apostila cálculo iii 2012

Cálculo III 3º Período de Engenharia Mecânica

___________________________________________________________________ 1

UNIVERSIDADE DE ITAÚNA

ENGENHARIA MECÂNICA

CÁLCULO III

Professora Maria Cristina Monteiro Castanheira

2012


___________________________________________________________________ 2

SEQUÊNCIAS Uma sequência infinita é uma sucessão interminável de números, chamados termos. Entende-se que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo a1, um segundo termos a2, um terceiro termo a3 e assim por diante. Sequências infinitas

K,9

4,

7

3,

5

2,

3

1

a1, a2, a3, a4, a5, ... a1 = primeiro termo an = n-ésimo termo Notação: { a1, a2, a3, ..., an} → {an} ou { }∞

=1nna Exemplos:

a) ∞

=

+ 11 nn

n

b) { }∞

=− 03 nn Limite de uma sequência Uma vez que sequências são funções, podemos indagar sobre os seus limites. Porém, como a sequência {an} está somente definida para valores inteiros de n, o único limite que faz sentido é o de an quando n → +∞. Na figura abaixo temos os gráficos de quatro sequências, cada uma das quais comporta-se diferentemente quando n → +∞.

Os termos na sequencia crescem Os termos na sequencia sem limitação. oscilam entre -1 e 1.


___________________________________________________________________ 3

Os termos na sequencia crescem em Os termos da sequencia tendem direção a um “valor limite” de 1. a um“valor limite” de 1, mas o fazem de forma oscilatória. Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma sucessão quando existe é único. Definição: Se uma sequência {an} tem um limite, diz que a sequência é convergente e dizemos que na converge a esse limite. Se a sucessão não é convergente, diz que é divergente. Teorema: Se Lxf

x=

∞→)(lim , e f está definida para todo inteiro positivo, então também

Lnfn

=∞→

)(lim quando n é qualquer inteiro positivo.

Exemplo: Determinar se a sequência

+12

42

2

n

n é convergente ou divergente.

Seja f(x) = 12

42

2

+x

x e investigamos )(lim xf

x ∞→.

21

2

4lim

12

4lim

2

2

2

=+

=+ ∞→∞→

xx

xxx

Por tanto, a sequência é convergente e 12

42

2

+n

n converge a 2 pelo Teorema.


___________________________________________________________________ 4

Proposição 2 Não se altera o limite de uma sucessão convergente modificando um número finito de termos da sucessão. Proposição 3 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certa constante, então a sucessão tem por limite essa constante. Leis do Limite para Sequência Se { }na e { }nb forem sequências convergentes e c for constante, então:

• ( ) nn

nn

nnn

baba∞→∞→∞→

+=+ limlimlim

• ( ) nn

nn

nnn


−=− limlimlim

• nn

nn

acca∞→∞→

⋅= limlim

• ccn

=∞→

lim

• ( ) nn

nn

nnn


⋅=⋅ limlimlim

• n

n

nn

n

n

n b

a

b

a

∞→

∞→

∞→=

lim

limlim , se lim bn ≠ 0

• [ ]pn

n

pn

naa

∞→∞→= limlim , se p > 0 e an > 0

Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende para mais infinito ou para menos infinito. Uma sucessão diz-se oscilante se não for convergente nem propriamente divergente. Em resumo, as sucessões classificam-se do seguinte modo:

• convergentes (limite finito); propriamente divergentes (limite + ∞ ou - ∞) • divergentes oscilantes (nos restantes casos).

Exercícios

1) Calcule os 5 primeiros termos da sequência an = 2an-1 – 1 sendo n > 1 e a1 = - 1.

2) Em cada um dos itens abaixo, encontre uma fórmula plausível para a

sequência cujos termos iniciais são dados.

a) K,4

1,

3

1,

2

1,1

b) K,16

1,

8

1,

4

1,

2

1

c) K,16,9,4,1


___________________________________________________________________ 5

d) 1, 3, 5, 7, 9, ...

e) K,8

1,

6

1,

4

1,

2

1

f) K,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

g) K,13

19,

2

3,

7

11,

4

7,3

h) K,1,1,1,1,1,1 −−−

i) K,5

18,

4

14,

3

10,3

3) Determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente,

encontrar seu limite.

a)

+ 1n

n C → 1

b)

+ 12n

n C →

2

1

c) ( )

n

nln C → 0

d)

n2

1 C → 0

e) { - 2n³ + 1} D

SÉRIES INFINITAS Consideremos uma sequência

a1, a2, a3, ..., an, ... A partir dela formamos a sequência

S1, S2, S3, ..., Sn, ... do seguinte modo:

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, e em geral

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = ∑=

n

kka

1

A sequência {Sn} recebe o nome de série (associada à sequência {an}) e é representada por

a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... ou por

∑=

n

kka

1

Ou então mais simplesmente por

∑ ka .


___________________________________________________________________ 6

Os números ak são chamados termos da série, e os números S1, S2, S3, ..., somas parciais de ordem 1, 2, 3, ..., da série, respectivamente.

Convergência e divergência de séries A soma de infinitos termos de uma série podem ou não convergir para um determinado valor S. Vejamos os exemplos.

• Seria impossível encontrar uma soma finita para a série

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + ...

pois adicionando-se os termos obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21. Assim dizemos que esta série é uma série divergente .

• Adicionando-se os termos da série

LL ++++++++n2

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

E denotando por Sn a soma dos n primeiros números da série, teremos

S1 = 5,02

1 =

S2 = 75,04

1

2

1 =+

S3 = 875,08

1

4

1

2

1 =++

S4 = 9375,016

1

8

1

4

1

2

1 =+++

M

S10 = 99902344,01024

1

4

1

2

1 ≅+++ L

M

S16 = 99998474,02

1

4

1

2

116

≅+++ L

Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1. Assim podemos escrever que

∑∞

=

=++++++++=1

12

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

nnn

LL


___________________________________________________________________ 7

Sendo esta portanto uma série convergente . Uma série ∑∞

=1nna diz-se convergente

se a sucessão das somas parciais, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an, converge para um número real S. Definição: Se S é um número tal que SSn

n=

+∞→lim , então a série ∑ na é dita

convergente, e S é chamado de soma da série. Designaremos usualmente S por

∑+∞

=1nna .

Se não existir nenhum número S tal que SSnn

=+∞→

lim , então a série ∑ na será dita

divergente. Se +∞=+∞→ n

nSlim , então diremos que a série diverge para +∞ e

escreveremos +∞=∑+∞

=1nnS . Da mesma forma, se −∞=

+∞→ nn

Slim , então diremos que a

série diverge para -∞ e escreveremos −∞=∑+∞

=1nnS .

Exemplo: Dada a série infinita ( )∑∑+∞

=

+∞

= +=

11 1

1

nnn nn

u encontrar os quatro primeiros

elementos da sequência de somas parciais {Sn} e encontrar uma fórmula para Sn em termos de n.

S1 = 2

1

2.1

1 =

S2 = 3

2

3.2

1

2

1 =+

S3 = 4

3

4.3

1

3

2 =+

S4 = 5

4

5.4

1

4

3 =+

Por frações parciais vemos que ( ) 1

11

1

1

+−=

+=

kkkkuk

Por tanto, 1

11

+−=

nnun e nn uuuuS ++++= L321

Assim, 11

11

+=

+−=

n

n

nSn

Note que o método de solução do exemplo acima se aplica somente a um caso especial. Em geral, não é possível obter uma expressão geral para Sn. Se uma série infinita tem uma soma S, dizemos também que a série converge a S.

{Sn} =

+ 1n

n


___________________________________________________________________ 8

11

1

1lim

1limlim =

+=

+=

∞→∞→∞→

nn

nS

nnn

n

Assim, concluímos que a série infinita tem uma soma igual a 1. Podemos escrever:

( ) ( ) 11

1

20

1

12

1

6

1

2

1

1

1

1

=++

+++++=+∑

∞

=

LLnnnnn

Teorema: Se a série infinita ∑+∞

=1nna é convergente, então 0lim =

+∞→ nn

a .

A recíproca do Teorema não é válida: 0lim =

+∞→ nn

S não implica que ∑ nS converge.

Teorema: Se 0lim ≠+∞→ n

xa , então a série ∑

+∞

=1nna é divergente.

Exemplo: Demonstrar que as séries seguintes são divergentes.

a) L++++=+∑+∞

= 16

17

9

10

4

52

1

12

2

n n

n

011

11

lim1

limlim2

2

2

≠=+

=+=∞→∞→∞→

nn

na

nnn

n

Por tanto, a série é divergente pelo Teorema.

b) ( ) L+−+−=−++∞

=∑ 333331

1

1

n

n

( ) 31limlim 1+

∞→∞→−= n

nn

na , que não existe.

Por tanto, a série é divergente pelo Teorema. Atenção:

À série ∑∞

=1nna temos associados duas sucessões:

• (an), a partir da qual definimos a série; • (Sn), a sucessão das suas somas parciais.

A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais.


___________________________________________________________________ 9

O fato de (an) ser convergente não garante que ∑∞

=1nna seja convergente.

SÉRIES IMPORTANTES

SÉRIE GEOMÉTRICA Considere a sequência 1−nar , que consiste nos termos a, ar, ar², ar³, ... A série

∑ −1nar é chamada de série geométrica de razão r e primeiro termo a. Sua n-ésima

soma parcial Sn é dada por Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + arn-1 Multiplique por r: rSn = ar + ar² + ar3 + ar4 + ... + arn Subtraia: Sn – rSn = a - arn Portanto, (1 – r)Sn = a(1 – rn)

Sn = ( )

r

ra n

−−

1

1

E o seu termo geral é dado por na = a.rn-1. O termo representado pela letra r é chamado razão da sucessão.

Quando r < 1, demonstra-se que r

aSn

n −=

+∞→ 1lim 1 e que nesse caso, a série se diz

convergente. Tudo agora depende da razão r.

• Se 1<r , então 0lim =+∞→

n

nr (pelo Teorema de convergência) e, portanto

r

aSn

n −=

+∞→ 1lim 1 .

• Se 1>r , então ∞=

+∞→

n

nrlim (pelo Teorema da divergência) e, portanto,

∞=+∞→ n

nSlim . (Uma exceção trivial ocorre quando a = 0. Em tal caso, todos os

termos são 0, a série converge e a sua soma é 0.)

• Se r = 1, Sn = a + a + a + a + a + ... e, portanto a série não converge. Teorema: Dada a série geométrica ∑ −1nar :

(a) Se 1<r , a série converge e tem por soma .1

1

r

a

−

(b) Se 1>r e a ≠ 0, a série diverge para ∞.


___________________________________________________________________ 10

Exemplo: Considere a série geométrica ∑−

1

2

1n

com razão r = 2

1 e primeiro termo

a1 = 1:

L++++8

1

4

1

2

11

Pelo Teorema, a série converge e tem por soma 2

2

11

2

11

1 ==−

. Portanto

∑+∞

=

−

=

1

1

22

1

n

n

.

Podemos multiplicar a série ∑ nS por uma constante c para obter uma nova série

∑ ncS , e podemos somar duas séries ∑ nS e ∑ nT para obter uma nova série

( )∑ + nn TS .

Teorema: Se c ≠ 0, então ∑ ncS , converge se e somente se ∑ nS converge. Além

disso, no caso da convergência,

∑∑+∞

=

+∞

=

=11 n

nn

n SccS

Teorema: Suponha que as duas séries ∑ nS e ∑ nT sejam ambas convergentes.

Então a sua soma ( )∑ + nn TS é também convergente e

( )∑ ∑∑+∞

=

+∞

=

+∞

=

+=+1 11n n

nn

nnn TSTS

Exercícios

1) Use a notação de somatório para escrever a série fornecida de forma compacta.

a) L,81

1,

27

1,

9

1,

3

1

b) L,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

c) K,8

7,

6

5,

4

3,

2

1

2) Encontre a quarta soma parcial S4 da série dada:

a) ∑∞

=1 2

1

nn

16

15


___________________________________________________________________ 11

b) ( )

∑∞

=

−1

1

n

n

n

12

7−

3) Determine se a série geométrica dada converge, e, se assim o for, encontre

sua soma.

a) ∑∞

=

0 5

4

n

n

C → 5

b) ∑∞

=0 3

2

nn

C → 3

c) ∑∞

=

1 2

3

n

n

D

d) ( )∑

∞

= −2 4

3

nn

C → 20

3

e) ( )∑∞

=1

9,05n

n C → 45

f) ∑∞

=+

124

3

nn

n

C → 16

3

g) ∑∞

=−

+

01

1

5

4

nn

n

C → 100

h) ∑∞

=

−

1

1

3

25

n

n

C → 15

i) ∑∞

=

+−

1

183n

nn D

4) Estude a natureza das seguintes séries.

a) ∑+∞

=0 2

3

nn

C → 6

b) n

n∑

∞

=

0 2

3 D

c) ∑+∞

=

−

0

12 32n

nn D

5) Calcule a soma, se existir, para cada série.

a) L++++125

8

25

4

5

21 C →

3

5

b) 1 + 2 + 4 + 8 + ... D

c) L+++++16

1

8

1

4

1

2

11 C → 2

d) L++−+−27

2

9

2

3

226 C →

2

9


___________________________________________________________________ 12

e) L+−+−27

40

9

20

3

105 C → 3

CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA

Teste da Razão (D’Alembert)

Seja ∑∞

=1nna uma série de termos positivos e tal que 0lim =

∞→ nn

a .

Se λ=+

∞→n

n

n a

a 1lim . Em relação ao valor de λ, podemos ter:

• Se λ < 1, a série é convergente. • Se λ > 1, a série é divergente. • Se λ = 1, o critério não se aplica.

Exemplos:

1) L++++64

11

16

8

4

52

Solução: Escrevemos a série usando a notação de somatório, a fim de encontrar o elemento an.

∑∞

=−

−1

14

13

nn

n

Nesse caso temos 14

13−

−=nn

na

Em seguida calculamos o n

na

∞→lim .

∞∞=−

−∞→ 14

13lim

nn

n, pela Regra de L’Hôpital temos:

04ln4.1

3lim

1=

−∞→ nn

Sendo 0lim =∞→ n

na , a série tem chance de ser convergente.

