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MAT. FINANCEIRA E ESTATSTICA P/ ICMS-RJ TEORIA E EXERCCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima Aula 06

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 06: ESTATSTICA

SUMRIO PGINA 1. Teoria 01 2. Resoluo de exerccios 57 3. Lista de questes vistas na aula 150 4. Gabarito 195

Ol. Nesta aula veremos os seguintes tpicos do ltimo edital:

Estatstica Descritiva: grficos, tabelas, medidas de posio e de variabilidade. Amostragem: amostras casuais e no casuais.

Uma boa aula para todos ns!

1. TEORIA A Estatstica divide-se em dois ramos principais: a) Estatstica Descritiva (ou Dedutiva): tem por objetivo descrever um

conjunto de dados, resumindo as suas informaes principais. Fazem parte deste ramo tanto as tcnicas para coletar os dados (tcnicas de amostragem) quanto as tcnicas para o clculo dos principais parmetros (caractersticas) daquele grupo de dados coletados. Tambm fazem parte deste ramo da Estatstica as tcnicas para a apresentao de dados em tabelas e grficos, bem como o clculo de medidas utilizadas para resumir estes dados (mdia, moda, mediana, desvio padro, etc.).

b) Estatstica Inferencial (ou Indutiva): tem por objetivo inferir/induzir, a partir das informaes de um conjunto de dados (amostra), informaes sobre um conjunto mais amplo (populao). A teoria da Probabilidade faz parte deste ramo, pois nela o nosso objetivo , a partir do conhecimento de um fenmeno (ex.: lanamento de um dado), inferir possveis resultados para a ocorrncia de um determinado evento. Tambm fazem parte da estatstica inferencial os testes de




hipteses, que visam obter concluses sobre uma populao a partir da anlise de um subconjunto desta (amostra).

Os tpicos de Estatstica Inferencial sero objeto da aula 08 deste curso.

1.1 ESTATSTICA DESCRITIVA Para comearmos o estudo da Estatstica Descritiva precisamos conhecer

alguns conceitos bsicos:

- Populao: o conjunto de todas as entidades sob estudo. Possui pelo menos uma caracterstica em comum que permite delimitar os seus integrantes. Ex.: Populao dos moradores de Braslia; populao dos alunos da escola A; populao dos animais de estimao do meu bairro;

- Censo: quando efetuamos o censo de uma populao, analisamos todos os indivduos que compem aquela populao. Por exemplo: podemos contar um por um os moradores de Braslia, ou todos os alunos da escola A, ou todos os animais de estimao de meu bairro. Normalmente o nosso interesse no simplesmente cont-los, mas sim verificar um determinado atributo, ou caracterstica que esses indivduos possuem. Exemplificando, pode ser que queiramos saber, de todos os moradores de Braslia, quantos so Homens, ou quantos tem mais de 1,80m de altura, ou quantos ganham mais que R$1.000,00 por ms.

- Amostra: em muitos casos invivel, custoso ou desnecessrio, observar um por um dos membros de uma determinada populao. Se queremos saber qual o percentual de homens na populao de Braslia, podemos analisar um subconjunto daquela populao, isto , uma amostra. Se a amostra for suficientemente grande (e bem escolhida, de acordo com o que veremos nesta aula), possvel que o percentual de homens da amostra seja muito parecido com o que seria obtido se analisssemos toda a populao.

- Varivel: um atributo ou caracterstica (ex: sexo, altura, salrio etc.) dos elementos de uma populao que pretendemos avaliar.




- Observao: trata-se do valor que a varivel assume para um determinado membro da populao. Ex.: a observao da varivel SEXO referente a Joo, membro da populao brasiliense, tem valor Masculino.

Uma varivel pode ser classificada em:

o qualitativa, quando no assume valores numricos, podendo ser dividida em categorias. Ex.: o sexo dos moradores de Braslia uma varivel qualitativa, pois pode ser dividido nas categorias Masculino ou Feminino. Se o objetivo fosse verificar quantos moradores possuem AIDS, teramos outra varivel qualitativa, dividida nas categorias SIM e NO.

o quantitativa, quando puder assumir diversos valores numricos. Ex.: a altura dos moradores uma varivel quantitativa: 1,80m; 1,55m; 1,20m; 2,10m etc. O mesmo ocorre com os salrios desses moradores. As variveis quantitativas podem ser ainda divididas em:

contnuas: quando no possvel separar o valor de uma varivel em relao ao prximo valor que ela possa assumir. Ex.: a varivel Altura contnua. Se algum tem exatamente 1,80m, qual o valor de altura imediatamente seguinte? 1,81m? Errado, pois possvel que algum tenha, por exemplo, 1,80000001m. Ou 1,80000000001m. impossvel saber qual o valor que vem logo aps (ou antes de) 1,80m, ou seja, essa varivel contnua.

discretas: quando podemos saber o valor que vem imediatamente aps (ou antes de) outro. Ex.: se nos dissessem que s possvel medir as pessoas at a segunda casa decimal, ento a varivel Altura torna-se discreta. Isso porque sabemos que o prximo valor de altura 1,81m, e o valor anterior 1,79m.




Chamamos uma varivel de Varivel Aleatria quando ela pode assumir, de maneira aleatria (ao acaso), qualquer dos seus valores. Em estatstica trabalharemos sempre com variveis aleatrias, que representamos por letras maisculas. Ex.: X pode ser a varivel idade dos moradores de Braslia. Utilizamos letras minsculas para representar valores especficos daquela varivel. Exemplificando, x = 25 anos um dos valores possveis para a varivel aleatria X.

Finalizando, preciso que voc saiba que as variveis aleatrias podem ser classificadas em:

- variveis nominais: so aquelas definidas por nomes, no podendo ser colocadas em uma ordem crescente. Ex.: a varivel sexo dos moradores de um bairro nominal, pois s pode assumir os valores masculino ou feminino. Veja que no h uma ordem clara entre esses dois possveis valores (no h um valor maior e outro menor).

- variveis ordinais: so aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, mas no possvel (ou no faz sentido) calcular a diferena entre um valor e o seguinte. Ex.: numa escola onde as notas dos alunos sejam dadas em letras (A, B, C, D ou E), sabemos que a menor nota E e a maior A. Porm no podemos mensurar quanto seria, por exemplo, a subtrao A B.

- variveis intervalares: so aquelas que podem ser colocadas em uma ordem crescente, e possvel calcular a diferena entre um valor e o seguinte. Ex.: se as notas dos alunos forem dadas em nmeros (de 0 a 10), sabemos que a nota 5 maior que a nota 3, e que a diferena entre elas 5 3 = 2.

Antes de prosseguir, trabalhe esta questo:




1. CESPE CORREIOS 2011) Julgue os itens seguintes, relacionados aos conceitos de estatstica.

( ) Escolaridade e nmero de filhos so exemplos de variveis quantitativas ordenvel e discreta, respectivamente.

RESOLUO: A varivel Escolaridade pode assumir valores como: Nvel Fundamental, Nvel Mdio, Nvel Superior, Ps Graduao etc. Trata-se, portanto, de uma varivel qualitativa, e no quantitativa. Isto j torna o item ERRADO. J a varivel nmero de filhos , de fato, quantitativa. Trata-se realmente de uma varivel discreta, uma vez que o nmero de filhos pode ser {0, 1, 2, 3 ...}, mas no pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou entre 1 e 2, por exemplo.

Resposta: E

1.1.1 TABELAS Como j vimos, a estatstica descritiva tem por objetivo descrever um conjunto de dados, resumindo as suas informaes principais. Para isso, as tabelas e grficos estatsticos so ferramentas muito importantes. Vamos comear tratando das tabelas. Para descrever um conjunto de dados, um recurso muito utilizado so tabelas como essa abaixo, referente observao da varivel Sexo dos moradores de Braslia:

Valor da varivel Frequncias (Fi) Masculino 23 Feminino 27

Note que na coluna da esquerda colocamos as categorias de valores que a varivel pode assumir, e na coluna da direita colocamos o nmero de Frequncias, isto , o nmero de observaes relativas a cada um dos valores. Note que foi analisada uma amostra de 50 pessoas, das quais 23 eram homens e 27 mulheres. Estes so os valores de frequncias absolutas. Podemos ainda representar as frequncias relativas (percentuais): sabemos que 23 em 50 so 46%, e 27 em 50 so 54%. Portanto, teramos:




Valor da varivel Frequncias relativas (Fi) Masculino 46% Feminino 54%

Se essa amostra foi bem escolhida, ela nos d uma boa estimativa de como distribuda a populao brasiliense: cerca de 46% so homens e 54% mulheres. Quanto maior a amostra (e mais bem escolhida), mais nos aproximaremos dos percentuais que seriam obtidos na anlise de toda a populao. Note que a frequncia relativa dada por Fi / n, onde Fi o nmero de frequncias de determinado valor da varivel, e n o nmero total de observaes. Agora, veja a tabela abaixo, referente observaes da varivel Altura dos moradores de Braslia:

Valor da varivel Frequncias (Fi) 1,50m 15 1,51m 5

1,53m 4 1,57m 2

1,60m 10 1,63m 8 1,65m 1 1,71m 20 1,73m 10 1,75m 3 1,83m 2

Quando temos uma varivel como esta, que pode assumir um grande nmero de valores distintos, interessante resumir os dados, criando intervalos de valores para a varivel (que chamaremos de classes). Veja um exemplo:

Classe Frequncias (Fi) 1,50| 1,60 26 1,60| 1,70 19 1,70| 1,80 33 1,80| 1,90 2




O smbolo | significa que o valor que se encontra ao seu lado est includo na classe. Por exemplo, 1,50| - 1,60 nos indica que as pessoas com altura igual a 1,50 so contadas entre as que fazem parte dessa classe, porm as pessoas com exatamente 1,60 no so contabilizadas. Assim, temos as seguintes formas de criar as classes, onde li o limite inferior da classe (menor valor, ex.: 1,50) e Li o limite superior (o maior valor, ex.: 1,60):

- li| Li : limite inferior includo na classe - li |Li : limite superior includo na classe - li| |Li : limite inferior e superior includos na classe - li Li : limite inferior e superior excludos da classe Veja abaixo novamente a ltima tabela, agora com a coluna Frequncias

absolutas acumuladas direita: Classe Frequncias (Fi) Frequncias absolutas

acumuladas (Fac) 1,50| 1,60 26 26 1,60| 1,70 19 45 1,70| 1,80 33 78 1,80| 1,90 2 80

A coluna da direita exprime o nmero de indivduos que se encontram naquela classe ou abaixo dela. Isto , o nmero acumulado de frequncias do valor mais baixo da amostra (1,50m) at o limite superior daquela classe. Veja que, para obter o nmero 45, bastou somar 19 (da classe 1,60| - 1,70) com 26 (da classe 1,50| - 1,60). Isto , podemos dizer que 45 pessoas possuem altura inferior a 1,70m (limite superior da ltima classe). Analogamente, 78 pessoas possuem altura inferior a 1,80m.

De posse das frequncias absolutas acumuladas, podemos calcular as frequncias relativas acumuladas, que nada mais que o percentual de indivduos cujo valor da varivel (altura) inferior a um determinado limite. Veja isso na coluna da direita da tabela abaixo:

Classe Frequncias Frequncias absolutas Frequncias relativas




(Fi) acumuladas (Fac) acumuladas (Frc) 1,50| 1,60 26 26 32,50% 1,60| 1,70 19 45 56,25% 1,70| 1,80 33 78 97,50% 1,80| 1,90 2 80 100%

Portanto, podemos concluir que 32,50% dos indivduos observados possuem menos de 1,60m. J 56,25% possuem menos de 1,70m, e 97,50% tem menos de 1,80. Por fim, todos os indivduos (100%) tem altura inferior a 1,90m, j que o maior valor observado foi 1,83m. Note que, para calcular o valor das frequncias relativas acumuladas (Frc), bastou dividir o valor das frequncias absolutas acumuladas (Fac) por n, que o total de observaes (n = 80 neste exemplo).

1.1.2 GRFICOS Grficos tambm so muito utilizados no estudo da Estatstica Descritiva. O principal deles, conhecido como Histograma, um grfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma varivel pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequncias de cada classe. Para exemplificar, vamos utilizar os dados da tabela abaixo, que j usamos anteriormente:

Classe Frequncias (Fi)

Frequncias absolutas acumuladas (Fac)

Frequncias relativas acumuladas (Frc)

1,50| 1,60 26 26 32,50% 1,60| 1,70 19 45 56,25% 1,70| 1,80 33 78 97,50% 1,80| 1,90 2 80 100%

O histograma das frequncias de cada classe seria assim:




Note que, de fato, temos 26 frequncias na classe 1,50| - 1,60; 19 na classe 1,60| - 1,70; e assim sucessivamente. Podemos traar ainda o grfico das frequncias absolutas acumuladas, que normalmente representado por uma linha como esta abaixo:

Este grfico de freqncias acumuladas acima, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das classes de valores, conhecido como ogiva. Chamamos a figura formada no grfico de polgono de freqncias.

Note que no grfico de frequncias acumuladas colocamos apenas o limite superior de cada classe de dados.




Veja, por exemplo, que o ponto A no grfico nos indica que 78 frequncias ocorrem abaixo de 1,80m. Finalmente, veja o grfico das freqncias relativas acumuladas:

Aqui, o ponto A nos indica que 97,50% das frequncias so iguais ou inferiores a 1,80m. Observe agora o seguinte Histograma, relativo observao das idades dos moradores de um determinado bairro:

Note que esse grfico possui um pico na classe de 30 a 40 anos, e medida que as classes se afastam desta (para a esquerda ou para a direita), a quantidade




de frequncias igual, dando um aspecto de simetria (ex.: temos 15 frequncias tanto no intervalo 20 - |30 como no intervalo 40 - |50). Podemos ter tambm histogramas assimtricos. Neste abaixo, temos uma assimetria direita (assimetria positiva), pois temos o pico em 10-20 anos e os dados se estendem para a direita (sentido positivo), assumindo valores de at 70 anos.

J o histograma abaixo apresenta um caso de assimetria esquerda (negativa) , onde os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo):

Antes de prosseguirmos, vejamos dois exerccios sobre grficos e tabelas estatsticas.




Instrues: Para resolver a questo seguinte, considere a tabela de frequncias relativas abaixo, que mostra a distribuio dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para anlise. Sabe-se que: I. As frequncias absolutas correspondem s quantidades de recolhimentos, sendo as frequncias relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. O terceiro intervalo possui o dobro do nmero de recolhimentos do segundo intervalo.

2. FCC SEFAZ/SP 2009 Adaptada) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% RESOLUO:

Observe que as freqncias relativas somam 1, ou seja, 100%. Ou seja: 0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1

x = 0,60 y

Como foi dito que o nmero de recolhimentos do terceiro intervalo o dobro do nmero de recolhimentos do segundo, ento tambm podemos dizer que as freqncias relativas do terceiro intervalo (y) so o dobro das freqncias relativas do segundo (x):

y = 2x




Substituindo y por 2x na primeira equao, temos: x = 0,60 2x

3x = 0,60 x = 0,20

Com isso, y = 2x = 2.0,20 = 0,40

Com isso, temos a seguinte tabela: Valores

arrecadados (R$) Frequncias

relativas 1000 |--- 2000 0,10 2000 |---3000 0,20 3000 |--- 4000 0,40 4000 |--- 5000 0,20 5000 |--- 6000 0,10

TOTAL 1,00

Assim, a porcentagem de valores arrecadados iguais ou superiores a 3000 reais a soma das frequncias relativas das trs classes mais altas:

0,40 + 0,20 + 0,10 = 0,70 = 70% Resposta: A

3. ESAF IRB - 2006) No campo estatstico, ogivas so:

a) polgonos de freqncia acumulada.

b) polgonos de freqncia acumulada relativa ou percentual.

c) histograma de distribuio de freqncia.

d) histograma de distribuio de freqncia relativa ou percentual.




e) o equivalente amplitude do intervalo. RESOLUO: A ogiva, como vimos ao estudar os grficos estatsticos, uma figura formada no grfico contendo, no eixo horizontal, os pontos extremos (limites superiores) dos intervalos de classes de dados, e no eixo vertical as frequncias acumuladas. Reveja abaixo o exemplo que usamos na aula:

Como voc pode ver, trata-se de um grfico de freqncias acumuladas. Resposta: A

1.1.3 MEDIDAS ESTATSTICAS Alm dos grficos e tabelas, outro recurso importante para a estatstica descritiva o uso de medidas estatsticas. Estas medidas tem por objetivo auxiliar o entendimento de um conjunto de dados, resumindo-os e apresentando as suas caractersticas mais relevantes. Dividimos as medidas estatsticas em alguns grupos. Temos as medidas de posio (ou tendncia central), medidas de disperso (ou variabilidade), medidas de associao e medidas de assimetria. Vejamos as medidas exigidas pelo ltimo edital.

1.1.3.1 MEDIDAS DE POSIO As medidas de posio, ou de tendncia central, nos fornecem pontos de referncia para interpretar uma distribuio de dados. Trata-se de posies caractersticas que podem ser usadas para resumir toda a distribuio. A ttulo de




exemplo, ao invs de apresentar toda uma distribuio de idades dos eleitores de uma cidade, eu poderia fornecer-lhe apenas a idade mdia destes eleitores. Este valor um resumo daquela distribuio e como todo resumo, ele acaba por omitir algumas informaes. As principais medidas de posio so: mdia, moda e mediana. Vejamos cada uma delas.

Mdia aritmtica: a soma de todos os valores da varivel observada, dividida pelo total de

observaes. Vamos usar a tabela abaixo para calcular a altura mdia: Valor da varivel Frequncias (Fi)

1,50m 15 1,51m 5

1,53m 4 1,57m 2 1,60m 10 1,63m 8 1,65m 1 1,71m 20 1,73m 10 1,75m 3 1,83m 2

Veja que precisaremos somar as alturas de todos os indivduos observados, e a seguir dividor pelo nmero de indivduos. Temos 15 indivduos com 1,50m, portanto a soma de suas alturas 15 x 1,50 = 22,50m. Analogamente, temos 5 indivduos com 1,51m, somando 5 x 1,51 = 7,55m. E assim por diante. Somando as alturas de todos os indivduos, temos:

Soma = 1,50x15 + 1,51x5 + 1,53x4 + 1,57x2 + 1,60x10 + 1,63x8 + 1,65x1 + 1,71 x 20 + 1,73x10 + 1,75x3 + 1,83x2 = 130,41m




Dividindo esse valor pelo total de indivduos (isto , soma de frequncias Fi), temos a mdia:

Mdia = 130,41 / 80 = 1,63m

Portanto, a frmula para o clculo da mdia de uma varivel aleatria X :

1

n

iXi

Mdian

=

=

Caso tenhamos dados em uma tabela de frequncias como a que vimos acima, a mdia dada por:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMdia

Fi

=

=

=

Nessas frmulas, Xi representa cada um dos valores que a varivel X (ex.: altura) pode assumir, e Fi representa a frequncia referente a cada um desses valores. J se tivermos os dados agrupados em classes, devemos utilizar a seguinte frmula para calcular a mdia:

1

1

( )n

in

i

PMi FiMdia

Fi

=

=

=

Nessa frmula, PMi o ponto mdio da classe i. Por exemplo, se temos a classe 1,50|---1,60, o ponto mdio ser o valor PM = 1,55 (que justamente a mdia aritmtica entre o limite inferior e superior da classe).

