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Calculo I

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Marco/2014

Indice

1 Numeros reais 1

1.1 Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Relacao de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Funcoes 13

2.1 Definicao e elementos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Construcao de funcoes a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Inversao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Funcoes exponenciais e logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Limite de uma funcao e Continuidade 39

3.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Exerccios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

i

4 Derivada 59

4.1 A definicao da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5 Derivacao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Aplicacoes da Derivada 79

5.1 Acrescimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 A Derivada como razao de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Concavidade e pontos de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6 Aplicacoes em problemas de maximos e/ou mnimos . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7 Aplicacoes em esbocos de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.8 Apendice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.9 Apendice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.10 Apendice C : Formas indeterminadas

e a Regra de LHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.11 Apendice D: Aproximacoes via

Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 Respostas dos exerccios 129

Referencias 147

Captulo 1

Numeros reais

1.1 Numeros reais

Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos numeros reais, os

quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a reta real:

Vejamos agora alguns conjuntos de numeros reais nessa identificacao:

IN = { 1, 2, 3, . . . } (numeros naturais) IR

Z = { . . . ,2,1, 0, 1, 2, 3, . . . } (numeros inteiros) IR

Q = { p/q ; p, q Z , q 6= 0 } (numeros racionais) IR

Temos ainda numeros reais que nao sao racionais. Sao os chamados numeros irracionais.

Alguns exemplos:

(A) Consideremos um triangulo retangulo cujos catetos medem 1:

Do Teorema de Pitagoras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .

Portanto a =2 (e

2 nao e racional).

1

2 CAPITULO 1

(B) Outro numero irracional famoso:

FATO: A razao entre o comprimento e o diametro de qualquer circunferencia e constante.

Essa razao e um numero chamado .

Assim, se C e qualquer circunferencia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:

l

2r=

e um numero irracional ( 3, 141592 )

Obs.: Existem muito mais numeros irracionais do que racionais !

Operacoes basicas em IR

Existem em IR duas operacoes basicas:

ADICAO: a IR, b IR 7 a+ b IR (soma)

MULTIPLICACAO: a IR, b IR 7 a b IR (produto)

Essas operacoes possuem as seguintes propriedades:

COMUTATIVIDADE: a+ b = b+ a

a b = b aquaisquer que sejam a, b IR.

ASSOCIATIVIDADE: a+ (b+ c) = (a+ b) + c

a (b c) = (a b) cquaisquer que sejam a, b e c IR.

EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+ 0 = a

a 1 = apara todo a IR.

EXISTENCIA DE INVERSOS:

Todo a IR possui um INVERSO ADITIVO (a) IR tal que a+ (a) = 0 .

Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a1 IR tal que a a1 = 1 .

DISTRIBUTIVIDADE: a (b+ c) = (a b) + (a c) para todos a, b e c IR .

Numeros reais 3

Obs.: O numero 0 e o unico elemento neutro para a adicao e o numero 1 e o unico elemento

neutro para a multiplicacao.

Consequencias: (das propriedades)

1) Duas novas operacoes:

Subtracao: Dados a, b IR, definimos: a b = a+ (b) ;

Divisao: Dados a, b IR, com b 6= 0, definimos: ab

= a b1 .

2) a 0 = 0 para todo a IR .

3) Se a b = 0 , entao a = 0 ou b = 0 .

4) Cada a IR possui um unico inverso aditivo a IR.Cada a 6= 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a1 IR .

5) a = (1) a para todo a IR.

6) a1 =1

apara todo a 6= 0 em IR.

7) Para todos a, b IR , temos: a (b) = (a) b = (a b) e (a) (b) = a b .

8) Se a2 = b2 entao a = b .

Exerccio: Tente provar as consequencias de 2) a 8) acima.

1.2 Relacao de ordem em IR

Podemos decompor a reta IR como uma uniao disjunta IR = IR+ IR { 0} :

IR+ e o conjunto dos numeros reais POSITIVOS;

IR e o conjunto dos numeros reais NEGATIVOS.

De modo que:

Dado a IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:

ou a IR+ ou a = 0 ou a IR

4 CAPITULO 1

a IR+ a IR ;

A soma de dois numeros positivos e um numero positivo.O produto de dois numeros positivos e um numero positivo.

Exerccio: Prove que:

a) A soma de dois numeros negativos e um numero negativo;

b) O produto de dois numeros negativos e um numero positivo;

c) O produto de um numero positivo por um numero negativo e um numero negativo.

Dados numeros reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a e menor do que

b (ou b e maior do que a ) quando b a IR+ , ou seja, b a e um numero positivo:

Obs.: Escrevemos a b e dizemos que a e menor ou igual a b quando a 0 .

2) Se a b .

4) Se a 0 a c b c

6) Se a 0 entao1

a> 0 .

9) Se 0 < a 0

Conjuntos limitados:

Um subconjunto X IR e dito LIMITADO quando existem numeros reais a e b taisque, para todo x X tem-se a x b . Isto significa que X [a, b] , com a, b IR .

Um conjunto e dito ILIMITADO quando ele nao e limitado. (Exemplos)

Observacoes:

(A) Todo conjunto finito e limitado.

(B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !

Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

Numeros reais 7

(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos numeros naturais NAO E limitado.

Consequencias importantes deste fato:

(C.1) Propriedade arquimediana: Dados numeros reais a e b , com a > 0 , e possvel obter

um numero natural n IN tal que n a > b .

(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois numeros reais a e b quaisquer, com a < b , e

possvel obter um numero RACIONAL r = p/q Q (p, q Z, q 6= 0) tal que a < r < b(por menor que seja a distancia entre a e b ).

A densidade dos racionais nos permite concluir que, dado qualquer numero real x

(mesmo irracional), e possvel obter uma sequencia de numeros RACIONAIS que se aproximam

de x tanto quanto quisermos !!!

Exemplos:

1) = 3, 141592 . . .

3 3, 1 =31

103, 14 =

314

1003, 141 =

3141

10003, 1415 =

31415

10000. . .

2) Tome um numero racional r1 > 0 e considere:

r2 =1

2

(r1 +

3

r1

) Q (r2 > 0 , r22 > 3 )

r3 =1

2

(r2 +

3

r2

) Q (r2 r3 > 0 , r23 > 3 )

r4 =1

2

(r3 +

3

r3

) Q (r2 r3 r4 > 0 , r24 > 3 )

...

rn+1 =1

2

(rn +

3

rn

) Q (rn rn+1 > 0 , r2n+1 > 3 )

...

Esta sequencia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo

numero real. Qual ?

Tente generalizar esse processo !

8 CAPITULO 1

1.3 Valor absoluto

Dado qualquer numero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO

DE x ) da seguinte forma:

|x| =

{x se x 0x se x < 0

Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um numero real x e a distancia de x ate

o 0 (zero). (Exemplos)

Obs.: Sao imediatos da definicao:

|x| 0 para todo x IR ;|x| = 0 se, e somente se (), x = 0 .

Propriedades:

1) Para todo x IR temos |x| = max {x,x} (o maior dos dois valores).

2) Para todo x IR temos |x|2 = x2 .

3) |a b| = |a| |b| quaisquer que sejam a, b IR .

Exerccio: Se b 6= 0 em IR, mostre que 1b = 1| b | .

Conclua que se a, b IR com b 6= 0 entao ab

= | a || b | .

Numeros reais 9

4) |a+ b| |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b IR .

Exerccio: Mostre que |a b| | |a| |b| | |a| |b| , para todos a, b IR .

5) Seja c > 0 :

|x| c c x c

|x| c x c ou x c

Exemplos:

1) Resolva as seguintes equacoes:

(a) |3x+ 2| = 5

(b) |2x 1| = |4x+ 3|

(c) |5x+ 4| = 3

10 CAPITULO 1

(d) |x|+ 2 |x 2| = 1 + 4x

2) Encontre os numeros reais que satisfacam as seguintes desigualdades:

(a) |x 5| < 4

Numeros reais 11

(b)

3 2x2 + x 4 , x 6= 2

(c) |3x+ 2| > 5

12 CAPITULO 1

1.4 Exerccios

1) Determine os numeros reais que satisfazem as desigualdades abaixo (faca a representacao

grafica):

(a) 3 x < 5 + 3x (b) 2x 5 < 13

+3x

4+

1 x3

(c) 2 > 3 3x 7

(d)5

x 0 (g) 1 x 2x2 0

(h)x+ 1

2 x x2 + x (j) (x2 1)(x+ 4) 0;

(k)2

x 2 x+ 2

x 2 1 (l) x4 x2 (m) x

x 3< 4 (n)

(1/2x) 34 + x

> 1

(o)3

x 5 2 (p) x3 x2 x 2 > 0 (q) x3 3x+ 2 0

(r)1

x+ 1 3

x 2(s) 8x3 4x2 2x+ 1 < 0 (t) 12x3 20x2 11x+ 2

2) Determine os numeros reais que satisfazem as seguintes equacoes:

(a) |5x 3| = 12 (b) |12x 4| = 7 (c) |2x 3| = |7x 5| (d)x+ 2x 2

= 5(e)

3x+ 82x 3 = 4 (f) |3x+ 2| = 5 x (g) |9x| 11 = x (h) 2x 7 = |x|+ 1

3) Determine os numeros reais que satisfazem as seguintes desigualdades:

(a) |x+ 12| < 7 (b) |3x 4| 2 (c) |5 6x| 9 (d) |2x 5| > 3

(e) |6 + 2x| < |4 x| (f) |x+ 4| |2x 6| (g) |3x| > |5 2x|

(h)

7 2x5 + 3x 12 (i) |x 1|+ |x+ 2| 4 (j) 1 < |x+ 2| < 4 (k)

2 + x3 x > 4

(l)

52x 1 1x 2

(m) |x|+ 1 < x (n) 3 |x 1|+ |x| < 1(o) |2x2 + 3x+ 3| 3 (p) |x 1|+ |x 3| < |4x| (q) 1

|x+ 1| |x 3| 1

5

(r)

x 1/2x+ 1/2 < 1 (s) 3 2x1 + x

4

Captulo 2

Funcoes

2.1 Definicao e elementos basicos

Definicao 2.1. Uma funcao f : X Y e constituda de:

(a) Um conjunto X, nao-vazio, chamado o DOMINIO da funcao (onde a funcao esta definida)

(b) Um conjunto Y , nao-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da funcao (onde f toma os

valores)

(c) Uma correspondencia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x Xum UNICO elemento f(x) = y Y .

