3a relatividade

32
Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física Ensino Médio, 3 ª Série RELATIVIDADE

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Page 1: 3a  relatividade

Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física

Ensino Médio, 3ª Série

RELATIVIDADE

Page 2: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Sumário

1. Introdução: Motivações para uma nova teoria

2. Cinemática relativística

2.1 Simultaneidade

2.2 Conceito de espaço-tempo

2.3 Transformações de Lorentz

2.4 Contração de comprimentos

2.5 Dilatação do tempo

3. Quantidade de movimento e massa relativística

4. Energia relativística

5. Neutrinos mais rápidos que a luz?

Page 3: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

1. Introdução: Motivações para uma nova teoria

1905

A mecânica de Isaac Newton estava

bem estabelecida nas suas três leis

e, juntamente com a eletrodinâmica

e a termodinâmica, a física parecia

completa. Entretanto, existiam

problemas que tal mecânica não

conseguia explicar...

... surge então a necessidade de ver

a mecânica de uma nova forma, e

Albert Einstein cria a Teoria da

Relatividade Especial (ou restrita)

em 1905, propondo assim novos

conceitos sobre espaço e

tempo, sendo este último tratado

agora como uma nova dimensão.

Imagens: (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac Newton / Public Domain e (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints

& Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.

Page 4: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Uma famosa inconsistência da mecânica clássica (newtoniana) mostrou-se no

eletromagnetismo, pois tais equações não eram invariantes, mediante às

transformações de Galileu:

Transformações de Galileu

x

y

z

v

y‟

z‟

x‟

x‟ = x – vt

y‟ = y

z‟ = z

t‟ = t (tempo)

O referencial em verde se move com

velocidade v, na direção-x, em relação

ao referencial em preto.

Page 5: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

A transformação de Galileu nos mostra que o tempo transcorrido de um evento

arbitrário é o mesmo para qualquer referencial, isto é, na mecânica newtoniana

todos os observadores são simultâneos.

Exemplo:

v

Suponha que o relógio

do menino que

observa o trem esteja

sincronizado com o do

seu amigo que viaja

no mesmo. Ambos

decidem cronometrar

a duração de uma

„‟bozinada‟‟ do trem. O

que se observa é que

no relógio de ambos

serão registrados os

mesmos valores !!

Imagem: Mia5793 / Public Domain.

Page 6: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Voltando ao problema clássico, como as leis físicas devem valer em

qualquer referencial inercial, tal como o eletromagnetismo, uma alternativa

usada para explicar essa inconsistência foi o fato de que as ondas

eletromagnéticas (a luz, por exemplo) propagavam-se num referencial

privilegiado, um meio que preenchia todo universo denominado éter.

Um meio material que se move com velocidade v em relação ao éter seria

capaz de arrastar o mesmo. Assim, o problema do eletromagnetismo

estaria resolvido, pois não depende mais de referencial, já que se propaga

em um privilegiado.

Porém, em 1887, os físicos A. A. Michelson e E. W. Morley questionaram a

existência do éter, realizando um experimento que ficou conhecido como a

Experiência de Michelson – Morley.

Essa experiência tratava-se de medir a velocidade da terra em relação ao

éter, usando um aparelho inventado por Michelson, denominado

Interferômetro ótico.

Page 7: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Uma versão atual do interferômetro de Michelson

Imagens: (a) FL0 at de.wikipedia / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported e(b) Alex-engraver / Public Domain.

Page 8: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

De uma maneira bem sucinta, temos uma fonte que emite um feixe de luz

concentrado, no qual é dividido em dois, no divisor de feixe. Eles seguem

direções perpendiculares, onde são refletidos por espelhos, chegando ao

detector.

No Youtube, existem vários vídeos que reproduzem a experiência de Michelson –

Morley, dentre eles:

http://www.youtube.com/watch?v=r_EdsNf-ljM

http://www.youtube.com/watch?v=4KFMeKJySwA&feature=related

Se existisse o éter, haveria uma diferença no tempo de percurso dos feixes.

Entretanto, observou-se que não! A partir disso desprezou-se a ideia da

existência do éter.

