apostila matemática - potenciação

8/14/2019 Apostila Matemtica - Potenciao

1/25

Potenciao

O que preciso saber (passo a passo)

Seja:

A(potncia)

= an(expoente)

(base)

notrio a todos que o expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada, isto :

Ex 1 ) 23= 2 . 2 . 2 = 8

Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8.

Ex 2 ) (-2)3

= (-2) . (-2) . (-2) = -8

Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8

Importantssimo: nas propriedades de potenciao, quando a base negativa, o sinal

de menos sempre pertence ao elemento neutro da multiplicao, que o nmero 1;

isto nos facilitar e muito provar as propriedades da potenciao.

Veja:

-23

o mesmo que -1 . 23

= -1 . 8 = -8

(-2)2

o mesmo que (-1 . 2)2

= [( -1 )2

. 22

] = 1 . 4 = 4


2/25

Ento fica fcil explicar porque:

-22

(-2)2

-1 . 22

= -4 (-1 . 2)2

= (-1) . ( 2 )2

1 . 4 = 4

-4 4

Exerccio:

Ser que a afirmao ( -2 )n

= - 2n

verdadeira para todo n natural?

bvio que o sinal da potncia vai depender da anlise, ou seja , se n par ou

mpar.

1 Caso: Se n par temos:

(-2)n

= -2n

(Qualquer que seja n, o sinal do termo j estdeterminado)

[( -1) . 2]2

= -1 . 2n

( -1)n

. 2n

+2n

-2n

Concluso 2n -2

nse n for par

2 Caso: se n mpar temos:

( -2 )n = -2n (Qualquer que seja n, o sinal do termo j estdeterminado)

[( -1 ) . 2 ]n

= -1 . 2n

( -1)n

. 2n

=


3/25

-2n

= -2n

Concluso: ( -2 )n

= -2n

somente se n for mpar

Propriedades da potenciao

Facilita e muito a anlise das propriedades se voc escolher nmeros que podem serrepresentados na mesma base. Na multiplicao, use:

8 . 4

9 . 27

5 . 25

Os quais sero convertidos em:

8 . 4 = 23

. 22

= 25

9 . 27 = 32

. 33

= 35

5 . 25 = 51

. 52

= 53

Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:

a m . a p = a m+p

Importantssimo: a recproca desta propriedade verdadeira, isto , sempre que existir

uma nica base com soma de expoentes, separe-os imediatamente.

Veja:

am+p

= am

. ap

2n+3

= 2n

. 23

= 2n

. 8

2n+p+q

= 2n

. 2p

. 2q

Obs: caso existir uma srie de termos, no esquea de colocar o termo comum em

evidncia.


4/25

Ex: 2n+2

+ 2n+3

+ 2n+1

2n

. 22

+ 2n

. 23

+ 2n

. 21

2n( 2

2+ 2

3+ 2)

2n( 14 )

Propriedade: facilita e muito memorizar exemplos de nmeros que ao serem fatorados

possuam a mesma base.

Ex:4

8

25

25

9

81

p

m

a

a= a

m-p

Propriedade: em diviso de potncia de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes.

Ou :p

m

a

a=

mpa

-

1

Ex:2

5

2

2= 252 - = 32 ou

3522

5

2

1

2

1

2

2--

==

Obs: observe que voc pode conservar a base do numerador ou a base do denominador;

indiferente.

Sendo m e n ,calcule:

24

7

222

2212

2222

22222

22

22243

2

43

21

43

21

=+

++=

+

++=

+

++++

++

)(

)(

..

..n

n

nn

nnn

nn

nnn

Interessantssimo: voc sabia que a preposio de acompanhada de frao significa

multiplicao?


5/25

Veja:

Quanto 3

2de 12?

Soluo:3

2

/. 12

4= 8

Quanto a metade de um quarto de 250

?

Soluo:50

24

1

2

1..

4750

3

5022

2

12

4

1

2

1== ...

Uma planta aqutica duplica de rea no final de cada dia.Sabe-se que no final de cada dia

a planta j ocupar toda a superfcie da lagoa.

