apostila matemática - engenharia1

Apostila de Matemática

Professor Antonio Carlos Leal Castro Jr.

Professor Antonio Castro Júnior 1

Apostila de Matemática Professor Antonio Carlos Leal Castro

Jr.

Engenharia




São Luis

2012




EMENTA

1. Os números e as operações

1.1 Noções de Conjuntos;

1.2 Expressões numéricas;

1.3 Operações com números Racionais;

1.4 Propriedades da Potência;

2. Cálculo Algébrico

2.1 Operações com monômios e polinômios;

2.2 Produtos notáveis;

2.3 Fatoração;

2.4 Frações Algébricas;

3. Equações e Sistemas

3.1 Equações e Sistemas do 1º grau;

3.2 Equações e Sistemas do 2º grau;

4. Funções

4.1 Funções Reais;

4.2 Domínio e Imagem das Funções;

4.3 Gráficos e Funções do 1º grau e do 2º grau;

4.4 Gráficos e Função Exponencial;

4.5 Gráficos e Função Logarítmica;

5. Trigonometria

5.1 Trigonometria no Triângulo Retângulo;

5.2 Trigonometria na Circunferência;

5.3 Função Seno e Cosseno.




1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Esta figura representa a classe dos números.

Veja a seguir:

N Naturais

“São todos os números positivos inclusive o zero”

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

“Não há números naturais negativos”

Z Inteiros

“São todos os números positivos e negativos inclusive o

zero”

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

“Não há números inteiros em fração ou decimal”

Q Racionais

“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de

zero”

Q = {..., 4

3,

2

1, ...}

I Irracionais

“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não

negativas”

I = {..., 2 , , 7

22, ...}




R Reais

“É a união de todos os conjuntos numéricos, todo número,

seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”

“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par”

AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)

1) Adição

“Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é

a soma”

Exemplos:

4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

+

429,1

3,2

32,4

parcelas

8,049 soma

4

1 +

3

2 +

5

1 =

60

124015 =

60

67 1,1166

ou

4

1 +

3

2 +

5

1 =

9

8,1625,2 =

9

05,10 1,1166

“Isto significa que qualquer número que for colocado no denominador seguindo o processo,

chegará à mesma resposta. Com o MMC (mínimo múltiplo comum) você facilita seu

trabalho”

Observe que as parcelas são

dispostas de modo que se

tenha vírgula sobre vírgula.




2) Subtração

“Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a operação a subtração, e o

resultado é o minuendo”

Exemplos: “As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar

os mesmos exemplos apenas alterando a operação”

3) Multiplicação

“Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o

resultado é o produto”

Exemplo:

7,32 * 12,5 = 91,500

produto 500,91

732

1464

3660

fatores 12,5 *

32,7

2

1 *

3

2 *

1

8 =

6

16 =

3

8 2,6

“Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo

(ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo)”

4) Divisão

“Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e

divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o

resultado é o quociente”

Na multiplicação começa-se

operar da esquerda para a

direita.

Quando a multiplicação

envolver números decimais

(como no exemplo ao lado),

soma-se a quantidade de casas

após a vírgula.




Exemplo:

Existe na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá

sempre sobrar um determinado valore, veja no exemplo a seguir:

843 / 5 = 168

34

43

3 resto (r)

5) Casos particulares da multiplicação e divisão

Multiplicação

N * 1 = N

N * 0 = 0

Divisão

N / 1 = N

N / N = 1

0 / N = 0

N / 0 =

6) Exercícios

a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

b) 4,03 + 200 + 51,2 =

c) 32,4 – 21,3 =

d) 48 – 33,45 =

e) 2,1 * 3,2 =

f) 48,2 * 0,031 =

g) 3,21 * 2,003 =

h) 8,4708 / 3,62 =

i) 682,29 / 0,513 =

j) 2803,5 / 4450 =

k) (FUVEST) 0,22,3

3,0*2,0

=

l) 0,041 * 21,32 * 401,05

m) 0,0281 / 0,432

n) 1,5

4,82 * 31,2

o) 285,0

4,32 * 021,0

Para verificar se o resultado é

verdadeiro basta substituir os valores

na seguinte fórmula:

D = d * q + r

843 = 5 * 168 + 3




7) Valor absoluto ou Módulo

“É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos

um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo,

sendo representado pelo símbolo .”

Exemplos:

7 7

0 0

2 2

9 9

8) Soma e subtração algébrica

Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.

Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.

Exemplos:

a) 2 + 4 = 6

b) – 2 – 4 = – 6

c) 5 – 3 = 2

d) – 5 + 3 = – 2

e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2

f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22

9) Multiplicação e divisão algébrica

Sinais iguais resposta positiva

Sinais diferentes resposta negativa

Isto é:

Exemplos:

a) 12 * 3 = 36

)()(*)(

)()(*)(

)()(*)(

)()(*)(

)()(:)(

)()(:)(

)()(:)(

)()(:)(




b) (-12) * (-3) = 36

c) 2 * (-2) = -4

d) (-2) * 3 = -6

e) 2

4= 2

f) )5(

20

= -4

g) )5(

)20(

= 4

h) 5

)20(= -4

10) Expressões numéricas

Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e

divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em

expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-

se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais

interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal

negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

Exemplo:

a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]

b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11

c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } +

1

11) Decomposição de um número em um produto de fatores primos

A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do

dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.

Exemplos:




30

5

3

2

1

5

15

30

30 = 2 * 3 * 5

21

7

3

1

7

21

21 = 3 * 7

OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.

12) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.

Exemplo:

a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45

720

5

3

3

2

2

2

2

01 \ 01 \ 01

05 \ 01 \ 01

15 \ 01 \ 01

45 \ 01 \ 03

45 \ 02 \ 03

45 \ 04 \ 03

45 \ 08 \ 06

45 \ 12 \ 12

O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720

b) m.m.c. (4; 3) = 12

c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120

d) m.m.c. (8; 4) = 8

e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60




13) Exercícios

a) 2 + 3 – 1 =

b) – 2 – 5 + 8 =

c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =

d) 2 * (-3) =

e) (-2) * (-5) =

f) (-10) * (-1) =

g) (-1) * (-1) * (-2) =

h) 2

4

=

i) 2

8 =

j) 5

20

=

k) 2

)1(*)4(

=

l) 1

7) - (2 * 5) - 3 1(

=

m) 1

3) -5 * 2 - 4 * 3 2(

=

n) 1 } ] 2 ) 3 : 2 * 3 ( 4 - 2 [ 2 - 2 { 2

=

o) } ) 5 - ( 2 )] 58 - ( : ) 3 3 - ( [ 20 - { - 8

=

p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =

q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =

r) 5 : 10 =

s) 3 : 81 * 0,5 =

t) Calcule o m.m.c. entre:

a. 36 e 60

b. 18, 20 e 30

c. 12, 18 e 32

FRAÇÕES ORDINÁRIAS

Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o

denominador.

“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as

frações”




2

1=0,5

4

3=0,75

4

1=0,25

8

1=0,125

8

7 = 0,875

A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: 2

1,

5

3,

210

120, etc.

A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível

representa-la por um número misto e reciprocamente.

Exemplos:

a) 7

10 = 1

7

3 pois

7

10 possui resto 3

b) 5

28 = 5

5

3 pois

5

28 possui resto 3

c) 3

11 = 3

3

2

d) 23

1 =

3

7

14) Propriedade

Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero

obtém-se uma fração equivalente à inicial.

Exemplos:

a) 4

2

2 * 2

2 * 1

2

1

b) 20

15

5 * 4

5 * 3

4

3




c) 3

2

10 : 30

10 : 20

30

20

d) 2

1-

4: 8

4 : 4-

8

4-

15) Soma algébrica de frações

Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.

OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a) 6

5

6

2 3

6

2

6

3

3

1

2

1

b) 3

2

6

4

6

4 - 5 3

6

4 -

6

5

6

3

3

2 -

6

5

2

1

c) 3

11-

3

4-

12

16-

12

24 - 16 9 - 1

12

24 -

12

16

12

9 -

12

1 2 -

3

4

4

3 -

12

1

d) 12

5-

12

48 - 15 28

12

48 -

12

15

12

28 4 -

4

5

3

7 4 -

4

11

3

12

16) Multiplicação de frações

Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.

Exemplos:

a) 10

3

5

3 *

2

1

b) 8

1-

2

1 *

4

1

c) 15

2

5

2 *

3

1

d) 14

3-

7

2 *

4

1 * 3




e) 5

48

5

44

5

16 *

4

11

5

13 *

4

32

17) Divisão de frações

Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.

Exemplos:

a) 2

11

2

3

1

3 *

2

1

31

21

b)

3

11-

3

4-

1

2 *

3

2-

21

32

c) 6

1

3

1 *

2

1

3

21

d) 2

17

2

15

2

3 *

1

5

32

5

e) 27

251-

27

52-

9

4 *

3

13

493

13

412

314

18) Exercícios

Transforme em número misto:

a) 2

3 =

b) 5

12 =

c) 3

100 =

Transforme em fração ordinária:

a) 5

11 =




b) 4

32 =

c) 10

110 =

Simplifique as frações:

a) 4

2 =

b) 27

9 =

c) 48

12 =

Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os

numeradores).

OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”

a > b lê-se “a é maior do que b”

a) 2

1,

3

2

b) 3

2,

6

5

c) 7

4,

8

3

Resolva:

a) 10

1

5

1

b) 3

4 -

3

2

c) 6

1

3

1 -

2

1

d) 5 - 2

13

3

22

e) 5

2 *

3

1

f) 5

2 *

3

1 *

7

3

g)

5

2- *

6

1-

h)

3

11- *

5

12

i)

21

31

j)

5

1- :

3

2




k) 4

1 *

3

2 :

2

1

l) 5

11 :

5

22

m)

2

1 :

4

2

3

1

n)

3

31 1

o)

21

2

21 1

1

p)

313 :

412

521 *

751

-

431 -

852

411

813

Simplifique:

a)

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

b)

1 17

9 :

4

3

3

24

1

3

1

2

1

2. TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou

qualquer que seja)

: não está

contido : conjunto

vazio

: contém N: conjunto dos

números naturais

: não contém Z : conjunto dos




números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos

números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos

números irracionais

: se, e

somente se

R: conjunto dos

números reais

Na Matemática, conjunto, elemento e relação de pertinência são aceitos sem definição.

Notação: Um conjunto é indicado por letras maiúsculas A, B, C, ..., colocando-se seus

elementos entre chaves.

Exemplos:

A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,4}

O conjunto pode ser determinado por uma sentença.

Exemplo:

A = { x/x é número par}

Através de diagrama de Venn.

A

a e i

o u

Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence a B.

A B lê-se A está contido em B (relação de inclusão.

A = {1,2,3,4}




B = {1,2}

A

4

3

1

B 2

Obs: A, A

Conjuntos iguais: Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A B e B A.

Operações sobre os conjuntos:

a) Intersecção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao

conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A B = {a,e}.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos

são disjuntos.

Propriedades:

A =

A A = A

A B = B A

(A B) C = A (B C)

b) União

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A

ou ao conjunto B.




A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B = {a,e,i,o,3,4}.

Propriedades:

A = A

A A = A

A B = B A

(A B) C = A (B C)

c) Diferença

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto

representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não

pertencem a B, ou seja:

A - B = {x: x A e x B}

Obs: Se B A, define-se complementar de B em relação a A:

B

AC = A - B = {x/ x A e x B}

Definimos um número racional como um valor x tal que 0, qeZqpq

px .

Admitindo por redução ao absurdo que p 0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma:

0.0

xpp

x , qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta

p ? Como pode-se ver facilmente esta igualdade é uma impossibilidade. Deve-se portanto

admitir que à medida que o denominador fica próximo de zero, tornando-se muito pequeno, x

torna-se excessivamente grande ou infinitamente grande. Assim:




0

px

Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 0, tem-se:

0.00

0xx , qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta

zero ? Qualquer valor torna a igualdade 0 = x.0 verdadeira, logo pode-se representar qualquer

número real através da fração 0

0 , então esta fração caracteriza uma indeterminação.

Os racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou infinitos e periódicos.

...333,03

10

4

05,0

2

1

d) Irracionais (I ou Q’ )

São aqueles que não podem ser expressos na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente de 0.

São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

e = 2,71828 .... (base neperiana)

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.

Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR+ = conjunto dos números reais não negativos

Intervalos em IR

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais

compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites

do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.

Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.

A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.




REPRESENTAÇÃO

[p;q] = {x IR / p x q}

(p;q) = { x IR / p < x < q}

[p;q) = { x IR / p x < q}

(p;q] = {x IR / p < x q}

[p; ) = {x IR / x p}

(- ; q] = { x IR / x q}

(- ; q) = { x IR / x < q}

(p; ) = { x IR / x > p }

(-,a) (b, +) = { x R / x

a x b}

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto IR) pode ser representado

na forma de intervalo como IR = ( - ; + ).

Exercícios: Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80

trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à noite, 40

trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos operários trabalham só de

manhã ?

ATIVIDADE

1) Represente os seguintes conjuntos enumerando seus elementos:

a) A = {x / x > 3} b) B = {x / x < 8}

c) C = {x / 3 < x < 8} d) D = {x / 4 x < 11}

e) F = {x / x > - 3} f) G = {x / x = 2k e k }

g) H = {x / x = 2k + 1 e k }

2) Em uma escola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que

os alunos costumam beber. Os resultados foram: A = 200 , A e B = 20 Nenhum = 100

a) Quantos bebem apenas o refrigerante A ?

b) Quantos bebem apenas o refrigerante B ?

c) Quantos bebem B ?

d) Quantos bebem A ou B ?

Representação geométrica




3) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de tv favoritos: (E)

esporte, novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses

programas:

Programas Número de telespectadores

E 400

N 1220

H 1080

E e N 220

N e H 800

E e H 180

E,N e H 100

Através desses dados, calcule o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três

programas.

4) Sendo A = [2;5] e B = (3;7) determine graficamente e através da notação de conjuntos:

a) A B b)

c) A - B d)

3. INTERVALOS

O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é

representado pelo símbolo R.

Os números reais podem ser fracionários

Ex.: 2,7893 .

NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS

São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros

positivos ou negativos.

Ex.: 0

1 ,

1

1 ,

1

2 ,

2

1 ,

1

3 ,

2

7 ,

21

13 , ... , etc. racionais positivos

BA

AC

... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...

nos negativos nos positivos




ou

- 1

2 , -

5

7 , -

2

3 , -

41

17 , ... , etc. racionais negativos

NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS

São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por

exemplo:

2 , 3 , - 5 , , etc.

VARIÁVEIS E CONSTANTES

Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número

de um conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...)

Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é

denominado de constante. Ex.: , e, 3 , etc.

Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos ,

que são definidos a seguir.

Seja a e b números reais, tais que a < b.

1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números

reais x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo.

2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números

reais x, tais que a x b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo.

3 - Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [a,b[ é o conjunto de

números reais x, tal que a x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b

não pertence.

] [ a b

[ ] a b

[ [ a b




4 - Intervalo aberto à esquerda ]a , b]. b ao intervalo. a ao intervalo.

OUTROS TIPOS DE INTERVALOS

Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +

e - (infinito).

Os intervalos

1 - De a até + , representado por [a, +[ é o conjunto de todos os números reais x

tal que x > a.

2 - De - até a é ]-, a] é o conjunto dos números reais x tal que x < a.

3 - De a até +, representado por [a, +[ é o conjunto de todos os números reais x,

tais que x a.

4 - De - até a, ]-,a] , x a.

5 - O intervalo ]-, +[ é o conjunto dos números reais R.

Noção de dependência ou funcionalidade.

Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas

grandezas (variáveis), por exemplo:

1) A área de uma circunferência A = r2 depende de seu raio. A depende do r, que

podemos dizer A é função de r, ou ainda A = f(r).

2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso).

3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P)

] ] a b

[ a

+

a ao intervalo - a

]

[ a

+

a ao intervalo

-

a

a ao intervalo ]




Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação

entre variáveis, esse conceito é o de função.

4. POTÊNCIAS

Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.

grau.seu o determina que potência, da expoente o én

potência; da base a é A... *A *A *A *A *A A

vezesn

n

Assim:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8 2³ = 8

(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)

4 = 1

CASOS PARTICULARES:

a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:

A1 = A; 2

1 = 2

b) Toda potência de 1 é igual a 1:

1² = 1; 1³ = 1

c) Toda potência de 0 é igual a 0:

0² = 0; 0³ = 0

d) Toda potência de expoente par é positiva:

(- 2)4 = 16; 2

4 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9

e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:

3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27

25 = 32 ; (- 2)

5 = - 32

19) Multiplicação de potências de mesma base

Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.

Realmente: 52 3

vezes5

vezes2 vezes3

2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2² * ³2




Exemplo:

5² * 57 = 5

9 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125

20) Divisão de potências de mesma base

Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.

Realmente: 24 - 6

vezes6

vezes4

4

6

5 5 5 * 5 * 5 * 5

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

5

5

Exemplo: 37 : 3

3 = 3

4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

21) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)

Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²

Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375

22) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)

Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Realmente:

2

2

2

7

2

7

2 *

7

2

7 * 7

2 * 2

7

2

Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64

23) Potenciação de potência

Eleva-se a base ao produto dos expoentes.

Realmente: 62 * 32363 3

vezes2

3323 2 2 2ou 2 2 2 * 2 2




Exemplo: 049 59 3 3 1025

24) Expoente nulo

Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.

Realmente: 1 a 1 a : a

a a a : a 0

44

04 - 444

Exemplo: (- 5)0 = 1

25) Expoente negativo

Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo

numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo

expoente com o sinal positivo.

Realmente: 4

4-

4-7 - 3

7

3

443

3

7

3

2

1 2

2 2 2

2

2

1

2 * 2

2

2

2

Exemplo: 25

1

5 * 5

1

5

1 5

2

2

26) Potências de 10

Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem

as unidades do expoente.

Exemplos:

a) 10² = 100

b) 107 = 10 000 000

c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²

d) 4000 = 4 * 10³

e) 300 000 = 3 * 105

f) 3 * 108 = 300 000 000




27) Números decimais

Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como

inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente

quantas são as ordens decimais.

