apostila didática- cálculo 2

Universidade Federal de Pelotas - UFPel

Glênio Aguiar Gonçalves

Cálculo Integral

APOSTILA DIDÁTICA

Glênio Aguiar Gonçalves - UFPel | IFM

2

CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 –––– PRIMITIVASPRIMITIVASPRIMITIVASPRIMITIVAS

PRIMITIVAS

Como procedemos para reverter a derivação? A resposta é a operação chamada primitivação, ou antiderivação ou ainda antidiferenciação.

1.1 DEFI�IÇÃO DE PRIMITIVA

A seguir, daremos a definição de primitiva, e então será visto no decorrer desta seção 1.1 que a pri-mitivação é um processo inverso da derivação, isto é, é uma antiderivação.

Uma primitiva de )(xf é portanto uma função cuja derivada seja precisamente )(xf , no intervalo

considerado. A Definição 1.1 implica na existência da derivada )(x'F no intervalo I. Isto significa

que nem toda função f tem primitiva.

A primitiva de uma dada função f em um intervalo I, se existir, não será única, porque,

sendo C uma constante qualquer, tem-se que

( )'CxFx'F += )()(

pelo que se )(xF for primitiva de f no intervalo I, então CxF +)( também será. Isto será abordado

pelos dois Teoremas a seguir.

Do Teorema 1.1. decorre o Teorema 1.2 abaixo, já abordado no parágrafo anterior.

DEFI�IÇÃO 1.1: Uma função F será chamada de primitiva de uma função f num intervalo I se

)()( xfx'F = para todo x neste intervalo.

Ixxfx'F ∈∀= ,)()(

TEOREMA 1.1:

Se f e g forem duas funções tais que )()( x'gx'f = para todo x no intervalo I, então

haverá uma constante C, tal que

Cxgxf += )()( , Ix∈∀ .

Nota


3

A primitivação é um processo de encontrar as primitivas de uma dada função. O símbolo ∫ denota a

operação de primitivação, ou antiderivação, e escrevemos

Assim, vemos que a primitivação é uma operação inversa da diferenciação. E as propriedades a se-guir podem ser provadas a partir das correspondentes propriedades da diferenciação.

PRIMITIVAS IMEDIATAS:

Não há, além das propriedades relacionadas acima, outras regras simples que nos auxiliem na busca de primitivas de uma dada função. De modo geral, a determinação de primitivas depende diretamente do conhecimento das derivadas das funções usuais, que nos permitirá, perante uma dada expressão, imaginar uma função cuja derivada seja precisamente a expressão considerada. Assim, por exemplo, sabendo que

CxFdxxf +=∫ )()( , onde )()( xfx'F =

PROPRIEDADES:

1. Cxdx +=∫

2. ∫∫ = dxxfadxxfa )()( , onde a é uma constante.

3. Se f1 e f2 estão definidas no mesmo intervalo, então,

[ ] ∫∫∫ +=+ dxxfdxxfdxxfxf 2121 )()()()(

(esta propriedade da soma vale para uma soma de qualquer número de fun-ções.)

4. C1n

xdxx

1nn +

+=

+

∫ , se n for um número real e 1n −≠ .

TEOREMA 1.2:

Se F for uma primitiva particular de f em um intervalo I, então a primitiva mais ge-ral de f será dada por

CxF +)( , onde C é uma constante arbitrária.


4

2x1

1xtanarc

xd

d

+=][ ,

imediatamente se conclui que

Cxtanarcdxx1

12

+=+∫

O mesmo raciocínio, aplicado às derivadas das funções mais conhecidas permite elaborar uma tabela de primitivas, ditas “imediatas”:

FUNÇÃO PRIMITIVA

0 C

1 Cx +

x1 C|x|ln +

xe Cex +

xa Caaln

1 x +

xsen Cxcos +−

xcos Cxsen +

xsec2 Cxtan +

xcsc2 Cxcot +−

xtanxsec Cxsec +

xcotxcsc Cxcsc +−

2x1

1

−

Cxsenarc +

2x1

1

+

Cxtanarc +

As identidades trigonométricas são freqüentemente usadas para calcular primitivas envolven-do funções trigonométricas. A seguir são listadas as identidades mais usadas.


5

Exemplo 1: Avalie a primitiva ( )∫ + dxx/1xx .

Solução: ( ) ∫∫∫−

+=+ dxxdxxdxx/1xx 21

23

21

. Usando a propriedade (4), temos

( ) ( )2121 CCx2x5

2C

2

1

xC

2

5

xdxx/1xx 2

1252

125

21

+++=

++

+=+∫ .

Portanto, ( ) Cx2x5

2dxx/1xx 52

1

++=+∫ , onde C = C1 + C2.

Exemplo 2: Avalie ∫−

dxxsen

xsen3xcot2 2

.

Solução: Pelas propriedades (3) e (2) e as identidades trigonométricas, temos:

∫∫∫∫∫ −=−=−

dxxsen3dxxcscxcot2dxxsen

xsen3dx

xsen

xcot2dx

xsen

xsen3xcot2 22

. Usando as integrais

de função trigonométricas já listadas na Tabela, obtemos o resultado

Cxcos3xcsc2dxxsen

xsen3xcot2 2

++−=−

∫ .

Exemplo 3: Encontre todas as funções de g tal que

( ) 5 3x6x

3xsen4x'g +−=

Solução: Queremos encontrar uma primitiva g de

a. 1xcscxsen = b. 1xsecxcos = c. 1xcotxtan =

d. 1xcosxsen 22 =+ e. xsec1xtan 22 =+ f. xcsc1xcot 22 =+

g. xcos

xsenxtan = h.

xsen

xcosxcot =

i. ( )x2cos1xsen212 −= k. ( )x2cos1xcos

212 +=


6

( ) 5

3

x6x

13xsen4x'g +−=

Usando a Tabela dada, junto como o Teorema 1.2, obtemos

( ) ( )

Cx4

15|x|ln3xcos4

Cx

6|x|ln3xcos4

dxx6x

13xsen4dxx'gxg

5

8

58

5

8

5

3

++−−=

++−−=

+−== ∫∫ )(

Nas aplicações de cálculo é comum situações como a do Exemplo 3, onde é requerido achar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equação que envolva as derivadas de uma função é chamada equação diferencial. A solução geral de uma equação diferencial envolve constan-tes arbitrárias, como C deste Exemplo 3, que podem ser determinadas a partir de condições extras dadas no problema.

Contra-Exemplo:

É bem conhecido o Teorema de Darboux, segundo o qual quando uma função f x( ) é

diferenciável num intervalo aberto e em dois pontos a e b desse intervalo se tem

)()( b'fa'f ≠

então, dado qualquer valor k compreendido entre f a f b' ( ) ' ( ) e , ter-se-á f c k' ( ) = , para pelo

menos um ponto c pertencente a esse intervalo (Teorema do Valor Intermediário). Disto resulta

imediatamente que, por exemplo, a chamada função de Heaviside, definida em ℜ por

≥

<=

se ,

se , )(

0x1

0x0xH

não pode ter primitiva no seu domínio.

