matemática - apostila concurso matemática ii

8/14/2019 Matemtica - Apostila Concurso Matemtica II

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Concurso Pblico Banco do Brasil

INTRODUO

Temos seis conjuntos numricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cincoprimeiros.

O conjunto dos nmeros naturais so os primeiros a serem estudados. So os inteiros epositivos.

O conjunto dos nmeros inteirosso aqueles que envolvem os naturais e os negativos.

O conjunto dos racionaisso todos aqueles que podem ser escritos na forma de fraes,j os irracionaisno podem ser escritos na forma de frao.

Os reaisvo englobar todos os anteriores.

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NMEROS NATURAIS

Comeando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo oconjunto dos nmeros naturais, representados pela letra IN:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

A reticncias significa que o conjunto no tem fim, pois um nmero naturalsempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.

Exemplos:vo sucessor de 10 11 e o antecessor de 10 9.vo ano que sucede 2003 2004 e 2002 antecede 2003.v

Generalizando: o sucessor de n n + 1 e o antecessor de n n - 1.

Exerccios Resolvidos1) Um nmero natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos ospares de nmeros consecutivos entre esses nmeros:

2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255Resoluo:0 e1; 1 e 2; 9 e10; 255 e 256

2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thas mais velha que Reinivaldo. As

idades de Reinivaldo e Thas so nmeros consecutivos. A minha idade umnmero que o sucessor do sucessor da idade de Thas ". Quantos anos Hudsontem?

Resoluo:Como Thas mais velha que Reinivaldo e as suasidades so nmeros consecutivos, ento seReinivaldo tem 45 an os, T has tem 46 anos. C omo a idade de Hudson o sucessor do sucessorde46 , ento esta idade ser 48 an os.

3) Escreva todos os nmeros naturais que so maiores que 3 e menores que 7.

Resoluo:

Seja o conjunto: A ={x IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade especfica o enunciadodo exerccio fi car escrito desta f orma, ilustrando todos os elementos fica assim:A = {4, 5, 6}

ADIO

Um automvel segue de Joo Pessoa com destino a Macei. Seu condutor desejapassar por Recife, sabendo-se que a distncia de Joo Pessoa at Recife de 120km e que Recife est a 285 km de Macei, quantos quilmetros o automvel ir



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percorrer at chegar em Macei? Esta uma pergunta relativamente fcil deresponder, basta somar as distncias: 285 + 120 = 405 km.Adio uma operao que tem por fim reunir em um s nmero, todas as

unidades de dois, ou mais, nmeros dados.O resultado da operao chama-se soma ou total, e os nmeros que sesomam, parcelas ou termos.

Propriedades

Fechamento - A soma de dois nmeros naturais sempre um nmero natural. Ex:8 + 6 = 14

Elemento Neutro - Adicionando-se o nmero 0 (zero) a um nmero natural, oresultado o prprio nmero natural, isto , o 0 (zero) no influi na adio. Ex: 3 +0 = 3

Comutativa - A ordem das parcelas no altera a soma.

Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16

Associativa - A soma de vrios nmeros no se altera se substituirmos algumasde suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associaesso denominados:

( ) parnteses [ ] colchetes { } chaves

Exemplos:

8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 1613 + 5+ 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27

De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c

Nota:Estudando-se as lnguas, verificamos a importncia da colocao das vrgulaspara entendermos o significado das sentenas.

Exemplo:

1) " T io Srgio, Andr vai ao teatr o."

2)" Ti o, Srgio Andr vai ao teatro."

Podemos verificar que essas duas sentenas apresentam significados diferentes,pelo fato da vrgula ter sido deslocada.

Nas expresses e sentenas matemticas, os sinais de associao (parnteses,colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vrgulas. Resolvem-se ossinais na seqncia:

( ) parnteses [ ] colchetes{ } chaves



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Exemplo:

A expresso (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, so diferentes, da a

importncia da associao.

Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja somaseja igual a ela. Esta propriedade de sentido contrrio da anterior.

Exemplo:

9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o nmero 9 foi dissociado em dois outros 5 e4).De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.Observe que o zero como parcela no altera a soma e pode ser retirado.

Exemplo:20+ 7+ 0 + 3 =20 + 7 + 3

SUBTRAOFabiano fez um depsito de R$ 1 200,00 na sua conta bancria. Quando retirou umextrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinhaem sua conta antes do depsito?Para saber, efetuamos uma subtrao:

2 1371 200

R$ 937,00

minuendo

subtraendo

resto oudiferena

Denomina-se subtrao a diferena entre dois nmeros, dados numa certaordem, um terceiro nmero que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. Asubtrao uma operao inversa da adio.

O primeiro nmero recebe o nome de minuendo e o segundo desubtraendo, e so chamados termos da subtrao. A diferena chamada deresto.

PropriedadesFechamento:- No vlida para a subtrao, pois no campo dos nmerosnaturais, no existe a diferena entre dois nmeros quando o primeiro menorque o segundo. Ex: 3 -5Comutativa: No vlida para a subtrao, pois 9 - 0 0 - 9

Associativa: No vlida para a subtrao, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8- 3) = 15 - 5 = 10



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Somando-se ou subtraindo-se um mesmo nmero aos termos de uma subtrao,a diferena no se altera.

Exemplo: seja a diferena 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos(15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7

MULTIPLICAO

Multiplicar somar parcelas iguais.

Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15

Nesta adio a parcela que se repete (5) denominada multiplicando e o

nmero de vezes que o multiplicamos (3) chamado multiplicadore o resultado chamado de produto.

Ento:

5 3

15

multiplicando

multiplicador

produto

Multiplicao a operao que tem por fim dados dois nmeros, umdenominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o

primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e omultiplicador so chamados de fatores.

Propriedades

1) Fechamento - O produto de dois nmeros naturais sempre um nmeronatural.Ex: 5 x 2 = 10

2) Elemento Neutro - O nmero 1 (um) denominado de elemento neutro damultiplicao porque no afeta o produto.Ex: 10 x 1 = 10

3) Comutativa - A ordem dos fatores no altera o produto.Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20

4) Distributiva em relao soma e a diferena - Para se multiplicar uma soma ouuma diferena indicada por um nmero, multiplica-se cada uma das suas parcelasou termos por esse nmero, e em seguida somam-se ou subtraem-se osresultados.

Exemplo:1) (4 + 5) x3 = 4 x3 +5 x 3 = 27



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2) (7 - 4) x5 = 7 x5 - 5 x 4 = 15

Essa propriedade chamada distributiva porque o multiplicador se distribui portodos os termos.

Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeirapelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.

Exemplo:(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x2 + 6x 5 + 3 x2 + 3 x5 = 63

DIVISO

Diviso ExataDiviso exata a operao que tem por fim, dados dois nmeros, numacerta ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza oprimeiro. A indicao dessa operao feita com os sinais: ou que se l:dividido por. O primeiro nmero chama-se dividendo, o segundo divisor e oresultado da operao, quociente.

Exemplo:15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15Onde 15 o dividendo, 3 o divisor e 5 o quociente.

Diviso Aproximada

No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que no seencontra um nmero inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 6 = 48 menor que 53 e 9 6 = 54 maior que 53.

O nmero 8, que o maior nmero que multiplicado por 6 no ultrapassa odividendo 53, denominado quociente aproximado a menos de uma unidade porfalta, porque o erro que se comete, quando se toma o nmero 8 para o quociente, menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definio: chama-se resto deuma diviso aproximada a diferena entre o dividendo e o produto do quocienteaproximado pelo divisor. A indicao dessa diviso feita assim:

DIVIDENDO = DIVISOR QUOCIENTE + RESTO

Exemplo:



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53 = 6 8 + 5

NMEROSINTEIROS(Z)

Em temposremotos, com o desenvolvimento do comrcio, um comerciante desejandoilustrar a venda de3 kg de umtotal de 10 kg de trigoexistente num saco, escreve no saco: "-3", a partir da um novoconjunto numrico passa a existir, o Conjunto dosNmerosInteiros, hoje, representamospela letra Z.

Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

A reticncias, no incioou no fim, significa que oconjunto no tem comeo nem fim.Conclumos, ento, que todososnmerosinteirospossuem um antecessor e umsucessor.Com a relaosoperaesque sero possveis de seefetuar, ilustraremosexemplos da

adio e multiplicao.

ADIO

vSinaisIguais: Somam-se osnmerosprevalecendoo sinal.

Exemplos:(+2) + (+3) = +5(-2) + (-3) = - 5

vSinaisDiferentes: Subtraem-se osnmerosprevalecendo o sinal do maior nmero emmdulo.

Exemplos:(-2) + (+3) = +1(+2) + (-3) = -1

ExercciosResolvidos



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1) Calculea somaalgbrica: -150 - 200 +100 + 300

Resoluo:

-150 - 200 + 100 + 300-350 + 100 + 300

-250 + 30050

2) Alexandre tinha 20 figurinhaspara jogar bafo. Jogoucom Marcelo e perdeu7figurinhas, jogou comJorge e ganhou2, ao jogar comGregrio ganhou3 e perdeu 8 e comHudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantasfigurinhas ficouAlexandre no final dojogo?