Calculamos n

n

a

a 1+ .

( )412

23

4

1

13

1

4

23

13

4

4

133

4

13

4

113 1

1111

−+=⋅

−⋅+=

−÷−+=−÷−+=

−

−−++

n

n

n

n

n

nnn

a

an

n

nnnn

n

Calculamos o n

n

n a

a 1lim +

∞→ a fim de encontrar λ.


___________________________________________________________________ 13

4

1

12

3

12

3lim

12

3lim

412

23limlim 1 ====

−+=

∞→∞→∞→

+

∞→ nnnn

n

n n

n

n

n

a

a

Sendo λ = 4

1 < 1, concluímos pelo Teste da razão que a série é convergente .

2) Considere a assim chamada série harmônica ∑ +++++= L5

1

4

1

3

1

2

11

1

n.

∑∞

=1

1

n n

nan

1=

011

lim =∞

=∞→ nn

111

11

1

1

1

+=⋅

+=+=+

n

nn

nn

na

a

n

n

101

11

1

11

1

1lim

1lim

1limlim 1 =

+=

∞+

=+

=+

=+

=∞→∞→∞→

+

∞→

nnn

nn

n

n

n

a

annn

n

n

n

Sendo λ = 1, o Teste da razão não se aplica.

As séries da forma ℜ∈∑+∞

=αα ,

1

1n n são chamadas séries de Dirichlet . A série

harmônica é uma série de Dirichlet em que α = 1. Mostra-se que as séries de Dirichlet são convergentes para α > 1 e divergentes para α ≤ 1. Exercícios 1) Examine o comportamento de cada uma das séries seguintes, através do Critério de D’Alembert.

a) L+

⋅+

⋅+

⋅+432

4

34

4

33

4

32

4

3 Convergente

b) L++++432 2

6

2

5

2

4

2

3 Convergente

c) L++++4

4

3

3

2

2

2.4

3

2.3

3

2.2

3

2

3 Divergente

d) ( )∑ +12.7.5.3

!

n

n

L Convergente


___________________________________________________________________ 14

e) ∑∞

=1 3nn

n Convergente

f) ∑∞

=1 3

!

nn

n Divergente

Teste da raiz (Critério de Cauchy) Definição: Se ∑ na é uma série de termos não negativos tal que λ=

∞→n

nn

alim (com

λ finito ou infinito), então:

• se λ < 1, ∑ na é convergente;

• se λ > 1, ∑ na é divergente;

• se λ = 1, nada se pode concluir.

Exemplo: Seja a série de termos não negativos ∑+∞

=

+1

2

53

2

n

n

n

n .

Solução:

Calculamos o n

n

n n

n2

53

2lim

+∞→

n

n

n n

n2

53

2lim

+∞→ =

2

53

2lim

+∞→ n

nn

=

2

53

2

lim

+∞→

nn

nn

n

n =

2

53

2lim

+∞→

n

n =

= 2

03

2

+=

9

4

Como λ = 9

4 < 1. A série é convergente.

Exercícios 1) Examine o comportamento de cada uma das séries seguintes através do critério de Cauchy.

a) ∑

+

n

n

n

7

2

Divergente

b) ∑

+

n

n

n

12 Convergente


___________________________________________________________________ 15

c) 2

1 53

12n

n n

n∑

∞

=

+−

Convergente

d) ∑∞

=

+1

2

11

n

n

n Divergente

Teste da Integral TEOREMA: Seja ∑ na uma série com termos positivos e seja f(x) a função que

resulta quando k for substituído por x no termo geral da série. Se f é decrescente e contínua no intervalo [a, +∞), então

∑∞

=1kna e ∫

+∞

adxxf )(

Ambas convergem ou ambas divergem. Exemplos: 1) Use o teste da integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.

a) ∑∞

=1

1

k k

Solução: Já sabemos que esta é uma série harmônica divergente, assim o teste da integral providenciará uma outra maneira simples de estabelecer a divergência. Se

substituirmos k por x no termo geral k

1, obtemos a função f(x) =

x

1, a qual é

decrescente e contínua para x ≥ 1. Uma vez que

[ ] +∞=+== ∫∫ +∞→+∞→

∞+1lnlnlim

1lim

111

ndxx

dxx

n

nn

a integral diverge e, consequentemente, a série também.

b) ∑∞

=12

1

k k

Solução:

Se substituirmos k por x no termo geral 2

1

k, obtemos a função f(x) =

2

1

x, a qual é

decrescente e contínua para x ≥ 1. Tendo em vista que

11

1lim1

limlim1

11 1 22

=

−=

−==+∞→+∞→

∞+

+∞→∫ ∫ nxx

dxdx

x n

n

n

n

n

a integral converge e, consequentemente, a série converge pelo teste da integral com a = 1.


___________________________________________________________________ 16

Observação: Não concluamos erroneamente que a soma da série é 1, porque o valor da integral correspondente é 1. Exercícios Aplique o teste da integral para determinar a convergência das séries.

a) ∑∞

= +1 25

1

k k Divergente

b) ∑∞

=13

1

k k

2

1 Convergente

c) ∑∞

=1

1

k k Divergente

d) ∑∞

= +12 1k k

k Divergente

e) ∑∞

=

+1

2 1

k k

k Divergente

f) L+++7

1

5

1

3

1 Divergente

g) ∑∞

=2 ln.

1

k kk Divergente

SÉRIES DE FUNÇÃO Definição: Chamamos série de função a toda série em que o termo geral é uma função de uma variável.

∑=+++++n

x

n

xxxx LL

32

sen x + sen 2x + sen 3x + ... + = ∑ nxsen

Numa série de função, para cada valor real de x obtém-se uma série numérica que pode ser convergente ou divergente. O conjunto de valores de x para os quais uma série de função é convergente é denominado raio de convergência ou domínio de convergência dessa série. Uma série de função pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros. O número R é chamado de raio de convergência da série e o conjunto de todos os números para os quais a série converge é chamado de intervalo de convergência . Assim, o intervalo de convergência de uma série de potência consiste no intervalo – R < x < R.


___________________________________________________________________ 17

Exemplo: Seja a série ∑ nx uma série de função.

Se x = 1 ⇒ ∑ nx = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... a série é divergente.

Se x = 2

1 ⇒ ∑ ++++= L

16

1

8

1

4

1

2

1nx a série é convergente.

Dizemos então que x = 2

1 pertence ao domínio de convergência da série.

Para se calcular o domínio de convergência de uma série de função aplicamos o critério de D’Alembert ou de Cauchy, conforme o caso, e tomamos o valor absoluto do limite encontrado em valor absoluto, como se a série fosse convergente (menor que 1) e a seguir, após resolver a inequação resultante, fazemos os testes para os extremos do intervalo encontrado. Exemplo: Determinar o intervalo de convergência da série ∑ nx .

Aplicando o critério de Cauchy: xxn n

n=

∞→lim

111 <<−⇒< xx

Fazemos um “teste” com os extremos do intervalo. Para x = - 1 ⇒ ∑ x = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... é uma série divergente.

Para x = 1 ⇒ ∑ nx = 1 + 1 + 1 + 1 + ... é uma série divergente.

Portanto, o domínio de convergência dessa série é o intervalo ] [1,1− Exercícios 1) Determine o domínio de convergência de cada uma das séries seguintes:

a) ( )∑ nx3

−3

1,

3

1

b) ∑ ⋅ nxn2 ] [1,1−

c) ∑ +1n

xn

[ [1,1−

d) ∑ n

nxn

2

. ] [2,2−


___________________________________________________________________ 18

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Em matemática, uma série de potências (de uma variável) é uma série infinita da forma

onde an representa o coeficiente do n-ésimo termo, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série é dita centrada em c). Esta série geralmente surge como uma série de Taylor de uma função.

Em muitas situações, c é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado série de Maclaurin. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

Domínio de convergência

Para se calcular o domínio de convergência dessas séries, fazemos uma mudança de variáveis, chamando x – p de uma outra variável, e procedemos como nas séries de função. Exemplo: Determine o domínio de convergência da série ( )∑ − nx 3

x – 3 = t ⇒ ( )∑ ∑=− nn tx 3

Aplicando o critério de Cauchy: ttn n

n=

∞→lim

111 <<−⇒< tt

Fazemos um “teste” com os extremos do intervalo.

Para x = - 1 ⇒ n

t∑ = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... é uma série divergente.

Para x = 1 ⇒ ∑ nt = 1 + 1 + 1 + 1 + ... é uma série divergente.

Então, o domínio de convergência dessa série é o intervalo ] [1,1− Portanto, - 1 < t < 1 ⇒ - 1 < x – 3 < 1 ⇒ 2 < x < 4. Daí, o domínio de convergência dessa série será ] [4,2 .


___________________________________________________________________ 19

Exercícios 1) Determine o domínio de convergência de cada uma das séries seguintes:

a) ( )

∑−

2

2

n

x n

[ ]3,1

b) ( ) ( )n

x nn 1

11 −⋅− −

∑ ] ]2,0

c) ( )

∑+n

nxn

2

22

] [0,4−

INTEGRAÇÃO EM SÉRIES

Séries de Taylor e de MacLaurin Na seção anterior pudemos encontrar representações para uma classe restrita de funções. Aqui um problema mais geral será investigado: como podemos encontrar a representação em série de potências para uma certa função? Se f(x) tiver uma representação em séries de potências, então a série será da forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅+⋅+⋅+=!3

0'''!2

0"!1

0'032 x

fx

fx

ffxf

A série acima é chamada de série de MacLaurin da função, no caso mais geral onde a expansão é feita ao redor de x = a é chamada de série de Taylor da função. Podemos escrever resumidamente: Série de Taylor de uma função

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−=∑∞

=

32

0 !3

'''

!2

"

!1

'

!ax

afax

afax

afafax

n

afxf n

n

n

Série de MacLaurin de uma função

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L+⋅+⋅+⋅+==∑

∞

=

32

0 !3

0'''

!2

0"

!1

0'0

!

0x

fx

fx

ffx

n

fxf

n

nn

Exemplo: Considere a função f(x) = sen x , determine a fórmula de MacLaurin para n = 5. Resolução: Como n = 5, é necessário encontrar as cinco primeiras derivadas da função f(x) = sen x.


___________________________________________________________________ 20

f (x) = sen x f(0) = sen 0 = 0 f ' (x) = cos x f ' (0) = cos 0 = 1 f ' '(x) = − sen x f ' ' (0) = - sen 0 = 0 f ' ' ' (x) = - cos x f ' ' ' (0) = - cos 0 = - 1 f(4)(x) = sen x f(4)(0) = sen 0 = 0 f(5)(x) = cos x f(5)(0) = cos 0 = 1 Então a fórmula de MacLaurin para a função f(x) = sen x é:

L+⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+=!5

1!4

0!3

)1(!2

010)(5432 xxxx

xxf

( ) L+++−++=!5

0!3

0053 xx

xxf

( ) L++−=1206

53 xxxxf

Na figura abaixo é apresentado o gráfico correspondente as funções senoidal f(x) = sen x e a sua função polinomial equivalente representada pela equação acima.

FUNÇÃO SENOIDAL E FUNÇÃO POLINOMIAL EQUIVALENTE

A grande utilidade de se desenvolver uma função em série de MacLaurin é que transformamos essa função em uma função polinomial que muitas vezes facilita o seu estudo. Exercícios 1) Desenvolver em série de MacLaurin as funções dadas pelas equações seguintes:

a) f(x) = cos x L−+−=242

1)(42 xx

xf

b) f(x) = ln (1+ x) ( ) L−+−=32

32 xxxxf


___________________________________________________________________ 21

c) f(x) = ex ( ) L+++++=2462

1432 xxx

xxf

d) f(x) = sen 2x ( ) L+−+−=5040

128

120

32

6

82

753 xxxxxf

e) f(x) = x−1

1 f(x) = 1 + x + x² + x³ + …

SÉRIE DE FOURIER Os fenômenos periódicos aparecem nas mais variadas situações: ondas de som, movimento da Terra, batimento cardíaco, ... Frequentemente uma função periódica pode ser representada por meio de funções periódicas simples, nomeadamente, cosseno e seno, sob a forma de uma série chamada série de Fourier da função. Funções periódicas Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo P, denominado período de f, tal que

f(x) = f(x + P), para todo x no domínio de f. Segue da equação f(x) = f(x + P) que se f é periódica de período P então para qualquer n inteiro positivo temos

f(x) = f(x + nP),

ou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo nP do período P também é um período de f. O menor valor de P que satisfaz a equação f(x) = f(x + P) é chamado período fundamental de f. As funções sen(x) e cos(x), são ambas periódicas de período fundamental P = 2π.

A função constante f(x) = c tem como período qualquer número real P > 0.


___________________________________________________________________ 22

As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas. Proposição 1.1: Seja f uma função periódica de período P, então:

(i) f(ax), a ≠ 0, é periódica de período a

P;

(ii)

a

xf , a ≠ 0, é periódica de período aP.

Proposição 1.2: Sejam f1 e f2 duas funções periódicas de mesmo período P, α1 e α2 duas constantes reais quaisquer. A função h definida por

h(x) = α1f1(x) + α2f2(x), também é periódica de período P. Em outras palavras, uma combinação linear de funções periódicas de mesmo período também é periódica, com mesmo período das funções combinadas. Como as funções sen(x) e cos(x) possuem ambas período 2π, pela Proposição 1.1 observamos que:

(i) sen(2x) e cos(2x) possuem período 2

2π = π;

(ii) sen

2

x e cos

2

x possuem período 2 . 2π = 4π;

(iii) sen(2πx) e cos(2πx) possuem período ππ

2

2 = 1;

(iv) sen

P

xπ2 e cos

P

xπ2 possuem período

ππ

2

2P = P

Simetria ondulatória Definição (Função par): Um função f: R → R é dita par se

f(x) = f(- x), ∀x no domínio de f. Geometricamente, se f é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Observe que f(a) = f(- a). Alguns exemplos de funções pares são f(x) = c, f(x) = x , f(x) = x²,

f(x) = xn para n par. Um outro exemplo importante de função par é f(x) = cos(x).


