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APOSTILA DE

MATEMÁTICA

FINANCEIRA

CURSO TÉCNICO EM RECURSOS HUMANOS

CURSO TÉCNICO EM GERÊNCIA EM SAÚDE Professor Nícias José de Carvalho

1 Curso Técnico em Recursos Humanos e em Gerência em Saúde – Professor Nícias José de Carvalho

ÍNDICE

1. RAZÃO E PROPORÇÃO ....................................................................................................... 2

1.1. Razão ................................................................................................................................. 2

1.2. Proporção .......................................................................................................................... 3

2. PORCENTAGEM .................................................................................................................... 4

2.2. Aumentos e Descontos Sucessivos ..................................................................................... 5

3. Capitalização Simples .............................................................................................................. 7

3.1. Introdução ......................................................................................................................... 7

3.2. Regimes de capitalização .................................................................................................. 7

3.3. Capitalização Simples ....................................................................................................... 7

3.4. Taxas proporcionais ........................................................................................................ 11

3.5. Taxas equivalentes .......................................................................................................... 11

3.6. Juros exatos, comerciais.................................................................................................. 12

4. Capitalização Composta ........................................................................................................ 14

4.1. Introdução ....................................................................................................................... 14

4.2. Cálculo do Montante ....................................................................................................... 14

4.3. Cálculo dos Juros ............................................................................................................ 14

4.4. Logaritmos ...................................................................................................................... 15

4.5. Taxas equivalentes .......................................................................................................... 17

4.6. Taxa Efetiva e Nominal ................................................................................................... 18

5. Descontos Simples .................................................................................................................. 22

5.1. Introdução ....................................................................................................................... 22

5.2. Desconto Comercial, bancário ou por fora .................................................................... 22

5.3. Descontos de Duplicatas .................................................................................................. 23

6. Séries de Pagamentos ............................................................................................................. 25

6.1. Classificação de séries ..................................................................................................... 25

6.2. Rendas postecipadas (END) ............................................................................................ 25

6.3. Rendas Antecipadas ........................................................................................................ 29

7. Sistemas de Amortização ....................................................................................................... 31

7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC .................................................................... 35


MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. RAZÃO E PROPORÇÃO

1.1. Razão

1.1.1. Introdução

Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.

Esporte Nº de alunos

Judô 50

Futebol 150

Natação 200

Handebol 50

Basquete 60

Nenhum esporte 90

Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:

a) número de alunos que praticam natação

número de alunos da escola

Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.

b) número de alunos que praticam judô

número de alunos que jogam futebol

Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô.

c) número de alunos que praticam esporte

número de alunos da escola

Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

1.1.2. Definição

Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chamamos de razão ao quociente de a para b.

Indicamos razão por 𝑎

𝑏 ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.

Exercícios Propostos:

1) Estabeleça as razões entre os números abaixo:

a) 2 e 10

b) 0,1 e 0,001

c) 1

2 𝑒

3

4


2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h.

3) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991

esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade

demográfica desse estado?

Lembre-se: 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

á𝑟𝑒𝑎

1.2. Proporção

1.2.1. Definição

Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.

Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 ou 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑

com (a, b, c, d racionais, não nulos).

Lê-se: ―a está para b assim como c está para d ‖

1.2.2. Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 ⟹ 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑑 , 𝑐𝑜𝑚 (𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 ≠ 0)

Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d

são os extremos.

Exemplo: 2

3=

4

6 ⇒ 3 . 4 = 2 . 6


1) Calcule o valor de 𝑥 nas proporções abaixo:

a) 𝑥

2=

1

3

b) 0,5

2=

1

𝑥

c) 1

21

3

=4

𝑥

d) 1

2+

1

3

2=

𝑥1

4

e) 𝑥

2+1

3

=3−

1

45

2

f) 12

𝑥=

(0,25)1

2

0,6


2. PORCENTAGEM

É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:

a cesta básica teve um reajuste de 2,1%;

os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%.

10% da população brasileira são fumantes.

Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos

de porcentagem.

2.1.1. Definição

Chamamos porcentagem toda razão 𝑎

𝑏 , na qual 𝑏 = 100. Essas razões centesimais são

representadas pelo símbolo %. Veja os exemplos:

5% = 5

100= 0,05

2,1% = 2,1

100= 0,021

1,21% = 1,21

100= 0,0121

10% = 10

100= 0,1

2.1.2. Elementos do cálculo percentual

Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número

sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que

devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.

Exemplo: Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa

sala?

Principal (c) = 35 𝑃 =𝑐 .𝑖

100

taxa (i) = 20% 𝑃 =35 . 20

100

porcentagem (P) 𝑃 = 700

100= 7

Exercícios Propostos

1) Calcular

a) 2% de 120

b) 1,5% de 150

c) 24% de 240

d) 1

3% de 30

R: a) 2,40 b) 2,25 c) 57,6 d) 0,1


2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram.

