matemática financeira - apostila matemática financeira completa

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1. MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 1.1 Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. 1.2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro. 1.3 Taxa de juros (i) A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes: Taxa percentual: Exemplos : 8 % a.a. (ao ano); 10 % a.t. (ao trimestre). Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: Exemplos: 0,15 a.m. (ao mês); 0,10 a.q. (ao quadrimestre). 1

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Page 1: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

1. MATEMÁTICA FINANCEIRA

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas

de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar

procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

1.1 Capital (C)

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um

certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor

Aplicado.

1.2 Juros (j)

Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em

função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não

pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo

para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma

forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro.

1.3 Taxa de juros (i)

A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado,

para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em

seguida da especificação do período de tempo a que se refere.

A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes:

• Taxa percentual:

Exemplos: 8 % a.a. (ao ano);

10 % a.t. (ao trimestre).

• Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

Exemplos: 0,15 a.m. (ao mês);

0,10 a.q. (ao quadrimestre).

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Page 2: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP–12 C as taxas devem

ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas

matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária.

1.4 Tempo (n)

Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve

sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano,

etc...).

1.5 Montante (M)

É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital.

M = j + C

1.6 Juro ordinário

É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano

de 360 dias, etc...).

1.7 Juro Exato

É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias,

março 31 dias, setembro 30 dias, etc...).

1.8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos

As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da

intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os

empresta de outro.

A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a

remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de

instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de

Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa

em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os

tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas

taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

2

Page 3: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer

seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou

vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc... .

Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um

importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos

fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações.

Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um

investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste

fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma

forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o

recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.

1.9 Regimes de Capitalização

Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por

período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas

regimes de capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos.

a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples

Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do

capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação.

Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 %

a.a. , em regime de juros simples.

Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos

foi de R$ 1.300,00.

b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos

3

100 100 100 1000 1300

0 1 2 3 (anos)

Page 4: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Neste caso, o juro do 1º período se agrega ao capital dando o montante M1. O juro

do 2º período se agrega a M1 dando o montante M2. O juro do 3º período se agrega a M2

dando o montante M3.

Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 %

a.a. , em regime de juros compostos.

Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do

período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos

foi de R$ 1.331,00.

1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa

Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma

situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e

saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma

pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc... .

Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte

forma:

• Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde

houve ou haverá movimentação financeira.

• Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as

saídas de dinheiro ou pagamentos.

• Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as

entradas de dinheiro ou recebimentos.

Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais

de R$ 150,00 sem entrada.

4

- 300

-150 - 150 -150

150 150 150VENDEDOR COMPRADOR

300

100 110 121 1000 1331

0 1 2 3 (anos)

Page 5: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Observações.:

a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto

correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento.

b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de

vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de

cálculo serão sempre os mesmos.

2. JUROS SIMPLES

Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de

cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital

inicialmente empregado.

Sabemos que:

• Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C);

• Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i);

• Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n).

5

Page 6: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Então:

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

1) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de:

• Utilizar sempre a taxa unitária.

• Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa.

2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao

tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 120% ao ano

corresponde a 10% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez

que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a

taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo.

• 15 dias correspondem a:

• 20 dias correspondem a:

• 8 meses correspondem a:

• 3 meses e 20 dias correspondem a:

j = C . i . n

6

exato ano um de 36515

comercial ano um de 36015

comercial mês um de 3015

comercial semestre um de 18020

comercial trimestre um de 9020

dias 240

comercial semestre um de 68

comercial ano um de 128

comercial ano um de 360110

comercial mês um de 30110

Page 7: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

2.1 Fórmulas derivadas da expressão

2.2 Montante (M)

O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio

capital pode ser expresso por:

M = C + j

como j = Cin , temos que M = C + Cin, ou seja, ( )in1CM +=

Obs.: A calculadora HP-12C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros

simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos

utilizarmos somente das fórmulas matemáticas.

Exemplos:

a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20%

ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias.

Solução:

j = ?

C = R$ 900,00

i = 20% a.t ⇒ i = 0,2 a.t

j = C . i . n

7

n . ijC =

n . Cji =

i . Cjn =

Page 8: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

n = 1 ano, 4 meses e 17 dias ⇒ n = 497 dias ⇒ n = 90497 trimestres

j = Cin ⇒ j = 900 . 0,2 . 90497 ⇒ j = R$ 994,00

b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses

um juro de R$ 600,00.