1.2 TÉC�ICAS DE PRIMITIVAÇÃO

A maioria das primitivas não é obtida de forma imediata. Assim, faz-se necessário aprender certas técnicas que podem ser usadas no cálculo de tais primitivas. Neste capítulo, discutiremos técnicas que requerem a regra da cadeia para primitivação; no Capítulo 3 seguiremos com outras importan-tes técnicas de primitivação.


7

Para ilustrar, consideremos que

(1) ))(())(( xgfxg'F = . Pela regra da cadeia para a diferenciação, temos:

(2) )())(())(( x'gxg'FxgFdx

d= .

Substituindo a (1) na (2), obtemos )())(())(( x'gxgfxgFdx

d= . Se primitivarmos ambos os lados

desta equação, então,

dxx'gxgfCxFdxxgFdx

d∫∫ =+= )())(()())((

ou seja,

CxFdxx'gxgf +=∫ )()())((

Esta ilustração é a prova do Teorema a seguir chamado Regra da Cadeia para a primitivação.

Exemplo 5: Calcule dx4x3∫ + .

Solução: Para aplicarmos o teorema da regra da cadeia para primitivas, observamos que podemos tomar

( ) ( ) ( )dxx'g3

1dxdx3dxx'g4x3xg ==∴+= ou

Assim, fazendo estas substituições, obtemos

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∫∫∫ =

=+ dxx'gxg3

1dxx'g

3

1xgdx4x3 2

1

Agora, se chamarmos ( )xgu = , ( )dxx'gdu = , conforme o Teorema 1.3, então

TEOREMA 1.3 - Regra da Cadeia para a Primitivação:

(Regra da Substituição)

Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g. Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma primitiva de f em I. Então,

CxFdxx'gxgf +=∫ )()())((

Alternativamente, se u = g(x), dxx'gud )(= , então

∫∫ = udufdxx'gxgf )()())((


8

( )[ ] ( ) C4x39

2Cxg

9

2

Cu9

2C

2

3

u

3

1duu

3

1dx4x3

2

3

2

3

2

32

3

2

1

++=+=

+=+==+ ∫∫

Algumas vezes, é possível calcular uma primitiva após efetuarmos uma mudança de variável, conforme mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 6: Avalie dxx1x2∫ + .

Solução: Seja x1u += , dxdu = e 1ux −= , temos então

( ) ( )

( ) ( ) ( ) Cx13

2x1

5

4x1

7

2

Cu3

2u

5

4u

7

2

duuduu2duuduu1u2uduu1udxx1x

2

3

2

5

2

7

2

3

2

5

2

7

2

1

2

3

2

5

2

1

22

122

++++−+=

++−=

+−=+−=−=+ ∫∫∫∫∫∫

Exemplo 7: Avalie dxx

xsen∫ .

Solução: Seja xu = , dxx2

1du = , isto é, dx

x

1du2 = , temos então

Cxcos2

Cucos2duusen2dxx

xsen

+−=

+−== ∫∫

Exemplo 8: Avalie dxxsenxcos1∫ − .

Solução: Seja xcos1u −= , dxxsendu −= , temos então

( ) Cxcos13

2

Cu3

2duuduudxxsenxcos1

2

3

2

3

2

1

+−=

+===− ∫∫∫


9

CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2 –––– INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA

I�TEGRAL DEFI�IDA

Temos uma idéia intuitiva do que entendemos por área de certas figuras geométricas. Entre-tanto, como definir área de uma região plana se ela for limitada por uma curva? Para responder a isto, vamos usar somas que envolvem muitas parcelas e para facilitar o cálculo. Posteriormente, este problema da área será usado para formular a idéia de uma integral definida, que é o conceito básico do cálculo integral.

2.1 SOMATÓRIOS

Vamos introduzir a notação chamada somatório. Esta notação envolve o símbolo Σ, sigma maiúsculo (letra do alfabeto grego). Agora são dados alguns exemplos de somatórias.

Ilustração 1:

a. 222225

1i

2 54321i ++++=∑=

b. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 102232132032132232i32

2i

=+++++++−++−=+∑−=

c. 2333n

1j

3 n321j ++++=∑=

K

A seguir vamos dar uma definição formal de somatório.

i. Assim, o segundo membro da definição consiste de (n – m + 1) termos;

DEFI�IÇÃO 2.1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nF1nF3mF2mF1mFmFiFn

mi

+−++++++++=∑=

K

onde m e n são inteiros e nm ≤ .

Notas


10

ii. O número m é chamado limite inferior do somatório, enquanto que o n é chamado limite su-perior. O símbolo i é chamado de índice do somatório. É um índice “mudo” porque qualquer letra pode ser usada para o mesmo propósito.

Agora, serão dadas quatro fórmulas úteis ao cálculo de somatórios.

Algumas vezes os termos de uma soma envolvem subscritos, como mostramos a abaixo.

1. 987654

9

4k

k b9b8b7b6b5b4bk +++++=∑=

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxfxxfxxfxxfxxf 54321

5

1i

i ∆∆∆∆∆∆ ++++=∑=

A seguir, serão dadas propriedades que envolvem os somatórios.

1. ( )2

1nni

n

1i

+=∑

=

2. ( )( )

6

1n21nni

n

1i

2 ++=∑

=

3. ( ) 2n

1i

3

2

1nni

+=∑

=

4. ( )( )

30

1nn9n61nni

23n

1i

4 −+++=∑

=

1. nccn

1i

=∑=

, onde c é qualquer constante.

2. ( ) ( )∑∑==

=n

1i

n

1i

iFciFc

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑∑===

+=+n

1i

n

1i

n

1i

iGiFiGiF

4. ( ) ( )∑∑+

+==

−=cb

cai

b

ai

ciFiF e ( ) ( )∑∑−

−==

+=cb

cai

b

ai

ciFiF

5. ( ) ( )[ ] ( ) ( )0FnF1iFiFn

1i

−=−−∑=


11

Exemplo 1: Calcule ( )∑=

−−n

1i

1ii 44 .

Solução: Da propriedade (5), temos que:

( ) 144444 n0nn

1i

1ii −=−=−∑=

−

Exemplo 2: Calcule ( )∑=

−n

1i

2i3i .

Solução:

( ) ( )∑∑==

−=−n

1i

2n

1i

i2i32i3i Pela propriedade (3), temos

= ( )∑∑==

−+n

1i

n

1i

2 i2i3 Pela propriedade (2), temos

= ∑∑==

−n

1i

n

1i

2 i2i3 Pelas propriedades (2) e (1), temos

=( )( ) ( )

2

1nn2

6

1n21nn3

+−

++ =

( ) ( )2

n2n2nn3n2 223 +−++

=2

nnn2 23 −+

2.2 ÁREAS

Começamos por tentar resolver o problema da área. A principal motivação para os conceitos introdu-

zidos aqui se encontra no seguinte problema. Suponhamos dada uma função f :[a, b]→ R, limitada

no intervalo [a, b]. Admitamos, por simplicidade, que f seja não-negativa, isto é, ( ) 0xf ≥ para todo

],[ bax∈ . Consideremos o conjunto

S = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x )}

formado pelos pontos do plano compreendidos entre o eixo das abscissas, o gráfico de f, e as retas verticais x = a e x = b, conforme Figura 2.1. Qual é área desse conjunto? Primeiro, a área de um sub-conjunto limitado S do plano R2 deve ser um número real.


