MAT 0002 PRÉ CALCULOSAMUEL ALEX COELHO CAMPOS

ConjuntosTeoria dos Conjuntos

ConjuntosConjuntos:

◦ Definição: Coleção de objetos distintos (elementos)

Representação por:◦ Enumeração: S= {2,3,4};◦ Descrição: I = { x | x um inteiro positivo};

Diagrama de Venn

Pertinência (a um conjunto)

2 ∈ 𝑆𝑆; 1 ∉ 𝑆𝑆

23 4S

Relação entre conjuntosIgualdade

◦ A = {1,3,5}◦ B = { x | x é impar, positivo e menor do que 7}

Desigualdade◦ C = {9, 11, 13, ...}◦ D = { x | x é impar, positivo e maior ou igual a 7}

A = B

C ≠ D

Relação entre conjuntosUnião

◦ A = { 3,5,7}◦ B = {2,3,4,8}

Interseção◦ A = { 3,5,7}◦ B = {2,3,4,8}

A ∪ B ={x|x ∈ 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 x ∈ 𝐵𝐵} = { 2,3,4,7,8}

A ∩ B ={x|x ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 x ∈ 𝐵𝐵} = { 3 }

57

32

48

57

32

48

Relação entre conjuntosSubconjuntos

◦ A = { 3,5,7}◦ B = {1,2,3,4,5,6,7}

◦ A = {0,2,4}◦ B = {1,2,3,4,5}

Diferença◦ A = {0,2,4}◦ B = {1,2,3,4,5}

Complemento & Conjunto universal◦ Todos os números do conjunto universal U que não estão no conjunto A◦ A = { -4,-3,-2,-1,0}◦ B = {-2,-1,0}

5 73

2

4

1

))(( BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂

6)| BxAxBA ∉∈∃⇔⊄

}0{) |{ =∉∈=− BxeAxxBA

Observar que A-B={0} é diferente do conjunto

vazio

}3,4{):( −−=⊂−= ABCondiçãBABCA

Sistema dos Números Reais

ℚ ∪ 𝕀𝕀𝑅𝑅

Número Irracionais são números não exatos e nem periódicos: π=3,141592654...

Naturais ℕ Inteiros ℤ Racionais ℚ

Reais ℝ

Irracionais 𝕀𝕀𝑅𝑅ℕ = {0,1,2,3,4, … }

ℤ = {… ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, … }

ℚ = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑏𝑏

, 𝑎𝑎 ∈ ℤ 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ∈ ℤ∗}

ℤ− = {… ,−4,−3,−2,−1,0}

Os números reais: A reta e o intervaloIntervalo limitado

Intervalo Ilimitado

Notação Tipo de intervalo Notação de desigualdade

]a, b [ aberto a < x < b

[𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ fechado à esquerda e aberto à direita

𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏

Notação Tipo de itervalo Notação de desigualdade

[𝑎𝑎, +∞[ Fechado 𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎]𝑎𝑎, +∞[ Aberto 𝑥𝑥 > 𝑎𝑎] −∞, 𝑏𝑏] Fechado 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏] −∞, 𝑏𝑏[ Aberto 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏

Propriedades básicasVariável : letra ou símbolo que representa um nº Real não especificado;

Constante: representa um número Real específico;

Expressão algébrica: variável + constante

Propriedade comutativa◦ Soma: a+b = b + a Multiplicação: a*b= b*a

Propriedade associativa◦ (a+b)+c = a + (b + c) a(bc) = (ab)c

Propriedade distributiva◦ a(b+ c) = ab+ ac

Propriedades básicasPropriedade reflexiva

◦ a = a

Propriedade simétrica◦ a = b, então b = a

Propriedade transitiva◦ Se a = b e b = c então a = c

Identidade Aditiva ◦ a + 0 = a

Identidade multiplicativa◦ a * 1 = 1

Propriedades básicasInversa

◦ Aditiva: a + ( -a ) = 0 Multiplicativa: a * (1/a) = 1

Multiplicativa de zero◦ a * 0 = 0

Produto de zero◦ Se a * b = 0, então, a = 0 e/ou b = 0

Propriedades básicas Cancelamento• Soma• Multiplicação

Não misturar os dois cancelamentos:

3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 3𝑎𝑎≠

𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒘𝒘 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ⇔ 3 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 3𝑎𝑎 ⇔ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑤𝑤 = 𝑎𝑎

