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MAT 3A AULA 7
MAT 3A AULA 7 – 1
(4; 2)
y = ax + b b = 0
2 = a 4 a = 1
2 f(x) = 0,5x
MAT 3A AULA 7 – 2
{4a + b = 2 (1)} + {7a + b = 4} = 3a = 2 a = 2
3
MAT 3A AULA 7 – 3
4 2
3 + b = 2
B = 2 8
3 b =
2
3
MAT 3A AULA 7 – 4
Do gráfico temos:
f(0) = 0,5
f(1) = 0
f(x) é decrescente
f(x) > 0 para x < 1
f(x) < 0 para x < 1
f(x) > 0,5 para x < 0
V F F V V V
MAT 3A AULA 7 – 5
S = 800 +4
100×V
S = 800 + 0,04V
Alternativa C
MAT 3A AULA 7 – 6
2k + 10 = 20 2k = 10 k = 5
f(x) = 5x + 10
MAT 3A AULA 7 – 7
f(x) decrescente, então, a <0
f(x) intercepta eixo y em um valor positivo, logo, b > 0
Alternativa A
MAT 3A AULA 7 – 8
a + b = 3
a + b = 1
2b = 4 a = 1
f(x) = x + 2
MAT 3A AULA 7 – 9
1
2a + b = -3
-a + b = 6
· 3ª = 9
a = 3 b = 3
b a = 3 (3) = 6
MAT 3A AULA 7 – 10
1
a + b = 190
50a + b = 2 052
·
49ª = 1 862
a = 38 b = 152
f(x) = 38x + 152
f(50) = 760 + 152 = 912
MAT 3A AULA 7 – 11
(-1)a + b = 6
3a + b = 2
·
2a = 4 a = 2
MAT 3A AULA 7 – 12
L(x) = 45x 25x 500
MAT 3A AULA 7 – 13
P = 4,60 + 0,96 d
P = 19,00 19 = 4,60 + 0,96
d = 15 km
Alternativa C
MAT 3A AULA 7 – 14
1º Mês: 500 . 1,40 = 700 m2
S = 300+ 0,50 ×700®S = 650,00
2º Mês: 1400 m2
S = 300+ 0,50 ×1400®S =1000,00
Alternativa C
MAT 3A AULA 7 – 15
T = 150 -150
12x
T = 150 -12,5x
T = 12,5 ×(12 - x)
Alternativa A
MAT 3A AULA 7 – 16
V1
= 100 -100
40d
V2
= 80 -80
48d
ì
íïï
î
ïï
V1 = V2
100 -100
40d = 80 -
80
48d
20 =5
2d -
5
3d
120 = 5d d = 24
MAT 3A AULA 7 – 17
1 litro = 1 000 ml = (400 ml diesel) + (600 ml álcool)
Vol. Diesel com ml de álcool
400 = 0,3 (1 000 + x)
x = 1 000
3 ml
MAT 3A AULA 7 – 18
L =70,00;0 < x £ 50
45 + 0,50x;x > 50
ìíî
C =40,00;0 < x £ 40
x;x > 40
ìíî
I – Falsa. C(80) = 80,00
II – Verdadeira
x = 69
L(69) = 84,50
C(69) = 69,00
ìíî
III – Falsa
x = 80L(80) = 85,00
C(80) = 80,00
ìíî
x = 100L(100) = 95,00
C(100) = 100,00
ìíî
ì
í
ïï
î
ïï
MAT 3A AULA 7 – 19
a) P(x) = 3,2 + 0,8 x
b) P(x) ≤ 120
3,20 + 0,80 x ≤ 120
x ≤ 146 km xmáx = 146 km
MAT 3A AULA 7 – 20
6 6 2 4
2 2
18 4
14 .
S
S
S u a
MAT 3A AULA 8 – 1
Inteceptar eixo das ordenadas: x = 0
2(0) 0 4.0 10
(0) 10
f
f
Alternativa C
MAT 3A AULA 8 – 2
“zeros” da função : Raízes f(x)=0
2 3 0
( 3) 0
0 (0,0)
3 (3,0)
x x
x x
x
ou
x
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 3
Análise do
2
1 2
4
02 4.1.4
16
b ac
x ex IR
Gráfico não intercepta o eixo das abscissas.
Alternativa A
MAT 3A AULA 8 – 4
2
4
2 4.1.5
4.1
4
v
v
v
ya
y
y
Alternativa C
MAT 3A AULA 8 – 5
2
1
14
2 4.1.1
4.1
4 4 4
2
vy
a
k
k
k
Alternativa D
MAT 3A AULA 8 – 6
Tangencia o eixo das abscissas 0
2
0
( 4) 4.1. 0
4
m
m
Alternativa D
MAT 3A AULA 8 – 7
2
2
( ) 4
: 4 0 0; 4
(0,0) ( )
: 0
f x x x
Raízes x x x x
O f x
Concavidade a
Alternativa C
MAT 3A AULA 8 – 8
2
2
( ) 40 5
(3) 40.3 5.3 (3) 75
h t t t
h h m
Alternativa C
MAT 3A AULA 8 – 9
2
( 2)
2.1
1
v
v
v
bx
a
x
x
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 10
2
4 1
2 2.4 2
4 4.4.10
4 4.4
1,0
2
v v v
v v v
bx x x
a
y y ya
V
Alternativa A
MAT 3A AULA 8 – 11
Único ponto em comum com eixo das abscissas 0
2
2
2
2
0
4.1. 1 0
4 4 0
2
2 1
2 2 2.2 1 1
m m
m m
m
y x x
x y y
Alternativa D
MAT 3A AULA 8 – 12
2
2
( ) 2 2
2 4.( 1).2
4.( 1)
3
v
v
f x x x
y
y
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 13
2
.(400 2 )
400 2
400100
2.( 2)
100:100 ;200 0,5
200
máx
v v
A x x
A x x
A Vértice
x x m
Lados m m
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 14
2
( ) 2 (250000 )
( ) 500000 2
500000125000
2.( 2)
máx
v v
R x x x
R x x x
R Vértice
x x
Alternativa E
MAT 3A AULA 8 – 15
2
Re ( ).( )
( ) .(86 2 )
( ) 86 2
8621,50
2.( 2)
máx
v v
ceita preço quantidade
R x x x
R x x x
R Vértice
x x
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 16
2
( ) ( )
( )
R x kx P x
R x Pkx kx
Parábola concavidade pra baixo;
Passa pela origem;
Alternativa E
MAT 3A AULA 8 – 17
2( ) 44000
4400022000
2.( )
máx
v v
R x kx kx
R Vértice
kx x
k
Alternativa B
MAT 3A AULA 8 – 18
x(x + p) = 0
x = 0 x = p
p
2 = 3 p = 6
32 + 6 3 = k 9 + 18 = k
MAT 3A AULA 8 – 19
a)
2
( ) 0
3 3 0
3 (1 ) 0
0 ( )
1 ( )
solo h t
t t
t t
t s início
ou
t s retorno
b)
2
2
( ) 3 3
3 1
2.( 3) 2
1
2
1 13 3
2 2
0,75
máx
v v
máx
máx
máx
h t t t
h Vértice
t t s
h h
h
h m
MAT 3A AULA 8 – 20
MAT 3A AULA 9 – 1
2( ) 16
1 0
1 0
0
0
0 0v
f x x
V a
F a
F a Mínimo
V a Mínimo
V b x
MAT 3A AULA 9 – 2
2
(1,2) ( ) (1) 2
(1) 1 .1 3 2 2
A f x f
f k k
Alternativa D
MAT 3A AULA 9 – 3
2
2
5 2 1
2 4.( 5).( 1) 4
4.( 5) 5v v
y x x
y y
Alternativa B
MAT 3A AULA 9 – 4
: 3
Im( ) ] ,3]
máxGráfico y
f
Alternativa D
MAT 3A AULA 9 – 5
1 53
2v vx x
Forma Fatorada
( ) ( 1)( 5)
3(3) 3 (3 1)(3 5) 3
4
3( ) ( 1)( 5)
4
y f x a x x
f a a
f x x x
Alternativa B
MAT 3A AULA 9 – 6
2
1
2
1 2
( ) 10 9
1
1
9
( ) ( )( )
( ) ( 1)( 9)
f x x x
a
xRaízes
x
f x a x x x x
f x x x
Alternativa C
MAT 3A AULA 9 – 7
2
22
22 2 4 4 0,5
2( 1)
xv
b
a
m mm
Alternativa A
MAT 3A AULA 9 – 8
2
* 0
* 0
* 0 0v
y ax bx c
Concavidade a
c
x b
Alternativa A
MAT 3A AULA 9 – 9
2
460 .6
450 .7,50
2010 1,50
3
500
20500
3
( ).( )
20500 .
