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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 1 Matemática financeira Apostila

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 1

Matemática financeira

Apostila

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 2

ÍNDICE

APRESENTAÇÃO 4

AULA 1: REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS 6

INTRODUÇÃO 6

CONTEÚDO 6

INTRODUÇÃO 6

CONCEITO DE CAPITAL PRINCIPAL, JURO E MONTANTE. 7

JUROS COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO 8

ATIVIDADE PROPOSTA 1 13

TAXAS DE JUROS E QUIVALÊNCIA DE TAXAS 13

DESCONTOS 16

ATIVIDADE PROPOSTA 2 18

APRENDA MAIS 19

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 20

REFERÊNCIAS 22

AULA 2: SÉRIES DE PAGAMENTOS 23

INTRODUÇÃO 23

CONTEÚDO 23

SÉRIES (OU ANUIDADES) UNIFORMES, VARIÁVEIS E PERPÉTUAS 23

SÉRIES UNIFORMES 25

SÉRIES VARIÁVEIS (NÃO UNIFORMES) 30

ATIVIDADE PROPOSTA 1 34

SÉRIES PERPÉTUAS 35

FORMULÁRIO 35

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 37

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 39

ATIVIDADE PROPOSTA 2 42

SISTEMA FRANCÊS OU TABELA PRICE 42

ATIVIDADE PROPOSTA 3 45

APRENDA MAIS 46

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 46

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 3

REFERÊNCIAS 49

AULA 3: FLUXOS DE CAIXA E PROJEÇÕES FINANCEIRAS 50

INTRODUÇÃO 50

CONTEÚDO 51

ESTRUTURA DO PROJETO 52

ETAPAS DE UM PROJETO 54

TIPOS DE PROJETOS 56

ESTIMATIVA DO FLUXO DE CAIXA 57

ATIVIDADE PROPOSTA 1 61

MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE VIABILIDADE FINANCEIRA DE PROJETOS 62

ATIVIDADE PROPOSTA 2 68

APRENDA MAIS 80

REFERÊNCIAS 84

CHAVES DE RESPOSTA 96

AULA 1 96

ATIVIDADE PROPOSTA 1 96

ATIVIDADE PROPOSTA 2 97

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 97

AULA 2 98

ATIVIDADE PROPOSTA 1 98

ATIVIDADE PROPOSTA 2 100

ATIVIDADE PROPOSTA 3 100

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 100

AULA 3 102

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 104

AULA 4 105

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 109

CONTEUDISTA 111

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 4

Matemática financeira - Apostila

Apresentação

Ao administrar uma pequena ou grande empresa com fins lucrativos, um dos

objetivos principais é a maximização dos resultados da atividade produtiva,

seja ela uma empresa comercial, de bens ou de serviços.

Para isso acontecer, sabemos que é necessário um excelente controle do

processo produtivo, além de criatividade e motivação de seus funcionários,

com o uso de inovação e disponibilidade da tecnologia da informação, com

uma demanda crescente dos produtos através de excelentes campanhas

publicitárias, etc.

Entretanto, sabemos que para a empresa ser competitiva em todas essas

áreas ela deverá ser, antes de tudo, competitiva em suas finanças!

A disciplina de MATEMÁTICA FINANCEIRA irá justamente fornecer estas

ferramentas básicas que irão desde os fundamentos básicos da matemática

financeira até avançados conceitos de análise de investimentos, o que é

fundamental para o conhecimento de um profissional que deseja fazer a

gestão de uma organização.

E uma ótima informação poderia dar a você aluno da disciplina de

MATEMÁTICA FINANCEIRA: as aplicações de gestão financeira em empresas

são também muito úteis para auxiliar em nossa vida pessoal! Poderemos

utilizá-la ao comprar um eletrodoméstico, ao fazer o financiamento de um

veículo, no planejamento de uma aposentadoria, no financiamento da casa

própria e em inúmeras situações como auxiliar do planejamento financeiro de

nossa vida pessoal.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 5

Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos:

Descrever a importância dos elementos da Matemática Financeira para

as empresas e organizações.

Discutir e argumentar sobre sistemas de capitalização e amortização

Analisar e interpretar a Viabilidade Financeira de Projetos de

Investimentos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 6

Aula 1: Regime de capitalização de juros

Introdução

Já sabemos da importância que a gestão eficiente e eficaz de suas finanças

representa para uma empresa. E para que isso aconteça é fundamental que

você conheça os princípios da Matemática Financeira.

Não poderemos estudar conceitos mais avançados, como, por exemplo, fazer a

seleção e a análise da viabilidade financeira de um projeto de investimentos

para a empresa, sem que antes conheçamos conceitos e princípios como os de

taxas de juros e regimes de capitalização.

Estudaremos nesta aula princípios como o do valor do dinheiro no tempo e o

de equivalência de capitais, importantes para falarmos sobre valor presente e

valor futuro.

Ainda veremos nesta aula algumas relações comerciais envolvendo o conceito

de descontos.

Objetivos

Distinguir os regimes de capitalização de juros e diferenciar taxa de

juros efetiva de taxa de juros nominal.

Aplicar o princípio do valor do dinheiro no tempo e o de equivalência de

capitais para relacionar valor presente e valor futuro.

Aplicar as fórmulas para desconto racional e desconto comercial.

Conteúdo

Introdução

Para começar nosso estudo sobre os principais elementos da Matemática

Financeira, precisamos ter em mente que os conceitos são muito intuitivos.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 7

Mais do que fórmulas, precisamos aprender a “raciocinar financeiramente”. Se

este objetivo for alcançado, basta que você se lembre de que sempre existirá

uma fórmula para ajudar nesse “raciocínio financeiro”.

É isso mesmo, vamos estudar algo que é muito intuitivo. Deveríamos estudar

os princípios da Matemática Financeira desde os primeiros anos escolares, pois

é a parte da Matemática mais primitiva, é a Matemática do nosso dia-a-dia.

Começaremos com algumas definições e conceitos.

Conceito de capital principal, juro e montante.

Entende-se por JURO (J) a remuneração paga ao capital emprestado por um

determinado PERÍODO DE TEMPO (n).

Para um investidor, o juro é a remuneração do investimento. Para o

tomador de um empréstimo, o juro é o custo do capital obtido.

A quantia que o investidor aplica ou a que os terceiros emprestam aos

consumidores é chamada de CAPITAL PRINCIPAL. Usamos para representá-

lo a sigla VP, Valor Presente, ou então a letra C, ou ainda podemos chamar

simplesmente de Principal.

A porcentagem que é paga a título de remuneração pelo valor principal

investido ou pelo empréstimo do valor principal, por um determinado período

de tempo, é chamada de taxa de juros (i).

A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período a que se

refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as forças

que regem a oferta de fundos e a procura de créditos.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 8

Como consequência, findo o período em que o principal foi investido ou

emprestado, haverá um capital denominado de MONTANTE (usamos para

representar a sigla VF de Valor Futuro ou Valor Final), que nada mais é do

que a soma do capital principal mais os juros correspondentes ao

período.

Chamamos de Regime de Capitalização ao processo de como os juros são

capitalizados (incorporados ao capital) ao longo do tempo. Os regimes de

capitalização de juros poderão ser de dois tipos, o simples e o composto.

Juros compostos: capitalização

No regime de capitalização de juros compostos, o rendimento gerado pela

aplicação será incorporado ao capital. Não só o capital inicial, mas também os

seus juros, passam a participar da geração do rendimento do período seguinte.

Obs.: No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros.

Fórmula do valor futuro no regime de juros compostos:

FV = PV (1 + i) n

FV = valor futuro (ou do inglês Future Value);

PV = valor presente (ou do inglês Present Value);

i = taxa de juros na forma unitária;

n = número de períodos (podendo ser expresso em meses, anos,

semestres, etc.)

O fator (1 + i) n é chamado de fator de capitalização para aplicação única.

Obs.: Tendo em vista que estaremos lidando com funções exponenciais, a

solução dos problemas poderá demandar a utilização de funções logarítmicas,

ou a consulta a tabelas financeiras ou ainda à utilização de planilhas

eletrônicas ou calculadoras financeiras.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 9

Vejamos um exemplo

Se um banco oferece uma taxa de 1,80% ao mês no regime de juros

compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de R$ 3.500,00 por 4

meses?

Solução: PV = R$ 3.500,00 ; i %= 1,80% a.m. ; n = 4 meses ; FV = ?

Se i %= 1,80% a.m. (forma percentual) i = 0,018 a.m. (forma

unitária)

FV = PV (1 + i) n

FV = 3.500 . (1 + 0,018) 4

FV = R$ 3.758,89

Atenção

A taxa de juros (i) e o prazo (n) deverão estar expressos na

mesma unidade de tempo.

Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o

prazo adequadamente; NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A

TAXA.

Para tornar prazo e taxa compatíveis mediante a conversão de

taxa, o conceito de equivalência de taxas a juros

compostos deverá ser utilizado.

Fórmula do Valor Presente (PV) no regime de juros compostos:

PV = FV / (1 + i) n

Exemplo 1

Um título de crédito deverá ser resgatado por R$30.000,00 no seu vencimento

que ocorrerá daqui a 5 meses. Admitindo que o custo de capital é de 4,00%

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 10

ao mês, determinar seu valor atual para liquidação antecipada, no regime de

juros compostos.

Solução

FV = R$ 30.000,00 ; i = 4,00% a.m. ; n = 5 meses ; PV = ?

PV = FV / (1 + i) n

PV = 30.000 / (1 + 0,04) 5

PV = R$ 24.657,81

Exemplo 2

Este é um problema muito interessante e muito importante, vai ajudar a

entender um dos princípios básicos da Matemática Financeira.

Tenho um financiamento de um carro que está chegando ao seu final, faltam

somente três prestações a serem pagas, todas com valores nominais iguais a

R$ 700,00. Elas vencem daqui a 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Se eu

desejasse quitar este financiamento hoje, que valor eu deveria pagar pelo

saldo devedor total? Considere que a taxa utilizada neste financiamento foi i%

= 2,3% a.m.

Solução

Se ainda faltam pagar 3 prestações de valores nominais iguais a R$ 700,00

cada uma, não podemos dizer que a nossa dívida atual é de R$ 2.100,00 (o

resultado de 3 vezes 700).

Por quê?

Por que quando fizemos este financiamento lá no passado, foram computados

juros nas prestações. Ou seja, em cada uma das prestações de 700 reais

existe uma parte que é relativa à amortização da dívida contraída e outra parte

que é referente aos juros.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 11

Para sabermos o valor total da dívida na data de hoje, é preciso antes saber o

valor presente (ou valor atual) de cada uma dessas três prestações futuras

que faltam pagar.

Ou seja, ao calcular o valor presente dessas três prestações, estaremos

retirando a parte dos juros (podemos falar também: descapitalizando os juros

ou então descontando os juros, ou ainda simplesmente descapitalizando ou

descontando) que cada prestação tem e ficaremos apenas com a parte

relativa à amortização da dívida.

Assim, se chamarmos de:

FV1 = valor da prestação que vence daqui a 30 dias = R$ 700,00

FV2 = valor da prestação que vence daqui a 60 dias = R$ 700,00

FV3 = valor da prestação que vence daqui a 90 dias = R$ 700,00

Podemos calcular o valor presente (valor atual na data de hoje), PV, de cada

uma dessas prestações.

PV1 = valor presente da prestação que vence daqui a 30 dias = 700 / (1 +

0,023) 1 = 684,26

PV2 = valor presente da prestação que vence daqui a 60 dias = 700 / (1 +

0,023) 2= 668,88 PV3 = valor presente da prestação que vence daqui a 90

dias = 700 / (1 + 0,023) 3 = 653,83

O valor presente da dívida será a soma dos três valores PV1 + PV2 + PV3 =

R$ 2.006,97

Veja o esquema do problema na figura abaixo:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 12

Este problema nos permite concluir e enunciar um princípio muito importante

da Matemática Financeira:

“Só podemos somar ou subtrair valores monetários se eles

estiverem referenciados a uma mesma data”.

E a sua negativa também é importante ser lida:

“Não podemos somar ou subtrair valores que estejam

referenciados a datas distintas”.

É por causa deste princípio que dissemos inicialmente que “não podíamos”

fazer a conta 3x700=2100. A resposta é porque os três “700” reais estão

referenciados a datas diferentes e não poderíamos somar 700 + 700 + 700 e

dizer que a dívida era de 2100 reais. Para podermos somar tivemos que

“trazer” para a data presente cada uma dessas prestações de 700 reais.

Observe que as prestações têm valores nominais iguais a R$ 700,00, mas o

valor presente de cada uma delas é diferente um do outro.

Observe também outro detalhe interessante:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 13

PV1 = 684,26 ; PV2 = 668,88 e PV3 = 653,83

Quanto mais distante da data atual, menor é o valor presente da prestação. O

valor atual da terceira prestação é o menor dos três. É por isso que você já

deve ter escutado falar que, se for possível, “pague duas prestações, a que

vence hoje (para não ficar inadimplente) e a última (por que é a que tem o

menor valor presente)”.

Atividade proposta 1

Este exercício caiu em um concurso do Banco Centra (BACEN) - (Valores

numéricos adaptados a realidade econômica atual)

Tomei emprestado R$100.000,00 a juros compostos de 3% ao mês. Um mês

após a contratação do empréstimo, paguei R$50.000,00, dois meses após

esse primeiro pagamento, paguei outra parcela de R$ 50.000,00 e, dois

meses após esse segundo pagamento, liquidei integralmente a dívida.

O valor desse terceiro e último pagamento foi de (em R$):

a) R$ 47.129,80

b) R$ 44.424,35

c) R$ 9.791,05

d) R$ 8.445,85

e) R$ 0,00

Taxas de juros e quivalência de taxas

Taxas de Juros

Diferentes tipos de taxas de juros são utilizadas nas operações financeiras

correntes.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 14

Taxa efetiva

São taxas de juros nas quais a unidade de tempo coincide com a unidade de

tempo dos períodos de capitalização.

Exemplo:

3% ao mês, capitalizados mensalmente.

5% ao semestre, capitalizados semestralmente.

Observação: Neste caso, costuma-se usar simplesmente, 3% ao mês, 5% ao

semestre.

Taxa Nominal

São taxas de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de

tempo da capitalização.

De um modo geral as taxas de juros nominais se referem a períodos anuais.

Ex.: 16,0% a.a. com capitalização mensal

Observação: A taxa nominal de juros é utilizada no mercado. Entretanto,

previamente à sua utilização no cálculo das operações financeiras de juros

compostos, é obrigatório obter a taxa de juros efetiva implícita nessa taxa

nominal.

Taxas Equivalentes

São taxas de juros referidas a unidades de tempo diferentes que, aplicadas a

um mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante

acumulado ao final daquele prazo, no regime de juros compostos.

Equivalência de Taxas (para o mesmo período de capitalização)

(1 + iaa) = (1 + ias)2 = (1 + iam)12 = (1 + iad)360, onde:

iaa = taxa de juros efetiva anual

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 15

ias = taxa de juros efetiva semestral

iam = taxa de juros efetiva mensal

iad = taxa de juros efetiva diária

Exemplos

1) Um capital foi colocado a juros compostos a uma taxa semestral de 7,00%.

Qual é a taxa anual equivalente?

Solução

(1 + iaa) = (1 + ias)2

(1 + iaa) = (1 + 0,07)2

(1 + iaa) = 1,1449

iaa = 0,1449 ou 14,49% a.a.

Assim, dizemos que uma taxa de 7,00% ao semestre é equivalente a uma taxa

de 14,49% ao ano.

2) Dada a taxa de 17,5% a.a., determinar a taxa equivalente ao trimestre

Solução: 1 ano = 4 trimestres

(1 + iaa) = (1 + iat)4

(1 + 0,175) = (1 + iat)4

(1,175)1/4 = 1 + iat

iat = 0,04114 ou 4,11% a.t.

