apostila matemática 2

Material do professor

CadernoCadernoeducacional

9o

ano

MATEMÁTICAMATEMÁTICAMaterial de apoio

Material do professor

educacionalMaterial do professor

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ciênciasCiênciasMaterial de apoio

ExpedienteMarconi Ferreira Perillo JúniorGovernador do Estado de Goiás

Thiago Mello Peixoto da SilveiraSecretário de Estado da Educação

Erick Jacques PiresSuperintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais

Raph Gomes AlvesChefe do Núcleo de Orientação Pedagógica

Valéria Marques de OliveiraGerente de Desenvolvimento Curricular

Gerência de Desenvolvimento CurricularElaboradoresAbadia de Lourdes da CunhaAlexsander Costa SampaioAline Márcia dos SantosCarlos Roberto BrandãoDeusite Pereira dos SantosInácio de Araújo MachadoJúnior Marques CarneiroLidiane Rodrigues da MataMárcio Dias de LimaMarlene Aparecida FariaMônica Martins PiresRegina Alves Costa FernandesSilma Pereira do Nascimento Vieira

SumárioApresentação ..............................................................................................................................................5Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N) .......................................................................7Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações ........................................... 10Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q) – Frações ............................................. 14Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q) Números Decimais – Operações .................................................................................................19Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de frações ................. 23Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão ......................................... 27Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais ........................................................................ 30Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R) ......................................................................... 32Aula 09 Os números racionais na reta numérica .............................................................. 35Aula 10 Potenciação: Definição ...............................................................................................37Aula 11 Potenciação: Propriedades .......................................................................................41Aula 12 Potência com expoente negativo .......................................................................... 43Aula 13 Potenciação: expressões numéricas ...................................................................... 46Aula 14 Decomposição em fatores primos .........................................................................48Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz .............................................................. 50Aula 16 Radiciação (propriedades) ........................................................................................55Aula 17 Radiciação inexata .......................................................................................................58Aula 18 Relacionando potências e radicais. ........................................................................60Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R ........................ 62Aula 20 Exercícios – números Reais .......................................................................................64Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades ................................................................. 66Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades ................................................................. 70Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades ............................................................ 75Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal .....................................................................................79Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano ................................................. 83Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos ...........................................................................88Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças .............................................. 90Aula 28 Razão I ...............................................................................................................................94Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens) ....100Aula 30 Proporção .....................................................................................................................104

Aula 31 Proporção – Propriedade .........................................................................................111Aula 32 Exercícios envolvendo razão e proporção ........................................................117Aula 33 Perímetro de polígonos diversos ..........................................................................118Aula 34 Área de polígonos: quadrados e retângulos ...................................................123Aula 35 Área de polígonos – Triângulos ............................................................................126Aula 36 Área de polígonos: paralelogramo ......................................................................131Aula 37 Área de polígonos: trapézio ...................................................................................135Aula 38 Área de polígonos: pentágono e hexágono ....................................................138Aula 39 Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo .........................................................................................................142Aula 40 Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas .......146Aula 41 Leitura de gráficos e tabelas...................................................................................150Aula 42 Construir tabelas de dados estatísticos .............................................................155Aula 43 Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna ............161Aula 44 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra .....166Aula 45 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setores .........................................................................................................................172Aula 46 Conclusões com base na leitura de gráficos ....................................................177Aula 47 Relacionar gráficos com tabelas ...........................................................................181Aula 48 Relacionar tabelas com gráficos ...........................................................................187Aula 49 Conclusões com base na leitura de tabelas .....................................................195

Apresentação

O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu-cação (SEDUC), criou o “Pacto pela Educação” com o objetivo de avançar na oferta de um ensino qualitativo às crianças, jovens e adultos do nosso Estado. Assim, busca-se adotar práticas pedagógicas de alta aprendizagem.

Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, várias ações, dentre elas, a produção deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo por finalidade contribuir com você, professor, nas suas atividades diárias e, tam-bém, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-se amenizar o impacto causado pela mudança do Ensino Fundamental para o Médio, reduzindo assim a evasão, sobretudo na 1ª série do Ensino Médio.

Lembramos que a proposta de criação de um material de apoio e suporte sempre foi uma reivindicação coletiva de professores da rede. Proposta esta que não pode ser viabilizada antes em função da diversidade de Currículos que eram utilizados. A decisão da Secretaria pela unificação do Currículo para todo o Estado de Goiás abriu caminho para a realização de tal proposta.

Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria, sendo, dessa forma, necessários alguns ajustes posteriores. Por isso, contamos com a sua colaboração para ampliá-lo, reforçá-lo e melhorá-lo naquilo que for preciso. Estamos abertos às suas contribuições.

Sugerimos que este caderno seja utilizado para realização de atividades den-tro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto de estudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas.

Somando esforços, este material será o primeiro de muitos e, com certeza, poderá ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prática em sala de aula. Assim, nós o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeiçoamento de ações educacionais, com vistas à melhoria dos nossos indicadores, proporcio-nando uma educação mais justa e de qualidade.

A proposta de elaboração de outros materiais de apoio continua e a sua participação é muito importante. Caso haja interesse para participar dessas ela-borações, entre em contato com o Núcleo da Escola de Formação pelo e-mail [email protected]

Bom trabalho!

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MateMática

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aula 01

Conjunto dos Números Naturais (N)Objetivo geral

Relembrar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais.

Conceito básico

Os números naturais surgiram da necessidade de fazer contagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado pelos números que utilizamos para contar. Representa-se o conjunto dos números naturais por N:

0,1,2,3, ...N = " ,

A seguir faremos uma pequena revisão acerca das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão trabalhadas no conjunto N.

Adição: É a operação matemática que permite juntar e/ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama-das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588 indica uma adição.

Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais quantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indica uma subtração.

Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O resultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica uma multiplicação.

Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A operação 1554 37 42=' indica uma divisão.

Propriedades importantes da adição e da multiplicação

Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:

Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação.

Adição: a b b a+ = +

Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5.

O que devo aprender nesta aula

u Reconhecer a aplicação dos números naturais e suas diferentes formas de utilização no cotidiano.

u Reconhecer e aplicar as propriedades das operações com números naturais e percebê-las como facilitadoras na compreensão das técnicas operatórias.

u Analisar, interpretar, formular e resolver situações problema em diferentes contextos sociais e culturais.

MateMática

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Multiplicação: a . b = b . aExemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.

Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.

Adição: (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)

Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei-ramente as operações contidas em seu interior.

Expressão Numérica

Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devem ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }.

Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as operações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves.

Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:

( I )8 + 5 . 3 =8 + 15 =23

( II )

15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =

15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =

15 + [16 - 7 + 1] =

15 + [9 + 1] =

15 + 10 =

25

Atividades 01 Efetue cada uma das operações a seguir:a) 487 + 965b) 1238 – 649

MateMática

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c) 35 . 126d) 9114 : 62

Sugestão de solução:

a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.

02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} =b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] =c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} =d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =


a) 23; b) 56; c) 64; d) 3.

03 Resolva os probleminhas a seguir:

a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divi-são equilibrada, quantos selos caberão a cada filho?

(Desenvolva o algoritmo da divisão).

b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?

c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$ 9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?

d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas, quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?


a) 1 072 selos; b) R$ 630,00; c) R$ 6,00; d) 21 caixas.

Desafio

Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:

a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas figurinhas terá cada um?

b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?

c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?

d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?


a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

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aula 02

Conjunto dos números inteiros (Z) – OperaçõesObjetivo Geral

Interpretar e resolver situações problema envolvendo operações com números inteiros.

Conceitos Básicos

O conjunto dos números inteiros (Z )

encontra-se presente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente quando apresentam o envolvimento de números negativos. É formado pela união do conjunto dos números naturais com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é formado por números positivos e negativos:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Dois números são ditos simétricos quando sua soma for igual a zero. Portanto, dizemos que os números negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números naturais, uma vez que:

1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0

Operações com Números Inteiros

As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro que operação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação.

Adição de números inteiros

É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a sequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou divisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou diferentes. Assim:


u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema.

u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

MateMática

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Se as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe:

a) 20 25 45- - =-

b) 32 17 32 17 49 49+ =+ + =+ =

Se as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:

a) 25 45 45 25 20- + =+ - =+^ h

b) 38 51 (51 38) 13- =- - =-

Multiplicação e ou divisão de números inteiros

Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de números inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:

O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número positivo.

a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$

b) 5) (9) ( 5) ( 9) 45 45( = + + =+ =$ $

c) ( 90) ( 15) 6 6- - =+ ='

d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '

O produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.

a) ( 8) ( 9) 72- + =-$

b) ( 7) ( 13) 91+ - =-$

c) ( 45) ( 5) 9- + =-'

d) ( 100) ( 10) 10+ - =-'

Atividades 01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.

MateMática

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Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.

Analisando os dados do gráfico responda:

a) Em quais meses a microempresa teve lucro?

b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?

c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?

d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?

e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?


a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.

b) Nos meses de julho, setembro e novembro.

c) No mês de novembro.

d) Lucro. 12 milhões.

e) 2 milhões.

MateMática

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02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.

Mês saldo

Março + R$ 800,00

Abril + R$ 250,00

Maio - R$ 150,00

Junho - R$ 950,00

Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?


- 50 reais

03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:

a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.

b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.

c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.

d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por menos quatro (-4).


a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.

04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?


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Desafio

Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:

Vitória + 5 pontos

Empate + 3 pontos

Derrota - 2 pontos

Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1 empate e 2 derrotas. Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu 1 vitória, 2 empates e 3 derrota.

MateMática

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Responda:

a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo-nato?

b) Quem foi o ganhador?


a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.b) Paulo.

aula 03

Conjunto dos Números Racionais (Q)FraçõesObjetivo Geral

Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e divisão;

Efetuar cálculos e resolver situações problema que envolvam as operações com números racionais na forma fracionária.

Conceito básico

Os números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração

b

a , em que a e b são números inteiros e b ! zero.

O conjunto dos números racionais (representado por Q ) é definido por:

e; 0b

aa b bQ Z Z !! != $ .

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos:

103 (lê-se: três décimos) 0 (é o mesmo que

10 )


u Compreender as frações e utilizá-las em situações diversas.

u Formular e resolver situações problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.

MateMática

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54 (lê-se: quatro quintos) - 3 (é o mesmo que

13- )

2013 (lê-se: treze vinte avos)

58- (é o mesmo que

58- )

Fração

Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador.

Significado

Numerador

Número colocado acima do traço que indica quantas partes da unidade foram tomadas.

Denominador

Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida.

Exemplo 1:Observe a figura:

Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.

Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado

por 81 .

Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos

repre sentá-los pela fração 82 .

Exemplo 2:João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu

22 paginas.

Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?

Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é o total de páginas do livro, ou seja, 34.

O total de páginas lidas por João é 22.Logo a fração correspondente às páginas lida será:

3422 .

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Operações com frações

Adiçao e subtração

Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa, outras 3, conforme figura abaixo.

Nesta condição podemos dizer que 62 do hexágono está pintado de vermelho e

63 está pintado

de rosa.Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas.

Logo podemos dizer que no total, 65 do hexágono está pintado.

Concluímos que: 62

63

65+ =

Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador e operar os numeradores (somar ou subtrair).

Exemplos:

a) 113

118

1111 (ou seja, 1 inteiro)+ = b)

172

177

179+ =

c) 62

63

61- + = d)

95

93

92- =

e) 53

54

51- =-

Multiplicação e divisão

Observe a figura a seguir:

MateMática

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Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos:

Assim, a parte pintada corresponde a 86 do retângulo. Logo, 3 8

286=$ .

Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 13= .

Logo, 13

82

86=$ , pois,

1 83 2

86=

$

$ .

O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.

Para dividir duas frações, temos que:

O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Exemplos:

23

45

23

54

1012=&' '

52

31

52

13

56=&' '

Atividades 01 Observe as figuras abaixo

Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.

Sugestão de soluçao:

MateMática

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02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?

Sugestão de solução

12 – 4 = 8

A fração que representa os ovos que sobraram é: 128 .

O denominador é 12, e o numerador é 8.

03 Calcule

a) 51

42

$ = b) 32

53

$ = c) 23

65

' =


a) 51

42

202

$ = b) 32

53

156

$ = c) 23

56

1018

$ =

04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é 52 de sua idade.

Quantos anos tem a prima de Amanda?


52 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.

A prima de Amanda tem 6 anos.

05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu 53 da revista. Quantas páginas tem a revis-

ta de Maurício?

Sugestão de solução: A revista tem 25 páginas.

06 Efetue a seguinte operação:

a) 32

21

76

72

73

' $ - + =` j8 B$ .


32

21

76

75

' $ - =8 B$ .

32

21

71

' $ =$ .

32

141

32

114

328

' $= =

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Desafio

Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou 52 comprando chocola-

tes. Do que sobrou, ela gastou 21 com pirulitos.

Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

Sugestão de solução: 103

aula 04

Conjunto dos números racionais (Q)Números Decimais – OperaçõesObjetivo Geral

Operar com números decimais e resolver situações problema do cotidiano envolvendo as operações com números decimais.

Conceito básico

Um número é dito decimal quando apresentar uma vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 .

Para ler o número escrito na forma decimal primeiramente faz-se a leitura do número como se não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e quarenta e dois.

O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para isso basta seguir as seguintes orientações:

Se houver apenas um número após a vírgula será usada a expressão décimos.

u 1,4 (lê-se: quatorze décimos)

Se houverem dois números após a vírgula será usada a expressão centésimos.

u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos)





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Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos.u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos).

É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:

103 0,3= 9

11 1,22222.......- =-

54 0,8= 100

71 0,71=

2013 0,65= 5

8 1,6=

Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racional na reta numérica.

Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo numerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado.

Exemplos:

1,22 100122= 0,013 1000

13= 0,3 103=

duas casas dois zeros

Comparando dois números decimais

Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimais dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapas faz-se a comparação dos produtos finais.

Exemplos: Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou = (igual).

0, 0987 0, 1970S S

4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número

Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:

987 e 1970 " 987 < 1970.

Logo, 0,0987 < 0,197

MateMática

21

Operações com números decimais

Adição e subtração

Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantos zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:

2,7 3,0456+

2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000

3 casas a mais 3 casas completadas com o 0

+ + +" "S S

Mesma quantidade de casas decimais

2, 7000 3, 0456+6 7 8444 444? ?

O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas respectivas vírgulas uma embaixo da outra.

Vírgula debaixo de vírgula

2,7000

3,0456+

.

Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultado com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.

Vírgula debaixo de vírgula

2,7000

3,04565,7456

+

.

Multiplicação

Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a vírgula do processo.

3,21

2,41284

6427704

+

#

No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma das casas decimais das parcelas da multiplicação.

MateMática

22

3,21

2,41284

6427 704

+

#

3,21

2,41284

642

7,704

+

#

Divisão

O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição e subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas.

Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.

Portanto,

4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" "? ? ? ?

A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e desenvolver o algoritmo da divisão.

4,70 2,35 470 235"

Atividades 01 Efetue as operações a seguir:

a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4

b) 3 – 1,276 f ) 13,31 – 2,3

c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3

d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5


a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f ) 11,01; g) 11,96; h) 3.

Uma casa decimal

Duas casas decimais

Mesma quantidadede casas decimais

""

Duas casas após a vírgula

Uma casa após a vírgulaTotal de três casas decimais

MateMática

23

02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.

a) Quanto ela gastou no supermercado?

b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro desse tecido?


a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?


22 garrafas

Desafio

(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.

Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:a) 1,28 b) 1,40c) 1,75d) 1,90


Letra a

aula 05

Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de fraçõesObjetivo geral

Relembrar o conceito de frações equivalentes.

MateMática

24

Conceito básico

Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.

Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma.

Daí, conclui-se que as frações 42 e

21 representam a

mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem

ser indicadas como: 42

21= , ou,

42

21

+ .

Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem à mesma quantidade.

Exemplo:Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes

iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu mais pizza?





MateMática

25

A partir das ilustrações fica perceptível que 42 e

84 representam a mesma quantidade, logo,

as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade de pizza.

Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: basta multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.

Exemplos:Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes:

a) 42 e 8

4 .

42

84

2 8 4 4 16 16= ="$ $

Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes.

Logo, 42

84

+ .

b) 129 e 8

6 .

129

86

9 8 6 12 72 72= ="$ $

Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.

Logo, 129

86

+ .

c) 21 e 6

4 .

21

64

1 6 2 8 6 8= ="$ $

Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as frações não são equivalentes.

MateMática

26

Simplificação de frações

Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração

2418 onde tanto numerador como o

denominador são múltiplos de 2, 3 e 6. Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível,

ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmo tempo.

Exemplos:Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível:

a) 90 260 2

45 330 3

15 510 5

32= = =

'

'

'

'

'

'

b) 126 284 2

63 342 3

21 714 7

32= = =

'

'

'

'

'

'

Atividades 01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.

a) 8154

b)

180150

c) 600512

d)

175125


a) a)32

; b)65

; c)7564

; d)75

.

02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:

a) 2436

e 2436

b)

6036

e 7050

c) 125100

e 500400

d)

57

e 6084


a) não; b) não; c) sim; d) sim.

03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.

a) ( ) A fração 3530 encontra-se em sua forma irredutível.

MateMática

27

b) ( ) As frações 9386

e 6356 são equivalentes.

c) ( ) Se simplificar a fração 10884 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a

1814 .

d) ( ) A forma irredutível da fração 140136 é igual a

3534 .


a) F; b) F; c) V; d) V.

Desafio

Determine três frações equivalentes à forma irredutível 97

.

Sugestão de solução: 1814

;2721

;4535

aula 06

Conjunto dos números racionais (Q) – ConversãoObjetivo geral

Compreender e transformar fração em números decimais e vice-versa.

Conceito básico

Em nosso dia a dia nos deparamos com números escritos na forma de fração e precisamos transformá-los em números decimais para facilitar a resolução de diversas situações problema.

Exemplo 1:

Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?




MateMática

28


Total em dinheiro: R$ 10,00Quantidade de sobrinhos: 20

100 20

100 0,5

0

Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50.