12

Figura 2. 1

Para que uma função f seja limitada no intervalo [a, b] é necessário e suficiente que exista um número K > 0 tal que K|xf| ≤)( para todo ] ,[ bax∈ .

Podemos admitir que saibamos calcular áreas de polígonos, polígonos retangulares, por e-

xemplo, formados por retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e, especifica-

mente, as bases inferiores estão sobre o eixo das abscissas, y = 0, e as bases superiores tocam o gráfi-co da função.

Agora, podemos tomar como aproximações por falta deste número as áreas desses retângulos contidos em S, polígonos retangulares inscritos, conforme Figura 2.2. Isto equivale a dizer:

* supremo = menor limitante superior.

Figura 2.2: polígonos retangulares contidos em S (inscritos).

Poderíamos também considerar as áreas dos retângulos que contêm S, polígonos retangulares cir-cunscritos, como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, teríamos:

* ínfimo = maior limitante inferior.

Nota

Área de S = ínfimo* das áreas dos polígonos retangulares que contêm S.

Área de S = supremo* das áreas dos polígonos retangulares contidos em S.


13

Figura 2.3: polígonos retangulares que contêm S (circunscritos).

Lembre-se de que ao definir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tan-gente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Uma idéia similar será usada aqui para o cálculo de áreas. Em primeiro lugar, aproximamos a região S por re-tângulos justapostos e então tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos.

Para tal, primeiro dividimos o intervalo fechado [a, b] em n subintervalos, que não são neces-sariamente de mesmo comprimento (ou largura), através da escolha de (n−1) pontos entre a e b, de modo que

bxxxxa 1ni21 <<<<<< −KK

Para tornar coerente a notação, convencionamos denotar a por 0x e b por nx . Assim,

bxxxxxxa n1ni210 =<<<<<<<= −KK

O conjunto de todos os subintervalos do intervalo [a, b] é chamado uma partição do intervalo [a, b], denotada por P, tal que Pa∈ e Pb∈ :

{ }n1ni210 xxxxxxP ,,,,,,, −= KK

Na Figura 2.2 abaixo, há a representação de uma partição P do intervalo [a, b], ressaltando o i-ésimo

subintervalo, ],[ i1i xx − , da partição.

Figura 2.2: Representação de uma partição do intervalo [a, b].


14

Assim, teremos que cada subintervalo terá comprimento distinto e o comprimento do i-ésimo subin-tervalo, como mostrado na Figura 2.2 e Figura 2.3, é

1iii xxx −−=∆

A partição P contém n subintervalos, sendo que um deles é maior (podem existir mais de um desses subintervalos). O comprimento do maior subintervalo da partição é chamado norma da partição e é

denotado por ||∆||.

Figura 2.3:

Seja f :[a, b]→ R limitada e { }n10 xxxP ,,, K= , uma partição de [a, b]. Para cada i = 1,..., n,

indicaremos por mi o ínfimo (menor valor) e com Mi o supremo (maior valor) dos valores de f no

intervalo ],[ i1i xx − .

Agora podemos falar em soma inferior e soma superior da função f relativamente à partição P. Quando f é uma função positiva, a soma inferior, denotada por s(f; P), e soma superior, denotada por S(f; P) podem ser interpretadas com áreas de polígonos, inscrito e circunscrito ao gráfico de f, respectivamente, e, portanto, como valores aproximados (por falta e por excesso, respectivamente) da área compreendida entre esse gráfico e o eixo das abscissas. Isto é:

∑=

=n

1i

ii xmPfs ∆);( e ∑=

=n

1i

ii xMPfS ∆);(

TEOREMA 2.1:

Seja f :[a, b]→ R limitada. Quando se refina uma partição P, a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta.


15

Este Teorema 2.1 tem como conseqüência que para quaisquer partições P e Q de [a, b], tem-se

);();( QfSPfs ≤

ou, em outras palavras, toda soma inferior de f é menor do que ou igual a qualquer soma superior.

PARTIÇÕES REGULARES

Dada essa introdução teórica, consideremos agora, para efeito de simplificação, uma função que seja crescente ou decrescente no intervalo considerado. Neste caso, podemos usar partições que

tenham o mesmo comprimento, digamos, ∆x, chamadas partições regulares, para representar tanto somas inferiores quanto superiores. Logo,

n

abx

−=∆

Analogamente ao que já foi descrito, vamos denotar os extremos desses subintervalos por

n1n210 xxxxx ,,,,, −K

onde expressamos

( ) bxx1naxxiaxxaxax n1ni10 =−+=+=+== − ,∆,,∆,,∆, KK ,

sendo ],[ i1i xx − o i-ésimo subintervalo.

Portanto, considere n retângulos, cada um com comprimento ∆x unidades e altura )( icf , em

que ic pertence ao i-ésimo subintervalo e, por exemplo, )( icf é o ínfimo da função. Então a área do

i-ésimo retângulo inscrito é xcf i ∆)( . Seja );( nPfs a soma inferior das áreas dos n retângulos ins-

critos, assim

xcfxcfxcfxcfPfs ni21n ∆)(∆)(∆)(∆)();( +++++= KK

ou, usando a notação de somatório para escrever estes termos de forma mais compacta, temos,

∑=

=n

1i

in xcfPfs ∆)();(

onde o sub-índice n indica o número de retângulos que constituem o polígono. Portanto, este somató-rio dá a soma das medidas de área de todos os retângulos. Com isto, podemos aproximar a área sob o gráfico de uma função, no intervalo [a, b], através da soma inferior de retângulos inscritos.

Na Figura 2.4, a região sombreada tem uma área de );( 5Pfs unidades quadradas. Vamos fa-

zer agora n crescer, isto é, refinar a partição. Especificamente, multiplicar n por 2, ou seja, );( 10Pfs ;


16

então o número de retângulos vai dobrar, enquanto o comprimento de cada retângulo vai cair pela metade. Isto está ilustrado na Figura 2.5, mostrando o dobro de retângulos inscritos da Figura 2.4.

Figura 2.4 Figura 2.5

Comparando as duas Figuras, vemos que a área sombreada na Figura 2.5 se aproxima melhor da área da região S (que é 3,72 unidades quadradas) do que a da Figura 2.4. Assim, a soma das medidas das áreas dos retângulos na Figura 2.5 está mais próxima do número que desejamos para representar a medida da área de S.