Qual o número total de candidatos inscritos?

R: 1875

3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%,

quanto pagarei por ele?

R: R$ 1380,00

2.2. Aumentos e Descontos Sucessivos

Dois aumentos sucessivos de 20% equivalem a um único de 44% (e não 40%), pois:

1,2 × 1,2 = 1,44 Nos descontos sucessivos acontece o mesmo processo, dois descontos sucessivos de 20% é:

0,8 × 0,8 = 0,64; logo 100% − 64% = 36%

Exercícios Propostos

1) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo

um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido?Q ual foi o valor

do pagamento?

R: 4,94% R$ 380,24

2) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a

esses dois acréscimos? R: 21%

3) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos

habitantes terá no final de dois anos? R: 61206


Exercícios de Fixação

1) Quanto vale:

a) 1% de 130?

b) 13% de 450?

c) 0,1% de 1,04?

d) 0,5% 500?

2) O número 1,35 corresponde a 15% de qual número?

R: 9

3) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou

recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador

teve um aumento mensal no seu salário de:

a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00

b) R$ 200,00 d) R$ 150,00

R: b

4) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a

seguir, mais um de 5% é:

a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00

b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00

R: c

5) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho e julho foram de 15%, 12% e 20%,

respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada

foi de, aproximadamente,

a) 15,7% b) 45,2% c) 47% d) 47,8% e) 54,6%

R: e

6) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00,

incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do

imposto é de 15% a.d., qual é o valor que João pagou por este imposto?

R: R$ 48300,00

7) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um

acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas

prestações iguais, qual será o valor de cada prestação?

R: R$ 528,00

8) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8%

do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?

9) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se

1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas,

antes da ação dos roedores era:

a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105

10) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que 15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule

o número de alunos aprovados sem recuperação.

11) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar

R$13,50. A majoração sobre o preço antigo é de:

a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a.


3. Capitalização Simples

3.1.Introdução

Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia

emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.

Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um

período de tempo determinado (n).

A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em

porcentagem do capital.

Exemplos:

a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia.

b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.

c) A taxa de juro de 30% a.a. - significa que o valor do juro é igual a 30% do capital, por ano.

Em relação aos períodos financeiros:

Taxa ( i ) Período Financeiro

0,5% a.d. (= 0,5% ao dia) Diário

2% a.m. (= 2% ao mês) Mensal

5% a.b. (= 5% ao bimestre) Bimestral

25% a.t. (= 25% ao trimestre) Trimestral

12% a.q. (12% ao quadrimestre) Quadrimestral

10% a.s. (= 10% ao semestre) Semestral

15% a.a. (= 15% ao ano) Anual

3.2. Regimes de capitalização

O estudo de matemática financeira concentra-se na análise do crescimento do capital em função

dos juros a ele acrescidos através de regimes de capitalização. Os regimes de capitalização podem

ser simples ou compostos.

3.3. Capitalização Simples

Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período

têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada com períodos

de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobrada dentro de um mês) e a

desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques pré-datados nos bancos).

3.3.1. Simbologia


Definição Simbologia

Capital inicial ( = Principal) P

Juros j

Taxa de juros i

Prazo n

Montante ( = Valor futuro ) M

*O Capital ou principal em algumas bibliografias podem ser chamados de C e o tempo de t.

3.3.2. Cálculo dos juros simples

Seja um capital (P) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob

o regime de capitalização simples.

Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos:

Período:

1 2 3 4 5 6 n-1 n

𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 = 𝐽4 = 𝐽5 = 𝐽6 =. . . = 𝐽𝑛−1 = 𝐽𝑛 = 𝑃. 𝑖 O Juro total dos n períodos será:

𝐽 = 𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 + 𝐽4 + 𝐽5 + 𝐽6+. . . +𝐽𝑛−1 + 𝐽𝑛

𝐽 = 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖+. . . +𝑃. 𝑖 + 𝑃. 𝑖

𝐽 = 𝑃. 𝑖. 𝑛

3.3.3. Montante

Montante é o somatório entre o principal (capital) aplicado e os rendimentos (juros), logo:

𝑀 = 𝑃 + 𝐽 𝑀 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖. 𝑛

𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖𝑛)

Exemplo:

Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros simples durante 5 meses à taxa de juros i = 2% a.m.

Vamos observar o montante gerado ao longo do processo!

P = R$ 1000,00 𝐽 = 1000 × 0,02

i = 2% a.m. = 0,02

n = 5 meses

O quadro abaixo expressa todo o processo:


Mês Base do Cálculo (R$) Juros do mês (R$) Montante (R$)

0 — — 1.000,00

1

2

3

4

5

R: O montante gerado foi de R$ 1.100,00


1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante

1 ano e 2 meses. R: R$ 280,00

2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a

taxa. R: 25%

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00

de juros, sendo a taxa 1% a.m.?

