) (1 4 1%) - ou (1 4 TN) — (1,008) (1,01)

1 + TN = 1,0181

de onde: TN = 1,0181 ~ 1 = 0,0181 = 1,81%

26) (AFTN) João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, rias mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, os montantes eram de $ 117.000,00 e $ 108.000,00, respectivamente, o capital do capitalista era de:a) R$ 150.000,00 -> d) R$ 180.000,00b) R$ 160.000,00 e) R$ 200.000,00c) R$ 170.000,00

2 1 4 Matemática Financeira pa ia Concursos Públicos * Ferreira e Ferreira

Solução:

Ci = % ’

Cz = % ’

Da relação í _

n2 = 4 meses

2 1- igo

i x 42 C/ | 1 +2 1 1 0 0

M = R$ 117.000,00

M, = R$ 108.000,00

. , -117.000 1 + 0,06ivira: --------- = ------- -----108.000 1 + 0,04i

_ , -i nooo 1 0,061ou 1,0833 = ------ ~ t1 + 0,04i í y i

1.0833 (1 + 0,04i) = 1 + 0,06i

1.0833 + 0,04331 = lj+ 0,06i

1.0833 - 1 = 0,06i - 0,04331/

0,0833 = 0,0167i ..

, , . 0,0833 CD/de onde, i = = 5% a. m.0,0167

Portanto, —M 117.000 117.000

1 +i x n 5x6 1,30

90.000

ou

100 J { 100

C = 2 (90.000) = R$ 180.000,00

'w S•IISIj f m''íÊÉlM

•í p ?-w m

mm

m m-

■ v%f|■ ■ -tfMt■

w &

. W f■ m

■-1 Í|* ■ -SS

jSíh.>

:-tÉ«íShs'"

- - m■ M

Observação: Forma prática de resolução quando se sabe que os juros pies formados são. todos iguais em cada período mensal.

Mj - M, = 2 x Jx (dois juros simples iguais entre o 4Ô e o 69 mês)

ou 117.000 - 108.000 = 2xJ1^ J 1 = = R$ 4.500,00,

sim-

onde Jj são os juros simples para cada período.

Portanto: Mx — C/2 + 6 x

ou 117.000 = C/2 + 6 (4.500)

o que resulta: C/2 = 117.000 - 6 (4.500) - 90.000

ou C = 2 x R$ 90.000 = R$ 180.000,00.


27) (BANERJ) Considere a seguinte situação:“Os bancários de um certo Estado tiveram de 1984 a 1988 reajustes salariais de 18%; 18%; 44%; 42% e 40%, respectivamente. Em meados de 1988, eles reivindicaram um reajuste extra que recolocasse seus salários no nível em que estariam caso tivessem sido utilizados, para os reajustes de 1984 e 1985, os índices de 31% e 42%.”Diante dos dados acima, o percentual de reajuste extra reivindicado deveria ter sido de, aproximadamente: _

a) 33% d) 27%b) 31% e) 25%c) 29%

Solução:

Como as taxas consideradas são as mesmas nas duas situações para os últimos três anos (1986, 1987 e 1988), só iremos considerar as taxas para os dois primeiros anos (1984 e 1985):

l 3 Situação: (1 + Ix) = (1 + 18%) (1 + 18%)ou (1 + 'y = (1 + 0,18) (1 + 0,18)

(1 + I,) = (1,18) (1,18) _ , ; -

^ 2a Situação: (1 + I2) = (1 + 31%) (1 + 0,42%) : 7 . r -

ou (1 + I2) = (1 + 0,31) (1 + 0,42)(1 + I2) = (1,31) (1,42) ; v . ,

& Dividindo-se: (1 + I2) por (1 + Ij), teremos: = =

(1 + W _l (1,311 (1,42) _ 1,86 _ .. ...T T T g (1,18) (1,18) 1,39 ;

Fazendo-se: ^ ■= (1 + I)d + y

virá: (1 + I) = 1,33 ou I = 1,33 -1 = 0,33 = 33%

28) (FUVEST) Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. Supondo que o preço a vista da mercadoria seja C reais, que o primeiro pagamento seja de C/3 reais e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%, calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento da venda a compensar exatamente a inflação do período.


. 5C 5Ca) T 12, 5C C■W T e) 6

c)2C3

Solução:

Entrada = 1- Prestação = - Cò

i 1 2 2- Prestação sem correção monètaria = C - - C = - C

ò 3

2- Prestação com correção monetária:

— + 25% í —c ] = — + ~ ( ~ C3 1,3 ) 3 4 U

... 2C , 2C (4 x 2) C + 2C 8C + 2C 10C 5 „0U T + 12 = -------12------- = - “ 1 2 - = T 2 ' = 6 x C

29) (TELERJ) Carlos tem dinheiro suficiente para comprar uma geladeira a vista. Caso ele opte por comprá-la a prazo, guardará o dinheiro que 1 sobrar em uma caderneta de poupança que renderá 25% ào mês. |Considere as alternativas: i

SI - comprar a vista, com 22% de desconto; ^II - comprar, com 10% de desconto, em duas prestações iguais, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda paga um mês após; -1[III - pagamento integral, sem desconto, um mês após a compra. JA melhor e a pior alternativa para Carlos são, respectivamente: í

a) I e II d) III e II |b) III e I e) II e III |c) I e III |

Solução: ’«

Considerando um preço de referência igual a R$ 100,00: j

I) Compra a vista com 22% de desconto:

100 - 22% x 100 = 100-22 = R$ 78,00

Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de Juros 2 Í 7

íl) Com 10% de desconto + 2 parcelas iguais:

100 - 10% x 100 = 100 - 10 - 90 => parcelas de ~ = R$ 45,00

45 45— t--------------i—

0 1 mês

III) Pagamento único sem desconto:

Í 100H-------------------- 1---0 1 mês

Capitalizando (1) e (II) para o final de um mês, empregando a taxa de poupança de 25% a. m., virá:

M(I) = R$ 78,00 (1 + 0,25) = R$ 97,50M m = R$ 45,00 (1 + 0,25) + R$ 45,00 = R$ 101,25M m = R$ 100,00

Portanto, a melhor e a pior opção são a (I) e (II), respectivamente.

30) (BANESPA) Uma pessoa depositou num fundo de investimento $ 100,00 mensalmente, durante três meses. Seu capital, no final do primeiro mês foi acrescido de 10%, no final do segundo mês, acrescido de 15% e no final do terceiro mês, acrescido de 20%. No final dos três meses, seu capital acumulado foi de:

a) $345,00 d) $420,50; _ b) $352,30 e) $ 435,00

-> c) $409,80 - r ^ -

Solução:

100 i, 100 L 100 i M = ?—!--------- ------ i- -1--- ---- i . r .

0 1 2 3 meses • '• • • ' ■

■ - . ''■■■ •ví f C = R$ 100,00 ij = 10% a. m.

12 = 15% a. m. :>fC'

13 = 20% a.m. M = Mj + M2 + M3

M-J = C X (1 + ii) x (1 + Ij) x (1 + i3) =- 100 X (1,10) X (1,15) X (1,20) = R$ 151,80


C X (1 + L) X (1 + i ) = 100 x (1,15) X (1,20) = R$ 138,00

M3 = C x (1 + i3) = 100 x (1,20) = R$ 120,00

Logo, M = M,+ M2 + M3 = 151,80 + 138,00 + 120,00 = R$ 409,80

313 (AN. ORÇ) Uma companhia aplicou R$ 10.000,00, em um título de seis meses, com remuneração de 10% ao mês (juros compostos). Por necessitar de recursos descontou (desconto simples por fora) o título dois meses antes do vencimento à taxa de 9% a. m. Que taxa de juros real foi obtida pela aplicação de recursos, durante quatro meses, se a taxa de inflação nos quatro primeiros meses tiver sido de 4% a. m.?

a) 24,18%b) 23,91%

c) 23,58%d) 25,08%

r 9°/o a. ra.na = 2 meses

A = ?

Solução:

C = R$ 10.000,00 i =* 10% a. m. n — 6 meses M = ?TI = taxa de inflação = 4% a. m.

M = C (1 + i)n = 10.000 (1,10)5 = 10.000 x 1,771561 = R$ 17.715,61

í * TI \A = N 1 1 - r nt

_ _ _ _ _

= R$ 14.526,80

-t 9x217.715,61 1 --------t 100

= 17.715,61 (1 - 0,18)

£

índice da Taxa Aparente: . - . _ . .

(1 + TN) = = 1,45268 para os quatro mesesÇ 10.000,00

índice da Taxa de Inflação:

1 + TI = (1,04)4 = 1,16986 para os quatro meses.

Logo, a taxa real (TR) será:

TR = | 1 ± IH _ l ) x 100 = f 1’ 4526** _ i I x 100 - 24,18%1 + TI 1,16986


32) (TCDF) No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a. a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é, então, de:

a) 1,00025% a. b. c) 1,025% a. b.-+ b) 1,0025% a. b. d) 1,25% a. b.

Solução:

j = 6% a. a. com capitalização mensal = = 0,5% a. m. = im

m ~ 2

ib = [(1 + im)2 - 1] X 100 = Ed,005)2 - 1] x 100- = (1,010025 - 1) x 100 ~ 1,0025% a. b.

33) (B. BRASIL) Um banco comprou para sua carteira própria, no primeiro dia de um mês de 31 dias corridos com 22 dias úteis, um BBC de 35 dias corridos com 25 dias úteis, cuja taxa de remuneração efetiva é de 0,07%. A taxa equivalente ao o ver desse título é:

a) 2,45% d) 1,75%

b) 2,17% e) 1,54%c) 2,10%

Solução:

TRD = Taxa de remuneração diária = 0,07%

TOM == Taxa de over mensal =. ? . . . . . . .... .

Sabendo-se que 30 (TRD), = TOM, virá: 30 (0,07%) = 2,10%

34) (B. BRASIL) Um ÉBC é negociado, nesta data, no mercado secundário de títulos públicos com um PU de 970,000000. Considerando que a taxa efetiva dia, calculada nesta data, é de 0,1524%, o fator de ganho do título, nesta data, até o resgate, e a taxa equivalente ao over (taxa over), embutida na negociação são, respectivamente:

a) 1,02 e 4,57% d) 1,03 e 4,58%

b) 1,02 e 4,58% e) 1,03 e 4,59%-> c) 1,03 e 4,57% - - ... ;


Solução:

TRD = 0,1524%PU = R$ 970,0000 (preço unitário)VR = R$ 1.000,00 (valor de resgate)Tem-se:

Fator de Ganho = FG = ~ = 1,03pu y/u

e TOM = taxa over mensal = 30 (TRD) = 30 (0,1524%) = 4,57%

35) (CEB-CONTADOR) A caderneta de poupança remunera seus aplica- dores à taxa nominal de 6% a. a. capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante dois meses?

a) R$ 801,00 c) R$803,00~> b) R$ 802,00 e) R$ 804,00

Solução:

í = a* a- ~ 0>5% a- m-

n = 2 meses

C = R$ 80.000,00J = C [(1 + i)n - 1] = 80.000 [(1,005)2 - 1] -

= 80.000 (0,010025) = R$ 802,00

36) (AFTN) Uma letra de câmbio no valor de $ -800.000,00 com vencimento daqui a três anos deve ser substituída por duas letras de câmbio, de mesmo valor nominal cada, com vencimento daqui a dois anos e cinco anos, respectivamente. Calcular o valor nominal das novas letras. Sabendo-se que a taxa de juro composto utilizada é de 8% ao semestre e a taxa de juro composto do desconto é de 10% ao semestre:a) $ 511.305,00 . d) $ 411.305,00b) $311.305,00 e) $ 382.433,00c) $433.382,00

Solução:

i% = 8% a. s.n: = 2 anos = 4 semestres


i2 — 10% a. S.

n2 = 1 ano = 2 semestres

800.000 = X (1,10)2 + _ J | _

800.000 = X ( 1 4 0 ) 2 + 1a os)4800.000 = X (1,21 + 0,735030

ou X *= = R$ 411.304,74 s R$ 411.305,00(1,945030)

Observação: Por permitir a ocorrência de várias respostas, ao não levar em consideração o “Princípio Fundamental da Equivalência entre Fluxos de Caixas”, o problema acima confunde também taxa de juros com taxa de desconto. É um problema encontrado resolvido em livro-texto de circulação nacional e que jamais deveria participar em prova de concurso público.

