aula 7 mat

71
PROAB 2010 AULA 7 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS INEQUAÇÃO DO 1º GRAU INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLES E COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA E QUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA POR UM SINAL DE DESIGUALDADE. ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b >= 0 ax + b <= 0 SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.

Upload: gsbq

Post on 19-Dec-2014

290 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

Page 1: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLESE COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA

POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.

ax + b > 0ax + b < 0

ax + b >= 0ax + b <= 0

SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTESDE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.

Page 2: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

2x – 8 > 0

3x – 9 < 0

4x + 9 >= 0

5x + 1/3 <= 0

Page 3: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

Page 4: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES

QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEIS QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA

NO PROBLEMA.

Page 5: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:

3x + 5 < 17

VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:

Page 6: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO

APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.

S = {1, 2, 3}

Page 7: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

2 – 4x >= x + 17

Page 8: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM

MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTÉM.

2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,

A DESIGUALDADE SE MANTÉM.

3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO

TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.

Page 9: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DARESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO

-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA

QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUEQUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO

POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E

SE É “>=“ FICA “<=“.

Page 10: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO

SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:

5x – 8 < 3x + 125x – 3x < 12 + 8

2x < 20x < 20/2x < 10

ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Page 11: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O

CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?

NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “S”

SIMPLESMENTE POR

S = {x/x є R / x < 10}

Page 12: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:

SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.

O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DASINEQUAÇÕES DO 1º GRAU.

Page 13: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 3

RECURSO:

5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)

5 + 2 > 3 + 2

7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

Page 14: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 3

RECURSO:

5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 – 1 > 3 – 1

4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)

DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,

PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR, UM MESMO VALOR AOS

MEMBROS DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU.

Page 15: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

5 > 2

RECURSO:

5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)

-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)

PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRAÉ PRECISO INVERTER O SINAL.

-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)

Page 16: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR

OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO

PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)

DEVE SER INVERTIDO.

Page 17: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS

SEGUINTES FORMAS:

f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) >= 0

f(x).g(x) < 0

f(x).g(x) <= 0

Page 18: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.

(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0

(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0

Page 19: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O

PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.

(x – 1).(2x – 3) >= 0

f(x) = x – 1g(x) = 2x – 3

f(x) = 0x – 1 = 0

x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)

Page 20: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU

COMO a = 1 > 0, VEM:

Page 21: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 6

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

g(x) = 02x – 3 = 0

2x = 3x = 3/2 OU x = 1,5

COMO a = 2 > 0, VEM:

Page 22: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

QUADRO DO PRODUTO

LOGO:

S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}

Page 23: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU NA VARIÁVEL “x” É UMAEXPRESSÃO MATEMÁTICA DE DESIGUALDADE ESCRITA

NAS SEGUINTES FORMAS REDUTÍVEIS:

ax² + bx + c > 0ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c >= 0ax² + bx + c <= 0

SENDO QUE: “a”, “b” E “c” PERTENCEM AO CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS E a ≠ 0.

Page 24: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

5x² + 2x – 8 > 0

2x² - 3x – 9 < 0

x² + 4x + 9 >= 0

x² - 5x + 1/3 <= 0

Page 25: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.

Page 26: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

NAS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax² + bx + c > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR

UM CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEISVALORES QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEISQUE ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA

NO PROBLEMA.

Page 27: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU SÃO RESOLVIDASUTILIZANDO O TEOREMA DE BÁSKARA.

O RESULTADO DEVE SER COMPARADO AO SINALDA INEQUAÇÃO, COM O OBJETIVO DE FORMULAR

O CONJUNTO SOLUÇÃO.

Page 28: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOa > 0

Page 29: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOa < 0

Page 30: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 3x - 4 > 0.

Page 31: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

Page 32: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 OU x > 4, e o conjunto solução da

inequação é S = {x Є R / x < -1 ou x > 4}

Page 33: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO 3x² + 10x + 7 < 0.

Page 34: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

Page 35: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -2x² - x + 1 <= 0.

Page 36: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

S = {x Є R / x <= -1 ou x >= 1/2}

Page 37: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 4x >= 0.

Page 38: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

S = {x Є R / x <= 0 ou x >= 4}

Page 39: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 6x + 9 > 0.