Resoluo:

Representandoem soma algbrica:20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0

Resposta: Nenhuma.

MULTIPLICAO

Na multiplicao de nmerosinteirosvamos, sempre, considerar a seguinte regra:

(+) . (+) = (+)(+) . (-) = (-)(-) . (+) = (-)(-) . (-) = (+)

Exemplos:v(+2) (+3) = (+6)v(+2) (- 3) = (- 6)v(-2) (+ 3) = (- 6)v(-2) (- 3) = (+ 6)

Exerccio Resolvido

1) Calculeo valor da expresso abaixo:{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2- 3 . (-1)

Resoluo:

{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2- 3 . (-1){12 + [-6 - 7]} . [-12 -(-16)] + (-14) - (-3){12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3{12 - 13} . 4 - 14 + 3{-1}.4 - 14 + 3



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-4 - 14 + 3-18 + 3-15

NMEROS RACIONAIS (Q) - FRAES

So aqueles constitudo pelos nmeros inteiros e pelas fraes positivas e

negativas. Nmero racional todo nmero indicado pela expresso ba

, com b 0e representado pela letra Q.

Ateno:

I) Todo nmero natural um racional.

II) Todo nmero inteiro relativo racional.

FRAES

Nmero fracionrio ou frao o nmero que representa uma ou maispartes da unidade que foi dividida em partes iguais.

Exemplos:

v 1 hora = 60 minutosv hora = 15 minutos

v 42

hora = 30 minutos

v 43

hora = 45 minutos



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Representao

Uma frao representada por meio de dois nmeros inteiros, obedecendouma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamentede numerador e denominador, e que constituem os termos da frao.

O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e onumerador, quantas partes foram tomadas.As fraes podem ser decimais e ordinrias.

FRAES DECIMAIS

Quando o denominador representado por uma potncia de 10, ou seja,10, 100, 1000, etc.

Exemplo:

FRAES ORDINRIAS

So todas as outras fraes:

TIPOS DE FRAES

a) Fraes Prprias: O numerador menor que o denominador. Nesse caso afrao menor que a unidade.

Exemplo:



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b) Fraes Imprprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.Nesse caso a frao maior que a unidade.

Exemplo:

c) Fraes Aparentes: So fraes imprprias que tem o numerador divisvel pelodenominador e que so chamadas de fraes aparentes. Porque so iguais aosnmeros internos que se obtm dividindo o numerador pelo denominador.

Exemplo:

d) Fraes Irredutveis: So fraes reduzidas sua forma mais simples, isto ,

no podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos so nmeros primosentre si, e por esta razo no tm mais nenhum divisor comum.

Exemplo:

Simplificando-se36

24, temos

3

2(frao irredutvel)

REDUE DE FRAES AO MESMO DENOMINADOR

1) Reduzem-se as fraes forma irredutvel2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas fraes3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultadoda diviso.

Exemplo:



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1-)

63 =

21

2-)mmc (2, 5, 7) = 70

3-)

52 ,

21 ,

74

70,

70,

70

7028 ,

7035 ,

7040

PROPRIEDADE DAS FRAES

1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma frao por um certonmero diferente de zero, o valor de frao fica multiplicado ou dividido poresse nmero.

Exemplo:

Seja a frao 103

. Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a frao 106

,

que duas vezes maior que 103

, pois se em 106

tomamos 6 das 10 divises da

unidade, em 103

tomamos apenas trs.

Ilustrao:

Observando a ilustrao, verificamos que 103

duas vezes menor que 106

.



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2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma frao por um nmerodiferente de zero, o valor da frao fica dividido ou multiplicado por essenmero.

Exemplo:

Seja a frao 52

. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a frao 102

, que

duas vezes menor que 52

, pois em 52

dividimos a unidade em 5 partes iguais e das

cinco tomamos duas, enquanto que em 102

, a mesma unidade foi dividida em 10partes iguais e tomadas apenas duas em dez.

Ilustraes:

Comparando-se as ilustraes, podemos verificar que 52

duas vezes maior que

102

.

3) Multiplicando-se ambos os termos de uma frao por um nmero diferente dezero, o valor da frao no se altera.

Exemplo:

52

22

52

104

Logo:52

=104

Ilustraes:



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NMEROS MISTOS

Nmero misto aquele formado por um nmero inteiro e uma frao.Para transformarmos um nmero misto em uma frao, basta multiplicar o

denominador da frao imprpria pelo nmero inteiro e somamos o resultadoobtido com o numerador.

Exemplo:

74

6 =7

442 + =746

COMPARAO DE FRAES

Podemos comparar duas ou mais fraes para sabermos qual a maior e quala menor. Para isto, devemos conhecer os critrios de comparao:1) Quando vrias fraes tm o mesmo denominador, a maior a que tem maior

numerador.

Exemplo:

104 >

103 >

101

2) Quando vrias fraes tm o mesmo numerador, a maior a que tem menordenominador.

Exemplo:



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54 >

74 >

104

3) Quando as fraes tm numeradores e denominadores diferentes acomparao feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmonumerador.

Exemplo:

52 0 (razo positiva) P.A. crescenteCasos: I, II e V

b) se r < 0 (razo negativa) P.A. decrescente

Caso: III

c) se r = 0 (razo nula) P.A. constanteCasos: IV

TERMO GERAL

Seja a P.A. representada na forma matemtica:

P.A.: (a1, a2, a3, a4, ..., an)

Encontraremos uma relao que nos auxiliar a obter um termo qualquer da P.A.conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razo (r).

Da P.A. acima de razo "r" temos:

a2 = a1 + ra3 = a2 + r a3 = a1 + 2ra4 = a3 + r a4 = a1 + 3ra5 = a4 + r a5 = a1 + 4r. .. .. .an = an-1 + r an = a1 + (n - 1) r

PROPRIEDADES IMPORTANTES



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Seja a P.A.:

TERMOS EQIDISTANTES

A soma dos termos eqidistantes de uma P.A. sempre constante:

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo sempre obtido pela mdia aritmtica dos "vizinhos", ou doseqidistantes.

Exerccios Resolvidos

1) Encontre o 21 termo da P.A. (22, 27, 32, ...).Resoluo:

Sabemos que a1 = 22 e r = 27 - 22 = 5

Utilizando a relao do termo geral escrevemos:a21 = a1 + (21 - 1) r a21 = 22 + 20 . 5a21 =122

2) Numa P.A. de razo 4, o quinto termo 97. Qual a ordem do termo que igual a141?

Resoluo:

Sabemos que a5 = 97 e r = 4a5= a1 + (5 - 1)r 97 = a1 + 4 . 4 a1 = 81an = a1 + (n - 1)r 141 = 81 + (n - 1) . 4n = 16

3) Sabendo que a seqncia (3y, y + 1, 5, ...) uma P.A. Encontre a sua razo e oprimeiro termo dessa progresso.



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Resoluo:

Utilizando a propriedade de trs termos consecutivos obtemos a seguinte

relao:

y + 1 =2

53 +y 2(y+1) = 3y + 5

Resolvendo a equao do primeiro grau obtemos y = -3

Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

Imagine se quisssemos somar os cem primeiros nmeros naturais, ou seja,obteramos a seguinte soma:

Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:

e portanto se somarmos seus termos eqidistantes obteremos somas constantes,fazendo uso desta propriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeirostermos da seguinte forma:

Observando que para somar todos esses termos foi necessrio somar oprimeiro termo com o ltimo, multiplicar pelo nmero de termos e dividir por dois.Chegamos, portanto na relao da soma dos "n" primeiros termos de progressoaritmtica:




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1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progresso aritmtica (2, 5, 8, ...).

Resoluo:

Temos a1 = 2 e r = 3precisamos obter o a20 a20 = a1 + (20 - 1) . ra20 = 2 + 19 . 3 a20 = 59

Portanto

S20 =2

20).592( + S20 = 61 . 10

S20 = 610

2) Um torneio de futebol disputado em nove semanas. Na 1 semana, h doisjogos; na 2 semana, cinco; na 3 oito; e assim por diante. Quantos jogos, aotodo, so disputados nesse torneio?

Resoluo:

Observando a seqncia de jogos disputados durante as nove semanasencontramos a seguinte P.A. de nove termos:

(2, 5, 8, ..., a9)e portanto para sabermos quantos jogos sero realizados, no total, devemos

somar todos os termos, ou seja, todos os jogos disputados em cada semana:a9 = a1 + 8.r a9 = 2 + 8 . 3 a9 = 26

S9 =( ) / 6 14 . 8 13 1 0 0 1 1 54 . 5 36 0. 8 9 ( )

2

9.91 aa + S9 =( ) / 6 14 . 9 06 1 0 0 1 2 44 . 5 36 0. 8 9

2

9.262 + S9 = 14 . 9

S9 = 126

Contudo sero realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.

EXERCCIOS - P.A.