37) (AFTN) Um commercial paper com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.

-> a) US$751,314.80 d) US$ 729,000.00b) US$ 750,000.00 e) US$ 700,000.00c) US$ 748,573.00

Solução:

N = US$ 1,000,000.00 ..... ■■■""'■’ :V

i = 10% a. a.

n = 3 anos

A = ?

A _ N _ 1,000,000.00 _ 1,000,000.00 _ T T O d , o , „ onA “ ( l + i)' - (1,10)3 '------1:331- '■ - us$ 751,314-ao f

38) (ESAF) Sejam dois títulos com as seguintes características:

I - Um certificado de depósito a prazo, de $ 50.000,00, efetuado 17 meses atrás, que rende juros compostos de 4% ao mês. Os rendimentos são tributados em 8% (Imposto de Renda) no ato do resgate::


33 - Uma promissória de $ 112.568,00 vendvel de hoje a sete meses, que pode ser resgatada mediante desconto racional composto de 5%, ao mês.Os dois títulos, se resgatados hoje, desprezados os centavos, valem:

a) $ 169.603,00 d) $ 181.204,00-+ b) $ 173.603,00 e) $ 185.204,00

c) $ 177.395,00

Solução:

ij = 4% a. m. IR = 8%i2 = 5%a.m.

nx = 17 meses

n2' — 7 meses.

N, = 50.00017

N, = 112.5680 ‘ (meses)

x = x1+ x2 ,X, = N, (1,04)17 - IR = 50.000 (1,04)17 - IR = 97.395 - IR ;IR = 8% [50.000 (1,04)?7-50.000] — •'.".7

= 0,08 (97.395 - 50.000) = R$ 3.792,00

Logo, X1 = 97.395 - 3.792 = R$ 93.603,00

X, = N/Cl + 0,05)7 = = R* 80-000,00

Portanto, X = 93.603 + 80.000 = R$ 173.603,00

39) (BACEN) Considere o fluxo de caixa abaixo:

O valor de X para o qual a taxa intema de retomo anual é igual a 10% é:

a) 25 d) 30 .b) 26 ; . v - ' v . ; . e) 33c) 28 : -v ■ /

Aplicações Financeiras, Inflação e Taxas Reais de. Juros 2 2 3

Solução:

TIR = i - taxa intema .de retomo = 10% = 0,10

_ 100 + - — + -----— - o(1 + i )1 (1 + i)2

ou X + 80(1 +i) -100 (1+i)2 = 0

ou ainda, substituindo (1 + i) = 1,10 virá,

X + 80 (1,10) - 100 (1,10)2 X + 88 = 100 (1,21)X = 100 (1,21)-88

De onde, finalmente: X = 121 - 88 ~ 33

40) (TTN) João aplicou R$ 500.000,00 em ações da Cia. “X” na bolsa de valores. Sessenta dias depois vendeu-as por R$ 400.000,00. Admitindo-se que ele poderia ter aplicado sua economia no mercado aberto ( open market) a juros simples comerciais a uma taxa de 96% a. a., o seu prejuízo real foi de: .

a) R$ 175.000,00 d) R$ 200.000,00b) R$ 190.000,00 e) R$ 185.000,00

- c) R$ 180.000,00

Solução:

C — R$ 500.000,00 e M l = R$ 400.000,00 ; ; \;;.V i2 — 96% a. a. = 8% a. m. .. . ' .. .....

n = 60 dias = 2 meses . - -m 2 = ?

M. = c í l + - 500.000( l + | = R$ 180.000,00•2 • • l;-. -100-J........ . - 4 ..... 100 J .....

Logo, M2 Ma = 580.000 - 400.000 = R$ 180.000,00

41) (AN. ORÇ.) Um investidor deseja aplicar recursos e deve decidir entre as alternativas que proporcionam os seguintes fluxos de caixa:

2 2 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos ■ Ferreira e Ferreira

Os valores de X que tomam as alternativas anteriores equivalentes na data focal 0 (zero) e na data focal II (dois), se considerarmos a taxa de juros compostos de 5% por período, são, respectivamente,

-» a) 473,00 e 473,00 c) 469,00 e 469,00b) 482,03 e 482;03 d) 470,88 e 472,75

Solução:

i = 5% por período

Alternativa 1 = Alternativa 2, admitindo como data focal a data 2:

100 x (1,05)2 + 150 (1,05)* + X 4 300 x (1,05)2 + 200 (1,05)* + 200 ou 100 (1,1025) + 150 (1,05) + X = 300 (1,1025) + 200 (1,05) + 200

ou ainda, 110,25 + *157,50 + X = 330,75 + 210 + 200267,75 + X = 740,75

de onde, finalmente: X = 740,75 - 2j67,75X = 473,00

Observação: Como o valor de X é o mesmo para qualquer data tomada como data focal, a resposta correta é o item (a).

42) (CONTADOR) Em um período em que a inflação foi de 96% os salários de certa categoria aumentaram 40%. Para que os salários, após esse aumento, recuperassem o poder de compra eles deveriam ser aumentados em:a) 56% c) 46%b) 52% d) 40% .

Solução:

Salário de referência de R$ 100,00Aumento: 100 + 40% x 100 = 100 + 40 = R$ 140,00Inflação: 100 + 96% x 100 = 100 + 96 = R$ 196,00

Aumento Efetivo:

140 + X x 140 = 196 Xx 140 = 196-140 = 56

ou X = = 0,40 = 40%


100 (1 + 0,40) = 140 100 (1 + 0,96) = 196 140 (1 + X) = 196


de onde: X = 1,40 - 1 = 0,40 = 40%

43) (FGV) Marcos fez uma aplicação de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples exatos de 18,25% ao ano, do dia 15 de março ao dia 25 de abril do mesmo ano. Ao final desse prazo, o saldo de Marcos, desprezando os centavos, era de:

a) R$ 10.200,00 c) R$10.205,00b) R$10.202,00 d) R$ 10.207,00

Solução:

C = R$ 10.000,00i = 18,25% a. a.

41n = 41 dias* = -— ano 365

M = ?

<■"> n- de dias:março: 16 dias abril: 25 diasTotal = 41 dias

Logo, M = 11 + i x n/365 100

* 10.000 1 + 18,25 x 41 365 x 100

= 10.000 (1 + 0,05 x 0,41) -- 10.000 (1 + 0,0205) = R$ 10.205,00

44) (ICMS) O quadro a seguir indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham, e as respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos.


Taxa

A 100.000,00 100% ao ano

B 100.000,00 60% ao semestre

Depois de decorrido um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investimentos será:

a) 480.000,00

b) 456.000,00c) 440.000,00

d) 336.000,00e) 420.000,00

Solução:

Cj = R$ 100.000,00; ix = 100% a. a.;C, = R$ 100.000,00; L = 60% a. s.;'

1 ano2 semestres

Mj Cj x (1 + ij)"1 = 100.000 (1 + 1,0o)1 = R$ 200.000,00M2 = C2 x (1 + i2)n* = 100.000 (1 + 0,60)2 = 100.000 x 2,56 =

- R$ 256.000,00 '

* Tabela financeira, (1 4- i)n = rn = 2,56, para a taxa i = 60% e n — 2 períodos.

Portanto, M1 + M2 - R$ 456.000,00

45) (B. BRASIL) Ura investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no Banco Alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no Banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de um mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram, respectivamente:-+ a) 148.598,13 e 151.401,87 d) 151.598,13 e 148.401,87

b) 149.598,13 e 150.401,87c) 150.598,13 e 149.401,87

e) 152.598,13 e 147.401,87

Solução:

Ca + C2 = R$ 300.000,00ij = 8% a. m. L = 6% a. m.:


iij ~ n2 = 1 mêsm : = m 2

M3 = C, X (X + = Ca X (1,08)1 (1)M2 = c2 X (1 + i2)n* = c2 X (l^Oô)1 (2)

Como (1) = (2) e Cx + C2 = 30.000, virá:

C, (1,08) = c2 (1,06) ou c2« cx

ou ainda: C. + C, | - 300.0001 1 UoeJ1,06 x q + 1,08 Cj = 300.000 (1,06)Ct (1,06 + 1,08) = 318.000 C, (2,14) = 318.000

de onde, Ca = = R$ 148.598,13At

e ; ■ C2 = C. ÍM â -j = 148.598,13 x ='R$ 151.401,87;■?; , - 2 z1 lvl,06j 1,06 v:,:.

Portanto, Ct = R$ 148.598,13

e ... C2 - R$ 151.401,87

Rendas Certas, Séries Financeiras ou Séries de Pagamentos

,

01) (AFTN) Uma empresa tem um compromisso de $ 100.000 para ser pago dentro de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: $ 20.000 antecipados, a vista, e dois pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser de:

-> a) $43.473 ' d) $ 47.396b) $46.725 e) $ 48.377c) $ 46.830

Solução: -

i = 7% a. m

20.000 100.000 C C51 ll 2l iTCmeses)

Ao final do l fi mês, o saldo devedor é de: 100.000 ~ 20.000 (1,07)* = '100.000 - 21.400 = R$ 78.600,00A partir daí temos duas maneiras de se chegar ao valor de “C”;

l 3 maneira de resolução:

Rendas Certas, Séries Financeiras ou Séries de Pagamentos 2 2 9

OU 78.600 = C1 1 +

de onde: C

1,07 (1,07)2.

78.600 * C (0,93458 + 0,87344)78.600 - C (1,80802)

78.600(1,80802)

2~ maneira de resolução^*3

Uso da tabela financeira:

C = 78.600 x 115li

= R$ 43.473,00

C - 78.600 x a | = 78.600 (0,55309) = R$ 43.473,002Í7%

(,) Obs.: Caso seja fornecida a tabela financeira j ^ J = 0,553099

02) (AFTN) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de duas prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final-do-segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é:

a) R$ 10.350,00 d) R$ 12.433,33. b) R$10.800,00. .... .... ..... e) R$12.600,00

c) R$ 11.881,00

Solução:

36%í = a. a. — 9% a. t.