Solução:

C = ?

i = 30% a.t ⇒ i = 0,3 a.t

n = 6 meses ⇒ n = 2 trimestres

j = R$ 600,00

j = Cin ⇒ 600 = C . 0,3 . 2 ⇒ 600 = 0,6 C ⇒ C = R$ 1.000,00

c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre

produziu um montante de R$ 1.500,00, após 8 meses.

Solução:

C = ?

i = 20% a.s ⇒ i = 0,2 a.s

M = R$ 1.500,00

N = 8 meses ⇒ n = 68 semestres

( )in1CM += ⇒ 1500 = C ( )68.2,01+ ⇒ C =

68.2,01

1500+ ⇒ C = R$ 1.184,21

Exercícios:

1) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de

8% a.s. Determine:

a) os juros;

b) o montante.

.

8

Page 9: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa

for de 2% a.m?

3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a

e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no

resgate, pergunta-se:

a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00?

b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$

9.500,00?

Exercícios Complementares:

1) Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $21.333,33

9

Page 10: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

2) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $1.070,00

3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m.

4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos

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Page 11: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00

6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos

7) Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m.

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Page 12: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m.

9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos

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Page 13: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

10) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses

11) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses

12) Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses

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Page 14: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

13) Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.m.

14) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a.

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Page 15: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

15) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $1.050.000,00

16) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $102.000,00

15

Page 16: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

17) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.125.000,00. Resposta: $250.000,00

18) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.

a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.172,80

b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92

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Page 17: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

19)Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.

a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $12.000,00? Resposta: $12.704,00

b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $11.500,00? Resposta: $10.862,72

20)Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,61 e $417,39

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Page 18: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

21) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: $1.800,00 e $1.200,00

2.3 Juros Simples pela HP-12C: (INT)

Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e

montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do

capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias.

Exemplo:

Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 200.000,00 aplicado

a uma taxa de 150% ao ano, por 218 dias.

TECLAS VISOR SIGNIFICADO200000 (CHS) (PV) -200.000,00 Introduz o valor do capital150 (i) 150,00 Introduz a taxa anual218 (n) 218,00 Introduz o prazo(f) (i) 181.666,67 Calcula os juros(+) 381.666,67 Calcula o montante

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Page 19: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3. JUROS COMPOSTOS

Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros

gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este

novo montante a produzir juros no período seguinte.

3.1 Montante (M)

Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a

juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa)

19

MONTANTES

C M1 M

2 ......................................................M

n

0 1 2......................................................... n

PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO

Page 20: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

• Montante após o 1º período:

M1 = C + j1 ⇒ j1 = C . i . 1 ⇒ M1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i) (1)

• Montante após o 2º período:

M2 = M1 + j2 ⇒ j2 = M1 . i . 1 ⇒ M2 = M1 + M1 i ⇒ M2 = M1(1 + i) (2)

Substituindo o valor de M1 de (1) em (2) temos que:

M2 = C(1 + i) . (1 +i) ⇒ ( )22 i1CM +=

É fácil perceber, por generalização, que após “n” períodos, o montante será dado

por:

( )nn i1CM += ou simplesmente: ( )ni1CM +=

3.2 Capital (C)

( )ni1CM += ⇒ ( )ni1MC+

=

3.3 Juro Composto (jc)

( ) ( )[ ]1i1Cj Ci1Cj CMj jCM nc

nccc −+=⇒−+=⇒−=⇒+=

3.4 Taxa de Juro Composto (i)

( ) ( ) 1CM i i1

CM i1

CM i1CM

n1

n1

nn −

=⇒+=

⇒+=⇒+=

20

Page 21: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3.5 Tempo (n)

( ) ( ) ( )

( ) ( )i1lnCMln

n ou i1log

CMlog

n

i1log.nCMlog i1

CM i1CM nn

+

=+

=

+=

⇒+=⇒+=

Exemplos:

a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um

montante de R$ 3.500,00, após um ano?

Solução:

C = ?

i = 0,025 a.m

M = R$ 3.500,00

n = 1 ano ⇒ n = 12 meses

( ) ( ) 025,01

3500C i1

MC 12n +=⇒

+= ⇒ C = R$ 2.602,45

b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um

montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação.