Comece a praticar os conceitos de mdia aritmtica resolvendo essas questes:

Instrues: Para resolver questo seguinte (FCC SEFAZ/SP 2009), considere a tabela de frequncias relativas abaixo, que mostra a distribuio dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para anlise. Sabe-se que:




I. As frequncias absolutas correspondem s quantidades de recolhimentos, sendo as frequncias relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II. A mdia aritmtica da distribuio, valor arrecadado por recolhimento, igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio deste intervalo).

4. FCC SEFAZ/SP 2009) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 (A) 70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% RESOLUO: Observe que o total de frequncias igual a 1. Ou seja:

0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1 x = 0,60 - y

Os pontos mdios de cada faixa de valores arrecadados so dados pela mdia aritmtica entre os limites inferior e superior de cada faixa. Assim, estes pontos mdios (PMi) so, respectivamente: 1500, 2500, 3500, 4500 e 5500. Com isso, podemos calcular a mdia atravs da frmula:




1

1

( )

1500 0,10 2500 3500 4500 0,20 5500 0,101

3350 150 2500 3500 900 550

2500 3500 1750

25 35 17,5

n

in

i

PMi FiMdia

Fi

x yMdia

x y

x y

x y

=

=

=

+ + + + =

= + + + +

+ =

+ =

Como sabemos que x = 0,60 y, podemos efetuar essa substituio na equao acima:

25 (0,60 y) + 35y = 17,5 15 25y + 35y = 17,5

10y = 2,5 y = 0,25

Portanto, x = 0,60 y = 0,60 0,25 = 0,35.

O total de frequncias com recolhimentos acima de 3000 reais dado pela soma das frequncias das ltimas 3 classes da tabela:

y + 0,20 + 0,10 = 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 Como o total de frequncias na tabela igual a 1, ento podemos dizer que 0,55 corresponde a 55% dos recolhimentos. Resposta: C

Vejamos algumas propriedades relativas mdia de um conjunto de dados (muito cobradas!!!):

- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observaes, a mdia desse novo conjunto ser somada ou subtrada do mesmo valor. Ex.: se somarmos 3cm na altura de cada pessoa, a mdia passar de 1,63m para 1,66m.




- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a mdia desse novo conjunto ser multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. Ex.: se dividirmos todas as alturas encontradas por 2, a mdia tambm ser dividida por 2, tornando-se igual a 0,815m.

- a soma das diferenas entre cada observao e a mdia igual a zero. Ex.? A diferena entre a observao 1,51m e a mdia 1,63m de 0,12m. J a diferena entre a observao 1,80m e a mdia 1,63m de 0,17m. Somando todas as diferenas, obteremos o valor zero.

- O valor da mdia calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alterao nesses valores poder alterar a mdia. Assim, costumamos dizer que a mdia afetada pelos valores extremos da distribuio. Ex.: se inclussemos na amostra uma pessoa com 2,00m, ou outra com apenas 0,60m, isso alteraria a mdia.

Veja essa questo, que relativa s propriedades da mdia:

5. DOM CINTRA - PREF. PALMAS - 2010) A mdia aritmtica das 25 notas de uma prova de matemtica foi igual a 6,0. Se o professor aumentar 0,5 em cada uma dessas 25 notas, e, em seguida, calcular a mdia de todas elas, o valor encontrado por ele ser de: a) 5,5 b) 6,0 c) 6,5 d) 7,0 e) 7,5 RESOLUO:

Aqui podemos usar uma das propriedades da mdia: se somarmos uma constante k a todos os membros de uma amostra, a nova mdia ser igual anterior, somada de k.

Portanto, se somamos k = 0,5 na nota de cada um dos alunos, basta somar 0,5 na mdia anterior e obtemos a nova mdia: 6 + 0,5 = 6,5. Resposta: C.

Finalizando o estudo da mdia, importante que voc conhea:




a) Mdia Ponderada Trata-se da mdia aritmtica ponderada pelas frequncias relativas de cada valor em uma distribuio. esta mdia que obtivemos ao calcular:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMdia

Fi

=

=

=

ou

1

1

( )n

in

i

PMi FiMdia

Fi

=

=

=

b) Mdia Mvel A mdia mvel til para a anlise da evoluo de uma varivel ao longo do tempo. Imagine a varivel temperatura da cidade de So Paulo. Se medirmos esta temperatura diariamente, sempre no mesmo horrio, ao longo de 15 dias, podemos obter algo como:

Temperaturas (C): 15, 17, 16, 20, 22, 19, 24, 22, 25, 25, 21, 24, 27, 25, 26

Em um grfico, temos:

Ao invs de representar a temperatura de cada dia, podemos representar em cada ponto do grfico a temperatura mdia dos ltimos 3 dias. Trata-se da mdia mvel de 3 dias. Assim, no primeiro dia vamos representar exatamente a




temperatura de 15 graus. No segundo dia, vamos representar a mdia dos dois primeiros dias, ou seja, (15 + 17) / 2 = 16. No terceiro dia vamos representar a mdia dos 3 primeiros dias, isto , (15 + 17 + 16) / 3 = 16. Nos dias seguintes, vamos sempre calcular a mdia de 3 dias. Desta forma, obtemos o seguinte grfico:

Observe que este grfico mais suave que o anterior, isto , ele apresenta menos oscilaes. para isto que utilizamos a mdia mvel: para suavizar o grfico e, com isso, visualizar com mais facilidade a tendncia do mesmo. Observe que este ltimo grfico permite visualizar rapidamente que, ao longo dos 15 dias analisados, a temperatura de So Paulo apresentava uma tendncia de elevao.

c) Mdia Geomtrica A mdia geomtrica de um conjunto de n dados simplesmente a raiz de

grau n do produto destes dados. Exemplificando, veja o conjunto abaixo: A = {1, 25}

Temos um conjunto de 2 dados. Assim, a mdia geomtrica a raiz de grau 2 (isto , a raiz quadrada) do produto destes nmeros:

2 1 25 5Mdia = =

Observe que o valor obtido bem menor que obteramos com a mdia aritmtica (que seria igual a 13). Vejamos este outro conjunto:

B = {3, 3, 81}




Temos 3 dados, de modo que a mdia geomtrica ser a raiz de grau 3 (raiz cbica) da multiplicao deles:

3 3 3 81 9Mdia = =

A mdia aritmtica deste conjunto seria igual a 29. Assim, podemos afirmar que a mdia geomtrica de um conjunto de nmeros sempre menor ou igual mdia aritmtica do mesmo conjunto.

Mediana: a observao do meio quando os dados so organizados do menor para o

maior. Abaixo da mediana encontram-se 50% (metade) das observaes, e a outra metade encontra-se acima da mediana. Se temos n dados em uma distribuio, a mediana ser termo que se encontra na posio (n+1)/2. Vamos encontrar a mediana para o conjunto de dados abaixo:

Valor da varivel (altura) Frequncias (Fi) 1,50m 15 1,51m 5

1,53m 4 1,57m 2 1,60m 10 1,63m 8 1,65m 1 1,71m 20 1,73m 10 1,75m 3 1,83m 3

Observe que temos 81 dados (acrescentei um a mais na altura 1,83m). Alm disso, veja que os valores da varivel altura esto ordenados do menor para o maior nessa tabela. Portanto, a mediana ser o valor da posio (81+1)/2 = 41, isto , a 41 posio, pois existem 40 valores abaixo dele e outros 40 acima. Para encontrar o 41 valor, precisamos obter as frequncias acumuladas.




Valor da varivel Frequncias (Fi) Frequncias absolutas acumuladas (Fac)

1,50m 15 15 1,51m 5 20 1,53m 4 24 1,57m 2 26 1,60m 10 36 1,63m 8 44 1,65m 1 45 1,71m 20 65 1,73m 10 75 1,75m 3 78 1,83m 3 81

Veja que at a altura 1,60m temos 36 pessoas. Temos mais 8 pessoas na altura 1,63m (abrangendo do 37 at o 44). Portanto, a posio 41 tem altura igual a 1,63m. Isto , mediana = 1,63m. Se tivssemos um nmero par de elementos, a conta (n+1)/2 no teria resultado exato. Nesse caso a mediana seria dada pela mdia dos dois valores centrais da amostra. Veja o exemplo abaixo, no qual temos listadas a idade de 10 pessoas:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Veja que as idades j esto ordenadas da menor para a maior. Como temos 10 valores (nmero par), ento (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5. No temos um elemento central, que seria a mediana. Ao invs disso, vamos utilizar a mdia dos dois elementos centrais, isto , o 5 e o 6 elementos. Eles esto marcados em vermelho:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

A Mediana ser igual a (7 + 8)/2 = 7,5. Pratique o conceito resolvendo este exerccio:




6. ESAF SEFAZ/SP 2009) Determine a mediana das seguintes observaes: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 RESOLUO: Primeiramente devemos colocar as observaes em ordem crescente:

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42

Temos ao todo 23 observaes, ou seja, n = 23. Como n mpar, ento a mediana ser a observao na posio (n+1)/2 = (23+1)/2 = 12. A dcima segunda observao igual a 17. Portanto, Mediana = 17. Resposta: B

Muitas questes de concurso costumam exigir que o aluno conhea o mtodo de clculo de mediana atravs de interpolao linear dos intervalos de classe. Esse mtodo utilizado quando temos os dados distribuidos em intervalos de classes. Vamos aprender a us-lo atravs de um exemplo. A tabela abaixo apresenta os intervalos de alturas de uma certa populao, como j vimos anteriormente nesta aula. Com base nisso, vamos obter a altura mediana.