Obs.: Estaremos interessados em estudar funcoes tais que X e Y sao conjuntos de numeros

reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.

Imagem: Dada uma funcao f : X Y , sua IMAGEM e o conjunto

Im (f) = f(X) = { y = f(x) ; x X } Y

Os elementos do domnio sao representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE.

Os elementos da imagem sao representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE.

Grafico: O GRAFICO de uma funcao f : X Y e o conjunto dos pontos (x, y) doPlano Cartesiano tais que y = f(x) , com x X .

Funcoes limitadas: Uma funcao f : X Y e dita LIMITADA quando sua imagemf(X) e um conjunto limitado. Em geral, e dita LIMITADA EM A X quando f(A) e umconjunto limitado.

13

14 CAPITULO 2

Funcoes crescentes ou decrescentes: Uma funcao f : X Y e dita ...

... CRESCENTE quando x1 < x2 em X f(x1) < f(x2) .

... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X f(x1) > f(x2) .

(Obs.: o mesmo tipo de definicao se aplica tambem a subconjuntos do domnio - por exemplo,

podemos dizer que uma certa funcao e crescente ou decrescente em um determinado intervalo

dentro do domnio).

Exemplos:

(A) f1 : IR IR dada por f1(x) = x2 + 4 .

(B) f2 : [1, 3] IR dada por f2(x) = x2 + 4 .

Obs.: Note que as funcoes f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possurem

o mesmo contra-domnio e a mesma maneira de associar x 7 y = f(x) , elas tem domniosdiferentes (veja a definicao de funcao). Como consequencia, possuem caractersticas diferentes

(f2 e limitada, decrescente, enquanto que f1 nao e limitada, nao e decrescente e nem crescente).

Funcoes 15

(C) f3 : IR IR dada por f3(x) = |x| .

(D) f4 : IR IR dada por f4(x) = |x2 + 4| .

(E) f5 : [1, 1] [0,+) dada por f5(x) =1 x2 .

(F) f6 : [1, 1] IR que associa x 7 y tais que x2 + y2 = 1 .

16 CAPITULO 2

(G) f7 : IR IR dada por f7(x) =

1

xse x >

1

4

3 se x 14

(H) f8 : (, 0) (1, 2] IR dada por f8(x) = x .

(I) f9 : IR IR dada por f9(x) = 2x+ 1 .

(J) f10 : [0,+) IR dada por f10(x) = x .

Funcoes 17

Maximos e mnimos: Dizemos que uma funcao f : X Y assume VALORMAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c X quando f(c) f(x) para todox X . Neste caso f(c) e chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f .

Quando existir um intervalo (a, b) contendo c X tal que f(c) f(x) para todox (a, b) X , entao c e dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)e um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .

De modo analogo, definimos tambem MINIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MINIMOS

RELATIVOS (LOCAIS).

(Ilustracao)

Exemplo: f4 : IR IR dada por f4(x) = |x2 + 4| .

Observacoes:

(i) Todo maximo (mnimo) absoluto e maximo (mnimo) local.

(ii) Uma funcao PODE NAO ASSUMIR valores maximos ou mnimos.

Exerccio: Para cada uma das funcoes dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-

termine seus pontos e valores maximos e mnimos, se existirem.

18 CAPITULO 2

2.2 Construcao de funcoes a partir de outras

Via operacoes aritmeticas:

Sejam f : X IR e g : Y IR funcoes tais que X Y 6= .

A partir de f e g vamos construir novas funcoes (f + g), (f g), (f g) :

(f + g) : X Y IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x)

(f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x)

Exemplos:

(A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) =4 x e g : (,1] [1,+) dada

por g(x) =x2 1 :

(B) Consideremos agora a funcao indentidade f : IR IR dada por f(x) = x e funcoesconstantes do tipo gc : IR IR dadas por gc(x) = c (cada c e um numero real qualquer,fixado).

Utilizando a funcao identidade e funcoes constantes, podemos construir (atraves das operacoes

de adicao e multiplicacao) um importante tipo de funcao p : IR IR chamada FUNCAOPOLINOMIAL e dada por:

p(x) = anxn + anx

n1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 para todo x IR

an, an1, . . . , a2, a1, a0 IR , an 6= 0

(essa e dita uma funcao polinomial de grau n)

(Exemplos)

Funcoes 19

Obs.: Alguns tipos especiais de funcoes polinomiais:

1) Funcoes constantes: f : IR IR com f(x) = c x IR , sendo c IR fixo.

Sao as funcoes polinomiais de grau 0 (zero).

(Exemplos)

2) Funcoes polinomiais de grau 1: f : IR IR com f(x) = ax+ b , a, b IR e a 6= 0 .

Seus graficos sao retas, nao paralelas aos eixos coordenados.

Se a > 0, f e crescente. Se a < 0, f e decrescente.

(Exemplos)

3) Funcoes quadraticas: f : IR IR com f(x) = ax2 + bx+ c , a, b, c IR e a 6= 0 .

Sao as funcoes polinomiais de grau 2.

Seus graficos sao parabolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade

voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.

A intersecao da parabola (grafico) com o eixo de simetria e o VERTICE da parabola, tem

coordenadas

(b2a

,4a

), sendo = b2 4ac , e representa o maximo ou mnimo absoluto

da funcao, de acordo com a concavidade do grafico (sinal de a).

(Exemplos)

20 CAPITULO 2

Se quisermos agora utilizar a operacao de divisao para construir o quociente de duas funcoes

dadas, temos que tomar o cuidado para evitar divisoes por 0 (zero).

Assim, dadas f : X IR e g : Y IR , sendo Z = { x Y ; g(x) = 0 } , podemosdefinir:

(f/g) : (X Y ) Z IR pondo (f/g)(x) = f(x)g(x)

Exemplos:

(A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) =4 x e g : (,1] [1,+) dada

por g(x) =x2 1 :

(B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as funcoes dadas pelo quociente de funcoes

polinomiais:

p, q : IR IR (polinomiais) , Z = { x IR ; q(x) = 0 }

(p/q) : IR Z IR dada por (p/q)(x) = p(x)q(x)

(Exemplos)

Funcoes 21

Via composicao de funcoes:

Sejam f : X IR e g : Y Z funcoes tais que f(X) Y (a imagem de f estacontida no domnio de g).

A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a funcao

f e depois a funcao g.

Podemos pensar entao em uma funcao de X em Z que associa a cada elemento x Xum unico elemento g(f(x)) Z :

(g f) : X Z

x 7 g(f(x))

Essa nova funcao g f : X Z e chamada a funcao COMPOSTA de g com f .

Exemplos:

(a) Se f : IR IR e dada por f(x) = x2+5 e g : [0,+) IR e dada por g(x) =x ,

obtenha g f e f g , se possvel.

(b) Seja h : IR IR dada por h(x) = (5x2 2x+1)5 . Obtenha funcoes f e g tais queh = g f .

22 CAPITULO 2

2.3 Exerccios

1) Sejam f : IR IR dada por f(x) = 3x 1 , g : IR IR dada por g(x) = x 7 eh = f/g . Obtenha:

(a) O Domnio de h ; (b)5h(1) 2h(0) + 3h(5)

7; (c) f h ;

(d) h2(5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h h)(5) .

2) Para cada uma das funcoes dadas abaixo, faca um esboco do grafico da funcao e obtenha:

o conjunto imagem da funcao, se a funcao e ou nao limitada, maximos e mnimos (absolutos

ou locais), intervalos do domnio onde a funcao e crescente ou decrescente e identifique ainda

quais sao polinomiais ou racionais:

(a) f1 : IR IR dada por f1(x) = x2 + 8x+ 14

(b) f2 : IR IR dada por f2(x) = x2 + 4x 1

(c) f3 : IR IR dada por f3(x) = (x 2)2

(d) f4 : IR IR dada por f4(x) = (x+ 2)2

(e) f5 : IR IR dada por f5(x) = x3

(f) f6 : IR IR dada por f6(x) = 4 x3

(g) f7 : (5, 3] IR dada por f7(x) = |x|

(h) f8 : IR {2} IR dada por f8(x) =1

x 2

(i) f9 : [4, 7] IR dada por f9(x) =2x+ 5

(j) f10 : [0,+) IR dada por f10(x) =2x

3) Exprimir como funcao de x (nao se esqueca do domnio e do contra-domnio):

(a) A area de um cubo de aresta x.

(b) A area total de uma caixa de volume V , sabendo que a base e um quadrado de lado x.

(c) O comprimento l de uma corda de um crculo de raio 4 cm, sendo x a distancia da

corda ao centro do crculo.

4) Exprimir a funcao l obtida na Letra (c) do Exerccio 3) acima como a composta de duas

funcoes.

Funcoes 23

5) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5 2x . Faca um esboco dosgraficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos graficos, os valores

de x para os quais f(x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequacao.

6) X IR e dito simetrico em relacao a origem 0 quando x X x X .Exemplos: (6, 6), [13, 13], {12} (7, 7) {12} , IR , etc.Y = (5, 3] nao e simetrico em relacao a origem, pois 4 Y mas 4 6 Y .

Seja f : X IR uma funcao tal que X e simetrico em relacao a origem.

A funcao f e dita...

... PAR quando f(x) = f(x) para todo x X .

Exemplos: x4 16 (2 x 2) , 3x6 + x2 5 (x IR) , 1

1 + x2(x IR) , etc.

... IMPAR quando f(x) = f(x) para todo x X .

Exemplos: x3 + 2x (x IR) , x1 + x2

(x IR) , etc.

Alguma observacoes e propriedades interessantes:

(1) O produto/quociente de duas funcoes pares (ou duas mpares) e uma funcao PAR (prove);

(2) O produto/quociente de uma funcao par por uma funcao mpar (ou vice-versa) e uma

funcao IMPAR (prove);

(3) O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);

(4) O grafico de uma funcao mpar e simetrico em relacao a origem O(0, 0) (ilustre);

(5) E obvio que existem funcoes que nao sao pares nem sao mpares (de exemplos);

(6) Toda funcao f : X IR (X simetrico em relacao ao 0) pode ser escrita como a soma deuma funcao par com uma funcao mpar (desafio = tente provar).

7) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = 3x 52

e g(y) =2y + 5

3.

(a) Obtenha (g f)(x) e (f g)(y) .

(b) Faca esbocos dos graficos de f e g. O que se pode concluir sobre os graficos de f e g ?

(c) Seja f : [1, 3] [5, 3] dada por f(x) = 4 x2 .

Obtenha uma funcao g : [5, 3] [1, 3] que cumpre as condicoes da Letra (a) e faca esbocosdos graficos de f e g.

24 CAPITULO 2

8) Seja f : IR IR dada por f(x) = x2 + 4x 3 .

(a) Faca um esboco do grafico de f .

(b) Dado h 6= 0, calcule m0(h) =f(0 + h) f(0)

he de uma interpretacao geometrica

para m0(h) .

(c) Qual o significado de m0(h) quando h se aproxima de 0 ?

(d) Sabemos que o grafico de f e uma parabola. Se V = (a, b) e o vertice dessa parabola,

obtenha suas coordenadas a e b.

(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do vertice) e, dado h 6= 0, tente adivi-

nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma(h) =f(a+ h) f(a)

hquando

h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).

9) Se f : IR IR e dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCICIOANTERIOR para deduzir as coordenadas do vertice da parabola que e o grafico da funcao f .

10) Um grupo de amigos trabalha no perodo de ferias vendendo salgadinhos nas praias.

O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessarios para a producao custam R$ 2000,00

por mes. O custo do material de cada salgadinho e de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal

como funcao do numero de salgadinhos elaborados.

11) Um fabricante produz pecas para computadores pelo preco de R$ 2,00 cada uma.

Calcula-se que, se cada peca for vendida por x reais, os consumidores comprarao por mes

(600 x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como funcao do preco. Obtero preco otimo de venda.

12) O preco de uma corrida de taxi e constitudo de uma parte fixa, chamada bandeirada,

e de uma parte variavel, que depende do numero de quilometros rodados. Em uma cidade X

a bandeirada e R$ 10,00 e o preco do quilometro rodado e R$ 0,50.

(a) Determine a funcao que representa o preco da corrida.

(b) Se alguem pegar um taxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de

distancia, quanto pagara pela corrida ?

13) Um aviao com 120 lugares e fretado para uma excursao. A companhia exige de cada

passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o numero de

passageiros que torna maxima a receita da companhia ?

Funcoes 25

14) Uma industria comercializa um certo produto e tem funcao custo total em mil reais,

dada por CT (q) = q2 + 20q + 475 , sendo q 0 a quantidade do produto. A funcao receitatotal em mil reais e dada por R(q) = 120q .

(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.

(b) Em que valor de q acontecera lucro maximo ?

2.4 Inversao de funcoes

Seja f : X Y uma funcao. A cada x X esta associado um unico f(x) Y .

Nos interessa a situacao em que a associacao inversa f(x) 7 x e uma funcao de Y em X.

Para isso, f devera possuir duas caractersticas:

f(X) = Y (a imagem de f e todo o conjunto Y );

x1 6= x2 em X f(x1) 6= f(x2) em Y .

Uma funcao f : X Y e chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, aimagem de f e todo o contradomnio Y .

Uma funcao f : X Y e chamada INJETORA quando elementos distintos do domniotem sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X f(x1) 6= f(x2) em Y .

Exemplos:

(a)

26 CAPITULO 2

(b)

(c)

Uma funcao f : X Y e INVERTIVEL quando ela e sobrejetora e injetora ao mesmotempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y X que associa y 7 g(y) etal que g(f(x)) = x x X e f(g(y)) = y y Y .

g e dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f1 .

Exemplo:

Funcoes 27

Exerccio: Para cada uma das funcoes dadas posteriormente, faca o que se pede:

a) Faca um esboco do GRAFICO da funcao.

b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a funcao dada e LIMITADA ou nao.

c) Em que partes de seu domnio a funcao e CRESCENTE ou DECRESCENTE ?

d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou MINIMOS (quando existirem).

e) A funcao e INJETORA ? Justifique.

f) A funcao e SOBREJETORA ? Justifique.

g) Se a funcao dada for INVERTIVEL, determine sua INVERSA e faca um esboco do

GRAFICO DA FUNCAO INVERSA.

1) f1 : IR IR dada por f1(x) = 3x 1 .

2) g1 : IR [0,+) dada por g1(x) = |3x 1| .

3) h1 : IR IR dada por h1(x) = x2 + 9 .

4) p1 : (0, 3] (0, 6] dada por p1(x) = 2x .

5) q1 : (, 5] IR dada por q1(x) =

{x2 se x < 1

x+ 2 se x 1.

6) r1 : [0,+) [0,+) dada por r1(x) = |x2 3x| .

7) s1 : IR IR dada por s1(x) = x2 + 2 .

8) u1 : [2, 3] IR dada por u1(x) = x2 + 2 .

9) v1 : IR+ IR+ dada por v1(x) = x2 .

10) f2 : IR IR dada por f2(x) = |x| .

11) g2 : IR IR dada por g2(x) = x

3+ 1 .

28 CAPITULO 2

12) h2 : (3,+) IR dada por h2(x) = x

3+ 1 .

13) p2 : [0,+) (, 0] dada por p2(x) = 2x .

14) q2 : IR IR dada por q2(x) =

{1 se 1 x 30 se x < 1 ou x > 3

.

15) r2 : IR IR dada por r2 = q2.s1 .

16) s2 : IR IR dada por s2(x) =

{1/x se x 6= 00 se x = 0

.

17) v2 : (,1) [0,+) IR dada por v2(x) =

{ se x < 1x2 se x 0

.

18) f3 : (1, 1] IR dada por f3(x) = 11 x2 .

2.5 Funcoes exponenciais e logartmicas

Revisao:

a IR , n = 1, 2, 3, . . . an = a a a . . . a (n vezes).

a 6= 0 a0 = 1 e an = 1an

(n = 1, 2, 3, . . .) .

n PAR e a 0 : b = na bn = a , b 0 .

n IMPAR e a IR : b = na bn = a .

Definimos potencias RACIONAIS de numeros reais positivos do seguinte modo:

a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ap/q = qap

Temos, neste caso: ar1 ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .

Nos interessa agora definir ax , com x IR (qualquer, mesmo irracional).

Para isso consideremos a > 0 .

Se x e racional, ja temos ap/q = qap .

Funcoes 29

Se x e IRRACIONAL, sabemos que e possvel obter uma sequencia de racionais r1, r2, r3, . . .

que se aproxima de x tanto quanto quisermos:

r1, r2, r3, r4, r5, . . . x

FATO: A sequencia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um numero real, o qual DEFINI-

MOS como ax .

Temos entao a nossa funcao exponencial de base a:

Fixado a > 0 em IR, a funcao fa : IR IR+ dada por fa(x) = ax para todo x IRe chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.

Propriedades:

ax ay = ax+y , (ax)y = axy , (a b)x = ax bx , a0 = 1

Grafico:

Crescimento ou decrescimento: fa(x) = ax e

{CRECENTE se a > 1

DECRESCENTE se a < 1

Inversa: Se a 6= 1 entao fa : IR IR+

x 7 axe SOBREJETORA e INJETORA, ad-

mitindo portanto uma funcao inversa f1a : IR+ IRy 7 f1a (y)

.

f1a e chamada FUNCAO LOGARITMICA DE BASE a e escrevemos f1a (y) = loga y .

Temos entao: y = ax x = loga y .

xfa7 ax = y f

1a7 x = loga y = loga ax

yf1a7 x = loga y

fa7 y = ax = aloga y

30 CAPITULO 2

Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a funcao f1a : IR+ IR dada por f1a (y) = loga y .

Propriedades:

loga(x y) = loga x+ loga y , loga(xy) = y loga x , loga 1 = 0

Grafico:

Um numero especial:

Consideremos a soma 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . . Mostra-se que esta soma converge

(se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos) para um numero real conhecido por

CONSTANTE DE EULER e denotado por e .

Assim, podemos escrever e = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . .

E facil ver que 2 < e < 3 :

2 < 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . < 1 + 1 +

1

2+

1

22+

1

23+

1

24+ . . . = 3

O numero real e acima definido ira desempenhar um importante papel ao longo do nosso

curso de Calculo I, no que se refere as funcoes exponencial e logartmica, na base e :

fe : IR IR+ dada por fe(x) = ex (funcao exponencial de base e) e sua inversaf1e : IR

+ IR dada por f1e (x) = loge x (funcao logartmica de base e).

Escrevemos tambem loge x = log x = lnx .

Obs.: Outro modo de obter o numero e :(1 +

1

1

)1,

(1 +

1

2

)2,

(1 +

1

3

)3,

(1 +

1

4

)4,

(1 +

1

5

)5, . . . e

Funcoes 31

2.6 Funcoes trigonometricas

Medidas de angulos em radianos:

Um angulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferencia (centrada

no vertice do angulo) de comprimento igual ao raio da circunferencia considerada:

Assim, um angulo que mede rad corresponde a um arco de comprimento r , sendor o raio da circunferencia considerada:

1=

l

r l = r

Desta forma, e facil ver que a medida de uma volta em radianos e 2 rad :

2r = r = 2 rad

Relacoes trigonometricas nos triangulos retangulos:

Consideremos 0 < 0 e K > 0 uma constante que depende do material.

A equacao acima e conhecida como modelo de decaimento exponencial.

Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e de aproximadamente 5730 anos, determinar:

(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;

(b) A quantidade de massa presente apos dois perodos de meia-vida, se no instante t = 0

a massa era M0;

(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenca do carbono-14 neste

e 80% da quantidade original.

10) Uma certa substancia radioativa decai exponencialmente e, apos 100 anos, ainda restam

60% da quantidade inicial.

(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substancia.

(b) Determinar a sua meia-vida.

(c) Determinar o tempo necessario para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.