3
20500
3
50037,50
202
3
máx
v v
q ap b
a b
a b
a a
b
q p
A quantidade preço
A p p
A p p
A Vértice
p p
Alternativa D
MAT 3A AULA 9 – 10
2
2
( ) 48 10
48 4.( 1).( 10)
4.( 1)
566.000,00
v
v
L x x x
Lmáx Vértice
L
L
Alternativa A
MAT 3A AULA 9 – 11
2
( ) (30 ).
( ) 30
3015
2.( 1)
máx
v v
A x x x
A x x x
A Vértice
x x
Lados: 15m x 15m
Alternativa A
MAT 3A AULA 9 – 12
2( )
1 1
2.( 1) 2
136 36 18
2
máx
v v
d x x x
d Vértice
x x
x
MAT 3A AULA 9 – 13
Passa pelo ponto (0, 25)
xv = 3
x1 = 1, logo, x2 = 5
Forma Fatorada
( ) ( 1)( 5)
(0) 25 (0 1)(0 5) 25 5
( ) 5( 1)( 5)
(3) 5(3 1)(3 5) 20
Im( ) : [ 20, [
mín
mín mín mín
y f x a x x
f a a
y f x x x
y Vértice
y f y y
f
Alternativa A
MAT 3A AULA 9 – 14
2
2
( ) ( ) ( )
( ) 16 (4 8 32)
( ) 4 24 32
243
2.( 4)v v
L x R x C x
L x x x x
L x x x
Lmáx Vértice
x x
Alternativa C
MAT 3A AULA 9 – 15
1 2
2
2
.
.1
1
cx x
a
kk x
x
Alternativa D
MAT 3A AULA 9 – 16
2
( ) 55 2,50(54 ) .
( ) 55 135 2,50 .
( ) 190 2,50
19038
2.( 2,50)
máx
v v
R x x x
R x x x
R x x x
R Vértice
x x
Alternativa C
MAT 3A AULA 9 – 17
f (x) = ax2 + bx +12
f (x) = a(x + 3)(x - 4)® f (x) = ax2 - ax -12a
Comparando :
12 = -12a ® a = -1
b = -a ® b = 1
f (x) = g(x)
g(-2) = f (-2) ® -2m + n = -(-2)2 + (-2) +12 ® -2m + n = 6(I)
f (x) = 10 ® -x2 + x +12 = 10 ® -x2 + x + 2 = 0x = -1
x = 2 ® g(2) = 10 ® 2m + n = 10(II)
ìíî
ì
íï
îï
-2m + n = 6
2m + n = 10
ìíî
2n = 16 ® n = 8;m = -1
b.n = 1.8 = 8
Alternativa D
MAT 3A AULA 9 – 18
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) 60 10 400
( ) 50 400
10( ) 0 50 400 0 ( )
40
( ) : 25( )
5025( )
2.( 1)
(50) (50) 50.50 400 (50)
máx
v v
L x R x C x
L x x x x
L x x x
xI L x x x VERDADEIRO
x
II L x crescente x VERDADEIRO
III L Vértice
x x FALSO
IV L L
400 ( )PREJUÍZO VERDADEIRO
MAT 3A AULA 9 – 19
a)
b)
( ) ( )
21 ( 1)( 2)
3
2( 1) ( 1)( 2) 0
3
2( 1) 1 ( 2) 0
3
1 0 1 1,0
2 7 7 51 ( 2) 0 ,
3 2 2 2
f x g x
x x x
x x x
x x
x x
ou
x x
MAT 3A AULA 9 – 20
a)
( 0)( 24)
1(12,16) 16 (12 0)(12 24)
9
1( 24)
9
y a x x
V a a
y x x
b)
3: 30
3
:
3 1( 24)
3 9
3 1( 24) 0
3 9
3 1( 24) 0
3 9
0 (0,0)
3 1( 24) 0 24 3 3 24 3 3,8 3 3
3 9
or y tg x y x
Igualando
x x x
x x x
x x
x O
ou
x x P
MAT 3B AULA 7
MAT 3B AULA 7 – 1
tg 30° = x
2
3
2 =
x
2
x = 2 0,58 x = 1,16
João
S = 1,16 2
2
· S = 1,16
ST = 2 3 = 6 S
ST = 0,19 = 19%
MAT 3B AULA 7 – 2
A = 54 + 180 A = 234m2
MAT 3B AULA 7 – 3
S = 290 (90 - 50)(90 - 65)· S = 290 40 25· ·
S = 60 25 S = 1 500
S = abc
4R = 1 500 =
250 65
4R
·
30 4R = 4 225 R 35,2
So = R2 = 3,14 (35,2)2 3 890,6
MAT 3B AULA 7 – 4
Em um triângulo retângulo, a área pode ser definida como o semiproduto dos catetos, sendo assim:
S =
5.6
2®S = 15m2
Alternativa E
MAT 3B AULA 7 – 5
h = L 3
2 h = 3
S = 2 3
2 S = 3
MAT 3B AULA 7 – 6
S = 1
2 4 6 3 sen 60° S = 12 3
3
2
S = 18
MAT 3B AULA 7 – 7
x2 = 9 + 25 x2 = 34
MAT 3B AULA 7 – 8
S = 28 (8 - 5) (8 - 6)· · S = 28 3 2· ·
S = 4 3 S = 12
MAT 3B AULA 7 – 9
h = 3 3
2
S =
7 R 9 R 8 R + + = 12 5
2 2 2
24R = 12 5
2
· · ·
S = 13 + 10 3 3
4
·
S = 69 3
4 S = P r
MAT 3B AULA 7 – 10
p = 12
S = 12 12 - 7 12 - 8 12 - 9 = 720 = 12 5
AO BO O 12 5
7 R 9 R 8 R + + = 12 5
2 2 2
· · ·
24R = 12 5
2
12R = 12 5 R = 5
MAT 3B AULA 7 – 11
L C
72 = 52 + x2 2 5 x cos 60°
49 = 25 + x2 5x x2 5x 24 = 0
x = 5 11
2
x’ = 8 x’’ = 3
P = 10
S = 10 5 2 3· · · S = 10 3
MAT 3B AULA 7 – 12
MAT 3B AULA 7 – 13
I) 2 x 2 x
= = x = 11sen 45° sen 30° 222
2
sen 45° = 2R
2
2
2
= 2R R = 1m
II) sen 30° = h
2
1 h =
2 2 h =
2
2
III) A CBD + A DBA = 1 2 1 2
2 sen 60° + 1 sen 45°2 2 2 2· · · · · ·
A CBD + A DBA = 1 3 2 2
+ 2 2 4 2· · A CBD + A DBA =
3 + 1
4
MAT 3B AULA 7 – 14
- AF é a medida da diagonal do retângulo ABFE
- como CE é um arco de circunferência com centro em A, AC = AE = 2 m
A = (B h)/2