Enquanto n cresce, a soma inferior );( nPfs representa melhor a área sob o gráfico. O mesmo

pode ser mostrado em relação a soma superior );( nPfS . Assim podemos supor que quando n cresce

indefinidamente, os valores de );( nPfs e );( nPfS tendem a um mesmo limite. É este limite, se e-

xistir, que iremos tomar como a definição de medida da área A da região S.

Portanto, vamos definir área A da região S, em termos de partições regulares, como:

Exemplo 1: Ache a área da região limitada pela curva 2xy = , o eixo x e a reta x = 3, tomando

a soma inferior (polígonos inscritos).

DEFI�IÇÃO 2.2: A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f no intervalo

fechado [a, b], com 0xf ≥)( para x em [a, b], é o limite, se esse limite existir, da soma

inferior ou superior.

xcflimPfSlimPfslimAn

1i

in

nn

nn

∆∑=∞→∞→∞→

=== )();();( , se o limite existir.


17

Solução: A Figura 2.6 abaixo mostra a região e o i-ésimo retângulo inscrito. Notamos que no interva-lo dado, a curva é crescente. Assim, podemos tomar partições regulares e o ínfimo da função estará no extremo esquerdo de cada subintervalo. Então, para aplicarmos a definição, dividimos o intervalo

fechado [0, 3] em n subintervalos, cada um com comprimento ∆x:

( ) 3xx1nxxixx2xxx0x n1ni210 =−===== − ,∆,,∆,,∆,∆, KK

n

3

n

03

n

ab∆x =

−=

−=

2xxf =)(

Como estamos usando o extremo esquerdo de cada subintervalo, temos,

xxflimPfslimAn

1i

1in

nn

∆∑=

−∞→∞→

== )();(

Como ( ) x1ix 1i ∆−=− , ( )[ ]21i x1ixf ∆)( −=− . Logo,

Figura 2.6 [ ] 32n

1i

2n

1i

1i

n

1i

1i x1ixxxxxf )()()()( ∆∆∆∆ ∑∑∑==

−=

− −==

Mas, n

3∆x = , assim,

+−=

−=

−=

∑∑∑

∑

∑∑

===

=

==−

n

1i

n

1i

n

1i3

2n

1i3

3

2n

1i

n

1i

1i

1i2in

27

1in

27

n

271ixxf

2

)(

)()( ∆

e usando as fórmulas de somatórios dadas, obtemos

( )( ) ( )

+−=

+−−++=

++

−++

=∑=

−

2

2

223

3

3

n

1i

1i

n

1n3n2

2

9

6

n6n6n6nn3n2

n

27

n2

1nn

6

1n1n2n

n

27xxf ∆)(

Então, tomando o limite,


18

( )

9

0022

9

n

1

n

32lim

2

9

n

1n3n2

2

9limA

2n

2

2

n

=

++=

+−=

+−=

∞→

∞→

Assim, a área da região é de 9 unidades quadradas.

Exemplo 2: Ache a área da região do Exemplo 1, tomando a soma superior (polígonos cir-cunscritos).

Solução: Como a função é crescente no intervalo considerado, podemos tomar partições regulares e o supremo da função estará no extremo direito de cada subintervalo, como mostra a Figura 2.7. Então,

xxflimPfSlimAn

1i

in

nn

∆∑=∞→∞→

== )();(

Como xixi ∆= , ( )2i xixf ∆)( = . Logo,

( ) 32n

1i

2n

1i

n

1i

i xixxixxf )()( ∆∆∆∆ ∑∑∑===

==

Mas, n

3∆x = , assim,

( )( )

( )( )[ ]

++=

++=

++=

++=

=

=

∑

∑∑

=

==

2

2

2

2

3

2n

1i3

3

2n

1i

n

1i

i

n

1

n

32

2

9

n

1n3n2

2

9

1n21nn2

9

6

1n21nn

n

27

in

27

n

27ixxf ∆)(

Então, tomando o limite,


19

( )

9

0022

9

n

1

n

32

2

9limA

2n

=

++=

++=

∞→

e a área da região é de 9 unidades quadradas, como no Exemplo anterior.

2.3 I�TEGRAL DEFI�IDA

Vimos na seção anterior que a medida de área de uma região foi definida, em termos de partições regulares, como sendo o limite da forma

xcflimn

1i

in

∆∑=∞→

)(

Para chegarmos a esta definição, dividimos o intervalo [a, b] em subintervalos de igual comprimento

e então tomamos ic como sendo um ponto do i-ésimo subintervalo. Também exigimos que a função

fosse continua em [a, b], além restringimos os valores da função a serem não-negativos em [a, b].

Como já sabemos, o limite acima é um caso particular, visto que a partição, no caso mais ge-ral, não é regular.

Então, de forma mais geral, temos que o somatório será posto como

xcf i

n

1i

i ∆∑=

)(

Tal soma é chamada soma de Riemann (homenagem ao matemático Bernhard Riemann). E o limite da soma de Riemann é, então, dado por

xcflim i

n

1i

i0||||

∆∆

∑=→

)(

Fazer ||∆|| → 0 é equivalente, para partição regular, a fazer n → ∞ (o que não é verdade para o caso de partição não regular).

Agora, daremos a este tipo de limite um nome e notação especiais.

Nota


20

i. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é chamado sinal de integração. Este símbolo

lembra um S, o que é apropriado, pois a integral definida é o limite de uma soma;

ii. Na notação

iii. f (x) é chamado de integrando, a e b são chamados limites de integração, a é o limite inferior e b é o limite superior, e o símbolo dx por si só não tem significado;

iv. A integral definida é um número, não dependendo de x, mas depende da função do integrando e dos limites de integração. Assim, podemos usar qualquer letra em vez do x sem mudar o va-lor da integral:

( ) ( ) ( )∫∫∫ ==b

a

b

a

b

a

duufdttfdxxf

A seguinte questão surge agora: sobe que condições uma função é integrável? Uma resposta a essa questão é dada pelo teorema a seguir.

DEFI�IÇÃO 2.3: DEFI�IÇÃO DE I�TEGRAL DEFI�IDA. Se f for uma função definida no intervalo [a, b], então a integral definida de f de a

até b, denotada por ( )∫b

a

dxxf será dada por

( ) xcflimdxxf i

n

1i

i0||||

b

a

∆∆

∑∫=→

= )( , se o limite existir.

TEOREMA 2.1: Se f for uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então ela será integrável

em [a, b].

( )

43421baf

b

a

dxxf

atédedeIntegral

∫

Notas


21

A condição de que f seja contínua em [a, b] é uma condição suficiente, mas não necessária: se a fun-ção for contínua em [a, b], então o Teorema 2.1 assegura que a integral existe, contudo, há funções que são descontínuas, descontinuidades removíveis ou de saltos (mas não descontinuidades infini-tas), cuja integral existe.

Agora, vamos redefinir a medida de área de uma região de uma forma mais geral

Esta definição estabelece que se f (x) ≥ 0 para todo x em [a, b], a integral definida poderá ser inter-pretada geometricamente como a medida da área da região S. Se f assumir valores positivos e negati-vos em [a, b], então a soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x e o negativo das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x. Então, neste caso, a integral defini-da pode ser interpretada como área líquida, isto é, a diferença das áreas da região que estão acima do eixo x e as áreas das regiões que estão abaixo do eixo x do gráfico de f.