Exemplo 2:Efetue a divisão e escreva na forma decimal

a) 1032 3,2= b) 100

125 1,25=

c) 10005 0,005= d) 1000

28 0,028=

e) 10005 0,005=

Atividades 01 Represente a fração decimal

100121 na forma decimal.


1,21

02 Represente cada uma das frações na forma decimal.

a) 102 b)

1035 c)

10518

d) 10

3 148 e) 10068 f )

100448

g) 100

2 634 h) 1 000538 i)

1 0005 114

j) 1 0008 356 l)

10 0004 761 m)

10 00015 832


a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f ) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

MateMática

29

03 Represente os números decimais em frações:

a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 =

d) 0,654 = e) 4,336 =


a) 103 b)

1053 c)

100699

d) 1 000654 e)

1 0004 336

Desafio

Observe as frações e suas respectivas representações decimais.

I. 1000

30, 003=

II. 100

2 36723, 67=

III. 10 000

1290, 0129=

IV. 10

2672, 67=

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.a) I e IIb) I e IVc) I, II e IIId) I, II, III e IV


Letra c.

MateMática

30


u Reconhecer que a união dos números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos números Reais.

u Reconhecer um número irracional.

u Criar e resolver situações problema que envolve números irracionais.

aula 07

Conjunto dos Números IrracionaisObjetivo Geral

Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números irracionais bem como suas operações.

Conceito Básico

Os números irracionais são os números que não podem ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são números reais, mas não são racionais. O conjunto dos números irracionais é representado por alguns autores pelo símbolo I .

Sendo assim, representando a ideia expressa ante rior-mente em forma de diagrama temos:

Exemplos de números irracionais. r , { , p , onde p é um número primo.

Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional.

Atividades 01 Observe os números escritos no quadro a seguir

MateMática

31

4 3600

3

36 17

Quais desses números são racionais e quais são irracionais?


Racionais: 4 2= ; 36 6= ; 3600 60= ;

Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos.

02 O número irracional r está compreendido entre os números:

a) 0 e 1 b) 1 e 2

c) 2 e 3 d) 3 e 4


d.

03 Considere a expressão: 3 2 4 2 2 3 3- + - Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?

a) 0

b) 4 4 4 2 3 3- -

c) 3 3-

d) não tem como simplificar esta expressão


Letra c.

Desafio

Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10


Existem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso:

3, 14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8 .,r

MateMática

32



u Identificar cada número real com um ponto da reta e vice-versa.



aula 08

Conjunto dos Números Reais (R) Objetivo Geral

Conhecer a definição conceitual de números reais

Conceito Básico

O conjunto dos números reais R é determinado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Como já estudamos nas aulas anteriores:

N " simboliza o conjunto dos Números Naturais

, , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " ,

Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros

... , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3...Z = - - -" ,

Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais

... , 3, 25 , 2, 1,0, 5

3 ,1, 2, 3...Q = - - - -' 1

Observação: usaremos o símbolo I para representar o conjunto dos Números Irracionais

Assim, I é o conjunto formado pelos números que não podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros. Então podemos falar que os irracionais são números decimais infinitos e não periódicos.

Exemplos:2, 3 , e .r

R " simboliza o conjunto dos Números Reais

R Q I,=

Representando os conjuntos na forma de diagrama temos:

MateMática

33

Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma:

Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R .

Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:

Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:

a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ =

c) 3 3 =$ d) 2

18 =


a) 5 3 b) 1 c) 9 3= d) 2

189 3= =

Atividades 01 Seja o conjunto B 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 .= " ,

a) Quais desses números são naturais?

b) Quais desses números são racionais?

c) Quais desses números são irracionais?

d) Quais desses números são reais?


a) 16 , 25 , 64 , pois são raízes quadradas exatas.

b) 16 , 25 , 64 , pois todo número natural também é um número racional.

c) 3 , 13 , 30 , são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata.

d) 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números reais.

02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita. Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.


Substituindo os valores de x e y na expressão temos:

MateMática

34

x2 – 3x + y + 9 = 62 – 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:

3 r -3,4 51- 2

3-


Distribuindo esses números na reta numérica temos:

04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números

a) naturais

b) inteiros

c) racionais

d) reais


Como já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d.

Desafio

Determine o que se pede na tabela a seguir:

01 Escreva cinco números naturais (N )

02 Escreva cinco números inteiros positivos (Z+)

03 Escreva cinco números inteiros negativos (Z- )

04 Escreva cinco números Racionais (Q )

05 Escreva cinco números irracionais (I )

06 Escreva cinco números Reais (R )

MateMática

35

aula 09

Os números racionais na reta numéricaObjetivo geral

Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-os com outros conjuntos e representando-os na reta numérica.

Conceito básico

Um número é dito racional quando puder ser escrito na

for ma fracionária ba , sendo a (numerador) e b (denominador)

números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será denominado número racional.

Portanto,

Todo número natural (N ) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito na forma

1n .

Ex: 3 13 e 15 1

15 .= =

Todo número inteiro (Z ) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito na forma

1n .

Ex: 7 17

17 e 26 1

26126- = - =- - = - =- .

Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo número decimal pode ser escrito na forma , com e , com .

ba

a b b 0Z !!` j

Ex: 1,8 1018 e 0, 6 3

2= = .

O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos, juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra (Q ), por ser a letra inicial da palavra quociente.


u Identificar cada número real com um ponto da reta e vice-versa.

MateMática

36

Atividades 01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:a) inteiros? b) escritos na forma decimal? c) escritos na forma fracionária?


a) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c) 51

e53- +

02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:

a) – 6 b) + 8 c) 53+ d) – 5,9 e) 32


a) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q 03 Observe a reta numérica a seguir e indique:

a) O ponto que corresponde ao número 43+ .

b) O número racional que corresponde ao ponto N.c) O número racional que corresponde ao ponto X.

d) O ponto que corresponde ao número 142- .

e) O ponto que corresponde ao número – 3.


a) Z b) 47

ou 143 c)

411

ou 243- - d) T e) X

MateMática

37

Desafio

Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras.


aula 10

Potenciação: DefiniçãoObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real diferente de zero.

Conceito básico

e... ,a a a a a a n

n vezes

R Zn

-

$ $ $ $ ! !=1 2 3444 444

A potenciação é a operação matemática que envolve o produto de fatores iguais. Denominaremos por

an) potência a ) base n )

expoente.

Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.





MateMática

38

Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores positivos para n.

Exemplo: Calcular o valor de 54.

5 5 5 5 5 6254 = =$ $ $

Expoente maior que 1.

Vejamos o exemplo:

a) Calcular 25.

2 ) base 5 ) expoente 25) potência 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores

2 2 2 2 2 2 325 = =$ $ $ $

Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.

b) Calcular 5 3-^ h

5- )^ h base 3 ) expoente 5 3- )^ h potência 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores

5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h

Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as operações com sinais.

Expoente igual a 1.

Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a 1, a potência será igual à base.

Vejamos os exemplos:

7 71 =

7 ) base 1 ) expoente 71) potência

12 121- =-^ h

12- )^ h base 1 ) expoente 12 1- )^ h potência

Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número.

Expoente igual a 0

Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.

MateMática

39

Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1.

Vejamos como isso acontece:

26 = 64 36 = 729 56 = 15 625

25 = 32 35 = 243 55 = 3 125

24 = 16 34 = 81 54 = 625

23 = 8 33 = 27 53 = 125

22 = 4 32 = 9 52 = 25

Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido utilizando a mesma estratégia acima.

21 = 2 31 = 3 51 = 5

Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma indeterminação.

20 = 1 30 = 1 50 = 1

Atividades 01 Calcule as seguintes potências:

a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1

d) 70 e) (-12)3 f ) 43 2

` j

g) 52 4

-` j h) 103 5

-` j i) 1,24

j) -(-0,2)2


a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f ) 169 ; g)

62516 ; h)

100 000243- ; i) 1,44 j) -0,04

02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2, onde l indica a medida do seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede

a) 3 cm. b) 2,5 m.

c) 3 km. d) 7 m.

e) 9,3 m.

2'

2'

2'

2'

MateMática

40


a) A = 9 cm2. b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2.d) A = 49 m2. e) A = 86,49 m2.

03 Responda:a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?


Base expoente Potência

+ Par +

+ Ímpar +

– Par +

– Ímpar –

Desafio

Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá recebido mais dinheiro? Quanto?


Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio

1o mês 2o mês 3o mês 4o mês 5o mês 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês

R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00

Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.

Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo

1o mês 2o mês 3o mês 4o mês 5o mês 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês

R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00

Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio.

Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.

MateMática

41

aula 11

Potenciação: PropriedadesObjetivo geral

Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real diferente de zero.

Conceito básico

Como podemos resolver 5 5 53 2 4$ $ e apresentar o resulta do em forma de potência?

Vamos lá.

5 5 5 55 5 55 5 5 5 5

3

2

4

===

$ $$$ $ $

Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então

Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 5 5 53 2 4 9=$ $ .

1ª propriedade:

Em um produto de potência de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes.

Dado a R! e ,n m N! , então a a an m n m$ = + .

Observe o seguinte quociente: 5 54 2'

5 5 5 55 5 5 54 2 ='

$$ $ $

Simplificando os fatores comuns,

5 55 5

5 5 5 54 2 ='

$

$ $ $

Assim,

5 5 5 54 2 4 2 2= =' -





MateMática

42

2ª propriedade:

Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , então ou .a a aaa

an m n mm

nn m= =' + -

Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir:

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 3 12

3 3 3 3

= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ hSSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12= =$^ h

3ª propriedade:

Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , então a an m n m= -^ h .

Exercícios 01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.

a) 9 935$ b) 4 4 4

2 3$ $- - -^ ^ ^h h h

c) 0, 5 0, 5 0, 52 3$ $ d)

53

53

53

533 2 5 1

$ $ $- - - -` ` ` `j j j j


a) 98 b) 46-^ h

c) 0, 56 d) 53 11

-` j

02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.

a) 99

2

5 b)

33

2

3

--^^

hh

c)

5252

4

7

-

-

`

`

j

j d)

1010

5

6


a) 93 b) -3 c) 52 3

-` j d) 10

MateMática

43

03 Resolva as seguintes expressões:

a) 35 2^ h b) 42 6^ h c) 53 3^ h d) 32 6 3

`` j j


a) 310 b) 412 c) 59 d) 32 18

` j

Desafio

Simplificando a expressão

100 0, 10, 0001 10 0, 012

3 6

4 57

$

$ $

^^ ^

hh h; E

Obtemos como resultado:a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2

d) 10 e) 103

Sugestão de solução:Alternativa d.

aula 12

Potência com expoente negativoObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero.

Conceito básico

A professora Marina pediu para que seus alunos resolvessem o seguinte quociente: 5 53 4' .

Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a professora qual era a maneira correta.

Vejamos suas respostas.

1º maneira:

5 5 55

5 5 5 55 5 5

513 4

4

3

= = ='$ $ $

$ $

2ª maneira:

5 5 55 53 4

4

31= =' -





MateMática

44

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.

No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder nesse caso:

23 = 8 33 = 27 53 = 125

22 = 4 32 = 9 52 = 25

21 = 2 31 = 3 51 = 5

20 = 1 30 = 1 50 = 1

2 21 21 1= =- - 3 3

11 = 5 511 =-

2 21 22

22= =-

--

33122=- 5 5

122=-

2 21 23

33= =-

-- 3 3

133=- 5 5

133=-

Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então:

1 1a

a an

n

n

= =- ` j

Exemplo:1) Calcule cada uma das potências a seguir:

a) 3 3- b) 32 4-

c m

c) 4 2- - -^ h d) 1210 2

--

` j


a) 3 31

2713

3= =- ; b) 32

23

16814 4

= =-

c `m j ; c) 4 41

1612

2

- - = - =--^ ch m ; d) 1210

1012

1001442 2

- = - =-

` `j j

Atividades 01 Calcule as potências a seguir:

a) 4 2- - b) 25 2

--

` j c) 7 3-

d) 101 5-

` j e) 0, 3 5- -^ h


a) 161- b)

254 c)

3431

2'

2'

2'

2'

2'

2'

MateMática

45

d) 1000 000 e) 103

310

243100 0005 5

- = - = --

` `j j

02 Determine o valor da expressão:

2523 3

- - -- -

^ `h j


8124

03 Calcule o valor de 5 31 2 2+- - -^ h


1962 025

Desafio

Os círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .


MateMática

46

aula 13

Potenciação: expressões numéricasObjetivo geral

Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas.

Conceito básico

Em muitos casos as operações matemáticas se misturam. Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim, primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo, devemos respeitar a seguinte ordem:

1o resolvemos as potenciações e/ou radiciações;

2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões;

3o resolvemos as adições e/ou subtrações.

Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica:

5 3 3 10 42 5 4 3 2 2+ - - + -'^ ^ ^h h h6 @" ,


25 3 10 165 4 3 2+ - + --^ ^h h6 @" ,

25 3 61 3 2+ - + -^ ^h h6 @" ,

25 3 363+ - +^ h" ,

25 27 36- +" ,

2 36- +" ,

34

Atividades 01 Resolva as expressões numéricas a seguir:

a) 3 2 22 5 3'-

b) 2 2 5 38 3 3 2$ $-

c) 10 10 53 5 2'$-^ h





MateMática

47


a) 5b) 923 c) 4

02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir

2 352

2 1 2

-

- -

c m; E

Qual foi o resultado encontrado por ele?a) 1 b) 25 c) 625

d) 251

e) 625

1


Alternativa C.

03 Simplifique a expressão x x x xa a a a2 3 1 2 5$ $ $- - + + -


x a3 3-

Desafio

Qual é o resultado da expressão 235 5

E 2

3 4 3'=+-

.


7241

E = .

MateMática

48

aula 14

Decomposição em fatores primosObjetivo Geral

Relembrar como decompor um número natural em fatores primos.

Conceito Básico

A princípio é válido ressaltar que todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou mais fatores primos. Por exemplo, o número 50 pode ser escrito como o produto 2 x 5 x 5.

Assim, para se determinar os fatores primos de um número natural, maior que 1, uma opção é proceder da seguinte forma:

I) Divida o número especificado pelo menor número primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser decomposto.

II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegar ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:





MateMática

49

III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número em questão (300).

Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos:

300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52

Atividades 01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?

a) 116 b) 30 c) 111d) 60 e) 210 f ) 405


116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).

02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:a) 150 b) 93c) 62 d) 768


a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3

03 Qual é o número cuja fatoração é:a) 2 . 33 . 5 . 7b) 11 . 13c) 23 . 5 . 7 . 31d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11


a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.

MateMática

50

Desafio

No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que não se misturem (estudantes de anos diferentes).

A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?

B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?


A) 7B) 5 e 6 respectivamente

aula 15

Radiciação: Definição / Extração de raizObjetivo Geral

Extrair a raiz de números reais apresentados na forma de radical.

Conceito Básico

O termo radiciação define a operação inversa da poten-ciação. O símbolo utilizado na radiciação é o radix ( ). Ele possui a seguinte estrutura:

É válido ressaltar que o radical que possui índice igual a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja:

a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2);

b) 3 " lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);

c) 4 " lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).





512 29 =

radical"

512 radicando"

9 " índice

2 raiz"

MateMática

51

Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos.

Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes passos:

1º passo: Identifique o índice da raiz solicitada. Veja os exemplos:

2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada:

3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,

Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de dois em dois.

Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de três em três

E assim sucessivamente.

MateMática

52

4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do radical e simplifique aqueles fatores cujo expoente são iguais ao seu respectivo índice. O produto do resultado obtido será a raiz procurada.

I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2= = = =$ $ $ $ $ $

II) 125 5 53 33= =

III) 81 3 34 44= =

IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $

V) 64 2 26 66= =

Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de radicandos. Neste caso há uma propriedade de radiciação que diz que a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

Veja a seguinte situação:

Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área. Adriana ficou com o terreno que possuía 16 m de largura por 36 de comprimento. Sabendo que o terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um quadrado), determine as dimensões do terreno dele.

Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos.

As dimensões do terreno de Adriana (16 m de largura x 36 de comprimento) implica em uma área de medida igual a 576 m2.

Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2, temos que:

576x x m2=$ , onde x corresponde à medida do lado do terreno de Adão. Portanto,

576 576x x2 = ="

576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2= = =$ $ $ $ $ $

MateMática

53

Atividades 01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da decomposição de fatores primos:

a) 723

b) 6254

c) 12587

d) 3433


a) 327 33 33= =

b) 625 5 54 44= =

c) 128 2 27 77= =

d) 343 7 73 33= =

02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas:

a) 169 2163- =

b) 2 3 10 54 2 2 23+ - + =

c) 36 729 646 3+ - =


a) 169 216 13 6 73- = - =

b) 2 3 10 5 16 9 100 25 25 125 5 5 04 2 2 23 3 3+ - + = + - + = - = - =

c) 36 729 64 6 3 4 56 3+ - = + - =

MateMática

54

03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume igual a 729 dm3?


Temos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões:

V = altura x comprimento x largura

Como o paralelepípedo em questão em um cubo, suas três dimensões serão todas iguais. Portanto,

V a a a a3$ $= =

O enunciado do problema diz que o volume desta caixa corresponde a 729 dm3, então,

729V a a a a dm3 3$ $= = =

729a3 =

729a 3=

9a dm3=

Desafio

Obtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas direcionais.


A = 484; B = 31; C = 8; D = 4; E = 10; F = 4 096.

MateMática

55

aula 16

Radiciação (propriedades)Objetivo geral

Compreender e aplicar as propriedades da radiciação.

Conceito básico

Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação que são muito importantes não só para o estudo dos radicais mas também para outros temas da Matemática.

Lembrando,

Ao se trabalhar com radicais surgirão uma série de situações nas quais será necessário a utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:

1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente, também, n é o próprio radicando.

r rnn = , onde r R! + , n N! e 1n 2

Exemplo:

32 2 25 55= =

2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário onde a base é o radicando r, o numerador do expoente é o expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical.

r rmn nm= , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2

Exemplo:

2 2 2 16205 520 4= = =




MateMática

56

3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice deste é igual ao produto dos índices dos radicais anteriores.

r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2

Exemplo:

5 5 53 2.3 6= =

4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos radicais de cada radicando.

r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2!