Solução:

i = ?

C = R$ 5.520,00

M = R$ 6.000,00

n = 4 meses

155206000 i 1

CM i

41

n1

=⇒−

= ⇒ i = 0,0211 ⇒ i = 2,11% a.m

Exercícios:

21

Page 22: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

1) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de

2% a.m. Pergunta-se:

a) Qual o montante?

b) Qual o total dos juros auferidos?

2) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos,

à taxa de 10% a.a para dar um montante de R$ 1.610,51?

3.6 Juros Compostos pela HP-12C:

Na HP-12C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n), (i), (PV) e (FV).

A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros.

Exemplo:

Um capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 15% a.m. Determine os

juros e o montante no final de 6 meses.

TECLAS VISOR SIGNIFICADO500000 (CHS) (PV) -500.000,00 Introduz o valor do capital15 (i) 15,00 Introduz a taxa 6 (n) 6,00 Introduz o prazo(FV) 1.156.530,38 Calcula o montante

Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV – PV, aproveitando os

dados já armazenados na calculadora.

22

Page 23: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

TECLAS VISOR SIGNIFICADO(RCL) (FV) 1.156.530,38 Chama o FV(RCL) (PV) -500.000,00 Chama o PV(+) 656.530,38 Calcula os juros

Observações:

1) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12C, devemos

introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo.

A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo

de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários.

2) A calculadora HP-12C trabalha também com período “n” fracionário, simplificando a

solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá

adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir:

(STO) (EEX) Note que aparecerá no visor a letra “C”, anunciando que a máquina

está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e

fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação

“C” no visor.

Exemplo:

A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$

800.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a

pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês.

• A fim de compatibilizar as unidades de “n” e “i”, vamos transformar 75 dias em

meses.

meses 5,2n3075n =⇒=

TECLAS VISOR SIGNIFICADO800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital26 (i) 26,00 Introduz a taxa 2,5 (n) 2,50 Introduz o prazo(FV) 1.425.661,26 Calcula o montante

23

Page 24: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Se a letra “C” não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário

(15dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$

1.435.190,40, o que não é verdadeiro.

Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos

calcular o prazo “n” na HP-12C:

TECLAS VISOR SIGNIFICADO800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital26 (i) 26,00 Introduz a taxa 1425661,26 (FV) 1.425.661,26 Introduz o montante(n) 3,00 Calcula o prazo

O resultado acima revela uma limitação da HP-12C: o cálculo do prazo por

intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro.

A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro

imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula:

( ) ⇒=⇒+

=⇒+

=1,26 ln1,78 lnn

0,26)(1 ln800000

26,1425661 lnn

i1 lnPVFV ln

n n = 2,5 meses

Exercícios Complementares:1) Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00 a juros compostos, pelo prazo

de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,12

2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos:

Capital Taxa Prazoa) $80.000,00 36% a.a. 2 anosb) $65.000,00 3% a.m. 1 anoc) $35.000,00 7% a.t. 1 ano e meio

Resposta: a)$147.968,00 b)$92.674,46 c)$52.525,56

24

Page 25: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3) Um capital de $7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à

taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.917,61

4) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a 3 meses num

fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a

6 meses? Resposta: $17.626,54

5) Qual capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% a.a.

produz um montante de $175.000,00? Resposta: $74.217,08

25

Page 26: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses,

gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta: 1,55% a.m.

7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, rendendo um juro

igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,18% a.m.

8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um

montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?

Resposta: 44,22% a.t.

26

Page 27: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então à prazo, sendo 20% do preço à

vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual

a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m.

10) Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros

compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00?

Resposta: 8 meses

27

Page 28: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

11) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de

2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 31,85 meses

12) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a..

a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta: 1,81% a.m.c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta: 11,36% a.s.

28

Page 29: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

13) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa

de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m.. O prazo das duas aplicações

foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os

montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22

14) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal

de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos?

Resposta:1,46% a.m.

29

Page 30: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

15) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho

em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2%

a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o

regime de juros compostos. Resposta: $900,93

16) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o

pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é

$192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% a.m.

17) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês.

Ao final de 18 meses retirou o montante de $31.855,17. Qual foi o capital aplicado?

Resposta: $20.000,00

30

Page 31: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

18)Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $18.000,00, dois meses

antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2,3% a.m..

a) Qual o valor líquido recebido pela empresa? Resposta: $17.172,00b) Qual a taxa mensal de juros simples da operação? Resposta: 2,41% a.m.c) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação? Resposta: 2,38%

a.m.

19)A empresa Vesúvio Ltda. Descontou num banco A uma duplicata de $100.000,00

três meses antes de seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de desconto,

pede-se:

a) Qual o valor líquido recebido pela empresa? Resposta: $89.500,00b) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação? Resposta: 3,77%

a.m.

31

Page 32: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

20) Com relação ao exercício anterior, suponha que a empresa consiga num outro

banco B um empréstimo igual ao valor líquido recebido da duplicata para ser pago

no mesmo prazo (3 meses), sendo cobrados juros compostos com taxa de 3,6%

a.m.. Qual a melhor opção para a empresa? Resposta: Banco B

21) Qual seria a resposta do exercício anterior se o banco B cobrasse ainda uma taxa

de serviço de 1% do valor do empréstimo, paga no instante da liberação do

crédito? Resposta: Banco A

32

Page 33: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

4. DESCONTO

Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará

o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor

necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata.

Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da

duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos

que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para

vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a

um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata.

Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200,00.

4.1 Desconto Simples

• Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu

vencimento.

• Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa

data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao

valor nominal.

FV = PV + PV . i . n ⇒ FV = PV(1 + i.n) ⇒ n . i1

FVPV+

=

4.1.1 Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd)

Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor

Presente calculado a juros simples, sendo “n” o prazo de vencimento do título e “d” a taxa

de desconto utilizada na operação.

⇒+=⇒= PV -.n)d(1PVDd PV - FVDd PV.d.n Dd PVn.d.PVPVDd =⇒−+=

33dn1FVPV .n)d(1PVFV .d.nPVPVFV DdPVFV+

=⇒+=⇒+=⇒+=

Page 34: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$ 1.500,00, descontado 40 dias

antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês?

Dd=?

FV=1500

n=40 dias meses 3040n =⇒

d=0,03 a.m.

4.1.2 Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df)

Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV)

pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do

título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário.

• Valor Futuro (FV): valor escrito no título;

• Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV;

• Tempo (n);

• Taxa de desconto (d)

n . d . FVDf =

dn-1PVFV d.n)-(1FVPV FV.d.n-FVPV DfFVPV =⇒=⇒=⇒−=

Exemplo: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do

vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule:

a) O valor do desconto;

n . d . FVDf = ⇒ 00,900$RDf2.025,0.18000Df =⇒=

34

57,69 $RDd3040.03,0.31,1442Ddn.d.PVDd

31,1442PV

3040.03,01

1500PV

=⇒=⇒=

=⇒+

=

Page 35: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

b) O valor líquido recebido pela empresa.

00,100.17$RPV9001800PVDfFVPV =⇒−=⇒−=

.

4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i)

Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma

unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade

de tempo de d e i), temos então:

)( dn1FV=PV

in+1FV

=PV

1)dn1(FV

in1FV −=+

0din)-d-n(i 0dindnin 01dindnin1 dindnin11

dindnin1FVFV

)dindnin1(FVFV

)in1).(dn1(FVFV

222

2

2

=⇒=−−⇒=−−−+⇒−−+=

−−+=

−−+=

+−=

n = 0

0din)-d-n(i =

i – d - din = 0

d.n-1di

n.i1id =

+=

35

in)d(1i dindi ⇒+=⇒+=in1

1d+

=

dn)-i(1d din-id dinid ⇒=⇒=⇒+−=−dn1

di−

=

Page 36: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que

taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação?

anos 122n meses 2 n

a.a. 3,0i

=⇒=

=

a.a. 28,57d a.a. 0,2857d

122.3,01

0,3d in1

id =⇒=⇒+

=⇒+

=

Exercícios:

1) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do

vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o

tomador?

2)Uma duplicata de R$ 180.000,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento.

Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas

modalidades de desconto racional e desconto comercial.