Exemplo 1: Ache o valor da integral ∫3

1

2 dxx . Interprete geometricamente o resultado.

Solução: Considere uma partição regular do intervalo fechado [1, 3] em n subintervalos. Como usa-remos os extremos direitos de cada subintervalo, temos então

xi1xi ∆+= , ( )2i xi1xf ∆)( +=

Logo, ( ) ∑∑∑===

++=+=n

1i

222n

1i

n

1i

i xxixi21xxi1xxf ∆∆∆∆∆∆ )()(

Mas, n

2

n

13∆x =

−= , assim,

DEFI�IÇÃO 2.4: Se f for uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e f (x) ≥ 0 para todo x em

[a, b]. Seja S a região limitada pela curva y = f (x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b. Então a medida A da área da região S é dada por

( )∫∑ =⇔==→

b

a

i

n

1i

i0||||

dxxfAxcflimA ∆∆

)(


22

( ) ( )( )

( ) ( )

+

++

++=

+++

++=

+++

++=

++=

++=

∞→

∞→

∞→

===∞→

=∞→

∑∑∑

∑∫

n

12

n

11

3

4

n

1142lim

n

1n2

n

1n

3

4

n

1142lim

6

1n21nn

n

8

2

1nn

n

82lim

in

8i

n

8

n

2lim

n

2

n

4i

n

2i21limdxx

n

n

32n

n

1i

2

3

n

1i2

n

1in

n

1i2

2

n

3

1

2

tomando o limite,

3

26

3

842dxx

3

1

2 =

++=∫

A interpretação geométrica do resultado é que como 0x2 ≥ para todo x no intervalo [1, 3], então a

região limitada por esta curva, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3 tem 26/3 unidades quadradas de área.

PROPRIEDADES DA I�TEGRAL DEFI�IDA

Quando definimos integral definida, implicitamente assumimos que a < b. Mas a definição como o

limite de somas de Riemann faz sentido mesmo quando a > b, entretanto, devemos observar que ∆x mudará de sinal. Portanto,

Se a = b, então ∆x = 0, e

Vamos apresentar propriedades básicas das integrais que são conseqüências diretas da definição pelo limite de somas de Riemann.

( ) ( )∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf

( ) 0dxxf

a

a

=∫


23

Nos comentários a seguir, para a definição de integral definida será usada partição regular.

A Propriedade 1 estabelece que a integral de uma função constante c é a constante vezes o comprimento do intervalo (b –a). Se c > 0, c (b – a) é a área do retângulo

Prova:

( ) ( )abcabclimxclimxclimdxcn

n

1in

n

1in

b

a

−=−===∞→=∞→=∞→

∑∑∫ ∆∆

A Propriedade 2 estabelece que a integral de uma soma (ou subtração) de funções é a soma (ou subtração) das integrais destas funções. Em geral, a Propriedade 2 segue do fato que o limite da soma (ou subtração) de funções é a soma (ou subtração) dos limites das funções.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∑∑

∑∫

±=

±=

±=±

=∞→=∞→

=∞→

b

a

b

a

n

1i

in

n

1i

in

n

1i

iin

b

a

dxxgdxxf

xxglimxxflim

xxgxflimdxxgxf

∆∆

∆

Propriedades da Integral: Considerando f e g funções contínuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante.

1. ( )abcdxc

b

a

−=∫

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

3. ( ) ( )∫∫ =b

a

b

a

dxxfcdxxfc

4. ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf , onde c é um número em [a, b];

não importa a ordem de a, b e c.


24

A Propriedade 3 pode ser provada de forma análoga a da Propriedade 1,

( ) ( ) ( ) ( )∫∑∑∫ ====∞→=∞→

b

a

n

1i

in

n

1i

in

b

a

dxxfcxxflimcxxfclimdxxfc ∆∆

e estabelece que a integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral da fun-ção. Em outras palavras, uma constante (mas somente uma constante) pode ser colocada na frente de um sinal de integração.

Para o caso em que f(x) ≥ 0 e a < c < b, a Propriedade 4, pode ser vista a partir de uma inter-

pretação geométrica: a área sob y = f(x) de a até c mais a área de c até b igual à área total de a até b.

Exemplo 2: Use as propriedades das integrais pra calcular

( )∫ +3

0

2 dxx34

Solução: Usando as propriedades 2 e 3 das integrais, temos

( ) ∫∫∫∫∫ +=+=+3

0

23

0

3

0

23

0

3

0

2 dxx3dx4dxx3dx4dxx34

Sabemos da Propriedade 1 que ( ) 12034dx4

1

0

=−=∫ . E encontramos no Exemplo 1 (ou 2) da Seção

2.2 que 9dxx

3

0

2 =∫ . Logo:

( ) ( ) 399312dxx34

3

0

2 =+=+∫

Exemplo 3: Exemplo de uma função não integrável em [0, 1]. A função

( )

=irracional é se,

racional é se,

x0

x1xf

não apresenta integral a Riemann no intervalo [0, 1]. Por trás disto está o fato de que entre dois nú-meros quaisquer dessa função existe um número racional e outro irracional. Logo, a função salta para cima e para baixo em [0, 1] tão erraticamente que a região abaixo de sua curva e acima do eixo x não pode ser aproximada por retângulos, por mais estreitos que eles sejam. Assim, as aproximações de soma superior e de soma inferior convergem para valores diferentes.

Se tomarmos uma partição P de [0, 1] e escolhermos ic tal que )( icf seja o supremo de f em

][ 1ii xx −− , então a soma de Riemann correspondente é


25

( ) 1xcflimPfSInfn

1i

ii0||||

== ∑=→

∆∆

),(

pois cada subintervalo contém um número racional onde 1cf i =)( . Observe que a soma de compri-

mento dos intervalos da partição é 1.

Por sua vez, se escolhermos para ic o valor mínimo de f em ][ 1ii xx −− , então a soma de Ri-

emann é

( ) 0xcflimPfsSupn

1i

ii0||||

== ∑=→

∆∆

),(

pois cada subintervalo contêm um número irracional ic onde ( ) 0cf i = . O limite da soma de Rie-

mann é igual a zero. Como o limite depende das escolhas de ic , a função f não é integrável.

Observe que as Propriedades 1−4 são verdadeiras para qualquer ordem de a e b. As Proprie-dades a seguir, nas quais comparamos tamanhos de funções e tamanhos de integrais são verdadeiras somente se ba ≤ .

i. Se ( ) 0xf ≥ , então a integral desta função no intervalo [a, b] representa a medida de área sob

o gráfico de f, logo a interpretação geométrica da Propriedade 5 é simplesmente que as áreas são positivas.

ii. A Propriedade 6 estabelece que uma função maior tem uma integral maior.

iii. A Propriedade 7 diz que se f for contínua poderemos tomar, pelo Teorema do Valor Extremo, m e M como sendo os valores mínimo e máximo absolutos de f no intervalo [a, b], e neste ca-

Propriedades Comparativas da Integral: Considerando f e g funções contínuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante.