3) A taxa de juros da caderneta de poupança é de 6,00% ao ano, capitalizados

mensalmente. Determine a taxa efetiva anual.

Solução

1° - transformar a taxa nominal em taxa efetiva: 6,00% ao ano, capitalizados

mensalmente = 0,5% a.m. (taxa efetiva mensal)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 16

NOTAS IMPORTANTES

Quando dividimos 6,00% a.a por 12 e encontramos 0,5% a.m., significa que

0,5% a.m. é proporcional (e não equivalente) a 6,00% a.a.

E, como dissemos acima, a taxa de 0,5% a.m. será a taxa que efetivamente

será utilizada para computar os juros mensais sobre o capital

2° - calcular a taxa efetiva ao ano:

(1 + iaa) = (1 + iam)12

(1 + iaa) = (1 + 0,005)12

iaa = 0,0617 ou 6,17% a.a.

Assim, a taxa de 6,17% a.a. é a taxa efetiva anual, ou seja, podemos agora

sim dizer que 0,5% a.m. é equivalente (e não proporcional) a 6,17% a.a.

Observamos que a taxa efetiva no final do período é superior à divulgada

(6,17% ao ano contra 6,00% ao ano). Ou seja, a taxa que efetivamente

incidirá sobre o capital em um ano é maior do que a taxa nominal anual. Esse

tipo de taxa é utilizado para a remuneração da caderneta de poupança e dos

financiamentos do Sistema Financeiro de Habitação. Em ambos os casos o

período de capitalização é mensal.

Descontos

A operação de desconto de títulos privados de crédito consiste na negociação

de um título em alguma data anterior a de seu vencimento.

Habitualmente se utiliza o regime de juros simples em operações de curto

prazo com títulos privados de crédito.

Neste regime de juros são identificados dois tipos de desconto:

a) desconto por dentro (ou racional) - DR

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 17

b) desconto por fora (comercial e bancário) - DF

E, dependendo do tipo de desconto, ainda temos as relações:

DR = FV – PV ou

DF = FV - PV

Atenção

A taxa de juros possui variáveis distintas para cada tipo de

desconto. No desconto for fora, DF, é utilizada a nomenclatura

“d” para identificar a taxa de juros. Já no desconto racional,

DR, é utilizada a nomenclatura “i” para identificar a taxa de

juros.

Exemplo 1

Determinar a taxa de desconto (por fora) mensal de um título negociado 60

dias antes de seu vencimento, sendo o seu valor nominal igual a R$ 2.600,00

e valor atual na data do desconto de R$ 2.260,00.

Solução

FV = 2600

n = 60 dias

PV = 2260

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 18

DF = FV – PV = 2600 – 2260 = 340

DF = FV.d.n 340 = 2600 .d.60 d = 0,2179 % ao dia d = 6,54% ao

mês.

Exemplo 2

Dada uma nota promissória no valor nominal de R$ 215.000,00 a ser

descontada a uma taxa linear de 8% a.m., 3 meses antes de seu vencimento,

calcular os valores presentes descontados pelo:

a) desconto por dentro:

b) desconto por fora.

Solução

FV = 215000

i% = 8% a.m.

n = 3 meses

a) DR = PV.i.n = FV.i.n / (1+in) = 215000 . 0,08 . 3 / ( 1 + 0,08 . 3) =

41.612,90

PV = FV – DR PV = 215.000,00 – 41.612,90 PV = R$

173.387,10

b) DF = FV.d.n = 215000 . 0,08 . 3 DF = 51.600

PV = FV – DF PV = 215.000,00 – 51.600,00 PV = R$

163.400,00

Atividade proposta 2

Vamos praticar? Verifique o gabarito em seguida.

1) Um investimento, após 3 meses, foi resgatado obtendo-se R$

43.000,00. Se a taxa de juros composta ganha foi de 10% a.m., qual foi

o investimento realizado?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 19

2) Uma pessoa deve 3 prestações de R$ 3.500,00 a vencer daqui a 1 mês,

2 meses e 3 meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida com

um único pagamento para 60 dias, qual seria o valor desse pagamento

considerando uma taxa de juros composta de 12% a.m.?

3) Na compra de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de R$ 1.400,00,

o comprador deve pagar uma entrada no ato e 2 prestações iguais de

R$ 750,00 nos próximos dois meses (uma em 30 dias e outra em 60

dias). Qual deverá ser o valor da entrada se a loja cobra juros de 5% a.

m.?

4) Uma loja vende um equipamento por R$ 6.000,00 à vista, ou a prazo

em 3 pagamentos mensais de R$ 2.000,00 mais uma entrada paga no

ato. Se a taxa de juros composta cobrada pela loja for de 7% a.m., qual

deverá ser o valor da entrada?

5) Uma pessoa compra uma máquina em 2 prestações mensais mais uma

entrada de 20% sobre o valor à vista de R$ 360.000,00. Se a primeira

prestação é de R$ 180.000,00 e a taxa de juros composta é de 10%

a.m., qual é o valor da segunda prestação?

Aprenda Mais

Visite as seguintes páginas em que você poderá explorar mais exemplos e

exercícios para praticar sobre Matemática Financeira:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/curso/curso.htm

http://www.somatematica.com.br/financeira.php

Diponibilizamos em nosso Material Complementar algumas questões da BM&F

BOVESPA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 20

Exercícios de fixação

Questão 1

Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por $ 200.000,00 a vista ou

em quatro prestações trimestrais (a primeira delas daqui a 90 dias) de $

77.600,00. Qual é a melhor opção de compra, uma vez que a taxa de juros

(composto) é de 15% ao trimestre. Para o exercício em questão, marque uma

resposta abaixo (há apenas uma resposta correta):

a) A prazo, em quatro prestações, pois o valor de R$ 200.000,00 a vista é

maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A

propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a

valor presente equivalem a R$ 198.324,54.

b) À vista, pois o valor de R$ 200.000,00 a vista é menor que o valor o

valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das

quatro prestações descapitalizadas e somadas a valor presente

equivalem a R$ 210.896,48.

c) A prazo, em quatro prestações, pois o valor de R$ 200.000,00 a vista é

maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A

propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a

valor presente equivalem a R$ 196.892,16.

d) À vista, pois o valor de R$ 200.000,00 a vista é menor que o valor das

prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das quatro

prestações descapitalizadas e somadas a valor presente equivalem a R$

221.546,32.

e) As duas opções de compra são equivalentes, pois os valores presentes

são nominalmente iguais.

Questão 2

Um sítio é posto a venda, de forma parcelada, por $ 50.000,00 de entrada e $

100.000,00 daqui a um ano. Como opção o vendedor pede $ 120.000,00 à

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 21

vista. Se a taxa de juros de mercado é de 2,5% ao mês, qual a melhor

alternativa? (juros compostos). Para o exercício em questão, marque uma

resposta abaixo (há apenas uma resposta correta):

a) A vista, pois o valor de R$ 120.000,00 a vista é menor que o valor das

prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das duas

prestações somadas a valor presente equivale a R$ 124.355,58.

b) A vista, pois o valor de R$ 120.000,00 a vista é menor que o valor o

valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das

duas prestações somadas a valor presente equivale a R$ 124.316,64.

c) A prazo, em duas prestações, pois o valor de R$ 120.000,00 a vista é

maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A

propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente

equivale a R$ 106.381,12.

d) A prazo, em duas prestações, pois o valor de R$ 120.000,00 a vista é

maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A

propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente

equivale a R$ 112.386,16.

e) Nenhuma das respostas anteriores.

Questão 3

O desconto simples comercial e o valor atual obtido por uma nota promissória

de R$ 3.000,00, à taxa de 6% a m, 60 dias antes do vencimento são,

respectivamente, iguais a:

a) R$ 2.678,57; R$ 321,43

b) R$ 2.640,00; R$ 360,00

c) R$ 321,43; R$ 2.678,57

d) R$ 360,00; R$ 2.640,00

e) R$ 2.678,57; R$ 360,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 22

Questão 4

Qual o capital que acumula em 1 ano o montante de R$ 6.000,00, a juros

compostos de 4% a.m., com capitalização mensal dos juros ?

a) R$ 3.477,85

b) R$ 3.774,58

c) R$ 3.474,85

d) R$ 3.447,58

e) R$ 3.747,58

Questão 5

Qual a melhor opção para um comprador que consegue investir seu capital

a 2% a.m.?

a) R$ 12.000,00 à vista

b) R$ 3.000,00 de entrada e 4 parcelas mensais de R$ 2.500,00

c) 1 entrada e mais 4 parcelas todas de R$ 2.400,00

d) 5 parcelas sem entrada de R$ 2.650,00

e) R$ 4.500,00 de entrada e 5 parcelas mensais de R$ 1.500,00

Referências

SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos.

São Paulo: Prenticce-Hall, 2006

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 23

Aula 2: Séries de pagamentos

Introdução

Nesta aula estudaremos as principais situações envolvendo as séries de

pagamentos, falando sobre capitalização e amortização.

Você entenderá a diferença entre séries uniformes e séries variáveis e

conhecerá detalhes de cada uma delas.

Como exemplo de aplicação de cada uma destas séries, conheceremos dois

sistemas de amortização muito utilizados no mundo dos negócios, que são o

sistema de prestações constantes (PRICE) e o sistema de amortizações

constantes (SAC).

O conteúdo do estudo da aula é apresentado com exemplos e situações

práticas que, além de facilitar o entendimento, irá ambientar o aluno para o

aprendizado das técnicas de análise de viabilidade financeira de projetos e de

investimentos, assunto que estudaremos na aula seguinte.

Objetivos:

Identificar os diferentes tipos de séries de pagamento.

Aplicar o princípio da equivalência de capitais para entendimento dos

diferentes tipos de séries uniformes e variáveis.

Elaborar planilhas de pagamento pelos sistemas de amortização SAC e

PRICE.

Conteúdo

Séries (ou anuidades) uniformes, variáveis e perpétuas

Todas as corporações se defrontam com oportunidades de vendas, compras

ou investimentos que somente são viabilizados pelo parcelamento dos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 24

pagamentos. O estudo das anuidades fornece o referencial teórico para o

estabelecimento de planos de poupança, de financiamento, de renegociação

de dívidas e avaliação de alternativas de investimento.

Define-se série ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos ou

recebimentos exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir

dívida ou construir um capital.

Exemplo de anuidade postecipada:

Onde: “R” é o valor da anuidade e “n” os períodos

Características das anuidades

Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo

da anuidade. Os termos podem ser uniformes ou variáveis.

Uma anuidade pode ser temporária ou perpétua, conforme seja,

respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos.

As anuidades podem ser postecipadas, quando os pagamentos ou

recebimentos forem efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que

se referir a taxa considerada (representada na ilustração acima),

antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos ocorrerem no

início do período (ilustração abaixo) ou diferidas, quando a primeira

prestação só é efetuada após um certo número de períodos de tempo,

contados a partir da data zero.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 25

Exemplo de anuidade antecipada:

Onde: “R” é o valor da anuidade e “n” os períodos

Séries uniformes

Uma série uniforme é uma sequência de termos (pagamentos ou

recebimentos) nominalmente iguais, efetuados a intervalos de tempo

iguais (periodicidade constante).

Vejamos por intermédio de aplicações práticas como calcular o Valor Futuro, o

Valor Presente (ou Valor Atual) e o Valor da Prestação em uma série uniforme.

Cálculo do valor futuro

Considere o exemplo abaixo de uma série postecipada:

Qual o saldo (valor futuro) que teremos ao final do 5o. ano, se efetuarmos

um depósito anual de R$ 1.000 (ao final de cada ano), aplicando-se uma taxa

de juros de 12% ao ano?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 26

Para encontrar o valor futuro de uma série uniforme, basta levar todos os

fluxos financeiros para uma data focal no futuro.

FV = R(1 + i) n-1 + R(1 + i) n-2 + R(1 + i) n-3 + ... + R

Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor futuro para

uma série postecipada:

Galeria de vídeos

A demonstração para se chegar à fórmula do FV não faz parte do

escopo de nossa disciplina, no entanto, se quiser ver a

demonstração assita ao vídeo Demonstração da Fórmula –

Valor Futuro (VF).

Fórmula

[

]

FV = 1.000 * [((1 + 0,12)5 – 1)/0,12]

FV = 1.000 * [(1,76234 – 1)/0,12]

FV = 1.000 * [0,76234/0,12]

FV = R$ 6.352,85

Vamos resolver o mesmo exemplo, só que agora transformando em uma série

antecipada:

Neste caso, o resultado é simplesmente o da série postecipada, ajustado por 1

período.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 27

Fórmula

[

]

FV = 1.000 * [((1 + 0,12)5 – 1)/0,12] * 1,12

FV = 1.000 * [(1,76234 – 1)/0,12] * 1,12

FV = 1.000 * [0,76234/0,12] * 1,12

FV = 6.352,85 * 1,12

FV = R$ 7.115,19

Cálculo do valor presente

Nos dois exemplos até aqui demonstrados tivemos a apuração do valor

futuro de uma anuidade com 5 termos uniformes.

Podemos também ter uma situação onde seja necessário apurar o valor

presente ou valor atual, correspondente a um determinado número de

prestações.

Exemplo: Suponha que você esteja fazendo o financiamento de um carro

novo. A disponibilidade máxima que você tem em seu orçamento mensal para

pagamento de uma prestação na compra deste um carro novo é de R$ 800,00.

Você deseja saber qual é o valor máximo que é possível financiar pagando

este valor mensalmente. O maior prazo de financiamento que a financeira

disponibiliza é de 60 meses, na forma postecipada ( é a forma mais utilizada, a

primeira prestação vence após trinta dias do ato da compra). Considerando

uma taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor atual (valor presente)

equivalente a esta série de 60 pagamentos mensais futuros de R$ 800,00

cada?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 28

Para encontrar o valor presente de uma série uniforme, basta trazer todos os

fluxos financeiros para a data zero.

PV = R + R + R + ... + R _

(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n

Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor presente

para uma série postecipada:

Fórmula

[

]

PV = 800 * (((1,01)60 – 1) / (0,1 * (1,01)60))

PV = 800 * (0,8167 / 0,018167)

PV = 800 * 44,9551

PV = R$ 35.964,03

Galeria de vídeos

A demonstração para se chegar à fórmula do PV não faz parte do

escopo de nossa disciplina, no entanto, se quiser ver a

demonstração assita ao vídeo Demonstração da Fórmula –

Valor Presente (PV).

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 29

Da mesma forma como fizemos na apuração do valor futuro, no cálculo do

valor presente de séries antecipadas, teremos apenas que proceder ao

ajuste de 1 período:

Assumindo o exemplo acima, mas com o recebimento da primeira retirada do

benefício no ato da compra do título, teríamos:

PV série antecipada = PV série postecipada * (1 + i)

PV série antecipada = 35.964,03 * (1,01)

PV série antecipada = R$ 36.323,67

Observe que o valor presente de uma série de pagamentos mensais fixos

durante 60 meses, todos iguais a R$ 800,00 , é equivalente a:

Na série postecipada (0 + 60, ou seja, a primeira prestação vencendo 30 dias

após o ato da compra):

VP = R$ 35.964,03

Na série antecipada (1 + 59, ou seja, a primeira prestação vencendo no ato da

compra):

VP = R$ 36.323,67

É natural que o valor presente na forma postecipada seja menor do que na

antecipada, pois quanto mais você retarda no tempo o pagamento, menor será

o valor atual equivalente. E vice-versa, concordam?

Cálculo do valor da prestação

Vamos agora imaginar o problema inverso. Vamos manter o mesmo exemplo

do financiamento do carro visto anteriormente. Da mesma forma que

apuramos os valores futuro e presente de uma anuidade, podemos calcular o

valor da prestação de uma série (uniforme).