Classe Frequncias (Fi) Frequncias absolutas acumuladas (Fac)

1,50| 1,60 26 26 1,60| 1,70 19 45 1,70| 1,80 33 78 1,80| 1,90 2 80

1 passo: calcular a diviso n/2, onde n o nmero total de frequncias, obtendo a posio da mediana.




Em nosso exemplo, n = 80 indivduos, portanto a posio da mediana 80/2 = 40. (muito cuidado, pois quando usamos esse mtodo no calculamos (n+1)/2, como vimos anteriormente).

2 passo: identificar a classe onde se encontra a mediana Observe a coluna de frequncias acumuladas. Veja que o elemento da posio 40 encontra-se na classe 1,60|--1,70 (pois esta classe vai do 26 ao 45). Portanto, essa a classe da mediana.

3 passo: montar a proporo entre as frequncias acumuladas e os limites da classe da mediana Neste passo vamos montar duas retas paralelas, como voc v abaixo, uma delas com as frequncias acumuladas e a outra com os valores de alturas correspondentes:

Frequncias: 26 40 45 |-----------------------------|----------------|

Valores: 1,60 X 1,70 |-----------------------------|----------------|

Repare eu associei (coloquei um abaixo do outro): - a ltima frequncia da classe anterior (26) com o limite de altura daquela classe (1,60), que tambm o limite inferior da classe da mediana; - a frequncia da mediana (40) com o valor da mediana (X), que buscamos; - a ltima frequncia da classe da mediana (40) com o limite de altura dessa classe (1,70). Feito isso, basta montar a proporo abaixo:

superior mediana superior mediana

superior inferior superior inferior

freq - freq valor - valor=

freq - freq valor - valor

Neste exemplo, teramos:

45 - 40 1,70 - X=

45 - 26 1,70 - 1,60




Feito isso, basta encontrar o valor de X, que neste caso X = 1,67m. Esta a mediana pelo mtodo da interpolao linear. Exercite este mtodo com a questo abaixo:

7. FCC SEFAZ/SP 2006) O histograma de frequncias absolutas abaixo demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma regio a ser analisada:

Observao: Considere que todos os intervalos de classe do histograma so fechados esquerda e abertos direita.

Utilizando as informaes contidas nesse histograma, calculou-se a mdia aritmtica destes valores arrecadados, considerando que todos os valores includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio deste intervalo. Tambm calculou-se a mediana de tais valores pelo mtodo da interpolao linear. Ento, o mdulo da diferena entre a mdia aritmtica e a mediana igual a: a) R$100,00 b) R$400,00 c) R$800,00 d) R$900,00 e) R$1000,00 RESOLUO: Para facilitar o nosso trabalho, vamos escrever os dados do grfico em tabela, e j calcular o ponto mdio de cada intervalo de classe:




Classe (milhares de reais) Ponto Mdio Frequncias (Fi) 1 |--- 2 1,5 200 2 |--- 3 2,5 400 3 |--- 4 3,5 500 4 |--- 5 4,5 600 5 |--- 6 5,5 300

Assim, a mdia ser:

1

1

( )1,5 200 2,5 400 3,5 500 4,5 600 5,5 300 3,7

200 400 500 600 300

n

in

i

PMi FiMdia

Fi

=

=

+ + + +

= = =

+ + + +

Veja que os valores no grfico esto em milhares de reais, portanto a mdia de R$3700,00.

Para obter a mediana, veja que temos n = 2000 frequncias ao todo. Pelo mtodo da interpolao linear, a mediana ser o termo correspondente posio n/2 = 1000. Esta posio encontra-se no intervalo de 3 a 4 mil reais, como voc pode ver na tabela abaixo: Classe (milhares de

reais) Ponto Mdio Frequncias (Fi) Frequncias

acumuladas (fac) 1 |--- 2 1,5 200 200 2 |--- 3 2,5 400 600 3 |--- 4 3,5 500 1100 4 |--- 5 4,5 600 1700 5 |--- 6 5,5 300 2000

Montando a proporo, temos:

Frequncias: 600 1000 1100 |-----------------------------|----------------|

Valores: 3 X 4 |-----------------------------|----------------|




Assim, temos:

=

=

4 1100 10004 3 1100 600

3,8

X

X

Portanto, a mediana igual a R$3800,00 reais. A diferena entre a mdia e a mediana de R$100,00. Resposta: A

Para finalizar o estudo da Mediana, note que ela um nico nmero para um determinado conjunto de observaes. No existem duas medianas para o mesmo conjunto. Alm disso, o seu valor no afetado pela troca de algum valor extremo (mximo ou mnimo) na distribuio. Para exemplificar, veja essas duas distribuies:

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 e

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13,14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 57, 88

Apesar de eu ter trocado dois termos extremos da primeira para a segunda distribuio, ambas possuem a mesma mediana. Repare que a mdia se altera (neste caso, a mdia da segunda distribuio certamente seria maior).

Moda: A moda o valor da observao com maior nmero de frequncias, ou

repeties (isto , o valor que est na moda). Ao contrrio da mdia e da mediana, que so valores nicos, uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Veja este conjunto de idades:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Note que a idade 8 a que aparece mais vezes (3 vezes). Portanto, a moda deste conjunto igual a 8. J na tabela de alturas, que reproduzo novamente, a moda a altura de 1,71m, pois ela aparece 20 vezes:




Valor da varivel Frequncias (Fi) 1,50m 15

1,51m 5 1,53m 4 1,57m 2

1,60m 10 1,63m 8 1,65m 1 1,71m 20 1,73m 10 1,75m 3 1,83m 3

Para fixar o que vimos at aqui, resolva a questo abaixo:

8. ESAF SEFAZ/CE 2006) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova : {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, mdia e mediana deste conjunto so, respectivamente: a) 3, 6 e 5. b) 3, 4 e 5. c) 10, 6 e 5. d) 5, 4 e 3. e) 3, 6 e 10. RESOLUO: Vamos obter inicialmente a mediana, colocando os dados em ordem crescente:

3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

Veja que temos n = 10 notas. Como n um nmero par, a mediana ser a mdia aritmtica das duas notas centrais. Calculando (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5, vemos que as notas centrais so a da 5 e 6 posies. Na quinta posio temos uma nota 5, e na sexta posio outra nota 5. Portanto, a mediana ser (5 + 5)/2 = 5.




A moda aquela nota que mais se repete. Neste caso, a nota 3 repete-se trs vezes, portanto esta a moda.

A mdia calculada pela soma das notas, dividido pela quantidade de notas:

3 3 3 4 5 5 8 9 10 10 60 610 10

X + + + + + + + + += = =

Resposta: A Os problemas mais difceis envolvendo moda so aqueles onde dada uma tabela com classes de valores para a varivel, como esta abaixo (que tambm j utilizamos nessa aula):

Classe Frequncias (Fi) 1,50| 1,60 26 1,60| 1,70 19 1,70| 1,80 33 1,80| 1,90 2

Para calcular a moda, voc precisar seguir os seguintes passos: 1. Descobrir qual a classe modal (CM). A classe modal aquela que

apresenta o maior nmero de frequncias. Neste caso, trata-se da classe 1,70| - 1,80, que apresenta 33 frequncias. J sabemos que a moda est ali dentro, isto , ser um valor entre 1,70 e 1,80. Veja que o limite inferior dessa classe li = 1,70. Note ainda que todas as classes tem amplitude de 0,10m, isto , a diferena entre o menor (li) e maior (Li) valor da classe de 0,10m.

2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). Neste caso, a classe posterior a de 1,80| - 1,90, que possui 2 frequncias; e a classe anterior a de 1,60| - 1,80, com 19 frequncias.

3. Aplicar uma das duas frmulas abaixo, dependendo do mtodo de clculo da moda indicado pelo exerccio:

a. Moda de King:

fpostModa li c fant fpost

= + +




Nesta frmula, li o limite inferior da classe modal (li = 1,70), c a amplitude da classe modal (c = Li li), fpost o nmero de frequncias da classe posterior (fpost = 2) e fant o nmero de frequncias da classe anterior (fant = 19). Portanto, a moda ser:

21,70 0,10 1,70952 19

Moda m = + = +

b. Moda de Czuber:

2 ( )fcm fantModa li c fcm fant fpost

= +

+

Nessa frmula fcm o nmero de frequncias da classe modal, que neste caso fcm = 33. Portanto, a moda em nosso exemplo ser:

33 191,70 0,10 1,7312 33 (19 2)Moda m

= + = +

Note que os valores obtidos so diferentes, motivo pelo qual voc precisar saber as duas frmulas. Se a questo no especificar o mtodo, sugiro tentar primeiramente o mtodo de Czuber.

E note um grande diferencial do mtodo de Czuber: ele o nico que leva em conta, no clculo, as frequncias da Classe Modal! Exercite esta frmula com a questo abaixo:

Instrues: Considere a distribuio de freqncias a seguir para resolver a prxima questo.