5. Se ( ) 0xf ≥ para bxa ≤≤ , então ( ) 0dxxf

b

a

≥∫ .

6. Se ( ) ( )xgxf ≥ para bxa ≤≤ , então ( ) ( )∫∫ ≥b

a

b

a

dxxgdxxf .

7. Se ( ) Mxfm ≤≤ para bxa ≤≤ , então

( ) ( ) ( )abMdxxfabm

b

a

−≤≤− ∫ .

Notas


26

so, a Propriedade 7 estabelece que a área sob o gráfico de f é maior que a área do retângulo com altura m e base (b – a) e menor do que o retângulo com altura M e base (b – a).

Prova da Propriedade 7: Uma vez que ( ) Mxfm ≤≤ , a Propriedade 7 nos dá

( ) ∫∫∫ ≤≤b

a

b

a

b

a

dxMdxxfdxm

Usando a Propriedade 1 para calcular as integrais do lado esquerdo e direito, obtemos


b

a

−≤≤− ∫

Esta Propriedade 7 é importante quando desejamos somente estimar o valor de uma integral definida.

Exemplo 4: Use a Propriedade 7 para estimar o valor de ∫4

1

dxx .

Solução: Uma vez que a função x é crescente, seu mínimo absoluto em [1, 4] ocorre em x = 1 e é

m = 1 e seu máximo absoluto ocorre em x = 4 e é M = 2. Portanto, a Propriedade 7 nos dá

( ) ( )142dxx141

4

1

−≤≤− ∫ ou, 6dxx3

4

1

≤≤ ∫

Isto significa que a área sob o gráfico da função x em [1, 4] é maior ou igual a 3 e menor ou igual

a 6 unidades quadradas.

2.4 TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA I�TEGRAIS

O Teorema do valor médio é importante na prova do Teorema Fundamental do Cálculo − Parte 1. E também é relevante porque nos permite calcular valores médios de funções contínuas em um interva-lo fechado [a, b].

TEOREMA 2.2: Teorema do Valor Médio para Integrais: Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], existe um número c em [a, b] tal

que

( ) ( ) ( )abcfdxxf

b

a

−=∫


27

Prova: Como f é contínua em [a, b], do Teorema do Valor Extremo, f tem valores de máximo e mí-nimo absolutos em [a, b].

Seja m o valor mínimo absoluto ocorrendo em mxx = . Assim,

( ) mxf m = , bxa m ≤≤

Seja M o valor máximo absoluto ocorrendo em Mxx = . Assim,

( ) Mxf M = , bxa M ≤≤

Temos, então, ( ) Mxfm ≤≤ , para todo x em [a, b]. Da Propriedade 7, segue que


b

a

−≤≤− ∫

Agora, dividindo por (b – a) e observando que este valor é positivo, pois b > a, obtemos

( )( ) Mdxxf

ab

1m

b

a

≤−

≤ ∫ , ou seja,

( )( )

( ) ( )M

b

a

m xfdxxfab

1xf ≤

−≤ ∫

Desta igualdade, e do Teorema do Valor Médio existe algum número c num intervalo fechado con-

tendo mx e Mx , tal que

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )cfabdxxfcfdxxf

ab

1b

a

b

a

−=⇔=− ∫∫

como queríamos provar.

O valor de c no Teorema 2.2 não é necessariamente único. O Teorema 2.2 não dá um método para o cálculo de c, mas estabelece que um valor de c existe. Em alguns casos, podemos encontrar o valor de c garantido pelo Teorema 2.2.

A interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio para Integrais é dada pelo fato que, supondo que a função f é positiva, existe um retângulo de altura f (c) que possui a mesma área compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, no intervalo [a, b], conforme Figura 2.4 abaixo.

Nota


28

Figura 2.4: Interpretação Geométrica para o Teorema do Valor Médio para Integrais

O valor f (c) dado pelo Teorema 2.2 é chamado de valor médio de f, denotado por fM, no in-tervalo [a, b]. É uma generalização da média aritmética de um conjunto finito de números. Isto é, se

( ) ( ) ( ){ }n21 xf,,xf,xf K

for um conjunto de n números, então a média aritmética será dada por

( )

n

xfn

1i

i∑=

Para generalizar esta definição, considere uma partição regular do intervalo fechado [a, b], que é

dividido em n subintervalos ( ) nabx −=∆ . Seja ic qualquer ponto no i-ésimo subintervalo. Então o

quociente abaixo corresponde a média aritmética de n números:

( )

n

cfn

1i

i∑=

Como ( ) nabx −=∆ , temos que ( )abxn1 −=∆ . Substituindo este na expressão anterior da média,

temos

( )

( )ab

xcfn

1i

i

−

∑=

∆

Agora, tomando o limite quando ∞→n (ou, de forma equivalente, 0x→∆ ), temos, se o limite exis-

tir,


29

( )

( ) ( )( )∫

∑

−=

−=

∞→

b

a

n

1i

i

ndxxf

ab

1

ab

xcf

lim

∆

Isto nos leva a seguinte definição.

Exemplo 1: Determine o valor médio de ( ) 2x4xf −= em [−2, 2].

Solução: Reconhecemos esta função como uma função cujo gráfico é o semicírculo superior de raio 2 centrado na origem.

A área entre este semicírculo e o eixo x de [−2, 2] pode ser calculada usando a fórmula geo-métrica

( ) πππ 222

1r

2

1A

22 ===

Como f é não negativa, a área também é o valor da integral de f de −2 até 2:

π2dxx4A

2

2

2 =−= ∫−

. Logo, o valor médio de f é:

( ) 22

4

1dxx4

22

1f

2

2

2M

ππ ==−

−−= ∫

−

Exemplo 2: Determine o valor médio de ( ) xcosxf = em [0, 2π].

Solução: Pela Figura que mostra o gráfico da função cosseno no intervalo [0, 2π], podemos notar que, como a função é positiva e negativa neste intervalo, a integral definida dá é a área líquida, isto é

DEFI�IÇÃO 2.5: Se a função f for integrável no intervalo fechado [a, b], o valor médio de f em [a, b],

também chamado de média, será

( )( )∫−

=b

a

M dxxfab

1f


30

0AAAdxxcos 321

2

0

=+−=∫π

, como podemos observar pela Figura.

Logo, ( ) 002

1dxxcos

02

1f

2

0

M ==−

= ∫ ππ

π

Portanto, o valor médio da função cosseno no intervalo [0, 2π] é zero.

2.5 TEOREMA FU�DAME�TAL DO CÁLCULO

Os conceitos básicos da integral definida foram usados pelos antigos gregos, há mais de 2000 anos, muito antes da formulação do cálculo diferencial. No século XVII, quase simultaneamente, Newton e Leibnitz mostraram como o Cálculo poderia ser usado para encontrar a área de uma região limitada por uma curva ou um conjunto de curvas, definindo integral definida por primitivação, sem usar o limite das somas de Riemann, como fizemos anteriormente. O procedimento envolve o que é conhe-cido como o Teorema Fundamental do Cálculo.