Regra do sinal

-(-a) (-a)(b) (-a)(-b) -(a+b)

Propriedades básicasPotenciação:

𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 � 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑚𝑚)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑏𝑏)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑏𝑏

)𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛

Propriedades básicasExpressões radicais:

Em 𝑛𝑛 𝑥𝑥, é chamado de radical, n é o índice e x é o radicando

1. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑢𝑢

2.𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑢𝑢

=𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑢𝑢

3.𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑜𝑜 = 𝑛𝑛�𝑚𝑚 𝑜𝑜

4. 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑛𝑛 = 𝑜𝑜

5. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑚𝑚

6. 𝑛𝑛 𝑜𝑜𝑛𝑛 = 𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑛𝑛 í𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝

Propriedades básicasSoma de frações:◦ Mesmo denominador◦ Numerador diferente: usar o menor denominador comum

Produto de frações 𝑎𝑎𝑐𝑐� 𝑏𝑏𝑑𝑑

= 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑

Quociente de frações 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑

= 𝑎𝑎𝑐𝑐� 𝑑𝑑𝑏𝑏

Propriedades básicasRacionalização: processo de reescrever frações contendo radicais de forma que o denominador fique sem radicais

23

14 𝑥𝑥

5 𝑥𝑥2

𝑦𝑦3

Propriedades básicasPotenciação com expoentes racionais

𝑜𝑜1/𝑛𝑛

𝑜𝑜𝑚𝑚/𝑛𝑛

82/3

Notação científica

1.500.000 = 1,5*105

0,0006 = 6*10-4

(50.000.000)(0,0000000006)20.000 3 = 5∗107 6∗10−10

2∗104 3 = 30∗10−3

8∗1012= 3,75 ∗ 10−15

PolinômiosÉ uma expressão que pode ser escrita com um termo ou a soma de termos da forma:

𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

Grau de um termo◦ 3𝑥𝑥8; 12𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑧𝑧2; π

Grau de um polinômio◦ 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 − 250

PolinômiosAdição / Subtração

◦ 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 7 + −5𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥 + 3◦ 4𝑥𝑥5𝑦𝑦6 − 6𝑥𝑥5𝑦𝑦6

Multiplicação

𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2

𝑥𝑥 + 3 � 𝑥𝑥 − 3

PolinômiosProdutos notáveis

Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas:

1.Produto de uma soma e uma diferença:◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 = 𝑜𝑜2 − 𝑢𝑢2

2. Quadrado de uma soma de dois termos:◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 2 = 𝑜𝑜2 + 2𝑜𝑜𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2

3.Quadrado de uma diferença de dois termos◦ 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 2 = 𝑜𝑜2 − 2𝑜𝑜𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2

4.Cubo de uma soma de dois termos◦ 𝑜𝑜 + 𝑢𝑢 3 = 𝑜𝑜3 + 𝑜𝑜2𝑢𝑢 + 3𝑜𝑜𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢3

5. Cubo de uma diferença de dois termos◦ 𝑜𝑜 − 𝑢𝑢 3 = 𝑜𝑜3 − 3𝑜𝑜2𝑢𝑢 + 3𝑜𝑜𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢3

PolinômiosDivisão

Se f(x) e g(x) são polinômios com g(x)≠0, então existem polinômios únicos q(x) e r(x) tais que:

f(x) = g(x)q(x) + r(x)

𝑥𝑥3−5𝑥𝑥2+7𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−4

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x-a) é o próprio valor numérico do polinômio para x=a, que indicamos por P(a)

PolinômiosFatoração “Desfazer a multiplicação”

◦ Fatoração algébrica envolve reescrever a soma de termos na forma de produto.

◦ Máximo Divisor Comum: Ex.: 8𝑥𝑥3𝑦𝑦4 + 12𝑥𝑥2𝑦𝑦5 + 20𝑥𝑥4𝑦𝑦3𝑧𝑧;

◦ Produtos notáveis: Ex.: 9𝑥𝑥4 − 25; 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

◦ Fatoração de trinômios: 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 14

EquaçõesUma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões

Equação linear: 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 0;𝑎𝑎 ≠ 0◦ 2 2𝑥𝑥 − 3 = 5𝑥𝑥 + 2

◦ 5𝑦𝑦−28

= 2 + 𝑦𝑦2

Equação quadrática: 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐◦ 𝑥𝑥 = −𝑏𝑏± 𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎◦ 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 = 5