20.900— j--------

2 (trimestres)


Para P = R$ 20.900,00, n = 2 pagamentos e i = 9% a. t., virá:

C = 20.900 \ \ | = 20.900 x 0,56847 = R$ 11.881,002Í9% J

03) (FTESM) João tomou um empréstimo de R$ 200,00 a juros de 5% ao mês. Um mês após o empréstimo, pagou R$ 100,00 e, um mês depois desse pagamento, liquidou à dívida. O valor desse último pagamento foi de:

a) R$110,00b) R$ 112,50c) R$,115,50

Solução:

200 100 X = ?----1------------------------ 1---- :--------- i-------------------0 1 .2 (meses)

i = 5% a. m.X = [200 (1,05) - 100] x (1,05) - [210 - 100] x (1,05) = i \ 0

. = 110 X 1,05 = R$115,50

04) (ICMS) Um bem foi adquirido através de um plano, sem entrada em três prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 300,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 4% ao mês e a capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato é:a) R$544,07 d) $900,00b) R$565,83 e) $832,53c) R$800,10

Solução:

i = 4% a. m. "C = R$300,00 n = 3

d) R$ 120,00e) R$125,00

[

P = ? 300 300 300— i----------------1--------------1---------------1-----------------

0 1 2 3 (meses)


OU P = 300 x (a3)4%) = 300 x (2,775091)

de onde , P = R$ 832,53

Outra forma, mais trabalhosa, de se chegar ao mesmo resultado:

p _ 300 300 300 _ 300 300 3001,04 (1,04)2 (1,04)3 1,04 1,0816 1,12486= 288,46 + 277,37 + 266,70 = R$ 832,53

05) (ESF) Um automóvel, que custa a vista $ 14.000,00, está sendo vendido com financiamento nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço avista e o saldo em duas parcelas iguais, à taxa de juros compostos de 7% ao mês.Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverá ser de (desprezar os centavos no resultado final):

a) $ 5.156,00 d) $ 5.597,00b) $5.697,00 e) $5.066,00

c) $5.420,00 - v iO

Solução:

a) Valor da entrada: 30% x R$ 14-000,00 = R$ 4.200,00

b) Valor a financiar: 14.000 - 4.200 = R$ 9.800,00

Esquema de pagamento para uma taxa de 7% a. m.:

9.800 C C0 1 2 3 (meses)

9.800 = C (0,93458 + 0,8163) 9-800 = C (1,750878)

ou 1,750878c =

9.800 R$ 5.597,00


Observação: Se a interpretação for que o 2- pagamento será feito 60 dias após o pagamento da entrada (ou valor fornecido a vista), o esquema de pagamento seria:

9.800 C C0 2 (meses)

9.800 =

9.800

1,07 (1,07)2

1 11,07 (1,07)"

9.800 = C.1,07 1,1449;

9.800 = C (0,93458 + 0,87344)9.800 = C (1,80802)

9.800ou C (1,80802) R$ 5.420,00

Observação: Usando-se a tabela financeira 0nli

C = 9.8002Í7%

9.800 (0,55309) = R$ 5.420,00

Conclusão: Na fiel interpretação dos dados fornecidos para o problema, a. alternativa (d) deverá ser a correta resposta a ser assinalada.

06) (BACEN) Tomei emprestados $ 1.000.000,00 a juros compostos de 10% ao mês. Um mês após o empréstimo, paguei $ 500.000,00 e dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. O valor desse último pagamento foi de:a) $660.000,00b) $ 665.500,00c) $ 700.000,00

Solução:

i = 10% a. m. 1.000.000ol

500.000

d) $ 726.000,00e) $ 831.000,00

X = ?lí 3! (meses)

X = [1.000.000 (1,10) - 500.000] X (1,10)2 ~~ [1.100.000 - 500.000] X (1,10)2= (600.000 x 1,21) = R$ 726.000,00


07) (PUC) Uma geladeira pode ser comprada a vista por $ 2.000,00 ou em três prestações mensais iguais, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês sobre o saldo devedor, o valor de cada prestação é, aproximadamente:

d) $ 827,00 d) $887,00

-> b) $847,00 e) $907,00

c) $ 867,00

Solução:

C = ?

P = R$ 2.000,00

i = 30% a. m.

n = 2 meses

A vista:

A prazo:0 2 (meses)

2.000 = C + Cx a .

2.000 = C ( l + a2.)

2.000 2.000

ou

De onde,

Logo,

2.000 847,12

08) (PUC) João deposita mil reais no dia l 9 de cada mês,: em um fundo de investimentos. Sabendo que o investimento rende juros mensais de taxa de 5% e que (1,05)12 = 1,8, podemos afirmar que, imediatamente após o 12” depósito, João terá acumulado:

a) 12,6 mil reais d) 19,2 mil reais

-»• b) 16 mil reais e) 21,6 mil reais

c) 18 mil reais > ■ ; . . ,


v Solução: '

. c = R$ 1.000,00i = 5% a. m. '• 'n = 12 depósitos antecipados F = ?

F - C x S j j , o u ...............F — 1.000 x Sj2]5%

Como = (1^ ~ 1 = ^ = 16. virá: F = 1.000 x 16 =

= R$ 16.000,00 I

09) (AFTN) O pagamento de um empréstimo no valor de 1.000 unidades de valor será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será:

a) 1.000 -T- 6 d) 1.000 8,753738b) 1.000 x 2.31306 e) 1.000 ^ 2,31306

-+ c) 1.000 - 3,784482

Solução:

P = 1.000 unidades n = 6 semestresi = 15%a. s.

1.000 C C C C C C— i---------------------------- 1------------ 1------- 1— ,-------------1------- — i—------- 1-------------------------------

0 1 2 3 4 5 6 (semestre)

r , : P = C x a j. v. r--. c-. .■/■■■ - <

. r ~ P - 1-000 _ 1-0003,784482

10) (BACEN) Um bem foi adquirido, através de um plano de três prestações de R$ 200,00 mensais, iguais e consecutivas, sem entrada, e a 1* prestação ocorrendo a 30 dias da data de sua aquisição. A taxa nego-


ciada é de 2% âo mês e o regime é de capitalização composta. O valor

c) 526,30

Solução:

C = R$ 200,00i =. 2% a. m. n = 3

- 200 x (2,88388) - R$ 576,77

11) (ACE) Um indivíduo deseja obter R$ 100.000,00 para comprar um apartamento ao fim de um ano e, para isso, faz um contrato com um banco em que se compromete a depositar mensalmente, durante um ano a quantia de R$ 3.523,10, com rendimento acertado de 3% ao mês, iniciando o primeiro depósito ao fim do primeiro mês. Transcorrido um ano, o banco se compromete a financiar o saldo restante dos R$100.000,00 à taxa de 4% ao mês, em doze parcelas mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de trinta dias. Calcular a prestação mensal desse financiamento, sem considerar centavos:a) R$4.436,00 d) R$5.023,00

. b). R$.4-728j00.. . : ; . .. . v . ‘ : • -~t. .e) R$ 5.327,00 • 'c) R$ 5.014,00

Solução:

ia = 3% a. m.i2 = 4% a. m.

do bem na data da aquisição é, em reais:a) 551,90b) 600,00

d) 546,00

-* e) 576,77

P 200 200 200

0 1 2 3 (meses)

C =■">

C, = R$ 3.523,10

[ r ~ r ............. r ~ r i i \0 1 2 10 11 12 13 14 24 (meses)


F = Cl x = 3.523,10 x S = 3.523,10 (14,19203) = R$50.000,00

P ~ C2 X aí5l4%

50.000 x

ou C2 = P 1

---1---19,385074j

Í2 Í4 % j

50.000 x 0,106552 = R$ 5.327,00

12) (ESAF) Um automóvel foi vendido por $ 5.000,00, em duas parcelas iguais e semestrais, não sendo exigido entrada. Qual o valor dos pagamentos aproximadamente, se a taxa de juros compostos considerada foi de 10% ao semestre? $: í

a) 2.995,00b) 2.890,00

c) 2.980,00

Solução:

P = R$ 5.000,00 i = 10% a. s. n = 2 semestres C = ?

d) 2.881,00

e) 2.180,00

P = C x a-

ou C = Pnli

o 2 (semestres)

2Í10%

= 5.000 x 0,576190 = R$ 2.880,95 s R$ 2.881,00

Outra maneira, mais custosa, de resolver a questão:

P =

ou

(1 + i) (1 + i)2

P = C 1 1+(1 + i) (1 + i f

Rendas Certas, Séries Financeiras ou Séries de Pagamentos 237-

de onde,

1 + i (1 + i)2

5.000

5.000

+i,io. a ,ior

5.000

ou

(0,90909 + 0,82645) (1,73554)

C s R$ 2.881,00

R$ 2.880,94

13) (ESAF) Um indivíduo comprou um automóvel usado para pagamento em sete prestações mensais iguais de $ 20.000,00, além da entrada. No momento em que pagou a 1- prestação propôs ao vendedor liquidar as outras seis parcelas por ocasião do vencimento da 5a prestação, sob as seguintes condições:

I - juros compostos de 10% ao mês sobre os valores então vencidos;II - desconto racional composto de 5% ao mês sobre os valores a vencer.

O pagamento proposto, desprezando os centavos, é igual a:

a) $128.404 d) $ 129.800b) $ 129.002 -+ e) $ 130.008c) $ 129.305

Solução:

C = R$ 20.000,0011 = 10% a. m. (vencidas)12 — 5% a. m. (a vencer)

vencidasc c c c c

a vencer C C

0Í li 2Í 3l 4Í 5! 6! 7!

Pagamento (P ) proposto será:

ou

ou ainda,

p5 = c * Sfl + C x a ;

P5 = 20.000

5ii2%

+ 20.000 x , n

P3 = 20.000 x (4,641) + 20.000 x (1,85941) P5 = 92.820 + 37.188,20 P5 - R$ 130.008,00


14) (TCI ~ adaptado) Uma pessoa deve pagar três prestações de R$ 3.500,00 cada uma, a vencer daqui a um mês, dois meses e três meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida por meio de um único pagamento daqui a seis meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao mês?

a) R$9.890,00 d) R$ 11.080,70

b) R$ 10.240,60 e) R$ 12.772,00

c) R$ 10.508,33

Solução:

i = 5% , |

? 3.500 3.500 3.500 X = ?

•• ~ y íg (meses)

X = 3.500 (l,05)s + 3.500 (1,05)4 + 3.500 (1,05)3 =

= 3.500 [(Í,05)5 + (1,05)4 + (1,05)3] -

* 3.500 [1,27628 + 1,21551 + 1,15763] =

* 3.500 (3,64942) = R$ 12.772,00

29 Modo de resolução:

X — C x |Sgj5% - % 5%)

= 3.500 X (3,649413)

39 Modo de resolução:

X = C x S3s% x (1 ■+ iT 2 = 3.500 x S^5% x (1 + 0,05)3 =

= 3.5000 x (3,1525) x (1,157625) = R$ 12.772,79 = R$ 12.772,00.

15) (AFTN) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?

a) 12.000 15,025805 d) 12.000 - (12 x 1,601032)

b) 12.000 -h (12 x 1,48) e) 12.000 + 12

c) 12.000 - 9,385074

= 3.500 x (6,801913 - 3,1525) «

= R$ 12.772,95 s R$ 12.772,00.


F = R$ 12.000,00 n = 1 ano = 12 mesesi = 4% a. m.C = ?