A =
2
2 m2
c) AD = 1 m e AE = 2 m, logo:
(AF)2 = (FE)2 + (1 + 2 )2
(AF)2 = 12 + 1 + 2 2 + 2 = 4 + 2 2 = 6,8
AF = 2,6 m
- como FH é um arco de circunferência com centro em A, AF = AH = 2,6 m. Logo:
(AG)2 = (AH)2 + (GH)2
(AG)2 = 2,62 + 12
AG = 2,8 m
- O ângulo GAH é:
sen GAH =
GH
AG=
1
2,82,8
GAH = 20,9º
MAT 3B AULA 7 – 15
* A1 = 2 A2 (AB)2 = 2 (EF)2 AB = EF 2
* Se EF = L AB = L 2 e EP =
L
2
* A área do quadrado ABCD é:
A2 = L × 2( )
2
= 2L2
* A área do triângulo é:
A =
B ×h
2=
L ×L
2=
L2
2
* tanEFP =
EP
EF=
0,5L
L = 0,5
* (FP)2 = (EF)2 + (EP)2 (FP)2 = L2 +
L2
4
(FP) =
L
25
MAT 3B AULA 7 – 16
13h = (8 + 2
3) 6
13h = 26
3 62 h = 4
Sen = 4
6 sen =
2
3
MAT 3B AULA 7 – 17
(1) = 1
2 x a sen 30°
(2) = 1
2 x b sen 150°
(3) = 1
2 b y sen 30°
(4) = 1
2 a y sen 150°
(1 + 2 + 3 + 4) = a + b x + a + b yax + bx + by + ay
4 4
(1 + 2 + 3 + 4) = a + b x + y 20
4 4
(1 + 2 + 3 + 4) = 5 cm2
MAT 3B AULA 7 – 18
Sen2 A + cos2 A = 1
cos  = 3
5 sen  =
4
5 tg  =
4
3
sen C = 2
5
52 = h2 + y2 y2 = 25 20 y = 5
tg  = h
x
4
3 =
2 5
x x =
3 5
2
A = x + y h
2 A =
5 5 2 5
22
·
A = 25
2
sen C = h
5
2 h =
55 h =
10 5 =
55
h = 2 5 cm2
MAT 3B AULA 7 – 19
Resolução no material
MAT 3B AULA 7 – 20
Resolução no material
MAT 3B AULA 8 - 1
AM – RJ 2 865 km
RJ – RS 1 141 km
AM – RS x
x2 = (2 865)2 + (1 141)2
x = 3 084 km
MAT 3B AULA 8 – 2
A = A
= 20 10
2
· 100
A = ??
10 20 - x 10 + = 100
2 2
100 rx + ry = 100 x = y
2
10 x =
10 100 20 - x
x2 = 100 + 400 40x + x2
x = 50
4 x = 12,5
MAT 3B AULA 8 – 3
Adotar um ponto P entre A e C, mais próximo de C tal que AP = 250 e CP = 100
Traçar um arco com raio 250 com centro em A tal que Q é o ponto de encontro do arco com
AB.
Traçar um arco com raio 100 tal que R seja o ponto de encontro com BC
AP + CP = AC = 350
AQ = 250 e CR = 100
AB = 650 BQ = AB - AQ
BQ = 650 - 250 BQ = 400
BR = BQ BR = 400
BC = BR + CR ----> BC = 400 + 100 ----> BC = 500
MAT 3B AULA 8 - 4
x = 49 + 576 625
x = 25
sen = 24
25
MAT 3B AULA 8 – 5
x 4 + 16 20 2 5
4 2 2 5cos =
52 5
·
MAT 3B AULA 8 – 6
2
6 2 = x2 + 62
72 = x2 + 36 x2 = 36 x = 6
A = b h 6 6
= 2 2
· · = 18 m2
MAT 3B AULA 8 – 7
x = 9 + 4 x = 13 x 3,6 m
MAT 3B AULA 8 – 8
12 xx = =
sen 120° sen 45°
12 xx = =
3 2
2 2
12 2 3x = = 4 6
3 3·
MAT 3B AULA 8 – 9
= 2
+ = 96
3 = 96 = 32
x + + 48 48 = 180
x = 180 128 x = 52°
MAT 3B AULA 8 – 10
sen 60° = h
2
3 h = h = 3
2 2
MAT 3B AULA 8 – 11
x2 = 32 + 2
2 2 3 2 2
2
x2 = 11 6 x = 5
MAT 3B AULA 8 – 12
S = p p - a p - b p - c
S = 29 4 1· · S = 3 4 S = 12
MAT 3B AULA 8 – 13
AE2 = 102 + 102 2 10 10 1
2
AE2 = 300 10 3
sen 60° = 10 + CE
10 3
3 10 + CE =
2 10 3
15 = 10 + CE CE = 5
MAT 3B AULA 8 – 14
x2 = 82 + (12 x)2 2 8 (12 x) 1
2
x2 = 64 + 144 24x + x2 96 + 3x
16x = 112 x = 7
MAT 3B AULA 8 – 15
2xy
2 = xy
AND = 2yx
2 = xy
CMH = xy
2
AMN = 4xy 2xy xy
2 =
4xy - xy 3xy =
2 2
ABCD = 4xy
MAT 3B AULA 8 – 16
A = 1
2 1 1 sen 120° =
3
4
A ABC = 1 3
4
A = 1
AT = 3 + 3 3
4 +
3
4 = 3 + 3
MAT 3B AULA 8 – 17
(LC)
14 1 1 1 1 = + - 2 cos
16 4 4 2 2
1 1 7 cos = -
2 2 8
1 3 cos = -
2 8
3cos = -
4
· · ·
·
DAM (LC)
X2 = 1 + 1
4 2 1
1
2 cos(180 )
X2 = 5 3 2
- 4 4 4
X2 = 1
2
2
2
MAT 3B AULA 8 – 18
ABC (LC)
72 = 82 + 32 2 8 3 cos B
49 = 64 + 9 48 cos B
cos B = 1
2
ABM
AM2 = 32 + 42 2 3 4 cos B
AM2 = 9 + 16 12
AM2 = 9 + 4
AM = 13
MAT 3B AULA 8 – 19
Resolução no material
MAT 3B AULA 8 - 20
Resolução no material
MAT 3B AULA 9 – 1
Pela interpretação direta: alternativa E
MAT 3B AULA 9 - 2
CPF: 123.456.789 – d1d2
d1 = 1 10 + 2 9 + 3 8 + 4 7 + 5 6 + 6 5 + 7 4 + 8 3 + 9 2 = 210
210 11 = 19 1 de resto d1 = 0
d2 = 2 10 + 3 9 + 4 8 + 5 7 + 6 6 + 7 5 + 8 4 + 9 3 + 0 2 = 244
244 11 = 22 2 de resto
d2 = 11 2 = 9
MAT 3B AULA 9 - 3
nº de pessoas “novas” > nº de pessoas que “deixaram” a pop.