11) Faca esbocos dos graficos das seguintes funcoes:

(a) f : IR IR dada por f(x) = 2x ;

(b) g : IR IR dada por g(x) = ex ;

(c) h : IR IR dada por h(x) = ex ;

(d) s : IR {0} IR dada por s(x) = ln |x| ;

(e) l : (, 0) IR dada por l(x) = ln(x) ;

(f) m : IR+ IR dada por m(x) = |lnx| ;

(g) n : (1,+) IR dada por n(x) = ln(1 + x) .

Funcoes 37

12) Uma funcao f : X IR e dita PERIODICA quando existe um numero T > 0(chamado o perodo de f) tal que f(x+T ) = f(x) para todo x X . Neste caso, seu graficose repete a cada intervalo de comprimento T .

As funcoes trigonometricas constituem exemplos classicos de funcoes periodicas:

(a) Mostre que as funcoes fn : IR IR dadas por fn(x) = sennx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) saotodas mpares e periodicas de perodo T = 2 .

(b) Mostre que as funcoes gn : IR IR dadas por gn(x) = cosnx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)sao todas pares e periodicas de perodo T = 2 .

13) (Formulas de Transformacao) Prove as seguintes identidades trigonometricas:sen 2a =

1 cos 2a2

cos2 a =1 + cos 2a

2

cos a cos b = 12 cos(a+ b) + 1

2 cos(a b)

sen a sen b = 12 cos(a b) 1

2 cos(a+ b)

sen a cos b = 12 sen (a+ b) + 1

2 sen (a b)

14) Seja f : IR {x IR ; cos x = 0 } IR dada por f() = tg . Verifique:

f(2) =2f()

1 [f()]2

15) Faca esbocos dos graficos das seguintes funcoes:

(a) f : IR IR dada por f(x) = sen 3x ;

(b) g : IR IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;

(c) h : IR IR dada por h(x) = 1 + senx ;

(d) s : IR IR dada por s(x) = | sen x| ;

(e) l : IR IR dada por l(x) = sen (x (/2)) .

16) Seja f : [1, 100] IR dada por f(x) = arc sen [log10(x/10)] . Obtenha f(1), f(100)e f(

10 ) .

38 CAPITULO 2

17) (Funcoes Hiperbolicas) Definimos as funcoes hiperbolicas basicas:

Funcao Seno Hiperbolico: senh : IR IR dada por senhx = ex ex

2

Funcao Cosseno Hiperbolico: cosh : IR IR dada por coshx = ex + ex

2

(a) Faca um esboco do grafico das funcoes senh e cosh.

(b) Prove que cosh2 x senh 2x = 1 para todo x IR .

(c) Prove que coshx 1 para todo x IR .

Definimos ainda:

tgh : IR IR dada por tghx = senh xcoshx

ctgh : IR {0} IR dada por ctghx = coshxsenh x

sech : IR IR dada por sechx = 1coshx

csch : IR {0} IR dada por cschx = 1senh x

(d) Obtenha (prove) relacoes entre as funcoes tgh e sech e entre ctgh e csch .

18) Seja f : IR IR dada por f(x) = 2 senhx3 tghx . Obtenha f(2) , f(1) e f(0) .

Captulo 3

Limite de uma funcao e Continuidade

3.1 Motivacao

Seja dada uma funcao f : X Y (X, Y IR) .

Para cada x X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanca de x por umafuncao cujo grafico e uma reta e atraves da reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)) ,

se houver esta tangente.

Consequencia: Podemos relacionar uma serie de informacoes sobre o comportamento de

f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao grafico de f em cada ponto (onde existir).

Por exemplo:

(A) f crescente em um intervalo mt > 0 neste intervalo.

39

40 CAPITULO 3

(B) f decrescente em um intervalo mt < 0 neste intervalo.

(C)f assumindo maximo ou mnimo local

no interior de um intervalo

} mt = 0 no ponto de maximo ou mnimo.

(D)Concavidade do grafico de f

voltada para cima, em um intervalo

} mt crescente neste intervalo.

(E)Concavidade do grafico de f

voltada para baixo, em um intervalo

} mt decrescente neste intervalo.

Obtendo mt (coeficiente angular da reta tangente)

Dada f : X Y (X, Y IR) , seja a I(intervalo aberto) X. Queremos obter ocoeficiente angular mta da reta ta , tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) :

Limite de uma funcao e Continuidade 41

Para fazermos isso, vamos utilizar APROXIMACOES POR RETAS SECANTES:

Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),secante ao grafico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :

Temos entao uma funcao msa : I {a} IR

x 7 msa(x) =f(x) f(a)

x a

Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)

quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x a ).

O esperado e que, quando x a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algumnumero real e teremos

msa(x) mta IR , quando x a

Neste caso, dizemos que a funcao f e derivavel no ponto a, existe a reta tangente ao grafico

de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e chamado a derivada de f no ponto

a (escrevemos f (a) ).

Obs.: E fundamental, para fazermos x a , que possamos aproximar o ponto a por umasequencia de pontos do domnio X de f , diferentes de a.

Exemplo:

42 CAPITULO 3

Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,

Dada uma funcao g : X Y e um ponto a que pode ser aproximado porpontos x X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x a(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) L IR quandox a .

3.2 Limites

Dada uma funcao f : X IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quandox se aproxima de a , x 6= a .

Para isso, a nao precisa pertencer ao domnio de f , mas deve ser aproximado por pontos

do domnio:

Definicao 3.1. (Ponto de acumulacao): Um ponto a e chamado um PONTO DE ACUMULACAO

do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tao proximos de a

quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.

Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Exemplos:

(A) A = [1, 3)

(B) B = (0, 2) (2, 3)

(C) C = [1, 2] (3, 5) {7}

Consideremos agora, por exemplo, a funcao f : IR {1} IR dada por

f(x) =3x2 2x 1

x 1

1 nao pertence ao domnio de f , mas e ponto de acumulacao de IR {1} . Podemosentao observar o comportamento de f(x) quando x 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)

Temos:

x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999

f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997

x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001

f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003

Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a medida que x 1 .

Dizemos entao que 4 e o limite de f(x) quando x tende a 1 (x 1) e escrevemos:

limx1

3x2 2x 1x 1

= 4 .

A definicao de limite

Definicao 3.2. Sejam f : X IR uma funcao e a X (a e ponto de acumulacao dodomnio - nao precisa pertencer a X).

Dizemos que um numero real L e o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos

limxa

f(x) = L

quando ...

... podemos obter f(x) tao proximo de L quanto

desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-

lores (no domnio de f) diferentes de a .

m TRADUZINDO

... para cada > 0 dado, e possvel obter um

> 0 (em geral dependendo do ) tal que :

se x X e 0 < |x a| < entao |f(x) L| < .

44 CAPITULO 3

Alguns limites fundamentais

Fixemos c IR e seja f1 : IR IR dada por f1(x) = c x IR (funcao constante).

Para cada a IR temos:limxa

f1(x) = limxa

c = c

Seja f2 : IR IR dada por f2(x) = x x IR (funcao identidade).

Para cada a IR temos:limxa

f2(x) = limxa

x = a

Seja f3 : IR IR dada por f3(x) = senx x IR .

Temos:

limx0

sen x = 0

Seja f4 : IR IR dada por f4(x) = cosx x IR .

Temos:

limx0

cosx = 1

Seja f5 : IR { 0} IR dada por f5(x) =sen x

x x 6= 0 .

Temos:

limx0

sen x

x= 1

Seja f6 : IR { 0} IR dada por f6(x) =cosx 1

x x 6= 0 .

Temos:

limx0

cosx 1x

= 0

Seja f7 : IR { 0} IR dada por f7(x) =ex 1x

x 6= 0 .

Temos:

limx0

ex 1x

= 1


3.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites

Teorema 3.1. Sejam f : X IR e a X . Temos:

limxa

f(x) = L limxa

(f(x) L) = 0 limxa

|f(x) L| = 0

Em particular, considerando L = 0 , temos: limxa

f(x) = 0 limxa

|f(x)| = 0 .

Exemplo: Sabemos que limx0

x = 0 . Entao segue que limx0

|x| = 0 .

Teorema 3.2. (Sanduche) Sejam f , g , h funcoes tais que f(x) g(x) h(x) para todox 6= a em um intervalo aberto contendo a .

Se limxa

f(x) = L = limxa

h(x) , entao limxa

g(x) = L .

Exemplo: Vamos mostrar que limx0

sen x = 0 .

46 CAPITULO 3

Teorema 3.3. Sejam f , g : X IR , a X e limxa

f(x) = L , limxa

g(x) = M . Entao:

limxa

[f(x) g(x)] = LM ;

limxa

f(x) g(x) = L M ;

limxa

f(x)

g(x)=

L

Mse M 6= 0 ;

limxa

nf(x) =

nL

{se n e IMPAR e L e qualquer real

se n e PAR e L > 0

Exemplos:

(A) Seja p : IR IR dada por p(x) = cnxn + cn1xn1 + . . .+ c1x+ c0 ,

com cn, cn1, . . . , c1, c0 IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e uma funcao polinomial de grau n).


(B) Funcoes racionais (quocientes de funcoes polinomiais)

(C) limx0

cosx = 1

48 CAPITULO 3

(D) limx0

sen x

x= 1

(E) limx0

cosx 1x

= 0


Teorema 3.4. Se limxa

f(x) = 0 e g e limitada num intervalo aberto contendo o ponto a

(sem precisar estar definida em a), entao limxa

f(x) g(x) = 0 .

(Exemplo)

Teorema 3.5. (Troca de variaveis) Se limub

f(u) = L , limxa

u(x) = b (x a u b) ex 6= a u 6= b , entao

limxa

f(u(x)) = limub

f(u) = L

Exemplos:

(A) limx0

sen 4x

4x

(B) limx0

sen 3x

x

(C) limx0

5x 1x

50 CAPITULO 3

Exerccios

(A) Prove que se limxa

f(x) = L 6= 0 e limxa

g(x) = 0 entao @ (nao existe) limxa

f(x)

g(x).

Sugestao: Suponha que exista limxa

f(x)

g(x)= M e considere lim

xaf(x) = lim

xa

[f(x)

g(x) g(x)

].