R: 40

4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$

650,00.

R: R$ 5000,00


5) Um indivíduo aplicou R$ 800,00 a juros simples por meio ano, sendo que nos 2 primeiros

meses a taxa de juros utilizada foi de 3% a.m , e no período final a taxa foi de 3,5% a.m.

Complete o quadro abaixo, mês a mês, e determine o saldo obtido ao final da aplicação.

R: R$ 966,72

Mês Juros do mês (R$) Montante (R$)

0 — 800,00

1

2

3

4

5

6

6) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a

taxa de 0,5% a.m..

R: R$ 1380,00

7) Um capital foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. durante 12 meses e gerou um montante de

R$150.000,00. Qual foi o capital aplicado?

R: 93750,00

8) A que taxa mensal um capital de R$ 175,00 aplicado durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz

um montante de R$ 508,25 ?

R: 4,41%

9) Uma pessoa aplicou R$ 200.000,00 a uma taxa de 7% a.m. e recebeu um montante de

R$368.000,00. Quanto tempo este capital ficou aplicado?

R: 12


3.4.Taxas proporcionais

Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com

os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.

Assim, sendo teremos: 𝑖1

𝑛1=

𝑖2

𝑛2

Exemplos:

1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.

R: 2%

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.

R: 18%

3) Calcule a taxa trimestral proporcional à taxa de 16%a.a..

R: 4%

3.5.Taxas equivalentes

Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo

período de tempo, produzem juros iguais.

Exemplo:

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:

a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.

b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.


3.6. Juros exatos, comerciais

Existe uma diferença conceitual entre juros simples exato, juros simples comercial.

• Juros Exatos 𝐴𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑣𝑖𝑙: 365 𝑑𝑖𝑎𝑠 (366 𝑠𝑒 𝑏𝑖𝑠𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜)

𝑀𝑒𝑠𝑒𝑠: 28, 29, 30 𝑜𝑢 31 𝑑𝑖𝑎𝑠

• Juros Comerciais 𝐴𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑣𝑖𝑙: 360 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑀𝑒𝑠𝑒𝑠: 30 𝑑𝑖𝑎𝑠

Exercícios de Fixação:

1) Qual é o montante de um capital de R$ 1000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de 2

anos?

R: R$ 1200,00

2) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5000,00 à taxa de juros simples de

18% a.a., durante 6 meses?

R: R$5540,00

3) Calcule o juro simples referente a um capital de R$ 1000,00 investido durante 60 dias, à taxa de

9% a.m.. Considere o mês comercial com 30 dias.

R: R$180,00

4) Um capital aplicado a juros simples rende R$ 272,00 em 10 dias, a 12% a.m.. Qual é esse

capital?

R: R$ 6800,00

5) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 1600,00, para que produza um montante de

R$ 1856,00, à taxa de 24% a.t. ?

R: 2

6) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em

4 anos.

R: 1200,00

7) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicação de certo

capital à taxa de juros i = 42% a.a., durante 13 meses ?

R: 31271,48

8) Após 155 dias da aplicação de um certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se

que a taxa de juros é de 4% a.m., determinar o valor do capital aplicado.

R: R$ 53433,21

9) Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de juros i = 5%

a.m., produza R$ 18.600,00 de juros ?

R: 9,3


10) Um indivíduo aplicou R$ 3.500,00 a juros simples por um ano, sendo que nos 6 primeiros meses

a taxa de juros utilizada foi de 2% a.m , e no período final a taxa foi de 18% a.a. Nestas

condições, determine o saldo obtido ao final da aplicação.

R: R$ 4272,80

11) Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para ser liquidado por R$ 14.675,00 ao

final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nesta operação ?

R: 66%

12) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa

anual.

R: 86,4%

13) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto

tempo esteve empregado?

R: 100

14) Se uma pessoa aplica somente 2

5 de seu capital durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros

simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule todo o capital que esta pessoa possui.

R: R$ 320000,00

15) Carlos aplicou 1

4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o

restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização.

Sabendo –se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, quanto era

o seu capital inicial?

R: R$ 4400,00

16) Um capital de R$ 6.000,00 aplicado durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00.

Determinar a taxa de juros cobrada.

R: 16,66%

17) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros

simples de 0,5% a.m.

R: R$ 600,00

18) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:

a) 18 meses b) 24 meses c) 25 meses d) 48 meses e) 50 meses

R: c

19) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá qual

montante?

R: R$ 3016,62

20) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A

diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa? R: 50%


4. Capitalização Composta

4.1.Introdução

Este regime de capitalização é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para

cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal

para o cálculo dos juros do período seguinte.