Solução:

ou C = 12.000 -*• 15,025805

16) (AN. GRÇ.) Um indivíduo planeja comprar um bem que necessitará utilizar ao final de 12 (doze) meses. Por não dispor de recursos para adquirir o bem a vista, ele terá que decidir entre duas alternativas:I - Poupar uma parcela fixa mensal ao final de cada um dós doze meses que se seguem, obtendo rentabilidade de 5% a. m. (juros compostos) para comprar o bem ao final do período;

II - Comprar o bem de imediato e financiá-lo a uma taxa de juros mensal de 7% a. m. (juros compostos), pagando em parcelas fixas ao final de cada um dos doze meses que se seguem.O vendedor do produto anuncia que haverá uni aumento de X% durante o período de doze meses. Se optar pela alternativa I, o indivíduo terá que comprar o bem com aumento. Se optar pela alternativa II, o bem será adquirido sem aumento. O aumento que toma as duas alternativas indiferentes (mesmo dispêndio mensal) para o indivíduo será de:a) 95,42% c) 100,40%

15,0258051

b) 98,37% d) 90,02%

Solução:

= 5% a. m.i2 - 7% a. m.

1 C CF - (1 + X)

Ch0 1 2 12

1 _j_ xPoupança: C x Sm$% = 1 + X => .. C = ------

12! 5%


Financiamento: C x = 1 C =. a Õ2Í7%

Fazendo-se a igualdade entre as duas relações, virá:

1 + X 1 . _ , . „ Si2l5% 15,917127ou 1 + X =ai37* 7,942686

2,0043.— r

1215% 1217%

de onde, finalmente, X = 2,004 - 1 = 1,004 ou X = 100,4%

17) (ESAF) Uma empresa, para não ter problemas de caixa, pretende fazer um fundo para pagar uma dívida de $ 5.000.000,00 que vence daqui a15 meses, depositando, mensalmente, $ 150.000,00 (anuidades poste-* cipadas) durante os 15 meses./Para completar o fundo no vencimento da dívida, pretende fazer, ainda, mais dois depósitos iguais em três e seis meses. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 6% a. m., o valor desses depósitos deve ser de: (desprezar os centavos no resulta-: do final)

a) $397.875,00b) $ 402.748,00c) $ 407.546,00

Solução:

C = R$ 150.000,00i =. 6% a. m. n = 15 depósitos F = ?

d) $410.878,00 2) $ 418.787,00

150.000 / mês

15

X = ?5.000.000-F


F = Cx Sg. = 150.000.x S ^ = 150.000 (23,27597) = R$ 3.491.395,48

Logo, o saldo Fx que ainda falta para completar os R$ 5 milhões é de:

Os depósitos “X”, a serem realizados ao final de 3 e 6 meses, deverão ser de:

X x (1,06)12 + X x (1,06)9 = 1.508.604,52 X [(1,06)12 + (1,06)9] - 1.508.604,52 X [2,012196 + 1,689479] = 1.508.604,52 X [3,701675] = 1.508.604,52

de onde, X = = R$ 407.546,44 s R$ 407.546,00(.3,701675)

(BACEN) Tomou-se um empréstimo de 100 URVs, para pagamento em dez prestações mensais sucessivas iguais, a juros de 1% ao mês, a primeira prestação sendo paga um mês após o empréstimo. O valor de cada prestação é de, aproximadamente:

a) 10,8 URVs d) 10,2 URVsb) 10,6 URVs e) 10 URVsc) 10,4 URVs

Solução:

P = R$ 100 URVs n = 10 mesesi = 1% a. m.

C = ?

Fx = 5.000.000 - 3.491.395,48 = R$ 1.508.604,52

ou C = P x 100 — — = 100 x 0,105582 s 10,56 URVsaíõh%,


(BACEN) O valor atual de uma serie de n pagamentos mensais sucessivos iguais a Vy vencendo o primeiro daqui a K meses, a juros mensais de taxa i é:

- ai P 1 - (1 + i )~" dl l í L + j y ^ z l} i a + iy - 1 J i ( i + o k

i - ( í + i ) - » , í i + iW P (1 : i)> . - ... ^ P i .

«o p L-J i .+JI-" . kl

Solução:

0 k — 1 k k + 1 k + 2 ...... k + n — 1, k + n

P x a-,, x

= P

"(1 + i)k-1

~1 - (1 + i)~n(1 + i)k-l = Px 1 ~ (1 + i)'

i x (1 + i),k—1

(BACEN) Para a questão a seguir, a tabela abaixo pode ser útil:

Depositando mensalmente 10 URVs em um fundo que rende 1% ao mês, o montante após o 20s depósito será de:

a) 244,04 URVs d) 220 URVsb) 240 URVs e) 202 URVs

-> c) 220,2 URVs


C= 10 URVs i — 1% a. m. n = 20 meses

. F — ? -

Solução:

"(1 + i)n - l"= 10

"(1,01)20 - l" = 10 "1,22022-1'= 10 ~0,2202

I 0,01 L 0,01 j L 0,01 j

= 220,02 URVs

21) (CONTADOR) Uma pessoa pretende depositar R$ 100,00 todo final de mês durante 13 meses em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 4% ao mês. Se o montante das aplicações for resgatado por meio de três saques mensais iguais e consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, o valor de cada saque será igual a:a) R$ 544,43 -*> d) R$ 599,14b) R$554,50 e) R$698,65c) R$578,16

Solução:

Cj - R$ 100,00 ns = 13 parcelas i = 4% a. m.

C2 = ?

Ci = 100/mês

0 1 2 ...... 12 13 14 15 16

= 100 x Sm4% = 100 x (16,626838) = R$ 1.662,68

ou C2 = P ------' \ al4% v


= 1.668,68 x í — 1 = 1.662,68 x 0,360349 = R$ 599,14 1^2,775091)

22) (FISCAL TRANSR URBANOS) Foi feita uma aplicação de renda anual em 12 termos iguais a $ 20.000,00 diferida de quatro anos. Considerando apenas a taxa de juros compostos de 9% a. a. e os índices da tábua ajgj9% - 8,3125 e a^9% = 3,2397, o valor dessa renda é:

a) $105.672,00 d) $102.314,00b) $104.517,00 e) $101.456,00c) $ 103.918,00

Solução:

i C = 20.000/mês • .i k / - L ■ - 4

I ■ 10 1 2 3 4 5 6... 16 (meses)

De acordo com os dados fornecidos,

P = C - a^9%) = 20.000 (a ^ 9% - =

= 20.000 (8,3125 - 3,2397) ou P = R$ 101.456,00

23) (ESAF) Um indivíduo deve $ 181.500,00, vencíveis de hoje a seis meses, e $ 380.666,00, vencíveis de hoje a 12 meses. Para transformar suas dívidas em uma série uniforme de quatro pagamentos postedpados trimestrais, a partir de hoje, a juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre, o valor do pagamento trimestral é, desprezados os centavos:a) $ 102.500 d) $ 136.426b) $ 118.207 -+ e) $129.343c) $140.541

Solução:

P» 181.500 380.666

0 1 2 3 4 (trimestres)

P2 c c c cÕ1 1 2* 3* 4 (trimestres)

„ _ 181.500 , 380.666 181.500 . 380.666 _ _______ _ _____p‘ - õ i õ ? + "ÕÃÕF - ~ ~ X z T + -T Ã 6Ã T - 150m 0 + 26aoo° =

= R$410.000,00

Por sua vez, fazendo Px = P2, de acordo com os diagramas anteriores, virá:


Pj = P2 => 410.000 = C x a

ou C 410.000 410.000a4iicm 3,169865

R$ 129-343,00

24) (CONTADOR) Um equipamento cujo valor a vista é de R$ 33.000,00 pode ser pago por meio de uma entrada e dezoito prestações mensais e consecutivas de R$ 2.000,00. Se há um período de três meses para início do pagamento das prestações, o valor da entrada, considerando- se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao mês, será de:

a) R$ 11.308,19 -> d) R$ 11.794,40

b) R$11.719,76 e) R$ 11.856,78

c) R$ 11.722,56

Solução:

P = R$ 33.000,00

C = R$ 2.000,00

i = 5% a. m.

E ~ ?

m 2.000,00/mês

33.000 | f ' r ' *

4 ............. 19 20 (meses)

P — E 4- C x a ^ . x (1 -M )~ 2

ou 33.000 = E + 2.000 x ams% x (1,05)~2

33.000 = E 4 2.000 (11,689587) x (0,907029)33.000 = E 4- 21.205,59

de onde, E = 33.000 - 21.205,59 = R$ 11.794,41


25) (ESAF) O preço de uma moto é de $ 2.500,00. Uma pessoa comprouesta moto com uma entrada de $ 500,00 e o saldo financiado em cincoprestações mensais, iguais e consecutivas, de $ 487,78. Nessas condições, a taxa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de:

a) 151,8% a. a. d) 96,1% à. a.-> b) 125,2% a. a. e) 101,2% a. a.

c) 83,4% a. a.

Solução:

P = R$ 2.500,00E = R$ 500,00 jP’ - Valor financiado == P - E ~ R$ 2 000,00C - R$487,78

P’ ■ 5c • 5,1 ■

2.000 \487^8 “ ^ ^

Pesquisando em uma tabela financeira “ a . ”, para n = 5,

encontra-se: a^7% - 4,1 => i - 7% a. m.

Portanto, i. = (1 + 0,07)12 - 1 = 1,252 a. a. = 125,2% a. a.

flaaugi7Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos

01) (AFTN) Uma empresa obteve financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:

a) $3.250,00 d) $2.975,00b ) $ 3.100,00 -> e) $2.750,00

c) $3.050,00

Solução:

' / 120%' ' 'no/.......... ...i — — a. a. — 10% a. m.12

10.000 6.000 3.000 X = ?

0 1 2 3 (meses)

• Saldo Devedor ào final do l s mês (SD ):SDX = 10.000 (1,1o)1 - 6.000 = 11.000-6.000 = R$ 5.000,00

• Saldo Devedor ao final do 2- mês (SD2) :SD2 = SD1 (1,1o)1 - 3.000 = 5.000 (1,10) - 3.000 = 5.500 - 3.000 =

= R$ 2.500,00 " í


• Saldo Devedor ao final do 39 mês (SD3 = X):SD3 = X = SD2 (1,1o) 1 - 2.500 (1,10) = R$ 2.750,00

02) (TCDF) Uma empresa tomou emprestado de um banco, por seis meses, a quantia de R$ 10.000,00 à taxa de juros compostos de 19,9% a. m. No entanto, um mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a. m.?