Realmente: 4-

410 * 25

10

25

000 10

25 0025,0

Exemplos:

a) 0,001 = 10-3

b) 0,002 = 2 * 10-3

c) 0,00008 = 8 * 10-5

d) 1,255 = 1255 * 10-3

e) 2 * 10-3

= 0,002

28) Exercícios

a) 1³ =

b) 04 =

c) (- 2)³ =

d) (- 4)³ =

e) (- 2)4 =

f) (- 4)4 =

g) 2³ * 25 =

h) 3² * 3 * 35 =

i) 35 : 3

4 =

j) 34 : 3² * 3

5 =

k) 24 * 5

4 =

l) (- 35) * (- 5

5) =

m) 153 : 3

3 =

n) (- 46) : 2

6 =

o) (3³)2 =

p) (2³)5 =

q) 3³2 =

r) [ (3³)² ]² =

s) (2 * 3)³ =

t) (3² * 5 * 2)4 =

u)

5

3

5

=

v)

3

43

2

=

w)

2

3

32

5

3 * 2

=

x) (2 * 3²)0 =

y) 4-2

=

z) 2 * 3-1

=




aa) 43

2

=

bb) (2-3 * 5

-2)

-4 =

cc) 2x + 1

* 4x =

dd) 32x * 24

x =

ee) 54x

: 252x

=

Exprimir, utilizando potências de 10:

a) 20 000 =

b) 4 800 000 =

c) 0,01 =

d) 0,000045 =

Efetuar, utilizando potência de 10:

a) 80

000 48 * 000 2 =

b) 00002,0

0,000032 * 28 =

RADICAIS

Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão

que, elevado à potência n reproduz A.

OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo

radical -

radicando -A

raiz da índice -n

An

Assim:

a) 4 16 porque 4² = 16

b) 2 83 porque 2³ = 8

c) 3 814 porque 34 = 81




29) Propriedade

É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo

índice do radical.

Exemplos:

a) 3 2 3 * 2 12 2

b) 5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 180 22

c) 424 48 2 5 * 3 2 * 5 * 3

d) 24 : 84 8 3 3 3

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo

índice do radical. Assim:

3 33 2 * 3 2 3

30) Adição e subtração de radicais semelhantes

Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de

radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.

Exemplos:

a) 2 2- 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3

b) 3333333 2 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3

31) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice

Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.

Exemplo:

a) 6 3 * 2 3 * 2

b) 3 2

6

2

6




c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3

d) 44

4

4

44

2

15

2

15

2

3 * 5

32) Potenciação de radicais

Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.

Exemplo:

a) 44 334 27 3 3

b) 5 245 222

5 2 3 * 2 3 * 2 3 * 2

33) Radiciação de radicais

Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.

Exemplos:

a) 42 * 2 3 3 3

b) 243 4 3 3

34) Expoente fracionário

Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a

base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.

Exemplos:

a) q pq

p

a a

b) a a 21




c) 33 232

4 2 2

d) 43

4 3 6 6

35) Racionalização de denominadores

1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio

radical o numerador e o denominador da fração.

Exemplo:

a) 2

2

4

2

2 * 2

2 * 1

2

1

b) 6

3

3 * 2

3

92

3

3 * 32

3 * 1

32

1

c) 3

6

9

6

3 * 3

3 * 2

3

2

d) 15

12

30

122

6 * 5

122

365

122

6 * 65

6 * 22

65

22

2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou

ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador

pela expressão conjugada do denominador.

OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.

Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:

(a + b) * (a – b) = a² - b²

Assim:

(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16

Exemplos:

a)

3

2 - 5

2 - 5

2 - 5

2 - 5

2 - 5

2 - 5 * 2 5

2 - 5 * 1

2 5

1

22




b)

3 - 2 * 5 1

3 - 2 * 5

3 - 4

3 - 2 * 5

3 - 2

3 - 2 * 5

3 - 2 * 3 2

3 - 2 * 5

3 2

5

22

36) Exercícios

Efetuar:

a) 510 52 - 5

b) 8 - 23 32

c) 729 - 3 33 4

d) 6 * 3

e) 4 - * 2 - 33

f) 2

8

4

4

g) 263

h)

3 * 2

23 2

i) 33 3

j) 23

k) 223

l) 2223 3 3

Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:

a) 43

2 =

b) 21

2

=

c) 2

1

21

2

=

d) 61

3 * 2 =

Racionalizar o denominador das frações seguintes:

a) 5

1 =

b) 7

3 =




c) 22

3 =

d) 2 - 5

2 =

e) 11 - 4

5 =

Simplifique:

a) 2

8 - 50 =

b) 2352 =

c) 1 2

1 -

2 - 1

1

=

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS

37) Expressões algébricas

São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.

Exemplos:

a) 5ax – 4b

b) ax² + bx + c

c) 7a²b

OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um

monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.

38) Operações com expressões algébricas




Soma algébrica

Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a

mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos

semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.

Exemplo:

3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²

Multiplicação

Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e

reproduzem-se os termos semelhantes.

Exemplo:

(3a²y) * (2ay) = 6a³y²

Divisão

1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo

1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se

as regras para divisão de potências de mesma base.

2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo

monômio divisor.

Exemplo:

(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²

39) Fatoração

Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado.

Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o

máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é

formada pelas letras comuns com os menores expoentes.

Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores:

o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.

Exemplos:

a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:

a² 4ax² 2x 2ax 2ax

x³a2

2ax

³x²a8

2ax

²ax42ax x³a2 ³x²a8 ²ax4




b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².

Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)

40) Exercícios

Fatorar:

a) 15a² - 10ab =

b) 3a²x – 6b²x + 12x =

5. PROPORCIONALIDADE

41) Razão

Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é representada por b

a, a/b ou a : b,

sendo b 0.

42) Proporção

Proporção é a igualdade de duas razões.

Seja a proporção: d

c

b

a ou d:cb:a ou .d:c::b:a

Seus elementos se denominam:

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos meios é igual ao

produto dos extremos.

Considerando as proporções:

d

c

b

a então c*bd*a

a - primeiro termo

b - segundo termo

c - terceiro termo

d - quarto termo

a e b - extremos

b e c - meios

a e c - antecedentes

b e d - conseqüentes




6

8

3

4 então 8*36*4

5

3

2

x então 3*2x*5

A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um elemento desconhecido na

proporção. Exemplificando:

Determine x na proporção:

5

20

4

x então 20*4x*5 ou 16x

43) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

Duas grandezas x e y são denominadas:

Diretamente proporcionais: quando a razão entre x e y é constante.

ky

x ou kyx

Inversamente proporcionais: quando o produto delas é constante.

ky*x ou y

kx

Sendo k denominada constante de proporcionalidade.

Exemplos:

a) Seja um carro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea.

A tabela mostra o deslocamento do carro em função do tempo.

Tempo

(s)

Deslocamento

(m)

1 20

2 40

3 60

4 80

5 100

10 200

A pergunta é: tempo e

deslocamento são

grandezas diretamente ou

inversamente

proporcionais?




Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se que a razão t

x é constante.

2010

200

5

100

4

80

3

60

2

40

1

20

t

x

Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a constante de

proporcionalidade vale 20 (que é a velocidade do carro).

b) Um gás é mantido à temperatura constante em um recipiente de volume

variável. Quando se altera o volume do gás a sua pressão também se modifica.

Registraram-se em uma tabela os valores correspondentes da pressão (P) e

volume (V).

Pressão Volume

20 20

40 10

80 5

100 4

200 2

400 1

Note que PV é constante.

4001.4002.2004.1005.8010.4020.20PV Assim: P e V são

grandezas inversamente proporcionais com constante de proporcionalidade igual a

400.

44) Regra de três simples

Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas

proporcionais.

Exemplos:

a) Um automóvel se desloca com velocidade constante percorrendo 40 km em 1

hora. Qual o tempo gasto para percorrer 100 km?

SOLUÇÃO

As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Teremos então uma regra

de três simples e direta.

Dispomos os dados do problema colocando frente `frente aqueles que se

correspondem. Marcamos x no local do valor procurado:

P e V são grandezas

diretamente ou

inversamente

proporcionais?




40 km ...............1 h

100 km ................x

Sendo a regra de três simples e direta, tem-se:

x

1

100

40 (as grandezas são dispostas na mesma ordem de correspondência).

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem:

horas 2,5x 100*1x*40

b) Dois litros de gás exercem uma pressão de 0,4 atm. Cinco litros do mesmo gás,

à mesma temperatura, exercerão que pressão?

SOLUÇÃO

As grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, teremos uma regra de

três simples e inversa.

Dispondo os dados do problema:

2 litros............... 0,4 atm

5 litros............... x

Sendo a regra de três inversa, as grandezas são dispostas de forma que na proporção

os termos do 2º membro ficam invertidos.

4,0

x

5

2 ou atm 0,16x x*54,0*2

45) Exercícios

Resolva os seguintes exercícios:

a) Uma bomba eleva 272 litros de água em 16 minutos. Quantos litros elevará em

1 hora e 20 minutos?

b) Doze operários levaram 25 dias para executar uma determinada obra. Quantos

dias levarão 10 operários para executar a mesma obra?

c) Num livro de 200 páginas há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas

em cada página, quantas páginas teria o livro?

d) Metade de uma obra foi feita por 10 operários em 13 dias. Quantos tempo

levarão para terminar essa obra com 3 operários a mais?




e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600 metros de fio com seção

de 12 mm². Se a seção for de 8 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos?

6. Monômios e Polinômios com Algeplan

Objetivos: Trabalhar o conceito e as operações com monômios e polinômios.