P1) O trigsimo primeiro termo de uma P.A. de 1 termo igual a 2 e razo 3 :

a)63b)65c)92d)95e) 102

P2) Sendo 47 o 17 termo de uma P.A. e 2,75 a razo, o valor do primeiro termo :



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a)-1b) 1c) 2

d) 0e) 3

P3) Interpolando-se 7 termos aritmticos entre os nmeros 10 e 98, obtm-se umaprogresso aritmtica cujo quinto termo vale:

a)45b) 52c)54d) 55e)57

P4) Se os ngulos internos de um tringulo esto em P.A. e o menor deles ametade do maior, ento o maior mede:

a) 60b) 80c) 70d) 50e) 40

P5) Uma montadora de automveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros aoms e outra, no mesmo tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Emjaneiro de 1995 ambas as montadoras faro um contrato de exportao.Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras devero aumentar ,respectivamente, em 100 e 200 unidades. O nmero de meses necessrios paraque as montadoras produzam a mesma quantidade de carros :

a)44b) 45c)48d) 50e)54

P6) Sabendo que a seqncia (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) uma P.A., ento o dcimotermo da P.A. (5 - 3x, x + 7, ...) :

a) 2b) 6c) 5d) 4e) 3

P7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) :

a) 400b) 480



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c) 880d) 800e) 580

P8) O oitavo termo de uma P.A. 89 e a sua razo vale 11. Determine a soma:

a) de seus oito primeiros termos;b) de seus quinze primeiros termos.

P9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila,28 na terceira fila, 32 na quarta fila e as demais se compem na mesmaseqncia. Quantas filas so necessrias para a casa ter 800 lugares?

P10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1dia, so colhidas dez dzias; no 2, 16 dzias; no 3, 22 dzias; e assim por diante.Quantas laranjas ele colher ao final dos doze dias?

P11) Verificou-se que o nmero de pessoas que comparecia a determinado eventoaumentava, diariamente, segundo uma P.A. de razo 15. Sabe-se que no 1 diacompareceram 56 pessoas e que o espetculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas.

Durante quantos dias o espetculo ficou em cartas? (Dado: 94249 = 307.)

P12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento:1 hora: R$ 4,002 hora: R$ 3,50A partir da, o preo das horas varia segundo uma P.A. de razo igual a -R$ 0,30

a) Qual o valor a ser cobrado na 8 hora de permanncia de um carro nesteestacionamento?

b) Quanto pagar um proprietrio de um veculo estacionado por oito horas?

P13) A soma dos mltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 :

a) 5000b) 3950c) 4000d) 4950e) 4500

GABARITO - P.A.

P1) CP2) EP3) CP4) BP5) AP6) DP7) C



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P8) a) 404 b) 1335P9) 16 filasP10) 6192 laranjas

P11) 7 diasP12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15P13) D

PROGRESSO GEOMTRICA(P.G.)

Observe as seqncias numricas abaixo:

I. (2 , 4 , 8 , 1 6 , .. .)II . ( 11 , 3 3 , 9 9 , 2 9 7 , . .. )

II I. ( 9, 3 , 1 , 31

, ...)IV. (3, 3, 3 , 3 , .. .)V. (4, -8, 16, -32, .. .)

Note que de um nmero para outro est sendo multiplicada uma constante,podendo ser:

Um nmero positivo Seqncias I e II2 2 = 44 2 = 8ou11 3 = 3333 3 = 99

Uma frao Seqncia III

9 x 31

= 3

3 x 3

1

= 1

O nmero 1 (elemento neutro da multiplicao) Seqncia IV3 x 1 = 33 x 1 = 3

Um nmero negativo Seqncia V4 x (-2) = -8(-8) x (-2) = 16



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Seja a P.G.:( 1 , 3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 2 4 3 , 7 2 9 )

TERMOS EQIDISTANTES

A produto dos termos eqidistantes de uma P.G. sempre constante:

1 7 2 9 = 3 2 4 3 = 9 8 1 = 2 7 2 7 = 2 7 2

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo sempre obtido pela mdia geomtrica dos "vizinhos", ou doseqidistantes.

3 2 = 1 9 ; 2 7 2 = 9 8 1 ; 9 2 = 3 2 7


1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).

Resoluo:

Sabemos que a1 = 2 e q = 6 2 = 3Utilizando a relao do termo geral escrevemos:a5 = a1 q(5 - 1) a5 = 2 34

a5 = 162

2) Sabendo que a seqncia (3, y + 2, 5y - 2, ...) uma P.G. Encontre a sua razo eo primeiro termo dessa progresso.

Resoluo:

Utilizando a propriedade de trs termos consecutivos obtemos a seguinterelao:(y + 2)2 = 3 . (5y - 2)y2 + 4y + 4 = 15y - 6y2 - 11y + 10 = 0

Resolvendo a equao do segundo grau obtemos:



118/253

y = 1 0

P. G .: (3 , 12 , 48 , . . . )

==

4q

3a 1

o u

y = 1

P .G . : (3, 3 , 3, . . .)

==

1q

3a 1

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

Para o clculo da soma dos n primeiros termos de uma progresso geomtrica,usa-se a frmula abaixo:

S n = q1)q(1a n1

o u Sn = 1-q

1)-(qa n1


1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progresso geomtrica (1, 3, 9,...).

Resoluo:

Temos a1 = 1 e q = 3

Portanto

S8 = )13()13(1 8

S8 = 2

16561

S8 = 3 280

2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)

Resoluo:

Da P.G. acima temos: a1 = -1 e q = 2 (-1) = -2Utilizando a frmula para o clculo dos cem primeiros termos da P.G.:

S8 = ( ) / 6 15 . 2 5 1 0 0 1 25 7 1 92 . 8 9 )12(]12[1 8

S8 = 3

255

S8 = 85



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EXERCCIOS - P.G.

P1) Qual o quinto termo da P.G. ( 9

2

, 3

4

, 8, ...)?

P2) O 4. termo de uma P.G. 2501

e o 1. termo igual a 4. Qual a razo dessaP.G.?

P3) O 9. termo de uma P.G. 82

e a sua razo 22

. Determine:a) O primeiro termo;b) o quarto termo.

P4) Qual o dcimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?

P5) Numa pequena cidade, um boato espalhado da seguinte maneira: no 1. dia,5 pessoas ficam sabendo; no 2., 15; no 3., 45; e assim por diante. Quantaspessoas ficam sabendo do boato no 10. dia?

P6) Num cassino, so disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1. rodada, ovalor do prmio R$2000,00. Caso os valores dos prmios aumentem segundouma P.G., qual o valor do prmio na ltima rodada, se na 5. rodada ele for deR$10 125,00?

P7) Calcule o valor de x, de modo que a seqncia (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja uma

P.G.P8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).

P9) Numa P.G. de termos positivos, o 1. termo igual a 5 e o 7. 320. Calcule asoma dos dez primeiros termos dessa P.G.

P10) Um indivduo contraiu uma dvida e precisou pag-la em oito prestaesassim determinadas: 1. R$60,00; 2. R$90,00; 3. R$135,00; e assim por diante.Qual o valor total da dvida?

P11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o servio militar. A junta militar

da cidade convocou, para exame mdico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2. dia, 12no 3., e assim por diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para oexame aps o 10. dia de convocaes?

GABARITO - P.G.

P1) 288

P2) q = 101



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P3) a) 22 b) 1

P4) 1285

P5) 98415

P6) R$ 76886,72

P7) 8

P8) 2 188

P9) 5 115P10) R$ 2 956,00, aproximadamente

P11) 31

SISTEMAS LINEARES um conjunto de m equaes lineares de n incgnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3..................................................................................................................................am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

Exemplo:

3x + 2y - 5z = -84x - 3y + 2z = 47x + 2y - 3z = 20x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equaes e 3 incgnitas (ou variveis).

Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn so denominados coeficientes

e b1, b2, ... , bn so os termos independentes.



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A nupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) ser soluo do sistema linear se e somente sesatisfizer simultaneamente a todas as m equaes.

Exemplo:O termo ordenado (2, 3, 1) soluo do sistema:

x + y + 2z = 73x + 2y - z = 11x + 2z = 43x - y - z = 2pois todas as equaes so satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:1 - Dois sistemas lineares so EQUIVALENTES quando possuem as mesmas

solues.

Exemplo:

S1: 2x + 3 y = 123x - 2y = 5

S2: 5x - 2y = 116x + y = 20

Os sistemas lineares so equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3,

como soluo. Verifique!2 - Se um sistema de equaes possuir pelo menos uma soluo, dizemos que ele POSSVEL ou COMPATVEL.

3 - Se um sistema de equaes no possuir soluo, dizemos que ele IMPOSSVEL ou INCOMPATVEL.

4 - Se o sistema de equaes COMPATVEL e possui apenas uma soluo,dizemos que ele DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equaes COMPATVEL e possui mais de uma soluo,

dizemos que ele INDETERMINADO.6 - Se os termos independentes de todas as equaes de um sistema linear foremtodos nulos, ou sejab1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGNEO.