Exemplo:

4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $

5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente dos radicais de cada radicando.

sr

s

rn

n

n

= , onde e 1, ,r s n nR R N* 2! ! !+ +

Exemplo:

925

925

35= =

Importante:

0 0n =

1 1n =

r rn =

Atividades 01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical:

a) 164

b) 83

c) 3 1255

d) 49

MateMática

57


a) 16 2, sendo que 2 164 4= =

b) 8 2, sendo que 823 3= =

c) 3 125 5, sendo que 3 12555 5= =

d) 49 7=

02 Encontre o valor de cada uma das expressões:

a) 100 64 163 4+ -

b) 5 256 3 243 6258 5+ -

c) 4 125 8 64 4003 - +


a) 12; b) -6; c) -24

03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir:

a) 2 7$

b) a b5 $

c) 1636

d) 4 y4 $

e) 378


a) 2 7 2 7$ $=

b) a b a b5 5 5$ $=

c) 1636

16

3646= =

d) 4 4y y4 8$ =

e) 3 87

Desafio

Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais a36 e b612 , calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.


ab

MateMática

58

aula 17

Radiciação inexata Objetivo geral

Compreender e extrair a raiz de números reais.

Conceito básico

Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na decomposição de acordo com o índice indicado no radical, temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .

Observe que na fatoração acima obtivemos o produto 2.3²; assim, o número 2 ficou fora do agrupamento, resultando em 3 2 . Portanto, o número 18 possui raiz inexata, sendo assim um radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.

Veja também os exemplos a seguir:

1. Calcule o valor do radical 1353

Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 33 3= =$

2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?

Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2+ = + = + =$ $

Atividades 01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.

a) 12

b) 20

c) 45

d) 543

e) 288


u Criar e resolver situações problema que envolve números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

MateMática

59


a) 12 2 2 3 2 3 2 32$ $ $= = =

b) 20 2 5 2 52$= =

c) 45 3 5 3 52$= =

d) 54 2 3 3 23 33 3$ ==

e) 288 2 2 3 2 4 3 2 12 22 2 2$ $ $= = =

02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir.

a) 24 813 3+

b) 80 20+


a) 24 81 2 3 3 3 2 3 3 3 5 33 3 33 33 3 3 3$ $+ = + = + =

b) 80 20 2 2 5 2 5 4 5 2 5 6 52 2 2$$ $+ = + = =+

03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir.

a) 30

b) 36

c) 273


a) 30 irracional

b) 36 racional

c) 273 racional

Desafio

Determine a solução da expressão 128

54 2503

3 3+ .

Sugestão de solução: 4 2

3 2 5 2

4 2

8 22

+= =

MateMática

60

aula 18

Relacionando potências e radicais.Objetivo geral

Identificar e relacionar a potenciação com sua operação inversa, a radiciação.

Conceito básico

Até o momento já vimos que potenciação e radiciação são operações inversas. Assim:

Se 9 812 = , então, 81 9= ;

Se 3 273 = , então, 27 33 = .

Analisemos, agora, os casos que se seguem:

3 9 9 3 32 2= = ="

5 25 25 5 52 2= = ="

7 49 49 7 72 2= = ="

10 1000 1000 10 103 3 33= = ="

6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $

2 1024 1024 2 210 10 1010= = ="

Observando cada uma das situações acima descritas surge uma dúvida: é possível indicar uma raiz sem o uso do radical?

Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do radical em denominador.





MateMática

61

É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais cujo radicando é negativo e o índice é par. Veja as situações que se seguem:

4- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não chegaremos ao valor do radicando (-4).

814 - não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-3) quanto o (+3) à quarta potência não chegaremos ao valor do radicando (-81).

Exemplo:Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes: 5 , 3 , 2 e 73 34 53

a) 5 : Note que o expoente do radicando é 1 e o índice da raiz é 2, então 5 5 21= .

b) 33 : Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 2, então 3 33 23=

c) 234 : Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 4, então 2 234 43=

d) 753 : Note que o expoente do radicando é 5 e o índice da raiz é 3, então 7 753 35=

Atividades 01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir:

a) 335 b) 547 c) x710


a) 3 53 b) 5 7

4

c) x107

02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário:

a) 271

b) 3 92 c) 5 4

7


a) 27 b) 329 c) 574

03 O valor da expressão 225

125 932

23

$ é

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


Alternativa C

MateMática

62

Desafio

Determine o valor da expressão 9

4 8

729

2725

63

32

23

124

$ '


432

aula 19

Resolução de situações problema envolvendo números RObjetivo geral

Resolver situações problema diversas envolven-do números reais, particularmente a potenciação e a radiciação.

A maioria da população tem acesso à internet e dentre os muitos sites visitados o facebook é um dos líderes. A proliferação de uma notícia nesse site se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100 amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver mais 100 outros amigos, uma notícia publicada por Mateus pode ser vista por 10 000 pessoas facilmente.

Atividades

01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para surpreender seu amigo secreto?


53 = 125






MateMática

63

02 Observe as figuras a seguir

Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantida-de de triângulos em casa estágio, veja o quadro.

ESTÁGIO QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS

1 40 = 1

2 41 = 4

3 42 = 16

Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5?a) 32 b) 64 c) 128d) 256 e) 512


Alternativa d.

03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir

A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3. Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da área do cubo é A = a3, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.


a = 6 cm

MateMática

64

Desafio

O colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes em forma de quadrado de mesma medida de área.

Sabendo que A1 = 36 m2, determine as dimensões da quadra.


aula 20

Exercícios – números ReaisObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a conjuntos numéricos.

Atividades 01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.

a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83. b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.

c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458. d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.

Sugestão de solução: Letra d.

02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números: 103

; 32 ; 2, 5;23

; 3; 256 .5 4

MateMática

65


03 A solução da expressão 72

50 32 18+ - é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Sugestão de solução: Letra a.

04 O número decimal correspondente a fração 57 é o:

a) 7,5 b) 1,4 c) 5,7 d) 0,75

Sugestão de solução: Letra b.

05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:

Produto Valor

Arroz (5kg) R$ 8,90

Feijão (1kg) R$ 3,35

1 lata de óleo R$ 2,00

O valor total que Carlos pagou foi de:a) 14,25 b) 14,35 c) 14,45 d) 14,55

Sugestão de solução: Letra a.

06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional.

a) 8 b) 90

c) 121 d) 200

Sugestão de solução: Letra c.

07 O resultado correto da expressão

35

32

3+ é:

a) 9

55 b) 1

c) 115 d)

511


MateMática

66

aula 21

Rotação de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

Reconhecer a simetria de rotação de um polígono e perceber quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

Rotação é o movimento de girar uma figura ou objeto ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A medida do giro é chamada ângulo de rotação.

Exemplos:

1º) Rotação em torno de um ponto que pertence a figura ou forma:

2º) Rotação em torno de um ponto fora da figura ou forma:


u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão e de translação e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades.

MateMática

67

Atividades

01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências.

a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotação de uma das semicircunferência para obter uma circunferência?b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário?c) De quantos graus deve ser esta rotação?


a) B.b) Em qualquer sentido.c) 180º

02 Observe a figura a seguir e responda os itens

a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades?

b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a?

c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)?

MateMática

68


a) No quadrado de lado 5.b) No ponto C.c) Anti-horário.

03 Observe a figura a seguir:

Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura?


Letra b.

MateMática

69

Desafio

Deseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir

Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É possível determinar o ângulo de rotação? Qual?


Deve-se realizar uma rotação no ponto A no sentido anti-horário. Quanto ao ângulo observe o desenho a seguir

Este ângulo mede 45o, pois se trata da diagonal de um quadrado.

MateMática

70

aula 22

Reflexão de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

Identificar a simetria de reflexão e perceber quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

Como exemplo pode-se citar que qualquer imagem ou forma refletida no espelho é uma reflexão. A reflexão ocorre através de uma reta chamada eixo de reflexão.

Exemplos:

Sobre a reflexão é válido destacar as seguintes propriedades:

• A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.



MateMática

71

• Dado um ponto e sua reflexão, os mesmos são equidistantes em relação ao eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

• Um ponto sobre o eixo de reflexão é sua própria reflexão.

Atividades 01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:

MateMática

72


Letra C

02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?

MateMática

73


As alternativas que não representam uma reflexão são:Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais; Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:

Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado.


MateMática

74

Desafio

Represente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.


MateMática

75

aula 23

Translação de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

Identificar a simetria de translação e perceber quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

A translação é o termo usado para “mover” formas, sendo necessárias duas especificações: a direção (que pode ser medida em graus) e o deslocamento (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento: cm, m, km, ...).

Exemplos:

1o) Translação na horizontal (0º ou 180º):

2o) Translação na vertical (90º ou 270º):



MateMática

76

3o) Translação na diagonal (diferente de: 0º, 90º , 180º ou 270º):

Atividades 01 Observe a figura a seguir.

Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no retângulo EFHG?


Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.

MateMática

77

02 Observe as translações 1, 2 e 3.

a) Existe translação na vertical? Qual? b) Existe translação na horizontal? Qual?c) Existe translação na diagonal? Qual?


Letra a) Sim, a 3Letra b) Sim, a 1Letra c) Sim, a 2

03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação.

MateMática

78

a) Qual é a medida da translação AA”?b) Qual é a medida da translação CC’?c) Quantas translações foram feitas? Quais?d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)


Letra a) 4 m + 3 m = 7 mLetra b) 4 mLetra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.

Desafio

Observe a figura a seguir

Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.


MateMática

79

Ficando assim:

As dimensões são: Largura 12cm; Comprimento: 12cm.

aula 24

Plano Cartesiano OrtogonalObjetivo Geral

Identificar e representar o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas.

Conceito Básico

O plano cartesiano ou espaço cartesiano é um es-quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu-lada) necessário para especificar pontos num deter-minado “espaço” com dimensões. Ele é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon-tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas se interceptam no ponto (0,0), denominado origem do sistema.

A orientação positiva das retas é representada por uma seta conforme a figura a seguir.


u Construir figuras no plano com base em informações relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polígonos dadas as coordenadas de seus vértices e circunferência dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.

MateMática

80

Um ponto no plano cartesiano é definido por meio de dois valores, um para o eixo x e outro para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano anterior corresponde ao par ordenado x = -2 e y = 3, ou seja, às coordendas A(-2, 3).

Atividades 01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas.


Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na planta baixa; entre outros.

02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir.

Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas que indicam a posição das poltronas A, B e C.

MateMática

81


A(4,3); B(1,2) e C(3,5).

03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.

Encontre as coordenadas em que eles se localizam.


Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).

04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos pontos: A, B, C, D, E e F:


A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

MateMática

82

Desafio

Marque no plano cartesiano os pontos a seguir:A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).


MateMática

83

aula 25

Construção de polígonos no plano cartesianoObjetivo Geral

Representar, identificar e construir no plano cartesiano polígono e circunferência.

Conceito Básico

Inicialmente é necessário relembrar um polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus vértices é formado pela sucesão de dois segmentos de retas seguidos.

O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele.

À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela

a seguir:

Números de lados ou ângulos

Nome do PolígonoEm função do número de ângulos Em função do número de lados

3 Triângulo Trilátero4 Quadrângulo Quadrilátero5 Pentágono Pentalátero6 Hexágono hexalátero7 Heptágono Heptalátero8 Octógono Octolátero9 Eneágono Enealátero10 Decágono Decalátero11 Undecágono Undecalátero12 Dodecágono Dodecalátero15 Pentadecágono Pentadecalátero20 Icoságono Icosalátero



MateMática

84

Atividades 01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir.

Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos.

02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e ADE. Desenhe os triângulos.

MateMática

85


Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)

03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD?


A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).

MateMática

86

04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono. A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).


MateMática

87

Desafio

Represente no plano cartesiano:a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2.b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4).


MateMática

88

aula 26

Exercícios envolvendo polígonosObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos.

Atividades 01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade de lados deste polígono. A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a:

a) 6b) 7c) 8d) 9


02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula 23

Dn n$=

-^ h, onde

D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono.A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a:

a) 340b) 170c) 34d) 17

Sugestão de solução: Letra b.

03 Observe o polígono a seguir.

MateMática

89

Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?

a) 5 b) 20c) 36 d) 40

Sugestão de solução: c.

04 Observe o polígono:

A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a:a) 17,11 cm b) 17,9 cmc) 18 cm d) 18,1 cm

Sugestão de solução: d.

05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de seus vértices.

06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm.

MateMática

90

aula 27

Circunferência e círculo: Definição e diferençasObjetivo geral

Compreender os conceitos e os elementos de circunferência e círculo.

Conceito básico

Uma das principais características que podemos notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a única figura plana que pode ser girada em torno de um ponto (centro) sem modificar sua posição.

Assim, podemos dizer que circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r, denominado raio, de um ponto fixo O, denominado o centro da circunferência.

Círculo é a reunião da circunferência com todos os pontos que estão em seu interior.



MateMática

91

Observe a circunferência a seguir

Vamos identificar seus elementos:Centro Raios Cordas Diâmetro

O , , 0A B E G0 0 0 e , ,AE BG CH DFe AE BGe

OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.

INFORMAÇÕES IMPORTANTES1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência; 2) o diâmetro é igual a duas vezes o raio (d = 2r);3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula 2 .C rr=

Exemplo:Identifique os elementos na circunferência a seguir

Quais dos segmentos indicados são cordas?R: O segmento AB e AC.

Quais dos segmentos indicados são raios?R: O segmento A0, B0 e C0.

Qual do segmento indicado é diâmetro?R: O segmento AB.

MateMática

92

Atividades 01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda:

a) Qual a medida do seu diâmetro?b) Qual a medida do seu comprimento?


a) 2 2 8 16d r cm$= = = b) 2 2 8 16C r cm$ $= = =r r r

02 Observe a figura a seguir

Responda:a) Qual a medida do seu diâmetro?b) Qual a medida do seu comprimento?


a) d r cm2 2 4 8$= = = .b) C r cm2 2 4 8$ $r r r= = = .

03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio

MateMática

93

Determine:a) Perímetro do triângulo ABC.b) Soma das medidas do comprimento das circunferências.


a) perímetro = 24 cm.b) Soma dos comprimentos = 24 cmr .

Desafio

Sabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio de C1.

Determine a medida do comprimento da circunferência C1.


2 2 2, 5 5C r $ $= = =r r r

MateMática

94

aula 28

Razão IObjetivo geral

Compreender e aplicar as relações lógicas das razões matemáticas em situações problema.

Conceito básico

Em matemática a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente entre dois números racionais a e b, representada por a:b ou a/b ou , com 0

ba

b ! .

Lê-se a para b, ou a está para b.

Exemplo:

3:5 3/5 53

ou ou , lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.

Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.

Exemplo:

antecedenteconsequente5

3 "

"

Razões inversas

Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1. Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra,

e vice-versa.Exemplo:

i) 53 e 3

5 são razões inversas, pois: 53

35 1=$

ii) 47 e 7

4 são razões inversas, pois: 47

74 1=$


u Formular e resolver situações-problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.

MateMática

95

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).

Obs.: o símbolo + significa equivalente.

Exemplos:

i) 65

1210

+ são razões equivalentes, pois: 65

1210

22 =$$ ou 6

51210=

ii) 915

35

+ são razões equivalentes, pois: 915

35

33 =

'' ou 9

1535=

Exercícios resolvidos

01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da avaliação?


Do enunciado temos que Michael acertou 156 das 180 questões do Enem. Como queremos a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível.

18015

907

4539

15136 8= = =

Portanto, a razão é 1513 .

02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras a seguir, nas seguintes medidas:

x 2

x 2

:3

:3

:2

número de acertosnúmero de questões

=

:2 :2 :3

:2 :3

MateMática

96

De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do lado do quadrado .


Do enunciado com a figura temos as seguintes medidas: quadrado seu lado mede 20 cm e quadrado seu lado mede 30 cm.Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do

lado do quadrado , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:


03) O time de futebol do Goiás obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?


Do enunciado temos que o time de futebol do Goiás obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas no ano de 2012.

Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:

23 + 9 + 6 = 38

Então, basta escrevermos a seguinte razão:

3823= , neste caso não dá para simplificar a razão.


Atividades 01 Marcos Vinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática.

a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da atividade?b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de ques-tões da atividade?

:10

lado do quadrado

lado do quadrado =

:10

3020

32=

número de vitórias

número total de partidas disputadas

MateMática

97

c) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de erros da atividade?


Do enunciado temos que Marcos Vinícius acertou 16 questões, como a avaliação tinha 20 questões, ele errou 4 questões.

a)


b)


c)


02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?


Do enunciado temos que o time de futebol do Flamengo obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no ano de 2012.Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:12 + 14 + 12 = 38

Então, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:

3812

196= =


:2

:2

:4

:4

número de acertosnúmero total de questões 20

1654= =

:4

:4

número de errosnúmero total de questões 20

451= =

:4

:4

número de errosnúmero de acertos 16

441= =

número de vitóriasnúmero total de partidas disputadas

MateMática

98

03 Vanessa desenhou as seguintes figuras:

De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre:

a) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .

b) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .


Do enunciado temos que Vanessa desenhou dois triângulos onde a medida da hipotenusa do triângulo é de 5cm e a medida da hipotenusa do triângulo é de 25cm.

a) Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:


b) Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:

Portanto, a razão é 5.

:5

:5

hipotenusa do triângulo

hipotenusa do triângulo 255

51= =

:5

:5

hipotenusa do triângulo

hipotenusa do triângulo 525

15

5= = =

MateMática

99

Desafio

(Olimpíada Brasileira de Matemática - OBMEP 2007)Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é

32 e entre o número de mulhe-

res e crianças é 18 . A razão entre o número de adultos e crianças é:

(A) 15

(B) 1

16

(C) 1

12

(D) 3

40

(E) 1

13


Do enunciado temos:

A razão entre o número de homens e mulheres é 32

32

mh

" = .

Ou seja, em cada 2 homens teremos 3 mulheres, 4 homens para 6 mulheres ou mesmo, 16 homens para 24 mulheres.