N + 1 > M + E
MAT 3B AULA 9 – 4
Dia + Noite = 1 m
8º (Dia + Noite) = 8 m
9º Dia = 10 m (Sem necessidade de descer afinal chegou ao topo do muro)
Alternativa D
MAT 3B AULA 9 – 5
788 825 7 = 112 689 2 de resto quarta-feira + 2 dias = sexta-feira
MAT 3B AULA 9 – 6
1º salto = x
2º salto = x 1,2
3º salto = x 2,7
3x 3,9 = 17,4 3x = 21,3 x = 7,1
MAT 3B AULA 9 – 7
Se em um caso extremo, tivéssemos 12 pessoas nascidas uma em cada mês do ano, a 13ª pessoa, com
certeza, faria com que PELO MENOS DUAS PESSOAS FAZEM ANIVERSÁRIO NO MESMO MÊS.
Alternativa C
MAT 3B AULA 9 – 8
3
7
x 10 =
1010
x = 109
MAT 3B AULA 9 – 9
5 1 = 5
8 2 = 16 + 1 = 17
6 1 = 6
4 2 = 8
2 1 = 2
5 + 17 + 6 + 8 + 2 = 38 38 10 = 3 com 8 de resto.
MAT 3B AULA 9 – 10
Aldo para Dino que fornece o número do Ênio
Aldo para Ênio que fornece o número de Carlos
Aldo para Carlos.
3 telefonemas
Alternativa C
MAT 3B AULA 9 – 11
Se fizer tudo 3,6 = 18 séries 17 intervalos
Caminhada: 10 min.
Desc. Caminhada: 1 min.
18 séries (0,5 cada): 9 min
Descanso ente as séries (1 min. de cada): 17 min
10 + 1 + 9 + 17 = 37 min.
MAT 3B AULA 9 – 12
Ritmo de coleta dos 20 alunos 12Kg/3h 4Kg/h
Sendo assim:
x = 200 2 x = 10Kgqh
10 dias 10 3 4 = 120 Kg
20 dias 10 4 10 = 800 Kg
120 + 800 = 920 Kg
MAT 3B AULA 9 - 13
Máquina 2.0 megapixels = 2 106 pontos
Aluno Coleta (Kg/h)
20 4
50 x
Reduz 95%, ou seja, usa 5% de 3 bytes
= 0,15 bytes (valor de cada ponto)
Total ponto Valor do ponto = 2 106 0,15
Total ponto Valor do ponto =0,3 106
Total ponto Valor do ponto =300 000 bytes 300 Kb (uma foto)
300 150 = 45 000 Kb 45 MB
MAT 3B AULA 9 – 14
Gasto em 6 dias = 6(12 10 + 4 1 000) = 24 720 reais
Hectares colhidos em 6 dias: 6 20 = 120 hec
Como os gastos são ineriores a R$ 25 000,00, então
Hectares Horas
120 6
180 x
x = 9 horas
MAT 3B AULA 9 – 15
Distância = 7 16 = 112Km
L Km
75 100
X 112
x = 84L
d = massa vol 750 = y 84 y = 63 000g ou 63 Kg
605 Kg + 63 Kg = 668 Kg
MAT 3B AULA 9 – 16
I) x > 4 x2 > 16
y < 2 2y < 4 2y > 4
Assim sendo, x2 2y > 16 4 x2 2y 12
III) como y > 0 e y2 > 2
y > 2 2y > 2 2 2y < 2 2
2y < 2 2 + x2 < 1 = x2 2y < 1 2 2
Mas 1 2 2 < 0 x2 2y < 0
MAT 3B AULA 9 - 17
314 1573,14 100 50
50 50150 7 3 7
50
2 = 2 = 2
2 2 2 2
8 128
· ·
·
MAT 3B AULA 9 – 18
INÍCIO: 2n + 1
1º marinheiro pagou n
2º marinheiro pagou n - 1
2
Imediato deu para cada um
n - 1 - 1
2
2
=
n - 3
4
o
o
n - 3 5nn +
1 5n - 3 294 4 = = = = n - 1 n -3 3n - 5 3n - 5 172
+ 2 4 4
85n 51 = 87n 145 2n = 94
2n + 1 = 95
MAT 3B AULA 9 – 19
resolvido no material
MAT 3B AULA 9 - 20
resolvido no material
MAT 3C AULA 7
MAT 3C AULA 7 – 1
10 0 1
20 2 1
15 10 1
= 20 + 200 30 100 = 90
MAT 3C AULA 7 – 2
(1) 3 2
1 3 = 7
MAT 3C AULA 7 – 3
–2 = a13
A13 = (1)1 + 3 3 10
1 7
A13 = (1) 3 10
1 7
MAT 3C AULA 7 – 4
(1)7
2 1 1
1 3 2
1 3 2
= 12 2 3 3 12 2 = 10
MAT 3C AULA 7 – 5
2 (2 + 9 + 4 6 3 4) = 4
1 (12 + 12 + 12 16 4 27) = 11
4 + (11) = 7
MAT 3C AULA 7 – 6
(1)6
1 1 1
2 0 3
0 3 2
= 6 9 4 = 7
MAT 3C AULA 7 – 7
1
1 1 0
2 3 1
2 1 0
1 (2 1) = 3
MAT 3C AULA 7 – 8
2 3
1 1 2
2 4 1
1 2 3
6 (12 + 1 + 8 8 2 6) = 6 5 = 30
MAT 3C AULA 7 – 9
A =
1 1 1
1 4 4
1 4 9
(1)5 1 1
1 4 1 (4 1) = 3
MAT 3C AULA 7 – 10
(1)3 1 x
1 2
= 5
(2 x) = 5 2 + x = 5 x = 5
(1)5 2 x
y 1 = 10
(2 xy) = 10 2 + 3y = 10
3y = 12 y = 4
MAT 3C AULA 7 – 11
3
1 1 1
1 1 2
2 1 0
2
5 1 1
2 1 1
1 2 1
3 (4 + 1 2 2) 2 (5 + 1 4 + 1 10 2)
3 (7) 2 (9) 21 + 18 3
MAT 3C AULA 7 – 12
3 (+2)
3 1 2
2 1 1
1 3 1
6 (3 + 1 + 12 2 9 2) 6 3 = 18
MAT 3C AULA 7 - 13
3 (2)
4 3 2
1 2 3
3 2 2
(6) (16 + 27 + 4 12 24 6) (6) 5 = 30
30 = 2 3 5
D(30) = (2 2 2) 2 = 16
MAT 3C AULA 7 - 14
A + B =
0 1 1 1
3 1 2 2
0 1 1 1
0 1 0 2
(3)
1 1 1
1 1 1
1 0 2
(3) (2 + 1 + 1 2) = 6
MAT 3C AULA 7 – 15
(2) (x3 + x x2 x3 + x x2) = 0
(2) (2x2 + 2x) = 0 4x2 4x = 0 4
x(x 1) = 0
x = 0 e x = 1
MAT 3C AULA 7 – 16
x (2x2 + x) 2x3 + x2
MAT 3C AULA 7 - 17
x (6x + 1 4x 3) 0 x (2x 2) 0
MAT 3C AULA 7 - 18
x (x2 + 4 6x + 1) 0
x (x2 6x + 5) 0
MAT 3C AULA 7 - 19
x
1 1 2
3 1 1
2 1 3
y
3 1 2
3 1 1
2 1 3
+ z
3 1 2
1 1 2
2 1 3
t
3 1 2
1 1 2
3 1 1
x (3 + 2 + 6 4 1 9) y (9 + 4 + 2 4 6 3) + z (9 + 4 + 2 4 6 3) t (3 + 6
+ 2 6 6 1)
3x 1y + 2z + 2t (3 1 + 2 + 2) = 0
MAT 3C AULA 7 – 20
X 3 (x2 + 2 4x + 1) 0 3x (x2 4x + 3) 0
{x IR / x 0 ou 1 x 3}
MAT 3C AULA 8 – 1
1 2
2 1
S S0 0 1 = =
S S1 1 0· S2 = 0 e S1 = 1
43
34
SS1 0 1 = =
SS0 1 0· S4 = 1 e S3 = 0
MAT 3C AULA 8 – 2
20 8 3 60 16 76 = =
15 12 2 45 24 69
·
MAT 3C AULA 8 – 3
+ A11 = 4 + 1 + 12 8 2 3 = 4
A12 = 6 + 1 + 4 8 3 1 = 1
+ A13 = 9 + 2 + 4 12 3 2 = 2
A14 = 9 + 4 + 1 3 6 2 = 3
detA = 2 4 + 1 (1) + 1 (2) + 3 (3)
detA = 8 + 1 2 9 detA = 2
MAT 3C AULA 8 – 4
detA = 36 6 28 36 + 28 + 6 detA = 0
MAT 3C AULA 8 – 5
1 49 64
0 3 9 1.3.4 12
0 0 4
Alternativa A
MAT 3C AULA 8 – 6
detA = 5
det(3A) = 33 5 det(3A) = 135
MAT 3C AULA 8 – 7
12x + 20y + 9z 8z 15x 18y = 8
3x + 2y + z = 8
60x + 32z + 72y 36z 48x 80y
12x 4z 8y = 4 (8) 32
MAT 3C AULA 8 – 8
01 – VERDADEIRO (Propriedade)
02 – VERDADEIRO (Propriedade)
04 – VERDADEIRO (Condição de existência da Matriz Inversa)
08 – det (kA) = k5.det (A) – VERDADEIRO
16 – FALSO – O número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas da outra matriz.