9. FCC BACEN 2006) O valor da moda, obtida com a utilizao da Frmula de Czuber*, igual a (desprezar os centavos na resposta) Dados:

* max

2. max ( )Z ZantModa Li h

Z Zant Zpost

= + +

em que: Li = limite inferior da classe modal h = intervalo de classe modal Zmax = freqncia da classe modal Zant = freqncia da classe anterior classe modal Zpost = freqncia da classe posterior classe modal a) R$3201,00 b) R$3307,00 c) R$3404,00 d) R$3483,00 e) R$3571,00 RESOLUO: Veja que a classe que apresenta maior nmero de freqncias aquela entre 3000-4000 reais, com Zmax = 16 frequncias. Essa a classe modal. O seu limite inferior Li = 3000 reais, e o seu intervalo de h = 1000 reais.

A classe anterior a de 2000-3000 reais, que possui Zant = 8 frequncias. E a classe posterior a de 4000-5000 reais, que possui Zpost = 10 frequncias.

Assim, podemos aplicar a frmula de Czuber: max

2. max ( )

16 83000 10002.16 (8 10)

83000 1000 3571,4214

Z ZantModa Li hZ Zant Zpost

Moda

Moda

= + +

= + +

= + =

Resposta: E




Finalizando o estudo da Moda, veja que o seu valor no afetado pelos valores extremos (mnimos e mximos) da distribuio. Isto , a moda destas duas distribuies abaixo a mesma:

{ 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11} e

{ 1, 2, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}

Conhecendo a mdia, mediana e moda de uma amostra, podemos determinar a simetria daquela distribuio de dados. Veja isso na tabela abaixo:

Simetria Mdia, Mediana e Moda Simtrica Mdia = Mediana = Moda*

Assimtrica positiva ( direita) Mdia > Mediana > Moda Assimtrica negativa ( esquerda) Mdia < Mediana < Moda

* se unimodal.

Voc no precisa decorar essa tabela. Inicialmente, veja um exemplo de distribuio simtrica, e perceba que, de fato, a mdia, mediana e moda encontram-se na mesma posio:

Quanto s distribuies assimtricas, basta lembrar que uma curva com assimetria negativa tem esse nome porque possui uma cauda para o lado esquerdo, isto , para o sentido negativo do eixo horizontal; e uma curva com

Mdia,

Mediana e

Moda




assimetria positiva possui uma cauda voltada para o sentido positivo do eixo horizontal. A existncia de um prolongamento para um dos lados afeta a mdia, puxando-a naquele sentido. Por exemplo, na curva com assimetria negativa, a mdia puxada para a esquerda, tornando-se a menor das trs medidas de posio. A moda corresponde ao pico da curva (maior nmero de freqncias), que neste caso puxado para a direita, tornando a moda o maior dos trs valores:

No caso da assimetria positiva, a cauda se estende para a direita, puxando a mdia para este lado. A moda puxada para a esquerda, pois h um pico de frequncias esquerda. Veja:

mdia mediana moda

moda mediana mdia




Sobre este assunto, veja essa questo: 10. ESAF IRB 2006) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que mdia, pode-se afirmar que se trata de uma curva

a) Simtrica. b) Assimtrica, com freqncias desviadas para a direita. c) Assimtrica, com freqncias desviadas para a esquerda. d) Simtrica, com freqncias desviadas para a direita. e) Simtrica, com freqncias desviadas para a esquerda. RESOLUO: No grfico de distribuio de freqncias, a moda se localiza na posio onde temos um pico de freqncias. Se a moda o menor valor, ela est deslocada para o lado esquerdo do eixo de valores (eixo horizontal). Isto significa que temos um pico de freqncias esquerda. Teremos tambm um prolongamento dos dados para a direita, o que puxa a mdia para este lado, tornando-a maior que as demais medidas de posio:

Assim, estamos diante de uma distribuio Assimtrica Positiva ( direita). Resposta: B

QUANTIS (Quartis, decis e percentis) Assim como a mediana divide os dados em 2, os quartis dividem os dados em 4.

Isto , abaixo do primeiro quartil esto , ou 25% das observaes. Dele at o segundo quartil, outros 25%. E assim por diante. Note que o segundo quartil a prpria mediana, pois 50% dos dados so inferiores a ele. Para exemplificar, vamos utilizar novamente a tabela abaixo:




Valor da varivel Frequncias (Fi) 1,50m 15 1,51m 5

1,53m 4 1,57m 2

1,60m 10 1,63m 8 1,65m 1 1,71m 20 1,73m 10 1,75m 3 1,83m 2

Veja que temos 80 observaes (frequncias), isto , n = 80. O primeiro quartil (Q1) est localizado na posio (n+1)/4, que neste caso

(80+1)/4 = 20,25. Veja que no existe a posio 20,25. Precisamos, portanto, fazer a mdia entre o valor da posio 20 e o da posio 21. Na posio 20 temos 1,51m, e na posio 21 temos 1,53m. Portanto, Q1 = (1,51 + 1,53)/2 = 1,52m. Ou seja, 25% dos indivduos observados possuem altura inferior a 1,52m.

J o segundo quartil (Q2) a prpria mediana, localizada na posio 2(n+1)/4, ou simplesmente (n+1)/2. Com n = 80, o Q2 est na posio 40,5. Como essa posio no existe, precisamos fazer a mdia entre o valor da posio 40 (que 1,63m) e o da posio 41 (que tambm 1,63m). Portanto, Q2 = (1,63 + 1,63)/2 = 1,63m. Isto , 50% dos dados encontram-se abaixo de 1,63m.

O terceiro quartil (Q3) est na posio 3(n+1)/4, que neste caso igual a 60,75. Fazendo a mdia entre o valor da posio 60 (1,71) e o da posio 61 (tambm 1,71), temos que Q3 = 1,71m. Isto , 75% das observaes encontram-se abaixo de 1,71m.

Resumindo, temos:




Quartil Posio 1 (n+1)/4 2 2(n+1)/4 3 3(n+1)/4

Analogamente aos quartis, que dividem os dados em 4 grupos, temos os decis (que dividem em 10 grupos) e os percentis (que dividem em 100 grupos). Veja que a mediana, o 2 quartil, o 5 decil e o 50 percentil so o mesmo valor.

Chamamos de Box-Plot a representao grfica abaixo. Ela nos permite visualizar rapidamente os limites inferior e superior de uma distribuio, alm do 1 quartil, mediana e 3 quartil:

importante saber que os limites inferior e superior no so, necessariamente, os pontos mnimo e mximo da distribuio. Devemos calcul-los da seguinte forma:

a) Limite inferior: o maior valor entre os dois abaixo: Valor mnimo da distribuio

ou

Q1 1,5 x (Q3 Q1)




b) Limite superior: o menor valor entre os dois abaixo: Valor mximo da distribuio

ou

Q3 + 1,5 x (Q3 Q1)

Este procedimento necessrio para no representarmos no Box-Plot os pontos fora da curva, isto os valores extremamente baixos ou extremamente altos na distribuio, que representam verdadeiras excees. Em nosso exemplo (distribuio de alturas), obtivemos os seguintes valores: - mximo = 1,83m - 3 quartil = 1,71m - Mediana = 1,63m - 1 quartil = 1,52m - mnimo = 1,50m

Portanto, podemos ver que: Q1 1,5 x (Q3 Q1) = 1,52 1,5 x (1,71 1,52) = 1,23m

Como o mnimo maior que este valor, devemos adotar como limite inferior o prprio valor mnimo, isto , 1,50m. Da mesma forma:

Q3 + 1,5 x (Q3 Q1) = 1,71 + 1,5 x (1,71 1,52) = 1,99m

Como o valor mximo menor que este valor, podemos adotar como limite superior o prprio valor mximo, isto , 1,83m. Em outras palavras, estamos dizendo que esta distribuio de alturas no tem pontos fora da curva, ou outliers. Assim, nosso box-plot :




A visualizao do Box-Plot muito til, pois permite ao pesquisador experiente obter rapidamente um resumo das principais caractersticas de uma distribuio. Chamamos de amplitude interquartlica a distncia entre o 1 e o 3 quartis de uma distribuio, ou seja:

AI = Q3 Q1

Da mesma forma, chamamos de amplitude total a distncia entre o valor Mximo e o valor Mnimo de uma distribuio:

AT = Mximo Mnimo

O mtodo da interpolao linear usado para o clculo da mediana pode ser aplicado aqui, com as devidas adaptaes. Observe isso na questo abaixo:

11. ESAF AFRFB 2003) Considere a tabela de freqncias seguinte correspondente a uma amostra da varivel X. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.




Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x da distribuio amostral de X que no superado por cerca de 80% das observaes. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 RESOLUO: Para resolver essa questo vamos usar os mesmos conceitos de interpolao linear que vimos no estudo da mediana. Atravs da coluna de freqncias relativas (%) acumuladas, veja que a observao que se encontra na posio 80% est na classe de 10.000 12.000. Assim, podemos montar a seguinte proporo:

Frequncia: 77% 80% 89% |-----------------------------|----------------|

Valores: 10000 X 12000 |-----------------------------|----------------|

Assim, temos a proporo: 0,89 0,80 120000,89 0,77 12000 10000

X =

0,09 120000,12 2000

X=

X = 10500




Portanto, podemos dizer que 80% das observaes so iguais ou inferiores a 10500. Resposta: E Obs.: observe que nessa questo o que obtivemos foi o valor do 8 decil (D8), ou do 80 percentil (P80) da distribuio. Desta mesma forma voc consegue obter qualquer quartil, decil ou percentil solicitado por uma questo.