Considere: (1,199)6 = 2,97

a) R$ 24.000,00 c) R$ 26.000,00b) R$ 25.000,00 j d) R$ 27.000,00

Solução:

i = 10% a. m. e (1,199)6 = 2,97

10.000 X = ? N 6 = 29.700

0 5 6 (meses)

N6 = 10.000 (1,199)6 = 10.000 X 2,97 = R$ 29.700

X = = R$ 27.000,00(1 + í)1 (1,10)’

03) (AN. ORÇ.) Um banco emprestou recursos a um indivíduo com o seguinte esquema de pagamento: o primeiro pagamento de R$ 10.000,00, após dois meses, e o segundo de R$ 12.000,00, óito meses após o primeiro. Na data de vencimento da primeira parcela, por não dispor de recursos, o devedor propôs a repactuação da sua dívida da seguinte forma: pagamento de R$ 6.000,00, após quatro meses e o saldo quatro meses após a primeira parcela. Se a taxa de juros considerada para repactuação da dívida foi de 24% a. a. com capitalização mensal, o valor da segunda parcela será de:a) R$ 17.357,01 c) R$17.125,00b) R$ 16.940,00 d) R$ 17.222,00

Solução:

4*t7V ~ A /

1 = i r a‘ a* ~ a*m*

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos' 2 4 9 '

Esquema original:10.000 12.000

10 (meses)

Esquema proposto:0

6.000 — i—10 (meses)

Adm itindo-se a data 1 0 como data focal, tem -se

10.000 (1,02)8 + 12.000 = 6.000 (1,02)4 4 X

1 0 .0 0 0 ( 1 ,1 7 1 6 5 9 ) + 1 2 .0 0 0 = 6 .0 0 0 ( 1 ,0 8 2 4 3 2 ) + X

1 1 .7 1 6 ,5 9 + 1 2 .0 0 0 = 6 .4 9 4 ,5 9 + X

de onde X = 1 1 .7 1 6 ,5 9 + 1 2 .0 0 0 - 6 .4 9 4 ,5 9

ou X = R$ 1 7 .2 2 2 ,0 0

04) (AN. ORÇ.) Uma empresa tomou emprestado de um banco determinado valor à taxa de 3% a. m. (Juro composto), pelo prazo de sete meses. Sabe-se que a empresa saldou a dívida três meses antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros de mercado era de 2% a. m. (desconto composto por dentro). Se a dívida foi liquidada por R$ 100.000,00, a empresa tomou emprestado:

a) R $ 8 6 .1 0 4 ,3 3 c) R $ 8 6 .8 3 0 ,4 2

b) R $ 8 6 .2 8 5 ,9 1 d) R $ 8 6 .8 5 2 ,4 7

Solução:

ix = 3%

C2 = 100.000

4 (meses)

i2 = 2%

q = c ( i + g 7 = c ( i , 0 3 ) 7 = c (1,229874)

r - inn nnn - c (1.229874) C (1,229874) _ r n2 “ 100000 ........(1,02)3--------- (1,061208) " C f1.15893®

ou C = 100.000 ( 1 ,1 5 8 9 3 8 )

= R$ 8 6 .2 8 5 ,9 1

05) (CEF) Um trator pode ser comprado a vista por um preço \Ç ou pago em três parcelas anuais de R$ 36.000,00, a primeira dada no ato da com-

2 5 0 Matemática Financeira para Concursos Públicos r Ferreira e Ferreira

pra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a. a. sobre o saldo devedor. Nessas condições, o preço V é:

a) R$ 75.000,00 d) R$95.000,00b) R$88.000,00' e) R$ 97.000,00

-* c) R$91.000,00

Solução:

i = 20% a. a.

V = ?36.000 36.000 36.000

0 j( 2 (anos)

V = 36.000 + = 36.000 + 30.000 + 25.000 = R$ 91.000,001,20 {l,20r ;

Ou, então: V - 36.000 + 36.000 x a320%- = 36.000 + 36.000 x (1,527778) *= = 36.000 + 55.000 = R$ 91.000,00.

06) (AN/YLISTA-ORÇ.) Uma empresa tomou financiamento de R$ 100.000,00 à taxa de 120% a. a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Se ao final do primeiro, do segundo e do terceiro mês ela pagou R$ 20.000,00, a prestação fixa que deverá ser paga ao final do quarto, do quinto e do sexto mês para que o financiamento esteja totalmente liquidado será de-* a) R$26.901,48 c) R$26.752,38

b) R$26.875,01 d) R$27.048,15

Solução:

120% 1An/^ a. a. = 10% a. m.

100.000•H----0

(meses)

P2 = 20.000 x .a j = 20.000 x 2,486852 = R$ 49.737,04

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos 2 5 1

P2 = 100.000 - P1 = 100.000 - 49.737,04 = 50.262,96

2 w 2 ( a ê l l O % a 3 Í 1 0 % ) ^ 2P = C, ou C„a 6 ll0 % a 3 ll0 %

50.262,96 _ 50.262,96 R<s Qni ãR(4,355261 - 2,486852) 1,868409 ’

(CONTADOR) Uma pessoa pretende comprar um bem, cujo valor a vista é R$ 10.000,00, pagando uma entrada de R$ 2.343,63 mais doze prestações mensais consecutivas de R$ 1.000,00. Se o pagamento das prestações tem início ao término de um determinado número de meses de carência, a juros efetivos compostos de 5% ao mês, o período de carência será de:

a) 2 mesesb) 3 meses

-* c) 4 meses

Solução:

i = 5% a. m.

d) 5 mesese) 6 meses

10.000

0

2.343,63

or k k + 1 k + 2 .... k + 11 (meses)

ou

k = carência

P=-E:+Gx:als % x-à+-0,05)'ík- » .....

10.000 = 2.343,63 -f 1.000 x aS5%x (1,05)-»-«

10.000 ~ 2.343,63 = 1.000 x (8,863252) x (1,05)-

7.656,37 = 8,863,25 x (1,05)-*-»

ou ainda, (1 ,05)*'» = | §§| §§ = 1,157631

fazendo k = 4 => (l,05y*~ iy - 1,157625 = 1,157631

Resposta: O período de carência é de 4 (quatro) meses.


08) (FISCAL TRIB.) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em vinte e quatro prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12- prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar0 saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos.a) R$4.410,00 -*• d) R$‘5.872,00b) R$ 5.000,00 e) R$ 6.462,00c) R$5.282,00

Solução: [

1 = 3% a. m.

24 (meses)

oU SDI2 = 590 X asrH]3% = 590 X aa3% = 590 x (9,954004) =

= R$ 5.872,86 5 R$ 5.872,00

09) (FISCAL RENDAS) Um equipamento é vendido por $ 4.000,00 a vista ou financiado em cinco prestações mensais sem entrada. A taxa de juros é de 24% a. a., pelo sistema Price (taxa nominal). A primeira prestação vence um mês após a compra. O valor da prestação, desprezando os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente:

a) $ 848,00; 24,8% d) $ 858,00; 24,8%-► b) $ 848,00; 26,8% e)' $ 878,00; 26,8%

c) $ 858,00; 26,8%

Solução:

P = R$ 4.000,00 n = prestações

SD,

12 13 14

SDt - C x a ^ £


i = ~ ~ ~ a. a. = 2% a. m.

C = ?

C = P

ou

a-,.V n ' l J

5Í 2%= 4.000 |---- ----- j = 4.000 x (0,212158)

4,71346J

= R$ 848,63 =; R$ 848,00

E a taxa é ia = [(1 + i j u - 1] x 100 = [(1,02)12 - 1] x 100 = 26,82% a. a.

10) (AFC) Um indivíduo deseja comprar um carro novo aproveitando o seu carro usado como entrada. Sabendo que o saldo a financiar é de R$ 21.150,68, que a taxa mensal de juros é de 2%, pelo sistema de juros compostos, e que o pagamento deve ser efetuado em doze prestações iguais, a primeira das quais um mês após a compra, qual a prestação?

a) R$ 1.800,00 d) R$ 2.200,00b) R$ 1.923,13 e) R$ 2.873,57c) R$2.000,00

Solução:

P = R$ 21.150,68 i = 2% a. m.n = 12 prestações . . ..C = ?

C = P12Í2%

= ou C = 21.150,6810,575341J

i i )

= 21.150,68 (0,09456) = R$ 2.000,00

(TCI) Em uma financeira foi concedido rim crédito direto no valor de R$ 8.662,30 que deverá ser pago em dez prestações mensais e consecutivas de R$ 1.000,00 cada. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada?a) 2,3% -► d) 2,7%b) 2,5% e) 2,9%c) 2,6%

.2 5 4 Matemática Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

Solução:

A taxa de juros mensal é calculada, rigorosamente, através de uma calculadora financeira, Fórmula de Baily ou, para taxas inteiras e seus submúlti- plos, por tabelas financeiras fornecidas.

Para o caso em análise, admitindo-se a não permissão de máquinas financeiras ou científicas, recorramos às tabelas:

ou = 8’66230

Procurando-se em tabelas financeiras para 2% e seus valores fracionários, tem-se: I

aíõli i- j . ■ .

n 2,6% 2,7%,' . 2,9%

1 " ' l '

2

3

10 8,707012 8,662303 8,513902 -

12) (TCI) Um financiamento será pago em quinze prestações mensais consecutivas, com início ao término de um período de seis meses. As primeiras cinco prestações serão de R$ 12.000,00, as cinco seguintes de R$ 14.000,00, e as cinco últimas de R$ 17.00G,00. Se esse esquema de pagamentos foi trocado por outro em que o mutuário pague quinze prestações mensais iguais, também com início após um período de seis meses, o valor unitário dessas prestações, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 3% ao mês, será igual a:

a) R$ 12.718,97 d)' R$ 15.308,29

b) R$ 13.182,56 v e) R$ 17.856,78 : ;

c) R$14.089,11

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos 255

Solução:

i = 3% a. m.

17.00014.000

12.000 f f " r T r i I6 7 8 9 10 11 • 15 16 20

Fluxo constante = R$ 12.000,00 + C

Cálculo de C:

C - ^2.000 x S^3% + 3.000 x S33% j x -

C « [2.000 x Cl 1,463879) + 3.000 x (5,309136)1 x

* (38.855,17) x (0,053767) = R$ 2.089,11 Portanto, fluxo constante == 12.000 + 2.089,11 = R$ 14-089,11

13) (TCX) Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada e doze prestações mensais iguais e consecutivas. Se cada prestação* for igual a 10% do valor a vista, sendo a primeira paga ao término dé ura período de quatro meses, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 4% ao mês, qual o percentual sobre o valor a vista que deverá ser pago como entrada?

..... a )‘ 11,8765% ^ d) 16,5670%' ‘

b) 15,2314% e) 19,3456%

c) 16,2340%

Solução:

C = 10% X P = 0,1 xP '

i = 4% a. m. n = 12 parcelas k = carência = 4 meses

E = ?


P = E.+ C x a a. x (1 + i)-(k~x)

ou P = E + 0,1 X P X aj34% X (1,04)~«~1>

P = E + 0,1 x P x (9,385074) (0,888996)P = E + 0,1 x P x (8,343296)P = E + 0,83433 x p

de onde, P -0,83433 xP = EP (1 - 0,83433) *= E E = (0,16567) x P

ou Es 16,567% 1

14) (MPU) Uma pessoa faz uma comera a prazo, com prestações mensais e, iguais, postecipadas, de x reais, pagando uma taxa mensal de juros i (na forma unitária). Se D é o preço a vista, em reais, da compra, então essa pessoa poderá calcular o tempo, em meses, que levará, para quitar sua dívida por meiò da fórmula:

a) log (D/x)/log (1 4-i) - d) log (x (x-iD/12))/log.(l + í/12)b) log (D/x)/log (1 + i/l2) e) log (x/(x- iD))/log (1 + i)c) log x (x + iD)/log (1 + i)

Solução:

A fórmula é: D = Xx

ou

1 - (1 + i)~

i x D - 1 - (1 + i)-*

(1 + l)~a = 1

d + i r - -

(1 + i)» =

i x D X

X -1 x D X

XX - ix D

n x log (1 + i) = log (X/(X - i x D))


de onde, n =log (1 + i)

15) (ESAF) Um agricultor recebeu R$ 700.000,00 de empréstimo e deverá resgatá-lo em seis prestações semestrais, iguais e consecutivas, à taxa nominal de 36% a. a. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a primeira prestação será paga no final do 18s mês após ter contraídoo empréstimo (desprezar os centavos no resultado final).