36

Page 37: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com

vencimento para 180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto

de 40% ao ano.

Exercícios Complementares:

1) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de

seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.

a) Qual o desconto comercial? Resposta: $1.080,00b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $18.920,00c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta: 1,9%

a.m.

37

Page 38: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a..

a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou

uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: $86.100,00

3) Um título governamental com valor de face de $100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a..

a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.138,89b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta:

26,27% a.a.

38

Page 39: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

4) Um fundo de investimento adquiriu por $48.800,00 um título governamental com valor de face de $50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias, calcule:

a) a taxa efetiva de juros no período; Resposta: 2,46% a.p.b) a taxa efetiva mensal de juros simples da operação. Resposta: 1,51% a.m.

5) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $15.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $15.750,00

39

Page 40: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

6) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a.

7) Uma empresa descontou uma duplicata de $12.000,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta: 1,56% a.m.

8) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias

40

Page 41: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

9) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32

10) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $13.786,30

41

Page 42: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

11) Uma duplicata de $55.900 descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $1.006,81

12) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m.

42

Page 43: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

13) Para pagar uma dívida de $1.055.500,00 uma empresa juntou um cheque de $266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $980.000,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. Resposta: 6,5% a.m.

14) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55

15) Resolva o exercício anterior, considerando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m., prazo de pagamento de 47 dias e valor que o cliente necessita hoje igual a $12.600,00. Resposta: $13.221,41

43

Page 44: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

16) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem:

a) um mês; Resposta: 3,09% a.m.b) dois meses: Resposta: 3,19% a.m.c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m.

17) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a.

18) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 10 meses

44

Page 45: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

19) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. e cobrando uma taxa de despesas administrativas igual a 1% do valor da duplicata. Qual a taxa efetiva mensal de juros simples, se os prazos forem:

a) um mês; Resposta: 3,09% a.m.b) três meses. Resposta: 2,51% a.m.

20)Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A

45

Page 46: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

21) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $25,00. Sabendo-se que o valor nominal do título é de $10.500,00 e que o prazo de antecipação é de dois meses, qual a taxa anual adotada? Resposta: 30% a.a.

22)Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em

operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá

cobrar, se os prazos de vencimento forem:

a)um mês; Resposta: 2,91% a.m.b)três meses. Resposta: 2,75% a.m.

46

Page 47: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

23)Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do

vencimento à taxa simples de 3% a.m. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor

do título. Resposta: $4.716,98

24)A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,17, sendo

o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor nominal do

título? Resposta: $12.000,00

25)Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de

desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?

Resposta: 2,83% a.m.

47

Page 48: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

26)Para duplicatas com prazo de vencimento de 3 meses, qual a taxa mensal de

desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 2% a.m.? Resposta: 1,89% a.m.

27)Uma taxa efetiva de juros de 14%, num período, corresponde a que taxa de

desconto comercial, no mesmo período? Resposta: 12,28 a.p.

28)Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3%

a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto

comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem:

a)1 mês; Resposta: 2,91% a.m.b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m.c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m.

48

Page 49: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

29)Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo

para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de

10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está

sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à

vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses).

Resposta: 11,11% a.p.

30) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado

para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período?

Resposta: 25% a.p.

49

Page 50: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

4.2 Desconto Composto

A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples.

Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial.

Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é

muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto

racional.

Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o

valor presente de um documento financeiro.

• Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN)

É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a

fórmula do Montante Composto.

n)i .1.(CM = onde M = Valor Futuro

C = Valor Presente

i = d (taxa de desconto)

n = período de antecipação

Logo: n)d1.(PVFV +=

• Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA)

É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou

descontado antes do seu vencimento.

nn

d)(1FVPV )d1.(PVFV+

=⇒+=

50

Page 51: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

4.2.1 Valor do Desconto Composto: DC

É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi

saldado antes do vencimento.

+

=⇒+

−=

−=

nn d)(11-1.FVDC

)d1(FVFVDC

PVFVDC

4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)

d1PVFV )d1(

PVFV )d1(

PVFV )d1(PVFV

n1

n.n1n

1nn +=

⇒+=

⇒+=⇒+=

1PVFVd

n1

=

4.2.3 Tempo (n)

nn )d1(PVFV )d1(PVFV +=⇒+=

n)d1log(PVFVlog +=

⇒ )d1log(.nPVFVlog +=

( ) ( )d1.lnPVFVln.

n ou d1.log

PVFV.log

n+

=+

=

51

Page 52: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

4.2.4 Taxas Equivalentes

Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas

num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais.