Page 40: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

S = {x Є R / x < 3 ou x > 3} OU

S = {x Є R / x <> 3}

Page 41: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4 >= 0.

x’ = 2x” = -2

S = {x Є R / -2 <= x <= 2}

Page 42: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 5x - 6 >= 0.

x’ = 2x” = 3

S = {x Є R / 2 <= x <= 3}

Page 43: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4x - 4 >= 0.x’ = x” = 2

S = {x Є R / x = 2}

Page 44: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

A FUNÇÃO ANTERIOR E TODA NEGATIVA, EXCETONO PONTO x = 2, ONDE ELA É NULA.

COMO, NO EXEMPLO, QUEREMOS SABER ONDE AFUNÇÃO É POSITIVA OU NULA (>= 0), O ÚNICOPONTO QUE FAZ PARTE DA SOLUÇÃO É x = 2.

A SOLUÇÃO É S = {x Є R / x = 2}OU

S = {2}

Page 45: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 2x - 4 > 0.

A FUNÇÃO NÃO POSSUI RAÍZES REAIS. LOGO, ELA NÃOINTERCEPTA O EIXO DAS ABSCISSAS.

A CONCAVIDADE É PARA BAIXO, POIS A < 0.

COMO QUEREMOS SABER ONDE A FUNÇÃO É POSITIVA,O CONJUNTO SOLUÇÃO DA FUNÇÃO É VAZIO.

LOGO, S = Ø.

Page 46: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

Page 47: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EQUAÇÃO LINEAR

É TODA EQUAÇÃO QUE POSSUI VARIÁVEIS E APRESEN-TADA NA SEGUINTE FORMA:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, EM QUE:

x1, x2, x3, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;

a1, a2, a3, ..., an SÃO OS COEFICIENTES (REAIS OUCOMPLEXOS);

E b É O TERMO INDEPENDENTE REPRESENTADO PORUM NÚMERO REAL OU COMPLEXO.

Page 48: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS DE EQUAÇÕES LINEARES

x + y + z = 20

2x -3y + 5z = 6

4x + 5y -10z = -3

x – 4y – z = 0

Page 49: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

x2 + y2 = 9

x + 2y + 3z w = 0

x2 + y2 = -9

Page 50: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, r3) ÉSOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR.

a1x1 + a2x2 + a3x3 = b1

SE TROCARMOS CADA xn POR rn NA EQUAÇÃO E ESTEFATO IMPLICAR QUE O MEMBRO DA ESQUERDA É

IDENTICAMENTE IGUAL AO MEMBRO DA DIREITA, ISTO É:

a1r1 + a2r2 + a3r3 = b1

Page 51: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

EXEMPLO

A SEQÜÊNCIA (5,6,7) É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO2x + 3y -2z = 14 POIS, TOMANDO x=5, y=6 E z=7 NA

EQUAÇÃO DADA, TEREMOS:

2.5 + 3.6 – 2.7 = 14

10 + 18 – 14 = 14

28 – 14 = 14

14 = 14

Page 52: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR

UM SISTEMA LINEAR OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARESÉ UM CONJUNTO FORMADO POR DUAS OU MAIS EQUAÇÕESLINEARES. UM SISTEMA LINEAR PODE SER REPRESENTADO

NA FORMA:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

Page 53: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR

ONDE:

x1, x2, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;

a11, a12, ..., amn SÃO OS COEFICIENTES;

b1, b2, ..., bm SÃO OS TERMOS INDEPENDENTES.

Page 54: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, ..., rn) ÉSOLUÇÃO DA SISTEMA LINEAR.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

SE SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDESSE SISTEMA LINEAR.

Page 55: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

O PAR ORDENADO (2,0) É UMA SOLUÇÃO DO SISTEMALINEAR:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

POIS SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDO MESMO, ISTO É, SE SUBSTITUIRMOS x = 2 E y = 0,

OS DOIS MEMBROS DE CADA IGUALDADE SERÃO IGUAISEM TODAS AS EQUAÇÕES.