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 30

Os dados do problema são:

Valor Presente (série postecipada) VP = R$ 35.964,03

Prazo (em meses) n = 60 meses

Taxa de juros mensal i% = 1% a.m.

Valor da prestação PMT = ?

Fórmula

[

]

PMT = 35964,03 * {[0,01 * (1,01)60] / [(1,01)60 – 1)]}

PMT = 35964,03 * (0,01817 / 0,8167)

PMT = 35964,03 * 0,02225

PMT = R$ 800,00

Séries variáveis (não uniformes)

Estudaremos agora um tipo de série em que os termos não são todos os

iguais, ou seja, não serão uniformes. A este tipo de série chamamos de Série

Variável.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 31

NOTAS IMPORTANTES

Na maioria dos casos reais de análise de viabilidade financeira de projetos

iremos encontrar fluxos de caixa que terão esta característica de uma série

variável, onde as entradas e saídas financeiras do caixa são variáveis ao longo

do ciclo de vida do projeto.

Não poderemos empregar para as séries variáveis as fórmulas que estudamos

para as séries uniformes.

A solução desses problemas demandará que cada termo da série seja tratado

como uma série única (importante você entender isso!).

Exemplo de série variável

A figura que estamos utilizando para exemplificar uma série variável servirá de

base para fazermos o calcula do Valor Presente de uma série variável.

Observe que cada valor está referenciado a uma data (momento) na linha do

tempo.

Observe também que temos valores positivos (simbolizam entradas

financeiras do caixa de um projeto, por exemplo) e valores negativos

(simbolizam saídas financeiras do caixa do projeto)

NOTA IMPORTANTE

O que iremos fazer neste exemplo já se assemelha muito ao cálculo do Valor

Presente Líquido (VPL) do fluxo de caixa de um projeto, quando estaremos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 32

interessados em investigar a viabilidade financeira de um projeto. O “método

do VPL” é uma das técnicas de análise de viabilidade financeira de um projeto

que serão estudadas na aula seguinte. Por isso é importante que você já se

familiarize com o ambiente de análise e com as terminologias utilizadas neste

tipo de estudo.

Vamos prosseguir no cálculo do Valor Presente desta série variável da figura

falando sobre a taxa de juros a ser utilizada.

Então, iremos utilizar uma taxa de juros de 1% ao mês para correção e

atualização dos valores monetários em nossa linha do tempo (utilizando a

terminologia de análise de viabilidade de projetos, podemos dizer esta mesma

frase da seguinte forma: Iremos utilizar a taxa de 1% ao mês como taxa de

mínima atratividade para descontar o fluxo de caixa do projeto).

Como falamos anteriormente, não podemos usar as fórmulas das séries

uniformes, temos que calcular o valor presente de cada valor futuro

individualmente.

Na tabela abaixo apresentamos o fluxo de caixa destes valores ao longo do

tempo. Imagine que poderia ser um problema fácil de ser resolvido, bastaria

que somássemos os valores positivos das entradas financeiras e subtraíssemos

dos valores negativos das saídas financeiras do caixa.

Pois é isso mesmo que vamos fazer, somente com um detalhe muito, mas

muito importante mesmo!

Lembram-se daqueles princípios básicos da Matemática Financeira que falamos

no início da aula?

Vamos repetir aqui para você:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 33

“Só podemos somar ou subtrair valores monetários se

eles estiverem referenciados a uma mesma data”.

“Não podemos somar ou subtrair valores que estejam

referenciados a datas distintas”.

Então, com base nestes princípios, não podemos somar e subtrair os valores

nominais (valores nas datas a que cada termo está referenciado) por que eles

estão em datas diferentes.

Para que possamos somar e subtrair valores, temos que “levá-los” para uma

mesma data.

E lá, nesta data comum, aí sim poderemos fazer as contas de somar e subtrair

que se fizerem necessárias.

E para que data iremos “levar” ou “trazer” estes valores? Geralmente, na

grande maioria das vezes, trazemos os valores futuros para a data atual (ou

data presente ou também camada de data focal do problema).

A data atual é a data em que estaremos fazendo a análise de viabilidade

financeira do projeto.

Não é tão complicado assim, concordam? Acostume-se a usar estes princípios

básicos da Matemática Financeira, verás que serão muito úteis para ajudar a

equacionar e encaminhar a solução de inúmeros problemas de ordem prática.

Veja então que na tabela iremos “trazer” cada valor nominal (valor na data do

vencimento) da data “em que se encontra” para a data “0”.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 34

Observe em cada linha da tabela que para fazer esta conversão de um valor

futuro e achar seu equivalente na data presente faremos o uso da fórmula

(que já estudamos no início da aula):

PV = FV / (1 + i) n

Onde: FV é o valor nominal do movimento financeiro do caixa na data em que

ele ocorre, é um valor futuro.

PV, valor presente (na data atual) equivalente ao valor futuro FV

Prazo Valor Nominal

FV Taxa de Juros Fórmula

Valor presente

PV

0 -100 1% - 100 (100,0)

1 -50 1% - 50 / (1 + 0,01)1 (49,5)

2 50 1% 50 / (1 + 0,01)2 49,0

3 100 1% 100 / (1 + 0,01)3 97,1

4 150 1% 150 / (1 + 0,01)4 144,1

5 150 1% 150 / (1 + 0,01)5 142,7

6 -100 1% - 100 / (1 + 0,01)6 (94,2)

7 50 1% 50 / (1 + 0,01)7 46,6

8 100 1% 100 / (1 + 0,01)8 92,3

9 150 1% 150 / (1 + 0,01)9 137,2

Valor presente total 465,4

Atividade proposta 1

Este exercício caiu em um concurso do Banco Centra (BACEN) - (Valores

numéricos adaptados a realidade econômica atual)

Tomei emprestado R$100.000,00 a juros compostos de 3% ao mês. Um mês

após a contratação do empréstimo, paguei R$50.000,00, dois meses após

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 35

esse primeiro pagamento, paguei outra parcela de R$ 50.000,00 e, dois

meses após esse segundo pagamento, liquidei integralmente a dívida.

O valor desse terceiro e último pagamento foi de (em R$):

a) R$ 47.129,80

b) R$ 44.424,35

c) R$ 9.791,05

d) R$ 8.445,85

e) R$ 0,00

Séries perpétuas

Em algumas situações o número de pagamentos da série uniforme pode ser

considerado infinito. Temos, então, uma série perpétua, também conhecida

por perpetuidade. São bastante utilizadas em cálculos de aposentadoria e de

precificação de empresas (valuation).

O valor presente de uma série uniforme postecipada perpétua é igual ao valor

do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i).

PV = PMT / i

O valor presente de uma série uniforme antecipada perpétua é igual ao valor

presente do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i), multiplicado pelo

fator (1+i)

PV = (PMT / i) * (1 + i)

Formulário

Séries uniformes – anuidades postecipadas

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 36

[

]

onde: PMT = o valor das prestações

[

]

[

]

[

]

Séries uniformes – anuidades antecipadas

[

]

[

]

[

]

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 37

[

]

Séries variáveis

Não permite a aplicação direta de fórmulas. É necessário tratar cada termo da

série como uma série única.

Séries perpétuas postecipadas

PV = PMT / i

Séries perpétuas antecipadas

PV = (PMT / i) * (1 + i)

Sistemas de amortização

Você sabe o que significa “Amortização”?

Segundo Samanez, 2006

A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida

ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas,

de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja

liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas

partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e

os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não

amortizado.

Prestação = amortização + juros

Essa separação permite discriminar o que representa a

devolução do principal (amortização) daquilo que representa o

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 38

serviço da dívida (os juros). É importante para as necessidades

jurídico-contábeis e para a análise de investimentos, em que

os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis, têm em

efeito fiscal.

Segundo Gitman, 2000

O termo amortização de empréstimo refere-se ao cálculo

de prestações periódicas de pagamento de um empréstimo

devido. Esses pagamentos proporcionam ao credor um

rendimento determinado e causam a devolução do principal

dentro de um prazo estipulado. O processo de amortização de

empréstimo envolve a determinação das prestações futuras,

ao longo do prazo do empréstimo, cujo valor presente, à taxa

de juros do empréstimo, é igual ao montante do principal

original captado. Os credores usam uma planilha de

amortização de empréstimo para determinar os valores

das prestações e a distribuição de cada uma entre juros e

principal.

Obs: Livros completos para consulta na Biblioteca Virtual da

Universidade Estácio de Sá

Podemos resumir o conceito de Amortização como o processo de liquidação de

uma dívida através de pagamentos periódicos.

A amortização de uma dívida pode ser processada de várias formas:

1. Pagamento, no vencimento, do capital (principal) mais juros

capitalizados;

2. Pagamento dos juros periodicamente e do capital somente no vencimento;

3. Pagamento da dívida em prestações periódicas, constituídas de juros e

quotas de amortização do capital.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 39

Cada uma das modalidades de pagamento constitui um sistema. O importante

é que, seja qual for o sistema de pagamentos utilizado para amortizar a dívida,

saibamos que o princípio da equivalência de capitais deverá ser respeitado.

Entre os sistemas mais utilizados no mercado para amortização de dívidas,

destacaremos os dois mais utilizados:

SAC (Sistema de Amortizações Constantes)

PRICE (Sistema de Prestações Constantes)

Sistema de amortização constante (sac)

O devedor paga a dívida em prestações periódicas postecipadas.

As prestações englobam juros e amortizações do capital.

Ou seja, em cada uma das prestações teremos uma parcela relativa à

amortização da dívida e uma outra parcela que é relativa aos juros pelo fato

de estarmos pagando a parcela da dívida em uma data posterior à data em

que a dívida foi contraída.

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL + JUROS

O valor da amortização é constante em todos os períodos e a taxa de

juros incidindo sobre o saldo devedor faz com que as parcelas de juros

diminuam a cada período. Portanto as prestações são decrescentes.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 40

Observe no gráfico que no sistema SAC as parcelas relativas à amortização do

capital são iguais em todos os períodos e as parcelas relativas aos juros

diminuem período após período tornando as prestações decrescentes.

Exemplo 1

Um empréstimo de R$ 120.000,00 foi contratado para ser pago pelo SAC em 3

prestações anuais à taxa de 15% a a . Elaborar planilha de pagamentos.

Procedimentos

1. Calcular a amortização – dividir o valor do empréstimo pelo número de

prestações.

2. Calcular a parcela de juros – aplicar a taxa de juros sobre o saldo

devedor do período anterior.

3. Calcular a prestação – somar o valor da amortização com a parcela de

juros.

4. Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do

saldo devedor do período anterior.

Período Prestação Juros Amortização Saldo

Devedor

0 - - - 120.000,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 41

1 58.000,00 18.000,00 40.000,00 80.000,00

2 52.000,00 12.000,00 40.000,00 40.000,00

3 46.000,00 6.000,00 40.000,00 0,00

Veja o esquema de pagamento na linha do tempo:

Cálculo do Saldo Devedor

O saldo devedor após o pagamento de k prestações será:

Dk = D0 – k . A

Exemplo 2

Uma dívida de R$ 84.000,00 será amortizada pelo sistema SAC em 12

prestações anuais à taxa de 12% a a. Calcular o saldo devedor após o

pagamento da 8a. prestação.

A = 84.000,00/12 = 7.000,00

Usando a fórmula:

D8 = 84.000,00 – 8(7.000,00) = R$ 28.000,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 42

Atividade proposta 2

Como atividade você para praticar o emprego do sistema SAC, elabore a

planilha de pagamentos relativa ao exemplo anterior, em que uma dívida de

R$ 84.000,00 será amortizada pelo sistema SAC em 12 prestações anuais à

taxa de 9% a.a. Veja em seguida a solução.

Período Prestação Juros Amortização Saldo

Devedor

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sistema francês ou tabela price

O sistema de amortização PRICE, também conhecido como sistema Francês,

ou também como o sistema da “Tabela PRICE”, é o sistema em que o devedor

paga o empréstimo com prestações constantes, periódicas e

postecipadas.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 43

O valor da amortização do capital (valor presente) aumenta a cada período

enquanto as parcelas de juros diminuem no mesmo valor mantendo as

prestações nominalmente iguais em todos os períodos.

É um dos sistemas mais utilizados, pois permite ao devedor um melhor

planejamento dos pagamentos em razão das prestações serem constantes.

Observe na figura que a parcela relativa à amortização do capital aumenta a

cada período enquanto a parcela relativa aos juros diminui no mesmo valor

mantendo as prestações constantes.

Exemplo

Um empréstimo de R$ 120.000,00 foi contratado para ser pago pelo Sistema

Francês (PRICE) em 3 prestações anuais à taxa de 15 % a a . Elaborar planilha

de pagamentos.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 44

Procedimentos

1. Calcular a prestação constante: utilizar a fórmula de amortização composta

de uma série postecipada.

[

]

2. Calcular a parcela de juros: aplicar a taxa de juros sobre o saldo devedor

anterior.

3. Calcular a amortização do capital: diferença entre a prestação e os juros do

período.

4. Calcular o saldo devedor: diferença entre o saldo devedor anterior e o valor

da amortização.

Veja o esquema de pagamento na linha do tempo:

Período Prestação Juros Amortização Saldo

Devedor

0 - - - 120.000,00

1 52.557,24 18.000,00 34.557,24 85.442,76

2 52.557,24 12.816,42 39.740,84 45.701,94

3 52.557,24 6.855,30 45.701,94 0,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 45

Cálculo do saldo devedor:

O saldo devedor após o pagamento de k prestações é o valor presente das

(n-k) prestações restantes, portanto:

[

]

Exemplo

Um financiamento de R$ 24.000,00 será pago em 48 prestações mensais pelo

Sistema PRICE, à taxa de 5% a.m. Calcular o saldo devedor após o pagamento

da 20a. prestação.

Cálculo da prestação

[

] PMT = R$1.327,64

Portanto

[

] = R$19.779,35

Atividade proposta 3

Comparação entre o sistema sac e o sistema price

O exemplo do empréstimo de R$ 120.000,00 visto, contratado para ser pago

em 3 prestações anuais à taxa de 15 % a a. , foi visto pelos dois sistemas de

amortização que estudamos, o SAC e o PRICE Você já deve estar pensando

em fazer a seguinte pergunta, qual dos dois sistemas de amortização é o mais

vantajoso, o SAC ou o PRICE?

Vamos comparar os dois sistemas, o PRICE e o SAC, colocando as duas

planilhas lado a lado.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 46

Sistema sac (amortizações constantes)

Período

(Anos) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - 120.000,00

1 58.000,00 18.000,00 40.000,00 80.000,00

2 52.000,00 12.000,00 40.000,00 40.000,00

3 46.000,00 6.000,00 40.000,00 0,00

Sistema price (prestações constantes)

Qual é a sua interpretação sobre estes resultados das duas tabelas? E que

comparação você pode fazer a respeito das vantagens e desvantagens entre

os dois sistemas de amortização, SAC e PRICE?

Aprenda Mais

Assista ao vídeo sobre as Tabelas Price e SAC que se encontram em nossa

Galeria de vídeos.

Exercícios de fixação

Questão 1

Período

(Anos) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 - - - 120.000,00

1 52.557,24 18.000,00 34.557,24 85.442,76

2 52.557,24 12.816,42 39.740,84 45.701,94

3 52.557,24 6.855,30 45.701,94 0,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 47

O valor de um carro novo que você deseja comprar é de R$ 50.000,00 em

uma concessionária de veículos. O seu carro usado foi avaliado pela loja e o

seu valor poderá ser usado como entrada. A diferença entre os valores do

carro novo e usado será financiada em 60 prestações fixas mensais de R$

890,24 , na forma postecipada, a uma taxa de juros mensais de 1,8%.