Exemplo:

x + y + 2z = 02x - 3y + 5z = 05x - 2y + z = 0



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1 -Se os sistemasS1: x + y = 1

x - 2y = -5

S2: ax - by = 5ay - bx = -1

so equivalentes, ento o valor de a2+ b2 igual a:

a) 1b) 4c) 5

d) 9e)10

Resoluo:

Como os sistemas so equivalentes, eles possuem a mesma soluo. Vamosresolver o sistema S1:x + y = 1x - 2y = - 5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (- 2y) = 1 - (- 5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.

Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.

O conjunto soluo portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas so equivalentes, a soluo acima tambm soluo dosistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para osistema S1, vem:

a(-1) - b(2) = 5 - a - 2b = 5a(2) - b (-1) = -1 2 a + b = -1

Multiplicando ambos os membros da primeira equao (em azul) por 2, fica:

-2 a - 4b = 10

Somando membro a membro esta equao obtida com a segunda equao (emvermelho),fica: -3b = 9 \b =- 3

Substituindo o valor encontrado para b na equao acima, teremos:2 a + (-3) = -1 \ a = 1.

Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.



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Portanto a alternativa correta a letraE.

2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equaes abaixo,

2x - my = 103x + 5y = 8, seja impossvel.

Resoluo:

Teremos, expressando x em funo de m, na primeira equao:x = (10 + my) / 2

Substituindo o valor de x na segunda equao, vem:3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:3(10+my) + 10y = 1630 + 3my + 10y = 16(3m + 10)y = -14y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que no exista o valor de y e, em conseqncia no exista o valor de x,deveremos ter o denominador igual a zero, j que , como sabemos, NO EXISTEDIVISO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja

impossvel, ou seja, no possua soluo.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10.............3y + 2z = ..9.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6

....8x + 20y = 18

Resposta:a) sistema possvel e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}b) sistema possvel e indeterminado. Possui um nmero infinito de solues.c) sistema impossvel. No admite solues

Mtodo de eliminao de Gauss ou mtodo do escalonamento

Karl Friedrich Gauss - astrnomo, matemtico e f sico alemo - 1777/1855.



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O mtodo de eliminao de Gausspara soluo de sistemas de equaeslineares, tambm conhecido como escalonamento, baseia-se em trstransformaes elementares, a saber:

T1 - um sistema de equaes no se altera, quando permutamos as posies deduas equaes quaisquer do sistema.

Exemplo:

Os sistemas de equaes lineares

2x + 3y = 105x - 2y = 65x - 2y = 62x + 3y = 10

so obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto soluo.

Observe que apenas mudamos a ordem de apresentao das equaes.

T2 - um sistema de equaes no se altera, quando multiplicamos ambos osmembros de qualquer uma das equaes do sistema, por um nmero real nonulo.

Exemplo:Os sistemas de equaes lineares

3x + 2y - z = 5

2x + y + z = 7x - 2y + 3z = 13x + 2y - z = 52x + y + z = 73x - 6y + 9z = 3so obviamente equivalentes, pois a terceira equao foi multiplicada membro amembro por 3.

T3- um sistema de equaes lineares no se altera, quando substitumos umaequao qualquer por outra obtida a partir da adio membro a membro destaequao, com outra na qual foi aplicada a transformao T2.

Exemplo:Os sistemas

15x - 3y = 225x + 2y = 3215x - 3y = 22...... - 9y = - 74so obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto soluo), poisa segunda equao foi substituda pela adio da primeira equao, com asegunda multiplicada por ( -3 ).



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Vamos resolver, a ttulo de exemplo, um sistema de equaes lineares, pelomtodo de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equaes lineares:. x + 3y - 2z = 3 .Equao 12x . - .y + z = 12 Equao 24x + 3y - 5z = 6 .Equao 3

Resoluo:

1 - Aplicando a transformao T1, permutando as posies das equaes 1 e 2,vem:2x .-...y + z = 12x ..+ 3y - 2z = 34x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equao 2, por (- 2) - uso datransformao T2 - somando o resultado obtido com a equao 1 e substituindo aequao 2 pelo resultado obtido - uso da transformao T3 - vem:

2x - ..y + z = 12.....- 7y + 5z = 64x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equao 1 por (-2), somando o resultadoobtido com a equao 3 e substituindo a equao 3 pela nova equao obtida,vem:

2x - ..y + ..z = ...12.....- 7y + 5z = ....6........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equao acima por 5 e a terceira por 7, vem:

2x -.....y + ....z =....12.....- 35y +25z =... 30.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equao acima com a terceira, e substituindo a terceira

pelo resultado obtido, vem:

2x - .....y + ....z = ..12.....- 35y + 25z = ..30...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z =4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fcil achar os valores das outrasincgnitas:



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eliminar a segunda incgnita em todas as equaes a partir da terceira e assimsucessivamente, utilizando-se das transformaes T1, T2 e T3 vistas acima.

A prtica, entretanto, ser o fator determinante para a obteno dos bons eesperados resultados.

Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a tcnica deescalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }4x - 2y = 22x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }2 a + 5b + .3c = ...20

5 a + 3b - 10c = - 39...a + ..b + ....c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }..x + .y .- ..z = ...0..x - 2y + 5z = 214x + .y + 4z = 31

Regra de Cramer para a soluo de um sistema de equaeslineares com n equaes e n incgnitas.

Gabriel Cramer - matemtico suo - 1704/1752.Consideremos um sistema de equaes lineares com n equaes e n incgnitas,na sua forma genrica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3....................................................= .......................................................= ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann so nmeros reais ou complexos, os termosindependentes b1, b2, ... , bn , so nmeros reais ou complexos e x1, x2, ... , xnso as incgnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incgnitas.



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Seja D xi o determinante da matriz que se obtm do sistema dado, substituindo acoluna dos coeficientes da incgnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termosindependentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incgnitas de um sistema linear de n equaes e n incgnitas sodados por fraes cujo denominador o determinante D dos coeficientes dasincgnitas e o numerador o determinante D xi, ou seja:xi = D xi / D

Exemplo:

Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6

Teremos:



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Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto soluo do sistema dado S = { (5, 2, 4) }.

Agora, resolva este:

2 x + 5y + 3z = 205 x + 3y - 10z = - 39x + y + z = 5

Resp: S = { (-1, 2, 4) }

EQUAES E INEQUAES- 1 e 2 GRAUS

EQUAO DO 1. GRAU

Observe as sentenas abaixo:1) 2 x 3 + 5 = 112) 2 x 4 + 5 = 11



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3) 2 x x+ 5 = 11

A sentena 1 verdadeira pois verificamos a igualdade

A 2 uma sentena falsa pois 2 x 4 + 5 = 13.Com relao a sentena 3 ela ser uma sentena aberta pois no sabemos que valor que ox poder assumir; que inclusive essa sentena um caso particular de equao do 1O.grau.

RESOLUO DA EQUAO DO 1O. GRAU

Exemplo1:

Resolva, em IR, a equao 2(x - 3) = x - 3.

Resoluo :Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:2x- 6 = x - 3 2x - x = 6 - 3 x = 3
http://www.pdfpdf.com/0.htm


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x + 4x + x + 2x = 2x + 122x + 6x = 2x + 12Diminuindo 2x em ambos os lados:

6x = 12x = 12/6 = 2

(e)[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21

(f)4x + 24x - x = 5x

4x - x - 5x = -24x-2x = -24xDividindo por x em ambos os lados:-2x = - 24x = 24/2 = 12

04) Determine um nmero real "a" para que as expresses (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejamiguais.

Resoluo:

(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6

6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 80

2a= 44

a = 44/2 = 22

05) Resolver as seguintes equaes (na incgnita x ):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resoluo:

(a)(20 - 8x) / 4x = x/4x20 - 8x = x-8x = x - 20-8x - x = -20-9x = -20x = 20/9

(b)



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3bx = 7bx + 3bc - 6bc3bx - 7bx = -3bc-4bx = -3 bc

x = (3bc/4b)x = 3c/4

INEQUAO DO 1. GRAU

A resoluo de inequaes do 1. grau anloga a resolues de equaes do 1. grau,observe:

Inequao: 4(x + 1) 5 2 x + 6

4(x + 1) 5 2 x + 64 x + 4 5 2x + 64x 2x 6 4 + 52x 7

x 27

S = {x IR / x 27

}

Exerccio Resolvido

R3) Obtenha o conjunto domnio da funo representada por f(x) = x21

1x

+

.

