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  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO DO 1 GRAU

    INEQUAO DO 1 GRAU EM SUA DEFINIO MAIS SIMPLESE COMPREENSVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENA DA MATEMTICA QUE ABERTAPOR UM SINAL DE DESIGUALDADE.

    ax + b > 0ax + b < 0ax + b >= 0ax + b

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS

    2x 8 > 0

    3x 9 < 0

    4x + 9 >= 0

    5x + 1/3

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO DO 1 GRAU

    O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAES.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSSOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU

    NAS INEQUAES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSVEIS VALORESQUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIVEIS QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAES PROPOSTANO PROBLEMA.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSSOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU

    DETERMINE TODOS OS POSSVEIS NMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAA A INEQUAO:

    3x + 5 < 17

    VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUO:

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSSOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU

    APS FAZER OS DEVIDOS CLCULOS DA INEQUAOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUOAPRESENTADA FORMADA POR TODOS OS NMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NMERO 4.

    S = {1, 2, 3}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS

    2 4x >= x + 17

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPRINCPIOS PARA SOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU

    ADICIONANDO UM MESMO NMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAO, OU SUBTRAINDO UMMESMO NMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTM.

    2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAO POR UM MESMO NMERO POSITIVO,A DESIGUALDADE SE MANTM.

    3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAO DOTIPO >, >=, < OU

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPRINCPIOS PARA SOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU

    FCIL PERCEBER QUE A RESOLUO DE UMA INEQUA-O DO 1 GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCPIOS DARESOLUO DE UMA EQUAO DO 1 GRAU ATENTANDO-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAO DO 1 GRAU RESOLVIDA DA MESMA FORMAQUE SE RESOLVE UMA EQUAO DO 1 GRAU, S QUEQUANDO O x NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAOPOR (-1) E A O SENTIDO SE INVERTE, SE > FICA = FICA

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTOSOLUO DA INEQUAO:

    5x 8 < 3x + 125x 3x < 12 + 82x < 20x < 20/2x < 10

    ASSIM O CONJUNTO SOLUO DA INEQUAO :

    S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    SE, O UNIVERSO DO EXERCCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NMEROS REAIS, QUAL SERIA OCONJUNTO SOLUO DA INEQUAO?

    NO POSSVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUO SSIMPLESMENTE POR

    S = {x/x R / x < 10}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPROPRIEDADES DA INEQUAO DO 1 GRAU

    QUANDO UMA EQUAO DO 1 GRAU RESOLVIDA,SO USADOS OS RECURSOS MATEMTICOS TAIS COMO:SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAO POR UM MESMO VALOR.

    O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUO DASINEQUAES DO 1 GRAU.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPROPRIEDADES DA INEQUAO DO 1 GRAU

    5 > 3

    RECURSO:

    5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)

    5 + 2 > 3 + 2

    7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAO VERDADEIRA)

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPROPRIEDADES DA INEQUAO DO 1 GRAU

    5 > 3

    RECURSO:

    5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 1 > 3 14 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAO VERDADEIRA)

    DESTA FORMA, POSSVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAES DE 1 GRAU,PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR, UM MESMO VALOR AOSMEMBROS DA INEQUAO DO 1 GRAU.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPROPRIEDADES DA INEQUAO DO 1 GRAU

    5 > 2

    RECURSO:

    5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)-10 > -4 (A INEQUAO NO VERDADEIRA)

    PARA QUE A INEQUAO ACIMA SE TORNE VERDADEIRA PRECISO INVERTER O SINAL.

    -10 < -4 (AGORA A INEQUAO VERDADEIRA)

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSPROPRIEDADES DA INEQUAO DO 1 GRAU

    PORTANTO, PRECISO TER O MXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMTICO DE (MULTIPLICAROU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAO) PARA RESOLVER UMA INEQUAO DOPRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAO)DEVE SER INVERTIDO.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO-PRODUTO DO 1 GRAU

    DADAS AS FUNES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAO-PRODUTO TODA INEQUAO QUE PODE ASSUMIR UMA DASSEGUINTES FORMAS:

    f(x).g(x) > 0

    f(x).g(x) >= 0

    f(x).g(x) < 0

    f(x).g(x)

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO-PRODUTO DO 1 GRAU

    A FORMA DA INEQUAO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNES.