4.2.Cálculo do Montante

No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte

Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa

época, tem-se no montante seguinte:

𝑀0 = 𝑃 𝑀1 = 𝑀0 + 𝐽1 = 𝑀0 + 𝑀0 ⋅ 𝑖 = 𝑀0 (1 + 𝑖) = 𝑃 (1 + 𝑖) 𝑀2 = 𝑀1 + 𝐽2 = 𝑀1 + 𝑀1 ⋅ 𝑖 = 𝑀1 (1 + 𝑖) = 𝑃 (1 + 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖) = 𝑃 (1 + 𝑖)2

𝑀3 = 𝑀2 + 𝐽3 = 𝑀2 + 𝑀2 ⋅ 𝑖 = 𝑀2 (1 + 𝑖) = 𝑃 (1 + 𝑖)2 ⋅ (1 + 𝑖) = 𝑃 (1 + 𝑖)3

Então podemos escrever que o Montante no final de 𝑛 períodos é:

𝑴 = 𝑷 (𝟏 + 𝒊)𝒏

4.3.Cálculo dos Juros

𝐽 = 𝑀 − 𝑃

𝐽 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 − 𝑃

𝑱 = 𝑷 [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏]


1) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros compostos durante 5 meses à taxa de juros i = 2% a.m.

Vamos observar o montante gerado ao longo do processo!

R: R$ 1104,08

P


Mês Base do Cálculo (R$) Juros do mês (R$) Montante (R$)

0 — — 1.000,00

1

2

3

4

5

2) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o

montante.

R: R$ 2343,32

3) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para

produzir um montante de R$ 6.000,00.

R: 23,5

Para solucionar este problema, necessitaremos do uso dos logaritmos.

4.4. Logaritmos

Definição:

Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais e positivos, com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎 > 0, chama-se logaritmo de 𝑏 na base

𝑎, o expoente que se deve dar a base 𝑎 de modo que a potência obtida seja igual a 𝑏.

log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑏

Ex: log3 81 = 4, pois 34 = 81

log5 5 = 1, pois 51 = 5

log1

2

8 = −3, pois 1

2 −3

= 8


Quando não se indica a base do logaritmo, quer dizer que a base é 10. Portanto, log𝑥 = log10 𝑥.

Ex: log 100 = 2, pois 102 = 100

Exercícios

Com a utilização da calculadora, encontre os seguintes logaritmos:

a) log 30 =

b) log 1000 =

c) log 1,3 =

d) log1

2=

Algumas propriedades:

1. Logaritmo do Produto

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃. 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

Ex: log 100 .1000 =

log 2,3 .4 =

2. Logaritmo da Potência

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒎 = 𝒎. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃

Ex: log 102 =

log 23 =

Continuação dos Exercícios Propostos

4) Um investidor aplicou R$ 25 000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período,

ele recebeu R$ 35 644,02, estando nesse valor incluídos os juros compostos creditados e o

capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?

R: 12

5) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante

de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação.

R: 31,03


6) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6%

a.a.

R: R$ 2029,35

4.5.Taxas equivalentes

Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um

mesmo período de tempo, com períodos de capitalização diferentes, produzem montantes iguais.

Exemplo:

Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 6 meses, nas seguintes

condições:

a) 10% a.m.

b) 21% a.b.

As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.

(1 + 𝑖𝑎)1 = (1 + 𝑖𝑠)2 = (1 + 𝑖𝑡)3 = (1 + 𝑖𝑡)4 = (1 + 𝑖𝑏)6 = (1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑑)360

𝑖𝑎: taxa anual de juros compostos.

𝑖𝑠: taxa semestral de juros compostos;

𝑖𝑡: taxa trimestral de juros compostos;

𝑖𝑏: taxa bimestral de juros compostos;

𝑖𝑚: taxa mensal de juros compostos;

𝑖𝑑: taxa diária de juros compostos;


1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

R: 2,9563%


2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

R: 60,1032%

4.6.Taxa Efetiva e Nominal

4.6.1. Taxa Efetiva

A Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide

com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

140% ao mês com capitalização mensal.

250% ao semestre com capitalização semestral.

1250% ao ano com capitalização anual.

4.6.2. Taxa Nominal

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não

coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

340% ao semestre com capitalização mensal.

1150% ao ano com capitalização mensal.

300% ao ano com capitalização trimestral.

4.6.3. Cálculo da Taxa Efetiva

Quando se tem a taxa nominal, pode-se encontrar a taxa efetiva referente à capitalização

apresentada.

𝒊: taxa efetiva no período inteiro;

sendo 𝒊𝒌: taxa nominal correspondente a 𝒊; 𝑲: número de capitalizações no período;

Teremos: 𝒊 =𝒊𝒌

𝑲

Exemplos: 1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?