Se f for contínua no intervalo fechado [a, b], então, pelo Teorema 2.1 a integral definida

( )∫b

a

dxxf

existe (ou seja, f é integrável). Vamos estabelecer que se uma integral definida existir, então ela será um único número. Se x for um número em [a, b], então f será contínua em [a, x], pois é contínua em [a, b]. Consequentemente,

( )∫x

a

dttf

existe e é um número cujo valor depende de x, isto é, esta integral define uma função F tendo como seu domínio todos os números no intervalo fechado [a, b] e, para a qual o valor funcional em qual-quer número x nesse intervalo é dado por

( ) ( )∫=x

a

dttfxF

Notas


31

i. Segundo a convenção notacional, se os limites de uma integral definida forem variáveis, de-verão ser usados símbolos diferentes para esses limites e para variável independente no inte-grando. Assim, como x é o limite superior, usamos a letra t como variável independente no integrando.

ii. Se a função do integrando f (t) ≥ 0 para todo t em [a, b], então os valores funcionais de F(x) poderão ser interpretados geometricamente como a medida da área da região limitada pela

curva cuja equação é y = f (t), pelo eixo t e pelas retas t = a e t = x.

Vamos agora enunciar um teorema importante que dá a derivada da função F definida como integral definida tendo um limite superior variável. Esse teorema é chamado Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

i. O Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 estabelece que a integral definida ( )∫x

a

dttf ,

com o limite superior variável x e f contínua, que será chamada de integral indefinida, é uma primitiva de f.

ii. É importante ressaltar que se f não for contínua essa integral poderá existir, mas não será uma primitiva de f como estabelece o Teorema. Será só a integral indefinida da função f.

Prova do Teorema Fundamental do Cálculo−Parte 1: Considere dois números 1x e xx1 ∆+ em [a, b].

Então

( ) ( )∫=1x

a

1 dttfxF e ( ) ( )∫+

=+xx

a

1

1

dttfxxF

∆

∆

Então, ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−++ 11 x

a

xx

a

11 dttfdttfxFxxF

∆

∆

Notas

TEOREMA 2.6: Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número no in-

tervalo [a, b]. Se F for a função definida

( ) ( )∫=x

a

dttfxF

então, ( ) ( )xfx'F = .


32

Agora, sabemos que podemos escrever

( ) ( ) ( )∫∫∫++

+=xx

x

x

a

xx

a

1

1

11

dttfdttfdttf

∆∆

Substituindo essa igualdade na expressão anterior, obtemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ −

+=−+

+ 11

1

1 x

a

xx

x

x

a

11 dttfdttfdttfxFxxF

∆

∆

Ou seja, ( ) ( ) ( )∫+

=−+xx

x

11

1

1

dttfxFxxF

∆

∆

Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe um número c no intervalo fechado [x1, x1+∆x] tal que

( ) ( ) xcfdttf

xx

x

1

1

∆∆

=∫+

Isto é,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )cfx

xFxxF

xcfxFxxF

11

11

=−+

=−+

∆∆

∆∆

Tomando o limite quando 0x→∆ , em ambos os lados da última igualdade, temos

( ) ( ) ( )cflimx

xFxxFlim

0x

11

0x →→=

−+∆∆ ∆

∆

O limite da razão incremental do primeiro membro é a definição de derivada, isto é, é F’(x1). Para

determinar o limite do segundo membro, lembre que c está no intervalo fechado [x1, x1+∆x] e como

110x

xxlim =→∆

e ( ) 110x

xxxlim =+→

∆∆

segue que, pelo Teorema do Confronto, o 10x

xclim =→∆

. Portanto, temos que ( ) ( )10x

xfcflim =→∆

. Logo,

( ) ( )11 xfx'F =

Como x1 é qualquer número no intervalo [a, b], esta última igualdade estabelece o que queríamos provar.

Exemplo 1: Use o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 (TFC1) para determinar as

seguintes derivadas.


33

a) ∫x

a

dttcosdx

d. Solução: Usando TFC1, temos que xcosdttcos

dx

dx

a

=∫ .

b) ∫2x

3

dtttgdx

d. Solução: O limite superior é x2 e não x. Isto nos leva a aplicar a Regra

da Cadeia, fazendo u = x2, para aplicarmos o TFC1 e encontrarmos a derivada.

2

2

u

3

x

3

xtgx2

x2xtg

dx

duutg

dx

dudtttg

du

ddtttg

dx

d2

=

=

=

= ∫∫

c) ∫+

+

4

x31

t2

dte2

1

dx

d. Solução: Para usarmos o TFC1, devemos primeiro usar a propriedade

∫∫+

++

−=+

2

2

x31

4t

4

x31

tdt

e2

1dt

e2

1

e, assim, usarmos a regra da cadeia, fazendo u = 1+ 3x2, para então aplicarmos o TFC1 para encon-trar a derivada. Ou seja,

( )

( )2

2

2

2

x31

x31u

u

4t

x31

4t

4

x31

t

e2

x6

x6

e2

1

dx

du

e2

1

dx

dudt

e2

1

du

ddt

e2

1

dx

ddt

e2

1

dx

d

+

+

+

+

+−=

+−=

+−=

+−=

+−=

+ ∫∫∫

Vamos agora à Segunda Parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Essa Parte descreve co-mo calcular integrais definidas sem ter de calcular limites de somas de Riemann. Em vez disto, en-contramos e calculamos uma primitiva nos limites de integração.


34

Prova: Se f for contínua em todos os números em [a, b], então a integral

( )∫x

a

dttf

define uma função F cuja derivada e [a, b] é f. Como por hipótese, g’(x) = f(x), então pelo Teorema 1.1, temos que

( ) ( ) Cdttfxg

x

a

+= ∫ , onde C é uma constante. Tomando x = b nesta equação, temos

( ) ( ) Cdttfbg

b

a

+= ∫ e, agora, tomando x = a, obtemos

( ) ( ) Cdttfag

a

a

+= ∫ . Isto é,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−=

+−

+=−

a

a

b

a

a

a

b

a

dttfdttf

CdttfCdttfagbg

Mas sabemos que ( ) 0dttf

a

a

=∫ . Portanto, ( ) ( ) ( )∫=−b

a

dttfagbg , como queríamos provar.

O Teorema diz que para calcular a integral definida de f em [a, b], tudo o que precisamos fazer é:

1. Determinar uma primitiva F de f ;

2. Calcular o número ( ) ( ) ( )aFbFdxxf

b

a

−=∫ .

TEOREMA 2.7: Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que

( ) ( )xfx'g =

para todo x em [a, b]. Então

( ) ( ) ( )agbgdxxf

b

a

−=∫


35

A notação usual para F(a) − F(b) é ( ) ]baxF . Portanto, ( ) ( )]bab

a

xFdxxf =∫ .