Soluo:

1 dia = 21

2 dia = 22

3 dia = 23

N dia = 2n

Se 210

= A, para obtermos4

Abasta dividir toda a equao por 4:

44

210 A= (quarta parte da lagoa)

42

42

2 82

10AA

== quarta parte da rea da lagoa


6/25

oitavo dia

Resposta: no oitavo dia

Interessantssimo: voc sabe o porqu de todo nmero elevado a zero ser igual a 1?

a0

= 1 (a 0)

Para voc provar, basta representar uma frao onde o numerador e o denominador sejam

iguais.

Ex:8

8= 1 aplicando a propriedade: pn

p

na

a

a -=

1818

8 111

1

==-

80

= 1

Concluso: a0 = 1 uma conseqncia da propriedade

nm

n

m

aa

a -=

Interessantssimo: voc sabe o porqu disso?

n

na

a

=1

?

O nmero 1 poder ser sempre ser substitudo pela mesma base em anlise elevada azero, isto :

nn

nnaa

a

a

a

--

00

1


7/25

Ex:

nn

nnnbaba

b

ba

b

a

b

a -- ....

00

1

220

2

0

222525

2

25

2

15

2

5

4

5 -- ....

Calcule: px

= px

= 1 = p3

px-3

px

. p-3

p-3

Propriedade: ( am

)p

= amp

O expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada.

Ex: ( a3

)2

= a6

ou

( a3

)2

= a3

. a3

= a3+3

= a6

Ex: ( a2

)4

= a8

ou

( a2

)4

= a2

. a2

. a2

. a2

= a8

Propriedade: ( am

. bp

)q

= amq

. bpq

Ex: ( 23

. 52

)4

= 212

. 58

Importantssimo: sempre que existir produtos de potncias com as bases 2 e 5

podemos obter potncia de 10; basta tentar igualar os expoentes.

Veja:


8/25

212

. 58

= 24

. 28

. 58

= 24( 2 . 5 )

8= 16 . 10

8= 1600000000

Concluso: o produto 212

. 58

contm 10 algarismos.

46

. 59

= ( 22

)6

. 59

= 212

. 59

= 23

. 29

. 59

= 23( 2 . 5 )

9= 8 . 10

9

Qual dos nmeros maior?

6200

ou 3400

Vamos igualar os expoentes onde este valor ser o M.D.C ( 600 , 400 )

6200

( 32

)200

6200

9200

6200

< 9200

6 < 9 6200

< 9200

Concluso: sejam an

e bn

ento:

Se a e b R + e a > b ento an

> bn

Se a e b R e a < b ento carece de anlise; se n par ou mpar

Propriedade:

qpna

Quando entre os expoentes no existir parnteses ento resolva as potncias no sentido de

uma para baixo onde a base do expoente superior o numerador imediatamente abaixo.

Ex:2

32 = 29

83

222

22 = = 2256


9/25

8222333

102

===

Concluso: voc observou que:

( 22

)3

322

26

28

)0233 0323

( 38

)0

12

3

1 9

Calcule:

( 0,2 )3

+ ( 0,04)2

23

100

4

10

2

+

( ) ( )2231 104102 -- + ..

431016108

-- + ..

Colocando 8 . 10-4

em evidncia:

21010814 +--.

0096010000

96109612108

44,... --


10/25

Soluo 1 Soluo 2

( 0,2 )3

+ ( 0,04 )2

( 0,2 )3

+ ( 0,04 )2

23

1004

102

+

( ) ( )2231 104102 -- + ..

23

25

1

5

1

+

431016108

-- + ..

625

6

625

15

625

1

25

1

++ 33 1061108 -- + .,.

( )33

106910618

--

=+ .,.,Soluo 3

( 0,2 )3

+ ( 0,04 )2

23

100

4

10

2

+

23

25

1

5

1

+

5-3

+ 5-4

5-4

( 51

+ 1 )

6 . 5-4

=4

5

6

Interessantssimo: em fsica e qumica comum as operaes bsicas serem efetuadasatravs de potncia de 10.Veja uma resoluo clssica de potncias com base decimal:

( 0,002 )4

Vamos multiplicar o cofator 0,002 por 100

, ento teremos:


11/25

( 0,002 . 100

)4 diminui 3 casas

aumenta

Deslocando a vrgula direita em 3 casas decimais, o nmero aumenta; em contra

partida, o expoente diminui em 3 unidades:

( 2 . 100-3

)4

( 2 . 10-3

)4

16 . 10-3

Obs: o coeficiente da potncia de 20 sempre dever ser um nmero no intervalo de 1 a 9p . 10

n, isto , 1 < p < 9. Ento em 16 . 10

-3vamos diminuir uma casa decimal e em

contrapartida aumentar uma unidade no expoente:

1,6 . 10-3+1

= 1,6 . 10-2

Ex: ( 0,0001 )4

introduzir 100

( 0,0001 . 100

)4 diminui

aumenta

( 1 . 100-4

)4

( 1 . 10-4 )4 = 1 . 10-16

Ex2:( )0010

0101023

,

,.-

) 24333

43

3

23

101010

1010

101

10110

-+

-

-

-

-.

.

..

Importantssimo: voc deve sempre lembrar que os decimais 0,5 ; 0,25 ; 0,125 e 0,0625

transformam em potncia de base 2.

Veja:


12/25

0,5 =10

5=

2

1= 2

-1

0,25 =

100

25=

4

1=

2

2

1= 2

-2

0,125 =1000

125=

8

1=

32

1= 2

-3

0,0625 =10000

625=

16

1=

42

1= 2

-4

Calcule:

( ) ( )

( )4

23

250

16020

,

,.,

( ) ( )4

2030

100

25

101601020

.,..,=

( ) ( )4

2233

4

1

1016102

--...

=( )

( )4222493

2

102102

-

--...

=

8

4893

2

102102-

-- ...= 2

3. 2

8. 2

8. 10

-9. 10

-4= 2

19. 10

-13

Exerccios:

I-Simplifique as expresses a b 0

a- (a2

. b3)

2. (a

3. b

2)

3

b-( )( )22

324

.

.

ba

ba

c-[ ( a3

. b2

)2

]3


13/25

d-( ) ( )

( )323

243432

.

..

ba

baba -

II-Calcule:

a- 3-1

b- (-2)-1

c- -3-1

d- -( -3 )-1

e-

1

3

2-

f-

3

2

3-

-g- ( 0,25 )

-3h- ( - 0,5 )

-3

i-3

21-

j-( ) 22,0

1-

k-( ) 201,0

1-

III-Calcular o valor das expresses:

a-

( ) ( )22

121

22

222

-

--

+

-+--

b-3

2

32

2

1

2

1.

2

1

-

-

IV-Classificar em verdadeiro(V) ou falso(F):

a- ( 53

)-2

= 5-6

b- 2-4

= 16


14/25

c-5

2

7

7

-

-

= 7-3

d- 1

+ 1

= 1

V-Simplificar as expresses:

a- nnn aaa --+ 3112 ..

b- 132 . -+ nn aa

c- n

nn

aa

aaa

.

.

4

34-

+

VI-Dos nmeros abaixo, o que est mais prximo de( ) ( )

( )2

34

9.9

3.10.2.5:

a- 0,625 b- 6,25 c- 62,5 d- 625

VII-Se 2

8

. 5

5

= 0,8 . 10

n

, ent

o n

igual a:

a- 6 b- 5 c- -1 d- 2 e- -3

VIII-Simplifique:

a-3

4

2.2

2.22

+

+-

n

nn

IX- Para todo n , ( 2n

+ 2n-1

) ( 3n3

n-1) igual a:

a- 6n

b- 1 c- 0

d- 2n

. 3 + 2 . 3n e- 2n

. 3n-1

+ 2n

. 3n


15/25

X-Simplifique:

a-( ) 1

11

.-

--+

yxyx

XI-Efetue:

a- ( ) ( ) 04,014,012,0.01,03

1 2 ++

XII-Seja M = ( ) 25,1

2

6,0.3

5 --

. Em que intervalo M est?

a- M n e p no divisvel por n , ento procure um

mltiplo de n abaixo do valor de p

Ex:7 45 225 25 105 2105 12

.42.22.22.22 a====

7 427 47 147 4147 18... aaaaaaa ===


19/25

Propriedade: ( ) bababa n nn nn ... == ( )0; ba

Comentrio: se os expoentes das bases so iguais ento coloque-o em evidncia;

isto nos facilita e muito.