SOMA = 01 + 02 + 04 + 08
SOMA = 15
MAT 3C AULA 8 – 9
Matriz Triangular – Determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Det(A) = a11 a22 a33 a44
Alternativa B
MAT 3C AULA 8 – 10
2 3x = y 6x = y
MAT 3C AULA 8 – 11
x3 6 = 48 x3 = 8
MAT 3C AULA 8 – 12
det(M NT) = detM detNT
det(M NT) = 2 3 det(M NT) = 6
MAT 3C AULA 8 – 13
detA = 4 e detB = 3
A B = (4) 3 = 12
MAT 3C AULA 8 – 14
(detA)3 = 32 detA
(detA)2 = 32
detA = 3
MAT 3C AULA 8 – 15
23 detA = 40 detA = 5
(1
3)3 detB = 3 detB = 24
det(AB) = 5 24 det(AB) = 120
MAT 3C AULA 8 – 16
a) FALSO – det (2A) = 22.det(A)
b) FALSO – Há outras matrizes diferentes da identidade que possuem determinante igual a 1;
c) VERDADEIRO – Cada linha ou coluna que multiplicamos por uma constante, o determinante fica
multiplicado pela mesma constante;
d) FALSO – Há outras matrizes diferentes da Nula que possuem determinante igual a zero;
e) FALSO – O det (A) será o oposto do produto dos elementos da diagonal secundária.
Alternativa C
MAT 3C AULA 8 – 17
23 detA = 24 detA =3
33 detB = 54 detB = 2
A B = 3 2 = 6
MAT 3C AULA 8 – 18
detA = 3
4 det(
3
2 B) =
3
4
aij = ij
3b
4
A = 3
2 B
(3
2)4 detB =
3
2 detB =
4
27
MAT 3C AULA 8 – 19
* Matriz de vandermonde
1 1 1 12 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3 4 = 4 9 16 - 1 9 16 + 1 4 16 - 1 4 9
1 4 8 168 27 64 1 27 64 1 8 64 1 8 27
1 8 27 64
det = (2 1) (3 1) (3 2) (4 1) (4 2) (4 3)
det = 2 3 2 det = 12
MAT 3C AULA 8 – 20
a) detP = 16ab + 5ab 3b2 3a2
detP = 3 (a2 7ab + b2)
b) detQ = 23 detP
detQ = 8 [3 (a2 7ab + b2)]
detQ = 24 (a2 + 7ab b2)
Logo é divisível por 24
MAT 3C AULA 9 – 1
Tabela 1
4m + 5c
Tabela 2
Total de fechaduras de mogno: 10 + 8 + 4 = 22
Total de fechaduras de cerejeira: 12 + 8 + 6 = 26
Assim, 4 22 + 5 26 = 218
MAT 3C AULA 9 – 2
20 3 4
5 2 2
10 2 3
æ
è
çç
ö
ø
÷÷×
6 5,5 5,5
4 4,5 3
2 2 3
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
=
140 131,5 131
42 40,5 39,5
74 70 70
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
No mercado C gastarão menos do que em A e B
MAT 3C AULA 9 – 3
7 6 6 4 0 2 1 2 2
1 3 0 2 2 1 = 2 2 1
10 9 7 6 2 3 1 1 1
detA = 2 + 2 + 4 4 1 4 detA = 1
MAT 3C AULA 9 – 4
7 6 6 4 0 2 1 2 2
1 3 0 2 2 1 = 2 2 1
10 9 7 6 2 3 1 1 1
detA = 2 + 2 + 4 4 1 4 detA = 1
MAT 3C AULA 9 – 5
2 1 2 1 2 1 1 1 1
2 1 3 1 3 1 = 1 2 2
2 1 3 1 4 1 1 2 3
= 6 + 2 + 2 2 4 3 1
MAT 3C AULA 9 – 6
7 7 2 3 3 6 0 1 3
5 7 3 1 2 6 = 2 2 4
6 7 2 1 4 6 1 1 1
= 0 4 + 6 6 + 0 + 4 = 0
MAT 3C AULA 9 – 7
(1)
2 3 7 9 10 12 1 2 2
1 1 2 3 3 4 = 2 5 7
3 5 9 15 13 20 2 6 7
= 35 + 28 + 24 20 42 28 = 3
MAT 3C AULA 9 – 8
1 2 2 35 4 0 4 7 6 1 4 1
2 5 0 7 = 6 6 2 6 10 9 0 8 1
3 6 2 103 4 2 4 5 6 1 2 1
2 3 2 5
= 8 + 4 + 0 8 + 2 + 0 = 6
MAT 3C AULA 9 – 9
2 3 2 33 2 2 4 3 0 5 2 3
1 1 2 0 = (-1) 4 2 3 4 4 0 6 1 4
2 4 3 43 4 2 8 2 0 7 6 2
4 3 2 2
·
= (1) (10 56 108 + 21 + 120 + 24) (1) (9) = 9
MAT 3C AULA 9 – 10
detA2 = det(2At) (detA)2 = (2)3 det A detA = 8
2 3 1 33 2 1 2 3 4 1 3 1
1 1 1 2 = (-1) 2 1 3 1 2 2 (-1) 3 4 0
1 2 3 25 3 2 3 3 6 2 5 3
3 5 2 3
· ·
= 12 + 0 + 15 + 8 + 0 27 (1) (16) = 16
MAT 3C AULA 9 – 11
I)
2 3 1 3
( 1) 3 4 0 5
1 2 3 2
3 5 2 3
·
II) det(3A) = 18
32 detA = 18 detA = 2
det(ABt) = 6 detA detB = 6
2 detB = 6 detB = 3
III) 2 6 + x2 12 + x x = 0 x2 16 = 0 x = ± 4
MAT 3C AULA 9 – 12
(1)
m m 1 p 1 1 1
m m 1 1 1 r 1
m m(1 s) 1 1 s 1 1 s
(1)
0 p 0
0 0 r
ms s s
(1) (mspr) mprs
MAT 3C AULA 9 – 13
2 2 2 3
4 9 4 9
1 0 3 1
2 4 1 5
(1)
2 4 2 8 3 10
4 8 9 16 9 20
1 6 0 12 1 15
= (1)
6 10 13
4 7 11
7 12 16
(1) 672 + 770 + 624 637 792 640 2 066 2 069 = 3 (1) = 3
MAT 3C AULA 9 – 14
2 0 2 5
1 2 1 2
2 4 3 8