A razão entre o número de mulheres e crianças é 18

18

cm

" = .

Ou seja, em cada 8 mulheres teremos 1 criança, 16 mulheres para 2 crianças ou mesmo, 24 mulheres para cada 3 crianças .

Se para cada 16 homens temos 24 mulheres e para cada 24 mulheres temos 3 crianças, teremos 16 ho-mens para cada 3 crianças, ou, como pede o desafio, 24 + 16 = 40 adultos para cada 3 crianças

Portanto, a razão entre o número de adultos e crianças é de 3

40 .

MateMática

100

aula 29

Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens)Objetivo geral

Representar e aplicar as razões matemáticas no estudo das porcentagens através da resolução de situações problema.

Conceito básico

As razões além das formas fracionária e decimal, também podem ser representadas na forma percentual, onde se utiliza o símbolo %.

Geralmente, podemos dizer que toda razão na

forma ba , onde b = 100, pode ser representada na forma de porcentagem.

Exemplo:

10030 30%= , onde lê-se trinta por cento.

Na representação de uma razão ba , temos:

i) Frações equivalentes: O conseqüente b é um fator natural de 100.

Exemplo:

54

10080 80%= =

Para descobrir que devo multiplicar por 20, basta dividir 100 por 5.

ii) Forma decimal: O consequente b não é um fator natural de 100.

Exemplo:


u Formular e resolver situações-problema que envolvam a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.

x 20

x 20razão equivalente deconsequente igual a 100

83 0,375 100

0,375 10010037,5

37,5%= = = =$

forma decimal de 83

MateMática

101

Exemplos

01) No final de ano sempre há liquidação nos shopping de Goiânia, onde os descontos variam muito. Suponha que em determinada loja um produto teve o desconto de 7 mil reais sobre um preço de 20 mil reais. Quanto por cento equivale esse desconto?


Do enunciado temos inicialmente, a razão de 7 para 20, ou seja, 207 .

Aqui podemos resolver este exercício de duas formas:

i) Usando frações equivalentes, temos:

207

10035 35%= =

Para descobrir que devo multiplicar por 5, basta dividir 100 por 20.

ii) Usando a forma decimal, temos:

207 0,35 100

0,35 10010035 35%= = = =$

Portanto, o desconto de 7 mil reais equivale a 35%.

02) O Brasil tem um total de 8.514.876 km2 de superfície territorial. A região Centro-Oeste ocupa cerca de 1.606.371.505 km2. A área ocupada pela região Centro-Oeste representa, aproximadamente, quantos por cento da área total do Brasil?


Do enunciado temos:área total do Brasil " 8.514.876 km2

área da região Centro-Oeste " 1.606.371.505 km2

Usando a razão:

número de erros

número total de questões

Aplicando a forma decimal, temos:

8 514 8761606 371505 0,182 100

0,182 10018,2%= =$

-

Portanto, a área ocupada pela região Centro-Oeste no Brasil representa, aproximadamente 18,2%.

x 5

x 5

8 514 8761606 371505

kmkm

2

2

"

MateMática

102

03) Obtive um lucro de R$ 3,00 sobre o preço de um produto vendido a R$ 120,00. Quanto por cento obtive de lucro?


Do enunciado temos inicialmente, a razão de 3 para 120, ou seja, 120

3 .Logo simplificando a razão e aplicando a forma decimal, temos:

401 0,025 100

0,025 1001002,5

2,5%= = = =$

Portanto, obtive um de lucro 2,5%.

Atividades 01 Representar na forma de porcentagem as seguintes razões:

a) 100

6

b) 10015, 4

c) 43

d) 167


a) 100

66%=

b) 10015, 4

15, 4%=

c) Primeiro faço 100 4 25' =

43

4 253 25

10075

75%$

$= = =

d) Primeiro faço 100 16 6, 25' =

167

16 6, 257 6, 25

10043, 75

43, 75%$

$= = =

02 Nas férias de verão na praia do Futuro em Fortaleza foram coletados 400 kg de lixo. Desse total, 250 kg eram de materiais plásticos. A quantidade de materiais plásticos representa quanto por cento do total do lixo recolhido?


Do enunciado temos:total de lixo coletado na praia " 400 kglixo de material plástico " 250 kg

MateMática

103

Usando a razão:

lixo de material plásticototal de lixo coletado na praia

Logo, simplificando a razão e aplicando a forma decimal, temos:

85

0, 625100

0, 625 10010062, 5

62, 5%$= = = =

Portanto, quantidade de materiais plásticos representa 62,5% do lixo recolhido.

03 Um livro de literatura tem 80 páginas numeradas de 1 a 80. Neste livro 9 páginas tem numeração cuja soma dos algarismos é igual a 8. Essa quantidade representa quanto por cento do número total de páginas do livro?


Do enunciado temos:número total de páginas do livro " 80número de páginas cuja soma dos algarismos é 8 "9Usando a razão:

número de páginas cuja soma dos algarismos é 8 número total de páginas do livro--------------

Logo aplicando a forma decimal, temos:

809

0, 1125100

0, 1125 100100

11, 2511, 25%

$= = = =

Portanto, número de páginas cuja soma dos algarismos é 8 representa 11,25% do número total de páginas do livro.

400250

kg

kg"

809

"

Desafio

(Enem 2005)A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro, em 2005.

MateMática

104

De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproxima-damente:(A) 14%.(B) 48%.(C) 54%.(D) 60%.(E) 68%.


Pelo gráfico de colunas, podemos ver que os jogadores que concluíram o Ensino Médio são aqueles que estão indicados nas duas últimas colunas (é importante observar que para ingressar no Ensino Superior é necessário concluir o Ensino Médio).

Logo, temos 54 + 14 = 68 jogadores que concluíram o ensino médio.

Utilizando uma regra de três simples e lembrando que foram 112 jogadores pesquisados, temos:

112

68

100%

x

"

", onde x representa o percentual de jogadores que concluíram o ensino médio.

18112 100

112 68 100112

680060, 71%.

xx x" " "$ $== =

Portanto, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente 60%.

aula 30

Proporção Objetivo geral

Relembrar os conceitos de proporção.

Conceito básico

Matematicamente, numa proporção é uma sentença que expressa uma igualdade entre duas razões.

Assim, dizemos que quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, expressam uma proporção quando:

ou: :a b c dba

dc= =

Lê-se a está para b, assim como c está para d.

Exemplo:

6 : 9 12:18 ou 1812 ,= lê-se 6 está para 9, assim como 12 está para 18.


u Resolver, analisar e formular situações problema envolvendo porcentagem e proporcionalidade.

u Construir estratégias para resolver situações que envolvem proporcionalidade.

MateMática

105

Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção, onde a e d são denominados extremos e b e c são denominados meios.

Exemplo:

6 : 9 12:18 ou 196

1812= =

Propriedade fundamental das proporções

De modo geral, em toda proporção temos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.

ba

dc

a d b c= =) $ $

Exemplo:Verifique se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção.Use a propriedade fundamental da proporção.


Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:

3 7 12 e 28,a b c d= = = =

Então podemos escrever a seguinte proporção, aplicando a propriedade fundamental:

73

2812 3 28 7 12

ba

dc

a d b c= = = =+ " + "$ $ $ $

produto dos extremos 3 28 84produto dos meios 7 12 84

:

:

==$

$)

Como o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, temos uma proporção.Portanto, os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção.

Exemplos 01) Em uma panificadora, para fazer 600 pães, são gastos 100 kg de farinha. Quantos pães

podem ser feitos com 25 kg de farinha?


Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:

600 10025x

-

-, onde x é a quantidade de pães a serem feitos.

extremos

meios

extremo

meio extremo

meio

produto dos meios

produto dos extremos

MateMática

106

Daí, temos a seguinte proporção:

60025

100x

=

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:

600 25 100x=$ $

100 15 000x =

10015 000

x =

150x =

Portanto, podem ser feitos 150 pães.

02) Paula usou 40 laranjas para fazer 26 litros de suco, mas como ainda tem 25 laranjas, quantos litros de suco aproximadamente ainda poderão serão feitos?



4025

26x

-

-, onde x é a quantidade de litro de sucos que poderão ser feitos, com as 25 laranjas.


2540 26

x=


40 26 25x =$ $

40 650x =

40650

x =

16,25x =

Portanto, podem ser feitos aproximadamente 16 litros de suco de laranja.

03) Em um colégio estadual da cidade de Ipameri, para cada 4 moças há 5 rapazes estudando. Como no colégio há 580 rapazes matriculados, quantos estudantes existem no colégio?



45 580

x-

-, onde x é a quantidade de moças que estudam no colégio.

MateMática

107


54

580x=


4 580 5 x=$ $

5 2320x =

52320

x =

464x =

Logo, no colégio existem 464 moças.

Mas, como queremos saber quantos estudantes existem no colégio, basta somarmos o número de moças e o de rapazes. Assim, temos:

464 580 1044+ =

Portanto, existem 1044 estudantes no colégio.

Atividades 01 Sabendo que os números 6, 24, 5e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-mental determine o valor de x.


Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:

,6 24 5 ea b c d x= = = =

Então podemos escrever a seguinte proporção, onde aplicando a propriedade fundamental, temos:

246 5

6 24 5 6 1206

12020

ba

dc

a d b cx

x x x x+ " " " " "$ $ $ $= = = = = = =

Portanto, o valor de x é igual a 20.

02 Em uma determinada empresa uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela cons-truiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?



200 16

42x

-

-, onde x é o valor em dinheiro que a secretária recebeu.

MateMática

108


2004216

x=


200 42 16x$ $=

16 8400x =

168400

x =

525x =

Portanto, a secretária recebeu R$ 525,00.

03 Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários para 2 kg de farinha?



2 0, 5

2x

-

-, onde x é a quantidade de ovos a serem gastos.


22

0, 5x

=


2 2 0, 5x$ $= (Transformando 0,5 em fração temos 21 )

21

4x =

4 2x $=

8x =

Portanto, serão necessários 8 ovos.

MateMática

109

Desafio

(Enem 2011)Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, (A) 0,23 e 0,16. (B) 2,3 e 1,6.(C) 23 e 16. (D) 230 e 160. (E) 2 300 e 1 600.


Do enunciado, temos a gravura onde a distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2300 mm e que altura b entre o solo e o encosto do piloto é de 160 cm. Como queremos o valor das medidas a e b em metros, respectivamente, primeiro vamos transformar mm e cm em m. Assim, usando a tabela básica das unidades de medidas, temos que:

1 0 0 0

m dcm cm m

Logo, temos que 1 m corresponde a 100 cm e a 1000 mm.

Agora, vamos calcular os valores de a e b em metros.

Então, podemos escrever as seguintes relações:

)1000

2300

1mm

mm

m

ai

-

-


23001000 1

a=

MateMática

110


1000 2300 1a$ $=

1000 2300a =

10002300

a =

2, 3a =

Logo, distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2,3 m.

)100

160

1cm

cm

m

bii

-

-


160100

b1=


100 160 1b$ $=

100 160b =

100160

b =

1, 6b =

Logo, a altura b, entre o solo e o encosto do piloto, é de 1,6 m.

Portanto, as medidas a e b são, respectivamente, 2,3 m e 1,6 m.

MateMática

111

aula 31

Proporção – PropriedadeObjetivo geral

Aplicar as propriedades das proporções matemáti-cas na resolução de situações problema.

Conceito básico

Na aula anterior estudamos a propriedade fundamental das proporções. É uma propriedade extremamente importante no estudo de proporções, porém, não é a única. Existem, na matemática, uma série de situações as quais são necessárias a aplicação de outros propriedades das proporções. A seguir vamos analisar duas delas:

1ª propriedade:

Dizemos que em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).

Matematicamente, temos:

Soma

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= = ="

+ + + +

Demonstração

Prove que:

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= = ="

+ + + +

Considere as proporções:

eba

dc

ab

cd= =

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

1 1 e 1 1ba

dc

ab

cd+ = + + = +

ba

bb

dc

dd

ab

aa

cd

cc+ = + + = +


u Resolver, analisar e formular situações problema envolvendo porcentagem e proporcionalidade.

u Construir estratégias para resolver situações que envolvem proporcionalidade.

MateMática

112

b

a bd

c da

b ac

d ca

a bc

c d+ = + + = + + = +"

c.q.dObs: c.q.d significa como queríamos demonstrar.

2ª propriedade:

Dizemos que em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a diferença dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).

Matematicamente, temos:

Subtração

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= - = - - = -

"

Demonstração

Prove que:

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= - = - - = -

"

Considere as proporções:

eba

dc

ab

cd= =

Subtraindo 1 de cada membro obtemos:

1 1 e 1 1ba

dc

ab

cd- = - - = -

ba

bb

dc

dd

ab

aa

cd

cc- = - - = -

ba b

dc d

ab a

cd c- = - - = - (multiplicando ambos os membros por -1)

aa b

cc d- = -

c.q.d

Exemplos

01) Em uma festa, a diferença entre o número de moças e rapazes é 20. Sabendo que a razão entre o número de moças e rapazes é de 7 para 5, quantas moças e quantos rapazes estão na festa?


Do enunciado temos:

MateMática

113

i) a diferença entre o número de moças e rapazes é 20

ii) a razão entre o número de moças e rapazes é de 7 para 5

Assim, fazendo x = o número de moças e y = o número de rapazes, temos o sistema:

20x y

yx

57

- =

=* 4

Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

57

77 5 (como 20) 20

72 2 140 70

yx

xx y

x yx

x x=-

= - - = = = =" " " "

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:

20 70 20 20 70 50 ( 1) 50x y y y y y- = - = - =- - - =- - =" " " "

Portanto, estão na festa 70 moças e 50 rapazes.

02) Para pintar uma parede da sala de cor diferente, Ricardo deve misturar tinta branca com tinta azul, na razão de 5 para 3. Sabendo que ele vai utilizar 24 l dessa mistura, quantos litros de cada cor de tinta serão necessários?


Do enunciado temos:

i) a razão entre o número de tinta branca e tinta azul é de 5 para 3

ii) vai ser utilizado 24 l da mistura das tintas 24tinta azul tinta branca l=+"

Assim, fazendo x = tinta branca e y = tinta azul, temos o sistema:

35

24yx

x y

=

+ =* 4

Como temos uma soma x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na primeira equação temos:

35

55 3 (como 24) 24

58 8 120 15

yx

xx y

x yx

x x=+

= + + = = = =" " " "

Logo, substituindo o valor de x na segunda equação temos:

24 15 24 24 15 9x y y y y+ = + = = - =" " "

Portanto, serão necessários 15 l de tinta branca e 9 l de tinta azul.

MateMática

114

03) A soma da idade de Rogério e de seu filho é 45 anos. Sabendo que a idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2, qual é a idade do pai e a do filho?


Do enunciado temos:

i) a idade de Rogério (pai) e de seu filho é 45

ii) a razão entre a idade do pai e do filho é de 7 para 2

Assim, fazendo x = idade do pai e y = idade do filho, temos o sistema:

45

27

x y

yx

+ =

=* 4

Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

27

77 2 (como 45) 45

79 9 315 35

yx

xx y

x yx

x x=+

= + + = = = =" " " "


45 35 45 45 35 10x y y y y+ = + = = - =" " "

Portanto, Rogério tem 35 anos e seu filho tem 10 anos.

Atividades 01 Jéssica foi fazer uma laranjada e para isso misturou caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9. Quantos litros de caldo de laranja e de água serão necessários para fazer 5,5 l de laranjada?


Do enunciado temos:i) mistura de caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9 ii) a laranjada vai ter 5,5 l

Assim, fazendo x = caldo de laranja e y = água, temos o sistema:

92

5, 5yx

x y

=

+ =* 4


92

22 9

(como 5, 5)5, 5

211

11 11 1yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =

MateMática

115


5, 5 1 5, 5 5, 5 1 4, 5x y y y y" " "+ = + = = - =

Portanto, serão necessários 1 l de caldo de laranja e 4,5 l de água.

02 A diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anos. Sabendo que a idade do mais velho está para a idade do mais novo, assim como 5 está para 3. Qual é a idade dos dois irmãos?


Do enunciado temos:i) a diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anosii) a razão entre a idade do mais velho e a idade do mais novo é de 5 para 3

Assim, fazendo x = idade do irmão mais velho e y = idade do irmão mais novo, temos o sistema:

12

35

x y

yx

- =

=* 4

Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

35

55 3

(como 12)12

52

2 60 30yx

x

x yx y

xx x" " " "=

-=

-- = = = =


12 30 12 30 12 18 ( 1) 18x y y y y y" " " "- = - = - = - - - - ==

Portanto, o irmão mais velho tem 30 anos e o mais novo tem 18 anos.

03 Em um grupo de 300 pessoas. Sabe-se que a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2, quantos homens e quantas mulheres fazem parte desse grupo?


Do enunciado temos:iii) um grupo de 300 pessoas (homens + mulheres = 300) iv) a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2

Assim, fazendo x = homens e , temos o sistema:

300

23

x y

yx

+ =

=* 4


23

33 2

(como 300)300

35

5 900 180yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =

MateMática

116


300 180 300 300 180 120x y y y y" "+ = + = = - =

Portanto, fazem parte desse grupo 180 homens e 120 mulheres.

Desafio

Em um determinado colégio o professor de Matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades de seus dois filhos, em anos. Para isso, ele deu as seguintes informações:

i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.ii) A razão entre a idade do mais velho e do mais novo é de 5 para 3.iii) A soma das idades era 16 anos.

Qual a idade de cada filho do professor?


Do enunciado temos:i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.ii) A razão entre a idade do filho mais velho e do filho mais novo é de 5 para 3.iii) a soma das idades é 16 anos.

Assim, x = idade do filho mais velho e y = idade do filho mais novo.Logo, podemos escrever o sistema:

35

16yx

x y

=

+ =* 4

Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equa-ção temos:

35

35 3

(como 16)16

58

8 80 10yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =


16 10 16 16 10 6x y y y y" " "+ = + = = - =

Portanto, o filho mais velho do professor tem 10 anos e o mais novo tem 6 anos.