Exemplo 2: Como no Exemplo 1, do Capítulo 1, ache a área da região limitada pela curva 2xy = , o eixo x e a reta x = 3, agora usando o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC2)

para o cálculo desta área.

Solução: A área sob o gráfico dessa função é a integral definida

( ) ( )[ ] .q.u93

2703

3

1

3

xdxxA

33

3

0

33

0

2 ==−=

== ∫

Este Exemplo 2 mostra como calcular área sob o gráfico de uma função não negativa no intervalo dado. E, sobretudo, mostra quão mais fácil é o cálculo de áreas usando o TFC2 em vez da definição de integral definida, ou seja, pelo limite das somas de Riemann, como feito no Exemplo 1 do Capítu-lo 1.

Exemplo 3: Use o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC2) para calcular as se-guintes integrais definidas.

a) ∫π

0

dxxcos . Solução: Podemos encontrar a primitiva diretamente e aplicar o TFC2.

Assim, ] 00sensenxsendxxcos0

0

=−==∫ πππ

b) ∫ +3

0

dxx1x . Solução 1: Para encontrarmos a primitiva, precisamos usar a regra da

substituição. Podemos fazer u = x + 1, ou x = u − 1, portanto, du = dx. Com isto determinamos que

( )

( ) ( )351x

3

21x

5

2

u3

2u

5

2

duuuduu1udxx1x

23

25

21

23

+−+=

−=

−=−=+ ∫∫∫

E a integral definida será então

Nota


36

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

15

116

13

21

5

24

3

24

5

2

1x3

21x

5

2dxx1x

3535

3

0

353

0

=

−−

−=

+−+=+∫

Solução 2: Agora usaremos a regra da substituição fazendo também a mudança nos limites de inte-

gração. Assim, como na solução anterior, fazemos u = x + 1, ou x = u − 1, du = dx, e também faze-mos uma mudança coerente dos limites de integração:

quando x = 0, u = 1; quando x = 3, u = 4

Então,

( )

15

116

u3

2u

5

2

duuuduu1udxx1x

4

1

4

1

4

0

3

1

23

25

21

23

=

−=

−=−=+ ∫∫∫

Esta Solução 2 é um outro método para calcular a integral definida e decorre do Teorema 1.3, a Re-gra da Substituição,

Exemplo 4: O que está errado no seguinte cálculo?

3

4

1

1

3

1

1

xdx

x

13

1

13

12

−=

−

−−

−=

−=

−

−

−∫

Solução: Para começar, notamos que este cálculo deve estar errado, pois a resposta é negativa, mas 0xf ≥)( e a Propriedade 5 estabelece que esta integral deve ser não negativa. O Teorema Fundamen-

tal do Cálculo aplica-se a uma função contínua e não pode ser aplicado neste caso, pois a função do

integrando não é contínua em [−1, 3]. De fato, há uma descontinuidade infinita em x = 0, portanto

∫−

3

12dx

x

1 não existe.


37

ILUSTRAÇÕES E APLICAÇÕES:

Ilustração 1:

Em Matemática, o root mean square (abreviado por RMS) significa a média quadrática. Esta é especialmente útil quando a quantidade assume valores positivos e negativos. O RMS é utilizado em vários campos, especificamente em engenharia elétrica.

O valor RMS de um conjunto de valores é a raiz quadrada da média aritmética do quadrado

dos valores originais. Para o conjunto de n valores }{ n321 x,x,x,x K , o valor RMS é dado por

n

xxxxx

2n

23

22

21

RMS

++++=

K

A correspondente fórmula para uma função contínua, onde f (t) é definida no intervalo [T1, T2], é

( )[ ]∫−=

2T

1T

2

12RMS dttf

TT

1f

Exemplo 5: Calcule o valor RMS da função ( ) xcosaxf = , onde a > 0, no intervalo [0, 2π].

Solução: Tomando a fórmula dada, temos que o valor RSM para função ( ) xcosaxf = no intervalo

solicitado é

[ ] ( )

[ ]2

a2

2

1

2

ax2senx

2

1

2

a

dxx2cos12

adxxcos

2

adxxcosa

02

1f

22

021

2

2

021

22

0

222

0

2RMS

==+=

+==−

= ∫∫∫

πππ

πππ

π

πππ

Agora, compare este resultado com o valor médio da função cosseno calculado no Exemplo 2 da seção 2.4 para o mesmo intervalo [0, 2π].

Exemplo 6:

Em engenharia, a potência P (watts) dissipada por uma resistência elétrica R (ohns) pode ser fa-cilmente calculada quando tanto a resistência quanto a corrente elétrica I (ampere) são constantes. Isto é,

2IRP=


38

Entretanto, se a corrente elétrica for dependente do tempo, a potência dada será também dependente do tempo, ou seja, será uma potência instantânea. Para o cálculo de uma potência média em determi-nado intervalo de tempo, devemos usar valores médios. Portanto,

M2

M2

MM IRIRP )()( ==

onde foi feito que para a resistência constante, RRM = . Então, pela definição de RMS, temos:

2RMSM IRP )(=

Assim, o valor RMS da corrente é um valor constante que produz a mesma dissipação de energia que causa a corrente variável no mesmo intervalo de tempo [T1, T2].

Ilustração 2:

O concreto é definido como sendo a mistura de um aglomerante (cimento), agregados (areias e britas), água e aditivos, com a finalidade de construção de peças para obras civis. No entanto, situ-ações especiais poderão existir, levando-se em conta as particularidades das peças as quais serão concretadas. Sendo assim, outros agregados poderão ser utilizados tais como: isopor, argila expandi-da, etc.

Exemplo 7:

Considere uma peça de densidade uniforme, conforme Fig., feita de concreto com argila ex-pandida de densidade de 1.700 Kg/m3. Sabendo que a parte superior da peça foi moldada seguin-

do a função xexf −=)( e considerando as dimensões postas na Fig., calcule a quantidade de con-

creto que deverá ser usada na sua construção.

Solução: Para o cálculo da quantidade de concreto a ser usada, devemos primeiro calcular o volume da peça e posteriormente multiplicarmos o volume encontrado pela densidade do concreto (já que a densidade é uniforme). O volume de um cilindro reto é dado pela área A da base vezes a altura. Isto é, devemos calcular a área da base que é a área sob o gráfico da função f. Assim,

]

2m

)(

−=

+−=

−=== −−∫∫

3

3

3

0x

3

0

x3

0

e

11A

1e

1A

edxedxxfA


39

Portanto, o volume será 3m,, 475050e

11hAV

3=

−== . E a quantidade de concreto será então de

807,7 Kg.

O Teorema Fundamental do Cálculo é inquestionavelmente o mais importante do cálculo. Antes de sua descoberta, problemas de encontrar áreas, volumes e comprimentos de curvas (arcos) eram tão desafiadoramente difíceis. Agora, a partir deste método que Newton e Leibniz construíram para o Teorema Fundamental do Cálculo, esses problemas são mais acessíveis.

Nota

apostila didática- cálculo 2

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