Fundamentos Teóricos: Os assuntos monômios e polinômios, geralmente, não são

bem compreendidos pelos alunos devido a uma certa aridez com que o assunto é

tratado. No entanto, podemos utilizar um recurso didático para facilitar a compreensão

das operações algébricas, até duas variáveis, através da manipulação de figuras

geométricas coloridas. Este recurso didático chama-se algeplan.

Material necessário:

Um algeplan é formado por peças do seguinte tipo:

- Quadrados de lado 10 cm; quadrados de lado 4 cm e quadrados de lado 3 cm.

- Retângulos com as seguintes medidas: 10 x 4 cm, 10 x 3 cm e 4 x 3 cm.

- São necessárias 10 (dez) peças de cada tipo. Pode-se utilizar papel cartão ou qualquer

outro material que apresente a cor da frente diferente da cor do verso.

- Utilizar uma cor (na frente) para cada tipo de peça. O verso de todas as peças deve ser

da mesma cor.

- Como “pré-requisito” o aluno deve conhecer o conceito de área de figuras planas.

- Regra: A frente das peças serão consideradas positivas e o verso de cada uma delas

negativos . Positivo e negativo se anulam.

Procedimentos para Adição e Subtração de Monômios

1.Utilizando o algeplan, mostre que as igualdades abaixo são verdadeiras:

a) 3xy – 2xy + xy = 2xy

b) 3x + 2x2 – x

2 – 2x = x

2 + x

c) 2y + 1 – 3y – x2 + 3x

2 = 2x

2 – y + 1




2. Utilizando o algeplan, efetue as seguintes operações:

a) – 3xy – 2y2 – y

2 – 2xy + 1 + x

2 =

b) x2 – 4xy + xy – 2x

2 =

c) – 5x2 + 3xy + 2x

2 – 2xy + 3x

2 – xy =

3) Descubra uma regra prática que nos permita chegar ao resultado sem a utilização do

algeplan.

4) Utilizando a regra prática, efetue :

a) 3x + 2xy – x2 + 4x

2 – 3xy =

b) y2 – 10y

2 + 5xy – 4 + xy =

c) 5a2

+ 23b3y – 7a

2 + 4 b

3y =

Procedimentos para Multiplicação de Monômios

Utilizando as peças do algeplan faça o que se pede:

1. Construa um retângulo de lados 2x e 3x.

a) Determine a sua área.

b) Complete: 2x . 3x =

2) Construa um retângulo de lados 3 e 2x.

c) Determine a sua área.

d) Complete: 3 . 2x =

3) Construa um retângulo de área 8xy

- Complete: 8xy =

4) Construa um retângulo de área 6y2

- Complete: 6y2 =

5) Utilizando as peças do algeplan, efetue:

a) y . 2x =

b) 4x . 2x =

c) 2x . 3x =

6) Descubra uma regra prática que nos permita multiplicar monômios sem a utilização

do algeplan.

7) Utilizando uma regra prática efetue:

a) 2x5 . 3x

4 =

b) 5xy3 . 2xy

4 =




Procedimentos para Divisão de Monômios

1) Sabemos que 2.5 = 10. Então 10 : 2 = 5 ou 10 : 5 = 2.

a) Utilizando o algeplan, construa um retângulo cuja área seja 6x2

b) Aplicando o mesmo raciocínio acima podemos concluir que 2x . 3x = 6x2. Então

OBS.: Construímos inicialmente um retângulo com uma determinada ares. O valor desta

área representa o dividendo e a medida de sua base e de sua altura representam,

respectivamente, o divisor e o quociente (ou vice-versa) na operação de divisão de

monômios.

2) Utilizando o algeplan, construa agora um retângulo cuja área seja 6xy.

Desenvolvendo um raciocínio análogo ao do item anterior obtenha o resultado de 6xy :

2x =

3) Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que:

Se 2x3

. 5x6

=10x9, então: 10x

9 : 5x

6 = 2x

3 ou 10x

9 : 2x

3 = 5x

6.

4) Observe as divisões de monômios realizadas anteriormente e descubra uma regra

prática para dividir monômios.

5) Aplicando a regra prática efetue as seguintes divisões de monômios:

a) 15x4 y

3 : 3x

2y =

b) (-20bx5) : (-2bx

3) =

Procedimentos para Adição e Subtração de Polinômios

Neste momento seria conveniente lembrar novamente ao aluno a seguinte regra:

- A frente das peças serão consideradas positivas e o verso de cada uma delas

negativos . Positivo e negativo se anulam. Podemos enunciar, ainda, a seguinte regra:

- O sinal negativo na frente dos parênteses indica o oposto. No algeplan a peça deverá

ser colocada na posição contrária a que está indicada no interior dos parênteses.

1) Utilizando o algeplan, efetue as seguintes operações com polinômios e faça um

esboço para mostrar o seu raciocínio.

x

x

x

x x

6x2 : 3x = 2x

6x2 área do

retângulo 3x base do retângulo

2x altura do retângulo

6x2 : 2x = 3x

6x2 área do

retângulo 2x altura do retângulo

3x base do retângulo




a) ( 2x2 – xy – y ) + (– 3x

2 + 2xy) – (x

2 – 3y) =

b) (y2 – 3) – (3x – 1) + (3x – 2y

2 + xy) =

2) É possível obter um processo prático que nos permita chegar ao resultado sem a

utilização do algeplan?

OBS.: Através de perguntas como esta, poderíamos levar os alunos a concluírem que,

para se chegar ao resultado são necessários os seguintes procedimentos:

- Eliminamos os parênteses, considerando que o sinal de negativo antes deles

indica o oposto

- Efetuamos os coeficientes dos termos semelhantes, mantendo a parte literal.

3) Aplicando a regra prática, efetue as seguintes operações com polinômios:

a) ( 2x2 – xy – y ) + (- 3x

2 + 2xy) – (x

2 – 3y) =

b) (y2 – 3) – (3x - 1) + (3x – 2y

2 + xy) =

Procedimentos para Multiplicação de Polinômios

Antes de iniciarmos esta operação convém reforçarmos os seguintes aspectos:

- podemos determinar a área de um retângulo conhecendo-se seus lados.

- Regra: só podemos encostar duas peças do algeplan quando o lado comum tiver

a mesma medida.

1) Construa com o algeplan um retângulo de lados 2x e (x + 1).

a) Qual é a área do retângulo que você construiu?

b) Complete: 2x . (x + 1) =

2) Construa com o algeplan um retângulo de lados 3y e (x + 2). Faça um esboço.


b) Complete: 3y . (x + 2) =

3) Construa com o algeplan um retângulo de lados x e (x - 2). Faça um esboço.

c) Qual é a área do retângulo que você construiu?

d) Complete: x . (x - 2) =

4) Observe o ultimo item das três atividades desenvolvidas anteriormente:

a) 2x .(x + 1) = 2x2 + 2x

b) 3y. (x + 2) = 3xy + 6y

c) x . (x - 2) = x2 – 2x

Em cada uma delas seria possível obter o produto sem a utilização do algeplan? Como

você faria isto?

OBS.: Através de perguntas como estas poderíamos levar os alunos a concluírem que

para se chegar ao resultado são necessários os seguintes procedimentos:

- aplicar a propriedade distributiva;




- aplicar as operações com monômios;

5) Construa com o algeplan um retângulo de lados (2y + 1) e (x + 2). Faça um esboço.


b) Complete: (2y + 1) . (x + 2)

6) No caso anterior é possível obter a resposta sem a utilização do algeplan? Como você

faria isso?

Procedimentos para a divisão de polinômios;

1) Sabemos que 3 . 4 = 12. Então: 12 : 3 = 4 ou 12 : 4 = 3

a) Utilizando o algeplan construa um retângulo cuja área seja x2 + 3x +2.

b) Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que (x + 1) . (x + 2) = x2 + 3x

+2.Então:

(x2 + 3x +2) : (x + 2) = (x + 1)

ou

área do retan

(x2 + 3x +2) : (x + 1) = (x + 2)

OBS: Construímos inicialmente um retângulo com uma determinada área. O valor desta área

representa o dividendo e a medida de sua base e sua altura representam respectivamente divisor

e quociente (ou vice e versa) na operação de divisão de polinômios.

2) Utilizando o algeplan construa agora um retângulo cuja área seja 2y2 + 2xy + x + y .

Desenvolvendo um raciocínio análogo àquele do item anterior,obtenha o resultado de: (2y2 +

2xy + x + y ) : (2y + 1) =

3)Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que:

Se (2y + 1) . (x + y) = (2y2 + 2xy + x + y ) , então : (2y

2 + 2xy + x + y ) : (2y + 1) =

(x + y), ou (2y

2 + 2xy + x + y ) : (x + y) = (2x + 1).

4) Observe as divisões de polinômios realizadas anteriormente e descubra uma regra prática

para dividir polinômios.

5) Aplicando a regra prática efetue as seguintes divisões de polinômios:

a) (x2 + 7x + 10) : (2x + 10) =

1

x

x 1 1

Área do retângulo Base do retângulo Altura do retângulo

Área do retângulo Altura do retângulo Base do retângulo




b) (3x2 + 4x + 1) : (x

2 + x) =

7. Produtos notáveis

Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde

logo. Vejamos alguns deles:

I. Quadrado da soma de dois termos:

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o

produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”

Exemplo:

(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²

II. Quadrado da diferença de dois termos:

“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o

produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”

Exemplo:

(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9

III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:

“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o

quadrado do segundo.”