MateMática

117

aula 32

Exercícios envolvendo razão e proporçãoObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a razão e proporção.

Itens e questões 01 Determine dentre as frações a seguir a única que é uma proporção da fração

342156 .

a) 5778

b) 171156

c) 156171

d) 5726

Sugestão de solução: d.

02 A forma irredutível da fração 864576 é:

a) 72

b) 43

c) 32

d) 73


03 Identifique o par de frações que encontra-se em proporção.

a) 1016

e2060

b) 189

e8060

MateMática

118

c) 12072

e2012

d) 2018

e7054


04 Determine a forma irredutível da fração 12096 .

05 Encontre uma fração que esteja em proporção com 53 e que seja uma fração composta por múltiplos de 6.

06 Determine o valor de x de forma que as frações 2812 e 36

x estejam em proporção.

aula 33

Perímetro de polígonos diversosObjetivo geral

Calcular perímetro de polígonos diversos, desper-tando no aluno o interesse por geometria.

Conceitos Básicos

Polígonos são figuras geométricas formadas por segmentos de retas e caracterizam-se pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados.


u Determinar o perímetro de polígonos diversos, como quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio e hexágono.

MateMática

119

Seguem alguns polígonos

Quadrado Retângulo Losango

Paralelogramo Trapézio Hexágono

• Existem diversos outros polígonos que não serão citados no momento mas que são bastante utilizados na matemática, em outras áreas do conhecimento, no dia-a-dia e na natureza. Portanto, fica como atividade extra a pesquisa sobre eles.

Perímetro (2P): É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.

Veja o exemplo: A figura a seguir apresenta um retângulo (dimensões 30m e 40 m) e um quadrado (lado 20 m).

Observando os dados responda:

MateMática

120

a) O perímetro de retângulo e do quadrado.b) O perímetro total da figura.

Sugestão de soluçãoa) Retângulo: P = 40 + 40 + 30 + 30 = 140 m e Quadrado: P = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 m b) P total = P (retângulo) + P (quadrado) = 140 + 80 = 220 m.

Atividades 01 O lado de cada quadradinho da malha abaixo mede 1 cm.

De acordo com a figura analise as afirmações:I – O perímetro da figura I é 12 cm.II – O perímetro da figura II é 12 cm.III – O perímetro da figura III é 16 cm.IV – O perímetro da figura IV é 14 cm.

Quais das afirmações acima são verdadeiras? a) I, II e III.b) I, III e IVc) II, III e IVd) Todas estão corretas.


Alternativa correta = b

Justificando as demais alternativas

Estão corretas as alternativas I, III e IV. A afirmativa II está incorreta, pois o perímetro da figura II é 14 cm.

MateMática

121

02 Observe a figura a seguir:

Determine:a) O perímetro do retângulo maior considerando os pontilhados.b) O perímetro da região em destaque, formada pela união dos pontos.


a) Basta calcular o perímetro do retângulo de dimensões 9 cm e 5cm.P = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 cm

b) Perímetro da região em destaque.P = 22 cm

03 Apresentamos a seguir dois polígonos:

Figura 01 Figura 02

De acordo com as figuras é correto afirmar quea) O perímetro da figura 01 é 12,2cm e o perímetro da figura 02 é 17,3cm.b) O perímetro da figura 02 em relação à figura 01 teve um acréscimo de 60%. c) A diferença do perímetro da figura 02 para figura 01 é de 6,1cm.


Alternativa correta = c

MateMática

122


a) Perímetro da figura 01 = 12,2cm Perímetro da figura 02 = 18,3cm b) Figura 02 teve acréscimo de 50%.

Desafio

Um milionário construiu sua casa em um condomínio de luxo. Ele deseja cercar o lote em que construiu sua mansão.

Fonte: Disponível em: <http://www.escolakids.com/perimetro-de-um-poligono.htm/>. Acesso em: 12 de dez. 2012.

Observando a vista panorâmica do lote calcule:a) Quantos metros de cerca ele deverá fazer considerando as dimensões da figura?b) Quantos metros de cerca ele deverá fazer se aumentar em cada dimensão da casa 2 metros?


a) P = 13 + 10 + 97 + 50 + 100 + 30 + 10 + 10 = 320mb) P = (13 + 2) + (10 + 2) + (97 + 2) + (50 + 2) + (100 + 2) + (30 + 2) + (10 +2) + (10 +2) = 336m

MateMática

123

aula 34

Área de polígonos: quadrados e retângulosObjetivo geral

Reconhecer e calcular áreas de quadrados e retângulos.

Conceitos básicos

Retângulos são quadriláteros que possuem somente ângulos retos. Desta forma, o quadrado também é considerado um retângulo pois, também, possui todos os seus ângulos retos. A diferença entre o quadrado e retângulo, portanto, se dá por conta do quadrado possuir todos os seus lados iguais.

Para calcular a área de um retângulo basta multiplicar a sua base (b) por sua altura:

A = b . h

Para calcular a área de um quadrado também usamos base x altura, mas, como no quadrado a base e a altura tem o mesmo tamanho, podemos usar lado x lado, ou ainda, lado ao quadrado.

A = l2

Exemplo:

Vamos calcular a área da figura a seguir:


u Compreender e utilizar as fórmulas de área de figuras planas como triângulo, losango, paralelogramo, trapézio, retângulo, hexágono etc. e de área de superfície de figuras não planas como o cubo, o cilindro, e o paralelepípedo.

MateMática

124

Esta figura é formada pela junção de um quadrado e um retângulo, portanto, devemos calcular a área de ambos separadamente e, em seguida, somá-las.

Área do quadrado: A = l2

A = 52 = 25 cm2

Área do retângulo: A = b . h = 5 . 10 = 50 cm2

Então ATotal = AQuadrado +ARetângulo = 25 + 50 = 75 cm2

Atividades 01 Determine a área da região azul na figura a seguir.

O lado do quadrado vermelho mede 4cm.


A área do quadrado maior é 2 8 2 8 4 8 32A cm2$ $= = =

A área do quadrado menor (vermelho) é 4 4 16A cm2$= =

Logo, a área azul será 32 16 16 cm2- =

MateMática

125

02 Observe a figura a seguir

Sabendo que os retângulos B e C possuem as mesmas dimensões, qual a área da região A?


Aregião_A = 15 . 7 – 2 . 5 . 5 = 105 - 50 = 55 m2

03 O lado de um quadrado mede 10 cm. Se aumentarmos em 50% a medida dos seus lados, qual a medida da área do novo quadrado?


A = 15 . 15 = 225 cm2

Desafio

As flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura abaixo na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros.

Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm² de área, qual é a distância percorrida pela abelha?


A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui 4 cm² de área e lado 2 cm.Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, 48 cm.

MateMática

126

aula 35

Área de polígonos – TriângulosObjetivo geral

Compreender a ideia e calcular a área de triângulos.

Conceito básico

O foco desta aula será o cálculo da área de um triângulo. O triângulo, como todos sabem é uma forma geométrica de extrema importância em nossa sociedade por conta de suas diversas aplicabilidades do dia-a-dia. Discuta com o professor sobre as aplicabilidades do triângulo.

A ideia do cálculo da área de uma região triangular surge do retângulo, uma vez que, a diagonal de um retângulo sempre divide o mesmo em dois triângulos.

Observe:

Observe as figuras a seguir

Note que em qualquer uma das figuras a área do triângulo ABC é igual à metade da área do retângulo



MateMática

127

Assim, de modo geral, temos que:

ÁREA DO TRIÂNGULO = 2

b h$

Onde: b = medida da base do segmento AB; h = medida da altura relativa ao lado do segmento AB.

Por exemplo: Observe os triângulos a seguir:

Para determinarmos a área do triângulo ( I ) devemos fazer:

2 213 9 58,5A

b hcmI

2= = =$ $

Já a área do triângulo ( II) será calculada da seguinte maneira:

2 212 9 54A

b hcmII

2= = =$ $

Uma outra maneira de se calcular a área de um triângulo qualquer desde que sejam conhecidas as medidas de seus lados a, b e c é pela fórmula:

A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h

sendo 3pa b c= + + o semiperímetro do triângulo

a, b, c " as medidas dos lados do triângulo

MateMática

128

Esta fórmula é conhecida como fórmula de Heron.

Assim sendo, observe o triângulo abaixo:

Temos que a medida do perímetro (2P) deste triângulo será:

2P = 13 cm + 14 cm + 17 cm = 44 cm

Portanto, o semiperímetro (P) terá a medida igual a

22

244 22 22P

Pcm P cm= = = ="

Pela fórmula de Heron A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h , então

22 22 13 22 14 22 15 22 9 8 7 11088A p p a p b p c cm2= - - - = - - - =$ $ $ $ $ $ $ $ $ =^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

Atividades 01 Observe os triângulos a seguir e descubra o valor de suas respectivas áreas.


a) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 26 6

236

18Ab h

A"$ $= = = = .

Logo, a área do triângulo é 18 cm2.

b) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 212 10, 5

2126

63Ab h

A cm2"

$ $= = = =

MateMática

129

c) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 28, 8 6, 6

258, 08

29, 04Ab h

A cm2"

$ $= = = =

Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2.

02 Um pequeno pedaço de madeira tem a forma e as medidas indicadas na figura. Qual é a área desse pedaço de madeira?


Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 214 5, 5

277

38, 5Ab h

A cm2"

$ $= = = =

Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2.

03 Aplicando a fórmula de Heron descubra o valor da área do triângulo cujos lados medem: 30 cm, 20 cm e 14 cm.


Aplicando a fórmula de Heron temos:

2 230 20 14

264

32pa b c

cm2=

+ +=

+ += =

A p p a p b p c$ $ $= - - -^ ^ ^h h h

30 32 30 32 20 32 14A $ $ $= - - -^ ^ ^h h h

30 2 12 18A $ $ $= ^ ^ ^h h h

12 960A =

113, 84A cm2, de área

MateMática

130

Desafio

Um quadrilátero de papel foi recortado de acordo com a figura e as medidas nela indicadas. Sabendo que as medidas estão em centímetros, determine a área da região A1+ A2.


Aplicando a fórmula da área de triângulo,vamos calcular o valor da área da metade da figura que exata-mente igual a A1 + A2:

2 2100 60

26000

3 000Ab h

cm2$ $= = = =

214 5, 5

277

38, 5 cm2$ = =

Logo, A1 + A2 = 3 000 cm2 de área.

MateMática

131

aula 36

Área de polígonos: paralelogramoObjetivo geral

Reconhecer e calcular a área do paralelogramo.

Conceitos básicos

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos.

O paralelogramo possui as seguintes propriedades:

• Ângulos opostos iguais.

• Possui simetria rotacional.

• A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

• Os lados opostos e seus ângulos opostos são iguais.

• Os ângulos de mesmo lado são suplementares.

• As diagonais são suas próprias bissetrizes.



MateMática

132

Área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo será determinada pelo produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

Exemplo:

A = b . h

Atividades 01 Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por 15 cm e 5 cm. Se construirmos outro paralelogramo que tenha o dobro das medidas da base e altura do outro paralelogramo, qual será a diferença entre as áreas dos mesmos?


O primeiro paralelogramo

A = 15.5 = 75 cm²

O novo paralelogramo terá 30 cm de base e 10 de altura.

Então A = 30. 10 = 300cm²

A diferença será 300 – 75 = 225 cm²

02 Na figura abaixo PS mede 33 cm, PQ mede 5 cm, a área do triângulo 1 mede 25 cm² e a área do triângulo 3 mede 7,5 cm². Calcule a área do paralelogramo 4.


O triângulo 1 temos A = 25c m² e altura = 5cm

MateMática

133

Como área do triângulo é 2

base altura#

Temos: 2

525

5 50

10

b

b

b cm

$

$

=

=

=

No triângulo 3 temos A = 7,5 cm2 e altura = 5 cm

Então, 2

57, 5

5 15

3

b

b

b cm

$

$

=

=

=

Como PS = 33 cm, a base do paralelogramo 4 será:33 – 3 – 10 =2 0 cm

Área do paralelogramo A = b . a = 20 . 5 = 100 cm2

03 No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A = (-3, -2), B = (6, -2), C = (10, 3) e D = (1, 3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.


Seja AB a base do paralelogramo e h sua altura, então, AB = 6 - (-3) = 9

h = 3 - (-2) = 5 A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então,

A = 9 . 5 = 45 unidades de área.

MateMática

134

Desafio

(UERJ- 2010) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como mostra a figura.

Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir.


y será a base e x a altura do paralelogramo.Através da figura vamos montar um sistema para encontra o valor de x e y.

4 2 800

2 400

400 2

400 2 400 2

x y

x y

y x

S xy x x x xPAQC2

+ =

+ =

= -

= = - = -^ h

Logo, S máxima é o ponto máximo da parábola, que é o y do vértice

4 44

8160000

20.000a a

b acm

2

2--

=-

=-

-=D ^ h

MateMática

135

aula 37

Área de polígonos: trapézioObjetivo geral

Reconhecer e calcular a área do trapézio.

Conceitos básicos

O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados de base maior e base menor. Para calcular sua área temos que somar as duas bases, dividir por dois e multiplicar o resultado pela altura.

Exemplos:

2ABase menor Base maior Altura= + $^ h

2AB b h= + $^ h

Observe o trapézio a seguir:

Neste trapézio a altura será 30 m e as bases 50 m e 20 m. Sendo assim:

250 20 30

270 30

1050

A

A

A m2

= +

=

=

$

$

^ h



MateMática

136

Obs.: Existem tipos diferentes de trapézio, como por exemplo, o trapézio retângulo que possui um ângulo reto e o trapézio isósceles que tem dois lados iguais.

Atividades 01 No banheiro do colégio BOA NOTA será colocado um espelho com a forma e dimensões da figura abaixo. Precisa calcular a área do espelho para saber quanto ele custará. Então, qual é a área deste espelho?


Base menor = 2,8 dmBase maior = 1,4 + 1,4 + 2,8 = 5,6 dmAltura = 2,8 dm

22, 8 5, 6 2, 8

28, 4 2, 8

11, 76

A

A

A dm2

$

$

=+

=

=

^ h

02 A piscina de um clube em caldas novas tem um formato de um trapézio. A professora Ana levou seus alunos para um passeio neste clube e chegando lá pediu a eles que calculassem a área desta piscina. A administração do clube informou a eles as medidas necessárias. Observe o desenho a seguir e calcule sua área.

MateMática

137


216 6 8

88A m2$=+

=^ h

03 Com o excesso de chuvas na estrada entre Goiânia e Nerópolis surgiu um buraco que precisa ser pavimentado. A área deste buraco é igual a 384 cm2. Para chegar a este cálculo foi necessário saber as dimensões do buraco. Observe o desenho abaixo e calcule a base maior, a base menor e a altura.


22 2

23 2

3Ax x x

Ax x

x2

"$ $=

+= =

^ h

Então:

3 384

128

8 2

x

x

x cm

2

2

=

=

=

8 2

2 8 2 16 2

16 2

Base menor cm

Base maior cm cm

Altura cm

$

=

= =

=

Desafio

A área cinza do gráfico a seguir, representa a distância percorrida por uma pessoa em uma pista de corrida. Qual foi a distância que essa pessoa percorreu, no intervalo entre 0 e 10 segundos?


Base menor = 2; Base maior = 4; Altura = 10.

24 2 10

260

30A m$=

+= =

^ h

MateMática

138

aula 38

Área de polígonos: pentágono e hexágonoObjetivo geral

Reconhecer e calcular a área do pentágono e do hexágono.

Conceitos básicos

• Hexágono regular:

Para calcular área de um hexágono regular basta dividi-lo em seis triângulos equiláteros iguais. Desta forma, calculamos a área de um triângulo e depois a multiplicamos por seis. Para isto utilizamos a seguinte fórmula:

• Hexágono irregular:Para calcular a área de um hexágono não regular, dividimos o mesmo em figuras conhecidas

como triângulos, trapézios, retângulos etc. Veja como no exemplo a seguir:

Átriângulo equilátero 43a2

= ^ h

Áhexágono regular 6 43a2

= $^ h

Áhexágono regular 23 3a2

= $^ h



MateMática

139

Dividimos a figura em duas novas figuras: um retângulo de área = 11 . 4 = 44 m2 e um trapézio

de área = 2

11 7 2+ $^ h = 18 m2

Para calcular a área do pentágono, podemos dividi-lo de forma a obter duas novas figuras, que podem ser: um triângulo e um trapézio.

Observe o exemplo a seguir:

Desta forma, basta calcularmos as duas novas áreas e adicionar os resultados.

Atividades 01 Na figura a seguir está representado um hexágono regular no plano cartesiano. Qual é o valor da sua área?


Como o hexágono é regular, o ponto B terá como coordenadas (-1, 2), logo AB = 4A. Este valor é do lado do triângulo ABO.Logo:

23 3

24 3 3

8 3 3 24 3 u.aAL

2 2$ $

$= = = =

MateMática

140

02 Em uma cidade no interior de Goiás o prefeito está construindo um bonito jardim em um formato hexagonal. Observe seu desenho abaixo:

No entanto esse jardim precisa ser gramado e o prefeito quer saber quantos metros quadrados de grama terá que comprar. Qual é a área do jardim?


Como este hexágono é irregular, vamos dividi-lo da seguinte forma:

A Área 1 é de um retângulo

1

1 24 12 288

A b h

A m2

$

$

=

= =

A Área 2 é de um trapézio

2

22

16 6 82

22 888

AB b h

A m

2

2

$

$ $

=+

=+

= =

^

^

h

h

A Área 3 é de um triângulo

32

32

12 1060

Ab h

A m2

$

$

=

= =

^

^

h

h

MateMática

141

Logo a área total será: 288 + 88 + 60 = 436 m2 Assim, o Prefeito terá que comprar 436 m2 de grama.

03 Calcule a área do pentágono a seguir, sabendo que o lado de cada quadradinho mede 1 cm.


Nesta figura temos 4 quadradinhos inteiros e 6 quadradinhos pela metade, se juntarmos os 6 quadrados “metade” teremos 3 quadrados inteiros. Assim teremos: 3 + 4 = 7 quadradinhos inteiros.Se o lado do quadrado mede 1cm, sua área será 1cm² (lado2). Então o pentágono tem:7 .1 cm² = 7 cm² de área.