Outra inconsistência da mecânica newtoniana é o fato dela não prever respostas

corretas quando é aplicada a partículas muito rápidas, com velocidades próximas

a da luz. O que se mostra experimentalmente é que a velocidade de tais

partículas nunca ultrapassa a velocidade da luz, enquanto na mecânica

newtoniana não existe esse limite.

Diante de tudo isso, surge a necessidade de uma nova teoria, e é Albert Einstein

que propõe, em 1905, a famosa Teoria da Relatividade Especial.

Page 9: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Einstein inicia seu desenvolvimento da teoria da relatividade enunciando os dois

famosos postulados da relatividade especial:

2. Cinemática relativística

“ As leis da física são as

mesmas em qualquer

referencial inercial.’’

“ A velocidade da luz tem o

mesmo valor em qualquer

referencial inercial.”

Imagem

: F

oto

gra

fia d

e A

lbet

Ein

tein

/

Doris U

lmann / L

ibra

ry o

f C

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Prints

& P

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ivis

ion,

[repro

duction n

um

ber

LC

-US

ZC

4-

4940] / P

ublic

Dom

ain

.

Page 10: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

A velocidade da luz foi medida experimentalmente, no vácuo, obtendo o valor c =

3.108 m/s.

Um referencial inercial é aquele que está em repouso ou em movimento retilíneo

uniforme (MRU) em relação a um dado observador. Por exemplo, a terra é um

referencial inercial para eventos locais e com curto intervalo de tempo. Um carro

em velocidade constante é um referencial inercial, mas quando faz uma curva,

deixa de ser, pois se torna um referencial acelerado.

Como diz o segundo postulado, o valor c é

o mesmo para qualquer referencial inercial.

Isso quer dizer que se você pudesse viajar

com metade da velocidade de um pulso de

luz (c/2), no mesmo sentido, esse ainda iria

se mover com velocidade c em relação a

você, e não c/2, como diz a mecânica

clássica !!

Page 11: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

2.1 Simultaneidade

No exemplo do menino que observa o trem, concluímos que todos os observadores

são simultâneos. Se formos analisar um trem que se move com uma velocidade muito

alta (por exemplo, 3/5 da velocidade da luz), será que os observadores continuam

simultâneos? Einstein mostrou que não !!

Existe uma excelente simulação no site:

http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-e-

Contemporanea/Simultaneidade

Nele é apresentado um exemplo bem prático (proposto por Einstein na época) que

Dois eventos que são simultâneos para um observador

em certo referencial inercial, não serão simultâneos

em nenhum outro referencial que esteja se movendo

em relação ao primeiro.

Page 12: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

2.2 Conceito de espaço-tempo

Nosso senso comum é baseado na mecânica clássica, isto é, espaço e tempo são

grandezas independentes, sendo o tempo absoluto para qualquer referencial:

x

y

z

Nosso mundo é “tridimensional” (3d)

tempo

Tudo o que você vê, faz, movimenta etc,

é limitado nessas 3 dimensões.

espaciais

Existe um „‟relógio

universal‟‟ que

cronometra todos os

eventos em todos

referenciais inerciais.

Imagem

: W

oute

rhagens

/ C

reative

Com

mons

Attribution-S

hare

Alik

e 3

.0 U

nport

ed.

Page 13: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Entretanto, para objetos que se movem com velocidades altíssimas (frações da

velocidade da luz, por exemplo) o tempo não é mais absoluto, segundo a relatividade

especial:

x

y

z(3d)

Na relatividade

especial, não existe

espaço e tempo

separados, eles agora

formam uma

“entidade”: o espaço-

tempo de Minkowski

(ou quadridimensional)

(1d)

+ =

Agora, cada referencial tem uma

medida de tempo (“um relógio”), e

assim o tempo é tratado como uma

nova dimensão, ou seja, o tempo é

relativo !!

4 dimensões

Imagem

: W

oute

rhagens

/ C

reative

Com

mons

Attribution-S

hare

Alik

e 3

.0 U

nport

ed.

Page 14: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

2.3 Transformações de Lorentz

Como seria a forma das transformações de Galileu, no contexto da relatividade

especial?

Isto é, se o tempo é relativo como vimos, como relacionar intervalos de tempo

medidos em diferentes referenciais inerciais? E as posições?