Podemos dizer que o valor da avaliação feita em seu carro usado foi de:

a) R$ 22.000,00

b) R$ 9.600,00

c) R$ 53.400,00

d) R$ 33.000,00

e) R$ 17.500,00

Questão 2

Tenho dois financiamentos feitos pelo sistema PRICE, com prestações

constantes e mensais. No primeiro financiamento, realizado com uma taxa de

juros de 3% a.m., restam seis prestações de R$ 500,00 ainda para pagar,

sendo que a primeira destas seis vence daqui a trinta dias. No segundo

financiamento, realizado com uma taxa de juros de 2% a.m., restam dez

prestações de R$ 350,00 ainda para pagar, sendo que a primeira destas dez

vence também daqui a trinta dias. O saldo devedor total atual das duas

dívidas somadas é igual a:

a) R$ 3.143,90

b) R$ 5.852,50

c) R$ 2.708,60

d) R$ 6.500,00

e) R$ 3.500,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 48

Questão 3

A respeito dos sistemas de amortização SAC e PRICE é correto afirmar:

a) Tanto no sistema SAC quando no sistema PRICE a parcela de juros das

prestações decaem ao longo do financiamento

b) No sistema PRICE a parcela de juros das prestações é constante ao

longo do financiamento.

c) No sistema PRICE a parcela de amortização das prestações decai ao

longo do financiamento.

d) No sistema SAC as amortizações são constantes e a parcela de juros

das prestações cresce ao longo do financiamento.

e) No sistema SAC as prestações iniciais são nominalmente menores do

que as prestações do sistema PRICE.

Questão 4

Uma dívida de R$ 40.000,00 está sendo paga em 36 prestações mensais, sem

entrada, à taxa de 6% a m, pelo sistema PRICE. Calcular o saldo devedor após

o pagamento da 16a. prestação.

a) R$ 3.477,85

b) R$ 3.774,58

c) R$ 3.474,85

d) R$ 3.447,58

e) R$ 3.747,58

Questão 5

Um agente de mercado tomou empréstimo de R$ 60.000,00 pelo sistema de

amortizações constantes (SAC) à taxa de juros de 2,85% ao mês, com prazo

de 36 meses para sua amortização. Qual é o valor da prestação inicila?

a) R$ 1.666,67

b) R$ 1.810,67

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 49

c) R$ 1.710,00

d) R$ 3.346,67

e) R$ 3.376.67

Referências

SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos.

São Paulo: Prenticce-Hall, 2006

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 50

Aula 3: Fluxos de caixa e projeções financeiras

Introdução

Nesta aula você dará os primeiros passos em direção à avaliação da viabilidade

financeira de projetos e de investimentos.

Como é relativamente comum em uma empresa não haver disponibilidade

financeira suficiente para todos, os projetos “lutam” entre si para serem

implementados. As empresas, obviamente, tentam selecionar aqueles que

agregam maior valor para a organização.

Você então saberá responder à pergunta “O projeto deve ou não ser escolhido

e implementado?” após conhecermos os métodos de análise da viabilidade

financeira. Iremos aprender a identificar se um projeto será financeiramente

viável ou não. E, além disso, entre os projetos financeiramente viáveis,

aprenderemos a selecionar qual é ou quais são os melhores, caso precisemos

priorizar aqueles que poderão gerar uma maior lucratividade para a empresa.

Conheceremos o método do Valor Presente Líquido (VPL), o método da Taxa

Interna de Retorno (TIR) e método do Payback.

Objetivos:

Identificar os principais componentes do fluxo de caixa de um projeto.

Elaborar o fluxo de caixa de um projeto e prepará-lo para a aplicação

dos métodos de análise de viabilidade financeira.

Aplicar o método do Valor Presente Líquido (VPL), o método da Taxa

Interna de Retorno (TIR) e método do Payback para seleção e análise

de viabilidade financeira de um projeto.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 51

Conteúdo

Comecemos nossa aula repetindo a pergunta da apresentação.

“O projeto deve ou não ser escolhido e implementado?”

Esta resposta começaremos a aprender a responder um pouquinho mais

adiante, após apresentarmos os métodos de análise de viabilidade financeira

de projetos.

Mas já podemos afirmar, desde já, que nosso trabalho será sempre o de um

“investigador”.

Isso mesmo! Neste tipo de análise estaremos interessados em investigar sobre

o que “poderá” ocorrer em momentos futuros de um projeto. Para isso é

necessário que conheçamos as ferramentas que irão nos auxiliar a tomar

decisões como, por exemplo, autorizar ou não o início de um projeto, escolher

entre projetos concorrentes aquele que é o mais viável sob o aspecto

financeiro e, talvez o mais importante, minimizar o risco de tomar decisões

equivocadas como autorizar o início de um projeto ruim ou até mesmo

reprovar um projeto que poderia ser um bom projeto.

VOCÊ TERÁ UM NOVO ÂNGULO PARA OLHAR OS PROJETOS

Não é incomum nas empresas haver vários projetos para serem avaliados

simultaneamente.

E nem sempre existem recursos suficientes para todos. Os projetos travam

“batalhas” entre si para serem aprovados e implementados. As empresas,

obviamente, procuram selecionar e optar por aqueles que irão agregar maior

valor e que poderão gerar maior riqueza para a organização.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 52

Antes de começarmos a estudar as ferramentas de análise de viabilidade

financeira, precisamos conhecer um pouco mais sobre a estrutura e as

etapas de concepção de um projeto.

Você sabia que um projeto pode ser entendido como um conjunto de

informações, que são coletadas e processadas, de modo que simulem uma

dada alternativa de investimento para testar sua viabilidade?

Isso, um projeto de investimento tem por objetivo a criação, a expansão, a

modernização, a fusão, a incorporação, a alteração da localização ou a

reorganização de um empreendimento visando o aumento de valor dos ativos

dos acionistas.

Assim, a análise de investimentos de capital busca mensurar a viabilidade

econômica e financeira de projetos que principalmente aqueles que possuam

retornos de longo prazo. Essa relevância vem do fato de que tais projetos

costumam envolver grandes somas e que uma vez tomada a decisão,

modificações, suspensões e paralizações costumam acarretar elevados

prejuízos.

Estrutura do projeto

Vejamos os principais aspectos encontrados em uma alternativa de

investimentos para uma empresa:

Aspectos econômicos

Mercado: são os elementos fornecidos pela análise de mercado que

determinarão, de modo fundamental, muitas características do projeto.

O que produzir, quantidade demandada, preço de venda, canais de

distribuição, principais concorrentes, regulação do mercado, etc.,

tornam a análise de mercado um dos primeiros aspectos a serem

considerados no projeto.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 53

É importante destacar que essa parte do projeto precisa estar

suportada por dados estatísticos de institutos de pesquisa ou outras

fontes que possuam credibilidade. As projeções de demanda devem ser

baseadas em dados socioeconômicos que justifiquem o comportamento

previsto.

Localização: a escolha da localização dependerá de diversos fatores,

tais como a proximidade do mercado consumidor, a escala pretendida,

incentivos fiscais, considerações técnicas, etc. Além disso, será muito

importante analisar a disponibilidade local dos diversos bens de

produção intermediários tais como mão-de-obra, energia, matérias-

primas e condições ambientais.

Escala: a escala de produção irá depender, entre outros fatores, do

estudo do mercado, da localização e dos aspectos técnicos. A existência

de economias de escala pode ser um aspecto determinante na escolha

de determinada capacidade de produção.

Aspectos técnicos

Envolvem as considerações referentes à seleção entre os diversos

processos de produção, à engenharia do projeto, ao arranjo físico dos

equipamentos na fábrica, etc.

Aspectos financeiros

Investimento necessário e cronograma de desembolso: envolve

a determinação do capital a ser investido (instalações, equipamentos,

treinamento de mão de obra, despesas gerais de implantação,

patentes) assim como a peridiocidade dos desembolsos de caixa.

Custos do projeto (fixos e variáveis): incluem não somente os

custos de produção, mas todos os demais custos da organização,

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 54

passando por despesas de marketing (comunicação, pesquisas,

desenvolvimento de produto), vendas, distribuição e administração.

Receitas do projeto: estimativa das receitas de vendas, financeiras,

outras.

Composição do capital: neste aspecto são analisadas as diferentes

opções que existem para compor o capital a ser investido no projeto.

Simplificadamente, o que se procura é determinar a composição do

capital próprio e de terceiros.

Financiamentos: nesta parte são analisadas as alternativas de

empréstimo. Procura-se determinar, entre outras fontes de empréstimo

disponíveis, aquelas que apresentam maior conveniência e/ou que

otimizam a rentabilidade do projeto.

Capital de giro: a análise financeira das fontes e aplicações do

dinheiro em giro permitirá que se determine o capital de giro próprio.

Este, sendo um investimento a ser feito, deverá ser incluído nos

desembolsos do projeto.

Outros aspectos importantes são os administrativos (definição da estrutura

organizacional que será necessária para a implementação e operação do

projeto), legais (exigências ou incentivos por parte das esferas de governo),

meio ambiente (análise dos impactos positivos e negativos) e contábeis.

Etapas de um projeto

Vejamos as etapas que permitirão a obtenção das projeções de custos e

receitas de um projeto, combinadas com o cronograma de desembolso de

caixa e o custo do capital para. Estes elementos permitirão a elaboração do

fluxo de caixa do projeto, elemento essencial para início da análise de

viabilidade econômico-financeira do projeto.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 55

NOTA: Entendamos que estas etapas a que estamos nos referindo não devem

ser confundidas com as fases do gerenciamento de um projeto. Elas se

referem a uma fase anterior à execução do projeto propriamente dita.

O ponto de partida é uma oportunidade de investimento que foi detectada

pela empresa e/ou pelo empresário.

A partir daí, o primeiro passo é realizar um estudo de mercado. Neste estudo

será caracterizado o produto, a quantidade demandada projetada, os canais

de comercialização, o preço de venda, etc.

A seguir, são abordados os aspectos técnicos, a localização e a escala do

projeto. Estes aspectos estão intimamente relacionados: o tipo de processo a

ser escolhido pode condicionar a localização geográfica e esta a escala de

produção.

Feita a seleção do processo e a determinação dos investimentos mais

significativos para determinada localização e escala, será possível estimar o

volume de financiamentos necessários e a provável composição do capital da

empresa. Neste ponto será analisado o custo das fontes de recursos, bem

como o risco inerente à opção de um endividamento excessivo.

O passo seguinte é levantar as necessidades de pessoal para a estrutura

administrativa a ser implantada. Nesta fase serão considerados também os

incentivos de ordem fiscal e/ou econômica para a implantação do projeto bem

como os aspectos relacionados ao meio ambiente.

Nesse ponto é possível elaborar as projeções de custos e receitas.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 56

Tais projeções, combinadas com o cronograma de desembolso de caixa e o

custo do capital, permitirão uma análise de viabilidade econômico-financeira

do projeto.

Tipos de projetos

É importante destacar que na maioria das vezes uma empresa não analisa

apenas um projeto de forma isolada.

É comum existir uma carteira de projetos que será avaliada do ponto de vista

financeiro para a seleção daqueles que agregam maior valor e que poderão

gerar maior riqueza para a organização.

Daí a relação entre os projetos disponíveis torna-se um elemento relevante no

processo de análise. Vejamos alguns tipos de relações entre os projetos.

Projetos economicamente independentes

Dizemos que dois projetos são economicamente independentes quando os

fluxos de caixa não são relacionados ou dependentes uns dos outros; a

aceitação de um não elimina os outros de considerações futuras.

Projetos mutuamente excludentes

Dois projetos são mutuamente excludentes quando a decisão de investir em

um impede o investimento no outro (ex.: Falta de capacidade física para

acomodação dos dois projetos).

Projetos economicamente dependentes

Caso a decisão de investir em um projeto tenha efeito sobre os benefícios do

outro projeto, dizemos que os projetos são economicamente dependentes.

Dois tipos de dependência podem ser observados:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 57

Projetos complementares

Se o investimento no projeto (A) aumenta os benefícios do projeto (B),

temos uma situação de complementaridade entre os projetos.

Projetos substitutos

Se a decisão de investir em (A) implicar na redução dos benefícios de

(B), temos uma situação de substituição. No limite poderemos ter

projetos excludentes.

Estimativa do fluxo de caixa

De posse de todas as premissas do projeto (volume de vendas, preços,

impostos sobre vendas, custos de fabricação, despesas de comunicação e

vendas, despesas gerais, etc.) a empresa irá construir o fluxo de caixa do

projeto, o qual corresponde à estruturação de todas as entradas e saídas

financeiras de caixa do projeto ao longo do tempo.

É importante destacar que na avaliação do projeto de investimento deverão

ser considerados apenas os fluxos de caixa relevantes, os quais correspondem

aos fluxos de caixa incrementais gerados pelo projeto.

Assim, se uma empresa estuda a possibilidade de aumentar a sua capacidade

de produção, passando suas receitas de R$ 150.000,00 para R$ 250.000,00 o

valor do incremento de receita (R$ 100.000,00) é a parcela relevante para fins

de tomada de decisão e não o total da receita a ser obtida (R$ 250.000,00).

Outro ponto de fundamental importância é que na avaliação de um projeto de

investimento deve-se utilizar o Fluxo de Caixa dos Ativos.

Não se deve levar em consideração a depreciação e as despesas financeiras

(juros) na avaliação de projetos.

FCATIVOS = FCOPERACIONAL - FCCAPITAL GIRO - FCINVESTIMENTO NECESSÁRIO

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 58

Os principais elementos de um fluxo de caixa são:

Tempo de análise do projeto: é importante que esse tempo seja

estabelecido de acordo com os objetivos do projeto. Nos casos de projetos

sujeitos a apreciação do BIRD, BID e BNDES (para fins de financiamento)

os resultados de um projeto de investimento devem ser projetados para

um horizonte de 10 anos. Um aspecto muito importante na projeção dos

fluxos de caixa é o risco envolvido nessas projeções. Quanto maior o

horizonte de tempo da previsão, maior o risco de erro embutido na mesma.

Receitas esperadas: corresponderão aos recebimentos de caixa gerados

pelo projeto (incrementais). Vale destacar que na análise do projeto

normalmente definem-se as entradas de caixa como as vendas realizadas.

Questões envolvendo o prazo de recebimento são analisadas em separado

para a definição do capital de giro mínimo necessário.

Custos do projeto: englobam não apenas o custo de produção, mas

também os demais custos envolvidos com a divulgação e comercialização

dos produtos e eventuais acréscimos nos custos de administração. De

forma a aumentar a qualidade das análises, permitindo a adoção de

estudos de sensibilidade e análise do ponto de equilíbrio, é aconselhável

desmembrar os custos em fixos e variáveis.

Capital de giro: é a diferença entre o ativo circulante e o passivo

circulante. Como recursos alocados ao capital de giro não podem ser

usados em outras áreas da empresa, variações no capital de giro afetam o

fluxo de caixa do projeto. As necessidades de capital de giro de uma

empresa serão definidas pelo tipo de negócio em que opera. Empresas

varejistas têm uma necessidade muito maior de capital de giro, como

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 59

percentual de receitas, por terem estoque e necessidades de crédito muito

maiores do que empresas de serviços.

Pontos que merecem destaque nas estimativas dos fluxos de caixa.

Custos incorridos (ou irrecuperáveis): são aqueles que a empresa já

realizou em um determinado projeto, isto é, são desembolsos passados e

irreversíveis. Exemplo: pesquisas de mercado para avaliar a aceitação de

um novo produto. Os gastos com essa pesquisa não poderão ser

recuperados independente da decisão da empresa (desenvolver ou não o

projeto). Assim, tais custos não devem ser considerados no fluxo de caixa

do projeto, pois não contribuem para o processo de avaliação e tomada de

decisão.

Custos de oportunidade: correspondem as receitas que a empresa

estará deixando de ter ao optar por investir em determinado projeto. Essa

perda, ou custo de oportunidade, deve ser considerada no fluxo de caixa

do projeto.