1 2 3 2
(1)
4 4 1
0 1 4
4 4 0
= 64 + 4 64 = 4
MAT 3C AULA 9 – 15
(1)
2 1 0
1 1 3
2 1 3
= 6 6 + 6 + 3 = 3
x(x 1) 2x 2x2 + (x 1)2 3 x2 x 2x x2 + x2 2x + 1 3
x2 5x + 4 0 x’ = 4 e x’’ = 1
MAT 3C AULA 9 – 16
1 + x2 x + 1 + x2 x = 2x2 2x = 0
x(2x 2) = 0 x = 0 e x = 1
detA (x = 1
2) = 2 (
1
2)2 2
1
2 =
1
2 1 =
1
2
MAT 3C AULA 9 – 17
(1)
x
x x
x x
0 0 2
1 2 0 2
0 2 2 2
= 2x x
x
0 0 1
1 2 0 1
0 2 2 1
= 0
2x (1 + 2x)(2 2x) = 0 2x 0 ou 2 2x = 0 2x = 2
MAT 3C AULA 9 – 18
(1)
0 0 c
a 0 c
1 b c
= +abc
MAT 3C AULA 9 – 19
(1)
0 0 6 x
1 x 0 6 x
0 2 x 6 x
= (6 x)
0 0 1
1 x 0 1
0 2 x 1
= (6 x) (1 + x)(2 + x) = 0
x = 6 ou x = 1 ou x = 2
S = {1; 2; 6}
MAT 3C AULA 9 – 20
a) detA > 0
16 x3 36x 64x > 0 16 x3 100x > 0
x(16x2 100) > 0
b) B A C =
2 2 0 3
2 2 6 4
0 6 32 1
·
6 8 2
6 8 6 = 8
24 32 56
MAT 3D AULA 7 – 1
4 36 + 2a = 180
2a = 180 144 2a = 36 a = 18°
MAT 3D AULA 7 – 2
Para que o polígono seja invariante por rotações em torno do seu centro, basta os ângulos formados pelos
três eixos que partem do centro (dois a dois) serem iguais, ou seja, cada ângulo deve valer 120º .
Alternativa D
MAT 3D AULA 7 – 3
Na utilização de octógonos, forma-se entre eles um QUADRADO.
Alternativa B
MAT 3D AULA 7 – 4
( V ) Número de vértices é sempre igual ao número de lados. VERDADEIRO
( V ) Dodecágono possui 12 lados
( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais
( V ) Polígono regular: Lados iguais e ângulos iguais
MAT 3D AULA 7 – 5
Si = (n 2) 180 Si = (20 2) 180
Si = 18 180 Si = 3 240°
MAT 3D AULA 7 – 6
Si = (12 2) 180 Si = 1 800°
d = n(n 3)
2
d =
12 9
2
· d = 54
MAT 3D AULA 7 – 7
Si = 2 520
(n 2) 180 = 2 520 n 2 = 14 n = 16
d = 16 13
2
· d = 104
MAT 3D AULA 7 – 8
ai = (5 - 2) 180
5
· ai =
540
5 ai = 108
MAT 3D AULA 7 – 9
ae = 20 ai = 160°
160 = (n - 2) 180
n
· 20n = 360 n = 18
d = 18 15
2
· d = 135
MAT 3D AULA 7 – 10
d = 9
n(n - 3)
2 = 9 n2 3n 18 = 0
S = 3
P = 18
x’ = 6 e x’’ = 3
Si = (n 2) 180 Si = 4 180 Si = 720°
MAT 3D AULA 7 – 11
Si = 2 520° n = 16
d = 16 13
2
· d = 104
16
2
d = 104 8 96 não passam pelo centro
MAT 3D AULA 7 – 12
ai ae = 150°
(n 2) 180 360 -
n n
· = 150
180n 360 360 = 150n
30n = 720 n = 24
d = 24 21
2
· d = 252
ae = 360
24 ae = 15°
MAT 3D AULA 7 – 13
a + b + c + d + e =
5 36 = 180°
MAT 3D AULA 7 – 14
I) d = n
n(n 3)
2
= n n2 3n 2n = 0
n2 5n = 0
n = 0 ou n = 5
II)
d = 4n
n(n 3)
2
= 4n n2 3n = 8n n2 11n = 0
n = 0 ou n = 11
III)
n(n 3)d n 32 = = n n 2
MAT 3D AULA 7 – 15
MAT 3D AULA 7 – 16
( 3)
2
3
2
( 3)
d
n
n n
n
n
n PAR
n ÍMPAR
Alternativa B
MAT 3D AULA 7 – 17
Si = (n 2) 180°
1 900 + = (n 2) 180
= 180n 2 260°
Como é ângulo interno de um polígono 0 < < 180°
0 < 180n 2 260 < 180
2 260 < 180n < 2440
2 260
180 < n <
2 440
180
12,5 < n < 13,5 n = 13
Então: = 180 13 2 260
= 2 340 2 260 = 80°
MAT 3D AULA 7 – 18
n2 3n = 2 99 n2 3n 198 = 0
S = 3 e P = 198
2 2 - 3n(n 1) -3 (1+1) n 2 > 2
2
·· n2 + 2n + 1 3n > 2n2 6n
n2 + 5n – 2 > 0
D(n) = {2, 5, 9, 14, ...}
MAT 3D AULA 7 – 19
Resolvido no material
MAT 3D AULA 7 – 20
Resolvido no material
MAT 3D AULA 8 – 1
A mediana de um triângulo divide-o em dois triângulos de áreas iguais.
Alternativa D
MAT 3D AULA 8 – 2
A1 = A2
A3 = A4
A5 = A6
A6 = A5 Pergunta A1 = A6?
A1 = A6 = A3
MAT 3D AULA 8 – 3
( V ) Ponto de encontro das medianas: Baricentro
( F ) Ponto de encontro das mediatrizes: Circuncentro
( F ) Ponto de encontro das bissetrizes: Incentro
( V ) Ponto de encontro das alturas: Ortocentro
MAT 3D AULA 8 – 4
64 > 9 + 49
MAT 3D AULA 8 – 5
2 < a < 28
MAT 3D AULA 8 – 6
Altura: Segmento perpendicular traçado de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto.