Ex: ( ) 71010.75.275.2.7700 2222 ====

9

4

3

2

3

2

3

2

81

1624

4

4

=

=

==

Propriedade: nn aqap .. +

Coloque n a em evidncia:

( )qpan +

Ex: 5072328 -++

2.53.22222353 -++

2.53.2.22.22.222242 -++

253.2.22.222224 -++

2523.222222 -++

25262422 -++

( ) 2756422 =-++

Importantssimo: quando existir apenas produto e ( ou ) diviso de radicais prefervel transformar todas as razes em forma de potncia.


20/25

Veja:

41

31

21

41

31

21

4

3

2

2

2.2

2

2.2 -+==

12 712

7

12

346

222 ==

-+

Ex2 21

31

31

21

41

21

21

31

31

41

3434

3.3.2.5.5

5.3

3.2.5

5.3

3.2.5

15

6.5 -===

12212412312

64

12

4

12

63

3.2.53.2.5--

--

=

9.125

16

3.5

2

3.5

2

12 212 3

12 4

122

123

124

==

Propriedade:pnn paa

.= a > 0

Vamos demonstrar:

npnpn

pn pn p

aaaaa1.

111

11

1 ==

=

=

Ex1:63 2 55 = ou 66

131

21

3

1

21

3 2 155555 ==

=

=


21/25

Ex2:30 1130

1130

65

51

21

5653 5555.55.55.5 =====

+

Propriedade: sejan p

a se n e p possuem divisores em comum, entosimplifique-os.

Ex:3 1412 4412 2216 ==

Comentrio: quando o radicando um nmero real positivo a simplificao possvel e imediata. Mas quando uma varivel ento a simplificao somente serpossvel se a base de radicando positiva.

Ex: 312 4 aa = somente se 0a

"a R+

Se a < 0 = 312 4

aa

Os domnios s

o diferentes, isto

, para

12 4

a qualquer que seja a

R- ou a

R+a operao satisfeita. Mas 3 a somente satisfeita para aR+.

Conclui-se que: 312 4

aa = somente se aR+

Agora se o ndice mpar a simplificao possvel e imediata,e vlida para todosos valores dos reais.

5 115 3aa = a R

Racionalizao


22/25

Racionalizar o ato de tornar o expoente do denominador um valor inteiro.

Veja:

3

1=

2

1

3

1

Se multiplicarmos o denominador e o numerador por 21

3 o resultado ser imediato.

3

3

3

3

3

3

3

3

3

11

21

21

21

21

21

21

21

===+

.

Comentrio: calculando 3 = 1,732

57707321

1

3

1,

,==

57703

7321

3

3,

,==

Ou seja,

3

1 o mesmo que3

3

3

1=

3

3

3 = 33.

3 = 3

Generalizando:

n pa

1=

a

an pn-

Vamos demonstrar:


23/25

np

np

npn p

a

a

aa-

-

=

1

111

.

np

np

p

pn

n p

aaa

a

a-

-

=

..1

1

a

a

a

p

pn

n p

-

=1

a

a

a

p pn

n p

-

=1

Ex13

32

3

32

3

2

9

25 35 25

5 25

..===

-

Ex2 ===-

3

33

3

33

3

33 23 13

3

..

661

6

643

132

213

22

1

3333333

33====

-+-

...

Importantssimo: se Kxn = e n mpar; ento:

Kxn =

nKx1

=


24/25

n Kx= K R

Se Kxn

= e n par:

Kxn =

nKx1

=

n Kx= onde K R+

Leia-se: a raiz ensima de K o valor modular de x, isto , qualquer valor que

atribuirmos a x, seja ele positivo ou negativo, obtemos sempre um valor positivo,isto | -2 | = +2 e | +2 | = +2

Ex: 252 =x

21

25=x ( Seja x = -5 ou x = +5 sempre vamos obter o seu valormodular, que +5 )

25=x

5=x

Lembrete: para aplicar as propriedades de potenciao com nmeros decimais ou

dzima, transforme-os sempre em frao.

Ex1:

2

1

4

1

100

25250 ===,

Ex2: 38181818144

1

100

25

250====

,


25/25

Ex3:10

1

10

1

10

1

1000

10010 3

33

93

3330 ==

=

=...,,

Curiosidade: qpn =

Se p > 1 ento p > q

525 = 2 5 > 5

283 = 8 > 2

Mas para qpn = onde 10 0,50

500012503 ,, = 0,125 < 0,500

apostila matemática - potenciação

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