𝑖𝑘 = 6% = 0,06

𝑘 = 12 𝒊 =𝒊𝒌

𝑲=

𝟎,𝟎𝟔

𝟏𝟐= 𝟎, 𝟎𝟎𝟓

𝑖 =? 𝒊 = 𝟎, 𝟓% a.m.


2) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 18% a.a. capitalizada mensalmente?

R: 1,5%

3) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal?

OBS: Quando se tem a taxa nominal, quer dizer que a taxa principal não é efetiva, é efetiva apenas

para a capitalização proposta. Nesse exemplo, 12% a.a. não é efetiva e sim nominal. Para calcular a

taxa efetiva referente a ela, devemos utilizar a taxa equivalente.

R: 12,6825%

4) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 18% a.a., com capitalização bimestral?

R: 19,4052

5) Um investidor deseja efetuar uma aplicação e está indeciso em relação a qual banco escolher,

já que os mesmos oferecem diferentes taxas de juros. Analise as opções apresentadas e

indique qual das opções resulta em melhores resultados para o investidor.

● Banco A: 𝑖 = 15% a.a. com capitalização diária

● Banco B: 𝑖 = 15% a.a. com capitalização trimestral

● Banco C: 𝑖 = 16% a.a. com capitalização anual

Para melhor podermos comparar as taxas apresentadas vamos determinar as taxas efetivas anuais

equivalentes às nominais declaradas, já que a única já apresentada na forma efetiva é a do Banco C.

Banco A: R: A


Banco B:


1) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas:

a) 2% a.s. R: 4,04%

b) 3% a.m. R: 42,58%

2) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?

R: R$1,61%

3) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a.

Qual aplicação renderá mais?

R: 10%

4) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros

compostos de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se:

a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente?

b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?

R: 1% e 12,68%

5) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o

montante de:

a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00 e) n.r.a.

R: b

6) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de

6% a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.

R: R$ 300,00

7) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral,

durante 2anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?

R: R$ 12505,63

8) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral,

durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.

R: R$ 126,16

9) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3

meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.

R: 14,47%

10) Calcule a taxa composta para que, um capital de R$ 300,00, consiga gerar um montante de

R$ 4800,00, em um período de 2 meses.

R: 3%


11) Que quantia precisa ser aplicada por 150 dias para acumular R$ 71.000,00 à taxa de juros

𝑖 = 2,65% 𝑎. 𝑚. ? R: R$ 62296,49

12) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes

taxas de juros:

• 2% compostos trimestralmente;

• 2% compostos bimestralmente;

• 2% ao mês a juros simples.

Qual é a melhor opção?

R: R$7029,95

13) Por quanto tempo o capital de R$ 15600,70 deve ficar aplicado à taxa de 7,2% a.m., para

formar o montante de R$ 20602,64?

R: 4 meses

14) Calcule quantos dias são necessários para que o capital de R$ 40000,00, aplicado a uma taxa

de 4,5% a.m., atinja o montante de R$ 42730,15.

R: 45 dias

15) Qual é o prazo necessário (anos, meses e dias) para que o capital de R$ 250.000,00, aplicado

à taxa de 3% a.q. se transforme no montante de R$ 457.800,00?

R: 6 anos, 8 meses e 55 dias

16) Duas lojas vendem o mesmo produto por R$ 1.400,00 à vista, mas oferecem diferentes

formas de financiamentos, sendo:

● Loja A: 30% de entrada mais um cheque pré-datado de R$ 1.043,75 para 60 dias

● Loja B: um único pagamento com um cheque pré-datado de R$ 1.565,75 para 90 dias

Qual das duas opções é a mais econômica para o comprador ?

R: A

17) Sabendo que necessito de R$ 15.800,00 para financiar a importação de um determinado

produto daqui a dois anos, quanto devo aplicar hoje em um fundo que remunera à taxa de

42% a.a. com capitalização mensal para compor tal quantia ?

R: R$ 6919,72

18) Uma loja financia um eletrodoméstico cujo preço à vista é R$ 1.600,00 através de dois

pagamentos iguais, sendo um dado como entrada e o restante após 30 dias. Sabendo-se que a

taxa de juros utilizada pela loja é de 4% a.m., calcule o valor dos pagamentos.

R: R$ 816,00

19) Um capital de R$ 7.200,00 foi aplicado à taxa de juros compostos de 12% a.a. com

capitalização trimestral. Determine o montante após 4 anos, 7 meses e 25 dias.

R: R$ 12480,95

20) Qual é o montante produzido pelo capital de R$ 120.000,00 aplicado à taxa de juros

compostos de 24% a.a. com capitalização mensal no prazo de 4 anos, 5 meses e 20 dias?