Efeitos colaterais: são os efeitos secundários que atuam sobre o fluxo de

caixa da empresa e devem ser considerados na avaliação. Exemplo: o

lançamento de um novo produto acarretará uma redução de 50% na

receita de outra linha já existente.

Depreciação: é parte integrante do custo de fabricação. Entretanto, a

mesma não gera saídas de caixa (uma vez que o desembolso já ocorreu

anteriormente, quando o ativo foi adquirido). Assim sendo, a depreciação

não é considerada no fluxo de caixa do projeto. Contudo, por ser dedutível

para fins de imposto de renda, o impacto da mesma no imposto (benefício

de redução do imposto devido) deve ser considerado.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 60

Benefício fiscal da depreciação = depreciação x alíquota do I.R.

Existem diferentes métodos de depreciação de ativos (depreciação por

unidade produzida, depreciação por hora de produção, etc.). Entretanto,

o imposto de renda brasileiro só admite o método linear de depreciação,

o qual se baseia na simples divisão do valor de aquisição do bem pela

vida útil estimada (pelo próprio fisco). Os principais ativos e a vida útil

admitida pela legislação fiscal são indicados abaixo:

o Imóveis - 25 anos - 4% ao ano.

o Equipamentos industriais - 10 anos - 10% ao ano.

o Equipamentos informática - 5 anos - 20% ao ano.

o Veículos - 5 anos - 20% ao ano.

Valor residual dos ativos: corresponde ao valor que será obtido pela

empresa com a venda do ativo ao final da vida útil do mesmo.

Os bens, ao final de sua vida útil, podem possuir valor de mercado

(revenda). Nestes casos, tal valor deverá ser considerado como uma

entrada de caixa do projeto. Da mesma forma, o projeto pode se destinar a

substituir bens que poderão ser revendidos. Essas entradas de caixa

também deverão ser incorporadas ao projeto.

Custos de financiamento: como já visto anteriormente, o fluxo de caixa

que deve ser utilizado na avaliação de um projeto é o FC dos ativos. Logo,

as despesas com juros não devem ser consideradas (decisões de

investimento são diferentes de decisões de financiamento).

Você imaginava essa quantidade de informações para elaborar um fluxo de

caixa de um projeto?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 61

Pois é, sem o fluxo de caixa não podemos fazer a análise de viabilidade

financeira do projeto!

Mas mesmo sem ainda termos visto as ferramentas de análise de viabilidade

financeira de um projeto você com certeza já percebeu que:

precisamos ter fluxos de caixa o mais precisos possíveis e que melhor

reflitam a realidade após a execução e implementação de um projeto.

a análise de viabilidade financeira do projeto será feita considerando

verdadeiros os valores que compõem o seu fluxo de caixa.

NOTA IMPORTANTE: Erros de previsão, falta de precisão, superficialidade de

informações, insuficiência de dados, estimativas inseguras devem ser

cuidadosamente levadas em consideração e servem como ponto de atenção

para um analista proceder sua análise de viabilidade com isenção, seriedade e

profissionalismo. De nada adianta utilizar a sofisticação das ferramentas de

análise e chegar a resultados e conclusões para a tomada de decisão de

aprovação de um projeto se os dados que alimentam a análise não forem

confiáveis.

Atividade proposta 1

Vamos praticar?

Você consegue elaborar um fluxo de caixa com todas estas informações?

Busque no material complementar o caso Baldwin.

Procure acompanhar passo-a-passo a resolução do problema.

Após entender a elaboração do fluxo de caixa deste caso, imagine uma

segunda situação:

No problema em estudo, a previsão da demanda que foi feita anteriormente

foi muito otimista. O analista do projeto recebeu a incumbência de elaborar

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 62

um novo fluxo de caixa do projeto com os novos valores da projeção de

tendência das vendas, que serão 1.000 unidades a menos em cada ano em

relação aos valores anteriormente informados, ou seja, durante a vida da

máquina a produção anual deverá ser respectivamente de 4.000, 7.000,

11.000, 9.000 e 5.000 unidades.

Tente elaborar o fluxo de caixa desta nova situação e compare com os valores

do fluxo de caixa anterior.

Métodos de avaliação de viabilidade financeira de projetos

Agora que já temos conhecimento de como pode ser elaborado o fluxo de

caixa de um projeto, passaremos a conhecer os principais métodos de

avaliação da viabilidade financeira desses projetos.

Existem diferentes métodos para avaliação dos fluxos de caixa projetados.

Discutiremos os principais métodos utilizados:

Método do Payback (período de retorno do investimento) Simples e

Descontado

Método do Valor Presente Líquido (VPL)

Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)

Método do Payback (tempo de recuperação ou período de retorno do

investimento)

Um dos métodos de avaliação mais largamente difundidos entre os

administradores de empresas.

O período de payback , segundo Gitman (2001) , é largamente utilizado por

empresas de grande porte para avaliar pequenos projetos, e por empresas de

pequeno porte para avaliar a maioria de seus projetos.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 63

O método consiste na determinação do número de períodos necessários para

recuperar o capital investido.

Existem dois métodos de Payback, o Payback Simples (NÃO leva em conta o

valor do dinheiro no tempo) e o Payback Descontado(leva em conta o valor do

dinheiro no tempo).

Payback simples

No caso do Paybak Simples podemos calcular o período de retorno utilizando

uma fórmula direta ou uma forma mais elaborada. Isso vai depender se o

fluxo de caixa projetado tem valores de entradas financeiras iguais ou

diferentes.

Quando o fluxo de caixa projetado para os anos futuros do projeto tem valores

de entradas financeiras iguais, a fórmula de cálculo é a seguinte:

Payback = Investimento inicial _

Fluxo de caixa por período

A partir desse dado a empresa decide sobre a implementação do projeto,

comparando-o com os seus referenciais de tempo para recuperação de

investimentos. Quanto menor o payback de um projeto, mais atrativo ele se

torna para a empresa.

Vejamos um exemplo numérico para ficar mais claro de entender:

Assumindo um investimento original de R$ 100.000,00 capaz de gerar um

fluxo de caixa líquido para a empresa de R$ 40.000,00 ao ano, utilizando a

fórmula teríamos um payback de 100.000,00 / 40.000,00 = 2,5 anos,

indicando que esse seria o período de tempo necessário para a empresa

recuperar seu investimento.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 64

Quando o fluxo de caixa projetado para os anos futuros do projeto tem valores

de entradas financeiras diferentes, não podemos utilizar essa fórmula, teremos

que fazer o cálculo do período de retorno do investimento de outra forma.

Vejamos um exemplo de fluxo de caixa com valores de entradas financeiras

diferentes:

A figura abaixo mostra o fluxo de caixa de um projeto A representado na linha

do tempo. Os valores estão em múltiplos de R$ 1.000,00. Temos um

investimento inicial de R$ 500.000,00 e três anos de entradas financeiras

líquidas correspondentes respectivamente a R$ 200.000,00, R$ 250.000,00 e

R$ 400.000,00.

Podemos visualizar este mesmo fluxo de caixa analisando de outra forma,

como visto na tabela abaixo. Cada linha da tabela representa um ano do fluxo

de caixa. Na coluna da direita atualizamos o saldo a cada ano.

O cálculo deve obedecer à seguinte sequência:

Ano Fluxo de Caixa Operação PV (FC) Saldo

0 -500.000 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000 -500.000

1 200.000 200.000 ÷ (1+0,10)1 181.818 -318.182

2 250.000 250.000 ÷ (1+0,10)2 206.612 -111.570

3 400.000 400.000 ÷ (1+0,10)3 300.526 188.956

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 65

Observar em que ano o saldo deixa de ser negativo e passa a ser

positivo. O último ano em que foi negativo foi o ano 2. Com isso já

sabemos que o período de retorno estará entre 2 e 3 anos.

Precisamos agora calcular que fração do ano será essa a ser

adicionada aos 2 anos. Para isso, basta que peguemos o valor

absoluto (sem o sinal negativo) do último saldo negativo (50.000,00)

e dividamos pelo valor do fluxo de caixa do ano 3 (400.000), que é o

ano em que o saldo começará a ficar positivo. No caso teremos

50.000/40.000 = 0,125 anos = 1 mês e meio

Chegamos ao período de retorno (Payback) pelo método simples, ou

seja, sem levar o valor do dinheiro no tempo.

Payback Simples 2 + (50.000 / 400.000) = 2 + 0,125 anos = 2,125

anos ou 2 anos 1 mês 15 dias

Vantagens do Payback Simples

1) É um método bastante simples de ser utilizado e de fácil entendimento.

2) Funciona como um indicador de risco do projeto: quanto maior o

payback, maior o risco envolvido na recuperação do investimento.

Problemas do Payback Simples

1) Não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo.

2) Não considera todos os fluxos de caixa do investimento (no exemplo

visto, poderíamos ter os fluxos de caixa dos anos 4, 5,...e eles não

entrariam no cálculo).

3) Desconsidera diferenciais de risco.

4) Uma importante deficiência do período de payback é que o período

apropriado de recuperação é um número determinado subjetivamente.

5) Também ignora o objetivo de maximização de riqueza, pois não se

baseia em fluxos de caixa descontados, e, assim, não fornece qualquer

indicação de que um projeto acrescenta ou não valor à empresa.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 66

6) Devido aos seus problemas, o payback não deve ser utilizado,

isoladamente, como método responsável pela tomada de decisão de

investimento.

Payback descontado

Com o intuito de eliminar o grande ponto de crítica envolvendo o método do

payback, podemos descontar os fluxos de caixa projetados pela taxa de

desconto do projeto. Com isto, estaremos atualizando o valor do dinheiro pelo

custo de capital e apurando um resultado mais preciso.

O payback descontado nada mais é do que o número de períodos necessários

para se recuperar o investimento, porém levando-se em consideração o valor

do dinheiro no tempo.

Devemos lembrar que os fluxos de caixa devem ser atualizados pela fórmula

abaixo:

PV = FV / (1 + i)n

Vejamos o mesmo exemplo do projeto A utilizado para cálculo do período de

retorno do investimento pelo método do Payback Simples, considerando agora

o valor do dinheiro no tempo.

O fluxo de caixa é o mesmo, você se lembra, não?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 67

Fazendo a tabela do fluxo de caixa de forma semelhante, veremos ano a ano o

saldo do fluxo de caixa do projeto. A diferença é que os valores deverão ser

convertidos a valores presentes. Para isso, utilizaremos a taxa de desconto de

fluxo de caixa igual a 10% ao ano, que representará o custo de capital do

projeto para a empresa.

Seguindo a mesma sequência de cálculo do Payback Simples, chegaremos ao

valor do período de retorno do investimento no método do Payback

Descontado.

Payback Descontado = 2 + ( 111.570 / 300.526 ) = 2 + 0,3712.. anos = 2

anos 4 meses 14 dias (aproximadamente)

A introdução do valor do dinheiro do tempo incorpora ao método do payback a

dimensão de avaliação de resultado econômico, a qual estará presente em

todos os demais métodos.

Muito embora o desconto dos fluxos de caixa pelo custo de capital corrija o

principal desvio existente no método do payback, os outros problemas

anteriormente mencionados ainda permanecem, como por exemplo, o fato do

método desconsiderar os fluxos de caixa após o período do retorno do

investimento.

Veja em um exemplo como este fato poderá induzir a uma análise falsa!

Tomemos por base dois projetos, A e B, representados pelos seus fluxos de

caixa. O projeto A é o projeto que utilizamos nos exemplos anteriores e o

projeto B é muito parecido com o projeto A, só que ele tem mais dois anos de

Ano Fluxo de Caixa Operação PV (FC) Saldo

0 -500.000 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000 -500.000

1 200.000 200.000 ÷ (1+0,10)1 181.818 -318.182

2 250.000 250.000 ÷ (1+0,10)2 206.612 -111.570

3 400.000 400.000 ÷ (1+0,10)3 300.526 188.956

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 68

entrada em seu fluxo de caixa. Veja na tabela abaixo o estes fluxos de caixa

dos projetos A e B:

Ano Fluxo de Caixa

Projeto A

Fluxo de

Caixa Projeto

B

0 -500.000,00 -500.000,00

1 200.000,00 200.000,00

2 250.000,00 250.000,00

3 400.000,00 400.000,00

4 - 300.000,00

5 - 150.000,00

Atividade proposta 2

Calcule o valor do Payback Simples e descontado para os dois Projetos A e B

acima.

Método do Valor Presente Líquido (VPL)

O método do Valor Presente Líquido (VPL), ou em inglês Net Present Value

(NPV), é o método mais utilizado na análise de viabilidade financeira de

projetos. Trata-se do desconto de todos os fluxos de caixa do projeto pelo

custo de capital do mesmo, apurando-se o valor atual de cada fluxo e, por

conseguinte, o valor líquido gerado pelo projeto.

Vamos assumir os dois exemplos de projetos utilizados no estudo do Payback,

os projetos A e B, para apresentar os métodos do VPL e depois o da Taxa

Interna de Retorno (TIR).

Nas tabelas a seguir, uma para cada projeto, visualizamos ano a ano os

valores dos fluxos de caixa nominais e, na coluna mais à direita, o valor

presente de cada valor anual atualizado pelo fator de conversão de valor

futuro (FV) em valor presente (PV).

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 69

Na última linha da tabela é apresentada a soma de todos os valores presentes

(lembrando que o valor do investimento inicial no ano 0 é negativo, pois é

uma saída financeira do caixa). Esta soma dos valores presentes de todas as

entradas e saídas financeiras ao longo do fluxo de caixa do projeto é o que

chamamos de Valor Presente Líquido (VPL) do projeto. Utilizaremos para

desconto do fluxo de caixa de cada projeto a taxa de 10% ao ano.

Ano Fluxo de Caixa

Projeto A Operação PV (FC)

0 -500.000,00 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000,00

1 200.000,00 200.000 ÷ (1+0,10)1 181.818,18

2 250.000,00 250.000 ÷ (1+0,10)2 206.611,57

3 400.000,00 400.000 ÷ (1+0,10)3 300.525,92

4 - - -

5 - - -

Valor Presente Líquido

Projeto A R$ 188.955,67

Ano Fluxo de Caixa

Projeto B Operação PV (FC)

0 -500.000,00 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000

1 200.000,00 200.000 ÷ (1+0,10)1 181.818

2 250.000,00 250.000 ÷ (1+0,10)2 206.612

3 400.000,00 400.000 ÷ (1+0,10)3 300.526

4 300.000,00 300.000 ÷ (1+0,10)4 204.904

5 150.000,00 150.000 ÷ (1+0,10)5 93.138

Valor Presente Líquido

Projeto B R$ 486.997,91

Podemos dizer que os VPLs dos projetos A e B, sendo positivos, indicam que

os projetos são financeiramente viáveis. Em outras palavras podemos

interpretar estes resultados de várias formas:

os ganhos dos projetos A e B remuneram o investimento feito

em 10% ao ano e ainda permitem aumentar o valor da empresa

daqueles valores que os VPL indicam.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 70

poderiam ser gastos mais R$ 188.955,67 e R$ 486.997,91,

respectivamente nos projetos A e B, como investimento no início

do primeiro período e mesmo assim os ganhos remunerariam a

empresa em 10% ao ano.

os dois projetos são mais atrativos do que, por exemplo, uma

aplicação financeira que remunerasse o capital inicial de R$

500.000,00 em 10% ao ano.

os dois projetos A e B são financeiramente viáveis comparados a

essa atratividade de remuneração de 10% ao ano. No entanto,

como o VPL do projeto B (R$ 486.997,91) é maior do que o VPL

do projeto A (R$ 188.955,67), pode-se dizer que o projeto B é

financeiramente mais atrativo do que o projeto A.

