PAGE 2Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha

Email: professor.sergio.gadelha@gmail.comStio eletrnico: http://srbgadelha.wordpress.com

1 LISTA DE EXERCCIOS DE MATEMTICA PARA O EXAME DA ANPECCLCULO A UMA VARIVEL: FUNES, LIMITES E DERIVADAS

Braslia, DF

2007

CONTEDO PROGRAMTICO

Funo de uma varivel. Funes em R1. Funes lineares. Inclinao de funes no-lineares. Monotonicidade. Polinmios e funes especiais. Mximo e mnimo. Intervalo. Domnio, contradomnio e imagem. Operaes com funes. Limites. Definio. Limites laterais. Limites e continuidade de funes. Propriedades e operaes com limites. Limites de funes compostas. Limites e produtos notveis. Uso dos algoritmos de Briot-Rufini e de Euclides. Limites fundamentais. Limites trigonomtricos. Teorema do sanduche. Limites infinitos e limites no infinito.

Derivadas e diferenciais. Noo intuitiva, viso grfica, a diferena entre derivada e diferencial, formalizao matemtica. Regras de derivao. Uso de derivadas em limites: a regra de LHospital. Limites e mudana de base. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem superior.

Aplicaes do clculo de uma varivel. Mximos e Mnimos. Otimizao clssica. Condies de primeira e segunda ordens.

Regra da cadeia. Funes compostas e a regra da cadeia. Funes inversas e suas derivadas.

Exponenciais e logaritmos. Funes exponenciais. O nmero e. Logaritmos. Propriedades de exponenciais e logaritmos. Derivadas de exponenciais e logaritmos. Aplicaes.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADAbraga, Mrcio Bobik; KANNEBLEY JNIOR, Srgio; ORELLANO, Vernica I.F. Matemtica para economistas. So Paulo: Atlas, 2003. Captulos 1 a 4.Chiang, A.C. Matemtica para Economistas. So Paulo: McGraw-Hill, 2006.

Simon, Carl & Blume, L. Matemtica para Economistas. Traduo: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. Captulos 1 a 5.1) ANPEC (1990) - Se

examine as seguintes afirmaes:

(0)A funo ( crescente.

(1)A funo d(/dx crescente.

(2)

.

(3)

.

(4)

.

2) ANPEC (1990) - Dado

determine dy/dt para t = 9.

3) ANPEC (1990) - Determine o permetro mximo de um retngulo inscrito no interior de um crculo de raio

.

4) ANPEC (1991) Determine o valor da funo ((x) = 10 + 5x + 3

-

quando ela passa pelo seu ponto de inflexo.

5) ANPEC (1992) - Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a funo y = sen(x - k() tenha um ponto de mximo em

.

6) ANPEC (1992) - Dado que ((x) =

para x ( 0, quando deve valer ((0) para que ( seja contnua em R?

7) ANPEC (1992) - Dada a funo

, x ( R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmao:

(0)A funo possui dois pontos crticos.

(1)Um dos pontos crticos um ponto de inflexo.

(2)No intervalo (-2,2), de seu domnio, a funo sempre crescente.

(3)A funo cncava para valores negativos de x.

(4)Quando x = 2 a funo atinge o seu mximo valor em seu domnio.

8) ANPEC (1992) Determine a rea sob a curva

no intervalo onde x varia de 1 a 2.

9) ANPEC (1993) Indique quais das afirmaes abaixo so verdadeiras e quais so falsas:

(0)A funo

contnua no intervalo [0,2].

(1)

(2)

(3)Para que a funo

possa ser estendida continuamente a toda a reta R, necessrio atribuir-lhe o valor 2 no ponto x = 3.

(4)

10) (ANPEC 1993) Dada a funo

, assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

(0)Quando x = 0, a funo tem um produto de inflexo.

(1)A funo tem valor mximo global igual a 4.

(2)No ponto x = -1, a funo possui um mnimo local.

(3)A funo decrescente no intervalo (0,1).

(4)No intervalo (-3,0) a funo convexa.

11) (ANPEC 1993) Assinale como verdadeira ou falsa, cada uma das afirmaes abaixo:

(0)A derivada de

.

(1)A forma geral das funes de elasticidade constante

(2)Se a > 0, a funo

tem um mnimo local em

e um mximo local estrito em

.

(3)

.

12) (ANPEC 1993) Calcule a rea compreendida entre o grfico da curva

, o eixo Ox e as retas x = 2 e x = 4.

13) (ANPEC 1994) Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0)Seja (

.Logo ((1) = 2.

(1)Seja (

. Logo ((0) = 1.

(2)Seja (

Logo ((1) = 1.

14) (ANPEC 1994) Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0)Se ( diferenvel em [a, b] ento ( sempre contnua em [a, b].