R: R$ 347314,94


5. Descontos Simples

5.1.Introdução

Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou

negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo. Quando uma compra é feita a vista, a

pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma. No caso de

uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura.

É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o

mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de

desconto.

Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.

Existem dois tipos de descontos simples:

Racional ou por dentro (igual aos juros simples)

Irracional, comercial, bancário ou por fora.

O chamado desconto racional não tem nenhum uso na prática, pois, é a mesma coisa que

tratar a operação financeira com juros simples. Não trataremos dessa linguagem aqui.

Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é

quitado antes do seu vencimento;

Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;

Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.

Exemplo:

Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o

mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

Valor nominal (N): R$ 10.000,00

Valor atual (A): R$ 8.000,00

Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 ⇒ d = R$ 2.000,00

O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:

d = N – A ou A = N - d ou N = A + d

5.2.Desconto Comercial, bancário ou por fora

O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e equivale aos juros simples

onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.

d = N ⋅ i ⋅ n

d: Valor do desconto comercial;

N: Valor nominal do título;

i: taxa de desconto;

n: tempo.

5.2.1. Valor Atual Comercial

A = N - d ⟺ A = N - N in ⟺ A = N (1- in)


Exemplos:

1) Um título no valor de R$ 6.500,00, emitido no dia 10/03/99 e com seu vencimento para o dia

29/07/99, foi descontado à taxa de desconto simples de 10% a.m. no dia 10/05/99.

Determine o valor do desconto e o valor líquido recebido na operação.

R: R$ 4766,67

2) Descontar uma promissória de R$100,00 na taxa de 5% ao mês nos vários prazos indicados

na tabela, calculando o desconto efetuado, o líquido obtido e a taxa efetiva simples, conforme

já calculado para o prazo de 1 e 2 meses.

1 mês 2 meses 3 meses 6 meses 19 meses

Desconto 10

Líquido Obtido 90

Taxa efetiva 5,56

Obs: Através da última coluna concluímos a irracionalidade do desconto bancário, onde se observa

que, mantida a mesma taxa, a medida que se aumenta o prazo chaga-se a um limite em que o

desconto é tão grande que não sobra nada. Por isso as operações de desconto bancário simples na

prática estão limitados ao prazo de 180 dias.

5.3.Descontos de Duplicatas

Para ocorrer uma venda a prazo, primeiramente o comprador faz o pedido. O vendedor emite

uma Fatura (onde é descrita a mercadoria, o preço e as condições de venda), mas uma Nota Fiscal

(que acompanha a mercadoria) e por último o recibo de entrega é assinado.


A fatura pode gerar duplicatas com vencimentos a vista, em 30, 60, 90 dias ou quaisquer

outros prazos, de acordo com as condições acertadas na venda. A empresa vendedora, por ter

acumulado muitas duplicatas em carteira, precisa descontá-las para repor seu capital de giro. O banco

efetua o desconto do borderô de duplicatas (relação de duplicatas entregues ao banco para serem

descontadas).

Resolva os problemas abaixo:

1) As Casas Bahia do Estado de Minas Gerais quer efetuar um desconto de um borderô com

várias duplicatas, no valor de R$ 105.000,00, durante 11 dias. O banco cobra uma taxa de

desconto de 3,6% a.m.. Calcule o valor do desconto e o valor líquido retirado pela loja.

R: R$ 103614,00

2) O Ponto Frio quer efetuar um desconto de um borderô com várias duplicatas, no valor de R$

77.000,00, durante 42 dias. O banco cobra uma taxa de desconto de 2,5% a.m.. Calcule o

valor do desconto e o valor líquido retirado pela loja.

R: R$ 74305,00


1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m.,

sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento. R: R$280,00

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$

300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação? R: 15% a.a.

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um

desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento. R: R$ 892,00

4) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para

30, 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de

4% a.m.. Qual o valor total do desconto? R: R$ 960,00

5) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, a uma taxa de 80% a.a., tem como

desconto comercial R$ 300,00. Determine quantos meses antes da data de vencimento ele foi

descontado. R: 3 meses

6) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a.

Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?

R: R$ 808,08


6. Séries de Pagamentos

Séries de pagamentos é o nome dado às operações financeiras que envolvem pagamentos ou

recebimentos parcelados e que deverão ocorrer em datas preestabelecidas. Basicamente vamos tratar

dos pagamentos de compras em prestações e de depósitos periódicos para constituição de um

montante.

6.1.Classificação de séries

As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com diversos critérios (certas ou

aleatórias, uniformes ou variáveis, postecipadas ou antecipadas, imediatas ou diferidas, periódicas ou

aperiódicas, temporárias ou perpétuas, inteiras ou fracionárias ). Algumas destas características

podem ser assim descritas:

● Uniformes: neste caso os pagamentos são iguais e igualmente espaçados no tempo.