___________________________________________________________________ 23

Definição (Função ímpar): Um função f: R → R é dita ímpar se

f(- x) = - f(x), ∀x no domínio de f. Geometricamente, se f é ímpar seu gráfico é simétrico em relação à origem. Observe que f(- a) = - f(a). Alguns exemplos de funções ímpares são f(x) = x, f(x) = x³, f(x) = xn para n ímpar. Um outro exemplo importante de função ímpar é f(x) = sen(x).

Propriedades das funções pares e ímpares A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais listaremos a seguir. (S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par. (S2) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (S3) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. (P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par. (P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par. (P3) O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar. (1) Se y = f(x) é uma função ímpar contínua em um intervalo [- a, a], a integral

( )∫− =a

adxxf 0 .

(2) Se y = f(x) é uma função par contínua em um intervalo [- a, a], a integral

( ) ( ) .20

dxxfdxxfa

a

a

∫ ∫−=


___________________________________________________________________ 24

Determinação dos Coeficientes de Fourier Dada uma função f periódica de período P nosso objetivo é determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Seja uma função f(x) definida no intervalo de – L a L. A constante L é uma número positivo que será chamada de

semiperíodo, onde 2

PL = .

A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo – L < x < L é

( ) ∑∞

=

++=1

0 cos2 n

nn L

xnsenb

L

xna

axf

ππ

onde:

( )∫−=L

Ldxxf

La

10

( )∫−=L

Ln dxL

xnxf

La

πcos

1

( ) dxL

xnsenxf

Lb

L

Ln

π∫−= 1

Exemplo:

Esboçar o gráfico da função ( )( )

∈∀+<≤

<≤−−=

Rxxf

x

x

xf

,2

0,1

0,1

ππ

π , determinar seu período e

desenvolver em série de Fourier. Resolução: Construindo o gráfico da função: x y x y - π - 1 0 1 ( 0 - 1 ) ( π 1 )


___________________________________________________________________ 25

Período da função: f(x) = f(x + 2π) nos informa que f é periódica de período P = 2π.

L = ππ ==2

2

2

P

Cálculo de a0:

( )∫−=L

Ldxxf

La

10

∫∫− +−=π

π ππ 0

0

0 11

11

dxdxa

]]0

0

0

11 π

π ππxxa ⋅+−⋅=

−

ππ

ππ

⋅+−⋅= 110a

00 =a Cálculo de an:

( )∫−=L

Ln dxL

xnxf

La

πcos

1

dxxnxn

an ∫∫ ⋅+⋅−=−

π

π ππ

πππ

π 0

0cos1

1cos1

1

]]0

0 11 π

π ππ n

nxsen

n

nxsenan ⋅+−⋅=

−

0=na Cálculo de bn:

( )∫−=L

Ln dxL

xnsenxf

Lb

π1

dxxn

sendxxn

senbn ∫∫ ⋅+⋅−=−

π

π ππ

πππ

π 0

01

11

1

]]0

0 cos1cos1 π

π ππ n

nx

n

nxbn −⋅+⋅=

− pois sendo o cosseno par, cos (nπ) = cos (- nπ)

+−+

−=nn

n

n

n

nbn

1cos1cos11 ππ

ππ

ππ

π n

n

nbn

cos22 −=

−==

ímparnn

parnn

1cos

1cos

ππ

01.22 =−=

ππ nnbn n par

( )πππ nnn

bn

41.22 =−−= n ímpar


___________________________________________________________________ 26

Montando a série:

( ) ∑∞

=

++=1

0 cos2 n

nn L

xnsenb

L

xna

axf

ππ

( ) ∑∞

=

⋅+⋅+=ímparn

xnsen

n

xnxf

ππ

πππ 4

cos02

0

( ) nxsenn

xfímparn

⋅= ∑∞

= π4

( ) ∑∞

=

=ímparn

nxsenn

xf14

π

Formulário Resumimos aqui alguns resultados e algumas primitivas correntemente utilizadas quando trabalhamos com Séries de Fourier. Sugerimos ao leitor verificar a veracidade de cada um destes resultados quando utilizá-los pela primeira vez.

(1) ( ) ( ) Ζ∈∀

−=−= n

ímparénse

parénsen n ,

,1

,11cos π

(2) ( ) Ζ∈∀= nnsen ,0π

(3) ( ) ( ) ( )xnsenn

xnn

xdxxnsenx π

ππ

ππ

22

1cos +−=∫

(4) ( ) ( ) ( )xnn

xnsenn

xdxxnx π

ππ

ππ cos

1cos

22+=∫

(5) ( ) ( ) ( ) ( )xnsenn

xnn

xxnsen

n

xxnx π

ππ

ππ

ππ

3322

22 2

cos2

cos −+=∫

Exercícios propostos 01) Esboçar o gráfico de cada uma das funções dadas pelas seguintes equações e determinar o período de cada uma:

a) ( )

<<−−<<

=053

503

xse

xsexf

b) ( )

≤<−−≤<

=012

101

xse

xsexf

c) ( )

<<≤≤

=ππ

π20

0

xse

xsexsenxf

d) ( ) { 112 <≤−= xsexxf

e) ( ) π402

1 ≤≤= xsexsenxf

02) Desenvolver em série de Fourier as funções dadas pelas seguintes equações:


___________________________________________________________________ 27

a) ( )( )

∈∀+<<

<<−=

Rxxf

xse

xse

xf

,2

01

00

ππ

π ( ) ∑

∞

=

+=ímparn

nxsenn

xf12

2

1

π

b) ( ) ( )

∈∀+≤≤−

=Rxxf

xsexxf

,2πππ

( ) ( )∑

∞

=

+−=1

112

n

n

nxsenn

xf

c) ( )( )

∈∀+<≤

≤<−=

Rxxf

xsex

xse

xf

,2

0

00

ππ

π ( ) ( )

∑ ∑∞

=

∞

=

+−+−=ímparn n

n

nxsenn

nxn

xf1

1

2

1cos

12

4 ππ

d) ( ) ( )

∈∀+<<−

=Rxxf

xsexxf

,2

11 ( ) ( )

∑∞

=

+−=1

112

n

n

xnsenn

xf ππ

e) ( )( )

∈∀+<<

<<=

Rxxf

xse

xse

xf

,2

20

01

πππ

π ( ) ∑

∞

=

+=ímparn

nxsenn

xf12

2

1

π

UNIVERSIDADE DE ITAÚNA

ENGENHARIA MECÂNICA

CÁLCULO III


___________________________________________________________________ 28

Professora Maria Cristina Monteiro Castanheira

Matéria da 1ª Prova

SEQUÊNCIAS Uma sequência infinita é uma sucessão interminável de números, chamados termos. Entende-se que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo a1, um segundo termos a2, um terceiro termo a3 e assim por diante. Sequências infinitas

K,9

4,

7

3,

5

2,

3

1

a1, a2, a3, a4, a5, ... a1 = primeiro termo an = n-ésimo termo Notação: { a1, a2, a3, ..., an} → {an} ou { }∞

=1nna Exemplos:

a) ∞

=

+ 11 nn

n

b) { }∞

=− 03 nn Limite de uma sequência Uma vez que sequências são funções, podemos indagar sobre os seus limites. Porém, como a sequência {an} está somente definida para valores inteiros de n, o único limite que faz sentido é o de an quando n → +∞. Na figura abaixo temos os


___________________________________________________________________ 29

gráficos de quatro sequências, cada uma das quais comporta-se diferentemente quando n → +∞.

Os termos na sequencia crescem Os termos na sequencia sem limitação. oscilam entre -1 e 1.

Os termos na sequencia crescem em Os termos da sequencia tendem direção a um “valor limite” de 1. a um“valor limite” de 1, mas o fazem de forma oscilatória. Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma sucessão quando existe é único. Definição: Se uma sequência {an} tem um limite, diz que a sequência é convergente e dizemos que na converge a esse limite. Se a sucessão não é convergente, diz que é divergente.


___________________________________________________________________ 30

Teorema: Se Lxfx

=∞→

)(lim , e f está definida para todo inteiro positivo, então também

Lnfn

=∞→

)(lim quando n é qualquer inteiro positivo.

Exemplo: Determinar se a sequência

+12

42

2

n

n é convergente ou divergente.

Seja f(x) = 12

42

2

+x

x e investigamos )(lim xf

x ∞→.

21

2

4lim

12

4lim

2

2

2

=+

=+ ∞→∞→

xx

xxx

Por tanto, a sequência é convergente e 12

42

2

+n

n converge a 2 pelo Teorema.

Proposição 2 Não se altera o limite de uma sucessão convergente modificando um número finito de termos da sucessão. Proposição 3 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certa constante, então a sucessão tem por limite essa constante. Leis do Limite para Sequência Se { }na e { }nb forem sequências convergentes e c for constante, então:

• ( ) nn

nn

nnn


+=+ limlimlim

• ( ) nn

nn

nnn


−=− limlimlim

• nn

nn

acca∞→∞→

⋅= limlim

• ccn

=∞→

lim

• ( ) nn

nn

nnn


⋅=⋅ limlimlim

• n

n

nn

n

n

n b

a

b

a

∞→

∞→

∞→=

lim

limlim , se lim bn ≠ 0

• [ ]pn

n

pn

naa

∞→∞→= limlim , se p > 0 e an > 0

Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende para mais infinito ou para menos infinito. Uma sucessão diz-se oscilante se não for convergente nem propriamente divergente. Em resumo, as sucessões classificam-se do seguinte modo:


___________________________________________________________________ 31

• convergentes (limite finito); propriamente divergentes (limite + ∞ ou - ∞) • divergentes oscilantes (nos restantes casos).

Exercícios

4) Calcule os 5 primeiros termos da sequência an = 2an-1 – 1 sendo n > 1 e a1 = - 1.

5) Em cada um dos itens abaixo, encontre uma fórmula plausível para a

sequência cujos termos iniciais são dados.

a) K,4

1,

3

1,

2

1,1

b) K,16

1,

8

1,

4

1,

2

1

c) K,16,9,4,1 d) 1, 3, 5, 7, 9, ...

e) K,8

1,

6

1,

4

1,

2

1

f) K,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

g) K,13

19,

2

3,

7

11,

4

7,3

h) K,1,1,1,1,1,1 −−−

i) K,5

18,

4

14,

3

10,3

6) Determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente,

encontrar seu limite.

a)

+ 1n

n C → 1

b)

+ 12n

n C →

2

1

c) ( )

n

nln C → 0

d)

n2

1 C → 0

e) { - 2n³ + 1} D

SÉRIES INFINITAS


___________________________________________________________________ 32

Consideremos uma sequência

a1, a2, a3, ..., an, ... A partir dela formamos a sequência

S1, S2, S3, ..., Sn, ... do seguinte modo:

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, e em geral

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = ∑=

n

kka

1

A sequência {Sn} recebe o nome de série (associada à sequência {an}) e é representada por

a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ... ou por

∑=

n

kka

1

Ou então mais simplesmente por

∑ ka .

Os números ak são chamados termos da série, e os números S1, S2, S3, ..., somas parciais de ordem 1, 2, 3, ..., da série, respectivamente.

Convergência e divergência de séries A soma de infinitos termos de uma série podem ou não convergir para um determinado valor S. Vejamos os exemplos.

• Seria impossível encontrar uma soma finita para a série

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + ...

pois adicionando-se os termos obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21. Assim dizemos que esta série é uma série divergente .

• Adicionando-se os termos da série

LL ++++++++n2

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

E denotando por Sn a soma dos n primeiros números da série, teremos

S1 = 5,02

1 =

S2 = 75,04

1

2

1 =+

S3 = 875,08

1

4

1

2

1 =++


___________________________________________________________________ 33

S4 = 9375,016

1

8

1

4

1

2

1 =+++

M

S10 = 99902344,01024

1

4

1

2

1 ≅+++ L

M

S16 = 99998474,02

1

4

1

2

116

≅+++ L

Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1. Assim podemos escrever que

∑∞

=

=++++++++=1

12

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

nnn

LL

Sendo esta portanto uma série convergente . Uma série ∑∞

=1nna diz-se convergente

se a sucessão das somas parciais, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an, converge para um número real S. Definição: Se S é um número tal que SSn

n=

+∞→lim , então a série ∑ na é dita

convergente, e S é chamado de soma da série. Designaremos usualmente S por

∑+∞

=1nna .

Se não existir nenhum número S tal que SSnn

=+∞→

lim , então a série ∑ na será dita

divergente. Se +∞=+∞→ n

nSlim , então diremos que a série diverge para +∞ e

escreveremos +∞=∑+∞

=1nnS . Da mesma forma, se −∞=

+∞→ nn

Slim , então diremos que a

série diverge para -∞ e escreveremos −∞=∑+∞

=1nnS .

Exemplo: Dada a série infinita ( )∑∑+∞

=

+∞

= +=

11 1

1

nnn nn

u encontrar os quatro primeiros

elementos da sequência de somas parciais {Sn} e encontrar uma fórmula para Sn em termos de n.

S1 = 2

1

2.1

1 =

S2 = 3

2

3.2

1

2

1 =+

S3 = 4

3

4.3

1

3

2 =+

S4 = 5

4

5.4

1

4

3 =+


___________________________________________________________________ 34

Por frações parciais vemos que ( ) 1

11

1

1

+−=

+=

kkkkuk

Por tanto, 1

11

+−=

nnun e nn uuuuS ++++= L321

Assim, 11

11

+=

+−=

n

n

nSn

Note que o método de solução do exemplo acima se aplica somente a um caso especial. Em geral, não é possível obter uma expressão geral para Sn. Se uma série infinita tem uma soma S, dizemos também que a série converge a S.

{Sn} =

+ 1n

n

11

1

1lim

1limlim =

+=

+=

∞→∞→∞→

nn

nS

nnn

n

Assim, concluímos que a série infinita tem uma soma igual a 1. Podemos escrever:

( ) ( ) 11

1

20

1

12

1

6

1

2

1

1

1

1

=++

+++++=+∑

∞

=

LLnnnnn

Teorema: Se a série infinita ∑+∞

=1nna é convergente, então 0lim =

+∞→ nn

a .

A recíproca do Teorema não é válida: 0lim =

+∞→ nn

S não implica que ∑ nS converge.

Teorema: Se 0lim ≠+∞→ n

xa , então a série ∑

+∞

=1nna é divergente.