A resposta está nas transformações de Lorentz:

x

y

z

v

y‟

z‟

x‟

x‟ =

y‟ = y

z‟ = z

t‟ =

22 /1 cv

vtx

22

2

/1

)/(

cv

xcvt

transformações de Lorentz

Page 15: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

É bom salientar que, para demonstrar tais transformações, usam-se argumentos

matemáticos mais sofisticados que estão disponíveis em livros de nível universitário.

Nota-se que, para baixas velocidades (v<<c), o termo v / c é desprezado das

equações, e assim as transformações de Lorentz coincidem com as transformações

de Galileu !! Isso significa que, em baixas velocidades, a mecânica newtoniana é

suficiente para explicar eventos, mas falha em altas velocidades !

Há duas consequências imediatas das transformações de Lorentz: contração de

comprimentos e a dilatação do tempo.

2.4 Contração de comprimentos

x

y

z

y‟

z‟

x‟

v

x1‟ x2‟

x1 x2

Page 16: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Considere uma régua que se move juntamente com o referencial em verde.

Das transformações de Lorentz, tiramos que

Fazendo x2‟ - x1‟ e considerando t1= t2 (pois no sistema em preto, x1 e x2 foram

medidos no mesmo instante de tempo), teremos:

x2‟ - x1‟ =

E ainda, chamando x2‟ - x1‟ = L‟ (comprimento da régua no referencial em verde ou

comprimento próprio) e x2 - x1 = L (comprimento da régua no referencial em preto),

teremos:

Note que para v≠0, L é sempre menor que L’ !!

22

11

/1 cv

vtx

22

22

/1 cv

vtxx1‟ = x2‟ =

22

12

/1

)(

cv

xx

L‟ = 22 /1 cv

Lcontração de comprimento

2

2

1'c

vLL

Page 17: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Desta expressão, concluímos que:

“ O comprimento de um corpo é máximo, quando medido em

repouso em relação ao observador. Quando ele se move com

uma velocidade v relativa ao observador, seu comprimento

medido contrai-se na direção do seu movimento pelo fator

enquanto as dimensões perpendiculares à direção do

movimento não são afetadas.‟‟

22 /1 cv

É importante ressaltar que não há uma contração real do comprimento (física),

ele continua o mesmo, o que muda é sua medida quando feita de referenciais

diferentes.

Para facilitar a compreensão sobre contração de comprimentos, uma animação

bem descontraída está disponível no site:

http://www.youtube.com/watch?v=DvwtT6EHVs0&noredirect=1

Page 18: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Exemplo 1

Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma

estação orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 . 108 m/s. Durante a

passagem, em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que as

extremidades dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as extremidades

da plataforma (1). Determine:

A) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a nave

abandonar toda a plataforma;

B) O comprimento de repouso da nave;

C) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.

Resolução

A) Este é um problema de cinemática, logo para L=100m e v = 2,0 . 108 m/s teremos:

ssssm

m

v

Lt 76

8

2

810.510.5,0

10.2

10

/10.2

100

Page 19: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

B) O comprimento de repouso da nave será o comprimento próprio (L‟), pois o

observador O está medindo o comprimento L já contraído pelo efeito relativístico. Como

sabemos:

assim

Que é um comprimento maior, como se esperava.

C) Neste caso, o alienígena O’ verá a plataforma contraída do comprimento de repouso

L‟=100m. Assim:

2

2

1'c

vLL 22 /1

'cv

LL

mL 1347453,0

100

9

5

100

9

41

100

10.9

10.41

100

)10.3(

)10.2(1

100'

16

16

28

28

mc

vLL 75)7453,0.(100

)10.3(

)10.2(1.1001'

28

28

2

2

Page 20: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

2.5 Dilatação do tempo

Considere o mesmo exemplo da nave alienígena. Se o alienígena O‟ quisesse

medir o tempo que a nave gasta para passar pelo observador O que está na plataforma,

ele mediria:

onde L’ , neste caso, vale 134m (comprimento próprio) e v é a velocidade da nave. Por

outro lado, se o observador O quisesse fazer esta mesma medida, o valor obtido por ele

seria:

é chamado de tempo próprio, porque tal observador pode obtê-lo com um único

cronômetro. L , neste caso, é o comprimento contraído do trem (100m). Destas duas

equações, tiramos que:

, como , então:

v

Lt

'

v

Lt '

't

'

'

L

L

t

t2

2

1' c

v

L

L

2

2

1

'

c

v

tt

Dilatação do tempo

Page 21: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Note que para v≠0, Δt é sempre maior que Δt’ !!

