matemática financeira - apostila matemática financeira completa
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1. MATEMTICA FINANCEIRA
A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas
de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar
procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa.
1.1 Capital (C)
O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira, durante um
certo tempo. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor
Aplicado.
1.2 Juros (j)
Tendo em vista que o aplicador se abstm de usar o valor emprestado, e ainda, em
funo da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflao e do risco de no
pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do emprstimo
para o tomador ou a remunerao pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro o aluguel pago pelo uso de um dinheiro.
1.3 Taxa de juros (i)
A taxa de juros indica qual a remunerao que ser paga ao dinheiro emprestado,
para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em
seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere.
A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes:
Taxa percentual:
Exemplos: 8 % a.a. (ao ano);
10 % a.t. (ao trimestre).
Taxa Unitria a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %:
Exemplos: 0,15 a.m. (ao ms);
0,10 a.q. (ao quadrimestre).
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Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP12 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrrio, ou seja, na utilizao de frmulas
matemticas, devemos expressar as taxas na forma unitria.
1.4 Tempo (n)
Representa o perodo de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve
sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, ms, trimestre, semestre, ano,
etc...).
1.5 Montante (M)
a soma dos juros produzidos por um capital ao prprio capital.
M = j + C
1.6 Juro ordinrio
o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (ms de 30 dias, ano de 360 dias, etc...).
1.7 Juro Exato
o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias,
maro 31 dias, setembro 30 dias, etc...).
1.8 Regulamentao das operaes de Aplicao e Emprstimos
As operaes de aplicao e emprstimos so geralmente realizadas por meio da
intermediao de uma instituio financeira, que capta recursos de um lado e os
empresta de outro.
A capitalizao feita a uma taxa menor que a de emprstimo e a diferena a
remunerao da instituio. So vrias as opes de aplicaes (tambm chamadas de
instrumentos) que um investidor tem a sua disposio, por exemplo, a Caderneta de
Poupana, o CDB (Certificado de Depsito Bancrio) e outros. Cada opo tem sua taxa
em funo do prazo da aplicao e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os
tomadores de emprstimos tm as vrias opes de financiamento (instrumentos) cujas
taxas variam em funo dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.
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Na determinao das taxas de juros, o Governo tem uma grande influncia, quer
seja regulamentando o funcionamento das instituies financeiras, comprando ou
vendendo ttulos pblicos, cobrando impostos, etc... .
Os fundos de investimentos e os fundos de penso e previdncia tambm tm um
importante papel na intermediao financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos
fundos de investimentos utilizado para a compra de ttulos pblicos e privados e aes.
Por meio dos ganhos oferecidos por estes papis, o investidor remunerado (quando um
investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo nmero de cotas deste
fundo, e a valorizao da cota decorrente da rentabilidade de seus papis). Da mesma
forma ocorre com os fundos de previdncia e penso, no qual o aplicador visa o
recebimento de uma renda por ocasio de sua aposentadoria.
1.9 Regimes de Capitalizao
Quando um capital aplicado por vrios perodos, a uma certa taxa por
perodo, o montante poder crescer de acordo com duas convenes, chamadas
regimes de capitalizao. Temos o regime de capitalizao simples ou juros simples e o regime de capitalizao composta ou juros compostos.
a) Regime de Capitalizao Simples ou Juros Simples
Neste regime o juro gerado em cada perodo constante e igual ao produto do
capital pela taxa. Nesta modalidade os juros so pagos somente no final da operao.
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos taxa de 10 %
a.a. , em regime de juros simples.
Portanto, somente o capital aplicado que rende juros, e o montante aps 3 anos
foi de R$ 1.300,00.
b) Regime de Capitalizao Composta ou Juros Compostos
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100 100 100 1000 1300
0 1 2 3 (anos)
Neste caso, o juro do 1 perodo se agrega ao capital dando o montante M1. O juro
do 2 perodo se agrega a M1 dando o montante M2. O juro do 3 perodo se agrega a M2 dando o montante M3.
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos taxa de 10 %
a.a. , em regime de juros compostos.
Portanto, o juro que gerado em cada perodo se agrega ao montante do incio do
perodo e esta soma passa a render juro no perodo seguinte e o montante aps 3 anos
foi de R$ 1.331,00.
1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa
Um diagrama de fluxo de caixa , simplesmente, a representao grfica de uma
situao financeira. Neste grfico representado o conjunto de todas as entradas e
sadas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma
pessoa, de um investimento, de um emprstimo, etc... .
Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, representado da seguinte
forma:
Uma reta horizontal onde so colocados, em escala, os perodos de tempo onde
houve ou haver movimentao financeira.
Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as
sadas de dinheiro ou pagamentos.
Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as
entradas de dinheiro ou recebimentos.
Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 vista ou, se financiado, trs prestaes mensais
de R$ 150,00 sem entrada.
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- 300
-150 - 150 -150
150 150 150VENDEDOR COMPRADOR
300
100 110 121 1000 1331
0 1 2 3 (anos)
Observaes.:
a) A diferena entre a soma das prestaes e o valor vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento.
b) Como podemos ver, indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de
clculo sero sempre os mesmos.
2. JUROS SIMPLES
Juros simples ou regime de capitalizao simples o regime no qual, ao final de
cada perodo de capitalizao, os juros so calculados sempre sobre o capital
inicialmente empregado.
Sabemos que:
Juro (j) diretamente proporcional ao capital (C);
Juro (j) diretamente proporcional a taxa (i);
Juro (j) diretamente proporcional ao tempo (n).
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Ento:
OBSERVAES IMPORTANTES:
1) Na utilizao da expresso acima devemos tomar o cuidado de:
Utilizar sempre a taxa unitria.
Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual est associada taxa.
2) Embora no regime de capitalizao simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao ms, da mesma forma 120% ao ano
corresponde a 10% ao ms, convm no nos valermos desta proporcionalidade uma vez
que no regime de capitalizao composta ela no existe. Para deixarmos o tempo e a
taxa expressos na mesma unidade aconselhvel transformar o tempo.
15 dias correspondem a:
20 dias correspondem a:
8 meses correspondem a:
3 meses e 20 dias correspondem a:
j = C . i . n
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exato ano um de 36515
comercial ano um de 36015
comercial ms um de 3015
comercial semestre um de 18020
comercial trimestre um de 9020
dias 240
comercial semestre um de 68
comercial ano um de 128
comercial ano um de 360110
comercial ms um de 30110
2.1 Frmulas derivadas da expresso
2.2 Montante (M)
O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao prprio
capital pode ser expresso por:
M = C + j
como j = Cin , temos que M = C + Cin, ou seja, ( )in1CM +=
Obs.: A calculadora HP-12C, atravs de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. portanto, mais fcil, nos
utilizarmos somente das frmulas matemticas.
Exemplos:
a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20%
ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias.
Soluo:
j = ?
C = R$ 900,00
i = 20% a.t i = 0,2 a.t
j = C . i . n
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n . ijC =
n . Cji =
i . Cjn =