Exemplo: Demonstrar que as séries seguintes são divergentes.

a) L++++=+∑+∞

= 16

17

9

10

4

52

1

12

2

n n

n

011

11

lim1

limlim2

2

2

≠=+

=+=∞→∞→∞→

nn

na

nnn

n

Por tanto, a série é divergente pelo Teorema.

b) ( ) L+−+−=−++∞

=∑ 333331

1

1

n

n


___________________________________________________________________ 35

( ) 31limlim 1+

∞→∞→−= n

nn

na , que não existe.

Por tanto, a série é divergente pelo Teorema. Atenção:

À série ∑∞

=1nna temos associados duas sucessões:

• (an), a partir da qual definimos a série; • (Sn), a sucessão das suas somas parciais.

A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais.

O fato de (an) ser convergente não garante que ∑∞

=1nna seja convergente.

SÉRIES IMPORTANTES

SÉRIE GEOMÉTRICA Considere a sequência 1−nar , que consiste nos termos a, ar, ar², ar³, ... A série

∑ −1nar é chamada de série geométrica de razão r e primeiro termo a. Sua n-ésima

soma parcial Sn é dada por Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + arn-1 Multiplique por r: rSn = ar + ar² + ar3 + ar4 + ... + arn Subtraia: Sn – rSn = a - arn Portanto, (1 – r)Sn = a(1 – rn)

Sn = ( )

r

ra n

−−

1

1

E o seu termo geral é dado por na = a.rn-1. O termo representado pela letra r é chamado razão da sucessão.

Quando r < 1, demonstra-se que r

aSn

n −=

+∞→ 1lim 1 e que nesse caso, a série se diz

convergente. Tudo agora depende da razão r.

• Se 1<r , então 0lim =+∞→

n

nr (pelo Teorema de convergência) e, portanto

r

aSn

n −=

+∞→ 1lim 1 .


___________________________________________________________________ 36

• Se 1>r , então ∞=+∞→

n

nrlim (pelo Teorema da divergência) e, portanto,

∞=+∞→ n

nSlim . (Uma exceção trivial ocorre quando a = 0. Em tal caso, todos os

termos são 0, a série converge e a sua soma é 0.)

• Se r = 1, Sn = a + a + a + a + a + ... e, portanto a série não converge. Teorema: Dada a série geométrica ∑ −1nar :

(c) Se 1<r , a série converge e tem por soma .1

1

r

a

−

(d) Se 1>r e a ≠ 0, a série diverge para ∞.

Exemplo: Considere a série geométrica ∑−

1

2

1n

com razão r = 2

1 e primeiro termo

a1 = 1:

L++++8

1

4

1

2

11

Pelo Teorema, a série converge e tem por soma 2

2

11

2

11

1 ==−

. Portanto

∑+∞

=

−

=

1

1

22

1

n

n

.

Podemos multiplicar a série ∑ nS por uma constante c para obter uma nova série

∑ ncS , e podemos somar duas séries ∑ nS e ∑ nT para obter uma nova série

( )∑ + nn TS .

Teorema: Se c ≠ 0, então ∑ ncS , converge se e somente se ∑ nS converge. Além

disso, no caso da convergência,

∑∑+∞

=

+∞

=

=11 n

nn

n SccS

Teorema: Suponha que as duas séries ∑ nS e ∑ nT sejam ambas convergentes.

Então a sua soma ( )∑ + nn TS é também convergente e

( )∑ ∑∑+∞

=

+∞

=

+∞

=

+=+1 11n n

nn

nnn TSTS

Exercícios


___________________________________________________________________ 37

6) Use a notação de somatório para escrever a série fornecida de forma compacta.

a) L,81

1,

27

1,

9

1,

3

1

b) L,5

4,

4

3,

3

2,

2

1

c) K,8

7,

6

5,

4

3,

2

1

7) Encontre a quarta soma parcial S4 da série dada:

a) ∑∞

=1 2

1

nn

16

15

b) ( )

∑∞

=

−1

1

n

n

n

12

7−

8) Determine se a série geométrica dada converge, e, se assim o for, encontre

sua soma.

a) ∑∞

=

0 5

4

n

n

C → 5

b) ∑∞

=0 3

2

nn

C → 3

c) ∑∞

=

1 2

3

n

n

D

d) ( )∑

∞

= −2 4

3

nn

C → 20

3

e) ( )∑∞

=1

9,05n

n C → 45

f) ∑∞

=+

124

3

nn

n

C → 16

3

g) ∑∞

=−

+

01

1

5

4

nn

n

C → 100

h) ∑∞

=

−

1

1

3

25

n

n

C → 15

i) ∑∞

=

+−

1

183n

nn D

9) Estude a natureza das seguintes séries.

a) ∑+∞

=0 2

3

nn

C → 6


___________________________________________________________________ 38

b) n

n∑

∞

=

0 2

3 D

c) ∑+∞

=

−

0

12 32n

nn D

10) Calcule a soma, se existir, para cada série.

a) L++++125

8

25

4

5

21 C →

3

5

b) 1 + 2 + 4 + 8 + ... D

c) L+++++16

1

8

1

4

1

2

11 C → 2

d) L++−+−27

2

9

2

3

226 C →

2

9

e) L+−+−27

40

9

20

3

105 C → 3

CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA

Teste da Razão (D’Alembert)

Seja ∑∞

=1nna uma série de termos positivos e tal que 0lim =

∞→ nn

a .

Se λ=+

∞→n

n

n a

a 1lim . Em relação ao valor de λ, podemos ter:

• Se λ < 1, a série é convergente. • Se λ > 1, a série é divergente. • Se λ = 1, o critério não se aplica.

Exemplos:

1) L++++64

11

16

8

4

52

Solução: Escrevemos a série usando a notação de somatório, a fim de encontrar o elemento an.

∑∞

=−

−1

14

13

nn

n

Nesse caso temos 14

13−

−=nn

na

Em seguida calculamos o n

na

∞→lim .

∞∞=−

−∞→ 14

13lim

nn

n, pela Regra de L’Hôpital temos:


___________________________________________________________________ 39

04ln4.1

3lim

1=

−∞→ nn

Sendo 0lim =∞→ n

na , a série tem chance de ser convergente.

Calculamos n

n

a

a 1+ .

( )412

23

4

1

13

1

4

23

13

4

4

133

4

13

4

113 1

1111

−+=⋅

−⋅+=

−÷−+=−÷−+=

−

−−++

n

n

n

n

n

nnn

a

an

n

nnnn

n

Calculamos o n

n

n a

a 1lim +

∞→ a fim de encontrar λ.

4

1

12

3

12

3lim

12

3lim

412

23limlim 1 ====

−+=

∞→∞→∞→

+

∞→ nnnn

n

n n

n

n

n

a

a

Sendo λ = 4

1 < 1, concluímos pelo Teste da razão que a série é convergente .

2) Considere a assim chamada série harmônica ∑ +++++= L5

1

4

1

3

1

2

11

1

n.

∑∞

=1

1

n n

nan

1=

011

lim =∞

=∞→ nn

111

11

1

1

1

+=⋅

+=+=+

n

nn

nn

na

a

n

n

101

11

1

11

1

1lim

1lim

1limlim 1 =

+=

∞+

=+

=+

=+

=∞→∞→∞→

+

∞→

nnn

nn

n

n

n

a

annn

n

n

n

Sendo λ = 1, o Teste da razão não se aplica.

As séries da forma ℜ∈∑+∞

=αα ,

1

1n n são chamadas séries de Dirichlet . A série

harmônica é uma série de Dirichlet em que α = 1. Mostra-se que as séries de Dirichlet são convergentes para α > 1 e divergentes para α ≤ 1. Exercícios


___________________________________________________________________ 40

1) Examine o comportamento de cada uma das séries seguintes, através do Critério de D’Alembert.

a) L+

⋅+

⋅+

⋅+432

4

34

4

33

4

32

4

3 Convergente

b) L++++432 2

6

2

5

2

4

2

3 Convergente

c) L++++4

4

3

3

2

2

2.4

3

2.3

3

2.2

3

2

3 Divergente

d) ( )∑ +12.7.5.3

!

n

n

L Convergente

e) ∑∞

=1 3nn

n Convergente

f) ∑∞

=1 3

!

nn

n Divergente

Teste da raiz (Critério de Cauchy) Definição: Se ∑ na é uma série de termos não negativos tal que λ=

∞→n

nn

alim (com

λ finito ou infinito), então:

• se λ < 1, ∑ na é convergente;

• se λ > 1, ∑ na é divergente;

• se λ = 1, nada se pode concluir.

Exemplo: Seja a série de termos não negativos ∑+∞

=

+1

2

53

2

n

n

n

n .

Solução:

Calculamos o n

n

n n

n2

53

2lim

+∞→

n

n

n n

n2

53

2lim

+∞→ =

2

53

2lim

+∞→ n

nn

=

2

53

2

lim

+∞→

nn

nn

n

n =

2

53

2lim

+∞→

n

n =

= 2

03

2

+=

9

4

Como λ = 9

4 < 1. A série é convergente.


___________________________________________________________________ 41

Exercícios 1) Examine o comportamento de cada uma das séries seguintes através do critério de Cauchy.

a) ∑

+

n

n

n

7

2

Divergente

b) ∑

+

n

n

n

12 Convergente

c) 2

1 53

12n

n n

n∑

∞

=

+−

Convergente

d) ∑∞

=

+1

2

11

n

n

n Divergente

Teste da Integral TEOREMA: Seja ∑ na uma série com termos positivos e seja f(x) a função que

resulta quando k for substituído por x no termo geral da série. Se f é decrescente e contínua no intervalo [a, +∞), então

∑∞

=1kna e ∫

+∞

adxxf )(

Ambas convergem ou ambas divergem. Exemplos: 1) Use o teste da integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.

a) ∑∞

=1

1

k k

Solução: Já sabemos que esta é uma série harmônica divergente, assim o teste da integral providenciará uma outra maneira simples de estabelecer a divergência. Se

substituirmos k por x no termo geral k

1, obtemos a função f(x) =

x

1, a qual é

decrescente e contínua para x ≥ 1. Uma vez que

[ ] +∞=+== ∫∫ +∞→+∞→

∞+1lnlnlim

1lim

111

ndxx

dxx

n

nn

a integral diverge e, consequentemente, a série também.

b) ∑∞

=12

1

k k


___________________________________________________________________ 42

Solução:

Se substituirmos k por x no termo geral 2

1

k, obtemos a função f(x) =

2

1

x, a qual é

decrescente e contínua para x ≥ 1. Tendo em vista que

11

1lim1

limlim1

11 1 22

=

−=

−==+∞→+∞→

∞+

+∞→∫ ∫ nxx

dxdx

x n

n

n

n

n

a integral converge e, consequentemente, a série converge pelo teste da integral com a = 1. Observação: Não concluamos erroneamente que a soma da série é 1, porque o valor da integral correspondente é 1. Exercícios Aplique o teste da integral para determinar a convergência das séries.

a) ∑∞

= +1 25

1

k k Divergente

b) ∑∞

=13

1

k k

2

1 Convergente

c) ∑∞

=1

1

k k Divergente

d) ∑∞

= +12 1k k

k Divergente

e) ∑∞

=

+1

2 1

k k

k Divergente

f) L+++7

1

5

1

3

1 Divergente

g) ∑∞

=2 ln.

1

k kk Divergente

SÉRIES DE FUNÇÃO Definição: Chamamos série de função a toda série em que o termo geral é uma função de uma variável.

∑=+++++n

x

n

xxxx LL

32

sen x + sen 2x + sen 3x + ... + = ∑ nxsen

Numa série de função, para cada valor real de x obtém-se uma série numérica que pode ser convergente ou divergente.


___________________________________________________________________ 43

O conjunto de valores de x para os quais uma série de função é convergente é denominado raio de convergência ou domínio de convergência dessa série. Uma série de função pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros. O número R é chamado de raio de convergência da série e o conjunto de todos os números para os quais a série converge é chamado de intervalo de convergência . Assim, o intervalo de convergência de uma série de potência consiste no intervalo – R < x < R.

Exemplo: Seja a série ∑ nx uma série de função.

Se x = 1 ⇒ ∑ nx = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... a série é divergente.

Se x = 2

1 ⇒ ∑ ++++= L

16

1

8

1

4

1

2

1nx a série é convergente.

Dizemos então que x = 2

1 pertence ao domínio de convergência da série.

Para se calcular o domínio de convergência de uma série de função aplicamos o critério de D’Alembert ou de Cauchy, conforme o caso, e tomamos o valor absoluto do limite encontrado em valor absoluto, como se a série fosse convergente (menor que 1) e a seguir, após resolver a inequação resultante, fazemos os testes para os extremos do intervalo encontrado. Exemplo: Determinar o intervalo de convergência da série ∑ nx .

Aplicando o critério de Cauchy: xxn n

n=

∞→lim

111 <<−⇒< xx

Fazemos um “teste” com os extremos do intervalo. Para x = - 1 ⇒ ∑ x = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... é uma série divergente.

Para x = 1 ⇒ ∑ nx = 1 + 1 + 1 + 1 + ... é uma série divergente.

Portanto, o domínio de convergência dessa série é o intervalo ] [1,1− Exercícios 1) Determine o domínio de convergência de cada uma das séries seguintes:

a) ( )∑ nx3

−3

1,

3

1


___________________________________________________________________ 44

b) ∑ ⋅ nxn2 ] [1,1−

c) ∑ +1n

xn

[ [1,1−

d) ∑ n

nxn

2

. ] [2,2−

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Em matemática, uma série de potências (de uma variável) é uma série infinita da forma

onde an representa o coeficiente do n-ésimo termo, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série é dita centrada em c). Esta série geralmente surge como uma série de Taylor de uma função.

Em muitas situações, c é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado série de Maclaurin. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

Domínio de convergência

Para se calcular o domínio de convergência dessas séries, fazemos uma mudança de variáveis, chamando x – p de uma outra variável, e procedemos como nas séries de função. Exemplo: Determine o domínio de convergência da série ( )∑ − nx 3

x – 3 = t ⇒ ( )∑ ∑=− nn tx 3

Aplicando o critério de Cauchy: ttn n

n=

∞→lim

111 <<−⇒< tt

Fazemos um “teste” com os extremos do intervalo.