Exemplo:

(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b) * (a – b) = a - b




8. EQUAÇÕES DO 1º GRAU

UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO

As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês

François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que

era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma

idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas

equações.

O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que

escreveu em um de seus livros que para ele não existiam duas coisas mais parecidas que

duas retas paralelas. Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu

colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais:

Exemplo:

_________

400 cm _________ 4 m

Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète.

Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram expressas em palavras e eram

resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e

fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Fraçois

Viète é conhecido como o Pai da Álgebra.

46) Equação

Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras

(que se denominam incógnitas).

Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é

desconhecido e se procura saber; enigma; mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora

LISA)

Exemplo:

a) membro 2ºmembro 1º

5 2 - x só é verdade para x = 7

b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y

= 1 ou x = 1 e y = 4.




Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se

raízes da equação.

Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1

então a equação é dita equação do 1º grau a uma incógnita.

47) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita

Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma

incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se

para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação

inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação

e radiciação).

Exemplos:

a) x + 2 = 7 x + 2 – 2 = 7 – 2 x = 5

b) x – 3 = 0 x – 3 + 3 = 0 + 3 x = 3

c) 4 x 2

8

2

2x 8 x2

d) 15 x 5 * 3 3

x* 3 5

3

x

Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as operações dos sinais

4 x 2-

8-

2-

2x- 8- x2

Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro

passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:

Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:

5

6 -4x

3

1 3x -

2

2 -3x

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.

encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-

se os resultados pelos respectivos numeradores.




1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:

m.m.c. (2; 3; 5) = 30

Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)

2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:

45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36

3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os

independentes (os que não contém a incógnita) para o 2º, efetuando as operações

necessárias:

45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10

4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:

-9x = 4

5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicado, desta

maneira isola-se a incógnita:

9-

4

9

x9

6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também:

9

4- x

VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”

Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores

numéricos devem ser iguais

48) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas

A forma genérica de um sistema é:

pnymx

cbyax onde a, b, c, m, n, p (Reais)




a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas admite infinitas

soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 4 é verificada para um número

ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam:

(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.

b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações

a duas incógnitas é determinar os valores de x e y que satisfaçam

simultaneamente às duas equações. Por exemplo o sistema:

1y

3x para solução tem

3y3x2

16yx5

Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às

duas igualdades. (Verifique!)

Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema, são eles: Substituição,

comparação e adição.

SUBSTITUIÇÃO

1º) Seja o sistema:

2 equação 1y2x5

1 equação 8y3x2

2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação

1:

3 equação 2

y38x

y38x2

8y3x2

3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):

4 equação 1y22

3y-8*5

4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:




2y

38y19

2y4y1540

2y4y38*5

5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x:

1 x

2

68x

2

2*38x

6º) A solução do sistema é:

x = 1 e y = 2

COMPARAÇÃO

1º) Seja o sistema:

7y2x5

33y3x7

2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:

7

y333x

e

5

y27x

3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x):

5

y27

7

3y-33

4º) Resolve-se a equação e determina-se y:

4 y

16y29

y1449y15165

y27*7y333*5




5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o

valor de x:

3 x

7

21

7

1233

7

4*333

7

3y-33x

6º) A solução do sistema é:

x = 3 e y = 4

ADIÇÃO

Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de,

nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de

uma das incógnitas serem simétricos.

Exemplos:

a)

2 equação 0yx

1 equação 4yx

Somando, membro a membro, vem:

2 x 4x2

Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem:

2y 4y2

b)

62y-10x

72y3x

(2)* 3yx5

7y2x3

Somando, membro a membro, vem:

1 x 13x13

Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem:

2y 42y 72y3 72y1*3




49) Exercícios

Resolver as seguintes equações:

a) 8x4

b) 10x5

c) 8x7

d) 7x23

e) 12x4x416

f) x527x13x78

g) 4

3

3

x2

h) 10

x3

4

1

i) 3x45x42x9

j) 5x410x27*5x2*3

k) 14

36x5

2

x12

3

2x

l) 6

x59

2

31

2

x

3

x43

8

3x5

Resolver os seguintes sistemas de equações:

a)

24yx3

12yx

b)

1y2x7

19y6x5

c)

2y4x3

12y5x




d)

22

3y

3

1x2

25

y

4

x

Considere o problema:

A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da

idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?

9. EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a 0).

A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior

expoente igual a 2.

Se tivermos b 0 e c 0 teremos uma equação completa.

Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.

50) Resolvendo Equações de 2º Grau

Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja:

1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:

Exemplo:

3 x² = 0 x² = 0 x = 0 S = {0}

2º caso: c = 0 e b 0; temos então:

Exemplo:

a . x² + b . x + c = 0

a . x² = 0

a . x² + b . x = 0




3 x² - 12 x = 0 x . (3 x – 12) = 0 x = 0 ou 3 x – 12 = 0 3 x = 12 x =

4 S = {0; 4}

3º caso: b = 0 e c 0; temos então:

Exemplo:

x² - 4 = 0 x² = 4 x = 4 x’ = 2 e x’’ = -2 S = {-2; 2}

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi

demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos

que o valor da incógnita satisfaz a igualdade:

A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja:

> 0 têm-se duas raízes reais e diferentes

= 0 têm-se duas raízes reais e iguais

< 0 têm-se duas raízes imaginárias

e

OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de segundo grau visto

que o x² seria anulado.

51) Exercícios

Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:

a . x² + c = 0

Fórmula de Bhaskara a.2

c.a.4²bbx

c*a*4b2

a*2

bx




a) 06x7x2

b) 028x3x2

c) 02x5x3 2

d) 03x16x16 2

e) 016x4 2

f) 018x2 2

g) x5x3 2

h) 0x8x2 2

i) 223x43x2

Prever a natureza das raízes das equações:

a) 01x3x2 2

b) 03xx2

c) 02x4x2 2

Determinar mentalmente as raízes das equações:

a) 05x6x2

b) 015x2x2

c) 012x4x2

d) 021x10x2

e) 050x5x2

Resolver as seguintes equações:

a) bax 2

b) 181x2x1xx




10. FUNÇÕES

Introdução

Definição: Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função

ou aplicação se, e somente se, para todo elemento x de A existe, em correspondência, um único

elemento y de B tal que o par (x,y) pertença a relação f. Uma função geralmente é dada por uma

expressão que estabelece a correspondência entre os conjuntos A e B.

Qualquer função possui sempre os seguintes três elementos básicos:

a) Um conjunto de "saída"chamado Domínio

b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomíno

c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domínio com o s elementos do

contradomínio.

Notação: Se A é o domíno, B o contradomínio e f é uma função de A

em B, denotamos

f : A → B

x → f (x)

Domínio: O Domínio da função é o conjunto dos pontos para os quais faz sentido a aplicação da

regra de correspondência entre os conjuntos A e B. Nesse estudo inicial de funções usaremos

sempre como domínio um subconjunto A ⊂ R e o contradomínio será sempre B = R. Notação: O

domínio de uma funação f será denotado por Dom(f ).

Imagem: A imagem de uma função f : A → R, A ⊂ R, é definida como sendo o conjunto dos

pontos y ∈ R tais que existe x ∈ A tal que f (x) = y. Observe que a imagem de uma função f está

contida no contradmínio da função f. Denotamos o conjunto imagem da função f por Im(f ).

Gráfico: O gráfico de uma função é um subconjunto do produto cartesiano R × R. Definimos o

gráfico de uma função, denotado por Graf(f), o seguinte conjunto Graf (f) = {(x, y) ∈ R ×R Á y

= f (x)} . O gráfico de uma função f pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema

cartesiano ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (x, f (x)).

Função Crescente e Decrescente: Uma função é chamada de função crescente se x1 < x2 ⇒ f

(x1) ≤ f (x2). Uma função é chamada de função decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

Exemplo: Considere a função f cuja regra é dada por f (x) = √x − 1.

Neste caso a expressão √x − 1 só tem sentido para x ≥ 1, portando o domínio da

função, denotado por D(f ), é D(f) = {x ∈ R/ x ≥ 1} . Logo podemos escrever f : [1,+∞) → R

x → f (x) = √x − 1.

Como x ≥ 1 ⇒ f (x) = √x − 1 ≥ 0 ⇒ Im(f) = R+.

Como x1 < x2 ⇒ x1 − 1 < x2 − 1 =⇒ √x1 − 1 < √x2 − 1 (Note que isto

vale porque x1 − 1 ≥ 0 e x2 − 1 ≥ 0) portanto f (x1) < f(x2).

Logo f é uma função crescente.




10.1 PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES E

FUNÇÕES)

52) Os eixos cartesianos

Dois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens coincidentes, são denominados

eixos cartesianos.

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

0(eixo das abscissas)

(eixo das ordenadas)

origem

53) Um ponto no plano cartesiano

Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição definida por um par de números

(coordenadas do ponto).

0 2,- P

1- 0, P

2- 1, P

2 3, P

4

3

2

1

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

P1

P2

P3

P4




O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o segundo a ordenada do ponto.

54) Uma reta no plano cartesiano

Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano pode resultar em uma reta.