Resoluo :Para obter o domnio de uma funo basta verificar quando ela vai existir, ou seja, nestecaso, temos uma raiz quadrada, ento devemos impor que o radicando seja no negativo,isto :

x211x

+ 0

Obtemos uma inequao do tipo quociente, para a resoluo da mesma devemos estudaro sinal do numerador e denominador:

Estudo do sinal do numerador

x + 1 = 0 x = 1



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+

1_

Estudo do sinal do denominador

1 2x = 0 2 x = 1 x =21

+_

21

O prximo passo estudar o sinal do quociente entre as duas funes e paratantofaremos uso do "quadro de sinais":

Quadro de Sinais

f ( x ) = x + 1

g ( x ) = 1 2 x

g(x)

f(x)

1 21

Assim o domnio da funo :

D = { x IR / 1 x 7 - 11x d) 3 - x -1 + x

P6) Resolva, em IR, as inequaes:

a)2x1x2

++

> 0 b)x232x3

< 0 c)1x5x43

+

0

P7) O grfico abaixo representa a de IR em IR dada por f(x) = ax + b (a, b IR). De acordo

com o grfico, conclui-se que

x

y

a) a < 0 e b > 0b) a < 0 e b < 0c) a > 0 e b > 0d) a > 0 e b < 0e) a > 0 e b = 0

P8) O grfico da funo f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1, 3) e (2, 7). O valor de m :



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137/253


138/253

= b2 4ac = (5) 2 4.1.6 = 25 24 = 1

x = a2b x = ( ) / 6 13 . 1 88 1 0 0 1 2 27 6 93 . 8 9 ( )12 15

x =2

15

==

=

==+

=

224

215

x

326

215

x S = {2; 3}

Observao:Sendo S o conjunto-soluo de uma equao do 2O. grau do tipo ax2 + bx + c = 0, conclui-se que:

v > 0 S =

+

a2

b;

a2

b

D uas razes reais e distintas

v = 0 S =

a2b

U ma raiz real ou duas razes idnticasv < 0 S = No h soluo real


R1) Do quadrado de um nmero real vamos subtrair o qudruplo do mesmo nmero. O resultadoencontrado 60. Qual esse nmero?

Resoluo:quadrado do nmero: x2qudruplo do nmero: 4xEquao: x2 4x =60Normalizada: x2 4x 6 0 = 0Resolvendo com o auxlio da frmula de Bhaskara, obteremos como soluo 10 e 6, logo onmero real descrito poder ser o 10 ou o 6.

R2) Determine os valores de mpara que a funo quadrtica f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m +

2) tenha um zero real duplo.

Resoluo:Ter um zero real duplo significa que a equao tenha duas razes reais e idnticas, ou seja, =0, logo:b2 - 4ac = 0 (3m + 2)2 4.1.(m2 + m +2) = 0Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva9m2 + 1 2 m + 4 4m2 4m 8 = 05m2 + 8m 4 = 0com o auxlio da frmula de Bhaskara



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m = 2 ou m =52

INEQUAES DO 2O. GRAU

Vamos aplicar o estudo do sinal de uma funo quadrtica na resoluo deinequaes.Utilizaremos como exemplo o item ado exerccio R1:

y = x2 3x 10Uma inequao que podemos formar:

x2 3x 10 > 0

Para a resoluo desta inequao basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ouseja:S = {x IR / x < 2 ou x > 5}

Geometricamente:

2 5

+_

+_

Observaes:vSe tivssemos uma inequao do tipo x2 3x 10 0, a soluo seria S = {x IR/ x 2

ou x 5} e o esboo ficaria da seguinte forma:

2 5

+_

+_

Agora os valores 2 e 5 pertencem soluo da inequao e por isso representamos noeixo com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequao anterior.

v

No h necessidade do eixo y na representao do esboo.

EXERCCIOS - FUNO DO 2O. GRAU

P1) Considere a funo y = x2 + 2x + 3.a) Determine o ponto onde a parbola que representa a funo corta o eixo dos y.b) Verifique se a parbola que representa a funo corta o eixo dos x; e m caso afirmativo,determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.c) Determine as coordenadas do vrtice da parbola que representa a funo.d) Desenhe o grfico da funo.



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P2) A soma de dois nmeros 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quaisso os dois nmeros?

P3) A soma de um nmero real com o seu quadrado d 30. Qual esse nmero?

P4) Do quadrado de um nmero real vamos subtrair o qudruplo do mesmo nmero. Oresultado encontrado 60. Qual esse nmero?

P5) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade deJunior est para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 est para 4. Qual a idade de Junior e qual a idade de Hudson?

P6) A diferena entre o quadrado e o triplo de um nmero real igual a 4. Qual essenmero?

P7

) O produto de um nmero inteiro positivo pelo seu consecutivo 20. Qual essenmero?

P8) A medida da base de um tringulo de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essas

medidas, sabendo que a rea desse tringulo igual a 12 cm2.

P9) A classe de Flvio Betiol vai fazer uma excurso ao Rio de Janeiro, para comemorar aformatura da 8 srie. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos no podero irao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classede Flvio Betiol?

P10) O quadrado de um nmero estritamente positivo adicionado com o seu dobro igualao quadrado do seu triplo. Qual esse nmero?

P11) A metade de um nmero positivo somado com o dobro do seu quadrado igual aoqudruplo do nmero. Qual o nmero?

P12) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quntuplo de sua idade igual a 104.Qual a idade de Reinivaldo?

P13) Subtramos 3 do quadrado de um nmero. Em seguida, calculamos a soma de 7 como triplo desse mesmo nmero. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual essenmero, se ele um nmero natural?

P14) Resolva, em IR, as inequaes:

a) x2 3x + 2 > 0b)x2 + x + 6 > 0c) x2 4 = 0d)3x2 8x + 3 0e)2x2 + 3x > 0f) x2 + 10x > 0

GABARITO - FUNO DO 2O.GRAU



141/253

P1) a) y = 3 b) x1 = 1 ou x2 = 3c) xv = 1 e yv = 4 d) Grfico: a < 0 e > 0

P2) O nmero menor 87, o maior 120.

P3) O nmero procurado 5 ou - 6

P4) O nmero procurado 10 ou - 6

P5) -2 no convm pois pede-se idades Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos

P6) 4 ou -1

P7) 4

P8) base = 4cm e altura = 6cm

P9) 36 alunos

P10) 1

P11) 7/4

P12) 13 anos

P13) 5

P 1 4 ) a ) S = { x IR / x < 1 o u x > 2}b ) S = { x IR / 2 < x < 3 }c ) S = { x I R / x < 2 o u x > 2 }

d ) S = { x I R / x 3 o u x 31

}

e ) S = { x I R / 0 < x 0 }

EQUAES EXPONENCIAIS

Regra:

21xx xxaa 21 ==



142/253

Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equao exponencial:

2x = 128 fato rando o segundo membr o 2x = 27


143/253

2a.)x

21

>

1281

x

21

>

7

21

x < 7


144/253


145/253

Seja fuma relao entre dois conjuntos A e B, diz-se que f uma funo de A emB e indica-se por f: A B, se e somente se para cada elemento de x A existaum nico elemento y B.

f

A B

x1 y1

O conjunto A chamado de domnio da funo e o conjunto B chamado decontra-domnio e os elementos de B que esto relacionados com os de A fazem

parte do conjunto imagem da funo.

RECONHECENDO UMA FUNO

PELOS DIAGRAMAS

Exemplo1:

Observe as relaes abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item seso ou no funo, em caso afirmativo, encontre o seu domnio (Df), contra-domnio (CDf) e conjunto imagem (Imf) das funes identificadas.

a)

0

1

0 5 10 20

A B

Esta r elao uma funo, pois cada elemento de A estrelacionado com apenasum de B.

v Df = {0, 1}v CDf = {0, 5, 10, 20}v Imf = {0, 5}

b)



146/253

0 1 2

3

0

2 4 6 8 10

A B

Esta relao no uma funo, pois existe um elemento deA que no se relaciona com nenhum de B.

c)

-1 -2 2 1

1 2 3 6 7 8

A B

Esta r elao uma funo, pois cada elemento de A estrelacionado com apenas um de B, e no existe nenhumaelemento de A sobra ndo.

v Df = {-1, -2, 2, 1}v CDf = {1, 2, 3, 6, 7}v Imf = {1, 7}

d)

0

2

-1

0

1

A B

Esta relao no uma funo, pois existe um elemento deA que se relaciona com dois de B.

Observao:Repare que podemos ter um elemento do contra-domnio relacionado com doisdo domnio, e ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domnio.



147/253

PELOS GRFICOS

Exemplo2:

Identifique quais dos grficos abaixo representam funes, em casoafirmativo determine o Domnio e a Imagem de cada uma das funesidentificadas.

a)

3

5

3

6

0 x

y

Este grfico representa uma funo, as retas verticaispontilhadas "cortam" o grfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estar relacionado com apenas um y.

v Df = {x IR / 3 x 3} Eixo xv Imf = {y IR / 5 y 6} Eixo y

b)

37

4

0 x

y

1

Este grfico no representa uma funo, pois observe que as retaspontilhadas "cortam" em mais de um ponto o grfico.

c)

x

y

8

21

3

7

6

Este grfico representa uma funo, as retas verticais pontilhadas "cortam" ogrfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estar relacionado com apenas um y.vDf = {x IR / -2 < x 8} Eixo xv Imf = {y IR / 7 y 1} Eixo y



148/253


1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:

f(0) - f(1) + f(2)Resoluo:

v f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1

v f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2v f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2

Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5

2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m 3m com ladrilhos quadrados, todosiguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm,15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual o nmero de ladrilhos que usar em cada caso?