Alternativa D
MAT 3D AULA 8 – 7
MAT 3D AULA 8 – 8
MAT 3D AULA 8 – 9
MAT 3D AULA 8 – 10
MAT 3D AULA 8 – 11
20 70 90o o oy y
Alternativa C
MAT 3D AULA 8 – 12
MAT 3D AULA 8 – 13
(3)18 12 30 18 6 = = = = BE = 15
BE EC 25 BE 5
18 9 27 9 27 = = = = DE = 5
BD DE 15 DE 15
MAT 3D AULA 8 – 14
CG = 2
3cm
CM2 = 9 + 4 CM = 13
MAT 3D AULA 8 – 15
1612
32
·
= 32
CGD AGD 2 QR AR QR 6
= = 6 15 AR 15
AGE BGE
164
323 = 2 3
·
ABC = 2 64 32
+ 3 3
ABC = 64
MAT 3D AULA 8 – 16
No ABC
15 20 =
x 14 - x 210 15x = 20x
35x = 210 x = 6
QR AR QR 6 = =
6 15 AR 15 = 0,4
MAT 3D AULA 8 – 17
MAT 3D AULA 8 – 18
Resolução no material
MAT 3D AULA 8 – 19
Resolução no material
MAT 3D AULA 9 – 1
2,2
0,8 4 =
x
3,2 x = 8,8 3,2 = 5,6 metros
MAT 3D AULA 9 – 2
2 d'
b d b 3 = = a c a c
b 2d' 2 = d = d'
a 3c 3
·
·
MAT 3D AULA 9 – 3
S = (30 + 60) 5
2
· S = 225
x h 15 = x =
15 4h 4
y 2h 30 = y =
15 4h 4
z 3h 45 = z =
15 4h 4
Comprimento mínimo:
2 15
4 + 2
30
4 + 2
45
4 + 30 5 + 2 15 = 225 cm
MAT 3D AULA 9 – 4
Como a sombra do poste é de 3 m, ela é 5 vezes menor que a sombra do poste.
Logo, a altura do poste é também 5 vezes a altura do poste, H = 5 3 H = 25 m.
MAT 3D AULA 9 – 5
1 6 =
10 000 x x = 60 000 cm 100 = 600 m.
MAT 3D AULA 9 – 6
MAT 3D AULA 9 – 7
4 6 4 x x 6 20 = 12 + 8
2 2 2
· · ·
100 = 24 + 6x + 4x + 24 100 48 = 10x
52 = 10x x = 5,2 m.
MAT 3D AULA 9 – 8
0,1x = 1,8 x = 18
MAT 3D AULA 9 – 9
Analisando a figura 1
a 1 =
a + z 1 + b a + ab = ax x = 1b
Analisando a figura 2
a a + y =
b b + 1 ab + a = ab + by a = by y =
a
b
MAT 3D AULA 9 – 10
MAT 3D AULA 9 – 11
8 + 16 + 9,6 + 10,8 = 44,4 cm
MAT 3D AULA 9 – 12
DA = x
5 FD =
3x
5 BF =
x
5
x 1
DE FG5 = 4x FG DE
5
· = 4
MAT 3D AULA 9 – 13
01)
2
1
2
AAB 1 1 1 = = =
CD 3 A 3 9
02) 10 5
2
· = 25
04) 10x 1
= 930 20 x
9x = 60 3x 12x = 60 x = 5
08) Sim, na proporção de 3 para 1
16) 30 15
2
· = 225
MAT 3D AULA 9 – 14
3 x =
x 5 x2 = 15
MAT 3D AULA 9 – 15
PC PA CA = =
PA PB AB
x y 6 3 = =
y x 7 8 4
x = 3
4y y =
3(x 7)
4
x = 3
4
3(x 7)
4
16x = 9x + 63
7x = 63 x = 9
MAT 3D AULA 9 – 16
h 1 =
10 x 5 x = 10 5h
x 5 10 5h 5 = =
h 4 4 4
40 20h = 5h 25h = 40 h = 1,6
MAT 3D AULA 9 – 17
GA//JE FJE ~ FGA
JE EF 1 = =
GA AF 5 JE =
1
5GA
HC//GA DHC ~ DGA
HC CD 1 = =
GA AD 3 HC
1
3GA
1GA
HC 53 = = 1JE 3
GA5
MAT 3D AULA 9 – 18
S = p r 6 4 6 + 5 + 5 14 3
= r r = 2 2 16 2
·
H + r + r = 4 h = 4 3 h = 1
ABC ~ ADE
6 4 =
DE 1 DE = 1,5 cm
MAT 3D AULA 9 – 19
Resolução no material
MAT 3D AULA 9 – 20
Resolução no material
MAT 3E AULA 7
MAT 3E AULA 7 – 1
triângulo pitagórico: 3, 4 e 5
tan α =
c.oposto
c.adjacente=
3
4
MAT 3E AULA 7 – 2
( F ) sec x possui os mesmos sinais que cos x;
( V ) cossec x possui os mesmos sinais que sen x;
( F ) cosx e sec x são NEGATIVOS no 3º quadrante;
( V ) cosx e cossec x são NEGATIVOS no 3º quadrante;
( V ) tg x e cotg x possuem os mesmos sinais em TODOS os quadrantes;
MAT 3E AULA 7 – 3
2 2 210 6 8
60,6
10
8cos cos 0,8
10
60,75
8
10sec sec 1,25
8
10cossec cossec 1,67
6
8cot cot 1,33
6
c c cm
senx senx
x x
tgx tgx
x x
x x
gx gx
Alternativa C
MAT 3E AULA 7 – 4
y = 1 cos2 x y = sen2 x
MAT 3E AULA 7 – 5
sen(A) = 0
A = 0o cos A = 1
A = 180º cos A = -1
Alternativa D
MAT 3E AULA 7 – 6
Sen2 x + cos2 x = 1 cos2 x = 1 9
25
Cos2 x 16
25 = cosx =
4
5
MAT 3E AULA 7 – 7
221 M + M 2 = 1
1 M2 + M2 + 4M + 4 = 1 4M = 4 M = 1
MAT 3E AULA 7 – 8
secx = 1 13
= cosx 12
cos x = 12
13 4º quadrante
sen2x = 1 144
169 sen2x =
25
169 semx =
5
13
MAT 3E AULA 7 – 9
Sec2x tg2x sen2x
sen2x
2
2
cos x
cos x sen2x 1 sen2x cos2x
MAT 3E AULA 7 – 10
1 m 4 1 3 m 5
MAT 3E AULA 7 – 11
1 1
= 1cos 10
= 1
MAT 3E AULA 7 – 12
senx = 5
cosx cos x =
senx
5
sen2x = 1 cos2x
sen2x = 1 2sen x
5
5sen2x + sen2x = 5 sen2x = 5
6
MAT 3E AULA 7 – 13
cossecx = 1
sen e secx =
1
cos
sen2x = 1 1
9 sen2x =
8
9
semx = 8
9 semx =
2 2
3
cossex = 2
2
3 3 2 =
42 2
·
·
MAT 3E AULA 7 – 14
2 1 sen 1 sen1 - cos =
1 - sen θ 1 sen
= sem + 1
MAT 3E AULA 7 – 15
y = (1 cos2)(1 sen2
) cos2 sen2
y = 1 sen2 cos2
+ cos2 sen2
cos2 sen2
y = sen2 sen2
MAT 3E AULA 7 – 16
2cos x
cosx sen x
senx·
cosx
MAT 3E AULA 7 – 17
4
4
4 4
sen x1 -
cos x cos - sen x
4 4
4 4 4
cos x - sen x 1
cos x cos x - sen x· = sec4x
MAT 3E AULA 7 – 18
2 2a cosu(cos v + sen v = a cosu
MAT 3E AULA 7 – 19
senx = 3cosx
4 e senx =
3
5
sen2x + cos2x = 1 2 29cos x 16cos x
+ 16 16
= 1
cos2x = 16
25 cosx =
4
5