Tal fato acontece quando atribuímos os mais diversos valores a x em uma equação

característica (a seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes.

Esta equação é denominada equação reduzida da reta, sendo que a e b necessariamente são

valores constantes.

A sua representação gráfica nos mostra que:

x

y

0

b

55) Casos particulares

a) Reta que passa pela origem

O coeficiente linear (b) é igual a zero.

x

y

0

b) Reta paralela ao eixo x

O coeficiente angular (a) é igual a zero.

x

y

0

y = a * x + b

a = tg (coeficiente angular).

b = valor de y onde a reta

intercepta o eixo das ordenadas

(coeficiente linear).

A equação fica:

y = a * x

A equação fica

y = b




c) Reta paralela ao eixo y

O valor de x é constante.

x

y

0

Exemplos:

a) Representar graficamente a equação x*3y .

Solução: O coeficiente angular é 3 . Como tg 60º = 3 , o ângulo que a reta

forma com o eixo x é 60º. Ainda, a reta não apresenta coeficiente linear, isto é, a

reta passa pela origem. Representando-a:

x

y

0

60º

b) Representar graficamente y = 20.

Solução: Como y é constante a reta deve ser perpendicular ao eixo y.

x

y

0

20

56) Exercícios

a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir.




3- 2,- D

3 1, C

0 ,4 B

2- ,0 A

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

b) Dê as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a seguir.

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

P

Q

R

S

10.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Definição: Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença

for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0. x é a variável independente.

y = f(x) é a variável que dependente de x.




Função Afim: f(x) = ax + b

a > 0 f(x) = ax + b

a < 0 f(x) = - ax + b

y = 2x + 1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é crescente, pois a > 0; - A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x; - A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eixo y; - Zero da função é o valor de x para qual a função se anula.

f(x) = 0 x = a

b ;

- Estudo do sinal:

f(x) = 0

f(x) < 0 f(x) > 0

x

f(x) < 0 imagem negativa

f(x) = 0 imagem nula

f(x) > 0 imagem positiva

y = -x + 2

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4x

y

- A função é decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = -1; - Coeficiente linear é b = 2; - Zero da função é 2, pois –x + 2 = 0 -x = - 2 .(-1) x = 2 S = {2} - Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x > 2}

f(x) = 0 {x R | x = 2}

f(x) > 0 {x R | x < 2}

- - - - - - -

+++++++

2

x




Função Linear: f(x) = ax

a > 0

a < 0

y = 3x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 x

y

- A função é crescente, pois a > 0; - Coeficiente angular é a = 3; - Coeficiente linear é b = 0 (neste caso); - Zero da função é 0; - Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x < 0}

f(x) = 0 {x R | x = 0}

f(x) > 0 {x R | x > 0}

y = -3x

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = - 3; - Coeficiente linear é b = 0; - Zero da função é 0; - Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x > 0}

f(x) = 0 {x R | x = 0}

f(x) > 0 {x R | x < 0}

- - - - -

+++++++

0

x

- - - - - - -

+++++++

0

x




Função Constante f(x) = b

y = 4

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é constante, pois a = 0, com isso, não a inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4; - Não temos Zero da função: - Não temos Estudo do sinal.




Gráficos de funções afins:

Podemos perceber que as funções f, g

e h possuem o mesmo coeficiente angular:

f(x) = 2x + 3 a = 2

g(x) = 2x a = 2

h(x) = 2x - 3 a = 2 Então, as funções têm como gráfico

retas paralelas. Definição:

Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e

g: IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue

a = a’ e b b’ as retas serão paralelas.

Podemos perceber que as funções f e

g possuem o mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear:

f(x) = x - 3 a = 1 e b = 3

g(x) = x - 3 a = 1 e b = 3 Então, as funções têm como gráfico

retas coincidentes. Definição:

Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e g:

IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue

a = a’ e b = b’ as retas serão coincidentes.

Funções com o mesmo coeficiente

angular

f(x) = 2x + 3

g(x) = 2x

h(x) = 2x - 3

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

Funções de mesmo coeficiente angular e

mesmo coeficiente linear

f(x) = x - 3

g(x) = x - 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y




Podemos perceber que as funções f e

g possuem o coeficiente angular diferente:

f(x) = 2x - 6 a = 2

g(x) = x - 3 a = 1 Então, as funções têm como gráfico

retas concorrentes, ou seja, possuem um só ponto em comum P(3, 0).

Definição:

Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e g:

IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue

a a’ as retas serão concorrentes.

Exemplos a serem resolvidos na sala de aula:

1) Obter uma função a partir dos pontos A(1, 2) e B(2, 7), ou seja, f(1) = 2 e f(2) = 7. 2) Determinar o ponto de intersecção das funções f(x) = 4x e g(x) = 50 + 2x. 3) Seja f a função afim definida por f(x) = 3x – 2 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (-1, 2) e é paralela à reta r.

Exercícios – Função polinomial do 1º grau

1) Identifique as funções f: IR IR abaixo em afim, linear, identidade e constante:

a) f(x) = 5x + 2 e) f(x) = -x + 3

b) e) f(x) = 3

1

2

x f) f(x) = x

7

1

c) f(x) = 7 g) f(x) = x d) f(x) = 3x h) f(x) = 2 – 4x

2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1). 3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7. 4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:

a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4

Funções de mesmo coeficiente angular

diferentes

f(x) = 2x - 6

y = x - 3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y




5) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: a) f(x) = x + 5 e) f(x) = - 5x b) f(x) = -3x + 9 f) f(x) = 4x c) f(x) = 2 – 3x d) f(x) = -2x + 10

6) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 5x – 3 determine: a) verifique se a função é crescente ou decrescente b) o zero da função; c) o ponto onde a função intersecta o eixo y; d) o gráfico da função; e) faça o estudo do sinal;

7) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa

função e calcule f(16). 8) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:

a) Se a função é crescente ou decrescente; b) A raiz da função; c) o gráfico da função; d) Calcule f(-1).

9) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção

dessas retas: a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3

10) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00?

11) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau:

a) 13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)

b) 5

2

5

3

3

1

2

xx

12) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine: a) f(1) = b) f(0) =

3

1) fc

2

1) fd

13) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:

a) f(x) = 1 b) f(x) = 0

c) f(x) = 3

1




14) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. b) calcule o custo para 100 peças. 15) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6). 16) Seja f a função afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e é paralela à reta r. Respostas: 1) afim, afim, constante, linear, afim, linear, identidade, afim. 2) 1 3) ½ 4) a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = - 2x + 5 c. f(x) = 3x + 2

5) a. ]-5, [, x = -5, ]- , -5[ b. ]- , 3[, x = 3, ]3, [ c. ]- , 3

2 [, x = 3

2 , ] 3

2 , [ d. ]- , 5[, x = 5, ]5, [

e. ]- , 0[, x = 0, ]0, [ f. ]0, [, x = 0, ]- , 0[

6) a. crescente b. x = 3/5 c. b = - 3 e. ] 5

3 , [, x = 5

3 , ]- , 5

3 [

7) f(x) = 9x – 45, f(16) = 99

8) f(x) = 42

x a. crescente b. x = - 8 d. f(-1) =

2

7

10) a. f(x) = 5x – 230 b. para x < 46 c. para x = 109 d. para x > 102

11) a. {34} b.

3

22

12) a.1 b. 3 c. 3

7 d. 4

13) a. -1 b. 2

3 c.

3

4

14) a. C(x) = 8 + 0,5x b. R$ 58,00 15) a = 2 e b = 5 16) g(x) = -4x + 3

-8

4

x

y

0

f(x) = 42

x

8. c. -3

0,6 x

y

0

f(x) = 5x - 3

6. d.




10.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR

dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3. f(x) = 2x2 + 3x - 5, onde a = 2, b = 3 e c = -5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a =-1, b = 8 e c = 0

5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva

chamada parábola.

3

(0,6; 2,4)

x

y

0 9. c.

3

f(x) = 4x

f(x) =- x + 3

3

(-2, -10)

x

y

0

9. b.

-6

f(x) = 5x

-2,5

(0, 5)

x

y

0

f(x) = 2x + 5

9. a.

f(x) = -2x + 5

2,5

f(x) = 2x - 6




Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: domínio { -3, -2, -1, -1/2, 0, 1, 2}

Primeiro atribuímos a x alguns valores xv=-b/2a, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Ponto de mínimo

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Ponto de máximo

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os

números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax

2 +

bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:




Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;

quando é negativo, não há raiz real.