1.1.3.2 MEDIDAS DE VARIABILIDADE As medidas de disperso (ou variabilidade) medem o grau de espalhamento

dos dados de uma distribuio. Se voc anotar as idades dos seus colegas de faculdade, provavelmente ver que a maioria deles se concentra numa faixa muito estreita (talvez entre 19 e 24 anos), com evidente predominncia dos jovens, havendo um ou outro caso que destoa dessa faixa. Agora, se voc tentar anotar as idades das pessoas que frequentam uma determinada praia, ver que a disperso muito maior, isto , existem quantidades significativas de crianas, jovens, adultos e idosos. Para quantificar essa disperso (ou variabilidade) existem diversas medidas, dentre as quais as principais so: a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao.

Varincia: Chamamos de varincia a mdia do quadrado das distncias de cada observao at a mdia aritmtica. Complicado? Vamos por partes...

A distncia de uma observao Xi at a mdia aritmtica X dada pela

subtrao iX X . O quadrado desta distncia 2( )iX X . A mdia do quadrado

dessas distncias dado pelo somatrio de todos os valores 2( )iX X , dividido pelo total de observaes (n). Portanto, a frmula da varincia :

2

2 1( )

n

iX XVariancia

n

= =




Como voc viu nesta frmula, costumamos simbolizar a varincia por 2 . Exemplificando, vamos calcular a varincia do seguinte conjunto de dados: {1, 3, 5, 5, 8, 9}. Repare que temos n = 6 elementos, cuja mdia :

1 3 5 5 8 9 66

X + + + + += =

Assim, a varincia :

22 2 2 2 2 2

2 1

2

( ) (1 6) (3 6) (5 6) (5 6) (8 6) (9 6)6

25 9 1 1 4 9 8,166

n

iX X

n

+ + + + + = =

+ + + + += =

Esta a frmula bsica da varincia. Entretanto, dependendo do exerccio pode ser que seja mais conveniente usar alguma das frmulas a seguir, que so meras variaes desta primeira:

Caso os dados estejam em uma tabela de frequncias (fi): 2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f X X

f

=

Caso os dados estejam em uma tabela de frequncias, porm agrupados em intervalos de classes, devemos usar os pontos mdios PMi no lugar dos valores individuais Xi:

2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f PM X

f

=

Veja que em todas as frmulas para clculo da varincia preciso inicialmente obter o valor da mdia da populao. Entretanto, a frmula abaixo nos permite encontrar a varincia sem precisar calcular a mdia:

22

1 12

1n ni i

i iX X

n

n = =

=




Veja que, nesta frmula, s preciso obter o valor do somatrio das

observaes (1

n

ii

X=

), bem como o somatrio dos quadrados das observaes

( 21

n

ii

X=

), que so clculos relativamente fceis.

Se os dados estiverem agrupados, voc pode alterar esta ltima frmula, utilizando a seguinte:

22

1 12

1( ) ( )n n

i i i ii i

X f X fn

n = =

=

E se estiverem em intervalos de classes, voc pode utilizar os pontos mdios: 2

2

1 12

1( ) ( )n n

i i i ii i

PM f PM fn

n = =

=

ATENO: todas as frmulas vistas acima permitem calcular a varincia de uma POPULAO. Caso o exerccio apresente apenas uma amostra da populao, devemos fazer uma pequena alterao nas frmulas acima, calculando a varincia AMOSTRAL, que simbolizada por s2. Esta alterao consiste em subtrair uma unidade (1) no denominador das frmulas.

Exemplificando, ao invs de 2

2 1( )

n

iX X

n

=

, teremos:

2

2 1( )

1

n

iX Xs

n

=

Analogamente, ao invs de 2

2 1

1

[ ( ) ]n

i i

n

i

f X X

f

=

, teremos:

2

2 1

1

[ ( ) ]

1

n

i i

n

i

f X Xs

f

=




E ao invs de

22

1 12

1( ) ( )n n

i i i ii i

PM f PM fn

n = =

=

, usaremos:

22

1 12

1( ) ( )

1

n n

i i i ii i

PM f PM fn

sn

= =

=

Resolva as questes abaixo antes de prosseguir:

12. ESAF ATRFB 2009) Obtenha o valor mais prximo da varincia amostral da seguinte distribuio de frequncias, onde xi representa o i-simo valor observado e fi a respectiva frequncia.

xi : 5 6 7 8 9 fi : 2 6 6 4 3

a) 1,429. b) 1,225. c) 1,5. d) 1,39. e) 1,4. RESOLUO: Aqui temos uma amostra, e no uma populao. Portanto, a frmula da varincia :

2

2 1( )

( )1

n

Xi XVariancia amostra S

n

= =

O primeiro passo calcular a mdia, que dada por:

1

1

( )n

in

i

Xi FiMdia

Fi

=

=

=

5 2 6 6 7 6 8 4 9 3 147 72 6 6 4 3 21

Mdia + + + + = = =+ + + +




Para o clculo da varincia, temos:

2 2 2 2 22 (5 7) 2 (6 7) 6 (7 7) 6 (8 7) 4 (9 7) 3 30 1,5

21 1 20S + + + + = = =

Resposta: C

13. ESAF SEFAZ/SP 2009 Adaptada) Considerando que uma srie de observaes constituem uma amostra aleatria simples X1, X2, ..., Xn de uma varivel aleatria X, determine o valor mais prximo da varincia amostral, usando um estimador no tendencioso da varincia de X. Considere que:

a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 RESOLUO: Para resolver essa questo preciso lembrar que a varincia pode ser calculada com a seguinte frmula, sem a necessidade de obteno da mdia amostral:

22

1 12

1

1= =

=

n n

i ii i

X Xn

sn

Veja que foi dado que n = 23, e que:

2

18676

=

=n

ii

X e

1388

=

=n

ii

X

Portanto,




( )2

2 2

1 12

2

1 18676 38823

1 23 196,84

= =

= =

=

n n

i ii i

X Xn

sn

s

Resposta: A

Desvio padro ( ): Obtida a varincia, fica fcil calcular o desvio-padro de uma populao ou amostra. Basta tirar a raiz quadrada da varincia. Isto :

Desvio padro Varincia=

Assim, podemos dizer que 2 = (desvio padro populacional) e que 2s s= (desvio padro amostral).

Lembrando que o desvio-padro e a varincia so medidas de disperso dos dados, bom voc saber que, quanto maiores estes valores forem, mais espalhados esto os dados (caso da praia), e quanto menor, mais prximos esto os dados (caso da faculdade). Resolva a questo a seguir:

14. CESPE MEC 2009) Merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas:

200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.

Com base nessas informaes, julgue os prximos itens.

( ) A mediana da distribuio do nmero dirio de merendas escolares igual a 225.

( ) O desvio padro amostral dos nmeros dirios de merendas escolares superior a 50. RESOLUO:




( ) A mediana da distribuio do nmero dirio de merendas escolares igual a 225.

Para obter a mediana, o primeiro passo colocar os dados em ordem crescente. Veja isso abaixo:

150, 150, 200, 200, 200, 200, 250, 250, 250, 300.

Temos 10 elementos, portanto n = 10. A seguir devemos calcular o valor de (n+1)/2, que neste caso ser (10+1)/2 = 5,5. Veja que no obtivemos um valor exato, pois n par. Assim, a mediana ser a mdia aritmtica dos dois termos centrais da amostra, que so aqueles mais prximos da posio 5,5, ou seja, o 5 e o 6 termo:

200 200 2002

Mediana += =

Item ERRADO.

( ) O desvio padro amostral dos nmeros dirios de merendas escolares superior a 50. O desvio padro amostral dado por:

2

1( )

1

n

ii

X Xs

n=

=

onde n o nmero de elementos (n = 10), Xi representa cada elemento da amostra e X a mdia da amostra. A mdia, neste caso, :

150 150 200 200 200 200 250 250 250 300 21510

X + + + + + + + + += =

Portanto, o desvio padro ser:




2

1

2 2 2 2

2 2 2 2

( )1

2 (150 215) 4 (200 215) 3 (250 215) 1 (300 215)10 1

2 ( 65) 4 ( 15) 3 (35) 1 (85)9

8450 900 3675 7225 22509

n

ii

X Xs

n

s

s

s

=

=

+ + + =

+ + + =

+ + += =

Observe que esse nmero inferior a 50, pois 50 = 2500 . Assim, o item est ERRADO. Resposta: E E

importante voc conhecer as seguintes propriedades do desvio padro e da varincia (caem bastante!): - se somarmos ou subtrairmos um mesmo valor de todos os elementos de uma amostra, o desvio padro e a varincia permanecem inalterados. Isso porque essas so medidas de disperso. Ao somar o mesmo nmero em todos os elementos, eles no se tornam mais dispersos (mais espalhados), apenas deslocam-se juntos para valores mais altos. - se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos da amostra pelo mesmo valor, o desvio padro multiplicado/dividido por este mesmo valor. J a varincia multiplicada/dividida pelo quadrado desse valor (pois ela igual ao quadrado do desvio padro). Assim, se temos uma varivel X, com desvio padro x , e definimos uma

varivel Y como sendo Y = a.X + b (ou seja, a distribuio Y formada pelos mesmos termos da distribuio X, porm multiplicados por a e depois somados com b), podemos dizer que: - o desvio padro de Y ser: y xa = (veja que o b nem aparece aqui); - a varincia de Y ser 2 2 2y xa =