(B) Calcule os limites abaixo, justificando:

1) limx3

x2 9x 3

2) limx1/2

3 + 2x

5 x3) lim

x0

x+ 2

2

xSugestao: racionalize o numerador

4) limx2

x 2x4 16

Sugestao: use que (an bn) = (a b).(an1 + an2b+ . . .+ abn2 + bn1)

5) limx3

x+ 3

(1/x) + (1/3)6) lim

x0

|x|x4 + 7

7) limx3

x2 + 5x+ 6

x2 x 128) lim

u1

15 u

9) limx0

x3 sen

(13x

)10) lim

h0

416 + h

h11) lim

x3

3

2 + 5x 3x3

x2 112) lim

y2

y3 + 8

y + 2

13) limt0

1 cos tsen t

14) limx2

x2 x 2(x 2)2

15) limx4

3x2 17x+ 204x2 25x+ 36

16) limw0

sen 3w

sen 5w

17) limh0

3h+ 1 1

h18) lim

x0

1 + tg x

sen x19) lim

t0

sen 22t

t220) lim

x

sen x

x

21) limx0

x

cosx22) lim

x0

1 cosxx2

23) limx0

3x 1x

24) limx0

3x2

1 cos2(x/2)

25) limx1/

2

x5 (1/2)5

x (1/2)

26) limx2

(x 1)(x+ 2)x2 + 4x+ 4

27) limx3

x2 9x 3

28) limy0

e7y 1sen y

29) limx0

(1 sec x). ctg x. cosxx

30) limx3

x2 6x+ 9(x+ 1)(x 3)

31) limx

3

3 x

x3 33

32) limx/2

x /2cosx

33) limx0

sen 3x

5x(1 cosx)34) lim

y03

1 e2y

y

35) limx

2

3x 32

x6 836) lim

y0

sen y

y37) lim

x1

x2 1(1 x)3

38) limx

1 + cos x

x+ 39) lim

x0

ex + sen 2x 1x

40) limx3

3

x 327 x3

41) limx1

x3 + 2x2 + x

x+ 142) lim

x0

e senx 12x

43) limy0

sen 7y + cosy 1y

44) limx0

1 cosx5 x sen x

45) limx

3

x3 33

4x 43

46) limy0

e2y 1sen (3y)

47) limx1

x3 + x2 x 1x3 x

48) limx/2

1 sen xx (/2)

Teoremas adicionais sobre limites

Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X IR e a X .

O limxa

f(x) , quando existe, e unico.

Teorema 3.7. Sejam f : X IR e a X . Se existe L = limxa

f(x) entao a funcao f e

LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.

Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = 1x x 6= 0 .

0 e ponto de acumulacao do domnio IR {0} .

Podemos afirmar que NAO EXISTE o limx0

1

x, pois f nao e limitada em nenhum

intervalo aberto contendo 0 .

Teorema 3.8. Sejam f : X IR , a X e L = limxa

f(x) .

Se L > M entao f(x) > M para todo x 6= a do domnio em um intervalo abertocontendo o ponto a .

Em particular, se limxa

f(x) > 0 entao f(x) > 0 para todo x 6= a do domnio em umintervalo aberto contendo a .

Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso limxa

f(x) = L < M .

52 CAPITULO 3

Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X IR e a X .

Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X

menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :

limxa+

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e, por valores x X, com x > a)

limxa

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e, por valores x < a em X)

Temos, neste caso, que existe L = limxa

f(x) se, e somente se, existem e sao iguais a L

ambos os limites laterais, ou seja: limxa+

f(x) = limxa

f(x) .

Exemplos: (a) Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = |x|x

.

(b)

Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBEM PARA LIMITES LATERAIS,

COM AS DEVIDAS ADAPTACOES !


3.4 Exerccios:

1) Sejam f, g : IR IR dadas por:

f(x) =

{x3 + 3 se x 1x+ 1 se x > 1

g(x) =

{x2 se x 12 se x > 1

Faca um estudo sobre os limites: limx1

f(x) limx1

g(x) limx1

(f.g)(x)

2) Mostre que limxa

f(x) f(a)x a

= limh0

f(a+ h) f(a)h

(se existirem)

3) Para cada funcao f : X IR dada a seguir e cada a X X (a e ponto do domnio eponto de acumulacao do domnio), tambem fornecido, obtenha

mta = coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)).

(a) f1 : IR IR dada por f1(x) = 3x 1 e a = 5 .

(b) f2 : IR IR dada por f2(x) = x2 e a = 3 .

(c) f3 : IR IR dada por f3(x) = senx e a = /6 .

(d) f4 : IR IR dada por f4(x) = cosx e a = /6 .

(e) f5 : IR IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .

(f) f6 : (0,+) IR dada por f6(x) = 1/x e a =2 .

Faca ainda um esboco e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboco.

Sugestoes:

Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),

fazendo x a.

Para as letras (c),(d) e (e), use tambem o exerccio anterior.

Pode tentar tambem fazer antes o Exerccio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-

xerccio se torna um caso particular.

4) Para cada funcao f : X IR do exerccio anterior, tente generalizar o resultado, obtendomta para um a X qualquer !

54 CAPITULO 3

3.5 Continuidade

Definicao 3.3. Consideremos uma funcao f : X IR tal que X X (todo ponto dodomnio e ponto de acumulacao).

Dado um ponto a , dizemos que f E CONTINUA NO PONTO a quando as seguintes

condicoes sao satisfeitas:

1) Existe f(a) (ou seja, a X);

2) Existe limxa

f(x) ;

3) limxa

f(x) = f(a) .

Se f nao e contnua em um ponto a pertencente a seu domnio, dizemos que f E

DESCONTINUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.

Dizemos que f : X IR e uma FUNCAO CONTINUA EM X quando ela e contnua emtodos os pontos de seu domnio.

Exemplos: (e contra-exemplos)

(A) Toda funcao polinomial e contnua !

(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :

(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVIVEL:

(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:


Continuidade e operacoes entre funcoes

Teorema 3.10. Sejam f, g : X IR , X X e a X .

Se f e g sao contnuas no ponto a X , entao:

(f g) sao contnuas em a ;

(f g) e uma funcao contnua em a ;

(f/g) e contnua em a se g(a) 6= 0 .

Teorema 3.11. (Composicao) Sejam f : X IR (X X ) e g : Y IR (Y Y ) deforma que a composta g f : X IR esta bem definida

Se f e contnua em a X e g e contnua em b = f(a) Y entao a compostag f : X IR e contnua no ponto a X .

Funcoes contnuas em intervalos

Quando estudamos problemas sobre maximos e mnimos, podemos ter funcoes que naoassumem valores maximos e/ou mnimos.

Por exemplo:

f : IR IR dada por f(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

g : (1, 2) IR dada por g(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

56 CAPITULO 3

Existe uma situacao (envolvendo continuidade) na qual estes problemas nao ocorrem:

Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] IR e uma funcao contnua (em todos os pontosdo intervalo limitado e fechado [a, b]), entao f assume valores maximo e mnimo absolutos

neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que

f(cM) f(x) para todo x [a, b]

f(cm) f(x) para todo x [a, b]

Outra boa propriedade das funcoes contnuas e a PROPRIEDADE DO VALOR IN-TERMEDIARIO:

Teorema 3.13. (Teorema do valor intermediario) Se f : X IR e contnua no intervalo[a, b] X e f(a) 6= f(b) , entao f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .

(Ilustracao)

(Exemplo)

3.6 Exerccios

1) Seja f : [0,+) IR dada por f(x) =x .

(i) Mostre que limx0

x = 0 (Sugestao: Considere apenas o limite lateral lim

x0+

x - pois 0

so pode ser aproximado pela direita - e para isto, comparex com 3

x para 0 < x < 1 )

(ii) Conclua que f e contnua (em todos os pontos de seu domnio).

(iii) Mostre que @ limx0

x

x(racionalize).

(iv) Generalize para g : [0,) IR dada por g(x) = nx , n = 2, 4, 6, 8, . . .

2) Dadas f : X IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e contnua ou nao),justificando:

(a) f : (, 16] IR dada por f(x) =16 x .

(b) f : [0,+) IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1x2

se x 6= 0 .

(c) f : IR IR dada por f(x) =

x+ 1

x3 + 1se x 6= 1

3 se x = 1

.

3) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0

x+ 2 se x 0

(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .

(b) A equacao f(x) = 0 tem uma raiz entre 2 e 1. JUSTIFIQUE.


{x3 x 3 se x < 25 x se x 2

(a) Onde f e contnua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)

(b) Em quais dos intervalos [2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existex tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.

58 CAPITULO 3


{2x+ 1 se x 3x2 + 8x 8 se x > 3

(a) Responda se f e contnua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).

(b) Sabendo que f e crescente em (, 7/2] e descrescente em [10,+) , podemosafirmar que existe xM [7/2, 10] tal que f(xM) f(x) para todo x IR ? (JUSTIFIQUE)


{x+ 1 se x < 11 + sen (x+ 1) se x 1

(a) Responda se f e contnua em a = 1 . (JUSTIFIQUE).

(b) Responda: Se [a, b] IR , e possvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entrea e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.

7) (a) Seja f : IR IR uma funcao tal que f(x) = sen [(x 1)]x 1

x 6= 1 . f pode sercontnua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se

nao, JUSTIFIQUE.

(b) Seja g : IR IR uma funcao tal que g(x) = |x 1|x 1

x 6= 1 . g pode ser contnuaem x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se nao,

JUSTIFIQUE.

Captulo 4

Derivada

4.1 A definicao da Derivada

Definicao 4.1. Consideremos uma funcao f : X IR , com X X (todo ponto dodomnio e ponto de acumulacao do domnio).

Dizemos que f e DERIVAVEL em a X quando existe o limite

f (a) = limxa

f(x) f(a)x a

= limh0

f(a+ h) f(a)h

O numero f (a) IR e chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

Observacoes:

Em nossas aplicacoes, o domnio X sera quase sempre um intervalo (e ja teremos X X );

Outras notacoes para f (a) :

f (a) = Dxf(a) =df

dx(a) =

df

dx

x=a

ou ainda f (a) = y(a) =dy

dx(a) , se y = f(x)

Podemos considerar a funcao f : x 7 f (x) definida em todos os pontos x X ondeexistir f (x) . f e chamada a FUNCAO DERIVADA DE f .