16) (ESAF) Um terreno está sendo vendido a vista por $ 5.000.000,00, ou nas seguintes condições:I - Entrada igual a 20% do preço a vista e mais quatro prestações semestrais iguais e consecutivas, de $ 1.401.062,00;II - Um comprador propõe um plano alternativo: cinco prestações semestrais, iguais e consecutivas, sendo a primeira paga como entrada. Mantida a taxa de juros compostos implícita na proposta inicial, o valor das prestações do plano alternativo deverá ser de (desprezar os centavos):a) $ 1.491.578,00 d) $ 1.037.619,00

a) R$278.670,00b) R$328.831,00c) R$ 171.670,00

d) R$ 145.483,00e) R$239.034,00

Solução:

ou

de onde,

700.000 700.000 7QaQQ0 =278.670,00(4,077566 - 1,565642) (2,511924)

b) $ 1.193.262,00c) $ 1.401.061,00

Matemática Financeira para Concursos Públicos * Ferreira e Ferreira

Solução:

Entrada = 20% x 5.000.000 = R$ 1.000.000,00Saldo restante atual = R$ 5 milhões -R $1 milhão = R$ 4 milhõesCálculo de taxa de juros através de Tabelas Financeiras: . :

P ' ‘ - 'C . ■■ x ••

C x anli

OU

aííii

_ 4.000.000 _ ^ 1.401.062 ~ 2,85497

Portanto, no cruzamento do período 4 com a taxa de 15%, encontra-se o fator a |., sinalizando com isso que a taxa do financiamento de 15% a. s.

Proposta do Comprador: ?Para valor a vista:

5.000.0000 1 2

Plano do Comprador

Plano do Comprador:

C C

0 1 2 ;

5.000.000 = C + C x ^ 5%

5.000.000 - C (1 + a5is%)

5.000.000ou C =

4 (semestres)

1 + a4] 15%

5.000.000(1 + 2,854977) (3,854977)

sR$ 1.297.024,00

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos .2 5 9

17) (AFTN) Uma máquina tem o preço de $ 2.000.000,00, podendo, ser financiada com 10% de entrada e o restante em prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de 28% a. a., capitalizados trimestralmente, e que o comprador está pagando $ 205.821 por trimestre, a última prestação vencerá em:

a) 3 anos e 2 meses d) 4 anos->• b) 3 anos e 6 meses e) 4 anos e 3 meses

c) 3 anos e 9 meses

Solução:

P = R$ 2.000.000,00 'E - 10% (R$ 2.000.000,00) = R$ 200.000,00 Valor financiado = P - E = R$ 1.800.000,00 = P’

i - a. a. = 7% a. t.

n = ?C = R$ 205.821,00 ; , i,

•. Portanto, de P’ = C x a-,.,

FCtem-se: — — a^

1.800.000 a ovacj ,**0U '205.821 = 8,745463

Pesquisando em uma tabela financeira “ a . ”, para 7%, encontramos:

ai4l7% = 8,745467 = 8,745463 ~ n = 14 trimestres ~ 3 anos 6 meses.

Observação: Se houver permissão para uso de calculadora científica (e o não fornecimento de tabelas financeiras), pode-sé chegar ao mesmo resultado empregando-se a operação com "logaritmos”: j

Z = a _ . & 0V.C 51i

P’ 1 — Cl -f- i)~nC i

i x F 1 - (1 + i)-n


( i + 0-» = 1 _ L l E

n =LN (C - i • P’)

LN (1 + i)

Substituindo os valores fornecidos:

TTsj 205.821/° _ /(205.821 - 0,07 x 1.800.000)

11//O

LN (1 + i)

LN (2,578532) 0,94722LN (1,07) 0,067659

= 14 trimestres ~ 3 anos e 6 meses

18) (AFTN) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais quatro prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financeira cobra uma taxa de juros de 120% a. a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nessas informações, podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor a vista do equipamento adquirido é:-> a) $70,00 d) $88,00

c) $86,42

Solução:

E = R$ 23,60 n — 4 prestações mensais C = R$ 14,64

P = ?

P = E + C x ag . = 23,60 + 14,64 x a^10% = 23,60 + 14,64 (3,169865)

= R$ 70,00

b) $76,83 e) $95,23


19) (ESAF) Um microcomputador, que está custando R$ 4.800,00 a vista, foi vendido em três prestações mensais, iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a primeira prestação só será paga 30 dias após a compra, o valor da prestação mensal à taxa de juros compostos de 13% ao mês será de: (desprezar os centavos no resultado final)Dado: 1,13"3 = 0,6931

a) R$2.033,00b) R$ 1.799,00c) R$2.878,00

d) R$ 1.614,00e) R$2.546,00

Solução:

P = R$ 4.800,00 n = 3 prestações mensaisi =. 13% a. m.C = ?

C = P X

f \ 1 = Px

1 - (1 + i)_

0,131-0,6931

= 4.800

= 4.800

0,130,3069.

0,13.1-(1,13)-3

6240,3069

= R$ 2.033,00

20) (FISCAL TRIB.) Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada a vista de 20% e o saldo devedor restante em cinco prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nessa primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, aproximada em reais, de:-* a) R$ 72,00 d) R$ 78,00

b) R$75,00 e) R$ 80,00c) R$77,00

Solução: . 0 0 0.

P = R$ 500,00E = 20% (R$ 500,00) = R$ 100,00 .P’ = P - E = R$ 400,00 n — 5 prestações mensais


P» = C X aai c

400 —í— = 400 x (0,230975) = R$ 92,39 a§ls% j

temos:

Como

e

j\ = 0,05 x 400 = R$ 20,00

C = j, + q>

q: = C - ja = 92,39 - 20 s R$ 72,00

21) (CEF - adaptado) Um industrial pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos anualmente, à taxa de 10% a. a. e que o capital será amortizado em quatro pàrcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), O valor da terceira prestação deverá ser de:

a) R$60.000,00 d) R$70.000,00b) R$65.000,00 e) R$ 75.000,00c) R$ 68.000,00

Solução:

P = R$ 200.000,00 .

í = 10%a. a.

n = 4 parcelas anuais

de onde,

p = 200 000 ^ + Q 10 _ 3 + = 50 000 q + 0 20) = R$ 60.000,004

22) (FISCAL TRIB.) Um empréstimo no valor de R$ 90.000,00 deverá ser pago em quinze prestações mensais consecutivas, vencendo a primeira trinta dias após a liberação do dinheiro, sem carência. Se o financia


mento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante a uma taxa de juros compostos mensal de 6%, então o saldo devedor, após o pagamento da décima quarta prestação será de:a) R$42.000,00 -+ d) R$6.000,00

b) R$ 24.000,00 e) R$ 72.000,00

c) R$ 84.000,00

Solução:

P = R$ 90.000,00

n = 15 prestações mensais

i ~ 6% a. m.

t = 14a mês

SD = - (n - 1)* n

ou SD14 = (15 - 14) = 6.000 (1) = R$ 6.000,00

23) Considerando o enunciado acima:Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de:

a) R$ 40.000,00 " ^ d) R$ 55.000,00

b) R$ 45.000,00 . : / e) R$60.000,00

-► c) R$ 50.000,00

Solução:

T i x P , , - , j — __— (n + 1)2 ...

ou j = (4 + d = r$ 50.ooo,oo

24) (TCI) Uma pessoa contratou um financiamento de R$ 6.000,00 que será amortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas (termos vincendos) segundo o Sistema de Amortizações Constantes - SAC. Considerando uma taxa de juros efetiva composta de 5% ào mês, a soma dos valores das prestações dos três primeiros meses será de:


a) R$ 3.440,00 d) R$ 3.490,00b) R$3.450,00 -> e) R$3.750,00c) R$3.460,00

Solução:

P = R$ 6.000,00 n = 6 prestações mensais i = 5% a. m.

P 1 + P 2 + P 3 » ?

De Pt = ~ [1 + i (n - t + 1)], virá ^

pi = [ i + o,05 (6 - 1 + 1)3 = 1-000 (1 + 0,30) = R$ 1.300,00

p2 = [x + o,05 (6 - 2 + 1)] = 1.000 (1 + 0,25) = R$ 1.250,00

P3 = [a + o,05 (6 - 3 + 1)] = 1.000 (1 + 0,20) = R$ 1.200,00

Logo, Px + P2 + P3 = 1.300 + 1.250 + 1.200 = R$ 3.750,00

25) (B. BRASIL) Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será devolvido em três prestações mensais iguais e seguidas de valor igual a R$ 416,35. O financiamento foi realizado com uma taxã de juros de 12% ao mês. Ao analisar os valores de cada parcela da operação de financiamento, calculando os valores dos juros, amortização e saldo devedor, vemos que, para a segunda prestação, estes valores, env reais, são, respectivamente:a) 67,54 - 648,81 - 388,59 d) 80,18-336,17-375,95b) 72,88-343,47-383,25 -* e) 84,44-331,91-371,74c) 77,24-339,11-378,89

Solução:

P « R$ 1.000,00 i = 12% a. m. n = 3 prestações mensais C = R$416,35 •


Jt = ixSDt_x; qt = C - j t e SDt =SDt_1~qt

jj = 0,12 x 1.000 = R$ 120,00q1 = C - j, = 416,35 - 120 = R$ 296,35SDI = 1.000 - 296,35 = R$ 703,65

j2 = 0,12 x 703,65 = R$ 84,44

q2 = 416,35 - 84,44 = R$ 331,91SD2 = SDj - q2 = 703,65 - 331,91 = R$ 371,74

(CONTADOR) O valor de um bem é de R$ 1.608,66. Se for financiado, poderá ser pago por meio de uma entrada de 50% e o saldo em tantas prestações mensais de R$ 100,00 quantas forem necessárias, mais um pagamento final inferior ao valor da prestação, um mês após a última prestação. A juros efetivos compostos de 4% ao mês, o número de prestações e o valor do pagamento final são, respectivamente:

a) 7 e R$85,00 d) 10 e R$75,00b) 8 e R$80,00 e) 12 e R$ 60,00

c) 9 e R$90,00

Solução:

P = R$ 1.608,66E = 50% (1.608,66) = R$ 804,33 P’ = p _ E = 1.608,66 - 804,33 = R$ 804,33

C = R$ 100,00 i = 4% a. m. n = ?C = ?

De P’ = Cx a j. , virá:

P’ „ 0 804,33 0 r>/»ooou -nU% — i nn ” 8,0433nli £ rs 14% 100

Pesquisando em uma tabela financeira “ a^. ”, para i = 4%, encontra-se:

a9l4% = 7}4353C’Portanto, deveremos ter: 804,33 = 100 x a^4% + -- -- - - -


OU 804,33 = 100 x (7,4353) + C’1,4802

804,33 - 743,53

C5

C*

60,8 =1,4802

1,4802

C = 60,8 (1,4802) = R$ 90,00

27) (AFTN) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 120.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2% a. m., que deverá ser pago em dez parcelas iguais. O valor dos juros a ser pago na 8- parcela é de:a) R$5,00b) R$51,00c) R$ 518,00

Solução:

P = R$ 120.000,00 i = 2% a. m.


d) R$5.187,00e) R$ 770,00

Ja

C = Pf \

1(

120.000ÍÕl2% j

para

- 120.000 x (0,111327) = R$ 13.359,24

t = 8, virá:

l—\. nla j

J t i x C x

j8 = 0,02 x 13.359,24 x ai^ Ih% = ,

= 0,02 x 13.359,24 x a ^ =

= 0,02 x 13.359,24 x (2,883883) = 770,53 s R$ 770,00

28) (AFTN) Ura microcomputador é vendido pelo preço a vista de R$2.000,00, mas pode ser financiado cora 20% de entrada a uma taxa de juros de 96% a. a., “Tabela Price”. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em cinco meses, o total de juros pagos pelo comprador é de, aproximadamente:-» a) R$403,65 d) R$412,90

b) R$408,24 e) R$420,22c) R$410,74

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos '267

P = R$ 2.000,00

E = 20% (R$ 2.000,00) = R$ 400,00

P’ = P - E = R$ 1.600,00

C = ?