Exemplo: na função y=x²-4x+3, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção

anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²-4x+3

Fazendo y=f(x)=0, temos x²-4x+3=0




Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²-4x+3=0 = (-4)2-4.(1)(3) => = 4

2

24

2

24

2

24

)1.(2

4)4(

oux Acharemos que x = 1 e x` = 3.(vide gráfico

acima)

Concavidade da parábola

OU

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

a>0 a<0




Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor

mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A

coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

(São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0

x=1, x`=3




Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há

raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

x²-x+2=0

Gráfico:




Resumindo

Esboçando o gráfico

Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0

Aplicando a fórmula de Bháskara

x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função

y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

a<0 a<0 a<0

a>0 a>0 a>0




Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

Ponto de Intersecção entre função de 1grau e 2 grau a) graficamente usando excel

x y=-x2+4x-3 y=x-3

0 -3 -3

1 0 -2

2 1 -1

3 0 0

4 -3 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6y=-x2+4x-3

y=x-3

algebricamente temos y1 = y2 => -x2+4x-3 = x-3 => -x2+4x-3-x+3=0 => -

x2+3x=0




resolvendo essa equação,obtemos que x’ = 0 e x”=3 para obter o valor de y ,

substituímos os valores de x= 0 e x=3 na função y=x-3 obtendo os valores de y

= -3 (x=0) e y=0(x=3)

Exercícios

1. Obtenha o ponto de interseção entre as funções

a) y1 = x2+2x e y2 = x+2 b) y1 = -x+4 e x2-4x+4 c) y1=x2+2x-2 e

y2= x-4 d) y=x2 e y = -x+2

2. Esboçar o gráficos das funções:

a) y= -2x2+5x-2 b) y= x(2x-3)-x+1 c) y=30x2-120x+300 d) y= -x2-x-3

GRÁFICO DE UMA OUTRA FUNÇÃO

O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy,

onde x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f.

Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a

restrição x 0.

Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y.

Assim, o gráfico a seguir não representa uma função.

Y =2x2 , x

0

(1,2)

+ y (ordenada)

(4,32)

1 2 3 4 + x (abcissa)

O

X Y

0 0

1 2

2 8

3 18

4 32

5 50




Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem

possuir a mesma abcissa (x).

Domínio via gráfico

O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do

gráfico.

Imagem

A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do

gráfico.

Exemplo: Dada a função y = x 1 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o

gráfico de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo).

y P

Q

O

mesma abcissa

x

y

f

O

domínio de f

x abcissas

ordenadas

y

Imagem de f f

O y




Solução:

Como y = f(x) = x 1 , a condição de existência da função é que x - 1 0

para que a raiz exista no campo dos números reais.

Assim, x - 1 0 x 1 ou D: [1 , ). Para se fazer o gráfico da

função construi-se a tabela, respeitando este dominio.

Q

Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma

restrição é dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a

função existe.

Exemplo: Dada a função

y = 3x + 1

x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais.

Exemplo: Dada a função

y = 4 x (Condição de existência 4 - x 0)

já que 4 x é definido somente para 4 - x 0, isto é, x 4, o domínio de f é o

intervalo (-, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , ).

Domínio de f , D : [1,} e I : [ 0, }

y

x

Imagem

de f

Gráfico de

f

1

0,

5

x y

1,00 0,00

1,25 0,50

1,50 0,71

1,75 0,87

2,00 1,00 2

Domínio = R

Imagem = R

y

y = 3x + 1

1

x




A raiz quadrada tem dois sinais, , mas para que y seja uma função toma-se

só um sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y 0.

x y

-2 6 = 2,45 ...

-1 5 = 2,24 ...

0 2

1 3 = 1,73

2 2 = 1,41

4 0

O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe.

Neste exemplo x existe de (- a 4].

A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y 0 então [0, ).

Exemplo: Achar o domínio e a imagem da função

y = f(x) = 1

1 x

Domínio da função: (- 4] é o domínio de x - < x 4.

Imagem da função: [0, ) pois

y 0.

xy 4 y

2

O 4

x

X Y

-3 1 / 4 =

0,25

-2 1 / 3 =

0,33

-1 1 / 2 =

0,50

0 1

1 2 –1

3 –1/2 = -

0,50

4 –1/3 = -

0,33

5 –1/4 = -

0,25

y

1

-3 -2 -1

1 2 3 4 5

x




Exercício proposto

1) Achar o domínio e imagem da função y = 1

x (hipérbole)

Condição de existência x 0

VALOR ABSOLUTO

Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por x, é

definido por

x se x 0

x =

-x se x < 0

Exemplo:

7 = 7 pois 7 > 0, -3 = - (-3) = 3 pois -3 < 0

O valor absoluto de um número real é sempre positivo.

PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO

(Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >, , < e )

Suponha que X e Y são números reais ou funções.

1) X + Y X + Y desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3

(igual) e X = -2, Y = 1 (maior)

2) X = Y se e somente se X = Y ( ou X = Y e X = - Y )

y

x

D : (-, 0) (0, )

I : ( -, 0) (0, ) x = 0 (singularidade)

A condição de existência é 1-x 0, que fornece os dois intervalos para o domínio e a imagem :

Domínio: (-, 1) e (1, )

Imagem : (-, 0) e ( 0, )

x = 1 (singularidade )




3) X < Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y )

4) X Y se e somente se X Y ou X -Y

Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão

3x + 2 5

Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se

3x + 2 5 e 3x + 2 -5

Isolando x 3x 5 - 2 Isolando x, 3x -5 - 2

3x 3 3x -7

x 1 x - 7

3

solução existe no domínio (-, -7/3] e [1, )

Exemplo 2 : Achar o conjunto solução da expressão 2x + 3 < 3

Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações

2x +3 > -3 e 2x + 3 <3

2x>-6 ou 2x < 0 ou

x >-3 x < 0

Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão x -2 = 5

-7/3 1

x x

x

-3 0

Neste caso, os valores de X estão internos aos de Y -Y Y

X

Neste caso, os valores de X estão externos aos de Y -Y Y

X




Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x =

7 e x = -3 satisfazem a equação dada.

Exemplo 4: Estudar a função y = x

A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o

conjunto dos números reais R.

DESIGUALDADES (do 2o grau)

As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do

conjunto dos reais. A teoria vale para os sinais (>, ,< e ) . Exemplo, dada a

desigualdade

a x2 + b x + c > 0 , as soluções x1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação

do 2o grau ,ou x1 = (- b + acb 42 )/2a e x2 = (- b - acb 42 )/2a

mas o conjunto de soluções é

D : (- , x1 ) e (x2 , ) , (o conjunto é extra-raizes)

Se a desigualdade for negativa, ou seja,

a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes)

Exemplo 1: Achar o domínio da função y = 42 x

Solução: x2 – 4 0 , logo D : (- , -2] e [2 , )

y = x

y

D : (-,)

I : [0 , )

x

x x

X1 X2

x

X1 X2




TIPOS DE FUNÇÃO

As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as

algébricas, exponenciais e as trigonométricas.

Funções Pares e Ímpares

a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x

pertence ao domínio de f.

b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x

pertence também ao domínio de f.

Exemplos:

a) Pares

g(x) = x2 f(x) = x

4 + 2

pois g(-x) = (-x)2 = x

2 = g(x) f(-x) = (-x)

4 + 2 = x

4 + 2 = f(x)

b) Ímpares

g(x) = x3 f(x) = 2x

g(-x) = (-x)3 = -x

3 = -g(x) f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x)

Funções Polinomiais

São funções da forma

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxx n > 0 e ai , reais

Exemplo:

f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2

Funções Racionais (razão)

São funções definidas por

f(x) = p x

q x

( )

( )

onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q 0.




Exemplo:

f(x) = 3 1

4 1

2

5 3

x x

x x

é uma função racional

Funções Algébricas

São resultantes de operações algébricas comuns.

Exemplo:

f(x) = x + 1 , g(x) = x

x 2 5 etc.

Exercícios

Classificar as funções abaixo:

1) f(x) = x4 + x

Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial

2) g(t) = 2t2 + 3t

Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3-t = 2t

2 + 3t = g(t) par

3) f(x) = x

x

2 4

2

(função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2)

RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES

Tipo de Função Exemplo

Par f(-x) = f(x) y=x4 y = (-x)

4 = x

4

Ímpar f(-x) = - f(x) y = x3 y = (-x)

3 = -x

3

Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x2+..+anx

n y = 3 +5x-7x

2 e outros.

Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x3+ 4x) / (x

2+2x)

Algébricas Todas as anteriores.

Trigonométricas y = senx , cosx , etc.

Logarítmicas y =lnx , ou y = lgax

Exponenciais y = ef(x)

ou y = af(x)




11. FUNÇÃO EXPONENCIAL

Função exponencial é toda função , definida por

com e .

Neste tipo de função como podemos observar em , a variável

independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante

também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.

Note que temos algumas restrições, visto que temos e .

Se teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a

qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso equivaleria

a que é uma função constante.

E para , por que tal restrição?

Ao estudarmos a potenciação vimos que 00 é indeterminado, então

seria indeterminado quando .

No caso de não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de

um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por

exemplo, e o valor de não será um número real, pois

teremos:

E como sabemos .

Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano

Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da

mesma forma que fizemos com afunção quadrática, ou seja, arbitrarmos alguns

valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x),

localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico.

Para a representação gráfica da função arbitraremos os seguinte

valores para x:

-6, -3, -1, 0, 1 e 2.

Montando a tabela temos:

x y = 1,8x

-6 y = 1,8-6 = 0.03

-3 y = 1,8-3 = 0.17

-1 y = 1,8-1 = 0.56

0 y = 1,80 = 1

1 y = 1,81 = 1.8

2 y = 1,82 = 3.24

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoConstante.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoQuadratica.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx




Ao lado temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos

pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função:

Função Crescente e Decrescente

Assim como no caso das funções afim, as funções exponenciais também podem

ser classificadas como função crescente ou função decrescente.

Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que

segundo a definição da função exponencial , definida por ,

temos que e .

Função Exponencial Crescente

Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor

real de x.

No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta,

também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função

é crescente.

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfim.aspx




Função Exponencial Decrescente

Se temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio

da função.