Atividade proposta 3

Vejamos agora um terceiro projeto, o Projeto C. Veja o seu fluxo de caixa na

tabela abaixo.

Tente fazer sozinho o preenchimento da tabela de forma semelhante como

fizemos para os projetos A e B, calculando ao final o valor do VPL do Projeto

C. Aproveite interprete o resultado e compare com os resultados dos projetos

A e B. Veja a solução em seguida com a tabela preenchida.

Ano Fluxo de Caixa

Projeto C Operação PV (FC)

0 -500.000,00

1 100.000,00

2 150.000,00

3 300.000,00

4

5

Valor Presente

Líquido Projeto C

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 71

Com esses exemplos que vimos dos projetos A, B e C podemos enunciar os

critérios de aceitação de um projeto pelo método do Valor Presente Líquido:

VPL > 0; o projeto será economicamente interessante ao custo de

capital considerado. Quanto maior o VPL, maior o valor gerado para

a empresa.

VPL = 0; significa que o valor presente das entradas é igual ao

valor presente das saídas de caixa. Isso implica dizer que o projeto

produz retorno igual à taxa mínima de atratividade da empresa.

VPL < 0; o projeto não será economicamente interessante ao custo

de capital considerado, pois não ocorre a recuperação do

investimento realizado.

A expressão matemática do VPL é dada pela equação:

onde:

R0 => investimento inicial

R1, R2, ... , Rn => Valor do fluxo de caixa gerado pelo projeto

t => tempo

i = > custo de capital

Utilizando a HP 12C temos a seguinte solução para o cálculo do VPL do projeto

A. Tente depois você fazer o mesmo para os projetos B e C.

Tecle “f” “reg”

Limpa os registros financeiros (acostume-se a fazer isso sempre que iniciar

uma nova operação)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 72

Digite “500000”; “CHS”

Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange

Signal)

Tecle “g” “cfo”

Informa à calculadora que o -500000 é o investimento inicial (CF0, Cash

Flow, Fluxo de Caixa no ano 0)

Digite “200000”

Valor do primeiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 200000 é o valor do primeiro fluxo de Caixa

(CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1)

Digite “250000”

Valor do segundo fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 250000 é o valor do segundo fluxo de Caixa

(CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2)

Digite “400000”

Valor do terceiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 400000 é o valor do erceiro fluxo de Caixa

(CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3)

Digite “10”

Valor da taxa de desconto do fluxo de caixa

Tecle “i”

Informa à calculadora o valor da taxa de desconto do fluxo de caixa

Tecle “f” “NPV”

Solicita à calculadora que informe o valor do VPL (NPV, Net Present Value,

Valor Presente Líquido em inglês)

Resultado no display R$ 188.955,67.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 73

Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês Internal Rate of Return (IRR),

demonstra a rentabilidade efetiva de um investimento durante todo o ciclo de

vida do projeto.

Por definição, a Taxa Interna de Retorno de um projeto convencional é

a taxa de juros para o qual o seu VPL é nulo.

Após determinar a TIR do projeto, deve-se compará-la com o custo de capital

da empresa (TMA taxa mínima de atratividade). O projeto será considerado

rentável e, portanto, atraente do ponto de vista econômico se sua TIR for, no

mínimo, igual ao custo de capital. Quanto maior a TIR, mais desejável é o

investimento.

Iremos utilizar os mesmos projetos A, B e C utilizados anteriormente para

entendermos o método da TIR.

Ao utilizarmos uma taxa de desconto (custo de capital) de 10% ao ano

encontramos os seguintes VPLs:

TMA = 10% ao ano

Valor Presente Líquido

Projeto A R$ 188.955,67

Valor Presente Líquido

Projeto B R$ 486.997,91

Valor Presente Líquido

Projeto C -R$ 59.729,53

Se os VPLs dos Projetos A e B são positivos com a TMA de 10% ao ano, é sinal

de que eles têm um retorno maior do que o valor de 10 % aa

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 74

E qual seria essa taxa de retorno máxima em que haveria atratividade

para cada um desses projetos A e B?

Já para o Projeto C a taxa de 10% ao ano forneceu um VPL negativo, sinal de

que não há atratividade para o projeto C com esta taxa, ou seja, a taxa de

retorno do projeto C é menor do que 10% ao ano.

E qual seria essa taxa de retorno máxima em que haveria atratividade

para o projeto C?

Ora, você já deve ter percebido que existe uma forte ligação entre os

conceitos de VPL e da TIR.

A TIR de um projeto será a taxa que se for utilizada para descontar o fluxo de

caixa de um projeto acarretará em um VPL igual a zero, ou seja, a TIR é a

taxa que faz com que o VPL seja nulo.

Vamos pegar como exemplo o fluxo de caixa do projeto A e vamos calcular o

VPL para vários valores de taxa, faremos isso em uma tabela, variando a taxa

de 5 e 50% ao ano.

Taxa de Desconto do Fluxo de

Caixa (% ao ano) VPL Projeto A

0,0% R$ 350.000,00

5,0% R$ 262.768,60

10,0% R$ 188.955,67

15,0% R$ 125.955,45

20,0% R$ 71.759,26

25,0% R$ 24.800,00

30,0% -R$ 16.158,40

35,0% -R$ 52.100,80

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 75

40,0% -R$ 83.819,24

45,0% -R$ 111.956,21

50,0% -R$ 137.037,04

Veja na tabela que o VPL para a taxa de 10% ao ano já conhecemos quando

fizemos o estudo do VPL.

Observe que à medida que vamos utilizando valores de taxas maiores, o VPL

vai diminuindo, passando inclusive a mudar de sinal, deixando de ser positivo

e passando a ser negativo.

O valor da taxa de desconto que iguala o VPL a zero, corresponde ao valor da

TIR do projeto. No caso do projeto A vemos pela tabela que deverá estar entre

25 e 30% ao ano. Utilizando a HP12C ou o Excel poderemos encontrar este

valor com precisão. A TIR do projeto A é igual a 27,95% ao ano.

Os valores da TIR para os projetos B e C são respectivamente 42,5% ao ano e

4,14% ao ano.

NOTA: Utilizando a HP 12C temos a seguinte solução para o cálculo da TIR do

projeto A. É muito semelhante ao cálculo do VPL, no final é que há uma

pequena alteração. Tente depois você fazer o mesmo para os projetos B e C.

Tecle “f” “reg”

Limpa os registros financeiros (acostume-se a fazer isso sempre que iniciar

uma nova operação)

Digite “500000”; “CHS”

Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange

Signal)

Tecle “g” “cfo”

Informa à calculadora que o -500000 é o investimento inicial (CF0, Cash

Flow, Fluxo de Caixa no ano 0)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 76

Digite “200000”

Valor do primeiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 200000 é o valor do primeiro fluxo de Caixa

(CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1)

Digite “250000”

Valor do segundo fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 250000 é o valor do segundo fluxo de Caixa

(CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2)

Digite “400000”

Valor do terceiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 400000 é o valor do erceiro fluxo de Caixa

(CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3)

Tecle “f” “IRR”

Solicita à calculadora que informe o valor da TIR (IRR, Internal Rate of Return,

Taxa Interna de Retorno em inglês)

Resultado no display 27,95.

Observação:

O método da TIR considera que os fluxos de caixa são reinvestidos a

uma taxa igual à TIR do projeto.

Para projetos convencionais, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Valor

Presente Líquido (VPL) vão sempre gerar as mesmas decisões de

aceitar-rejeitar um projeto, mas existem alguns casos em que esses

métodos podem levar a diferentes classificações Veja a seguir.

Casos em que não é desejável a utilização do método da Taxa Interna de

Retorno:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 77

1) Fluxos de caixa não convencionais

Projetos com fluxos de caixa com mais de uma inversão de sinal podem gerar

tantas taxas internas de retorno quantas forem as mudanças de sinal dos

fluxos de caixa.

Exemplo

Seja um projeto com o seguinte fluxo de caixa:

Cálculo da TIR:

0 = -60 + 155 - 100 _

(1 + i)1 (1 + i)2

Resposta: Teremos uma equação de segundo grau que terá duas raízes para

a variável i, fornecendo dois valores de TIR TIR = 25% ou TIR = 33,33%

VEJA QUE DILEMA: Se o custo de capital fosse 30%, qual seria a

decisão do administrador?

A dedução direta da TIR só é plenamente confiável quando os fluxos do

projeto apresentam apenas uma direção (uma saída financeira inicial e

posteriormente apenas entradas financeiras).

Nos casos onde haja inversão do fluxo (entradas e saídas alternadas),

poderemos ter mais do que uma TIR. Dada à complexidade dessas análises,

sugere-se que na ocorrência de inversões no fluxo de caixa do projeto, este

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 78

critério seja substituído por outro de aplicação mais simples e precisa, como o

VPL.

2) Problemas de Escala

Projetos de escalas muito diferentes podem levar a tomadas de decisões

erradas se forem baseadas na TIR.

Exemplo

Uma empresa adquiriu os direitos sobre um filme e está em dúvida se produz

esse filme com uma verba grande ou pequena. Os fluxos de caixa estimados

são:

Fx. Cx._0 Fx. Cx._1 TIR VPL a 25%

Verba Pequena -$10 +$40 300% +$22

Verba Grande -$25 +$65 160% +$27

Baseados apenas pelo critério da TIR, a opção seria produzir o filme com uma

verba pequena, porém, ao se analisar pelo método do VPL a opção seria a

utilização de uma verba grande.

Se seguir o critério da TIR, terá a satisfação de obter uma taxa de

rentabilidade de 300%; se seguir o critério VPL, ficará $27 mais rico.

Uma maneira de se resolver esse problema da TIR é através da análise dos

fluxos incrementais.

Fluxos Incrementais (Vb. Grande - Vb. Pequena)

Fx. Cx._0 Fx. Cx._1 TIR VPL a 25%

Diferença dos Fls. Cx. -$15 +$25 66,67% +$5

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 79

A TIR incremental do investimento é de 66,67%, o que também excede os

25% do custo de capital utilizado. Desta forma, deve-se preferir produzir o

filme com uma verba grande.

A menos que se analise o investimento incremental, a TIR não é um critério

em que se possa confiar para ordenar projetos de diferentes grandezas.

3) Projetos do tipo financiamento

Projetos em que a entrada de capital ocorre na data zero e o desembolso

ocorre em uma data futura.

Em projetos desse tipo a regra se geral da TIR se inverte. Deve-se aceitar

fazer o investimento quando o custo de capital for superior à TIR.

Exemplo: Uma empresa promotora de eventos recebe o valor de R$ 100.000

para produzir uma festa. Os desembolsos serão efetuados ao final de um

período e totalizam $ 130.000. Esse projeto é vantajoso para a empresa,

considerando um custo de capital de 10%?

TIR do projeto = 30%

VLP10% = - $18

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 80

Esse projeto não é vantajoso para a empresa (VPL negativo), porém se

analisado pela TIR, da forma tradicional, chegar-se-ia à decisão de aceitar o

projeto (TIR > custo capital).

Observação:

O VPL é visto como a melhor abordagem para a análise de projetos. Sua

superioridade teórica se deve a um certo número de fatores. O mais

importante é que o uso de VPL presume implicitamente que quaisquer fluxos

de entrada de caixa intermediários gerados por um investimento são

reinvestidos ao custo de capital da empresa. O uso da TIR presume

reinvestimento com as taxas muitas vezes altas especificadas pela TIR. Tendo

em vista que o custo de capital tende a ser uma estimativa razoável da taxa

com a qual a empresa poderia reinvestir realmente fluxos de entrada de caixa

intermediários, o uso do VPL com sua taxa de reinvestimento mais realista e

conservadora é preferível na teoria.

Além disso, conforme visto, existem alguns casos em que a TIR deve ser

utilizada de forma cuidadosa, de modo a se evitar erros de aceitação-rejeição

de projetos.

Aprenda Mais

Conheça a Ferramenta de EVEF so SEBRAE.

Leia a Análise da viabilidade econômico-financeira de projeto de

piscicultura.

Leia a Análise de viabilidade econômico-financeira de uma unidade de

processamento de frutas de Paula Moreira Nardelli e Marcelo Alvaro da

Silva Macedo.

Leia a Análise da viabilidade da implantação de projetos de

automação em pequenas empresas como alternativa a

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 81

modernização: um estudo de caso em uma microempresa do ramo

supermercadista.

Leia a pesquisa de Antonio Carlos Sanguino sobre Custos de implantação e

rentabilidade econômica de povoamentos florestais com teca no

estado do Pará.

Leia o artigo A importância da indústria de terceirização de frota para

geração de valor em negócios de Fernando Cesar Romao e Marco Aurelio

Cabral Pinto.

Leia o artigo Resumo sobre Métodos de Análise de Investimentos por

Marcelo Mesquita

Leia o artigo Método para análise de investimentos: alternativa para

classificação de projetos com prazo e volume de recursos diferentes

de Alexandre Lerch Franco e Oscar Claudino Galli.

Leia o artigo Estudo da Viabilidade de Investimentos em uma Franquia

de Ensino Profissionalizante de Pablo Luiz Martins.

Leia o artigo Seleção de projetos de licitação pública através da

aplicação de técnicas de orçamento de capital em obras de

construção civil de Elisane Pagno, Juliana Andréia Rüdell Boligon, Flaviani

Souto Bolzan Medeiros e Élio Sérgio Denardin.

Exercícios de fixação

Questão 1

O diretor de uma empresa precisa conhecer o resultado da avaliação de um

novo investimento que, segundo suas estimativas, vai gerar os seguintes

fluxos de caixa anual: $70.000; $60.000; $50.000; $40.000; $30.000;

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 82

$20.000; $10.000. O investimento será de $180.000 e ele trabalha com uma

taxa mínima de atratividade (TMA) de 15% ao ano. É INCORRETO afirmar

que:

a) A taxa interna de retorno (TIR) do projeto está entre 17% aa e 18%

aa.

b) O projeto é inviável para valores de TMA inferiores a 15% aa.

c) O projeto será viável sempre que a TMA for inferior à TIR.

d) O projeto é viável, mas seu valor presente líquido (VPL) é inferior $

10.000,00.

e) Par uma TMA de 20% aa o projeto seria inviável.

Questão 2

A empresa Alfa precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de

$80.000 e vida útil de 3 anos. Ela tem as seguintes estimativas para o fluxo de

caixa anual: $20.000; $35.000; $50.000. A taxa mínima de atratividade (TMA)

é de 15% ao ano. Pode-se afirmar que:

a) A taxa interna de retorno (TIR) do projeto está entre 13%aa e 14%aa.

b) O valor presente líquido (VPL) do projeto é positivo para uma TMA de

15%aa.

c) O projeto é inviável, pois a TIR é inferior à TMA de 15% aa.

d) O projeto é atrativo se a TMA for igual a 11% aa.

e) O período de retorno do projeto é superior a três anos.

Questão 3

Em relação ao exercício anterior, qual o valor máximo para o investimento

inicial que torna o projeto viável ?

a) $ 17.391,30

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 83

b) $ 26.465,03

c) $ 32.875,81

d) $ 76.732,14

e) $ 88.241,97

Questão 4

Considere um projeto de investimento financeiramente viável. Neste caso, o

valor presente líquido de seus fluxos da data zero é:

a) Igual ao payback descontado.

b) Menor que zero.

c) Igual a seu valor futuro descontado.

d) Maior que seu valor futuro descontado.

e) Maior ou igual a zero.

Questão 5

Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente

excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

Ano Projeto X Projeto Y

0 -D -R$ 25.000,00

1 R$ 10.800,00 R$ 16.200,00

2 R$ 11.664,00 R$ 17.496,00

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-

se que os valores presentes líquidos referentes aos dois projetos são iguais.

Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a:

a) R$ 5.000,00

b) R$ 10.000,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 84

c) R$ 15.000,00

d) R$ 20.000,00

e) R$ 25.000,00

Referências

GITMAN, L., Princípios de Administração Financeira, 2ª Ed. , Bookman, 2000

SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos.