59

60 CAPITULO 4

Interpretacao geometrica

Ja vimos, como motivacao para o estudo de limites, que se f : X IR e derivavel ema X , entao f (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao graficode f no ponto (a, f(a)) :

Vimos tambem que o conhecimento de f (a) = mta para os pontos a X pode nostrazer uma serie de informacoes sobre o comportamento da funcao f .

Primeiros exemplos:

(A) Fixemos c IR (constante) e seja f : IR IR dada por f(x) = c x IR .

Derivada 61

(B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x3 x IR . Vamos calcular g(2) , por exemplo:

Exerccio:

(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 entao g(x) = 3x2 x IR .(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) entao f (x) = nxn1 .

(C) Seja f : IR IR dada por f(x) = senx .

Exerccio: Obtenha a derivada de g : IR IR dada por g(x) = cosx .

(D) Seja u : IR IR dada por u(t) = et (funcao exponencial na base e).

62 CAPITULO 4

(E) Seja f : IR IR dada por f(x) = |x| .

(F) Seja g : IR {0} IR dada por g(x) = 1x4

= x4 .

Exerccio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .)

entao g(x) = nxn1 x 6= 0 .

(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR IR dada por u(t) = at (funcao exponencial na base a).

Derivada 63

4.2 Derivadas e continuidade

Teorema 4.1. Se f : X IR e DERIVAVEL em a X , entao f e CONTINUA em a.

De fato:

Se f e derivavel em a X , entao existe o limite limxa

f(x) f(a)x a

= f (a) .

Existe f(a) (pois a X).

Se x 6= a , temos: f(x) f(a) =[f(x) f(a)

x a

] (x a) .

Como limxa

f(x) f(a)x a

= f (a) e limxa

(x a) = 0 , segue que

limxa

f(x) f(a) = limxa

f(x) f(a)x a

limxa

(x a) = f (a) 0 = 0

Logo limxa

f(x) = f(a) e portanto f e contnua no ponto a .

Algumas consequencias:

Sao contnuas em todos os pontos de seus domnios as funcoes:

f : IR {0} IR dada por f(x) = 1xn

(n = 1, 2, 3. . . .) ,

g1 : IR IR dada por g1(x) = senx , g2 : IR IR dada por g2(x) = cosx ,

u : IR IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sao todas derivaveis em todos os pontos deseus domnios.

Se uma determinada funcao e descontnua

em algum ponto de seu domnio, entao ela nao e

derivavel neste ponto de descontinuidade.

CUIDADO! Nao podemos garantir a recproca do teorema anterior, ou seja, podemoster uma funcao que e contnua mas nao e derivavel em determinados pontos.

Exemplo: f(x) = |x| e contnua no ponto 0 ( limx0

|x| = 0 = f(0) ), mas ja vimos que @ f (0) .

64 CAPITULO 4

4.3 Exerccios

1) (a) Seja f(x) =1

x3x 6= 0 . Obtenha, via definicao, f (1) .

(b) Seja f(x) = senx x IR . Obtenha (via definicao) f (2/3) .

(c) Se g(x) = 5x x IR , mostre (via definicao) que g(x) = 5x. ln 5 x IR .

(d) Seja f : IR IR dada por f(x) = 3 3x x IR

Mostre, via definicao, que @ (nao existe) f (0) e que f (a) =1

3a2

a 6= 0 .

2) (Derivadas Laterais) Quando f : X IR , a e ponto de acumulacao BILATERALde X e f e definida de modos diferentes a direita e a esquerda de a, a existencia do limite

que define a derivada no ponto a e verificada observando-se a existencia e a igualdade dos

limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE

f (A DIREITA OU A ESQUERDA) NO PONTO a:

f +(a) = limxa+

f(x) f(a)x a

e f (a) = limxa

f(x) f(a)x a

(a) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0

x+ 2 se x 0

f e derivavel em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (0). Se nao for, justifique.

(b) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{6x 2 se x 15 x se x > 1

f e derivavel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f (1). Se nao, justifique.

(c) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{2x+ 1 se x 3x2 + 8x 8 se x > 3

f e derivavel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f (3). Se nao for, justifique.

(d) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{x3 x 3 se x < 27 x2 se x 2

f e derivavel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (2). Se nao for, justifique.

(e) Seja f : IR IR dada por f(x) =

{x+ 1 se x < 11 + sen (x+ 1) se x 1

f e derivavel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f (1). Se nao, justifique.

Derivada 65

4.4 Regras de derivacao

Teorema 4.2. Se f , g : X IR sao derivaveis em a X , entao:

(a) Para cada constante c IR , (cf) : X IR e derivavel em a e (cf)(a) = c f (a) ;

(b) f g sao derivaveis em a e (f g)(a) = f (a) g(a) ;

(c) (f g) e derivavel em a e (f g)(a) = f (a).g(a) + f(a).g(a) ;

(d) (f/g) e derivavel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)(a) = f(a).g(a) f(a).g(a)

[g(a)]2.

Exemplos:

(A) Para cada funcao f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada)

1) f : IR IR dada por f(x) = 6x3 3x2 x+ 7 .

2) f : IR IR dada por f(t) = 6t 10t2 + 5

.

3) f : IR Z IR , Z = {x IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .

Exerccio: Obtenhad

dxctg x ,

d

dxsec x ,

d

dxcsc x

4) f : IR IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cosu) .

66 CAPITULO 4

5) f : IR IR dada por f(t) = sen 2t .

6) f : IR {0} IR dada por f(x) = 1xn

= xn (n = 1, 2, 3, . . .) .

(B) Seja g : IR IR dada por g(x) = 4 x2 .

1) Obtenha as equacoes das retas tangentes ao grafico de g e que passam pelos pontos:

A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .

2) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de g e que e paralela a reta y = 2x .

Derivada 67

3) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de g no ponto A(1, 3) .

4) Em que ponto a tangente ao grafico e horizontal? (tem coeficiente angular 0)

5) Onde o coeficiente angular da tangente e positivo ?

6) Onde o coeficiente angular da tangente e negativo ?

A Regra da Cadeia - Derivadas de funcoes compostas

Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X IR e g : Y IR tais que u(X) Y e acomposta (g u) : X IR esta bem definida:

Dado a X , se u e derivavel em a (existe u(a)) e g e derivavel em b = u(a) (existeg(b) = g(u(a)) ), entao a composta (g u) : X IR e derivavel em a X em temos ainda:

(g u)(a) = g(b) u(a) = g(u(a)) u(a)

Quanto a funcao derivada (gu) : x 7 (gu)(x) , escrevemos (gu)(x) = g(u(x))u(x)para todo x onde existirem as derivadas.

68 CAPITULO 4

Exemplos:

Para cada funcao f : IR IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada):

(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .

(B) f dada por f(t) = (4t3 t2 + 3t 2)2 .

(C) f dada por f(x) = (5x2 2x+ 1)3 .

(D) f dada por f(w) = (2w2 3w + 1)(3w + 2)4 .

(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).

Derivada 69

(F) f dada por f(t) = sen 2t .

(G) f dada por f(t) = cos5 t .

(H) f dada por f(x) = e(x2) .

(I) f dada por f(w) = (ew senw)2 .

(J) f dada por f(t) = e cos(2t3) .

70 CAPITULO 4

Derivadas de funcoes inversas

Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) J (intervalo) uma funcao INVERTIVEL (bijetora =injetora e sobrejetora) e CONTINUA (em todos os pontos de seu domnio I).

Sua inversa g : J I e contnua em todos os pontos de J .

Mais ainda:

Se f e derivavel em a I e f (a) 6= 0 , entao g e derivavel em b = f(a) e podemosobter g(b) atraves da Regra da Cadeia.

Exemplos:

(A) Derivada da funcao logartmica na base e:

Exerccio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g(x) se g : (0,+) IR e dada por

g(x) = loga x

Resposta: g(x) = loga x , x (0,+) g(x) =1

x ln a x > 0 .

Derivada 71

(B) Razes:

(C) Funcoes trigonometricas e suas inversas:

Exerccio:

(a) Se g : [1, 1] [0, ] e dada por g(x) = arc cos x , mostre que

g(x) = 11 x2

x (1, 1)

72 CAPITULO 4

(b) Se h : IR (/2, /2) e dada por h(x) = arc tg x , mostre que

h(x) =1

1 + x2 x IR

4.5 Derivacao implcita

Seja f : [1, 1] IR a funcao dada por f(x) =1 x2 para todo x [1, 1] .

Pondo y = f(x) , temos:

y =1 x2

y2 = 1 x2 , y 0

() x2 + y2 = 1 (y 0)

A equacao (*) acima estabelece uma relacao entre x e y = f(x) . Juntamente com a

restricao y 0 ela define bem a funcao f . Por isso dizemos que f ESTA IMPLICITAMENTEDEFINIDA POR (*).

Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e funcao de x , e facil ver que a equacao (*)

estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a funcao constante e igual a 1. Podemos pensar

portanto em DERIVAR EM RELACAO A VARIAVEL x.

Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e derivavel e tomando o cuidado de lembrar

que y = f(x) , ou seja, y2 e uma composicao de funcoes e DEVEMOS USAR A REGRA

DA CADEIA:

x2 + y2 = 1

2x+ 2yy = 0

() y = xy

(y 6= 0)

Lembrando que y = f(x) =1 x2 , temos:

f (x) = y = x1 x2

, x (1, 1)

Derivada 73

Possveis vantagens da derivacao implcita:

Derivar a equacao (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentarobter a derivada atraves da expressao explcita de f .

Uma equacao em x e y pode definir implicitamente varias funcoes e, caso isto ocorra,a derivacao implcita serviria para todas elas.

Exemplos:

(A) Admitindo que f : (0,+) IR dada por f(x) = lnx e derivavel, obtenha f (x) porderivacao implcita.

(B) Fixado qualquer IR e admitindo que f : (0,+) IR dada por f(x) = x sejaderivavel, use logartmos para obter f (x) por derivacao implcita.

(C) Obtenha a equacao da reta tangente a curvax2

4+ y2 = 1 no ponto (1,

3 /2) .

