matemática financeira - apostila matemática financeira completa

1. MATEMTICA FINANCEIRA

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas

de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar

procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa.

1.1 Capital (C)

O Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira, durante um

certo tempo. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor

Aplicado.

1.2 Juros (j)

Tendo em vista que o aplicador se abstm de usar o valor emprestado, e ainda, em

funo da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflao e do risco de no

pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do emprstimo

para o tomador ou a remunerao pelo uso do capital para o emprestador. De uma forma simplificada, podemos dizer que juro o aluguel pago pelo uso de um dinheiro.

1.3 Taxa de juros (i)

A taxa de juros indica qual a remunerao que ser paga ao dinheiro emprestado,

para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em

seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere.

A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes:

Taxa percentual:

Exemplos: 8 % a.a. (ao ano);

10 % a.t. (ao trimestre).

Taxa Unitria a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %:

Exemplos: 0,15 a.m. (ao ms);

0,10 a.q. (ao quadrimestre).

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Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP12 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrrio, ou seja, na utilizao de frmulas

matemticas, devemos expressar as taxas na forma unitria.

1.4 Tempo (n)

Representa o perodo de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve

sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, ms, trimestre, semestre, ano,

etc...).

1.5 Montante (M)

a soma dos juros produzidos por um capital ao prprio capital.

M = j + C

1.6 Juro ordinrio

o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (ms de 30 dias, ano de 360 dias, etc...).

1.7 Juro Exato

o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias,

maro 31 dias, setembro 30 dias, etc...).

1.8 Regulamentao das operaes de Aplicao e Emprstimos

As operaes de aplicao e emprstimos so geralmente realizadas por meio da

intermediao de uma instituio financeira, que capta recursos de um lado e os

empresta de outro.

A capitalizao feita a uma taxa menor que a de emprstimo e a diferena a

remunerao da instituio. So vrias as opes de aplicaes (tambm chamadas de

instrumentos) que um investidor tem a sua disposio, por exemplo, a Caderneta de

Poupana, o CDB (Certificado de Depsito Bancrio) e outros. Cada opo tem sua taxa

em funo do prazo da aplicao e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os

tomadores de emprstimos tm as vrias opes de financiamento (instrumentos) cujas

taxas variam em funo dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

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Na determinao das taxas de juros, o Governo tem uma grande influncia, quer

seja regulamentando o funcionamento das instituies financeiras, comprando ou

vendendo ttulos pblicos, cobrando impostos, etc... .

Os fundos de investimentos e os fundos de penso e previdncia tambm tm um

importante papel na intermediao financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos

fundos de investimentos utilizado para a compra de ttulos pblicos e privados e aes.

Por meio dos ganhos oferecidos por estes papis, o investidor remunerado (quando um

investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo nmero de cotas deste

fundo, e a valorizao da cota decorrente da rentabilidade de seus papis). Da mesma

forma ocorre com os fundos de previdncia e penso, no qual o aplicador visa o

recebimento de uma renda por ocasio de sua aposentadoria.

1.9 Regimes de Capitalizao

Quando um capital aplicado por vrios perodos, a uma certa taxa por

perodo, o montante poder crescer de acordo com duas convenes, chamadas

regimes de capitalizao. Temos o regime de capitalizao simples ou juros simples e o regime de capitalizao composta ou juros compostos.

a) Regime de Capitalizao Simples ou Juros Simples

Neste regime o juro gerado em cada perodo constante e igual ao produto do

capital pela taxa. Nesta modalidade os juros so pagos somente no final da operao.

Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos taxa de 10 %

a.a. , em regime de juros simples.

Portanto, somente o capital aplicado que rende juros, e o montante aps 3 anos

foi de R$ 1.300,00.

b) Regime de Capitalizao Composta ou Juros Compostos

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100 100 100 1000 1300

0 1 2 3 (anos)

Neste caso, o juro do 1 perodo se agrega ao capital dando o montante M1. O juro

do 2 perodo se agrega a M1 dando o montante M2. O juro do 3 perodo se agrega a M2 dando o montante M3.

Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos taxa de 10 %

a.a. , em regime de juros compostos.

Portanto, o juro que gerado em cada perodo se agrega ao montante do incio do

perodo e esta soma passa a render juro no perodo seguinte e o montante aps 3 anos

foi de R$ 1.331,00.

1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa

Um diagrama de fluxo de caixa , simplesmente, a representao grfica de uma

situao financeira. Neste grfico representado o conjunto de todas as entradas e

sadas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma

pessoa, de um investimento, de um emprstimo, etc... .

Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, representado da seguinte

forma:

Uma reta horizontal onde so colocados, em escala, os perodos de tempo onde

houve ou haver movimentao financeira.

Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as

sadas de dinheiro ou pagamentos.

Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as

entradas de dinheiro ou recebimentos.

Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 vista ou, se financiado, trs prestaes mensais

de R$ 150,00 sem entrada.

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- 300

-150 - 150 -150

150 150 150VENDEDOR COMPRADOR

300

100 110 121 1000 1331

0 1 2 3 (anos)

Observaes.:

a) A diferena entre a soma das prestaes e o valor vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento.

b) Como podemos ver, indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de

clculo sero sempre os mesmos.

2. JUROS SIMPLES

Juros simples ou regime de capitalizao simples o regime no qual, ao final de

cada perodo de capitalizao, os juros so calculados sempre sobre o capital

inicialmente empregado.

Sabemos que:

Juro (j) diretamente proporcional ao capital (C);

Juro (j) diretamente proporcional a taxa (i);

Juro (j) diretamente proporcional ao tempo (n).

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Ento:

OBSERVAES IMPORTANTES:

1) Na utilizao da expresso acima devemos tomar o cuidado de:

Utilizar sempre a taxa unitria.

Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual est associada taxa.

2) Embora no regime de capitalizao simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao ms, da mesma forma 120% ao ano

corresponde a 10% ao ms, convm no nos valermos desta proporcionalidade uma vez

que no regime de capitalizao composta ela no existe. Para deixarmos o tempo e a

taxa expressos na mesma unidade aconselhvel transformar o tempo.

15 dias correspondem a:

20 dias correspondem a:

8 meses correspondem a:

3 meses e 20 dias correspondem a:

j = C . i . n

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exato ano um de 36515

comercial ano um de 36015

comercial ms um de 3015

comercial semestre um de 18020

comercial trimestre um de 9020

dias 240

comercial semestre um de 68

comercial ano um de 128

comercial ano um de 360110

comercial ms um de 30110

2.1 Frmulas derivadas da expresso

2.2 Montante (M)

O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao prprio

capital pode ser expresso por:

M = C + j

como j = Cin , temos que M = C + Cin, ou seja, ( )in1CM +=

Obs.: A calculadora HP-12C, atravs de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. portanto, mais fcil, nos

utilizarmos somente das frmulas matemticas.

Exemplos:

a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20%

ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias.

Soluo:

j = ?

C = R$ 900,00

i = 20% a.t i = 0,2 a.t

j = C . i . n

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n . ijC =

n . Cji =

i . Cjn =