Em alguns casos, voc pode ser apresentado a duas populaes diferentes (ex.: moradores da cidade A e da cidade B), sendo fornecidos o nmero de elementos de cada amostra (nA e nB), bem como a varincia de cada amostra. Com isso em mos, possvel calcular a varincia que teria uma amostra composta pela unio dos indivduos de A com os indivduos de B usando a frmula abaixo:




A A B BA B

A B

Varincia n Varincia nVarincian n

+ =

+

Coeficiente de variao (CV): Trata-se da razo entre o desvio padro e a mdia, sendo normalmente

expresso na forma percentual:

CV

=

Veja essa questo sobre o CV:

15. FCC BACEN 2006) Em um colgio, a mdia aritmtica das alturas dos 120 rapazes de m centmetros com uma varincia de d2 centmetros quadrados (d > 0). A mdia aritmtica das alturas das 80 moas de (m 8) centmetros com um

desvio padro igual a 2021

d centmetros. Se o correspondente coeficiente de

variao encontrado para o grupo de rapazes igual ao coeficiente de variao encontrado para o grupo de moas, tem-se que a mdia aritmtica dos dois grupos reunidos de a) 162,0 cm b) 164,6 cm c) 164,8 cm d) 166,4 cm e) 168,2 cm RESOLUO: O coeficiente de variao dado por CV

= (desvio padro dividido pela

mdia). O enunciado nos disse que, para os rapazes, m = e 2 2d = (portanto, d = ). Portanto, o coeficiente de variao para os rapazes :

rapazesdCVm

= =




Para as moas, foi dito que 8m = e 2021

d = , levando ao seguinte

coeficiente de variao: 2021

8moasd

CVm

= =

Como foi dito que rapazes moasCV CV= , ento:

2021

8

ddm m

=

Logo, 20

1 218m m

=

20821

m m =

20 821

m m =

1 821

m =

168m =

Portanto, a mdia de altura dos 120 rapazes de 168cm, e a mdia de altura das 80 moas 160cm. Calculando a mdia do grupo inteiro, temos:

120 168 80 160 164,8120 80

Mdia cm + = =+

Resposta: C

1.1.4 VALOR ESPERADO DE VARIVEIS ALEATRIAS Chamamos de valor esperado de uma varivel aleatria a soma dos produtos entre cada valor que a varivel pode assumir e a probabilidade de cada valor ser obtido. Imagine, por exemplo, a varivel aleatria X = nmero de carros em uma casa. A partir da anlise de uma amostra de casas, voc monta a tabela abaixo:




Nmero de carros em uma casa: X Probabilidade: p(x) 0 10% 1 40% 2 30% 3 15% 4 5%

Mais de 4 0

Veja, por exemplo, que a probabilidade de entrar em uma casa com exatamente 3 carros de 15%. Isto , p(X = 3) = 15%. Assim, ao escolher aleatoriamente uma casa, o nmero esperado de carros ali presentes dado por:

( ) ( )E X x p x= ( ) 0 10% 1 40% 2 30% 3 15% 4 5% 1,65E X = + + + + =

Portanto, espera-se encontrar 1,65 carros em uma casa escolhida aleatoriamente. Ou melhor, o valor esperado da varivel aleatria X igual a 1,65. Obviamente voc nunca encontrar em uma casa um nmero fracionrio de carros, mas ao avaliar vrias casas, espera-se que em mdia voc encontre 1,65 carros por casa.

Utilizamos ainda os nomes Esperana de X ou Expectncia de X como sinnimos do Valor esperado de X. E utilizamos o smbolo E(X).

Assim, a rigor a esperana matemtica, valor esperado ou expectncia da varivel aleatria X dada por:

1( ) ( )i i

iE X x p x

=

=

A frmula acima vlida para variveis aleatrias discretas, de modo que p(xi) representa a probabilidade de cada valor xi que a varivel X pode assumir.

Algumas variveis aleatrias apresentam a mesma probabilidade para qualquer dos valores possveis. Em um dado no-viciado, por exemplo, a probabilidade de obter qualquer dos valores {1, 2, 3, 4, 5, 6} igual a 1/6. Neste caso dizemos que estamos diante de um espao amostral equiprovvel, ou seja,




todos os valores possveis do espao amostral da varivel X possuem a mesma probabilidade. Nestes casos, o valor esperado igual mdia aritmtica dos possveis valores da varivel aleatria. No caso do dado, temos:

1

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 3,56 6 6 6 6 6i ii

E X x p x

=

= = + + + + + =

Repare que o valor encontrado justamente a mdia dos valores do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Isto , a esperana matemtica da varivel aleatria X justamente o valor mdio desta varivel. No caso das variveis aleatrias contnuas, a frmula da esperana essencialmente a mesma, porm usando a Integral (operao que voc no precisa conhecer). A ttulo de curiosidade, seria:

( ) ( )E X x f x dx

= ,

onde f(x) a funo de densidade de probabilidade de X

Finalizando, seguem algumas propriedades do Valor Esperado que julgo serem interessantes voc conhecer:

a) E(k) = k a esperana de uma funo constante igual prpria constante. Ex.: se uma varivel X tal que s assume o valor k = 7, ento E(X) = 7.

b) E(aX + b) = aE(X) + b sendo a e b duas constantes, a varivel aleatria Y = aX + b tem o valor esperado igual a aE(X) + b. Ex.: sendo Y = 2X + 1, ento:

E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1

c) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) sendo X e Y duas variveis aleatrias, ento a esperana da varivel Z = aX + bY igual a aE(X) + bE(Y). Ex.: sendo Z = 2X + 3Y, ento:

E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y)




1.2 AMOSTRAGEM Chamamos de tcnicas de amostragem aquelas tcnicas utilizadas para selecionar, dentre os indivduos de uma populao, aqueles que faro parte de nossa amostra, sobre a qual calcularemos os dados estatsticos de nosso interesse.

Existem diversas formas de se formar uma Amostra de uma determinada populao. Algumas dessas formas so chamadas de probabilsticas (casuais), pois permitem (cientificamente) que utilizemos as tcnicas de inferncia estatstica, extrapolando os resultados para o restante da populao, calculando margens de erros etc. As demais formas so chamadas de no-probabilsticas (no casuais). Apesar de muito utilizadas, elas no permitem (com o mesmo rigor) a utilizao das tcnicas de inferncia que estudaremos.

1.2.1 TCNICAS CASUAIS DE AMOSTRAGEM (PROBABILSTICAS): Digamos que queremos estimar o percentual de homens residentes em um

determinado bairro. Vejamos tcnicas probabilsticas para escolher uma amostra desta populao, evitando ter que analisar cada um dos moradores daquele bairro.

1.2.1.1 AMOSTRAGEM ALEATRIA SIMPLES Uma primeira forma de amostragem probabilstica a escolha aleatria dos

indivduos da populao que faro parte da amostra (em uma lista, por exemplo). Trata-se da amostragem aleatria (ou casual) simples. Esta amostragem pode ser feita com reposio (onde um mesmo indivduo pode ser escolhido mais de uma vez para a amostra) ou sem reposio (onde cada indivduo s pode ser escolhido uma vez).

Repare que, para fazer uma amostragem aleatria, preciso que voc tenha acesso aos dados de todos os indivduos da populao, para, a partir dessa listagem, efetuar uma seleo aleatria de indivduos.

1.2.1.2 AMOSTRAGEM SISTEMTICA Uma outra forma de escolher os indivduos do bairro que faro parte da

amostra utilizando a amostragem sistemtica. Tendo a lista de todos os indivduos em mos, e algumas caractersticas destes indivduos, podemos criar um critrio para a escolha dos selecionados. Exemplificando, imagine que decidimos visitar apenas os moradores das casas cujo nmero mltiplo de 10. Veja que criamos um




sistema de escolha, motivo pelo qual esse tipo de amostragem conhecido como sistemtico.

1.2.1.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (AGRUPAMENTOS) Ao invs de criar um sistema de escolha, como fizemos na amostragem

sistemtica, podemos decidir analisar subgrupos inteiros da populao. Trata-se da amostragem por conglomerados (ou agrupamentos). Ex.: podemos selecionar, aleatoriamente, quarteires inteiros daquele bairro, e verificar todos os indivduos que ali residem. Repare que neste exemplo, os conglomerados foram definidos como sendo quarteires inteiros do bairro. Esta uma boa forma de escolha, pois os conglomerados so mutuamente exclusivos, isto : cada indivduo s far parte de 1 conglomerado.

1.2.1.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA Em alguns casos, podemos dividir a populao em estratos, que so

subconjuntos da populao compostos por indivduos com algumas semelhanas entre si. A diferena entre estratos e conglomerados que, nos estratos, os indivduos devem ter alguma caracterstica em comum que os torna mais semelhantes, enquanto os conglomerados so meros agrupamentos com base em um critrio qualquer. Os estratos tambm devem ser mutuamente exclusivos, para que cada indivduo participe de apenas 1 estrato. Feito isso, podemos selecionar uma quantidade de indivduos dentro de cada estrato para efetuar a nossa anlise. Por exemplo, podemos dividir todos os moradores em intervalos de idades (estratos): de 0 a 15 anos, de 15 a 30, de 30 a 45 etc. Feito isso, podemos analisar uma quantidade de indivduos dentro de cada estrato.

Como escolher a quantidade de indivduos de cada estrato que ser analisada? Os principais mtodos de escolha so:

- alocao uniforme: neste caso, escolhe-se uma quantidade igual de indivduos dentro de cada estrato.