Para x = - 1 ⇒ n

t∑ = -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... é uma série divergente.


___________________________________________________________________ 45

Para x = 1 ⇒ ∑ nt = 1 + 1 + 1 + 1 + ... é uma série divergente.

Então, o domínio de convergência dessa série é o intervalo ] [1,1− Portanto, - 1 < t < 1 ⇒ - 1 < x – 3 < 1 ⇒ 2 < x < 4. Daí, o domínio de convergência dessa série será ] [4,2 . Exercícios 1) Determine o domínio de convergência de cada uma das séries seguintes:

a) ( )

∑−

2

2

n

x n

[ ]3,1

b) ( ) ( )n

x nn 1

11 −⋅− −

∑ ] ]2,0

c) ( )

∑+n

nxn

2

22

] [0,4−

INTEGRAÇÃO EM SÉRIES

Séries de Taylor e de MacLaurin Na seção anterior pudemos encontrar representações para uma classe restrita de funções. Aqui um problema mais geral será investigado: como podemos encontrar a representação em série de potências para uma certa função? Se f(x) tiver uma representação em séries de potências, então a série será da forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+⋅+⋅+⋅+=!3

0'''!2

0"!1

0'032 x

fx

fx

ffxf

A série acima é chamada de série de MacLaurin da função, no caso mais geral onde a expansão é feita ao redor de x = a é chamada de série de Taylor da função. Podemos escrever resumidamente: Série de Taylor de uma função

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−=∑∞

=

32

0 !3

'''

!2

"

!1

'

!ax

afax

afax

afafax

n

afxf n

n

n

Série de MacLaurin de uma função

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L+⋅+⋅+⋅+==∑

∞

=

32

0 !3

0'''

!2

0"

!1

0'0

!

0x

fx

fx

ffx

n

fxf

n

nn


___________________________________________________________________ 46

Exemplo: Considere a função f(x) = sen x , determine a fórmula de MacLaurin para n = 5. Resolução: Como n = 5, é necessário encontrar as cinco primeiras derivadas da função f(x) = sen x. f (x) = sen x f(0) = sen 0 = 0 f ' (x) = cos x f ' (0) = cos 0 = 1 f ' '(x) = − sen x f ' ' (0) = - sen 0 = 0 f ' ' ' (x) = - cos x f ' ' ' (0) = - cos 0 = - 1 f(4)(x) = sen x f(4)(0) = sen 0 = 0 f(5)(x) = cos x f(5)(0) = cos 0 = 1 Então a fórmula de MacLaurin para a função f(x) = sen x é:

L+⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+=!5

1!4

0!3

)1(!2

010)(5432 xxxx

xxf

( ) L+++−++=!5

0!3

0053 xx

xxf

( ) L++−=1206

53 xxxxf

Na figura abaixo é apresentado o gráfico correspondente as funções senoidal f(x) = sen x e a sua função polinomial equivalente representada pela equação acima.

FUNÇÃO SENOIDAL E FUNÇÃO POLINOMIAL EQUIVALENTE

A grande utilidade de se desenvolver uma função em série de MacLaurin é que transformamos essa função em uma função polinomial que muitas vezes facilita o seu estudo.


___________________________________________________________________ 47

Exercícios 1) Desenvolver em série de MacLaurin as funções dadas pelas equações seguintes:

a) f(x) = cos x L−+−=242

1)(42 xx

xf

b) f(x) = ln (1+ x) ( ) L−+−=32

32 xxxxf

c) f(x) = ex ( ) L+++++=2462

1432 xxx

xxf

d) f(x) = sen 2x ( ) L+−+−=5040

128

120

32

6

82

753 xxxxxf

e) f(x) = x−1

1 f(x) = 1 + x + x² + x³ + …

SÉRIE DE FOURIER Os fenômenos periódicos aparecem nas mais variadas situações: ondas de som, movimento da Terra, batimento cardíaco, ... Frequentemente uma função periódica pode ser representada por meio de funções periódicas simples, nomeadamente, cosseno e seno, sob a forma de uma série chamada série de Fourier da função. Funções periódicas Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo P, denominado período de f, tal que

f(x) = f(x + P), para todo x no domínio de f. Segue da equação f(x) = f(x + P) que se f é periódica de período P então para qualquer n inteiro positivo temos

f(x) = f(x + nP),

ou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo nP do período P também é um período de f. O menor valor de P que satisfaz a equação f(x) = f(x + P) é chamado período fundamental de f. As funções sen(x) e cos(x), são ambas periódicas de período fundamental P = 2π.


___________________________________________________________________ 48

A função constante f(x) = c tem como período qualquer número real P > 0. As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas. Proposição 1.1: Seja f uma função periódica de período P, então:

(iii) f(ax), a ≠ 0, é periódica de período a

P;

(iv)

a

xf , a ≠ 0, é periódica de período aP.

Proposição 1.2: Sejam f1 e f2 duas funções periódicas de mesmo período P, α1 e α2 duas constantes reais quaisquer. A função h definida por

h(x) = α1f1(x) + α2f2(x), também é periódica de período P. Em outras palavras, uma combinação linear de funções periódicas de mesmo período também é periódica, com mesmo período das funções combinadas. Como as funções sen(x) e cos(x) possuem ambas período 2π, pela Proposição 1.1 observamos que:

(v) sen(2x) e cos(2x) possuem período 2

2π = π;

(vi) sen

2

x e cos

2

x possuem período 2 . 2π = 4π;

(vii) sen(2πx) e cos(2πx) possuem período ππ

2

2 = 1;

(viii) sen

P

xπ2 e cos

P

xπ2 possuem período

ππ

2

2P = P

Simetria ondulatória Definição (Função par): Um função f: R → R é dita par se


___________________________________________________________________ 49

f(x) = f(- x), ∀x no domínio de f. Geometricamente, se f é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Observe que f(a) = f(- a). Alguns exemplos de funções pares são f(x) = c, f(x) = x , f(x) = x²,

f(x) = xn para n par. Um outro exemplo importante de função par é f(x) = cos(x).

Definição (Função ímpar): Um função f: R → R é dita ímpar se

f(- x) = - f(x), ∀x no domínio de f. Geometricamente, se f é ímpar seu gráfico é simétrico em relação à origem. Observe que f(- a) = - f(a). Alguns exemplos de funções ímpares são f(x) = x, f(x) = x³, f(x) = xn para n ímpar. Um outro exemplo importante de função ímpar é f(x) = sen(x).

Propriedades das funções pares e ímpares A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais listaremos a seguir. (S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par. (S2) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (S3) A soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. (P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par. (P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par. (P3) O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar.


___________________________________________________________________ 50

(1) Se y = f(x) é uma função ímpar contínua em um intervalo [- a, a], a integral

( )∫− =a

adxxf 0 .

(2) Se y = f(x) é uma função par contínua em um intervalo [- a, a], a integral

( ) ( ) .20

dxxfdxxfa

a

a

∫ ∫−=

Determinação dos Coeficientes de Fourier Dada uma função f periódica de período P nosso objetivo é determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Seja uma função f(x) definida no intervalo de – L a L. A constante L é uma número positivo que será chamada de

semiperíodo, onde 2

PL = .

A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo – L < x < L é

( ) ∑∞

=

++=1

0 cos2 n

nn L

xnsenb

L

xna

axf

ππ

onde:

( )∫−=L

Ldxxf

La

10

( )∫−=L

Ln dxL

xnxf

La

πcos

1

( ) dxL

xnsenxf

Lb

L

Ln

π∫−= 1

Exemplo:

Esboçar o gráfico da função ( )( )

∈∀+<≤

<≤−−=

Rxxf

x

x

xf

,2

0,1

0,1

ππ

π , determinar seu período e

desenvolver em série de Fourier. Resolução: Construindo o gráfico da função: x y x y - π - 1 0 1 ( 0 - 1 ) ( π 1 )


___________________________________________________________________ 51

Período da função: f(x) = f(x + 2π) nos informa que f é periódica de período P = 2π.

L = ππ ==2

2

2

P

Cálculo de a0:

( )∫−=L

Ldxxf

La

10

∫∫− +−=π

π ππ 0

0

0 11

11

dxdxa

]]0

0

0

11 π

π ππxxa ⋅+−⋅=

−

ππ

ππ

⋅+−⋅= 110a

00 =a Cálculo de an:

( )∫−=L

Ln dxL

xnxf

La

πcos

1

dxxnxn

an ∫∫ ⋅+⋅−=−

π

π ππ

πππ

π 0

0cos1

1cos1

1

]]0

0 11 π

π ππ n

nxsen

n

nxsenan ⋅+−⋅=

−

0=na Cálculo de bn:

( )∫−=L

Ln dxL

xnsenxf

Lb

π1

dxxn

sendxxn

senbn ∫∫ ⋅+⋅−=−

π

π ππ

πππ

π 0

01

11

1

]]0

0 cos1cos1 π

π ππ n

nx

n

nxbn −⋅+⋅=

− pois sendo o cosseno par, cos (nπ) = cos (- nπ)


___________________________________________________________________ 52

+−+

−=nn

n

n

n

nbn

1cos1cos11 ππ

ππ

ππ

π n

n

nbn

cos22 −=

−==

ímparnn

parnn

1cos

1cos

ππ

01.22 =−=

ππ nnbn n par

( )πππ nnn

bn

41.22 =−−= n ímpar

Montando a série:

( ) ∑∞

=

++=1

0 cos2 n

nn L

xnsenb

L

xna

axf

ππ

( ) ∑∞

=

⋅+⋅+=ímparn

xnsen

n

xnxf

ππ

πππ 4

cos02

0

( ) nxsenn

xfímparn

⋅= ∑∞

= π4

( ) ∑∞

=

=ímparn

nxsenn

xf14

π

Formulário Resumimos aqui alguns resultados e algumas primitivas correntemente utilizadas quando trabalhamos com Séries de Fourier. Sugerimos ao leitor verificar a veracidade de cada um destes resultados quando utilizá-los pela primeira vez.

(1) ( ) ( ) Ζ∈∀

−=−= n

ímparénse

parénsen n ,

,1

,11cos π

(2) ( ) Ζ∈∀= nnsen ,0π

(3) ( ) ( ) ( )xnsenn

xnn

xdxxnsenx π

ππ

ππ

22

1cos +−=∫

(4) ( ) ( ) ( )xnn

xnsenn

xdxxnx π

ππ

ππ cos

1cos

22+=∫

(5) ( ) ( ) ( ) ( )xnsenn

xnn

xxnsen

n

xxnx π

ππ

ππ

ππ

3322

22 2

cos2

cos −+=∫

Exercícios propostos 01) Esboçar o gráfico de cada uma das funções dadas pelas seguintes equações e determinar o período de cada uma:

a) ( )

<<−−<<

=053

503

xse

xsexf

b) ( )

≤<−−≤<

=012

101

xse

xsexf


___________________________________________________________________ 53

c) ( )

<<≤≤

=ππ

π20

0

xse

xsexsenxf

d) ( ) { 112 <≤−= xsexxf

e) ( ) π402

1 ≤≤= xsexsenxf

02) Desenvolver em série de Fourier as funções dadas pelas seguintes equações:

a) ( )( )

∈∀+<<

<<−=

Rxxf

xse

xse

xf

,2

01

00

ππ

π ( ) ∑

∞

=

+=ímparn

nxsenn

xf12

2

1

π

b) ( ) ( )

∈∀+≤≤−

=Rxxf

xsexxf

,2πππ

( ) ( )∑

∞

=

+−=1

112

n

n

nxsenn

xf

c) ( )( )

∈∀+<≤

≤<−=

Rxxf

xsex

xse

xf

,2

0

00

ππ

π ( ) ( )

∑ ∑∞

=

∞

=

+−+−=ímparn n

n

nxsenn

nxn

xf1

1

2

1cos

12

4 ππ

d) ( ) ( )

∈∀+<<−

=Rxxf

xsexxf

,2

11 ( ) ( )

∑∞

=

+−=1

112

n

n

xnsenn

xf ππ

e) ( )( )

∈∀+<<

<<=

Rxxf

xse

xse

xf

,2

20

01

πππ

π ( ) ∑

∞

=

+=ímparn

nxsenn

xf12

2

1

π

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. Conceitos fundamentais em equações diferenciais Tratam-se de equações envolvendo uma função incógnita e suas derivadas, além de variáveis independentes. Exemplo: 9y(x)y’(x) + 4x = 0 x é a variável independente y(x) é a função incógnita 1.1 Definição de Equação Diferencial Ordinária Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0,,",',, =xyxyxyxyxF nK

Envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferencias. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x). Exemplos:

1. y” + 3y’ + 6y = sen(x) 2. (y”)³ + 3y’ + 6y = tan(x)


___________________________________________________________________ 54

3. y” + 3y y’ = ex 4. y’ = f(x, y)

1.2 Ordem e grau Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. Exemplos: 1. y” + 3y’ + 6y = sin(x) tem ordem 2 e grau 1. 2. (y”)3 + 3(y’)10 + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3. 3. y” + 3y y’ = ex tem ordem 2 e grau 1. 4. y’’’ – 5xy’ = ex + 1 tem ordem 3 e grau 1. 1.3 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma

a0(x) y(n) + a1(x) y(n−1) + a2(x) y(n−2) + ... + an(x) y = b(x) onde as funções b = b(x) e ak = ak(x) (k = 0, 1, 2, ..., n), são funções conhecidas sendo a0 = a0(x) não identicamente nula e todas estas funções devem depender somente da variável x. A função (incógnita) desconhecida é y = y(x). Em virtude das informações da seção anterior, é possível definir o operador diferencial linear

L = a0(x) D(n) + a1(x) D(n−1) + a2(x) D(n−2) + ... + an(x) I e assim a equação diferencial acima terá a forma simplificada

L(y) = b(x) e este é o motivo pelo qual, a equação diferencial acima recebe o nome de linear. 1.4 Solução de uma Equação Diferencial Uma solução para uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular. Exemplos:

1) Equação diferencial ordinária: dx

dy= 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral ) Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3 3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular )


___________________________________________________________________ 55

A solução y = x³ - 2x² + x + C é uma solução geral para a equação dx

dy= 3x2

- 4x + 1. Se por algum motivo atribuímos algum valor específico para C, obtemos uma solução particular. Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

2) Verifique que y = ex² é solução de xydx

dy2=

Solução: 2

2 xexdx

dy =

Portanto,

000..2202222

=⇒=−⇒=−⇒= xx exexxydx

dyxy

dx

dy

Assim, y = ex² é solução. Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias. Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Exemplos: 1. y(x) = e−x é uma solução particular de y’ + y = 0. 2. y(x) = Ce−x é a solução geral de y’ + y = 0. 3. y(x) = sen(x) é uma solução particular de y’’ + y = 0. 4. y(x) = A sen(x) + B cos(x) é a solução geral de y’’ + y = 0. 5. y(x) = 777 é uma solução particular de y’’ + 3y y’ = 0. Obs.: Quando se resolve uma E.D. de primeira ordem F(x, y, y’) = 0, obtém-se uma família de curvas ou funções G(x, y, c) = 0, contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é solução da E.D.. 1.5 Problema de Valor Inicial (PVI) Um Problema de Valor Inicial (PVI) consiste em uma equação diferencial, juntamente com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, tudo dado para um mesmo valor da variável independente. 1.6 Problema de Valor de Contorno


___________________________________________________________________ 56

Um problema de valor de contorno consiste em uma equação diferencial, juntamente com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, dados para mais de um valor para a variável independente. Exemplos: 1) Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) 5y'' + y' = − 6x , sujeita às condições iniciais y(0) = 2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO 5y'' + y'= − 6x, sujeita às condições de contorno y(0) = 2 e y’(1) = 3. 2) Determine uma solução para o problema de valores de contorno y’’ + 4y = 0;

y

8

π = 0 e y

6

π = 1, considerando a solução geral da equação diferencial como

sendo y(x) = c1 sen 2x + c2 cos 2x. Solução:

+

=

+

=

2

2

2

2

4cos

48 2121 cccsencyπππ

Para satisfazer a condição y

8

π = 0, é necessário que

02

2

2

221 =

+

cc (1)

Além disso,

+

=

+

=

2

1

2

3

3cos

36 2121 cccsencyπππ

Para satisfazer a segunda condição, y

6

π = 1, é necessário que

12

1

2

321 =

+

cc (2)

Solucionando (1) e (2) simultaneamente, obtemos

13

221 −

=−= cc

Substituindo esses valores em y(x), obtemos

( ) ( )xxsenxy 2cos213

2 −−

=

como solução do problema de valores de contorno. Exercícios propostos 1) Classificar quanto ao grau e a ordem das equações: a) y’’’ – 5xy’ = ex + 1

b) pbbdp

db

dp

bd =−+

+

57

105

4

4

75


___________________________________________________________________ 57

c) 12

2

2

+= ydy

xdy

2) Mostre, por substituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas: a) y = e2x , y" − 5y' + 6y = 0 b) y = xex , y"− 2y' + y = 0 c) y = c1e

2x + c2e3x , y’’ – 5y’ + 6y = 0

d) y(x) = 2e-x + xe-x , y’’ + 2y’ + y = 0 3) Para cada uma das equações abaixo, determine o valor da constante α, para que a função f(x) = eαx seja uma solução. a) y’ + 2y = 0 R.: α = - 2 b) y’’ – y = 0 R.: α = -1 ou α = 1 c) y’’’ – 3y’’ + 2y’ = 0 R.: α = 0 ou α = 1 ou α = 2

4) Resolva 2xdx

dy = . R.: Cx

y +=3

3

5) Resolva xdx

yd =2

2

. R.: 21

3

6cxc

xy ++=

6) Resolva 2xdx

dy = sujeita à condição inicial y(0) = 1. R.: 13

3

+= xy

7) Supondo y (x) = c1 sen x + c2 cos x, determine c1 e c2 de acordo com as condições dadas: a) y(0) = 1 e y’(0) = 2 R.: c1 = 2, c2 = 1

b) y

2

π = 1 e y’

2

π = 2 R.: c1 = 1, c2 = -2

c) y(0) = 1 e y’

2

π = 1 R.: não admite solução

d) y(0) = 1 e y’(π) = 1 R.: c1 = -1, c2 = 1 8) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1.e

2x + c2.ex + 2senx satisfaça as

condições y(0) = 1 e y’(0) = 1 R.: c1 = - 2 e c2 = 3 9) Supondo y(x) = c1e

x + c2xex + x2ex; y(1) = 1 e y’(1) = 1 determine c1 e c2 de acordo

com as condições dadas. R.: c1 = e

11+ , c2 = - 2


___________________________________________________________________ 58

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Neste estudo vamos dividir as equações de 1ª ordem, para um melhor entendimento, em alguns tipos. 1º tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáv eis A equação de 1ª ordem M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 será de variáveis separáveis se

• M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. • M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, devemos separar as variáveis, isto é, devemos deixar o coeficiente da diferencial dx como sendo uma função exclusiva da variável x e o coeficiente da diferencial dy como sendo uma função exclusiva da variável y, e então integrarmos cada diferencial. Exemplos:

1) Determine a solução geral da equação diferencial dx

dy = 3y cos x

Solução: Primeiramente devemos escrever a EDO na forma de uma diferencial.

dy = 3y cos x dx Vamos determinar um fator integrante1 que separe as variáveis, que será:

FI = y

1

Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante, vem:

dxxy

dycos3=

Integrando ambos os membros, temos:

∫ ∫= xdxy

dycos3

ln y = 3 sen x + C y = C1e

3senx 2) Resolva (1 + x) dy – y dx = 0 (1 + x) dy = y dx Dividindo por (1 + x) y ( )( ) ( )yx

ydx

yx

dyx

+=

++

11

1

( )x

dx

y

dy

+=

1

Integrando ambos os membros:

1 Fator integrante é um fator que quando multiplicado em ambos os membros da equação separará as variáveis ou transformará a equação num modelo conhecido.


___________________________________________________________________ 59

∫ ∫ +=

x

dx

y

dy

1

ln y = ln |(1 + x)| + C y = e ln |(1 + x)| + C y = eC . e ln |(1 + x)| y = C . (1 + x)

3) Resolva o problema de valor inicial y

x

dx

dy −= , y(4) = 3

y

x

dx

dy −=

y dy = - x dx

∫ ∫−= dxxdyy

Cxy +−=22

22

y² = C – x² 2xCy −±=

y(4) = 3 y² = C – x² 3² = C – 4² C = 9 + 16 C = 25

2xCy −±= 225 xy −±=

4) Resolva x e – y sen x dx – y dy = 0 x senx dx – y ey dy = 0 x sen x dx = y ey dy

∫ ∫= dyeydxsenxx y

- x cos x + sen x = y.ey – ey + C Obs.: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável pois, c é completamente arbitrária. Em várias instâncias, no decorrer do estudo, não hesitaremos em indexar constantes de uma maneira que possa ser mais conveniente para uma dada equação. Por exemplo, múltiplos de constantes ou combinações de constantes podem ser trocados por uma única constante. Exercícios propostos Resolva a equação diferencial dada por separação de variável:

01) x dx + y dy = 0 2xCy −±=

02) 0=+y

dy

x

dx y =

x

c

03) 0=+ dyx

dx

x

cy ln=

04) 0=+y

dydxx 2

2

.x

ecy−

=


60_________________________________________________________________

05) (x² + 1) dx + (y² + y) dy =0 2y³ + 3y² + 2x³ + 6x = c 06) sen x dx + y dy = 0 ; y(0) = - 2 2cos2 +±= xy

07) (x² + 1) dx + y

1 dy = 0 ; y(- 1) = 1 3

4

3

3

−−−=

xx

ey

08) x.ex² dx + (y5 – 1) dy = 0 ; y(0) = 0 y6 – 6y + 3ex² = 3

09) 2x

y

dx

dy = xecy1

.−

=

10) y

ex

dx

dy x

2

.= cexey xx +−±=

11) dx

dy

y

yyx =+−1

2

; y(3) = 1 53

ln3

−=+−+ xx

yy

12) xsendx

dy5= c

xy +−=

5

5cos

13) ( ) 61 +=+ xdx

dyx cxxy +++= 1ln5

14) yxedx

dy 23 += ce

e

x

y=−−

32

1 3

2

15) 2y (x + 1) dy = x dx cxxy ++−±= 1ln

16) dx + e3x dy = 0 ce

yx

+=33

1

17) x

yx

dy

dx

+=

1

22

cxx

y =−+ ln1

3

3

18) x²y’ = y – xy ; y (- 1) = - 1 1

1

.

1+

=xex

y

19) xy’ = 4y y = cx4

20) dydxyx =− 21

+= c

xseny

2

2

2º tipo: Equações Diferenciais Homogêneas Definição: se uma função f satisfaz

f(tx, ty) = tn f(x, y) Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n . Exemplos: 1) f(x, y) = x² - 3xy + 5y² f(tx, ty) = (tx)² - 3(tx)(ty) + 5(ty)²


61_________________________________________________________________

= t²x² - 3t²xy + 5t²y² = t²[x² - 3xy + 5y²] = t² f(x, y) A função é homogênea de grau dois

2) f(x, y) = 3 22 yx +

f(tx, ty) = ( )yxftyxtytxt ,32

3 2232

3 2222 =+=+

A função é homogênea de grau 3

2.

3) f(x, y) = 42

+y

x

f(tx, ty) = ( )yxfty

x

ty

tx,4

24

20=+=+

A função é homogênea de grau zero. 4) f(x, y) = x³ + y³ + 1 f(tx, ty) = t³x³ + t³y³ + 1 ≠ t³ f(x, y) A função não é homogênea. Os exemplos 3 e 4, mostram que, uma constante adicionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero. Podemos ainda, examinar o grau de cada termo a fim de verificar se uma função é homogênea. Exemplos: 1)

A função é homogênea de grau quatro. 2)

A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes. Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que poderemos escrever


62_________________________________________________________________

( ) ( )

=

= 1,,,1,y

xfyyxfe

x

yfxyxf nn

em que

x

yf ,1 e

1,

y

xf são ambas homogêneas de grau zero.

Uma Equação Diferencial Homogênea de primeira ordem é definida em termos das funções homogêneas. Definição: Uma equação diferencial da forma

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Em outras palavras, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é homogênea se

M(tx, ty) = tn M(x, y) e N(tx, ty) = tn N(x, y) Método de Solução Uma equação diferencial homogênea M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica do tipo y = ux ou x = vy . O objetivo de tal substituição é transformar a Equação Diferencial em uma equação diferencial separável. Veremos através dos exemplos a seguir que equação homogênea sempre é levada à forma separável por tal substituição. Exemplos: 1) Resolva (x² + y²) dx + (x² - xy) dy = 0 Solução: Tanto M(x, y) quanto N(x, y) são homogêneas de grau dois. Se fizermos y = ux segue-se que

(x² + u²x²) dx + (x² - ux²) [udx + xdu] = 0 x² dx + u²x² dx + x³ du + ux² dx – ux³ du – u²x² dx = 0

x³ du – ux³ du + x² dx + ux² dx = 0 x³(1 – u) du + x²(1 + u) dx = 0

01

1 =++−

x

dxdu

u

u

01

21 =+

++−

x

dxdu

u

Depois de integrar a última linha, obtemos cxuu lnln1ln2 =+++−

cxx

y

x

ylnln1ln2 =+++−

Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução precedente como

( )x

ycx

x

yx =−++lnlnln

2

2


63_________________________________________________________________

( )x

ycx

x

yx =−⋅+lnln

2

2

( )x

y

cx

yx =+ 2

ln

A definição de um logaritmo implica ( ) x

y

ecx

yx =+ 2

( ) xy

cxeyx =+ 2 2) Resolva 2x³y dx + (x4 + y4) dy =0 Solução: Os coeficientes M(x, y) e N(x, y) são homogêneos de grau um. Se x = vy, a equação diferencial torna-se, depois de simplificada.

2v³y³y (y dv + v dy) + (v4y4 + y4) dy = 0 2v³y5 dv + 3v4y4 dy + y4 dy = 0

013

25

4

4

3

=++

dyy

ydv

v

v

A integral do primeiro termo pode ser calculada substituindo t = 3v4 + 1. O resultado é,

06

=+y

dy

t

dt

Integrando, temos

cyv lnln13ln6

1 4 =++

y

cv ln13ln

6

1 4 =+

y

cv ln613ln 4 =+

6

ln

4

4

13

=+⋅ y

c

ey

x

6

6

4

443

y

c

y

yx =+

3x4y² + y6 = c Obs.: A substituição x = vy pode ser usada em qualquer equação diferencial homogênea, mas na prática tentamos x = vy quando a função M(x, y) é mais simples que N(x, y). Também pode acontecer que, depois de fazer uma substituição, encontremos integrais que são difíceis ou impossíveis de serem calculadas; uma outra substituição pode resultar em problemas mais fáceis. Exercícios propostos Resolva as equações seguintes:


64_________________________________________________________________

01) x

xy

dx

dy −= y = x

cx ln.

02) x

xy

dx

dy += 2 xcxy −= 2

03) xy

yxy

22 2'

+= 242 xcxy −=

04) xy

yxy

2'

22 += y² = x² - c

x

05) 22

2

xy

xy

dx

dy

−= 3x²y – y³ = c

06) xyx

y

dx

dy

+= cy

y

x =+− ln2

07) (x – y)dx + xdy = 0 y = - x ln x +

cx 08) (y² + yx)dx - x²dy = 0 x + y ln x = cy

09) xy

xy

dx

dy

+−=

( ) cx

yarctgyx =

++ 2ln 22

10) 332 xydx

dyxy −= ; y(1) = 2 y³ + 3x³ ln x =

8x³ 11) xdx + (y – 2x)dy = 0 ( ) ( )yxcyyxyx −+=−− ln

3º tipo: Equações Diferenciais Exatas Definição: Uma equação diferencial da forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é chamada equação diferencial exata se a expressão M(x, y)dx + N(x, y)dy é uma diferencial exata, ou seja, é uma diferencial total de alguma função f(x, y). Exemplos: 1) Calcule a diferencial total de z = f(x, y) = x² + y².

dydy

dfdx

dx

dfdz +=

ydyxdxdz 22 +=

2) Calcule a diferencial total de ( ) 33

3

1, yxyxf = .