    (x 1).(2x 3).(x + 1) < 0

    (x 2).(-2x + 1).(4 x)

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO-PRODUTO DO 1 GRAU

    PARA RESOLVERMOS INEQUAES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNO QUE COMPE OPRODUTO E, ENTO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.

    (x 1).(2x 3) >= 0

    f(x) = x 1g(x) = 2x 3

    f(x) = 0x 1 = 0x = 1 (ZERO DA FUNO)

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO-PRODUTO DO 1 GRAU

    COMO a = 1 > 0, VEM:

  • PROAB 2010AULA 6PREPARATRIO PARA CONCURSOSg(x) = 02x 3 = 02x = 3x = 3/2 OU x = 1,5

    COMO a = 2 > 0, VEM:

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSQUADRO DO PRODUTOLOGO:

    S = {x R/ x = 3/2}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO DO 2 GRAU

    INEQUAO DO 2 GRAU NA VARIVEL x UMAEXPRESSO MATEMTICA DE DESIGUALDADE ESCRITANAS SEGUINTES FORMAS REDUTVEIS:

    ax + bx + c > 0ax + bx + c < 0ax + bx + c >= 0ax + bx + c

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS

    5x + 2x 8 > 0

    2x - 3x 9 < 0

    x + 4x + 9 >= 0

    x - 5x + 1/3

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSINEQUAO DO 2 GRAU

    O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAES.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSSOLUO DE INEQUAES DO 2 GRAU

    NAS INEQUAES DO 2 GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + bx + c > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURARUM CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSVEISVALORES QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIVEISQUE ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAES PROPOSTANO PROBLEMA.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSSOLUO DE INEQUAES DO 2 GRAU

    AS INEQUAES DO 2 GRAU SO RESOLVIDASUTILIZANDO O TEOREMA DE BSKARA.

    O RESULTADO DEVE SER COMPARADO AO SINALDA INEQUAO, COM O OBJETIVO DE FORMULARO CONJUNTO SOLUO.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOa > 0

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOa < 0

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO x - 3x - 4 > 0.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOLogo, os valores de x que fazem com que a expresso seja positiva so x < -1 OU x > 4, e o conjunto soluo dainequao S = {x R / x < -1 ou x > 4}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO 3x + 10x + 7 < 0.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS = {x R / 7/3 < x < 1}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO -2x - x + 1

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS = {x R / x = 1/2}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO x - 4x >= 0.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS = {x R / x = 4}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO x - 6x + 9 > 0.

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLOS = {x R / x < 3 ou x > 3} OUS = {x R / x 3}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO -x + 4 >= 0.

    x = 2 x = -2 S = {x R / -2

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO -x + 5x - 6 >= 0.

    x = 2 x = 3S = {x R / 2

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO -x + 4x - 4 >= 0.x = x = 2S = {x R / x = 2}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    A FUNO ANTERIOR E TODA NEGATIVA, EXCETONO PONTO x = 2, ONDE ELA NULA.

    COMO, NO EXEMPLO, QUEREMOS SABER ONDE AFUNO POSITIVA OU NULA (>= 0), O NICOPONTO QUE FAZ PARTE DA SOLUO x = 2.

    A SOLUO S = {x R / x = 2}OUS = {2}

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

    RESOLVA A INEQUAO -x + 2x - 4 > 0.

    A FUNO NO POSSUI RAZES REAIS. LOGO, ELA NOINTERCEPTA O EIXO DAS ABSCISSAS.

    A CONCAVIDADE PARA BAIXO, POIS A < 0.

    COMO QUEREMOS SABER ONDE A FUNO POSITIVA,O CONJUNTO SOLUO DA FUNO VAZIO.

    LOGO, S = .

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEXEMPLO

  • PROAB 2010AULA 7PREPARATRIO PARA CONCURSOSEQUAO LINEAR

    TODA EQUAO QUE POSSUI VARIVEIS E APRESEN-TADA NA SEGUINTE FORMA:

    a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, EM QUE:

    x1, x2, x3, ..., xn SO AS INCGNITAS;

    a1, a2, a3, ..., an SO OS COEFICIENTES (REAIS OUCOMPLEXOS);