(1)Se ( contnua em [a, b], ento ( sempre diferenvel em [a, b].

(2)Se ((x) =

e g(x) = 2, ento a derivada do produto (.g o produto das derivadas de ( e g.

15) (ANPEC 1994) Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

(0)

.

(1)

(2)

(3)

(4)

16) (ANPEC 1995) Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.

(0)

.

(1)

(2)

(3)

17) (ANPEC 1996) - Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas:

(0) Uma funo duas vezes derivvel estritamente cncava se, e somente se, a sua derivada segunda estritamente negativa.

(1) A funo

para possui um nico ponto crtico que corresponde a um ponto de mximo global estrito, mas no cncava.

(2) Seja uma funo convexa e derivvel, exceto em um ponto, no qual possui derivada direita positiva e esquerda negativa. Ento este ponto um mnimo global para

.

(3) A funo

cncava no intervalo

EMBED Equation.2 .

18) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa:

(0) A expresso define uma funo de em .

(1) A expresso no define uma funo de

em

.

(2) A funo

, , possui assntota horizontal.

(3) A funo

, possui mnimo em .

(4) Considere

, onde . Uma condio necessria para a existncia da funo inversa

, que

seja uma bijeo.

19) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa.

Seja dada por

.

(0)

possui um mximo global.

(1)

no possui mnimo local.

(2)

estritamente crescente para .

(3)

possui um mnimo local e um mximo local.

(4)

possui um ponto de inflexo em .

20) (ANPEC 1996) - Indique se a afirmativa verdadeira ou falsa:

(0) Dado que

para x

, para que

seja contnua em

,

deve valer

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

(1)

contnua em todo o seu domnio.

(2)

contnua mas no diferencivel em [0, 1].

(3) Se

EMBED Equation.2 continua em

, existe

EMBED Equation.2 tal que

.

(Sugesto: desenhe um grfico).

21) (ANPEC 1997) - Seja ( o conjunto dos nmeros reais. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir:

(0) A unio de dois intervalos abertos de ( sempre um intervalo aberto de (. (1) O conjunto dos nmeros irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto de ((2) f : ( ( ( uma funo contnua em x=xo desde que f(xo) exista.

(3) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a , para

a,b nmeros reais positivos.

22) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir:

(0)

(1)

.

(2)

= 3.

23) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir

(0) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f(x) > 0 e g(x) > 0 , para todo x, ento a funo composta h(x) ( f(g(x)) crescente.

(1) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f convexa e g cncava, ento

convexa.

(2) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f, f, g e g so crescentes,ento a funo produto h(x) ( f(x).g(x) convexa.

24) (ANPEC 1997) - Suponha que f(x) seja uma funo real de varivel real, x,definida assim:

Classifique cada uma das afirmaes abaixo como verdadeira ou falsa.

(0) f(x) possui dois pontos crticos.

(1) Um ponto crtico ponto de inflexo.

(2) No intervalo (-2,2) do seu domnio, f(x) sempre crescente.

(3) f(x) cncava para valores negativos de x.

(4) Quando x = -2 , f(x) atinge o seu mximo valor em seu domnio.

25) (ANPEC 1998) - Identifique quais das afirmativas abaixo sobre a funo y: ( ( ( definida por y(x)= |x|e-2|x| so verdadeiras e quais so falsas;

(1) y possui um nico ponto de mnimo global;

(2) y possui um nico ponto de mximo global;

(3)

no existe26) (ANPEC 1998) - Responda V ou F;(0)

(1)

;

(2)

;

(3)

, onde a e b so nmeros reais no nulos;

27) (ANPEC 1998) - A quantidade demandada de certo produto, por unidade de tempo, segue padro linear (em termos do preo), reduz-se a zero quando o preo maior ou igual a 10 e decresce duas unidades para cada unidade monetria de aumento de preo. A quantidade ofertada por unidade de tempo reduz-se a zero quando o preo menor ou igual a 2 e proporcional ao quadrado do preo quando este assume valores maiores que 2. Determine o valor das compras do produto na situao de equilbrio.

28) (ANPEC 1998) - Certa empresa produz relgios ao custo unitrio de 8 e sabe que se fixar o preo em x, vender (100-2x) unidades por perodo de tempo(onde x ( 50). Qual deve ser o valor de x para que a lucro das vendas seja mximo?

29) (ANPEC 1998) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo

; x((:

(0) Apresenta ponto de inflexo para x=2,5(1) Apresenta ponto de mximo para x = 5(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 7(3) Apresenta descontinuidade em x=2,530) (ANPEC 1999) - Sejam f:R(R e g:R(R funes contnuas. Ponha h(x)=f(g(x)) e u(x)=g(f(x)). Classifique como V ou F as afirmaes abaixo.