Resoluo:Para sabermos a quantidade de ladrilhos que sero utilizados, basta dividir a reatotal da sala pela rea de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguintefuno que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em funo da dimenso (x) decada ladrilho:

y =

L

T

SS

=2x33

=2x

9 y =2x

9

importante ressaltar que a rea de cada ladrilho deve estar em m2, isto , adimenso x deve ser dada em metros.Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessria para cobrir a sala:

x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30Y 900 625 400 225 144 100

EXERCCIOS - FUNES

P1) A tabela abaixo indica o custo de produo de certo nmero de peas deautomvel:

Peas custos1 12 43 94 165 256 36



149/253

Observando a tabela responda:

a) Qual o custo da produo de 3 peas?

b) Qual o nmero de peas produzidas com R$ 25,00?c) Qual a lei que representa o custo c da produo em funo do nmero depeas n?d) Com relao ao item anterior, qual o nmero mximo de peas produzidas comR$ 1 000,00?

P2) O nmero y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado

de um jogo de futebol, aps x horas em sua realizao, dado por x10y = .Responda:a) Quantas pessoas j sabem o resultado do jogo aps 4 horas?b) Quantas pessoas j sabem o resultado do jogo em 1 dia?

c) Aps quantas horas de sua realizao, 30 mil pessoas tomam conhecimento doresultado do jogo?

P3) A velocidade mdia de um automvel em uma estrada de 90km/h.Responda:a) Qual a distncia percorrida pelo automvel em 1hora? E em 2 horas?b) Em quanto tempo o automvel percorre a distncia de 360 km?c) Qual a expresso matemtica que relaciona a distncia percorrida (d) emfuno do tempo (t)? (d em quilmetros e t em horas)

P4) Um professor prope sua turma de 40 alunos um exerccio-desafio,comprometendo-se a dividir um prmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam

x o nmero de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cadaacertador (em reais). Responda:a) y funo de x? Por qu?b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?c) Qual o valor mximo que y assume?d) Qual a lei de correspondncia entre x e y?

P5) Qual a notao de cada uma das seguintes funes de IR em IR?a) f associa cada nmero real ao seu dobro.b) g associa cada nmero real ao seu quadrado.c) h associa cada nmero real ao seu triplo menos 1.

P6) Qual a notao de cada uma das seguintes funes?a) f a funo de IR* em IR* que associa cada nmero real ao seu inverso.b) g a funo de IN em IN que associa cada nmero natural ao quadrado de seusucessor.

P7) Sendo f uma funo de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:a) f(0) b) f(1) c) f(-2)

P8) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:a) f(1) b) f(2) c) f(-1)



150/253

P9) Seja f: IR IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:

a) f

21 b) f( 3 ) c) f(1 2 ) d) f(2p)

P10) Os diagramas de flechas dados representam relaes binrias. Pede-se, paracada uma:a) dizer se ou no uma funo;b) em caso afirmativo, determinar o domnio, o contradomnio e o conjunto-imagem da mesma.

I-)

1 2 3 4

5 6 7 8

II-)

1

3

4

9

10

11 12

III-)

1

2

3

1 4 5 2

3

IV-)

1

2

3

1

2

V-)



151/253

1

23

0

VI-)

1

1

2

3

P11) Observe os grficos abaixo:

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Podemos afirmar que:a) todos os grficos representam funes;b) os grficos I, III e IV representam funes;c) apenas o grfico V no representa uma funo;d) os grficos I, II, III e IV representam funes;e) apenas o grfico II no representa funo.

P12) As funes f e g so dadas por:



152/253

v f(x) =5

3x 1 e g(x) =

3

4x + a

Sabe-se que f(0) g(0) =3

1.O valor de f(3) 3.g

5

1:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

P13) A funo y = f(x) representada graficamente por:

x

y

2 0 2 4

2

4

Atravs da anlise do grfico, encontre:a) Domnio da funo (Df);b) Imagem da funo (Imf);c) f(3);d) o valor de x tal que a funo seja nula.

P14) Uma funo f de varivel real satisfaz a condio f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer

que seja o valor da varivel x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) igual a:

a)4

1b)

2

1c)

2

3d) 2 e)

2

5

GABARITO - FUNES

P1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2 d) 31

P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas

P3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t

P4) a) Sim, poisa cada valor dex corresponde um nico valor de y.b) x = 2 y = 60, x = 8 y = 15, x = 20 y = 6

x = 2 0 y= 6 e x= 25 y=4,8



153/253

c) 120 d) y =x

120

P5) a) f: IR IRf(x) = 2x

b) g: IR IRg(x) = x2

a) h: IR IRh(x) = 3x 1

P6) a) f: IR* IR

f(x) =x1

b) g: IN INg(x) = (x + 1)2P7) a) 3 b) 5 c) 1

P8) a) 0 b) 2 c) 10P9)

a)4

11b) 7 3 3 c) 2 + 4

d) 4p2 6p + 4

P10) I-) No funo II -) No funoIII-) funo: Df = {1, 2, 3}CDf = {1, 2, 3, 4, 5}Imf = {1, 2, 3}

I V-) funo: Df = {1, 2, 3}, CDf ={1,2},Imf = {1, 2}

V-) funo: Df = {1, 2, 3}, CDf ={0}Imf = {0}

VI ) No funo.

P11) B

P12) E

P13) a) Df = {x IR / 2 < x 4}b) Imf = {y IR / 0 < x< 4}c) f(3) = 4d) x = 0

P14) C



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155/253

Exerccio Resolvido

1) Dada a funo f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?

Resoluo:

f(1) = 3 a.(1) + b = 3f(2) = 9 a.(2) + b = 9

Chegamos no sistema de duas equaes e duas incgnitas:

=+=+

92

3

ba

ba, resolvendo o sistema obtemos

a = 6 e b = - 3, logo:f(x) = 6x - 3 f(0) = 6.(0) - 3 f(0) = - 3

GRFICO DA FUNO DO 1O. GRAU

Seja a funo do 1O. grau f(x) = ax + b, o grfico desta funo uma reta:

Nota:

v"Denomina-se zero ou raiz da funo f(x) = ax + b o valor de x que anula afuno, isto , torna f(x) = 0."

vO ponto onde o grfico "corta" o eixo y ser sempre (0, b), onde b o

coeficiente da funo.

ANLISE DOS GRFICOS:

vGrfico 1: Grfico de uma funo crescente onde teremos o coeficiente a > 0.

v Grfico 2: Grfico de uma funo decrescente onde teremos o coeficiente a 0; para quais valores de x a funo zero, ou seja,y = 0; e, para quais valores de x a funo negativa, ou seja, y < 0.Considere a funo f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal dafuno.

.consideraracasosdoish,a

bxparaanulasefunoaqueVimos =

1O. Caso) a > 0 Funo Crescente

ab

x

y

y > 0

y < 0

+_

v y > 0 x >ab

v y < 0 x 0 x ab



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FUNO DO 2O. GRAU

INTRODUO

Uma empresa de txis fez uma anlise de custos operacionais e chegou seguinte concluso:Para cada automvel, ela tem:

a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.b) um ganho calculado como o quadrado da distncia percorrida (em km).c) uma despesa de R$ 6,00 por quilmetro rodado, relativa a combustvel,

manuteno, taxas e impostos, salrios, etc.

1) Vamos escrever a funo que relaciona o lucro dessa empresa com a distnciapercorrida, para cada automvel. Chamemos de x a distncia percorrida e de y olucro total da empresa para cada automvel:

y = 8 + x2 - 6x y = x2 -6x + 8

2) Analisando essa funo, descobriu-se que, dependendo da distnciapercorrida, o txi poderia dar lucro ou prejuzo, observe a tabela abaixo:

Tabela

x y0 81 32 03 -14 05 36 8

Notas:Observe que quando o txi percorre 2km e 4km, no h prejuzo e nem lucro.

Se o txi percorre 3km, h um prejuzo de R$1,00.Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, so obtidos se o txi noandar (em caso do passageiro s pagar a bandeirada), ou se o txi percorrer 6km.

3) Para uma melhor visualizao do lucro da empresa variando de acordo com adistncia percorrida foi feito o grfico abaixo representando a distnciapercorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).



159/253

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

Notas:De acordo com o grfico podemos observar que:

vPara distncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o txi drealmente lucro:

x < 2 ou x > 4vPara distncias percorridas entre 2km e 4km o txi d prejuzo:

2 < x < 4vSe o txi percorrer 2km ou 4km o txi no dar nem lucro nem prejuzo:

x = 2km ou x = 4kmvA funo representada pelo grfico uma funo do 2O. grau e o grfico

ilustrado uma parbola.

DEFINIO

denomina-se funodo2 grau ou funoquadrtica".

GRFICO DA FUNO DO 2O. GRAU

Para toda funo do 2O. grau temos o grfico sendo uma parbola, assim comona funo do 1O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes sero: intersecocomo eixoy: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o grfico "corta" oeixo y.



160/253


161/253

> 0 = 0 < 0

a > 0

a < 0

Observaes:

De acordo com o coeficiente a e o discriminante numa funo do 2O. grau,podemos tirar algumas concluses a respeito da posio da parbola:

vA parbola poder ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a 0 - duas razesdistintas), ou em um nico ponto ( = 0 - uma nica raiz) ou ainda nointerceptar o eixo x ( > 0 - a funo no possui razes reais).