74 CAPITULO 4

(D) Seja g : (0,+) IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g ederivavel, obtenha g(x) via derivacao implcita.

(E) Se y = 3

x

x3 + 1, obtenha y(x) por derivacao implcita.

4.6 Exerccios

(A) O objetivo deste exerccio e observar a naturalidade da medida de angulos em radianos,

no seguinte sentido: alguns calculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao

inves de graus como unidades de medida.

Quando lidamos com as funcoes trigonometricas, por exemplo, quase todos os resultados

decorrem do seguinte limite:

limx0

sen x

x= 1 (Limite Trigonometrico Fundamental)

Ajuste a demonstracao que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a

medida dos angulos em GRAUS.

Calcule tambemd sen x

dxquando x e medido em graus.

Derivada 75

(B) Para cada funcao dada abaixo (por questoes de economia, cometemos um abuso ao

omitir os domnios e contra-domnios), calcule sua derivada, indicando onde existe:

1) f(x) = 10x2 + 9x 4 2) h(x) = (2x2 4x+ 1)(6x 5) 3) f(w) = 2ww3 7

4) f(x) =1

1 + x+ x2 + x35) g(x) = (8x7)5 6) s(t) =

(3t+ 4

6t 7

)37) h(z) =

9z3 + 2z

6z + 1

8) H(x) =2x+ 34x2 + 9

9) f(x) = 51/x 10) f(x) = 6x2 5

x+

23x2

11) f(w) =33w2

12) f(t) = (t6 t6)6 13) f(x) = xm/n m,n 6= 0 Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3

15) f(x) = x lnx 16) g(x) =x2

lnx17) f(u) = ueu 18) h(s) = s2e2s 19) f(x) = ex lnx

20) g(w) = ln

(ew + 1

ew 1

)21) f(x) = ecos 2x 22) g(x) = x senx 23) h(x) = ln tg x

24) f(w) = ln cos2 3w 25) f(x) =arc tg x

x2 + 126) f(x) =

e2x

arc sen 5x

(C) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 2x3 + 4x2 5x 3 no pontoP (1, 4).

(D) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 3x2 + 4x 6 e tal que:

(i) Essa tangente seja paralela a reta 5x 2y 1 = 0 ;

(ii) Seja tangente ao grafico no ponto P (1, 1) .

(E) Obtenha a equacao da reta que passa por P (3, 1) e e tangente ao grafico de y =4

x.

(F) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de f(x) = (x 1)4 no ponto P (2, 1) .

(G) Determine as equacoes da tangente e da normal ao grafico de y = 8 sen 3x no ponto

P (/6, 1) .

(H) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de f : IR (2, 2) dada porf(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, ) .

(I) Considere f : IR IR dada por f(x) = e2x .

(i) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?

(ii) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que tem coeficiente angular 1/2 ?

76 CAPITULO 4

(J) Considere f : IR IR dada por f(x) = arc tg x

.

(i) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?

(ii) Qual a equacao da reta normal ao grafico de f no ponto B(3 , 1/3) ?

(K) Seja f : IR IR dada por f(x) = e(2x1) x IR . Obtenha, se existir, a equacaoda reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)

(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 e NORMAL ao grafico de uma certa funcao f : IR IRno ponto A(1,3) (pertencente ao grafico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (1) .

(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao grafico de

g(x) = e(x2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao grafico de g) ? (JUSTIFIQUE)

(M) Para cada funcao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domnios

e contra-domnios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneca ainda o que se

pede:

1) f(x) = (3x 1).(2x+ 1)5 .

2) g(w) = 33w 1 = (3w 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g(3).

3) h(s) = . sec s =

cos s. Obtenha ainda, em particular, h(0).

4) f(t) = e(3t2t) . Obtenha ainda, em particular, f (1/3).

5) f(x) = ln( sen 42x) .

6) f(x) =2x2

(x 4)2. Obtenha ainda, em particular, f (2).

7) h(s) =ctg s2

=cos s2 sen s

. Obtenha ainda, em particular, h(/4).

8) g(t) = (2t 1)3 e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g(0).

9) f(w) = ln (5w2 + 2 + cosw) . Obtenha ainda, em particular, f (0).

10) g(y) = arc tg (y 1 ) .

11) f(x) =x3

e2x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0 ?

12) h(s) = sen (3s2 s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h(0).

Derivada 77

13) g(w) = tgw ln(3 w2) . Obtenha ainda, em particular, g(0).

14) v(t) =s(t)2

3t(existe s(t) t IR). Se s(1) = 1 e s(1) = 2, obtenha v(1) .

15) u(y) = 42y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .

16) h(s) =3

s2

1 + s2. Obtenha ainda, em particular, h(1).

17) v(t) = ln 2 log 12(3t2 + 1) . v(1) e positivo, negativo ou zero ? Obtenha v(1) para

justificar.

18) f(x) = x2 lnx x2

2. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x ?

19) g(w) = csc2w =1

sen 2w. Obtenha ainda, em particular, g(/4).

20) u(y) = tg

[arc tg

(1

y

)]. Obtenha ainda, em particular, u(

3 ) .

21) f(x) = x (ln 5 1 + lnx) . Obtenha ainda, em particular, f (2) .

22) h() = ( tg + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h(/3).

23) g(w) = ln(w2 w) + 3(3w2w3)

ln 3. Obtenha ainda, em particular, g(2).

24) v(t) =sen [s(t)]

t(existe s(t) t IR). Se s(2) = /2 e s(2) = e, obtenha v(2) .

25) u(y) = 3 3arc tg y . Obtenha ainda u(1) e responda se u(1) e maior ou menor

que 1 (mostre as contas).

78 CAPITULO 4

Captulo 5

Aplicacoes da Derivada

5.1 Acrescimos e diferenciais

Consideremos uma funcao f : X IR derivavel em pontos x X . Podemos escrever:

f (x) = limx0

f(x+x) f(x)x

(para cada x onde f for derivavel)

x e chamado ACRESCIMO DE x e representa a variacao na variavel independente x.

Pondo y = f(x) como variavel dependente, temos que y = f(x+x)f(x) representaa VARIACAO DA FUNCAO f (devida ao acrescimo x ) e

f (x) = limx0

y

x

Os limites acima significam que, quando x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores

diferentes de 0), y/x se aproxima cada vez mais de f (x) .

Entao podemos dizer que y/x e uma boa aproximacao para f (x) quando x e

pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever

y

x f (x) quando x e pequeno

ou entao, de modo equivalente,

() f(x+x) f(x) = y f (x) x quando x e pequeno

A relacao (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximacoes para a variacao da

funcao, y = f(x+x) f(x) , atraves de f (x) x , com x pequeno !!!

79

80 CAPITULO 5

Por exemplo, vamos obter uma aproximacao para (0, 98)4

Portanto, f (x) x (que depende dos valores de x e x considerados) desempenha esseimportante papel de ser uma boa aproximacao para a variacao da funcao f quando x e

pequeno.

f (x) x sera denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordocom x e x).

Escrevemos tambem dx = x para a chamada diferencial de x.

dy = f (x) xdx = x

Geometricamente, temos:

Aplicacoes da Derivada 81

Exemplos:

(A) Use diferenciais para obter aproximacoes para:

(a) 3 (2, 001)2 5 (2, 001) + 3 (b) 482

(B) A medida de um lado de um cubo e encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade

de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro maximo no calculo do volume do

cubo.

82 CAPITULO 5

(C) A Lei da Gravitacao de Newton afirma que a forca F de atracao entre duas partculas de

massas m1 e m2 e dada por F =g m1 m2

s2onde g e uma constante e s e a distancia entre

as partculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variacao de

s que aumente F em 10% .

(D) A medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha conica cuja

altura e sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e de 10 cm, use diferenciais para

aproximar a variacao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.


Exerccios:

1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)43(2, 01)3+4(2, 01)25 ,365 ,

37 , 3

0, 00098 ,

0, 042 , 5(0, 99)3/5 3(0, 99)1/5 + 7 , 1

415

.

2) Considerando ln 2 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .

3) Use diferenciais para obter uma aproximacao para ctg 46 .

4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da area de uma esfera, quando o raio

varia de 2 a 2, 02 pes.

5) Os lados oposto e adjacente a um angulo de um triangulo retangulo acusam medidas

de 10 pes e 8 pes, respectivamente, com erro possvel de 1,5 polegada na medida de 10 pes.

Use a diferencial de uma funcao trigonometrica inversa para obter uma aproximacao do erro

no valor calculado de . (Obs.: 1 pe = 12 polegadas)

6) A altura de um cone circular reto e duas vezes o raio da base. A medida encontrada da

altura e de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado

no calculo do volume do cone.

7) Se l (em metros) e o comprimento de um fio de ferro quando esta a t graus de temper-

atura, entao l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l

quando t cresce, de 0 a 10 graus.

8) Em um ponto situado a 20 (pes) da base de um mastro, o angulo de elevacao do topo

do mastro e de 60, com erro possvel de 0, 25 . Obtenha, com auxlio de diferenciais, uma

aproximacao do erro no calculo da altura do mastro.

9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis

lados da caixa vao ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preco do metal que vai

ser usado na fabricacao da caixa e de R$ 0,80 por cm3, use diferenciais para encontrar o preco

aproximado de todo o metal necessario.

10) A resistencia eletrica R de um fio e proporcional ao seu comprimento l e inversamente

proporcional ao quadrado de seu diametro d. Suponha que a resistencia de um fio, de compri-

mento dado (fixo), seja calculada a partir do diametro com uma possibilidade de erro de 2%

na medida do diametro

(d

d 100 = 2

). Encontre a possvel porcentagem de erro no calculo

do valor da resistencia.

84 CAPITULO 5

11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessvel) em relacao ao

seu nvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti-

cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve17 km como medida da distancia de B ao

ponto A . Porem, para medir o angulo da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro

aparelho, nao tao preciso, e obtida a leitura de = /3 rad, com possibilidade de erro igual a

= 0, 01 rad.

(a) Obtenha a equacao que expressa o desnvel h() entre A e B, como funcao do angulo .

(b) Baseado na leitura de = /3 rad, qual o desnvel h() calculado pelo explorador ?