(0) u(x) = h(x) para x=0.(1) Se f derivvel ento h tambm o .

(2) h contnua.

(3) Se h e u so derivveis ento h(x)=u(x) para todo x.

31) (ANPEC 1999) - Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmaes:

(0)

(1)

32) (ANPEC 1999) - Se f(x) = 2x e g(x) = 2x 2, calcular

f(g(x)) g(g(x)) + g-1(f(x)) para x = -333) (ANPEC 1999) - Tem-se uma curva de demanda de elasticidade constante,

onde q e p so variveis no-negativas e tm os significados usuais. Se a oferta fixa em 100 unidades e a elasticidade da demanda 1,5, qual o preo de equilbrio de mercado?

34) (ANPEC 1999) - Dizemos que uma funo f:R(R satisfaz a propriedade C nos pontos a, b e c quando

Classifique como V ou F cada uma das afirmaes abaixo:

(0) Qualquer trinmio do segundo grau satisfaz a propriedade C para quaisquer a, b e c.

(1) Se f cncava ento satisfaz propriedade C para quaisquer a, b e c.

(2) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedade C se a, b e c so nmeros reais positivos.

(3) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedade C se a, b e c so nmeros reais negativos.

35) (ANPEC 1999) - Verdadeiro ou falso

(0) Em relao a modelos matemticos: parmetros so constantes genricas e variveis exgenas no so determinadas pelo modelo

(1) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a

(2) O regime de capitalizao contnua um caso limite do regime de capitalizao simples quando o perodo de capitalizao tende para zero.

(3) Se f:R(R derivvel em x=xo ento |f(x)| derivvel em x= x0 desde que f(xo) exista.

36) (ANPEC 1999) - Seja g:R(R, duas vezes diferencivel. Defina h(x)= g((x-1)3). Qual o valor de 10+h(1) ?

37) (ANPEC 1999) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo

; x(R:

(0) Apresenta ponto de inflexo para x=2,5(1) Apresenta ponto de mximo local para x = 5(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 9(3) Apresenta descontinuidade em x=2,538) (ANPEC 2000) - QUESTO 02 - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0)A funo , se e , contnua em 0;

(1)Se derivvel em todo , ento

(2)Se tal que ento derivvel em x;

(3)

a reta tangente curva no ponto ;

(4)Se tal que e , ento .

39) (ANPEC 2000) - QUESTO 07 - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) Se estritamente crescente no intervalo ento estritamente convexa neste intervalo;

(1) Se e so funes cncavas na reta , derivveis at a ordem 2 e , para todo , ento uma funo cncava em ;

(2) Se estritamente cncava em , ento vale a desigualdade para todo ;

(3) Se cncava e derivvel no intervalo aberto , ento , para todo ;

(4) Os pontos de inflexo de no intervalo so .

40) (ANPEC 2000) - QUESTO 08 - A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0)

(1)

(2)

(3)

41) (ANPEC 2000) - QUESTO 06 - Sendo a taxa de juros peridica (p.p.) que quintuplica o capital inicial Co, assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

(0) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e os juros so simples, ento = 40%;

(1) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e os juros so compostos, ento =(5)(1/10) - 1;

(2) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e a capitalizao contnua, com taxa instantnea de juros constante, ento = ln5;

(3) Se o prazo de aplicao de 10 anos, os juros so compostos e a capitalizao semestral ento, pode ser determinado mediante resoluo da equao 5 = ln(1 + )20

42) (ANPEC 2001) - A respeito da funo definida por , responda V (verdadeiro) ou F (falso):

A funo possui um ponto de mximo global;

A funo possui um ponto de mnimo global;

A funo possui quatro pontos de inflexo;

Para todo tem-se ;

A funo possui um ponto de mnimo local no ponto .

43) (ANPEC 2001) - A respeito dos limites abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso).

;

;

;

.

44) (ANPEC 2002) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

45) (ANPEC 2003) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) .

(1) .

(2) .

(3) Se ento .

(4)

, para 0 < x < 1.

46) (ANPEC 2003) - Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):

(0)Se derivvel e para todos pertencentes ao intervalo vale , ento para pertencentes ao intervalo .

(1) Se , 0 < x < 1 e i > 0, ento .

(2) Se derivvel e , ento para todo .

(3) Se , para todo , ento para .

(4) Se , para todo , ento , para .

47) (ANPEC 2004) - Considerando a funo , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

a equao tem no mximo duas razes reais no intervalo ;

a equao tem no mnimo duas razes reais no intervalo ;

a equao tem no mximo uma raiz real no intervalo ;

crescente no intervalo ;

cncava no intervalo .

48) (ANPEC 2004) - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

Seja uma funo estritamente cncava e duas vezes continuamente diferencivel. Se af(b).

Seja uma funo duas vezes continuamente diferencivel tal que existem a