“Um relógio avança com a máxima velocidade quando está em

repouso em relação ao observador. Quando se move com uma

velocidade v relativa ao observador, a sua velocidade de

avanço é diminuída pelo fator ‟‟ 22 /1 cv

Exemplo 2 : Paradoxo dos Gêmeos

Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40

anos de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência

espacial americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é

realizada numa nave que se move a uma velocidade de 2.108 m/s. O tempo gasto na

viagem cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta

voltar, a sua idade será a mesma que a do seu irmão?

Page 22: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Resolução

Como vimos na dilatação do tempo, o tempo próprio sempre é menor. Assim, o tempo

passará mais lento para o astronauta do que para seu irmão. Chamando Δt‟ o tempo de

viagem cronometrado pelo astronauta e Δt = 10 anos o tempo da viagem cronometrado

pela NASA (referencial da terra) temos que:

Logo ,concluímos que o astronauta estará com 46 anos após a viagem, enquanto seu

irmão terá 50 anos, ou seja, o astronauta estará mais novo que seu irmão gêmeo !!

2

2

1

'

c

v

tt

anos636,0.109

76,51.10

)10.3(

)10.4,2(1.101'

28

28

2

2

c

vtt

Page 23: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

3. Quantidade de movimento e massa relativística

Sabemos que um corpo de massa m e módulo de velocidade v tem a seguinte

quantidade de movimento (p):

Para que esse princípio seja válido também na relatividade, devemos corrigir o termo de

massa, e a expressão da quantidade de movimento relativística será:

Onde m0 é a massa de repouso deste corpo, isto é, sua massa medida por um

referencial que está em repouso em relação ao mesmo. Note que para velocidades

muito menores que a da luz (c), a expressão da quantidade de movimento se reduz à

forma clássica: .

mvp

2

2

0

1c

v

vmp

vmp 0

Page 24: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Assim como a medida do comprimento se reduz e a do tempo se amplia, a massa

de um corpo aumenta com a velocidade em relação a determinado referencial.

A expressão relativística da massa m de um corpo, observando a expressão da

quantidade de movimento relativística, será:

É de se notar desta expressão, que, se formos aumentando a velocidade da

partícula de tal forma que v = c, o denominador será zero e, assim, sua massa

tenderia a infinito, algo sem sentido físico. Isso reforça de uma forma mais

concreta a ideia:

2

2

0

1c

v

mm Massa relativística

A velocidade da luz no vácuo (c) é a maior velocidade

possível para um corpo.

Page 25: 3a  relatividade

7

6

5

4

3

2

1

0 0,20c 0,40c 0,60c 0,80c 1,0c

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Abaixo temos um gráfico da razão m / m0 em função da velocidade do corpo (em

múltiplos de c). Note que, à medida que o corpo vai atingindo a velocidade da luz,

sua massa aumenta até o limiar de massa infinita v=1,0c (situação em que a

função diverge para infinito):

m/mº

Velocidade

Page 26: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Exemplo 3

Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo v

= 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse

referencial:

A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?

B) A massa dessa partícula?

C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?

Resolução

A) Basta aplicar a equação do momento relativístico:

• Note que, pela física clássica, esta resposta seria apenas o numerador (480

kg.m/s), ou seja, 60% do valor relativístico.

smkg

c

v

vmp /.800

)6,0(

10.8,4

)10.0,3(

)10.4,2(1

10.4,2.10.2

1

2

28

28

86

2

2

0

Page 27: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

B) Basta aplicar a expressão da massa relativística:

C) Aplicando novamente a expressão da massa relativística para v = 2,9.108m/s:

Os resultados dos itens B e C mostram a tendência para o infinito da massa da

partícula. No item B, a massa da partícula é 1,7 vezes sua massa de repouso,

enquanto no item C, com um pequeno acréscimo na velocidade, sua massa se tornou

15 vezes maior que sua massa de repouso!