Desafio

Laura tem um colar feito em couro, com peças cortadas em formato hexagonal regular, como mostra a figura abaixo. O comprimento do colar é de 70 cm. Laura quer cobri-lo com tecido. Quantos centímetros quadrados de tecido ela vai utilizar para cobrir o colar todo?


Vamos dividir o hexágono em 6 triângulos iguais e equiláteros, chamando seu lado de L. Então, teremos: 70 = 14 LL = 5 cm

A área de cada hexágono será: 2

5 3 337, 5 3A cm

2

2$= =

Como o colar tem 13 hexágonos, sua área será: 37, 5 3 13 487, 5 3A cm cm2 2$= =

Portanto, Laura vai utilizar 487, 5 3 cm2 de tecido.

MateMática

142

aula 39

Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedoObjetivo geral

Reconhecer o cubo, o cilindro e o paralelepípedo entre as figuras geométricas não planas e calcular suas respectivas áreas, podendo essas encontrarem-se em situações contextualizadas.

Conceitos básicos

O cubo, o paralelepípedo e o cilindro, são figuras não planas ou espaciais chamadas de poliedros e corpos redondos (cilindros). Estes possuem três dimensões: altura, largura e comprimento.

O Cubo

Para calcular a área da superfície do cubo vamos planifica-lo:

À esquerda temos a imagem do cubo. Ele é formado por seis quadrados iguais. À direita temos sua planificação, isto é, se abrimos o cubo, ele terá esta forma.

Para calcularmos sua área, basta calcular a área de um dos quadrados que compõem sua planificação e depois multiplicá-la por seis.

A área do quadrado é Lado², mas o lado deste quadrado, no cubo, é chamado de aresta. Desta forma, a área da superfície de um cubo é:

Acubo = 6 . Áquadrado = 6.a²

Por exemplo, se um cubo tem aresta a = 3cm, logo A = 6. 3² = 54 cm²



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143

O Paralelepípedo

Para calcular a área da superfície do paralelepípedo vamos planifica-lo:

À esquerda temos a imagem um paralelepípedo, que é formado por 6 retângulos. Porém, nem todos os retângulos são iguais. Isto faz com que encontremos formas diferentes de paralelepípedos. À direita temos sua planificação.

A área do retângulo é A = b . h. Para calcular a área da superfície de um paralelepípedo, temos que calcular as áreas de todos os seis retângulos que o compõem e depois adicionar os resultados.

Exemplo:

Esse paralelepípedo tem dois retângulos de área = 7.3 = 21 cm²

Dois retângulos de A = 5.3 = 15 cm²

E dois retângulos de A = 7.5 = 35 cm²

Sendo assim, a área do paralelepípedo será 2 . (21 + 15 + 35) = 142 cm²

O cilindro

O cilindro tem na sua superfície, dois círculos iguais e um retângulo. Observe sua planificação.

Para calcular a área da superfície do cilindro temos que calcular a área dos dois círculos e da superfície lateral (que é um retângulo), como mostra a figura anterior.

MateMática

144

Assim teremos:Acilindro = 2 . Ácírculo + Álateral 2 2 2r r h r h r2= + =$ $ $ $ $ $ $r r r +^ h

Por exemplo, se neste cilindro a altura for 10 m e o raio da base é 5 m, então: h = 10 e r = 5.2 5 10 510 15150

A

A

A m2

= +==

$ $

$

r

r

r

^ h

Atividades 01 A área total da superfície de um cubo é igual a 54 cm². Calcule a medida da aresta deste cubo.


A = 6.a²54 = 6.a²a² = 9a = 3 cm

02 Maria tem uma caixinha de sapatos e quer decorá-la cobrindo-a com papel de presente. Esta é a caixinha de Maria:

Quantos cm² ela vai gastar de papel para cobrir a caixinha?


Área dos retângulos = 27 . 18 = 486 cm²27 . 9 = 243 cm²9 . 18 = 162 cm²A = 2 . (486 + 243 + 162) = 2 . 891 = 1 782 cm²Maria vai gastar 1 782 cm² de papel.

03 Uma indústria fabrica latas para embalagem em formato cilíndrico cujo raio da base mede 20 cm de compri-mento e sua altura mede 80 cm. Para fabricação dessas latas, a indústria utiliza chapas metálicas. Quantos centíme-tros quadrados de chapa são necessários para fabricar uma lata? (use r = 3,14).


r = 20 cmh = 80 cmA = 2 . π . r(h + r)

MateMática

145

A = 2 . 3,14 . 20 ( 80 + 20)A = 125,6 . 100A = 12 560 cm²Serão necessários 12 560 cm² de chapa metálica.

Desafio

Em uma caixa de vidro com tampa, foi colocado um cilindro de cartolina como mostra a figura:

A caixa tem forma de um cubo de aresta 14 cm. Encontre cada uma das suas áreas e descubra qual das duas figuras tem a maior superfície.


A área do cubo será:A = 6 . a² = 6 . 14² = 1 176 cm²

Como a aresta do cubo mede 14 cm o raio do cilindro será a metade, isto é, 7 cm, e a altura será 14 cm.

2

2 7 14 7

14 21 294

A r h r

A

A cm2

$ $

$ $

$

= +

= +

= =

r

r

r r

^

^

h

h

A área da superfície do cilindro é igual a 294 . 3,14 cm², que é, aproximadamente, 923,16 cm²

Logo, o cubo terá a maior superfície

MateMática

146

aula 40

Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externasObjetivo geral

Compreender e calcular a medida da área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas.

Itens e questões 01 Observe o cubo a seguir.

A área dessa figura planificada é(A) 8 cm2. (B) 24 cm2.(C) 64 cm2.(D) 512 cm2.


Sabemos que o cubo tem 6 faces iguais, para obter a medida da área total dessa figura planificada devemos calcular o valor da área de uma face e em seguida multiplicar esse resultado por seis. Assim temos:Área de uma face = 8 x 8 = 64 cm2. Área total da figura planificada 64 x 6 = 512 cm2.

Portanto, a área da figura planifica será 512 cm2.



MateMática

147

02 A superfície total de um cilindro planificado como mostra a figura abaixo, é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases.

A área total da superfície desse cilindro é (A) 28 cm2

r (B) 24 cm2

r (C) 20 cm2

r (D) 8 cm2

r


Primeiramente, vamos calcular a área de um dos círculos e multiplicar o resultado por 2:

2 4A r cm2 2 2$ $= = =r r r

Assim, a área dos dois círculos é igual a 2 4 8 cm2$ =r r .

Em seguida, vamos calcular a área da superfície lateral (retângulo):2 4 5 20A r h cm2

$ $ $= = =r r r

Logo, a área total da superfície desse cilindro será a soma da área dos dois círculos e do retângulo é: 8 20 28cm cm cm2 2 2+ +r r r

Portanto, a área total da superfície desse cilindro é 28 cm2r

03 Dado um paralelepípedo de dimensões como mostra a figura a seguir

MateMática

148

A medida da área total da superfície desse paralelepípedo é(A) 8 cm2. (B) 24 cm2. (C) 48 cm2. (D) 56 cm2.


Primeiramente, vamos calcular a medida da área de um dos quadrados e multiplicar o resultado por 2. Como no quadrado temos l = 2 cm, basta fazer o seguinte calculo.A = l x l = 2 x 2 = 4 cm2

Assim, a medida da área dos dois quadrados é A = 2 x 4 = 8 cm2. Em seguida, vamos calcular a medida da área de um dos retângulos e multiplicar o resultado por 4. Como no retângulo temos b = 2 cm e h = 6 cm, basta fazer o seguinte calculo.A = b x h = 2 x 6 = 12 cm2

Assim, a medida da área dos quatro retângulos é A = 2 x 12 = 48 cm2.Logo, a área total da superfície desse paralelepípedo será a soma da área dos dois quadrados e dos quatro retângulos é: 8 cm2 + 48 cm2 = 56 cm2

Portanto, a medida da área total da superfície desse paralelepípedo é 56 cm2.

04 Em cada sólido representado a seguir, calcule a medida de sua área total a)

Cilindro circular reto com 6 cm de raio da base e 12 cm de altura

b)

Medidas das arestas:2 cm, 4 cm e 6 cm

MateMática

149

c)

Medida da aresta:12 cm

Sugestão de ssolução:

a) 216 cm2r

b) 88 cm2r

c) 864 cm2

05 A aresta de um cubo cuja a medida da área de sua superfície corresponde à 294 cm2 é igual a:a) 6 cmb) 7 cmc) 8 cmd) 9 cm


b.

06 Determine a área lateral total de um paralelepípedo cujas dimensões são: 8 cm x 10 cm x 12 cm.


592 cm2

MateMática

150

aula 41

Leitura de gráficos e tabelasObjetivo geral

Apresentar conceitos básicos de estatística. Orga-nizar os dados coletados em uma pesquisa, através de tabela, para facilitar a análise.

Conceitos básicos

Estatística: É uma ciência que atua na coleta de dados (planejamento e obtenção dos dados), na sua organização, descrição (resumo e apresentação dos dados) e análise dos dados (extrair conclusões para tomada de decisões).

População: Conjunto de todas as pessoas (objetos) que têm em comum a característica que está sendo analisada. Exemplo: Alunos da turma A

Amostra: É uma parte (parcela ou subconjunto) da população. Exemplo: alunos do sexo masculino da turma A

Variável: É o item a ser avaliado na pesquisa.A variável pode ser definida como qualitativa ou quantitativa. Variável quantitativa: quando seus resultados forem numéricos, tais como:peso, altura, idade, salário, etc.Variável qualitativa: quando forem resultados de classificações em categorias que não são

números, tais como, cor, sexo, estado civil, religião, times de futebol, etc.

Tabela

É a forma de apresentar de forma resumida, através de colunas e linhas, um conjunto de dados. A tabela deve ser construída de forma simples e conter informações claras e suficientes para o

entendimento do leitor. As informações são disponibilizadas no título (o quê,onde e quando se deu a pesquisa), na fonte (indica onde foram coletados os dados) e nas colunas (variáveis e frequências).

Construção de tabela: A primeira coluna da tabela apresenta a variável e a segunda coluna consiste nas frequências absolutas, ou seja, o número absoluto de ocorrências encontradas. Outras colunas serão inseridas posteriormente, com a inclusão de novos conteúdos.

Elementos essenciais em uma tabela:

1. Título (aparece no topo da tabela) – É o local na tabela onde aparece o assunto (variável) que está sendo apresentado, quando e onde ocorreu a pesquisa.

2. Corpo – São as colunas e as linhas da tabela onde aparecem informações sobre o assunto (variável) em estudo.


u Construir tabelas e gráficos de frequências de dados estatísticos;

u Elaborar, oralmente ou por escrito, conclusões com base em leitura, interpretação e análise de informações apresentadas em tabelas e gráficos.

u Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos diversos.

MateMática

151

3. Fonte – Aparece no rodapé da tabela, é o local onde aparece o órgão ou instituição responsável pela informação.

Exemplo: Colégio Estadual “Coronel Adamastor”, pesquisa realizada para obter a estatura aproximada, em cm, dos alunos do turno noturno do ensino médio, no ano de 2011.

153 153 153 153 155 155 156 156 156 156

159 159 159 161 161 161 161 161 161 161

163 163 163 163 163 163 163 163 163 163

164 164 164 164 165 165 165 166 166 166

172 172 172 172 175 175 175 175 175 175

175 175 175 177 177 178 178 178 179 180

Para cada estatura contamos o número de ocorrências. Esse número obtido é chamado de frequência absoluta (fa) que será representado na tabela abaixo:

153 (4) 155 (2) 156 (4) 159 (3) 161 (7) 163 (10) 164 (4) 165 (3) 166 (3) 172 (4) 175 (9) 177 (2) 178 (3) 179 (1) 180 (1)Vamos à representação dos dados na tabela.

Tabela 1

estatura dos alunos do ensino Médio/Noturno do Colégio estadual Coronel adamastor – 2011

estatura (cm) frequência absoluta (fa)

153 4

155 2

156 4

159 3

161 7

163 10

164 4

165 3

166 3

172 4

175 9

177 2

178 3

179 1

180 1

Total 60

Fonte: Secretaria do Colégio Estadual Coronel Adamastor

Título

Cabeçalho e colunas indicadoras

Corpo da tabela

fonte

MateMática

152

Atividades 01 As salas de cinema de um shopping realizou em fevereiro de 2012, uma pesquisa com 30 pessoas, para saber as preferências de seus frequentadores e obteve os seguintes resultados:

Modalidade de filme

Pipoca durante o filme

Pipoca e refrigerante durante o filme

Preferem filme dublado

Preferem filme legendado

Romance Sim Não Não Sim

Ação Não Sim Sim Não

Comédia Sim Não Não Sim

Suspense Não Sim Sim Não

Ficção científica Sim Não Sim Não

Drama Não Sim Não Sim

Terror Não Sim Sim Não


Suspense Sim Não Sim Não

Ação Sim Não Não Sim



Ação Não Sim Não Sim



Romance Não Sim Sim Não

Comédia Não Sim Não Sim



Romance Não Sim Não Sim

Drama Sim Não Não Sim

Ação Sim Não Sim Não

Comédia Sim Não Sim Não

Terror Sim Não Não Sim





Suspense Sim Não Não Sim

Terror Não Sim Não Sim

A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa a preferência das pessoas pesquisadas que assistem alguma modalidade de filme, esse deve ser legendado e a pessoa pode estar comendo pipoca.B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa o gosto das pessoas por modalidade de filme e assistem filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

MateMática

153


A. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.

Tabela II – Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendados que as pessoas prefe-rem, com a possibilidade de comer pipocas durante a seção – fevereiro de 2012.

Modalidade do filme (legendado) fa

Romance 3

Comédia 2

Ação 2

Drama 1

Terror 1

Suspense 1

Total 10

Fonte: Gerência de markting das salas do cinema

B. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

Tabela III – Anápolis, salas de cinema de um shopping, tipos de filme que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas e tomar refrigerante durante a seção – fevereiro de 2012.

Modalidade do filme fa

Ação 2

Suspense 4

Drama 1

Romance 3

Comédia 2

Terror 2

Total 14


02 Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo quiseram saber as notas de todos os colegas da sala, o professor sem falar o nome dos alunos foi ditando as notas conforme apresentadas abaixo:

10 20 30 10 50 60 70 30 80 90 10 30

80 60 70 20 10 80 90 100 20 30 10 50

80 90 100 00 80 90 50 50 30 10 100 50

30 60 70 20 20 30 10 50 90 30 10 20

Organize as notas em ordem crescente ou decrescente (rol):

MateMática

154


Para a solução desse exercício os alunos fazem a opção de colocar as notas em ordem crescente ou decrescente.

00 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 20

20 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 50

50 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 80

80 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100

03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda:

• O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos;

• O número de alunos que foram oprovadas no teste sabendo que a nota mínima é 60 pontos.


Tabela iii – Colégio Estadual Anísio Teixeira, notas dos alunos de matemática da 3ª série do ensino médio, dezembro de 2011.

Notas fa

00 1

10 8

20 6

30 8

50 6

60 3

70 3

80 5

90 5

100 3

Total 48

• 23 alunos obtiveram notas inferiores a 50 pontos.• 19 alunos foram aprovados no teste.

Desafio

No inicio do ano de 2012, a bibliotecária da Escola Municipal “José Antônio da Fonseca” precisava identificar os 200 (duzentos) livros de matemática, os 150 (cento e cinquenta) livros de física, os 280 (duzentos e oitenta) livros de língua portuguesa, que estavam nas estantes da biblioteca. Deve organizar os livros de forma a ficarem juntos em cada estante, os livros separados por disciplina e por editora. A bibliotecária precisa saber também o número de livros de cada editora. A professora de Matemática ficou encarregada de organizar os livros, para isso ela contou com a participação de seus alunos que foram dividos em três grupos. Os dados foram organizados em uma tabela de distribuição de frequência.

MateMática

155


Tabela IV – Escola Municipal de Aparecida de Goiânia, número de livros da disciplina de matemática por editora – 2012.

Editora fa

Ática 80

Saraiva 62

Moderna 58

Total 200

Fonte: Alunos da 3ª série do ensino médio da Escola Municipal de Aparecida de Goiânia.

Professor:

1. Além do desafio de construir a tabela, realizar a contagem dos livros por editara o professor pode utilizar a ida dos alunos à biblioteca e instigá-los à pesquisa, ao estudo;

2. Uma ótima maneira de dispertar interesse no aluno ao trabalhar estatística é utilizar o laboratório de informática, utilizando o Excel ou programa semelhante na construção das tabelas e gráficos.

aula 42

Construir tabelas de dados estatísticosObjetivo geral

Apresentar alguns conceitos básicos de estatística. Organizar os dados coletados em uma pesquisa, através de tabela, para facilitar a análise.

Conceitos básicos

População: Conjunto de pessoas (objetos) que têm em comum a característica que está sendo analisada. Por exemplo: um grupo de estudantes de determinada escola; pessoas residentes em um mesmo bairro etc.

Amostra: É uma parte (parcela ou subconjunto) da população.

Variável: É o item a ser avaliado na pesquisa.A variável pode ser definida como qualitativa ou quantitativa. As variáveis que exprimem

contagem, números, quantidade, são as variáveis quantitativas, enquanto as que exprimem qualidade são chamadas variáveis qualitativas.


u Construir tabelas e gráficos de frequências de dados estatísticos.

MateMática

156

Como exemplos de variáveis quantitativas temos idade, altura, salários, dentre outros e de variáveis qualitativas, cor dos olhos, tipos de transporte, times de futebol dentre outros.

Tabela: é a forma de apresentar de forma sintetizada, por meio de colunas e linhas, um conjunto de dados.

A tabela deve ser construída de forma simples e conter informações suficientes para o entendimento do leitor. As informações são disponibilizadas no título (local da pesquisa, conteúdo e data da pesquisa), na fonte (indica onde foram coletados os dados) e nas colunas (variáveis e frequências).