Page 56: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE DUAS VARIÁVEIS

x + y = 3x - y = 1

Page 57: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS

2x + 5y - 6z = 24x - y + 10z = 30

Page 58: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS

x + 10y - 12z = 1204x - 2y - 20z = 60-x + y + 5z = 10

Page 59: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE QUATRO VARIÁVEIS

x - y - z + w = 102x + 3y + 5z – 2w = 21

4x - 2y - z + w = 16

Page 60: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

PODEMOS DIZER QUE UM SISTEMA DE EQUAÇÕESLINEARES COM “n” INCÓGNITAS, QUE PODEM SERCOLOCADAS COMO x1, x2, x3, x4 ..., ADMITE COMO

SUA SOLUÇÃO UMA SEQÜÊNCIA EM ORDEM DEFINIDACOMO r1, r2, r3, r4, ... SE E SOMENTE NESTA CONDIÇÃO,

SUBSTITUINDO x1 = r1, x2 = r2, x3 = r3, x4 = r4, xn = rn,E EM TODAS AS EQUAÇÕES DO SISTEMA INFORMADO,

ELAS SE TORNAREM TODAS VERDADEIRAS.

Page 61: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

x + y = 12x – y = 4

TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (8,4), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 8 E y = 4 EM CADA EQUAÇÃO

DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:

(8) + (4) = 12 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

(8) – (4) = 4 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

Page 62: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

x + y = 16x – y = 2

TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (9,7), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 9 E y = 7 EM CADA EQUAÇÃO

DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:

(9) + (7) = 16 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

(9) – (7) = 2 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

Page 63: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

x + y = 42x – y = 8

TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (25,17), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 25 E y = 17 EM CADA EQUAÇÃO

DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:

(25) + (17) = 42 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

(25) – (17) = 8 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)

Page 64: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

OBSERVAÇÃO

UM SISTEMA LINEAR PODE TER MAIS DE UMA SOLUÇÃOOU MESMO PODE NÃO POSSUIR NENHUMA SOLUÇÃO.

Page 65: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TIPOS DE SISTEMA LINEAR

SISTEMA POSSÍVEL OU CONSISTENTE:

• UMA ÚNICA SOLUÇÃO, O SISTEMA É DETERMINADO;

• MAIS DE UMA SOLUÇÃO, O SISTEMA É INDETERMINADO.

SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCONSISTENTE:

• SISTEMA QUE NÃO ADMITE QUALQUER SOLUÇÃO.

Page 66: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA COM UMA ÚNICA SOLUÇÃO

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS NO PLANO CARTESIANO QUE TÊM O PONTO (3,-2)

COMO INTERSEÇÃO.

x + 2y = -12x – y = 8

Page 67: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA COM INFINITAS SOLUÇÕES

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS SOBREPOSTAS NO PLANO CARTESIANO,

LOGO EXISTEM INFINITOS PONTOS QUE SATISFAZEM AAMBAS AS EQUAÇÕES (PERTENCEM A AMBAS AS RETAS).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

Page 68: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMA QUE NÃO TEM SOLUÇÃO

AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS NO PLANO CARTESIANO, LOGO,

NÃO EXISTEM PONTOS QUE PERTENÇAM ÀS DUAS RETAS.

x + 3y = 4x + 3y = 5

Page 69: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMAS EQUIVALENTES

DOIS SISTEMAS SÃO EQUIVALENTES SE ADMITEM AMESMA SOLUÇÃO.

SÃO EQUIVALENTES OS SISTEMAS “S1” E “S2”INDICADOS ABAIXO:

S1 3x + 6y = 422x - 4y = 12

S21x + 2y = 141x - 2y =  6

Page 70: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SISTEMAS EQUIVALENTES

POIS ELES ADMITEM A MESMA SOLUÇÃOx = 10 E y = 2.

NOTAÇÃO

QUANDO DOIS SISTEMAS S1 E S2SÃO EQUIVALENTES, USAMOS A NOTAÇÃO

S1~S2.

Page 71: Aula 7 MAT

PROAB 2010

AULA 7

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROPRIEDADE DE UM SISTEMA LINEAR

UM SISTEMA LINEAR CHAMADO DE HOMOGÊNEOTEM SEMPLO PELO MENOS UMA SOLUÇÃO, POIS:

x1 = 0x2 = 0x3 = Oxn = 0

SEMPRE TERÁ TODAS AS SENTENÇAS DO SISTEMAVERDADEIRAS.

A SOLUÇÃO (0,0,0,0,...,0) É CHAMADA DE SOLUÇÃO TRIVIAL.