Neste outro gráfico podemos observar que à medida quex aumenta, y diminui.

Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.

Note também que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o

gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de

nunca cruzar o eixo das abscissas.

12. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Se x = by , então y é chamado de logaritmo de x na base b e escreve-se logaritmo de x como logx ou lgx ou lgbx . y = lgb x b = 10 é a base decimal

f(x)= lgbx

se y = 0

x = b0 = 1

Sabemos que 102 = 100 , 10

3

=1000, e 23 = 8 , 2

4 = 16 , etc.

mas e se tivéssemos um

número fracionário do tipo

100,30103

= N , quanto seria N ?

Neste caso, y=0,30103 é o

log10 N. Os logaritmos se

aplicam para resolver equações

do tipo:7x = 3, achar x.

Solução: Aplica a propriedade

lgAx =x.lgA , ou na

equação dada ,

x. 3lg7lg 1010 ,

x = 7lg/3lg 1010 ,

x= 0,477121255/0,845098040

x = 0,5645750344

(Os lg10 toma-se na

calculadora)

y

1 b

Propridades dos logarítmos(naturais ou

outros):

NgMgNMg bbb ).()1

NgMgNMg bbb )/()2

NgpNg b

p

b .)()3

http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx




Quando b = e 2,7182818 ..., esta base é chamada de natural e representa-se por y = ln x ou LN(x) . Quando o logarítmo , lg = “ln” a base é sempre "e" , isto é , ln x = lgex ou logarítimo de x na base "e" .

A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa.

y=exp(x) y y = lnx 1 0 1 x (A inversa de y = ex , é obtida aplicando lg=ln , ou lny=lnex =xlne=x, e trocando x por y ,resultando y =lnx)

13. TRIGONOMETRIA

Triângulo Retângulo

Propriedade: se dois ângulos complementares, o seno de um deles é igual ao cosseno de outro, e a

tangente de um é igual ao inverso da tangente do outro.

Direta : y= exp(x)=ex

D : (- , )

I : (0, )

Inversa : y = lnx

D : (0 , )

I : (- , )




Seno = cateto oposto / hipotenusa

Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa

Tangente = cateto oposto / cateto adjacente

Ângulos 30° 45° 60°

Seno 1/2 /2 /2

Cosseno /2 /2

1/2

Tangente /3

1

Relação Fundamental da Trigonometria

Exemplo: Se for dado que sen x = 0,3 , com 0 º < x < 90 º, é fácil obter o valor de cos x:

Sen2 x + Cos

2 x = 1

(0,3)2

+ Cos2

x = 1

Cos2 x = 0,91

Cos x = 0,95

Segunda Relação fundamental da Trigonometria;

Segunda Relação fundamental da Trigonometria

tg x = senx /cosx




Ciclo Trigonométrico

È uma circunferência de raio 1 que, juntamente a um eixo cartesiano é capaz de indicar todos os

arcos (ângulos) possíveis, bem como as relações de periodicidade entre eles.

· Quadrantes:

Ex: p/4 está no 1º quadrante e 4p/3 esta no 3

º quadrante.

- Arcos congruentes: são arcos da mesma extremidade. (diferem por 360º ou 2p)

Ex: -30º e 330

º , p/4 e 9p/4

· Expressão Geral de um arco:




Medidas do Arco

As unidades mais usadas são o grau e o radiano.

Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma

dessas partes um arco de um grau (1o).

Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da

circunferência que o contém.

Exemplo: Quantos radianos são 540º?

Resolução: 180º/p rad = 540º / x

x = 3p rad

Resposta: 540º = 3p rad

14. Função Seno

· A função é impar: sen(-x) = - senx

· Crescente no 1o e 4

o quadrante

· Decrescente no 2o e 3

o quadrante.

·




Sinais da função

1Q: seno positivo

2Q: seno positivo

3Q: seno negativo

4Q: seno negativo

· Redução ao primeiro quadrante

· Gráficos




Mudança de Arco para o Cálculo do Seno.

y = sen (2x)

15. Função Cosseno

· Domínio: R

· Im(f) = [-1;1]

· A função é par: cosx = cos(-x)

· Crescente: 3o e 4

o quadrante

· Decrescente: 1o e 2

o quadrante




Sinais da função

1Q: cosseno positivo

2Q: cosseno negativo

3Q: cosseno negativo

4Q: cosseno positivo

· Redução ao 1o quadrante

2º Quadrante: Cos ( 180

O – x ) = - cosx

Ex: Cos 150º

Cos ( 180O – 150

º ) = - cos30º


º + x ) = - cosx

Ex: Cos –150º

Cos ( 180O + - 150

º ) = - cos30º


º – x ) = cos ( -x ) = cosx

Ex: Cos –30º = Cos 30

º




Gráfico

Muito similar ao da função seno

As variações portam-se de maneira idêntica ao gráfico do sen x

Funções Cossecante, secante e cotangente;

Funções Cossecante, secante e cotangente

Não são funções muito importante

· Função Cossecante

f(x) = 1/senx , para senx 0

D(f) = {x E R / x Kp, com K E Z}

Im(f) = {y E R / y £ -1 ou y ³1}




· Função Secante:

f(x) = 1/cosx , para cosx 0

D(f) = {x E R/ x p/2 + Kp, com K E Z}

Im(f) = { y E R/ y £ -1 ou y ³1}

· Função Cotangente

f(x) = cosx/senx = 1/tgx , para tgx ¹0

D(f) = {x E R/ x Kp, com K E Z}

Im(f) = R

Relações Trigonométricas

1) sen2x + cos2x = 1

2) tgx = senx / cosx , para cosx 0

3) cotgx = cosx / senx, para senx 0




4) secx = 1 / cosx, para cosx 0

5) cossecx = 1 / senx, para senx 0

6) cotgx = 1 / tgx , para tgx 0

7) sec2x = 1 + tg2x

8) cossec2x = 1 + cotg2x

Exemplos:

1) Dado cotg x = ½ e sendo x um ângulo do terceiro quadrante, calcular o valor de sen x.

Resolução:

Cossec2 x = 1 + cotg

2x

Cossec2 x = 1 + ¼

Cossec2 x = 5/4

Cossec x = ±5/2

Como x Î ]p, 3p/2], temos : cossec = -5/2

Portanto,

Cossec x = 1/senx

-5/2 = 1/senx

sen x = -25/2




Resposta: -25/2

2)Se cotg x = 2/2, calcular tgx:

Resolução:

Se cotg x = 1/ tg x e cotg x =2/2, temos:

1/tgx = 2/2

tg x = 2/2 = Ö 2

Resposta: tg x = 2

Equações Trigonométricas

· 1° Caso: sena= senb

sena= senb : a = b +2Kp

a = p-b +2Kp

· 2° Caso:

cosa= cosb : a = b +2Kp

a = -b +2Kp

Obs.: a = 2p - b = -b




· 3° Caso:

tg a= tgb : a = b +Kp

Exemplo:

1) Resolva sen x = sen p/5, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais

Resolução:

x = p/5 + 2kp, kЄZ, ou

x = p -p/5 + 2kp = 4p/5 + 2kp, k ЄZ

Resposta: S = { x Є R | x = p/5 + 2kp ou x = 4p/5 + 2kp, k Є Z }

2) Resolva cos x = cos -p/3, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais

Resolução:

x =±(-p/3) + 2kp, k Є Z

Resposta: S = { x Є R | x =±(-p/3) + 2kp, k Є Z}

3) Resolva tg x = tg p/4, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais




Resolução:

x =p/4 + kp, k Є Z

Resposta: S = { xЄR | x =p/4 + kp, k ЄZ }

LEI DOS COSSENOS

a2 = b

2 + c

2 – 2bc . cosA

b2 = a

2 + c

2 – 2ac . cos B

c2 = a

2 + b

2 – 2ab . cos C

“Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros

dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao

primeiro lado.”

Exemplo: Quanto vale a?




Resolução:

a2 = 5

2 + 8

2 – 2 . 5 . 8 . cos 60

º

a2 = 25 + 64 – 80 . ½

a2 = 89 – 40 = 49a = 7

Resposta: a = 7

LEI DOS SENOS

a/senA = b/senB = c/senC

“Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos”

Exemplo: No triângulo da figura, calcular a e b :

Resolução:




Resolução:

A = 180º - 30

º - 45

º = 105

º

Pelo arco soma: sen 105º = (6 + 2)/4

Assim:

6/sen 30º = a/sen 45

º = b/ sen 105

º

Daí:

a = 62 e b = 3 (6 + 2)

Resposta: a = 62 e b = 3 (6 + 2)

Área de um triângulo

S = a . b . senC / 2

S = a . c . senB/2

S = b . c . senA/2

S = p.r (P = Semiperímetro , r = Raio da circunferência inscrita);

S = a.b.c / 4R (R = Raio da circunferência circunscrita);




Exemplo :

1) Qual a área de um triangulo de lados 5, 6 e 7?

Resolução:

2p = 5 + 6 + 7 = 18

p = 9

p – a = 9 –5 = 4

p – b = 9 – 6 = 3

p – c = 9 – 7 = 2

Assim:

S =(9 . 4 . 3 . 2)

S = 66

2) Qual a área do triângulo abaixo

Resolução:

S = ½.5.8.sen 30º

S = ½.40. ½= 10

apostila matemática - engenharia1

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