● Temporárias: existe um número limitado de pagamentos.

● Postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada período.

● Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início da cada período.

6.2. Rendas postecipadas (END)

Esquema gráfico:

Onde:

PV : é uma parcela única que equivale ou que substitui todos os pagamentos (devidamente

descapitalizados) no início do fluxo. É a soma dos valores atuais dos respectivos

pagamentos que compõe a série.

FV : é uma parcela única que equivale a todos os depósitos (devidamente capitalizados) no

final do fluxo. É a soma dos montantes dos respectivos depósitos que compõe a série.


n : número de depósitos (ou pagamentos)

i : taxa do período

PMT : valor dos pagamentos ou depósitos

6.2.1. Fórmulas

Valor Atual (PV) : 𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏.𝒊

Valor das Prestações (PMT): 𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 𝟏+𝒊 𝒏.𝒊

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

Valor do Montante ou valor final (FV): F𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏

𝒊

Exercícios:

1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a

uma taxa de 1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio?

R: 11.768,82

2) Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse

prazo, num ―Fundo de Renda Fixa‖, à taxa de 3% a.m.?

R: R$ 52204,20

3) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a

taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito

forme o capital de R$ 2.000,00?

R: 294,04


4) Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num ―Fundo de Renda Fixa‖, durante 5 anos,

para que possa resgatar R$ 200 000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo

proporciona um rendimento de 2% a.m?

R: R$1753,59

5) Quantas prestações de R$ 200,00 devo aplicar mensalmente, à taxa de juros de 2% a.m., para

obter um montante de R$ 2 682, 42?

R: 12

6) Uma pessoa aplica R$ 100,00 mensalmente num banco que opera à taxa de 0,5% a.m..

Quantos meses ele deve aplicar esse valor para conseguir um montante de R$ 1446, 42?

R: 14

7) A que taxa devo aplicar R$ 15036,28 a.a. para que eu tenha um montante de R$ 500 000,00

no final de 10 anos?

R: 25%

8) Calcule o preço à vista de um veículo financiado por uma concessionária que opera à taxa de

juros i = 2% a.m. e cujo pagamento das prestações ocorre em 3 parcelas mensais e iguais de

R$ 700,00 após 30, 60 e 90 dias.

R: R$ 2.018,72


9) Uma loja está vendendo um artigo esportivo por R$ 1.600,00 à vista. A mesma mercadoria

poderá ser adquirida a prazo em 4 prestações mensais e iguais. Determine o valor das

prestações a serem pagas se a taxa de juros mensal utilizada para financiamentos é i = 3%

a.m. e:

a) nada for dado de entrada

R: R$ 430,44

b) for dada uma entrada de R$ 200,00

R: R$ 376,64

10) Uma mercadoria custa a vista R$ 894,00. O cliente quer pagá-la em 6 prestações iguais e

mensais, sem entrada. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual será o

valor de cada prestação?

R: R$ 161,22

11) Calcule o número de prestações semestrais de R$ 15 000,00 cada uma, capaz de liquidar um

financiamento de R$ 49882,65, à taxa de 20% a.s.

R: 6

12) Em quantos pagamentos trimestrais de R$ 2000,00 podemos liquidar um financiamento de

R$ 31 873,83, à taxa de 3%, de acordo com o conceito de termos vencidos?

R: 22


6.3. Rendas Antecipadas

Esquema gráfico:

6.3.1. Fórmulas

Valor Atual (PV): 𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏

𝟏+𝒊 𝒏.𝒊 . (𝟏 + 𝒊)

Valor das Prestações (PMT): 𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽 𝟏+𝒊 𝒏.𝒊

𝟏+𝒊 𝒏−𝟏 .

𝟏

(𝟏+𝒊)

Valor do Montante ou valor final (FV): F𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏

𝒊

Exercícios:

1) Determinada pessoa deposita mensalmente R$ 200,00 à taxa de juros i = 2% a.m./m. Determine o

montante obtido 30 dias após o último investimento se:

a) forem efetuados 3 depósitos

R: R$ 624,32

b) forem efetuados 12 depósitos

R: R$ 2.736,07

2) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de

1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.

R: R$ 4.279,65


3) No final de quantos meses terei o montante de R$ 127 390,78, aplicando R$ 400,00 por mês, a

uma taxa mensal de 2%, de acordo com os conceito de termos antecipados?

R: 100

4) Calcule o preço à vista de um televisor financiado por uma loja que opera à taxa de juros i = 2%

a.m./m. e cujo pagamento das prestações ocorre da seguinte forma:

a) 3 parcelas mensais e iguais de R$ 700,00 sendo a primeira paga no dia da compra

R: R$ 2.059,09

b) 10 parcelas mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga no dia da compra

R: R$ 2.748,67

5) Uma mercadoria custa à vista R$ 894,00. O cliente quer pagá-la em 6 prestações iguais e mensais,

sendo a primeira no ato da compra. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual

será o valor de cada prestação?