Elementos essenciais em uma tabela

1. Título (aparece no topo da tabela) – É o local na tabela onde aparece o assunto (variável) que está sendo apresentado, quando e onde ocorreu a pesquisa.

2. Corpo – São as colunas e as linhas da tabela onde aparecem informações sobre o assunto (variável) em estudo.

3. Fonte – Aparece no rodapé da tabela, é o local onde aparece o órgão ou instituição responsável pela informação.

Portanto, é imprescindível que ao se trabalhar com tabelas se evidencie o máximo de informações possíveis acerca da mesma afim de evidenciar o maior número de dados para o leitor.

Observe o exemplo:A tabela seguir expressa os dados obtidos em uma pesquisa realizada para obter a altura

aproximada, em cm, dos alunos do ensino médio ( turno noturno) do Colégio Estadual “Paulo Freire”, no ano de 2011.

153 153 153 153 155 155 156 156 156 156

159 159 159 161 161 161 161 161 161 161

163 163 163 163 163 163 163 163 163 163

164 164 164 164 165 165 165 166 166 166

172 172 172 172 175 175 175 175 175 175

175 175 175 177 177 178 178 178 179 180

Observe que a partir dos dados apresentados na tabela o passo seguinte será a organização dos mesmos para otimizarmos o processo estatístico. Sendo assim, para cada medida de altura informada contamos o número de ocorrências. Esse número obtido é chamado de frequência absoluta (fa) que será representado na tabela, conforme abaixo:

153 (4) 155 (2) 156 (4) 159 (3) 161 (7) 163 (10) 164 (4) 165 (3) 166 (3)

172 (4) 175 (9) 177 (2) 178 (3) 179 (1) 180 (1)

Vamos à representação dos dados na tabela.

MateMática

157

Tabela ii – Colégio estadual “Paulo freire” - altura dos alunos do ensino médio noturno - 2011

altura (cm) fa

153 4

155 2

156 4

159 3

161 7

163 10

164 4

165 3

166 3

172 4

175 9

177 2

178 3

179 1

180 1

Total 60

Fonte: Secretaria do Colégio.

Atividades 01 O cinema de um shopping realizou em fevereiro de 2012, uma pesquisa com 30 pessoas, para saber as prefe-rências de seus frequentadores conforme discriminado na tabela abaixo:

Modalidade de filme






Ação Não Sim Sim Não




Drama Não Sim Não Sim

Terror Não Sim Sim Não


Suspense Sim Não Sim Não


(continua)

MateMática

158

Modalidade de filme







Ação Não Sim Não Sim



Romance Não Sim Sim Não





Drama Sim Não Não Sim


Comédia Sim Não Sim Não

Terror Sim Não Não Sim





Suspense Sim Não Não Sim

Terror Não Sim Não Sim

1. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente o número de pessoas que estejam comen-do pipoca e assistam a alguma modalidade de filme que seja legendado.

2. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente o gosto das pessoas por modalidade de filme e levem em consideração as pessoas que estejam comendo pipoca e tomando refrigerante:


Item 1 - Para resolver a questão o aluno deverá fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levando em consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.


Romance 3

Comédia 2

Ação 2

Drama 1

Terror 1

Suspense 1

Total 10


MateMática

159

Item 2 - Para resolver a questão o aluno deverá fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis levando em considerações a modalidade do filme e comer pipoca e tomar refrigerante.

Modalidade do filme fa

Ação 2

Suspense 4

Drama 1

Romance 3

Comédia 2

Terror 2

Total 14

Fonte: Gerência de markting das salas do cinema.

02 Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo quiseram sabem as notas de todos os colegas da sala. O professor sem falar o nome dos alunos ditou as notas conforme apresentadas a seguir:

10 20 30 10 50 60 70 30 80 90 10 30

80 60 70 20 10 80 90 100 20 30 10 50

80 90 100 00 80 90 50 50 30 10 100 50

30 60 70 20 20 30 10 50 90 30 10 20

Organize as notas em ordem crescente ou decrescente (rol):


00 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 20

20 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 50

50 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 80

80 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100

03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida res-ponda:

• Qual a quantidade de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos?• Qual a quantidade de alunos que obtiveram a nota mínima de 60 pontos?


Notas fa

00 1

10 8

20 6

30 8(continua)

MateMática

160

Notas fa

50 6

60 3

70 3

80 5

90 5

100 3

Total 48

• 23 alunos obtiveram notas inferiores a 50 pontos.

• 19 alunos foram aprovados no teste.

Desafio

A partir dos dados apresentados na tabela a seguir, construa o rol determinando a quantidade de coleções

por disciplina, editora e coleção.

Disciplina editora Coleção

Língua portuguesa Editora A Ensino Fundamental I

Geografia Editora B Ensino Fundamental II

Geografia Editora B Ensino Fundamental I

Língua portuguesa Editora C Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora C Ensino Fundamental I

Matemática Editora B Ensino Fundamental II

Matemática Editora C Ensino Fundamental I

Matemática Editora A Ensino Fundamental I

Língua portuguesa Editora A Ensino Médio

Geografia Editora C Ensino Fundamental I

Matemática Editora C Ensino Fundamental II

Matemática Editora B Ensino Médio

Matemática Editora B Ensino Médio

Geografia Editora A Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora A Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora C Ensino Médio

Geografia Editora C Ensino Médio

Matemática Editora B Ensino Médio(continua)

MateMática

161

Disciplina editora Coleção

Geografia Editora C Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora B Ensino Fundamental I

Matemática Editora B Ensino Fundamental I

Matemática Editora A Ensino Médio

Língua portuguesa Editora B Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora C Ensino Médio

Matemática Editora A Ensino Fundamental II

Língua portuguesa Editora A Ensino Médio

Geografia Editora A Ensino Fundamental I

aula 43

Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – colunaObjetivo geral

Apresentar dados de uma pesquisa de forma simples, através do gráfico em colunas, despertando no aluno o interesse pela leitura e interpretação de dados.

Conceito básico

Gráfico – Representação dos dados da tabela de forma simples e clara.

Os gráficos de colunas, barras, linhas, dentre outros são construídos utilizando o sistema de coordenadas cartesianas (são os gráficos que estão representados em forma de retângulo), enquanto outros utilizam o sistema de coordenadas polares (círculo trigonométrico). Um exemplo de gráfico no círculo trigonométrico é o gráfico de setores.

No gráfico é necessário colocar o título, a fonte e demais informações que sejam necessárias ao entendimento dos dados.





MateMática

162

Gráfico em colunas

Gráficos de colunas são úteis para mostrar as alterações de dados em um período de tempo ou para ilustrar comparações entre itens.

Observação:

1. Largura: definida no eixo horizontal (eixo x). As bases das colunas, bem como os espaços que devem ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.

2. Altura: definida no eixo vertical (eixo y), a altura deve corresponder à frequência absoluta (fa).

Exemplo:Vamos considerar a tabela construída nas atividades da aula anterior

Tabela I – Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendado que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas durante a seção – fevereiro de 2012.


Romance 3

Comédia 2

Ação 2

Drama 1

Terror 1

Suspense 1

Total 10


Gráfico em colunas


MateMática

163

Atividades 01 Às pessoas presentes a um evento automobilismo foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Na tabela a seguir está representada a preferência dos entrevistados.

Tabela ii – Preferência por marcas de carro das pessoas presentes em even-to automobilístico.

Marcas fa

Ford 8

Fiat 6

GM 12

Nissan 2

Peugeot 3

Volks 10

Total 48

Fonte: Organizadores do evento.

Os organizadores do evento, com o objetivo de divulgar o resultado nas mídias, solicitou que esses dados fossem representados em gráfico de colunas. Então, essa é a sua tarefa, represente os dados da tabela em um gráfico de colunas.


Fonte: Organizadores do evento.

MateMática

164

02 O gráfico a seguir apresenta a distância percorrida diariamente até uma das Unidades da UEG, dos inscritos e aprovados nos vestibulares, nos anos de 2010, 2011 e 2012.

Fonte: Núcleo de Seleção da UEG.

Observando o gráfico e as alternativas abaixo, podemos afirmar que:

a) O número de inscritos e aprovados, que residem em até 20 (vinte) km da UEG, representa a menor frequên-cia nos anos pesquisados.

b) Menos de 10% (dez por centro) dos inscritos e aprovados nos três vestibulares, residem há mais de 100 (cem) km da escola.

c) O número de inscritos no ano de 2011/1, que residem entre 21 a 50 km é aproximadamente 30% (trinta por cento).

d) No ano de 2012 o maior índice encontrado foi relativo aos inscritos que residem até 20 (vinte) km da UEG.


Alternativa correta = “b”

Justificando as demais alternativas:

a) Os residentes em até 20 (vinte) km da UEG representa em todos os itens um maior índice;

c) A resposta correta seria aproximadamente 20% (vinte por cento);

d) A resposta correta nessa alternativa séria em relação aos aprovados.

MateMática

165

Desafio

Os professores de Educação Física, Biologia, Química e Matemática organizaram um momento de estudo/

integração entre os alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégio. Um dos aspectos observados

foi o lanche oferecido pela escola.

Tabela iii – Preferência pelos lanches oferecidos aos alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégio

Cardápio fa

Galinhada 68

Bolacha com suco 22

Farrofa 35

Arroz doce 12

Feijão tropeiro 58

Pão com carne moída 45

Cachorro quente 50

Total 290

Após pesquisa de opinião, os professores observaram que a preferência dos alunos foi pela galinhada. Aos

professores de Educação Fisica, Biologia e Quimica cabe a tarefa de juntamente com os alunos, realizarem

um estudo sobre os benefícios de cada alimento e os cuidados que devem ser adotados para uma ali-

mentação balanceada. Ao professor de matématica em parceria com os alunos fica a responsabilidade de

representar o gráfico em colunas que retrate a tabela acima. Ajude o professor de matemática construindo

o gráfico.

sugestão de solução

MateMática

166

aula 44

Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barraObjetivo geral

Construir e interpretar tabelas e gráficos em barras.

Conceito básico

Gráfico é uma representação utilizada para ajudar a leitura e compreensão de dados numéricos. Por ter uma visualização fácil ele auxilia a compreensão das informações que desejamos comunicar. Existem vários tipos de gráficos, neste momento estudaremos o gráfico em barras.

Gráfico em barras

O gráfico em barras é muito usado para comparar quantidades. As barras podem aparecer na vertical ou na horizontal, onde também são chamadas de colunas.

Dicas para interpretar o gráfico em barras:• O eixo vertical apresenta quais valores ou grandezas (porcentagem, valores numéricos,

temperaturas, peso etc.) serão expressas.• O eixo horizontal apresenta qual categoria (tempo, países, produção, sexo, períodos etc.)

deverá ser apresentada.

Exemplo

A tabela e o gráfico a seguir foram construídos a partir de uma pesquisa na escola BOA NOTA, sobre as frutas preferidas dos estudantes.

Frutas Preferidas Quantidade de Alunos

Banana 15Pera 10Uvas 25Maçãs 20





MateMática

167

Atividades

01 O Brasil é formado por 5 (cinco) regiões, 26 (vinte e seis) Estados, o Distrito Federal e por 5564 (cinco mil, qui-nhentos e sessenta e quatro) municípios.

Na tabela abaixo apresentamos os 10 (dez) Estados com maior número de municípios.

Tabela 02 - Estados brasileiros com maior número de municípios - 2012

estados Municípios

Bahia 417

Goiás 246

Maranhão 217

Minas Gerais 853

Paraíba 223

Paraná 399

Piauí 224

Rio Grande do Sul 496

Santa Catarina 293

São Paulo 645

Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.Dados atualizados até 29.11.2012

Com os dados apresentados na tabela acima, construa o gráfico em barras:

MateMática

168


ou

02 Considerando os mesmos Estados do exercício 01, com a variável em análise sendo a população em cada Estado, observe o gráfico em barras a seguir:

MateMática

169

Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.

Analise o gráfico e responda:

a) Os Estados brasileiros citados no gráfico, representam mais de 60% (sessenta por cento) da população brasi-leira? Por que?

b) Coloque os Estados representados no gráfico em ordem crescente de acordo com a população em cada Estado.

c) O Estado de São Paulo representa mais que1/4 da população brasileira?

d) Sendo a população brasileira composta de 190.732.694 habitantes, então Goiás possui mais de 7.000.000 de habitantes?


a) Sim, pois: 21,6 + 3,3 + 5,6 + 1,6 + 5,5 + 2,0 + 10,3 + 3,4 + 3,1 + 7,3 = 63,7Justificando as demais alternativas:

b) A sequência correta dos Estados em ordem crescente segundo a população é Piauí, Paraíba, Goiás, Santa Catarina, Maranhão, Paraná, Rio Grande do Sul, Bahia, Minas Gerais e São Paulo.

c) São Paulo representa menos que 1/4 ou 25% da população brasileira;

d) Goiás possui aproximadamente 6.000.000 de habitantes = 190.732.694 x 3,1%.

03 Densidade demográfica ou densidade populacional é o quociente entre a população total de uma região e a sua superfície. Geralmente é expressa em quilômetros quadrados. O Brasil tem uma densidade populacional de 22,4 hab./km2.

MateMática

170

Observe o gráfico:

Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 08 de dez. 2012.

Com os dados apresentados acima, podemos afirmar que:

a) A densidade populacional na Bahia indica que o Estado possui o maior número de habitantes por quilometro quadrado;

b) São Paulo é o Estado que possui o menor número de habitantes por quilometro quadrado;

c) Piauí é dos Estados apresentados no gráfico, o 9° em maior número de habitantes por quilometro quadrado;

d) Goiás possui maior número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande do Sul.


Alternativa correta = item “c”Justificando as demais alternativas:

a) Bahia possui menor número de habitantes por quilometro quadrado;

b) São Paulo possui maior número de habitantes por quilometro quadrado;

d) Goiás possui menor número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande do Sul.

MateMática

171

Desafio

Observe os gráficos III (atividade 02) e IV (atividade 03)

Analise criticamente os dois itens a seguir:a) São Paulo representa um Estado brasileiro com maior número de habitantes e com maior densidade demográfica.b) Goiás possui uma população que representa 3,1% (três vírgula um por cento) da população brasileira e uma densidade demográfica menor que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.


a) alternativa correta. São Paulo representa o Estado brasileiro com maior número de habitantes (21,6%, da população brasileira) e possui uma densidade demográfica de 166,24 habitantes por quilometro quadrado, que é a maior dos Estados brasileiros.

b) Alternativa correta no item população, onde Goiás representa 3,1% (três vírgula um por cen-to) da população brasileira. E errada no item densidade demográfica, pois Goiás possui densi-dade demográfica de 17,65, maior que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.

MateMática

172

aula 45

Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setoresObjetivo geral

Construir e interpretar tabelas e gráficos de setores.

Conceito básico

Gráfico em setores – também chamado de gráfico circular ou gráfico de pizza, é construído no círculo trigonométrico, sendo o círculo dividido em setores circulares. Por exemplo:

Para representar os dados em um gráfico de setores (manualmente) é preciso que os valores estejam em graus. Para isso, devemos definir na tabela duas novas colunas: a coluna da porcentagem e a coluna dos graus.

ExemploCom os dados apresentados na tabela a seguir, construa o gráfico de setores.

Tabela 01 - Idade dos alunos do 3° ano do ensino médio de uma Escola.

Idade fa % Grau15 17 38 13616 14 31 11217 14 31 112

Total 45 100 360





MateMática

173


Etapas: Para calcular os graus de cada setor, devemos primeiro calcular a porcentagem de cada ocorrência (calculada dividindo cada fa pelo total de ocorrências). Em seguida devemos calcular a nova coluna (graus), calculada por regra de três, conforme abaixo:

360º – 100% x = 136º

38º – x

Desenhe um círculo de tamanho adequado e represente o gráfico.(interessante o aluno ter compasso e transferidor)

Atividades 01 Represente os dados abaixo em gráfico de setores:

Tabela 04 - Estados brasileiros, habitantes por km2 (dados arredondados) – 2012.

estados fa

Bahia 3

Goiás 18

Maranhão 20

Minas Gerais 33

Paraíba 67

Paraná 52

Piauí 12

Rio Grande do Sul 40

Santa Catarina 65

São Paulo 166Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.Dados atualizados até 29.11.2012

MateMática

174


02 O gráfico abaixo representa as seis principais agências bancárias em Joinville – Santa Catarina.

Disponível em: <http://br.bing.com/images/search?q=ibge+cidades&view=detail&id=4C442B614B99F5DC1B71488B38DB8CB56736954C>. Acesso em: 08 de dez. 2012.

Observe os dados apresentados no gráfico de setores acima e responda:a) As agências do Banco Real, somadas as agências do Banco Itaú, representam 15% das agências da cidade;b) As agências dos bancos do Brasil, Bradesco e Itaú representam percentualmente igual ao percentual das outras agências;c) Considerando que em Joinville possui 82 agências bancárias, podemos dizer que o Banco do Brasil possui 11 (onze) agências bancárias;


Alternativa correta = item “b”

Justificando as demais alternativas:

a) A soma das agências do Banco Real com as agências do Banco Itaú totalizam 12%;c) O banco do Brasil possui 9 agências na cidade de Joinville.

MateMática

175

03 No campeonato brasileiro 2012, série “A”, os times fizeram 111 (cento e onze) gols antes de completarem 15 (quinze) minutos de partida. O gráfico em setores a seguir representa os percentuais.

Disponível em: http://esporte.uol.com.br/futebol/campeonatos/brasileiro/2012/serie-a/estatisticas/A. Acesso em: 08 de dez. 2012.

Considerando o gráfico e o fato que os times nesse campeonato conseguiram fazer 111 (cento e onze) gols em menos de 15 (quinze) minutos de partida, represente os dados em uma tabela, colocando o número de gols de cada time.


Com o cálculo de regra de três o aluno consegue a tabela abaixo:

Times Número de gols

Atlético-GO 9

Coritiba 9

São Paulo 9

Palmeiras 8

Botafogo 7

Flamengo 7

Santos 6

Outros 56

Total 111

MateMática

176

Desafio

Ainda sobre o campeonato brasileiro série “A”, o gráfico e a tabela a seguir apresentam os números de Gols

feitos com o pé direito, pé esquerdo e cabeça.