Exemplo1:

Faamos o esboo do grfico da funo y = 2x2 - 5x + 2:

Caractersticas:

concavidade voltada para cima: a = 2 > 0 zeros (ou razes): 2x2 - 5x + 2 = 0

Resolvendo a equao, obtemos:

x1 = 2

1

ou x2 = 2

=

=

8

9,

4

5

4a

,

2a

bVparboladavrtice

interseco com o eixo y: (0, c) = (0, 2)

Grfico:



162/253

Exemplo 2:

Faamos agora, o esboo do grfico da funo y = x2 - 2x + 1:

Caractersticas:

concavidade voltada para cima: a = 1 > 0 zeros (ou razes): x2 - 2x + 1 = 0

Resolvendo a equao, obtemos:x1 = x2 = 1 (raiz dupla)

(0,1)c)(0,:yeixocomoointersec

(1,0)4a

,2ab

V:parboladavrtice

=

=

=

Grfico:

Exemplo3:

Faamos por fim, o esboo do grfico da funo y = -x2 - x - 3:

Caractersticas:

concavidade voltada para baixo: a = 1 < 0

zeros (ou razes): x2 2x + 1 = 0



163/253

no existe x IR, pois < 0

3)(0,-c)(0,:yeixocomoointersec4

11

-,2

1

-4a

-,2a

b

-V:parboladavrtice=

=

=

Grfico:

SINAL DA FUNO QUADRTICA

Considere a funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinarpara quais valores de x temos a funo positiva (y > 0), funo negativa (y < 0) ou

a funo nula (y = 0).Na tabela a seguir temos as posies relativas e os sinais de acordo com

os eixos coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.



164/253

> 0 = 0 < 0

a > 0

a < 0 + _

+

_

+

_

+_

+

_

+

_

+

_ _

+


R1) Estude o sinal das funes abaixo:

a) y = x2 - 3x - 10.b) y = -x2 + 6x - 9c) y = x2 + 7x + 13

Resoluo:

a)1O.) Razes: x2 - 3x - 10 = 0 x1 = -2 ou x2 = 5

2O.) Esboo:



165/253

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x < -2 ou x > 5y = 0 x = - 2 ou x = 5y < 0 -2 < x < 5

b)1O.) Razes: -x2 + 6x - 9 = 0 x1 = x2 = 3

2O.) Esboo:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 no existe x IRy = 0 x = 3y < 0 x < 3 ou x > 3

c)

1O.) Razes: x2 + 7x + 13 = 0 < 0 (no existe x real)

2O.) Esboo:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 x IRy = 0 no existe x realy < 0 no existe x IR



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FUNO EXPONENCIAL

INTRODUOImagine que exista um micrbio que a cada minuto ele se duplicada. Podemos entoformar a seguinte s eqncia numrica relativamente a quantidade desses seres em cadaminuto:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)Podemos ainda, escrever esta seqncia na forma de potncia:

(20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...)Se chamarmos os minutos de xe a quantidade de elementos de y. Conclumos que

yest em funo de xe encontraremos a seguinte funo:

y = f(x) = 2xPara encontrar qual a quantidade existente de elementos aps o trmino do 10O. minuto,basta encontrarmos o valor de y, quando x = 10.f(10) = 210 = 1024

DEFINIO

'Chama-se funo exponencial qualquer funofde IR em IR dada por uma lei da formaf(x) = ax, ondea um nmero real dado, a > 0 e a 1".

GRFICO DA FUNO EXPONENCIALVamos construir o grfico relativo ao desenvolvimento do micrbio descrito

acima:

y

16

8

4

21

1 2 3 4 x (min)

Como no h tempo negativo, o grfico existir apenas para x 0.

Exemplo:



167/253

Vamos construir num mesmo sistema cartesiano os grficos das funes

f(x) = 3x e g(x) =x

3

1

.

.x f(x) g(x)-3 1/27 27-2 1/9 9-1 1/3 30 1 11 3 1/32 9 1/93 27 1/27

y

x

g(x) =

x

31 f(x) = 3

x

0

Observaes: vA funo f uma funo crescente, pois conforme os valores de x crescem omesmo acontece com os valores de y.

vA funo g uma funo decrescente, pois conforme os valores de x crescem, osvalores de y diminuem.vf(x) = ax crescente, pois a = 3 > 1

v g(x) = ax decrescente, pois 0 < a =31 < 1

LOGARITMOS

Vimos que para resolver equaes exponenciais, devemos ter dos dois lados daigualdade bases iguais nas potncias. Entretanto equaes exponenciais do tipo 2x = 6,se torna impossvel de resolve-las utilizando os artifcios estudados at aqui.

Querendo resolver a equao 2x = 6, no conseguiremos reduzir todas as potncias mesma base. Neste caso, como 4 < 6 < 8, ento 4 < 2 x < 8, ou seja, 22 < 2x < 23 e apenaspodemos garantir que 2 < x < 3. Para resolver equaes exponenciais onde impossvelreduzir as duas potncias mesma base, estudaremos agora os logaritmos.

DEFINIO



168/253

Chama-selogaritmo de a na base b, e se indica porlogba, o expoentexao qual se deveelevarbpara se obter a, observe:

logba = x bx = a

onde:a logaritmando e a > 0b base do logaritmo e b > 0 e b 1x logaritmo

Exemplos:

v log24 = x

2x = 4

2x = 22

x = 2


169/253

cologaN = logaN1

= - logaN

ANTILOGARITMO

Da nomenclatura apresentada logaN = decorre que N (logaritmando) o antilogaritmo de na base a.

logaN = antiloga = N

Exerccio Resolvido

R1

) Calcule o valor de y = log4

4 + log7

1 + 2.log10.Resoluo:log44 = 1log71 = 0log10 = log1010 = 1Logo: y = 1 + 0 + 2.1 = 3

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOSObserve a igualdade:

log28 + log24 = log232Podemos escrever log232 como sendo log2(84), logo:

log28 + log24 = log2(8 4)Isto no uma mera coincidncia e sim, uma das propriedades operatrias doslogaritmos.

LOGARITMO DO PRODUTOloga(x . y) =logax + logay

LOGARITMO DO QUOCIENTE

loga( yx

) = logax + logay

LOGARITMO DA POTNCIAlogaxn = n . logax

Exerccio Resolvido



170/253

R2) Sabendo-se que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6990, determine:a) log 30 b) log 25 c) log 2,5 d) log cos 45Resoluo:

log 30 = log(5 . 6)= log 5 + log 6= 0,6990 + log(2 . 3)= 0,6990 + log 2 + log 3= 0,6990 + 0,3010 + 0,4771= 1,4771

b) log 25 = log 52

= 2 . log 5= 2 . 0,6990= 1,3980

c) log 2,5 = log (25 )

= log 5 log 2= 0,6990 0,3010= 0,3980

d) log cos45 = log2

2

= log 2 log 2= log 21/2 0,3010= . log 2 0,3010

= . 0,3010 0,3010= - 0,1505

ou ainda:

log22 = log (21/2 . 2-1)

= log (21/2 1)= log 2-1/2

= - . log 2= - . 0,3010

= - 0,1505

MUDANA DE BASE:

H situaes em que podemos nos deparar com sistemas de logaritmos combases distintas e para aplicarmos as propriedades operatrias dos logaritmos devemoster logaritmos com bases iguais.A frmula abaixo nos auxiliar a converter a base do logaritmo em uma base maisconveniente.



171/253

logba =bclog

aclog


R3) Se log2 = 0,3 e log3 = 0,48, qual o valor de log23?Resoluo:Temos o log2 e o log3, que aparecem todos na base dez, pede-se o log de 3 na base 2,portanto devemos converter log23 para um log na base dez:

log23 =log2

log3 =0,3

0,48 = 1,6

R4) Qual o valor de y = log32 . log43 . log54 . log65?

Resoluo:

y = log32 .4log

3log

3

3 .5log

4log

3

3 .6log

5log

3

3

cancelando os logs obteremos:

y = log32 .6log

1

3

y = log32 .3log2log

1

33 +

y =3log2log

2log

33

3

+ou y = 1 +

3log

2log

3

3

FUNO LOGARTMICA

DEFINIO

"Chama-se funo logartmica qualquer funofde IR*+ em IR dada por uma lei da formaf(x) = logax,, ondea um nmero real dado, a > 0 e a 1".