R: R$ 157,60

6) O financiamento de um carro no valor de R$ 46 000,00, é pago em prestações mensais no valor de

R$ 1 781,72, utilizando uma taxa de 3,5% a.m.. Em quantos meses este financiamento será

quitado?

R: 60


7. Sistemas de Amortização

A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga

progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja

liquidado. Estas parcelas ou prestações são obtidas através da soma de duas partes: a quota de

amortização ( = devolução do principal emprestado ) e os juros correspondentes aos saldos do

empréstimo ainda não amortizados. Assim,

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

Sistemas de amortização

Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos temos:

● Sistema de Amortização Francês, também conhecido por Sistema Price;

● Sistema de Amortização Constante ( SAC );

● Sistema de Amortização Americano;

● Sistema de Amortização Crescente ( SACRE ).

Muitas vezes os bancos e as instituições financeiras criam sistemas de amortização

específicos, adequados a determinadas situações ou características do mercado.

7.1. Sistema de Amortização Francês - SAP

Este sistema recebe esta denominação pelo fato de ter sido utilizado primeiramente na França,

no século XIX. Este sistema se caracteriza pelo pagamento de prestações de valor constante,

periódicas e sucessivas. O valor dos juros pagos, a cada prestação, é decrescente, já que os mesmos

incidem sobre o saldo devedor que decresce à medida que mais prestações são pagas. Assim, as

amortizações são crescentes ao longo do processo. O Sistema ou Tabela Price recebe este nome em

homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto às

amortizações de empréstimos, no século XVIII. Basicamente, a Tabela Price é um caso particular do

Sistema de Amortização Francês.

7.1.2. Características do SAP

a) as prestações pagas pelo devedor ao fim de cada período são iguais (constantes);

b) os juros sobre o saldo devedor são pagos por períodos vencidos, isto é, são pagos no fim de cada

período. Trata-se então de uma série de pagamentos postecipados, com prestações iguais ao longo

do período de amortização.

7.1.3. Esquema Gráfico:

sendo:

PV → valor da dívida ( empréstimo )

PMT → valor das prestações

n → número de prestações

i → taxa de juros compostos


7.1.4. Cálculo da prestação

Considerando-se uma série de pagamentos postecipados, tem-se:

𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏.𝒊 ou 𝑷𝑴𝑻 = 𝑷𝑽

𝟏+𝒊 𝒏.𝒊

(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

Exemplo: Um financiamento de $ 32 000,00 será liquidado em 5 prestações mensais e consecutivas,

podendo ser amortizado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) bem como pelo Sistema de

Amortização Constante (SAC), segundo taxa mensal de 3,4% ao mês.

Exercícios:

7.1. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 %

a.m./m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida.

n Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 32 000,00 - - - - - - - - -

1

2

3

4

5

Total - - -


7.2. Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de

12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.


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3

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5

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1

2

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7.1.5. Situação com carência

Os juros são cobrados, é claro, no período de carência mas serão pagos diluídos nas parcelas

de pagamentos.


podendo ser amortizado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA), segundo taxa mensal de 3,4%

ao mês e com uma carência de 2 meses para começar a pagar.

Exercício:

1. Um empréstimo de R$ 200.00,00 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais

postecipadas. A juros efetivos de 10% a.m., construir a planilha de amortização considerando um

período de carência de três meses.


0 32 000,00 - - - - - - - - -

1

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5

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Total - - -


7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC

Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas,

englobando juros e amortização. A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos

os períodos.

A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em

que deve ser quitado o financiamento.

7.2.1.. Valor da Parcela de Amortização

𝑨 = 𝑷𝑽

𝒏

7.2.2.. Valor da prestação de ordem t

𝑷𝑴𝑻𝒕 = 𝑨 𝟏 + 𝒊(𝒏 − 𝒕 + 𝟏)


podendo ser amortizado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) bem como pelo Sistema de

Amortização Constante (SAC), segundo taxa mensal de 3,4% ao mês.


0

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1

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Exercícios

1. Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a

taxa de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.


0 32 000,00 - - - - - - - - -

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2. Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de

R$10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.

Responda:

a) Qual o juro pago na sexta prestação?

b) Qual o montante pago no final do financiamento?

c) Qual o juro pago ao final do financiamento?

3. Um financiamento no valor de R$ 15 000,00 pode ser pago em 30 prestações utilizando a taxa de

2% a.m. pelo SAC.

a) Calcule o valor de cada parcela de amortização.

b) Calcule o valor da 1ª, 15ª, 20ª e da última prestação.


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