Considerando os primeiros colocados em cada item: - São Paulo, com 39 (trinta e nove) gols de pé direito;

- Atlético-MG, com 18 (dezoito) gols de cabeça e Grêmio, 19(dezenove) gols com pé esquerdo, complete

a tabela abaixo.

Time Porcentagem na categoria

São Paulo

Atlético-MG

Grêmio


Basta calcular as porcentagens a que pertence cada time conforme abaixo:São Paulo – categoria gols com pé direito492 gols – 100% x = 7,9%39 gols – x

Atlético – MG – categoria gols de cabeça210 gols – 100% x = 8,6%18 gols – x

Grêmio – categoria gols com pé esquerdo229 gols – 100% x = 8,3%19 gols – x

Time Porcentagem na categoria

São Paulo 7,9%

Atlético-MG 8,6%

Grêmio 8,3%

forma fa

Cabeça 210

Pé direito 492

Pé esquerdo 229

Total 931

MateMática

177

aula 46

Conclusões com base na leitura de gráficosObjetivo geral

Ler e interpretar dados apresentados em gráficos diversos.

Conceito básico – Uma conversa.

A matemática deve proporcionar e estimular o estudante a entrar em contato com o mundo das informações, analisando e interpretando-as através dos vários tipos de gráficos.

As atividades envolvendo tabulação de dados e construções de gráficos precisam ser supervisiona-das pelo professor.

Atividades 01 A maioria dos brasileiros ainda não tem acesso à rede de esgoto. A maior parte dos domicílios brasileiros não tinha, em 2008, acesso à rede geral de esgoto e, nesse quesito, havia uma enorme discrepância entre as regiões bra-sileiras. Essas conclusões foram apontadas na última Pesquisa Nacional de Saneamento Básico, divulgada pelo IBGE.O gráfico mostra o percentual de municípios por Estado que fazem tratamento do esgoto.

Fonte: Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2010/08/20/maioria-dos-brasileiros-ainda-nao-tem-acesso-a-rede-de-esgoto-diz-ibge.htm>. Acesso em: 09 de dez. 2012.





MateMática

178

De acordo com o gráfico analise as informações:

a) Os Estados de Goiás, Acre e Amapá, juntos totalizam o mesmo número percentual no tratamento de esgoto em relação ao Estado de Ceará.

b) O Estado de Pernambuco oferece tratamento de esgoto 3(três) vezes a mais que o Estado de Sergipe.

c) De São Paulo para a direita, as cidades aparecem em ordem decrescente dos Estados que oferecem trata-mento de esgoto.

d) Da direita para esquerda os Estados apresentam uma queda na oferta do tratamento de esgoto.


Alternativa correta = item “c”


a) Goiás, Acre e Amapá = 55,1 e Ceará = 48,9

b) Pernambuco = 27,6 Sergipe = 9,3. Portanto. Três vezes = 27,9.

d) Da direita para esquerda há um crescimento na oferta de tratamento de esgoto.

02 Votos obtidos na eleição 2010 (1° turno), para Presidente da República no município de Goiânia.

Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Sobre o resultado da eleição, de acordo com os dados oferecidos no gráfico, é correto afirmar que

a) A candidata Dilma Rousseff obteve o maior número de votos.

b) Considerando que 703.159 (setecentos e três mil, cento e cinquenta e nove) eleitores votaram em um dos candidatos, Marina da Silva obteve mais de um quarto dos votos.

c) Os votos de Marina da Silva, José Serra e Dilma Rousseff totalizam mais de setecentos mil votos.

d) José Serra ficou classificado em primeiro lugar no resultado das eleições.

MateMática

179


Alternativa correta = item “d”


a) Dilma ficou em segundo lugar no resultado final.

b) .,

4703 159

175 8= Marina da Silva = 173.398.

c) Totalizam 691.598 votos.

03 Eleições 2010 (2° turno), para Presidente da República no município no Goiânia.

Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Com base nestas informações, analise criticamente as afirmativas:

a) Considerando os votos em um dos dois candidatos, pode-se dizer que José Serra obteve mais de 60% (ses-senta por cento) dos votos.

b) Dilma Rousseff obteve aproximadamente 42% (quarenta e dois por cento) dos votos.



Justificando a outra alternativa

a) José Serra obteve aproximadamente 57,57% (cinquenta e sete vírgula cinquenta e sete por cento) dos votos.

MateMática

180

Desafio

A dengue é uma doença infecciosa febril aguda causada por um vírus da família Flaviridae e é transmitida, no Brasil, através do mosquito Aedes Aegypti, também infectado pelo vírus.Atualmente, a dengue é considerada um dos principais problemas de saúde pública de todo o mundo.

Fonte: Disponível em:<Leia mais: http://www.combateadengue.com.br/o-que-e-dengue/#ixzz2EhlLmQQZ>.

De acordo com o gráfico, responda:

a) Em quais períodos acontece crescimento dos casos de dengue no Brasil?

b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800.000(oitocentos mil) casos de notificações de dengue e que, no ano de 2003 ocorreram 350.000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda nos índices de notificações?


a) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.

b) Percentual aproximado de 43,75%.

MateMática

181

aula 47

Relacionar gráficos com tabelasObjetivo geral:

Relacionar e interpretar dados apresentados em gráficos com os dados apresentados em tabelas.

Conceito básico

Gráficos

Os gráficos representam o desempenho de um conjunto de dados que se identificam e podem ser confrontados instantaneamente.

Tabela

É a organização dos dados de uma determinada informação como também a organização dos resultados de uma pesquisa. Os dados ficam dispostos em linhas e colunas, o que possibilita uma visão geral dos resultados.

Orientação para análise dos gráficos e tabelas

Leia com atenção o que é perguntado no problema e confronte os questionamentos com os dados apresentado nos gráficos e nas tabelas.

Exemplo de atividade:

O órgão de defesa do consumidor – PROCOM, realizou uma pesquisa de preço sobre um determinado produto. O resultado da pesquisa está disposto no gráfico a seguir:




MateMática

182

Das tabelas a seguir, a que melhor apresenta os dados relacionados ao gráfico é

a)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$

América 80Beto’s 90Lima 40Masad 50Pains 60

b)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


c)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


d)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


Sugestão solução:Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à tabela.

MateMática

183

Solução:

Alternativa “b”

Atividades 01 O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos em uma avaliação de matemática.

Das alternativas a seguir, qual representa a leitura dos dados do gráfico do desempenho na disciplina de ma-temática?

Pesquisa de Preço

lojas Valor em R$

América 90Beto’s 80Pains 60Masad 50Lima 40

MateMática

184

a)

Desempenho fa

Ótimo 35%

Bom 35%

Regular 25%

Ruim 15%

b)

Desempenho fa

Ótimo 25%

Bom 15%

Regular 25%

Ruim 15%

b)

Desempenho fa

Ótimo 25%

Bom 35%

Regular 55%

Ruim 15%

c)

Desempenho fa

Ótimo 25%

Bom 35%

Regular 25%

Ruim 15%

Resposta

Alternativa “d”

02 O gráfico a seguir representa a preferência por modalidades esportivas.

A forma correta de representar esses dados em tabela é:

a)

Modalidade fa (%)

Futebol 40

Vôlei 30

Basquete 5

Natação 10

Outros 15

b)

Modalidade fa (%)

Futebol 40

Vôlei 30

Basquete 15

Natação 10

Outros 5

MateMática

185

c)

Modalidade fa (%)

Futebol 40

Vôlei 20

Basquete 15

Natação 10

Outros 5

d)

Modalidade fa (%)

Futebol 40

Vôlei 30

Basquete 15

Natação 20

Outros 5

Resposta

Alternativa “b”

03 Observe o gráfico a seguir resultante de uma pesquisa sobre os meios de transporte mais utilizado pela população.

Construa uma tabela que represente este gráfico.


Meio de transporte mais utilizado

Meio de transporte Número de pessoas

Automóvel 750

Metrô 1200

Ônibus 1500

Moto 580

MateMática

186

Desafio

O gráfico a seguir representa a evolução de uma população ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos.

a) Qual o valor aproximado da população no ano de 1992?

b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população foi igual a 100 milhões?

c) A partir de que ano a população passa a ser mais de 10 milhões?

d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos?

e) Construa uma tabela que se relacione com os dados apresentados no gráfico.

Respostas

a) 99 milhões.b) 1983, 1984,1985, 1986 e 1987.c) 1994.d) De crescimento

OBS: Sugerimos ao professor que, após os alunos realizarem as atividades, realize juntamente com eles as interpretações do gráfico e tabelas, discutindo cada item.

MateMática

187

aula 48

Relacionar tabelas com gráficosObjetivo geral

Fazer a relação e a interpretação entre os dados da tabela com os dados dos gráficos.

Orientação para análise dos gráficos e tabelas

Leia com atenção o que é perguntado no problema, confronte os questionamentos com os dados verificados na tabela e nos gráficos.

Atividades 01 O Ranking Mundial de Clubes é um ranking divulgado mensalmente pela Federação Internacional de His-tória e Estatísticas do Futebol - IFFHS. Não tem qualquer vínculo com a FIFA. Esse ranking, criado em 1991, leva em consideração os resultados de todos os clubes nos últimos 365 dias.

A tabela a seguir apresenta a pontuação dos 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no ranking.

Posição Clube Pontos

8 Corinthians 240,0

15 Santos 211,0

16 Fluminense 210,0

36 São Paulo 184,0

47 Grêmio 172,0

52 Vasco da Gama 166,0

56 Internacional 162,0

95 Flamengo 125,0

99 Palmeiras 124,0

125 Curitiba 112,0Fonte: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012. Última atualização: 6 de dezembro de 2012


u Construir tabelas e gráficos de frequências de dados estatísticos.


MateMática

188

Qual é o gráfico que representa o ranking dos clubes brasileiros nessa data?

a)

b)

c)

MateMática

189

d)

Resposta Alternativa “d”

02 Ainda sobre o Ranking Mundial de Clubes, com dados retirados no mesmo emdereço eletrônico, a tabela a seguir apresenta os 10 maiores times de todos os tempos.

Posição Clube1 Barcelona2 Manchester United

3Real MadridJuventus

5 Milan6 Internazionale7 Bayern de Munique8 Arsenal9 River Plate10 Chelsea

A alternativa que representa os dados conforme colocados na tabela é:a)

MateMática

190

b)

c)

d)

Resposta

Alternativa “b”

03 Jogos olímpicos - A cada quatro anos, atletas de centenas de países se reúnem num país sede para disputa-rem um conjunto de modalidades esportivas. A própria bandeira olímpica representa essa união de povos e raças, pois

MateMática

191

é formada por cinco anéis entrelaçados, representando os cinco continentes e suas cores. A paz, a amizade e o bom relacionamento entre os povos e o espírito olímpico são os princípios dos jogos olímpicos. O Brasil é o 38º com 17 medalhas de ouro e em 2016, as Olimpíadas ocorrerão na cidade do Rio de Janeiro.

Os dez países com mais medalhas de ouro Olímpicas

País MedalhasEstados Unidos 932 União Soviética 395Reino Unido 208Alemanha 192França 191Itália 190China 163Hungria 159

Alemanha Oriental 153

Suécia 142Fonte: Disponível em: <http://rankz.wordpress.com/2008/07/24/os-dez-paises-com-mais-medalhas-olimpicas/>. Acesso em: 09 de dez. 2012.

Qual dos gráficos a seguir representa os dez países com maior número de medalhas Olímpicas?

a)

b)

MateMática

192

c)

d)

Sugestão de solução: Alternativa “d”

MateMática

193

Desafio

Paraolimpíadas - As pessoas com deficiências tradicionalmente discriminadas pela sociedade, e desmo-tivados pela sua própria condição existencial, têm nas paraolimpíadas uma oportunidade para elevar sua autoestima, direta ou indiretamente, além de provar para todos o seu valor como atleta e cidadão. Desde a XVI Olimpíada, realizada em Roma, em 1960 , imediatamente após as Olimpíadas, e nas mesmas ins-talações são realizados as Paraolimpíadas ou os Jogos Paraolímpicos. (http://www.coladaweb.com/educacao-fisica/

paraolimpiadas)

Veja aqui o quadro de medalhas das Paraolimpíadas 2012. O Brasil terminou em sétimo lugar!

País Total

China 231

Rússia 102

Grã Bretanha 120

Ucrânia 84

Austrália 85

E.U.A 98

Brasil 43

Alemanha 66

Polônia 36

Holanda 39

Fonte: Disponível em: <http://www.esportesemanal.com.br/quadro-de-medalhas-paraolimpiadas.aspx>. Acesso em: 09 de dez. 2012.

O gráfico que representa os dados da tabela é:

a)

MateMática

194

b)

c)

d)


Alternativa “d”

MateMática

195

aula 49

Conclusões com base na leitura de tabelasObjetivo geral

Ler, interpretar e realizar conclusões a partir da observação dos dados encontrados em tabelas.

Atividades 01 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais concorridos oferecidos pela Universidade Estadual de Goiás - UEG, no Processo Seletivo 2013/1.

Cursos Cidade Concorrência*

Agronomia Ipameri 12,71

Arquitetura e Urbanismo Anápolis 30,29

Educação Física Goiânia 21,88

Enfermagem Ceres 11,96

Engenharia Agrícola Anápolis 12,17

Engenharia Civil Anápolis 85,79

Farmácia Anápolis 21,67

Fisioterapia Goiânia 39,92

Química Industrial Anápolis 18,50

Zootecnia São Luís de Montes Belos 11,17* número de candidatos por vagaFonte: Disponível em: <http://www.vestibular.ueg.br/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Considerando os dados é correto afirmar:

a) O curso de Engenharia civil foi o mais procurado pelos alunos.

b) Enfermagem, oferecido na cidade de Ceres foi o segundo curso mais procurado.

c) Os cursos oferecidos na cidade de Goiânia estão colocados na segunda e na quinta posição dos mais procu-rados nesse processo seletivo.

d) Dos cursos oferecidos na cidade de Anápolis, Química Industrial foi o menos concorrido.


Alternativa “a”.





MateMática

196


b) Enfermagem foi o nono curso mais procurado.

c) Educação Física = quarta posição; Fisioterapia = segunda posição.

d) Engenharia Agrícola o menos concorrido na cidade de Anápolis.

02 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais concorridos oferecidos pela Universidade Federal de Goiás - UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de Goiânia.

Cursos Concorrência

Arquitetura e Urbanismo 24,60

Direito* 29,25

Direito** 24,33

Engenharia Civil 41,81

Engenharia Mecânica 16,53

Engenharia Química 16,75

Medicina 64,48

Psicologia 22,75

Odontologia 22,56

Relações Internacionais 13,59

* Conforme documento.Fonte: Disponível em: < http://www.vestibular.ufg.br/2013/ps2013_1/site/sistema/resul-tado/candidato_vaga_PS2013_1.pdf/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Observando a tabela responda:

a) Qual o Curso, dentre os apresentados, mais procurado e o menos procurado pelos candidatos nesse vestibu-lar da UFG?

b) Os cursos que ocupam a quarta e quinta posição dos mais procurados são:


a) Mais procurado = Medicina

Menos procurado = Relações internacionais.

b) Quarto = Arquitetura e Urbanismo

Quinto = Direito**

MateMática

197

03 Observe a tabela a seguir. Ela apresenta os 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no Ranking Mundial de Clubes.

Posição Clube Pontos

8 Corinthians 240,0

15 Santos 211,0

16 Fluminense 210,0

36 São Paulo 184,0

47 Grêmio 172,0

52 Vasco da Gama 166,0

56 Internacional 162,0

95 Flamengo 125,0

99 Palmeiras 124,0

125 Curitiba 112,0

Última atualização: 6 de dezembro de 2012Fonte: Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012.

De acordo com os dados é correto afirmar que

a) São Paulo ocupa a quinta posição no Ranking Mundial de Clubes.

b) Considerando que o Brasil só classifica para próxima fase os dois clubes mais bem pontuados, esses clubes são o do Corinthians e o do Santos.

c) Curitiba esta na décima posição com 112 (cento e doze) pontos.




a) São Paulo ocupa a trigésima sexta posição.

c) Curitiba = 125ª posição com com 112 (cento e doze) pontos.

MateMática

198

Desafio

Considere as tabelas das atividades 01 e 02.

Cursos mais concorridos oferecidos pela UEG, no Processo Seletivo 2013/1.

Cursos Cidade Concorrência

Agronomia Ipameri 12,71

Arquitetura e

UrbanismoAnápolis 30,29

Educação Física Goiânia 21,88

Enfermagem Ceres 11,96

Engenharia Agrícola Anápolis 12,17

Engenharia Civil Anápolis 85,79

Farmácia Anápolis 21,67

Fisioterapia Goiânia 39,92

Química Industrial Anápolis 18,50

ZootecniaSão Luís de Montes Belos

11,17

Cursos mais concorridos oferecidos pela UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de Goiânia.

Cursos Concorrência

Arquitetura e Urbanismo 24,60

Direito* 29,25

Direito* 24,33

Engenharia Civil 41,81

Engenharia Mecânica 16,53

Engenharia Química 16,75

Medicina 64,48

Psicologia 22,75

Odontologia 22,56

Relações Internacionais 13,59

Com base nos dados das duas tabelas, responda:

a) Qual o curso mais concorrido nas duas Universidades.

b) A concorrência do curso de Arquitetura e Urbanismo das duas Universidades.

c) Cursos, dentre os apresentados oferecidos nas duas Universidades.

d) O curso mais concorrido na UEG e o menos concorrido na UFG.


a) UEG – Engenharia Civil e UFG – Medicina

b) Arquitetura e Urbanismo na UEG – 30,29 Arquitetura e Urbanismo na UFG – 24,60

c) Arquitetura e Urbanismo e Engenharia Civil

d) Mais concorrido UEG - Engenharia Civil Menos concorrido UFG - Relações internacionais.

apostila matemática 2

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