- alocao proporcional: neste caso, escolhe-se quantidades de indivduos dentro de cada estrato de maneira proporcional representatividade daquele estrato na populao inteira.

- alocao de Neyman (ou repartio tima): leva em conta a varincia dentro de cada estrato da populao.

1.2.2 TCNICAS NO-CASUAIS DE AMOSTRAGEM (NO PROBABILSTICAS): Um exemplo de tcnica no-probabilstica aquela usada em algumas

pesquisas de opinio, onde o pesquisador fica em um local com grande circulao de pessoas (ex.: estao de metr) e vai entrevistando pessoas ao acaso (acidentalmente). Trata-se da amostragem acidental.

Outro exemplo seria a escolha intencional, por parte do entrevistador, de pessoas que ele acredita serem relevantes para a sua pesquisa. Trata-se da amostragem intencional.

Outra conhecida forma de amostragem no probabilstica a amostragem por cotas. Nela, o primeiro passo dividir a populao em grupos como feito nas amostragens estratificada ou por conglomerados e, a seguir, extrair quantidades pr-definidas (cotas) de indivduos de cada grupo para se montar a amostra. Veja que a diferena deste tipo de amostragem para os tipos probabilsticos que as quantidades de indivduos em cada grupo/estrato so pr-definidas, no obedecendo qualquer critrio estatstico.

Tambm temos a amostragem de voluntrios. Imagine que voc pretende fazer experincias de um novo remdio, e para isso precise de cobaias. Como voc no pode obrigar pessoas a participarem do experimento, voc precisa contar com voluntrios. Assim, a amostra de indivduos que voc vai utilizar no tem fundamento estatstico.

Note que escolhas ruins do tipo de amostragem podem levar a concluses absurdas. Exemplificando, digamos que queremos estimar o percentual de homens na populao de nosso bairro. Para isso, decidimos criar nossa amostra da seguinte forma: percorrer todos os sales de beleza do bairro, anotando o nmero de homens e o nmero de mulheres. Veja que provavelmente chegaremos a uma concluso absurda (muito mais mulheres do que homens). Essa distoro no resultado se deve ao fato de que, em regra, as mulheres costumam frequentar mais




os sales de beleza do que os homens. Portanto, a nossa tcnica de amostragem foi falha.

Sobre o assunto Amostragem, falta ainda falarmos sobre as tcnicas que nos permitem definir o tamanho ideal de uma amostra. Deixaremos isto para a aula 07, aps vermos alguns conceitos de distribuies estatsticas.




2. RESOLUO DE EXERCCIOS Passemos agora a uma bateria de exerccios sobre todos os tpicos vistos na

aula de hoje. Tente resolv-los antes de ler a minha resoluo! E j v preparando o seu resumo com as frmulas mais importantes!

E ateno: como geralmente a Estatstica um assunto onde muitos alunos tem mais dificuldade, disponibilizei nesta aula um grande nmero de questes para seu estudo (98!!!). Voc no precisa perder tempo resolvendo todos, se sentir que est mais seguro!

16. FCC SEFAZ/SP 2010 Adaptada) Em um setor de um rgo pblico realizado um levantamento com relao aos salrios de seus funcionrios administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela abaixo.

Com relao a este levantamento, tem-se que 60% dos funcionrios: (A) ganham at 3.000 reais. (B) ganham mais de 3.000 reais. (C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive. (D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive. (E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. RESOLUO: Como os itens versam sobre percentuais, j calculei na tabela abaixo as freqncias relativas e as freqncias relativas acumuladas. Para isso, importante verificar que o total de funcionrios n = 50. Veja:

Salrio Frequncias (fi) Frequncias relativas

Frequncias relativas

acumuladas 1000 5 10% 10% 1500 10 20% 30% 2000 10 20% 50% 2500 12 24% 74% 3000 8 16% 90%




3500 3 6% 96% 4000 2 4% 100%

Com essa tabela em mos, vamos analisar cada alternativa de resposta: (A) ganham at 3.000 reais. Falso. Veja na coluna das freqncias relativas acumuladas que 90% ganham at 3.000 reais.

(B) ganham mais de 3.000 reais. Falso. Se 90% ganham at 3.000 reais, ento 100% - 90% = 10% ganham mais de 3.000 reais.

(C) ganham de 1.500 a 2.500 reais, inclusive. Falso. Somando as freqncias relativas simples das linhas de 1.500, 2.000 e 2.500 reais, temos 20% + 20% + 24% = 64%.

(D) ganham de 2.000 a 3.000 reais, inclusive. Verdadeiro. Somando as freqncias relativas simples das linhas de 2.000, 2.500 e 3.000 reais, temos 20% + 24% + 16% = 60%.

(E) ganham 1.500 ou 3.500 reais. Falso. Somando as freqncias relativas simples das linhas de 1.500 e 3.000 reais, temos 20% + 16% = 36%.

Resposta: C

17. ESAF IRB 2006) Histograma e Polgono de freqncia so a) a mesma representao grfica (idnticas) de uma distribuio de freqncia. b) um texto descritivo e uma representao grfica de uma distribuio de freqncia.

c) um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de freqncia. d) duas representaes grficas de uma distribuio de freqncia.




e) duas representaes grficas de uma distribuio de freqncia, porm com sentidos opostos.

RESOLUO: O histograma o grfico barras com a distribuio de freqncias. J o polgono de freqncias o grfico de linha representando essa mesma distribuio de freqncias, porm utilizando apenas os limites superiores de cada classe.

Assim, ambos so representaes grficas de uma distribuio de freqncias.

Resposta: D

18. CESPE CORREIOS 2011) Julgue o item a seguir: ( ) Define-se varivel como o conjunto de resultados possveis para uma caracterstica avaliada.

RESOLUO: CORRETO. Considerando a caracterstica idade das pessoas, definimos a varivel Idade como sendo os valores desta caracterstica em uma determinada amostra ou populao.

Resposta: C

19. CESPE TRE/ES 2011)




A tabela acima apresenta uma distribuio hipottica das quantidades de eleitores que no votaram no segundo turno da eleio para presidente da Repblica bem como os nmeros de municpios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes, relativos anlise exploratria de dados.

( ) Na tabela de frequncias, o uso de intervalos de classe permite concluir que a varivel em questo contnua.

RESOLUO: Apesar de a tabela do enunciado ter utilizado intervalos de classe, repare que as variveis nmero de eleitores ou nmero de municpios, no so contnuas. Afinal, possvel ter 20 eleitores, ou 21, mas no possvel ter 20,5 eleitores. Trata-se de variveis discretas. Isto torna o item ERRADO.

Porm ateno: tambm possvel utilizar intervalos para representar variveis contnuas!

Resposta: E

20. CESPE TRE/ES 2011)

Com base na tabela acima, referente s eleies de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da Repblica, governador




de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justia eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue os itens a seguir. ( ) O histograma a representao grfica ideal para a distribuio de frequncias do nmero de candidatos aptos segundo o cargo pretendido.

( ) A varivel cargo classifica-se como uma varivel qualitativa ordinal. RESOLUO: ( ) O histograma a representao grfica ideal para a distribuio de frequncias do nmero de candidatos aptos segundo o cargo pretendido.

Recorde-se da nossa definio de histograma: grfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes de valores que uma varivel pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequncias de cada classe.

Entretanto, a varivel cargo qualitativa. Assim, por mais que possamos ordenar os cargos do menor para o maior, no podemos mensurar a diferena entre eles para dispor na escala horizontal do grfico. possvel, sim, fazer um grfico de barras que represente a varivel cargo, mas este grfico NO um histograma, que representa apenas variveis quantitativas. Item ERRADO.

( ) A varivel cargo classifica-se como uma varivel qualitativa ordinal. CORRETO. A varivel cargo qualitativa, como j dissemos, e os seus valores podem ser ordenados do menor para o maior (de deputado estadual/distrital at presidente da repblica). Assim, esta varivel ordinal. Se no pudssemos ordenar, esta varivel seria qualitativa nominal. Um exemplo a varivel sexo das pessoas. Esta varivel pode assumir dois valores qualitativos (masculino e feminino), porm estes valores no podem ser colocados em uma ordem crescente. Resposta: E C

21. FCC BACEN 2006) A mdia aritmtica dos salrios dos 100 empregados em uma empresa de R$ 1500,00. Na hiptese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salrio de R$ 2500,00, e ser concedido,




posteriormente, um aumento de 10% em todos os salrios dos remanescentes, a nova mdia aritmtica dos salrios ser de a) R$ 1 375,00 b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00 RESOLUO: Chamando de Si o salrio de cada empregado, e sabendo que a mdia de salrios dos 100 empregados (n = 100) 1500, podemos dizer que:

1

n

ii

SMdia

n=

=

100

11500100

ii

S=

=

Portanto, 100

11500 100 150000i

iS

=

= =

Ou seja, a soma dos salrios dos 100 empregados de 150000 reais. Retirar 20 empregados que ganham 2500 reais cada, significa retirar 20x2500 = 50000 reais desta soma, sobrando 150000 50000 = 100000 reais. Alm disso, o nmero de funcionrios passou a ser de 80. Aps essa retirada, concedido aumento de 10% para os funcionrios, o que faz a soma dos salrios (100mil) aumentar em 10%, chegando a 110000 reais. Deste modo, para obter a nova mdia dos salrios, basta dividir a soma total (110mil) pelo novo nmero de empregados (80):

Mdia = 110000/80 = 1375 reais Resposta: A




22. DOM CINTRA - CREMERJ/RJ - 2011) A mdia arit

mat fin e est - icms-rj - est - aula 06.pdf

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