Assim, se "i" 1 e "i" 2 forem as taxas e "n" 1 e "n" 2 o referido prazo expresso na

mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter:

21 n2

n1 )i1.(C)i1.(C +=+

e, portanto, 21 n2

n1 )i1()i1( +=+

Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Resolução: Chamamos "i" 1 a taxa procurada e "i" 2 a taxa conhecida e adotando um

prazo padrão de 1 ano teremos então:

a.a. %82,26i 2682,0i2682,1i1

02,1i1)02,01()i(1 )i1()i(1

meses 12n.m..a 0,02i a.m. %2i

ano 1n anual) taxa( ?i

111

121

1211

n2

n1

2

22

1

1

21

=⇒=⇒=+

=+⇒+=+⇒+=+

==⇒=

==

Exemplo:

Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa

efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente?

Resolução:

?PVa.a. 0,4641d

trimestres 3n meses 9 n40,504.16FV

==

=⇒==

52

Page 53: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

( ) 00,400.12 $RPV )1,01(4,16504

d1FVPV

.t.a 1,0d 11,1d 1,1d1

)4641,1()d1)4641,01()d1)d1()d(1

ano 1n .trim 4na.a. 4641,0d (a.t.) ?d

3n

111

41

4.41

114

1n

2n

1

21

21

21

=⇒+

=⇒+

=

=⇒−=⇒=+

=+⇒+=+⇒+=+

====

PV

( (

Exercícios:

1) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?

2) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontado dois meses antes do

vencimento a taxa de desconto composto de 15% a.m. Qual o valor do desconto?

53

Page 54: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3) O desconto racional composto de um título de R$ 85.000,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo

a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação?

Exercícios Complementares:

1) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do

vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional

composto? Resposta: $43.191,88

2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador,

desejando um ganho de 105,30% a.a., oferece $540.000,00 ao credor da letra . Qual o

valor dessa LC? Resposta: $567.658,88

54

Page 55: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando

um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC

na data do resgate? Resposta: $31.617,28

4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três

anos é de $10.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com

capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.936,88

5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $250.000,00 foi de

$44.518,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação

do resgate? Resposta: 5 meses

55

Page 56: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $12.698,22. Sendo a

taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6 meses

7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a

antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $125.000,00. Qual o

seu valor nominal? Resposta: $156.250,00

56

Page 57: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a

antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $500.000,00,

determine:

c) a taxa de desconto anual. Resposta: 2,31% a.a.d) O valor nominal. Resposta: $600.000,00

9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $120.563,28. Esse amigo diz que

só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título

$250.000,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses

57

Page 58: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

10) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada

empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $1.500.000,00. Qual o valor

que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento

final em $1.350.000,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4%

a.m.. Resposta: $113.987,67

11) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2%

a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $250.000,00 e

deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de 300.000,00 e deverá

ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único

pagamento de $593.660,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a

taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 10 meses

58

Page 59: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

5 TAXAS DE JUROS

Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao

estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos

onde são usadas apenas taxas “referenciais” em que a capitalização não ocorre na

periodicidade indicada pela taxa.

Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações

financeiras.

5.1 Taxa Efetiva

Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do

investimento.

Por exemplo: 10% ao mês com capitalização mensal;

1,5% ao dia com capitalização diária.

Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de

juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 10% ao mês e

1,5% ao dia.

5.2 Taxas Proporcionais

Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o

mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de

juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das características é a linearidade

e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples.

Exemplos:

• 36% ao ano e 3% ao mês;

• 36% ao ano e 9% ao trimestre;

• 36% ao ano e 12% ao quadrimestre;

• 36% ao ano e 18% ao semestre.