65_________________________________________________________________

dydy

dfdx

dx

dfdz +=

dyyxdxyxdz 2332 += Critério para uma Diferencial Exata

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é uma diferencial exata se

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

Sua solução pode ser encontrada através da expressão:

∫ ∫ =

∂∂−+ Cdy

y

PNMdx , onde ∫= MdxP

Exemplos: 1) Resolva (3x² + 2y)dx + (2x + 2y)dy = 0 Solução: Para resolvar a EDO devemos mostrar que esta EDO é exata. Identificamos então:

M(x, y) = 3x² + 2y e N(x, y) = 2x + 2y

e mostramos que x

N

y

M

∂∂==

∂∂

2 , para garantir que a EDO é exata.

Temos que calcular P (somente aqui, consideramos y como constante).

P = ( )∫ ∫ += dxyxMdx 23 2

= x³ + 2xy Calculando a derivada de P em relação a y temos:

xy

P2=

∂∂

Substituindo na fórmula temos:

∫ ∫ =

∂∂−+ Cdy

y


( )∫ =−+++ Cdyxyxxyx 22223

x³ + 2xy + y² = C 2) Resolva 2xy dx + (x² - 1)dy = 0 Solução: Para resolvar a EDO devemos mostrar que esta EDO é exata. Identificamos então:

M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x² - 1

e mostramos que x

Nx

y

M

∂∂==

∂∂



66_________________________________________________________________


P = ∫ ∫= dxxyMdx 2

= x²y Calculando a derivada de P em relação a y temos:

2xy

P =∂∂


∫ ∫ =

∂∂−+ Cdy

y


( )[ ]∫ =−−+ Cdyxxyx 222 1

x²y – y = C

Algumas curvas da família x²y – y = c são mostradas na figura abaixo.

3) Resolva (3x² - 5y²)dx – (10xy + y²)dy = 0 Solução: Temos que representar a EDO em termos de soma: (3x² - 5y²)dx + (-10xy – y²)dy = 0 Para resolvar a EDO devemos mostrar que esta EDO é exata. Identificamos então:

M(x, y) = 3x² - 5y² e N(x, y) = - 10xy – y²

e mostramos que x

Ny

y

M

∂∂=−=

∂∂



P = ( )∫ ∫ −= dxyxMdx 22 53

= x³ - 5xy² Calculando a derivada de P em relação a y temos:

xyy

P10−=

∂∂


∫ ∫ =

∂∂−+ Cdy

y



67_________________________________________________________________

( )[ ]∫ =−−−−+− Cdyxyyxyxyx 10105 223

∫ =−+− Cdyyxyx 223 5

Cy

xyx =−−3

53

23

3x³ - 15xy² - y³ = C Exercícios propostos Resolva as equações seguintes:

01) (2xy + x)dx + (x² + y)dy = 0 cyx

yx =++22

222

02) (y + 2xy³)dx + (1 + 3x²y² + x)dy = 0 xy + x²y³ + y = c 03) yexydx + xexydy = 0 exy = c 04) 3x²y²dx + (2x³y + 4y³)dy = 0 x³y² + y4 = c 05) ydx + xdy = 0 xy = c 06) (y.senx + xy.cosx)dx + (x.senx + 1)dy = 0 xy.senx + y = c 07) (2x – 1)dx + (3y + 7)dy = 0 2x² - 2x + 3y² + 14y = c 08) (5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy = 0 5x² + 8xy – 4y4 = c

09) 262 xyxedx

dyx x +−= 2xex – 2ex – xy + 2x³ = c

10) (x + y)² dx + (2xy + x² - 1)dy = 0 ; y(1) = 1 x³ + 3x²y + 3xy² - 3y = 4 4º tipo: Equações Diferenciais Lineares Definição: Uma equação diferencial da forma

QPyx

y =+∂∂

,

onde P e Q são constantes ou funções de x, é chamada de equação linear de primeira ordem. A resolução dessas equações pode ser obtida pela fórmula:

+∫∫= ∫−

CQdxeeyPdxPdx

.

Exemplos:

1) Resolva 03 =− ydx

dy.

Solução: Temos que definir P e Q. P = - 3 Q = 0 Temos que calcular ∫Pdx.

∫ ∫−= dxPdx 3


68_________________________________________________________________

= - 3x Colocando na fórmula

+∫∫= ∫−

CQdxeeyPdxPdx

.

( ) ( )Cdxeey xx += ∫−−− 0.33

( )∫ += Cdxey x 03 xCey 3=

2) Resolva xexydx

dyx 64 =− .

Solução:

Antes de iniciar a resolução temos que colocar a EDO na forma QPyx

y =+∂∂

xexyxdx

dy 54 =−

Temos que definir P e Q.

P = x

4−

Q = x5ex Temos que calcular ∫Pdx.

∫ ∫−= dxx

Pdx4

= - 4 ln x

Colocando na fórmula

+∫∫= ∫−

CQdxeeyPdxPdx

.

( )Cexeey xxx += ∫− 5ln4ln4 .

( )Cexxxy x += ∫− 544 .

( )∫ += Cxexy x4

( )Cexexy xx +−= 4 445 Cxexexy xx +−=

3) Resolva ydx + 2(x – 2y²)dy = 0 ; y(2) = - 1. Solução:

Antes de iniciar a resolução temos que colocar a EDO na forma QPyx

y =+∂∂


69_________________________________________________________________

042 2

=−+y

yx

dy

dx

042 =−+ yy

x

dy

dx

yy

x

dy

dx4

2 =+

Reestruturação da fórmula (x em função de y)

+∫∫= ∫−

CQdyeexPdyPdy

.

Temos que definir P e Q.

P = y

2

Q = 4y Temos que calcular ∫Pdy.

∫ ∫ == ydyy

Pdy ln22

Colocando na fórmula

+∫∫= ∫−

CQdyeexPdyPdy

.

( )Cdyyeex yy += ∫− 4.ln2ln2

( )∫ += − Cdyyyyx 4.22

( )Cdyyy

x += ∫3

24

1

( )Cyy

x += 42

1

22

y

Cyx +=

Calculando o valor de C na condição y(2) = - 1

( )( )2

2

112

−+−= C

2 = 1 + C C = 1 Determinando a solução da EDO temos:

22 1

yyx +=

xy² - y4 = 1 y²(x – y²) = 1


70_________________________________________________________________

4) Resolva o problema de valor inicial xxydx

dy =+ 2 , y(0) = - 3.

Solução: Temos que definir P e Q. P = 2x Q = x Temos que calcular ∫Pdx.

∫ ∫= xdxPdx 2

= x² Colocando na fórmula

+∫∫= ∫−

CQdxeeyPdxPdx

.

( )∫ += − Cxdxeey xx .22

+= C

e

ey

x

x 2

12

2

22

1xe

Cy +=

Calculando o valor de C na condição y(0) = - 3

02

13

e

C+=−

C+=−2

13

2

7−=C

Determinando a solução da EDO temos:

2

2

7

2

1xe

y−

+=

2

1.

2

7

2

1xe

y −=

2

2

7

2

1xe

y −=


71_________________________________________________________________

Exercícios propostos Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

1) xx

y

dx

dy =− y = x² + cx

2) 32' x

x

yy =+

2

4

6 x

cxy +=

3) ydx

dy5= y = ce5x

4) 4123 =+ ydx

dy xcey 4

3

1 −+=

5) xeydx

dy 3=+ xx ceey −+= 3

4

1

6) 223' xyxy =+ 3

3

1 xcey −+=

7) (5x³ + 2y) dx – x dy = 0 y = 5x³ + cx²

8) 205 =+ ydx

dy ; y(0) = 2 y = 4 – 2e-5x

9) x(x – 2)y’ + 2y = 0 ; y(3) = 6 2

2

−=

x

xy

CAMPOS VETORIAIS

Um campo de vetores é uma função que associa um vetor a cada ponto do espaço-2D ou no espaço-3D. Definição: Seja F uma função vetorial definida de uma região D do espaço-2D ou espaço-3D no próprio espaço. A região D juntamente com as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de D pela F, é chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define um campo vetorial sobre D. Exemplos: 1) Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da atmosfera terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidade.

2) Consideremos D como o espaço ocupado pela água em um riacho. A função que associa a velocidade de cada partícula de D em certo instante, também define um campo de velocidade em D.

3) A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de atração para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função que associa essa força a cada ponto da atmosfera D define um campo vetorial em D chamado campo de força . No caso, esse campo de força é o famoso campo gravitacional da terra.


72_________________________________________________________________

Representação gráfica de campos vetoriais. A função vetorial dada por F(x, y) = ( M(x,y), N(x, y) ) define um campo vetorial no espaço-2D. Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano XOY e selecionamos alguns pontos (x, y) do plano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente com a origem do vetor no próprio ponto. É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê informações sobre o comportamento do campo em geral. Exemplo:

1) Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = iy5

1. É uma

representação aproximada da velocidade da água de um canal de acordo com sua profundidade.

2) Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = (-y, x) e selecionado alguns pontos temos (x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1)

F(x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3)


73_________________________________________________________________

Os vetores deste campo vetorial representam um campo de velocidade de uma roda em movimento. Sendo r(x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o vetor posição do ponto (x, y) do espaço-2D, temos r(x, y) e F(x, y) são ortogonais em cada ponto (x, y), pois

(x, y) . (-y, x) = x (-y) + y x = 0.

Campo de Quadrado Inverso Da Lei da Gravitação Universal de Newton, dois corpos de massas m e M se atraem com uma força F de grandeza | F | = GmM /r2 onde G é uma constante e r é a distância entre os dois corpos. Assim, se o objeto de massa M se encontra na origem de um sistema de coordenadas XYZ e r(x, y, z) é o vetor posição do objeto de massa m, então r = | r | = | e a força F(r) exercida pelo objeto de massa M sobre o outro tem a direção e o sentido do vetor unitário u = -r / |r | . Daí,

F(r) = 2

r

GmMr u =

r

r

r

GmMr

r

r 2− =

3r

GmM− r.

Se m e M são constantes e fazendo –GmM = c obtemos

F(r) = rr

c3

= 2

r

cu.

Um campo vetorial desta forma é chamado um campo de quadrado inverso . Campos vetoriais dessa forma aparecem em problemas eletromagnéticos e gravitacionais. São campos vetoriais importantes, têm terminologia própria e, como vimos, são chamados campos de quadrado inverso.

Campo Gradiente Um exemplo de campo de vetores é o gradiente de uma função f(x, y); em cada ponto (x, y) o vetor grad f(x, y) aponta na direção de taxa de crescimento máxima de f. Se f é uma função escalar (de duas ou mais varáveis), então o gradiente,

f∇ , de f é um campo vetorial chamado campo gradiente de f.

� F(x, y) = ∇ f(x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ). � F(x, y, z) = ∇ f(x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z), fz (x, y, z) ).

Exemplo: 1) Dada a função f(x, y) = x e y + y 2 e x, o campo gradiente de f é dado por

Para c>0 temos


74_________________________________________________________________

∇ f(x,y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ) = ( e y + y 2 e x, x e y + 2y e x )

2) Dada a função f(x, y, z) = 3x 2y – z sen x + y 2 cos z, o campo gradiente de f é dado por

F(x, y, z) = ∇ f(x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z), fz (x, y, z) ) = = (6xy -z cos x, 3x 2 +2y cos z, - sen x - y 2 sen z).

3) Dada a função f (x, y) = 3x + 2y , o campo gradiente de f é dado por

F(x, y) = ∇ f(x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y) )

F(x, y) = (3, 2 )

que está definido por uma função vetorial constante e cuja representação está esboçada ao lado.

DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL

O operador diferencial vetorial ∇ no espaço-3D é kz

jy

ix

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Aplicando o operador ∇ sobre uma função escalar f (de três variáveis) obtemos o campo gradiente de f

kz

fj

y

fi

x

ff

rrr

∂∂

+∂∂

+∂

∂=∇

Aplicando o operador ∇ sobre uma função vetorial F podemos obter o rotacional de F ou a divergência de F.

Divergência Definição: Seja a função vetorial F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k , onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. A divergência de F, denotada por div F ou ∇ . F é a função escalar definida por


75_________________________________________________________________

div F = ∇ . F = z

P

y

N

x

M

∂∂

+∂∂

+∂

∂

Exemplo: 1) Se F(x, y, z) = (x 2z, y 2x, y +2z), então

div F (x, y, z) = ∇ . F(x, y, z) = x∂

∂(x 2z) +

y∂∂

( y 2x) + z∂

∂( y +2z) = 2xz +

2yx + 2

Rotacional Definição: Seja a função vetorial F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k , onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. O rotacional de F, denotado por rot F ou ∇ x F é a função vetorial definida por

rot F = ∇ x F =

∂∂

−∂∂

z

N

y

Pi +

∂∂

−∂

∂x

P

z

Mj +

∂∂

−∂∂

y

M

x

Nk.

Podemos escrever a expressão do rotacional de F na forma de um determinante,

rot F = ∇ x F =

PNMzyx

kji

∂∂

∂∂

∂∂

rrr


76_________________________________________________________________

Exemplo: 1) Se F(x, y, z) = (x 2z, y 2x, y +2z), então

rot F (x, y, z) = ∇ x F (x, y, z) =

zyxyzxzyx

kji

222 +∂∂

∂∂

∂∂

rrr

=

∂∂

−∂+∂

z

xy

y

zy )()2( 2

i

+

∂+∂

−∂

∂x

zy

z

zx )2()( 2

j +

∂∂

−∂

∂y

zx

x

xy )()( 22

k. = i + x2 j + y2 k

Obs: O rotacional só pode ser calculado para campos vetoriais do espaço-3D. Exercícios propostos 1) Cada campo de vetores nas figuras (I)-(IV) representa a força sobre uma partícula em diferentes pontos do espaço como resultado de outra partícula na origem. Associe os campos de vetores com as descrições abaixo. a) Uma força repulsiva cuja norma decresce quando a distância cresce, como a força entre partículas elétricas de mesmo sinal. b) Uma força repulsiva cuja norma cresce quando a distância cresce. c) Uma força atrativa cuja norma decresce quando a distância cresce, como a gravidade. d) Uma força atrativa cuja norma cresce quando a distância cresce.