São Paulo: Prenticce-Hall, 2006

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 85

Aula 4: Uso da calculadora HP 12C

Introdução

Nesta aula iremos conhecer particularidades operacionais de uma das mais

importantes ferramentas para auxílio nos cálculos financeiros, a calculadora

eletrônica financeira HP12C. Veremos que esta calculadora tem as principais

funções e fórmulas financeiras residentes em sua memória. A ideia de seu

fabricante foi facilitar e agilizar os cálculos, bastando seguir uma sequência de

operações simples que se limita apenas a informar à calculadora os dados de

um problema e ela “faz as contas” de forma mais automática. Uma vez

aprendido, sua operação é muito fácil e simples. No entanto, de nada adianta

ter uma calculadora dessas em mãos se não tivermos o conhecimento prévio

do que foi estudado nas aulas anteriores a esta em nossa disciplina.

Objetivos:

Utilizar a calculadora HP 12C para cálculo de operações básicas de juros

compostos

Utilizar a calculadora HP 12C para resolver problemas de sistemas de

amortização de dívidas pelo sistema PRICE

Utilizar a calculadora HP 12C para resolver problemas de análise de

viabilidade financeira de projetos por meio do cálculo do Valor Presente

Líquido (VPL) e da Taxa Interna de Retorno (TIR)

Conteúdo

Introduçao

Nossa aula não tem a finalidade de ser um manual de uso da calculadora

financeira HP12C. Na Internet você poderá acessar inúmeros sites com

manuais e vídeos contendo instruções e exemplos em seus mais diferentes

níveis. Se é a primeira vez que você está tendo contato com a calculadora

HP12C, o primeiro passo é você ter a sua disposição uma calculadora. Hoje em

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 86

dia você já tem a possibilidade de obter e você nunca m esses manuais e

instruções de utilização da calculadora

Vamos visualizar a calculadora HP12C e explorar os principais botões?

n - Representa o período em anos, meses, dias, etc.

i - Representa a taxa de juros em anos, meses, dias, etc.

PV - Representa o Valor Presente (Capital Principal) na função branca, o

Investimento na função azul e o VPL na função laranja

PMT - Representa o Valor das Prestações (valores iguais) no sistema PRICE na

função branca e o valor das parcelas (valores diferentes) na função azul

FV - Representa o Valor Futuro (Montante) na função branca e a TIR na

função laranja

CHS - Muda o sinal de positivo para negativo e vice-versa

yx - Eleva ao expoente (realiza operações com exponencial)

CLx - Apaga o visor, mas não apaga a memória

ON - LIGA e DESLIGA

f - Ativa as funções laranja (acima das teclas) como, por exemplo, NPV. OBS.:

NPV significa VPL.

g - Ativa as funções azuis (na parte inferior das teclas) como, por exemplo,

CFO. OBS.: CFO significa Investimento na data zero.

ENTER - É utilizada para processar os dados digitados

÷ X - + Operadores matemáticos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 87

Ao iniciar o manuseio dessa calculadora, você perceberá sua diferença (HP-

12C) em relação as calculadoras convencionais. As calculadoras convencionais

executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à sequência

natural da Matemática.

Por exemplo, para fazer a operação 5 + 7, siga os seguintes procedimentos:

tecle o número 5, depois a tecla ENTER, posteriormente a tecla 7 e,

finalmente, a tecla +. O resultado aparecerá no visor (12).

I. Continuar? Tecle CLX para apagar o visor (observe que aparecerão

zeros no visor). Após, faça os seguintes cálculos:

I. 9 vezes 3

II. 15 dividido por 5

III. 4 menos 1

IV. 3 + 8

Os procedimentos são os seguintes:

a) CLX 9 ENTER 3 X;

b) CLX 15 ENTER 5 ÷; CLX 4 ENTER 1 – ; CLX 3 ENTER 8 +.

Os resultados aparecerão no visor sempre após a digitação da última

operação.

A HP-12C executa suas operações por meio do sistema de entrada de dados

RPN (Notação Polonesa Reversa), onde primeiro se introduz os dados,

separados pela tecla ENTER, e depois as operações. Tal sistema torna os

cálculos extensos muito mais rápidos e simples.

Observe que em algumas teclas, podem ser encontrados até três funções

diferentes, a saber:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 88

Função acima da tecla

Face principal da tecla

Função abaixo da tecla

Além dessas observações, anote as seguintes recomendações:

a) Para alterar o número de casas decimais, tecle a tecla laranja f (função

f) e depois o número correspondente às casas decimais desejadas. Se,

por exemplo, você deseja quatro casas decimais, então tecle o

seguinte: f e depois o número 4 (f 4);

b) Para fazer cálculos simples com percentual, utilize as teclas %T, ∆%,

%. A tecla %T calcula quanto que um número equivale

percentualmente de outro. Por exemplo, quanto 40 equivale,

percentualmente, de 200? Tecle 200 ENTER 40 %T, e aparecerá no

visor 20, que significa 20%. A tecla ∆% serve para calcular a variação

percentual. Por exemplo, se você vende hoje 700 unidades e, para o

próximo mês espera vender 910 unidades, qual foi o aumento

percentual nas vendas. A calculadora HP 12C trata isso de uma forma

bem simplória. Basta digitar o seguinte: 700 ENTER 910 ∆%. Você

observará no visor, o número 30, que significa uma variação igual a

30%, ou seja, as vendas aumentaram em 30%. Por fim, a tecla %

serve para calcular simples percentuais. Por exemplo, quanto é 15% de

300. Na calculadora digite o seguinte: 300 ENTER 15 %. Aparecerá no

visor o número 45, que significa R$ 45,00.

c) Para calcular exponencial (23) – Dois elevado à terceira potência –

digite o seguinte em sua calculadora: 2 ENTER 3 YX. Observe que o

visor retornará com o número 8.

Agora que você já teve o primeiro contato com as principais funções de nosso

interesse, vejamos a solução de alguns exemplos que já resolvemos

anteriormente nas aulas passadas.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 89

Exemplo 1: Cálculo do valor futuro

Qual o saldo (valor futuro) que teremos ao final do 5o. ano, se efetuarmos

um depósito anual de R$ 1.000 (ao final de cada ano), aplicando-se uma taxa

de juros de 12% ao ano?

Fazendo pela fórmula temos a seguinte solução:

Fórmula: [

]

FV = 1.000 * [((1 + 0,12)5 – 1)/0,12]

FV = 1.000 * [(1,76234 – 1)/0,12]

FV = 1.000 * [0,76234/0,12]

FV = R$ 6.352,85

Veja ao final da aopstila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

Vamos resolver o mesmo exemplo, só que agora transformando em uma série

antecipada:

Neste caso, o resultado é simplesmente o da série postecipada, ajustado por 1

período.

Fazendo pela fórmula temos a seguinte solução:

Fórmula: [

]

FV = 1.000 * [((1 + 0,12)5 – 1)/0,12] * 1,12

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 90

FV = 1.000 * [(1,76234 – 1)/0,12] * 1,12

FV = 1.000 * [0,76234/0,12] * 1,12

FV = 6.352,85 * 1,12

FV = R$ 7.115,19

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

Exemplo 2: Cálculo do valor presente

Suponha que você esteja fazendo o financiamento de um carro novo. A

disponibilidade máxima que você tem em seu orçamento mensal para

pagamento de uma prestação na compra deste um carro novo é de R$ 800,00.

Você deseja saber qual é o valor máximo que é possível financiar pagando

este valor mensalmente. O maior prazo de financiamento que a financeira

disponibiliza é de 60 meses, na forma postecipada (é a forma mais utilizada, a

primeira prestação vence após trinta dias do ato da compra). Considerando

uma taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor atual (valor presente)

equivalente a esta série de 60 pagamentos mensais futuros de R$ 800,00

cada?

Fazendo pela fórmula temos a seguinte solução:

Fórmula: [

]

PV = 800 * (((1,01)60 – 1) / (0,1 * (1,01)60))

PV = 800 * (0,8167 / 0,018167)

PV = 800 * 44,9551

PV = R$ 35.964,03

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 91

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

Exemplo 3: Cálculo do valor da prestação

Vamos agora imaginar o problema inverso. Vamos manter o mesmo exemplo

do financiamento do carro visto anteriormente. Da mesma forma que

apuramos os valores futuro e presente de uma anuidade, podemos calcular o

valor da prestação de uma série (uniforme).

Os dados do problema são:

Valor Presente (série postecipada) VP = R$ 35.964,03

Prazo (em meses) n = 60 meses

Taxa de juros mensal i% = 1% a.m.

Valor da prestação PMT = ?

Fazendo pela fórmula temos a seguinte solução:

Fórmula: [

]

PMT = 35964,03 * {[0,01 * (1,01)60] / [(1,01)60 – 1)]}

PMT = 35964,03 * (0,01817 / 0,8167)

PMT = 35964,03 * 0,02225

PMT = R$ 800,00

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 92

Exemplo 4: Séries variáveis (não uniformes)

Vocês se lembram do exemplo que utilizamos na apresentação de uma série

variável?

Veja-o de novo na figura abaixo (foi utilizada a taxa mínima de atratividade de

1% ao mês):

Fazendo pela fórmula temos a seguinte solução:

Prazo Valor Nominal

FV Taxa de Juros Fórmula

Valor presente PV

0 -100 1% - 100 (100,0)

1 -50 1% - 50 / (1 + 0,01)1 (49,5)

2 50 1% 50 / (1 + 0,01)2 49,0

3 100 1% 100 / (1 + 0,01)3 97,1

4 150 1% 150 / (1 + 0,01)4 144,1

5 150 1% 150 / (1 + 0,01)5 142,7

6 -100 1% - 100 / (1 + 0,01)6 (94,2)

7 50 1% 50 / (1 + 0,01)7 46,6

8 100 1% 100 / (1 + 0,01)8 92,3

9 150 1% 150 / (1 + 0,01)9 137,2

Valor presente total 465,4

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 93

Exemplo 5: Valor Presente Líquido (VPL)

Lembram-se do Projeto A, veja a tabela com o Fluxo de Caixa e os valores que

conduziram ao cálculo do Valor Presente Líquido.

Fazendo pela fórmula temos a tabela abaixo:

Ano Fluxo de Caixa

Projeto A Operação PV (FC)

0 -500.000,00 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000,00

1 200.000,00 200.000 ÷ (1+0,10)1 181.818,18

2 250.000,00 250.000 ÷ (1+0,10)2 206.611,57

3 400.000,00 400.000 ÷ (1+0,10)3 300.525,92

Valor Presente Líquido Projeto A

R$ 188.955,67

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

Exemplo 6: Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)

Iremos utilizar o mesmo projeto A visto no exemplo 5.

Para o cálculo da TIR temos que contar com o uso da HP12C mesmo, já que

não temos como calcular analiticamente a TIR.

A TIR do projeto A é igual a 27,95% ao ano. Os valores da TIR para os

projetos B e C são respectivamente 42,5% ao ano e 4,14% ao ano.

Veja ao final da apostila a solução utilizando a calculadora financeira HP12C.

Aprenda Mais

Conheça melhor a Calculadora HP12C pelo vídeo da Escreviver que se

encontra em nossa galeria.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 94

Veja em nossa galeria de vídeos os Primeiros passos com a calculadora

HP12C pela Escreviver.

Veja em nossa galeria de vídeos o Curso completo da calculadora HP12C

por Luciano Trindade.

Exercícios de fixação

Questão 1

Quando utilizamos a função NPV na HP12C estamos interessados no cálculo de

que parâmetro estudado:

a) Novo Presente Valor

b) Valor Presente Líquido

c) Taxa Interna de Retorno

d) Valor Atual Uniforme

e) Taxa Interna de Retorno Modificada

Questão 2

Quando utilizamos a função IRR na HP12C estamos interessados no cálculo de

que parâmetro estudado:

a) Novo Presente Valor

b) Valor Presente Líquido

c) Taxa Interna de Retorno

d) Valor Atual Uniforme

e) Taxa Interna de Retorno Modificada

Questão 3

Quando utilizamos a função PMT na HP12C estamos interessados no cálculo de

que parâmetro estudado:

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 95

a) Valor Presente

b) Valor Futuro

c) Número de Prestações

d) Valor da Prestação

e) Taxa de financiamento

Questão 4

Quando precisamos trocar o sinal de algum valor, que tecla da HP12C

deveremos acionar?

a) +/-

b) TrSn

c) – or +

d) CLX

e) CHS

Questão 5

Que comando devemos fazer para escolher a apresentação dos valores com 3

casas decimais?

a) 3

b) f 3

c) g 3

d) f CHS 3

e) g CLX 3

Referências

http://www.hp.com/latam/br/produtos/calculadoras/mod_aprendizado/profess

ores/12c.html

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 96

Chaves de resposta

Aula 1

Atividade proposta 1

Gabarito letra C, veja a solução:

Vamos chamar de FV3 o valor do terceiro pagamento na data em que foi pago.

Sabemos que não podemos somar ou subtrair valores que estejam em datas

diferentes.

Para que possamos utilizar o princípio da equivalência de capitais, vamos

converter todos os valores para a data em que foi feito o empréstimo.

O valor tomado emprestado continua valendo R$ 100.000,00 mesmo, pois ele

está referenciado a própria data do empréstimo.

O valor presente PV1, do primeiro pagamento FV1= 50.000,00 será:

PV1 = 50.000 / (1 + 0,03)2 PV1 = 47.129,80

O valor presente PV2, do segundo pagamento FV2= 50.000,00 será:

PV2 = 50.000 / (1 + 0,03)4 PV2 = 44.424,35

Ora, pelo princípio de equivalência de capitais, a soma do valor presente dos

três pagamentos deverá ser igual ao valor da importância tomada emprestada,

ou seja, R$ 100.000,00.

Assim,

PV1 + PV2 + PV3 = 100.000

47.129,80 + 44.424,35 + PV3 = 100.000,00

PV3 = 8.445,85

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 97

Esta ainda não é a resposta, pois este valor de PV3 está referenciado à data

do empréstimo. Queremos saber o valor FV3, que será equivalente a PV3 na

data em que será feito o terceiro pagamento, que é cinco meses depois

(1 mês + 2 meses + 2 meses). O que temos que fazer agora é “levar” esse

PV3 cinco meses para frente, achando o FV3 da seguinte forma:

FV3 = 8.445,85 * (1 + 0,03)5 FV3 = R$ 9.791,05

Atividade proposta 2

1) R$ 32.306,54

2) R$ 10.545,00

3) R$ 105,44

4) R$ 751,36

5) R$ 150.480,00

Exercícios de fixação

Questão 1 – D

Justificativa: Temos que trazer todas as prestações do futuro para o valor

presente, para então podermos comparar com a proposta a vista. Observe que

os juros são trimestrais e as parcelas tembém são trimestrais. Então, basta

trazer os valores futuros para valores presentes com a fórmula:

VP = FV / (1 + i)n

Questão 2 – A

Justificativa: Temos que trazer a parcela de 100.000 para o valor presente e,

depois, somar aos R$ 50.000 que é dado à vista. Observe que o prazo é de 12

meses (um ano). assim, basta trazer o valor futuro p/ valor presente com a

fórmula: vp = fv / (1 + i)n

pv1 = 100.000 / (1,025)12 = 74.355,58 que somado com 50.000 dá

124.355,58, mostrando que é melhor pagar à vista o valor de R$ 120.000,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 98

Questão 3 – D

Justificativa:

FV = 3000

d% = 6%am

n = 60 dias = 2 meses

DF = FV . d . n DF = 3000 . 0,06 . 2 DF = R$ 360,00

PV = FV – DF PV = 3000 – 360 PV = R$ 2.640,00

Questão 4 – E

Justificativa:

PV = 6000 / (1 + 0,04)12 PV = 3.747,58

Questão 5 – C

Justificativa: A opção C é a que tem o menor valor presente

a) PV = 12000,00

b) PV = 12518,32

c) PV = 11538,55

d) PV = 12490,00

e) PV = 11570,19

Aula 2

Atividade proposta 1

Vamos chamar de FV3 o valor do terceiro pagamento na data em que foi pago.