96% Q0/í = ------ — 8% a. m.12

Solução:

J = m x C -P ’ = ?

C = P’a—!.V nhJ

1.600V,a5l8% j

= 1.600 (0,250456) = R$ 400,73

Logo, J = m x C - P ’ = 5 x 400,73 - 1.600 = R$ 403,65

29) (ESAF) Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes condições:I - taxa nominal de juros de 6% a. a. com capitalização semestral;

O - prestações semestrais;

III - Sistema de Amortização - SAC ou Sistema Francês.Pede-se: para um empréstimo de R$ 12.000,00, qual seria o valor da primeira prestação pelo SAC, se pelo Sistema Francês as prestações são iguais a R$ 1.406,77?

a) R$ 1.560,00

b) R$ 1.776,00

c) R$ 1.512,00

d) R$ 1:680,00

e) R$ 1.726,0(3

Solução:

P ^ = R$ 1.406,77

6% on/ i = —— a. a. = 3% a. s.2

P = R$ 12.000,00

1- P = ?A SAC


j1 no SAC e STP é igual a:

= 3% x 12.000 = R$ 360,00

Pe como

12.0001.406,77

= a , vira:

= a^3% = 8,530179 => n = 10 meses

Logo, a quota constante no SAC é:

q =12.000

10 R$ 1.200,00

e a I a PSAC = q + = 1.200 + 360 = R$ 1.560,00

(SUSEP) Um empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser pago em dez prestações anuais, pelo método francês de amortização, a uma taxa de 12% a. a. O valor do saldo devedor, após o pagamento da quinta prestação, será de:

a) R$ 127.597,61b) R$145.530,76c) R$ 161.542,50

Solução:

P = R$ 200.000,00 n. —. 1Q prestações anuais i = 12% a. a.SDs = ?

d) R$ 23.015,80e) R$100.000,00

C = Pr \

1

*Uli= 200.000

aíÕll2%V n'»/

= 200.000 x (0,176984) = R$ 35.396,83

Como SD£ = C x , virá:

SDt = C x = 35.396,83 x a ^ =

= 35.396,80 x (3,604776) = R$ 127.597,54

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos 269

31) (TCU) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em seis prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes, colocando C (Certo) ou E (Errado):

a) A parcela de am ortização do capital é obtida pela d iferença entre o va lo r da prestação e o v a lo r da parcela de ju ros.

b) A m edida que a parcela re feren te aos ju ros dim inui, a parce la re feren te à am ortização do capital aum enta.

c) Após o pagam ento da prim eira parcela, o saldo d evedor é igual a R$ 5 2 2 .2 3 5 ,5 4 .

d) Na segunda prestação está incluído o va lo r da parcela de ju ros correspondentes a R$ 5 2 .2 2 3 ,5 5 .

e) A parcela de am ortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo d evedor obtido após o pagam ento da quinta prestação.

So lu çã o :

P = R $ 6 0 0 .0 0 0 ,0 0

n = 6 prestações m ensais

i = 1 0 % a. m.

C = R$ 1 3 7 .7 6 4 ,4 3

a) CERTO, pois qt = C - j t.

b) CERTO, pois para um a prestação constante, C = j t + qt , se j t é decres-. v cente, as notas são crescentes.

c) CERTO, em virtu d e de j a = 10 % (6 0 0 .0 0 0 ) = R$ 6 0 .0 0 0 ,0 0 e q x = 1 3 7 .7 6 4 ,4 3 - 6 0 .0 0 0 = R$ 7 7 .7 6 4 ,4 3 , o que acarreta um SDX = 6 0 0 .0 0 0- 7 7 .7 6 4 ,4 3 = R$ 5 2 2 .2 3 5 ,5 7 .

d) CERTO, pois j 2 = 10 % (5 2 2 .2 3 5 ,5 7 ) = R$ 5 2 .2 3 3 ,5 5

e) CERTO, pois sem pre para a u ltim a prestação se tem : q6 = SDs.

32) (BACEN) Para ampliação de suas instalações, uma fábrica toma emprestado R$ 3.000.000,00 a um banco, à taxa de 10% a. a., além de pagar, no ato, uma taxa de 1%, a título de despesas bancárias, calculada sobre o total das amortizações e dos juros. As amortizações deverãoser feitas em cinco anos, segundo a planilha a seguir.

Matemática Financeira para Concursos Públicos ♦ Ferreira e Ferreira

Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem, assinalando C (certo) ou E (errado). ?

ia) em cada prestação, os juros embutidos são inferiores a 45% do seu valor;b) o comportamento dos juros tem em comum com o Sistema de Amorti

zações Constante (SAC) o fato de constituir uma seqüência de valores crescentes com o tempo;

c) o comportamento das prestações tem em comum com o Sistema Francês de Amortizações o fato de constituir uma seqüência de valores decrescentes com o tempo;

d) o valor cobrado a título de despesas bancárias é inferior a R$ 30.100,00;e) sabendo-se que os valores das prestações recebidas pelo banco, atuali

zados para o ano zero, à taxa de 10,3% a. a., apresentam soma superior a R$ 3.000.000,00, é correto afirmar que a taxa interna de retomo do investimento do banco é superior a 10,3%.

Solução:

Esquemas e Sistemas de Amortização de Financiamentos - 2 7 1

a) CERTO, pois o m aior deles, re feren te à l 5 prestação, é igual a: 3 0 0 / 7 0 0 = 0 ,4 2 8 6 = 4 2 ,8 6 % .

b) CERTO, conform e o quadro.

c) ERRADO, pois o SFA tem prestações constantes.

d) ERRADO, pois essas despesas im portam em R$ 4 0 .0 0 0 ,0 0 .

e) ERRADO, pois se os ju ro s fo ram calculados a 10 % a. a., significa d izer que esta é a taxa in terna de re to m o do banco (obviam ente não considerando a cobrança das despesas bancárias).

33) (AN, ORÇ.) Em sistemas de amortização, onde a taxa de juros seja de 5% a. m. e o prazo de amortização mensal de 12 meses, para liquidar a dívida, comparando-se o Sistema de Amortização Constante (SAC), o Sistema de Amortização Americano e o Sistema de Amortização Francês, o devedor:a) te rá a prestação do em préstim o sem alterações, no Sistem a de A m orti

zação Constante;

b) fa rá m aior desem bolso destinado à am ortização se fo r adotado o S istem a A m ericano;

c) fa rá desem bolso de m aior quantia p ara pagam ento de ju ro s sé o Sistem a de A m ortização fo r o A m ericano e o m enor desem bolso p ara pagam ento de ju ro s se o Sistem a adotado fo r o SAC;

d) fa rá o m aior desem bolso re feren te à prim eira prestação no Sistem a Francês.

Solução:

a) ERRADA, pois as prestações no SAC são variáveis decrescentes.

b) ERRADA, pois os desem bolsos para am ortização em todos os esquem as de am ortização citados (SAC, SFA e SAA) são iguais ao próprio v a lo r financiado ou principal.

c) CERTA, em virtu d e dos ju ro s pagos no SAA serem sem pre sobre o m esm o principal.

d) ERRADA, pois a l- prestação no SFA é in ferio r ao pagam ento da l â prestação no SAC.

34) (B. BRASIL)


Na tabela acima, que apresenta 'algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de R$ 10,000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% aò ano, para pagamento em seis meses pela Tabela Price. Com relação a essa situação, julgue os itens abaixo:I - O valor da quinta prestação será superior a R$ 1.700,00.II - Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 7.000,00.m - O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 20,00.

Assinale a opção correta:

a) apenas o item I está certo .

b) apenas o item II está certo.

c) apenas os itens I e III estão certos.

d) apenas os itens II e III estão certos.

-> e) todos os itens estão certos.

Solução:

i - ~ j~ 2 ~ a - a * — 1% a - m -


I) Prestação constante no SFA: P = P5 = 1 .6 5 8 ,1 5 + 6 7 ,3 3 = R$ 1 .7 2 5 ,4 8 > R$ 1 .7 0 0 ,0 0 ;

II) SD2 = SD, ~ q2 = 8 .3 7 4 ,5 2 - 1 .6 4 1 ,7 3 = R $ 6 .7 3 2 ,7 9 < R$ 7 .0 0 0 ,0 0 ;

III) J6 = i x SDs = 0 ,0 1 x 1 .7 0 8 ,4 3 = R$ 1 7 ,0 8 < R$ 2 0 ,0 0 .

(ESAF) Dois esquemas financeiros são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando apresentam:

a) os mesm os va lores de aplicação nas datas iniciais e aplicações diferenciadas nas dem ais datas, sendo equivalentes as taxas de ju ros de aplicação;

b) o m esm o v a lo r atual, em qualquer data, à m esm a taxa de ju ros;

c) a m esm a som a de pagam entos nos seus perfis de aplicação;

d) o m esm o prazo to ta l para suas aplicações.

Solução:

R esposta correta: -

b) o m esm o va lo r atual, em qualquer data, à m esm a taxa de ju ros.

(BNDES) O Sistema Francês de Amortização é caracterizado por:

a) ju ro s decrescentes e prestação crescente;

b) prestação decrescente e ju ros crescentes;

c) am ortização e ju ro s decrescentes;

d) ju ro s e am ortização crescentes;

->■ e) am ortização crescente e prestação constante.


. Solução:

Resposta correta: e) amortização crescente e prestação constante.

37) (TCU) Uma concessionária vendia cedo tipo de automóvel por RS 16.000,00 a vista. Tinha um plano de pagamento em seis meses com juros compostos mensalmente. Um cliente comprou um desses automóveis em seis meses, efetuando pagamentos ao fim de dois e seis meses Se o primeiro pagamento foi de R$ 21.360,00 e se os juros foram de 40% ao mês, o segundo pagamento foi de:a) R$31.846,00 c) R$36.418,00b) R$34.168,00 - d) R$38.416,00

[Solução:

i = 40% a. m. ;

16.000 21.360 . X =?-----1--------------- 1— ----------------------- 1----0 2 6 ■

X = [16.000 (1,40)2 - 21.360] x Q,40)4 = T‘= [16.000 x 1,96 - 21.360] x (1,40)4 == (31.360-21.360) x 3,8416 == (10.000) x 3,8416 = 38.416,00

Portanto, X ~ R$ 38.416,00

38) (CONTADOR) Um juiz ordena a um empregador pagar uma dívida de R$ 3.990,00 a um empregado, a vista ou em três prestações mensais iguais, serido a primeira delas no ato do acordo. Ordenou também que pagasse mensalmente 30% sobre o saldo devedor, como forma de correção. O valor de cada uma das prestações deverá ser:a) R$1.489,01 c) R$ 1.690,00b) R$ 1.609,00 d) R$ 1.709,00

Solução:

i = 30% a. m.

Dívida 3.990----!----0


c c cPagamentos: ■ ____i____;------------ 1— — ------ —;------- \-

0 2 6

Igualando os valores atuais de ambos os esquemas, virá:

3.990 ==C + + C1,30 (1,30)

ou 3.990 = C1,30 1,69.