(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).

(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximacao para o erro h(+) h() no calculodo desnvel.

12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximacao para a VARIACAO

da area de uma esfera quando seu raio aumenta de5

cm para

(5

+ 0, 005

)cm.

b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento r do raio que, aplicado a esfera de

raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?

Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua area e 4r2 cm2 e seu volume e4

3r3 cm3

13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diametro, voce recebe a oferta

de pagar 10% a mais por um acrescimo de 3 cm no diametro. Sem calcular areas, USE

DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou nao a oferta.

(Sugestao: Calcule aproximadamente o aumento percentual na area devido ao acrescimo

d = 3 cm)

Para qual diametro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diametro com um

aumento de 10% no preco seria justa para ambas as partes (voce e o vendedor) ?

14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde sera constuda a

ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens sao desniveladas. Mede-se entao o angulo de

inclinacao que a ponte tera e obtem-se a medida de 30o, com possibilidade de erro de 1o. Use

diferenciais para obter uma aproximacao do erro no calculo do comprimento da ponte.

15) Um empresario fabrica tanques com a forma de cones invertidos nos quais a altura e

sempre igual ao diametro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter

(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se

o raio da base e aumentado em 3, 333 . . .% .


5.2 A Derivada como razao de variacao

Variacao media:

Sejam f : X IR e y = f(x) .

A variavel y representa uma quantidade de alguma grandeza (distancia, volume, area,

etc.) que depende da variavel independente x, a qual por sua vez representa tambem uma

quantidade de alguma grandeza.

Ja vimos que y = f(x1 + x) f(x1) e a variacao da funcao, correspondente a umavariacao de x1 a x1 +x (x e o chamado acrescimo em x).

Entaoy

x=

f(x1 +x) f(x1)x

e a chamada VARIACAO MEDIA de y por unidade

de variacao de x, quando x varia de x1 a x1 +x.

Exemplo: Seja S (em centmetros quadrados) a area de um cubo de aresta x (centmetros).

Encontre a razao de variacao media da area por unidade de variacao no comprimento da aresta

quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm

Variacao instantanea:

Quando fazemos x 0 no quociente y/x(

limx0

y

x

), o limite (quando existir)

sera a RAZAO (TAXA) DE VARIACAO INSTANTANEA de y por unidade de variacao de x

em (no INSTANTE em que) x = x1 .

Mas limx0

y

x= lim

x0

f(x1 +x) f(x1)x

= f (x1) (se existir o limite).

Portanto a derivada f (x1) representa a razao (taxa) de variacao instantanea de y = f(x)

por unidade de variacao de x no instante em que x = x1 .

86 CAPITULO 5

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razao de variacao da area do cubo por

variacao de centmetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?

Definimos ainda a taxa (razao) de VARIACAO RELATIVA de y por unidade de variacao

de x em x1 como sendof (x1)

f(x1)(proporcao da variacao instantanea em relacao a quantidade

f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIACAO PERCENTUAL,

dada porf (x1)

f(x1) 100 .

Exemplos:

(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 e o

volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:

(a) A razao de variacao media do volume por unidade de variacao do raio, quando r varia

de 5 a 5, 1 cm.

(b) A razao de variacao instantanea do volume , por unidade de variacao do raio, quando

r = 5 e quando r = 5, 1 cm.

(c) As taxas de variacao relativas do volume, por unidade de variacao do raio, quando r = 5

e quando r = 5, 1.


(B) O lucro de um deposito de retalhos e de 100y reais quando x reais sao gastos diariamente

em propaganda e y = 2500+ 36x 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajosoque o orcamento diario de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:

(a) O orcamento atual e de 60 reais diarios; (b) O orcamento atual e de 100 reais diarios.

(C) Em um circuito eletrico, se E e a forca eletromotriz, R ohms e a resistencia e I amperes

e a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .

Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razao que e proporcional

ao inverso do quadrado de I.

Se E = 100 volts, qual a taxa de variacao de I por unidade de variacao de R quando

R = 20 ohms ?

(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p V = c , onde p e a pressao, V e o volume ec uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressao seja dada por 20 + 2t

u.p., com 0 t 10 . Se em t = 0 o volume e de 60 cm3, determine a taxa de variacao dovolume por unidade de variacao do tempo quando t = 5.

88 CAPITULO 5

Um caso particular: interpretacao cinematica da Derivada

Suponhamos agora que s = s(t) represente a posicao de um objeto ao longo de uma linha

reta, como funcao do tempo t:

Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 +t estava em s(t1 +t) , a variacao total da

posicao do objeto entre os instantes t1 e t1 +t e dada por

s = s(t1 +t) s(t1)

A taxa de variacao media de s por unidade de variacao de tempo, entre o t1 e t1 +t e

s(t1 +t) s(t1)t

Essa e a VELOCIDADE MEDIA com que o objeto se movimentou de s(t1) ate s(t1+t)

entre os instantes t1 e t1 +t.

A razao de variacao instantanea da posicao s do objeto por unidade de variacao do tempo,

no instante t1 e dada por

s(t1) = limt0

s(t1 +t) s(t1)t

Essa e a VELOCIDADE INSTANTANEA do objeto no instante t = t1 .

Se s(t1) > 0 entao a taxa de variacao em t1 e positiva, ou seja, s esta aumentando em t1,

ou melhor, o objeto esta se movimentando no sentido adotado como positivo.

Se s(t1) < 0 , o movimento em t1 e contrario ao sentido positivo.

Se s(t1) = 0 entao o objeto esta parado no instante t1.

Exemplos:

(A) Um foguete e lancado verticalmente para cima e esta a s m do solo t s apos ter sido lancado

(t 0), sendo s(t) = 160t 5t2 (o sentido positivo e para cima). Determine:(a) A velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 4 s.

(b) A velocidade instantanea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.

(c) Em t = 20 s, o foguete esta subindo ou caindo ?


(d) Quanto tempo leva o foguete para alcancar a sua altura maxima ?

(e) Qual a altura maxima atingida pelo foguete ?

(B) Uma pedra e solta de um edifcio de 80 m de altura e a equacao do movimento e dada por

s(t) = 5t2 (t em segundos, t 0, orientacao positiva para cima).(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apos ser lancada ?

(b) Quanto tempo leva a pedra para alcancar o solo ?

(c) Qual a velocidade (instantanea) da pedra ao atingir o solo ?

(d) Qual a velocidade media entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?

90 CAPITULO 5

Obs.: Assim como definimos a velocidade como variacao da posicao por unidade de variacao

do tempo, definimos a ACELERACAO como sendo a variacao da velocidade (olhando v = v(t))

por unidade de variacao do tempo.

(C) A posicao s de um objeto em movimento retilneo e dada por s(t) = 2t315t2+48t10 ,com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleracao quando a velocidade e

de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleracao e de 10 m/s2.

(D) Um bombardeiro esta voando paralelo ao chao a uma altitude de 2 km e a uma veloci-

dade constante de 4, 5 km/min. A que razao varia a distancia entre o bombardeiro e o alvo

exatamente 20 segundos apos o bombardeiro passar sobre o alvo ?


Exerccios:

1) O volume de um balao esferico (em pes cubicos) t horas apos 13:00 e dado pela equacao

V (t) =4

3(92t)3 , com 0 t 4. Qual a variacao media do volume por unidade de variacao

de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variacao do volume por unidade de variacao de

tempo as 16:00 ?

2) Suponha que, t segundos apos ter comecado a correr, o pulso de um indivduo tenha sua

taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 t (batimentos por minuto), com 0 t 7 . Determine avariacao media de P por unidade de variacao de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha

a taxa de variacao de P por unidade de variacao de t em t = 2, t = 3, t = 4.

3) O iluminamento I (em u.i. - unidades de iluminamento ) de uma fonte de luz e

diretamente proporcional a intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado

da distancia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distancia de 2 pes,

determine a taxa de variacao de I por unidade de variacao de d, quando d = 20 pes.

4) A relacao entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala

Celsius, e dada por C = 5/9(F 32). Qual a taxa de variacao de F em relacao a C ?

5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de

largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto

e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em funcao de s e determine a taxa

de variacao de V em relacao a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possvel,

responda se e conveniente ou nao aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.

Obs.: Lembremos que a ACELERACAO de um objeto em movimento retilneo e a taxa

de variacao da velocidade v por unidade de variacao do tempo t.

6) Para cada uma das situacoes abaixo, define-se a posicao s de um objeto em movimento

retilneo como funcao do tempo t. Determine a velocidade e aceleracao em cada instante

t e tente descrever o movimento (posicao inicial, velocidade inicial, direcoes do movimento,

quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:

(a) s(t) = 3t212t+1 , t [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t [1, 4] (c) s(t) = 24+6tt3 , t [2, 3]

(d) s(t) =1 e3t

3, t [0, 2] (e) s(t) = 3 cos t , t [0, 2] (f) s(t) = t24 ln(t+1) , t [0, 4]

7) Lanca-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pes apos t segs

dada por s(t) = 144t 16t2 . Obtenha a velocidade e a aceleracao iniciais e no instante t = 3s (descreva o que ocorre). Qual a altura maxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?

92 CAPITULO 5

8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equacao s(t) =

[ln(1 + t)] t/4 (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixoorientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e

t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que

instante o objeto para ? Em que posicao isto ocorre ? Qual a aceleracao neste instante ?

9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito

pela equacao s(t) =10 ln(2t+ 1)

(2t+ 1)(t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posicao ao longo

de um eixo orientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade

nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto esta parado ?

(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 ate t + .

10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equacao

s(t) =2t2

et(t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixo orientado,

medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 2, a

velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas). (b) O que

ocorre com s(t) quando t + ? (c) Qual a maior distancia da posicao inicial que e atingidapelo objeto ?


s(t) = t ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixoorientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t =e3 12

. (b) Obtenha a

velocidade nos instantes t = 0 e t =e3 12

. (c) Obtenha a aceleracao no instante t = 0 .

(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleracao quando t + ?


s(t) = 3 et2 (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posicao ao longo de um eixoorientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e

t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas).

(b) O que oco

apostila cÁlculo 1.pdf

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