y = 4
5 (
3
5) y =
1
5
MAT 3E AULA 7 – 20
cos2x = 1 1
9 cosx =
2 2
3
y =
11 2 2 3 - 3 3 2 2
31 - 3
·
y =
2 2 2 -
9 42
y = 2
9 +
2
8
y = 8 2 + 9 2
72
y = 2
72
MAT 3E AULA 08
08.01
tgx = 1
3
sec2x = 1 + tg2x sec2x = 1 + 1
3
sec2x = 4
3 secx =
2
3=
2 3
3
08.02
sec2x = 1 + 3 secx = 2
08.03
y = 1 cos2 +
2 2
2 2
cos cos -
sen sen
cos2
y = sen2 +
2 2
2
cos (1 - cos )
1 - cos
·
y = 1
08.04
cosx = 8
10 e senx =
6
10
tgx = 6
8 =
3
4= 0,75
08.05
sen2x + cos2x = 1
cos2x = 1 21 - m
4 cos2x =
24 - (1 - m )
4
cos2x = ± 23 + m
2
08.06
E =
1 - senx
senx1
- cosxcos x
E =
2
2
1 sen x
senx
1 cos x
cos x
E = 2
2
cos x cosx
senx sen x· E =
3
3
cos x
sen x = cotg3x
08.07
E = Cos2x cossec2x
E = Cos2x 2
1
sen x
E = cotg2x
08.08
y = 2
2 2
cot g x 1 -
cossec x sec x
y =
2
2
2
cos x
sen x1
sen x
cos2x
y = 0
08.09
m = senx cosx
+ cosx senx
senx cosx m = 2 2sen x + cos x
senx cosx
·
senx cosx
m = 1
08.10
1 1
senx cos x + 1 1
cos x senx
= 5
cosx senx +
senx cosx = 5
2 2cos x + sen x
senx cosx· = 5
sex cosx = 1
5
[sem(x) + cos(x)]2 = 1 + 2 1
5
[sem(x) + cos(x)]2 = 5 + 2
5 =
7
5
08.11
senx = 4
5 cosx =
3
5 tgx =
4
3
9 (1 + tg2 + tg2)
9 (1 + 2 16
9) 9 + 32 = 41
08.12
cosx = 4
5 senx =
3
5
y = 12
5 5 -
4 34
1 - 3
y = 12
15 20
123 4
3
y = 5
1
3
y = 15
08.13
f(60o) = 1
2 2 +
3 2
2 3·
f(60o) = 1 + 1 = 2
08.14
y = o o o
o o o
cos360 + 2 tg45 - sen180
cot g90 cossec90 + sec720
·
·
y = 1 + 2 - 0
0 1 + 1· y = 3
08.15
cos
sen = k cos = k sem
sen2 + cos2
= 1
sen2 + k2 sen2
= 1
sen2 =
2
1
1 + k
y = 1 sen2 sen2 y = 1 2 sen2
y = 1 2 2
1
1 + k y =
2
2
1 + k - 2
1 - k
y = 2
2
k - 1
k + 1
08.16
y = 2 2
2 2
tg - tg
sec sec
·
y =
2 2 2 2
2 2
2 2
sen cos - sen cos
cos cos
1
cos cos
· ·
·
·
y = sen2 cos2
sen2 cos2
y = (1 cos2)(1 sen2
) sen2 cos2
y = 1 sen2 cos2
+ sen2 cos2
sen2 cos2
y = cos2 cos2
08.17
* senx = cos(90 x)
* sen280 = cos2(90 80) = cos210
Sen270 = cos2(90 70) = cos220
Sen260 = cos230
Sen250 = cos240
y = (sen210 + cos210) + (sen220 + cos220) + (sen230 + cos230) + (sen240 + cos240) +
(sen250 + cos250)
y = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 y = 5
08.18
Sen2x + 2 senx cosx + cos2x = a2
1 + 2b = a2
08.19
y = (cosx senx) 1 1
- senx cosx
+ 2
y = (cosx senx) cosx - senx
senx cosx
·
+ 2
y = 2 2cos x - 2senx cosx + sen x + 2 senx cosx
senx cosx
· · ·
·
y = 1
senx cosx·
y = cossecx sec
08.20
*Pertence ao 3º Q
* cosx = 2
2
1sec = = 2
cosx
Senx = 2
2
21 + 1 +
2
1 + 1
=
2 - 2
2
MAT 3E AULA 9
09.01
y = cos30o = 3
2
09.02
180 80 = 100 cos80o
09.03
y = sen30o 2 cos60o tg 45º
y = 1
2 2
1
2 1
y = 1,5
09.04
sec100 sec80
100 80
cos100 cos80
100 80
cossec100 cossec80
cot 100 cot 80
o o
o o
o o
o o
o o
o o
F
V sen sen
V
V tg tg
F
F g g
09.05
09.06
(V) 0º + 30º / 180º – 30º
(F) 0 + 25º / 180º + 25º = 205º
(V) 0 + 20º / 360º – 20º
(V) A = 180º - B
(V) cos θ = 1 para ambos
(V) tan θ < 0 e de mesmo valor.
09.07
2 340 360 = 6 com 180 de resto
Sen2 340 = sem 180o = 0
09.08
y = cos30o sem60o tg45o cos90o
y = 3 3
- 2 2
1 0
y = 3 1
09.09
cos60o + sen270o + tg45o
1
2 1 + 1
1
2
09.10
1 200 360 = 3 com resto de 120
cos1200 = cos120o = cos60o = sen30o
09.11
b = a a + b =
09.13
N =
1
3 1 - 4 + 2 12
26
4
N = 3 + 2 - 2
3
N = 1
[2; 1]
09.14
* cossec2460o = 300o
* sec1110o = 30o
*cotg2205o = 45o
A =
2 2
3 3
1
·
A = 4
3
09.15
92 88
178 88
268 88
272 88
o o
o o
o o
o o
I tg tg VERDADEIRO
II tg tg FALSO
III tg tg VERDADEIRO
IV tg tg VERDADEIRO
Alternativa D
09.16
A (cosx , senx) para qualquer quadrante, então:
A = 30º B = 210º
60º Sentido Horário B´ = 150º 3 1
´ ,2 2
B
Alternativa A
09.17
Ang. Complementares
cos88o = sen2o
cos86o = sen4o
... Cos44o = sen46o
cos22 = cos2178 = cos2182 = cos2358
cos24 = cos2176 = cos2184 = cos2356
... cos288 = cos292 = cos2268 = cos2272
ENTÂO
cos20o + cos22o + cos24o + cos26o + ... + cos2358o + cos2360o = B
B = cos20o + cos290o + cos2180o + cos2270o + cos2360o
+ 4 (cos22o+ cos24o + cos24o + ... + cos244o + sen244o + ... + sen24o + sen22o)
B = 3 + 4 (22)
B = 3 + 88 B = 91
09.18
3
- 13 + 2 32 =
23 3
3
·
3 3 + 6 3
2 3 3·
9 + 6 3
6
3 + 2 3
2
09.19
1 410 360 = 3 com 330 de resto
y =
2 3 -
33
1 3 +
2 2
y = 6 + 3 2
3 3 3 - 1
·
y = 3 2
3 3 - 1·
y = 6 3 + 3
3 - 3 3 + 3
·
y = 6 3 + 3
9 - 3
y = 3 + 3
09.20
a) 830 360 = 2 com 110o de resto
1 195 360 = 3 com 115o de resto
Sen830o
b)
535 360 = 1 com 175o de resto
360 175 = 185o
cos190o