77_________________________________________________________________

2) Esboce cada campo vetorial F de R².

a) ( ) jiyxF 32, +=

b) ( ) jyyxF =,

c) ( ) jxixyxF += 2,

d) ( ) ( )jiyxF +=2

1,

3) Encontrar o gradiente dos campos escalares: a) f(x, y, z) = 2(x² + y²) – z² 4xi + 4yj – 2zk b) g(x, y) = x + ey i + eyj c) f(x, y) = 2x² + y² em P(2, -1) 8i – 2j 4) Calcule a divergência e o rotacional de cada um dos campos vetoriais seguintes.

a) ( ) kyzjixzyxF +−= 2,, 2 2x + y , zi

b) ( ) kyzjxyixzzyxF 2243 52,, ++= z³ + 8x²y³ + 10zy , 5z²i + 3xz²j + 4xy4k

c) ( ) kxyjzxizyzyxF 45223 387,, −−= 0 , (40x²z4 – 12xy³)i + (14y³z + 3y4)j – (16xz5 + 21y²z²)k

d) ( ) ( ) ( ) ( )kxzjzyisenyxzyxF 2cos,, ++= seny + cosz + 2xz , (ysenz)i + (-z²)j + (-xcosy)k

e) ( ) ( ) kzyjeiyxsenzyxF zyx 322,, +−= 2xycos(x²y) – xzexyz + 3y²z² , (2yz³ + xyexyz)i + (-yzexyz – x²)k

4) Sendo ( ) ( ) ( ) ( )kxyzjyeisenyezyxF yx ++= cos,, , calcule o rot ( )F . xzi – yzj – (excosy)k


78_________________________________________________________________

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Em matemática, uma equação paramétrica é uma forma de representar uma curva (ou, em geral, uma superfície) como a imagem de uma função, normalmente dada por uma regra explícita. Em geral, as equações paramétricas não são únicas. Uma mesma curva pode ser representada por uma variedade de formas paramétricas. O parâmetro de uma curva é quase sempre simbolizado por t, porque em muitos fenômenos físicos o tempo é a variável usual de parâmetro (a forma paramétrica é um modo conveniente para indicar a trajetória de uma partícula em relação ao tempo). Superfícies são representadas por dois parâmetros e são comuns os símbolos u e v para eles. Equação paramétrica da reta Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = (a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0). Um ponto P = (x, y, z) pertence a reta r se,

e somente se, o vetor →PP0 é paralelo ao vetor V, isto é, se o vetor

→PP0 é um

múltiplo escalar de V, ou seja,

VtPP =→

0 (1) para algum real t. De (1), vem

VtPP =− 0

ou VtPP += 0 (2)

ou, em coordenadas

),,(),,(),,( 000 cbatzyxzyx += (3) pela condição de igualdade, obtém-se

+=+=+=

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

para todo ∈t R (4)

As equações são de uma reta r que passa por um ponto P0 = (x0, y0, z0) e é paralela ao vetor V = (a, b, c). As equações (4) são chamadas equações paramétricas da reta r. O vetor V = (a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r.


79_________________________________________________________________

O parâmetro t pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto P = (x, y, z) descreve o movimento de uma partícula em movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade V = (a, b, c). Observe que para t = 1, P = (x, y, z) = (x0 + a, y0 + b, z0 + c), para t = 2, P = (x, y, z) = (x0 + 2a, y0 + 2b, z0 + 2c) e assim por diante. As equações (4), podem ser reescritas como ),,(),,( 000 ctzbtyatxzyx +++= . Observação: Não faz sentido dizer que o vetor está contido na reta. Por um lado, a reta é um conjunto de pontos e por outro um vetor não tem posição fixa.

Exemplos: 1) A reta r que passa por )4,1,1( −A e tem direção de )2,3,2(=V , tem equações paramétricas, de acordo com (4):

r:

+=+−=+=

tz

ty

tx

24

31

21

para todo ∈t R.

Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo,

para 1=t , obtém-se r:

+=+−=+=

tz

ty

tx

24

31

21

e, portanto, rP ∈)6,2,3(1 .

De forma análoga, para 2=t , obtém-se o ponto )8,5,5(2P ; para 3=t , obtém-se o ponto )10,8,7(3P ; para 0=t , obtém-se o próprio ponto )4,1,1( −A e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. A figura mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.

Fig. – reta paralela ao vetor ),,( cbaV =


80_________________________________________________________________

2) Vamos encontrar as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P1 = (2, 4, - 1) e P2 = (5, 0, 7). O vetor

)8,4,3())1(7,40,25(21 −=−−−−=→PP

é paralelo a r e o ponto P1 = (2, 4, - 1) pertence a r. Portanto, as equações paramétricas de r são

+−=−=+=

tz

ty

tx

81

44

32

para todo ∈t R

Equações paramétricas da Circunferência

• Seja uma circunferência de raio r e centro na origem (0,0) conforme indicado na Figura 01. A equação convencional para a curva é:

x2 + y2 = r2

Dividindo tudo por r²,

2

2

2

2

2

2

r

r

r

y

r

x =+

122

=

+

r

y

r

x

Considera-se a relação trigonométrica: sen2 t + cos2 t = 1

Conclui-se então que uma forma paramétrica da circunferência é:

sentr

y

tr

x

=

= cos ⇒

==

sentry

trx cos

onde o ângulo central t é o parâmetro utilizado, variando entre e radianos.


81_________________________________________________________________

Fig 01

• Seja uma circunferência de raio r e centro (x0, y0) conforme indicado na Figura 02. A equação convencional para a curva é: (x − x0)

2 + (y − y0)2 = r2

Dividindo tudo por r², [(x − x0) / r]

2 + [(y − y0) / r]2 = 1

Considera-se a relação trigonométrica: sen2 t + cos2 t = 1

Conclui-se então que uma forma paramétrica da circunferência é: x = x0 + r cos t

y = y0 + r sen t

Fig 02

onde o ângulo central t é o parâmetro utilizado, variando entre e radianos.


82_________________________________________________________________

Exemplo: 01) A circunferência de centro no ponto (1,2) e raio 3 pode ser representado pelas equações paramétricas x = 1 + 3cos t y = 2 + 3 sen t onde fica implícito que t percorre o conjunto dos números reais Equações paramétricas da Elipse Para uma elipse de semi-eixos a e b e centro em (x0, y0), a relação fundamental é:

12

0

2

0 =

−+

−b

yy

a

xx

Procedendo de forma similar à da circunferência, x = x0 + a sin t y = y0 + b cos t Equações paramétricas da Hipérbole No caso de uma hipérbole , a equação básica é:

Usa-se a relação trigonométrica: cosec2 t − cot2 t = 1 Portanto, uma forma paramétrica é: x = x0 + a cosec t y = y0 + b cot t Equações paramétricas da Parábola Examina-se agora o caso de uma parábola (Figura abaixo) na forma: y = − ax2 + b Por substituição de valores pode-se facilmente concluir que o vértice (x = 0)

está em (0, b) e a parte direita cruza o eixo x (y = 0) em

0,

a

b.


83_________________________________________________________________

Considera-se um parâmetro t tal que x = c t Onde c é uma constante. Substituindo em y = − ax2 + b para determinar y em função de t, y = − a c2 t2 + b

Fig 03

Analisa-se um significado físico para esse caso particular: se t é tempo, x e y são as coordenadas de posição de uma partícula que se move ao longo da parábola. Considera-se apenas a parte com x e y positivos, isto é, no primeiro quadrante. A velocidade horizontal (ao longo do eixo x) é dada pela derivação:

Portanto, a aceleração horizontal é nula. E a velocidade vertical pode ser computada:

Nota-se que a velocidade vertical não é constante e varia linearmente com o tempo. A aceleração vertical é dada por:

Resumindo, a partícula se move com velocidade horizontal constante igual a (v0x) e aceleração vertical constante igual a (− 2 a c2). Desprezando a


84_________________________________________________________________

resistência do ar, é o caso de um corpo lançado horizontalmente com velocidade v0x de uma altura b e sujeito à aceleração da gravidade g tal que: 2 a v0x

2 = g E a distância horizontal percorrida pelo corpo é

Equações paramétricas da Hélice Seja outro exemplo, desta vez de curva no espaço: uma hélice pode ser definida como o lugar geométrico de um ponto que, em relação a um eixo, executa um movimento de rotação uniforme na direção radial e um movimento de translação uniforme na direção axial (ver Figura 04).

Fig 04

A partir dessa definição, a equação paramétrica da hélice pode ser facilmente deduzida: x = a cos t y = a sen t z = b t Onde: a = raio da hélice

b = π2

h

h = passo da hélice


85_________________________________________________________________

Exercícios propostos 1) Determinar equações paramétricas da reta que passa por:

a) A(4, -1, 3) e tem a direção de 3i – 2j; b) A(3, -1, 3) e B(3, 3, 4).

2) Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C.

R.:

+=

−−=

+=

tz

ty

tx

242

31

2

3) Faça a parametrização da circunferência de centro na origem e raio 3. 4) Faça a parametrização da circunferência de centro no ponto (1,–2), e raio 2. 5) (USP) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equação paramétrica da circunferência de centro P e raio OP.

INTEGRAIS DE LINHA

As integrais ao longo de curvas aparecem numa variedade de problemas. Um desses problemas pode ser enunciado como segue: Um problema de área: Sejam C uma curva suave entre dois pontos do plano xy e f(x, y) contínua e não-negativa em C. Determine a área do “lençol” varrido pelo segmento de reta vertical que se estende para cima do ponto (x, y) com altura f(x, y) e move-se ao longo de C de uma extremidade à outra.


86_________________________________________________________________

Quando tomamos uma “tira” da curva, que vai de Pk-1,temos: A área dessa “tira” quando ela for bem estreita, se equivale a:

( )kkSk yxfAK

,×∆≅ . A área do “lençol”, portanto, é um valor aproximado da

soma das áreas de todas as “tiras” obtidas. Se aumentarmos o número de partições, as tiras se tornam cada vez mais estreitas, e portanto, a soma das áreas das tiras se tornam cada vez mais próximas da área real do “lençol”.

Assim, ( )∑=∞→

∆×=n

nSkk

nK

yxfA1

,lim . Esse limite é chamado integral de linha da

função f ao longo da curva C. Denotamos ( ) ( )∑∫=∞→

∆×=n

nSkk

nC kk K

yxfdsyxf1

,, lim =

área CÁLCULO DE INTEGRAIS DE LINHA Calcular uma integral de linha através da definição não é uma tarefa fácil. No entanto, mostraremos que podemos calcular uma integral de linha através de uma integral definida comum, estudada em cursos anteriores. Seja uma curva C apresentada em suas equações paramétricas C(t) = (x(t), y(t)) com t variando no intervalo que vai de a até b. Assim, a ≤ t ≤ b. Suponhamos que os pontos Pk-1 e Pk correspondam aos parâmetros tk-1 e tk, respectivamente.

Para pequenos valores de

KS∆ eles se aproximam de segmentos de reta e,

pelo Teorema de Pitágoras, teremos:

( ) ( )K

K

K

K

K

KKK tt

y

t

xyxS ∆×

∆∆

+

∆∆

=∆+∆≈∆22

22


87_________________________________________________________________

Portanto, ( ) ( ) ( )( )K

K

K

K

K

tt

y

t

xn

nC

tytxfdsyxf ∆×

∆∆

+

∆∆

×= ∑∫=

22

1

,lim, .

Para valores muito pequenos, podemos então escrever:

( ) ( ) ( )( ) dtdt

dy

dt

dxtytxfdsyxf

C

b

a

22

,,

+

×=∫ ∫

Observação: Quando calculamos uma integral de linha no espaço R³, procedemos do mesmo modo, apenas acrescentando a coordenada z. Exemplos: 1) Calcule a integral de linha ( )dsxy

C∫ + 21 sabendo que a curva C é o segmento

de reta que vai de (0, 0) a (1, 2). Solução: O segmento de reta representado pelas equações paramétricas é: x= t, y = 2t (0 ≤ t ≤ 1)

( ) dtt 5411

0

3∫ +=

[ ]1045 tt +=

52=

2) Calcule a integral de linha ∫C drF. , onde ( ) 22, yxyxF += e C é a

circunferência de centro na origem e raio 1. Solução: A equação paramétrica da circunferência é: x = cost e y = sent 0 ≤ t ≤ 2π

( ) ( ) dttsenttsentdsyxC

222

0

2222 cos.cos +−+=+∫ ∫π

dt1.12

0∫=π

] π20t=

π2= Exercícios propostos 1) Calcule cada uma das integrais de linha seguintes:

a) ∫ +Cds

x1

1 ( )

=3

2,

2

3

tttC 0 ≤ t ≤ 3 R.: 2

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) dtttdsxyC

221

0

22 21211 ++=+ ∫∫


88_________________________________________________________________

b) dsyC∫ + 21

1 C(t) = (1 + 2t, t) 0 ≤ t ≤ 1 R.:

4

5 π

c) ∫C dsyzx23 C(t) =

3

2,,

32 t

tt 0 ≤ t ≤ 1 R.: 20

13

2) Calcule a integral de linha ∫C drF. , onde ( )222

,,zyx

zyxzyxF

++++= e C é o

caminho parametrizado por r(t) = (t, t, t), 1 ≤ t ≤ e. R.: 3 3) Calcule a integral de linha ( )dszxy

C∫ + 3 de (1, 0, 0) a (-1, 0, π) ao longo da

hélice C que é representada pelas equações paramétricas

x = cos t, y = sen t, z = t (0 ≤ t ≤ π). R.: 4

2 4π

4) Calcule a integral de linha ∫C drF. , onde F(x, y, z) = x – 3y² + z e C é o

segmento de reta que une a origem ao ponto (1, 1, 1). R.: 0 5) Calcule a integral de linha ( )dsx

C∫ + 21 sabendo que a curva C é a

circunferência de centro na origem e raio 1. R.: 3π 6) Calcule a integral de linha ∫C drF. , onde F(x, y, z) = 2x – y + z e C é o

segmento de reta que liga A (1, 2, 3) a B(2, 0, 1) R.: 12

apostila cálculo iii 2012

Documents