GRFICO DA FUNO LOGARTMICA

1-) Vamos construir o grfico da funo y = log2x, definida para x > 0:

x y = log2x

81 3

2 11 0



172/253

2 14 28 3

1 2 4x

y

2

1

0

2-) Vamos construir agora, o grfico da funo y = xlog2

1 , definida para x > 0:

x

y =

xlog21

8 34 22 11 0

1 2

3

1 2 4x

y

2

1

0

1

Observaes: A funo f(x) = logax ser:vCrescente quando a > 1 Grfico 1vDecrescente quando 0 < a < 1 Grfico 2

EQUAES LOGARTMICAS



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Regra:

212a1a xxxlogxlog ==

Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equao logartmica:log2(2x 5) = log23

Observe que temos no logaritmando do primeiro membro uma expresso 2x 5 e deacordo com a condio de existncia de um logaritmo devemos sempre no logaritmandoum nmero positivo, portanto:C.E.: 2x 5 > 0Uma vez que tenhamos encontrada a C.E. resolveremos a equao pela regra descritaacima (a regra somente vlida quando as bases dos dois logaritmos forem iguais).

log2(2x 5) = log23 2x 5 = 3 2x = 8 x = 4Substituindo na C.E.:2 . 4 5 = 8 5 = 3 > 0

S = {4} Exerccio Resolvido

R4) Resolva a equao log2(x 3) + log2(x + 3) =4.

Resoluo:

1O.Passo) C.E.

>>+>>

3x03x

3x03x

, como todo nmero que maior que 3, tambmmaior que 3, conclumos da Condio de Existncia: x > 3.

2O.Passo) Regra para aplicarmos a regra prtica para a resoluo de equaes

logartmicas devemos ter apenas um logaritmo, portanto se faz necessrio a aplicao dapropriedade:log2(x 3) + log2(x + 3) = 4 log2[(x 3).(x + 3)] = 4

log2(x2 9) = 4

A partir daqui podemos utilizar a definio para a resoluo da equao:log2(x2 9) = 4 x2 9 = 24 x2 =16 + 9 x2 = 25x = 5

Da C.E. x = 5 > 3Logo: S = {5}

INEQUAES LOGARTMICAS

Regra:

>21

212a1a xx1a0

xx1axlogxlog

Exemplo: Vamos resolver a inequao:log3(2x 5) < log3x



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175/253

d) log5(2x 3) = 2

e) log2(x2 + x 4)= 3

P9) Resolva as seguintes equaes:a) log2(x + 4) + log2(x 3) = log218b) 2 log x = log 2 + log(x + 4)

GABARITO - LOGARITMOS

P1) a) 2 b) 7 c) 4d) 3 e)34 f)

25

g)23

P2) a) A =23

b ) B =21 c ) C = 0

P3) BP4) a) a + b b) 2a c) a + 1 d)

2

1a e) a f) 1 a

g) 1 a + b

P5) 5

P6)23

P7)ba

2a-1+

P8) a) S = {2} b) S = {4} c) S = {1} d) S = {14}e ) S = {4; 3}

P9) a) S = {5} b) S = {4}

PROBABILIDADE

INTRODUO

Em um jogo, dois dados so lanados simultaneamente, somando-se, emseguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quemacertar a soma desses pontos.

Antes de apostar, vamos analisar todos os possveis resultados que podemocorrer em cada soma. Indicando os nmeros da face superior dos dados pelopar ordenado (a, b), onde a o nmero do primeiro dado e b o nmero dosegundo, temos as seguintes situaes possveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);



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a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);

a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);a + b = 12, no caso (6, 6).

evidente que, antes de lanar os dois dados, no podemos prever oresultado "soma dos pontos obtidos"; porm, nossa chance de vencer sermaior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneirasdiferentes.

Situaes como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer um

determinado evento, so estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria,criada a partir dos "jogos de azar", hoje um instrumento muito valioso eutilizado por profissionais de diversas reas, tais como economistas,administradores e bilogos.

ESPAO AMOSTRAL

Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nasmesmas condies, chamado experimento aleatrio.Chamamos Espao Amostral ao conjunto de todos os resultados possveis de

um experimento aleatrio. Dizemos que um espao amostral equiprovvelquando seus elementos tm a mesma chance de ocorrer.

No exemplo acima temos, como espao amostral 36 possibilidades, para aocorrncia de quaisquer eventos.

No exemplo de uma moeda lanando-se para cima, a leitura da face superior podeapresentar o resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimentoaleatrio, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.Neste caso, indicando o espao amostral por S1 e por n(S1) o nmero de seus

elementos, temos:

S1 = {K , C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lanada duas vezes, teramos os seguintes resultados: (K, K),(K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espao amostral por S2 e por n(S2) o nmero de seuselementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

EVENTOS



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178/253


179/253

Neste caso, ainda, os eventos so ditos Eventos Independentes.

Exerccio Resolvido

R3) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o nmero 3 ouum nmero mpar?

Resoluo:

Espao amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

evento "nmero 3" : A = {3}e n(A) = 1

evento "nmero mpar" : B = {1,3,5} e n(B) = 3

A B = {3} {1,3,5} = {3}, ento n(AB) = 1

Logo:

P(A B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 =

Resposta: 50% ou

Observao:

A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de noocorrer o evento A igual a 1:

p(A) + p( A ) = 1

Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 (41 ), a probabilidade de no ocorrer o

evento A 0,75 (43

).

EXERCCIOS

P1) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, l-se o nmeroda face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:a) o nmero 2 b) o nmero 6

c) um nmero par d) um nmero mpar

e) um nmero primo



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P2) Considere todos os nmeros de cinco algarismos distintos obtidos atravsdos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, qual aprobabilidade de ele ser um nmero mpar?

P3) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma nicabola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?

P4) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que comeam eterminam pela letra N. Qual a probabilidade de se escolher ao acaso um dessesanagramas e ele ter as vogais juntas?

P5) A probabilidade de ocorrerem duas carasou duas coroasno lanamento deduas moedas:

a)41

b)43

c) 1 d) 2 e)21

P6) Em uma indstria com 4.000 operrios, 2.100 tm mais de 20 anos, 1.200 soespecializados e 800 tm mais de 20 anos e so especializados. Se um dosoperrios escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no mximo 20anos e ser especializado :

a )101

b )52

c )83

d )8527

e )187

P7) Um prmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se40% delas usam culos, 12 mulheres no usam culose 12 homens os usam, aprobabilidade de ser premiado um homem que no usaculos :

a )

25

4 b )

25

6 c )

25

8 d )

25

9 e )

5

2

P8) Dois jogadores A e B vo lanar um par de dados. Eles combinam que, se asoma dos nmeros dos dadosfor 5, A ganha, e se essa soma for 8, B quemganha. Os dados so lanados. Sabe-se que A noganhou. Qual a probabilidadede B ter ganho?

a )3610

b )324

c )365

d )355



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e) no se pode calcular sem saber os nmeros sorteados.

P9) Se dois prmios iguaisforem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas

brasileirase trs argentinas, qual ser a probabilidade de:

a) serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?

P10) Numa caixa existem 5 balas de hortele 3 balas de mel. Retirando-sesucessivamente e sem reposio duasdessas balas, qual a probabilidade de queas duassejam de hortel?

GABARITO

P 1 ) a )61

b )61

c )2

1d )

2

1e )

2

1

P 2 )52

P 3 )31

P 4 )51

P 5 ) E P 6 ) A P 7 ) D

P 8 ) B

P 9 ) a )10

1b )

10

9c )

10

3P 1 0 )

16

9

NOESDE ESTATSTICA

INTRODUO

Em anosde eleies inevitvel nosdepararmoscom pesquisaseleitorais, como porexemplo, quem est em primeiro lugar naspesquisas, ouem segundo, mas ser que todososeleitoresforam consultados? Comcerteza no, pois h mtodos maisconvenientes, comopor exemplo, considera-se uma amostra doseleitorese a partir desta amostra seconcluipara o restante doseleitores.

Em marode 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendoa uma forte presso dopovo brasileiro, apresentou uma proposta de emenda Constituio, que pretendia



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restabelecer aseleiesdiretaspara a Presidncia da Repblica. A expectativa em tornodessa votaodeuorigem maior manifestao popular j conhecida neste pas, que ficouconhecida como " Diretasj".

Em abril de 1984, cerca de500 mil pessoasestavam na Praa da Candelria, noRio deJaneiroe mais1 milho no Vale do Anhangaba em So Paulo. A relao desseacontecimentocom a Matemtica, a forma como foram contadasaspessoas nesteslugares.Conta-se a quantidade de pessoasem um certo local, e divide-se pela rea ocupada por essaspessoas, em seguida, multiplica-se pela rea total ocupada, obtendo assim o valor estimadoque bem prximo do total.

ROL

Asnotas de 20 alunosde uma turma de oitava srie esto abaixo relacionadas:

5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6- 1,3Para encontrarmos o Rol desta distribuio de valores basta colocarmos os valores emordem crescente ou decrescente:

v1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 -8,7- 9,6

v9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 -2,1- 1,3

CLASSES

Qualquer intervalo real que contenha um rol chamadode classe. Considerandoa relao

de notasespecificadasacima podemosestabelecer asseguintesclassesde intervalos:

vointervalo [1, 2[ contma nota 1,3vointervalo [2, 1[ contma nota 2,1vointervalo [2, 3[ contm asnotas3,2; 3,4; 3,7

E assim sucessivamente.

Observao:A amplitude a diferenaentre o maior eo menor elemento de uma distribuio, intervaloouclasse.



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Exemplos:

v9,6-1,3= 8,5 amplitude da distribuio dasnotas.

matemática - apostila concurso matemática ii

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