Sabemos que não podemos somar ou subtrair valores que estejam em datas

diferentes.

Para que possamos utilizar o princípio da equivalência de capitais, vamos

converter todos os valores para a data em que foi feito o empréstimo.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 99

O valor tomado emprestado continua valendo R$ 100.000,00 mesmo, pois ele

está referenciado a própria data do empréstimo.

O valor presente PV1, do primeiro pagamento FV1= 50.000,00 será:

PV1 = 50.000 / (1 + 0,03)2 PV1 = 47.129,80

O valor presente PV2, do segundo pagamento FV2= 50.000,00 será:

PV2 = 50.000 / (1 + 0,03)4 PV2 = 44.424,35

Ora, pelo princípio de equivalência de capitais, a soma do valor presente dos

três pagamentos deverá ser igual ao valor da importância tomada emprestada,

ou seja, R$ 100.000,00.

Assim,

PV1 + PV2 + PV3 = 100.000

47.129,80 + 44.424,35 + PV3 = 100.000,00

PV3 = 8.445,85

Esta ainda não é a resposta, pois este valor de PV3 está referenciado à data

do empréstimo. Queremos saber o valor FV3, que será equivalente a PV3 na

data em que será feito o terceiro pagamento, que é cinco meses depois (1

mês + 2 meses + 2 meses). O que temos que fazer agora é “levar” esse PV3

cinco meses para frente, achando o FV3 da seguinte forma:

FV3 = 8.445,85 * (1 + 0,03)5 FV3 = R$ 9.791,05 Resposta correta: C

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 100

Atividade proposta 2

Período Prestação Juros Amortização Saldo

Devedor

0 - - - 84.000,00

1 14.560,00 7.560,00 7.000,00 77.000,00

2 13.930,00 7.560,00 7.000,00 70.000,00

3 13.300,00 6.300,00 7.000,00 63.000,00

4 12.600,00 5.670,00 7.000,00 56.000,00

5 12.040,00 5.040,00 7.000,00 49.000,00

6 11.410,00 4.410,00 7.000,00 42.000,00

7 10.780,00 3.780,00 7.000,00 35.000,00

8 10.150,00 3.150,00 7.000,00 28.000,00

9 9.520,00 2.520,00 7.000,00 21.000,00

10 8.890,00 1.890,00 7.000,00 14.000,00

11 8.260,00 1.260,00 7.000,00 7.000,00

12 7.630,00 630,00 7.000,00 -

Atividade proposta 3

Para podermos fazer uma comparação entre vantagens e desvantagens entre

os dois sistemas de financiamento, Price e SAC, precisamos lembrar

primeiramente de não cometermos um erro bastante comum que é somar os

juros pagos e comparar entre os dois sistemas.

Se compararmos o montante de juros pelo sistema SAC poderemos concluir

que ele será menor que o montante de juros pagos pelo sistema Price. Isto

acontece porque no sistema SAC o volume de dinheiro para os pagamentos

iniciais é maior do que no sistema Price. Uma análise em favor do sistema SAC

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 101

é que se pode quitar uma dívida mais rapidamente do que no sistema Price.

No entanto, a desvantagem é a necessidade de se possuir mais dinheiro no

início do financiamento do que no Price.

No sistema SAC, ao se aproximar do final do financiamento, as prestações

ficam nominalmente menores do que no sistema Price. Para financiamentos

mais longos, como os habitacionais, em que a capacidade de gerar renda das

pessoas tende a reduzir à medida que elas ficam mais idosas, o sistema SAC

tende a ser mais vantajoso.

Se deixarmos de lado a discussão em torno do fluxo de caixa da série de

pagamentos, ou seja, a capacidade de se poder pagar mês a mês as parcelas

do financiamento, podemos dizer que os dois sistemas são equivalentes, pois

ambos levam em consideração a mesma taxa de juros, que em nosso exemplo

foi de 15% ao ano.

Exercícios de fixação

Questão 1 – E

Justificativa: Usando a fórmula abaixo, encontramos o valor financiado de PV

= R$ 32.500,00

[

]

O valor do carro usado é igual a 50.000,00 – 32.500,00 = R$ 17.500,00

Questão 2 – B

Justificativa:

Dívida 1: PMT = 500 ; i% = 3%am, n = 6 prestações PV1 = R$ 2.708,60

Dívida 1: PMT = 350 ; i% = 2%am, n = 10 prestações PV 2= R$ 3.143,90

O saldo devedor total é igual a R$ 2.708,60 + R$ 3.143,90 = R$ 5.852,50

Questão 3 – A

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 102

Justificativa: Basta relembrar das definições dos dois sistemas de amortização.

SAC: O valor da amortização é constante em todos os períodos e a taxa de

juros incidindo sobre o saldo devedor faz com que as parcelas de juros

diminuam a cada período.

PRICE: A parcela relativa à amortização do capital aumenta a cada período

enquanto a parcela relativa aos juros diminui no mesmo valor mantendo as

prestações constantes.

Questão 4 – E

Questão 5 – E

Justificativa:

Amortização = 60.000,00 / 36 = 1.666,67

Juros na primeira prestação = 0,0285 x 60.000,00 = 1.710,00

Valor da primeira prestação = 1.666,67 + 1.710,00 = R$ 3.376,67

Aula 3

Atividade proposta 2

Você chegará à conclusão que os valores de Payback para o Projeto B são

exatamente os mesmos do Projeto A, que acabamos de estudar e calcular.

E você irá concordar que uma pessoa, mesmo não entendendo dos métodos

de avaliação financeira de projetos, se tivesse que escolher somente um dos

dois projetos, na intuição escolheria o projeto B, pois além de ter o mesmo

período de retorno que o projeto A, o projeto B terá mais duas entradas

financeiras que o projeto A não tem.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 103

NOTA IMPORTANTE

Poderíamos ter ainda uma situação mais crítica em que o Payback, se

fosse utilizado como a única ferramenta para decidir na escolha entre

dois projetos, poderia induzir a uma decisão errada.

Imagine se o projeto A tivesse uma entrada financeira no ano 3 um pouco

maior do que R$ 400.000,00, por exemplo, R$ 500.000,00. Isso faria com que

o novo Payback do ano A, 2 anos 1 mês e 6 dias, experimente calcular) fosse

menor do que o do projeto B, 2 anos 1 mês e 15 dias. Olhando apenas para o

projeto que tem o menor tempo de retorno, escolheríamos o projeto A.

Mas não esqueçamos que o projeto B ainda tem mais duas entradas

financeiras de valores importantes que o projeto A não tem. Poderíamos estar

cometendo um erro ao escolher o projeto A apenas pelo fato de ter um

período de retorno menor.

No exemplo a diferença em dias é pequena, mas serve para ilustrar que o

método do Payback não deve ser utilizado como o único método de análise de

viabilidade financeira entre dois ou mais projetos viáveis. A orientação que

damos é que ele seja um método complementar e seja utilizado com os

métodos do Valor Presente Líquido (VPL) e o da Taxa Interna de Retorno

(TIR), que passaremos a estudar a partir de agora.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 104

Atividade proposta 3

Ano Fluxo de Caixa

Projeto C Operação PV (FC)

0 -500.000,00 500.000 ÷ (1+0,10)0 -500.000,00

1 100.000,00 200.000 ÷ (1+0,10)1 90.909,09

2 150.000,00 250.000 ÷ (1+0,10)2 123.966,94

3 300.000,00 400.000 ÷ (1+0,10)3 225.394,44

4 - - -

5 - - -

Valor Presente

Líquido Projeto C -R$ 59.729,53

O VPL do projeto C é negativo, isso significa que o projeto C, diferentemente

dos projetos A e B, não é financeiramente viável considerando uma taxa de

desconto de seu fluxo de caixa de 10% ao ano.

Exercícios de fixação

Questão 1 – B

Justificativa:

TIR = 17,26 % a.a. e VPL = $ 9.305,40

O projeto é viável para valores inferiores à TIR. A opção B está errada.

Questão 2 – C

Justificativa:

TIR = 12,85%aa e VPL = - $ 3.267,86

Obs: Payback entre 2 e 3 anos

Questão 3 – D

Justificativa: O valor o investimento inicial máximo para o projeto ser viável à

uma TMA de 15%aa corresponderá à soma de todos os valores presentes das

entradas financeiras futuras. Estes valores são $ 17.391,30 , $ 26.465,03 e $

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 105

32.875,81, que somados equivalem a $ 76.732,14. Assim, se o investimento

inicial for igual a esse valor, a TIR do projeto será de 15% aa, e o projeto

estará no limiar de sua viabilidade.

Questão 4 - E

Justificativa: VPL maior ou igual a zero implica em um projeto financeiramente

viável.

Questão 5 - C

Justificativa: O VPL do projeto Y é igual a R$ 5.000,00. Para que o projeto X

tenha este mesmo valor de VPL, o investimento inicial deverá ser igual a R$

15.000,00, pois este valor é igual à soma dos valores presentes das entradas

financeiras dos anos 1 e 2 do projeto X.

Aula 4

Exemplo 1

Cálculo valor futuro

Tecle “f” = tecle “fin” (para limpar a memória financeira)

Tecle “f” = tecle “reg” (para limpar a memória dos registros)

Tecle “g” = tecle “end” (define uma série postecipada)

Digite “5” = tecle “n” (equivale ao número de períodos)

Digite “12” = tecle “i” (taxa de juros percentual por período)

Digite “1.000”= tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor das

prestações)

Tecle “FV”

A máquina fornecerá a resposta R$ 6.352,85

Série antecipada

Tecle “f” = tecle “fin” (para limpar a memória financeira)

Tecle “f” = tecle “reg” (para limpar a memória dos registros)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 106

Tecle “g” = tecle “beg” (define uma série antecipada)

Digite “5” = tecle “n” (equivale ao número de períodos)

Digite “12” = tecle “i” (taxa de juros por período)

Digite “1.000” = tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor das

prestações)

Tecle “FV”

A máquina fornecerá a resposta R$ 7.115,19

Exemplo 2

Cálculo valor presente

Tecle “f” = tecle “fin” (para limpar a memória financeira)

Tecle “f” = tecle “reg” (para limpar a memória dos registros)

Tecle “g” = tecle “end” (define uma série postecipada)

Digite “60” = tecle “n” (equivale ao número de períodos)

Digite “1” = tecle “i” (taxa de juros por período)

Digite “800” => tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor das

prestações)

Tecle “PV”

A máquina fornecerá a resposta R$ 35.964,03

Exemplo 3

Tecle “f” = tecle “fin” (para limpar a memória financeira)

Tecle “f” = tecle “reg” (para limpar a memória dos registros)

Tecle “g” = tecle “end” (define uma série postecipada)

Digite “60” = tecle “n” (equivale ao número de períodos)

Digite “1” = tecle “i” (taxa de juros por período)

Digite “35964,03”=> tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PV” (valor presente)

Tecle “PMT”

A máquina fornecerá a resposta R$ 800,00

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 107

Exemplo 4

Digite “f” “fin”

Tecle “f” “reg”

Digite “100” “CHS”

Tecle “g” “cfo”

Digite “50” “CHS”

Tecle “g” “cfj”

Digite “50”

Tecle “g” “cfj”

Digite “100”

Tecle “g” “cfj”

Digite “150”

Tecle “g” “cfj”

Digite “150”

Tecle “g” “cfj”

Digite “100” “CHS”

Tecle “g” “cfj

Digite “50”

Tecle “g” “cfj”

Digite “100”

Tecle “g” “cfj”

Digite “150”

Tecle “g” “cfj”

Digite “1”

Tecle “i”

Tecle “f” “NPV” =>

A máquina fornecerá a resposta R$ 465,37

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 108

Exemplo 5

Tecle “f” “fin”

Tecle “f” “reg”

Digite “500000”; “CHS”

Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange

Signal)

Tecle “g” “cfo”

Informa à calculadora que o -500000 é o investimento inicial (CF0, Cash

Flow, Fluxo de Caixa no ano 0)

Digite “200000”

Valor do primeiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 200000 é o valor do primeiro fluxo de Caixa

(CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1)

Digite “250000”

Valor do segundo fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 250000 é o valor do segundo fluxo de Caixa

(CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2)

Digite “400000”

Valor do terceiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 400000 é o valor do erceiro fluxo de Caixa

(CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3)

Digite “10”

Valor da taxa de desconto do fluxo de caixa

Tecle “i”

Informa à calculadora o valor da taxa de desconto do fluxo de caixa

Tecle “f” “NPV”

Solicita à calculadora que informe o valor do VPL (NPV, Net Present Value,

Valor Presente Líquido em inglês)

A máquina fornecerá a resposta R$ 188.955,67.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 109

Exemplo 6

Tecle “f” “fin”

Tecle “f” “reg”

Digite “500000”; “CHS”

Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange

Signal)

Tecle “g” “cfo”

Informa à calculadora que o -500000 é o investimento inicial (CF0, Cash

Flow, Fluxo de Caixa no ano 0)

Digite “200000”

Valor do primeiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 200000 é o valor do primeiro fluxo de Caixa

(CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1)

Digite “250000”

Valor do segundo fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 250000 é o valor do segundo fluxo de Caixa

(CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2)

Digite “400000”

Valor do terceiro fluxo de caixa

Tecle “g” “cfj”

Informa à calculadora que o 400000 é o valor do erceiro fluxo de Caixa

(CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3)

Tecle “f” “IRR”

Solicita à calculadora que informe o valor da TIR (IRR, Internal Rate of

Return, Taxa Interna de Retorno em inglês)

Resultado no display 27,95.

Exercícios de fixação

Questão 1 – B

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 110

Justificativa:NPV = NET PRESENT VALUE = VALOR PRESENT LÍQUIDO

Questão 2 – C

Justificativa: IRR = INTERNAL RATE OF RETURNA = TAXA INTERNA DE

RETORNO

Questão 3 – D

Justificativa: PMT = PAYMENT = PAGAMENTO = VALOR DA PRESTAÇÃO

Questão 4 – E

Justificativa: CHS = CHange Signal = TROCA SINAL

Questão 5 – B

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 111

Conteudista

Geraldo Gurgel Filho

Professor da Universidade Estácio de Sá desde 1999. É

Engenheiro Eletricista formado no Instituto Militar de

Engenharia (1983) e Mestre em Engenharia Mecânica pela

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1999).

Possui experiência e vivência em liderança, coordenação e

gerência de projetos estratégicos de interesse do País,

lidando com a obtenção e o domínio de tecnologias críticas e

sensíveis. Vivência internacional e experiência em lidar com

partícipes estrangeiros em projetos e negociações de acordos

de cooperação tecnológica internacionais. Liderança e

integração de diversas equipes e grupos de trabalho para

planejamento, execução e controle de projetos logísticos e de

P&D de materiais e produtos de interesse da Defesa. Atua

como docente no magistério do ensino superior há mais de

20 anos, nível graduação e pós-graduação. É Coordenador

Nacional de Curso Superior em Logística, modalidade EAD, na

Universidade Estácio de Sá (UNESA RJ). Atuou em Gestão e

Projetos de Manutenção Elétrica e Mecânica, Manutenção

preventiva e preditiva de sistema elétrico AT/BT,

subestações, geradores. Emprego de métodos de análise e

predição de falhas usando análise de vibrações e

imageamento térmico, avaliação técnica de materiais sujeitos

a condições adversas (saltspray, ciclo térmico, choque

mecânico, vibração).

Atualizado em: 06 de Setembro de 2013