As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas:

.d.a.m.a.t.a.q.a.s.a.a..a i.360i.12i.4i.3i.2i =====

59

Page 60: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

5.3 Taxas Equivalentes

Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital

durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos

Assim, se "i" 1 e "i" 2 forem as taxas e "n" 1 e "n" 2 o referido prazo expresso na

mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter:

21 n2

n1 )i1.(C)i1.(C +=+

e, portanto, 21 n2

n1 )i1()i1( +=+

Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Resolução: Chamamos "i" 1 a taxa procurada e "i" 2 a taxa conhecida e adotando um

prazo padrão de 1 ano teremos então:

a.a. %82,26i 2682,0i2682,1i1

02,1i1)02,01()i(1 )i1()i(1

meses 12na.m. 0,02 i a.m. %2i

ano 1nanual) taxa( ?i

111

121

1211

n2

n1

2

22

1

1

21

=⇒=⇒=+

=+⇒+=+⇒+=+

==⇒=

==

Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão:

( ) 1i1i qp

eq −+=

onde:

• "i" eq é a taxa equivalente;

• “i” é a taxa fornecida;

• “p” é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente);

• “q” é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida.

60

Page 61: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

Exemplo:

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

ieq = ?

i = 0,02 am

p = 360 dias

q = 30 dias

Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum , no mercado financeiro, períodos em dias.

( ) 1i1i qp

eq −+=

( ) 102,01i 30360

eq −+= ⇒ 2682,0ieq = a. a. %82,26i eq =⇒

5.4 Taxa Nominal

É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a

unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em

termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais,

trimestrais, bimestrais, mensais ou diários,

Exemplos:

• 20% ao ano, capitalizados mensalmente;

• 36% ao ano, capitalizados semestralmente.

A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser

“efetivada”, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal

em questão, através da expressão:

1ni

1in

N −

+=

onde:

• “iN” é a taxa nominal;

• “n” é o número de períodos de capitalização.

Exemplo: Qual a taxa efetiva anual , com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6%

ao ano?

i = ?

61

Page 62: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

iN = 6% a.a. ⇒ iN = 0,06 a.a.

n = 12 períodos

112

0,061i 1ni1i

12nN ⇒−

+=⇒

+= - ⇒= 0617,0i a.a. %17,6i =

5.5 Taxa Over

A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém

válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de

funcionamento do mercado financeiro.

Exemplo: 3% ao mês, por dia útil

A taxa efetiva correspondente é expressa por:

130i

1in

o −

+=

onde:

• “io” é a taxa over;

• “n” é o número de dias úteis do mês.

5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida

A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o

valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto

de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.

A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o

valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto

de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.

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Page 63: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

5.7 Taxa aparente e taxa real

A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é

aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de

serem expurgados os efeitos inflacionários

As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:

)I+1).(i+1(=)i+1( r

onde:

• “i” é a taxa aparente;

• “ir” é a taxa real;

• “I” é a taxa de inflação.

Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m.,

considerando uma inflação para o mesmo período de 15%, é:

)I1).(i1()i1( r ++=+

1043478,1ii115,12,115,1).i1(2,1)15,01).(i1()2,01( rrrr −=⇒+=⇒+=⇒++=+

ir = 0,043478 ⇒ ir = 4,3478% a.m.

Exercícios Complementares:

1) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $ 1.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. Resp.: $ 2.040, $ 2.040 e $ 2.040.

63

Page 64: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a.Resp.: 18% a.s., 3% a.m. e 0,10% a.d.

3) Qual a taxa mensal equivalente a 10% a.a.?Resp.: 0,7974% a.m.

4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito?Resp.: 19,4052% a.s.

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Page 65: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias?Resp.: 3,7733% a.p.

6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente?Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a.

7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente?Resp.: 1,9613% a.m.

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Page 66: Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa

8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.?Resp.: 18,65% a.a., capitalizada trimestralmente

9) Uma aplicação de $ 10.000 proporcionou um montante líquido de $ 10.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.: 1,20% a.m.

10) Um investidor aplicou $ 25.000 por um período de 180 dias à taxa de 12% a.a. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor?Resp.: 0,7627% a.m.

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11) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real?Resp.: 1,1403% a.m.

12) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante?Resp.: 1,2839% a.m.

13) A taxa aparente é de 1,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação?Resp.: 0,6965% a.m.

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14) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de 1,2% a.m., sendo de 21 o número de dias úteis deste?Resp.: 0,8434% a.m.

15) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada?Resp.: 1,1% a.m.

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