= Gx (1 + 0,769231 + 0,591716)

ou ainda, C = ^||d|'47j = R$ i-690-00

Observação: Se usássemos a tabela financeira a^., poderíamos também determinar o valor de C:

3.990 = C + C ag30%

ou 3.990 = c ( l + aa30%)

3 990 3 990de onde, finalmente: C -----:------- = -------- :---------- = R$ 1.690,00

d + Cl+ 1,360947)

39) (AFTN) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que esse sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos.a) R$ 1.065,00 d) R$ 900,00b) R$986,00 -» e) R$852,00c) R$ 923,00

Solução:

P = R$ 10.000,00 - R$ 2.000,00 = R$ 8.000,00 n = 12i = 4% a. m.C = ? ; •'


P =C X aSli

8.000 x

ou C = Pâ —i. v n[iJ

8.000T3 4 %

8.000 x 0,106552 = R$ 852,00

40) (ESAF) O preço de um automóvel é de $ 500.000,00. Um comprador ofereceu $ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em doze prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a. m. O valor de cada prestação, desprezando os centavos, é:

a) $36.847 d) $30.847

b) $25.847 | e) $33.847c) $31.847

Solução:

P = R$ 500.000,00

E = R$ 200.000,00

Valor financiado = P - E = R$ 300.000,00i = 5% a. m.


ai2l5%= 300.000

8,863252300.000 (0,112825) s

== R$ 33.847,00

41) (CESPE) Paulo quer comprar um refrigerador e tem as seguintes alternativas:

I - a vista, por R$ 900,00;II - em duas prestações mensais e iguais a R$ 500,00, vencendo a primeira no ato da compra;

III - em três prestações mensais e iguais a R$ 350,00, vencendo a primeira no ato da compra.Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, assinale a opção que indica as formas de pagamento, em ordem crescente de vantagem para Paulo:a) I - I I - I I I d) I I I - I I - I


b) I I - I - I I I e) I I - III- 1c) I I I - I - I I

Solução:

Calculando o valor presente ou atual de cada uma das propostas, a uma taxa de juros de 4% a. m., tem-se:

P, = R$ 900,00

Pn = R$ 500,00 + = R$ 500,00 + R$ 480,77 - R$ 980,77

Pm = R$ 350,00 R$ 350,00 x a24% =

= R$ 350,00 + R$ 350,00 x 1,886095 == R$ 350,00 + R$ 660,13 = R$ 1.010,13

Portanto, para o comprador a melhor combinação de compra é em ordem crescente de vantagem:

III - II - 1 (letra “d”)

42) (FISCAL TRIB.) Um equipamento é vendido através de um financiamento em doze prestações mensais e iguais, sendo que a loja exige 20% sobre o preço a vista como entrada. A taxa de juros compostos da loja é de 18% ao ano, “Tabela Price” . A primeira prestação no valor de R$ 500,00 vence um mês após a compra. O valor do equipamento,desprezando os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termosanuais, são respectivamente:

..Dados..sm 13,041211; ar2ll5 = 10,907505; (1,015)52 = 1,19.5.6.18 ■

a) R$ 27.269,00 e 19,56% d) R$ 7.200,00 e 18,56%b) R$ 5.453,00 e 18,56% e) R$ 6.544,00 e 19,56%

-> c) R$ 6.817,00 e 19,56%

Solução:

E = 20% x P = 0,2 x P

C = R$ 500,00

. 18% .í = -~r— a. a. = 1,5% a. m.

n - 12 parcelas


P = E + Cx a-|.nh

P = 0,2 x P + 500 x 5% = 0,2 x P + 500 (10,907505)

ou P -0 ,2 x P = 5.453,75 P (1-0 ,2 ) = 5.453,75 P (0,8) = 5.453,75

de onde, P = *= R$ 6.817,19 s R$ 6.817,00(0,oJ

E a taxa anual é: ia = f(l,015)12 - 1] x 100 = 19,56% a. a.

43) (CESPE) Fernando possui uma quántía suficiente para adquirir um aparelho de som, mas a loja oferece três formas diferentes de pagamento:I - a vista, com 20% de desconto;*II - em duas prestações mensais e iguais com 10% de desconto, vencendo a primeira um mês após a compra:EI - em três prestações mensais e igüais sem desconto, vencendo á primeira no ato da compra.Admitindo-se que a taxa de rendimento das aplicações financeiras seja de 3% o mês, assinale a opção que indica as escolhas que Fernando pode fazer, em ordem decrescente de vantagem para ele, isto é, da mais vantajosa para a menos vantajosa:-> a) I - I I - I I I d) I I I - 1 - II

b) I - I I I - I I e) I II- I I - 1c) II - III - 1

Solução:

Calculando o valor presente ou atual para cada uma das propostas, a uma taxa de juros de 3% a. m., tem-se: Admita um valor de referência de R$ 100,00).

Pj = R$ 80,00PII = 45 x a ^ = 45 x (1,91347) - R$ 86,11

Pm = 33,33 + 33,33 - ag3% = 33,33 + 33,33 x (1,91347) - = 33,33 + 63,76 = R$ 97,11

Portanto, a melhor combinação de propostas é, em ordem decrescente, isto é, da mais vantajosa para a menos vantajosa: I — II — III (letra “a”)-

Tabelas Financeiras


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Tabelas Financeiras 2 8 1

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2 8 6 Matemática Financeira para Concursos Públicos « Ferreira e Ferreira

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Tabelas Financeiras 289

1 1,050000000 0,9523809524 1,0S000000 1,0000000002 1,102500000 1,8594104308 0,53780488 2,0500000003 1,157625000 2,7232480294 0,36720856 3,1525000004 1,215506250 3,5459505042 0,28201183 4,3101250005 1,276281563 4,3294766706 0,23097480 5,5256312506 1,340095641 5,0756920673 0,19701747 6,8019128137 1,407100423 5,7863733974 - 0,17281982 8,1420084538 1,477455444 6,4632127594 0,15472181 9,5491088769 1,551328216 7,1078216756 0,14069008 11,0265643210 1,628894627 7,7217349292 0,12950457 12,5778925411 1,710339358 8,3064142183 0,12038889 14,2067871612 1,795856326 8,8632516364 0,11282541 15,9171265213 1,885649142 9,3935729871 0,10645577 17,7129828514 1,979931599 9,8986409401 0,10102397 19,5986319915 2,078928179 10,379658038 0,09634229 21,5785635916 2,182874588 10,837769560 0,09226991 23,6574917717 2,292018318 11,274066248 0,08869914 25,8403663618 2,406619234 11,689586903 0,08554622 28,1323846719 2,526950195 12*085320860 0,08274501 30,5390039120 2,653297705 12,462210343 0,08024259 33;0659541021 2,785962590 12,821152707 0,07799611 35,7192518122 2,925260720 13,163002578 0,07597051 38,5052144023 3,071523756 13,488573884 0,07413682 41,4304751224 3,225099944 13,798641794 0,07247090 44,5019988725 3,386354941 14,093944566 0,07095246 47,7270988226 3,555672688 14,375185301 0,06956432 51,1134537627 3,733456322 14,643033620 0,06829186 54,6691264528 3,920129138 14,898127257 0,06712253 58,4025827729 4,116135595 15,141073578 0,06604551 62,3227119130 4,321942375 15,372451027 0,06505144 66,4388475031 4,538039494 IS,592810502 0,06413212 70,7607898832 • 4,764941469 _ f 15,802676668 0,06328042 75,29882937 ■33 5,003188542 16,002549208 0,06249004 80,0637708434 5,253347969 16,192904008 0,06175545 85,0669593835 5,516015368 16,374194293 0,06107171 90,3203073536 5,791816136 16,546851708 0,06043446 95,8363227242 7,761587555 17,423207577 0,05739471 135,2317511048 10,40126965 18,077157820 0,05531843 188,0253929454 13,93869611 18,565145560 0,05386438 258,7739222260 18,67918589 18,929289525 0,05282818 353,5837178866 25,03189559 19,201019358 0,05208057 480,6379117472 33,54513415 19,403788344 0,05153633 650,9026830678 44,95368804 19,555097682 0,05113756 879,0737608584 60,24224138 19,668007041 0,05084399 1184,8448275290 80,73036505 19,752261742 0,05062711 1594,6073009896 108,18641027 19,815133898 0,05046648 2143,72820537120 348,91198567 19,942678954 0,05014371 6958,23971334180 6517,39184097 19,996931288 0,05000767 130327,83681931

2 9 0 Mareraárica Financeira para Concursos Públicos • Ferreira e Ferreira

1 1,055000000 0,94786729862 1,113025000 1,84631971433 1,174241375 2,69793337854 1,238824651 3,50515012185 1,306960006 4,27028447566 i;378842807 4,99553030867 1,454679161 5,68296711728 . 1,534686515 6,33456598799 1,619094273 6,952195249210 1,708144458 7,537625828611 1,802092404 8,092536330412 1,901207486 8,618517848713 2,005773897 9,117078529614 2,116091462 9,589647895415 , 2,232476492 . 10,03758094316 2,355262699 10,46216203217 2,484802148 10,86460856118 ■ 2,621466266 11,24607446519 2,765646911 11,60765352220 2,917757491 11,95038248521 3,078234153 12,27524406222 3,247537031 12,58316972723 3,426151568 12,87504239524 3,614589904 13,15169895225 3,813392349 13,41393265626 4,023128928 13,66249540927 4,244401019 13,89809991428 4,477843075 14,12142171929 4,724124444 14,33310115630 . 4,983951288 14,53374517131 5,258068609 14,72392907232 5,547262383 .14,90419817333 5,852361814 15,07506935834 -6,174241714 15,23703256735 6,513825008 15,39055219636 6,872085383 15,53606843242 9,475525498 16,26299920148 13,06526017 16,79020271154 18,01494001 17,17255486160 . 24,83977045 17,44985416466 34,25013880 17,65096432872 47,22555751 17,79681863678 65,11662027 17,90259886684 89,78558347 17,97931553690 123,80020591 18,03495398296 170,70102340 18,075305533120 617,01419577 18,152350759180 15326,49098417 18,180631882

1,05500000 1,0000000000,54161800 2,0550000000,37065407 3,1680250000,28529449 4,3422663750,23417644 5,581091026

- 0,20017895 . 6,8880510320,17596442 8,2668938390,15786401 9,7215730000,14383946 11,256259510,13266777 12,875353790,12357065 14,583498250,11602923 16,38559065

. 0,10968426 18,286798140,10427912 20,292572030,09962560 . 22,408663500,09558254 24,641139990,09204197 26,99640269

.0,08891992 29,481204830,08615006 32,10267110

.0,08367933 34,86831801.; 0,08146478 37,78607550

0,07947123 40,864309650,07766965 44,111846690,07603580 47,537998250,07454935 51,152588160,07319307 54,965980510,07195228 58,989109430,07081440 ~ : 63,233510450,06976857 67,711353530,06880539 " 72,435477970,06791665 77,41942926

. .0,06709519 82,677497870,06633469 ,.., .88,22476025

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•12,56887042 . : ' w ' •• '12,272511407 ' ------ 0,08148291 1 • 154,251605636 13,51153570 12,346522239 0,08099447 166,820476042 20,85237366 ■ 12,693917718 0,07877789 264,6983155

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Tabelas Financeiras 297

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. 4,9878104160 4,9898420133 4,9915350111 4,9929458426 4,9976375770 4,9992088293 4,9997350385

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