kg

c

v

mm 6

6

28

28

6

2

2

0 10.3,3)6,0(

10.2

)10.0,3(

)10.4,2(1

10.2

1

kg

c

v

mm 5

28

28

6

2

2

0 10.4,1

)10.0,3(

)10.9,2(1

10.2

1

Page 28: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

4. Energia relativística

Einstein demonstrou que massa e energia são duas quantidades equivalentes e

podem ser relacionadas pela famosa expressão:

em que m é sua massa, c a velocidade da Luz e E sua energia total. Por uma

substituição direta, temos as conversões:

Para a massa de repouso m0, existe uma energia de repouso associada que vale:

Se esse corpo se movimenta, ele adquire também uma energia cinética Ec, que pode

ser expressa levando em conta o acréscimo de massa Δm = m - m0 decorrente da sua

velocidade v, isto é:

2mcE

2

00 cmE

2

0

22

0

2 ).(. cmmccmmcmEC

kgjoule

jouleskg

17

16

10.1,10,1

10.0,90,1

Page 29: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Como: , podemos, então, obter uma expressão para energia

cinética relativística desse corpo:

Pode-se demonstrar que a energia expressa em termos da quantidade de movimento

relativística é dada por:

2

0

2

2

2

0

1

cm

c

v

cmEC

Energia total relativística (E)

Energia de repouso (E0)

22

0

2 )()( cmpcE

22

0 /1/ cvmm

Page 30: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

5. Neutrinos mais rápidos que a luz?

O experimento OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus) está

localizado a 1.400 metros de profundidade, no Laboratório Gran Sasso, na Itália. Um

detector ultra-sensível recebe um feixe de neutrinos disparado do laboratório CERN, na

Suíça - onde está o famoso LHC (Large Hadron Collider) - que está localizado a mais

de 730 quilômetros de distância.

O que os pesquisadores concluíram em 2011 é que os neutrinos estão chegando

60 nanossegundos antes do que deveriam. E isso só pode ser possível se eles

estiverem viajando a uma velocidade maior do que a da luz !! Seguem aí alguns links de

portais de notícias relatando tal acontecimento:

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=neutrinos-viajar-

mais-rapido-luz&id=010130110923

http://veja.abril.com.br/noticia/ciencia/neutrinos-voltam-a-superar-velocidade-da-luz

http://oglobo.globo.com/ciencia/neutrinos-mais-rapidos-que-luz-ainda-desafiam-einstein-

3266089

Page 31: 3a  relatividade

FÍSICA, 30 anoRelatividade

Quem tiver mais curiosidade e um pouco de habilidade em inglês pode observar o

trabalho original publicado:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1109/1109.4897.pdf

Esse acontecimento deixou uma pergunta na sociedade científica que não quer

calar: A relatividade especial precisa ser corrigida ou os Neutrinos são uma

exceção na natureza?

FIMIm

agem

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rofe

ssor

Alb

ert

Ein

ste

in, U

niv

ers

ity o

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The S

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onth

ly10:4

(1920),

418

-422, on

p.418

/Public

Dom

ain

Page 32: 3a  relatividade

Tabela de ImagensSlide Autoria / Licença Link da Fonte Data do

Acesso

3a (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac Newton / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg

26/03/2012

3b (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints & Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg

26/03/2012

5 Mia5793 / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Taking_the_train,_transit,_subway_or_underground..jpg

26/03/2012

7a (a) FL0 at de.wikipedia / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aufbau-Michelson-Interferometer.jpg

26/03/2012

7b (b) Alex-engraver / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Michelson_stellar_interferometer.svg

26/03/2012

9 Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints & Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg

26/03/2012

12 Wouterhagens / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwatch_A.jpg

26/03/2012

13 Wouterhagens / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwatch_A.jpg

26/03/2012

31 Professor Albert Einstein, University of Berlin / The Solar Eclipse of May 29, 1919, and the Einstein Effect," The Scientific Monthly 10:4 (1920), 418-422, on p. 418 /Public Domain

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_Einstein_photo_1920.jpg

26/03/2012